小高考立体几何线面角

大家好，听说最近很多同学啊，都在出头立体几何的线面角和二面角的问题，那今天这节课啊，我们就先来讲一下立体几何的线面角的问题。其实立体几何的线面角封面上已经介绍的很清楚了， 这个封面呢，主要求的是 ap 这条斜线还有谁啊？还有平面 rf 的假角，这个就叫做线面角，定力非常好理解，主要是分为三点，我们来看一下这个表格更加清楚啊，概念的话已经说清楚了某一条空间中的直线和平面， 他呢？其实呀，这条直线和这个直线在平面啊，和你的摄影所成的角呢，就称为线面角了。这个线面角的范围，你要注意的是在零度到九十度之间的比较小的角啊，你不要去钝角，线面角是没有钝角这样一个度数的。那么我们看这个图呢，更加形象， ap 就是那条斜线，然后呢，这个 aq 就是斜线 ap 在平面 r 分内的投影，这个投影或者说摄影怎么去理解呢？这样来理解， 我们垂直于 f 这个平面，打了一束光，对吧？打了一束光，打了一束光之后的话， ap 这条斜线在平面 f 内就会有影子吧，这个影子呢，我们数学上叫做摄影，或者叫做投影，这个你清楚就行。 看来呀，这条斜线和摄影怎么样？他所家的角就成为线面角的平面角，我们线面角就是求这样一个平面角 c 的等于多少就可以了。 但是平常在做题的时候，人家只给什么？只给这条斜线， ap 只给这个平面，其他呢？这个点 q 什么都不会给你的，那怎么办呢？这个点 q 肯定是垂足，怎么出现这个垂足呢？方法是多种多样的啊，比如说等面积法，或者说别的方法。嗯，我们一会 都会讲到，主要讲两种方法，所以说你主要关注三个点，一个点是斜足，什么叫斜足呢？斜足就是斜线跟平面的焦点，就叫斜足。垂足的话非常好理解了，垂足就是我们做完辅助线之后，这条平面的垂线 和平面 f 的焦点就成为垂足。注意这个垂足他不是线线垂直的这样一个垂足啊，他是立体结合里头线面垂直的垂足的，这个理解就行了，一定要注意。那另外第三个点就是斜点，这个斜点的话，教材上倒是没有这个名字，这个是我起的名字。斜点是什么呢？ 斜点是在斜线 ap 上这条直线上取得易于斜组的另外一个点，这个点 p 能理解我的意思吧。那么计算阶段的话，三部分啊，第一部分，你得先找到这样一个 c 的，先找到这样一个线面角的平 面角才可以，对吧？第一步啊，第二步的话，就是你得计算出这样一个三角形 apq 来解三角形，然后第三步啊，再计算出他的三角函数值来，就是三步。那两种方法我们都来看一下。先来看第一种基本的方法， 这道题的话很有代表性，他说的是在四龙锥中，这个四龙锥，首先啊， pd 是垂直底面的， 并且底面啊，他是正方形，长度也告诉你了呀，这个底面正方形的边长哦，底面是一个边长唯一的正方形。然后这个 pd 的长度的话是等于根和二的，这个大家都知道，然后啊， 这个点意是什么？点意？注意他是终点了，对吧？点意是一个终点，那既然如此的话，我们继续往后看啊，他现在让你求的是什么呢？他现在让你求的是直线。 ae 于平面 pdb 所乘 的角的大小，一般来说啊，有一个点，如果他问的是所乘角的大小，那一般来说就是四十五度，三十度、六十度这样的特殊的角等等等等。 然后如果让你求的是锁成角的，什么锁成角的？比如说锁成角的正弦直或者鱼弦直，这个时候这个角呢，一般就不是特殊的角了，可能求出一个六分之根号三啊，都有可能啊，就这种类似的，大家知道就行，这是一个小小的细节。那这道题怎么办呢？ 三个点啊，封面上已经告诉你了，第一个点我们先看啊，斜点，什么叫斜点？斜线上易于斜足的点，这个点 a 不就是那个斜点吗？对吧？另外的话还有一个 鞋足，哎，这个鞋足的话，鞋足在哪里啊？鞋足就是斜线和平面的焦点，你看 pdb， 原来点翼就是 那个鞋足啊。但是有了这个鞋点和鞋足之后，最重要的点是我们做完辅助线之后找哪个点来着？找垂足，你只要能够找到垂足，那剩下的应该就非常简单了，垂足的话是需要你做辅助线的，怎么去找这个垂直呢？ 我们过点 a 做平面 pbd 的这样一个垂直其实就可以，对吧？但是做这个垂直的话干巴巴的，你说这个正方形跟这个垂直结合到一块，你能够想到什么呀？ 正方形跟垂直结合到一块，好，这个好说，这个的话我可以想到，我懂了，正方形的对角线是互相垂直的吧，所以我们辅助线知道怎么做了。首先 第一步啊，连接 a c， 连接 a c 的话，这个 a c 对角线啊， a c 对角线跟谁呢？跟这个， 呃， bb 对角线啊，正方形的对角线，他是什么？呃，性质来着？互相垂直而且互相平分吧啊？而且这两个对角线还是相等的啊，他是交于点 h 吧，我就不要上点 h 啊，并且连接 eh。 好，连接 eh， 那辅助线的话，我们现在确实是已经做完了。做完辅助线之后的话，我想说的是这个 h 点确实就是刚才我要求的要求的那样一个垂足。 那怎样说明？注意这个垂足是线面垂直的垂足，你得先说明这个 ah 这条线，它是垂直于整个平面 pdb 的，你得先证明这一条，然后才能接下来求用了这样一个规定的角度证明垂直是很好证明的啊。首先 有正方形的性质吧，因为你这个 abcd， 他一开始就说了他这个底面是正方形，所以 你这个对角线 ah 本来就是垂直于 bd 的，这是第一条。另外的话，还有你这个 pd 是垂直于什么来着？垂直于整个底面？既然 pd 垂直于整个平面，对吧？垂直于整个平面 abcd， 那么 pd 就是垂直于整个平面 abcd 内所有的线， 包括那条线在内，包括这个 ah 在内。那你现在看一下这个圈一圈了吗？ ah 是垂直于 bd 的， ah 呢？也是垂直于 pd 的，那既然一条直线垂直于平面内两条相交直线，这个 pd 和 bd 你就不用写了，肯定是香蕉的啊，所以 ah 垂锥，哪个平面？他就垂锥这个目标平面 pdb 啊。好，你只要证明了什么，其实现在就相当于证明了点 h 就是那个垂足，垂足和鞋足。其实啊，谁跟谁的家教，这个 ea 和 eh 这两条线的夹角就是我们所要求的那个目标角，能理解这个意思吧？现在你写一下啊，所以说二面角的平面角所求的角是哪个角？其实你所求的角就是角 aeh， 我们解一下这个直角三角形 a eh 就可以了， 其实剩下的是非常好解的啊。咱们说一下，你说既然正方形底面啊， abcd， 他的边长是多少？是一对吧，那 a 是对角线的一半，肯定是二分之二的，这个不用多说什么， 这个 eh 的话，大家要注意的一个点是什么呀？你正方形的性质的话，而且这个 h 点肯定是终点吧， h 点肯定是 bd 终点， h 点是 bd 终点，你别忘了一开始还有一个终点，哪个终点点一点 h 都是终点。所以说这个 eh 是不是中微线啊？他是谁的中微线啊？这个 eh h 是 pd 的中卫线啊，那你说是不是也是二分之根号二，所以说在哪个在直角三角形 aahe 中， 你懂了吧？原来他是个等腰直角三角形，所以说最后这个角 a e h 他是等于四十五度的，懂了吧，也就是说下面角最后这个度数是四十五度，看来就是一个特殊的角，这是第一种球法啊，那第二种球法主要我想讲的是等体积的方法， 初中的时候咱们是不是学过一个这个这个东西啊？等面积法，哎，什么叫等面积法？等面积法主要用在三角形里头，对吧？ 比如说这个 abc 这样一个三角形里头，然后呢，这个是 h 一，没问题吧？然后这个呢，是 h 二，等面积发，等面积发，如果你以这个 ab 为底的话， 那你乘这个 h 一肯定就是面积了，对吧？如果你以这个 bc 为例的话，那就是二分之一， bc 再乘谁啊？二分之一，这个 bc 再乘这个 h 二就行了。这个是等面积法，那到了空间中稍微拓展一下的话，在四面体或者叫三分之一中也有等体积法。 什么叫等体积法？别着急，我们读一下题。第二种第二类方法啊，非常有意思。在这样一个立体图形中，他这个四边形呢？ abcd 这个面是一个直角梯形，我们不妨呢先研究一下这个直角梯形。 首先他这个 bc 和 ad 是上底和下底，其次他这个该有的长度呢，也都告诉你了。我首先把这个底面啊给你画出来啊，大概就是这样一个样子，底面是一个 t 型的啊。 abcd 既然是 t 型的话，他是一个直角 t 型，长度的话也高。 告诉你吧，比如说他是等于四，他是等于四，他是等于八，我们稍微解一下这个，嗯，直角三角形，或者说这样一个直角梯形就能够得出来，连接 ac 之后四十五度吧，因为 abc 是一个等腰直角三角形， 这也是四十五度，然后四倍更好。二 cd 的话，你最后却出来发现也是四倍更好。二，也就是说这个梯形，这个直角梯形，他是由什么组成的？他是由一大一小两个等腰直角三角形组成的呀，对不对？那剩下的话就非常简单了，对于这道题来说， 来，现在咱们来求一下 p a 跟谁？ p a 在这呢？然后啊， pcd 在这呢？求一下 p a 和 pcd 这个线面角是多少线？面角的话，线面角线面角。点 p 是什么来着？点 p 是这条斜线 ap 和平面的焦点， 所以啊，他的名字叫鞋足，下面叫里头啊。点 a 的话是斜线上易于鞋足的另外一个点，我们呢，就把它称为鞋点。鞋点这个名字是我起的啊，脚踏上没有，你知道就行了，另外的话，还差一个什么，其实还是差这个垂足，垂足的话，索性我们直接做辅助线吧。 怎么做辅助线啊？给我写点。做一个垂直不就可以了吗？能理解这个意思吧来，当然他不一定具体就在这啊，我只是画出这样一个示意图来。 好了，一定记住啊，我是这么来做的。辅助线，首先你做 ah 垂直于目标平面， pcd 交 pcd 与 h 点，能看出来吧，并且连接，因为 h 点此时你做的辅助线他已经是垂足了，对吧？已经是垂足的话，在这样一个直角三角形 ahp 中， 你看好了啊，是不是得连一下 ph 啊？ ph 和 pa 的夹角，我们的目标角就是求 aph 这样一个角的正线就可以了。能理解这个意思，那既然角度已经确定了之后我们来看一下啊，你说三角 aph 他等于谁啊？ 他肯定等于对边 ah 的长度，再比上斜边 ap 的长度，在这样一个 aph 直角三角形中， ap 的长度呢？人家是告诉你的，就等于死啊，对不对？这是一致条件，所以说是四分之 ah， 那我分析到这的话，你肯定很清楚了吧，我们的目标非常明确， 就是求谁的长度，就是求这条线段 ah 的长度就可以了。当然，这道题的话，除了连接该有的线段之外，还得连一下 ac 啊。我们连接一下 ac 好了，连完了。连完这个 ac 之后的话， 那接下来你看一个四面体的体积吗？一个是四面体 pacd， 这个是没问题的，对吧？然后另外呢，他其实四面体是一样的啊，我以谁为底呢？以这个 pcd 为底吧啊，然后 a pcd。 好，那写到这之后的话，他的体积一样，体积一样的话，咱们转换成什么？转换成你看啊，左边是三分之一乘底面积 acd acd 咱刚才已经分析过了，他是什么 acd？ 它是一个边长为四倍根号二的等腰直角三角形啊，再长谁呢？再长 pa， 因为 pa 是垂垂整个底面的 pa 这个长度是几来着？ pa 这个长度的话非常好求啊，他就是告诉你的，他是等于四，然后这个 acd 的话，咱们求出来是多少啊？那也是边上，知道吗？他的这个面积是 十六，对吧？然后右边右边的话，你以谁为底啊？肯定是以这个 pcd 为底的啊，你三角形 pcd 的话，这个非常好求，请你求一下三角形 pcd 他的面积啊， 你不妨先求一下，这个 pc 是四倍根号三， cd 是四倍根号二， pd 是四倍根号五。我的天呐，原来 pd 的平方等于 cd 的平方，再加上这个 pc 的平方，也就是说 他是一个等药直角型角型，那面积的话，是不是也非常好求啊？三条边都知道，还是个。呃，直角型角形啊，他是一个直角型角形， 那么既然是一个直角三角形，它的面积求出来是四倍，跟号六的乘谁呢？乘 ah， 你看是不是所有的数据我们都有了，就剩一个 ah 了。那由刚刚写完的这样一个狮子，你说 ah 能不能求出来？能求出 啊，这个 a 是求出来是三分之四倍的根号六。那带入哪呢？那你顶多带入圈一里头呗。带入圈一，带入圈一里头的话，最后这个角 a ph 他的正线值等于多少是等于 多少呢？是等于三分之根号六的。那现在你应该清楚了吧？一种传统的方法，另外一种呢，就是等体积的方法，但是等体积的方法虽然好用，可是他只能到四面体三龙锥里头去用。应该清楚了啊。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨范老师，下期课再见。

各位一班二班同学晚上好啊，我们今天来看一下白天发的那一份试卷里面，嗯，关于例题几何的一些题。好，那这份题目里面主要围绕的是关于角的问题啊，就是说线线角，线面角以及面面角。 好，那这个题目题目里面啊，比较难一点的有第一题啊，比较难一点，然后这个题目里面怎么讲的呢？来看一下啊， 已知啊，人长为二的正四面体 a， b， c、 d 啊，然后呢，点 e 是 a、 d 的 中点。 那你看这个图里面啊，就给个正四面体。首先啊，正四面体的概念表示，四个面都是等边三角形啊，有人说每条边长都相等，是一个正三角形啊，人长为二，所以所有都是二二。 好， e 是 终点，马上圈下， e 是 终点。好，接下来看啊， a b 与 c e 所成角的余弦值。好，那如果让我做的话啊，我一看我就会先看这个问题啊， a b 和 c e 啊，线线角，那线线角的做法啊，有几个点要注意， 第一个啊，我们以线角遇到比较少，但是为了拿这个题目来说呢啊，因为我们线面角考过了，面面角也考过了，就这个题没考过线线角，所以这个要稍微注意一下。那关于线线角怎么找啊？就线线角的问题，线线角 就两条直线所成角啊，不管它是地面直线还是什么，我们先不管线线角，那线线角里面第一步啊，一定是平移啊，平移，平移啊，两条线平移到什么程度？平移得两条线有交点， 两条线有交点。有了这一步之后呢，我们再进行第二步啊，第二步操作就非常直接，既然有交点之后，那我会干嘛呢？这时候就可以通过各条线段长度来求它的 余弦值嘛。好，什么意思啊？我们先平移完之后啊，因为我们没尺子啊，拿这个好来看啊，这时候 a b 啊，你看 a b 在 这里啊， a b， 那 c e 呢？ c e 这个是短的嘛， c e 啊，所以你 c e 不好平移，那平移 a b 吗？ a b 长的啊，来看 a b， 那 往往往往这边平移，平移，平移，平移，平移。哎，往这一边啊，你看 a b 在 这里，继续，继续，往这边，往这边，往这下面，下面移，移移。哎，停停，说明这个时候我跟 e 重合啊，那这这有个点 哦，大概在这个位置啊，你考场上你就可以拿一个尺子，因为尺子可以带进去的啊，或者说是笔也行啊，尺子比较好用一点，然后拼音进去。好，拼音完之后呢，所以我在。哦，原来在这有一点，那这个点是什么呢？哈哈，你猜都能猜到，是不是你是终点，那我也是终点嘛，所以连起来， 这叫零零零零零零零零零啊，然后得那 e， 那 就 f， 那 f 就是 终点啊，那得 e f 之后呢，也就说平移得两条线有交点，现在平移什么呢？就得 e f 嘛， 与 c f 有 交点，交点是 f。 好， 接下来呢，那有了这两个线之外啊，那接下来你要求角，那求角不就是 f、 e、 c 这个角吗？你要求角不好求的，所以一定要让它们组成一个三角形啊，第二步啊，再加上啊， 拼完之后呢，要构建，构造出一个三角形啊，其实很简单说构造，其实连起来就可以构造出三角形。好，在三角形中再去求角，那三角形就一定有边长，所以一定能够算出三边长啊，三条边长， 最后呢，接下来用余弦定做啊，所以要小心了，如果他用余弦定做的话。好来看， 那我现在 e f， 那 c e 连起来啊，连起来，连起来，连起来，连起来，连起来啊，连完之后啊，不就在三角形 c e f 中吗？那在这个三角形里面，很显然那 c e 和 e f 都能够直接求出来的啊，会很好求的啊。来看， 为什么求？你看 e f 嘛， e f 是 什么？ e f 不是 二吗？二，然后它这个是 e f 是 ab 的 一半中位线，所以它就是 e 啊。 好，说完之后呢，接下来我就求 c e 和 c f， 那 c e 这个是中点，这个是 r， 这个是 r， 所以 这是一个等腰三角形，而且应该等边啊，这 a d 也是 r， 那 你把这个三角形单独抠出来，好，抠到下面了，单独抠出来，抠出来，三角形啊，你画一下。 好，那我就是 a 啊， d c 啊， e 是 中点，移过来啊， e 是 中点， 那根据我们三角形的定义啊，你中位线啊，不是中位线终点啊啊啊，终点，所以这时候应该三线合一嘛，啊，等腰三角形，等边三线合一，所以这个时候变成一，这边的一，那一二，这应该是根号三啊，你用勾股定力就能算出来啊， c 一 等于根号三， 同样道理，和 cf 也是一样的道理，是不是 cf， 那 cf 是 底面这只终点，所以下面也是一个等边三角形，所以 cf 也能算出来啊，那根据这样，所以我就可以算出来 什么呢？ e f 在 三角形啊，三角形 c e f 中啊，在这个三角形 c e f 中啊，可以得， e f 应该会等于一啊，根中位线 c f 啊， c e 等于根号三，那 c f 也是 e， r 也是根号三啊， e， 这是 e 啊啊啊啊，这是最好先画一下吧，还有个没画啊，好，下面图画一下啊啊，下面这个图画出来，你把它单独抠出来里面吗？啊，抠出来就长这样了，这个是 d， 这是 b， 这是 c 啊， 好在这个图形里面 f 在 这里终点啊，移过来啊，所以这时候这垂直，这个是一，这是二。好，这应该是根号三啊，所以这时候你能把 cf 也算出来，等于根号三，然后现在已知三条边，是不是啊？已知三条边，所以我就可以用 余弦定里啊，这是三角形里。用余弦里算什么？算角？哪个角呢？你就。你不是 f e 和 c e 吗？它们有重合点，所以就是 cosine 的 角。 c e f， 好， 然后算这个三角形呢？你可以把这个三角形又单独抠出来，是不是抠出来啊，你把它单独拉出来， 拿出来，那这时候等于 f e c 好， 那这一条边呢？ e f 等于一， c e 呢？等于根号三， c f 等于根号三。要算这个角啊，很简单嘛，由于先定义的啊，这时候扩散引 c e f 会等于什么？等于两条相邻边啊，就是根号三的平方，一的平方加上来减去这条边的平方吗？啊，由于先定义算一下就可以得出答案了啊， 好，那我们就讲一下思路啊，因为你手上有答案，你就自己对一下啊。那我们讲一下这个题，重新回一下，你怎么样才能找到这种线面角的解析思路呢？就是看到这种线线角啊，当看到线线角的时候， 一定第一步是干嘛呢？一定要让他们平移啊，平移，平移啊，平移字，他们有两个，有焦点，有焦点才能组成角，是不是然后平移完之后呢？构造出三角形，然后这个三角形其实很简单的，你连起来吗？你有 e f， 有 c， e 连起 c、 f 就 可以，连完之后呢， 就可以往下做就行了啊，这是关于第一题啊，线线角，线角，讲的仔细一点，因为我们以前遇的比较少啊， 然后重新把它拿出来，然后第二问，这个线面角可以不管它，因为第二问这个比较难一点，它比我整体难很多啊，它需要知道你过这个点 a， 因为它是个正四面体，非常特殊啊，点 a， 它的投影就在 b、 c、 d， 什么叫投影？