2026春考数学难吗上海

大家好，这里是高中数学。袁老师，好久没有那个更新视频了，最近这半年在忙一些别的事情，然后今天来做一下这个二零二六年上海春考试卷的一个 点评吧。试卷我自己是刚刚花时间基本是做了，做了一遍，然后感觉，嗯，难度还有点，还有点难，就就相比于去年的高考，包括去年的春考是难度是要高一点的，其实集中就体现在那个 有几个小题上，稍微要难一点点，但也没难太多，就是一点点就感觉能明显感觉有有一两个题目没有那么好做，然后但整体 就他的大基调是不变的。什么大基调呢？就你还是能看的出来，那个一到八呀，十三十四这些题目就纯送分题，就基本上这这些只要不难，那么基础分就永远不会太难看，对吧？ 因为这些题目是只要你学了，只要你听听，听课了，任何任何的听了一点，我觉得就都是基本就存在送分，这也是上海学院历年来的一个基调。然后这个东西只要不变呢？那么中档题稍微难一点其实对，嗯， 主要就是对那个一百二十分左右的同学压力大，然后对一百四十分和九十分的同学其实压力就就没什么区别。所以我们这里所说的难一点，主要就是对于你想考就本来能考一百二十分同学，这张卷子考，再想考一百二 是不是困难一点，就大概是这样，然后我们来讲一下啊，然后这个一到八题就不用讲，就像我刚刚说的，全是送分题，没有一道题是需要思考的，甚至可能就第八题是稍微想一想，但也属于简单题，我们就从第九题开始。第九题是一个， 是一个复述的一个几何意义的题目，这个题目如果放在几年前来考，我觉得可以当一个中档题， 但现在因为这这这两三年吧，我记得已经连考两年。高考是至少连考两年了，都是放在了第九题，就是复述的几何意义，然后春考又考一个。这个我实话实说，如果你关注就比你， 你就你，你今年，你今年要参加高考吗？你肯定是之前是要看之前的高考题，如果你没看，那我现在跟你说，你是提前就要看的，你要知道高考的难度是怎么样，你才好安排你后面的学习计划， 大家要能听懂。你如果上我的课，你是肯定这都是提前就跟你讲好的，你不可能说是你考前再去看之前的高考题，这个是纯扯淡的，我甚至觉得高一的学生，你刚进高中，你就可以看一眼近几年的高考题，你先确定一个大概的难度和基调，这样对你高考的判断是很有帮助。 所以这个第九题我觉得放在这里，我最多给他一个中档偏简单吧，因为付出的几何意义考的我，我个人感觉是已经考的有点烂，就就考的已经非常频繁了，没有理由不会做了，所以我最多最多就给他中档偏简单。然后第十题，第十题是一个向量的一个加加法， 这个题目稍微有点难。这个题目实话实说，稍微有点难，应该是近几年我看到的。呃，春考也好，高考也罢，上海这边。第十题实话实说，稍微有点难，应该是近几年我看到的难，难度在于 它不是那么传统的加法，就是我们最经典的加法，肯定就是把它给分解开，这题一样是分解，只不过你分解的方法，比如说我们可能会想，比如说取 b、 c 的 终点，然后去凑一下那个把把，把该消的消掉，就有可能会这样想，这也是最经典的做法，但这个题可能稍微要 要一点点，就你需要多想一步。就如果你只是单纯的学了那个默写方法，就就默写方法的话是不行，你得真正会这个方法，要去灵活应用，其实就也还行。但嗯， 我对学生就就对大部分同学的看法，还是我觉得大部分学生能做到默写方法，就你学了这个方法，你能默写出来，我觉得已经 ok 了，但 做这个题可能就会稍微要麻烦点，因为这题是你需要思考，所以我能给他一个中档偏中档吧，他大概中间有一个很核心的东西，就是他既然要你求一个最大值，那基本上是百分百的，你要去把它给变成单位。之初 这个逻辑应该是我课上一直不断在讲，所以如果你抓住这个逻辑去做，可能也比较容易想到，就是你最大值是很难去基本是百分百的单位值数啊，就是反正得想办法变成单位值数，然后用函数去求进，对吧？好，然后我们来看这题就是中档偏中档，这里给大家标一下吧，中中 中中就是中档偏中档，中下就是中档偏简单。第十一题，我个人觉得 没有什么值得思考的地方，就是这个题目肯定是没有，我觉得是不如第十题的，就他可能也能算中中吧，但我觉得他跟第十题比是有是有一点点距离，因为他其实说白了就是一个很纯正的套套就就套套 算就行了。就是我自己自己做的方法是很死的方法，就是找公共点，然后我找到半径，然后找公共点，算他们俩的算算距离。 这个方法虽然很笨，但五分钟之内也能解决问题，所以我个人感觉就他不太需要思考吗？我个人认为不需要思考，题目计算量大，他他对计算量是有点大，用我这个方法计算量是有点大，但好像应该是有更快的方法，但因为我看到题， 嗯，我就想的是按照我自己想法做，然后做也做出来了，所以感觉就正常吧。我给这题没有那么难做，不过可能如果时间可能会花一点。 然后是第十二题，第十二题其实没有特别难，我觉得给他一个中上的难度吧，因为这个题目他的那个几何的几何意义，我个人感觉他虽然不是特别难，但还是挺有考验性，就是你如何理解，关键就是如何理解他什么时候能让油倒出来。 其实就这一点，还有一点就是很多同学看到这个题目应该就跳过了，哈哈，就很多同学看到这个题目应该就跳过了，但事实上这个题目的难度，嗯，也算是一个比较 算是简单的十二题了。这这是实话，算是简单的十二题，也就是去理解一下什么时候就什么样的时候，他刚好倒出来，把这个点找找到，剩下就是解三角形，然后摁计算器摁就行了。 考中就总总的而言，这个填空题里，我个人感觉就是第十题压力有点大，而 我觉得考试是个这样的，就一张试卷的难易程度，你如果单看我这样写，中下中中，这可能中中，然后中上，你光看我这样写，可能说，哎，一道难题都没有。是这样，但有一个关键的问题是，正常的情况下，第十题没有这么难，而当这个张卷子第十题上了难度之后，会对同学的心态产生影响。 对于考试这个东西，我可能后面会专门出视频来跟大家来分享一下考试到底是什么样的，就是大家只需要现在得到一个结论就好了。为什么 大家在我看了网上很多同学的反馈是觉得这张卷子呢？其实我觉得很大一部分原因就是因为第十题让大家卡住，一旦第十题这个位置卡住，其实会对你十一十二产生影响。 就比如说你第十题卡住之后，你看第十一题，如果你想的做法和我的做法是一样，你可能会觉得这个计算量有点大，让你更加烦恼，然后第十二题自然就跳过，其实这个第十二题你正你，你去大部分同，就大部分能考到一百二以上。同学去认真想，我觉得也没什么问题，但因为第十题扰乱了你的心态，导致张卷子可能做的不好， 然后十三、十四就没什么好讲的。第十五题是一个，这是个可以算是一个小心定义问题。 小新定义问题，难度是真的不大，就说白了就是很经典的新定义。什么叫经典的新定义，就是你读懂了新定义，你就能做出来题目，这就是最经典的新定义。就我们一再强调，在课上一再强调，对吧？就是新定义的题目，它的难度的一部分被分给了新定义， 所以导致如果你读懂了新定义，这道题本身的难度会下降。比如说我打个例子，这样说，大家可能没听懂，我打个例子，比如说这道题整体的难度，如果是中中，那么如果你读懂了新定义，这道题难度至少会降到中下，甚至直接就降到简单就这个意思 就是新定义问题。由于新定义被默认为是一个有点难的东西，所以导致如果你当场理解了他给的这个定义，那么这道题的难度往往就不大。所以这也就是，呃，就是考验你现场学习的能力，现场学习的能力。 这道题目他本身难度就是中下，然后如果你读懂新定义，他就直接就变简单了。这个题目不是特别。呃，没，没什么好说的。第十六题也是一个也是一个新定义，其实 其实这个新定义他不算新定义了，他他其实是比较比较正常的新定，关键是看你能不能看懂题目，一样的，还是能，能不能看懂题目。能看懂题目，这个题目我觉得也挺好，选给个中中吧，就总体难度给的， 但是你发现大部分新定义就是把大学的内容提前套出来。这个第十六题我自己做，他其实就是在考那个大学第一章第第一高高，高处第一，上上来就学的那个东西。嗯，我自己觉得 难度不算大，但对考对学生在考场上要求还是有点高，因为这应该是第一次十五、十六连续两个新定义吧， 虽然上如果上课的话，肯定不会特别怕新定义，但对大部分同学而言，可能对新定义有种那种天生的畏惧，但其实新定义按理说实话实说是相对简单的题，原因就是如果你只要你读懂了新定义，他难度自动降一级，那这道题目还能有多难呢？ 就这个意思，然后第十六题，我个人感觉举反例很，甚至就其实读懂题目一下就想出来这题该选什么，就选四 d 了，对吧？ 好，然后我们来看啊，综上所述啊，就这个小题，整体我觉得就是有点搞人心态，难，我觉得说不上，但就挺让同学在考场上烦恼的吧， 所以下来也会这样。就我现在，因为我这半年虽然没有没有更新视频，但我对考试的理解更深了， 就一张卷子，他对学生的挑战不只是他的客观难度，还有一部分就是他这个题目是怎么设置。