二六年广东春季高考数学立体几何大题

去年压重原题，今年继续看我的广东春考数学选择题和大题压题。话不多说，先上图，必须是真实压重。你随便问一个江老师，去年的学员都行，今年有信心能压到更多。只要你考前有刷并弄懂错题，基本一百三十加，没太大问题。

距离广东春考还有二十三天，现在抖音暂停开始上课，那么今天来看一下模拟上的这道几何的这个大题， 那么看一下第一小题叫我们求一面直线所成角，那么这种类型其实在我前面视频当中的，呃，小题其实当中其实已经提到过了，你们可以去放一下，就是求一面直线加角那一期嘛。 那么一面夹角有几种类型？这种类型是不很明显，它是都是对角线，对吧？一个 c d， 还有一个 b c， 就是 这条线后面的这条线，那么都是对角线，都是正方形的对角线的话，如果在小题当中你去要选夹角，那么它就直接是六十度了， 因为让我们看一下，呃，假角的话，我们要怎么去求它的角是不是要平移啊？两条线它没有，它没有焦点的话，那么你要把它平移，我们这个相当在平面内去举例，现在这两条线它是不是还没有焦点，但是它无限延长，它有一个焦点，当时我们就假设它是一命之星嘛，我们要怎么去找出它的一点，是不是要平移啊？保持其中一条线不变，去平移另外的一条线，注意要平移 平行它才能保持它角角不变。假设我们要平移这条线，那么往左去平移到这边，那你看当它有焦点的时候，它就能产生一个角，那么放在放在立体图形当中也是一样的，你看 c、 d， 它是后面的正方形的对角线，然后呃，我们是不是可以让它 v c e， 它也是右边这个面的一条对角线，那么我们就保持其中一条线不变，来移动另外的一条，那么我们就假设 c、 d 这条线不动好了，后面的线不动来平移右边的这条 v、 c、 e， 那 么我们就把它平移到左边的这个平面来，是不是呢？平移到 a、 d、 e 这条线， 对吧？你看现在 a、 d、 e 跟 c、 e、 b 这两条线，它就是互相平行的，现在平移之后的 a、 d、 e， 它跟后面的对角线 c、 d、 e， 它是不是有一个，有一个焦点， 有一个焦点，而且它现在是不是也产生了一个角，对吧？说明现在我们就可以来求它的一个嗯，角的一个角度了，现在求角度怎么求？是不是把另外的一条 c、 d， a、 c 也连起来？ ok， 所以 在这道题当中我们就做了两条辅助线，那么我们来写这个过程。第一题 嗯解，因为它第二小题是求正，我们第一小题是求斜解，连了两条线连接 a、 d、 e， 还有哪一条？ a、 c， 对 吧？那么第一步我们首先要证明平移这条线是它是平行的，那么怎么去证明平行？ 其实不太建议说在正方体里，写在正方体里面，然后就说它两条对角线是互相平行而且相等的，最好是要把它放在一个四边形里面，去证明它是一个四边形呢？它是不是放在四边形？ a， d， c、 e、 d 这四边形，对吧？是一个四边形里面， 那你去证明，怎么去证明它是一个平行四边形呢？就去证明它另外两条，两条边平行且相等，那么另外两条边平行且相等，它是正方体的一个性质，说明我们就直接写在，因为在正方体 a、 b、 c， d， a， e， b， e， c， e， d， e 中，两条线 a、 b 还有一个 c、 e、 d、 e， 它是平行写相等，平行写相等它你可以写成这个符号，不用，不用分开写，所以意助这边平行写相等的话，说明四边形 a、 b、 c、 e、 d、 e 就 为平行。四、平行，说明另外两条边，我们要求的这条边，还有这条边，刚才讲了我们要平行，这两条边就是互相平行的，说明 b、 c、 e 就 平行于 a、 d。 那 么平行之后呢？我们就能写 它哪个角，我们标出是哪个角是角，对吧？所以角 a、 d、 e、 c 为异面平行。 两条异面平行， c、 d、 e、 b、 c、 e 所成角，说明现在下 知道哪个角它是它一面之间所成角之后，我们就可以来求角度。那么怎么求这三条对角？你看这一组成这三条边，一、二、三三条边，它是不是都是正方形的一个对角线？说明我们直接说，因为 a、 d、 e 都好， c、 d、 e 都好， a、 c 为正 方体中正方形的对角线， 它都是面同相等的正方形的对角线，说明它的长度相等，所以 a、 d、 e 就 等于 c， d、 e 等于 a、 c， 说明三条边上的话，它就是一个等边三角形三角形 a、 d、 e、 c 为等边三角形。 等变的话，说明他每个内角都是六十度，说明我们要的这个角角 a、 d、 e、 c 等于六十度，所以就下结论，所以一面直线，一面直线，两条直线所成角为六十度，答一下对吧？问题答一下对吧？ ok， 这个就是第一小题的一个过程，还有思路，你们需要的就可以把它截图写下来。 第二小题，求线面平行。那我们先复习一下线面平行的图形圆是什么？是平面外的一条线，平行于平面内的一条线啊。 a 平行于 b， a 是 不属于阿法的， b 是 属于阿法的。根据这三个条件就能证明 a 跟阿法是平行的，所以最主要的就是证明平，平行。 线跟线平行，那么这正线面平行，它是不是两种类型？它那两条线 a 跟 b 平行，那两条线是不是有可能一长一短，有可能一样长？大概率是考这种类型，有考的话，那我怎么去找这个线呢？你看哪个线是平面外的线？是不是 m a， 对 吧？平面在哪？平面下面。 那我们要怎么知道？我们之前在前面的视频讲过的时候，相当于你在呃你的试卷当中，然后你拿一条笔或者拿一个直尺，最好是直尺吧，因为它是透明的， 把它标在这边，标在你要求要求的这条屏幕外的这条线这边，然后往平面方向移过去，移到香蕉的时候，你就能看出哪是哪条线。这道题相当，你要把这个 b 移到相对，把 m 把 m 移到 b 这个点，对吧？说明假设的，我划一下在图形当中，是不？下面这样子， 对，差不多这样子，你拿一个尺子往下移过来，就是这样。那么你看一下它是不是交到了这条线，交到了这条线，它那么是什么类型？是不是异常和一短？ 你看这两条，我加深了这条 m、 n， 还有这条下面这条 b、 d， 它是一长一短，那么一长的话，就相当于要把它放在同一个三角形里面去证明它是中位线，或者是有一些题目当中有可能是三等，分点四等，那么你就要去证明相似，那么比较常见的还是中点，就是这 放在同一个三角形里面，它这里是重点，这边也是重点，那么连起来它就是这个三角形的一个中位线，那么它就是跟另外跟第三边的平行，那么很同样的，你在这个图形当中，你看一下 m、 n 还有 b、 d 要怎么放在同一个三角形里面，是不是要把 c、 e、 d 连起来，那么它这一个交叉的 m 在 这边， c、 e 在 这里， d 在 这里， b 在 这里，对吧？ ok， 那 么这道题思路分析完，我们就来写这一个过程， 那么在在题目当中我们需要去连什么线？是不是 b、 d 需要连，对吧？还有一个 c、 d 也需要连，那么因为它是被挡住的线，正常要把它画成虚线， 现在来写这个过程。第二证，求证，证明，因为 m 是 终点，是题目当中给我们的 n， n 是 什么？ n 是 谁的终点？ n 是 要说它是 c、 e、 d 的 一个终点， 对吧？ c、 e、 d 的 一个终点的话，那么看一下题目当中给的你是哪一个条件？请注意，题目当中给的你是 n。 四、 c、 d 的 终点，但是现在我们要说的是 c、 e、 d 的 终点，说明我们这一个终点需要来讨论一下怎么去讨论 平行四边形或者平正方形，它的对角线终点是同条同一个点，对吧？说明你看我们后面已经把那个对角线给它连上去了，说明现在回来直接说明，因为 四边形后面的那个四边形 c、 d、 d， e、 c、 e 为正方形，加上这个 n， 它是这个 c、 d、 e 的 中点， 说明 n 是 另外一条交线， c、 e、 d 另外一条交线，我们连起来这条呃的中点，中点， ok 哦，零线还没写，作兴的话，作兴话正常就写在题目当中就行。连接 b， d 还有逗号，还有一个 c， e， d， ok， 它是 c， e， d 的 终点，说明我们把刚才那个三角形给它拎出来。 c， e， d， c， n 已经说它是终点的，拆个 m 对 吧？ m 是 b， c， e 的 终点，说明这条 m， m， n 是 三角形 c， d， c， e， 哦，不对，搞错了，这边是 b， b， d， c， e 的 中位线， 有中位线的，那么就可以说平行 m， n 会平行于 b， d， 那 么就出来了 m， n 这边平面外的线会平行于平面内的线，说明我们就刚才那把那个图形语音给大家再写一下， a 平行于 b， a 不 属于阿法， b 属于阿法，对吧？那么这个平行就对应了图形与这个平行，那么就差写一个不属于和属于，因为 m， n 不 属于平面 a， b， c， d， 而 b， d 呢？它是属于平面 a， b， c， d 的， 说明啊，你看这对应的右边，这里说明我们就会下结论，线根面平行 m， a 平行于平面 a， b， c， d， ok， 这个就是这道题的一个过程。

一道题带你学会立体几何和空间向量。哈喽，大家好，我是祝老师，我们今天继续看高考数学真题。这道题是二零二二年高考数学全国一卷的解答题第十九题，我们一起看一下， 他说如图，直三棱柱 abc， 杠 abc 的 体积为四，三角形 a、 e、 b、 c 的 面积为二。 b 杠二， 第一问，让我们求点 a 到平面 a、 e、 b、 c 的 距离，那我们看下应该怎么求它？求点到平面的距离，大家一般想到的思路就是用法向量做数量积，求夹角，然后再求距离嘛。但这道题只给了一个三棱柱的体积，还给了一个三角形的面积， 给的条件非常的有限，那我们用什么方法可以解决？在立体几何当中，我们一般有三种方法，第一种的话就是直接用立体几何的性质，第二种方法是向量，第三种方法是空间直角坐标系。那我们看下这道题我们可以用什么？在条件这么有限的情况下，我们是不是直接用几何的基本性质啊？ 那我们看一下，你看他给了你三角形 a、 e、 b、 c 的 面积是二倍杠二，他让你求的是点 a 到这个三角形 a、 e、 b、 c 的 距离，题里还给了值三棱柱的体积， 那我们可以连线到什么？是不是可以连线到体积？它让求点 a 到平面 a、 e、 b、 c 的 距离，其实也就是求点 a 到这个平面 a、 e、 b、 c 的 高嘛，对吧？那我们看在这个三棱锥 a、 杠 a、 e、 b、 c 中， 它的体积应该是什么？我们写下来，我们设点 a 到平面 abc 的 距离，也就是这条高为 h， 那 么它的体积就是三分之一乘以三角形 a、 e、 b、 c 的 面积，再乘以 h， 是 吧？也就是三分之二倍。根号二 h。 这个三棱锥我们是不是还可以看成是什么？看成是以点 a 一 为顶点，以三角形 a、 b、 c 为底面的一个三棱锥啊。那么这个三棱锥还可以写成 a 一 杠 abc 的 形式，它的体积等于三分之一底，面积是什么？底面是这个三角形 abc 高呢？因为这是个值三棱柱，所以它的高是 a 一， 这就是三分之一乘以 s， 三角形 abc 再乘以 a 一。 那你看这个三角形 a、 b、 c 乘以这个高 a、 a 一， 它的体积什么？它是不是正好就是这个三棱柱的体积啊？所以它等于什么？它就等于三分之一，乘以四就是三分之四，那么也就是三分之二倍。根号二的 h 等于三分之四 h 是 等于根号二的，也就是说点 a 到平面 a、 e、 b、 c 的 距离是根号二。那我们再来看下第二问呢？他说设点 d 为 a、 e、 c 的 中点， a、 a、 e 等于 ab， 平面 a、 e、 b、 c 垂直于平面 a、 b、 b、 e、 a、 e。 让我们求二面角 a、 b、 d、 c 的 正弦值，那一般涉及到求这种正弦值啊，余弦值的这种问题，是不是一定就要用到数量机了？那我们怎么用数量机？是不是一般用空间向量来做数量机是最方便的？ 他说 a a 一 等于 ab 是 一个值三棱柱，所以说 a a 一 和 b b 一 都是垂直于底面的嘛？垂直于 ab 的， 所以说这个四边形 a a 一 b 一 b， 它肯定是个矩形，又因为 a、 a 一 等于 ab， 所以 其实它就是个正方形，对不对？他还说了，平面 a、 e、 b、 c 垂直于平面 a、 b、 b 一， a 一， 这两个平面相交于直线 a、 b， 对 不对？那我们来把 a、 b 一 连起来看一下。我们刚刚说了这个四边形 a、 b、 b 一， a 一， 它是个矩形，所以说 a、 b 一 肯定是垂直于 a、 b 的， 对不对？那么根据平面与平面的垂直性质，我们可以知道， 当两个平面互相垂直的时候，如果其中一个平面内的一条直线垂直于它们的相交直线，那么这条直线垂直于另一个平面，也就是说 a、 b、 e， 它是垂直于平面 a、 e、 b、 c 的， 那又因为 b、 c 属于这个平面 a、 e、 b、 c 中，所以说我们可以得到什么？我们可以得到 a、 b 一， 它是垂直于 b、 c 的， 那我们还知道这是一个直角楞柱，也就是 b、 b 一 是肯定是垂直于底面 a、 b、 c 的， 那因为 b、 c 又属于这个底面 a、 b、 c 中，所以我们可以得到什么？我们可以得到 b、 b 一 是垂直于 b、 c 的， 对吧？我们现在有这两个条件， bc， 它既垂直于 a、 b 一， 它又垂直于 bb 一。 让我们看一下 a、 b 一 和 bb 一 是不是相交于点 b 一 啊？而且它们俩都在平面 a、 b、 b、 a 一 中， 那我们可以得到什么？我们是不是就可以得到 bc 是 垂直于平面 a、 b、 b、 a 一 的，那我们就可以得出 bc 是 垂直于 ab 的， 那你看 abbc 和 bb 是 不是三者两两垂直，那是不是我们就可以建立空间直角坐标系了？ 那我们就以点 b 为圆点， bc 为 x 轴， b、 a 为 y 轴， b、 b 一 为 z 轴，建立空间直角坐标系。那我们看一下第一问，求出了点 a 到平面 a 一 bc 的 距离是根号二。我们刚刚说了 a 一 b 一， 它是垂直于平面 a 一 bc 的， 也就是说这一段 就是点 a 到平面 a 一 bc 的 距离，对不对？那也就是说这块是等于二的， 那这是一个矩形，所以说 a 一 这里是二，那 ab 就 等于二，那 a 一 b 就是 二倍杠二。我们还知道三角形 a 一 bc 的 面积是二倍杠二， bc 是 垂直于平面 a、 b、 b、 a 的， 也就是说 bc 是 垂直于 ab 的， 那我们就可以得到 bc 是 等于二的， 那他让我们求二面角 a、 b、 d 和 c 的 正弦值，那我们是不是就要把点 a、 b、 d 还有 c 他 们几个点的坐标表出来啊？点 a 的 坐标是什么？零逗号二逗号零。点 b 是 圆点，就是零逗号零逗号零， 点 c 就是 二逗号零逗号零，那点 d 是 什么？题里说了 d 是 a、 e、 c 的 中点，那我们看下 a、 e 的 坐标是什么？ a 一 是零逗号二逗号二，那点 d 是 a 一 和 c 的 中点，所以点 d 的 坐标就是一逗号一逗号一。 想求这个二面角的正弦值，我们是不是分别求出这两个平面的法向量，然后让他们做数量积啊？那我们先来求一下平面 abd 和平面 bcd 的 法向量吧。我们设平面 abd 的 法向量 m， 它的坐标为 x， 逗号 y， 逗号 z， 那 么是不是就可以得到 m 与 b a 的 数量积等于零， m 与 b、 d 的 数量积等于零。 那我们看下向量 b、 a 的 坐标是什么？向量 b、 a 的 坐标就是零多少二多少零嘛？二 y 等于零，那这个向量 b、 d 的 坐标向量向量 b、 d 的 坐标是一多少一多少一 x 加 y 加 z 等于零， 那我们让 x 等于一，那我们就可以求出发现了。 m， 它的坐标是什么？是一逗号零，逗号负一。那我们再来求一下平面 b、 c、 d 的 发向量。我们设面 b、 c、 d 的 发向量 n， 它的坐标是 x， 逗号 y 多少 z。 那 么一样的连立方程组， n 与 b、 d 的 发向量等于零， n 与 b、 c 的 发向量作数量积等于零。所以第一个就是向量 b、 d 的 坐标是一多少一多少一，也就是 x 加 y 加 z 等于零， b、 c 呢？向量 b、 c 的 坐标是二多少零多少零，也就是二 x 等于零，那么设 y 等于的话，向量 n 的 坐标就是零，多号一，多号负一。 那两个法向量的坐标我们都求出来了，那我们来求一下两个法向量的夹角吧。 cosine 等于 m 和 n 的 数量积比上 m 的 长度乘以 n 的 长度，也就是负一乘以负一，比上根号二，乘以根号二，等于二分之一。那最后他让我们求的是正弦值。所以我们可以得出 cosine 等于根号下一减 q 三 c 的 平方，也就是一减去四分之一，最后求出来等于二分之根号三。

