徐州市锐角三角函数近几年中考题

今天我们看一下零加零的类型和三角函数综合题，我们看一下这一题，在三角形 a、 b、 c 中角 a 角、 b 均为锐角，我们初中阶段主要以锐角为主嘛，且这一个，然后我们知道它的非负三人组呢， 非负三人组，我们首先要知道，第一个绝对值是大于等于零的，第二个是根号一个数，它的值也是大于等于零的。还有一个就是它的偶次幂也是大于等于零的，所以零加零呢，无非就是这三种里面一选二、选三这样的， 就三选一，选二选三这里去用。好，我们看一下这里，这一个它最小的值加起来等于零，所以就是所谓的零加零的类型。那我们就知道 天津 b 呢，是等于根号三的，所以我们这里推出，因为它是锐角，等于根号三，那么推出 b 呢，是等于六十度。 好，再来看这里两倍的撒引 a 是 等于根号三，我们移过去就根号三，所以撒引 a 呢，是等于二分之根号三，这里可以推出 a 等于撒引 三十度，等于二分之一。撒引六十度是等于二分之根号三，所以 a 呢，是可以知道它等于六十度。 那我们看一下 a 和 b 都为六十度了，所以我们 c 呢，也会等于六十度，因为加起来会等于一百八十度的，所以这一题是一个等边三角形， 这里呢就直接在我们原先的零加零的类型，加上我们的同步里面的三角函数值的一个综合应用。同学们这题跟上了。

锐角三角函数部分的知识点，这个题呢，跟我们讲的是说在数学红课上，小丽为了测量校园的旗杆 a、 b 的 高度， 站在教学楼的 c 处，测得旗杆地端 b 的 负角为四十五度，测得旗杆 顶端 a 的 仰角为三十度，已知其杆与教学楼的距离必定等于九米，请你帮他求出其杆的高度。图给我们给出来了，而且给我们标出了所谓的负角和仰角，这是三十度，这是四十五度。 那这题呢，在我们的蹄盖的时候是没有明确的，让我们自己去找仰角和负角，也就说蹄盖已经给我们标注了所谓的三十度和四十度在哪里，那我们就可以直接去求解了。在这边说让我们求出蹄盖的高度，那蹄盖横线是这个样， 那蹄盖的高度和谁的高度相等呢？那我们直接去求它的划分线是求不出来的，那我们需要借助 ab 来求蹄盖的长度的时候 们就算出了膝盖的高度，再看给出了三十度和四十五度这两个角，而对应的一个三角形 a、 b、 c， 那 我们根据三角形 a、 b、 c 能不能直接去求解这个 a、 b 的 高度呢？那三十度加上四十五度等于七十五度，那剩下两个角你是可以算出，根据三角的内角和算出角 a 加角 b 等于多少度，但是角 a 和角 b 是 没有办法直接求出来的， 所以在这题给我们给了一个类似于 a、 b、 c 这样一个三角形以后，你要直接去用三角形 a、 b、 c 去求解的话，肯定不行，那我们只需要用到锐角三角函数的知识点来求解我们心肝的高度，那我们就需要对这个图 重新进行一个构造，那重新构造的时候，我们遇到的问题就是一个三角形来说，我们需要在这个三角形内部，或者在这个三角形的外部重新去构造一个新的三角形， 然后我们再去求解对的边。那么这个题来说，我们需要是求解 a b 的， 那么求解 a、 b， 我 也就说我们不能够一次性把 a b 它算出来，那我们可以通过构造在这一座辅助线，你可以把这个点写成 h。 当然呢，你既然写了 h， 那 这里解 设过点 c 做 c h 垂直于 与 a b， 这个点是我们的 h。 好 了，现在有了三角形 a c h 和三角形 b c h， 以后我们就可好求结了。现在来看，我们已经说了，说过设过点 c 作 c h 垂直于 a b h 为 垂足。好，知道 h 为垂足。以后，当这个角是四十五度，那剩下的这个角也是多少度？也是四十五度， 那你说你咋知道的？因为这个角是九十度，这个角是四十五度，那剩一个角当然也是四十五度，四十五度加四十五度，剩一个角就是九十度。好了，那这个是九十度，反面这个是多少度？九十度，剩下这个角也是六十五。 那你说你这里咋知道它一定垂直呢？那我从这里穿过去做了一个垂线啊，如果说我连接 c h 也可以，那连接完以后你可以先去算 e h， 你 不写这个条件也行，那你来算，那就需要用到我们的这个锐角三角函数的支点去求解它，那我可以写成 呃，弹性贴的四十五度等于对边 e h 比上零点 c h c h 好 了，那 c h 等于谁呢？看这里的条件， c h 等于 b d， 这段线和这段线是平行切下来的，因为其根处肯定是垂直的，所以这个是九的时候，这个也是九，那么就可以把它用上。那我们这里呢时候，我们写成 比上 c h 等于 b d 啊，我们在这里可以写成 好了，根据它它减四十五等于一，那由这个时候可以得到什么呢？可以得到 b h 就 等于九乘一等于九，所以这个题目这也在这里的时候不用算也是可以知道的。四十五度四十度，所以它也是 九，到它数是九的时候，我们再去算 a h a h 的 时候，这是三数，那对边又比一边，那我们就说在这个三角形处，我们一起在三角形谁 b c h 中， 那么在上面这三角形里头，我们可以写在三角形 a c h 中，我们可以得到它。今天的三十度 等于等于什么呢？等于对边比一边，等于 a h 比上 c h， 我 们刚写过了 c h 等于 b d， 那 a h 是 不知道的。 a h 比上 c h 是 九，那你算数等于多少？等于三分之根号三。 好了，把这个可以给它算出来，那我们通过这个式子可以推出 a h 等于多少，然后那我们可以给它交叉相乘，就说九倍的公号三，然后这两个相乘三倍 a h， 然后九倍光三除以三，可以写成九倍根号三，除上一个三，所以等于三倍根号三。好了， a h 知道了， b h 也知道了，所以我们的旗杆的高度， a b 就 等于多少，等于 a h 加上一个 b h 等于三倍根号三，加上一个九，那我们就把它算出来了。所以这个题呢，我们是需要构造，也就是说遇到这样一个三角形的时候，我们需要把它重新 去构造成两个新的四角形。比如说，比如说给一个八十度的三角形和一个角，然后我们两边需要把它分开，分开去单独做求解，然后我们就可以把这个所对应的长度给它求解出来。好，这个题我们就到这里。