比如说我觉得这张卷子对同学可能会觉得压力有点大，虽然这整场就可能就大部分都是中中、中下和中的上就没有一道难题，甚至中上只有一个， 看着是简单的，但其实对学生的心态要求还是挺高的，尤其对一百二十分的同学，所以 总的而言，我觉得这个选填的难度可以达到，反正让人挺挺吃力的吧。好，然后我们来看大题，大题怎么说？第十七题没什么好说的，就送分吧。基本上这题我大概扫了一眼，基本就送分，因为 对考统计就春考，春考考统计，高考一般会考那种，就是比较传统，今年的高考就我们从春考稍微看看。高考，今年高考，我我自己的预测 是我觉得那个概率题会难一点，不过我已经预测挺久了，大家听听看吧。就我自己预测概率题会难一点。 然后第十八题考了一个轮台，轮台在上海卷我记得是几年没考过就好。真的有有挺长时间没考然后，但但这个东西一直在学，就是我这边也讲，然后学校也从来没有放， 就我教的学生，反正一题几何阶段人台原台这都是一直在学的，然后我这边也一直在出题。我我觉得难度不大啊。就就如果你就是法法小聪明，觉得台体不可能考那那倒另说，但只要学了，我觉得这题难度就不算大。 那第十九题第十九题一个比较常规的三角函数吧，除了数字大以外基本算是比较常规的，就数字大而已。就其实把这个数字其实哎， 但这个数字大就虽然我说除了数字大没有什么难度，但数字大本身可能对一些学的不是特别扎实，就是对三角函数大题喜欢默写的同学可能会有一点点要求。 就是本来我我直接默写上去了，现在因为数字大，导致我可能要进行多一步的预算，而这多一步的预算我之前好像没怎么没怎么尝试过，可能就就败给了。这是有可能，但你光说难度吗？我觉得没没什么难度，懂的。二十七十八十九，对于学的比较扎实的同学而言 基本是送分啊，就也也也就是一一以贯之，就十七十八十九，很经典的送就就基本是给大家分， 对大家的要求，不管是就，哎，希望大家对自己的要求也是十七十八十九永远不能一分不扣，就目标永远是一分不扣，因为这三个题目他难也也不会难到哪去。你比如说今年最多就创新，创新，创新到哪就变成轮胎了， 这这个轮胎轮胎也能叫创新吗？废话说是对吧？然后数字大也能叫创新吗？就这个意思就没道理说他考轮胎不会做，数字大不会做，他的总体逻辑是不变的，那变这种东西我个人认为是不该不会做。 然后第二十题也是一个比较经典比较套路的题目，第三问不太也很正常，很中规中矩，相比于去年春考的第三问， 嗯，差距挺大的。这道题第三问我觉得就二十题我们也要评难度，我觉得也就是个中中吧，就是非常常规的一个圆锥曲线大题就圆锥曲线的第三问 就一般就是中中，很难是中下，然后有时候会中上就中中应该是一个基础线，就基本你你见不到圆锥曲线。第三个是中下的，所以中中基本就是最简单的一类了，因为就是套读题，没有哪一个地方 需要讲啊，可能就是要，哎，甚至都没有他这个双曲线是两个焦点，最后只需要限制德塔就行了。就之前我记得好像就二四年还是哪一年考的是同一交，就就在同一之上。那个题目你还稍微要 get 一下怎么去判断同一只，这个题目你只需要判断德塔。我我实话实说是真的有点， 应该三个要全拿下了，然后二十一题，呃，这个二十一题，二十一题，我们还是就就经典就一二问，拿下一二问就行了。这个第二问作为一个新定义，第二问 就是很常规的新定义啊，就是你读懂了题目，第二问我觉得就比较就应该要做出来。只不过这个题目的第二问，我个人感觉你想把过程写好不是特别简单， 但答案判断出来应该是非常轻松。读懂题目判断出答案应该是很轻松，过程想写的完美，可能需要一些， 需要一些力量，就可能需要一些想法。然后第三问至少证明那个，至少我觉得你证明就比如说偶函数满足性之屁应该是轻而易举，对吧？至于想证明满足性之屁的都是偶函数，这一步可能对大家而言是一个挑战，总而言就是中上人。 但二十一题的第三问基本一般就是中上。还是之前那句话就说白了，他的二十和二十一都是很标准的二十和二十一。然后我个人感觉第二十一题就一半的分，第三问一半的分应该是能拿到，大家就偶函数去证明偶函数一定满足性质。屁，我觉得是依然就就 就还是之前说了新定义读懂题目难度自然下降一级。这道题的新定义也比较简单嘛，所以他这张卷子总的而言创新是比较多，就说白了就三个新定义的题目挺少见，然后总的而言 可能会让人有点做的不舒服，但你说难度我觉得是持平的，就没有变难，因为 因为什么？就就你比如说去年的那个，比如说我们去年春考的二十题，第三问都可以上到难，这个难度就是难，那是有难题，这张卷子没有一道难题，基本最多也就是中档题，偏难。然后只不过对大家的挑战，我个人感觉是近几年最高的 就是我，我指的大家主要指代的就是一百二十分左右的同学，就是想上一百二或者一百三十分同学想上一百三，对大家也是有挑战的集中。我觉得就是体现在那个第十题，如果大家 像那样学的不够扎实的话，可能做不出来，然后一做不出来。如果因为对大部分一想上一百二和一百三同学，第十题是一定要拿下的， 他们一看第十题拿不下，可能心态就会产生波动，这个东西是很正常。然后后面我也会专门在出视频来聊聊考试，然后春考和高考的关系。 呃，我这边给的结论就是没有关系啊，就不要看春考怎么考，然后来推高考，这个没没没有啊，就至少从在去年依然是春考的出题人和高考出题人就不是同一批，所以你想从他们俩之间看到关系是看不到。所以高考就是高考，春考就是高春考 春考卷，如果你春考不打算走，那它唯一的作用就是让你感受一下真正在大型考场上，什么东西会给你产生影响，就让你无法发挥出你本来的水平。因为我们总体的难度已经给大家评完了，但大家可能在考场上会觉得难，那个原因是什么？这就是 我希望大家能在这个春考中去体会到的东西，然后别的就没什么，那我们今天就到这里。

还行吧，我看这次接的输的比较温柔。哎，挺好的，难度蛮大的。第十题和第十一题难度就已经上来了。我觉得比一模难一点。嗯，考试稍微有点难，数学稍微有点难，前面简单后面难，后面比一模难。感觉七分左右。七吧， 七八分打八分吧。有有，哈哈哈，我水平一般，我二十二十好像做错了出来。对的答案，然后二十一也二十一也没做出来。我知道他是语言类型的亚洲体，就是说。嗯，他是比较好想，但是难说出来，所以我说他是考语言就是怎么样用数学来抽象。对对对对对， 二十二十题，第三位十六题以及那个二十一题。给你一个新定义吧，反正搞来搞去挺烦啊。我没看出来，你这思维是吧？对，感觉一百一百分多一点。差不多，一百多分。差不多差不多可以，一百三应该有希望。对，就不确定。

春考数学一百二十加，你有把握吗？今年春考，我嘞个去，怎么这么抽象，完全不按套路出牌，问了不少同学，都表示难，这几乎是我近期做的最难的一张卷子。果真如此吗？我们一起来看一看！ 填空压轴，一个油壶就开始搞人心态了，这么复杂的图形，你让我怎么做啊？三角函数，我再也不说你简单了，这一千多个节，这真的正常吗？立体几何， 能不能让人好好的见个戏啊？怎么还搞出个四楼台了呢？最后一个解答题倒是情理之中。嗯，很中规中矩的一个证明题。整体看来，这次考试的难度确实有所提升，不过还远远没有达到那种逆天的程度。同学们仍需继续修炼啊！这个寒假来，希望牌咱们一起上大分！

这个采访这个体验还挺新奇的，我第一次就是发展自己兴趣，不然到了高三就像我这样不知道选什么专业，没什么兴趣。呃，感觉简单的就挺简单的。是难的也挺难。 考试现在有点毁了吧。就是有一些题目复习不到位吧，就这样，比起普通一模来说可能稍微难一点，可能对我个人来说就是时间分配上。就是这次二十一题第三问没有一个留出足够的时间，所以没有写， 大概是这样，然后其他可能总体比较平稳。我现在不想想数学这个那个第十八题是例题几何，然后我感觉做的不是很顺手。印象比较深刻的是这次十二题他会出一道比较类似于啊偏实际情境应用的题。 那就是用一个水壶让你算它水面正好恰恰好快要流出来的时候，这个相关的数据大概是这个样子， 我感觉不是很大吧。呃，计算量适中还行，可能会有一定思维量。立体几何考的是一个正的四轮台，然后可能里面一些包括证明，呃， 基本的面面平行以及一起去计算一些，就是。呃，三轮锥的一个体积是这样，然后解析几何就比较常规啊。解析几何考试那个双曲线我应该还是要准备求考，因为原定是中考走调，英语复习还挺就挺充分的。就是 就是，再看看作文什么之类的。呃，还是突破自己能躲的走就加油吧，加油。就是就是，不要过，过的太那个了，还是学有余力的话就是发展自己兴趣，不然到了高三就像我这样不知道选什么专业，没什么兴趣。第一个是注重平时的错题，及时的积累， 然后第二个我觉得是在考前就是不用太执着于那些偏题怪题，就是保持你思路的一个比较正的一个方向，会有助于这种大型的学业水平考试。