hello， 同学们，大家晚上好，今天晚上给大家更新一期例题几何。那么今天这个题目呢？第一问是让你证明一个面面垂直，第二问是证明线面平行。先来看题目中的已知条件， c、 c 一 垂直于 abc， 这个是线面垂直，那么根据线面垂直的定义，我们知道 c、 c 一 就会垂直于底下这个面的任意一条直线啊，这个后续我们要用到的。好。第二个，这个三角形是一个等边三角形，并且 d 是 终点 哦，这个等腰三角形顶点和我们中点的连线，是不是和我这个底边是垂直的关系啊？好，先来看第一问，那么根据我们刚才的这个推论啊，因为三角形 abc 为等边 三角形，并且 d 为 ab 中点， 所以我们知道 a、 d 是 不是就是垂直于 c、 d 的？ 我为什么要写 a、 d 呢？因为你看现在这个，如果把 c、 c、 d 看成是一个平面的话啊，那么我这个 a、 d 好 像就像是它的一条垂线， 我要证明 a、 d 是 它的一条垂线，仅仅只垂直于 c、 d 是 完完全全不够的。因为线面垂直的判定定理要求我们要在这个平面内找到两条相交的直线和它垂直，是不是才可以啊？所以我们又可以再用到第一个条件。哎，就是说我们刚开始说的 c、 c 一 垂直于平面 abc 啊，那么又因为我这个 a、 d 它是不是包含于平面 abc 的 啊？平面两字我省略没写啊，那所以说 这个 c、 c、 e 就 垂直于我们的 a、 d。 好， 你看现在的两个条件哈，一个是 a、 d 垂直于 c、 d， 一个是 a、 d 垂直于 c c、 e， 这两条线是不是都是我的平面 c、 c、 d 上的，并且它俩还相交啊？又因为 c、 d 交上 c、 c、 e 于点 c， 并且呢，这个 c、 d、 c、 c、 e 都包含于平面 c、 e、 c、 d 啊，所以我们就证明了 a、 d 啊，它是垂直于 c、 e、 c、 d 的， 或者说 a、 d 就是 这个平面的一条垂线哦，既然垂线找到了，那过这条垂线的任意一个面是不都和这个平面是垂直的？嗯，那你看，现在我这个 a、 d， 很 明显它是包含于平面 a、 d、 c、 e 的 好，所以就证明了我们的题目 c、 e、 c、 d 啊，是垂直于 a、 d、 c、 e 啊。你在书写的过程中，一定要把这个平面两次加上哈。好，这第一问 好，再来看第二问，第二问呢？是线面平行。那根据线面平行的判定定律，我们知道，要想证明一条线平行于一个面，我必须在这个面内找到一条线和它平行才可以啊。那么现在呢，没有现成的这个平行线，所以我们要去做一个辅助线。 做辅助线有两个原则啊，一个是连对角线，再一个就是去构造中点，去找三角形的中位线。好，现在很明显还有一个正方形的对角线没有连起来啊，那就是 b、 c、 e。 当我连接这条对角线之后， 它与 b、 e、 c 相当于点 o， 这个点 o 是 不刚好是一个中点啊？那你再去连接你的 o、 d 的 时候，会发现它这个 o、 d 刚好就是三角形 a、 b、 c、 e 的 中位线。好 连接 b、 c、 e 啊， b、 c、 e 交上 b、 e、 c 于点 o、 o 为，嗯，谁的终点？ b、 c、 e 终点，又因为 d 为 b a 终点， 哎，所以这个 o、 d 是 不是就是平行于 a、 c、 e 的 好，下面平行除了平行之外，我还要写一个不包含，一个包含好。又因为 啊，我这个 a c 一 啊，它不包含于平面 c， d， b 一， 但是 o， d 包含于平面 c， d， b 一， 所以就证明了 a c 一 啊，平行于平面 c， d， b 一。 这就是这个题的一个完整的解析步骤。

哈喽，大家好，我是番茄学术，那今天给大家带来的是两小时速通春考数学，那么距离春考离我们还有八天时间，那么希望大家能 把这两小时吸收好，那么八天之后考一个比较理想的成绩。好，那我介绍一下本次的内容吧，那我们春考的话主要考这些内容，就是复数，不是主要考啊，他是一定考这些 复数，然后集合语常用的就用语，接着是不等式，然后是函数，然后是三角函数，接着是整数，行平面向量以及立体几何， 还有统计概率。那这里面难的板块我觉得就是统计概率以及立体几何，那别的板块一般都是直直接实答就问的哈，所以就是我出这期视频的目的就是带大家尽量把这边就是前面 七个尽量拿满分，后面尽量拿到一半分，这样的话一百五十分，我们尽量能考一个一百二十分，我觉得一百二十分的成绩对于大家来说应该也是稍微会比较满意一点的。好，那么就开始吧。那首先的话，我会先给大家总结知识点，接着是把 二五年的广东的春考的试卷带大家做一遍，起到一个学习知识点，然后以及运用的作用。好了，那我们开始吧。首先复数，复数，复数的话是复合一块的数，那它的表示形式是 z 等于 a 加 b i。 好， 然后它是分为两部分，一部分是实数部分，一部分是虚数部分， 这个是虚数部分。 好，然后啊这个 b 叫做虚部虚部， 那么这个 a 也可以叫做实部。好，我会给大家举几个例子， 好比如说 z 等于二加三 i， 实部虚部 虚数部分。 好，实部是几？二虚部呢？三虚数部分呢？三 i 继续二减 i 呢？ 实部二，虚部负一，虚数部分负 i 啊，有没有看清楚？就是这边虽然是负的 i， 它其实是二加上负一括号 i， 所以 虚部是负一，能理解不？但是我们肯定不写成这个呀，对不对？好，接下来继续啊，再写两个 二加三。呃，二加 a 吧。 好，实部二，虚部一虚数部分 a， 没问题吧？好，这是实部与虚部以及虚数部分的区别。那么复数里面哈，我们有一个规则，就是 a 方等于负一，好，那 a 自己，它就等于 a 自己了， 那 i 的 三次方呢？会等于 i 的 平方乘 i， 举个例子啊，举个例子，二的平方乘二的三次方是不是等于二的五次方呀？对不对？所以你看二的五次方，同样的，你可以写成二的三乘以二的三啊。二的五次方可以写成二的二次方乘以二的三次方，对不对？所以 i 的 三次方可以写成 i 的 平方乘 i， 好，等于什么呢？ i 的 平方干等于负一，对不对？所以就是负 i 了，对不对？那 i 的 四次方呢？等于 i 的 平方乘 i 的 平方，对不对？好，同样的，这边 i 的 五次方是不是可以写成 i 的 四次方乘 i？ 好， 接着四乘平方 负一，这边是退调过程哈，大家想看就看看不？不会看的话也没有关系，我会直接教给大家的。 at 四乘 at 四。好，有没有发现？就是每经过四，你看 at 五次方和 at 一 次一次方其实是一样的，都是 i， i 的 平方和 at 六次方其实都是负一，对不对？所以又找到一个规律了，每经过四， 他这个这个值都是一样的，对不对？所以我如果现在是二零九次方，我可以写成什么呢？你把二百零九，你去除于四 四五，二十二，四得八，余下一个一，余下几就是挨的几次方，可以吧？那挨的二零九次方就是挨的一次方。好，它的原理是什么？二零九，它可以写成 四乘五十八加一，这就是我们刚才这个的用处，就是除以四。好，那我们来看啊，那就是可以写成 i 的 二零九，可以写成 i 的 四，括号五十八，再乘以一个 i， 那 这里面是一的多少多少次方，不用管了，所以就是 i， 所以一个数，问你挨的多少多少次方，那你只有直接让这个多少多少次方除以一个四，余下几就是几，可以吧？好，再举个例子，挨的二百零，呃，两千零二十三 等于多少呢？那就二零二十三除以一个四，四五二十二十零四五二十二十二十，应该写在下面啊， 是不是？三，余下一个三，所以它等于 i 的 三次方， i 的 三次方等于 i 的 平方乘 i 等于负 i 吧，对不对？结束，那有的同学会问了，哎，二百二百呢？ 余下几啊？二百除以四，余下零啊，余下零就是 i 的 零次方，任何数的零次方都得一， ok 吧？那你看 i 的 四次方呢？是不是也是 i 的 零次方呀？四除以四等于一嘛。所以 i 的 零次方等于一啊，有没有发现是不是对了呀？对不对？ 好，所以我们就记住 i 的 多少次方，不管多少次方，我都除以四，余下几就是 i 的 几次方。好，那这么一大堆我们就做完了， 我了，好，这个 a b 啊，可以拿拎出来当坐标， a b 拎出来当坐标，那在坐标轴里面。好，那第一项线，我们第一项线，第二项线，第三项线，第四项线，好，如果哈这个坐标呢？ 举举个例子啊，假设他是二二多少三，那我们就说这个负数位于第几项线？二三在哪里啊？二三在这， 那我们就说这个负数的点位于第一项线，然后如果是在这就是第二项线，那在这就是第三项线，在这就是第四项线，可以吧？好，我们学到这里，我们就能做二五年的川籍高考题了。我们来看第二题， 复数 z 等于四减三，在负平面的点位于第几象限好， a b 拿出来当坐标，四逗号负三，好，四，逗号。负三在哪里？一二三四一二三，是不是逗号？负三在这第几象限？第四象限好了，那你就拿到五分了啊，六分，对， 是复数。好，接着集合。那集合的话，举个例子啊， a 等于一二三集合，其实集合就是把一堆东西集合到一块，那这个叫做数集，就是一二三都在集合 a 里面，那集合 b 呢？ 是一二四。我举个例子啊，好，那 a 交 b 什么意思？ a 与 b 公共的部分，这个叫做交集。 交集就是公共的部分。那 a 与 b 有 公共的部分吗？有吧，一和二吧，对不对？所以 a 交 b 等于一，一逗号二好，然后 a b 并 b 好， 并是什么意思？合并的意思。并集， 意思就是合并到一块，那 a b 合并到一块有有几个数啊？是不是一二 三哎？四，哎，为什么不是两个，两个一，两个二呢？是因为合并集合有一个性质，叫做互异性， 就是集合里面不能出现相同的数，所以你两个合并到一块，只能只取一个，知道吧？就是这个。接着还有一个叫做补集， 那补集这个稍微难一丢丢，那也不，不会特别难。假设另外一个集合里面有一二三四五， 好，这个符号叫做补集的符号，这个意思就是 a 在 u 里面的补集，那 a 在 u 里面的补集等于什么呢？那我们首先 a 是 一二三， a 在 u 里面，你先念一遍名字， a 在 u 里面的补集。首先 a 在 u 里面是哪里？几个？先把 a 在 u 里面给它圈起来，剩下的叫做 a 在 u 里面的补集，可以不剩下几个，剩下四五，所以 a 在 u 里面的补集是四五， 好，这就是交集并集，补集，这就是一般的集合的运算。那学会这个，那我们就今年的 春考试卷我们就可以做了。我们来看集合 m， 集合 n， 集合 m， 这什么东西？交集，这是交集，这是并集。并集是合并。交集是公共的好，公共的部分是哪几个？ 一二是不是一二选 a？ 好 了，那我们又拿六分。 接下来是集合语常用逻基用语。那集合语常用逻基用语，这边，呃，稍微还是比较简单的。这边我猜到了，要截图吗？截图好了，三二一， 集合语常用的旧语常用逻辑用语。好，这边要举个例子啊。呃，二零，举个例子，就是 x 大 于二 与 x 大 于零，你思考一下， x 大 于二是不是一定能推出 x 大 于零 对不对？一个数大于二，它肯定大于零啊，对不对？好，我们把前面设为 a， 后面设为 b 啊， 好， ab 可以 把它们的关系找出来。谁范围小？它范围小，哎，它呢？范围大？范围小就是它意味着它这边的数比较少，范围大就意味着它这边数比较多，我们可以这样去理解。好，我们有一句话叫做小推大， 就是小范围可以推大范围。好，那 a 居然能推 b， b 就 不能推 a 了？大不能推小啊，只能小推大，大不能推小。然后我们记两句口诀，过去是充分，回来是必要。 好， a， 现在问你 a 是 b 的 什么条件？好， a 是 b， 什么条件？ 什么条件呢？谁是谁是的，前面画个框框，以它为基础。过去是充分，回来是必要。好，你看 a， 过去的这边打了个箭头，说明是充分是可以的。过去是充分，回来打了个叉不必要，所以是充分不必要。 是不是比较简单？记口诀就行。好，那我现在问你， b 是 a 什么条件？ b 是 a 什么条件？首先还是一样的，现在以 b 为基础了吧， 然后过去，这是过去的线吧。打了个叉，说明什么不充分喽，对不对？过去是充分的，它打了个叉就是不充分，回来是必要，它是必要的，所以必要不充分。我们一般把可以的，可行的我们写前面，可以吧，必要不充分。 好了，这是这个，谁是谁的什么条件？ g m， 好， 这是这个。然后还有一个叫，还有一个，这只眼叫做命题。命题其实就是一句话的意思，一句肯定的话。举个例子啊，然后这边我们选两个符号，这叫所有， 这个叫做存在。好，那我以后我们就可以在书上就写这两个了，就可以省略这几个字了。所有和存在。好，我现在有一个命题，所有三角形内角和 角和等于一百八十度。好，那么这就叫一个命题了，你说一句话，肯说一句陈述句，就是说一句不要提问的那种，就是你明明白白说一句话就行，这就叫做命题。好。 然后有一个又一个知识点叫做命题的否定。我们再说一句话，否定它可以不怎么否定它呢？我是不是找一个三角形内角和等于一不等于一百八十度， 我是不是就把他否定掉了？他说所有的吗？我找到一个，那是不是就否定他了，对不对？好，这样的，我们叫做命题的否定。