泸州2025中考数学压轴题几何

上个视频呢，我们讲了二零二五年广安市中考数学的四道专题，那么今天呢，我们来讲二零二五年泸州市中考数学的四道专题。我们先来看第一道题， 这是一道选择题，他说在边长为二的正方形 a、 b， c， d 中， e 呢是 ab 的 中点， f 呢是 c 一 上的点啊， d f 等于 dc， 让我们求 a、 f 的 长，我们先把已知条件给大家记一下啊， e 是 中点，边长是二，那说明这个是一，这个是一，这个是二， 对不对？那么因为这个是直角，所以呢，在三角形 e、 b、 c 中， e b， 哎，比上 bc， 比上 c e， 它是不是等于一？比上二应该等于 根号五，一比二比根号五，是不是一比二比根号五？所以说接下来所有和这个三角形，和这个三角形相似的三角形，它的三边之笔都是这个啊。所以我建议你们在做题之前，可以把已知三角形它的三边之笔给它写出来啊，这样就不会出错。 那么再看一下啊，他说 d f 等于 dc， d f 等于 dc 的 话，那我们很明显可以做什么？可以做高呗，对吧？ 比如说高在这，比如说这个是 h 点， 那么过 d 点做 cf 的 高，那么 h 点同时也是 cf 的 中点，是不是？那我已经知道了， c、 d 长等于二了，是不是？你看啊，这个角是不等于这个角？好，这也有个直角，这也有个直角，说明三角形 c、 d、 h 和三角形 c、 e、 b 是 相似的， 那么相似的话，我 c、 d 长知道是二了，你看，就说斜边知道是二了，那么 c、 h 长呢？ c、 h 叉是不是等于 cd 叉，再除以根号五，对吧？所以我刚讲，把三边的关系给它写出来，也就说二除以根号五，那就是五分之二倍根号五， 所以 c h 长知道了，那么这样子的话， f h 是 不是就知道了？那 f h 跟它一样长，所以 c f 长等于多少？ c f 长是不是等于？ 嗯，两倍的 c h， 两倍的 c h 就 等于五分之四倍根号五，这 c f 长，那么 e f 我 们，我们能不能算？ e f 是 不是等于 c e 除减减去 c f c e 长是不是等于根号五？根号五减去 c f， 也就说等于五分之根号五， 根号五减去五分之四倍根号五嘛，又是五分之根号五。好，那就简单了嘛，那就简单了。你看，我过 f 点做底边的垂线， 比如说 h 就是 i， 那 你看啊，三角形 e f i 和 e c b 是 不相似的？ 是相似的，是不是？好，那说明 e f i 这个三角形，它三边之比也是一比二比根号五。那我 e f 长已经知道了，那么 e i 长， e i 长呢？ e i 长是不是等于斜边的长除以根号五，对吧？所以等于五分之一，是不是？那么 f i 呢？ f i 是 不是等于 e i 的 两倍，是吧？等于五分之二 啊？你看啊，在三角形 a f i 中， a f 我 们把五分之一提出来，是吧？那它就应该是， 呃， ai， ai 长度是五分之一，加上五加上一，就是五分之六，是吧？那就把五分之一提出来，就是六的平方，加上 f i 就是 二的平方， 也就是三十六加四四十四十至二倍根号十，五分之二倍根号十。所以答案选 b。 这题目难不难呢？嗯，不，不算难，口算也能算出来，口算也能算出来。所以呢，这种题目就不应该丢分啊，不应该丢分。好，这是。但是这个题目是今年泸州市中考数学选择题的最后一题啊。 那我们看填空题，他说如图，梯形 a， b， c， d， a、 d 平行 bc 啊， ab 等于 cd 等于十，然后呢，圆 o 和梯形的各个边就相切，那相切的话，我们先过圆心，把那个垂直给它做出来，是吧？ 好， 那就是这垂直的，这垂直的，这是垂直的啊，四个都是垂直的，比如说 h i j、 k 表演一下啊，然后呢，他说圆 o 的 面积是十六 pi， 那 这样子的话， 半径长多少？半径又等于四，准能够算出来啊。他让我们求什么呢？求 b 到 c、 d 的 距离。那有没有人直接过 b 做 c、 d 垂线啊？不用这样做啊，做就麻烦了。这种题目很明显要转化， 怎么转化呢？你看啊， b、 c、 d， 那 很明显我们要连接个三角形嘛，构造出一个三角形出来。 你看，我把 b、 d 一 连， b、 d 一 连，你会发现什么？ b、 d 一 连，你会发现什么？我如果说 b 的 h 的 距离是 b 的 c、 d 距离是 h 的 话，那么 h 乘以 c、 d， 它的 高，它的那个距离是不是等于啊？ bc 的 长，再乘以一个过 d 做它的垂线， 比如说至 l 的 话，乘以个 dl 是 不是没有问题吧？那么 dl 是 不是就等于 j h 啊？所以 h 我 们就可以化解出来了。 h 等于什么？ bc 长 乘以 d d， l， d， l 就是 j h， j h 就是 两倍的 r， 那 就是八，除以 c d， c、 d 也就是十，对吧？所以它就是五分之四倍的 bc， 那么 bc 场又等于两倍的 bh， 所以 它就等于五分之八倍的 bh， 是 吧？我们就话话讲到这了啊，我们再算，看看这个 bh 能不能算，要算 bh， 因为我们 ab 知道了，对吧？ 那么 bh 的 话是不是等于 bk 啊？那么 ab 知道了，我如果知道了 ak 是 不是 bh 就 立马算出来了，也就说他俩的同时， 也就说 ak bk 同时能算出来，那这时候呢，我就想到了，哎，能不能把 oa 连起来，我们构造另外一个辅助线， 把 b o 连起来，你看，这样一连，你会发现一个是 r， 你 看，你看，这样一连的话，因为 o k o j、 o h 都是切点， 那都是切线，所以的话，角 a o k 等于角 a o j， 是 不是？