等价无穷小公式在哪一章

公式，看着多，找到规律分分钟就能记住。我们分成三组，有三对正反三个拓展和三组相似， 三 x t x e 得 x。 四帮减一法函数分别是 f 三 x x t t x 加一 在 x 区径于零时，都等价于 x。 第三组稍长，也有技巧把 x 看成零，来倍易的零，次方减一等于零，那零加一等于零， 咱再拓展一组。如果把 e 换成 a 时，那么右边乘以浪 a al a 换成 love you a， 右边则除以浪 a。 高中被拐求倒。公式，有一组很相似，请记住出现 a 的 x 四方形式 乘以浪 a 出现闹个 a 是除以浪 a。 再拓展一组 x 加一的 a， 次方减一等价于 ax 四，把 a 换成 n 分之一，就有了上面的公式。

我们来看一道把等 t 技巧和泰勒公式用到极致的极限计算的问题是这样一个式子，我们先处理什么呢？先式子先剪软的捏吧，我们先找个简单的看这个括号，当 x 确定的时候，这个括号呢，我给它减个一，再加个一。那你注意一下啊，这一部分是不等加 f 二分之一是吧？ 那这一部分按照等题公式，他也等价于负二分之 x， 所以整个呢，我们把它一等 t 是变这样的，因为老师打住，你这不瞎讲吗？那么加减怎么做等题啊， 这样想的肯定没听过直播是吧，加减也是可以等级的，我们总结一下啊，同阶相加，只要系数和是部位零的，那就可以替换。 这里还做了一个简单的证明，假设 u x 等加于 a 倍 x n 次方， v x 等加于 b 倍 x n 次方，然后这个 a 加 b 不等于 u x 是不可以选它， v x 是不可以选它，然后把它合到一起变这个形式。 那你注意，这个 a 加 b 只要不等零，这是不是等加于 a 加 b 再乘以 x n 次方。所以说呢，这里这个等 t 啊，是没有问题的。那接下来我们再来看分母上的另外一项， 那这一项怎么处理啊？你看，我们给它减个三 x， 再加个三 x， 要用到由泰勒公式我们隐身出来的等题公式，首先是 x 减三 x， 这是等加有六分之一 x 立方的。 其次呢，还有一个啊，这个 x 减去摊减 x 等价于负的三分之一 x 立方。那你看啊，这两部分，前面这个等价于六分之一 x 立方， 后面这个呢，先把 c x 看的整体，它是不等于负的三分之一 c x 立方，然后呢，再把 c x 等于 x， 是不是这样子的？哎，那你发现这两部分是什么关系啊？是不是又是同阶相加，并且系数和不为零？所以说呢，也可以等 最后等价以负的六分之一 x 地方分母上，这两项我们是不是就处理完了，再来看分子，分子怎么考虑呢？首先你看这两部分它有这么一个关系，我把这个 x 如果提到外面去，这是不是就有了 x 分之三 x， 然后呢，你再把这个一提出去，这上面是不是就减个一啊？这是第一步变形，第二步变形是井水，也是重点， 我把这个 x 分之三 x 减一，看成一个整体，然后这样呢来凑它怎么凑呢？括号里面减一，外面再减一，是不是选这样啊？ 然后到这里想干啥呢？我们还有一个泰罗公式，得出的等题公式，那就是这个式子，那你把这个式子和这个式对比一下，你会发现这个 x 分之三 x 减一，是不是就相当于上面的 x 是不是这里啊？注意他去不去零啊？他去零是没问题的，对不对？那所以说呢，我们就可以等替了，等替完了之后呢，把里面通分，注意这个 三 x 减 x， 再等 t 乘负的六分之一 x 立方，然后呢，再整理一下，就变这个形式了，那这么一来，我们分子分母这几项是不全部都完成了， t 代进去之后，答案就等于十二分之一。

这九道题全是零比零型，那这个题目你怎么判它是零比零呢？首先看分母，肯定是个零分子呢，叫一的零是一，扣三也零也是一，这个没人不知道吧？所以说拿到这个题直接开始落，你如果直接开始落，那你就完蛋了， 你上来就落的话，你发现分母这好复杂，这乘法的求导对吧？上面这里面还俯瞰，又是求导，是不是太累了？那么你先给我思考一下，这个人你认识吗？ 你还记得这个等加五乘小吗？刚才让你背的那六个等加于 x 的人记得吗？四个三角函数，一个对数，一个指数，是不是他有印象啊？给我有印象，这个人是等加于 x 的，乘除是可以直接用加减，要考虑一下对不对乘除直接用，首先先化减，先给我化成 x， 取向于零， 下面写成谁？哎，写成 x 风。那么上面如果你们对于无穷小量等价的话眼熟的话，是不是应 应该做一件事，叫啥呢？叫减一项加一项，哎，很好，有同学看到了，减一项加一项，减个一，加个一，这样的话呢，就有同学发现了，这个人就可以用等价，这个人也可以用等价，发现不了，同学先反应反应，这个等价是谁？在等价是谁？ 那写到这就从开始问了，老师，等价加减不是不能用吗？你怎么就敢用呢？经过咱们刚才的一个 分析，什么时候可以用？你敢不敢用？是不是因为我如果用完之后你发现你用完之后是谁？ x 风，你用完之后是谁？是二分之一 x， 他俩加一块 没有让我大哥消失对不对？我 x 方还在，而且下面刚好也是个 x 方，那我就可以用，如果要是你不敢用， 你怎么办？你拆，你拆开来看看看他极限存不存在？极限存在你就能拆，极限不存在你就不能拆。 我们可以拆，拆完之后大胆用，这个人等价于 x 方，这个人等价于二分之一 x 方。所以最后答案是啥？一加上二分之一，哎，等于二分之三，这就做完了。