那否定的话只改结论，结论改掉，他说等于我就不等，然后前面量词再改掉，这个叫做存在，量词改掉 所有，改存在，如果是存在，你就改所有， ok 吧。好，那学会这些我们就可以做题了。来看得到第四题啊，命题 p 好， 这叫什么呢？哎，这也叫做 p 的 否定，只不过现在它写成了什么？ 写成了这个，这个这个符号的表示，可以吧？他和他是一个东西啊。命题的否定什么？把结论改掉。好，这边改结论有几个？那个哈， 小于，把它改成大于等于大于。改成小于等于就是否定它，全盘否定它，你小于我就另外的对立面就是大于等于，你大于我就是小于等于，知道吧？那你大于等于呢？你改成小于小于等于呢？改成大于， ok， 不 就是它的对立面不能给他留空隙啊， 所以它这边大于等于我改，小于，所有我改存在。看一下答案里面选哪个？是不是选 c。 其他不能动哈，其他不能动哈。只能，只能动。谁只能动？这个结论和前面的量子，其他都不到动。好， 又拿六分三六十八了。几分钟？才十分钟，拿了十八分了，继续往西啊。好，接着是不等式啊。那不等式我们这边主要学的是什么？基本不等式， 哎，告你们有没有截图啊。三二一。好，擦掉。 不等于不等于什么呢？我们回归二函数，二函数会解不？ y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 等于零，会解二函数不？ 要不就求根公式是，要不就十字相乘吧，对不对？那十字相乘大家可以去学一下。我建议哈，因为还有八天嘛。 x 平方减， x 减六等于零。好，十字相乘是把左右两边的系数给可以给它拎出来。二三， 可以先不看符号啊。可以先不看符号，不看符号之后我看一下二和三，一一能不能凑。交叉相乘，然后再相加或者相减。你看这边是三，这边是二三减二或者二减三，二减三等于负一，哎，说明对了，然后再去添符号。 这边是负六，几乘几等于负六呢？是不是负三乘二等于负六，哎，这样就对上了，然后交叉相乘，再相加，正好等于负一，所以我们就凑好了。 x 加二， x 减三。如果不知道的话，应该听着这边有点懵，不过没关系，等会还有其他方法。等会求根公式。好，那这样的话等于零，要不就它等于零，那就是 x 等于负二，要不就它等于零， x 等于三，对不对？好，这样我们就解出来了。 好，这是十字相乘了。那同样的，我直接还有求根公式，等于零的话，那直接求根公式， x 会等于二， a 分 之负， b 加减根号 b 平方减四 a c。 好， 我们来看 a 的 话是 x 平方前面系数 b 的 话是 x 前面系数 c 的 话是这个常数项。那我们来到这里，我直接代公式， x 等于二， a 系数是一二乘一分之负， b 负负一，那就是一加减根号 b 平方负一平方等于一减四， a c 减四乘一乘 什么负六？好，这个负给他前面去，负负得正四六二十四，所以就是二分之一加减根号二十五就是五，所以说二分之一加五 等于二分之六等于三，二分之一减五等于二分之负四等于负二。哎，你有没有发现跟我们刚才算到的一模一样，对不对？也不，也不会特别复杂吧，就是把公式记出啊，对不对？初中知识啊。 好，快截图结束。那我们会解二次函数，之后我们就可以解二次函数不等式了。好，现在刚才是一直求等于零的时候，那我现在等于零我都求出来了，我现在让你求大于零， 大于零，我要求它大于零。好，我们求大于小于，我都先求等于，先把等于的求好了之后，我们再画它图像，知道吧？图像，二次函数图像怎么画呢？ 二字函数图像怎么画？ x 平方前面系数大于零，开口朝上，小于零开口朝下，大概是这么画的，知道吧。好，那现在这边是不是大于零开口朝上，然后什么时候会等于零？刚求的那几个负二和三的时候是不是等于零，对不对？ 刚才你自己求的呀。好，现在他要大于零，是不是？负二的左边和二三的右边对不对？所以 x 小 于负二或 x 大 于三没问题吧？ 你现在求大于零的时候吗？好，这边有支点了。小于负二，我可以写成负无穷到负二，然后他没有等，我就小括号，如果是小于等于负二，那我就是中括号，可以吧？ 好，那这边是小于，那就小括号，然后大于三，我就写成三到正无穷，可以吧？好，你写成文字是这样子，你如果写成集合，你就中间有一个并集，就是它与它合并到一块都是大于零的时候，能理解吧？ 是这个，那减二函数一般都是这样子。好，接着是不等式，不等式里面有一个公式叫做基本不等式。基本不等式， 那基本不等式的话，内容是哪个呢？ a 加 b 大 于等于二倍的根号下， a b 或者 a b 小 于等于四分之 a 加 b， 括号平方。大家建议大家记我这两个 有什么用呢？举个例子啊，如果告诉你 a b 等于三，问你 a 加 b 的 最小值，那怎么办？大于等于二的根号下， a b 等于三嘛？啊，填进来，所以它最小值就是二杠三。 好，现在告诉你 a 加 b 等于三，那下问你 a 乘 b 的 最大值， a 乘 b 会小于等于四分之 a 加 b， 括号平方， a 加 b。 刚，是不是告诉你呢？是不是四分之三的就这样 三三得九呀？所以它最大只是四分之九。也就是说什么东西，我们如果知道乘法，我就能求加法，如果知道加法，我就能求乘法。好，这样的话，我们不等式，我们就学完了。接着我们来做题。 呃，这边有题吗？哦，这边，呃，这边。看到第十题 好， x y 的 最大值。哎，刚才我们知道公式， a b 小 于等于四分之 a 加 b， 括号平方，对不对？好，那 x y 就 小于等于什么？四分之 x 加 y， 括号平方，可以吧？但是 告诉你的是 x 加 y 吗？不是啊，那是二 x 加二 y 啊，对不对？那怎么办？二 x 加 y 怎么办？那我这边能不能放二 x？ 那 能不能放二 x 啊， 对不对？那这个公式里的 a 难道一一直是 a 啊？我换成二 x， 这边换成 y， 这边换成二 x， 这边换成 y 就 行了呀，对不对？ 所以我们用公式的时候啊，就再举个例子啊， a 加 b， 括号平方等于 a 方加 b 方加二倍的 ab， 对 不对？那我现在二 x 加二 y 呢啊？二 x 加 y 呢，等于什么？二 x 括号平方嘛， 加 y 方加二乘二 x 乘 y 嘛，对不对？也就是这个位置上放谁都能行，能理解吧？ a 和 b 这个位置上放谁都能行，现在这个位置上正好放了二 x， 能理解吧？好， 那我们是不是能求了？因为二 x 加 y 跨平方是可以求的，对不对？好，再举，再再重新来，重新来。首先先乘公式 x， y 小 于等于四分之 x 加 y， 然后发现给的是二 x y， 所以 凑二 x 凑成二 x， 可以 吧？ 然后我们就可以写了，二 x y 小 于等于四分之二， x 加 y 等于四，四四十六等于四，所以二 x y 小 于等于四，那 x y 不 就小于等于二分之四等于二吗？所以小于等于二，所以它最大值就是二了，又拿六分结束。 那么继续。接着我们来到函数，那函数这边最重要的是指数对数的计算好不等式，大家有截图，没有拆掉 函数，函数最重要的是指数和对数。 好，首先指数学习几个公式啊， a 的 负一次方可以写成 a 分 之一， a 的 负二次方可以写成 a 方， a 方分之一。举个例子，二的负一次方可以写成二分之一，二的负二次方可以写成二的平方分之一，也就是四分之一，可以吧，这个运算要会啊。好，根号 a 的 话，可以写成 a 的 二分之一次方。 三次根号 a 可以 写成 a 的 三分之一次方。好，这些运算大家一定要会，然后继续啊。 a 的 m 乘以 a 的 n 次方，可以写成 a 的 m 加 n 次方。其实前面就有讲过， a 的 m 除以 a 的 n 次方，可以等于 a 的 m 减 n 次方。好，这是这些指数的运算公式，一定要知道。 好，三二一截图。好，接下来学指数。呃，对，数学对数，那这一数的话是我们高中新学的，大家非常陌生。好， a 的 b 次方等于 n， 我 们可以把这个这个几次几次方啊，我可以写成 log， 以 a 为底。 n 什么意思呢？你不用知道，你只要知道的只要是什么 a 的 b 次方会等于 n 就 行，可以吧。好，我把这个 b 给它移到右边来，这样你就理解了， 等于 n。 好， 那举个例子啊，二的几次方等于二呀，是不是二的一次方， 二的几次方等于零啊？啊，等于一啊，二的零次方吧。同样的，三的几次方等于一啊，三的零次方吧。哎，怎么来的怎么来的，我念这么多，怎么来的。 a 的 b 次方等于 n， 可以 不？ a 的 b 次方等于 n， 你 只要记住这个就行了。你看，二的零次方等于一啊，二的一次方等于二啊， 三的零字方等于一啊，对不对？那继续，是不是三的几字方等于三啊，是不是一啊，对不对？所以我们就有两个公式了，不管谁的 log 以谁为底，一都等于零。不管 log 以 a 为底，它自己都等于一，可以吧？这是两个公式。接着还有公式， log 以 a 为底， b 的 n 次方，如果这边有个，嗯嗯，是可以直接往前放的，嗯， log 以 a 为底， b 可以 吧，记住就行啊。好， 那我们就可以写题目了。来到这边 我们来看啊，二分之一的负一次方，那你看刚才学的二分之二，呃， a 的 负一次方等于 a 分 之一，就是一，除以它吧，对不对？那二分之一的负一次方呢？那也就一除以二分之一嘛。除以一个数等于乘以它的倒数等于 一，乘以二吧，等于二喽。好，那直接记一个公式吧， a 分 之 b 括号负一次方，你看是不是一除以 a 分 之 b 等于什么呢？除以一个数等于乘以它的倒数，一乘以 b 分 之 a 就是 b 分 之 a 嘛，对不对？所以如果遇到分数的负一次方，直接分子分母交换位置，好吧， 所以，那交换位置，那我们直接用公式的话，如果你记得住这个的话，那直接负二，二，二分之一次方的负一次方，那只就是二喽。而这边，哎，这个六，呃，这个十四，啊呸，说错了，十六是不是可以写成四的平方呀？ log 以四为底，四的平方呀。哎，那这个二是不是可以往前提啊？刚学的公式啊，刚学的公式啊，对不对？嗯， 那往前放，那就是二。 log 以四为底，四，对不对？ log 以四为底，四等于几等于一吧，对不对？所以是不是就等于二？所以它二加二等于四。好，又拿四分哦，六分 又拿六分好了，然后我们这个不等式也能解了，刚才正好学了，对不对？ 可以十字相乘，也可以求根公式。好，不管大于零小于零，我都先求等于零，对不对？好，我十字相乘和 那个求根公式我都讲一遍。好，首先十字相乘四可以拆成一和四和一，然后这边一一，这样的话交叉相乘，再相加或是相减，你看四减一等于三对不对？所以那我们就可以做了，减一减一，这边添个负一就行。 为什么？因为这两个要乘起来等于这个负一。如果十字相乘不会的建议大家学一下啊。很建议大家学一下，不会的话也没关系，实在不会也没关系啊，这样的话就是 x 加四， x 减一好等于零嘛，要不就是等于负四，要不就等于一嘛，对不对？ 好，开口朝 x 平方前面系数是一，一是大于零的，开口朝上，然后负四和一。现在要求大于零的时候是不是负四，左边和一的右边也就是负无穷到负四，然后并上一到正无穷吧，对不对？ 好了，又拿六分结束。挺简单的吧，如果不会的话，如果这边觉得不太会的话，去看那个零基础时刻学会单招数学可以吧。零基础时刻速通高考数学啊，说错了，零基础时刻速通单招数学。好吧，嗯， 那么回到我们的知识点讲解哈。哎，有没有发现我们都进度快过半了哦。没有过半哈哈。三分之一了，三分之一了好，学完指数对数，我们再学一个密函数啊。密函数其实密密有点难写，不太喜欢写。密哈，密函数吧， 密函数好，密函数它长什么样呢？它长成 y 等于 x 的 尔法次方。好，这也叫做密函数。举个例子啊， y 等于 s 的 平方，哎，这叫密函数，只要这个，这是上面是一二三四五六，负一，负二，负三，负四，这这边有几个数字，什么什么东西？就叫做密函数，可以吧。 如负一三次方，四次方，五次方都无所谓，就叫做密函数，可以吧。好，密函数一般有这种题哈，就是他说如果他是密函数，如果他是密函数，那他前面系数就是一，知道吧。那举个例子啊， y 等于 a 减一，括号 x 的 平方，他说他是密函数，怎么办？那系数是一，那 a 减一就等于一，那 a 就 等于二，可以吧。 嗯，一般会问，你就是这个 a 等于几，知道吧。那同样的指数函数，指数函数它长这样子， y 等于 a 的 x， 次方，对数函数 y 等于 log， 以 a 为底， x 值方。如果说它是指数，那它前面系数也是一，如果说它是对数，它前面系数也是一，可以吧。这三个东西都是一模一样的。如果说它是指数对数，密函数它前面系数都是一，一般会问，你这样的题目可以不？好， 那看一下。我们今就是二五年的考试。考了什么呢？我记得考在哪？这边， 呃，这叫做函数。呃，图像经过这个，这，这个点。这边等会学，函数那边会学啊，但是正这边正好讲到密函数了，这是不是密函数啊，对不对？ x 的 r f 方嘛，对不对？ 好，他说图像经过这个点，好，经过这个点，这个是点制坐标，知道吧？图像函数经过某个点，某个点上面的，就可以带到这个 函数里面去，可以吧？那他说经过二二个分之五，那 x 等于二， y 等于二分之五，就可以带进去，那可以写了。 阿尔法加上二分之一，会等于它二分之五。好，高中的话， f x 就 相当于这个 y， 知道吧？ 好，等会马上讲了，马上讲啊，那你看一下啊，二的而法字方等于二分之一，是不是？移到右边，是不是二分之五减二分之一等于二分之四等于二呀，对不对？ 那二的 r 法次方等于二，那儿法是不是等于一？所以我们就解出来了吧。 r 法等于一，那它的解析式就长这样子吧，等于 x 的 一次方加上 x 分 之一，好，就结束了。这边先求下解析式啊，等会再来学函数，可以吧？好，那我们再往下走， 那我们就学到函数了。那函数这边的话，主要靠一个定义域，然后依旧是这些公式，大家要截图的话，就截下图。好吧，那三二一结束。好，那我们就讲函数了， 函数主要是定义域，定义域是什么？定义域是 x 的 取值范围 范围。 什么是 x 的 取值范围？举个例子啊， 你看根号里面必须要干嘛？大于等于零，所以根号里面大于等于零，而如果里面是 x， 那 就 x 大 于等于零。好，如果里面是 x 减一，那 x 减一大于等于零，再把 x 解出来，这就叫做 x 的 值范围。那除了根号还有别的东西。好，那我笼统的给大家举例子， 根号下面如果有东西，那下面的东西大于等于零，然后呢？我们之前是不是学过分母不为零啊，对不对？所以分母下面有东西，分母不能等于零。还有呢，对数里面漏给以 a 为底， 这里面的东西不能为零，知道吧？啊，说错了，这里面的东西要是正数大于零，直接记就行了，没有别的东西直接记。好吧， 还有零没有零次方，零没有零次方，这边不等于零。好，学会这些我们又可以做题了，但是我们先慢一点啊，算了，快一点吧。 定语学会哪个做哪个，这样的话更记得住，知道吧？那我们来看这个的定语。好，我们有几个特殊的对数哈， log 以十为底， x 可以 写成 log x 这个叫做以十为底。