就是你把这个 a 点 使劲一拍，咚拍下来啊，它就点在这里，就把它用力一拍读，它就下来了，就这个地方好，然后这是 b、 c、 d 的 中心啊，所以这个题，但是可以不用管它好不好，如果你想看的话，你就看解析啊 啊，重点，我们是第一问线线角，然后等下再讲关于我们的线面角里面的知识点，然后第二个题是真题里面的啊，好， 第二个题里面关于啊线面角中啊，那我们取个真题，那这个真题里面我们再回忆一下，已经讲过很多遍了，是不是？好，那么回忆一下这个题啊，关键啊，我们课上讲了这种，第一问是正线面垂直， 好，第二纹呢，真的是线面角，那我们重点看线面角，那线面垂直我们放在下次课啊下个视频，然后再来去重点去解答一下啊， 线面角里面呢？需要知道的是啊，你正线面角啊，线面角里面是 p b 和 p a c 在 夹角吗？那找线面角，我们先要讲叫寻角诀，是不是啊？寻角诀，寻角诀，诀诀。 那怎么找呢？看啊，一定是先找平面外一个点啊，就是你这条线皮皮皮 皮啊，和这个平面的角，那一定要平面外，那什么呢？你看 p 和 p 不是 平面里面的，划掉划掉啊，平面里面，所以平面外这个点很显就是 b 嘛， b 在 平面 p a c 外面，所以找到平面外一点点 b 啊，平面外一点 b， 然后以这个平面 p a c 的 垂线，你就想 点 b 在 这里啊，点 b 在 这里啊，过这个点 b 与平面 p a c 的 垂线啊，千万不要啊，就直接看到什么就什么啊，注意不要啊，你要看跟条件有关的，你不要以为啊，我就是 p， 我 就就，我就是 b a。 哈，不一定的啊，要看条件，条件一般会提问中会告诉你啊，或者说是第一问中，第一问中有个 b c 垂直于平面 p a c， 你 发现，哎，这不是 p a c 吗？那这不点过点 b 吗？所以过点 b 与平面 p a c 的 垂线其实就是 b c。 我 正道了啊，所以第一问已经知道这个垂线就是 b c。 好， 有了 b c 之后呢，你看这个是平面外一点 b 与平面的垂线 b c， 这也含 b 吗？然后这个角就能写出来了啊，我们把这个角写下， 然后呢？你不是找到垂线 b c 的 吗？啊，把 b c 中间空一个啊，然后这个填什么字母呢？很显然就填你刚刚扔掉这个屁吗？不重合吗？啊，这个屁不是这条直线和平面的重合的啊，所以你就写把屁扔进来，这就是个角啊，角 b p c， 角 b p c 啊，永远不会找出啊，按照这个方法，我们上课讲过，是不是啊？你找这条线之后，把它们中间写大一点，中间插一个字母，这个字母插什么呢？插，就是这个，你刚开始甩掉那个字母，又把它扔回来，是不是啊？装回来啊？好，这个角就是直线 p b 与平面 p a c 的 夹角。 好，那接下来你去计算了，那算这个角啊，怎么算呢？好，算啊，算这个角，你把它拉到直角三角形里面去算就可以了。你就把这个图重新把它扔回来啊，来看，重新扔出来， 这次把它扔出来，那你把这个图抠出来啊，来看啊，这时候，嗯，不要改变它位置就行了啊。那 b c 啊， b c p 吧。好，因为你知道 b c 是 垂直于平面的，所以它一定会垂直于平面任何条线，所以 b c 一定要垂直于 p c 的 啊，所以 b c 垂直。好，那个角是 b p c 在 这里啊， b p c b p c。 好， 那接下来把长度标上去，就可以做出来了。你就要把这一段啊，要求的是假角，所以你要至少抽两条边啊，比如抽这条边，然后再求这条边或求这条边也行啊。然后这个题因为是真题啊，我们讲过很多遍了，所以我们讲这个思路，讲一下，目的是为了讲后面这个辨析题啊。好，那解析你自己看一下 啊，注意寻嚼诀。寻嚼诀啊，好，我们看一下。反过来啊，另外一另外一题啊，这个题来看啊，这个题啊，这个题是我们电视里面的题啊，也挺好的啊，他跟我们差不多。来看啊， 然后这个题里面呢，给的是也是一个三人追二，然后三人追第一面是正线线垂直，那线线垂直里面主要是正线面垂直，是不是？我们就简单过一下这个，好吧，在正线面你要找到什么垂直这个面吗？所以应该找啊，找。 你这是因为题目看完啊，这是一个人追菱形啊，里面是菱形，那是菱形啊，很特殊，对角线是不是，然后告诉这个六十度，哎，六十度菱形，所以正三角形又出现了， a d p 好， a d p 正角形，正三角形是等边，一旦出现，等边有终点，是不是终点马上得 垂直？我们课上讲过的啊，看到等边三角形，要想终点，想终点马上得垂直。好，所以接下来来看啊， 你现在正的是 a d， a d 在 这里， a d， a d， a d 和 p b 在 这里垂直啊，那那跟 a d p 是 正向正三角形，所以啊，肯定是找跟它有关的，所以这时候找个中点连起来啊，点 o 好， 找到 p o 和 a d， 那 一定垂直，是不是取它的中点就可以得垂直啊？得 p o 垂直于它。好，你但找完之后，你发现这个 b a d， b， a d 这六十度，哎，为什么高到六十度啊？六十度加两条边相等，又是一个等边啊，所以我又要找中点，所以很简单把 b、 d 连起来啊，连完之后这个是中点，所以 b o 一 连也垂直吗？所以这个平面就找到了啊，那你正的就是线 a d 垂直于面呢？面是 p b 所的面啊，那就是 p b o 好 垂直， p o 那 要正这个垂直的话，很显然 p b 啊， p o 那 b o 嘛，就这个面啊，写出来啊，这些面啊，面 面。好，那我们 p a a d 已经垂直于 p o 找到了啊，然后垂直于 b o， 所以 这两条垂直于面面，这垂直两条相交的线，所以可以得线面垂直 的线线垂直是不是？好，最后提示一点啊，就是你在写呃的线面垂直时，一定要写清楚啊，它们一定是相交的啊，我们自己写一下。好，有时候我得到 a d 垂直于 p o， 是 不是？然后呢？还得到了我的 a d 垂直于 b o， 它们都是等腰三角形加中点啊去做的啊，你后面就写取 a d 为中点。我简单讲了啊， 然后呢？还要写呢， p o 交 b o 雨点 o， 且 p o， b o， 它们都是平面内的啊，平面啊， p b o 里面的啊，写英文有这么多啊，然后再写 a d 是 平面外的啊，它， 所以写完这些条件人家才看到你是自己人吗？啊，自己人才会给你得应该得的分是不是哈？如果你写的非常草率的话，那一看就是呃，他认为你没有掌握啊，所以他就给你很低的分 a d， 所以 垂直于平面 p b o。 好， 有了这个，所以马上就可以得我的什么线线线面推线线吗？因为再写下，因为 p b， 它是平面里面的啊，所以得线线垂直，所以 a d 垂直 p b。 好， 这是关于这个题啊，第三题，我们就站到这里啊， 我们来看第二文啊，第二文里面正的是啊，线面角，那线面角里面，我们第一文正完了啊，第一文正线面垂直对，线面垂直啊。第二文，线面角就回顾上刚刚那题，是不是那线面角就得寻角角哈，你应该先找平面外一点 p 啊，我找到了啊， pb 吧。 那你看直线 p b 和 a、 b， c、 d， 你 这个点 b 是 重合的，所以我一定要把这个 b 划掉，划掉不就剩下 p 吗？所以平面外一点 p 与平面 a， b， c， d， a， b， c， d 是 什么？是个底面呢？它是个底面， 那是个底面，所以能够跟他垂直过脸皮的，那一看就是至少一条竖的吗？竖的竖的啊，竖的。那 p 窝就是一条竖的。你就想，哦，这条就是竖的，那竖的一定能跟我的底面垂直。那怎么垂呢？要证明是不是啊？你假设 它是 p o、 r， 那 怎么正呢？你看，那第一位也正到了呢？ a、 d 和 p o 是 垂直很好了，然后这下怎么正呢？怎么正？那如果正成 b o 垂直更好了，或者说正了什么啊？那你看 p o 会不会垂直？那如果他要垂直，那他们的线段长度应该有关系。为什么？因为题目中给你是 r， 根号六干嘛的？ 除去求这个角之外，还应该把它的长度求出来，所以你就顺便把 a o 和 b o 的 长度去求。那在 等腰三角形 p a、 d 等边啊啊？ p a b， 你 把它抠出来， p a、 d， 抠出来之后找终点啊。中线 p o， 所以 p o， r 二，一根号三。那同样道理，在 a、 b、 d 中，它也是个等腰，因为它是等边啊，它是个六十度嘛，加上两条边相等的是一个等边， 然后扣出来之后，接下来也能求出它的中线 b o， 然后 b o 也等于根号三一二根号三，然后这样我知道两条边，根号三，根号三，根号六。哎，三三六 相加，平方平方吗？啊，所以根号三加根号三的平方，根号三的平方加根号三平方等于根号六平方。所以这是垂直啊，所以我得了 p o 会垂直于 b o 哦，我得了 p o 垂直于 b o， p o 垂直 a d， p o 垂直 b o。 所以 a p o 会垂直整个平面吗？啊，所以正到了 p o 垂直啊。所以这个题要先证明一下，比我们刚刚那个真题稍微难一点点，因为那个真题他不需要我们证明，直接看条件就可以，是不是啊？好，第二位要先证明，证完之后呢。所以角角到了啊，找 p o。 那 把 p o 拉大一点把刚刚你扔掉那个字母扔进来，不是 b 吗？重合的扔进来啊，拉回来。刚刚抛弃它啊，现在把它拉回来啊。 p b o p b o 就是 直线 p b 与平面 a b c d 所成角， 最后呢？最后就计算了，是不是？你计算角很简单的，就是直角三角形计算啊。计算角就是刚刚那个角嘛，抠出来的啊，刚刚那个图我已经抠完了。 然后你把它抠出来不是 p o b 嘛，然后现在找的 p b o。 就 这个好，切，一个角整数角啊，根号三，根号三，四十五度搞定是不是啊？如果你不放心，不放心这些是 r t 三角形， r t 三角形 p b o 中 tang 角 p b o 等于 p o 比上 b o， 这不等于根号三比根号三 等于一吗？