t8联考数学16题书写步骤

大家好，今天呢，我们继续来讲 t 八联考的大题啊，刚刚考完的，然后第一道大题的话就是解三角形了，这道题很简单啊，咱们来说一说，它只有一个已知条件嘛。那首先根据二倍角公式，它是等于二分之一，一加上口算 a 的， 然后等号右边的话，它是等于二分之一，咱们单独拎出来嘛， c 分 之 b， 再加上 c 分 之 c， 这个 c 分 之 b， c 分 之 b， c 分 之 c， 不 就是一嘛，所以咱们对比一下左右两边，哎，等量代换嘛，那所以最终就得出来 q 三 a 是 等于 c 分 之 b 的， 但是接下来咱们要根据什么了？正弦定理了吗？正弦定理的其次，转化分子分母都是边长的一次方，所以根据正弦定理的话，你这个地方写一下正弦定理这几个字就行了。然后呢，就可以得出来，三 n b 是 等于再比上这个三 n c， 那 最终就转换成了三 n c， 乘法关系吗？等于口三 a， 再乘三 n c。 另外你得写一下原因啊，毕竟是大题，那么左边怎么办？因为 b、 a、 c 加起来是等于多少度的？等于一百八十度的，所以说这个三按 b 其实就是等于三按 a 加 c 的， 因为两个角互补的话，它的正弦值一样，这是右导公是吗？即变五变符号看象限， 那也就是说这个方程就变成了多少。三 a 加 c， 然后等于口三 a， 三三 c， 左边的话你写呗，三 a 再乘 口三 c， 口三 a 再乘三 c， 因为等号右边也是口三 a 乘三 c， 我 就跳步了，就这两部分就直接消掉，变成零了。也就说我们最终会得到这样一个方程，它等于零。 它等于零的话，你要说一下，因为角 a 的 取值范围，它不可能取到零度或者一百八十度的，所以三 a， 毕竟它永远是个正数，是大于零 的，所以只有可能是口算 c 这一部分等于零了。口算多少度等于零啊？那只有可能是九十度嘛？所以第一问就是九十度，这个非常简单。 那第二问的话，哎，你要注意，角 c 等于九十度能在什么里头？能在括号里头直接用吗？当然可以直接使用了。来，我们直接画图， 那么因为涉及到正切，所以我过这个三等分点点 d 啊，然后呢？直接做这个垂直 d， h 垂直于多少呢？垂直于 a、 c 约 h 点，那么既然它也是垂直的， bc 也是垂直于，垂直于同一条直线 a、 c， 所以 两条线，也就是 d、 h 是平行于 b、 c 的， 根据平行线分线的乘比例，是吧？啊，那此时我们可以得出什么结论来？你 d 点是三等分点，那此时这个 h 点也是三等分点啊。 a、 h 是 等于二分之一的 c、 h 的， 那我们不妨直接假设 a、 h 的 长度，它就是 x 呗， c、 h 的 长度，那就是二 x 呗。那摊着呢？ a 是 谁？哎，摊着呢？ a、 c、 d 是 谁一目了然。摊着呢？ a， 你 看上方这个直角三角形嘛，它是等于多少？ 它是等于 h、 d 再比上一个 x 的。 那另外再来看另外一部分， 这个 c、 h 在 c、 h、 d 这样一个直角三角形中，你说这个角 e 的 正确值就是它的 a、 c、 d 是 多少？那不就是 hd， 再比上二 x 吗？那一比最后得的是二啊。所以第二本其实更简单，画一个图就行了，但是建立在第一问结论的基础上啊。 那么接下来就是十六题了。十六题的话，是一个随机移动跟概率的问题，他的话怎么说呢？第一问他只有左右运动啊，你可以自己读一下题， 然后呢，每次向左移动或者向移动一个单位，从原点，从原点出发，然后问移动两次之后的位置。 那现在第一问的话，还是非常简单的，只要读懂题就行了。 x 可以 等于负二，为啥？向左移动两次吗？第一次向左，第二次再向左，所以最终的位置是零减二， 那么如果向右再向左或者向左再向右，那最终都回到原来的位置还是零。那如果两次都向右呢？那就不是零加一，再加一等于二吗？所以就这三种情况，那么接下来我们求它的分布列 x 等于几？先求负二吧。负二的话好说，每次向右移动的概率是屁，每次向左移动的概率不就是一减屁吗？两次向左，对啊， x 等于负二啊，等于负二， x 等于负二的概率的话，那就是，呃，一减屁，再乘一减屁，对， x 等于正二呢，哎，向右 p 再乘 p， p 的 平方。那如果是什么情况 x 等于零呢？先向右 再向左，或者先向左再向右分布乘法计数原理嘛，然后把两种情况分类相加起来，分类加法，计数原理都用了一下，那么最终计算出来就是二 p 一 减 p 这样一个值了。 那这道题的话，当然你不写分不列也行啊。咱们直接来求数学期望。求数学期望的话，那就很简单了，哎，多少数学期望哎，负二这个值再乘它对应的概率， 正二这个值乘它对应的概率，这就数学期望成就这样一个规定的算法吗？还有谁啊？还有 x 等于零，零的话，其实最终就不用写了啊。 对，零就是零吧，最后算出来啊。那么最终我们经过计算之后得什么呀？二屁的平方减去二的，屁的二的一减屁的平方平方差公式吗？ 对吧？两者相减两，两者相加，这个还是容易的。两者相加的话，应该是屁加一减屁，两者相减的话，应该是屁减一，再加屁。 呃，那最终的话，这是个一二乘，它四 p 减二吧。对，反正最后算出来是等于四 p 减二的， 你草纸上算出来写就行了。他说最终的数学期望四 p 减二得大于零，求对应的 p 的 范围。那不就是 p 大 于二分之一吗？但是 概率是天然有一个限制的，人家一开始说了只能在零到一之间，是吧？所以最终你写答话的时候，你应该写的是大于二分之一且小于一，这个才是最终的结果，行了吧，不要光写那个大于二分之一啊。 好，这是第一问，那么接下来咱就要做第二问了，第二问肯定更难一些。为什么？因为第二问呢？他除了左右运动，还有上下运动。一个置点在平面直角坐标系中，他从某点 a 出发，每次等可能的，有可能哦，是向上的， 也有可能是向下的。等可能的话，我们用什么？用样本空间的方法吧啊？因为每次都是等可能的，比如说咱们列这样一个矢图， 第一次写个一，第一次上下左右啊，都是四分之一的概率，第二次上下左右都是四分之一的概率。第四次上下左右移动也是四分之一的概率，都是四分之一的概率。 然后他怎么说呢？每次等可能的向上或者向下，或者向左或者向右移动一个单位，求该 a 置点，经过四次移动之后，回到点 a 的 概率。天呐，这个题啊，咱们用样本就总估计这样一个概率的方法，咱们看样本空间， 样本空间总的样本点的个数， 这个怎么算呢？第一次，四种可能，第二次，四种可能，四种可能，四种可能。几步？四步，四步是分布乘法极数原理，所以它是多少呢？所以它这个总数小 n 等于四的次方， 这个你要知道怎么算出来的。二百五十六个样本点啊，这是总数。那么每一个样本点它的概率都相等吗？你得写一句话，对，都是二百五十六分之一，每个这二百五十六个啊，每个样本点它出现的 概率怎么样？因为概率相等，我们才想到了这种方法，等可能啊。那么接下来就是看目标事件的样本点的个数了，对吧？好，现在目标事件是谁？目标事件是 四次移动之后，我简写了，四次移动之后呢？最终回归点 a， 好， 它这个事件呢，我们记为 大 m， 懂了吧？即为大 m， 用大买 m 来表示，然后大 m 的 话，咱们需要满足条件，什么条件？ 上下就怎么说呢？向上向下移动的次数必须怎么样？ 必须是相同的，肯定的向上移动两次，必须再向下移动两次，然后呢？或者也有可能左右嘛，向左移动两次，或者向右移动两次，或者是向左一次，向右也肯定只有一次，这样的话才抵消了，才回到了原来的初始位置。然后左和右 移动的次数呢？也相同，咱们就是根据这个限制条件来算事件 m 所对应的样本点的这样一个数字的样本点的个数。事件 m， 它的样本点咱们就不要用 n 了嘛， 样本点点数的话记成什么？用小 m 吧。那么这个小 m 的 话，首先有一个 a 四四。有同学就要说了，老师，我根本看不懂这个 a 四四什么意思，其实非常简单，就是你上下左右这四次都有了，一次上一次下，一次左，一次右。 至于是哪次上，哪次下，哪次左，哪次右，无所谓啊。比如说我们先来看上，如果向上，你可能第一次向上，可能第二次，可能第三次，可能第四次，所以是四， 那然后上已经占了一个空格了。接下来看下下的话，剩下的三个空格吧，那就是三种可能。然后左，哎，因为上和下已经占了两个位置了，剩下只剩下两个位置 来左，那最后呢？右只剩下最后一个位置，四三二一，所以是四的阶乘，咱们写成 a 四四啊，是四的这样一个全 排列，对吧？全排列。那么另外两种情况是上下左右都有，我又写了一个 c 四二，有同学说，老师我根本看不懂，要只有啊，只有上和下， 那么只有上和下的话，上是两次吧，下也是两次吧。所以我们先讨论上嘛。哦，哪次向上了，比如说第一次和第三次向上了，四个里头选两个，懂了吧？那剩下两个位置只能必须向下了，那就是 c 二， c 二等于一，所以我就不写了。啊。 对，那够了吗？不够啊，再来个四 a 四二。有同学说不会了，这个就是，呃，要有了上下啊，那就是还有个左右，嗯，还有个左右，有上下，还有左右吗？向左两个，向右两个， 四个空格里头找两个位置，然后咱们把左填进去，然后最后两个位置只能是一样的，对吧？那最后咱们算出来是多少个呢？ 啊？最后算，这应该是三十六，所以最终你说 m 等于多少？他这所对应的概率等于所对应就目标事件的样本点的总数和总的空间中的，就是样本空间中总的样本点数二百五十六，那最终算出来是多少？等于六十四分之九，一定要注意等，可能这三个字 好了，最终结果你写答话吧。所以这道题的概率是多少？六十四分之九。 那么来看十七题，十七题的话，第一问啊，咱们来看，首先是斜三楞柱，其次呢，给了个这么个玩意，就他说啊，这个角谁就这个角 a e， a b 是 等于 a 一 a c 的 啊，这样一个，然后又告诉你 ab 等于 ac， 然后 bc 等于九十，也就是说上下底面都是等腰直角三角形啊，都是等腰直角三角形，注意是直角啊，角 a 或者角 a 是 直角的上下底面， 然后他说 o 点呢？是 bc 的 中点，那肯定能想到等腰三角形三线合一吧，在等腰三角形的三角合一，那另外还有个什么呢？他现在让你证明的是这个东西。来吧，我觉得很好说，首先第一条，我们连接一下 a e b 没问题吧？第二条怎么的呢？我们连接一下 a、 e、 c， 看在这两个一个是红色的空间中的三角形啊，这两个三角形什么关系吧？你只要知道了这两个三角形的关系，那这个第一问直接用乘几何的方法呢，就已经解决了。第一问怎么来？因为 a、 e、 a 等于 a e a 公共边啊，又因为 ab 等于 a、 c 两组边相等，中间夹角呢？中间夹角 a e、 a b 和 a e、 a、 c 相等啊，所以边角边不就得出来了？三角形 a、 e、 a、 b， 它是全等于三角形 a、 e、 a、 c 的 吗？对呀，边角边，这是初中的知识，那这个全等有什么作用呢？事实上，我想说的是，图中的谁是等于谁的呀？ 哦，原来图中它这个 a、 e、 b 是 等于 a、 e、 c 的 呀，也就是说等腰三角形，又因为看好了啊， o 点为 bc 中点。 我们首先有第一个垂直了，三线合一吧，在 a 一 c、 b 中，就我画的这样一个等腰三角形中，所以此时这个 o、 a 一 是垂直于 b、 c 的。 同样的道理，谁啊？在 a、 b、 c 这个里头也是三线合一，等腰三角形，三线合一，你这个 o、 a 也是垂直于 bc 的。 原来是这么回事，那得完这个垂直之后的话，剩下好说了吧。