好，还有 log 以一为底， x 可以 写成 log in x， 所以 你看到这几个也都是对数，那这里面的东西也要大于等于零，所以要求定音域就是 x 减一大于等于零。 啊，不对，说错了说错了，谁说大于等于零？这对数里面一定要是正数，不能等于零哈，好吧， 打嘴巴，打嘴巴，嘟嘟嘟。好，对数的这个部分要大于零，一定要记住大于零反复强调啊。那这个就可以写了。那就是 x 大 于等于啊，谁再说等于谁再说等于。不能等大于一，可以吧，把一移过来吗？ 所以他定义域就是大于一，那就是一到正无穷选 d 好， 没有做对一个，那我们拿了多少分了？呃，我们把分数标一下吧，一二三四。呃，五，这边是五吗？ 然后这边六七，然后这边应该也有个五分八，那假设他六分吧。 六八四十八。好，那我们这张卷子花了大概是二十到三十分钟，我们就拿了四十八分了，是不是感觉又有信心了，我们考个一百二十绰绰有余哈，继续剩下的一个半小时往下。 然后啊，我们高中哈，不写 y 等于多少多少。我举个例子啊， y 等于二， x 加一，我们高中写成 y， f x 等于二， x 加一啊，有什么作用呢？就是以前我要带，哦，就是我想知道 x 等于几， 我 x 等于多少时？ y 等于几，我要写成什么？你要写当 x 等于。举个例子啊，就等于二十， y 会等于二乘二加一等于五， 但是我们写了这个的好处是什么？直接把二塞进去，二乘二加一，哦，等于五，这样是不是更简洁明了对不对？好，然后这个是指有很多种用处啊，你可以把这个 x 这个东西啊，当一个空。 当一个空什么意思呢？我这个 x 谁都能塞进去，你看一二三四五都能塞进去，好，跟公式一样的，我里面塞个二 x 也不在话下。 二 x 加一，那就等于四， x 加一，好，这是两个函数，看见没有，这函数长的都不一样，对不对？所以塞什么进去都行啊，如果它给的你这个，你塞什么进去都行。同样的，你把负 x 放进去也可以。二乘负 x 好， 加一。哎呀， 加一等于负二， x 加一可以吧你反正总而言之，你放谁进去都行，你 f t t 放到 x 的 位置上也行， 加上二，哎，等于二， t 加一，那就是二， t 加一都 ok， 可以 吗？都 ok。 好， 这是就是讲一下，就是这个函数的表示形式哈，以前写成 y， 现在尽量都写成 f x。 好， 那学完这个的话，我们有一个性质叫做奇偶性， 我们要判断一个函数的奇偶性啊，我只要把负 x 放进去， 举个例子哈，我现在 f x 等于 s 的 平方，可以吧？我现在放负 x 进去， 刚才不是正好交了吗？对不对？你这个位置上放谁进去都 ok 吧，对不对？我现在放负 x 进去，对不对？好，放负 x 进去会得到什么东西啊？我们得一下试试。负 x 括号平方。哎，就等于 f 啊，就等于 x 平方就等于 f x， 对 不对？ 好，如果 f 负 x 等于 f x， 我 们就称为偶函数，可以吧？ 好，再举个函数啊， f x 等于 x 的 立方。好，这样我们也试一下。把 f x 放 f 负 x 放进去会得到什么东西啊？ 哎，负 x 括号的三次方。负 x 括号平方乘负 x 嘛。 那负负 x 平方的话，就是 x 的 平方，然后再乘一个负 x， 那 就是负 x 的 三次方吧。负 x 的 三次方，哎，有没有发现 x 的 三次方。负 f 负 x 的 三次方是不是就是负 f x 啊，对不对？所以如果出现这个，也就是 f 负 x 等于负 f x， 你带进去之后如果会变成这东西，那我们就叫做偶函数啊。说错了，奇函数。刚才 f 负 x 等于 f x 叫做偶函数， f 负 x 等于负 f x 叫做奇函数，可以吧，奇函数？ 好，那这样的话我们就可以做很多题了。来看就是刚才写了一半的这个好，它的第二问是问判断它的奇偶性，并说明理由。哦，说明什么理由呢？那就直接把负 x 放进去。好，刚才 f x 是 等于。 哦，好像看不到。 f x 是 等于 x 加上 x 分 之一，知道吧？那现在负 f 负 x 呢？就是把负 x 放进去吧。 负 x 放进去是不是负 x 加上负 x， 那 就是负 x 减 x 分 之一，哎， 负号是不是可以提出来啊？哎，以前我们挺聪明的哈，举举别的例子哈，我举举一个预算哈，负二减三，你知道等于负五，但是我们其实计算的话，其实是负二提对一个符号，负三也提对一个符号， 是这样子，知道吧？所以是负五，然后现在我们脑子太聪明了，直接变成负五了，知道吧，所以脑子太灵光了，也是一一个麻烦哈。好，那我们这边也是一样的，把符号提出来，哎，发现负 x 提出一个符号变成 x， 负 x 平方，哎，负 x 分 之一，提出个符号变成加 x 分 之一，好， 有没有发现， x 加 x 分 之一就是 f x， 所以 就是 f f x， 所以 f 负 x 等于负 f x 就是 奇函数吧，对不对？好了，又拿四分，刚才一共是十分嘛，前面拿了六分，那这边就是四分嘛，可以吧， 那这样奖金又拉高了五十二分。好，继续，这就是函数啊，接着学三角函数，大家截图了吧，截图完了之后，我们就可以学三角函数了啊。 呃，三角函数的话，它这些我们要记一些公式啊，一部分公式啊，首先三角函数我们初中学过，对不对？ 先按初中的方法来， a b c 塞 a 等于什么？呃，它对边是 a， 对 边是 b， 对 边是 c 啊，塞 a 等于对边比斜边吧。口塞 a 呢，等于零边比斜边。 整数 a 呢，等于对边比零边好，这是这个啊，然后整数 a 可以 写成 cosine a， 分 之 cosine a， 直接记住啊。好，然后我们还有一些 记直接直接记的那些东西吧，对不对？好，三十度，四十五度和六十度，好，这些度数啊，到了高中哈， pi 是 一百八十度，二分之 pi 是 直接记，不要问怎么来的。这个直接记了，都这个时候了对吧。直接记了，然后如果大家想学更熟悉的可以去主页的零基础时刻速通单招或者是春考数学那个集合里面去详细的学啊。好，我们来看啊， 二分之派等于九十度，然后那三分之派呢？哎，这边除以三，这边是不是除以三三分之派等于六十度吧。六十度。 呃一个一个写吧。三分之派是六十度，然后呢？呃除以六呢 六分之派是多少度啊。三十度吧好，然后除以四呢四分之派是四十五度可以吧。好，大家记住这些啊，一定要记住这些啊，记不住的话完蛋了啊。我们来看啊 啊六分之派好，四分之派好，三分之派好。斋斋斋和 tanger 就 可以，我们能记吧。一二三三二 一可以吧，这些是我们初中就知道的对不对。然后 ten 的 话上笔下根号三分之一，这边一，这边是根号三啊，这边也可以写成三分之根号三嘛，一样的上下同时乘根号三嘛，对不对。好，结束 一定要记到这些啊，一定要记到这些好，到了高中的话三角函数就不是这么学的了。我们就是在单位语言里面了， 单位圆是半径为一的圆哈好，那这个角你看角的矢边在 x 轴上，然后中边好中边交点的横坐标纵坐标。横坐标是等于可 sin 耳法，纵坐标是等于 sin 耳法可以吧。好， 大概是这样子然后这边横坐标 x 纵坐标 y 那 这边勾股定你。他不是说了刚才说了单位圆，单位圆半径为一的圆叫做单位圆，可以吧？ 那 x 方加上外方加上外方等于一，那 x 方刚说了是口三英二法，那口三英二法方加三英二法方会等于一，可以吧？这是 公式。然后接着刚才那个 tangerirf 也可以等于 tangerirf 等于空三 eirf 分 之三 eirf。 好， 这个是三角函数的基础公式，是一定要知道的。 那这这些建议大家去那个零基础时刻速通高考。呃，速通单招数学里面学一下哈。这边因为这些课的话可能就是没讲那么多，可能我就想讲一个，就是今年的课，呃，这个单招的题目知道吧？ 好，是这个哈。那学完这个的话，我们再学一个诱导公式。什么叫诱导公式呢？比如说 sin 六分之派，你知道对不对？那 sin 六分之派加二分之派你知道吗？好像不太知道对不对？好，所以我们就解决这个问题。 sin 二分之 pi 加而发三， pi 加而发三二分之三， pi 加而发三，二 pi 加而发。好。这么多，叽里咕噜的一大堆的 啊。鸡变偶不变，符号看象限，是不是听得起茧子了？耳朵都起茧子了。符号看象限 c 好， 基还是偶式？关于二分之派的，也就是说什么东西呢？也就是如果式子里面出现二分之派的基数倍或者偶数倍，我就可以给它化掉。怎么化掉呢？通过这个口诀来化掉来看哈， 基变什么意思？如果是基数倍，直接变什么意思？塞引变，口塞引。然后呢？ 然后这个二分之派就被我们约掉了。好，继续啊，二分之派加一点点二分之派，哎，刚才这个， 这零度嘛，这九十度嘛，这是派嘛？呃，这是一百八十度嘛，这是二百七十度嘛。然后这边可以写成二分之派，这边是派，这边是二分之三派嘛，这边又是可以是二派嘛，对不对 啊？这些这些基本的。要知道啊，那二分之派加而法好，我们要得到的角一般就默认为一点点哈。二分之派加一点点，第几项线？第二项线好，我们来看啊，刚才这边 口塞引不是 x 吗？对不对？横坐标嘛，也就是你看第一项线的横坐标 和纵坐标和口塞引而法啊，分别在各个象限的正负。我们要知道， sign， 首先 sign 的 话是纵坐标，第一项线的纵坐标和第二项线的坐标是不是一直都是正的，所以第一项线的 sign 和第二项的 sign 都是正的。然后第三项线，第四项线呢？第三项线，第四项线的纵坐标是不是都是负的？所以 sign 在 一二三四项线的正负性如图所示。 那口三义呢？口三义是横坐标，对不对？横坐标随便画一个第一项线的角，它都横坐标。第四项线的横坐标是不是都是正的，所以第一项线和第四项线是正的，第二三是负的，你看第二、三是不是负的？因为口三义是横坐标吗？对不对？好， 接着符号看一下，线看的就是 sin 口三的符号，你看啊，看的是前面这个，变成这个，我要看 sin 的 符号，怎么看呢？二分之 pi 加一点点第二项线，第二项线的 sin。 刚才说了，第二项线因纵坐标是正的，所以前面是正的，所以 sin 二分之而法加而二分之 pi 加而法直接等于口三而法，可以吧。好，继续看。第二个 g 还是偶， g 还是偶，是对于二分之 pi 来说的 pi 是 不是二倍的二分之 pi， 所以 是偶，偶是不变，就是 sin 不 变，是这个名称不变还是 sin， 然后而反，然后呢？接着符号看象限，一句一句话来 看，哪里看谁他的 pi 加一点点， pi 加一点点，第几象限？第三象限的三是三，是中坐标是负的，所以填符号偷偷填符号 结束。你看第一个他能换成他，第二个他能换成他，好，第三个 g 还是偶，二分之三派是不是三倍的二分之派，所以积变口三而法，然后呢？二分之三派加一点点，是不是第四象限？第四象限三是负的，所以填负号好。第五， 四个二派加一点点，二派加一点点。有技巧啊，先把机票不变先学完啊。二派是不是四倍的二分之派哦，不变，所以三而法，然后二派加一点点，二派是绕一圈回来了，二派派的话是一百八嘛，二派的话就是三百六嘛，绕一圈回来了，再加一点点，是不是这 第一项线是正的吧，所以正的。然后我们来看啊，这个二派加二派或者减二派哈， 你看，如果这个是而法，可以不加二派是绕一圈回来，减二派也是绕一圈回来。所以如果碰到二派的，直接不要了，直接三样而法等于三样而法。能理解吧。如果遇到二派哈，好，那么就结束了。既变偶不变，符号看象限，这是这个好， 一定要记住这些。嗯，接下来我们再学几个求散口散音的题吧， 就是我现在告诉你 sine 尔法等于五分之三，然后呢？尔法它告诉你是在第一象限，可以吧？第一象限 一象限。呃，三角函数内容确实比较多哈，但是它还是稍微算简单的，因为它就是公式。好，那问你口三引和 tanger 怎么办？ 好，第一个种方法，画三角形，直接学初中方法，直接不管他在第几项线，不用管他，你直接看三等于多少，三等于五，三比五 就设他为而法三比五就是对边比斜边三比五，那零边是不是四啊？三四五勾股数吗？根号下五的平方减三的平方是正好等于四的，可以吧，那口三比零边是不是三比四啊， 所以就写出来了。好，然后我们要看它在第几项线，第一项线 sin 正的， cosine 正的， tangent 正的没有问题，但是如果改，现在题目改一改，他说 r 法在第二项线可以吧。 好，刚才的结论，先不要动，先不要动，刚才的步骤都是照常写，写完之后干嘛再看象限？第二象限口才是负的，偷偷填个符号上去。好， ten 呢？ ten 是 口才音分之 seven 哈，口 seven 是 负的， ten seven 是 正的，所以就是负。哎，也是负的吧。 负号负口三分之三吗？天志不是口三分之三吗？对不对？口三都负的，那天志也是负的啊，对不对？好，就是你正常写，你都是随便画一个三角形，你别管他在第几象限，也别管他是多大的角，你都是画一个直角，三角形，角都放在这，这叫做三角刑法，可以吧， 大家记这个就行。好了，接下来我们就可以写基本上可以写所有的题了啊，我们来看 看到第八题，好哎，三引二分之派加而法，哎，几变口三引而法，然后二分之派加一点点是第二项线，第二项线的三也是正的，所以 就是它等于口三引，然后等于三分之一，然后他问的就是口三引而法等于多少 三分之一喽。哎，可以吧，又拿六分，这分跟减的完一样，太简单了吧。那我们继续啊，上面还有一个，刚才有一个漏网之鱼哈。 好，一是等于二点七多一点哈，刚才不是 log 以一为底。呃， x 可以 写成 log in log in x 吗？这个一和这个一是一样的东西，就是二点七多一点。好吧，你就记作二点七吧。好吧， 好，别的不用管，我们来看题，他说 f 负一等于负 f 一， 那你可以带进去嘛？ f 负一就是把负一的放进去嘛， f 负一等于一的负一，那就是一分之一。好，然后这边 f 一 呢？啊，负 f 一 呢？负 f 一， 那就是什么负一 一，这两肯定不一样啊，对不对？错了一个，错了正常写就行啊。这边 f 负一等于 f 一 也不对啊，刚才穷了吗？好，然后他说 f 一 大于 f 零， f 一 等于几啊？ f 一 等于一的一次方大于零 一的零次方，一的零次方等于一。一。刚才不是说了一等于二点七多一点，对不对？二点七大于一是没有问题的，选 c 啊，看 d 看这两个 正好相反嘛，对不对？所以又拿六分。哇，这分真的是减的不要钱呢，十二分加十二分，那六十四分了，继续哇。