好，等于一啊，因为啊，它是一个线面角啊，注意下，线面角是有范围，注意是可以取零度的，然后零度到九十度，所以角 p b o 等于 四十五度啊。注意，如果你用三角函数定义，在求的时候一定要先把这个范围写出来啊，这是关于线面角啊，这个题 就我们再看一下啊。最后一个题啊， b 是 五啊，它也是线面角，第二个是二面角啊，那二面角我们晚点再讲了，我们讲前面角， 那线面角里面呢？根据刚刚讲了好几个了，是不是讲了三个啊？那这第三个来看，第一步还是找平面外一点啊，那 这个是矩形，然后呢？啊，一看到这种条件非常开心啊， pa 垂直于平面 a、 b， c， d 啊， pa 等于什么？ p b 等于什么啊？ pa 等于什么？那一定有线面垂直，那说明你看看一眼，这 pa 不是 竖的吗？啊，一旦是竖的，所以接下来找角的时候非常容易找啊。 好啊，你可以见习，但我们现在不见习啊。 p c 与平面 a、 b、 c、 d 的 角，那先找到平面 a、 b、 c、 d 的 角，那先找到平面 a、 b、 c、 d， 把 c 画掉， c， a、 c 共同的。那平面一点点 p， 那 点 p 呢？与平面 a、 b、 c、 d 的 出现，你看过点 b， 过点 p 啊？与 a、 b、 c、 d 的 垂不就竖的吗？竖的竖的，那就是 p a 嘛？ 啊，就是 p a， 那 p a 告诉你， p a 垂直于平面，所以不见写，马上得啊，所以你已经证明到 p a 垂直于平面，所以这个角就出来了角，然后呢， p a 写大一点，中间拉一个字母，那你刚刚那个字母丢掉的，甩掉那个字母就 c， 是 不是把它写回来嘛？ p c a， p c， a。 是 啊， p c 与直线所成角是 p c 与平面 a， b， c、 d 所成角，所成角就可以了啊，那第三步呢？在计算，在直角三角中计算就可以了。我就简单写了啊，你可以把它做出来， 然后这个三角形随便拉一个出来啊，拉一个出来，然后呢？这 p c a 就是 p a， c 中啊，然后呢？ pc 找他，然后你要找到 a c 的 长 啊，你现在求这个问号啊，找 a， c 的 长吗？然后呢？找到 p 的 长或者 pc 啊， p a， 题目中你告诉你就是一题干中，你告诉你就是一啊，然后把 pb 啊， p 是 pb， 然后把啊也是 pa 等于一啊，然后呢？ pp 也知道，然后把 ab 算出来， ab 算完之后来把 ac 算出来，就可以了啊，就这么做，这是关于计算，就你计算一下啊，我重点讲一下怎么找这个角， 然后关于第二问呢？第二问是关于二面角，那二面角已经来了，我们就简单讲一下二面角，如果你这个题实在不会，那就见习吧， 如果不会，你就见笑。因为已经有有矩形，有 pa， 所以 就以 ab 为 x， 以 abx a， c， a， d 为 y 啊， ap 为一 g， 然后建立只要做背水珠啊，那如果你比较容易的话，你就找平面， p c a 于平面 b， c， d 是 不是我们讲了就圈圈它，圈圈一下，然后这个面面垂面面吗？面角，然后你要找，肯定要找斜面啊，也就是说你要找一条垂线，然后跟 c， d 垂直线，你找到有没有找，肯定很容易找，因为第一位你挣到了什么东西呢？ p a 垂直于平面 a， b c p a 垂直，你看我这个是 p 吗？所以过点 p， 然后这时候呢？ 垂直，那我现在可以到了，与 c d 啊，与 c， d 啊，与 c d 的 边的角，那会是哪一个呢？来看啊，虽然我点 b， 你 看点平面 b， c， d 是 不就是底面， 它是不是就底面啊？底面 a， b， c、 d 吗？啊，有人说我要找的其实就是 p、 c、 d 和底面的角，那底面的角比较容易找啊。为什么容易找？因为你找垂直，找一条线，在这个平面里找一条线与 c、 d 垂直，然后在这个平面 b、 c、 d 里面找一条线 与 c、 d 垂直，那只有一条，那是 a、 d， 是 不是？好，所以找到了 a、 d， 即 a、 d 垂直于 c、 d， 那 a、 d 垂直于 c、 d， 那 过这个点 d， 那 与 p 连起来啊，连完之后呢？所以找到你就要正 p、 d 能不能垂直于 c、 d 就 可以，所以这个地方正的就是 p、 d 垂直于 c、 d 啊，就找到就行了。那很好正的吗？来看啊。哦，到了，然后 p、 d 垂直于 c、 d。 怎么正的？你看 c、 d 垂直于 a， d 垂直于 pa， 所以 c、 d 会垂直于平面。 p a、 d 是 不是好？垂直完之后，所以 p、 d 和 c、 d 垂直，所以这个角就找到了啊？角 p d， a 就是 角， p d、 a 就是 这个角啊，就是平面和平面所成角，这是关于第二步啊，好，答应通过间隙也能找我们。呃，下个视频再一起讲间隙吧，因为这个里太太长了，这个视频我已经不能把它剪在一起了啊，因为我前面画的这个视频好长啊，我怕我的手机撑不住了啊， 等一号，一号挂掉了啊，来看啊，今天重点讲这些啊，就是这样，这个线面角线线角线线角线面角这两个重点啊，你回去啊，再看一眼就可以了啊。好，加油。

那么往下直线和平面怎么求呢？一样，我们仍然是两种办法，要么是几何直观，怎么找？我就找上面一点过垂，把这个线面夹角的平面角找到，或者是几何法。 好，我们来看这个题，他说在正方体要求 a 一 b 和平面 a 一 b 一 c 的 左乘角好，那么从几何的角度来说， 我们就应该怎么办？哎，我们就应该过这条直线啊，因为这个平面，这个直线和平面已经交于哪个点啦？ a 一 点啦，所以我只能取这条直线上的另外一个点啊， b 点来做平面 a 一 的 c b 一 的垂线， 然后假设这么做垂，假设垂足是 p， 然后把 a e p 连起来，找这个角度 c， 它 好，那么这个角度怎么怎么求呢？我找到角之后，求角是不是就是解三角形？我把 a e p 的 长度一求，把 a e 那 个 b 的 长度一求，再把 b e p 的 长度一求，是不是用余弦定力就可以求？另外，因为这里是垂直，你甚至是直角三角形，你只需要知道两段的长度也可以求，你听得懂哈 啊。所以这道题如果是几何法的话，我就需要知道，首先 a 一 b 的 长度啊，我再求一个，随便求一个。如果我能把 b p 的 求度求出来，因为 a 一 p 通常比较难求啊，我求 b p 的 长度啊，我把它假设成啊，不用假设 好，那我这个夹角的什么值就可以求了。对边是不是三 e c 塔就可以求了？它就应该等于 b p 除以 a e b， 而我 b p， 其实之后我们会说啊，它是一类特殊的距离，是什么距离？点到平面的距离。除此之外，我们还有代数的手段 好，那么代数的手段应该怎么去求解呢？哎，一样的间隙好，间完隙之后呢？来，关键就是来我们来看啊。 好，我们说直线和平面所成角应该是这个夹角 c 塔角，对不对？哎，它应该是哪些和哪些的夹角呢？哎，首先直线我们说都是用方向向量来刻画的啊，那么在空间向量里，平面是用什么刻画？那这里告诉你是法向。 法向是什么？就是垂直于直平面的一个向量，垂直于平面的直线，他的一个方向向量 n， 当然他也可以朝上，可以朝下啊。那如果我把这个 n 平移过来啊，我移到这里来，假设我就过这个交点找这个法向 n 可以接受。好，那我的线面夹角 theta， 它就会和我两个向量之间的夹角 phi 有 关系。什么关系？哎，相加为二分之 pi， 所以 我的 phi 啊，或者我写我的 theta， 我 的 theta 就 会等于二分之 pi 减 phi， 对 不对？ 是吧？所以我的 f i 也会等于二分之 pi 减 sine。 而我两个向量夹角的余弦值是可以求的。 cosine f i 是 可以通过数量级除以一个字母长来求的，它就会等于 哎，它就会等于可 size 二分之 pi 减 theta。 哎，用诱导公式，我们知道它一定会等于 size theta。 换句话说，我用向量的方法求出来的应该是向量夹角的正弦值， 那我找的是什么呢？找的首先是这条直线的方向向量 ab 和这个平面的法向 n， 然后我的 sine， theta 就 应该等于它们的数量级除以各自摩擦 好。当然这里还有一个问题啊，如果求出来的这个值是个负数怎么办？哎呀，我取个绝对值，我保证它会，正，因为我的这个 theta 角是锐角三 c， theta 一定是正的，它不是正的，我就取绝对值，使得它变正。 好能接受。哈，好，那么比如说像这个题来说，我们应该怎么来做呢？哎，首先键 c 键在的点。 好，我需要的坐标。首先 a 一 的坐标， b 点的坐标，对吧？这是写方向的，我们先写一写好，它还是没有给我们楞长，我们就假设楞长为 a， 那 么 a 一 的坐标就是 a 到零到 a， b 的 坐标就应该是 a 到 a 到零，所以 a 一 b 方向相反，就应该是零到 a 到负 a。 好，关键就是新平面的法向啊。好，那么这里我们来说一下，法向又该怎么求啊？我假设这是平面二法。好，那么这根法向我们刚刚说了，他一定是垂直于平面的直线 l， 他的方向向量， 那么直线 l 要垂直平面，自然就应该垂直。平面内的两条相交直线 m 和 n， 对不对？好，那么从空间向量的角度来说， m 有 一个方向向量 m， n 有 一个方向向量 n， 是 吧？我的 l， 他的方向向量 l 就 应该 g 和 m 垂直，也和 n 垂直， 是不是？那么垂直意味着数量即为零，所以 l 点乘 m 应该为零，同理， l 点乘 n 应该为零。好，那么通过这里我就可以列出两个方程。好，我们来试试看。 好，现在我要写平面 a， e， b， e c 的 法向，我就应该先在 a e， b， e， c 的 里找两条相交直线，把方向写出来。