哦，一条直线 b、 c 垂直于平面里头两条相交直线，但是你得写出这个原音来， o a e、 o a 是 哪个平面里头的？是平面 a e a o 里头的，并且这两条是怎么关系啊？相交直线相交于点 o 嘛。那么现在你可以说了呀，根据画圈这些五推一吧 啊， bc 垂直于平面里头两条相交直线，所以 bc 垂直于整个平面，也就是说 bc 垂直于哪个平面？垂直于平面 a e a o， 那 既然垂直于平面的话，又因为 bc 在 哪个面里头？在平面 b c c e b 里头，所以你看一个平面内的直线垂直于另外一个平面，所以面面垂直不就得出来了吗？也就是说最终可以得出来 b c c e b e 是 垂直于平面 a e a o 的。 好了，第一问呢，用纯几何的方法来做就非常简单。第二问的话要间隙啊， 就是为什么第二问间隙呢？咱们先读一下题，看看为什么要间隙，原因嘛，非常直接，是因为它给了一个垂直，此时的 a e o 是 垂直于整个底面的，所以咱们呢，很容易结合括号一的这些结论，可以推出来 o a o b， 它本来三角合一就垂直，还有谁现在再加上一个 o a， 一 两两之间互相垂直吧，你只要得出这一条来，所以接下来我们就要间隙了。 你要间隙的话，肯定是以 o 点为坐标原点，比如说 o a 为 x 轴， o b 这个方向为 y 轴， o a 一 为 z 轴，这样建立空间直角坐标系就行了。第二问，肯定是间隙广宽啊，那好，那就间隙吧，间隙我已经完成了， 那么间隙完成之后，接下来是干嘛呢？肯定是要写每个坐标点，他这个题没有给数据啊，我们只能根据，比如说这有中点啊，然后呢，再结合这个六十度啊，再结合这个等腰直角三角形啊，咱们来写具体的数据。那我呢，直接就假设，什么 直接假设这个 a c， 还有包括这个 ab 等于四吧，那 a o 是 等于多少的呢？来看一下。 呃， a c a b 直角边是四，那这个斜边就是四倍根号二，斜边中线就等于二倍根号二。对，所以 a o 呢，是等于二倍根号二的。这个都好得啊，都是根据平面几何，这是得出来的，然后 o a 一， 它就等于根号三倍到 a， 这个根号三是怎么得的？是根据这个六十度得出来的，因为他说什么？他说直线 a、 a 一 跟底面所成的角，你看 咱们做出来了吧，没问题啊，所以他这个角，这个角是六十度啊，而且他还是个直角三角形。既然你求出这些来了，呃，所以说根据一比二比根号三，咱可以求出来他的长度是二倍根号六。嗯，那么写吧， a 点坐标二倍根号二， 然后呢？ b 点坐标零，二倍根号二，零，然后 c 点坐标零，负二倍根号二，零，然后呢？还有这个 a 一 点坐标零零，二倍根号六， 还有谁呢？还有咱们根据 a a 一 等于 c c 一， 因为你还得求这个 c 一 点的坐标吗？它的话就得出来这个 c 一 点的坐标是负二倍根号二， 负二倍根号二，二倍根号六。 c 一 都写出来了， b 肯定也更好写了，沿着 y 的 方向，咱们加四倍的根号二嘛，所以这个 b 一 点的坐标就是负二倍根号二，正二倍根号二，二倍根号六。没问题，该写的点都写出来了， 那么此时咱们咱们根据中点点 b 一 和点 b 是 不是都有了呀？那根据中点公式的话，点 d 也可以写出来负的根号二，反正这些该写的都能写出来啊，都没什么问题的。那既然该写的都写出来了，没问题啊， 咱们就可以干嘛了？咱们可以写 a、 d， a、 d 的 话是负三倍根号二，然后二倍根号二，然后根号六， 然后这个 a、 c 一 的话是负四倍根号二，负二倍根号二，二倍根号六，那么剩下就是法向量了吧，谁的法向量啊？咱们假设 x、 y、 z 就是 个 n 向量啊，为 平面 a、 c、 e、 d 的 发线量，那么根据发线量的通常的求法标准的求法，那就是 n， 然后 a、 d， n， a、 c 一 等于零，是吧？那最后写出来就是负三倍根号二 x 二倍根号二 y， 然后再加上根号六 z， 他的话是负四倍根号二 x 减去二分之根号二 y， 再加上二倍根号六 z 等等吧。 啊，那最终呢，不妨令 y 等于多少？不妨令 y 等于根号三代入，那最终就求出来了， n 是 等于多少的？就这个发现呢，是三倍根号三，然后呢根号三七。 那求完这个法向量之后，还有另外一个法向量，谁的法向量啊？还有 a、 b， c， a， b， c 的 法向量需要你求吗？不需要吧，因为 o， a、 e 就是 跟他垂直的，但是这个法向量的话，你垂直于就就是跟 z 轴平行就行了。所以咱们这个平面 abc 的 法向量呢，咱们写成多少？写成零零，跟 z 平行就行，写成零零一就行。那既然两个法向量求出来了，那剩下就好说了啊，求这两个平面所夹角的余弦值吧。显然根据图口算 alpha， alpha 是 锐角啊，所以口算是正数。然后呢， 带公式就行了啊，这样就很简单了， m n 的 数量机绝对值 m 的 模， n 的 模型，那最后就是七 啊，再来个这个最终是一乘根号下七十九。应该是啊，就这个 n 的 模长应该是根号下七十九，所以化简之后的话应该是七十。这个数据给的非常丑陋啊。七十九分之。 呃，七倍的根号下七十九，应该是这样一个数据了啊，应该是他，你自己来算一下吗？好，来，看什么？来看十八题？这个十八题啊，他给的什么？首先第一问，第一问，第一问。咱也说一下吧，快速的说一下就行。 左焦点有了，右焦点有了，所以这个小 c 也就是半焦距，这个一看是等于二的， 然后图案上有点，图案上有点的话，比如说这个点是点 n， 那 此时 f 一 n 再加上 f 二 n， 这不就是等于二 a 吗？咱把这个二 a 算出来也行。 那怎么算？根据两点之间距离公式是吧？也就是根号下谁啊？根号二加二的平方， 根号三减零的平方。对，两点之间距离公式吗？横坐标根号二减二的平方，根号三，它的平方。那继续算吧， 等于谁？等于这个化简以后是九减四倍根号二。第二个是啊，一个九加四倍根号二，一个九减四倍根号二。反正是一个加一个减，没问题。 那接下来干嘛？接下来好说，二分之十八减去八倍的根号二，就根号里头套着根号嘛，处理这个复杂的二次根式， 它这个里头也是二分之十八加上八倍根号二。为什么这么处理呢？好算， 那么最终就变成了十六减二乘四，再乘根号二，再乘二。那第二部分就写成二分之，你把十八拆成十六加二吗？ 哦，加二乘四倍根号二，再再加上这个二，再加上二啊，这个地方是加上二， 那么最终就好了。写成什么了？这个都是草纸上内容啊，你不需要写这么多的，那么就是四 减根号二的平方，对吧？这个是四加根号二的平方，那么最终的话就变成了根号二分之四减根号二，加上根号二分之四加根号二，那最终算出来不就是根号二分之八吗？ 八比上根号二，你说多少啊？二倍根号。呃，四倍根号二，四倍根号是谁？就是最终那个 r a。 啊，原来 a 是 等于二倍根号二的啊，就就这么回事啊，你自己算就行了。 好了， c 等于二， a 等于二，被根号二，那 b 的 话不就是等于根号下 a 方减 c 方吗？这个是等于二，所以最后的话咱就算出来了，是八分之 x 方，再加上四分之外方等于一。好了，这就是椭圆的方程，我们主要是研究第二问啊， 这个第二问啊，第二问啊，第二问怎么做呢？第二问的话他说的是 什么？说的是首先过右过这个二，逗号零过右焦点做了一条直线，交于 a b 两个点，然后跟外轴交于它， 然后呢？ p 点和 q 点是什么关系？ p 点和 q 点是关于 x 轴对称的。嗯， 那么接下来他给了三个面积，哪三个面积呢？ p b q， 这个是 s 一， 这个是 s 二，然后最上方这个是 s 三，然后跟让你来算最终的 s 一 加上 s 二。行吧， 这个圈一好算，因为斜率给定了斜率为二，那所以就是 ab 这条直线就可以写出来吧。 x 就 等于二分之一， y 再加上二，因为过二的号零，所以我们用这种倒斜横截式啊，跟谁连立？跟这个八分之 x 方 加上四分之外方等于一连利，那么连利之后，当然了，咱们默认 x 一 外一是 a 点啊，然后 x 二外二是 b 点啊。一会就不再多说了，这个会得出来，九外方消掉 x 吗？八外减十六等于零，那此时外一加外二为它定里啊。 负的九分之八外一乘外二等于负的九分之十六， 那此时 s 一 加上 s 三，再比上 s 二加上 s 三，那多好说呀，过 q 点做的高高度是一样的嘛。所以底边的比值就是对应面积的比值，也就是说， s 一 s 一 是谁啊？ s 一 就是 b p， 它的比值啊， s 三是谁啊？ s 三就是 a f 二呗。 s 二 s 二是谁？ s 二就是 b f 二。行，那么接下来就好说了，这三个点来吧， 相当于它们的纵坐标的比值啊，或者说这三条线段长度的比值没问题吧，那么它就变成了 b p b p， 呃，我看一下啊， b p 的 话， b p 再加上这个 a f 二，哎，这个 b p 的 话，是这两个高的这样一个长度，点 b 的 纵坐标，再减去点 p 的 纵坐标，点 b 纵坐标是 y 二 d n p 纵坐标是谁？是？咱们可以代入求出来啊。求出来应该是等于零，逗号，负四吧，当 x 等于零的时候， y 等于负四啊，所以减负四，所以是加四啊， 好，没问题，然后继续来，然后再加上多少再加上这个 y 一 啊。 你投影之后的话，咱们主要就变成了这三段的比值，一二三变成这三段的比值，对吧？ s 一 s 二 s 三分别等于，比如说 m 比 n， 再比 p， 反正就是三段的比值，咱们看纵坐标就行了， 那 b f 二 a f 二，那不就是这两段加起来，其实也就是纵坐标 y 一 的纵坐标，再减 y 二的纵坐标呗。对，那么最后呢，咱们就变成了四加上 y 一 y 二微调定点可以用了吧？ y 一 减 y 二肯定是个正数，它相当于根号下平方，那么根据根差公式的转变，咱们完全可以写成 y 一 加 y 二，再减去四倍的 y 一 乘 y 二。 这些操作都是为了利用什么回答定律的？现在你把负的九分之十八，负的九分之十六代入画圈部分这样一个式子，那么最终咱们算一下啊，四减九分之八没问题。然后呢，根号下这个是 八十一分之六十四，再加上九分之六十四，反正最终一计算呢，算出来是个二十分之七倍的根号十，这个就是第一问的结果了。第一问并不难，说真的， 第二问就难了啊，因为第二问他不是给定的斜率，人家是斜率是不确定的。所以现在我们开始讲第二问。注意第一问啊，就这样一个数字，七分之二，十分之七倍的根号十 这个圈二。最后一问，他说的是四点共圆，是否存在直线 l， 使得 q r f 二 a 这个四边形呢？四点共圆不知道， 咱们先这样先假设存在呗。首先还是连立 x 等于 m y 加二啊。现在这是 ab 这条直线，还是跟八分之 x 方，四分之外方等于一连立，我们消掉 x 之后，变成关于 y 的 一元二次方程 啊。外方四 m y 再减四等于零，这个判别是肯定大于零啊，肯定是有两个不同的交点的，因为定点在团内部嘛。 呃，接下来干嘛为它定义呗。 y 一 y 二加起来负的四 m 比上 m 方加二，外一乘外二呢，它是等于负四，再比上 m 方加二。 这个题后边会用到，所以我前头我先写一下，外一外二的平方等于外一加外二，我先算啊，然后减去四倍的外一外二， 然后呢，会化简出来这样一个结果，三十二倍的 m 方加一，再比上这个分母是 m 方加二，整体的平方。反正就算出个这么个玩意来。 那么接下来怎么办？四点共圆啊，你四点共圆等价于什么？请告诉我。