人教版七上数学角分类练习 带答案

孙老师一讲，豁然开朗，看完这个视频，你很可能不开朗，因为大概率听不懂。一个视频介绍动脚的定义，四个维度的动脚难度分类，两种截然不同的答题策略，如果你听不懂，你就能理解孩子们的痛苦。 很多同学私信让我讲一下动脚，但是题我真的讲不过来，太多了，我想来想去，我就做一期科普视频吧，把动脚的题型、分类 方法，以及我认为的科学的动脚学习路径规划做一个分享。好，第一个部分，我们介绍一下动脚，我将从三个方面来讲解。 一、什么是动脚。第二，动脚的难度有哪些种类啊？这个地方很重要，因为不同的城市考察完全不一样。第三，动脚的答题方法也有很大的区别，不同的类型，你选对了方法， 能起到事半功倍的效果。好，先上定义什么是动角。如果一个角的顶点固定，但角的这个边一绕，顶点旋转，导致角度不断变化，这种类型我们就称它叫动角。 以这个图为例， o a、 o b 是 两条固定的边，而 op 从 o a 出发开始转，它可以转 n 度，它也可以以五度每秒的速度 逆时针转都行。他一旦转起来，那么你的图就不确定了，你的角度也会不断变化，而研究这种变化的角度之间的关系就属于动角，所以动角的核心叫变化。动角的关键难点就在变化二字。第二点， 动脚的难度啊，有很多层，每一个城市的考试的难度也差别非常大，但是你过了期上这个动脚又不再考了。所以从性价比角度来说，你去了解你们学校考动脚到底到什么难度就很有必要，因为你要投入的时间是非常多的。 好，下面我从四个维度来把动角的难度做一个分类啊。第一种分类，按照有没有速度来分啊。并不是所有的动角都需要带速度的。我以这个图为例， o a、 o b 是 固定的， o p 在 转， 如果他告诉你在 o p 旋转一周的过程中，那这个时候他到底转多少度，你也不确定。但他告诉你一周了，这个时候，其实你要设这个旋转角度为 n 度， 而根据题目的描述， n 是 大于零小于三百六，它也是能转一周的，它也叫无速度的动角。问题，你需要考虑那个旋转的角度，它可以设 x， 它也可以是 n， 所以 那时候是要你自己设旋转角度了。当然更多的情况是它给了你 o p 的 旋转速度，比如说是六度每秒，然后呢，旋转的时间是大于零小于六十， 那意味着六乘六十也是三百六吗？他也能转三百六，这个时候其实是把旋转角度 n 度变成了用速度乘时间，也就是六七度这样的一个式子， 但其实本质上是一样的，所以没有速度的动角其实是动角的基本模型。第二种分类，按照有无角度的凸变，那么凸变其实是动角里边最难受的事啊。 好，先解释一下什么叫图变。我就以这个图为例，如果告诉你 o p 就 在角 a o b 内部转， 那你觉得很简单，为啥你设这个角，不管是 n 度也好，还是六 t 度也好，如果 a o b， 比如说一百二十度，那这个角就是一百二十度减 n 度， 或者说你换成了六七度，那这个角就变成了一百二十度减六七度。所以说，如果没有突变，那虽然图形你不确定啊，动来动去，但是变化没有那么大，这些表达式是不变的， 它其实和我们之前的角度射餐没有任何区别。下面我以三个图来解释一下什么叫突变啊，还是跟这个图一样的条件，我就以六 t 来表示啊， o p 从 o v 出发转到这儿，那这个角呢？是六 t 度， a o b 呢？还是一百二十度？这个时候你发现 a o p 没问题，还是六七度，但是 b o p 变了，刚才 b o p 多少是一百二十度减六 t 度，现在你还能用一百二减六 t 度吗？就不行了， 角 a o p 六 t 度没变，角 b o p 反而变成了六 t 度减一百二十度，因为 o p 转到 o b 的 左边来了。我称这种凸变叫 两根射线的前后位置发生了突变， o p 在 o b 的 右边，在 o b 的 左边，前后发生了突变。第二种更痛苦，我还是从 起点出发，转到现在这个状态，它要转多少呢？六七度没问题吧？但是这个时候 a o p 变成哪了？它不再是六七度了， 因为我们在七年级有一个限定，所有的角儿不能超过一百八，那这个才是角 a o p。 此时角 a o p 不 再是六七度了，应该是反过来是三百六十度减六七度。 就这一件事，我们称它叫一百八十度。凸变核心点在于角 a o a 撇，这是一百八十度。当 o p 从上方转到 o a 撇的下方的时候，这边超过一百八了，取反过来是三百六减它了，这就是一百八十度凸变的由来。 那么 b o p 变成多少呢？从图上看，它还是这个角，还没超一百八，那就还是六 t 度减这里边的一百二十度。 然后你再看第三个图，我还是从起点往这转，仍然转多少呢？六 t 度。这个时候角 a o p 是三百六十度减六七度，跟前面没变化，但是 b o p 又发生了突变， 这么大的一个角超过了一百八，所以它其实是因为 o p 过了哪条关键线呢？你把 bo 反向延长 这条线称为 b 一 撇，你来对照一下啊。当 o p 还没有转过 o b 一 撇的时候，这个时候 b o p 小 一百八， 当 o p 转到 o b 撇右边的时候，这个 b o p 啊，又超过了 b o b 撇一百八， 那这个手变成多少呢？这个红色的角仍然是六 t 度减这里边的一百二十度，所以六 t 度减一百二十度没问题。但是反过来， b o p 我是 在这儿，所以你可以用三百六减去六 t 减一百二，把它求出来。 或者说我不用管这个红线了，我就盯着 b o p， b o p 怎么组成的一个一百二，还有一个这个 a o p， a o p 我 刚才算出来了，所以这样也行，那 b o p 就 变成了一百二十度，加上三百六减六 t， 也就是四百八减六 t， 跟你用三百六减这个是一样的，所以你会发现，就是因为它在旋转过程中，我们有一个限定，要取不超过一百八减六 t， 跟你用三百六减这个是一样的，所以你会发现，就是因为它在旋转过程中，我们有一个限制，要发生两次这样的突变， 那你要求的角越多，你的凸变次数就越多。最后一种最难的一种就是角平分线凸变。啥意思呢？ 比如说我刚才表示了 a o p b o p， 我 再增加一个限定， o m、 o n 分 别平分角， a o p， 角 b o p。 你 会发现，不仅是 op 在 动， 那么 o p 带动着里边的平分线 o m， 它也会跟着转。同样， b o p， 这里边的平分线 o n 也会跟着动，那么 你有一百八十个凸变，我的角平分线也会跟着你凸变啊。这里边图我就不再画了。但是各位家长你能感受的到，一旦出现角平分线凸变，那么难度就很高了。所以你可以从凸变的角度去看 你们学校或者你们那个城市的考试难度到底到几层凸变的这个程度啊。刚才我们是以有没有角度凸变来分类，那么还可以按照动线的数量来分类，那你能想到能够转动的线越少了，肯定越简单了。单根动线，以这个图为例， 只有 o p 在 转，那这种事其实是最简单的。如果有两根相对位置固定，啥意思？其实就是个三角板， 那你这两根线虽然都在转，但他们之间的夹角是确定的。你比如说是三十度啊，这是两根动线，但是相对位置固定。 还有第三种两根无关连的动线，你比如说这种， o p 从 o a 出发逆时针， o q 从 o b 出发顺时针，大家各自动各自的，有可能是同时停，也有可能不同时停，但是速度是各自的，那这个难度明显比他们俩又上。 然后题目是如何变得变态的难呢？咱把角平分线又加进来，一旦出现平分线，意味着所有的等量关系变得更复杂。 单根动线加单角平分线，单根动线加两根，也就是双角平分线，两根动线加一根角平分线，两根动线加两根角平分线。比如说这个题，两根动线我各自再加一个，你比如说 b o p 整一根角平分线， o m a o q 整一根儿 o n 平分角 a o q。 这转起来脑壳都要炸了。当然我的直播是能讲到极端情况，两根儿动线加三根儿，啥意思呢？平分平分，再搞一根儿平分的平分， 所以就非常复杂了。所以从这个角度你去判断你所遇到的考试题目，你也能在心里边给他快速做一个分类，他到底有几根动线，以及你现在的实力，你学到了几根动线的水平。 最后还有一种很特别，也是近年来考试的一个热门，就是新定义的动奖， 他会给很多新概念啊，什么三条线之间叫被分线啊，奇妙线、伴随线、巧线等等。那这种考法跟近几年强调创新情景题的风格是吻合的，这类题目 要求你概念的理解，同时还要把前面这些动角的基本功给用上。好，现在我们来做个总结。那么动角难度的分类，四个维度， 有没有速度是一种？当然我解释过没有速度，你旋转的 n 度，它其实是动角的原型，所以加上数之后，只是把这个 n 变成了用 t 的 式子表达。你比如说六 t 度啊， 虽然角度的形式上没有区别，但是给了速度和时间 t， 我 好表示，如果没有给这个旋转角度，是要我们自己去设的啊。 那第二种从有没有角度的突变讲起，刚才我们解释了有前后位置的突变，当然更难受的是一百八十度突变，还有最变态的就是角平分线会跟着突变啊， 以及从动线数量上来衡量他的难度，你有几根动线，一旦动线加上角平分线之后，难度就陡增了啊。最后还会出现一种新定义的类型，他考验你现场去理解他的概念，然后把前文节基本功给用上。 所以你从这四个维度，你要去判断你们学校考试的难度到底到多少层，这样即使从投入产出角度去思考这个性价比， 同时你也能分清楚自己到底是处于哪一个阶段，什么地方的关键难点把自己给卡住了啊。所以知己知彼。 最后一件事情，关于动脚的答题方法，这也是我认为和前面的动点包括其他题很不一样的地方。他至少有两类啊，第一类是用运动的相遇追击的方法。 第二类我们可能更常见一些，画图去分类讨论，就像我刚才画了很多这样的 图，然后不同的角，我用了这个六 t 呢，去表示这个度数。最后一点啊，动角的答题方法 也很不一样，并不是说有一种方法通用的它，在我眼里它至少能分为两类。我简单做个解释啊，你比如说刚才我们熟悉的 o a o b 没有动， o p 在 动， 那么角 a o p 可以 用六 t 来表示，角 b o p 就是 六 t 减一百二十度，那你 op 转到不同位置，你只是需要画图分类讨论而已，然后用参数，不管是 t 也好，还是用 n 也好，去把这个角度给表示出来，这是一种主流的方法。 当然还有一种是用小学的运动相遇追击的方法，很多时候如果出现这样的场景，用它会非常快。下面我以这两个图来简单举个例子啊， o p 从 o b 出发，顺时针速度十度每秒， o q 从 o v 出发，逆时针速度八度每秒。 让你分析角 p o q 的 关系，你比如说吧，等于六十度，那这个时候你可以用 t 去表示这个角度，但是你会发现你要去分类讨论 o p o q 相遇前和相遇后，因为它们的位置会发生突变， 但是如果你换个思路，当你把 o u o b 扔掉不看，这个时候你发现其实就变成了一个两根针在平面中转，那最开始的时候确实它们俩相距一百二十度， 那你说这变成什么问题？这不就是一个相遇问题吗？那就非常简单的，你让我相距六十度，就两种情况，第一种我们俩还没相遇，距六十度，那就相当于从一百二十度到六十度，我合走六十度。 第二种，相遇之后，就是我们俩先碰上，先合走一百二，再拉开六十，那就变成合走一百八了，那不就很快一共走的除以他们的速度和很简单。你再看第二个图，一个意思的， o p 从 o b 出发，逆时针十度每秒， o q 从 o a 出发，也是逆时针八度每秒，还是让你分析角 p o q 的 大小关系，你比如说等于八十度吧， 那这个时候你再把这个 o a o b， 你 不看它就变成了一个啥了，不就不是 o p 追 o q 吗？这就变成了一个追级问题啊，最开始的时候 o p 落后 o q 是 一百二十度，那你要相距八十度， 什么情况？我可以追你四十度，追四十度，那四十除以速度差出来，我也可以，干嘛呢？我先追上你，然后我领先你四十度，那就相当于一共追了一百二加四十，再除以速度差，非常快就出来了。 而且你还可以去回想一下，你有没有见过这样的题，就是中面上两个时针之间的夹角， 那其实他也是一个追急问题，所以当你想通题目中我只研究这两根动线之间的角度关系的时候，把这些方法扔掉，你回到运动的相遇追急 就非常简单了。所以动脚很特别啊，它还存在一个策略上的两种方向。最后做一个总结回顾啊，我们在介绍动脚的时候，是分了三个层面，什么是动脚和动脚？难度有哪些分类，以及动脚的答题方法有哪些分类。 讲了这么多，我并没有讲具体的题目，是希望大家能有一个知识的框架，你需要了解考试要求你到什么难度，你也需要了解你自己到什么水平了。 然后下一个视频，我们在学习动脚的时候，也应该是一点一点难度逐渐递增的去学，千万不要一上来就干到最难的啊，那样你会非常受伤。关注梳理黑板，现在下课。