好，我随便找。假设我找 a， e， b e 和 a e 的 吧。 好，那么我就需要 a 一 b 一 点的坐标啊，我把 b 一 点的坐标写在这里。好， b 一 点的坐标，它应该是 a 豆 a 豆 a 好 的点的坐标就是零豆零豆零。所以 a 一 b 一 是用 b 一 减 a 一 啊，就是零豆 a 豆负零豆 a 豆零。 好的， a 一 得，就应该是得点减 a 一 的坐标就应该是负 a 到零到负 a。 好， 这是两条相交直线。好，我假设法向量 m， 它的坐标是 x、 y、 z， 那 么按照我们的定义，我的 m 这根法向就要既和 a 一 b 一 垂直，也要和 a 一 得一垂直。换言之，数量级为零，而数量级是对应相乘相加。所以我可以列出两个方程， x 乘零，加上 y 乘 a， 加上 z， 乘零为零。好， x 乘负 a 加上零乘 y， 再加上 负 z 乘负 a 啊，就是减 a， z 也要为零。好，那么第一个方程，这里是零，这里是零，我要使得它为零，只能这个 y， a 等于零啊，因为 a 是 冷场，它肯定不为零啊，所以它只能 y 为零。 好，那么这里也是零啊，同理，这里也是零。我们的这个方程是负 ax 减 a， z 等于零，因为 a 都是相等的公式约调，所以就是负 x 减 z 等于零，换言之，负 x 等于 z 啊，我们就得到了这两个方程啊。好，那么因为我们的法项其实是三个未知数，通常三个未知数要完全有解，必须有三个方程，但是我们只能列出两个啊，不是说我们没有找到三个，是我们只能列出两个。 听得懂哈，你再列一个，得到的结果肯定也是一样的，没有必要你只能列两个。通过这个垂直，那么你列两个，就求不出三个的值啊，所以这里还有一种负值的思想啊，你求出关系之后，令 z 为一， 那么假设 z 为一， x 就 应该等于负一， y 横等于零，所以我就写出了法向坐标负一到零到一 能接受。当然你也可以令 z 为负一，写出坐标一逗零逗负一都是可以的，反正你的法项之间肯定是有倍数的， 只要乘整数倍啊，分数倍也可以，只要乘不为零的倍数，它都是法项二，可以接受啊，这是求法项的办法哎，所以我们就得到了。首先直线的方向向量 a e， b 是 零，逗 a 逗负 a 平面得法像 n 是 负一到零到一好，那么下面要求角就是 sine theta， 记住啊，线面夹角是 sine theta 好， 它应该等于这两个向量的数量积出一个字母长，所以就是对应相乘相加负 a 取个绝对值。下面是模根号二， a 乘根号二，一约分就是二分之一，所以 c 塔角等于六分之派。 好，我们一起来看一下第二个题啊。如果用代数法来说，就是你做成习惯之后，你就会发现非常简单，比如说我们首先看间隙细节在哪里，在的点 好，然后我们需要找的是直线 a， e， o， 所以 我需要 a 一 点的坐标， o 点的坐标和平面 b b 一 的一的的 啊，左乘角，所以我还需要这个面的法向。那么要求这个面的法向来观察一下，他不是一个特别特殊的平面啊，当然其实他还是挺特殊的啊，他是一个对角面好，那么我们的法向来回忆啊，我们的法向本质上适合平面垂直的直线，那如果我能找到垂直他的直线，我就可以不用求法向的方法来求他， 那为什么？因为这个他这个面非常特殊啊，他其实就是对角面，那么对角面他一定会和这条另外一条对角线垂直的。啊，为什么呢？啊？因为我们快速说一下。首先 啊，我们打个草稿， a， e、 c 会垂直于 b e d e， 而且我的侧轮也会和底面垂直，键自然就会和底面的任意之间垂直， a， e、 c 就 垂直于得得 e， 然后我的得得 e 又和它相交交 b e d e 所于得 e 点，所以我的 a、 e、 c， 它就会垂直于面 b 的 得一 b 这个平面。好，那么垂直这个面他其实就是我的法向啊，他就是我这根法向，他的方向向量就是我的法向，所以我再把 c 一 点一写就可以了。好，那么 a 一 点的坐标应该是他还是没有告诉我们棱长，我们还是设成 a 啊，所以 a 点的坐标是 a 到零到 a o 点来看， o 点是什么？是对角线的焦点，换句话说，他一定是 a c 或者 b 的 中点。 那么如果你不好的写，你就把你就把 a 点坐标写出来， c 点坐标写出来，相加除二就行了。 a 点坐标应该是 a 逗零逗零， c 点坐标应该是零逗 a 逗零。所以 o 点坐标是二分之 a 逗，二分之 a 逗零， 好。然后 c 点的坐标是零逗 a 逗 a， 好。 下面我们来写啊。首先 a e、 o 是 方向向量，用 o 点 a， e， o 是 方向向量，用 o 点 a e o 一 负的二分之 a 逗负 a， 好。 然后我的 a e、 c 一 是我的法项， 嗯，就是啊，负 a 到 a 到零，好。然后呢，他们两个的夹角是我先面夹角的正弦值对应相乘相加，二分之 a 方加二分之 a 方加零除以啊，上面那个应该是根号，下 四分之一加四分之一，二分之一，再加一就是二分之三的 a 方乘以根号下二的 a 方 好，所以等于 a 方下面除以二分之根号六， a 乘根号二， a 好， 根号六乘根号二是二倍，根号三一约就是根号三分之一啊，所以我的 theta 其实是等于阿克撒引三分之根号三的，是不是很简单？ 好，再来看侧棱 ab 与底面 abc 所成角啊，好，首先它是个正四面体。正四面体是什么意思啊？之后我们会来说啊，它其实是一个特殊的正三棱锥，正三棱锥指的是， 正三棱锥指的是，首先底面是正三角形，其次顶点的投影在底面的中心。中心是什么意思啊？就是就是四心合一的那个中心啊，外心、内心、 重心、垂心都在这个点啊，因为他是正三角形。好，那么正四面体他比正三棱锥多了个什么呢？就是侧棱和底边的长度是一样的，这叫正四面体。好，我们来看， 那这个题你选用几何法还是代数法更好呢？哎，你看，既然我都已经啊，我要求的是 p a 这条棱和底面所成角，然后呢，我又过了 p 点做底面的垂线垂足 o 一， 我发现我把 a u 连起来，这个夹角就一定是我直线和平面所成角。哎，所以我人为的从定义里就已经找到了这个 c 叉角啊，如果我再去解析，就已经变笨了啊，我这题不妨采用几何法。好，那么现在我要用几何法，我就只需要把哪些求出来啊，你观察这里是垂直的啊，我要觉得这个夹角我可以把 提高求出来，他们两个作比都可以啊。所以现在我假设棱是 a， 好，下面要么我们求 po 一， 要么我们求 a o e 啊，好，那么这个题其实是求 a o e 比较好，因为 po 一 也要借助 a o e 来求，那么 a o e 怎么来求呢？哎，我们说了，这个是底面的中心，中心是四心合一的啊，外接圆，内接圆。 嗯，这个，呃，外心、内心、垂心和重心四心合一的啊。我们来画一个 三角形啊，这是我的 o 一， 好，那么现在他和任意一个点的连线其实都应该是相等的，应该是等长的等于多少呢？哎，这个是重心的心智啊，他及时延长之后， 我们说延长之后交于这个的点，它一定是中线，对不对？ a 的 一定是中线，而 a 的 长度，它一定是等于。这段是 a， 这段是二分之 a， 这段一定是二分之根号三 a， 而我的 a o e， 它一定等分。 a 的 二比一，所以它会占整段的三分之二， 所以它一定等于三分之根号三 a 可以 接受，这段是三分之根号三 a， 而我的 pa 长就是 a， 所以 通过几何法我知道了这段，知道这段用什么。可三以 c 塔，所以可三以 c 塔就应该等于 a o e 的 长比上 pa 的 长，一带进来就是三分之根号三 a 比上 a 就是 三分之根号三，所以这个 c 塔角应该是啊，可可三，以三分之根号三。 好，所以几何法和代数法的选择，你要慢慢的体会啊，它有些几何法更简单，有些代数法会更简单。 好，下面我们来讲二面角又该怎么计算啊？二面角也是两类啊，几何和代数，但是这里就非常不推荐你用几何法了啊，用几何法会非常复杂，我们还是来讲代数啊。 代数的方法是怎么来求两个平面的二面角呢？我们说面都是用法向来刻画啊，假设一个平面的法向是 n 一， 一个平面的法向是 n 二。好，这里我强调一下啊，你的法向完全可以是反向的啊，完全可以，他一定，他不一定就是向上的这个项链，他也可以是向反向的那个项链啊。 好，那么关键就是我这个向量之间的夹角和我面之间的夹角有什么关系呢？好，我们来看啊，首先面之间的夹角 o， 假设这个点是 a， 这个点是 b 啊，可能这个颜色不是很清晰啊，我用黑色来画 好，假设这个点是 a， 这个点是 b 啊，我们两个做垂线啊，垂在了同一个点，假设是 o， 那 么我们就把 a o、 b 叫做这个二面角的平面角，对不对？好，那么它和我的法向之间的关系是什么呢？ 哎，如果我的这个法相，你来观察，如果我取的是无穷远处啊，我把它无限的延长。 好，我还是从 a 点沿啊，这个我还是从 b 点沿。哎，它是不是一定会构成一个四边形啊？我尽可能的把它都弄在一个平面当中。好，那么这里是垂直的，这里是垂直的， 来观察，我的法向会这样穿出去，所以这个假角 c 塔角就是我两个向量之间的假角，它其实也就是这个角 c 塔角， 对吧？而我的这个 c 塔角会和我的平面角 f 之间有什么关系？哎，非常好，相加为 pi， 所以 我的 pi 加 c 塔会等于 pi， 那 我要求的这个 pi 角其实就是 pi 减 c 塔， 我的 theta 其实也就是 pi 减 pi， 对 不对？好，那么我们说这个法向 n 一 和法向 n 二，只要给向量，就可以求向量之间的夹角，所以我的可 sin theta 向量的夹角就可以求，它就是 n 一 点乘 n 二除以 n 一 的模，乘以 n 二的模。 