另外角 b o k 等于角 b o h， 是 不是？好，这样子的话， a o k a o j a b o k b o h。 好， 那这样子的话，你看角 a o b， 它是不是等于角 a o k 加上角 b o k， 是 不是？它等于二分之一乘以一百八十度，等于九十度，说明角 a o b 等于九十度， 是不是？如果角 a o b 等于九十度，我们算出来的话，那么其实根据射影定律啊， o k 的 平方就等于什么呢？ a k 乘以 b k 啊，你不知道我待会要跟你们讲，怎么正啊？那这样子的话，你看啊， 我想知道的是 a k 啊，是 b k， 那 么 a k 的 话，就可以用 b k 来表示，那就是 ab 长十减去 b k 长就是 a k， 是 不是？它就乘以一个 b k， 那么 o k 长呢？ o k 的 长度是四，那平方就是十六，是吧？我们算一下，那就是 b k 的 平方 移过去，就是减去十倍的 b k 加上十六，对吧？很明显，十字相乘，减二减八，是吧？那所以 b k 等于二或者是八，这个 b k 肯定是更长一点的，所以 b h 也等于， 所以这个东西就舍我保留一个八，所以 b h 上等于八啊，所以呢， h 就 等于五分之八，再乘以个八等于五分之六十四， 六十四除以，比较简单是不是？那有人可能说，哎，那这个地方是怎么来的呢？这个地方是怎么来的呢？这个东西呢，叫摄影定律， 其实你不知道也没关系，不知道用一个相似立马就能推倒出来啊，你看啊，三角形 a o b 和三角形 a o k 和三角形 b o k 是 都相似的，全部都相似的是不是？那么这样子的话，你会发现一个什么事啊？你看啊，我如果用三角形 a o k 和三角形呃， a， 嗯， k o b， 那 三角形 a o k 相似，三角形 a 就是 a o a 对 哪个？ a 对 是比较短的那个边的 a o k 是 不是？好，那这样子的话，你看啊， a o 比上 ob 就 等于 ak， 比上 ok 等于 ok， 比上 ok， 比上 bk， 是 不是？你看，我把这两个写一下乘过来，那就是 ok 的 平方等于 ak 乘以 bk， 是不是？所以这个东西呢，叫摄影定律，大家可以记住啊，大家可以记住，所以当这个角是直角的时候，就会有这么个定律啊，有这么个定律不难，但是呢，可以方便我们以后解决的时候有这么个思路啊，能够快速的把这个各个边给它求出来。 好，这是，呃，填空题的最后一道题啊，稍微有一点点难，因为他辅助线其实挺多的啊，但是整体思路应该不难。 嗯，整个逻辑上面应该是不太不太复杂的，但是呢，思路上你如果不清楚，比如说你不知道这九十度，那可能会有一点麻烦啊。好，我们再来看第三题。 第三题他说 a、 b、 c、 d 是 圆 o 的 直径，那么经过点 c 的 直线与过 b 的 切线，那么这样子的话，这个就是九十度，是不是？ 嗯，交于 e 点，然后与 b a 的 延长线交于 f 点，且 e b 等于 e c 啊？第一问，让我们求 ef 是 圆 o 的 切线， 那么关于证明一条直线或者是线段是另外一个圆它的切线的话，嗯，方法有很多。 嗯，场景呢，主要是两个，我讲过很多次了，一个是我们明确的知道这个圆和这个直线，它有一个公共点啊，比如说这里面的 c 点，那这时候呢，我们只要连接这个公共点和圆心，我只要证明垂直就可以了。第二个呢，是我们不知道这个圆和直线 有一个公共点，这时候呢，我们需要过圆心做这个直线，它的垂线，我们证明垂线断等于半径啊，这时候呢， 呃，也能说明它是切线。那这个题目呢，很明显，我们是知道这个 c 点既在圆上，也在 e、 f 上，所以呢，我们只需要连接 o c， 我 们证明垂直就可以了，对吧？所以比较简单啊。那怎么办呢？很明显，我们要连接 o e， 这个题目看着就比较简单， 是不是？我连接 o e 之后，你看 c e 等于 b e， 是 不是题目告诉我们的？然后呢？ o b 等于 o c， 然后呢， o e 等于 o e， 说明根据 s s s 三角形 o e c 和三角形 o e b 两个是全等的，那么这样子的话，对应角相等角 o b e 等于角， o c e 等于九十度，说明 o c 垂直 e f， 那 这个呢？我都不用写，是不是很简单，对不对？就不用写了啊？我们再来讲第二题， 不用写了吧？好，我看讲第二题啊，第二题的话， a f 等于十，他说， 然后呢？他又说三 f 等于三分之一，那么三 f 等于什么？三 f 的 话，是不是等于 o c 比上 o f， 是 吧？好，那么你 o c 场是不是等于 o v 场啊？ 是吧？那就是 o a 长呗， o f 长是不等于 af 加上 o a， 对 吧？它等于三分之一，那化减一下呗，是吧？好，那就是三倍的 o a 等于 af 加上 o a 啊，两倍的 o a 等于 af， 那么 o a 就 等于两倍的哦， a f 等于两倍的 o a， 所以 o a 就 等于五，是吧？所以呢，说明圆的半径是五。 好，那这样子的话，我们可以把三角形 f o c 啊，它三边的比例关系给它写出来啊。