四点共圆等价于四边形的对角互补。关键是找哪一组呢？ 找这一组角 a 和角 r， 还是找角 k 和角 f， 或者说外角等于内对角吗？肯定是找我现在角的标的。这个为什么？因为它会涉及到斜率。看了啊， 此时他说四点共圆了吧，这个四点共圆，咱们转化一下，它等价于角 a f 二，那我们延长一下吧，比如说延长 q a 到 s 点吧。对，这个是 s 点。 然后呢，这个角标个角一，这个角标一个角二，行 a f 二 s， 他就是等于角 a q r 贪婪的角，他，请告诉我等于多少？贪婪的角 a f 二 s 其实就是等于斜率的斜率。这道题不就是 m 分 之一吗？哦， 原来是这么回回事啊，这个 m 是 有实际含义，是斜率的倒数啊，所以咱们选择这两个角相等。 那么现在看了，根据我题目中标的意思，看好了，又因为什么？又因为你根据外角关系， 你这个角二再加上角 a q r 等于角一，是吧？所以这个角二我写成减法关系。呃，所以这个角 a q r， 我 写上这个减法关系，它就等于角一减角二呗。对啊， 那写成这个关系之后继续来，那不就是角 a f 二 s 等于角一减角二吗？ 那现在我们根据正切，为什么正切？因为只有正切才能涉及到斜率啊。哦，它是等于摊着它角一减去，摊着它角二。来吧来吧，继续看啊。最左边就这样写。右边呢？右边的话，咱们继续 角一减去贪婪的角二，这是正切函数吧，然后一加上贪婪的角一，贪婪的角二来，最左边是谁？最左边我想说的已经告诉你了，就是 ab 这条直线的斜率，它的斜率是等于 m 分 之一的呀。对啊，这就是 ab 的 斜率啊。 那么右边呢，贪婪的角一是谁的斜率？是 q a 的 斜率啊，然后贪婪的角二呢？贪婪的角二贪婪的角二，这是 q b 的 斜率啊。 那么接下来你根据两点之间的斜率公式不就可以了吗？原来是这么回事，现在看好了，我写了啊，我写了 摊着的角角一，也就是，呃，摊着的角一是 q a 的 斜率啊。 q a 的 话，两点都有嘛，一个 x e y e， 这是，然后再减去 m 分 之二，这个好说点 p 坐标是负的 m 分 之二啊。那点 q 坐标不就是正的 m 分 之二吗？所以都是有根据的啊。有理有据的， m y 一， 再加上二。对的啊，这个是这样一个纵坐标减纵坐标，横坐标减横坐标对， 然后 tan 值的角二它是等于多少呢？ tan 值的角二是等于 q b 的 斜率，它是 y 二，减去 m 分 之二，然后 m y 二，然后再加上二，这个其实就是横坐标减去，本来有个零零，咱们就不写了，现在带入哪？现在把它带入圈一里头啊。 行吧，也就是说最终我们会整理出来一个什么式子呢？圈一看好了，最左边刚才说过了，是 m 分 之一，我就先写这个 m 分 之一了。代入之后，最左边是 m 分 之一， 右边的话就是刚刚那个结果呗。你自己来算，它首先会化简成这个结果， y 一 减 y 二，然后呢？还有一个是 m 方加一，外一乘外二，然后还会有一个二 m 减去 m 分 之二， 对，然后呢，这个是 y 一 加 y 二，还有个什么？还有就是四，再加上 m 方分之四。好，这是它。 那么继续经过整理之后啊，这个 y 一 减 y 二，咱们算了，已经算过它的平方了，所以它本身也好算，它是个正数， y 一 乘 y 二有为，它定义吧。 y 一 加 y 二有为，大家定义吧。所以经过计算之后会得出这么个式子来，十六倍的根号下二 m 方加二 十六，加上 m 方分之八，再减去八 m 方，这是它，那么再经过计算之后就是二倍的 m， 这个后边就很好算了啊，二 m 方加二 等于二，加上 m 方分之一，再减 m 方。现在我们需要干嘛呢？ 哎，你就看他说判断 l 的 条数，判断 l 的 条数不就是判断时数 m 的 个数吗？ m 是 它斜率的倒数啊，是 ab 这条直线斜率的倒数。判断有几个 m， 使得这个等式成立吧。我们先求一下 m 的 范围， 首先因为点 p， 它是在 e 点下方的，对吧？点 p 的 纵坐标是负 m 二， 对吧？负 m 根号一点的坐标是负二，所以得出来 m 的 值是多少？正数 m 啊，它是在零到一之间的。原来如此， 那接下来我构造一个函数，因为这个方程相当于什么？相当于你减去后边这个东西等于零啊，所以我们就看等于零的这个方程有几个解。那就构造函数呗，二 m， 然后呢？二 m 方加二减二，减 m 方，再加 m 方，反正就这个东西，然后调换一下顺序吧， m 方减 m 方分之，然后再减二，求导，求导，求导之后的话，咱们看第一部分 没问题，那然后第二部分，第二部分的话是四 m 方根号下二 m 方加二， 第三部分二 m， 再加上 m 三次方根。这这个不用多说了，因为 m 是 正数，你看 这部分正数吧，正数吧，后边都是正数。正数，所以说它是个单调递增的函数。这个 fm 在 规定的零到一这个范围内是个增函数的。那我们看看有没有他有零点，他最多有唯一的零点啊。咱们求 f 零不太容易，求也求不了 f 零，那就求 f 二分之一吧。 f 二分之一的话，你自己求一下小于零，那 f 一 呢？右端点呢？这个可以求了，你代入之后求出来二乘一， 然后根号下四，再加上一减一，减二，哎，最后是大于零的 f 一 大于零，所以你画这个草图，这就是零点存在定律嘛。二分之一是吧， 然后呢，这个是一这个地方是吧？所以在二分之一到一之间存在唯一的啊，你得写存在 唯一的零点 m， 它这个 m 在 什么范围内？就零到一之间， 使得 f m 等于零。其实也就是刚刚画圈这样一个方程只有几个解，只有一个实数解啊，所以 m 是 唯一的，只有一条满足条件，所以也只有一条直线，一条直线 满足最终的这样一个要求，行了吧？一条啊，他是最后结合了一下构造函数求根的个数， 那么这一套试卷最难的肯定是最后一道题，他是结合了一下这个高次函数，也叫取整函数，怎么呢？向下取整，比如一点二整数部分是他，但是啊，你注意是小于等于一点三的，最大的整数是负二啊，这个注意一下， 那么我们先来做第一个吧，第一个函数减这个 f 四，一看就是二分之口算四， 口算四，这个四范围是多少？四的话属于是第三象限啊。口算第三象限角，那肯定是在负一到零之间的数字，所以二分之口算四，那肯定是负的二分之一到零， 反正呢，是负的零，负一到零之间的一个数字，所以我们对它取整 比他或者说小于等于这个整体的，比如说负的多少，负的零点几几几等于多少，那肯定是负一啊，不大于他的最大的一个整数吗？小于等于他的最大的整数，这是一个。那另外 f 五是吧？ f 五的话，那就是五分之二倍的 口算 x， 没问题，五分之二被口算 x， 首先口算 x， 此时五它是位于第四象限的啊，因为五这个数字的话，我说一下人家是在什么范围内的？是在二拍， 肯定比二拍要小，但是比二分之三拍要大。第三象限角，它所对应的口算值，那肯定是零到一之间， 所以五分之二 cos 五，它的范围就是零到五分之二之间。现在你对这个玩意取整，对零到五分之二之间，对，零点几取整对不对？ 反正是零到五分之二之间的一个数字，那取整的话，整数部分肯定是零。好了，所以最终答案一个是负一，一个是零。这个第一问的话，我相信大家还是可以拿分的。第二问第二问就有点难了，你要注意为什么偏偏给了你三点九、四点一这几个数字？ 来吧，首先看啊这个函数，这个函数的话，它属于减，减一个增函数，再减一个增函数，这个看不出来，我直接这样来啊，大家来看一下。 呃，这个题我改变一下，我分，我这样来一个。呃，分子有理化嘛，就是原来的分子是 x 加四十五，然后呢？我分子和分母同乘一个，什么同乘个根号，下根号加根号， 对，就这么来处理，根号加根号，那么这么处理之后的话，分子就是四十五减五是四十，分母不就是个这个玩意儿吗？ 所以我这么改造之后，我就得出来了，分母是增函数吧，在正数方向内做，分母越来越大，那整个分数不就越来越小吗？所以咱们一讨论就可以得出来， g x 这个函数怎么样？ g x 这个函数啊，它显然是怎么样的？显然是单调递减的， 对吧？显然是单调递减的。既然单调递减的话，那看了，先看 s 一， 咱们一步一步推嘛，从 x 一 推 x 二，再推 x 三，再推 x 四，这个 x 一 等于五的话，这个 x 二就等于 g 五， 这个 g 五的话不用多说，肯定是比 g 四要小的。 g 四的话，你需要对数字比较敏感。 四十九，根号九。哦，这不就是根号四十九减去根号九吗？也就是七减三哦，等于一个整数四啊，反正单调递减的嘛，它比四小， x 二比四要小一些。那么继续来看， 算完这个四以后，但是你不能说光得了一个什么，光得了一个 x 二是小于几的，是小于四的，你看看有没有下限吗？看看有没有下限， 有吧，看了啊，这个 g 五怎么样？这个 g 五大于三点九啊，人家在这个地方呢， g 五大于三点九，这不就是 x 二大于三点九吗？所以咱们其实先得出来一个范围， x 二的范围在什么？在三点九 到什么范围内？到四这个范围内。行了，来看，另外的一部分， x 二的范围出来了啊，来看 x 三， x 三又是通过 x 二推出来的，因为是个单调递减的函数， 所以说 g x 二它是在什么范围内的？哦，它就是在 g 三点九，反过来嘛，减函数到 g 四之间，左边不用管了， g 四不就是四吗？求过了， 没问题，右边呢？三点九，人家是小于四点一的呀。哦，对，右侧是小于四点一的， 所以它有个上限，四点一。反正 g x 二是在四点一， g x 二在四到四点一之间，那 x 三不也是四到四点一？其实这道题你推多了以后，你就发现它就是在三点九，四点一啊，就是等等，等等，就在这两个范围内一直来回循环，要么是比四略小一点点，要么是比四略大那么一点点啊， 那行吧，那再来推啊， x 三。知道了，那 x 四再推一下呗。 g x 四，那不一样的吗？ 是不是？那他的范围你说是在什么范围内？那不就是 g 四点一到什么到 g 四之间这样一个范围吗？ 其实也就是 x 四，他是小于 g 四，小于 g 四就是小于四，然后大于多少？ g 四点一咱们有啊，是比三点九大的，那所以他也比这个三点九大。 懂了，所以以此循环的话，同理咱们都可以推出来，对吧？同理 可以推出来这个 g 五吧，啊，推出来这个 x 五吧，那 x 五又变到了四到四点一之间了，那 x 六又变到了三点九到四之间了。反正就是来回循环，来回循环至。至于这个 x 几比四大，还是比比 四小，取决于这个下标是什么数，取决于这个下标是偶数还是奇数。所以咱们现在可以说了， 什么意思啊？ x 一， 你单独写一下，等于五，这是已知条件。那 x r k 如果下标是偶数的话，你看 x 六啊， 包括谁？包括 x 四啊，它都比四要略小一点点吧。所以它是在什么范围内的？它是在三点九到四之间的， 那至于二 k 加一，这在什么范围内？这个就是比四略大那么一丢丢了，就得出来这样一个结论，因为这个 f 这个表达式里头人家是有的啊。 f x 的 表达式是多少？ 哦，一开始人家说了， x 分 之二倍的口算，是吧？哦，等于 x 分 之二倍的口算 x 等于这么个东西。嗯，那咱们就看吧。首先口算 x 一， 它呢是零到一之间，没问题， 因为五这个数字，它是在第三项弦角嘛。然后继续那口算 x 二，它是属于多少呢？这个是属于第三项弦角，那就是负一到零。然后口算 二， k 加一也是第三项角，那还是负一到零，所以除了第一项之外，在零到一，其他都是在负一到零之间的，这个清楚啊。哎，那现在咱们清楚了，就分两类。 什么意思？