没完了吗你？

比一模简单，没有去年的难。个人觉得这次春考是比较简单的，阅读差不多，但前面的语法和稀缺时他玩行都比一模的简单，不太好估，但我感觉我发挥的还可以。 一百三十五以上吧，然后一百四以下。我觉得。我觉得一百四有点难，我作文写的字迹有点不好。一百到一百一吧应该。 一百一肯定有一百二左右吧。英语还是想春考走的哦，能春考走就春考走吧。我一百三十七以上就春考走，一百三十七以下就春考走。英语准备春考了，七分左右吧，七分八分七分吧。 嗯，六分吧，五分吧，其实没有特别难，但是考场心态确实压力很大。吐槽，其实我更想吐槽数学和语文一点出的还好吧，就这个。我觉得这样这样出挺好的，挺有区分度， 但是又不会让学生太崩溃。英语没什么想吐槽的，只想吐槽一下这个数学太难了。

春考刚刚结束了哈，现在呢，网上到处都在说心态崩了。但说实话，真正崩的呢，到底是哪一批人呢？就是那些考前呢，把七年的真题卷刷到那只求春考能走的准不准称， 今年卷子一翻开啊，直接崩了！数学，它根本就不是一个难度啊！但是最气的是什么？是这场突然变难的考试呢？对学霸根本没啥影响的，他们就是来练个手的， 好玩吗？填个志愿保底，转身就继续去冲夏季高考了。可他们这么随便一考吗，分数线就给拉高了，结果呢，把最需要这条路的中等生呢，就挤到了更窄处。所以啊，申考呢，他到底算什么？ 说是多给一次机会，但现在看起来呢，更像是一场残酷的筛选呢？强者呢，他可以试错，弱者连试错的资格都没有啊。但说这些啊，不是让你绝望啊，恰恰相反，这场考试呢，虽然残酷啊， 却让你看清了最硬的真相。人生是没有哪条路确定保底的，你的痛苦，你的不甘，恰恰证明了你比想象中更在乎，更认真。现在你有两个选择，要么，站起来，带着这份清醒，继续拼下高考。 要么呢，退一步能走，想走，那么就走掉，冷静下来，深呼吸，路还长，你的人生剧本啊，这才刚刚翻开第一页。

哎，数学难是不难，你说一下，难，数学难。

今年春考的作文题目出来了，数学题也公布了，大家觉得难吗？来看看网友们是怎么说的吧！满屏都是难难难，出题的老师是认真的吗？祝大家都能取得好成绩的点赞关注哦！

啊，我是上海的，那您是多少分考过来的啊？我是六百二六百二上北大呀。啊，就因为我们总分跟外地不太一样。对，我们就不是七百五十分就是六百六，排名应该是七十六到九十五。 那你高中在哪个学校啊？呃，就是是上海的华师大二附中。哦，简称华二是吧？嗯，应该算是，就上海有一个四校嘛。呃，就是上海中学，然后华二复旦附中和交大附中。啊，你语文考了多少？ 语文是一百二十二，英语是一百四十五，数学一百四十六，如果数学拿到一百四以上的高分，那你觉得要注意什么？ 其实我本身不是数学基础特别好那种啊，因为我本身是就是文科生嘛。啊，我感觉整个高中期间其实数学学的还挺费劲的。我觉得首先是就是基础一定要打牢，日常首先那种。嗯，中档题就可能没有那么难的题， 也是不能太太去轻视，就是要保证自己不犯错吧。然后像我就是难题，因为我其实很长一段时间也会感觉做不出来，但我感觉我我主要就是一直在死磕，就是感觉 就是我在上面多花一点时间说不定就能把它做出来了，就虽然可能最后有一些还是会没有结果，但是就是感觉在死磕的这个过程中能力还是会有一定提升，感觉就是慢慢的就能做出来一些稍微比较难一点的题目。那像数学就拿到一张试卷的话，你你的答题策略会会有一些。呃，侧重， 首先时间要把握好，就是像那个填选就不能花太多的时间，就如果说他最后一道题比较难的这种可能就是要选择性的就先跳过，就先把自己能拿到的 分就去拿到。因为就是在日常训练中确实会遇到一些那种就是就是压轴题会压很久的那种情况，有角色性去做些取舍。 然后另外一个就是我觉得其实数学他的审题也很重要，就是因为有时候会有一些那种小的细节就可能没有看清楚，然后就会导致很多失分。嗯，对，所以我感觉可能主要就是这两个方面算是策略性的。

二零二六年春考卷卡西欧秒杀版本来了，第十题秒杀！第十一题秒杀！第十二题秒杀！高三学生，必须跟我学，秒不掉你找我！零基础零计算，为什么不学最强卡西欧帮你上大学，数学定力千万不如我的颜值一半。大家好，我是严老师， 那么今天呢，我们来给大家看一下二零二六年上海春考题目的选择填空相对来说的拉分题目。那我们经过我们的言行，我们会发现一件事情，孩子们，第一点，你 一定要研究我们的计算机卡修，他在我们做题的时候到底会产生怎样的一个巨大的一个作用。这第一点，那么第二点就是一定要研究曾经做过的高考卷和春考卷，那么你不要仅限于近三年的试卷，你要把近十年的试卷全部拿出来去研究，看一下他每年的一个出题规律，那么这里是不是有规律呢？我可以明确告诉你，一定是有规律的。 那么很多题目其实今年的题目都是在抄以往的题目，题目本身的考点是换汤不换药的，他只不过又换了一个新的题型和方法，重新给你出了一遍，那能不能找到规律可循呢？其实是可以的。 而且第二点就是今年我们的春考试卷有一个非常重要的一个特点，他的基础题相比于以往的年份来说，相对来说要偏难一点点， 但是他的压轴题并没有说很难，我们评判一个压轴题难还是简单的一个重要依据是什么呢？你能不能使用一个最简单的方法，直接给他秒杀掉？那如果说可以，我们就认为这个压轴题其实本质上选对方法他就是一道中档题，中档题选对方法就是一道基础题。 那么第三点就是我们一定要对我们的高考产生一个警戒，警戒的一个意识就是你通过春考试卷没有考好的同学一定不要丧失信心，高考卷 可能会出的比春考卷要简单一点，基础题可能会更加再简单一点，但是我们要再强调一个点啊，一定要认真的去刷题。好，接下来我们来看到我们的题目，先看了我们的第九题，那第九题这道题难不难呢？说句良心话啊，第九题这道题真的出的很一般，那这个题实际上是考了个几和 e， 他 说什么呢？孩子们，他说这个 z 啊， z 的 幺 等于二的话，同学们，在负平面当中，如果说你设 z 等于 x， 加上一个 y， 那 z 的 模等于个二，那什么意思呢？是不是负平面当中 x y 这个点是不是到零？零的距离是不是等于二？那实际上它所代表的轨迹方程就是一个圆。 ok， 也就说我们把 z 当成一个负平面当中轨迹方程的一个圆。那接下来这里说什么？ z 减 i 的 最小值，同学们注意了， z 减 i 的 最小值，我们转化成几何意义是不就是 x y 这个点到零一的距离的最小值， 然后等于什么呢？等于 x， y 这个点到谁呢？到 m， 逗号零的最小值。理解老师的意思，它两个最小值相等。好，接下来我们来看零一，这个点在复平面中应该在这里， 因为这个半径是二，那这个点应该是二。那我们还要记住一句话，所有圆的最值几乎百分之九十九都要过圆心。 理解，所有圆的最值基本都要过圆心。那此时此刻老师问一下同学们，那这个零一到圆的距离的到圆上距离点最小值，是不是圆心加减半径？那此时就是几啊？此时就是一，所以说也就说这个最小值等于几啊？这个最小值等于一， 那这样话，这个 x y 圆上一个点到零， m 零，这个距离最小值。好，注意了，它这里强调一个条件， m 是 大于一的。 本来我们来看一下，经过圆心的直线是不是就是 x 轴，那么到这个距离最小值应该是几啊？应该是一零和多少？一零和三零，那这里的话，因为 m 大 一，所以说这里只能填多少，这里只能填三零。 好，这题做完就结束，那这题简单不难讲了，其实不是很难，不要进行硬算。那么圆的最值首先要经过圆心，这点你要注意，第二个几何意义要多去理解，别下次人家再给你出个椭圆双曲线，在负平面当中，你又不认识了。 好，这是第一道题目，第一道题目我觉得难度一般。好，接下来我们再看，往下走，接，往下走，我们再看到这里，我们这里给大家寻找了一下这个网界的一个什么呢？孩子们这个网界的一个相似题目， 然后认真翻起了一下近十年的一个题目，我们发现其实负命题当中的几何意义，这个数学思想，其实去年上海高考题就考过一次，就在这里 就已经考过一次了。然后你看一五年、二三年，一二年，去年是二五年上海高考题，他其实隔几年考一次，隔几年考一次，对不对？孩子们，所以说你一定要去练，对吧？那这里我们就不给他做了，好，这样我们再看到今年春考卷的这个第十题，那这个第十题的话，其实看到这个题的第一眼， 那其实感觉好像还行。然后第二点，当我们真正做的时候，其实我一直想用间隙，因为我们近几年的这个向量题目，基本间隙都可以做，写出点坐标间隙都可以做，但是这道题我并没有想到间隙的方法，那只能暴力硬算，暴力硬算的话，来，我们来看这里孩子们， 那么首先我们先看到这个第一个条件， ab 乘一个 ac 的 最大值。我们这里很明显会想到我们之前总结的二极方法和结论， ac 乘一个 ab， 看到起点一样，找终点的终点点进行向量分解。