根据我们今天你看填空题、 选择题都是这样啊，就是我们先把这个三边比例啊，给它写出来，你给它写出来，这样子的话，我们就知道，呃，到时候如果再碰到一个相似三角形的话，三边能够迅速写出来啊，那就是 o c 比上 c， f 比上 o f， 就 三边比例就等于， 呃，一比上二倍根号二比上三，对吧？三 f 等于三分之一嘛，所以就是最小的比上斜边等于一比三，那中间就是三的平方减一的平方根号八，根号八是二倍根号二， 所以这三边比例我们要知道啊，然后呢？然后我们再看啊，那这样子的话， 你这样子的话， b e 是 不是也能够算出来啊？你看 b e 啊，在三角形 f b e 中，这个三角形和三角形，那 f、 c、 o 是 不是也是相似的， 对吧？因为有公共角 f 还有一个垂直，所以两三角形也是相似的，是不是？那这样子的话， b e b e 的 长度啊，也是能算出来的啊，你看我们已知什么呢？我们已知 o f 长度，我们算出来了啊。 o f 长度， o f 长度是不是 f a 加上 o a 等于十五，是吧？那么 ob 的 长度呢？又等于五，所以 f b 长度等于多少？十五加上五等于二十，就 f b 等于二十， f b 等于二十。 e b 呢？也就说较长的那个斜边啊，较长那个直角边比上较短那个直角边，就等于二倍根号除以一，是不是？那就是二十除以二倍根号， 是吧？我们要求的是 b 一 嘛，是最短的那个直角边嘛。所以你看，我们把这个关系写出来是很重要的啊，能够快速的方便我们解题。就是十除以根号就是五倍根号，所以 b 一 场是五倍根号， 哎， b 一 场是五倍根号，那这样子的话，我们呃， b 一 场是不是等于 c 一 场啊？对吧？ c 一 场， 那这样子的话，我们首先能够把第一场给算出来，是不是第一场算出来，因为让我们求异记嘛。 那么第一场是不是能算出来第一场，它就等于什么呢？等于 c e 的 平方加上 c、 d 的 平方， 对吧？好，根号下， c 一 平方就是二十五乘以二五十加上 c d 平方， c d 平方就是五加五等于十十个平方。一百 一百五十，一百五十就等于 一百五十除以二七十五除以二五十五除以五三，那就是五倍根号六，是吧？第一场是五倍根号六，那我这样哈，那我如果我过低一点 做它垂线，比如说这个点是 h 的 话，那么 dh， 呃， g 和这个 e b g 两个三角形肯定也是相似的，是吧？也，也是相，也是相似的。 好，这样子的话，我只要知道 dh 长度，我是不是就能够快速的知道 eg 长度了？那 dh 怎么算呢？ 我 d h 的 话，是不是可以这样算啊？我们再转换一下，转换成这个， 比如说这是 r 一 点 d h 长度，我如果过 c 点做 i 的 垂线的话啊，过那个 c 点做 b f 垂线的话， ci 长度和 d h 长度是不是一样的？ 因为 o c 等于 o d 嘛，对吧？再加上一个，呃，再加上一个直角，一个对零角，所以两个三角弦是 两个三角弦，根据 a a s， 两个三角弦是全等的，所以 ci， 所以 ci 就 等于什么呢？ h d 是 不是？好，那我求 ci 呗。那 ci 就 比较简单了是不是？ c i 是 不是比较简单？那么 c i 长度是不是 c i 的 长度乘以 f o 是 不是等于 f c 乘以 c o c i 啊？它乘以 f o 等于 f c 乘以 c o 面积嘛？那这样子的话， c i 长度是不能够算出来 f c f c 的 话，是不是等于 f o 除以 f o， f o 是 最长的，除以三，再乘以二倍根号二， f o 是 十五，十五除以三 啊，那个 c o 我 们是知道的啊，那这样子话就简简单了啊，我这个把这个删了，就就不要这么复杂，你看啊， c o 我 们是知道的，对吧？然后三角形 c o i 和三角形呃， f o c 是 不是也相似的？所以这个三角形 c o i， 它是也满足这个比例的，对吧？我现在已经知道了 co 了，那我要算 c i 的 话，那么 c i 是 不是等于 co 啊？ co 是 最长的斜边，对吧？就是五除以三，再乘以最较长的那个，乘以二倍根号二，所以就是三分之十倍根号， 所以它就等于 h d， 所以 h d 等于三分之十倍根号二。那么 e b 长度呢？ e b 长度是我们刚算的 呃，五倍根号二，那它一比呢，对吧？因为三角形 h d、 g 和三角形 e b g 两个相相似的嘛。所以 h d 比上 h d 比上 b e 长，就等于三分之十倍根号二除以五倍根号二，对吧？那就是二比三呗。是不是二比三？ 三分之十倍根号二，就是三分之五倍根号。乘以二，再除以五倍根号二，就就是三分之二呗。所以 h d， h d 比上 b e 就是 二比三。好，这样子我就知道了， eg 长度， eg 长度，它就等于五分之三倍的 e d， 是不是？那么 e d 我 们就知道了。是五倍根号六吗？那就是三。五分之三乘以五倍根号六，那就是三倍的根号六，是不是才没搞六？这题目难不难？也不算难，那就是需要反复的去转化，是吧？反复的转化啊，稍微有点麻烦啊， 有点麻烦。所以这个题目呢，难度系数两颗星吧。难度系数两颗星， 嗯，不算难啊，不算难。好，我们那这个题目直到反复去看啊，因为我觉得把这个东西列出来对你们解析非常有帮助。 把三边的关系列出来，这样子话，你能够快速的知道其中一边就能够算，另外一边啊，就不用再通过什么相似三角形，然后来比来算，然后很麻烦啊，很麻烦。好，这是第三题，是吧？第三题，好，我们再来看最后一道题 啊，前三，前三道题都不太难，都不太难，说明今年泸州市的中考题总体上是偏简单的。