本视频耗时一个月精心制作而成，总时长四十二分十六秒，带你一口气复习完七上最后一张， 期末考试又要来了吧，今天我们进行七上最后一张几何图形初步所有知识点总结以及重点题型梳理，我们一起来学习。关于我们几何图形初步，这里呢给大家分两个大板块，一个是我们的立体图形，一个是我们的平面图形。 关于立体图形，这里呢重点要讲什么呢？重点我们来学正方形的这个展开图啊，展开图这里呢是我们一种题型，而且还是有一些难度的，我们一起来学习正方体的展开图呢，请记住，一共有十一种， 那么这十一种呢，我们来分门别类的进行总结啊。我们这十一种展开图可以分为一四一型、二二二型、三三型以及一三二型， 什么意思啊？我们第一行有一个，第二行有四个，第三行有一个，这叫一四一行， 那么一四一行呢，一共有这样的六种，你怎么去记这六种呀？我们首先呢，这里啊站一号位，然后我们这四个呢排列好，接下来下面这一个呢，你可以在一号位，二号位，三号位和四号位都可以依次来一遍，这样不就出现了四个了吗？ 对吧？那么剩下的我们就可以来动一动第一行的，第一行的你可以把一号位动成二号位， 然后我们第二行的呢，你不能从一号位直接开始了，为什么？因为会有重复啊，所以直接从二号位和三号位开始，那一共就这样的六种，剩下的全部都是重复的了，这是我们的一四一型啊，这个也是最多的一种形式， 那我们剩下的就可以把这四个呢，让他哎减少一个，变成一三二型。那关于一三二型，这里的三和二啊，是固定的 啊，我们只需要让这个上面有一个的再占一号位，二号位和三号位，所以一共是这样的三种， 记住了吗？那剩下的我们的二二二型和三三型呢，各自只有一个，只有二二二三三这种排列的啊，这我们特殊来记就可以了，一共是十一种的展开图，大家按照规律去记，就不会记错了，那这里呢就会有题型总结了，请听老师的大招啊。 我们现在在判断展开图的时候呢，有两句话啊，可以快速帮我们判断出来，叫做一线不过四填凹七弃之。什么意思？ 我们一条线上这个展开图，你看无论是哪种形式，都没有超过四个的吧，对吧？最多就是四个小正方形了啊，所以说一旦出现了比四多的，那一定不是你的展开图，然后还有一些特殊的形状，比如说出现了我们的填字格， 如果有这种形式的，那一定不是我们的展开图啊。同理，如果出现了我们的这种凹字形，出现了我们这种七字形，这都是我们非展开图，而且比较常考的啊，看到这些特征之后呢，直接判断他不对就可以了。 好吧，那关于我们的展开图这里呢有一个非常非常重要的题型，叫做什么呢？我们判断啊，对立面 告诉你展开图了，来问你们啊，这个小正方形，它的一个对立面应该对着哪个啊？那么这会就特别考验孩子的什么呀，一个空间想象能力， 如果你但是有的小孩呢，刚开始就是他想象不到我怎么去找那个对立面，不可能考试的时候现场折一个，那是不可能的，对吧？其实也是有技巧有大招的啊，叫做两句话，同行隔一个，一行 z 两端来，记住老师，这个大招非常好用， 比如说举个例子，比如说我们同行隔一个，举一个例子，那这个小圈圈和这个小圈圈，那么这两个正方形在折回去之后，他就是一个对立面， 这就满足我们的同行隔一个，所以如果这两个面在同一行上，只要他中间隔着一个，这就叫做两个对立面，同理这里也是啊， 这个圈圈和这个圈圈，那就是同行隔了一个啊，所以这就叫我们的对立面，这是判断同行的那一行呢？如果不在同一行，叫做一行 z 两端，你去找这个 z 去啊，什么意思？比如说我们来看 这里呢，画一个 z 字形，那么 z 的 头跟 z 的 尾，这就是我们的一个对立面，这两个面呢，它没有在同一行上，对不对？所以你就不用套 同行隔一个了，咱们套的就是一行 z 两段，他是我 z 的 头和 z 的 尾，这就是我们的对立面，这个大招在解决问题用起来还是非常好用的，大家一定要记住这两句话啊。那么剩下的呢？还有一种类型，就是我们的三式图， 这个也是也很考验咱们孩子的一个空间想象能力啊。这个你就主要是你从你的这个主视图以及你的俯视图，你看到了什么样子，你就按照什么去画 好吧，尤其是涉及到一些什么，一些这个测试图，或者叫左视图和俯视图的时候，你就要去想象，你站在了这个物体的左面，你站在了这个物体的上面，还是有一些空间想象能力的。那这里老师提醒一点，如果你在你的视线当中，你能看得见的这些线呢？你就画成实线， 如果说有一些线，你是看不到，他也真正存在的啊，你从你的这个仕图里面并没有看到，那这种呢，一定要画成虚线，他也是存在的，只是你当下没有看到而已。好吧，画成虚线啊， ok， 那 关于三仕图这里呢，有一种比较难点的题型，就是已知告诉了你某些仕图，比如说告诉了你的主仕图和俯视图，举个例子 告诉了你这些仕途，让你给我判断这一堆小正方体，它到底有多少个，甚至让你判断最多多少个，最少多少个。这种题型应该已经见过了吧，还是有些难度的啊，今天老师教你一个大招去解决问题， 后面我们也会有这个这种题的，给大家重点讲解啊，叫做什么呀？叫做我们的地基法。哎，什么叫地基法？你可以想象一下，就类似于你搭房子，先铺好一个地基，然后一层一层一层往上去盖，怎么去盖？一会遇到题目，老师带着大家重点的来学习， 好，这是我们的立体图形部分，接下来呢，来到我们的平面图形部分，平面图形我们初一上学期啊，两个重要的线跟角， 这里首先上来呢，就会有特别多的概念变息类的啊，非常非常易错，一会我也会给大家去分享一些题目啊，大家好好去听。那关于我们线的概念之这个我们里面的易错点呢，会涉及到三种， 一个叫做我们的直线，一个叫做我们的射线，一个叫做我们的线段。这三种线之间啊，他的端点情况，延长线情况和表示情况，以及还有一个点再给大家总结，还有他的一个长度能否背肚梁的一个情况， 这是我们在考试当中比较啊，容易能够遇到的。来给大家画画这三种线啊，什么叫直线？你这样直直的划过来，没有任何的端点去限制，这叫我们的直线，所以直线是零个端点啊，并没有端点， 射线呢？射线你想象一下是从一个点发射，对吧？发射的感觉啊，所以射线呢，还是有一个端点的从这发射出去的，好吧，这里有一个端点， 线段呢，哎，线段呢，就是我们可以能够量出来它到底是多长，是两个端点在限制你啊，所以线段的左右两边都是有各有一个端点，所以线段是有两个端点情况。 然后接下来我们来看延长线，因为线段呀，是两头都堵住你了，所以你想要想做他的延长线是能够做出来的，对吧？比如说我们这样直接延长，哎，就能做出来延长线， 那或者说我这样来反向延长也能做出来延长线，所以说我们的线段呀，哎，既有延长线，又有反向延长线， 那射线呢，就是这样的，因为射线本身我在这一点发射出去之后，就已经是无限延伸了，我还需要借助外界的力量来帮我去延长吗？不需要了，所以说射线这里是没有延长线的，但是 因为这一头啊，有端点在堵着他啊，所以我们这一头还是能够画出来什么反向延长线的，所以说射线是有反向延长线，没有延长线，然后最后来到了直线，直线自由的很呀，没有任何的端点去限制他， 对不对？我想往右延伸就往右延伸，我想往左延长就往左延长，不需要借助外界力量。所以说啊，他没有延长线，也没有反向延长线。记得了， ok， 那 么剩下的我们来讲一讲表示啊，我们这三种线呢，都有两种表示方法， 你就可以理解为咱们一个人，他有可能有多个名字，对吧？他有个正名，还有个小名。那比如说我们的这个直线在表示的时候呢，可以用两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。 那如果我们用两个大写字母来表示的时候，比如说我可以叫做什么呀？叫做它的直线 a b， 在这啊，直线上任意取两个点，注意这两个点你别堵住它了，因为我们的直线是没有端点的，那可以叫做直线 a b， 也可以叫做直线 b a， 这里是没有顺序的差异的 啊，都表示的是这条直线，但射线呢，射线你再给他起名字的时候就有限制了，因为射线本身是从一个点发射出去的，那你再给他起名字的时候啊，第一个字母呢，表示的一定是它的端点，这个你不要反了， 也就是说射线 a b 和射线 b a， 它俩不一样，代表的不是同一条射线。 ok， 那 么剩下就是我们线段，哎，线段呢，是有两个端点是限制的， 你可以叫做它的线段 a b， 你 也可以叫做线段 b a 啊，就没有顺序的差异了，都是表示这同一条线段。 最后我们来讲一讲这个长度的问题，也是我们考试高频的考题。来，我想问问大家，我说孙悟空在天上画了一条十万八千里的直线，你觉得这句话对不对 啊？有人上来可能觉得对了，在我们数学角度这句话是不对的，因为我们说直线是无限延长的，哪怕你足够长有十万八千米，但是呢，我们的直线在十万八千米的基础上还可以无限延长啊，也就是你在描述直线的时候，你不能说它的长度 到底有多长，他的长度呀，是不可以被度量的。好吧，你不能告诉我这条直线到底有多长，限制住他，这个考试特别特别易错，一定注意了。 然后接下来射线，同理，虽然有一个点在限制了我的发展，但是我另外一头很自由呀，我可以无限延长，对吧？所以射线这里也不需要啊，去给他讲长度，他的长度也是不能被度量的。 好，那么剩下就是我们的线段了，线段呢，它就有所限制了，两个端点卡住了我，对吧？它的长度呀，还是可以被度量出来的，所以你可以告诉我说这条线段有多长，比如说刚才那句话 啊，说孙悟空在天上画了一条十万八千米的线段，哎，这个就对了，好吧， ok， 这是我们的一个基本概念啊，关于它的一个区别，也是咱们考试比较爱考的 概念，变式类的一个题目。好，那么剩下的两个基本事实很简单，我们要考这两个基本事实就是考两点，确定跳直线，两点之间线呢，最短 你给他取一个啊，这种题做的时候小孩没有做错的好吧，亲啊，要记住啊，那么我们还有关于线和角这里呢，咱们学了一些尺规作图，做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角，这两个尺规作图非常简单， 当然我们尺规作图呢，也是在我们的新课标当中啊，我们要这个在新中考当中也是要重点去考的啊，所以后面呢也会给大家出专题啊，将我们的尺规作图。好，接下来关于我们的线段的中点， 线段的中点呢，类比于角，就是我们角的什么角平分线啊，这些在做的时候呢，概念类的也不难啊，就是有小小的易错点。比较难的就是什么呀，这里就题型，什么题型啊，我们就涉及到双中点题型， 还有我们角这里呢就是双角平分线题型，这两种题型呢是有什么是有大招可以帮着大家去解决的， 考试的时候非常快的，能够做出来题目，很节省时间，一会老师给大家进行分享。好，那我们角度的基本的定义，这啊啊，这个比较简单，没什么难度啊，我们在这个表示角的时候呢，是有四种方法，注意这四种方法呢，有的会有限制， 那如果我们表示用三个字母啊，三个大写字母去表示这里呢，叫什么呀？这叫我们的万能方法，你所有的角都可以这样去表示， 什么方法呢？就是我以这个角的啊，这个顶点 o 放在中间的位置，然后在角的啊，这两条射线上任意取一个字母，一个取 b， 那 你可以称为角 a o b， 也可以称为角 b o a 描述的都是这个角， 这是我们的万能方法，所有的角都可以用三个大写字母去表示。还有一些比较简洁的方法，比如说呀，我这个这个点 o 这里呢？我不在边上取点了，我直接叫做角 o， 可以 吗？这个图里面是可以的 好吧，但是它有一些小小的限制。什么限制？如果说呀，我从这个 o 这发射的不止一个角了，因为你现在叫角 o 就 描述不清楚了，角 o 到底是代表的这个角 还是这个角还是这个角嘞？咱说不清了，对吧？所以这种情况下，你必须用三个字母来表示了啊。 好，那我们还有两种呢，用我们的阿拉伯数字，或者用我们的希腊字母来表示啊，我们可以标一个一角一标个阿尔法，叫做角阿尔法，这个也很简洁，后续我们到了初二初三，几何学的比较难，角比较多的时候，可以用这种方法去表示。 它也有一个小小的限制啊，就是我们尽量不要跨角去标注，比如说还是这样的图， 你可以说这个叫角一可以的，但是呢，哎，你这个如果叫做角一的话，就不太啊， 不太对了，你跨角标注就不规范好不好，注意这个小小的限制啊。 ok， 这是我们一些关于线和角的基本知识。 那题型这里重点会给大家讲什么呀？像涉及到我们的双中点和双角平行线，以及我们线段的计算和角度的计算，是咱们期末考当中的占分大项，接下来呢，我们一种一种题型给大家进行梳理，一定要认真听。 好，我们先分享一道啊，期末必考题，叫做我们的展开图的问题，我们来看啊，这里告诉你，展开图呢，我们像要剪掉一个小正方形，那么剪掉之后呀，就能够拼成正方题了， 对吧？问，剪掉的这个小正方形不可以是谁？这里就可以很快用老师的大招我们来看啊，什么大招？因为你打眼一瞧就发现了什么，立刻发现了一个填字格。 老师刚才给大家讲了，你如果要判断是否为展开图，当出现填， 出现凹，出现七这种图案的呢，那都不是我们的展开图。 所以你要想减掉啊，变成我们的展开图，一定要在这个田字格里面去选出来一个，减掉一个，让他不不能变成我们的田字格，所以你可以选一，可以选二，可以选三啊，我们的前三个都正确， 好吧，一定要把它分开，所以这个题啊，我们不可以的，就是我们的四 d 了，你如果把这个四减掉了，那你就把田字格留下了，留下田字格还能变成展开图吗？ 一定不能了好吗？记住老师的解决方法啊，看到田，看到凹，看到七字形的都要给他叉掉，这种都不是我们的展开图，你学会了吗？ 好，接下来我们来分享一道找对立面问题。这种问题呢，一属于咱们期末必考。二、很考验咱们家娃的什么空间想象能力，有的小孩就跟老师说，老师，我真的想象不到他是怎么去折的啊，你考试的时候也没办法，我立刻给你拼起来呀， 怎么办也是有解决方法的，好吧，学会今天老师这个大招啊，让大家立刻啊了解我们的对面问题，叫做同行隔一个 哎，一行 z 两端 什么意思？如果大家在找我们对立面的时候，处于同行的呢，你可以来中间隔一个，它旁边这俩就是对立面， 如果在同行找不到了，找什么呀？找不同行的啊，在不同行的呢，我们就来画 z 字形， z 的 这两端啊，就是我们的一个对立面，比如说这， 比如说这道题呢，就考察的咱们跟学的一个对立面学在这。首先你同行隔一个能找到吗？显然找不到， 对吧？同行最多留两个，你怎么去隔呢？找不到，那找不到了怎么办？我们来画 z 在 一啊，一行画 z 字形，注意，我们这个 z 呢啊，就能找两端， 这个 z， 你 可以横着画，竖着画都可以啊，反正画这种正规的。我们的 z 型画完之后呀，这就是我们的两头啊，我们现在这个学跟我们的广啊，它就是一个对立面啊，选我们的 c 选项啊，老师的这个大招还是非常好用的啊，同学们一定要记住，你学会了吗？ 接下来呢，我们来学习一道难题，突破啊，这种问题呢，是带图案的，这种题啊，小孩碰到了就更头大了，我不带图案的都想不明白，你现在还给我带图形了，哎呦，这可怎么去整啊， 别急别慌，也是有方法的。我们来看问图中的立方体展开之后，应该是下图当中的哪一个，我们来观察一下这个立方体。这个立方体呢，给我带了啊，这三个点，而且这三个点的面呢，分别都是什么呀？这叫离面， 相邻的面并没有相对啊，看似是在考你邻面的问题，实则仍然是考对立面的问题，你只需要让他们不是对立面是不是就可以了，因为不是对立面的话，那不就是邻面了吗？ 对不对啊？所以我们来看一下 a、 b、 c、 d 当中有没有两个小点点是对立面的呀？如果有，赶紧给我叉掉啊！又回到老师，今天啊，教你那个大招叫什么呀？你如果在同一行里面去判断，叫同行隔一个， 如果是在不同行里面去判断，叫做一行 z 两端。 好的，我们来观察一下现在这三个圈圈啊，是在这，那我立刻就扫到了，什么，这是在同一行，哎，同行隔一个，所以它们两个变成对立面了，那怎么办？就不对了， 因为你需要点点是同啊，是里面。接着我们来看 b 同里呀，哎，同行隔一个，这两个又是隔了一个，哎，又变成什么对立面了，所以不对。 好，我们来看 c 选项， c 选项呢，仍就是我们这两个点点是在同一行啊，同行隔一个，又变成我们的对立面了，所以他也不对啊，那只剩下四 d 了。四 d， 我 们来观察一下这里，现在呢，发现，哎，无论是同行 不是隔一个的这种关系，无论是一行，他也没有最两端，对吧？所以这个呢，他们都不是对立面，那就是我们的平面了啊。所以这道题应该选我们的四 d 选项，你学会了吗？ 好，今天我们来分享一道什么呢？用地基法来解决我们的最多最少啊这种小正方体的问题，这个问题对于孩子们来说是一个难点啊，一起来学习一下老师这个方法啊。 说若一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成的，如图，分别是它的左式图和俯式图。问该几何体用的小立方体的个数是 m， 问 m 的 一个最小值， 当然有的题也会问你最大值，其实同理的啊，这种问题怎么去做呢？一个大招叫做递级法，就是你无论给了你什么仕途，你先帮我把俯视图判断出来， 那么这个题比较简单的是俯视图直接给你了，有的题也是告诉你左视图，告诉你主视图，让你自己呀，先把俯视图啊确定了， 一旦确定了俯视图，开始干什么？打地基，盖高楼啊，因为你的俯视图如果长成这样子，说明呢，你至少底上，哎，每一块上都得有一个啊，小正方体 b g 搭好了，接下来根据我们的左式图在一一去匹配。左式图呢，第一列你看到了两个，哎，哪里代表他第一列啊？你想象一下你这个人啊，站到了左边去看，这里是代表他的第一列，对吧？第一列，如果你看到了两个，说明这呢？哎，要给我改成二了，一个就不够了。好， 第二列呢，你是看到了三个，第二列是这里看到的，你在这如果想看到三个的话，说明什么呀？说明至少啊，这上边要么是这个，要么是这个，得是有三个小立方体， 对不对？所以这里二选一就可以了，因为咱们本身问的就是最小，好吧，你随便选一个，比如选它 是三个，好吧，然后接下来呢，我们的这个第三列你看到了一个，那么第三列呢，就是我人站到了这，刚刚好有一个，哎，这一个就能够帮我把左视图的这个确定好了，所以我们最小的情况就是他了啊，二加三，再加上一二三四， 答案就是九，这是我们最小值，是九个。如果老师给你变形一下，你能不能告诉我 m 的 最大值，好，最大值是多少？大家可以在弹幕里面啊，去把你的答案写出来。 怎么去求它的最大值啊？最大值呢？就是我现在，哎，不选择其中一个摆三个了，我让啊，这两列啊，都摆上三个，并不影响我的左视图吧，也没有影响你的俯视图吧，对吧？啊，所以我们现在在九的基础之上呢，又增加了两个，所以它最大值呢？是十一， 你学会了吗？好的，同学们，谁又在这种关于概念变式类的题上面给我做错了， 说的是不是你啊？今天老师呢，把这里线与角这常考到的啊，概念辨析类都给大家总结到这里了，我们一起来学习一下，期末拿掉啊，学会这三分，我们来看啊。现在呢，给了大家十种说法，关于线和角的一一去分析， 圈一过两点，有且只有一条直线没问题，对吧？两点就是确定一条直线，所以圈一是对的。 好，第二个，第二个非常非常高频考啊，你今天一定一定要记住，它说连接两点的线段叫做两点之间的距离，比如说，老师，看着没毛病呀，你来分析一下啊，这什么意思呀？说你连的这条线段叫什么呀？叫距离， 是线段叫距离吗？你距离应该说咱俩离多远，对不对？所以你应该说线段的长度啊，一定注意啊，这个，这原话说的是这个线段的长度 叫做距离啊，你说这条线段有五厘米长，代表这两个点呢？距离是五厘米，明白了吧？啊，这个一定要记住了，那么圈三两点之间线段最短没问题，这也是刚才给大家讲过的基本的原理啊。圈四在线段射线直线当中直线最长， 这是不是我说的刚才你总结的那个长度问题啊？注意，直线跟射线，你能用长度去度量我吗？ 啊？换句话，你能用多长多长就能限制住我吗？你并不能，我的长度是可以无限延长的 好不好？所以你进行长度比较的时候不能去比啊，因为它长度就是无限延长，你没法度量出来，你怎么去比较呢？所以圈字不对啊，因为射线跟直线啊，他你都不要去谈长度的概念了，他们都无限延长， 记住这一点好，那么五跟六是一样的啊，说画直线 ab 等于三厘米，你能给我画出一条直线是多长吗？你画不出来啊？好吧，一定注意，这是错的啊，我们 直线的长度是无限延长的，那它不可以被度量的，你能说画一条线段是三厘米啊？好，圈六延长直线 o a 来这条直线，还记得老师刚才讲过的吗？ 它有没有延长线？它有没有反向延长线？它木有啊，因为本身人家就是无限延长的，所以圈六也不对，圈七两条射线组成的图形是角。哎呦，我说老师没毛病啊，这不是两条射线 o a 和 o b 吗？ 你这个画的是对的，我们的定义是什么呀？我们定义是指的有公共端点的两条射线，对吧？你看，我随便给你画一条射线，这叫 o a， 这画一条射线叫做 b c， 他能组成角吗？显然不能啊，所以指的是有公共端点的两条射线组成图形，叫做角啊，加上公共端点来。第八个，说，角的大小呀，与边的长短是有关系的，有吗？ 换句话讲，这个还怎么去考？还去考你？我拿着一个放大镜，我去观察这个角，哎，这个角就被我放大了，对吗？一定注意。不对，它跟角的长短没有关系 啊，我脚的大脚跟我脚的扩张有关系。我很快给大家举一个反例，比如说呢？来，我们第八个的反例举到这。我说呀，我这里两条射线，你看现在呢，这个脚呢，大概扩张的是这个样子，对吧？我再把这个边啊给你写长一点。 这里还有个角叫做角，也是 a o b， 明显哪个角大呀？是不是我上面画的这个角一比下面这个角二更大一些，对吧？跟长短并没有关系。而且呀，我们说这个角的啊，角的一边是什么呀？是一条射线，它本身就是无限延长的呀， 对吧？跟长短并没有关系啊。来第九个，因为平角的两边组成了一条直线，所以一条直线就可以看成一个平角，有人又觉得没毛病了，这不就是吗？ 对吗？一定注意。不对，你怎么能把两个概念给我混为一谈呢？啊？这个概念叫做线，这个概念叫做角，线能变成角呀，啊？角能变成线呀，不对的啊，你只是你的眼睛看着像啊，为什么像呢？因为我说呢， 比如说老师画的这是一条直线，而角是什么呀？角是有公共端点的两条射线啊，所以我这里点个点叫做 o 啊，这里呢，有一条射线，叫做 o a， 这里有一条射线啊，叫做 o b， 只不过这两条射线呢，哎，互为反向延长线了。所以啊，我们刚好构成了一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，是不是同一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，说周角是一条射线，同理， 角跟线就不是一回事好不好啊，不能做一些对比啊。所以我们现在正确的只有圈一和圈三啊，只有两个，这道题选我们的 a 选项，好吧，你学会了吗？ 好，关于我们线与角这里的一种难点问题啊，就是我们的一个技术问题啊，小朋友们就记不明白了，没有方法。今天老师教给大家一个招，叫做什么呀？打枪法， 哎，我们就可以很快把这种技术问题呢搞懂。我们来看啊，铁路上的火车票啊，是根据两站距离的远近而设定的， 距离越远票价越高啊，符合我们的常识。那如图呢，这就是一条这个火车线路图， a、 b、 c、 d、 e 呢？是五个火车站。而且告诉我呢，每两站间的距离呀，都不一样 啊。问，这段铁路上一共有多少种不同的票价，票价是怎么规定的呀？人家说了，票价是根据我们这个两站之间的距离，那你就要看一看啊，每两站之间有多少种不同的距离，是不是就有多少种不同的票价， 那每两点之间的距离都不一样。所以这个题最终就被我转化成问啊，有多少条线段，就有多少种不同的距离，也就是多少种不同的票价了，对吧？其实这就是数线段问题啊。那么数线段问题呢？你看一看，我们现在是一二三四五， 有这样的五个点，怎么样去打枪呢？你想象一下，你站在这里啊，这每个点上的都有只小鸟，你去打他啊，你可以怎么打到你？首先二，这你是不是能打到一只小鸟，这里又打到一只，这里打到一只，这里打到一只，也就剩下的这四个点，你都会被打到一只小鸟，那一共是不是四只 啊？所以从 a 出发的 a、 b， a， c， a， d， a， e 啊，就是咱的四条线段啊。同理啊，你把枪放在这儿继续打小鸟啊，剩下的三个点都能被我打到， 然后呢？把枪放到这里是两条，然后把枪放到这，只能打到一这里一只小鸟了，加到一起呢，就是我们的十啊，所以我们数线段问题呢，十种不同的线段就对应十种不同的距离，也就是十种不同的票价。好，那么这题还没完啊，老师快速给大家来一个辨识。 现在呢，还有一种问法，不是问你票价了，而是问你车票， 我问你现在有多少种不同的车票？什么叫车票呀？大家都坐过车吧啊？车票上会写什么呀？会写你的这个出发地是哪里？你的目的地是哪里，对吧？比如说你从 a 出发，你要去 b， 那 你的车票呢？可能写的是 a 杠 b， 那反过来讲，你如果说，哎，从 b 出发，再回到 a 呢？那你的车票上写的是什么？是 b 杠 a？ 你 思考一下，这两种车票长得一样吗？ 长得一样吗？比如说我们从北京到上海，车票长的是啊，应该写的北京杠上海， 对吧？你从上海回北京呢？那应该是上海 to 北京两种不同的车票啊。所以我们如果给你改成车票问题了，你把这个线段数完呀，还没有完还得干什么？还得给他 double 一下，给他乘以二啊。因为 线段 a b 和线段 b a 你 在数线段的时候认为是同一条，但是我现在在这个描述票价的时候，它就不是一条了。 a 杠 b 和 b 杠 a 票价啊，这个，这个车票是两个。好吧，所以我们现在车票问题呢，就改成有二十张不同的车票了啊，这种问题你彻底学会了吗？ 好，今天给大家分享一道期末必考题，关于我们线段的计算问题啊，这种问题呢，一旦看到我们的题干之后，立刻想到我教你的题眼方法啊，怎么去做？说，点 c 是 线段 a c 的 什么中点？ e 是 线段 ab 的 中点，那我们来看一看啊，条件，在图上标一标 d， 如果是中点，说明这两条线段啊是相等的，然后我们的 e 呢，是 ab 的 中点 啊， e 是 ab 的 中点，说明我们的 ae 和我们的 b e 也是相等的。如果告诉咱， a c 比上 bc 等于什么呀？等于二比三啊，我这里写成二份，这里是三份。 好，一旦在看到这种问题，就是我教你的啊，解决的体验叫做什么呢？记住我们的大招啊，看到这种笔直赶紧给我干嘛？射出来 见比射参，射出来参数怎么去？射两份你就射成二 x， 三份就射成三 x。 好 吧，记住咱们的大招叫做见比射参，然后已知 c e 长的是十二。接下来让我们去求 d e 的 长度啊，求 d e 是 多长，这种问题怎么办啊？我们来教教大家解， 看到比值呢，我们来进行射啊，射 a c 长为二 x， 那 么所以我们的 bc 长就是什么呀，就是我们的三 x， 那 现在整个线段 ab 长，你是不是会表示了，对吧？所以我们的 ab 长就是等于 ac 加 bc， 二 x 加上我们的三 x 就是 五 x。 好 了，有了总长，你的终点啊，它分的一半的线段就都可以表示了，对吧？来，因为啊， d 是 线段 ac 的 终点，我就不抄了。 然后呢，又告诉咱们， e 是 线段 a b 的 中点。好吧，大家把这句话抄下来，有了中点之后呢，我们就可以来表示一半了啊， a d 就 会等于我们的 c d 等于啥？等于二分之一的 a c， 因为 a c 是 两个 x 啊，它的一半呢啊，就是一个 x， 同样的 a e 就 会等于 b e 的 一半，因为 ab 是 五个 x 呀，它的一半就是二分之五 x。 好吧，你看看啊，这里是 x x， 然后呢啊，这里是二分之五 x， 那 你已知的这个十二是不是可以用含 x 代数式来表示了？这样不就列出来方程了吗？对吧？因为 c e 啊， c e 啊，咱们知道是等于 a e 减 ac 的， 看图啊， 那等于什么？ a e 是 我们的二分之二 x， 那 减完是二分之一 x g 是不是得到我们的二分之一 x， 就是 这个十二，所以 x 求出来是二十四 x 求完还没完，人家让你求的线段 d e 的 长，那我们来看一下 d e 呢，是不是我们的 a e 减去 a d， 对 吧？所以最后我们要求的这个 d e 长呀， 就是 a e 减去我们的 a d， a e 呢，是咱的二分之五 x， 不 用着急算出来啊。 a d 呢，是我们的 x， 所以 是二分之三 x， 那 也就等于二分之三乘以我们的二十四， 约分十二乘以三三十六，所以我们的最后答案的定义呢，就是三十六啊。今天教你比较好的方法就是见笔设参，一旦在线段计算或者后面我们要的角度计算问题， 看到笔直之后，把我们这个分数给我设出来，就很快能解决了。好，这个题大家学会了，接下来先不要走，再来教你个更厉害的大招。这还是我们的什么问题啊，这个问题也有特征，什么呀？终点，终点，这叫什么呀？这是咱们的 双中点问题，双中点还有双角平行线，一定是我们线与角这一张期末必考的题，有非常好的大招让大家去学习啊！请记住老师四个大字叫做去重留半， 什么意思啊？后面再看到我们双中点问题，你就看一看 d 是 不是 ac 的 中点，把 ac 给我写在这， e 是 不是 ab 的 中点，你把 ab 给我写在这儿，接下来干什么？去重留半，你把重复的字母给我去掉。 哎，剩下留下了谁？留下了 b 和 c， 所以 留下的呢？取一半啊，就是二分之一的 bc， 这就代表我们双中点组成的线段长，因为 d e 是 这俩双中点，说明 d e 长呢，就会等于去重留半。哎， d e 就 等于二分之一的 b c， 超级好用这个大招，那接下来我们来验证一下。我们来看 bc 呢，是咱们设的三 x， 你 看二分之一乘以三 x， 不 就是二分之三 x 吗？在这呢对不对？所以这个结论一定成立啊！后面再看到两个啊，终点问题，如果这两条线段有公共的字母， 直接把公共字母去掉，留下的这两个字母取一半，就是两个终点之间的一个距离啊，你学会这个大招了吗？ 来分享一道我们的期末易错题，叫做我们的双中点问题。什么叫双中点问题啊？当我们后面看到啊，给你描述两个点，比如说 e、 f 是 按某两条线段的什么中点，这不就出现两个中点了吗？顾名思义，双中点问题。 还记得刚刚给大家分享的双终点问题的解析大招吗？请给我打四个字，叫什么？去重留伴，这个大招非常好用，一定要学会了。什么叫去重留伴啊？我们现在呢，因为 e 呀，是 a c 的 终点，你把 a c 给我写在这， f 呢，是 bc 的 中点，你把 bc 给我写在这，然后把重复的字母呢去掉，只留下谁了，只留下我们的 a b 了。所以现在啊，就能得到我们双中点之间的距离，就等于留下的一半，就是二分之一的 a b。 这题就已经做对一半啊，双中点问题很快啊，节省我们的时间，叫做两个中点之间的距离，就等于去重留半。好，既然等于二分之一 a b 了，那我们只需要算算 a b 是 多少， e f 是 几，就可以做出来了。 我们来看啊，现在告诉我的是点 c 啊，在直线 a b 上来，大家读题一定要会读关键词，把直线请给我赶紧勾出来， 在直线 a b 上，如果 a、 c 是 四厘米， b， c 是 六厘米啊，那我们就通过这两条线段长，你是不是得帮我确定一下 a b 长呀，一旦有了 a b 长， e f 不 就搞定了吗？那我们啊，画一下图试一试 这个问题呢，他是没给你画图的，对吧？所以接下来还记住老师教大家的一句话，在你的这个初中几何问题里面，给你的几何题没有画图，那百分之九十五以上都是要干嘛？分类讨论的，所以记住四个字，叫做无图有坑 就等着你往坑里跳呢啊，一定注意，没给大家图的大概率都是要进行分类讨论的，而且呢，也跟我们是一样，跟我们直线，这印证了，对吧？他并没有在线段上去限制你，而是在直线上限制这个让你自由的啊，去发挥，找那些点去让我们画一下图啊。说 a c 等于四， 先随便画吧，反正在这 a b 上呢， a c 是 个四厘米，对吧？ b c 呢是个六厘米。哎，你在找 b 的 时候，我现在好像就找到了不止一种 b 了， 为什么呢？因为我现在啊，可以在哎右边找一个 b， 让这是四厘米，这一边这是那个 b， c 是 六厘米，是不是也是可以的，对吧？所以用这样的两种情况，在这两种情况下，咱们要求的谁啊？先求 ab， 那 这个 ab 呢，就是四加六啊，是十厘米， 那么这个 ab 呢，是六减四啊，就是我们的二厘米，好吧，一个十，一个二，然后接下来我们去重留，什么留半呀，所以结果就是十二的啊，一半十的，一半是五，二的一半是一，所以这题选我们的四 d 选项 做出来啊，就会非常快了，请记住四个字，再来一遍，去重留伴，你学会了吗？好，继续啊，给大家分享一道我们的双角平行线问题，跟我们的双中点问题的解决方法是同理的，记住我的四个大字，大招叫什么啊？去重留伴啊，我们一起来看。 现在又告诉我，这个 o、 d、 o e 分 别是什么呀？分别是两个角的角平分线，对吧？所以你直接把这个角 a、 o c 写下来，把这个角 b、 o c 写下来，把重复的射线 o c 给我勾掉，就是剩下的这个角的一半，剩下了 a 跟 b。 那 你看你的 o a 跟 o b 组成谁啊？这是不是就组成我的角 a o b 了？好吧，用老师的结论啊，那现在两条角平分线组成的这个角 d、 o e 就是等于去重留半啊，就是等于二分之一的角 a、 o b。 有 了这个结论，简直不要太爽了啊，因为结论可以直接秒了，因为人家告诉你角 d、 o e 呢，是六十四度， 求谁啊？求这个角 a o b， 那 么 a o b 不 就是它的二倍吗？对吧？二倍一百二十八度，太简单了 好吧，啊，通过这个视频呢，老师给大家快速的证一下，为什么啊？会去重留半？我们来看啊，因为 o、 d、 o e 分 别是角平分线，如果是角平分线的话啊，那么这两个角相等，比如说我们都标为阿尔法，那如果 o d 是 我们的这个角平分线的话，这两个角相等，我们都标为贝塔。 好的，你看整个大的 a、 o b 是 不是两个阿尔法加上两个 beta 呀，对吧？哎，小的角 d、 o e 呢， 是不是一个阿尔法加上一个 beta 呀？所以它们之间一定会有一个角 d o e 等于角 a、 o b 的 一半啊，这是我们去重留半就是这样来的， 所以后面但凡在看到了双中点问题，还是双角平行线问题，直接把这两个线段或这两个角拿出来重复的勾掉啊，然后剩下的留一半，简称去重留半，你学会了吗？