大家好，今天我们继续来分享在圆中如何用相似来解决三角函数问题，我们一起来看一下这道题。 如图，三角形 a、 b、 c 中 a、 b 呢等于 a、 c 以 ab 为直径作圆， o 交 b、 c 于底点， d、 e 垂直于 a、 c 于一点，连接 o、 e。 第一问，我们求证 d、 e 为圆 o 的 切线，那由于切点已经给我们了是底点，所以第一个连线肯定是要去连 o、 d 的， 然后我们要证明 o、 d 呢是垂直于 d、 e 的， 在这个里面，因为我们已经有一个垂线了， 所以我们就会考虑啊，就是是不是能够去证明 o、 d 平行于 a、 c， 如果平行的话，这里就肯定是垂直了，这是我们一个比较正常的想法。嗯，在目前来看， 直接去证明这个平行似乎还是有困难的啊，还是有困难的，直接证这个平行没有很明确的这个条件在里面啊。但是我们发现了我们有一个这个条件， 有这个条件 ab 等于 ac， 也就意味着这个是一个等腰三角形，对吗？是一个等腰三角形，然后呢， ab 又为直径啊，很明显，我们想到在圆里面用直径的条件，最最直接的就是直径所对的圆周角是什么？ 是直角，所以我们连接一下 a、 d 好， 这两条线， 我们就会发现，因为 a、 b 为直径啊， 所以我们就会发现 a、 d 就 会垂直于 bc， 那 么再因为 a、 b 是 等于 a、 c 的，是个等腰三角形，那么等腰三角形有一个三线合一的特点，所以 d 为 bc 的 中点。 明确一点， b 离是等于 c 离的是不是？那么如果是这个样子的话，我们就会发现啊，这个既然已经是它的一个终点了，嗯，对于这个平行有什么样的这个 作用呢？那当然了，由于 o 也为什么 a、 b 中点， 我们就想到了什么，所以 o、 d 为三角形 a、 b、 c 的 中位线，中位线是不是就会带来平行的关系啦？所以 o、 d 就 平行于 a、 c 啦，因为是不是中位线，所以这就是为什么我要去挣中点， 不要。对于很多同学来讲，想要去证平行的时候，总是要往三线八角上面来想，虽然这是一种常见的证明方法，但是不是所有的题我们都是有的，像这道题里面， 他几乎是没有给到我们太多的角的关系，因此我们要考虑啊，用中位线去证明平行，那如果是平行的话，那么我们再加上，因为这个 d e 是 垂直于 a c 的， 所以角 c， e， d 等于九十度，那因为平行，所以角 c， e， d 要等于角 e， d， o 等于九十度，对吧？所以 这个 o d 就 垂直于 e、 d， 所以 d e 为这个圆 o 的 切线，我就不多说了，我们一起来看第二问，然后第二问。首先第一个条件给到我们的就是一个 cosine abd 啊，由于这个 abd 本身是在一个直角三角形里面，所以我们实际上直接能解得出来它的一个直角三角形里面，所以我们实际上直接能解得出来它的一个直角三角形里面，所以我们实际上直接比上 ab， 那么等于五分之根号五。常规的来讲，我们就可以开始设了，我们可以设 b d， 因为它也等于 c、 d 的 等于根号五 x， 然后呢， ab 就 等于五 x， 由于 ab 是 一条直径啊， 是不是？所以我们就会发现半径实际上是等于二分之五 x 的 这个半径里面的有 a o 啦，有 b o 啦，有 o d 啦，它都是半径，我们能写的可以都写出来， 然后呢，我们继续反推啊，反推，我会把这个草稿打在思考过程写在旁边啊，老规矩，它 a e o 是 等于多少？是等于， 有人就说的不对啊，老师，这个角 a e o 我 们先来看一下这个边角，这个角它根本都不在直角三角形里面，所以你是没有办法是这个去直接把它写出来的，对不对？ 那么由于我们就在想我们能不能转换上一问的结果，能不能用啊？可以的，上一问我们说了什么？因为这因为什么 o d 是 平行于 a c 的， 所以我们先把这个角转换出来。角 a e o 是 不是等于角 d o e 啊？内错角相等， 因为角 d o e 就 来了这个，因为我最后求的是 tangent 是 吧？角 a e o 这是思考的过程，我写在上面啊，是等于 tangent 的 角 d o e 的， 因为 d o e 是 在一个直角三角形里面，很明显等于 d e 比上 o d， 那在这个里面 o d 已经表示出来是二分之五 x 了，那我是不是只要把 d e 求出来，这道题就变成了求 d e 的 一个值，并且这个 d e 用 x 表示出来就可以了，是不是？那么我们来看一下 d e 怎么来表示 这个里面我们就发现了啊，这个三角形 a c d 这个地方是垂直的吧，再加上这地方也是垂直，是不是有个双垂直模型在里面？双垂直模型我一直在讲的，我们是不是就会引用到什么双垂直， 最最让我们能够用到的就是什么呀？摄影定力， 我们一起来问，复习一下这个摄影定律。双垂直模型里面，假如这个地方啊，我画的稍微好一点啊， 这个地方假如是垂直的，这地方也是垂直的， a， b， c， d， 那 么这里面三个摄影定律，就 ab 的 平方等于 b， c 乘以 b， d， a， a， d 的 平方等于 c， d 乘以 b d， a， c 的 平方等于 b， c 乘以 c， d， 这个是不是就摄影定律啊，其实它的原理是什么？实际上就是 这个，这个左边三角形和右边这个直角三角形相似，也和这个大的相似，是由这些相似而推导出来的。所以对于这道题目来讲，我们马上就能够知道 d， e 乘以 a， e 的， 但是在这个地方啊，这个 c、 e 我 们也不知道，这个 a， e 也不知道，那么我们怎么办呢？我们来想一想这个地方， 这个我们我们先等一等，这个这个式子我们可以先写，谁啊？ c， d 的 平方， c， d 的 平方是不是等于 c， e 乘以 a， c 啊？这个地方由于 a， c 是 等于 ab 的， 是不是在这儿有，所以 c、 d 我 们是知道的， c、 d 的 平方是五 x 平方等于 c， e 乘以 a， c， a， c 是 几啊？五 x， 所以 我们马上 c， e 是 等于 x 的 好， c， e 等于 x， 我 们就又退回前面去这个地方， d， e 的 平方是不是就等于 c e x 乘以 a e， a， e 是 等于什么呀？ a d 减 c， e 的， 由于 a， c 是 多少五 x， d， e 是 不是 x 四 x， 所以 等于四 x 平方，那么所以我们马上得到 d e， 因为它是个正的嘛， d e 直接等于二 x， 那 就简单了，因为 tangent， 我 们就照抄一遍角 a e o 是 不是等于 tangent 角 d o e 就 可以把我们的一个思考过程写到下面来，是等于 d e 比较 o d 的， 那么所以 d e 是 二 x， o d 呢？是二分之五 x， 所以 最后是等于五分之四 啊。整体来讲，这道题实际上面啊，如果各位对于双垂直模型的这个摄影定力是非常熟悉的话，这道题的解答是极其简单的 啊，所以在这个对于这个相似里面，这种特殊的双垂直模型的边的之间的关系一定要烂熟于心。好，今天这道题我们就分享到这里，记得点赞关注哦！