只有 f x 一， 它最终求出来是多少？最终求出来是等于零的，这个第一问就求过它，其他的这两个求出来 f x n， 请告诉我都等于几啊？这个最终求出来都是等于负一的，对吧？哦，那所以我们要求和的话，就分情况就好了，就对这个东西求和。 如果这个 n 等于只有第一项吧，那就是零，那后边呢？后边好说，当 n 大 于等于二的时候，第一项是零， 最后都是负一，对吧？都是负一，几个负一， n 减一个负一， n 减一个负一，那最终不就是一减 n 吗？ 对了，一减 n 行了吧？这就是它的结果呀，就分两类就行了，一个是零，一个是一减 n。 好， 这是圈一，圈一的话，能不能得满分就要画一个大的问号了。至于最后这个圈二，那就更加不可能做出来了。咱们来说说这个圈二啊， 求二的话，他说什么呢？他说求什么？先把 x 一 加到 x n 求出来，然后再取整。那现在肯定是需要分类的，你看，首先咱们看 x 一 x 二一直到 x n 分 类吧。 首先最简单的，那就是 n 等于一的时候，此时咱们这个结果里头就只有一个 x 一 啊，五取整，那不就是五吗？所以第一类还是很简单的。 那么接下来 n 等于多少？等于二？ t t 的 话，注意啊，是一个正整数，当这个下标 n 是 一个偶数的时候，我们分两种情况，仔细观察啊，这两种，但其实它都是一回事，但是分组不一样。第一种分组呢， 咱们 x 一 单独拎出来，这是 x 二加上 x 三，这是一组，然后呢，这个 x 四 x 五，这是一组，噔噔噔一直往后边写。 那么最后呢，这个 x n 也单独拎出来，其实 x n 之前它也有啊， n 减二，倒数第三项和倒数第二项是分成一组的，这个 x 一 和 x n 是 单独拎出来的，可以这样分组。另一种分组方式是 x 一 x 二放一块， 然后呢 x 三 x 四放一块等等等等。平均分组，因为是偶数个嘛，那最后就是倒数第一个数字和倒数第二个数字数字，这个分成一组。 那为什么要这么分组？因为我们可以构造一个函数，大家可能在想，你要构造什么函数？因为 x 二是不是可以通过 g x 推出 x 三来， x 四可以推出 x 五来？所以你要这么来看的话，咱们就可以这么考虑了。这个 fly 等于 x 加上 g x 吧。对，那它就是 g x 二，它就是 g x 四，就是分奇偶，然后它就是 g x n 减二。哎，我们发现画圈这个里头这个自变量都是什么？ 哎，这个应该写成 f 啊，这个应该写成 f f x 二 f x 四， f x 它偶数可能会有一个结论，基数会有一个结论，那同样的下方也是，这个是 f x 一 基数吧， f x 三基数吧， f x 倒数第二项，这也是基数吧，它可能也满足另外一个不等式， 然后根据两个不等式，看能不能合计，求出它的范围来。写到这，不要把后边都忘了啊。有一个特殊的值，就是 x 等于四的时候，这是一个特殊的情况，斐四 它是等于四，再加上 g 四的， g 四等于多少？它肯定等于八呀。对啊，四加上四等于八，这是一个特殊值，一开始就已经求出来了。 那有了这个特殊值之后，咱们另外要看这个函数，它是一个增函数还是一个减函数呢？来我们研究一下。 看了啊，这个外撇首先对他求导这是一，然后对这求导，他求导的话，根据这样一个形式啊，对这求导这一撇的话，咱们写成什么结构呢？写成这个是一，这个是 x， 再加上四十五，然后再减去二倍的根号下 x 加五，然后一。现在你看一个问题，不用多说什么，它肯定比一小吧？ 对，这个东西肯定比一大吧，比一大的数字减，比一小的数字，你说是不是正数？所以它是什么？ 所以 f 撇大于零的话，那 f 在 整个实数范围内，人家就是一个增函数啊，在零到中乘这个范围内吧，人家就是一个增函数。写到这儿好说了，这个是 f 二吧，这个是 f 四吧， 这个 f 二， f x 二啊， f x 二， f x 四等等。 x 二人家对应的是三点九到四之间，对不对？ 所以它是小于多少的？小于，这个小于八点，每一部分怎么样？每一部分它算出来都是比八小的好，它小于八，它小于八，包括 n 减二，这个也小于八吧，每一个都小于八，所以接下来好说了。看了啊， 第一个是五，这我就直接写了，然后呢？再加上八乘二分之二 t 减二呗，一共有这么多个八，然后再加上， 那这个 x n 是 多少？注意它是一个偶数吧，偶数的话，它所对应的数字就是在三点九到四之间的，所以它比四小，所以咱们这写上一个四，那最终算出来是多少？四 n 加一，这是第一种分组， 那第二种分组的话，就是 far x 一， far x 一， 或者说 far x 三，这个就是 far x 三，它因为下标是基数， 所以 x 一， 咱们一开始就知道它比四大，那么一丢丢，它大于 far 四增函数吗？哦，大于八，每一个括号都比八大呀，那不就大于八乘多少乘二的， 原来是他吗？原来是这么回事吗？再说第一个，可能你在想，你一开始求出来不是八 t 加一吗？八 t 不 就是四 n 啊，清楚啊。好，他最后求出来是四 n 啊。呃，八 t 就是 等于四 n 的， 也就是说 咱们求出来了。求出来什么了？对于什么东西， x 一 加 x 二，一直加到 x n， 当这个 n 等于二 t 等于偶数的时候， 它是在四 n 到四 n 加一之间的一个数字。就这个括号里头，它既然是在四 n 到四 n 加一之间，那它的整数部分是多少？整数部分就是四 n， 清楚了吧？ 那接下来另外一部分我就留给大家来做了啊。一样的方法，当 n 等于二 t 加一的时候，自己来吧。同样的，咱们可以得出来，最终从 x 一 x 二一直到 x n 取整呢，也是四 n。 所以 最后咱们可以分两种情况， 两种情况啊，呃，多少？第一种情况五哦，当里头只有一个 x 一 的时候。另外，当 n 大 于等于二的时候，最终求出来都是等于多少的， 都是等于四 n 的。 行了，应该听懂这个了吧？最后一问的话，你听懂就听懂，听不懂就算了啊。那么今天我们就讲到这，分享课堂知识，感受数学之美。我是阿凡老师，下节课再见。

好，我们看一下 t 八年考的第十六题。呃，说实在话，我本来我的初衷是就是讲解到有代表性的选填，还有就是呃概率题， 原理曲线，还有导数。但是我简单做一下后面题，发现这整套卷其实编的挺没有水水平的，就是像原理曲线题 啊，第二小问的第一个求面积比，这个基本就是靠死算就可以了。呃，第二小问呢，我不懂他想表达一个什么意思， 就是你能列出方程，但他算的特别复杂，就基本上来讲是把人当做一个计算机，一个算力的一个机器，我不懂是想什么意思啊。然后第十九题我觉得挺恶心的，就是 他已经大大超出了高考的范围，他这道题应该算是一道竞赛题啊。像第二小问，他很明显是设计出来一种，呃，应该是同构的一个形式啊，他给了这个五三零九四点一，呃说让我想起来大学期间学的一些 呃非数学专业的一些学科，比如，呃，像应该说非纯数学的运筹学，计算数学，大概是对这样的一个方向啊，我认为他给高中生来做是严重超纲的，高考绝对不可能考这样的题啊，因为我自己都不可能写出来 啊。本身数学也是分了很多方向的，像你正常的研究。呃，我们高中学了倒数之后， 那我认为本身高中没有讲到矩阵和数学分析前面的一部分内容，关于曲线的这个一元函数，可微性、连续性这点已经挺可惜了，他还把导数设计的这么变态。所以好，我们看一下第一小题吧。 啊，这十六题是我认为整张试卷唯一值得讲的一道大题，但是它的难度说实话也就是脑筋急转弯的水平啊。第一小问呢，说 x 从圆点 o 出发，前面的题目太长，我就不写了， 就说向右移动一次，它的概率是 p， 向左移动，那它自然就是 e 减 p 吧，对不对？用这个符号来表示， 他现在问的是从 o 出发，移动两次之后的位置，那大家想移动两次，他落在的位置不可能是基数点吧，对不对？我不可能落在一或者负一，只有可能是二和负二，这里容易疏漏了。一个是零， 就是我走了一次再掉头也是走两次落在零这个位置，因此的话， x 的 取的范围 是属于负二零二的。然后呢，我们可以先算这两个点吧，就是 p s 等于负二啊，就是我直接连续往左边走两次就是。 然后呢，如果我是 走了一次之后再掉头回来，那这样的话有两种，因为我从零开始，我有两个方向可以走啊，就有两种，我们分别把它加起来就可以了，就是 p， x 等于零，等于 啊，也就等于两倍的 p。 然后这里呢，就是一减 p 嘛， 好，然后呢，把他们三个啊，分别乘以对应的 x， 求出他期望啊。实际很简单，这道题高考不可能考在第一小题，因为我认为他的难度实在是太低了啊，所以第一小题的讲解就到这里，好，暂停。 好，接着我们看一下第二题，其第二题它更像是，就说它不像高中斜题，因为其这道题它没有必要用到排列数跟组合数 啊。他说一个字典，从某一点 a 出发啊，移动四次之后回到点 a 的 概率，那么他这个移动呢？题目里面他规定的是我可以上下左右就各自移动，那这样的话我走一次平均每个方向他的概率都是均等的，就四分之一吧。 啊，那这样的话移动四次之后回到点 a， 那 大家应该能想到一个最简单的，就是我从点 a 出发，好，绕成一个四边形 好，这种最简单的，也就是说我直接自己走一条路径，然后顺利的绕一圈回到点 a， 这是第一种啊，实际上第二种呢， 分为两大类嘛，一种就是我沿着一条不同路径啊，经过一段周转回来，那第二种呢？就是，呃，我认为可以这样分吧，就是我走了一步 就折返啊，也是比较简单的，大家想一下就能知道。我从点 a 出发向上移动了之后我再回来，好，再上去 再回来，对吧？总共也走四步，但是我实际上我说走的就是我先走，再回来就是我立马掉头，这一点呢，我们可以对它进行一个分类啊，先算第一种吧，第一种的话呢， 呃，就是点 a 应该在这个位置啊。啊，后来这里也可以啊，点 a， 那 么我刚开始朝哪方向走，实际上我有四个选择， 就是四乘以，然后呢，走了之后我到这里我只能走垂直的方向，就是我不能继续往前走了，我就只能朝两边走，两边的话啊，其实就是四乘二， 对吧？必须得是正交的才能绕成一个正方形。然后第二种呢，走了一步折反，呃，实际上这一个可以分的更细一点，他不一定是这样的一个形式，他有没有可能是这样啊， 走了之后然后折反，但是在折反之后，我不是还得多走两步吗？而这两步我不一定是这样的一个形式，我可能也是走正交的一个方向，就是这样子吧，啊，一个 l 型， 因此的话，我从点 a 出发走一步再折反，实际上它也是有四种，因为它有四个方向嘛，也就是四。 然后呢，回来之后，我依然是可以走四个方向，就相当于我重新开始了，我可以走上下左右都可以，像这样的情况就是四乘四。 好，然后呢，第三种就是这走了一步嘛，那第三种应该就走两步，我不可能走三步吧，如果我走了三步的话， 他永远不可能回到点 a 的 位置啊，所以第二种呢，应该走两步， 那么走两步的话呢？呃，打个比方，就是我 降了之后，然后再掉头，这是一种，当然了，他也有可能是啊，我走了一个正交的方向，然后我再回来。 总而言之，我们发现一个什么特点呢？就是我走了两步之后，我整个的轨迹赢定了 啊，剩下的我只能沿着原来轨迹往回走，包括这个也是一样，因此的话， 我们只需要算前面两步就可以。首先第一步的时候我们朝着一个方向有四种可能，也就是四乘以，然后在第二步呢，我可以朝前走，也可以朝左右两边啊，这样的话就是三种， 因此我们分了这三类啊，就很简单明了，这一个是正交的，构成一个正方形，四乘二。这一个呢，是我走了一步折反，再走一步，再折反，四乘四。这一个呢，是 走两步啊，走两步之后只能按着原来的轨迹往回走，就四乘三。好，现在我们要关心的最后一个就是它的基数移动四次，那四次的可能性都均等了，所以它的分母呢？呃，写在这里吧， p 等于分母，就是四的四次方。 然后分子呢，分别就是四乘二，加上四乘四加上四乘三，好，这里呢就可以消掉一个四，就变成 二加四，加三嘛，就变成九比上四的三次方，也就是六十四，好，这就是我对第二小问的讲解。好，停止。