今天我们来讲七年级期末必考题双角平分线模型。讲题之前呢，先来分享一套期末押题卷，包含各个版本，可以拿来期末练习， 并且都配有详细的答案解析，需要的可以拿去练习。好，我们来看题。已知角 aob 是 八十度，角 boc 是 五十度，出现了两条角平分线，一个是 o m， 一个是 o n， 那 么平分的是角 aob 和角 boc。 问我们这个角 m o n 的 度数是谁？那么如果你学过双角平分线模型，知道它的原理呢？我们可以直接去看要求的这个是不是前面这两条角平分线之间的夹角 o m o n 夹角呢？正好是个角 m o n， 那 要去求这两条角平分线夹角，你只需要去找这两条角平分线所平分的那两个角 a o b 和角 b o c， 那么 a o b 给了是八十度， b o c 呢？给了是五十度。那这个题是不是没有给我们画图，所以肯定涉及到了分类讨论。那么我们知道角 a o b 如果是这个样子的，那 b o c， 我 可以把 o c 画在它的下面，也可以把 o c 画在它的上面，那么都可以构成一个角 b o c 是 五十度。 如果是在下面的时候，那么 a o b 这个角和 b o c 这个角，它们是位于 o b 这条公共边的两侧。 这个时候我们用加法，那么用给的八十度和五十度相加，去除以二，得到六十五度，这就是这个时候角 m o n 的 度数。 那如果是上面这个是你的 o c 呢？那么这个时候你会发现角 a o b 在 这里， 角 b o c 呢在这里，这两个角它是位于 o b 这条线的同一侧，既然是同一侧，我们做减法，用八十度和五十度去做差八十度减五十度除以二，得到的是十五度。 所以这个题的答案我们可以迅速的得到是六十五度或者十五度。所以像这种题目，如果你知道双角平分线模型，并且懂得这个模型的原理，我们是可以迅速的得出答案的。关注小梦，每天带你进步！