我们来看最后一道二十二题，和例题结合在直三轮柱 a b c a e b c e 中， a、 c 是 等于三， 好，这段是三，然后 b、 c 是 等于四， a、 b 是 等于五。哎，有没有想让你想到过股定律啊？五的平方刚好等于三的平方加上四的平方，所以这个角 a、 c、 b 就是 九十度，这边是垂直关系， a、 c 是 垂直于 bc 的 啊。等一下做题要用到， 然后 d 是 ab 的 一个中点，那中点有什么用呢？对不对？那我们是不是找另外一个中点，然后啊，上行的一个中位线是不是？那我们试一下哈。第一问，第一问问的是 a c 啊， a c 垂直于 b c， b c 是 这条， a、 c 是 这条。 哎，他们好像很难看出垂直关系，那我们可不可以利用线面垂直来得出线线垂直？我利用 a、 c 如果能够垂直于平面 b c c e b e 的 话，因为 b、 c 刚好在这个平面上，那就得由线面垂直得到线线垂直， 那我要证明这个线面垂直，我 a、 c 需要垂直于这个平面内的两条相交直线。那其实第一条很明显了，就是这个勾股定律，因为 a、 c、 b 是 九十度，所以 a、 c 是 可以垂直于 bc 的。 那第二条呢？第二条，因为是直三轮柱，所以 c、 c 是 垂直于底面 abc 的。 比如说线面垂直， c c 一 垂直于底面，而 a、 c 刚好在底面上，所以又可以得出 c、 c 一 垂直于底面上的一条直线 a c， 那 不就得出 a、 c 既垂直于 bc， 又垂直于 c c 一 吗？ 而 b c 和 c c e， 你 观察它交于点 c， b， c 和 c c e 还在平面 b c c e b e 上，所以就可以得证了，对不对？那我们来解一下这个过程啊。第一问啊，第一个我们可以证明 正一啊，在指三棱柱这个中，我们这个句话把它抄下来写少一点，对吧？然后，呃， c、 c 是 垂直于平面，垂直平面 a、 b、 c 的， 因为是指三棱柱嘛，那因为 a、 c 是 在这个平面， 刚好在这个平面 a、 b、 c 上，所以所以的话 c、 c 垂直于这个平面，那就垂直于这个平面内的 这个 a、 c 这条直线啊。好，这是第一点。然后第二个是因为长度关系， a、 c 等于三， b， c 等于四， ab 等于五， 那么就可以由勾股定律 a、 c 方加 b， c 方的逆勾股定律逆定律，那就可以得出 a、 c 和 b， c 其实也是垂直的。 然后刚才说到的这条 c、 c 和 b、 c， 它都在平面，都在这个平面 b、 c、 c、 b 上，而且交于一点，那就得出线面垂直了。好，那我们接着写 啊。右 c、 c e 交 b、 c 等于等于点 c 交于点 c， 然后 c、 c、 e 以及 b、 c 都在平面 b、 c、 c e、 b e 上，所以就可以得出线面垂直， 那由线面垂直，我们又因为要求的这个 b、 c 刚好在这个平面 b、 c、 c、 e、 b、 e 上，所以直线垂直于这个平面，那么直线 a、 c 啊，所以这个 a、 c 啊，就垂直于这个 面上的这条直线 b、 c、 e。 那 么第一问就解决了。好，接着看第二问。第二问是要问 a、 c、 e 平行平面 c d、 b、 e。 但看到这里好像很难找到平行的一个，呃，很难找到 c d、 b、 e 上，找到一条直线来平行于 a、 c、 e。 因为我们线面平行往往是通过线线平行来来证明的嘛？ 那怎么办呢？那题目中刚好有一个点是点， d 是 ab 的 中点，这个这个条件还没用到，那在这一问很可能就会用到，是不是？那这是一个中点，那我找到另外一个中点，利用三角形中位线的关系，那不就可以找到平行吗？ 那另外一个中点怎么找呢？其实它是三轮柱，那么 b、 c、 c e， b e 啊，它是直三轮柱哈，所以它应该是一个，是一个平行四边形， 甚至是矩形了，对吧？因为这个角的九十度，那么就可以得出什么呢？这个点 b、 c 和 b、 c、 e 交汇的这个点就是它的 b、 c、 e 的 中点， 而 d、 e 又是 ab 的 中点，那么在三角形 ab， c、 e 中就找到两个中点， 我懂了，这两个终点的话，是哪两个呢？一个是题目中的已知条件，这个第一，另外一个就是这个点，我们等一下把它设一下，要连起来， 那这条直线不就是平行于 a、 c、 e 吗？而这这两个中点连起来的这条线段啊，刚好在平面 c d， b、 e 上，而 a、 c e 不 在这个平面上，所以由线线平行就会得出线面平行，那我们接下来来证一下啊。第二问， 第二问，我们可以说啊， c b e c， b e， 就 这条对呗，跟 c、 e、 b 啊，是交于交于这个点一，假如这个点是点一， 然后我们接下来就怎样呢？连接第一，连接第一，我们连接起来，你就可以很明显的看到，其实它就是怎样呢？它就是可以可以这个平行了，对吧？像这三角形的中位线就很明显看出来了。 那连接出来之后呢？那我们就啊知道，我们知道 e 是 啊 v， c 的 中点， 又因为题目，又因为啊 d 是 a、 b 的 中点， 所以的话这个 d 一 就平行于 a， c， 因为 d 刚好在平面 c， d， v 上，看的出来吗？ c， d， v 啊，因为 d 点在这个 c， d、 v 一 点也在这里面，所以连线也肯定在这里面啊。两点决定一条直线嘛，那这条直线是落在这个平面上的。 好，这是 d 一 在这个平面。然后我们还要说明一句哦， a、 c 不 在这个平面，才有可能得到线面平行的，不然可能两条直线啊，两个线都在这条啊，都在平面上了，它是不在平面 c， d， b、 e 上， 所以的话就是得得出 a、 c、 e 就 平行于平面这个 c、 d、 b、 e 了，由线线平行得出线面平行。好，这道题就讲到这里。

什么？都快二零二六年了，你还在为力挺而苦恼吗？今天主播教你构造辅助线，秒杀线面平行。 今天我们学习如何构造辅助线，秒杀线面平行。第一个情况，直线比平面大。第二个情况，直线比平面小。我们可以借助中位线平行四边形来构造辅助线，目的是将直线移入平面内。 我们来看第一题，他让你求证 b、 f 平行于 p c 的， 我们可以通过取 p c 的 中点 g 来构造平行四边形进行求证。第二题，他让你求证 p、 b 平行于 a、 e、 c， 我 们连接 b 的 交 a、 c 于 o， 连接 e、 o， 借助中位线来进行求证。

我们又来讲外接球喽。啊，路，这么算的话，我们外接球这应该是第九个小视频了啊。我们的题目是来自于河南三模，也是今年二零二五年三或四月份的吧。填空第十一题的位置也只填入 一个圆长为凹的正方体，嗯，圆长为凹，好，没问题。点屁呢，在侧面 的一个动点，且含了边界好点。 q 呢，是 c c e 的 中点，则 a b c d 正确的有哪几个？先来看 a 选项， 我说的外接球，它应该是在 dog 选项是吧？好， p 是 a 一 d 一 中点的时候，那我就点出来呗。 p 是 中点的时候，则 b q。 好 b q。 哦，这条直线和我 p c。 哦，对，确实是一组意面直线， 它们所成角是六十度。我知道这里有很多同学想见习， 还是我上个视频的老话，选填在万不得已的情况之下，嗯，不要见细哦，你见细的话，你做你光 a 选项你就见了个细是不是？那你这个题目你得花多长时间呀？好，要么呢，你看看能不能挣到垂直 就是你的 q b q 和我 p c 所在平面的关系，看看你能不能挣到第二种呢？空间移弦定力，我只要看到了一组 意面直线，让我求它们之间的移弦值，我一定会想到它， 因为这个题目所有线段都是渴求的，对吧？好，那么还记不记得空间移弦定理了？肯定不记得了，因为有很多人都没有看视频的。我在。呃，上上一周是分享过空间移弦定理的， 因为他在我们江西高二的三星卷的选择题第六题考到了，说那个人，那好的，我这些也可以求，是可以求，但是空间移弦定理也可以求。 ok， 好， 那我们就不多说这空间移弦定理的公式了，我们直接来， 因为你的第一个我的 p c 和我的 b q 一定是这组一面直线一定是可以组成新的四面体， 这是毫无疑问的。所以我会马不停蹄地画一个四面体出来，并且以它们为顶点，那就是 p c b q， 对吧？所以我的 cosine p c b q， 它会等于啥呢？它们两个之间的余弦值呢？分母是不是刚好是两倍的？ p c 乘 b q 分 子就是另外两组异面直线的平方的和，然后作差， 外面加一层绝对值，具体我就不说了啊。好，第一组意面直线除了 p c 和 b q 外，还有哪组意面直线？ a b q， p q 和 bc 是 不是 没问题吧？好，所以 b q 方加上 bc 方， ok， 减去第二组一面直线是谁？是 c q 和 pb 吧。 c q 方加上 c q 方还有个 pb 方呗。 ok， 这就是它的弦值。为什么我想用通过这个来判断它是不是六十度？因为六十度不是一个特殊角。 cosine 六十度不是会等于二分之一吗？我看看它会不会等于二分之一了，信不信？好，推出来。 pcpc 等于多少？ pc 的 长度好，求吧。现在你的点 p 是 中点，我做一个直角出来啊。做一个直角出来。 pc， 你 这是二，你这是一，所以你这是根号五呗。 好，你这是二，所以 pc 会等于多少？ pc 会等于四加五开根号等于三， 没问题吧？好， b q 等于多少？ b q 一 二哦。 b q 等于根号五， 没问题吧？好，继续分子， p q p q。 哦。 p q 在 这里啊，对吧？ p q 不 在这里吗？那 p q 等于多少？我做一个 直角三角形出来呗。你这个不就直角三角形吗？随便做。你这个肯定会等于这条边一，你这条边肯定会知道根号五，是不是啊？那你应该就是 p q 会等于根号下五加一等于根号六，所以 p q 的 平方就会等于六，加上 b c 啊， b c 就 知道了啊。四没问题吧？减去 c q。 哎， c q 是 一是吧？好， p b p b 在 这里啦。 p b p b 等于多少啊？作算一下就对了呗。你这是一，你这是二，那你这是根号五，你这是二，对吧？好，所以呢，它还是一样会等于根号九吧。根号九，那就是等于三呗。嗯，等于三，三个平方九。 好，所以它就会等于六倍。根号五分之零，它会等于零，所以你的一线值是零，那么也就意味着你的加角是多少度？加角是等于九十度，不是六十度了吧。所以 a 是 错的。 你看空间一切定律，没有必要去间隙吧，也没有必要去挣什么垂直啊等等之类的吧。直接就来了呗。来看 b 选项， b 选项，它说什么？它说存在，是否？哦，它说存在一个点， p 使得我的 b q 是 平行于 a c p 平面的。那你的 p 点现在可不是我 a 一 d 一 的终点了吧，它应该在我的侧面上随便动的吧。而碰到这个我觉得是更简单。为什么？ 因为你要想一下嘛，线，根据线面平行的性质。线面平行的性质，你要平行于 a c p， 那 我只要找到 b q 这条线段 平行于 a p 就 可以了吧。因为你 p 点是在这动的，我连接 a p c， 我管你这长这样，是不是？如果我 b q 平行于 a p 的 话，我不管你 a p c 在 哪里，是不是你的 b q 都会平行于 a c p 平面 b 选项是不是 只要我 b q 平行于 a p c 的？ 那请问 b q 和 ap 有 没有可能平行？当然啦，你的你一个侧面，一个是侧面，我的点 p 只要在我的 d d e 的 中点，点 p 跑到这里来会平行，不 会平行吗？当然会平行啦，所以你的点 p 指在这条直线上运动的时候都会平行。我 b q 是 不是当我的点 p 取我的 d d e 中点 h， 然后连接 a h， 当我的 p 点在 a h 上运动， 一定能有 b q 是 平行于 a p 的， 因为 b q 是 平行于这条直线，那 b 就是 对的，没问题吧？好 c， 哎，把这个继续，把这个删掉。他说什么？如果 p q 会等于根号五，这是 a， 这是 a， 这是 d， 如，这是 q 点，如果 p q 会等于根号，则点 p 的 轨迹长度为派，那我是需要找到点 p 的 运动轨迹完了之后，我才能够找到它的轨迹长度呗。 从这个派，我应该知道你的点 p 的 运动轨迹应该是一个什么。 是一是一段弧吧，是不是因为它又要在我的平面上运动啊，又要使得我的 p q 要等于根号五，我先找到这个根号五的线段来再说吧。 q 点在这里连接 d e q 连接 d p d e q， 那 这条线段是不是根号五啊？当然是了，因为一二一比二比根号五连接 d q 啊，这个是不是也是根号五啊？ 对吧？那你说是不是刚好是这段弧啊？是这段弧吧， 连接 p q， 刚好这里都是根号，所以呢，我的点 p 应该是在这段弧上运动，那这段弧谁是圆心呢？当然是点，这个 d， d， e 的 终点是圆心啦，因为我连接 q e 这条也是会等于根号五啊。所以关于 c， 你 的点 p 的 运动轨迹可找到了哟。根据极限思想，信不信以点意为圆心， 没问题吧？谁是半径？当然是二分之一 d， d， e 啦， e 为半径啦，是不是 d d， e 等于二的话的圆上运动？ 且你的运动是不是刚好是一个半圆呐？是半圆吗？且的半圆， 他的音动规律，所以你的弧度长，弧长是不是得以初中公式 n 派 r 除以一百八十度，你的 n 是 圆心角，你的是半圆的，肯定是一百八十度呗。幺八零派除以幺八零的一派，所以 d c 是 对的， 没问题吧。好，来看 dog 选项。 dog 选项，它说啥？ dog 选项说，当我的点 p， 哦，我的 p 点又固定下来了， 当我的点 p 为 a 一 d 中点的时候，三轮锥 p a， b， d 的 外接圆哦，外接球中以来的球也是我们的主体。哎， 现在你说你再碰到球，你还会说不怕不会吗？你只要关注到球，是不是他就是球心。确定好球半径搞定了。我们都已经讲了 八个视频了，还不会找球吗？先把这个点找到 d 一 这是，这是 d， 这是 b， c c 一 点 p 呢？是 a 一 d 一 中点啊，点 p 在 这里， 完了之后 p a b 的。 好，我把这个三等锥先画出来， p a b 的 a， b 的是这个吧。第一步，找一个，找一个好，找外接圆圆心的面，请问你找哪个面？ 那哪个面？ p a， d 也可以，是不是？但是 p a d 它是 只能确定外接圆的位置在我的三线合一上，因为你的 p a、 d 是 个等腰三角形嘛。 可是我的底面是不是更好一点？第一步，找一个好找外接圆圆心的面，以 a、 b、 d 面找到。为什么？因为 a、 b、 d 是 直角三角形，所以呢？ 三角形 a、 b、 d 外接圆的圆心在哪里？直角三角形是不是在斜边上的中点上？ 没问题吧？ ok， 所以 点 b、 d， 中点是 h。 然后呢？第二步，过 h 做垂直于面 a、 b、 d 的 直线， 气不气啊？好做呗，过点 d 做一个垂直以 a、 b 的 值，肯定在这个中心的位置，是不是做好啦？第三步， 射出球，射出球心来呗。好，射球心为 o。 ok， 用白笔。 第四步，找两个直角三角形，最好是上面一个，下面一个，那我找哪两个好？当然是我会找一个 o， d， h， 可以 不？ 再找连接 o p p o p， 然后过点 p 做我这条垂线可以不？ 那既然你这垂线，那我也这里做个垂线，因为你这条线段，假如这是 m， 那 么所以呢？两个三角形分别是三角形 p m， o 和三角形 o h 的 解，这两个直角三角形就可以了。 好，那请问我的 m h 等于几啊？是不是会等于得得一啊？ 是不是？好，所以我设 m o 等于 x， 可以 不？我设这个为 x， 那所以我的 o h 是 不是得二减 x 呀？这是二减 x， 我 的 p o 是 不是等于 o 的 等于我？求半径呀。这个是 r， 这个是 r， 那 请问我的 pm 等于多少？ p m 等于多少？写往下走， p m 是 不是会等于这个？我设个字母 等于我的 f h 啊？好，是不是会等于二分之一 a b 啊？因为你 f h 是 中位线，细不细啊？等于一呀 啊，然后呢，你的的 h 呢？的 h 是 不是会等于二分之一 b 的 呀？而 b 的是多少？ b 的是二就是二二，那你的 b 的是二倍，根号二倍，那等于根号啊啊， 所以两组直角边啊，因为这两个三角形是共斜边对不对？都是 r， 它们的直角边相加不得相等吗？ ok， 所以 第一个三角形 o h 的 平方加上 h 的 平方， 是不是要等于上面那个三角形 o m 的 平方加上 pm 的 平方？ 好，来再说次 o h 啊，二减 x 的 平方 d h， d h 在 哪里啊？ d h， d h 在 这里，是不是加二呀？没问题吧？好，上面上面的话就是 o m 的 平方， o m 就是 x 的 平方呗。因为我设的 x 好， 再加上 p m， p m 是 不是等于 f h 啊？等于一呀， 所以展开呗。 ok so， 四加 x 方减四， x 加二会等于 x 方加一，约掉约掉，所以负四 x 会等于负五 x 等于四分之五 x 都出来了，我带到这里面去算半径可不可以？所以我的 r 就 会等于根号下 x 方加一会等于 根号下我的 x 方十六分之二十五，罗 x 为四分之五，加上十六分之十六会等于四分之根号四十。 ok， 所以 他说什么？他让我们求啥？求外接球的表面的 a， 外接球的半径都出来了，所以 s 会等于四 pi， r 方会等于四，乘以 pi 乘以十六分之根号四十一等于四分之根号四十一。做完了， 所以 d 是 错的吧，信不信他是根号四十一排，怎么可能。 综上走数，我的选项就是 b 和 c， 怎么样？ ok， 我 们这个题就分享到这里，拜拜。