我们再来看一道关于锐角三角函数的典型计算题，请同学们一定要关注解析思路的分析过程。 为建设美好公园社区，增强民众生活的幸福感，如图一，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩，如图二，这是遮阳棚的侧面示意图， 遮阳棚靠墙端距离地面的高度即为 bc。 遮阳棚 a、 b 的 长是五米，与水面的加与水平面的夹角是十六度， 当太阳光线 a、 d 与地面 c、 e 的 夹角为四十五度时，测得影长 c、 d 是 一点八米。求遮阳棚靠墙端距离地面的高度 c d 啊 bc， 求高度 bc， 那我们看一看这这幅图。那么同学们解锐角三角函数题最关键的是要构建直角三角形，那么这道题求高度 bc， 求 bc 的 长， 那么我们肯定是要以 b、 c 来构建直角三角形，那么很显然，我们要做的第一条辅助线肯定是从十六度角 a 往 b c 做一条垂线 垂足，我们命名为 m， 那 么 b c 就 可以用 b m 的 长度加上 c m 的 长度，那么这个是十六度。告诉我们 ab 是 五， 那么在直角三角形 abm 当中， 我们已经知道了一条边， a、 b 是 五和一个锐角十六度，我们可以求出里面所有的角和边，所以我们可以求出 b m 的 长和 i m 的 长。好，我们求一下， 在 r t 三角形 a、 b m 中， a b 等于五角， b， i m 等于十六度， 那么如果我们要想求 b m 的 长度，那么我们用三英十六，所以三英十六度 就应该等于 b m 比上 i m， 三英十六度是零点二八，那么所以零点二八就等于 b m 比上五，所以 b m 就 等于零点二八乘以五等于一点四米， 那么我们就得到了 b m 的 长度是一点四米一点四， 那么下面我们要求 c m 的 长度，那么我们要求 c m 的 长度，我们肯定要以告诉我们的四十五度来构建直角的角形，所以下一条辅助线也就很容易了。我们从 a 点 做 c e 的 垂线， i n 那也可以，从 d 往 i m 做垂线也可以。总之一定是以四告诉我们的四十五度来构建直角三角形，那么这里面 只有一个四十五度角是没有办法求其他的边的，所以我们还要求出来那么对应的 id 的 长度或 i n 的 长度，或 d n 的 长度，那么这个是四十五度。我们知道 i n 是 d n， 那 么题目当中还告诉我们什么？还告诉我们 c d 是 一点八， c d 是 一点八米，那么如果我们知道了 c n 的 长度， 那么 d n 就 等于 c a n 减去一点八，那么 c n 是 等于上面 i m 的 长度，而 i m 的 长度我们可以用刚刚的 ibm 求出来，那么在这里面求，那么 那么我要求 i m 的 长度，你可以用五和一点四勾股定律来结，也可以用 cosine 十六度， 那么 cosine 十六度就等于零点 i m 比上 i b cos 六度是零点九六，就是，所以零点九六等于 i m 比上五，所以 i m 就 等于零点九六乘以五就等于四点八米， 那么所以 c n 就 等于 i m 等于四点八米， 那么又因为 cd 是 一点八米，又因为 cd 等于一点八米，所以 d n 就 等于 d n， d n 的 长度就等于四点八，减一点八等于三米， 那么又因为这个角是四十五度角， a， d n 等于四十五度，所以 a， n 就 等于 d， n 等于三米，那么 a， n 就 等于 c m， 那 么所以 c m 就 等于 i， n 等于三米，那么所以 bc 就 等于一点四， 加上三等于四点四米，那么最后得出了 b c 是 四点四米。那么这里面我写的就是主要的解析步骤，同学们在实际的解析的过程中可以把它再细化一下， 那么这就这就是这道题的整个解析思路，那么他的主要就是微摇。如何来构建直角的角形？好，本节课我们讲到这里，同学们再见。

同学们好！九树上第十六讲刷二零二四中考锐角三角函数真体，抓考点、提效率。本讲聚焦锐角三角函数核心考点， 包含三类高频题型，一是仰角、俯角实际测量体向卫星高度、建筑物高度、谷树楼高测量占比超百分之四十，关键是构建直角三角形，利用 sin cos 建立边角关系。 二是特殊四边形、矩形、菱形、正方形与三角函数结合体，常考折叠对称动点问题，需灵活运用四边形性质转化角度和边长。 三是基础计算与线段长度求解，侧重公式应用和几何推理。解题锦囊，记牢这三点，一、遇实际问题，先画直角三角形，标注已知角度和边长。 二、特殊四边形中巧用对角线中点对称性质找直角。三、牢记特殊角三角函数值，结合参考数据精准计算。这些真题覆盖全国多省市考情，掌握这些题型，锐角三角函数模块就能轻松拿下！好的， 我是郑州李老师，相关真题的高清截图已放入评论区，有需要的同学可自行保存。春风数学寒假预招生中，想要提升和拔高的同学也可直接咨询我们，下一讲再见，记得关注再走哦！

来，这个题，不会的，先罚站十分钟，罚你站着停啊。来看题，如图，锐角三角形 a、 b、 c 中以 b、 c 为直径的半圆 o 以 b、 c 为直径来，又出现了，直径，又出现了， 那直径。在我们三角函数题，这是一个三角函数题，来看题目， cosine 角 b、 a、 c 的 值，是不是一个三角函数题啊？这个问题很明显就告诉我们，这是一个三角函数题，那三角函数题目中的直径，上节课我们讲了，还不会 啊，直径是干嘛用的？一般都是用来做直角三角形的吧。来，继续， 这都没用，交交点都没用。来看面积，三角形 a、 d、 e 的 面积和四边形的面积之比是一比二，来，面积之比是干嘛用的？来这个地方我们学什么时候学过？是不是学相似比的时候才有面积比？ 是不是？那我们告诉我们面积比，实际上是为了告诉我们什么？我们要知道这个条件怎么用啊，是不是？那这个面积比怎么用啊？面积比是一比二， 那告诉我们面积比，实际上是为了告诉我们相似比啊， 是不是？但是这个三角形和这个四面形相似吗？那肯定不相似，那实际上我们看图就知道了，实际上是这个三角形 a、 d、 e 和三角形 a、 c、 b 相似吧，对不对？它们两个相似，那它们两个相似，但是呢，它只给了我们面积比， 我们怎么知道他俩相似的？我们是不是要证明一下啊？所以这个题的第一个难点出现了，我们不会证明 这两个三角形相似，是不是？是不是？你来继续？还有一个难点就是在这里，这个直径不会用，但是呢，我上节给你讲过一个类似的题了，这个直径是怎么用的？ 是不是直径所对的圆周角是直角，所以通过这个直径我们可以勾到直角三角形，是不是？所以我们这里来，我们看直径 b、 c 怎么勾到直角三角形？第一个，我们可不可以连接 c、 d？ 或者我们可不可以连接 b、 e 啊？这个对于这个题来讲都是一样的，我们连接一个就可以了。来连接出 c、 d 来之后，角 bc 是 不是九十度？ 那你看直角三角形是不是出现了？而如果让我们求角 b、 a、 c， 也就是角 a 的 cosine 值，也就等于 a、 d 比 a、 c 吧，而 a、 d 比 a、 c， 是 不是就是这两个三角形呢？相似比来对应边 a、 d、 a、 c， 我 特意写成对应边，是不是 好直？直径，现在我们用上了，这个三角形出现了，那这里面积我们怎么正相似呢？这是这个题难点来了，怎么正相似？ 那这个时候就要用上一个我们之前学过的条件了，在哪里学的圆？那这个地方为什么有的同学不会啊？是因为它圆的基础没打好，你看 b、 d、 e、 c， 这是个什么四边形？ 这是个圆内接四边形吧，圆内接四边形有什么性质呢？ 对角相等，所以我们得到角 b、 d、 e 就 等于，哎，不对，等于角加角 b、 c、 e 等于一百八十度吧，对不对？而我们还知道 角 b、 d、 e 还加谁等于一百二十度啊？角 b、 d、 e 是 不是还加角 a、 d、 e 等于一百八十度啊？来角 b、 d、 e 加角 a、 d、 e 等于一百八十度。来看，这两个式子 同角的补角相等，这也是我们学过的吧，所以角 a、 d、 e 等于角 b、 c、 e 吧。啊，所以角 a、 d、 e 等于角 b、 c、 e。 哎，这两个角相等，加上他们有个公共角，是不是两个三角形相似了？ 来，这两个三角形相似之后，它们的相似比等于多少？我们只知道面积比。来这两个三角形，首先它们的面积比等于多少啊？ 来，三角形的面积是一，四边形的面积是二。我们假设一下，三角形的面积是一份，四边形的面积是两份，这是我教给我学生们的，看到比例按照分数去做 啊，这是占一份，这是占两份，所以大三角形的面积占几分？占三份，所以这两个三角形的面积之比是 一比三吧，对不对？面积之比是一比三。那相似比呢？ 也就是开根号吧，开根号我们要分别开根号，也就是一比根号三吧， 所以我们就得到了来相似比，也就是对应边的比，这都是知识点啊。所以 a、 d 比 a、 c 就是 一比，刚好三吧，来，也就是三分之刚好三。所以这个题选 d 一 点也不难，一定要把它拿下。