所以你要问自己，问自己什么？你等价无穷小替换，你背过几个？你等价无穷小替换，你说背过八个？所以等价无穷小替换只不过是泰勒公司一种特殊情况， 听到没有？体会到没有？你怎么知道 c x 等加 x 啊？你怎么会背 c x 等加 x？ 答，怎么回答他？我是懂什么？那是因为我懂 c x 等于 x， 减加减加点点点，把更小的去掉，保留了 x。 所以脑海里面要把这句话提炼出来，等价无穷小替换，这是为了等价无穷小应该是背后的什么？是泰勒公式的 一种什么特殊情况？ 于是你问自己，你等价无群手背过几个？背过八个？所以各位在第一轮讲课三大计算的课程里面，我们泰勒公司要学几个？学八个，而统计七百只给你写了五个，这八个在哪里呢？十六页。 那么这逻辑是这么来的吗？ 你背过哪？哪些等价无穷小？ x 圈零售，这个不用记，跟着听就行了。不是不背过 c s 等加 s， 你背过什么？有同学说我没有背过，牛 多的很，这些都没背过，看到没有，所以回去赶快背好不好？我只能教到你这个奋战，你这公式不背我怎么教你啊？ 还有哪两个呢？还有一减 cosine 是等价什么？二分之一平方，还有哪个？一加 x 的 alpha 次密减一等价，什么 alpha s？ 这个你要不要记？你可以写，也可以不用写，好不好听哦？ 请你相信我在做自己最大努力去帮助你，去减你的负担。所以明年强化班听我的课，不用做笔记，我把课上讲的每一点都在今年新出版那个强化教材里面。所以同学今天听完课觉得好爽，听超哥的高速课竟敢不用做笔记。就跟听政治课上画画 就行，等这个阶段你可以记好不好，这个阶段你因为你现在啥也不懂啊。你可以记，关键我是需要看到你的 a 四超高值， 你不要给我一天到晚就抄本笔记，真的，你听好，我什么是同学都见过，都没用的好吧。哎呀，你听好 好不好，我刚才那个图片你看到没有？那没用的，那么抄这个有啥意思呢？听到没，我见过那抄的很漂亮的那，那么每次早起那么费劲的很，你看看你刚才看到没有，这个笔记抄了后有用。那我我就说，同学来跟着我一起做笔记吧， 我中午好好整理一下这个文档啊，这个好不好，真的，请你相信我。那个笔记啊你，你不想写就不写。好吧，我也不建议你写， 你天天晚上抄这个东西，那不是书上不都有吗？书上不都有吗？看到没有， 我也不知道在哪里，刚才都打开看到有。好吧，我见过同学那个笔记做的特别漂亮的，后面发现也考的不好，懂吗？这后面在想，那怎样能考好呢？不用做笔记好不好？那就不用做笔记。有什么做的啊？终于找到了好不好， 我觉得全中国的考生笔记，这是两个最典型的版本，你应该做不到这么漂亮，你看看这小伙子，连我课上讲的段子都抄下来，用不同颜色饼干做的漂亮啊，结果当年也没有考好， 听到没有，所以数学考好不是超本笔记好吧，但这个小伙很幸运，这叫天道酬勤，懂不懂？别人付出了很大努力以后，虽然但 数学单科没考好，但他录取了个九八五院校啊，现在还是那个学校的学生会主席干啥？你这就运气吗？懂不懂？但运气的背后是来源别人平时的努力懂不懂？这是小伙字看写的漂亮吗？我见为小姑娘啊，一个小姑娘做的最好的笔记本是这样看的。呀呀呀呀呀呀，看着头都痛啊， 你看到没有？你能看这个画面？这是你看看，哎呦，这是啥东西？如果你是有那种跟我一样密集症的同学，你看到这些头都痛，你说他这是啥东西呢？一个小便签个小便签捏好。这是哪？什么内容？这什么内容？这什么内容？ 最后考好了没有？还可以，但分数不是太高好不好？所以跟你分享，做一本好的笔记本只是考研数学取得高分的必要条件，而不是所谓的充分条件。什么东西就是考研数学高分的充分条件？方法对，草稿纸 用的多。好吧，所以你听好，以后你看我这个话写哪里？十六月第一段话是不是写这八个你今天因为你啥都不懂啊，你可以跟着我写好不好？或者你不想写就用笔画画回去背吧， 这叫特殊情况，所以各位你就需要体会什么，你就需要学什么哦，为什么 c x 等加 x 呢？这是水平面上让你看到的 冰山上的一角叫三 x 等加 x 背后的针线是什么？你要研究背后的针线是三 x 等于 x 怎么样减去六分之一 x 立方。你既然这么跟着我写加小 x 立方， 为什么 t n g s 会等加 x 啊？这是你看到的现象，其实它背后是什么？比如说告诉你 t， n， g， s 等于什么？ x 加三分之 x 立方加水小 o， x 立 x， x 等加 x 为什么？因为背后 x， x 等于什么？ x 加六分之 x 立方加小 o， x 立方继续 x x 等加 x 背后是什么？ x， x 怎么减？等于 x 再来 lowing 加 x 背后怎么写？是等于 x 减二分之一平方加三分之一 x 立方加小 x 立方继续 e 的 x 米等于什么？一加 x 加二分之一 x 平方加小 o， x 平方继续 cos 最简单就是 x， 求导嘛，四的阶层 x 四十米，加小 o， x 四十米，最后 最后一个一加上 x 的二法之米等于什么？一加二法 x 加二法乘二法减一，除以二 x 的平方加小 ox 的平方。写完了，我给你标注个时间。