好，但是我们说对，这边取可 sin， 这边也取可 sin， 应用诱导公式，它就会等于可 sin 引发 好。那么如果我的法向，哎，我的法向如果取的是这个方向，一个是这个方向，一个是这个方向，我就发现这个 c 它角，哎，它其实就会和我的 f 角相等，所以这里啊，要么就是角相等，要么就是相加为派啊。这里是有两个关系 好，假设我的 n n 二取的是这条， n 一 取的是这条，那么这个角就应该是我的 c 它角啊，这个 c 它一撇吧， 这个一撇是不是又看不见啊？我打在这里，那么这个 c 塔一撇和 c 塔相加为派，而从这个图里，我的 c 塔角和否角又相加为派，所以我的否还可能会等于 c 塔一撇。换句话说， 我两个法向的夹角，要么会和它互余，要么会和我的否角互补，要么就会和我的否角相等，那么从余弦值的角度，要么就相等，要么就互为相反数。所以我们的操作还是先取绝对值。回到图里去观察锐角还是钝角， 我们来计算一下。比如说我们来看这个正方体，我要求的是二面角， b 一 a a 一 c 一。 好，那么它其实这个二面角啊，这个二面角的标识我们还没讲啊，它是什么意思？它其实这条 a a 一 指的就是它的交线好， b 一 指的就是我 r 平面上的一个点， c 一 指的就是我 b 塔平面上的一个点。所以我们把 a 一 啊 b 一 a 一 a c 一 这个二面角看作是面阿尔法和贝塔产生的二面角。那么从这个角度出发，你就知道啊，我的阿尔法面其实是哪个面？哎，其实就是我的面 b 一 a 一 a 这个平面，我的贝塔面是哪个面？哎，其实就是我的面，这个 c 一 a 一 a 这个平面 好，所以我们怎么来理解这个二面角呢？哎，就非常好理解了啊，啊，就是这里是一个面，这里是一个面。好，所以我们的两个面是 b 一 a a 一 和 a a 一 c 一， 那么我们说面面角角就需要写出它们两个的法项，我角是一个用 m， 一个用 n 来表示， 对吧？你就把法向写出来，好，那么要写法向，就需要面内的相交直线，而且还需要线，这个细啊，所以我们又来见细啊，正方体的细，见了一百八十次了啊，现在多点。好，那我现在需要 b 一 a e a 这个平面啊，我们画出来，我发现就是上顶面，对不对？好，我要写一个他的法向，还有必要用我们那个相交直线来求吗？没有，我们找一条和他垂直的线，用这根线的方向向量就可以啦。比如说我们的得 a 是 不是和他垂，我们的 c b 是 不是和他垂？换句话说，我们的 x 轴啊，这条轴是不是和他垂？ 所以 x 轴上的任意一个向量都可以，比如说一到零到零，它就没有必要再去算了啊。我们主要来算哪个呢？主要来算 好，我们主要来算的是 c 一 a 一 a 这个平面。 好，我们主要来算这个平面啊，其实这个平面你也没有必要算了啊，因为 a 一 a c a 一 a， a 一 c 一， 这个平面其实就是我的对角面，刚刚我们才说对角面的反向怎么求？你取另外一条对角线就可以啦，比如说 b 一 得一，或者是 b 的， 而 b 的 的坐标啊，应该是啊， a 到 a 到零是不是？好，那么现在我的克萨尼塞塔就应该是这个向量的，这个向量夹角的与绝对值啊，要么取正，要么取它本身，要么取它的相反数好，然后我们再来观察啊，我这个 a 一， 那我的这个侧面和这个对角面产生的这个夹角肯定是个锐角，所以我就取正的就可以了啊。所以可在 c 塔应该是数量级 a 除以个怎么长？根号二 a 好， 所以是二分之，根号二，所以这个 c 塔角应该是四分之 pi 好， 那么还要求什么？ b a， e a 的 啊，那么我们的 b b a， e 的 这个面的法向已经写在这里啦，我们再来写 a e a 的 a 一 a 的 二。是这边这个平面啊，它的法向其实是我的 y 轴，所以我假设用 h 来表示它的法向，它就应该是零。逗一逗零，那我需要的就是这两个平面数量极数一个怎么长是零嘛？所以是九十度 余弦值为零，可得 c， 它等于零，那么它就是垂直的。好，然后最后一个要求的是 c e b 的 c， 我们先从图上来找一找 c e b 的 c 是 什么啊？好， c e 是 这个点 b 的 啊，是这两个点 c 好。 所以我们需要的是 c e b 的 这个面和 b 的 c 这个面的法向好。首先， b 的 c 其实就是底面 a b c 的， 所以它的法向我用呃 l 来表示啊，它其实就是 z 轴零到零到一 好，关键是这个 c e b 的 这个平面的法向有点难写，所以我们来算一下啊。因为他不是一个特殊的平面，所以他的法向就只能用我们刚刚的算法来算。那我要求他的法向就需要找两条相交直线的方向向量好，我们采用什么呢？ 那随便写。比如说我写 b， 得写一条，然后呢？写 c， 得写一条，因为得点的坐标肯定是零到零到零好，那么 b b 的 那个向量，你就应该把 b 点的坐标写一写 好，那么 b 点的坐标应该是 a 到 a 到零，那还需要什么？还需要 c e 的 坐标 c， a 的 坐标应该是零到 a 到 a 好， 所以 b 的 的坐标是用得减 b 啊。零到零到零，减就是负 a 到负 a 到零 好的， c 一 就应该是用的减 c 的 坐标二，所以是零负 a 负 a 好， 所以它的法向 m， 它就应该是 x 负 y 负 z 啊，我假设是 x 负 y 负 z 好， 那么它就应该是对应相乘相加，负 a， x 减 a， y 等于零，负 a， y 减 a， z 等于零。所以我可以推出 x 等于负 y， z 也等于负 y， 那 我不妨令 y 为一 或者负一，那么 y 等于负一， x 就 取一， z 就 取一。所以法项就是一逗负，一逗零，所以它的二面角余弦值就应该是取绝对值之后啊，对应相乘相加一除以根号三 啊，所以是三分之根号三，那我要求的正切值又来涉及到一个转化啊，好，那么这个 好，那我要求的是正切值，你就对这个余弦值再进行一个转化就行了。我们借助一个三角形来看直角三角形，那么假设这个角是 c 叉角，那么余弦值就应该是零边一比斜边根号三对边就是二，所以它的 tangent 值应该是对比零，二比一就是二。

看解答题的第十七题，考的是空间立体图形吧，我们在初中的时候啊，是不是喜欢考平面图形， 在平面中考线线平行是吧，线线垂直，求线段的长度，然后考察三角形全等啊，三角形相似等等，这初中选考的内容，那高中时候呢，就喜欢考空间图形， 空间图形主要考察线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直，然后选考二面角等等。那这一题呢，主要是考察是线面平行和二面角。 我们先看第一题，第一小问啊，第一小问，若 a， d 啊，垂直于 p b， 证明 a， d 平行于平面， p b， c， a， d 平行于平面 p b， p d， c， p b， c 这个平面 p b， c， 然后 a， d 啊，是这条线，我们看一下题目吧，我看一下那个开头，那个开头给了哪些条件吧，这个四等锥把 p a， b， c， d， 然后 p a 呢，是垂直于底面 a， b， c， d 的 p a 啊，垂直于底面 a， b， c， d， 那 么 p a 就 垂直底面上的任意一条直线吧。 然后 p a 等于 ac 等于二， p a， p a 等于 ac 等于二，等于 ac 等于二 pb 啊， bc 等于一， ab 等根号三， bc 等于一， ab 啊，等于根号三。根据这个条件啊，根据这个条件，我们能够求出啥？这不角 b 等于九十度啊， 根据这个条件和这个条件， a， c 等于二，我们能够得出角 b 等于九十度，角 b 等于九十度。根据勾股定律，角 b 等于九十度，是吧？然后我们再来看，若 a， d 啊， a， d 垂直于 pb， a， d 垂直于 pb， a， d 垂直于 p p b， 这这这个这长的 p b 证明 a， d 平行于平面 p b， c 这题啊，是不是很明显用到线面平行的判定力里啊， 就是这平面外的一条直线啊，与平面内的一条直线平行吧，那么这条平面外的这个直线是不是平行于这个平面？所以我们就要找和 a、 d 平行的一条在这个平面 p b， c 上的一条直线吧。 哇，你看这个图啊，是不是很明显啊，这个 bc 有 可能是平行的呀， bc 是 有可能平行于 ad 的 吧，那我们这时候你就要详细的看一下 bc 是 不是平行于 ad。 好 吧，我们根据已知条件，已知条件如果，那我们已知条件，我们知道了，角 b 等于九十度吧，如果，如果角这个角，这个 d， a， c， d， a， b 也等于九十度的话， 那么 ad 就 平行于 bc 了吧，所以我们主要是证明下这个角 d， a， b 等于九十度，也就是啊， d a 要垂直于 ab 吧，要证明这个这个吧， 我们如何这样？我们看这四等锥啊，这四等锥 pa 啊，是垂直于里面 a， b， c， d 的 pa 是 垂直于 a， b， c， d 的，是吧，那么 pa 是 不是垂直于 d a， 那 p a 因为啊，第一题啊，因为啊，因为 p a 垂直于底底面 a， b， c， d， 那 所以啊， p a 就 垂直于 p a 就 垂直于啊，还有个条件啊，然后 a， b 是 不是含有这个皮底面？ 韩语这个底面 a， b， c， d， 那 么 p a 就 垂直于， 不是 ad 啊？ ad ad 韩语这个底面，那么 p a 就 垂直于 ad 吧， p a 垂直于 ad， 你 再来看他题目又说了， ad 是 不是垂直于啊，又，因为啊， ad 垂直于 pb 吧， ad 垂直于 pb 这条斜的线，那所以啊， ad 就 垂直于平面， 啥 ad 啊，就垂垂直于平面 p a b 哇，用英文啊，英文 a b 是 不是韩语？