我们今天来看一题，在直角三角形里面求边的一个是锐角三角函数解决的问题，我们看一下直角三角形，这是一个直角，然后往它做垂线，这又是一个直角，现在告诉我们添减它等于四分之三，求 a c， 那么这里我们来看一下，如果我们直接用呢，他为三 x， 他 为四 x， 他 就为五 x， 但是我们下一个条件十二就用不到了，所以我们这里其实就考察了一个角的一个转换，把它转化为， 我们看一下角 b 加上角一，其实就是 dcb， 我 们设为角一，它是等于九十度的，这个没问题。然后这个大的直角三角形里面，角 b 加上角 a 也是等于九十度，也就是角一加角 b 等于九十度， 然后呢角 a 加角 b 也等于九十度，所以角一是等于角 a 的。 我们知道在锐角三角形里面的那个锐角的对应的，只要它的角度相等，三引 q， 三引和 ten 都会相等，所以我们知道 ten 角 a 呢，它就会等于 ten 角 dcb， 也就等于四分之三。好了， ten 角 a 填进 a 对 应的是 bc， 对 边比上零边就等于。我们这个 bc 是 要求的 ac 等于十二，所以就等于十二分之 bc， 我 们简写一下，就是四分之三等于十二分之 bc， 所以 我们快速的得到 bc 是 等于九的，这也可以推出 bc 等于九，同学们不知道呢？这里可以交叉相乘，对吧？所以就是四 bc 等于十二乘以三， 这里同时除以四，所以 bc 就 等于三，乘以三等于九，所以这一题的答案是为九的， 这就是这一题。朋友们看一下，在这个三角形里面对角度进行了转换，转到这里来，然后再用他的三角函数值，从而得到这一题的答案。

大家好，今天我们来讲一下如何呢？在圆中用勾股定力来求三角函数值， 一起来看一下这道题已知 a b a、 c 是 圆 o 的 切线，也就说是它的两条切线， b、 c 呢，是切点 b 和 c 点 b， d 是 圆 o 的 直径连接 a o， c d， 然后要求证 a o 平行于 c d。 在整道题里面，我们除了直径和切线以外，没有给到任何的角度关系，以及是这个线段关系，因此我们直接要用这个角度去求 这个平行的这个关系，是有一定的困难的，是有一定的困难的。然后我们来看一下，由于这个地方是两条切线，所以我们显而易见的会非常容易来想到这个切线长定力，大家回忆一下这个切线长定力。是啊，是怎样的 切线长定律有几条定律，第一，从圆外引出两条切线，它们的长度是相等的，并且呢，切这个这个点与这个圆心的连线啊，是平分这个 两条切线间的这个夹角的，是吧？这个是比较明显的一个这两条切线长定律里面的一个知识点，那么因此如果我们已经知道了这个，所以我们马上就知道了 a c 等于 ab 切线长定力给到的嘛，对不对？其次呢，我们也知道角这个 d， a o 等于角 b a o 这个是不是也是呃，切线长的一个定力，我们可以先书写下来啊，但是我们看到这里的时候，依然是没有 这个别的思路的，那我们就想到就说给给，目前的我们还是没有办法来求证出平行，那么我们就想到直径这个条件，而直径在圆里面，它最最大的作用就是它所对的圆周角是什么？九十度。因此我们来去连接一下 bc， 交这个地方与 g 点，如果我们一连接这个 bc， 我们一连接 b、 c， 我 们马上就能知道我们的这个角 d、 c、 b 是 等于九十度的 啊，那么此时我们就清楚了啊，在，因为我们刚刚说了，这个角是等于这个角的，在切线长定力，是不是切线长定力， 我们马上就也能够得到什么呀？因为这个是个等腰三角形，是不是 a、 c 等于 ab 是 等腰三角形，它又有角平分线，所以根据三线合一， a 极是垂直于 b、 c 的， 是不是由三线合一就得出了 啊？这个时候，所以角 a 极 c 是 等于九十度的，这个地方也等于九十度，那是不是就已经出来了？所以角 d、 c、 b 等于角 a 极 c 是， 所以 o、 a 平行于 cd 内，错角相等，两只线平行啊，好，第二问，他说过底点，我们做一个 d、 e 平行于了 a、 c 啊，已经做好了，分别呢？交这个 a、 b， a、 o 于 e、 f 两点。然后若 a、 b 呢是等于 b、 d 的， 求 ten j、 t 角 b、 d、 e。 首先我还是老规矩，我们先来反推一下 ten j t 角 b、 d、 e 是 本身这个角是在直角三角形里面的，所以很明确它是等于 b、 e 是 比上什么的这个 b、 d 的。 那我们其实只要把 b 一 和 b、 d 的 这个关系表示出来就行了。那我们来看一下，首先这个题目，题目里面给了我们几个比较新的条件，首先 ab 等于 b、 d 的， 在这个时候，那么呃，我们要想象一下，在上道题里面 ab 是 等于 b、 d 的， 我们写在旁边啊，是我们的思考过程， a、 b 其实又等于 a、 c 的， 是不是啊？这些条件我们能够先把它梳理了，那么我们就来看看，到现目前为止还没有具体的思路的时候，我们就想还给了我们一个新的条件， 这个平行给到我们有什么作用呢？我们再想一想上一问的结论能不能用？能用。所以如果把两个结论结合起来，因为什么 d、 e 平行于 ac， 然后 o、 a 又平行于 c、 d， 所以 马上我们就会发现一个什么平行四边形，所以四边形 a、 c、 d、 f 为平行四边形。中心对称图形的用法来了，那么为什么要有这个？这两个条件是比较明显的，那么中心对称图形出来了以后，我们要用结论什么结论 a、 c 就 会等于 df， 那我这里面是不是就对边相等这些这个是不是都有了？所以我们再书写一下，因为什么呀？ ab 等于 b、 d， 对 吧？所以我们就把这个结论写下来， ab 呢？等于 b、 d 也等于 ac 等于 df， 这四条边都等，那此时我们就在想，这么多边建立起联系以后，我们再来看一下这个在 因为我们最终是要求 b、 e 和 b、 d 的 关系， b、 e 和 b、 d 的 关系的话，我们是在一个直角三角形里面的，那么我们就会想啊，是不是能用勾股定律把这些边都产生关系？ d、 f 有 关系的， b、 d 有 关系的， b、 e 也是在 ab 上面也有关系，那么剩下就是这一段 e、 f 的 关系，那 e、 f 是 什么呢？