高考数学幺四九做 t 八联考压轴题要多久？ 第二问，感觉题干已经不是暗示，是明示了。开始第三问，视频后面会给大家细讲， 如果你也喜欢刚刚这种答题速度的话，下面我们就一起来看一下，考场上一道题怎么能够快速获得思路，写出答案。首先，我们在考试做题的时候，一定要注意一个细节， 不要上来就直接去想这道题怎么算，答案是啥。如果你只是看这道题，想这道题，你的思路就会局限在这个里面，但我们应该做的是什么呢？发散 到外面，你却想这道题和你之前学过的哪些模型，哪些题型是相关的，是可以直接进行套用的。比如这道题，它就是竖列里的不动点， 形象一点的话呢？蛛网图，我怎么想到的呢？就是读题的时候，我看到了 x n 加一等于 g x n a 这个形式， 而且这个 g 它的表达式里边是没有 n 的， 与 n 无关的，这种情况下就是注网图或是不动点的适用条件啊。那我自然就想到这道题不动点是什么呀？我看 他告诉我， g 五在三点九， g 三点九，四点一， g 四点一啊，大于三点九基本上就属于明示我了。 s 等于四的时候，这函数值是什么呀？一算根号四十九，减根号九，正好是四，所以它的不动点就是四 四。有同学经常问，哎呦，我怎么能想到我要求这个 g 四的值，它是四啊，我想不到啊，就是因为你没有进行发散，你在考场上现想出来一个题型怎么做，可能性几乎为零。但如果你考前就知道 有这个题型，那你就看这道题它的适用条件是否满足之前你学习题型的那个适用条件。哎，你看这道题正好满足不动点，那我自然就想到要求这个 g 四了。那我们在这里直接一起复习一下不动点和蛛网图啊。 x n 加一等于 g x n， 这个 g x 长什么样呢？我可以先画一下求导，发现导函数是小于零的，函数单调递减，而且呢，当这个 x 趋于无穷的时候，函数值基本趋均于零吧，所以这函数图像怎么画呢？这样画，这是 g x 大 概的模样。 网图是啥？再画一个 y 等于 x， 它正是由于有 x n 加一，也就是我的下一项和上一项之间的关系，是一个函数关系，所以我就能够在图像上进行表示了。这道题告诉我了， x 一 等于五，对不对？在这呢， x 一 等于五， 我为了让大家看得清楚，所以我画的远了一些，这是 x 一， 那 x 二是不是 g x 一？ g x 一 在这吧，哎，这是 x 二。好了，那 x 三呢，就是 g x 二。 g x 二怎么表示呢？画过来，这是 x 二吧， 因为这条线是 y 等于 x 呀，也就是说，你把每一个函数点都向 x 轴 y 轴进行投影，与 y 等于 x 的 交点， 这里是 x 二，我再找上去，这就是 g x 二吧，也就是 x 三。下面 x 四就等于 g x 三，再投，这就是 x 三啊，所以这个点就是 x 三， g x 三，也就是 x 四。 哎，划到这，我基本上已经得到这个蛛网图了吧，蜘蛛网一样的，无限的去逼近于中间的不动点四四，这就是蛛网图。 其实看到这，这道题的思路已经完成了，下面就只是纯去计算了，就比较简单了，我们可以来快速看一下。首先第一问问你 x 等于四， x 等于五的时候， f x 这个中括号边是什么？一个向下取整的值带进来 符号看象限一下，因为这里面直接是数吗？ pi 等于三点一四二， pi 是 六点二八二分之三， pi 四点七一。 那我发现四啊，它在三点一四和四点七一之间，也就是在第三项线，所以 cos 四呢，是大于负一小于零的前面，再乘以个二分之一呢，依然大于负一小于零，所以它向下取整就是负一。同样道理， cos 五啊，五在四点七一和六点二八中间， 所以 cos 值就是大于零小于一的。那 f 五呢，也是大于零小于一的，因为前面乘以的是一个五分之二，所以 f 五向下取整就是零。 第一问完毕，看第二问，求 f x 向下取整之后的和，那么我就得看先向下取整每一项大概是多少。第一项是 x 一 等于五，上一问已经求了，函数值是零 x 二 等于 g x 一。 咱们在主网图上已经画了，这是 g x 一， 也就是 x 二。题里告诉我大于三点九的，那我还得知道一个上限，根据这个织网图，我知道 它就是四了，因为它要靠近这个不动点嘛。 g 四等于四，而且还求了导，由于五是大于四的，删掉递减函数， g 五就小于 g 四就小于四，所以说 g 五就在三点九和四之间，也就是 x 二在三点九和四之间， 还是在第三项线， f 函数值一取还是负一，那同理啊，接下来我再算 x 三等于 g x 二 x 二，上一问算完了，在三点九和四之间， 所以我的这个函数值呢，就在 g 四和 g 三点九之间。单调递减函数嘛，也就是在四和四点一之间，这是题里给我的已知条件，还是在第三项线向下取正还是负一？既然一直算偶数项都是在三点九和四之间的， 积数项都是在四和四点一之间的，那无论如何呢，它就是在四的左右两边摇摆，还都在第三项线，是吧？ 那我这个竖列每一项都是负一周和，太简单了，一减 n， 第二问完事。好，我们再看第三问，也就是第二问的第二小问求和之后，再向下取整。我就看这个竖列求和它的一些上下线呗，把它逼近出来呗。 因为我从蛛网图里已经看到了，大家都是无限接近四的，只不过一个比四大，一个比四小，这俩加一起和八之间有什么关系呢？这就是咱们经常用的一种方法。在竖列求和的时候呢，你可以两两一组，给它分组这一项和下一项的和 x n 加 x n 加一，它和八之间的关系。 x n 加一是啥？是不是就是 g x n 啊？所以我就得到了一个新的函数， 设 five x 等于 x 加 g x。 我 对这个 five x 求导，发现它导数是大于零的，也就是单调递增的。由于上一问我已经求出来了偶数相小于四，基数相大于四， 单调递增函数。那么函数值呢？一个小于八，一个大于八。我们看这个图， x 二加 x 三，这两项加是小于四的哎，像 x 一 加 x 二，基数项出发的，哎，这两三加就是大于四的，从图里可以说是一目了然，那下面我就可以进行求和了。 sn 我 给他两两配对一下，最后一项的这个项数是基数还是偶数呢？我就在分类讨论一下。假设最后一项是偶数， n 等于二 k 的 时候， sn 他 可以等于两两相加一下。 基数项的函数值都是大于八的啊，一共是 k 项，所以大于八 k， n 对 二 k 带进来，他就大于四 n 只有大于四 n， 和第二问一样，我还定不了他的下限是什么，我还得看一下上限是什么。 所以呢，我再利用一下，偶数项小于八，那就得从 far x 二开始了。那前面这个 x 一 别漏掉，后面呢？还有一个 x 二 k 别漏掉， x 一 等于五 x 二 k 本身是小于四的，中间这一大堆 k 减一项，每一项都是小于八的。最后一算，把 n 的 二 k 带进来，它又是小于四 n 加一的 大于四 n 小 于四 n 加一，那向下取整呢？就是四 n， 同样道理，基数最后一项求和也一样， 也是在四 n 和四 n 加一之间的，所以最后它的表达式去向下取整的话，等于四 n。 别忘了，第一项特殊等于五，这道题就做完了。所以我们回看一下这道题，即使是压轴题，他也不可能去考你一些新思路新方法， 我们在破题的时候不用自己去想这些什么新技巧新解法，你想不出来的，咱们就去结合题干。已知条件，我学过哪些题型是能够匹配上这道题的，自然就有解法了，直接可以快速写出答案。

现在是凌晨四点五十五啊，今天就通宵，这套卷子我都得讲完。哈喽，家人们，我是交大大三的彭彭头学长啊，今天考的这套题吧，真的是太棒了，我一定要讲完，并且这套卷子对于今年高考有什么指导性啊？我的最后会讲， 而且我讲的讲法会和网上所有你见过的全都不一样啊，每一道题我都会讲他背后的题型以及方法论啊，像这些每一道题型，他背后的那些通法，我都会给大家讲的非常清楚，而且我会有很多我独创的方法以及结论啊，就可能表达他太繁琐了。而且啊，就算哪怕是涉及到了没考的考点啊，就比如说像这个第四题，他考了重心，但是呢，重心我会把他整个一系列的五大考法全都给大家讲一遍， 而且我会告诉你他抄的是哪一道题，就比如说这个第七题，他完完全全就抄的这一道题啊，我是二年高考的，他做的我 考场上的十一题啊，就是完完全全，你看两个图一模一样，并且考法都是一模一样的，好吧，我都会给大家讲透的，而且这是一道啊，这个错题我等会给大家讲，好吧啊，而且每道题我都会给你一道同类型的题，就比如说第五题，我会给你一道，哎，就是同类型的题啊，就确保你一定会的是一类题啊，说句实话，就是 任何一套卷子啊，哪怕你就是听老师讲，可能你都懂了，但是你如果不会背后的题型方法论，对吧？你下次稍微变一下，你又不会了，这就是你们学校老师讲，为什么？哎，你总感觉听了没用，对不对啊？我们的目的就一个，就是会一类题，而不是会一道题，只要听完啊，绝对保证你不会， ok， 我 们废话不多说，先开始好吧。 啊，首先啊，这个第一题啊，这个第一题非常简单啊，就是一个啊，解两个不等式，然后最后取一个并集啊，这个很简单啊，首先这是一个二次函数，明显十字相乘，对不对啊？分解出来就是一一，还有这个负三一，然后分解出来就这个东西，然后呢，他的零点是三，他的零点是负一，我们只需要画一个开口向上的二次函数，然后一个是负一啊，一个是三， 然后呢，他是大于等于零，那无非就取这两段吧，对不对？所以一个是小于等于负一，一个是大于等于三， ok， 这是哎，这个 a 的 一个解集，这个我觉得 高中生应该都没有问题，对不对？可能有问题的就第二个啊，就是这个捞引， x 大 于二分之一，这个可能很多人不会写啊，这个方法就是捞引，因为它是一个递增的，对不对？所以呢，直接 x 放在这里，就这个真数， 我不动它，然后呢，不等号，也不用编号，然后呢？哎，直接 x 又大于，把这个底数是 e 直接放过去，所以 e 的 二分之一次方，那就是根号 e， 所以呢， b 的 解析就是 x 等于根号 e， 那 这样的话，哎，就最后取一个并集呗，对不对？一个是 f 求到一，然后呢，这个大于三和这个大于根号大于等于根号 e 嘛，对不对？因为 e 是 多少二点七嘛， 对不对？那根号 e 肯定小于三，所以呢，最后就选 b， 好 吧，这是第一题，非常简单啊，然后我们先看一下第二题啊，第二题是一道复数的题，这个题啊，其实有很多种方法，包括那个标答器也给了两个方法，但是我给大家讲一个通法，就是基本上复数，如果考前面的小题，他通法非常简单啊，这个相声大家都会啊，就是直接设出来我的那个啊，这个这个复数 z 啊，等于 a i 再加上一个 b， 那 我的目的其实本质上就是根据题目给的这个信息，然后呢，把这个 a 和这个 b 给它解出来，对不对？然后呢，再带到最后的这个东西里面，就可以 求，就可以求出基本上所有的这个复数题了，对不对？然后呢，我们现在做一下这个题啊，我们先把这个 c 啊，先把这个复数 z 啊，给它设出来啊，等于 a i， 然后再加上一个 b， 然后呢题目给了一个这个东西，那我们你看这里有个 z， 这里也有个 z 啊，给它带进去啊，就得到这么一个式子， 对吧？