动脚小妙招，期末多得二十分！咱们今天的小妙招是一招搞定平角凸变，一起来看！ 给出一个角 a o b， a o b 为六十度，这里的射线 o p 和 o q 是 两条动射线，其中 o p 从 o a 出发，绕 o 点，沿顺时针方向每秒六度进行旋转。同时呢，动射线 o q 从 o b 出发，绕 o 点，沿逆时针方向每秒十度进行旋转， 旋转时间都是零到二十四秒。题目问，经过多长时间，角 a o q 等于二倍的角 p o q。 动点与动角问题一定是初一数学必考重难点，薇薇老师已经把线段动点求定值、动角有关计算问题、三角本中角度动态问题、角平分线的有关计算以及角 n 等分线的有关计算等九大题型，结合名校真题， 优中选优，为大家整理了动点与动脚经典必刷题型。看完这个视频，再拿去给孩子练习，练完考试直接拿满分！需要的家长我发您一份！ 动脚问题之所以复杂，就在于它需要分类讨论，而分类讨论的核心思想就是平角凸变，也就是说，我们需要去判断一个角是否会超过一百八十度，那一百八十度就是一个角的临界点。当一个角超过了一百八十度，我们该如何表示他呢？ 我们可以把动角问题转化为我们熟悉的数轴上的动点问题，那动角问题就类似于数轴动点里边的两点之间的距离问题。一起来看。给出一条射线 o a， o a 对 应着 n 度， 我们可以选择逆时针方向为正方向，这个时候，动射线 o b 从 o a 出发，绕 o 点，沿逆时针方向旋转， o b 对 应着 m 度， 当旋转角不超过一百八十度的时候，这个角 aob 呢，我们可以把它看成是射线 oa 和 ob 之间的距离，那距离直接用大减小来表示，也就是 m 度减 n 度，因此叫 aob， 我 们把它表示为 m 度减 n 度。 当我们的动射线 o b 从 o a 出发，绕 o 点，沿逆时针方向继续旋转，哎，当 o b 旋转到了超过一百八十度的时候， 这个时候呢，我们的 o b 仍然对应着 m 度， o a 仍然对应着 n 度，很明显， o b 比 o a 大， 那这个时候我们用大减小，也就是 m 度减 n 度，它表示的是这一个 超过了一百八十度的黄色的角，而真正的角 a b 呢，指的是小于一百八十度的这一个绿色的角 来。这两个角之间有什么关系？它们合起来刚好是一个周角，也就是说它们相加等于三百六十度，那我们要求的这个角 aob 也就可以用三百六十度减去这个黄色的角， 所以角 aob， 我 们可以把它表示为三百六十度，减去 m 度，再加上 n 度。 所以呢，我们来总结一下，当一个角不超过一百八十度的时候，我们直接用大减小来表示，如果不清楚大小关系，就可以引入绝对值。 那当一个角超过了一百八十度，这个时候，我们就需要用三百六十度减去这一个超过了一百八十度的大角，来表示我们真正需要的这个角。有了这一个知识储备呢。来，我们回到刚才的问题当中， 哎，这是一道典型的动角问题，那我们就可以采用动角三步法，按以下三个步骤来完成。第一步表示动射线，这就需要我们去找一个初矢位置， 我们可以选择 o b 为初矢位置， o b 对 应着零度，然后呢，选择逆时针方向为正方向，所以 o a 就 在 o b 的 逆时针方向六十度，因此 o a 对 应着六十， 这样我们就表示出了这两条定色线。接下来我们来表示 o q 和 o p 这两条动色线。 o q 从 o b 出发，处死位置为零，沿逆时针方向，也就是正方向作加法，速度为十，时间为 t， 因此 o q 零加十 t， 也就是十 t。 接下来表示我们的动色线 o p o p， 它是从 o a 出发的，出发位置为六十，沿顺时针方向，也就是负方向作减法， 速度为六，时间为 t， 因此 o p 就 表示为六十减六 t。 这样我们就完成了第一步表示出了动色线，第二步表示动角。先来看问题，问题中给出了两个目标，角角 a o q 和角 p o q。 我 们先来表示角 a o q， 角 a o q 呢，它就表示射线 o a 和 o q 之间的距离，那我们需要去判断这个角是否会超过一百八十度。首先 o a， 它是一条定色线，而 o q 呢，它是从 o b 出发的， o q 从 o b 出发，绕 o 点沿逆时针方向旋转，当它旋转到 o a 的 反向延长线的时候，这个时候角 a o q 也就是一百八十度了，它们共线了那 o q 的 旋转角，也就是一百八十度加六十度，二百四十度，它需要的时间 速度为十，我们用二百四除以十，也就是二十四秒。哎，题目中给出来的运动时间是小于二十四的，所以呢，角 a o q 不 可能达到一百八十度，那这个时候我们就 直接可以用大减小来表示 o q 从 o b 出发，零出发，刚开始肯定比 o a 小， 但是呢， o q 它会沿逆时针方向运动，它会到达 o a 并且反超出去，因此它俩之间的大小关系是不清楚的。这个时候我们就可以无脑作差加绝对值来表示， 我们可以用 o a 的 六十减去 o q 的 十 t， 再加绝对值来表示我们的角 a o q 表示除了第一个角，接下来我们来表示第二个角，那就是我们的角 p o q p o q 表示的是射线 o p 和 o q 之间的距离。同样的，我们需要去判断角 p o q 会不会超过一百八十度呢？ 这里的 o p 和 o q 是 两条动色线，什么情况下它们会达到一百八呢？也就是它们的临界状态，那就是当它们共线的时候，我们的 o q 它是从 o b 出发的，绕 o 点沿逆时针方向旋转。 而 o p 呢，它是从 o a 出发的，绕 o 点沿顺时针方向旋转。当它们共线的时候，哎，也就是这个时候， 它们就刚好是一百八十度。那我们来看 o q 的 旋转角，它从 o b 出发，旋转角就是这一个黄色的角。我们的 o p 的 旋转角，它从 o a 出发，旋转角就是这一个绿色的角。它们的旋转角之合刚好是一百八十度加上六十度，哎，因为六十度重合了，也就是二百四十度，那需要多长时间呢？ 我们用角度之合除以速度之合，也就是除以十六，类似于我们的相遇问题，二百四十除以十六等于十五秒， 十五秒就是他们的临界时间。再来看，题目中给出来的时间范围是零到二十四，这个时候我们就需要请出时间轴， 我们的运动时间是从零开始到二十四秒结束，在这之间呢，我们需要给它插入临界点，十五秒，很明显哎，这个临界点就把时间轴给分成了两段，因此我们的脚 p u q 需要分两段来表示。首先是第一段，零到十五秒， 当我们的时间 t 大 于零小于等于十五的时候，这个时候角 p u q 它没有超过一百八十度，我们直接可用大减小来表示。我们来看初死状态， 它们相距六十度， o p 沿顺时针方向运动， o q 沿逆时针方向运动，就相于相当于它们在做相遇运动，它们会慢慢地相遇，然后再相离。因此它俩的大小关系呢，是不确定的。我们仍然需要引入绝对值，直接用 o p 和 o q 无脑作差，那就是十 t 减去六十，再加上六 t， 也就等于十六 t 减六十，十六 t 减六十，再 十六 t 减六十，再给它加上绝对值，这就是我们的第一段。接下来表示第二段时间， t 在 十五到二十四之间， t 大 于十五，小于二十四，这个时候我们的 o p 和 o q 继续旋转， o 扣从 o b 出发，绕 o 点沿逆时针方向旋转，这是我们的 o 扣。同时呢， o p 从 o a 出发，绕 o 点沿顺时针方向，哎， 这就是我们的 o p。 那 很明显， o c 在 o b 的 逆时针方向， o p 在 o b 的 顺时针方向，那么 o c 就 比 o p 大， 那这个时候我我们用大减小，也就是 o c 减 o p， 也就是十 t 减去 六十减六 t， 化简后等于十六 t 减六十大减小，它表示的是这一个大于一百八十度的黄色的角，哎， 跟他们的哎运动路程有关系。而真正的角 p o q 呢，它表示的是这个绿色的小于一百八十度的角。根据刚才的讲解，我们知道这个绿色的角应该用三百六十度减去这个黄色的大于一百八十度的角，那就用三百六十度减去我们的十六 t， 再加上六十来表示也就是四百二减去十六 t， 这个时候我们的角 p u q 也就等于四百二减十六 t， 哎，现在我们就完成了第二步，表示动角来到我们的第三步列方程， 哎，因为我们的动角呢，角 pi 扣呢，分成了两部分，那我们的方程肯定也要分两段来表示，第一段时间 t 大 于零小于等于十五来列方程。根据题目中给出来的这个等量关系列方程， 角 a o 扣，也就是六十减十 t 的 绝对值等于二倍的角 pi 扣，这个时候角 pi 扣是十六 t 减六十的绝对值。本式两边同时缩小两倍，那就是三十减五 t 的 绝对值等于十六 t 减六十的绝对值。去掉绝对值，把它转化为两个一般方程， 三十减五 t 等于十六 t 减六十，或者呢，三十减五 t 等于六十减十六 t， 分 别解这两个方程一项，这样就可以得到二十一 t 等于九十，哎，那么 t 就 等于七分之三十。 ok， 解第二个方程一项，可以得到十一 t 等于三十，因此 t 就 等于十一分之三十，所以得到了这样两个解， ok， 一个减为 t 等于七分之三十，一个减为 t 等于十一分之三十。还要判断他们是不是都在零到十五这个范围内，很明显都是满足要求的，因此这两个答案都是成立的。 接下来我们来看第二段时间， t 大 于十五，小于二十四，这个时候我们角 l 扣等于二倍的角 p u 扣，角 l 扣始终都是六十减十 t 的 绝对值， 但是我们的角 p u 它在第二段对应的是四百二减十六 t， 哎，同样的等式，两端同时给它缩小两倍，那就是三十减去五， t 的 绝对值等于四百二减十六 t 去掉绝对值，仍然把它转化为两个一般方程，三十减五， t 等于四百二减十六 t， 或者呢，三十减五， t 等于十六， t 减四百二。分别解这两个方程，一项可以得到十一， t 等于 三百九， ok， 因此 t 等于十一分之三百九。解第二个方程，一项可以得到二十一， t 等于 二十一， t 等于四百五， ok， 算一下， t 等于七分之一百五。同样的，这一个绝对值方程，我们也有两个解，把这两个解写出来，一个解为 t 等于 十一分之三百九，还有一个解呢， t 等于七分之一百五。最后，一定不要忘了判断这个解是否在 十五到二十四这个范围内，很明显，十一分之三百九，他已经超过了三十，哎，不满足我们的要求，应该要舍去七分之一百五，刚好在这个范围内， ok， 所以 中上可以看出这道题有三个答案，嗯，那分别为七分之三十， 十一分之三十，还有七分之一百五。 ok， 像这种平角凸变的问题，同学们，你们学会了吗？关注微微老师，学习如此简单。