那我们也知道因为什么呀？ 因为这个 a、 c 是 平行于 d、 e 的， 所以角 c、 a、 o 要等于角什么呀？ a、 f、 e 是 不是内错角相等，然后因为 c、 a、 o 又等于角 b、 a、 o 的， 所以啊，由于这两个角相等，我们马上知道了 a、 e 等于 e、 f 啊，也顺理成章的把这个边产生了一一系列的关系。好，这个时候我们开始了，我们设 b、 e 是 等于 x 的， a、 e 呢？因为是等于 e、 f 的， 我们可以等于 y， 如果这样写出来以后，我们就写到 b、 d 是 不是就等于 ab， 是吧？那是等于什么呢呀？我写标在里面，这里是 x， 这里是 y， 这里是 y， 对 吗？那是不是等于 x 加 y， b、 d 是 有了，是不是 x 加 y， 然后呢，这个由于这个 b、 d， 我 们刚刚上面写的也等于 a， c 也等于 df， 那 么 a、 c 是 不是也是 x 加 y， df 是 不是也是 x 加 y？ 哦，我们马上就发现了， d、 e 是 不是等于 x 加二 y， d e 是 等于 x？ 我 再写一遍， b、 d 是 等于 x 加 y， 为什么把这三条边写在里面？大家很清楚了，在 r、 t 三角形 b、 d、 e 中， 那么 b、 e 的 平方加上 b、 d、 e 的 平方等于 d、 e 的 平方， 那么 b、 e 的 平方就是 x 的 平方，加 x 加 y 的 平方等于 x 加二 y 的 平方。那么这个式子整理一下，我们就最后得到 x 等于三 y， x 等于三 y， 那 么我们最后写到 tangent 角 b、 d、 e 是 不是要等于 b、 e 去比上 b d， b e 是 x， x 就是 三 y， 对 不对？比底是 x 加 y， 那 是不是就是四 y， 所以 等于四分之三？ 好，综上所述的这道题呢，一定要记住，我们在整道题里，因为给到的我们的边的关系其实是 就是要全部是要我们去推导出来的。那么在你们知道一些边相等的情况下，一 在在这个数学里面啊，最有效的就是通过像勾股定律啊，相似啊这类的数学工具去把边建立真正的什么数量关系，最后才能够在这个 呃求值的过程当中啊利用起来。好，今天我们就分享到这里，记得点赞关注哦。

最近上课发现好多中等生的那个钝角三角函数那个题真的写的一无是处，有的好多学生甚至不写，问他为什么不写呢？老师，题太长了，我看不懂题，你看你家孩子用的这么非常多。第二个 老师，我看完了之后也不知道他说的啥呀，我也不会，不也也，他弄不到一个三角形，里面怎么去用 sin 和 cosine 谈题呢？ 第三个老师，太难算了，我算了两步我就算不出来了，你看他们都给了小数，都是零点几，零点三四啊，零点四三啊，太难算了，我本来计算都不好， 咱们好多孩子都这一直这种想，如果咱们是这种的，告诉你，咱们就麻烦你记住，咱们不管你是中等还是不，还是怎么学生，咱们中考这个题是不能丢分的。 记住他，虽然说他那题干长，但是好多时候他的前面三分之一，三分之二，甚至一半以上都没有任何用处，都是一个介绍。第二个 他做，那么他做三角形那不难，就是直接做，一般来说都是做几条垂线而已。做几条垂线而已， 知道吧，不要怕，不要说是，哎呀，我不会去做，你多去试着多做几次，你肯定能做出来，不要去有这个心理，胆怯的心态。第三个，计算，计算。我知道计算这个题稍微难，但是计算真没有那么难，好多学生计算难就是因为他 做一步算一步，做一步算一步这个题实际上如果做一步算一步，是计算的稍微大点。咱们要记住问题，咱们这个题，咱们最终只算一步，就中间全部用代替。什么叫代替呢？就是他代替过来就行了，代替 代替中间别算，中间叫弹天四十五度，弹天三十度，弹天多少你就带上弹天多少度，然后到最后一步再去算，这样一减少计算第二个减少误差。有的好多学生算一步算，一步一步算，最后的误差有点大，和答案有点出入， 答案是十点一，而他能够算十点三或者是九点八。所以说什么意思呢？咱们记住要一，要不要再一步一步算出来就行了。 然后我给我总结了，就是山西省去年的模拟考试的这个锐角三角函数以及近五年的山西中考真题，如果有需要的让孩子需要练习一下呢？需要的，六六六六。

今天我们来讲求一个角的正切值的一题，我们来看一下正方形 a、 b、 c、 d 里面往外做 c、 d、 e， 它是一个等腰直角三角形，现在要求攀紧 角 b、 e、 b 的 一个值。好，我们初中阶段呢，是锐角三角函数，所以我们呢，锐角三角函数百分之九十，百分之一百都是在一个直角三角形里面。那我们怎么来构造直角三角形呢？首先它是一个等腰直角 四十五，那么我们对正方形，对角线互相平分，所以这里又是四十五度，这不是刚好的一个直角了吗？知道这一个之后，我们马上知道 d、 e、 b 的 天井值呢，就会等于 b、 d 比上 d、 e， 就 求 b、 d 和 d、 e 的 关系。 等腰直角三角形，我们会设它为一，因为是填空题，所以我们一，这里呢直接为根号二，根号二，这里为根号二，或者我们把它移过这边来也 ok， 这又是一个等腰直角三角形，一比一比根号二，或者用勾股定律可以求出它为二，所以 b、 d 是 等于二的。 然后第一等于一，所以就等于二，这题答案就出来了。那么如果这题是大题呢？我们就会设第一为一 k， 他 也会为 k， 用勾股定律或者用正弦可以求出他为 根号二 k， 根号二 k， 再在这个直角三角形里面又可以求出他为二，这题的答案就为二，同学们，这题跟上了吗？

在 r t 三角形 a b c 当中，什么是角？ a 的 正弦呢？正弦而正，你可以理解成角正对的，那么角 a 正对的那条边， a 比上这个所在直角三角形，它的斜边也就是 a b c， 那 记作 sin i 记作 sin a 啊，怎么写？ s r n， 然后一个大写字母，当我们这个角用一个大写字母表示的时候，来角 sin a， 那 个角的符号可以不写啊， 但是呢，它也可以这么写，叫 sine 角 b a c， 角 b a c 啊，都完事了，对吧？啊，这个时候呢，你这个角的符号呢，是要写的，根据定义，它是等于 a 比上 c， 那 同样的啊，就叫正弦弦啊，弦是什么？斜边的意思啊，斜边 勾三股四弦五，勾三股四弦五，那个弦就是斜边的意思了。那鱼点呢？鱼肯定是不是正对的意思啊？鱼就是旁边的意思啊，旁边。那么旁边角 a 的 旁边的这个直角边是什么？ b， 那 b 比 c 呢？ b 比 c 叫 cosine a 啊， cosine a， 那 根据定义，它就等于 b 比 c 好，我们看最后一个，那 a 比 c 比过了啊， b 比 c 比过了，还有 a 和 b 没有多比啊，这也有一个名字叫正切，正还是正对的意思啊，正切呢啊，就是对边比上它的零边，那么根据这个定义，那 tangent 啊， tangent 的 a 呢，是等于 a 比上 boy b 好。 这三个概念，正就是正对啊，弦就是斜边，记住一个，其他两个都记住了，鱼就旁边。那正切呢，就是对边比上旁边好。