二六届七八联考第十一题，一道人格分裂的几何题，前半段难度平稳输出，后半段画风突变，抽象到你根本画不出图，你能想象出来不？这边都是溜平，溜平的里边是个呼。别慌，显哥带你摸清这道题的规则，破解这道多选题。他说正四棱锥啊，他的高为 h 四棱锥，他的顶点在正方体的内部，包括边界上运动啊。问 h 的 角度范围， 你鄙视谁？出题你鄙视谁？你是在鄙视我吗？他这是一个正方体，你不用画了对不对？你这是个正方体， 你想想屁点在正方体的表面上和内部运动，那当然体高最大的时候就是一呗，体高最小的时候是接近零呗。 所以这个 a 选项他有点病啊，病的不轻，所以怒开两分，我就做下一道题了，如果我是学渣，一个对不对？明白了不？ b 选项，他说正四棱锥，他的侧棱长是二分之根三，我们画一画啊， 就当画了啊，就当画了，那所以他说侧棱长是二分之根三，然后呢？问体高是多少，那体高的话，那就应该是放在这个三角形当中来解决问题，那这个数的话，就应该是二分之根二， 那所以一勾五定里，那就是四分之三减四分之二，四分之一就二分之一啊，开根号是二分之一，所以这个选项错误的。也说 h 应该等于二分之一。 再说一遍，这个长度是二分之根三，这个长度是二分之根。二勾五定里，四分之三减四分之二，四分之一，开根号二分之一，所以这个选项错了。他说 p 在 正方体的正方体的中心上，底面的中心上，然后呢？外接球， 正能锥的外接球，这是我们高考考烂的东西，所以他这个在正方体上，底边那个中心上。来来来，大家思考一下，那是不是相当于我们假设外接球的球心 在这就是 o， 那 这个地方呢？显然球心到球面上的距离，这是半径，又因为他的体高是一，因为这个点在正方体的上，上底面上吗？啊？上底面上啊，所以呢，他的体高就是一，那所以这个长度就是一点二， 然后呢，这个长度呢，也是球的半径，所以是正能锥的外接球。他有个万能公式指出我们烫，所以我们现算就可以了。也就说一减二的平方就应该等于二方再加上一个 啊，二分之一，所以二方再减去个二二，再加上一个一，等一个二分之一啊，写反了。嗯，一减二的平方再加上一个二分之一，等一个二方，所以这量是二分之一，再加上它， 没错吧？所以呢，二方和二方约定了，二二就应该等于二分之三，所以二呢，就应该等于四分之三， 所以外接球的表面积是四派，二方就是十六分之九，所以答案是四分之九派，这个选项是正确的，明白了， ok， 好， 来我们讲讲第一个选项怎么做。我先画出一个正方起来，这道题你应该会，你会怎么想呢？好吧， 好，他说什么呢？屁，为这个正方体的内切球，既然他为他内切球，内切球的半径我们是知道的，内切球的半径就应该是一个二分之一，因为他体高是一。现在呢？呃，他说的是屁为他的内切球的球心就说白了是正方体的中心， 正方体的中心，这个没错，是吧？那正方体的中心的话啊，人家说这个正方体的正方体的内切球与这个正四棱锥公共部分的体积是多少？ 圆了？这道题它里边有个内切球啊，内切球它与这个正四面体的公共部分是什么？你能想象出公，公共部分是什么？不？ 能想象公部分，哎，你切过西瓜吗？切西瓜，这边切一刀，哎，就是这样的，哎，这边都是溜平，溜平的，里边是个乎啊。所以这个地方你想想，我要想求的话，我肯定不可能直接求出来，因为我们没学过呀， 我们又，他又不是什么公形，对不对？我们又不会双重积分，对不对？所以呢，我们就得想他占多个球， 听明白了吧？占多少球，那占多少球，那这个问题就解决了。你只要能想到这一点，这道题解决了。所以 d 选项考你的空间想象能力， 听懂吗？他是完全对称的，你得想他占多少个球，那你想想，这样的话，他占了一部分，那如果是这个点，哎，以他为底面啊，就是这个底面啊。就说白了，这个地方也同样有一个正四棱锥，哎，他与那些球交在一部分，是不是一样的体积？ 那上底面是不是也同样道理？这边左侧面是不是也一样的理解了？不，所以你们猜占几分之一，只需要打分母就可以了。几分之一的内切球？ 好，你可能还没听懂这样的话，是一个正四面体，他与这个内切球啊，切公共部分有一部分啊，是多少我不知道。然后呢？哎，我假设这条也有个正四面体，他与这个内切球他也有个公共部分，这个公共部分肯定是一模一样的。 一模一样的。那这个地方呢？他也有个内切球，对不对啊？也也有个正四面体，他与这个内切球公分一模一样的，所以就完了，就完了。这道题就完了，所以占六分之一个。六分之一个内切球的体积。 内切球的体积是三分之四 pi 二的三次方，三次方是八分之一，所以答案是六六三十六分之 pi。 好， 你能想到不？选 d 听到吗？想想西瓜啊，你直接求是求不出来的，所以得占多少个球？所以我就想全都是对称的就可以了。他正好把整个的那些球瓜分了，分成了六等份，所以这是十一题。 ok， 好， 十一题。

同学们好，今天给大家分享一道我觉得在高考当中最阴的一道物理题集合题，好，它出现在这个二零二三年的假卷第十八题，那我们今天来一起把它盘掉。 首先我们看题目的条件好，在三人柱当中 a e c 垂直底面 ab abc， 那么像我们碰到这种一条直线垂直于底面，我们可以把这条直线和底面当中的每一条边，好，它这个垂直我们都给它写出来， 它其实就是相当于一下告诉我们三个条件好。接着我们继续看角， a c b 等于九十度好， a c 垂直这个 abc， a e a 等于二。然后告诉我们说，这个 a e 到平面， b c c e b e 的 距离为一， 那点到平面的距离我们要去过点，要过点去做平面的一个垂线，那我们首先就是想到说它这个垂线有没有可能刚刚好，它就垂直在什么呢？ c c e 这条直线上， 对吧？我们可以去猜测一下，那我们可以验证一下，看题目中的条件够不够，就是说这个 a e m， 它有没有刚刚好垂直于这个 b c c e b e， 那 我们根据题目中的条件我们来看一下。首先通过 a e c， 它垂直于这个里面， a b c 啊，我们可以得到说，呃， bc 它和 a e c 是 垂直的， 哎，我们发现说 bc 它和 a c 也是垂直的，那么结合这两个条件，我们可以推出 bc 它垂直于底面，什么啊？垂直于这个侧面好， a e 这个 a c 结合这两个条件，我们就能得到 bc 和这个和这个侧面是垂直的，那么自然 bc 它也就垂直于这个平面当中这条直线 a e m 了嘛？ 好，哎，我们就知道说 a e m 和这个 b c c e b， 它有一个，有一条边是垂直的吧？好，好， 那这个时候我们只要再做辅助线，我们说去做 a e m 垂直 c c e， 那 是不是 a e m， 它又怎么样呢？既垂直于这个，既垂直于 c c e， 又垂直于 b c， 那我们就得到说，哎，结合这两个条件，我们就能推导出这个 a e m， 它是垂直于 b c c e b e 的， 那也就是说我们的这个 a e m， 它就等于 a e 到平面的距离，那就是等于一了。好，那么沿着这个思路下去，我们就觉得这肯定是对的，因为这个，呃，我们通过题目的条件，好，我们推导出个这个结论。 好，那我们先把这前面的过程给它写一下解，一提一得， 理清了思路之后，我们就可以先根据题目中我们需要的条件去给它写出来就可以了。好，因为 a e c 垂直于底面 abc， 所以 我们需要的是这个 a e c 垂直 bc， 好，我们可以后面再给它补充上角 a c b 等于九十度，所以这个什么呢？ a c， 它也垂直 bc， 所以 我们可以得到两条相交直线，好，垂直于同一个平面。那么又因为这个什么呢？ a e c 交 a c， 它于 c 点好，然后所以我们可以得到 bc， 它垂直于平面我们这个侧面 a c c e a e 好，然后接下来我们说了，我们就可以得到说 b c， 它是垂直于这个 a e m 的。 哈，那这个 a e m 我 们需要去给它做出来，所以我们要过 a e 点做这个什么呢？ a e m 垂直于 c c e， 所以啊，什么呢？ b， c， 它是垂直于 a、 e， 那 这边我们可以给它补充一下，直接写的话稍微会比较，嗯，干燥一点，我们可以给它补充一下。那么因为 a、 e、 m， 它是含于平面 a， c、 c， e、 a、 e 的， 所以我们刚刚才证明了这个什么呢？ b， c， 它是垂直于这个侧面，所以 b、 c， 它肯定也是垂直于 a、 e、 m 的。 那么又因为 b、 c 和我们 a、 e、 m 垂直的这个什么呢？ c、 c、 e 它是交于这个 c 点的，所以我们就可以得到 a、 e、 m， 它垂直于 这是什么呢？垂直于平面 b， c、 c、 e、 b， e， 那 么所以哈 a， e、 m， 它就等于 e， 所以 a、 m， 它就等于 e。 好，那么证明出 a、 e、 m 的 长度之后，那么我们想要去求证这个 a， e、 c 等于 a， c 好， a， e， c 等于这个 a， c。 那 我们想到说如何去证明它是一个等腰三角形，对不对？我们要证明这两条边相等，我们得想办法去证明它是一个等腰三角形， 那么 a， e、 a 等于二。根据题目的条件， a， e、 a 等于二，所以我们可以知道 c， c、 e 也等于二，对不对啊？ c， c、 e 也等于二， 那 c、 c、 e 等于二。我们观观察一下，我们发现说什么呢？ c、 c、 e 刚好是这个 a、 e、 m 的 两倍，而且怎么样呢？ a， e、 m 它还是垂直于 c、 c、 e 的， 那这边我们可以联想到说，有没有可能说 a， e、 m， 它刚好是这个等腰三角形。一个三线合一，尤其是它是这个直角三角形当中，我们想到说直角三角形斜边上的中线是不是会等于斜边的一半啊？对不对？我们观察一下这个 a， e c e c e 这个三角形，它有没有可能刚好是一个直角三角形呢？ 好，那么我们看看一下题目的条件。好，因为这是一个三人柱，所以它每一个面一定都是这个什么呢？它的每一个侧面一定都是这个平行四边形， 所以因为 a e c e， 它是平行于 a c a e a， 它是平行且等于 c c e 的， 所以怎么样呢？我们 a c 题目中说 a e c 垂直里面 abc， 所以 a e c， 它也会垂直什么呢？ a e， c e， 对 吧？它既啊它垂直于 a c， 那 肯定也会垂直于这个什么 a， e， c e， 对 吧？然后这个啊， a e， 它又是等于 c c e 的。 好，所以我们这个 c c e， 它也是等于二， 对吧？好，然后这边我们呃，看一看，怎么去证明这个 a m 刚好就是它的一个中线呢？我们这里可以去利用一下。呃，我们这个， 当然你可以用中中线去，反正那也可以去。呃，我们去用摄影定力，我们来试一下。好，我们看一看，那么因为 我们可以把这个侧面去给它画出来，我们看一下 a e c， 然后 a e c e， 然后这边是 c c e， 我 们刚才说 c c e， 它是等于二，然后我们是过 a e m 做 c c e 的 垂线 am， 那 么 c a e 和 c 和这个 a e， c e 它们是垂直的， 那我们在初中碰到这种直角三角形当中做斜边上的高，我们可以想到这个摄影定律。 摄影定律的内容是什么呢？好，我们看一下 a e m 这条高，它把 c c， e 分 成了两段，我们把这两段假设为 m 和 n 吧。 然后呢？这个 a c a c 我 们不知道，但是我们知道说这个什么呢？ a m， 它是等等于一的。 好，然后这个什么呢？在摄影定义当中， a e m 的 平方，它会等于 c m 乘上 c e m 高的平方， h 的 平方会等于 m 乘以 n。 啊，这是摄影定律， 所以这边我们可以怎么样呢？我们可以去假设， 嗯，设这个什么呢？ c m， 它等于 x， 则 c e m， 它等于二减 x， 因为 c c e， 它是等于一的。好，所以呢，我们可以得到什么？ a e m 的 平方，它要等于 x 乘上。或者我们可以先写一下，它是等于这个 c m 乘上 c e m， 它要等于 x 乘上二减 x， 它要等于一，那这边我们就可以去解得了。好，我们解得 x， 它应该是要等于一的，对吧？很明显，我们把 x 等于一带进去，一乘以二减一，它是等于一的嘛？好，这个就设定一个 好，所以我们就可以得到。你看 c， 所以 c m， 它是不是就等于 c e m， 它是不是都等于一啊？对不对？好，所以我们可以得到 a e c， 它是不是就要等于 a e c e， 那又因为我们我们要证的是 a e c 等于 a c。 好， 我们这个 a e c e， 它是等于 a c 的， 所以 a e c， 它就是等于 a c 的。 好，那这个第一小题我们就给它证明出来啊，它难就难在说一个是我们要发现这个什么呢？ a e m 或者说我们要观察到这个 a e c c e， 它刚好是一个这个呃，等腰直角三角形， 因为你想这道题要让我们证明 a c 等于 a c， 那 a c 和 a c 本身就已经垂直了，所以我们可以看到这个平行四边形，它的一半是一个等腰直角三角形，那我们这边的另一半，它肯定也是一个等腰直角三角形。 