但是最后一道题有点难啊，我们看一下啊，他说在平面直角坐标系 x， o， y 中，抛物线 y 等于负 x， 平方加 b， x 加 c， 经过二三点 啊，经过二三点，那么与 x 轴交于负一，零和 b， 那 么两个未知数，两个坐标，那这样子我们可以把 b c 给算出来，带进去 啊，二三带进去，那就是三等于二，负四加上二， b 加上 c， 二等于去吧，负四加上二， b 加 c， 好， 第二个负一零，那就是零，等于负一带进去就是负一减 b 加上 c， 是 吧？好，一是二十，一是减二十，一是减二十的话，这就是三。负一加上负四减负一等于负三，负三移过去就是三，三加三，六六除以 三二，所以 b 口算出来等于二，那么 c 呢，就等于 c 等于一，加 b 就 等于三，对吧。所以这个啊，抛物线的解析式呢，我们就在这写啊， y 等于， 呃， y 等于负 x 平方加上二， x 加上三，是吧？ 负 x 平方加上二， x 加三。我们验证一下啊，二的时候，二的时候就是负四加四加三等于三，对的啊，负一的时候就是负一减二，二负三，负三加三等于零，对的啊，所以没有问题。好，再来看，那我就把这个删了啊， 看第二问，第二问，他说 c， d 在 直线， y 等于二分之一， x 加上二上点， e 呢？在 x 轴上， f 呢，是抛物线上位于第一象限的一个点 啊。 d 长形一点，说明 f， 我 们算出来，如果它这个，嗯，有很多种解的话，说明 f 要取大于零，大于零的，对吧？如果四边形 c， d e， f 是 正方形， 求 f 点坐标，求 f 点坐标 a 一 长不知道，那么 a 点的坐标我们知道了，对吧？抛物线 cd 二分之一 x 加二分之一 a 点坐标是负一的，带进去的话也满足条件，说明这个 cd 也经过 a 点， 那这样子的话， f 点坐标，我能不能这样啊？你看啊，嗯， 我把 c 的 坐标，我能不能这样啊？你看啊，嗯，我把 c 的 坐标， 反正有好几种解法啊。这个题目有好几种解法， e f， 它的斜率，我们现在是知道的斜率，知道的斜率是二分之一，是吧？ 斜率是二分之一。如果我设 f 点坐标是，那这样子话，我们设 a e， a e 长度 是 t， 假设我是假设啊，假设 a 长度是 t， 那 么 d 长度是多少？也就说 e 点坐标是多少？ e 点坐标，因为 a 点是负一零嘛，这个长度是 t， 那 么 e 点坐标就是 t， 减一，是不是 就是一点，就是 o e 嘛？ o e 就是 t， 减去 o a 长度就是一，就是一，就是一点，这边是 t， 减一零没问题吧？好，然后呢？ d e， d e 就 等于 d e 长度等于多少 啊？ d e 的 话就应该是二分之 t 了， 二分之 t 了，因为它这个它这个 y 等于二分之一 x， 如果过地点做它的垂线的话，这个你们上了高中就会知道，这个二分之 x， 这个二分之一呢，就是它的角的一个正正切值，对吧？正切值，那这样子的话，我们第一长度就能够算出来了，第一场就二分之 t， 那 么 e f 就 二分之 t， 对吧？ e f 等于二分之 t， 然后你 e f 和 c d 肯定是平行的，对吧？说明这个角正切齿也是等于二分之一的，那这样子的话，我过 f 点做它的垂线， 我 f 点坐标就可以表示出来了，是吧？ e f 等于二分之 d， e 等于二分之 t， 那 三分之比等于多少？ 等于一比上，比如说这是 h 的 话，嗯，这个长度是 h 的 话，那么 f h 比上 e h 比上 e f f h 应该是一， f h 比一，那么最终那个 f h 是 一，那么 eh 呢？就等于二根号五，一比二比根号五，是不是 f h 比上 e h 一 比二，一比二，对的啊，一比二比根号五，那么 e f 知道了，我们 f h 是 不是就知道了？ f h 就 等于 e f 除以根号五， e f 除以根号五，就是十分之根号五倍的 t， 是 吧？ 啊？ f h 等于 e f， 它除以根号五，二分之 t 除以根号五乘五分之根号五，就是十分之根号五 t， 对 的啊，那么 e h 呢？应该等于两倍等于五分之根号五倍的 t， 五分之根号五倍的 t。 好， 这样子我们来看一下啊，这样子的话， 那么因为 f 点坐标我们就知道了，是不是 f 点坐标是多少？是 e h 长加上，就是，就是 e 点坐标加上 e h 长，就是 t 减一， 加上 e h 长，加上五分之根号五倍的 t， 有 没有算错啊？这怎么这么麻烦？ f 点坐标会等于 o e o e 就是 e 减 t 减 e 加上 e h 五分之根号五倍的 t， 对 的呀， t 加上五分之根号五倍的 t 再减一，这是 f 点坐标，这是横坐标，坐标就是 f h。 f h 只是十分之根号五倍的 t 啊，太麻烦了，那我这样吧，我令我令， t 等于 t 等于五 m 啊，我给它化解一下，那这样子的话， f 点坐标就变成了什么？这就是一， 就是五 m， 五加上根号五五加上根号五 m 减一，然后五 m， 二分之根号五倍的 m， 是 吧？或者令它等于十 m 也可以啊， 画点一下，看能不能画出来啊。 这个 t 就是 五 m 啊，不对，这个地方写错了啊，这个题目运运运算量还是蛮大的。 这个是 t 加上五分之根号五，我得保证每一步都算。对啊， t 加上五分之根号五减一啊，这是十分之根号五 t， 这是五分之根号五加一 乘以五 m 就是 五 m， 先不化简，五 m 加上根号五倍的 m 减一，这个是二分之根号五倍的 m， 是 不是？