这三个概念是不是了解了 三 a 等于 a b c 啊， cosine a 等于 b b c 好， tangent a 等于 a b b 啊，都理解了，是不是好，理解了之后啊，我们再来看一看，根据这个定义啊，那请同学们帮我写一写 sun b 三个 b， 来， 三个 b， 我 们以 b 为研究对象，三叫正写，对吧？正对的 b 笔上还是写边 b b 让 c， 而我们再来，那 cosine b 呢？ cosine b 的 旁边的这边，那就是 a 喽啊，是 a b c 啊，那 tangent b 呢？ tangency tangent b 比上 a 哈， b 比上 a 好， 那我们发现，当我们的角 a 和角 b 处于角 a 加上角 b 是 等于九十度，它俩是互余的状态，就满足了。这里的 sine b 和 cosine a 是 相等的。 同样道理来， sine a 和 cosine b 相乘是互为倒数。 说鱼弦说 cosplay 啊，不是啊，呃，这是 cosine c o s r n e 啊，这是 cosine s r n e 就是 e 不 发音， i 发自己的原音。 cosine 这个 code code c o 是 cosine cosine 啊，差不多就是你们英语学的那个读音规则啊，一模一样，反正就是没有违背你的意思啊。好，那当 a 和 b 互为的时候啊， t 乘 t 乘 b 是等于一哈，是吧？啊？没了啊，那么再来观察观察啊，那同学们帮我来算一算，就是 sine a 的 平方再加上 cosine a 的 平方等于几呢？ 等于六，等于一啊，等于一是吧？而 sine a 的 平方和 cosine a 的 平方就 c 分 之 c 分 之 c 平方分之 a 平方加 c 平方分之 b 平方等于 c 平方加 b 平方等于一啊，啊，是吧？好，那我们再来大家来观察一下，因为 因为三 a 是 等于 a 比 c 哦，你知道直角边是小于斜边的对吧？那三 a 一定是小于一哈， cosine a 呢？也肯定是小于一哈，因为是直角边，比较斜边，但 hundred a 呢，有没有可能它有可能大于一，也有可能小于一，对吧？啊，不一定与一啊，大小不一定。 好，那么大家再来看一看我，如果现在呢，取 a， b 的 中点，再取 i， c 的 中点啊，假设呢，我赏它两个字母，一个是 e， 一个是 f， 这是 e， 这是 f， 并且呢，这样是垂直的。那么在 r、 t 三角形 i， e， f 当中，我的 sine i 是 等于多少？ 好，我是取的中点啊，取的中点，取的中点，那就是中位线咯。这里是二分之 c， 这里是二分之 a， 这里是二分之 b。 哈， 啊，还是等于多少？还是等于二分之 a 比上二分之 c 等于 a， 比 c 吧。啊，那我们发现了，即使我在不同的三角形当中，我的三 a， 只要这个角 a 的 大小是确定的，三 a 三 a， 它怎么样？ 哎，他就是确定的。所以啊，咱们就理解了，为什么以前只要是三十度的三角形，他的三边之笔都满足的是一比高，三比二，只要是四十五度的，这样三角形就满足一比二，一比一，比根号二，是吧？所以，边与边的比值是固定的。而且，既然是比值了，他有没有单位啊？三 a 是 不是，是不是有单位的呀？有，有没有什么？三 a 等于五米？ 不行，他只是一个比值，是两个线段的比值啊，是没有单位的，对吧？好，那么记得我们这里呢，叫角定直定，没有单位哦，那么反过来，既然角确定了，直就定了，那直定呢？直定， 我比如说算 a 等于五分之三，那个角呢？其实也是确定的，叫直定角定。 就比如说一个数啊，一个一个角，嗯，它的对边比上那个在直角三角形啊，它的对边比上斜边是一个一比二。那这个角度是多少度等于多少度？ 三十对吧。哎，就是三十就确定了。那只不过是说啊，你知道 sin 三十度是等于二分之一，知道是 sin 二分之，嗯，那个值等于二分之一的是三十度我们只是不知道啊，到底是这个值确定之后那个对应的度数是多少但是实际上呢人类已经有这张大表了，你可以查表 到高中之后呢你还可以反求还可以反表示就啊啊反啊啊反明白吧啊好，我们一起来看啊居然有同学表示有点困难啊。就对你们实力啊表示怀疑。来四十五度假设他他说四十五度吧。三 a 三 a 叫什么。正对的那个正对的那个比上斜边一比更好， 等于分母有理化二分之刚好 cosine cosine cosine 是 一比刚好等于二分之刚好二 tangent tangent 正对的比上旁边的直角边两个直角边作比一比一 等于一没了吧 so easy so 好， 那我们继续三十度的锁定三十度三十度锁对的一一比上二二分之一没了好， cosine a 还是 a 旁边的这个 杠三比上二哈比上二没了。然后呢添着的呢？添着是正对的正对的一比上它旁边的杠三等于三分之杠 三三十度就完事了，我们推完了给大家休息好吧。好，再锁定一个六十度的对吧。六十度的哦。我要写吗我要记吗？不需要吧，因为三十和六十怎么样它俩互余差的。三等于什么 它的三等于什么等于 cosine 三十吧，等于直接写了二分之二。 cosine 呢？直接等于 sine 啊，二分之一添着呢，等于它的倒数了，等于刚好三分之三等于什么？刚好三没喽没喽。那所以啊宝贝我只需要记一个四十五度，只需要推一个三十度，只需要推一个四十度就行了吧。这又有何难度呢？

大家好，今天呢，我们一起来继续讲解三角函数在圆中如何用垂径定例来解决一些呃三角函数值的一些问题。 那么我们来看一下这道题。如图， c、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 一个外角角 e， c、 a 的 平分线， c、 d 过 a， b， c 三点 o 点呃，三点的 o 于就是圆 o 于，这个 这里应该是少了一个字啊，圆 o 于点 d， 那 么如果扩散角 acd 是 等于十分之根号十的，那么求散角 acb 的 值啊。整体来讲，实际上有用的条件，目前看到这里面有这样一个，一个是这个， 这个角是等于这个角的， c、 d 是 角呃，这个角 a、 c、 e 的 这个平分线。第二个还给了我们一个 a、 c、 d 的 这个 余弦值，但是啊，整个来讲，这个余弦值暂时呃是我们根本用不到的，因为这个 a、 c、 d 目前不是在一个直角三角形里面，所以这个十分之根号是目前 呃对于我们大呃我们来讲可能是不能直接用的。那么我们就在想，这个外角啊的角平分线有什么用处呢？ 首先对于圆来讲，外角我们在脑子里，在我们在考试的时候要思考一下，外角对圆来讲，有一个定律叫外角等于内对角，但是呢，它是应用于圆的内接四边形的，此时目前我们看一看有没有内接四边形，呃，因 如果我们连接一下 a、 d， 那 么内接四边形就是不是就出来了。首先因为角 d、 c、 e 为四边形 a、 b、 c、 d 的 外角，所以我们很容易知道这个角 d、 c、 e 是 等于角 d、 a、 b 的， 是等于这个角的，这个角是等于这个角的，对吗？这个角等于这个角，为什么？因为这个角加这个角是，大家清楚吧？