所以根据题目中的条件，我们可以去猜测说它这一个图形应该是什么样的，然后我们就想办法去证明这个 m 它刚好就是 c c e 边上的中点 那双垂直，我们就想到了这个啊，摄影定律，所以我们利用摄影定律算出它的长度之后，哎，直接就证明出来了它是一个等腰三角形，三线合一。好，那这边我给它擦掉。 接着我们一起来看一下这个。第二题已知 a a e 和 b b e 的 距离为二，那么求 a b e 和平面 b c c b e 所成角的正弦值。 那这题通过题目中的条件，我们已经发现说 a c 和这个什么呢？ a c 还有这个 bc 这三条线，它们是两两垂直的，所以我们当然是可以去直接间隙的，对吧？好，我们可以直接去间隙， 但是呢间隙这边有一个问题啊，就是这个 bc 它到底是多长我们现在不知道。 上一题我们知道 a c a 他 们是一个这个等腰直角三角形，所以 a c 等于根号二， a c 也等于根号二，这个非常好求，但是这个 bc 是 多少，我们现在还不知道对不对？ 所以我们一定要利用题目中给我们的这个条件，好告诉我们说 a 一 a a 一 和 b b e 的 距离为二，那我们可以看到 a a 一 和 b b e 它本身就已经是一个平行线了，所以距离为二，那么我们自然而然就先 把这个距离在途中给它表示出来，它表示的是过 a 一 点去做 b、 b、 e 的 一个垂线， 对吧？我们把这个垂线去给它做出来。好，那么也就是说现在这个垂线 a、 a、 e、 n， 它的长度是二。好， a、 e、 n， 它的长度是二。哎，再结合 b、 b、 e， 它的长度是不是跟 a、 a、 e 一 样也是二呀？ 对不对？好，好，那么现在我们来看一看如何利用这两条线段的长度以及线段长度之间的一个关系。好，好，嗯， 那我们再看看题目当中的条件。好，前面我们已经证明一个 a、 e、 c 等于这个 a、 c， 像这种我们有多个小题的，我们一般要把这个题前面正确的结论去给它用上。好， a、 e、 c 等于 a、 c， 然后 a、 e、 c 和 bc 垂直， a、 c 和 bc 也垂直，而且它们还有一条公共的边， 所以我们发现说，如果我去把 a、 e、 c、 a、 e、 b 给它连起来，你发现说三角形 a、 e、 b、 abc 和这个三角形 abc， 我 们发现它们是不是刚刚好全等的呀？ 对不对？他们刚刚好是全等的， a、 c 等于 a、 c， 然后 bc 又是他们的公共边， 然后这两条边都跟 bc 是 垂直的，所以这两个三角形很明显是全等的，对不对？哎，全等的，你就发现说 ab 它等于 ab， 那 ab 根据平行四边形，它又等于 abe， 所以我们发现说 a 一 b 一 b 也是一个，这个什么呢？等腰三角形。好，好，所以这边第二小题到这边我们就可以开始做了。这既然是个等腰三角形，底边是二，高也是二，对不对？它的腰，它的，它的这个所有的内容我们都可以去给它求出来了。好， 所以呢，我们还是一步一步改哈，刚刚我们说了，要这样一直要做下去，我们就需要把这个 bc 的 长度去给它算出来， 那这边的话，我把前面第一小题的内容给它擦掉，大家可以这个截图一下，然后，呃，把第一小题过程给它截图下来。好，那这边我把过程给它擦掉，我们直接来看第二小题， 那么我们先把要做的辅助线先给它做出来，好过 a 一 做 a e n 垂直 b b e 与这个 n 点， 然后我们辅助线要去连接 a e b。 好， 那么由 e 的。 我们刚才说从第一小题这个 a e， c 等于 a c， 然后我们就可以 e 的 好，或者 e 正三角形 a b c 全等于三角形 a e b c 我 们用的是 s a s。 这边啊，像我们高中的话，一些初中比较简单的证明，我们就可以给它省略掉了。好，所以大家直接写 e 证就好，这个没有关系的，所以我们就可以得到 ab， 它要等于 ab， 那 么又因为 ab 它是等于 ab 一 的，所以我们以 ab 为桥梁好， ab， 它就等于 ab 一， 那么我们就发现说它是一个等腰三角形的 好，那么什么呢？又因为啊， b b e b e b， 它等于 a e a， 它等于二， a e n， 它也等于二，这个我们 u t e 的 好， a e 和 b e 的 距离为二，所以 a e n 也等于二， 那我们这边就可以得到这个什么呢？所以这个 ab 的 长度好，或者 ab 的 长度 我们先写。所以 n 是 bbe 的 中点，所以 n 是 bbe 的 中点， 所以 b n 等于 b e n， 它都等于一，所以 a e b， 它就等于根号下的 a e。 嗯， a n 的 平方加上 b n 的 平方，那一二根号五这边我们就可以直接写了，等于根号五，那又因为 a、 e、 c 等于 a、 c 等于这个什么呢？根号二。好， 这个我们前面可以写个易得这个毕竟题目没有给我们的条件。又因为易得 a、 c 等于 a、 c 等于根号二， 那么所以我们就可以得到 b、 c 的 长度了。现在因为这个 a、 e、 b、 c， 它是一个直角三角形，所以 b、 c 是 等于根号下的 a、 e、 b 的 平方减去 a、 e、 c 的 平方 等于根号三。好，那么 bc 的 长度也知道之后。好，我们如图所示，就可以建立直角坐标系了。 建立空间直角坐标系。 好，所以我们，呃，可以得到一些点的坐标了哈。因为我们要求的是 a、 b 一 和平面所成角的正弦值， 那么我们是不是要用到平面的法向量，对不对？好，那这个法向量的话，我们，呃， b b、 e 的 法向量，我们第一小题已经有现成的了，是不是就是 a、 e、 m 啊？对吧？我们有这个现成的啊，这个 a、 e、 m 刚刚给擦掉了，我给它补回来。 好，那我们把需要的这个点坐标给它写出来。好，那我们把需要的这个点坐标给它写出来。好，所以 a、 e 的 坐标应该是零撇一个零撇根号二， b 的 坐标是这个什么呢？呃，零撇根号三撇零。 好，然后 b 一 的坐标，那这个 b 一， 我们要注意了， b 一， 它不是在这个数啊， b b 一， 它不是垂直于这个 x、 o、 y 这个平面的。好， b 一 的坐标应该是要在往后 能不能看得出来？好， b 一 的这个横坐标应该是负的。根号二， 它是在 x 轴的负半轴这边，然后它的重坐标和 b 肯定是一样的，都是根号三。那竖坐标的话，应该是和 a 一 是在同一个高度的，是根号二，所以这个才是这个 b 一 的坐标，这个地方非常容易看错。 好，那么 a b 一， 我们，呃，这个 a 点的坐标我们还要再去给它写出来哈，是根号二撇，零撇零。 a 点是在这个 x 轴上比较好写， 那么 m 的 坐标我们比较难写一点哈，我们需要借助 a 一 点的坐标和 c 一 点的坐标， c 一 点的坐标和这个 b 一 是一样的，它是在 x 轴的负半轴这一块好在后面， 所以 c 点的横坐标也是负根号二，然后竖坐标重坐标是零，竖坐标和 a 一 是一样的，都是根号二，所以我们可以得到这个什么呢？ m 点的坐标，它应该是 a 一 啊，它应该是 a 一 和 c 一 的中点，所以我们把它们俩的横纵坐标相加除以二，横坐标相加除以二是负的二，负的二分之。根号二，纵坐标相加，除以二是零， 然后这个竖坐标相加啊，除以二，就是这个什么呢？ a， e， c， e， 嗯，这个数坐标的话，应该是二分之。根号二 啊，它是这个 c 和 c， m 是 c 和 c， e 的 中点，中点哈，这个看错了，那这个 a 一 点我们就不用去写了。这个看错了， m 应该是 c 和 c， e 的 中点哈， c 点坐标我们是圆撇一个，圆撇一个是作为圆点，所以 c 和 c 的 中点应该是二分之根号二。 好，那这个 m 坐标我们就写出来了。说啊，那么什么呢？由一得好还是由一得？我们可以得到说 a e m 垂直于面 b c c e b e 设 a e b a b e 与这个面 b c c e b e 的 夹角 为阿尔法，所以 sine 阿尔法它应该要等于 cosine 的 什么呢？ 大家注意一个啊，因为这个直线和平面的夹角一定是一个啊，一到九十度当中的角，所以这个 q 三 c 大 值一定得是一个取正值，它应该是 a e m 向量和这个什么呢？ a b e 向量它们俩之间的这个夹角。那么因为 a e m a e m 用 m 的 坐标减去 a a e 的 坐标，那这个 a e 我 们还是得去给它写出来。 a e 是 零撇零撇根号二， 所以 a e m 是 这个什么呢？负的二分之根号二撇零撇负的二分之根号二。然后 a b e 它是等于 b 一， 减去 a 的 坐标是负二根号二，撇根号三，撇根号二。所以这个 sin alpha 它要等于 cosine 的 a e m 撇 a b e 的 绝对值，它就等于。好，我们看一下，绝对值下的 a e m 乘上 a b e 除以 a e m 的 摩擦，乘上 a b e 的 摩擦， 那这边计算的话，我们就在草稿子上去给它算出来就好了。我们来看一下哈，上面的分子部分应该是 a e m 呃，横坐标，横坐标相乘是这个二 加零，正坐标正坐标相乘，加上竖坐标和竖坐标相乘是负一， 然后除以 a e m 的 摩擦是根号下的二分之一加三，零加上二分之一 乘以 a b 的 这个摩擦是根号下的八加三加二。 那么这边的话就是上面分子是一，下面分子是这个根号是三，所以它口算起来就等于三分之根号是三。 好，那这道题我们就给它搞定了，所以这道题里面哈它体现了一个我们对立体图形的一个空间想象力。 还有一个就是我们结合了我们初中学过的一些知识点，包括这个摄影、电影啊，包括这个全等啊。 那么很多时候我们呃在做这个立体几何题目的时候，我们如果思路上面就是说，嗯，不要局限于一定要去先给他解析出来。有的时候间间间隙的一个前提是我们要把这个呃整个图去给他分析完，然后才能去解析， 那么间隙后面的内容就相对比较简单了，考察我们这个技术知识点的一个应用了。 好，那我们这道题就分析到这边，记得点赞关注哦。

高二高三的同学们，咱们今天拿天津高考的题目我们来看一下，在例题几何这里如何三步全部都用间隙的方式来用，那么我们说如果说间隙，我们在考场当中如何判断我们这个题是用间隙好还是用推导好？首先我们来看一下这个题目，这题首先告诉我们一个正方体， 那么点了一个棱长，那么首先真题思维告诉我们什么正方体棱长，我们要找什么？是不是有垂直？是不是每条边全部相等？ ok， 后面继续有一个终点， 终点是贯穿于 e f， 那 么就相当于我这个 e f 是 不是平行于我的两条边，对不对？是不是这条边和这条边？ ok， 那 么来我们继续看， 那么我们就最后有什么给了一个倍数关系，但是来我们看我们没有平行，没有垂直，我们有的垂直是什么？有的垂直是我们正方体的平行，以及 e f 和正方体边长的平行以及垂直，这是我们已经知道的，但是同学你会发现这个题目的已知真的非常的少， 我们能用的已知就是长度、垂直、平行以及终点还有倍数关系，那么在已知量非常少的情况下，老师推荐干什么？就用间隙，为什么？间隙虽然麻烦，它的麻烦的点在于我们，第一就是我们要先间隙怎样去做直角坐标系，但是这个题它好在了，我们用的是正方体， 正方体间隙是比较容易的。第二就是我们要写一些坐标，我们说写一些坐标的时候，可能我们写在点的时候看错了，所以说我们用什么方法，用三步做题法，三步做题法，详细的可以看我主页的置顶。 ok， 来，我们回归到这个题目， 我们还有一个点是什么？就是计算，所以说在例题几何里面，计算一定是一个非常大的一个重点。来，我们看一下这个题， 这题很明显，我们以 d 点为圆点，分别以 d， a， d， c 和 d， d， e， 我 们分别为 x、 y， z 轴建立空间直角坐标系，那么我们记住这句话一定要写全，而且要写完整。 ok， 每条边都是四，那么我们来写下 b 点， b 点，就是四四零，然后 e 点 二零四， ok， f 点二四四来 g 点零四三。 ok， 来，我们写完这四个点之后，我们来表示一下 e， f 向量， e， f， 我 们知道用后减前，所以说我们后面减，前面就是零四零。我们来继续 e， f， 我 们已经表示完了。之后我们来表示一下 e b 向量， e b 等于多少，还是用后减前，所以说 e b 就是 二四负四。 ok， 来，我们继续 f g 向量， f， g 还是用后减前。来。同学，这里我说一个简单的东西，我们这里先把它写完，就是负二零负一。 ok， 来，我们如果说不知道，我们用 b f， e， g， 因为你想什么，我们 g， f， f， b， e， 所以 说你如果要列点，老师建议你就找它上面所有这些点全部都表示出来，你可以在第一问的时候，就把每一个点就是从 a， 从 a、 b、 c， d， a， e， b， e， c， e， d， e， f， 还有 e， f， 还有 g， 它们每一个点全部都表示出来，那么你后面就可以不用写了，你就写由第一问得，或者是由已知得，那么我们就可以直接用我们的这些坐标，当然同学如果说你嫌他麻烦，你就用什么写什么就可以，但是千万不要忘记写 ok。 来，我们继续表示完这个之后我们找的是什么？ 老师之前说过，如果说在推导方式里面找线面垂直要优先找什么？要优先找线垂直， ok， 线线垂直我们要找什么？是不是要找两条线相交，而且要有交点，并且我这条线，我平面外的这条线垂直于这两条相交的线，分别垂直， ok， 那 么我们才能推导出来，由线线垂直推导出我们的线面垂直。但是现在我们要找什么？我们用的是坐标方式，坐标方式要去证明线面垂直，我们要怎么找？ 是不是我有这条线，我下面有一条面，我这个面和这个线垂直的，我的法向量要和我的这条线要干什么？是不是平行关系啊？所以说我现在应该是去假设我的法向量表示完我的法向量之后，我们 应该干什么？去找平行关系。所以说我们假设一下这个假设，我们的平面 f b e ok， f b e， 我 们的法向量 n 或者向量 m， ok， 我 们写 x y z， 当然你写 abc 也可以， x y z， 那 我们表示 x y z， 我 们把这个向量 m 代入到哪里？分别和 e f 和 e b 来代，因为我们这两个是垂直关系，所以说我们向量 m 是 发行量，发行量和 e f 是 垂直关系，所以说我们就等于四 b 等于零， ok， 我 们直接代入就行。下面也是向量 m 和什么呢？和 e b 进行一个相乘，等于二 a 加上四 b 减四 c 等于零， ok， 这是这两个，那么我们现在要干什么？我们是不是要求解我们的法向量？法向量如何求？让我们的某一个已知量，我们假设它为什么数？然后去求另外两个未知量，对不对？所以说我们假设我们令 a， 比如说 a， 我 们这里微到好算，我们比如取二，但是你也可以取一，可以取二分之一都可以。