平面 p a b 那 所以啊， a d 就 垂直于 a b 吧。 好吧， a d 垂直 ab 哎，这个条件怎么是算求出来了啊？那又因为又因为啊，角 abc 等于九十度啊，是根据勾股定来的吧？这是根据勾股定律算出来的吧。 那所以啊，就所以啊，就 a d 就 平行于 bc， 对 吧？平行于 bc， 那 又因为又因为啊，又因为 bc 是 不含于平面 pbc 是 吧？ a d 啊，不含于平面 pbc， 那 所以啊， a d 就 平行于平面 p b c ok， 你 就这第一小问。第一小问，先求两个线平行，然后根据判定定理求出线面平行。好，这是第一小问。第二小问， 若 a d 垂直 dc 把这个去掉，这不是垂直了？第二个 a d 啊，垂直 a d 这个吧， a d 啊，垂直 dc a d 垂直 dc。 好， 那就这个角是九十度吧， 这个角等于九十度。角 a d， c 等于九十度，且二面角 a c， p d 的 正弦值为七分之，根号四十。这个角 a a c p a c， p d 啊，这个按面角的正弦值为七分之，根号四十二。 这种怎么求呀？这不第一反应啊。第一反应是啥？这不建立空间直角坐标系啊。空间直角坐标系 为什么要建直角坐标系呢？因为这种方法可以避免，避免啊，直接去求二面角，如果你直接去求这二面角，是不是一下子很难看出来啊？一下子很难看出来。你不知道哪个角？不知道哪个角是二面角吧？你，你是不是还要去找这二面角是比较麻烦的，所以我们第一反应是用空间直角坐标系， 用向量的方法是比较简易，而且这一题啊，是不是也非常好，非常容易去做这个空间直角坐标系啊，因为很多垂直就已经告诉你了吧， 那我们这一题啊，我们就先采用第一种方法建立空间直角坐标系，好，它告诉你 a， d 垂直于 d， c， a， d 垂直于 d， c， 那我们，那我们就，我们就可以以这个为 x 轴吧，我们以啊以 d， c， 以 d， c 为 x 轴，以啊 a， d 为 y 轴， 好吧， a， d 为 y 轴，然后过 d 点，过 d 点去做平行于 p a 的 线。直线 啊，这个 v z 轴 v， z 轴，然后就过 d 点做 平行于 p， a 的 直线， 为 c 轴， c 轴为什么要做平行于 p a 的 直线啊？因为 p， a 是 不是垂直于底面 a， b， c， d， 那 么这时候 z 轴啊，就垂直于底面 a， b， c， d 吧，那这个，那这三个轴呢？就是我们想要的轴， 我们设，我们求的是 a， d 吧，我们设 a， d， a， d 等于 a， 长度等于 a， 这时候我们是不是要求各点的坐标呀？二面角 a， c， p， d， 那 我们看 a， 求 a， c， p 和 d 的 坐标吧，你看 a 点坐标等于什么？ a 点坐标是不是等于零？ a， 零，然后 c 点坐标， 四点坐标，我们不知道哎，但是我们知道这个三角形啊，这是 d 点，这是 a 点，这是 c 点，我们设的是哪个？ a， d， 这是九十度啊，这 a， d 是 等，这不等于 a， a， c 等于多少？ ac 是 不等于 ac 等于 ac 的 平方，是不等于 ab 的 平方，加上，哎， ac 告诉你了， ac 告诉你了， ac 告诉你了， ac 等于二， a， c 的 长度等于二，那么 d， c 的 长度就是四减 a 的 平方吧。好，那么 c 点坐标就是根号下四减 a 的 平方 啊， c 点，然后零零，那 p 点坐标是啥？ p 点坐标是这个点就是在 x 的 轴上是零吧，那 y 轴上是不是就等于 a， z 轴上等于二吧，因为 p a 的 长度等于二， 然后 d 点坐标就是圆点，就零零零。好，我们求出所有点的坐标了，那么这时候我们先看，先看平面啊，先看平面 a， c， p， 先看平面 a， c， p， 我 们是求出两个，两个求出两个，那个向量呀， 求出两个向量吧，我们先看 a， c 啊， a， c 向量等于多少？先看 a， c 等于根号下 四减 a 的 平方负 a 吧。零，哇，这 a， c 的 坐标，再求一个 ap 吧， ap 等于 零，零二吧，零零二，好，我们设设 m i n 吧， i n 等于 x y 一 z 一 为平面 a， c p 法向量，那我们能够求出啥？求出 n 等于啥？ 具体过程草纸啊，那 z 肯定是等于零， z 肯定是等于零八， z 肯定是等于零，那我们求出啊，我们假设我们令 x 等于一，那 y 就 等于是不是 a 分 之根号下四减一的平方，这是 n 的 坐标，我们再看平面 里面啥？ c， p， d 吧，看里面 c， p， d， 我 们求坐标，我们选两个吧，选 d p， 先选一个 d p， d p 等于什么？零 a 二呀，再选一个 c p 吧， c p 等于 负的根号下四减 a 的 平方 a 吧，有个二，好吧，同样，我们设 m 等于 x 一 y 哦， x 二 y 二 z 二为平面 c p， d 的 反向量， 这时候我们求出 m 等于多少其中一个向量 m 零二 零二非。好吧，这是，这是 m 的 向量，我们只是求出其中一个向量，那么这时候它告诉你了这个二面角正弦值，正弦值为七分之，刚好四十四十二，那么它余弦值多少？假如这两个向量之间假说这两个向量之间假角是 r 法， 我假设这个二面角是 r 法，这个二面角是 r 法，那么 cos 还 r 法， cos 还 r 法等于啥？是不等于这两个向量？ m 乘 n 比上 n 向量的长度乘以 m 向量的长度呀，对吧？ 他是是吧？要准确说，我还是要打个绝对值吧。加个绝对值符号就等于把它带进来，那就是等于啊， 乘以乘以就是零零，然后就是，是不是两倍的根号加四减一的平方比上 a 就 比上这绝对值啊，这现在也不用绝对值了，因为 a 是 也是正值，然后乘以根号加 一，加上 a 的 平方分之四减 a 的 平方是不是乘以根号加 二的平方？加 a 的 平方。哇，就等于化减，上面先不动吧。四减 a 的 平方比上 a 啊，不加上这根号多少啊？一加上 a 的 平方分之四，就 a 的 平方分之四吧，因为一已经约掉了，是不？乘以四加 a 的 平方， 这等于多少？这 a 是 不是跟这约掉了？这四跟这约掉了吧，就等于根号一下四减 a 的 平方比上根号一下，四加 a 的 平方等于等于多少？正弦值有了吧。那 cosine r 等于多少？ 等于七分之根号七吧。哇，这没问题啊，这一减去四十九分之四十二，就四九分之七开，根号就根号七分之一，那就是七分之根号七，哇，等于七分之根号七， 两边同平方可以吧。就四减 a 的 平方比上四加 a 的 平方等于七分之一，那就四减 a 的 平方啊，七倍的四减 a 的 平方，就等于四加 a 的 平方，就二十八减七， a 的 平方，等于四加 a 的 平方， 是吧？八一的平方，那 a 等于多少？ a 等于根号三吧。好，这种向量方法是不是很快就能够算出结果了？ 这做这题目的时候，大家一定要细心，因为这个坐标他很容易就给他列错了，这坐标很容易就给他列错了。然后求向量时候呢，也特别容易错， 求发向量的时候一定要细心啊，发向量的时候一定要细心。好，那这就是向量版向量的方法，比较容易想到， 比较容易想到。好，那下面呢，我们看第二种方法吧，我们求一下二面角，把这都擦掉，把这第二根擦掉吧。 第二种方法呀，我们可以直接把这个二面角求出来吧，可以直接求出这个二面角，但是可能要花点时间看，我们是 这个二面角 a， c， p d 的 这个二面角吧， a， c， p， d， a， p c 和 d 二面角。哎，我们的常规思路啊，我们是不是想过这个 a 点，过 a 点，我们尝试一下，我们可以尝试一下过 a 点啊，去做这个 p c 的 垂线，假如为 e 点吧，然后我们连接 d e， 如果 d e 啊，如果 d e 啊， d e 也垂直于 p c 的 话，那么这个角 d， e， a 就是 我们，就是我们啊所要求的二面角吧，是吧？ 但是我们啊，观察了很久，发现啊，这第一没有办法证明。这个第一啊，垂直于 pc， 这没有办法证明的，就这种方法，它不可取，不行，不可取，那不能这样做，换一种，换一种， 还有种思路啊，还有思路啊，因为我们是 a c b d 嘛。那有同学啊，会会啊，从 d 点啊，去做一条直线会先啊，先从 d 点做一条直线，或做个线段垂直于 pc 还是为 e 点啊，然后它连接 a e， 然后证明啊，证明 a e， 然后垂直 pc， 然后这时候呢，角 d e a d e a 就是 我们要的二面角，是吧？那这时候你发现啊，这 a e 垂直于 pc， 是 不还是没办法证明它怎么怎么垂直 pc 啊？ a e， 你 没有办法证明 a e 是 垂直于 pc 的， 这种方法其实也是不可取的哇，你看了很久也看不出来这两个垂直，再换，再来尝试，再来尝试。其实啊，学数学啊， 它不是你突然就得，你要经过很多次尝试， 不是有些题吗？不是你一眼就能看出来的，你一定要是经过很多次尝试，反复试错，你才能够找到正确的办法。 其实学数学啊，就是将你能够想到的所有方法都使用一遍，总有一种方法能够解决你的问题，因为大家要清楚啊，我们他这考试范围一定是不会超出你所学的知识， 所以大家在平时一定要去多尝试，多尝试，用各种不同的方法去求解。这样这样的时候呢，到考试的时候，你就能够很快就能够判断出这一题要用什么办法，要做到做到这种程度了 哇，能做到这种程度，会为你啊节省很多时间，会提高你做题的效率和速度，你们看还能怎么做啊，还能怎么做？ 