期末考试数学想得满分的同学，赶紧把这条视频收藏起来，学会这三步法，冻脚的分类讨论，轻松拿捏！冻脚是期几何学习的难点，也是期末考试必考的考点，冻脚它难在分类讨论， 今天我就想教大家一招，拆分定类三步法，轻松解决冻脚的分类讨论。好冻脚的分类讨论主要是因为两种原因引发的， 分为两大类，动角分类的两大成因，第一类是菱角凸变，第二类是平角凸变。什么是菱角凸变？我举个例子叫 oab 阿尔法 o c 从 oa 出发，绕 a 点再运动。 好，那你看 oc 在 oa 上方的时候， boc 是 用阿尔法减去 oac， 当 o c 在 o b 下方的时候， b o c 却是 o a c 即减 o a b， 这就是菱角凸变。我们再来看什么叫平角凸变，平角凸变，你看当 o c 还与 o a 没有超过一百八的时候，它的度数就是速度，乘时间超过一百八的时候就是三百六，减去 o c 运动的角度， 这就叫平角凸变。那动角的分类讨论就是因为菱角凸变和平角凸变造成的。 如果在菱角凸变和平角凸变的基础上，再加上角平分线，就会让动角问题变得异常复杂，这也就是大家最头疼的地方。那我今天教大家的拆分定类三步法，就可以解决凸变加 角平分线这类复杂动角问题的分类讨论。拆分定类三步法，它分三步，第一步是拆分定类。什么叫拆分定类？就是一条一条角平分线的看， 拿出一条角平分线看一下是因为菱角凸变还是因为平角凸变，在那其他的角平分线一一的去研究它是因为菱角凸变还是因为平角凸变造成的分类讨论，最后再来整合一下，看看总共形成几种不同的情况。 好，第二步，提对标角法提对标角法，如果你还不知道，你可以看我上条视频提对标角法，可以轻松的将角度的逻辑关系梳理出来。 第三步就是稳步计算，算出最终答案，拿得满分。好，下面我拿到立体来展示一下拆分定类三步法。角 c o d 是 贝塔。 当 c o d 旋转到 a o b 外部的时候， o m 是 a o c 的 角平分线， o n 是 b o d 的 角平分线。让我们求 m o n 的 度数， m o n 用阿尔法贝塔来表示。 这道题没有写如图，虽然给我们画了一个图，但根据提议我们会发现它有不同的情况，那我们就根据提议来做，而不是只看他给的这个图，避免掉到坑里面。 好，那接下来咱们用拆分定类三步法来把情况确定下来。我们先拆分，先看 o m 这条角平分线， o m 这条角平分线是 a o c 的 角平分线，那么 o c 与 o a 就 会因为平角凸变而形成分类讨论，就是 a o c 他没有超过一百八， o m 在 o a 的 右侧， oc 超过一百八， o m 这个角平分就跑到了 a o 的 左侧， o n 是 b， o d 的 角平分线，当 b o d 没有超过一百八的时候， o n 在 o b 的 下方，当 b o d 超过一百八的时候， o n 在 b d 的 上方。 所以 o n 是 o d 与 o b 平角凸变引发的分类讨论整合到一起，就会分三种情况，第一种情况， o m 在 o a 的 右侧， o n 在 o b 的 下方。 第一种情况，都没有图片。第二种情况， o m 在 o a 的 左侧， o n 在 ob 的 下方，也就是 o c 与 o a 形成了平和图片，引发 o m 发生位置的变化。第三种情况， o m 在 o a 的 左侧， o n 在 o b 的 上方，比如说 o d， 它与 o b 形成了平角图面， o n 的 角平面。翻到上面，我把这三种情况的图一一的给大家画出来， 我们把这三种情况的图一一给大家画出来。第一种情况，不用画了。第二种情况， o c 与 o a 度数超过了一百八， 而 o d 与 o b 还没有超过一百八这个位置， a o b r 法 c o d 贝塔， o m 这个角平分线 跑到了 o v 的 左侧， o n 还在 o b 的 下方。第二种情况，好，你用梯队标章法可以把 m， o d 的 度数给算出来，那我给大家展示一下，你看，当你设 b， o c 为 x 减倍塔 a， o d。 好，你再一一的来看， o m 是 角， a， o c 的 角平分线， a， o c 是 三百六，减去阿尔法加 x， 那 它角平分线你也可以算出来。算出来之后，你可以求出 c， o m 的 度数和 o m 的 度数。 好，那么接下来你再看， o n 是 b， o d 的 角平分线，所以 b， o n 和 d o n 它的代数你可以算出来，是二分之倍，它加 x， 这个时候你可以用， 所以呢， cod 减去被打得到 cod， 加上你刚才算出来 cod， 就 可以求出 m 的 度数。这 t 的 表达法求解梳理逻辑关系，非常轻松。第二种情况，画出来了，也算出来了，好。第三种情况， o d 与 o b 形成了平角凸边，就 o d 跑到了 o b 的 上方，那此时 a、 o c 的 角平分线还在这里，不过 b、 o d 的 角平分线 好，此时你还用提对标法就可以整理出 m n 的 度数了。好，我就不再用提对标法，就给大家展示了。 好，那这个就是拆分定类三步法，轻松的解决动角的分类讨论。好，期末考试数学想得满分的同学，赶紧把这条视频收藏起来， 学会这三步法动脚的分类讨论，轻松拿捏。还有什么问题想问的可以在评论区里留言。