好，那这样子的话，我们把它带入到这个方程里面， 那就是二分之根号五倍的 m 等于它的平方， 它的平方就是五，加上根号五五加上根号五，它的平方 m 的 平方加上一， 再减去二倍的五，加上根号五倍的 m， 是 吧？再加上两倍的， 两倍的。这个我把它直接化简一下，就变成了十 m 加上二倍根号五减二，十 m 加二倍，根号五减二，再加上个三， 是吧？一十九 啊，这个 m 算出来真麻烦。呃， m 可不可以再化简一下？ 根号五 m， t 等于。哎， t 等于根号五 m 吧， t 等于根号五 m 吧， 这样搞的话，数字就变变得很大了，对吧？ t 等于根号五 m， 就 这个题目呢？哎，这个题目预算量有点大啊， 可能是我设的方式不对啊，我们再看一下。呃，这个长度是 t， 这个 d e 长度呢，就是它除以根号五了，所以 d e 长度就等于， 哎，不对不对，错了，对吧，我就感觉到有点大，误差有点大啊，是吧？ 好，我设 a e 长度是 t， 那 么 d e 长度是多少？ d e 长度应该是五分之根号五倍的 t， 是 吧？就等于 e f 长。 好，那么 e f 长呢？再除以根号五，就等于 f h 了，所以 f h 就 等于再除以一个根号五，对吧？五分之 t， f h 等于五分之 t， 那 么 e h 呢？等于两倍的五分之二 t 第一长就是五分之根号五倍的 t 等于 e f 五分之根号五，再除以根号五就等于 f h， 这有五分之 t， 所以 e h 就 等于五分之二 t， 所以呢， f 点的坐标呢， 就是 o e 的 长度就 t 减一加上 e h， t 减一，加上五分之二 t， 是 吧？ f h 五分之 t， 哎，这个才对嘛，对吧？刚刚那算错了啊， e 减四八， t 减一，加上 e h 加上五分之二 t 减一加五分之二 t， 这个是五分高， f h 是 五分之 t， 那 这样子的话，我们练 t 等于五 m 吧。好吧，练 t 等于五 m， 因为它有个五分之，我不想这样算，就觉得太麻烦，那么 f 点坐标就可以化简成五 m 减一，五 m 减一，再加上二 t， 二 m 就是 二 m， 那 二 m 合并一下就七 m 减一五 m， 对 吧？五 m， 嗯，二 m 减一，然后 t 呢，是五 m m， 所以 f 点坐标是七 m 减一 m 带进去，那就是 m 等于负的四十九 m 平方加上一减去十四 m 加一减十四 m， 然后呢，再加上两倍的 x， 十四 m 减二加上三，对吧？就是四十九 m 平方， 然后减十四 m 加十四 m 减，减十四 m 加十四 m， 后面又有个加十四 m， 加二十八 m 减二十七 m， 是 吧？ 然后呢，这个是减一减一，减三加三啊，就没了啊，对吧？就没了。那这样子的话， m m 提出来四十九 m 减二十七等于零，所以 m 算出来等于零，或者是四十九分之二十七 啊，啊，比较大，是吧？所以 m 等于零肯定舍掉，是吧？因为它纵坐标不可能等于零，那么横坐标呢，就变成了 f， 四十九分之二十七乘以七就是七分之二十七，减去七分之七七分之二十 七分之二十，然后纵坐标是零，不对，纵坐标是四十九分之二十七啊，所以答案就是这个啊， 七分之二十四点九分之二十七啊，你看，还是有点麻烦的，真正麻烦在地方在什么呢？在于你会不会把这个关系式给它转换一下啊？转换一下，其实计算起来还是还是可以的啊， 预算量稍微稍微稍微有点大啊。这是第二本，看一下啊。好，我们再来看第三本。 第三问，他说 p x 一 y 在 抛物线， y 等于负 x 加 b 加 c 上啊， q 呢？ x 一 y 二在抛物线， y 等于 x 平方减去四 m 减二， x 加上四 m 平方加上二上。好，那我先给他写一下呗，对吧？呃， p 点， 那他说当 x 一 大于等于一小于等于二时， y 二减 y 一 的最小值等于三，求 m 的 值。那我先把 y 一 算出来，是吧？那 y 一 的话， 就把 x 一 带进去，那就是负 x 一 的平方加上两倍的 x 一 加上三，这是 y 一， 那么 y 二呢？ y 二就等于 y 二，因为它在抛物线这个上面，对吧？所以你要你不能带错了啊，就等于，因为它横坐标也是 x 啊，横坐标也是 x 一， 那就是 x 一 的平方减去四 m 减二倍的 x 一 加上四 m 平方，加上二，等于啊，就这个是吧？ 然后他说 y 二减 y 一 的最小值等于三，那 y 二减 y 一， 那我算一下呗， y 二减 y 一 就等于 好， x 一 平方减去负 x 平方，就是两倍的 x 一 平方，然后减去呃，四 m 减二，再减二，四 m 减四，四 m 加上四， 这就是不是？这是四 m 加上二，减四 m 加上二，再减去二，然后就是减四 m x a， 是 吧？就减四 m 加上二，减二，就减四 m x a， 然后呢？再加上四 m 平方，再加二，减三，减一， 加四 m 平方减一，对的啊，没问题。然后它的最小值等于三，就在这个区间范围之内，那这样子的话，我们可以这样啊，我们可以令 t 等于它，我把它看作成是一个 一个新的函数，这函数的自变量呢是 x 一， 那自变量是 x 一， 纵引变量呢是 t， 那 这样子的话，你看在一到二 这个范围之内，对吧？你的最小值等于三，那我就需要考虑一个情况，就是你的对称轴在。呃，这个地方写错了，对称轴在一到二之内， 如果对称轴在一到二之内，那么最小值应该在对称轴这地方取。如果你在左边， 那就应该最小值就在一这取在右边，那就在二这取。