然后呢？然后呢？哎，你把它整理一下，你看啊，三减去一个 a i， 然后减 b， 再乘一个 i， 三减 b， 然后呢，再减去一个啊，这个 a i 的 平方，然后 i 的 平方啊，众所周知，等于负一，所以呢，这个东西本来就加 a， 对不对？然后左边就是二 a r e， 再加上一个二 b 加一，那这样的话，其实你就已经能看出来了，是不是叫对应系数相等啊？对不对？你看啊，现在就是这个啊，这是 i， 然后呢，这个也是 i， 所以 i 前面的这个东西是相等的， 然后呢这个长竖线呢？哎，这个也是相等的，所以你就可以在旁边列一个等式，你看啊，就是二 a 就 等于这个三点 b， 哎，列出来，然后呢？二 b 加一等于这个 a 啊，也列出来，然后这是一道初衷的 二元一次方程组吗？对不对？然后解这个 a 和 b 就 可以了啊，非常简单，把这个 a 给它带进去，然后就可以解出 a 是 五分之一， b 是 五分之七，对不对？所以呢啊， c 这个就出来了，等于五分之一 i 加五分之七，当然就是，嗯，可能会有些其他解法，就比如说你直接通过这个式子啊，也能直接解出来 z， 但是呢啊，我给大家讲的这个东西是同法好吧， 啊，然后我们现在已经知道了这个复数的这个这个是多少了，然后现在题目问的是什么？问的是我的这个 z 乘 z 吧， 那这个就是啊，我一个负数乘以共讷负数，这是一个结论，这个学校老师肯定都讲过，就是一个负数乘以它的共讷，一定是等于我的一个这个魔长的一个平方，可以说是魔长，对不对？那魔长的平方等于 这个东西，它是怎么正的呢？啊？很简单，就是我的这个 z， 如果是 a 加 b i 的 话，那 z 一 拔，就是把这个加号变成减号，这个应该没问题吧，因为可能会有一些这个基础不是很好的，所以我会讲的很细啊，如果你这里会的话，直接往后翻就可以了，好吧， ok 啊，然后你把它展开，那就是 a 方，然后呢？减去 a b i， 然后再加 a b i， 再减去 b 方平方，然后呢 a 平方等于负一，所以这个东西就是什么 加 b 方吗？对不对？然后呢，这两个小的，哎，所以呢，就是 a 方加 b 方啊，然后我们也知道，如果你的 z 是 a 加 b i 的 话，那你的魔长等于多少？是不是等于根号下 a 方加 b 方，哎，所以你发现如果我的 z 乘以 z 吧，你不就是我的什么，那不就是等于 z 的 魔长的平方吗？明白了吗？ 好吧，所以现在啊，我们这个东西就已经知道了，它等于 z 的 魔长的平方啊，然后呢，那 z 的 魔长等于多少呢？哎，算一下， z 的 魔长，哎，就等于根号下 a 方加 b 方， a 方是等于五分之一的平方，那就是二十五分之一，然后呢， b 方是二十五分之七七四十九，所以等于根号二，对不对？所以魔长是等于根号，那这样的话，你的平方就等于二呗，明白了吗？所以这个题选 c， 好 吧，这就是啊，给你讲了一个这个复述的一个通法，当然你的平方就等于二呗，明白了吗？所以这个题选 c， 这就是啊，给你讲了一个方法去做其他的复述题，也一定是可以做出来的， 好吧， ok 啊，我们现在这个题过了，然后第三题啊，这个题，这个题非常的好，就是啊，你发现现在其实高考就已经有这种趋势了，这个等会我再最最后再说吧。就是啊，首先就是你看到这个东西，我不知道你的第一反应是什么， 如果说你的第一反应不是换底公式的话，那说明啊，你高一或者说函数这一块，你的基础是非常差的啊，所以今天就是给大家就是把这一类题型一定都给大家讲清楚，就是你记住一句话，当你在发，你在分母上啊，发现有对数的话，那一定是用换底公式的， 明白了吗？好吧，一定是用换底公式的，就比如说我下面给你的这道，就这个题，他本质上抄的是什么？抄的就是二四年，就是去年考过的一道假卷的一道题啊，就是这个题，你看，哎，是不是分母上啊？有这个对数，所以呢，一定是用什么？一定是用换底公式，明白了吗？好吧，我们现在看一下这道题，那什么叫换底公式呢啊？可能有人连换底公式都不会，那我们现在讲一下，好吧，就是 照顾一下这个基础不太好的同学，但是呢，嗯，很重要，所以一定要，一定要会，好吧。什么叫换底公式？就是 log 以 a 为底的 b， 我是 可以给他写成什么呢？ a 可以 给他写成 log b 比上一个 log a， 明白了吗？那有人可能问，那能不能写成 log 比上 log a 呢？当然也是可以的，就是我这个底数，这个底数是十吧，这个底数是 e 嘛？这个底数是什么都无所谓，只要把这个整数 b 放在上面， a 放在下面就可以了，对不对？那同样的话，是不可以就是随便写，对不对？ log 以 c 为底的 b 比上 log， 以 c 为底的 a， 就是 随便写，都可以，明白了吗？ 所以呢，就是你在题目里面如果看见你的对数在分母上一定有换底公式就可以了。那比如说你看 log 以 a 为底的二，它是不是就等于 log 二比上一个 log a 啊，对不对？然后呢，你给他取一个倒数，因为是分之一啊，取一个倒数，那不就是 log 二分之 log a 吗？ 明白了吗？那同理你这个东西啊，那就是 log 二分之 log b， 你 一发现你一旦用换底公式之后，你这个题就非常简单了，因为我们的分母是一样的呀，对不对？然后呢？ log a 加 log b， 那 就 log a b 啊，这个应该没有问题，对不对？然后到这一步了，你看是不是？哎，又是换底公式，直接 log 一 二为 a b， 你 发现 对吧？一道题，你通过换底公式就可以把这个题目给你，这个好像看着没什么头绪的东西就可以画的非常的啊规整，所以最后题目问的是这个东西的一个最小值，那你说白了，你题目问的这一坨东西等于 log 以二为底 ab， 那 其实本质上是不是在问 ab 的 一个最小值啊？ 明白了吗？好吧，所以这个题你明白之后啊，你明白要求 ab 最小值之后，那说白了就得根据左边哎，这个式子去求一下 ab 最小值， 对不对？那怎么去求呢？这就是一道非常经典的叫什么叫不等式，里面的求谁流水。你发现现在就这种题，就是真的是很综合，就是不再像，就是我们可能二二年，对吧，二一年就前几年啊，前三四年吧，就那个时候就是一道题，他可能就是考一个东西，但是现在呢，就是夸张点，综合就真的是，嗯，全是这样的啊，这个 给大家怎么指导就怎么去复习，我在最后会说，好吧，我先讲一下这个题型，就是什么叫求谁流水呢？就是你看啊，现在我这是一个东西，就明显能想到基本不等式吧，对吧？然后呢， 现在我们要求的是什么？要求的是 ab 的 最小值，那你看这个 ab 是 不是要求的，那么求谁留谁，那就得把这个 ab 给它留下来，然后呢，哎，把右面这一坨东西，不是我们要求 ab 的 这个形式，对不对？我们要把它用基本不等式，然后呢往 ab 上去转化， 那怎么怎么就用哪一个基本不等式就可以转化为 ab 呢？就可以出现 ab 呢，是不是啊？一坨加一坨大于等于两倍的根号，下一坨 啊，用这个东西，明白了吗？那所以现在 a 分 之一加 b 分 之一，那就大于等于两倍的根号加 a b 分 之一，哎，你发现现在整个这个式子里面只有 a b 了，而没有什么别的形式了，所以这个就叫求谁留谁，好吧，这个是基本不等式里面真的是非常非常常考的一个题型，而且也是最容易啊，就是和其他章节去结合的题型，所以一定要会，好吧，然后 啊，然后这个式子就可以写为这个根号 a b， 然后大于等于这个二，比上一个根号 a b， 然后呢把这个根号 a b 乘过来，所以呢，就 a b 大 于等于二，那换句话说， a b 最小值等于二嘛，对不对？那 a b 最小值等于二，哎，带到这里面，所以你的最小值那就等于 log 以二为底，二就等于一嘛，对不对？所以这个题就做完了，哎，所以这个题选这个得，哎，就可以了， 明白了吗？总结下这个题，这个第三题就是整套这道卷子啊，就从这个第三题开始就已经啊，有点意思了，好吧，首先先考了一个东西，叫对数，如果在分母上，我们一定要尝试用换体公式，然后呢，就是啊，这个求谁留谁，基本不能是里面非常重要的一个题型， 好吧，这是我们的第三题，然后这个题本质上是靠抄的，我刚已经说了，他抄的是二四年假宣的这道题啊，这个题大家去自行完成就可以了，就是和这个题是一样的做法，哎，出现对数在分母上，那么就用什么，用换体公式就可以了，明白了吗？ ok 啊，然后我们现在看下这个第四题，这个第四题也非常的好啊，又考了一个这个解三角形和这个向量啊，又是夸张解综合，所以呢啊，非常有意思，他说这为这个 abc 的 一个重心，那么你看到重心你能想到什么？ 如果是我或者是我的学生的话，他肯定第一反应，哎，直接五大考法，直接就像什么，就像是那种条件反射一样，像照片一样，直接出来了， 对不对？那我们看一下有什么考法。首先啊，什么叫重心啊？重要的心，对不对？非常重要，他叫中线的焦点，对不对？然后呢啊，你比如说你在这个三角形里面，你看啊，这个是 a 啊，然后这个是 b， 这个是 c， 然后呢，哎，我们是中线的焦点，所以呢，你看这个 e 是 终点，然后这个 d 也是终点，所以这个就是重心 g， 对 吧？然后呢，他有一个三等分点的一个性质，叫做 aj 比 j 等于二比一，就是一，他是一个二比一的关系，那同理对不对？那同理，你看啊，我这个比上这个是不是也是二比一的关系， 明白了吗？所以就是它还有一个三等分点啊，这个二比一的一个性质，然后第三个就是 a g 向量是可以写成三分之二的一个 g 的， 这个 a 的 这个是我们刚刚已经说过它是一个三等分点吧，所以呢，你看我的这个 a g 向量是不是就可以写成三分之二的一个 a 得向量，对不对？而 a 得，因为这个得是中点，你是不是就可以翻译成二分之一的 ab 加 ac， 对 不对？你看我的 a 得是不是就可以翻译成二分之一的 ab 加 ac， 明白了吗？所以你就可以把 a d 向量用 ab 加 ac 去表示，这是向量的第三个考法。 然后项链第四个考法就是 j a 加 j， b 加 j c 是 等于零的，就比如说这是我的这点，然后呢， j a 这个项链加这个项链加这个项链是等于零的啊，这个为什么自己去推，好吧，自己去推啊，然后啊， 这是一个怎么说呢？也可以说是这个项链里面是考的这个重心里面考的非常重要的一个东西。然后呢，我们就可以用奔驰定律这个结论啊，这个啊，我就我觉得不用多说了吧，烂大街了都已经，好吧，如果还不会的话，去这个网上去随便搜啊，什么叫奔驰定律？好吧，这个题没关系，我就不多说了。 然后呢，第四个，第五个考点就是 g g 的 这个重心的一个坐标表示，就比如说你看啊， a 如果是 x 一 啊， y 一， 然后呢？ b 是 x 二啊， y 二，然后 c 是 x 三 y 三啊，在上在在，这个可能你建完 c 之后啊，然后呢，那你就可以把这个 g 的 一个坐标就可以表示出来了，明白了吗？这是向量的五大啊，这个是重心的五大考法。 好吧，这个我希望就是啊，虽然这个题只考了前两个，但是我希望这五个啊，都可以啊，出现在你的笔记本上啊，都可以，就是你把它记下来，然后以后做题的时候可以用的。好吧，这也是我今天就是为什么通宵讲这个东西的一个初衷吧，就是你一定不要就是光想着我要会这一道题，没有用啊，真的，你做了那么多题啊，有什么用呢？ 你背后的一类题你不会有什么用呢？说句实话，有什么用呢？对不对啊？