这道题一旦考出来，我敢说百分之九十五以上的孩子都拿不到分来，同学们，今天我们一起来看到初一期末关于角度动态问题的天花板级别难度大题、亚洲题。好吧，来，我们先来一起读下题。 哎，题目是这样说的，他说，角 c， o d 呢？这个角等于二十度啊！ b o c 呢？这个角等于 八十度？好，接下来告诉我们两个角，平分线 o m 平分角 a， o b， 所以 这两个小角呢，应该是相等的，同时呢， o n 又平分角 b， o d， 那 这两个大角也是相等的。 好，接下来，哎，告诉我们， o d 以速度为六顺时针旋转一周来， o d 从这出发，以速度为六顺时针旋转一周。好，同时角 b， o c 以速度为四顺时针旋转， b， o c 旋转，那就是 o c 和 o b 这两边同时旋转啊，都以速度为四顺时针旋转好，当我们的 o c 这个边和 o a 这个边 重合的时候，对吧？那这个角度呢？停止旋转好，题目问的是当时间 t 等于多少？哎，我们这两个角平分线的夹角呢？正好哎，它应该等于 三十五度。徐老师已经把角度和线段动态问题所有题型，包括单边旋转问题、 双边旋转问题、三角形旋转问题、双动点问题、动点和定点位置凸变问题等考试必考题型，再结合往年考试真题，优中选优，整理成了角度和线段动态问题八大题型，练完考试直接拿满分，需要的家长我发您一份！ 好，来，同学们，哎，我们一起来分析一下哈！首先呢，我们把题目当中的已知条件在图上给它标示出来来，他说角 c o d 这个角等于二十度，角 b o c 呢，等于八十度， 好，然后呢，两个角平分线，第一个 o m 平分角 a o b， 所以 这两个小角呢，应该是相等的，同时呢， o n 又平分角 b o d， 那 这两个大角呢，也是相等的，对吧？哎，告诉我们两条角平分线，好，接下来开始旋转了哈， 将 o d， 哎，这个边以速度为六，顺时针旋转一周。啊，顺时针以速度为六， 旋转一周。来，这一句话读完之后，我们就可以算出来， o d 这个边的什么旋转的时间上线啊，来，我们来算一下，非常好算。首先一周，那不就是三百六十度吗？那速度又为六，所以三百六除以六，它就应该是 对六十秒，好吧，好。第二个，同时将角 b、 o c 以速度为四顺时针旋转，角 b o c 这个角旋转，那不就是这两个边同时旋转吗？以速度为四顺时针旋转， 对吧？好，当我们的 o c 和 o a 重合的时候，角 b、 o c 停止旋转，同样读到这句话哈，我们也可以算出来，哎，这个边 o c 和 o b 的 旋转的时间上限，那么 o c 到 o a 这个角是二十度，那么我的旋转总路程就是一百八， 减去二十等于一百六十度，最总路程为一百六十度，那我们的时间上限就是什么？一百六去除以他的速度，四，哎，应该是四十秒。所以读到这句话哈，我们就发现这道题我们有两个临界点，四十秒， o b 和 o c 停止运动。好，六十秒， o d 停止运动。所以这道题呢，我们肯定需要什么呀？分情况去分类讨论，对吧？那到底分几种情况呢？我们来画一个什么时间轴，比如说，哎，从时间从零开始， 好，四十秒的时候，哎，我的 o b 和 o c 停止运动，对吧？六十秒的时候呢， o d 停止运动，那么六十秒之后就没有了啊，就没有了。所以呢，这道题我们应该分几种情况呢？有几段我们就应该分几种情况，第一段 零到四十，第二段四十到六十，最应该分两种情况，对吧？两种情况，好，下面呢，我们来看一下啊，如何去表示？最后呢？题目求的是当时间等于多少，哎，这两个动边所形成的动角 m o n 正好等于 三十五度，哎，我要去分析这个动角，首先我要去分析这两个角平分线是怎么动的， 对吧？哎，所以呢，我们可以把把它和我们之前学习过的数轴动点问题呢，进行一个对照学习，大家看一下啊，比如说数轴上我们有两个动点，一个是 n 点，一个是 m 点，那么我要去表示，你看这一点表示 m o n 的 夹角，哎，对比过来就是什么表示 m 和 n 的 什么，它的长度怎么去表示呢？我把这两个点用含有 c 的 代数式给它表示出来，然后用大减小就可以表示它的距离，没问题吧？如果确定不了大小，你就加一个绝对值就可以了，好好来对比我们的 啊。数轴点问题，那我们角度也是一样的，我只要把这两个边的刻度找到，用两个刻度异界，那不就是我们的夹角吗？ 没问题吧？好，来，我们怎么表示呢？首先竖轴我们有圆点，那么角度动态问题一样的，我们需要去找一个粗实边作为我们的零刻度线，那找谁呢？ 我可以找 o d， 也可以找 o a， 对 吧？因为题目当中哈，这些边都是顺时针旋转，所以如果我以 o d 为初十边为零刻度线的话哈，那么这些角呢，都是逐渐增加的，所以代数式呢，是用加法去表示，如果用 o a 表示，哎，这个角度是减小的，用减法表示 加法肯定比减法好算哎，所以呢，我们就选择用 o d 作为我们的初十边，当然 o a 也是可以做的哈，随便你选择谁都是可以的。来， o d 是 我们的零刻度线，接下来哈，我们就可以把我们的 边哎，先给它表示出来。首先你看这里面的 c、 o d 等于二十度啊，我们把它设为零刻度线，把正方向哎，我们的 顺时针即为正方向，那所以我们什么我们的逆时针就是我们的负方向。好好来，这个时候呢，我们就可以把这个，把我们的 oc 给它表示出来，角度是二十， oc 的 刻度就是 二十，因为它是零刻度吗？假角是二十度，它就是二十刻度，对吧？好，再来，那 ob 也出来了， ob 的 粗实边的刻度，这个为二十，这个为八十，那这个大角就是一百吗？他是一百，好，所以呢，他的刻度就应该是 为一半，这是初十刻度啊，它是动边，我们再来表示啊，再来表示。好，最后呢，我们说我们需要去表示这个 这两个角平分线，它的刻度，对吧？它的刻度怎么表示呢？要表示角平分线，我们怎么表示？一样的来对照一下我们竖轴中点问题，比如说这个是 a 点，这个是 b 点啊，我们要表示 ab 的 中点 c， 把这两个端点相加去除以二不就可以了吗？同样，哎，对比过来，我们的角度也是一样的，我要表示 o n 这个角平分线就相当于我们数轴里面的终点，我应该什么先去表示我们的两个端点边，一个是 o d， 一个是我们的 o b。 好， 来，我们来表示一下。 首先来， o d 是 一个动点啊， o d 是 个动点来，它怎么动的呢？哎，从我们的初十位置这个时候零刻度开始 啊，以速度为六顺时针是正方向去旋转，那就是零，再加上六七啊，那你化简一下，不就是我们的六七吗？ o d， 好 吧，好，再来那 o b 的， 哎， o b 这个法就要稍微复杂一点了哈。哎， o b 为什么要复杂一点呢？因为我刚说了哈，这里面 他要分情况，看到零到四十， o b 是 什么是在动的，那四十到六十之后的 o b 就 没有动了，只有 o d 在 动啊，他应该什么分两种情况去表示。好，第一种情况， o b 就是 t 小 于等于四十，大于等于零来， o b 怎么表示呢？他的初十刻度为一百顺时针以速度为四去旋转，那就是一百，再加上 加四 t。 好 吧，好，那么四十秒之后大于四十小于等于这里是六十，那么这个时候呢， o b 就 停止不动了，所以呢，他应该是一个 定值啊，不动了，那这个定值应该是多少呢？很好算，对吧？四十秒的时候他就停止了，所以你把七等于四十带进去，一百再加四乘以四十 就是二百六。哎，从四十到六十，它都是二百六不变啊，你看 o b 就 表示出来了，分两种情况。好，它是一个重难点啊。好，接下来，那我们的 o n 不 就出来了吗？根据我们的中点公式，这两个刻度相加除以二就是我们 o n。 好， 来， o n 怎么表示呢？一样的 哎， o n 是 由这两个边所构成的角分线，那同样 o b 有 两种情况，那你角分线肯定也是有两种情况，那范围也是一样的，分零到四十和四十到六十，对吧？好，来，第一个，细小于等于四十， 大于等于零。哎，这个时候怎么表示呢？我直接把 o d 和 o b 相加除以二就可以了，是一百再加六 t 加四 t， 十 t 除以二就是五十，再加上五 t 啊， ok， 再来第二个，第二段范围，那就是 t 小于等于六十啊，大于四十。来，这个时候我们看一下哈，那就是他和他组合了啊，他是一个定值，就是二百六，再加上六 t 去除以二啊，这是三 t， 再加上一百 一百三，你看没有？好， o n 出来了。好，接下来我再把那个我们的 o m 这个角分先表示出来，我们就可以。什么呀？找角度了。那么 o m 我们来看下 o m 怎么表示呢？一样的， o m 是 角 a， o b 的 角平分线。好， o a 和 o d 的 夹角为一百八，所以 o a 的 刻度不会变化， 它是为一百八，对吧？那么你看 o a 为一百八， o b 有 两种情况，所以同样 o m 这个角平分线呢？也应该有两种情况哈，表示下。第一个，细小于等于四十，大于等于零，哎，范围都是一样的，根据 o b 去定的。 那么这个时候呢？那应该什么用？ o a 的 一百八加上它去除以二就是二百八，再加四 t 去除以二，那就是一百四，再加上 加二 t 啊，加二 t， 好， 第二个，第二个，那么第二个范围是 t 小 于等于六十，大于四十，那么这个时候呢？哎，就应该是 这个和他组合，对吧？这两个都是定值，一百八再加二百六除以二，这个是 四百四除以二，所以他应该是二百二。哎，我们把刻度全部表示完之后呢，接下来我们就可以表示我们的角度了啊，角度出来我们就可以列方程了，那么来，我写这哈，那么这个时候我们的角 m o n 我 们就可以表示了，有几种情况呢？ m o n 就是 o n 和 om 这两个边构成的，那这两个边都分两种情况， 而且情况是一样的，范围是一样的，所以呢，这个角度表示出来呢，也应该是两种情况，零到四十，四十到六十，对吧？好，第一个来细小于等于四十， 大于等于一，那这个时候呢？哎，你看我的 o n 取它， o m 的 取它。好，关键是我们说如果能确定大小，就用大减小，确定不了加一个绝对值，那能不能定呢？到底五十加五 t 和一百四再加二 t， 谁大谁小呢？ 说。我好像定不了，一个是五 t， 一个是二 t 啊，这个又是一百四，是五十，到底谁大呢？来，你先减一减去试一试，好吧，用它去减它，去试一试啊，就是一百四再加二 t 减去五十减五系就等于九十，再减 三 t 来相减之后，这个代数式变变成了九十减三 t， 它们的共同范围是在零到四十之间，按照分析哈，在这个范围里面，零到四十之间，它到底是正的还是负的，对吧？如果它大于零， 它大它小，如果它小于零，它小它大，对吧？来，能不能判定？ 能不能判定？来，我们先去找临界点，他如果等于零的时候，九十减三， t 等于零，哎，七刚好等到等于三十，所以三十正好是我们的分界点，我们的临界点。所以你看，当 t 小 于三十，比如说我取个二十，九十减去二十乘以三， 九十减六十，哎，他是大于零的，对吧？好，当 t 大 于三十的时候呢，比如说取个四十啊，九十减去一百二，他是负的， 那所以你看这个三十正好在零到四十之间，我们这个范围，他是确定不了他到底是正的还是负的，没问题吧？确定不了哈。哎，所以呢，这里面到底谁大谁小，这个范围里面是确定不了的， 那怎么办呢？加一个绝对值，因为它可乘可负，但是我们度数呢，只能为正的，非负的吧。啊，所以呢，怎么办？加一个绝对值，九十减三， t 的 绝对值，你看这个地方选加绝对值好。好，第二个 c 小 于等于六十，大于小于等于六十， 哎，大于，这里是四十，好，这个时候呢来，那就是 o n 取它， om 取它，那这两个谁大谁小，大家看一下哈，谁大谁小？你看 t 都在四十到六十之间，我先去取它的最小值，那么它取最小， 我的 t 是 不是取最小？ t 最小，我取四十吧，来带进去。三乘以四十，再加上六十啊，再加什么？再加上一百 一百三啊？一百三，那么就说一百二，再加一百三就等于二百五十，你看没有 七取最小，这个整体的最小值都是二百五十，最小值都比二百二要大，所以它整体肯定是大于二百二的，所以这个地方我们不用加绝对值，肯定是他大 他小，对吧？就是三七，再加一百三，再减去二百二，就得到三七减去， 减去九十啊，三 t 减去九十出来了。好，接下来我们度数终于表示出来了，那我们就可以什么列方程了， 第一个是它等于三十五，第二个是它等于三十五。分两段啊，好，第一段来， t 小 于等于四十，大于等于零，那么这个时候呢，就是九十减三 t 绝对值等于三十五， 对吧？算一算，第一种情况，那就是九十减三 t 等于三十五，那移过来三 t 等于五十五， c 等于三分之五十五，可不可以来？一定要去验证一下是否在范围里面？ 可以的啊？他可以的。好，第二种情况，他等于相反数，九十减三 t 等于负的三十五，那么 t 等于几的三分之一百二十五，哎，看到没有？已经超过他了，所以他是什么不可以的？所以第一个答案三分之五十五就已经出来了啊。但是呢，我们还有第二种情况， 第二段范围。好，那我们继续算第二段范围，那就是三 t 啊，范围 t 小 于等于六十 大于四十，那就三 t 减去九十等于三十五，这是三 t 等于一百二十五， t 呢？等于三分之一百二十五，来，可不可以？这个时候范围是什么？ 大于四十的，他是可以的，所以这个三分之一百二十五不是前面这种情况，他是这种情况，他正好在范围里面，虽然前面是有，但是后面可以取，所以综上所述，应该有两个答案，三分之五十五或者三分之一百二十五。这道题你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！