那么记住法向量取什么都可以，为什么可以取？因为法向量找的是倍数关系，比如说我这里写的是四一三，对吧？四一三加上它是它的法向量，那么你如果写出来是八二六，它 是不是也是法向量？它们之间成了一个二倍，但是它们还是法向量，它们是找了一个倍数关系来，我们继续。我现在 a 等于二， c 等于多少？我们把二代入，那么 b， b 等于多少？ b 就是 零，所以说 c 就 等于一，那么 b 等于零。 ok， 我 们就写完了，我们把我们的法向量表示出来，向量 m 就 等于二零一， ok， 二零一。来，我们继续。那么我们现在要表示什么？是不是应该表示我们的 g f， 但是我们会发现 g， f 等于什么？或者是 f， g 等于什么？ f， g 是 不是等于负的？我们的这什么 向量 m， 那 么我们向量 m 是 反向量，所以说他们之间是一个倍数关系，乘一个负一倍，所以说他们是一个什么？是一个平行关系，那么我们就可以得到一个平行关系，所以说我们就可以得到这条线，垂直于这个平面。 ok， 这就是第一个，来，我们继续说一下第二个，这里我们把另外一个题往后放一放， 来，我们来说一下第二问，第二问了个什么？问了一个这个平面和这个平面的加角的余弦值，所以说第二问问的是什么？是不是二面角？二面角我们要找什么？老师在上节课直播的时候也说了，二面角我们要找的是 cosine theta， cosine theta， 当然了， 如果说是一个线面角，我们的 cosine theta 是 可以直接找到 cosine theta 的 关系的，对不对？这里一定要区分好。 ok， 来，同学，如果说他这个题问的不是 cosine theta 的 关系的，对不对？这里一定要区分好。 ok， 来，同学，如果说他这个题问的不是余弦值，他问的直接是角度，那么你应该怎么找？ 记住所有角度，在如果说你没有任何思路情况下，就考虑余限值就是 cosine 值，那么 cosine 值你只要考虑出来了，这个题大概率就不会错了。来，我们继续看一下第二问，第二问如何求？这里 e f b 或者 f b e 是 不是我们第一问的发向量？是不是我们刚才求的这里是不是它？所以说我们现在只需要求出来 e b g， e b g 在 哪里？让我们看一下 e b g 是 不是在这里啊？ ok， 我 们会发现这个项链这个平面我们的法项不知道情况下，我们就要求一下，刚才我们已经表示了两个项链了，三个项链，那这几个项链我们也是可以再去疑问用到的，当然我们还需要取一些其他的来，我们看下这个图 是不是需要 e g 和 b g 对 不对？所以说我们来表示一下 e g 来一点 e g 后减前，所以说就等于负二四负一。来，我们来写下 b g 向量 b g 等于多少？也是后减前，从这里减去这里后减前，记住是 g 减 b， 来我们这里是多少？是负四，负四， 负四零三， ok， 我 们 b， g 和 e g 全部都表示出来了，我们现在应该表示什么？是不是表示我们的平面 b， e， g 的， 或者是 e b g 的 发向量，那我们来表示一下平面 e， g 的 发向量等于多少呢？比如说我们让它等于 n， 向量 n 等于 x， 一 y 一 z 一， ok， 这里我们一定要和上面这里 x， y， z 进行一个区分，然后避免它们符号重复。来，我们来表示一下，向量 n 就 等于向量 n 乘以 e g， 或者向量 n 乘以 g， e 都可以，这里我前面写的是 e， g， 我 们这里就写 g e， 但是同学如果说你表示的是 g， e， 但是前面这里是 e， g， 你 就乘以个负一就行，它们是一个相反关系。来，我们继续，这里就是负二， x 加上四 y 减 z 减 z 就 等于零，然后向量 n 乘以 b g， 向量 b 对， 等于负四， x 加三 g 等于零， ok， 这两个式子我们进行，还是原来的方法， x 就是 让 x 等于多少呢？所以我们看一下， 可以找到一个六，我们找六，那么我们把 x 代入，那么 z 和 y 不 就行了吗？ z 等于八， y 等于五， ok， 来，我们的法向量向量 n 就 等于六五八， ok， 有 了这个反应量之后，我们应该找什么？来，我们看一下这个提问，找余弦值，所以说余弦值公式，记住这里我们不知道它的夹角，所以说我们要先在前面先写一下平面 f， b， e 和我们的平面 f b e， 这里我们已经重复了，这里我们重新写一下，这里应该是平面 b e、 g 它们的夹角，比如说夹角为 c 它， ok， 夹角为 c 它了，那么我们找的是什么？是不是 cosine c， 对 不对？那么我们应该找的是 cosine f g 和什么？和我们的法向量 f g 是 什么呀？ f g 不 就是刚才我们找的倍数的关系啊，对吗？你想我乘一个倍数，那么其其实这个 f g 不 就是它的法向量，对不对？来，我们继续，那么我们直接代入公式就行，就是 f g， 然后乘向量 n， 然后比上 f g 的 模长， 乘 n 的 模长，乘 n 的 模长，然后就等于二十比上根号五，乘根号一二五， ok， 等于多少？等于五分之四， ok， 那 么这个题我们就出来了，但是同学老师建议你在这里我们再写一句答话，就是谁的平面和谁的平面的加着余弦值为多少，这就我们在这里写一句答话，以防万一，万一老师到时候就是看判卷，这里我们出现了一个错误，把这里扣掉了一分，比较冤。来，我们再看一下第三问， 第三问这里说的是什么？第三问，这里问的是一个体积，来，所有体积，别管是什么图形，它是不是都是底面积乘以高呀？当然不同的图形它底面积乘以高之后，它还会有一些变化，这个没有关系，但是它整体上是不是都是底面积乘以高？ ok， 知道了这个之后我们怎么求？我们是不是应该要先求出来它的底面积，再求出来它的什么它的高？来，我们看一下这些说的是什么？ d， d 在 这里， d 在 这里， f b e f b e 在 这里，所以说它找的是什么？来，我们换一个颜色，觉得好看， 来 d， 点到一点，我们这里到这里， ok， 我 们找的是什么？一个三棱锥，三棱锥底面是什么？底面是三角形，所以说高 高应该是什么？是不是点到面的距离公式，或者是点到直线的距离公式？我们知道你看这里因为是个斜边，所以说你可以用推导，你也可以用垂直，你也可以用垂直关系进行一个推导，你还可以用什么 点到平面的距离公式进行一个求解。所以说我们现在应该先求平面 b e f 的 什么面积来，我们刚才已经求开了，我们的 e f 垂直于平面。什么？ e f 是 不是垂直于我们这里这个平面？所以说我这个直线垂直于它，我的 f b 又是在我的 b c c 一 b 一 这个平面内，所以我可以得到什么？我可以得到我的 e f 和我的 f b 是 相互垂直的， 那我这里相互垂直，所以说我这里找面积不就很好找了吗？来，我们进行一个求解。我们先来写一下，刚才我记得是 e f， 我 们知道 e f 是 垂直于平面， b c 一， 应该是 b c c 一。 ok， 这里我们重新写一下，应该是 b c c 一 b 一， ok， 我 们知道了这个之后，我们知道 f b 是 在哪个平面内的？是不是在我的 b c c e b 以内的？ ok， 我 们知道了这两个之后，我们来看一下我们是不是可以推导出来我的 e f 垂直于我的 f b 吧，所以说我可以推导出来我的 e f 垂直于我的 f b， ok， 之后我有垂直，我为了是找什么？我不就是为了找我的面积公式吗？所以说我找的面积是什么？ 来看一下是不是 b e f， ok， b e f 等于多少？等于二分之一，因为我垂直关系，所以说我就找的是 e f 乘 b f 来，二分之一乘多少，这里是四，后面这里应该用勾不定理 来看一下，应该是四，二根号来，应该是四的平方，乘二的平方应该是加了二的平方，就等于这里应该是十六，十六加四 再乘以，前面应该是，嗯，二倍的根号五，再乘二，应该就是四倍的根号五，四倍的根号五。来，这个是我们的面积公式。来，我们还需要什么？我是不是还需要我有一个高到我这个平面的一个距离公式？ 所以我找的是什么？我可以找 d e， 我 也可以找 d b， 都可以，你觉得哪个方便，你就求哪个就可以。来我们这里先表示一下 d e 向量 d e 等于多少？来，我们看一下这里后减前，所以我们应该是二零四， ok， 那 么我们找的是什么？我们不就找的是地点到我这个平面的距离公式，对不对？来，距离公式小 d 等于多少？是不是我随便找的？第一的这条向量和什么和 f g 来比较？ f g 的 模长， ok， 等于多少？ 根号五分之八就是八倍的根号五比八，对，应该是比五，这里我们写的有点乱，我重新写一下，就是八倍的根号五比五， ok， 这个是我们这个式子，但是这个写完了吗？这个没有写完，这里是什么？这里是高， 我们还需要什么？体积应该是三分之一底面积乘以这个距离，也就是这个高应该是多少？三分之一乘以多少，乘以八倍的根号五比五乘以四倍，根号五等于多少？这应该是五个五四四八，三十二，应该是 三十二，下面应该是三。 ok， 这个题就已经写完整了，当然我们最后还可以写一句答话，把这个题再丰富一下，那么这个题同学你就可以拿到满分了。 我们会在一月初有一个为期一个月的期末冲刺时间，那么如果同学你感兴趣，欢迎来咨询，欢迎来加粉丝群。我们有寒假课，我们也有期末冲刺班， 当然期末冲刺班如果不够的同学，比如说同学，如果同学你报了一个月，但是我们期末我们就上了二十天，没有关系，剩下的时间会自动顺藤，在我们的寒假班里 会免费提供给，比如说我们三十天的课程，我们有二十天还没有上，那么寒假班我们会免费给大家提供十天的课程，培养真题思维，优城启航之路，我们猜一下。

哈喽，欢迎来到老刘数学啊，今天我们讲一个立体几何和一个圆锥曲线的一个结合问题，我们看这个题，他说已知正方体棱长为一 p 在 内切球的表面运动，而且满足第一批平行于这个平面， 让你求 a、 p 的 最小值，那我把图已经画好了啊，我们看我们有什么要求，他要求第一批平行于平面 a、 e、 b、 c。 那 我们今天用传统方法来做啊，第一批想要平行于平面 a、 b、 c， 第一批是谁呢？是这个点和这个结面啊，它这个圆周上的点，所以说我们要找到它，那切球，找到这个结面， 那么第一批怎么能平行于这个平面呢？其实它就是线平行于面的问题， 我们想要找到第一批平行于这个平面，其实说白了就是让你找到平行于这个平面的另一个平面，如果两个平面平行，那么平面上的所有线是不是都平行了？所以我要找到这个平面 a、 b、 c、 e 的 另一个平面， 我们要做另一个平面平行，我们要做两条平行线，连接 ac， 再连接 d 一 c， 再连接 ad， 这两个平面就平行了。也就是说这个球和这个结面和这个平面第一 a、 c 所结的一个一个面，那么我们讲第一，讲这个球面上任意一个点相连，它都是平行的，所以我们要把这个图抽出来啊，抽出来我们看，我们再做几个图， 我们把 d 一 拿出来，把 a 一 拿出来， a 拿出来， c 一 拿出来，这是个平面，平面上面有个球心 o 平面和，因为平面和它相结，那么这个结面可能是个圆啊，有个圆，那么假设这个圆的圆心是 o 一 漂， 我连上，那么形成一个结面圆，我此时 d 和任意一点连线都平行于这个平面啊，所以它第二个图它就是这个样子的了。那么我们怎么样求到 ap 的 最小值呢？ 那就设到第三个图了，这个结面圆，假设这是 o e 漂 a 点，我们刚才在这里，那就是 a 点，我们连接 a 和 o e 漂，你这个是不是就是最短的？假设这是 m， 所以 am 啊，这是 p 啊，这是 p， 此时 a p 是 最短，它等于谁呢？它等于 o 与漂 a 的 距离减掉 o 与漂 p 的 长度等于这个长度，我们核心目标就要把这两个长度求出来就可以了，那么我们现在着手求这两个长度，那我们再看， 因为你落点一定是重心了，所以我把第一 o 一 篇连上，这个是也是 p， 因为 p 在 运动嘛。啊， p 在 运动， 我们把这个连上，那我们先把这个高度求出来 h， 先把这个 h 求出来， h 求出来之后我再讲 o 和 p 连上 o 和 p 连上 o 和 p， 它其实就是球径 r， 它等于二分之一啊，它等于二分之一，我如果把 h 求出来了， 我把 h 求出来了，我 o 与漂 p 就 求出来了，也就是这个结面的小半径 r 一 就求出来了，这是 r 一， 对不对？那我们现在来看，我核心要求谁？核心就是求这个 h 啊，求这个 h， 那 我们这个 h 怎么求呢？ 看我这个球心 o 和这个任意一个顶点的连线。我换个比，球心 o 和任意一个顶点的连线，它是不是对角线的一半？ 对角线是多长？是一一，一是根号三，他的长度是二分之根号三。 那么我讲这段连上，讲这段连上，这段的长度是多少？来，我们算一下，这个是根号二，这个是根号二。那你这段长度我就能算出来 我们整个长度是多少？整个长度是根号二的平方。减掉二分之根号二的平方再开方啊，它是全长，那么这段长 c 一 o 一 的长度，它就是它三分之二啊。重心吧。三分之二，我们把它算出来等于三分之二，乘以这个是二，这个是二分之一，那就是二分之三，二分之三，二分之根号六。 哎，它算出来是三分之根号六，也就是说我这个 ceo 是 三分之，这个是三分之根号六。所以我这个 ceo 是 算出来了，它等于二分之三的 平方。减掉三分之根号六的平方再开方，我们算一下它，它是四分之三根号。向四分之三减掉三分之二，它等于算一下它十二分之九，十二分之八，十二分之一。 二倍根号三分之一，等于六分之根号三，你那个也等于六分之根号三。 所以 h 算出来了，所以我这个小 r 一 就算出来了。小 r 一 等于多少呢？ 它等于二分之一的平方。减掉 h 方再开方，它等于根号项四分之一。再减掉六六三十六，三十六分之十二分之一，它等于根号项 十二分之二，它等于六分之根号六。小二也也算出来它六分之根号六。 所以我就最终我 a p 到最短距离就算出来了，它等于 o 一 飘 a， o 一 飘 a 啊，等于谁等于 o 一 飘 c 一 啊， 对吧？减掉谁呢？减掉小二一，它等于 三分之根号六。减掉六分之根号六，它等于六分之根号六，所以我这个最小距离就算出来。那最大距离呢？ ap 的 最大距离， 它等于 o 一 漂 a 的 长度加上小二一， o 一 漂 a 的 长度是三分之根号六，再加上二一的长度，我们刚才算出来是六分之根号六， 他就等于二分之根号六，这是最长距离啊，这是最长距离。所以这个我们用这个传统的做法是需要进行抽出来，放回去，抽出来，放回去。 第一个拄逻辑，他的核心在这里，一根线想平行一个平面，我只随便都要平行，我只需要什么，找到他所在的平面， 他的核心在这里。这一点我们读懂了，这个问题就自然解决了。 ok， 喜欢点赞关注不迷路，我们下次再见。