这个方法我们给大家总结过，叫见中中。 那我们假设这个终点为 m 点，可以吗？孩子们，假设这个终点为 m 点，那此时这个 ab 向量我们是不是可以写成 am 向量？是不是加上一个多少呢？ mb 向量， 然后乘一个多少呢？孩子们，乘一个 am 向量，是不是加上一个 mc 向量？好，注意到 m 点是 b 和 c 的 中点，那此时 mb 和 mc 是 相反向量，这里可以换成负 m b 向量，对不对？孩子，那这里我们是不是写成什么呢？ am 的 平方是不是减去 mb 的 平方？我们是不是得到这样的一个表示？好，接下来我们再看啊， 它的所有的已知条件都围绕着你看 a 到个长度是一，这个角度多少度？六十度，也就说你都要在这个三角形当中去解决它，否则你这个长度为一，六十度你用不上。所以说我们要再把 am 向量和 mb 向量把它用一个 长度给它表示出来，那这里很明显， b d 等于 d， e 等于 ec， 我 们都设这个长度为 x， 我 们都可以设它为 x， 可以 跟上，是吧？但你不设也可以，无所谓啊。 那此时我们来看一下， am 向量我们用它去表示就等于多少呢？孩子们， am 向量是不是等于二分之一倍的？谁啊？ a d 向量是不是加上一个多少？加上一个 a e 向量，因为 d 点是到可和 e 的 中点。那么 am 的 平方我们给它处理一下。孩子们， 那 am 的 平方它是不是就等于四分之一多少呢？孩子们， ad 的 平方是不是加上有多少呢？ a e 的 平方对不对？孩子们，加上两倍的什么呢？ ad 向量是不是乘以个什么呢？ a e 向量理解，那么此时此刻的话，我们可以给它化简一下，这是不是四分之一？ ad 的 长度知道吗？知道。一、 a e 的 长度知道吗？不知道 对不对？ a e 的 长度咱其实并不清楚。孩子们 a e 的 长度不知道，那这里我就写 a e 就 可以了。 a e 的 平方，然后再加上两倍的什么 a d 的 长度，知道吗？一、 a e 的 长度不知道，咱就写 a e 就 可以了。加角知道吗？加角知道， cosine 六十度二分之一。好，接下来我们给他化解一下， 那这里我们整理一下，就有多少呢？四分之一加上多少呢？ a e 的 平方再加上一个多少？再加上一个 a e 这个长度就可以了。 那么现在目前我们用 a m， 我 们发现它是用 a e 来表示出来了，你尽量 mb 也用 a e 来表示，那这样的话它就只有一个未知数， a e， 那 这样的话，你这个题拿计算器就可以秒杀它的最值。那 有人说，老师，我这个 mb 该怎么搞呢？孩子们，这里始终有个条件，你没用在这个三角形当中，这个六十度你没用，那怎么办呢？余弦逆零，没用的时候余弦逆零。好，同学们，看我这里 d e 的 平方， 它是不是就等于一的平方？是不是加上一个 a e 的 平方，对不对？孩子们，减去多少呢？二乘一个，一乘一个多少呢？乘一个 a e 是 不是 cos 六十度二分之一，那此时此刻我是不是得到 d e 的 平方就等于多少呢？一加上多少呢？ a e 的 平方是不是减去一个 a e 就 可以了？可以跟上，是吧？ 那此时此刻同学们，这个 d e 这个长度是不是就可以算出来？你看 d e 这个长度是不是就等于根号里面多少呢？一加上一个 a e 的 平方，是不是再减去个 a e 就 可以了？好，做完了， 那首先同学们定义长度，我们算出来之后，其实这个 x 是 不是就知道了？你看 m b 的 长度， m b 的 长度是不是等于二分之三倍的多少？你看这是终点 m b 的 长度是不是等于二分之三倍的定义。所以说 m b 我 们可以化成多少呢？孩子们， m b 我 们可以写成二分之三倍的多少呢？根号里面一加上 a e 的 平方 是减去多少？减去个 a e 就 可以了。好， mb 出来了， m 的 mb 的 平方，到时你拿算器打出来就可以了。好， am 的 平方已经算出来了。好，这个题来，卡西欧粉木登场。 那首先先摁到我们的卡西欧哪个功能呢？孩子们，先摁到我们的表格功能，然后接下来我们摁到我们的工具键，摁到 f x， 好， 把这个表达式给我打上，那这里四分之一就是零点二五，括号里面给我打出来。那这就是 e， 加上多少呢？ a e 用 x 来表示啊。 x 平方加上一个 x， 对 不对？孩子们，好，再来，再减去多少呢？好，注意了，这里是平方，那这里我就先加上一个括号，那这里是一点五，然后这里是根号里面多少呢？一加 x 的 平方对不对？好，慢点打，减 x。 好， 整体外面的什么平方？好，我摁完了，再按到工具键。呃，好，我摁完了先回去。好吧，先按等于号，然后接下来我们表格范围从多少呢？我目前不知道。那就从零到二十九吧，零到十也可以，无所谓，不尝试个一。 好，接下来我们来看一下啊，我们接下来是不是应该找他的最大值？目前来看的话，你看负二不可能是最大值，负一点五后面是不是一直在递减？一直都是负的，那基本可以确定他的最大值的范围及最大值的范围在哪里呢？孩子们，是不是，我再给你摁一遍？好吧， 等于号，然后直接让他执行，你再看一下，再看一下是不是在零到二之间，你就打一个零到二，然后我们打一个零，零打好了。那直接打一个二，不长是个零点一就可以了。好，等于号。好，这里执行，我们这里继续找他最大值啊，找最大值，哒哒哒哒哒，好，注意到最大值的时候是出现在零点六附近， 后面是不是一直在变小？好，摁到我们的主屏幕。好，这里这个求解方程好，递出一个 d x f x， 给我打上 x 啊，右括号，然后这里是 x， 然后再给我打上，等于号等于个几啊，等于个零，注意到刚才那个答案是零点六，对不对？好，让他算好零点六二五出来， 再回到我们的 e 计算功能 f， 再把 x 给我打出来，好，出答案负三十二分之二十九，好，秒掉它。 所以说卡西欧是非常牛逼的，这个大家一定要注意了哈。那有人说，老师你能不能帮我详细讲一下卡西欧，那这个不好意思，我们没有出相对应的教程，我们目前都是实战教程。 好吧，只有内部学生才能学到我的这个详细的一个教程，我们会从头从零开始教同学们如何去用卡西欧，你遇到哪道题可以用到底怎么样的一个思维？目前我们已经开发出了很多种题型，可以用卡西欧去秒杀中档题。 那么今年我们二零年的题目，你看这个填空题，第十题，第十一题和第十二题，这三道题卡修都有很大的一个作用。好，接下来我们这个题就给大家讲完了过， 那接下来我们再看下一道题目，那这里的话我们相似题的话，其实并没有找到和刚才这道春考卷的题目很相似的。我这里就翻阅了一下，近十年的题目，只有二零二零年的春考卷第九题， 它也是一个向量题，向量题每年高考都会出，春考也会出，但是的话，之前我们的题目基本都是用间隙参数方程做出来的，但这道题就是纯什么呢？孩子们，就是目前我们并没有想到很好的方法，就是纯分解，然后进行连力，然后再进行搞，最终转化成函数去做， 对吧？所以说我就大体找了一个这样的一个小题，二零年的一道题目，好，这样我们再看一下十一题，十一题的话，同学们这个题也是什么呢？孩子们，这个题也是暴力硬算， 暴力硬算就这个题没有什么好的思路对不对？但是的话，他很多题目条件又出的非常的完美，对不对？那么首先我们快速给大家讲一下这个题目，好吧，孩子们 快速讲一下，他说 a 方分之 x 平方加上一个外方等于一，这个东西相对于 a、 b、 c、 d 四个点，四个点和这个第一个椭圆和第二个椭圆的四个交点在同一个圆上。让我们求 b 方等于多少？ 好，同学们注意这个啊，好，我们来看这里啊，那第一点，我们先把这个 a 给它求出来，那 a 好 不好求呢？ a 应该是蛮好求了，大家看这里，我们它既然交点是一样的 啊，这个四个交点是不是都在同一个圆上，那证明这个椭圆和这个椭圆它们的焦点焦距应该是一样的，对不对？嗯，来我们来看一下啊，此时这个 c 就 等于多少呢？ c 等于多少呢？这个 c 方是不是就等于多少呢？ b 方是不是加二，是不是减去 b 方就等于个几啊？就等于个二，那他俩是不是应该相等啊？所以说我们这里是不是解得 a 方是不是等于个几啊？ a 方等于个三， 对吧？孩子们，这里解得 a 方等于个三，那这一步我们很开心啊，你看这个三是不是就出来一点？三，出来一点，那这里我们给他写上一个三，出来这个三之后该怎么办呢？其实咱也不是很不是很了解，这该怎么去处理？ 同学们注意了，那这个 a 点其实它有两个点，我们设这个为 x 零逗号 y， 大家看这 a 点是不是在第一个椭圆上？是不是也在第二个椭圆上？第二个椭圆值是不是只有一个未知数，对吧？