你让一个十几岁的小孩，他就能够悟出有上必有下，有左必有右这样一种哲学对立思想，是不是要求稍微高了点呢？如果你的小孩在做动脚的分类讨论时，容易漏解。好，你不要急于怪他。 你听完我下面这段话，你可能会更理解他。好，我们都读过老子的道德经，里面有一句话非常著名，夫惜获之所福，老子用一生才领悟出福祸相依这样的道理。 最后他说有无相生，上下相倾这样一种哲学的对立统一。而我们动摇的讨论过程中，经常也会出现相遇前、相遇后，在里面和外面这种相对统一问题。你让一个十几岁的小孩， 他就能够悟出有上必有下，有左必有右这样一种哲学对立思想，是不是要求稍微高了点呢？孩子在分类讨论的时候容易漏解，不要急于怪他，是因为他的年龄和他的阅历还不够。 但是如果让我们的小孩用一辈子去悟出这个道理，去生活中摔打悟出这个道理呢？代价太大。所以，哎，我们就用数学题来打磨孩子的这种思想深度。 好，那在这个过程中，那家长一定得耐心啊，一定得关心，让他慢慢成长。好，那这里有一道题目，就是关于分类讨论啊，天花板级的难题。如果你哎，把这个题弄懂了，你分类讨论的能力啊，一定上一个大台阶。 好，我们来看这道题目啊，这题目假设 o a o c o d 按照顺时针方向分布，已知 c o d 的 度数是三十度， o f 为 a o d 的 三等分线，且呢靠近 o d， 我 们设 c o f 这个角为 r 法，将 c、 o、 d 绕点， o 顺时针旋转， 且 a、 o、 d 不 超过一百三十五度。如果 b、 o、 d 等于三 r 法，求 a、 o、 b 可用 r 法来表示它的函数式， 那这个题读完之后，你先不急着发蒙。好，那这道题如何把所有情况分类清楚呢？好，我就要用我们上一次讲的方法啊，叫拆分定类法， 我们看一看，拆成哪几种情况，定出哪几个类别呢？首先看 c、 o、 d 绕点， o 顺时针旋转， o、 f 又是三等分线， 那这两个一结合，我们发现啊， o c 与 o f 会发生上下位置关系的变化。为什么？你想 a、 o、 d 如果是九十度， c、 o、 d 是 三十度，哎，那么 o、 c 和 f 刚好重合， 那如果 a、 o、 d 小 于九十度的时候， o、 f 这个三等分线就小于三十度，在 o c 下方， 如果 a、 o、 d 度数超过九十度，那 c、 那 o、 f 这三等关系它就大于三十度，那它就在 o、 c 上方， o、 c、 o、 f 上下位置的变化。拆出这种情况，我们再来拆第二种，会产生分叉讨论的位置。好，那就是 b、 o、 d 的 问题。 题里面都没有画 o b 这个线，那你要去画 o b 的 时候，你会发现一个问题啊，你是 o b 画在 o d 上方的，还是画在 o d 下方的，那不都有可能吗？所以是 o b 与 o d 又会形成上下位置的变化，这两个变化呢，互相不影响， 也就是结合出四种情况啊，这就是拆分定类法。好，那么下面呢，我们把四种情况一一的画出来，每种情况我们再用提对标角法，轻松算出最后的答案。好，我们把四种情况一一的画出来。 好，呃，这个情况呢，是 o f 在 o c 上方的时候，我们来画 o b， o b 在 o d 上方，这是一种， o b 在 o d 下方， 这是两种， o f 在 o c 上方， o b 的 上， o d， o b 的 o d 上方和 o b 的 在 o d 下方，结合出了这两种情况， 好，我们再来画 o f 在 o c 下方啊，然后 o b 和 o d 各两种情况，那当 o f 在 o c 下方画 o b， 先画 o b 在 o d 下方的时候，这是 r， 这三 r 三十度，好，我们再画 o b 的 上方， t， o d 三十度， 这四种情况啊，我们画完了，那接下来要把四种情况一一算出，最后的答案就要用到 t 对 标角法，我一一来演示一下啊。第一种情况是 o f 在 o t 上方，同时 o b 也在 o d 上方，我们用 t 对 标角法一点点来看。什么叫 t 对 标角法呢？就不含角平分线，就不含三等分线的这种角 好，那我们有什么呢？有 a， o c， c， o d 好， 我们来看一下，因为题目说 of 啊，它是 a o d 的 三等分线，那我们从图上看啊， f o d 呢，是三十度加 r 法， 所以 a o f 啊，可以可以算出来，那就是两倍的三十度加 r 法。是不是？好，这个时候让你写 a o b 啊，那这个角呢？那这个角就三十度减三 r 法，再加上一个 r 法，我们就可以将 a o b 啊给它整理出来， a o b 是 a， o f 加上 f， o c， 再加上一个 c， o b， 很 神奇啊，刚好是九十度。第一种情况好，第二种情况，我们看这个 a o f 呢，还是 f o d 的 两倍，所以还是两倍的三十度加二，这个代数是没变 好，此时呢， cop 变成三十度加三阿尔法了， aob 呢，它变成了 aof， 加上 foc 加上 cob， cob 的 代数式发生变化了，变成了三十度加三阿尔法，所以最后写出来是九十度加上一个六阿尔法。 好，我们再来看第三种情况。第三种情况还是用梯度表达法梳理出逻辑关系 好。首先我们来看说 o f 是 a、 o、 d 的 三等根线，那我们我们根据这里的 a、 c、 o d 啊，是三十度， c， o f 是 r 法，可以算出 f、 o d， 它是三十度减 r 法。这是第一题对角，然后我们再用第二题对角 对分关系，把这个算出来，就是两倍的三十度减 r 法。好，那这样的咱们就可以把 a、 o、 d 啊整个算出来， a、 o、 d 就是 三十度减 r 法，再加上一个 a o b， 好，就是 a o d 加 b o d， a o d 是 三个三十度减 r 法， b o d 呢，是三个 r 法， 这算完之后也是九十度。第四种情况好，我们也是一样的，提对标角法，一点点梳理啊。首先 c、 o d 三十度， c o f 是 r 法好，那我们就可以把 f、 o d 啊给它整理出来，是三十度 减 r 法，跟刚才其实是一样的，对不对？然后我们再来写出 a o f， a o f 是 它两倍吗？那就是两倍的三十度减 r 法。那最后让我们求出 a、 o、 b 呢，我们就用 a、 o d 减去 b， o d 好， 把刚才的加法 换成减法，还是 a、 o、 d 还是三个三十度减 r 法，减去三 r 法，你就变成了九十度减六 r 法 好，这四种情况就全部算出来了。我们在解决动角的分类讨论的时候啊，采用拆分定类法， 我们头脑中要有上下相依，左右相随的这样一种对立统一思想，然后再把它拆成 两种或者多个情况一一的去这样看他。当所有情况确定下来之后，我们再用 t 对 标找法，一种一种情况的去梳理他的逻辑关系，计算出最后的答案。综上这个题综上九十度九十度加六二法或九十度减六二法。好， 那么这道题咱们就讲完了，同学们还有什么问题可以在留言区留言，我们一起来讨论交流。

来，各位家长注意了啊，七年级上册期末考试有非常重要的一张就是几何初步，这里边呢，主要分为线段和角两大模块。 呃，它其实呢，是为我们七年级下册学相交线和平形线更为复杂的几何问题打基础的 啊，期末考试的时候呢，分值占比也非常高，于是老师给同学们整理了这个几何初步、线段和角这两大专题资料，每一道题呢，都有详细的答案解析，回复几何初步拿去练习。

哈喽，亲爱的同学们大家好，今天我们一起来看期末满分打卡！第七题，角的分类讨论。这是一道初一期末考试的压轴题，他考察的是角的分类讨论。我们先来看题，已知角 aob 等于七十二度，角 aoc 等于五分之三的角 boc， 求角 aoc 的 度数为多少？ 你有没有发现这道题目是不是没有图？所以大家在做题的时候，如果碰到有题无图的类型，我们一定要进行分类讨论。 我们先来把角 a、 o b 表示出来，那在这里，有了 o a 和 o b， 那 还缺一个 o c， 那 在这里 o c 就 有三种情况，它要么在 o b 的 下方，要么在角 a、 o b 的 中间，要么在 o a 的 上方。分为这三种情况。 我们先来看，如果 o c 在 o b 的 下方， c 在 这个位置。题目中说角 a、 o c 等于五分之三的角 b o c， 那 也就是角 a、 o c 要小于角 b o c。 我 们观察图片，在这里角 a、 o c 明显是大于角 b o c 的， 那所以这种情况不行，我们要把它舍去。接着我们来分析第二种情况， oc 在 角 aob 的 内部， z 在 这个位置。题目中的已知条件，角 aoc 等于五分之三的角 boc， 那 在这里我们能得到角 aoc 比上，角 boc 就 等于三比五。如果我使角 aoc 为三 x， 那 么角 boc 就 为五 x。 我 们来标注一下，在这里，角 aoc 为 三 x， 角 b o c 为五 x， 那 第一种情况下，我们可以得到角 a o b 就 等于三 x 加五 x 为八 x。 听中说了，角 a、 o b 为七十二度，那也就是八 x 等于七十二度，可以得到 x 等于九度。 我们想要的是角 a、 o、 c 的 度数。角 a、 o、 c 在 这里为三 x， 那 也就等于三乘以九度，可以得到结果为二十七度。再来我们来看一下第二种情况。第二种情况， o c 在 o a 的 上方， c 在 这个位置，同样的，角 a、 o、 c 和角 b、 o、 c 的 度数比为三比五。在这里，角 a、 o、 c 为三 x， 角 b o、 c 为五 x， 那 么角 a、 o、 b 就 为二 x。 角 a、 o、 b 为二 x 为七十二度。我们可以得到 x， 就 为三十六度。角 a、 o、 c 同样还是三 x， 那就等于三乘以三十六度，可以得到结果为一百零八度。那所以符合条件呢？一个是二十七度，一个是一百零八度，那在这里，角 a、 o、 c 的 度数为二十七度或一百零八度。

这是一道初一期末考试的压轴题，它考察的是角的分类讨论问题。这道题目呢，确实比较难，大家仔细听说，已知角 aob 等于七十二度，角 aoc 等于五分之三，角 boc， 那 么求角 aoc 是 多少度？ 好了，各位，你有没有发现这道题目是不是没有图？所以大家在做题的时候，如果碰到这种有题无图的类型，一定要注意分类讨论。好，那他没有图，我们先把他的图画出来，你看这是角 a o b， 那 么这个角是多少度呢？是七十二度。那我们现在要求谁？我们现在要求的是角 a o c。 好 了，那么你先来看啊， o a o b 是 不是有了？ 那 o c 在 哪儿？你知道不？不知道，对吧？所以 o c 这条线哈，它有三种情况，它可以在 o b 的 下方，可以在这个角 a o b 的 内部，对吧？那它还可以在哪儿？是不是还可以在 o a 的 上方， 对不对？就有这三种情况啊？好，那我们现在来看一下啊，你先看如果它在 o b 下方的话，行不行？你看题目告诉我们说，角 a o c 等于五分之三角 b o c， 那 也就是说你的角 a o c 肯定比这个 b o c 这个角要小，对吧？ 那我们来看这个图，你看这里头的角 aoc 是 这个角，那么角 boc 是 这个角，对不对？那显然这种情况下，角 aoc 是 不是比角 boc 要大？ 那它是不是跟题目的这个已知条件就矛盾了，对不对？所以这种情况肯定不行啊，那我们把这种情况给它舍去。好，那它就剩下两种了，要么是在这个角 aob 的 内部哎，要么是在 oa 的 上方， 好，那我们先看啊，如果它在角 aob 的 内部，那么 aoc 等于五分之三，角 boc， 也就是说 啊， o c 是 不是大概在这个位置呢？对不对？好，那么角 a o c 等于五分之三，角 b o c 的 话，也就是说他俩的比是多少？ 是三比五，对不对？那么他们的比是三比五的话，我是不是可以把它设出来？我设这个角为三 x 的 话，那这个角是多少？ 就是五 x 嘛，对不对？所以角 a o c 是 三 x， 那 么角 b o c 呢？啊，这个就是五 x， 对 吧？好了，那么你现在来看，那角 a o b 是 多少？ 角 a o b 不 就是八 x 吗？那么题目说，角 a o b 是 多少？是七十二度，八 x 等于七十二度，那么 x 是 多少？ 不就是九度吗？对不对？我们现在要求的是谁？要求的是 aoc， aoc 是 几 x 啊？ aoc 是 三 x 呀，对吧？所以就是二十七度， 这是第一种情况。那么接下来再看第二种情况，就是说这个 o c 它在哪啊？它是不是在 o a 的 这个上方，对吧？ o c 在 这呢？好，那么你看一下，这种情况下，哎，这个 a o c 仍然是三 x， 对 吧？那此时的 b o c b o c 不 就是这个吗？这个 b o c 是 多少？是五 x， 对不对？好，那么你看这种情况下， a o b 是 多少呢？五 x 减三 x， 是 不是二 x 啊？ 对不对？ a o b 是 二 x。 好， 那么题目告诉我们说， a o b 是 七十二度啊， a o b 是 二 x， 那 就是二 x 是 不是等于七十二度，对吧？好，那我们求出来这个 x 是 多少？不就是三十六度吗？ 那你现在要求谁？你现在要求的是 aoc， 它是多少？它是三 x 对 不对？那三 x 是 多少？就是一百零八度。好了，那么综合这两种情况，所以 aoc 的 度数就是二十七度或 一百零八度。那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话，再把我整理的这套几何图形必刷的十大题型拿去练习，轻松解决这类问题。关注梁老师每天一道经典题。