所以呢啊，一定要把这些题型的东西一定要好好的去记啊，好的，去，去做题去用 啊，然后我们现在看下这道题啊，他说我是重心，然后波 j 等于 lamb 的 倍的一个 b c 加上缪倍的 a j， 你 看啊，波 j， 波 j 在 哪？波 j 就是 这个向量等于 lamb 的 倍的一个 a j 加上缪倍的一个 b c。 我， 我用这个黑色笔把这个题目里面的这两个向量又标出来了，然后你 lamb 的 减缪，那姐，说白了，这个不就是减 lamb 的 缪吗？ 那换句话说，那不就是让你用 b c 和这个 aj 去表示这个 aj 吗？对不对啊？所以这个题就是一道非常经典的叫什么叫转化基地， 就是非常经典的项链里面的一个东西叫转化记忆。这个啊，相信很多人这种题都已经做了很多了，那他的方法论是什么呢？哎，跟我记，我的总结叫做先用显而易见的记忆表示法，然后呢，再往题目上转化啊。我们举我们说一下是什么意思，可能你不懂，就是什么叫显而易见的记忆表示， 就比如说你看这个波 j， 我 怎么样就是怎么样，表示是显而易见的，是不是三角形法则或者平行四边形法则啊？对不对？你看我的这个波 j 向量，是不是很显然等于波波德向量，再加上一个德 j 向量，对不对？这是不是非常显而易见的？所以我们就把这个先写出来， b j 向量等于波德加上一个德 j， 然后写出来之后呢，再往题目上去进行一个转化啊，题目上要的是什么？要的是用 b c 和 a g 啊，你这里写的波德和这个德 g， 那 肯定不行，所以呢，我们要把这个波德和这个德 g 往这个题目上的这个什么题目上的这个 b c 和这个 a g 上去转化，明白了吗？ 好吧，所以我们先看一下这个 b 的 啊波的，你看，哎，波的在这，哎，我们知道重心是中线的焦点，所以呢的是中点，那这样的话，你看我的波的不就等于二分之一倍的一个波 c 吗？对不对？那不就等于二分之一倍的波 c 吗？所以呢，你看这个题，直接 就可以把这个波的转化成二分之一的 b c 啊。那你看，现在已经成功的转化到了我们需要的这个题目，题目里面需要的这个向量了，对不对？然后呢， d j 怎么表示呢？哎，你看 d j， 它是这个绿色的向量，哎，我们说 重心它是有一个二比一三等分点的一个性质的，对不对？你看这个是一，这个一定是二，它有一个二比一的关系，那这样的话，你看的这向量是不是就等于负的一个啊，这个 g 的 向量对不对？你看我这里写了它等于负的一个 g 的 向量，然后呢， g 的 等于多少呢？你看 g 的 向量是不等于三分之一倍的一个 a 的 向量，对不对 啊？这个应该是等于二分之一的一个 a j 项，他用，他要用 a 这个 a j 表示他，你看这是一，这是二，他是不是等于二分之一的 a j 项呢？对不对？所以呢，你看啊，负的一个这个就等于负二分之一倍的一个 a j， 那 这样的话，你看，哎，题目里要的是 bc 和这个 a j， 我 已经成功的把这个显而易见的这个表示法已经转化成了题目要的这个东西了， 明白了吗？好吧，所以你就已经能直接写出来了，我的伯爵啊，就等于什么？就等于二分之一的 b c 减去二分之一 aj 嘛，对不对？所以来的等于二分之一，没有等于负的二分之一，哎，易减发现等于一啊，这个题做完了， 明白吗？好吧，这个题总结一下，就是他考了一个啊，转，第一个是考了一个重心的两个，就是最常考的两个性质啊，这个是啊，毋庸置疑都得会的，哪怕你现在只能考个一百分啊，只能考九十分啊，你都得会啊。但是呢啊，第二个转化机制也是都给大家讲了，我希望大家可以好好的去整理一下， 好吧， ok， 这个第五题，这个这个第四题挺好的，然后第五题这个就，嗯，怎么说呢，就比较常规了啊，但是我还是相信很多人还是没有做出来。我们现在跟他讲一下，就是他给了一个什么东西呢？给了一个这个东西，哎，这是个什么东西 啊？书列里面复习过了吧？这是个什么东西？这是不叫 is 的 一个混搭式啊，对不对？这在任何一本啊参考书或者说复习资料里面都有，这叫 is 混搭式。那 is 混搭式我们怎么处理呢？ 怎么处理呢？你记住啊， as 那 是有两种处理方法，第一种叫 s 划 a， 第二种叫 a 划 s。 那 这道题我们重点讲这个首选的叫首选的一定是 s 划 a， 那 s 划 a 有 两步，可能学校老师一般都只讲第二步，但是第一步其实也很重要，就是你得先把 s 的 系数给它去掉，然后第二步呢，叫退 n。 什么叫退 n 呢？退 n 就是 把 题目里的那个式子里的 n 全部换成这个 n 减一，明白吧？好吧，然后呢，再写一个形式，再去相减。这个我们等会就是给大家演示，然后现在把题读完，然后他说，哎，对，任意的一个 n 属于 n 心，然后来 m 大 于等于这个 s， n 横成立， 这就是竖列里面的一个横成立问题，无论是竖列还是别的题都是一样的，就是你这个一个数字啊，来， m 是 一个参数，是一个常数吗？对不对？然后呢，你这个常数要小于 s n， 什么意思？你想 我，哎，这个，这个，比如说是我吧，我要比你们全班人啊，就任何一个人都考的低。那是那，那是，不，说白了，就是我要比你们班的那个最后一名考的低啊，明白了吗？所以来呢，只需要小于等于这个 s 最小值就可以了。那其实说白了啊，你要求这个来呢范围，那不就是求这个 s n 的 一个最小值吗？ 对不对？哎，这个题又考了一个什么东西？叫 s n 的 一个最值问题。好吧，这都是题型啊，就是，我就我不理解，就是为什么学校老师他都不去总结题型呢？ 这题型会了这这整套卷子真的非常简单。好吧，那 s n 最值问题的方法论是什么？叫列一个核心不等式就可以了？就是啊，你想啊，这个 s n 的 最，这个如果是个最值，你想啊，嗯，就比如说，你看你有最小值，那说明什么？那说明 a n 它是一个一次函数的话，它是不肯定是长这个样子，可能前面是负的，然后呢，后面是正的， 你想可能，哎，这一项加这一项，那就是负的，加负的肯定是负的越多了，所以呢，你这个 s 就 递减的，然后呢，后面，哎，就开始加成正的了，你加完正的之后，你是不是就开始低增了？那说白了，你的转折点，你的最小值是不是就在这里啊，对不对？所以呢，你只需要列一个不等式，叫 a n 是 小于等于零的，然后 a n 加一是大于等于零的，然后去解这个 n 就 可以了。好吧，这就是核心最值不等式啊，这个等会还是可以会给大家演示的， 所以大家不用怕啊，如果你现在还听不懂啊，不用怕，然后我们现在看一下这个题啊，首先我们先完成第一个叫 a s 很 难式的处理方法啊，我们先把题目的这个式子抄下来，叫 a n 等于 s， n 比 n 再加两位 n 减一啊，抄下来之后，我们第一步是什么来着？叫把 s 的 一个系数给它去掉，那就比如说这个题，你看我 s 的 系数现在有一个 n 分 之一啊， 对不对？那这肯定是不行的，所以呢，我们先给等式两边同时乘一个 n， 得到这么一个式子啊，然后把这个 s n 的 系数给他，哎，给他去掉了，去掉之后呢，第二步叫什么叫退 n， 然后写一个新式子相减，那退 n 的 话，那就是把 n 变成 n 减一嘛，对不对？你看所有的 n 啊，全部变成 n 减一，那就得到一个新式子， 然后呢，上面这个叫一式，上面这个叫二式，我们只需要给两个式子相减就可以了，那众所周知， s n 减去 s n 减一，那不就是等于 a n 吗？对不对？然后呢，你给他两式相减完之后，就这个啊，如果你跟不上，你可以暂停视频慢慢看好吧。啊，然后呢，得到这个式子之后， 给他化简一下，把这个 a n 给他挪过去，那这样的话，就是 n 减一倍的 a， n 减一倍的 a， n 减一，等于四倍的 n 减一啊，然后呢，我们都有一个 n 减一啊，那这样的话，如果 n 大 于等于二的话，就可以给它消掉，对不对？所以呢，把这个 n 减一全部约掉， 遇到之后呢，就是 a a n 减 a n 减一等于四，哎，所以你发现，哎，好像是一个等差数列，那这时候我问你个问题啊，你这时候能就是百分之百啊，信誓旦旦的告诉我， a n 一定是一个公差为四的等差数列吗？能告诉我吗？ 啊，这个是绝对不行的，因为我们在这里默认了 n 是 大于等于二的，如果你这个 n 等于一的话，你这个式子是没法除以 n 减一的，对不对？你是没法把这个 n 减一约掉的，所以呢，我们现在还需要验证一下。怎么验证呢？哎，我们先求一下 a 二， 哎，怎么去求 a 二呢？你看题目里有这么一个式子，然后呢，告诉你了，这个 a 一， 那这样的话，你看 a 二是不是就等于 s 二比上一个二，再加上一个两倍的一个二减一啊， 对吧？然后把这个式子抄下来，所以呢， a 二就等于两二分之 s 二加二，然后 s 二呢，就等于这个 a 一， 题目告诉你呢，等于负五，所以呢，就等于负五加这个 a 二，所以这个式子解出来， a 二等于负一，哎， a 一 等于负五，没问题，哎，就是差了一个四，对不对？所以呢，你就可以就是非常 自信，非常信誓旦旦的告诉我，哎，这个，这个，这个 a n 他 就是一个公差为四的，就等他树立了，明白了吗？哎，那这样的话，首项为这个负五，然后公差是四，就可以把他的这个同向公式写出来了，等于四 n 减九 啊。然后这个题，呃，你如果就是按这个方法论就是通法去做的话，没问题啊，你就先列一个叫四， n 减九小于等于零，你发现 n 小 于等于四分之九，那说白就 n 等于一或者等于二嘛，对不对？四分之九就是这个二点几嘛，对不对？然后呢，你再列一个，这个应该是大于等于零，我写错了，然后呢，就是 n 大 于等于四分之九，也就说，哎，从 a 一 到 a 二这两项就是负的， 然后呢，从 a 三以后呢，就是正的，对吧？那你想 a 一 和 a 二是负的，那 s 一 和 s 二你觉得谁大呢？那 s 二是不等于在 s 一 的基础上又加了一个负的，就减了一点点嘛？那 s 二是不？肯定是哎，肯定是比 s 要小一点，对吧？ 然后呢？啊， a 三开始又正了，那你想 s 二，哎，又加一个 a 三，加一个正数，又变成 a， 又变成 s 三了，那这样的话，你看 s 三是不是又上去了，然后 s 四，哎，越来越大， s 五越来越大，所以你整个 s 的 图像应该是这个样子的，对不对？那你的最小值其实就是 s 二了， 明白了吗？好吧，所以 s 最小值就是 s 二， s 二等于负一，然后再加上一个负五，对不对？所以等于负六，哎，所以 s n 的 最小值等于负六，明白了吗？好吧，所以最后啊，只需要 number 大 小小于等于负六就可以了，所以这个题直接选这个 a 就 可以了，好吧，这个题 啊，其实当然就是这个题比较简单。简单在哪里呢？就是你想啊，这个 a 一 如果等于负五， a 二等于负一，然后我的公差又等于四，你其实 对吧，你其实稍微动一下脑子，你都能想清楚， a 三肯定是正的嘛，对不对？ a 三，那不就等于负一，再加上一个四等于三嘛，明白吗？所以，其实，哎，你其实完全可以不用列这里的不等式哎，直接就可以看出来我的这个啊，整个 a n 的 一个这个正负的一个关系了，对不对？但是呢，嗯， 我这里给大家讲的是通反，那你想如果下次呢？对不对？如果下次呢，可能学校老师就告诉你，直接看出来了，但是下次如果说可能从 a 一 一直到 a 七都是负的， 然后呢， a 八 k 胜了，那你的最小值可就是 s 七了啊， ok 啊，然后这道题我给大家准备了一道这个同类型的题，你看好像和这个题很像，对不对？