因为你是个，你是个开口向上的嘛，对吧？所以我就要讨论 同什么呢？第一个对准轴，对准轴算多多少啊？对准轴是负二 a 分 之 b 就 等于负的二 a 负二 a 分 之 b 负四 m 对 准轴算出来就是 m， 是 吧？如果第一种情况， m 小 于一， m 小 于一的话，它的最小值应该就在一，这取， 是不是一这去那，就是把一带进去，那就是二减去四 m， 加上四 m 平方减一，它就等于三， 是不是？那就是四 m 平方减四 m 就是 加一减三减二， 一减三等于二嘛，所以就是二 m 平方减二， m 减一等于零。好，那么 m 等于二 a 二 a 分 之负 b 加减根号下 b 平方减 c c， 也就是二分之一，这是八吗？二倍根号二加减根号二，二分之二 a 分 之负 b， 二 a 就是， 对吧？二 a 就是 四，负 b 就是 二，加减根号下 b 平方。嗯，四减四 a c。 哎，不对啊，按错了。 那所以说要检查二 a 就是 四，二 a 分 之负 b 加减根号下 b 平方减四 a c 加上四 a c 十八，对吧？所以就十二，十二就是二 b 根号三， 所以就是二分之一加减根号三，是吧？好， m 小 于一， 是不是？那就是一加根号三就要舍掉了。一加根号三是一，根号三是一点七嘛，二点七几除以二就大于几了，所以把它舍掉啊。所以 m 等于什么？ 所以 m 就 等于二分之一减根号三。这第一个，那么第二种情况是什么呢？我在这写啊。第二种情况 是 m 大 于一小于二，这时候它应该在对准轴，这取对准轴就是 m， 对 吧？所以就把把 m 带进去，也就说二 m 平方 减去四 m 平方，再加上四 m 平方减一，它等于多少？等于三 等于三，那么这就没了，没了。四 m 平方等于 四，除以二等于二， m 等于正负根号二，那肯定取一个正根号二呗，取一个正根号二，对吧？ 啊？所以 m 等于多少？所以 m 等于根号二，这是第二种情况，那么第三种情况是什么呢？第三种情况我在这写啊，第三种情况，因为我这空间空间是有限的。第三种情况就是 m 大 于二， m 大 于二的话，它最小值应该在二这取，对吧？那就把二带进去，二带进去的话，就是第一个，就是二的三次方，就是八， 减去二八 m 再加上四 m 平方减一等于多少？等于三？ 好，那就是四 m 平方再减八 m， 这是加七减三，加四等于零， 那这个一一一二，哎，这个指数看一下就 m 平方减二， m 加上一等于零，是吧？ m 减一的平方等于零， m 等于一，那 m 等于一的话，它肯定不满足于 m 大 于二，所以就要舍掉，对吧？所以最后答案就是什么？最后答案就是根号二和二分之一减根号三，所以两个情况都可以， 两个情况都可以，所以这个题目呢，也不算难。真正难的其实是第二小问。第二小问算起来有点复杂啊，而且容易出错。第一小问没有，那么 第一小问很简单，第三小问也没有那么难，就是分类讨论，你如果能讨论得到，就是没有任何错误，如果你讨论错了，那这题目就就没有分了啊。那么第二小问其实可能是最难的，计算起来可能要最是最麻烦的。 那么这个题呢，也不难啊。这个题呢，也不难啊，但这个题容易扣分，就是很多人可能做不出来。这个题呢，也简单。所以总体上来说，今年泸州市中考的话，可能最会道题的第二本稍微要难一点。后面呢是我们明天要讲到南充市的中考啊。 好，那么这个呢，就是我们今天讲的泸州市中考他的一个情况。嗯，如果家长觉得还不错的话，可以分享给你的孩子，如果同学们觉得还不错的话，可以分享给你的朋友。嗯，总体上来说偏简单。嗯，偏简单。然后 一百零四题可以好好再反复的再去学一下。然后其他的话，这道题啊可以反复的去看一下。嗯，好。那今天这个视频我们就讲到这，我们下个视频再见。拜拜。

咱们接着讲解亚洲题啊，今天呢，咱们开始讲第二道题目啊，来看题目 啊，首先它给了这个表示当中，哎，它这个 b 和是个 c 啊，我们不知道。然后呢，它与这个 x 轴交于 a 点和 b 点，那你看一下， a 点在这个位置， b 点呢？在这个位置 与 y 轴呢？交于 c 点，你还记得我们代表这些 a 点， b 点、 c 点代表什么意思吗？还记得吧，来与 y， 因为我们这个二次函数是 a x 平方加 b， x 加 c 是 不等于零啊， 它们每它们字母是有含义的，这个 c 的 含义代表什么？ c 的 含义就代表的是与 y 轴的交点，你看它与 y 轴的交点在这里，那么它的坐标是多少？那么这里的 c 是 不是多少？这是第一个考点。 第二个考点呢？你看这个图像与 x 轴的交点， x 交点是什么时候？是当这个一元二次方程等于零的时候，我们是不是要解出两个解啊？这两个解就是对应了一个 a 的 坐标，一个 b 的 坐标，明白吧？好，这里呢，他说了 a 的 坐标等于九和零，来， 它的坐标是九和零，这个 c 的 坐标是零和负三，那么从这里很明显我们就能够明确。什么问题呢？ 咱们这个总共有三个坐标，一个是 a， 一个 b， 一个是 c， c 和 e 就 等于负三了嘛，对不对？好，那么我们看它的 a 呢，是不是等于三分之一的题目给你说了嘛，对吧？现在最主要的问题解决这个 b， 这 b 怎么解决呢？你看它还有一个坐标，是这个九和零嘛，我们往里面一带是不就可以了，对吧？好，所以这题主要是带这个第一问啊，主要呢就是带坐标的问题 来，主要就是带坐标啊，那你看带几个坐标，它有两个坐标，我们就带两个呗，对吧？