等于一百八十度，而对于圆内接四边形对角是互补的，因此 dce 是 等于角 d、 a、 d、 a、 b 的， 这一点没有之一啊。接着然后我们来看一下，呃，这个转换到这一步来讲的话，我们就会在想，这个 a、 c、 d 是 不是属于圆的一个圆周角，那他会对应的是 a、 d 弧，那如果我们连接一下 d、 b， 如果我们连接一下 d、 b， 我 们就会发现哦，这个角 a、 c、 d 是 不是可以转换到角 a、 b、 d 的？ 这个是不是一个圆周角啊？大家是个等弧的圆周角，我为大家写一下啊，等弧圆周角， 那写到这里大家就很清楚了，因为 c、 d 是 角 e、 c、 a 的 平分线， 所以角 e、 c、 d 是 等于角 a、 c、 d 的， 就这两个角是相等的，所以我们马上就得到了角 d、 a、 b 是 等于角 a、 b、 d 的 啊，这两个角一等，我们马上就知道了，所以 a、 d 等于 b、 d 等角对，这个，当然这个里里面就是不仅这个 a、 d 等于 b、 d， 并且 a、 d 弧也是等于 b、 d 弧的，为什么等角对等弦呢？等弦对等弧啊，是不是在圆里面可以直接用啊？未必一定是个等腰三角形，我们的这个概念，因为我们要拓展到圆里面的这个概念，如果 a、 d 等于 a， 这个 a、 d 弧是等于 b、 d、 b、 d 弧的，那么接着我们从这个底点想，我们要接着想着这个前面这个条件我们已经用掉了，那么 cosine 角 a、 c、 d 的 这个值我们就要想一想，因为 cosine 角 a、 c、 d 瞬间我们其实就应该能够得到等于 cosine 角 a、 b、 d， 因为有没有看到这个条件，它俩角是一样的，因此我们就想到这个过底，这么我们先连接 d o， 然后延长 d o 到 f 点， 这个 f 点是在 ab 上，那么我们各位想一下，此时我们就要想到过圆心 o f 是 不是我们这个 d e、 f 是 过圆心的，因为我们是连接 d o 然后延长的， 并且哦，我们想想，我们的垂径定律是等分弧的，有人说这个是等分这个弧吗？等分的是不是 ab 弧？因为当时我们说垂径定律的时候等分弧， 等分弧的时候是可以等分 u 弧，也是可以等分列弧的，这两点都是成立的。过圆心等分 u 弧，现在是，那么我们就直接能够得到 d f 垂直于 ab 垂进定理，哦，记住啊，垂进定理里面，像这个过圆心啊，垂直啊等分弧，不管是等分优弧还是等分裂弧 或者等分弦，这里面有两个条件，我们就可以得到第三个条件了，当时啊，一定要记住这个定理，那么如果这地方是垂直的时候，马上这个条件是不是可以用了？ 因为扩散角 a、 c、 d 是 等于扩散角 a、 b、 d 的， 那等扩散角 a、 b、 d， 因为这里是有垂直的，马上我们就能用了，等于 b f 比上什么？比上这个 b、 d 啊，记住这个地方要记住，因为这个垂径定力也会引出这个 a f 等于 b f 的， 就是， 呃，我们继续会引出这个推论，不仅是垂直，而且呢平分弦的，那么此时这个等于十分之根号十，那我们此时就去设 b f 呢，是等于根号十 a、 b、 d 呢，是等于十 a 啊，这样子我们根据勾股定律把 d、 f 能不能求出来了？根据勾股定律 d、 f 是 不是等于 b、 d 的 平方减掉 b、 f 的 平方，那么我们带进去就得到了三根号十 a， 三根号十 a， 那 么在这个里面我们要再看一下，因为为我们最后是要求这个三角 a、 c、 b， 这个时候对于我们来讲，就稍微觉得这个 a、 c、 b 不 在一个直角三角形里面，那么我们去转换一下，因为这个角 a、 c、 b， 我 们来看一下角 a、 c、 b 是 对应的 ab 弧，那么对应 ab 弧的圆周角还有谁啊？ a、 d、 b 那 有同学就说了，老师 a、 d、 b 也不在直角三角形里面，那我们怎么办？我们再连接一下 b、 o， 我们发现什么呀？这个圆周角 a、 d、 b 是 不是等于两倍的角？这个 b、 o、 f， 因为这个 a、 d、 b 是 不是这个也是角？这个 d、 f 不 仅是一条垂线，也是角平分线啊，三线合一得到的对不对？这两个角是相等的，因此它是不是等于两倍的角 b、 o、 f。 噢，两倍角 b、 d、 f 写错了啊，两倍的角 b、 d、 f、 a、 d、 b 是 等于两倍的角 b、 d、 f。 而因为 b、 d、 f 是 一个圆周角啊，所以它又是等于什么呀？两倍的角 b、 d、 f 又等于角 bo、 f， 那我们是不是转换过去了？那么如果我们最终要求三角 a、 c 比，是不是就直接能够写成等于三角 b、 o、 f， 而 b、 o、 f 是 等于谁比谁的？这个 b、 o、 f 可是在这个什么直角三角形里面的，那么我们就等于零边三啊，对边比斜边 b、 f 比上 b o， 那么 b f 我 们已经知道了，现在目前我们其实只缺一个 b o， 也就是半径，如果我们能够把半径求出来，那么这道题就直接出来了啊，半径的话我们怎么来求？我们来看在三角形 o b f 中， 这个我们可以把这个半径就设为 r o b 平方等于什么？ o f 平方加上这个 b f 平方， 那我们一起来看一下这个 o b 是 不是就是 r 平方？ o f 的 话不要急，因为我们已经知道 d f 了，对不对？等于三根号十 a， 是 不是 d f 去减掉一个 r 是吗？这个地方是不是整个 d f 去减掉 r， 这里是 r， 那 这里是不是三根十 a 减 r 对 吧？那 b f 是 有的， b f 我 们是算出来的，是根号十 a 的 平方。 好，那么这样子解一下这个方程，我们就能够得到，所以得到 r 是 等于什么的呀？三分之五根号十 a， 那么这个 r 其实也就是 b o， 所以 最后我们再反上去直接写 b f 是 根号十 a， 然后 b o， 也就是这里的三分之五根号十 a， 那 么我们最后就约掉等于五分之三。 因此整道题目里面来讲，它需要添加的辅助线比较多，但是我也讲了每添加的辅助线，实际上 你看我们是一步步去添加的。像第一个我们是根据外角来去把 a、 b、 a、 d 添加出来，因为我们的外角想要得到什么圆内部的一个弦的关系，那得到了圆内部弦的关系，我们再得到了弧长的关系， 对不对？弧长关系以后，有了弧长以后，我们就想到垂径定离，接着我们就去做了一条什么连接 d o， 做了一条 d f， 用垂径定力得到更多的条件。最后由于我们还缺一个半径，我们再通过连接半径，通过勾股定律把半径求出来。 因此每一条辅助线并不是在同学们在考试的时候直接连出来的，而是通过抽丝剥茧层层的去把条件梳理出来的。好，今天我们就分享到这里，记得点赞关注哦！