哎，聪明的同学，你想到了，其实我可以做啊，从 d 点，从 d 点垂直于 a e 的 一个线段，假设为一点啊，假设为一点啊，我们，然后呢，再过一点啊，去做垂直于 p c 这个线段，假设我们交 f 点啊，这时候啊， e f 是 垂直于 pc 吧，所以我们是不是只需要这样 d f 也垂直于 pc 就 可以了？我们连接一下 d f， 我 就说我不一定要从 a 点做垂直于 pc 吧，我可以从这个其他点吧，是从一点吧，一点也可以吧，就是说我们可以从啊 p a c 啊，不 p p a c c 啊看一下啊， a c p 啊，对啊，对对，就 a c p， 就 说在 a c p 啊这个平面上， a c p 这个平面上， 我们做二面角，我们不一定要找这个端点吧，不一定要找这个端点垂直于 pc 吧，我们可以从可以找这个三角形中的任意一个点吧，比如说我们这个时候就找，找到了这个 e 点，是吧？ e 点，我们假设我们做这个 e 点，然后垂直于 pc， 这种也是可以的吧， 那么我们知道啊， e f 是 垂直于 pc 的， 因为是我们自己做的吗？做的是垂垂线，那这时候我们只需要证，证什么证？ d f 垂直于 pc， 我 们只需要证明这个，那么我们就能够得出啊，角 d f e 就是 我们所要的二面角吧。哇，我们现在主要看怎么证 d f 垂直于 pc 来看这个思路啊，我们啊，如果啊，如果，如果 pc 垂直于平面， d e f， 那 么 p c 是 不是就垂直于 d f 呀？ 那 pc 垂直于平面 def 吗？ pc 是 垂直的吧，因为啊， pc 首先啊，它是不是垂直于 e f 呀？是吧， pc 垂直 e f， 然后呢？ 然后什么 看啊？然后啊，看这个 d e， d e 是不是垂直于 a c 啊？然后 d e 是 不是也垂直于 pa 啊？ pa 是 不能够推出 d， e， d e 垂直于平面 p a， c 是 吧，那么是不是就能够推出来 d， e 是 垂直于 pc 的？ 把这个填充放这来 放这俩是不是就能够得出？跟着这两个垂直是不是就能够得出 pc 啊？垂直于这个平面 d， e， f 是 吧，那么就能够得出 pc 垂直于 d f， 所以 啊，那么就正出来了呀。那这个角，这角 d e f 角 d， e， f 就是 我们要求的二面角吧。角 d， e， f 这个角就是二面角，那这是，这个是这个三角形啊，这个三角形我先画一下， 这是 d 吧，这 e 吧，这因为 d， e 啊，它垂直于平面 p a， c 的， 所以这个角才是九十度， d， e 是 九十度，这是 f。 好 吧，我们要求的是什么？哦，这，这个，这个是 m 面角吧， 我们要求的是 a， d 的 长度， a， d 的 长度，我们再画一下 a， d 的 长度， 假这个三角形啊，这是 a 点，这是 d 点，这 c 点，我们要求是 a， d 的 长度。我们假设 a d 为 x， 可以 吧？ ac 的 长度已经告诉你了吧，等于二，那 dc 的 长度是不是等于四减 x 的 平方？ 哎，我们知道这点值，这三引，三引，这个假设这个角，假设这个，我们另外 r 法吧，这样写起来比较方便一点。加，这是三 r 法是不告诉你了，等于七分之根号四十二，那我们是不是能得出 cosine r 法等于七分之根号七呀？ 那么这样 tan 比上 cosine 根号四十二，比上根号根号七吧， 等于多少？根号六嘛。这弹性耳法就等于根号六。弹性耳法等于多少呀？ 弹性耳法等于多少？弹性耳法，这个角啊，是不等于 d e 比上 e f？ 那 我们现在要求的就是 d e 和 e f 的 长度吧， d e 和 e f 的 长度 啊，这一点，是不是在这个地方，一点是垂直他的吧，这个这一点一点是吧？长度是二，是他的吧？第一， 好吧，那根据这已知条件，我们能不能求啊？ d e 等于什么？这角是不是等于九十度啊？ a d 垂直 dc 吧， a d 垂直 dc 他 不告诉你了， a d 垂直 dc， 那 么根据三角形的面积公式，那么二分之一 x 乘以根号下四减 x 平方，是不等于二分之一 a c 啊，乘以 d e 是 吧？ 等于二分之 a c 等于二吧，乘以 d e， 那 d e 就 不出来了。 d e 是 不是等于二分之 x 乘以根号下四减 x 的 平方 哇，这 d e， 那 么接下来就是求的是 e f 吧， e f e f 的 长， e f 这个地方在图上可以这这个地方 e f 的 长，也就是对应在这个地方 e f 等于什么？ e f ef， 我 们再看一下这个这个大的图啊，我们求 ef， 我 们是不是可以先求出 cf 啊，或者是 ec 啊？ 是吧？那 cf 可能是求不出来，是不是可以先求出 ec 啊？是不是先求 ec， 我们再看这这大图像，这 p a 等于几啊？等于二吧， ac 也等于二，那所以这个角是不等于这个角等于四十五度呀？哇，那么角，角什么角？ e c f 等于四十五度吧？角 e c f 等于四十五度， e f 又是垂直于 ef， 又是垂直于 pc 的， 那么角是吧？角 f ec 也是四十五度吧。那么 ef 是 不是就等于 fc？ ef 就 等于 fc， ef 是 不是就等于 fc 啊？ 是吧？ ef 等于 fc 是 不等于根号二倍的 fc 啊， 这能理解吧？因为弹性四十五度啊，是不等于弹性四十五？不啊，弹啊，不，不是弹性四十五度啊，因为三啊，四十五度啊，是不等于 ef 比上 fc 等于二分之根号二吧。那这样我们就能够求出 e c 等于根号二倍的 fc e c 等于根号二倍的 f c。 那 这时候我们是不是求 e c 就 好了呀？ e c 如果出来的话，那 f f c 就 出来了， f c 出来了， e f 就 出来了，是吧？那么 e c 等于啥？ e c 等于啥？ e c 是 不是等于这一段 e c 等于啥？ 我们 d e 是 不出来了， d e 出来了吧？你看哦，你看哦， e c 哦， e c 的 平方是不等于 d c 的 平方减去 d e 的 平方 啊，那就等于啊， d c 的 平方是不是四减 x 的 平方？四减 x 的 平方吗？这不减去啊， d e 的 平方是二分之 x 乘以根号下四减 x 的 平方，括号的平方，是吧？哎，那这 e c 不 就是开根号吗？ e c 就是 根号下这个是吧？ 那，那我们这个时候贪定而发，等于 d e 比上 e f d e 啊，就等于啊 d e。 我 们刚才求这个式子， x 乘以四减 x 的 平方比上二，然后比上 e f e f 等于 e f 等于 f c 是 吧？ 那根号二倍的 f c 呢？又等于 e c 那 所以 f c 啊。哦哦，我们是 f c 哦， e f e f e f 等于 f c， 那 f c 就 等于 e c 除以根号二吧。那就 e f 就 等于 e c 除以根号二吧。 e c 等于这个，这个十字就是根号下 四减 x 的 平方，减去二分之 x 乘以根号下四减 x 的 平方，括号的平方是除以根号二呀。哇，这次式子化简啊，这下面这个式子，下面这个式子可以化简为化简为这个式子。 嗯，四减 x 平方比上两倍根号二，下面就画一个这个式子，然后就等于啊，就 x 根号下四减 x 平方比上二，然后比上四减 x 平方两倍根号二 就等于等于多少？等于根号六吧，根号六，那这样能够算出来 x 等于 根号三，好吧， x 等于根号三，这个就是啊，先求出二面角， 先找出二面角，然后再根据直角三角形啊，正弦定，等于先定理，然后进行求解进行算。 这种方法要比嗯向量法要复杂一点。如考试的时候啊，优先建议采用向量法，因为他比较快，考试时间有限嘛，找二面角可能还得找一段时间，所以就是考试时候优先建议使用向量法。 嗯，然后但平时的时候呢，就建议大家把所有的方法都试一下。那如果考试时候碰到那种题目啊，他不能用，他不能用啊，向量是吧？没办法直接去做直角坐标系的话，那你可能就要找出二面角了。 那么这就是以上部分，就是第十七题的所有内容。

哈喽，大家好，我是汉辰大招张老师。今天我们通过这道题来学习一下线和线之间夹角的问题。在这个正方题里面，他说 e、 f 分 别是 a、 d 和 ab 的 一个中点，也就这就是我们的 e、 f 这个虚线位置，对不对？这是 e、 f 的 位置， 然后他让我们找 e、 f 和谁之间的夹角和 b、 e、 c 啊，这个斜线 b、 e、 c 之间的夹角，那如果遇到线线之间夹角问题，我们必须让线和线连接上才有夹角啊。所以在这个问题里面，你又不能随便进行移动，要怎么进行平移啊？平行移动啊？平移 e、 f， 它首先第一个位置可以移到的是 b、 d 这个位置对不对？因为 e、 f 是 b、 d 的 一个中位线，因为它是这一一半的一半，对不对？所以它是 e、 f 时的中位线， 然后移到这以后，我们显然还是没有夹角，那我们再进行移动，可以给他往上进行平移，移到 d 一 和 b 一 的这个位置，此时是不是产生夹角了啊？那此时这个角就是我们的一个夹角关系，那这个位置我们连成两条线，还看不出来角，那我们再给它连接，把 d 一， 然后连接到 c 的 位置，连成一个什么三角形，那我们来观察这个三角形，那这个是我们要求的角度啊。这个三角形里面，你来看这个 bc， 然后是不是我们侧面的一个对角线， 然后 d 一、 b 一 是不是我们顶面的一个对角线？然后 d 一、 c 是 不是我们后面的这个面的对角线，也就是他是三个面的对角线，说明他们三条边相等，所以他们这个夹角应该为六十度，所以我们选的是 c 选项啊。