第一个坐标是九和零，我们带进去就是三分之一九的平方，加 b 乘以九，加 c 等于零。 第二个坐标呢，是零和负三，我们带进去就等于多少？ c 直接就等于负三了嘛，对吧？好，这样的话我们就可以往里面带来三分之八十一加九， b 减三是不等于零，对不对？那么这个约掉就等于二十七，二十七减三二十四。 好，这样的话，我们这个 b 是 不是就等于负的？ b 等于多少？是不是就等于这个负的？不对啊，这就是三三三八是约不掉，那么三三得九三八二十四，负的三分之八是不就可以了，对吧？好，这样的话，我们这个表达式就出来了， y 等于三分之一， x 平方是几啊？减三分之八， x 减三。好，一函数，咱们这个二函数就出来了。 第一问比较简单，如果你的基础，如果啊整体上来，嗯，一般的话，那么你就把第一问第二问做了就可以了。第二问的话，有时间就做，没时间就算了，对吧？咱们第一问至少还是可以得分的吧？至于这后面第二问和第三问的话，你有时间你就做，没时间就算了啊。好，接下来呢，咱们开始讲第二文了啊。 首先看一下啊，这个 p 呢，它为抛物线上的一个动点。好，我想问一下， 像这种 p 的 坐标，我们怎么进行假设呀？设坐标，哎，你说可以假设为 x 零 y 零行不行？行，可以，但这样有个不好的地方，他就才有两个位置数，明白吧？哎，我们还有一种假设方式，就说我把横坐标假设为 x 零 y 零呢， 本来它就在这个二次函数上嘛，我就把这个 x 零给它带进去，哎，就写为这种形式，哎，写为这种形式之后怎么办？它不就是一个两个一个未知数吗？从两个变到一个了吗？这样的话是不就稍微方便一点，明白吧？好， 然后呢，它说了， pcb pcb 这个角它和 obc 相等， obc 这个角度相等，你看，首先从位置的角上来说来看一下啊， 从位置他特意强调这种角度相等，一般特意强调角度相等，一般有哪些方式啊？哎，我第一个想法是考相似，对不对？ 好，第二个呢，是考平行了，你还记得吧？什么同位角了？内错角了？什么同旁内角，是不是还考平行的问题，对吧？好，是不是要考这个问题？那么你看一下，如果考相似的话，你看这个角度，你 很明显这个角和这角是不是就内错角了，对不对？就没有必要再从相似去出发了，因为相似比较麻烦吧，是吧？能简单咱们就简单一点，对不对？好，这样的话，哎，我这他这里旁边有个图的，咱们给他化解一下。第一种情况，他是平行了，哎，我们给他做一下平行线， p 点不就在这了，你看这个角和这角平行，哎，那么我们这个边和这边是不是就平行了？平行的话， c 的 坐标是零和负三，那么我们 p 的 横坐标 x 零重坐标是不是也应该等于负三呢？明白吧？好，因为是水平了嘛，水平重坐标像，注意下，水平是重相等， 如果是竖子呢？是横相等， 好，注意一下啊，因此，哎，我们首先啊，这个和第一问思想一样的啊，这个 p 点就在这二次函数上，既然就在二次函数上怎么办？就往里面一带是不就可以了，对不对？好，我们看一下带进去等于多少？这个 y 呢？我们本来表达式是 y 等于三分之一， x 方 三分之八， x 减三，现在呢，我把这个坐标 x 零负三往里面一带，负三就等于三分之一， x 零平方减三分之八， x 零减三，这个和这个约掉，那么零等于三分之一， 剩下就是解方程了，我就不说了，一步步解，你看着就行，两边有分母，我们尽量去分母，每个我们乘以个三是不就可以了？这都是最基本的计算啊，别出问题了 好，是不是就等于它了？来提一个 x 零出来，是不是 x 零减八呀？要么 x 零等于零，要么 x 零等于八，哎，它对应的不就是我们的这个零的时候对应的是 c 点吧，八的时候是对应的这个，这个不是 p 点，是不？不是 b 点啊？这 p 点， 那么这里就应该等于八。好，所以说 p 的 坐标就等于八到负三是不就可以了？好，完了吗？哎，注意一下，咱们是二次函数当中最大的一个特点是什么呢？它有多减， 就是有多种可能性，你一定要想想它有没有多种可能性，对不对？你看 p 点是不是在这个位置，那么 p 点除了这个位置，你看它讲强调的是这个角度和这个角度相等，你看一个在上方，一个在下方，对不对？好，那么我想问一下，有没有可能在上方呢？就比如说，你看 我这么来，哎，往这条线往上面走，你看这个角度和这个角度是不是也就相等了，对不对？好，我拿一个图上来啊， 我给它放到，放到，放到这一侧。 好，现在我们来看一下，现在如果是这样的话，来，你看这个角度和这个角度是不是相等了？此时 p 点在哪？ p 点是不是在这个位置了，明白吗？好，现在呢，我们看一下，如果是这种情况下，我们该如何去减呢？ 哎， b 的 坐标是九和零，这个 p 点不知道，仍然假设为 x， 零中坐标呢？三分之一 x 零方减去三分之八倍， x 零减三， 这个 c 的 坐标是零负三。那么现在的问题是，我们现在看一下这个角度和这个角度相等，它有什么用啊？我想想啊。 嗯，首先从值，从几何方面来说来，第一个从几何，这个他不就是想表达他是一个等腰三角形吗？对不对？你看这是一个等腰三角形， 等腰三角形这个边长和这个边长是相等，那么等腰三角形考试考三线合一了，对不对？是不是考这里的三线合一，但是三线合一啊，我看一下 不好考，那么我看一下，哎，我们这么来，你看一下这里的长度为多少？这里的长度是不是等于三的， 对不对？这里的长度为九的，对吧？然后呢，九的话，通过中间这个点，你看一下他是不是给它分为两段，其中这一段和这一段是不是相等了，怎么办？