孩子们，只有一个未知数，现在我们已经把 c 给求出来了，是二。那我问你， 那这些这些点是不是都是在同一个圆上？那这个 o a 的 长度是不是应该等于个多少？孩子们，是不是应该等于个根号二， 对吧？他到圆形的距离是不是应该等于一个根号啊？此时我们就可以连立出三个方程，第一个就是 x 零平方加上多少呢？ y 零平方等于几啊？等于个二，对不对？孩子们，第二个就是多少呢？三分之 x 零平方加上多少呢？ y 零平方等于一个一，第三个方程就是 b 方，加上二分之 y 零平方等于几？等于个一，对不对？好，接下来你就拿出你的卡丘计算器，把这个给我解出来就可以了， 解出来就可以，那解的过程的话，老师可以给大家演示一下，好不好？老师给大家演示一下。孩子们，看这里，那么首先的话，你现在已经用卡西欧去做了，对不对？孩子们， 然后此时你看外方等于多少？外方等于二减 x 平方，那这我们给他打上，那这就多少呢？ x 平方除以一个减，除以一个 three， 对不对？外放等于多少？外放等于二减 x 平方，对吧？孩子们，然后把等于号给我打出来，等一个减，等一个一，好，等一个一，然后摁到一个出式键，直接摁一个键就可以了。那么你要想第一象限，你就摁个一吧，我们想第一象限，那就这个答案 对不对？那这个答案出来之后，接下来你可以给它赋值一个变量，赋值到 a 里面，对不对？给它赋值，然后接下来这个值出来之后，我们是不是再把 y 给它算出来，好，给它清除掉它，清除掉它。那 y 该怎么算呢？ 那么 y 的 平方是不是就等于多少呢？等于刚才二是不是减去多少呢？孩子们，减去刚才 x 平方， x 是 谁啊？ x 是 不是就是 a？ 呃，调用 a 的 什么呢？ a 的 平方，是不是？然后我们给他摁，等于号解方程。解谁啊？那肯定解 x 呗。啊？摁上一个零就可以了。好吧，孩子们，让他执行，那 y 就是 这个答案，你继续给他赋上一个值，赋值，调用啊，给他调用好了吗？再检查一下，调用好了，好出来。 那最后一步的话，我们是不是解这个 b 啊？好，接下来我继续给你摁，好吧，继续给你摁，孩子们，看啊，给它清除掉它。哎，这怎么打不掉了？卡住了吗？嗯， 给它清除掉它，摁到我们的主屏幕，摁到我们的求解方程，好，把这个给我打进去。那这里底下 b 就 用 b 方，你就注意，你就打 b 方，他最后不是问的 b 方吗？你就设 b 方，等于一个 x， 也不要设 b 啊，设 b 你 就 s b 了啊， 那这个外方等于多少呢？外方就是刚才那个 b， 大家理解，你看巧了吧，还是个 b， ok， 平方对不对？好，继续给它加 x 是 谁啊？ x 是 不是刚才那个 a？ 兄弟们，刚才那个 a， a 的 什么平方对不对？好，打上一个平方，平方在这里，不要打错了啊， b 用 x 来表示啊，然后这里打上一个等于号，好，弄错了啊， 好，打上一个等于号等于几？等于个 one 对 不对？好，直接赋值，那我们求谁的值呢？那肯定是求 x 值啊， ok， 让他等于个零，让他算出我们答案来。同学们，一点七三二，答案是根号。三，做完了，秒杀。我们全程没有动笔吧？没有动笔，全程计算器，你一定要学会计算器，求你们了。好，接下来我们再往下走， 接下来我们再看一下啊，相似的高考题，那我这里找了一下相似的高考题。其实我再次给大家说一下这个圆锥曲线选择填空的一个重要性啊，它的重要性是巨重要的， 就是选择填空题当中九十、十一，十二，十五、十六，这差不多六七道题必有一道圆锥曲线。每年高考题和春考题基本都是这样子，不信你可以给我找，它出现的概率极大， 所以说你不要瞎去练一些题目，同学们，高三学生时间都是有限的，你一定要把有限的时间里头练高考可能最大可能性会出的题目，对不对？好，下来，我们话不多说，直接给他看到十二题。 大家看到这个十二题啊，我给大家讲一下我做这个题的心理路程，首先我看到这个题的时候非常的难受，他什么油糊啊，不如直接出尿糊对不对啊？你看又是搞这种东西，让我真的很难受，我第一次做的时候我直接过了，因为我两三分钟没有思路，我基本就会过， 然后整体我做完整章实验之后再回来看这道题的时候，其实一开始的时候也并没有想出很完美的一个方案，然后 当我这个自己给自己做完的考完试之后，又重新又去研读这道题，然后我就发现了我们可以用间隙把这个题搞掉。 那有人说，老师，这个是不是每道高考题都可以用间隙呢？我基本可以告诉你，同学们，你翻一下近三年的高考卷和春考卷，是不是这个应用题小题基本都可以解析十一和十二应用题小题，对不对？孩子们，所以说你要尽可能使用最简单的方法去做掉它，当然网络上也有很多版本， 那我们来看到这里，这该怎么去处理这个事情？大家看，就这是一个油壶对不对？那这个油是不是油壶的中心，是不是在这里？那么你要想把这个油壶的油倒出来，那我们肯定是会得到一件事情，就是什么呢？孩子们，这个油壶的中心要和什么呢？孩子们，你比如说老师给他画一张图， 大家看这里，老师给他画这张图对不对？我们是不是肯定要给他倒出来？老师给他画一张图， 你是不是肯定是这个样子，你看这个壶嘴，这是不是壶嘴啊？同学们，你，你自己应该也也干什么也倒过吧？孩子们也倒过水吧？你的这个壶嘴和这个什么呢？和液体的这个中心点，它应该在一条水平线上，应该和底下这条水平线应该是平行关系， 对不对？孩子们，那你知道这个平行关系有多大用处呢？用处太大了，我们来看一下啊。那首先我们来看啊，那是不是我们只需要求什么呢？孩子们，我们只需要求这个 a 点，那么你这条直线是不是肯定 会和什么呢？会和我们的这个壶嘴会在同一条水平线上，那这样话，我们是不是壶不动游动？ 大家理解老师这个意思啊？湖不动游动，你不要让湖动，对不对？哎？就很多同学做这题都是湖动，然后游随湖动，我们让湖不动游动，那这样话，我们这个这个是不是跑到这个地方了？这个湖嘴是不是跑到这个地方？ f 撇，那此时此刻的话，此时此刻他实际上 这个这个角度就是就是这个角，孩子们大家可以理解吗？就这个角，那这个方法其实非常妙啊，这个角，这个就是我们的一个 cta， 那其实我们只要把这个 c 塔求出来是不是就可以了？那你看这是不是就在一个平面直角坐标系当中，那平面直角坐标系当中，我说良心话，同学们，你要想求这个 c 塔，你是把这个边长求出来，这个边长是不是求出来就可以了？那这个边长是不是就这个边长就可以了？ 那这个长度怎么求呢？这个长度是不是这个长度是不是减去这个长度就可以了？而这个长度是不是十二点一？是不是送给你了？那你只要把这个长度求出来就可以，那这个长度是不是十二点一？是不是都知道了？好，做完结束 大家看这里啊。首先我们想要使用卡球，必须先借助我们的等式来，咱们看这里。首先这个是三十度，这个角度是不是有个六十度？ ok， 这个弧 弧长多少？孩子们读题哈，这个弧底直径是六点四，那这个长度是不是三点二，对不对？孩子们，弧嘴长是十三点四，那这个 e f 撇是不是十三点四的 cosine 六十度，那这样的话，我们这个是不是十三点四的 cosine 六十度？好，做完了， 那这两个长度表示出来，这个长度三，这个长度三，这个长度十二点一。好，第一个把 a 点坐标示出来， a 点坐标就是零多少？十二点一，把 b 点坐标写出来，看好， b 的 x 坐标就是它加上一个，它做完了， b 的 y 坐标就有多少呢？首先这个 b 的 y 坐标 这里我写错了，应该是什么呢？ f 撇的 y 坐标对不对？孩子们， f 撇的 y 坐标多少呢？是，孩子们是不就是这里是三，加上十三点四倍的 sin theta， 对 吧？孩子们，就这个总长， 但是我们要求的是不是 f 撇的 y 坐标？不是，我们要求这个长度，这个长度是不是在这个的基础上再减去个几啊？孩子们，再减去个油高，油高，是不是十二点一？对，不对？我们把这个长度给它求出来，就这个的 y 坐标减去十二点一，再除以什么？再除以这个总长，这个总长是不是它的 x 坐标？好，接下来卡西欧粉木登场， 大家来看到我们的卡丘，我们粉幕登场，那么卡丘的话，我们来看到我们的功能键啊，这里还是我们的方程功能键啊，求解方程，我们直接给它求解方程。 tanthan tanthan tanthan tanthan tanthan tanthan。 然后等于什么呢？等于号打出来，然后上面是三，加上十三点四 剩六十度，对不对？孩子们剩六十度括号，然后减去十二点一对不对？然后底下是多少呢？三点二加上十三点四，乘以个可剩六十度，对不对？孩子们括号好，直接摁 ex 一， 那其实值的话，它肯定是个锐角啊，我就摁个十就行了，你不摁十也行，你就摁个一也行，无所谓，十四点幺九八。