七上数学一共就有五大亚洲难点，其中在我们期末当中必考一类题型，就是有关于我们动线端动角问题的这类题型， 那角度计算当中有很多题目答案都不为宜，需要我们分情况进行讨论，那今天啊，我们就来一起看一道角度计算当中非常典型的分类讨论的类型题。 那有关于角度计算，这里啊，我也给大家准备了易错压轴的三十题，都是我们近三年考试的原题啊，那希望大家如果这类题目答不全，没思路的话，能够逐个题型的来进行练习， 总结出方法，再做下一个，你这样做起来才能事半功倍，越学越轻松嘛，对不对，家长带着孩子去操作，下面我带着你看看这道题，这道题正常给你是一个填空题，没有图的哎，所以很多同学都答不全答案 正常，你是要自己完善图的，做几何题。无图有偶什么意思？你看都听过，无毒有偶对不对？无图有偶就是说没有图，答案一定不为一事有蹊跷，你也画图自己讨论。 aob 等于四十八度， boc 等于二十度，那 boc 在 哪呢？所以我们要讨论呢？如果我们的 oc 在 这 aob 角的内部， boc 这是二十度，整个的 aob 是 四十八度，我想要求角 aoc 的 度数是求谁，是求它的度数啊，所以在第一个图当中，它的度数不就是四十八度减去二十度吗？直接求出来是二十八度。 继续我们来看第二个图，第二个图， aob 等于四十八度， boc 二十度还可以，在哪儿？ 是不是 oc 在 这个角的外侧呀？现设线 oc 这个时候这是二十度，这是四十八度，所以 aoc 这个角的度数是四十八度加上二十度，哎，也就是六十八度。 所以这道题最终的答案应该是两个二十八度或六十八度。所以你会发现这种题只要画出来图去讨论 根本没难度。但是如果你想当然在这里去填答案的话，就非常容易漏掉选项了。所以像这种问题一定要谨慎再谨慎，无图有偶，自己画图再去做题。

期上期末必考的压轴题一定有角度计算问题，我们一起来读一下题目。已知角 a o b 等于六十度，自角 a o b 的 顶点 o 引射线 oc， 若角 a o b 等于五分之四倍的角 a o c， 那么角 b o c 的 度数是多少度？角度中的动角问题分类讨论问题是初一期末压轴题的必考点，百分之九十九的孩子都得不到满分。看完这个视频，再把我整理的角度计算六大题型给孩子练习，包含了角的技术中面角问题、方位角问题以及角度的换算等。 做完后期末考试冲高冲满，那对于这类型的题，会发现题目中少了一条射线 o c。 对 于图不全的问题，我们首先想到的就是务必分类讨论，那 那么首先我们先来看一下已知角 aob 是 等于六十度的，那么此时 aob 等于五分之四倍的 aoc， 那 所以说我们可以快速的去求得角 aoc 是 等于七十五度的， 那么现在 oa 是 一条固定的射线，那我们要做一条射线 oc， 使得角 aoc 等于七十五度，一定要进行分类讨论， oc 可以 在 oa 的 左右两边，那所以说我们做出第一个图就是 o c 在 o a 的 左边为七十五度，已知角 a o b 为六十度，那么角 b o c 的 度数就应该等于一百三十 五度。那接下来呢，我们的 o c 还可以在 o a 的 右边，那这里我们画出来的位置应该是在这个位置，因为角 a o c 是 七十五度， 而角 a o b 呢，是六十度，那所以我们不难求出角 b o c 等于十五度。于是这道题一定是有两个答案的，你听懂了吗？

冻脚问题是初一期末考试当中的必考内容，但是百分之九十的孩子都不知道这个冻脚问题的两大难点怎么去解决？那么今天一条视频说一个难点，好吧，认真听完，就把我准备的初一期末复习宝典拿给孩子做，轻松提高二十分。我们一起来看， 在这样的题当中，他说 c、 o、 d 这个三角板不动，把 a、 o、 b 这个三角板转往二角顺时针转， 当 o、 b 与 o f 第一次重合的时候就停止了，你就说你这个 o、 b 这样转转转转转转转到这就停止了。 朋友，接下来他们是否存在角？ b、 o、 c 等于两个角，可以用 d？ 同学们注意，像这个其实就是我们解决问题的一个依据，或者叫列方程的依据， 因为你看它旋转的度数是 alpha， 是 用字母表示的，所以你要求这个度数，那一定是去列方程的，好吧，列方程的依据就是这个式，所以我们要做的就是用含 alpha 的 式子把 d、 o、 c 表示出来，再把 a、 o、 d 表示出来就可以了。 但是要提的难点在于，那么我在表示 b、 o、 c 的 时候， b、 o、 c 几种情况？我在表示 m、 d、 a 的 时候，我有几种情况，我怎么去判断它有一种情况还是有两种情况？同学们， 这是我们动角问题的第一个难点，那么我解决的方式其实很简单，你看组成这个角的两边，在角的两边有没有交换位置？ 我们举个例子，比如说在这个题目当中，我们这个 boc 这个角，那么在整个运动过程当中， boc 组成 boc 角的两边， ob 和 oc 这两条射线有没有发生位置的互换？没有。 o b 一 直在 o c 的 左侧，没有发生位置的互换。那这个时候我就知道了，角 b， o c 不 需要分类讨论，我直接用含 alpha 的 式子表示就可以， b o c 就是 你看我们在这个，那 b， o c 就是 一百八十度减去 alpha， 再减一个四十五，其实就是一百三十五度减 alpha 去解说。接下来 b o c， 他的角的两边没有发生变化，第二个角叫 a o d， 那 我就来看一下组成 a， o d 这个角的两边 o a 和 o d， 他的角的两边在运动的过程当中有没有发生变，有没有发生位置的互换？ 你会发现在刚开始的时候，这个 o a 和 o d 吗？ o a 一定在 o d 的 左侧，我们换个颜色对吧？这个是 o a， 这是 o d。 那么在运动的过程当中有没有出现 o a 跑到右侧去呢？有，因为你这个是四十五度，这个是六十度， 对吧？所以在 o b 和 o c 重合之前，那很有可能在这个，哎，屏幕放一下，很有可能你这个四十五度角刚好夹在这个六十六十度角的里头， 那夹在里头的时候， o a 就 跑到了 o d 的 右侧，所以你会发现 a， o d 这个角角的两边发生了互换，那么我在表示这个角的时候， 那么就是两种情况，听懂没有？这是我们动奖问题分类条论的一个比较明显的标志，当然我还有其他的标志，你说三等三等分，这个三，这个奖的三等分线等等等等，那么今天我们先来解决这个问题。那么首先第一个就是 o a 在 o d 左侧的时候，那么我们这个 a o d 怎么表示？比如说我把它拆了，就是图二，这个 o a 在 o d 的 左侧，这个 a o d 怎么表示呢？你会发现用这个一百二十度减去这个 alpha， 剩下的就是角 a o d， 对吧？角 a o d 等于一百二十度减二方，没问题吧？那接下来第二种情况， o a 在 o d 的 右侧的时候呢？那就是我们刚刚所画的第二种情况了，对吧？我们这个转到了这个位置转这个是 o a， 那这个时候我怎么去求呢？求这个表示这个角 a o d 呢？我就可以用，因为这个时候你一定要注意我们转的那个 r 方在哪？ r 方是从 o a 是 从 o e 这条边 一直转到这条边，这整个的是我们的 r 方，而我们这个 a o d 这个角 就是在开始的时候 k o d 这个角还是一百二十度，对吧？因为你这三角满分是六十度，所以他的零度角就是一百二十度，所以这个小角刚好反过来变成了呢？ r 法减去 一百二十度。一般来讲，像这种角的两边的位置互换所形成的两个角，他俩也是互为相反数的关系 好吗？那就这种话，你看我们 b o c 也表示出来了， a o d 也表示出来了，那剩下的就是根据它去列方程就可以了，这就是这道题的思路好吗？我们一起来看一下。第一种情况，那就是 角 b o c 一 百三十五度减 r 法，等于二倍的角 a o d， 也就是二倍的一百二十度减 r 法。 那么第二种情况就是角 b o c 一 百三十五度减 r 等于二倍呢角。第二个 a o d r 减一百二十度，你看看 减乘去 r 法这道题就搞定了。好吧，所以这段的核心思路就是分类讨论的一个标准。怎么分类讨论？就是你看角的运动过程当中，角的两边的两条射线有没有发生位置的互换，学会了吗？

大家好，我是 c 二五幺五班的银文，今天我们来看这道题。 o、 c 是 角 a、 o、 b 的 平分线，从点 o 引出一条射线 o、 d 使角 b、 o、 d。 等于三分之一角 c、 o、 d。 若角 b、 o、 d 等于二十度，求角 a、 o、 d 的 度数。从题目可知，角 a、 o、 d 的 度数与射线 o、 d 和角 a、 o、 b 的 位置关系有关，那么就可以分为以下三种情况。第一种情况，当 o、 d 在 角 a、 o、 b 里面时，如图所示，从题目角 b、 o、 d。 等于三分之一角 c、 o、 d。 等于二十度，可以得出，角 c、 o、 d。 等于三倍角 b、 o d。 等于六十度 o， c。 是 角 a、 o d。 加角 c、 o d。 等于二十度加六十度，等于八十度 角 a、 o d。 等于角 a、 o c。 加角 c、 o d。 等于八十度加六十度，等于一百四十度。第二种情况，当 o、 d 在 o、 b 的 下方时，如图所示， 角 a、 o、 c。 等于角 c、 o、 d。 等于角 c、 o d。 减角 b、 o d。 等于六十度减二十度，等于四十度加角 c、 o、 d。 等于四十度加六十度，等于一百度。 第三种情况，当 o、 d 在 o a 的 左边时，如图所示，角 b、 o、 d。 大 于角 c、 o d。 不 满足提议，不满足提议。角 b、 o、 d。 等于三分之一角 c、 o、 d。 所以 要舍去综上，角 a、 o、 d 的 度数等于一百度或一百四十度。

前一上册数学有关动角的压轴题到底有多难？我们来看这道题。如图一、直线 d e 上有一点 o 过点 o， 在 直线 d e 上方做射线 o p。 将一直角三角板 a、 o b 的 直角顶点放在点 o 处，其中我们知道角 a、 b 等于三十度， 一条直角边 o a 在 射线 o d 上，另一边 o d 在 直线 d e 上方将直角三角板绕点 o 按每秒十度的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为 t 秒，下方是三个对应的图示，我们可以结合图示 进行计算。第一问，当直角三角板旋转到如图二的位置时， o a 恰好平分角 c、 o d， 此时角 b、 o c 与角 b、 o e 之间的数量关系，并说明理由。第二小问， 未旋转时，角 c、 o e 等于一百四十度。一、当旋转时间 t 为六秒时，求角 a、 o c 的 度数。二、在旋转的过程中，若 o c 绕点 o 按每秒一度的速度逆时针旋转， 当 o b 旋转一周后， o c 呢也同时停止旋转。旋转时是否存在某一个时刻使得射线 o a、 o c 与 o d 上的某一条射线是另两条射线所夹角的角平面线 若存在，请求出所有满足 t 的 t 的 取值。若不存在，请说明理由。嗯，这个题咱们看到之后觉得特别长，这就是压轴题，可能很多同学看到这么多字就退缩了， 我们来看这道道题，给大家解答一下。首先第一问，我们需要来求他们之间的数量关系。我们通过图二，其实大家可以看到，你看这两个角，其实他是不是看着就是比较相等的，所以我们来证明他们相等。怎么证明呢？ 首先我们根据题目当中已知的，首先角 aob 是 等于九十度的，所以角 boc 加上角 aob 呢，同样也等于九十度。角 aod 加上角 boe 呢，也等于九十度。 根据 a o d 等于 a o c， 我 们可以得到最后的答案，也就是角 b o c 与角 b o e 呢是相等的。第二问，首先我们先解决第一小问，一，先求出旋转六秒时，角 a、 o d 等于六十度，由角 c、 o e 等于一百四十度，可以得到角 c、 o d 是 等于四十度的， 然后再根据角的和差关系求出角 a、 o c 的 度数即可。我们再来看第二问，第二问会难倒很大一批同学。首先，当 o a 平分角 c o d 时， 角 c、 o d 等于二倍的角 a o d。 当 o c 平分角 a o d 时，角 a、 o d 等于二倍的角 c o d。 当 o d。 平分角 a o c 时，角 a o d 等于角 c、 o d。 然后分别列出有关 t 的 方程，解方程即可。 所以我们看到这道题里边主要核心考察就是角的平分线和动角的计算相关问题当然也会涉及到一元一次方程，因为我们里边有未知数 t 解 t 的 过程就是解一元一次方程。 接着我们来看一下这道题的相关答案，大家可以参考一下，同学们学习永无止境，所以继续加油！