哎，我就把前面这段设为 x， 后面这一段是不是九减 x 了，哎， 九减 x， 那 么这个斜边是不是也是九减 x， 正好围成一个勾股定律，哎，这就是我们的几何特点，明白吧？ 你说能不能从相似去出发？来，我们看一下，第一个想法是从那个勾股定律对不对？三的平方加 x 平方等于九减 x 的 平方，哎，这是一个勾股定律，来咱们看一下第二个，能不能从这个相似，或者说是从三角函数去出法呢？ 因为我们要求这个点的坐标，我，我除非把这个点的坐标和这个点，哎，通过两个点， 我通过 c 点，假如这个点是一个一点一点吧，通过 c 点和一点，我是不是可以写入一个直线方程，再把这个直线方程和我们这个二次函数，哎，给它合在一起，是不是就可以解 p 点的坐标交，因为这个 p 点毕竟是两个直线的，这个直线和二次函数的交点嘛，我列方程解交点是不是就可以了？ 还有一种呢？是不是可不可以直接剪呢？你说直接剪的话，你看一下，像你看一下往这边 延长出去做垂线，但这样的话，你是不是有点偏麻烦？因为如果是这样的话，这个三角形他很明显是和这个三角形相似的，但这样的话还不如这个来快一点啊。如果从相似出发的话，还不如这个来快一点，我看一下还有没有一种。第三种能不能从三角函数去出发呢？ 三角函数，这个角的三角函数是知道的，这个角三角函数是知道，那么这个角的三角函数也是知道的。你看这个角，它是对边是三，邻边是九，所以说它的弹性 c， 它等于三比九，是不是等于三分之一的，它是知道的， 那么也说这个角它也是知道。但是现在我们要去 p 的 坐标啊，我们应该要找这个角才行，这个角你看，哎，你看一下啊，如果从这个 看一下啊，如果从这个三角函数去出发的话，你看这个角的三角函数和这个角的三角函数是不是相等，但是我们要求这个 p 点，我们是要利用这个三角函数，这个角是不是又和这个角相等，也就也就说我还得想办法解决这个点的坐标问题。 好，还得解决这个点的问题，所以说三角函数也不太合适，那么我就直接解这方程了吧，对不对？来，怎么来呢？我把这里设为 x， 这里是三，这里是九减 x， 给它翻过来，这里是不是也是一个九减 x？ 直接解勾股定律的吧，从三个想法当中，我更倾向于这个勾股定律，对不对？ 三的平方加 x， 平方等于九减 x 来，剩下是不是就解方程了， 它和它是不是就约掉了，对不对？然后把这个十八 x 移过来，等于八十一减九 七十二， x 等于十八分之七十二，九二九十八，八九七十二等于四，哎，这样的话，我们就可以求出它的横坐标，是不是就可以为四了，对不对 啊？那么也就四的话，人说这里的坐标就为四斗零，你看这里的坐标呢，是零斗负三，哎，我是不是就可以求出什么这个直线方程呢？对不对？直线方程是不是可以求出来了？一个是坐标是零三零负三，一个坐标是四和零。 来，我直接写一次函数，看你能不能跟得上啊，来 y 呢，就等于三比四， 三 b 上四， x 减三。哎，我直接这么写，你看能不能看得懂，哎，你说，如果没看懂，那么我就换种想法跟你说，首先我们既然求一次函数，我们不在乎是不是解决 k 和 b， 对不对？这个 b 啊，很直接，这里就等于负三，因为 b 就 代表和 y 轴的交点，你看是不是就等于负三呢？所以重点是求出这个 k， 这 k 要怎么解决呢？哎，我们讲一个公式啊，比如说，首先他已经知道了两个坐标， x 一， y 一， x 二， y 二，那么我要求 k 的 话，就是 y 一 减 y 二除以 x 一 减 x 二就可以了 啊，就这么来，这个公式呢，其实是高中那个公式啊，你可以直接用一下来吧。好，你看一个坐标是零负三，一个坐标是四和零，我直接减吧，负三减零，除以零减负四，那么是不就直接等于四分之三了？哎，这不就出来了，那么直线出来了，哎，我就开始，干嘛 解方程了呗，因为求焦点了嘛，和一，咱们这个二次函数求焦点就可以了啊，等多少？三分之一， x 的 平方减去三分之八， x 减三，好，等于它了。剩下的我们就该怎么做？ 两个 y 相等嘛？ 好，等它了，负三和负三，干嘛给掉 四分之三， x 等于零，是不等它了，对吧？好，等它之后怎么办？我们解方程三分之一，大家的分母都是三四十二的，我们数出十二了，每个乘一个十二，给它化简一下，四 x 方减去四十八，三十二 x 三三得九， x 等于零，减去四十一， x 等于零。提个 x 出来， 减去 x 四十一等于零，好来，要么 x 一 等于零，要么 x 二等于四的四分四十一了吧？啊？ 你看 x 等于零的时候，其实就是哪个点呢？像咱们这 c 点的横坐标，这个四分之四十一呢，是不是等于正好对应的是这个点的坐标了？四分之四十一，好，横坐标出来了，我们代入二函数是不是就可以了？四分之四十一的 平方减去三分之八，四分之四十一减三，你看横坐标，纵坐标不就出来了吗？这个算你就自己来了呗，对吧？啊， 这样的话，我们这个第二问，因此它有几个解了？它是不是有两个解了，对吧？你看第一个解的话，那么主要从哪出发了？平行出发，对不对？ 第二个解呢？就是主要呢涉及到这个角度啊，在上方的时候，哎，这种情况，对吧？那么在这种情况下，是啊，我有几种三种不同的想法，一个是几何，一个是相似，一个三角函数，哎，这个时候我发现，哎，我们用几何的勾股定律，是不是稍微直接一点，方便一点，对吧？好， 这咱们的第二问来，现在呢，我们来看一下最后的一问。看一下啊，最后一问啊，你如果基础还可以，你就做做，如果基础不行的话，或者说一般的话，你就别浪费这时间，先做做其他的记，先把分数得了再说明白吧。好。