好，最后答案是十四点二，精确到零点零一， 好，转了，嗯，转了啊，这个十四点二零，哈，十四点二零。好，接下来我们往下走啊，往下走，我们接下来这个给它擦掉它啊， 那同学们再看啊，接下来我们再看到下一个题目，那下一个题目就是这个十五题哈，我们再次给大家讲一下，就是今年这个 这个新定义他们搞的有点多哈，搞的这个同学们非常的难受哈，我们以后在练习的时候一定要往这方面多，搞的这个同学们非常的难受哈，我们以后在练习的时候一定要强调一下，就是只要这套新定义不是 压轴题，像那种十二十六那种压轴题，我觉得啊，大多数市市重点四校，八校的就是四校或者是八校的那种中庸水平的学生，做出来概率都是非常大的，然后有些同学说，他老师啊，这种心理你啥意思啊？什么意思？ 他一直在思考什么意思？就比如说我叫颜值高，那你为什么要思考我叫颜值高？我的颜值是不是很高？和我的颜值没有关系，我就叫颜值高，你管不着。 你只需要理解新定义，第一点就是每局，第二点就是什么套新定义的定义，然后第三点就利用自己所学的知识，然后给他解决掉，他就可以了。 大多数新定义每局稍微套一下定义，然后理解一下，使用知识点就可以给他解决掉了。越是新定义他不敢出的院，他不敢出的很难，反而不是新定义的那种十二题有可能会出的，很难，对不对？好，接下来他这个意思就是说了一句话，就说什么呢？就是啊，有一个曲线 对不对？有一个曲线是吧？有一个函数是吧？那么 lp 他 说什么？平面坐标系，平面直角坐标系 x y 当中有个图形这个东西，这个东西读什么？管他呢，加羊肉串也可以，好吧，任意一个点 p 垂垂 x 轴的一条垂线，对不对？然后这个满足 lp 与这条垂线与这个图形相交是一个线段。举个例子啊，你比如说我随便画一个函数啊， 我就画一个圆吧，他就这个意思，相交是一个线段，对不对？平移这些线段平移这些线段到底怎么平移咱不知道，反正他要平移吗？可以向上平移，向下平移，他就让他中点是不是落到这个 x 轴上，叫做平移对称法。好，就这个意思。 像他说这个东东和这个东东和 x 等于零，和 x 等于一围成的图形的封闭图形的面积为，封闭图形为这个东西，然后进行一次平移，对不对？得到的图像大体为什么？首先定域肯定是零到一之间，我们不能说定域啊，就是 x 的 范围应该是零到一之间。好， a、 b、 c、 d 都是这样子，没什么区别。 你注意观察 a、 b、 c、 d 一个选项啊，这是忽，这是忽，这是忽，那这是直线。 ok 啊，直线是最特殊的。那要说老师这题该怎么做呢？非常简单，他不说了吗？是不是使终点均落在 x 轴上？那老师问你，是不是就是 这两个函数值？同学们注意到，使中点均落在这两个之间，是不是就是这两个函数？表示 x 平方加上一个 x 加一，是不是减去多少呢？负 x 平方对不对？减 x 除一个二对不对？孩子们是不是中点坐标啊？除一个二 对不对？孩子们除以个二，它上下两个部分应该是函数的差值，是不是应该分布在 x 什么呢？上下是不是两侧？你是不是给它相减？除以个二，那是不是应该等于多少呢？ x 是 不是加上一个二分之一？那什么意思啊？它其实就是一个限行变化，那限行变化的话，你看限行变化的话，只有谁满足？只有 ab 满足 对不对？孩子们只有 ab 满足，那不只有这个 a 满足。所以说答案选什么？答案选 a 我 们就做完了。这是个新定义题目啊。但我说句实话啊，在考场上的时候压力比较大，那做不出来，有时候也情有可原，但其实本质上来讲不是很难啊。 好，这样，我们再看一下这个十六题，那这个十六题的话，我们之前上课的时候一直给同学们强调，一直给他们强调，那强调什么呢？孩子们，就是你在做题的时候一定一定要注意了哈，我们做这种，哎，做这种高考题，还有这种春考题、 压轴题，十六和函数有关系的题目，或者是十五，就是举什么呢？举反例，举反例，就三种情况，同学们四种情况，第一种典急对不对？第二种是什么呢？ y 等于 a， 第三种是什么呢？第三种叫分段函数 啊，看第四种是什么？第四种叫母函数，母函数就是我们所学过的函数，大家注意到啊，市面上所有的参考答案基本都是分段函数， 基本都是分段函数，但是有时候点击和 y 等于 a， 还有某函数非常的妙，我看你这四个一定要说择机去选择。好， 接下来我们给大家讲一下这个题目，那这个题目的话，同学们看到这里啊，他说 y 等于 f x， y 等于 f x， 对 不对？说这个 x 属于一个 d， 说 af 这个点 y 是 不是大于等于 f x， x 属于一个 d， 那 这样的一个点，我们称它为 af， 对不对？ a f 这样的一个集合组成，那么在平面直角坐标系当中，若存在一个 x 零外零使得 y 小 于这个 y， 也就是说 这上面的所有的 y， 那 y 零都比它小，我们就称为它是个最小值，其实也就是最小值的意思，对吧？但是这个点不一定在这个图像上，对不对？那么现在有 f x 和 g s 两个函数定义域有押解， 好看到我们的 a 选项，那 a 选项它是什么呢？说这两个集合并起来有最小值，对吧？孩子们，两个集合并起来有最小值，然后他或者是他有最小值， 他或者是他有最小值的反例是什么呢？你因为 a、 b、 c、 d 只有一个对的，你就假设他是错的，你就找他的反例，那是不是他俩都没有最小值？你学过的所有的某函数当中都没有最小值的是谁啊？同学们，我们常见的是不是就指数函数？我假设一个是 y 等于三的， x， 随便啊，一个是 y 等于三的， 呃，三分之一点 x 四两个函数不一样吗？是不是都没有最小值？但是老师问一下同学们，他并他有没有最小值？有啊，我零零是不是就可以？那我零负一是不是也可以？那么都比他的都比他的值，都比他的外值是不是都要小？你看他这，我这个零负一的这个负一是比所有的这个两个并且的外值是不是都要小？ 那老师问你，那是不是满足他有最小值，但是他和他没有最小值，那是不是就错了？你这个则是不是推不过去？好，再看 b 选项， 他说这个 f x 和这个 g x 有 最小值，对吧？说这个东西一定有最小值，那不一定，单放这里 f x， 我 们举一个最简单的例子，假设 f x 等于 y 等于 f x， 好， 这个没有最小值，但中间是个货，哎，我让 g x 有 最小值，可以跟跟上，是吧？ g x， 我 假设就是一个函数，客户手上他是不是有最小值？ 这不是孩子吗？那此时此刻老师问你，他并他，他并他，因为这个东西值域是 r， 它怎么可能会有最小值呢？所以说必错， 对吧？孩子们，所以说必错来，此时此刻，我们再看一下这个 c 选项， c 选项，他说什么呢？这个东西有最小值，有最小值，对吧？新定义有最小值，说他和他均有最小值。错，刚才我们举的这个 a 选项的这个反例，是不是一个都没有最小值？所以综上所述，大家是倒数选项做完结束， 那接下来我们再给他看一下啊，我们比如说再给大家讲一个题，再给大家讲一个这个，这个，哪一个题呢？比如说挑一个年份近一点的二一年春考卷的十五题， 那这个题秒杀它。我们再给大家解释一下，解释一下这个方法。你看 y 的 f， x 定义为负极， f， x 无最大值的充分条件，也就说 a、 b、 c、 d 是 我们的条件，无最大值的充分条件。只有一个选项是对的，你就假设 a 是 个坏人， 那么你就找到满足偶函数满足。关于一对称有最大值，是不是就推不上去？好，有没有这样的函数？就是我刚才给同学们总结的哪个函数叫 y 等于一这个函数。兄弟们， y 等于一是不是偶函数包的呀？ 是不是关于一一中心对称包的呀？有没有最大值？有啊，最大值不就是一吗？它值域只有一个，不就最大值一吗？所以说 a 选项错误。好，再看到 b， b 选项反例，是不依旧是它，你看 是不是偶函数？是的， x 等于一对称吗？是的呀，有没有最大值？有啊，最大值一 b 错，答案选 c， c 是 对的，你找不到反例。那你要说老师 dog 选项反例是什么？ dog 选项反例非常简单，就是谁啊？ y 等于零，是不是 gay 啊？是 gay 函数啊。是不是关于 x 等于一对称啊？是呀， x 等于一对称啊。 那有没有 c 单词？有啊，零啊，所以说道个也错。那这个题答案这个题是不是直接免了？答案选什么 c？ 好 同学们，更多学习技巧请请同学们关注更多学习技巧同请同学们关注我的抖音。其次大家一定要注意了，更多学习机会你一定要注意了啊。一定要注意了，好同学们，谢谢。

做了一个小调研，今天下午上海春考数学的难度怎么样？有两千多人参与了调研，两百六十二人觉得简单， 一百五十人觉得略有难度，发挥不错。四百一十七人觉得试卷难度不小，发挥一般。另有一千两百八十四人觉得难度巨大，压力山大。 看来大部分上海高三学子都觉得今年春考数学卷挺难的。明天就是春考英语了，把语文和数学的感受都抛掉，以最佳状态迎接英语考试。