大家好，今天我们继续来分享三角函数里面的一些相似三角形的与相似三角形结合的计算问题， 我们一起来看这道题。如图，正方形 a b， c， d 中 p 为 b， c 上的一点连接， a p 过底做 d， e 垂直于 a p 于 e， e， f 呢？平分角 d e p 交 d c 于 f。 那么看第一问，求证三角形 a， d， e 相似于三角形 p a b。 我 们来看第一个的相似三角形还是比较好证明的，因为我们的条件非常充分啊。来看这两个三角形，这个三角形和这个三角形。首先第一个充分条件是因为 a d 平行于 bc， 所以 我们的角 d， a， e 是 直接等于角 a p b 的 内错角相等，两直线平行内错角相等。另外一个非常容易看出来的角就是角，呃，因为什么？ 因为这个 d， e 啊，是垂直于 a p 的， 再加上正方形，所以我们的角 a e， d 呃，是等于角 a， b p 等于九十度的。因此第一问直接就出来了，三角形 a， d， e 相似于三角形 p a b 啊，这第一问是非常的简单的，这个相似呃，条件也是非常的直接的。那么来看第二问，他说 因为求证啊，要求证 d f 比上 c， f 是 等于 tangent 角 d a， e 的， 我们来分析一下，由上一问，我们知道 tangent 角 d a， e 就 这个角， 它在这个直角三角形里面，因为这个是垂直的嘛，它本身是应该等于 d e 啊，这个比上 a e 的， 我们其实要求证这个，那最终 最终，如果我们能证明 d e 等于 a， 呃， d e 比上 a e 等于 d f 比上 f c 的 话，那是不是就求证出来了 啊，就证明出来了，那其实我们就转换成这两条边的一个比例关系，比例关系，那么我们来一起看一下。呃，到目前为止，整个题目里还有一个条件没有用，就是 e f 平分 角 e p， 那 如果 e f 平分角 d e p， 那 我们马上就知道角 d、 e、 f 就 等于四十五度， 对不对？那么我们出来了一个特殊角，对于这个特殊角来讲的话，此时此时我们就想这个四十五度角我怎么把它运用起来，并且呢？让我们上面想要求证的这个地方是关联起来呢？ 啊，那么这个四十五度角，我一直讲的，我们要放在等腰直角三角形里面，它的意义才明显，因此我们就去做这个 d h 垂直于 e d 交 ef 的 延长线 于点 h， 然后延长它，这个地方有个 h 点出现了，然后连接一下 c h。 啊，大家非常明显地知道我想干什么了，此时我们在这个里面是不是就会出现一个手拉手模型了？在哪里呢？我们来看一下， 在一个三角形 a、 d、 e 和三角形 c、 d、 h 是 不是有个手拉手模型里面出现了？首先我们来看 a、 d 等于 cd， 是不是第一个条件，因为它们是正方形的邻边啊，这是第一个条件。第二个条件，角 a、 d、 e 是 等于角 c、 d、 h 的， 为什么？因为这两个角加上这个角都是九十度，所以这两个角相等。第二个条件，然后我们再加上 d、 e 是 等于什么的呀？ d h 的， 为什么？因为这个地方九十度，这个地方也是四十五度，这是个等腰 r t 三角形，所以我们非常容易得到三角形。 a， d e 全等于三角形 c d h s a s 手拉手模型，我之前讲过很多遍，基本上都是 s a s 的 一个模型，那么全等以后，我们就会得到全等，我们是为了得到什么呢？叫 a d a e d 就能够直接等于角 c h d 等于九十度，也就是说我就证明出了这个地方是个九十度角，然后这个是个九十度角了，以后我们再来看，所以因为角什么 c h f 也是四十五度，对吧？九十度减掉上面的四十五度，那这个角也是四十五度。呃，然后底我们就会知道什么，因为这个地方也是底，角也等于角 d e h， 所以 这个内错角相等，我们马上正出 d e 平行于 c h， d e 平行于 c h 以后，那么我们就有个八字形在里面啦，我们这个就能用起来啦。 d f 比上 c f 是 不是就等于 d e 比上 c h 由于全等啊， d e 比上 c h， c h 是 等于谁的？全等等 于 a e 是不是啊？ c h 是 不是等于 a e 的？ 那是不是就来了，就退回去了？是不是就等于 change 的 角？ d a e 这个就正出来了？第二问， 是通过我们一个全等，再隐身到我们的一个相似上面去，把这个问把它求解了出来，我们一起来看一下。第三问， 若 p c 等于 c f， a b 等于一，那么我们要求求证 b f 的 长度。此时我们可以先设 b f 是 等啊， b p 求 b p 的 长度， b p 是 为等于 x， 那 么如果因为正方形的边长 ab 等于一，是给我们的，所以每个边长都等于一，我们由第一问可知啊，这个可以直接用了吧？ 由我们第一问可知，这个角 d a e 是 等于角 a p b 的， 这个我们是知道的。另外，我们由第二问也可知，什么 d f 比上 c f 是 等于 tangent 角 d a e 的， 也等于。刚刚我们说的什么呀？ d f 比上 f c 的， 呃，等于 d f 比上 f c， 这个也等于刚刚的 d e 比上 a e 的， 对吧？那么我们也知道了，在 r t 三角形 a b p 中， change 角 a p b 是 不是等于 a b 比上 b p 是 不是一比 x？ 那么我们想想， a p b 是 等于 d a e 的， 所以我们是不是也等于 change 角 d a e 对 吧？也等于 d f 比上 c f， 因为 d f 是 不是等于 c d 去减掉 c f 因为这个地方也等于这个。那么 d f 是 不是等于一减掉 c f？ 因为 c d 是 一嘛？然后因为 p c 等于 c f 的，是吗？ 这个题目里面给到我们了，所以 d f 就 等于 c d 减掉 p c 等于一减掉 p c， 因为 p c 是 不是等于 b c 去减掉 b p 也是等于一减 x 的， 所以 d f 等于一减掉一减 b p 等于 b p 等于 x。 好， 接着，因为 f c 是 等于 p c 的， 等于一减 x， 所以 我们就得到了什么呀？一比 x 等于 x， 比上一减 x 是不是就出来了？好，因为这个地方是不是一比 x？ 然后 d f 是 不是 x？ c f 也是等于一减 x， 是 不是把这个带到这个里面去？ 把这两个的结果带到这个地方去，那是不是一减 x？ 呃，一比上 x 等于 x， 比上一减 x。 你 好，那么欢迎上车， x 平方就等于一减 x， 我 们交叉相乘，最后整理得到 x 平方加 x 减一等于零，得到 x 等于二分之根号五减一， 或者 x 等于二分之负一减根号五啊。但是由于我们的 x 设的是 b p 嘛， b p 是 不不能有负值的，因此把负值舍掉，最后 b p 就 等于二分之根号五减一。 那么这道题整体来讲，实际上第三问的难度不大，都是去沿用了什么第一和第二问的结论， 整体是沿用了第一问和第二问的结论。如果我们不把第一和第二问的结论去把它这个去使用的话，那么第三问基本上没有办法做。那由于第一问的结论这两个角相等啊，我们就能得到这两个的比例关系，然后再通过给到我们的条件，把这个 边去啊，把这个边笔的关系全部用 b p 求出来。因为我们最终求 b p 嘛，所以我们直接去设 b p， 所有的边全部与 b p 关联起来，最后就把 b p 求解出来了。好，今天我们就先分享到这里，记得点赞关注哦！