同学们好，我是唐老师，好久不见，这个之前大半年断更是因为在集中地做国家科研项目啊，老粉丝都知道唐老师平时是大学老师，对吧？那么 这一次啊，寒假了，那么我们分享一下这个二零一零年上海市春季高考数学试卷，今天做一个点评，也就是总体性的评价。我们可能不会深入具体的题目，来看一下这套试卷命题的思路，呃和体现出的一些新动向。 总体来说呢，就是试题的难度并没有明显的变差了 啊，所以我们就总总结起来，就是说所谓的试题的所谓的对位难度，也就是说你你每个位置的这个题目差不多，跟去年和往年都是持平的， 但是试卷的综合难度确确实明显要高的，也就是说，实际上最后我们可能看到考生总体的表现是下降的。 造成这个原这个现象的原因呢，很多，比如说呢啊，很很重要的一个就是试卷的这个所谓的难度曲线他不平滑，也就是说会在一些大家预期到不该出现很难题目的地方，突兀的来一道比较难的题，特别是待会我们要强调到第十题，然后呢 啊，很很多的题目会给考生产生读题的困难啊。另外呢，会有一些创新性，比如说抽象函数的应用啊，比起很多的这个知识点的堆砌和计算量呢，更多的强调是一些考生的理解和 创新的逻辑能力啊。所以呢，就是说，一方面考察考生平时的这个数学感觉修养啊，而胜过那些细节，比如说这个具体的计算。 另外呢，就是呃，考试的临场策略，呃，可能大致对应的就是很多人说的所谓的这个应试技巧，对吧？呃也显得越来越重要。当然我们后面会强调就是呃技巧和策略其实还是两回事啊。那么 呃，有一些知名的博主，比如说知乎上的这位数学陶老师的这个艾特他，对吧？引用了这个呃，他的一个小调研，他调研了两千多位考生，问这个 参，尤其参加考试的考生感觉怎么样呢？啊？就其实大部分的考试都说这个难度巨大，对吧？这个呃往年并没有这样的现象啊，所以今年大家总体来说考生的这个题感是非常差的。好，那么我们看一下啊，填空题我们就不多说了，这前前七道题，这比较基本， 呃，第八九题呢，这也基本上就是比较呃熟悉的考生呢，可以达到一眼秒的地步，对吧？这这都是大家汇总的。然后在第十题的位置上，很突兀的来了一个 比较比较有难度的题啊。一般来说啊，我们说呃填空和选择题呢，是需要有一定的这个命题的区分度和坡度的，就就比如说，呃，上海的市题，历年来就是这个第十二题和第十六题，作为填空题的和选择题的最后一道题呢，都会略有难度。 但是今年呢，在第十题的这个位置上出现了一个，呃，实际上你需要呃根据题目划清楚图形，对吧？啊，然后呢，再熟悉向量的这个运算法则，有一定的计算量。最后呢， 这个题还是具有一个非常典型的反套路的属性，也就是说，你如果认为在在这种位置的一个道题目，他他不是填空的倒数第一乃至倒数第二题，然后呢，他可能是一道比较基本的题目，按理说在这个位置，对吧？你要用套路，比如说你去蒙一个，在在 呃三角形是等腰三角形的情况下，达到最大值，很容易就蒙出来一个负二分之三啊。这这个，这是很多考生确实这么做的，上了某些培训班，对吧？老师教你这个小技巧啊。那么实际上这里就翻车了，因为这道题目， 呃命题的老师非常聪明的，或者说阴险的，对吧？把他的这个最大值放在了一个不对称的位置上，就是既不是在中间点，又不是在这个边界点这种情况，所以这这里就会给考生造成一定的压力。那么选择题也是这样的 算，按理说大家预料到啊，这个这个十六题，肯定是一个历年来都是这个位置上会有一个比较难的题啊。 呃，这道题目显然也是需要大家去辨析每一个选项的含义，并且逐一分析，另外对于这个集合和函数的交互作用都要有一定的理解。 但是比较令人意外的是呢，今年这个第十五题，实际上，呃，明显在这个位置上就有点偏难了。当然这个第十五题我我没有画出图啊，因为我们也不打算这个主主题细讲，我们讲的是试卷的结构， 但是不管怎么说呢，呃，在十五题这个位置出，出现了一个需要有一定的计算和理解的问题，又是像之前第十题一样，他按理说在出现在一个中档题的位置上啊，但是他会给考生造成很大的这个压力。 解答题呢，实际上也有类似的现象，今年看到概率统计题的前移了，对吧？但是呢，这个解析几何题考了一个正四棱台，你看，正四棱台在课本上只是这个闪现了一下，但是实际上现在的思路就是说， 你实际上只要课本上出现的东西，都有可能考有这样一种趋势，对吧？啊？另外，十八题在这个位置上，作为一道立体几何题呢， 他明显计算量是比较大的，所以呢，就是综合的来看，今年在立体几何这个位置上，呃，考试的强度是要强于往年的， 当然概率统计是一个减弱的，对吧？所以说总是强弱组合的啊。另外呢，十九题虽然计算量不大，但是非常考察大家的想象力和逻辑推理能力。 呃，据唐老师了解，有很多的考生反应都栽到了这个二零二六派的这个区间上，实际上你大致的可以看到这两个这个数可能是个三比二的关系，但实际上需要精细的讨论， 呃，需要比较细心，那么最后求的范围也是一个有两段的区间，因此呢，十九题不能说难，但是在这个位置上是非常考察人的这个心态的。另外就是说，呃，和前面的十八题组合起来啊， 明显的这两个位置就倒数第三题和第四题呢，就这个位置上，按理说是是要很多呃，水平中等的考生比较快能够解决的问题，但是实际上他们的计算量和 需要的理解力都比较大，所以就容易导致考生在这两道题上花很多时间而威胁到后两道题 啊，所以这个试卷结构，他总是把一些呃这个不平滑的难度的那些卡考生一下的那个点他潜移，这这个我们发现在填空题、选择题和大题中都有这样的现象啊，所以这就是今年大家考生题改特别差的原因。 二十题呢，这个解答题解析几何，这个位置一般都是解析几何题的，考察一定的计算能力，这道题呢，跟往年持平比较，这中规中矩啊。然后二十一题呢， 他是压轴题，或者说严格的说这个应该叫大轴题，对吧？啊，也是每年领引领风向的很重要的题目，那么一般来说这个位置肯定是考一个呃，抽象函数的题目，往往和导数结合，但是今年我们发现他没有考导数啊，他没有考导数，这是一个明显的风向， 所以说就是他考察的是大家对于这个函数抽象构造的一个理解。今年是一个带有绝对值构造的这么一个函数性质的问题， 就说，呃，当然很多同学都知道啊，我们一般来说，就算是最后一道题，他的前一两问也都是比较做的，是中档考生也必须要去争取的，就这个问题，对吧？那么这道题也是类似的，我们这个 很容易能判断出来这个第一题，对吧？然后第二题呢，通过一些这个预设取值的这个方法，你也很容易猜出来，当然呢，你猜出结果 a 和 b， 对 吧？那这个这个取值有这只有一对这个取值，那么你猜出结果之后，如何去论证它是唯一的结果，这需要一定的书写的能 力。那第三题呢，也是不需要求导的思路，但是这道题目本身它是不考求导的，对吧？好，所以呢，就是说在 特别是第三题，很多考生在必要条件内环呢，他的逻辑推理能力或者书写能力不行而导致失分。那总体来说呢，我们认为这个最后一道题在这个位置上也并没有比往年变难，而且他不考倒数，对吧？考的是你读题和理解，因此呢，那难度也不能说增加了。 好，我们按照题目的知识内容汇总啊，今年的春考试题，比起过去三年的春考试题，我们可以看到啊，就是说解答题一般都是有五道，对吧？呃，首先我们可以看，明显能看出前三题十七到十九是一组，那么后两题二十到二十一是一组，他们考试的考点也就知识点， 连续四年，包括更早的年份都是非常稳定的。今年呢，有一个很重要的特点是连续三年出现在第三题的这个位置的概率统计呢，前移到第一题，也就是弱化了这个概率统计的这个要求啊，基本上就是一个常规题，让大家都能够得一些分数，对吧？ 然后例题几何呢？呃，在这个位置，但是他的要求增加了啊，那么就是说跟，呃，一个是考了正四棱台，另另一个就是说他他本身的推导计算量稍显的大一些啊，那么 再加上第十九题，又是一个明显的这个需要逻辑推理和计算量的题，就导致在十八十九这样的位置上，给考生很大的压力， 那么二十题基本与往年持平，二十一题呢，难度也并不大，但是呢，不考导数，强调了这个呃逻辑思考能力， 所以我们可以看到，就是说呃从这个命题的动向中，我们大致可以捕捉到这个命题的这个风向，对吧？所谓的风向，尤其是每年的春考呢？可能作为一个呃高考命题思路改革的号角， 他预示着可能在秋考中会有一些变化。那么汇总一下，唐老师认为啊，就是强调哪些部分是比往年更增强的。首先对于读题能力和书写能力肯定是加强的， 今年在唐老师刚才这个强调的那几道题中，对吧？我们可以看到，就是说在呃选择题的呃填空题的这个十和十一这两道题，呃 你都需要这个准确的通过提议画出图形，然后去分析，那么包括这个第十二题，对吧？虽然难度不大，但实际上你需要准确的理解题意。 那么选择题的后两道题，特别是这个第十五题，很突兀的给给大家一个有一定创新性的题目，这对于这个考生都是这个挑战。然后在这个呃解答题中的这个解题目， 这个思路，十九题和二十一题都是非常重要，所以我们认为就是说越来越强调这个读题和这个书写的能力，考察考生的综合素质，对吧？函数无疑是增强的，因为大家可以从这个考点中看出，我们第十九题和第二十一题 对于函数的这个要求，明显是比往年加强的，需要大家对于函数这个思路理解的更深刻。 另外呢，函数也是连接中学数学和大学数学的重要的桥梁，到了大学数学以后，函数就更重要，唐老师作为大学数学老师对吧？那很明显的能够感觉到现在上海的这个不管是春季还是秋季的高考题，都明显的像 引领考生过渡到这个大学的思维中啊，所以呢，就是也引入了导数，另外呢就是函数的这个这个要求在增强， 嗯，另外呢就是创新函数和抽象函数，这这些都是呃需要综合的，呃来考察考生对于一个新事物的认识的能力， 这些呢，你一定的刷题肯定是有用的，但是更重要的是你要去理解，去去理解这些函数他呃内部的结构以及他表现的规律，所以说呢，对于考生的综合素质的要求是更增强。 另外今年非常非常明显的一个特点就是刚才唐老师也反复强调这个所谓的非套路性的中档题，这是今年呃唐老师认为呃今年春考题目的最大的一个特点。 什么叫非套路性？意思就是说你本来大家能够接受的就是你填空选择和大题的最后一两道是比较难的啊，会有一定的创新性的。那么很多中档的考生对此是这个大部分放弃的状态也是可以理解的。但是现在呢， 本次春考的特点是在该出现中档题的位置上出现一些你用正常的套路什么很多培训班里介绍的小技巧去去做会失效的。这种题目 也就是说相当于是难点前置，他把一些需要考生思考一下的啊，这就是有些我们用相声类比就说你要抖包袱，对吧？ 本来你这个出题人要想设置难点，设置这个区分度的点，按理说应该位置比较靠后，现在把这个位置迁移了啊，就就本来说，我们说这是填空，这是选择，这是大题， 本来我我想在这几个位置卡住一部分考生啊，然后造成区分度啊，现在我把它迁移啊，然后呢，我设置的难点会在这种位置，这这这种位置好，所以这叫， 呃，难点迁移，也叫就是说非套路性的中档题，这就导致了考生在中档题的部分可能会上当，或者是错误的使用一些机械的套路 啊，然后呢，花费了很多时间或者造成了错误，给考生最后又去解那些难题，造成了额外的这个精神压力，对吧？所以说这个明显会让考生的题感变差， 那减弱的部分呢？是说一个是导数不考了，虽，虽然实际上你在那个三角函数那道题还是要考，但是他对于导数的考察是比较比较简单的，就知道基本概念就可以，对吧？这个比起 之前的几年明显要求下降，也不是说不考肯定是要考的，但是呢，就是说你对于这个知识的这个计算，呃，还有这个导数本身 跟高等数学衔接的这些理解肯定是没有要求那么高了，你知道定义考察的还是你的基本能力，对吧？另外概率统计作为一道简单的题出现是今年的一个特点，因为实际上概率统计你这个在高中讲的明显是比大学要减弱的，但是很多事情讲不清楚的，对吧？ 那么所以说，呃，跟主流的命题改革的方向不是特别的切合，所以今年做了减弱。另外呢，虽然计算量也并不小啊，但是他的他不再出现那种专门挑战考生计算量的那些题目，肯定有那么一些题目，比如说这个，呃，我们说之前这个，呃， 比如说第第十五题，对吧？还有那个，呃，填空题中的第十一、十二题，这些都有一定的计算量了，但是呢，就是说不是为了考计算量而考计算量，所以是总体是减弱。然后呢，利用 这个试卷难度的坡度不平滑，本来什么叫坡度？就正常的试卷，你是从简单题到难题，最好是这样有一个坡，对吧？啊？现在它不是的， 今年的春考题显示他说，哎，这样，哎，挖个坑，然后，然后这样上去就导致很多考生，嗯，他在解题的时候你卡在这个位置，卡在这个位置，那导致这这些比较该拿分的这些段，这个区段的考题造成压力啊，拿不到分，所以考生的题感极差，对吧？ 所以就考察什么大家的心理素质和策略优化。这个，呃，我们说一方面你不能过度迷信这个所谓的解析技巧啊，一眼瞪眼法什么的，这这些很多啊，博主啊，这个培训班都在教考生这种投机取巧，对吧？ 这个呢，你可以适当了解，但是不能过于迷信，总体来说你的理解，你的技术最重要的，对吧？适度的在某些比较有把握的地方用一些小技巧有无可厚非，但是我们说技巧和策略都不一样的， 当你面临这样一个坡度不平滑的这个训练，这个这个这个试题的时候，你去怎么应对？你在这种地方你，你是采取怎么样的策略？是跟他死磕还是说我，我能够看一眼题目之后估计出他的难度，然后先绕过去， 这些都是实际上你在一些呃日常训练中可以去注意一下的点，那么现在我们就说你平时要有意的去训练这种呃呃 考试的这个难度，坡度，这个增加不光滑的这种情况，这种你应该遇到几次，然后知道怎么应对 啊？其实有一种很重要的能力，就是说你读完题以后，虽然你还没有完成这个思路，但是你能初步估计一下这道题是不是比较偏难，尤其是像这次第十题这种， 你要能够高能预警一下，这出现了一个跟他的位置不太匹配的一个有点难的题，那，那可能就会好很多，对吧？所以我们就说对于考生的综合素质，比如说逻辑思维能力，理解新概念的能 力以及心理素质都要求的明显要更高了，因此就造成了今年的这样一种所谓的试题不变难，但试卷变难的很有意思的一种现象。 这可能有些同学觉得这这自相矛盾的吧，或者很难理解。如果说总体来说，对位试题没有明显变难，或者一些难了点，一些容易了一点，总体没有变难，如何做到使试卷变难啊？那，那其实今年春考的题就明显的这样的 特点，对吧？呃，通过这个一个就是非套路性的中档题，一个就是强调读题和这个创新思维的题，另一个就是整体试卷设计的难度是有这种崎岖的坡度，有有几个前置的这个位置前置的难题的坎都使得考生的题感极差， 那么试题的组合没有变啊，试题单个的看没有变难，但是考考生的考分明显会会下降，我们预测啊，明显会下降，所以就是这这这些都导致。嗯，新的命题风向对于考生提出了更高的要求，那么我们考生，尤其是未来即将面临春季高考，秋季高考， 如何应对呢？那唐老师认为啊，就是说你维持一定的基本功，比如说计算能力肯定要有的，你在一开始学的时候，刷题是必备的， 但是我们不能不能陷入的两个陷阱，一个是你光顾着刷题，刷大量的题，学而不思则罔，对吧？未来的风向一定是筛掉这种学而不思，算而不懂的考生。学而不思的意思就是说啊，你很认真的学习，但是呢， 你你当然比那些不学的考生明显要好了，但是呢，你去知道很多知识点，你去刷了很多题，但是不不去思考这些题的逻辑啊，那么你会但是不理解，对吧？或者说你你能写，但是不不明白这个所以然，那么未，未来这种考生是要面临比较严峻的局面的。 另外就是说这个计算量的要求，虽然你肯定是要有计算基本功，但是对于知识结构的逻辑的理解越来越重要。你刷完题以后，要想一想这道题本身也就之前唐老师提供的视频中每一次复盘，对吧？我们怎么解出这道题的？这这这些思考越来越重要，就是，呃，你 一份训练加一份思考，比你五分十分的训练都要来的更有力一些，对吧？好，所以就是说你光会算，但是不理解你在算的什么东西啊，这这些概念将来是会越来越吃亏的，对吧？ 所以我们总体来说就是说考生需要你，当然什么都不学是最差的，对吧？但是你如果学了一大堆知识点知识的堆砌， 这个以后会面临着比较被动的局面，尤其是像今年春考这种题型啊，明显会打乱很多考生这个既有的这个知识准备，对吧？啊？所以要把散乱的知识点总结成有结构的知识图谱， 要让大家对于高中数学的这些知识点的理解能够串起来啊。比如说今年我们的这个，呃，刚才唐老师反复强调的比较呃吸引人的这个第十题，对吧？这这个位置上非常突兀的出现了一道比较阴险的题目， 那就是他，他虽然是个三角形，但实际上他跟这个向量和这个函数都是非常有关系的， 呃，他实际上最后化为一个这个开口向下的二次函数的这个最值问题，那你如果能这样转化出去，你就发现啊，他他真的不是在对称的情形下取最值的， 那么就等于说是联动的串起来了很多领域的知识点，对吧？那么如果你只是善于平时是善于刷题，尤其是刷那些这个比较套路化的题目的话，那么你如何自主的把这些知识点联结起来，就就会比较欠缺这样的能力， 好吧，总体来说呢，是对考生比较艰难的一年，虽然我们认为综合的每一道题的题目，他有有稍变难的，有稍变简单的，总体题目的难度总量没有增加，但是组织成一个试卷，对考生就非常不友 好啊，所以也是心疼今年的考生一秒钟啊，但是同时呢，我们要为未来的考生做更充分的准备，希望大家能够参考唐老师的这个建议，获得更好的成绩。好吧，谢谢各位同学。

上海春考今天上午结束了笔试，全国的高考卷英语哪里最难？毫无疑问，上海的高考英语最难的，不相信的话可以看一下今年的春考翻译题。