所以呢，我希望啊，大家可以把这个题下来自己再做一遍，就基本上和这个题就是除了最后的那个求最值以外啊，就是这个 is 混纳是，这是一个 无敌无敌重要的一个题型，好吧，把这个题型能给大家练透啊，我觉得这个就是我的这个今天的这个初衷就达到了，好吧，所以这个题一定要下来自己练一下，好自己完成。好吧，如果这个第六题啊，这个第六题也非常有意思 啊，是一个和这个现实结合的一个东西啊，但是也很简单，也是常规题型。我们先读一下题，他说我这个车筒啊，他的半径是二，那你看，那我的半径这个就是二呗，对吧？然后呢？啊，他说我的每分钟转一点五圈啊，然后呢？什么啊？轴心 o 去水面的高度是根号三，哎，这个是这个长度是根号三， 呃，然后呢，他说我这个盛水桶就是我这个桶上，我这个这个这个圈上啊，这个这个马，这个这个应该不叫马车吧，这个应该叫什么东西啊？检车啊，检车啊，他这个这里有一个这个桶，然后这个桶呢距离这个水面的高度我们设为低了 啊，然后呢题目我们再读题，然后他说我这个什么，哎，从刚浮出水面时开始计时，也就说我这个 p 可能到这的时候往上转的时候，刚到这的时候开始计时，就那个时间 t 等于零的时候，对不对？然后呢？哎，这个 d 和这个 t 的 关系，哎，是一个啊，三角函数三的一个关系，然后最后让你求费，这不就是一个什么东西，这不就是求解析式的题型吗， 对不对？我给大家也准备了一道题，这个等会再说，这就是求解析式的题型啊，对不对？那怎么求呢？首先特殊点嘛，你看，哎，那明显 t 等于零的时候，我这个 d， 你 看，刚浮出水面，那不就 d 等于零吗，对不对？所以呢，你看啊，你如果说 f t 啊，就是我的这个 d 就是 f t 啊， f t 如果等于这么一个东西的话，那说白了，你的 f 零是不是就等于零， 对吧？我这个就我的就 t 等于零的时候啊，我的这个 d 是 等于零的嘛，对不对？这个能理解，就是刚浮出水面开始计时嘛，所以呢，你就能哎，把这个零如果给他带进去的话，那这样的话就是直接哎，这些就没有了，所以就 a 乘以三以内加 k 等于零， 那最后你看啊，我现在要求什么？要求我的 f， 那 且说白了，你只需要求这个 a 和 k 就 可以了，明白吗？那最后这个题就转化成了，我现在需要求出 a 和 k 啊，一个是我的一个这个啊， 加减的一个常数，那这个怎么求呢？哎，就记住一句话，就是，哎，只要是下次问你求 a 和 k 就 怎么求，我们应该怎么求 f， 这个啊，看我之前视频啊，自己去看，但是呢，怎么求 a， 怎么求 k 呢？这个很简单，你只需要去看我的最高和最低就可以了，明白吗？什么意思呢？就比如说我拿下面这个题给你举例子吧，你看啊，这个题我的最高叫六，你的最低是负二， 那么你想一下我的这个 a 等于多少呢？或者说你或者说你先想这么一个事情，就是，哎，什么时候我取到一个最大值就等于六呢？哎，什么时候我取到一个最小值等于负二呢？你可以思考一下什么时候 是不是当整个撒引这一坨东西，如果等于一的话，我就取最大值，如果取负一的话取最小值呗， 明白了吗？因为萨以本质上就是负一到一嘛，对不对？那你想，如果我取一的话，那就是 a 加 b， 所以呢，你是不就能得到 a 加 b 是 等于六的呀，对不对？然后呢，我如果取负一的话，那是不就你就能得到负 a 加 b 一定是等于这个最小值等于负二的呀，明白了吗？你只需要把这两个式子只要给它列出来，然后去解这个 a， 去解这个 b 就 可以了， 对吧？啊？那这个题你现在自己去解吧，然后我们现在看下题目，这道题啊，那怎么去求这个啊？怎么去求 a k， 你 看我这给你写清楚了啊， a 加 k， 也就说我这个算术费等于一的时候，最大的时候，那就是 a 加 k 啊，我是等于这个大 m 的， 然后呢， a 负 a 加 k 就 等于这个小 m， 这个刚已经讲过了，对不对？那我们现在看一下大 m 和小 m 都是多少啊？这个，我的这个，这个，这个，这个 f t 就是 d 吗？你看这个 d 最大是多少？ 这个 d 最大是不是在这，在这的时候最大吗？对不对？那你看我离水面的高度是多少，是不是等于这个？哎？二，然后再加上这个根号三吧，明白吗？所以呢，我的大 m 就 最高值最大点啊，最大的值就是这个二加根号三，然后呢，最小等于多少呢？最小怎么看呢？ 那肯定是在这这里的时候最小呗，对不对？那最小等于多少？那最小的时候，那不就等于负的这一点吗？那这点等于多少？那不就等于二减去这个根号三吗？明白吗？然后是负的就根号三减二吗？ 明白吗？哎，所以呢，你的这个 m 就 等于根号三减二，那所以你就能写出来，哎， a 加 k， 这里就 a 加 k 啊，等于这个大 m 等于二加根号三，然后呢，负 a 加 k 等于这个根号三减二，哎，你给它列出来，你还解不出来吗？ 对不对？哎，两式直接一相掐， a 直接没了，所以呢，解出来 k 是 等于根号三的，然后呢， k 如果等于根号三的话，那 a 不 就等于二吗？明白吗？这不就解出来了吗？所以呢， a 和 k 解出来之后，那说白了吗？所以呢， a 和 k 解出来之后呢？ k 就 刚刚的 k 吗？但是我们现在已经解出来了， 对吧？然后呢，所以呢，三一 f 等于负二分之三，所以这个 f 等于负三分之 pi。 好 吧，就是，这就是一道非常经典的一道就是三角函数求解析式的题啊。这个我给大家已经放了一道这个经典的例题啊，大家可以自己去把这道题独立去完成，好吧，我相信这一类题都已经会了， ok 吗？好吧，这就是这个第六题啊。这个题，嗯，很很常规，但是呢， 我觉得还是很重要，因为，呃，可能对我来说很惭愧，可能对这个大家来说，可能平时这种求呃经常做的可能是求我们应该求 five 的， 但是呢，求 a 和 k 的 可能见的不是很多啊，所以呢，大家还是得去好的把这个题型去再钻研一下啊。然后我们现在看下这个第七题啊，这个第七题真的是， 我看这个第七题我真的气死了啊，就是这个题就考的是我们我二二年啊，高考的时候坐到考场上哎做的那个十一题，这道题就是我，我们二年的时候是我们这个已卷是老二考，就是他是十二道单选择题，十二道单选择题，但这个题他只有两个答案， 就是我当时费劲把火哎做出来了，然后呢，选了一个，然后感觉，哎，怎么还有一种情况，然后我就不知道选哪个了，然后，哎，我就这个题花了好长时间，但是最后，哎，结果发现这是一道错题，就是明明有两个答案，但是答案选去出了啊，所以就很多人其实蒙哎，都二分之一的命中率，可能都蒙对了，我花了很多时间还在纠结到底哪个是对的， 所以这个题我真的，我看这个题真的很很烦啊。所以呢，这个这个二年，你觉得这个题的话再说。我们先把这个题看一下，嗯， 先把这题看一下这个题，呃，先读一下题，他是一个双曲线，然后呢，我的这个 a 是 一， a 是 告诉你的，然后呢， m 是 b， b 是 m 是 不知道的，然后他告诉你左右焦点 f 一 f 二，你看我都已经画出来 f 一 f 二啊，然后呢，读一下题啊，然后呢，他说啊，有一个圆，这是一个单位圆， 这是一个单位圆，然后呢，过 f 一 做圆的一个切线啊，做这个圆的一个切线，然后呢，交双曲线的一个右，至于点 m， 就 这个点是 m， 你 看啊， 我不知道你能不能看出来，就是我这个已经已经题目告诉你了， a 是 等于一的，对不对？你看这个长度是不就是 a， 然后呢，刚好你这个长度是圆的半径啊，是等于这个一的，所以呢，你就说这个圆，哎，是不是刚好和这个双曲线这里也是相切的呀？好吧，这个你应该能看出来吧，然后呢，他告诉你 f 一 m f 二，就说这个角是六十度 啊，然后呢，等于这个六十度，然后呢，问你 m 等于多少？那这个题怎么做呢？这个题就是考了一个非常经典的叫焦点三角形啊，这个我先不讲，下面这个题，我先给大家讲一下这个通法就是焦点三角形有六个考法啊，这个如果有需要的话可以在评论区告诉我，我会单独出一期视频给大家讲，因为这个比较复杂，嗓子有点疼啊，我 就这个东西比较复杂啊，就是，呃，大家可以评论区私信我，然后我单独给大家讲啊，然后呢啊，今天重点讲一个叫考法五，第五个考法就是在焦点三角形的题里面，只要你看见终点了，记住一个东西叫条件反射，干啥？ 做中位线，好吧，这是焦点三角形里面非常非常重要的一个考法，就是只要你看见终点了，条件反射做中位线就可以了，然后呢，有一句非常重要的话，叫什么叫别忘了圆点 o 是 天然的终点， 就比如说这个题，你看啊，我现在首先啊，我觉得应该能反应过来，这里是相切，那相切的话，肯定反应过来的话，就是做垂线呗，对吧？是垂直的嘛。然后呢，你看啊，我这个圆点 o 是 不是 f 一 f 二的一个中点，这是不是焦点三角形的一个天然的一个中点， 对吧？那这样的话就能明白了，我现在条件反射应该干嘛？是不是要做中位线？那怎么做呢？哎，你看这是一条线，那他是谁的中位线呢？那不就是过 m， 过这个 f 二，然后呢？做一条线，哎，那不就是这条线的一个中位线吗？ 画的有点不太好啊，画的有点不太 ok 啊。然后现在画好之后，你看，那说白了，你如果做一个垂点，如果这个是第一的话，那说白了，你看这个长度是不就等于二分之一的这个长度，对不对？那你看我这个长度是一，那这个长度就二呗，对吧？然后呢，这是六十度，那的话，这个长度是不出来了，这个是几啊？这垂直吗？那这个长度，那不就是这个？嗯 嗯，这个，这个，这个，这个，这个，哎，我想怎么就根号三分之四吧，对不对？然后呢啊，这个就是那这个小长度，那就是根号三分之二， 明白了吗？好吧，你就可以通过题目的这些信息就可以把这个东西表示出来，然后呢，有一个非常重要的一个结论，也不说结论吧，就这个题啊，为什么我说和这个题一模一样，等会你就知道了，你看啊，我这个告诉你了， a 是 等于一的，双曲线里面是不是有一个结论叫 a 方加 b 方是等于 c 方的， 对吧？然后你看啊，这里是有一个垂直的，那你看这个东西，如果是 a， 然后呢？这个东西没问题，是 c 吧，没毛病吧，对不对？那说明这个长度是不叫 b 啊，对不对？那说明，哎，这个长度那肯定也是 b， 因为是中位线嘛，明白了吗？然后呢？双曲线，这个双曲线里面有一个，这个双线的定义是什么？是不叫 m f 一， 减去 m f 二，他一定是等于二 a 的， 对不对？那二 a 呢？那在这个题里面， a 等于一，所以就等于二嘛，对吧？那 m f 一 是多少哎，那不就等于二 b 再加上一个根号三分之二嘛，对不对？所以等于二 b 加上一个根号三分之二，然后呢？减去 m f 二是多少？ m f 二，那就是根号三分之四嘛，对吧？根号三分之四，哎，所以就等于二，哎，是不？ b 直接出来了， 对吧？ b 等于多少？你看 b 二 b 就 等于这个二，然后呢，再加上一个三分之二，所以呢， b 就 等于一，加上一个三分之根号三，哎，这个 b 不 就是题目里问的这个 m 吗？明白了，所以呢，选 b 直接出来了， 好吧，这就这个题的可以秒杀的一个做法，就是很快啊。啊，这个你如果整体研究的不透的话，可能这个题还得想一会，因为像这个做中卫线，可能这里就已经啊，可能就就已经打败了很多同学了。 好吧，那我们现在看一下这个啊，我当年高考考场上让我非常头疼的一道题啊，这个题是是怎么个事啊？你看这个题还是一样的，哎，有一个这个圆和这个双圈是相切的，是一个单位圆啊，然后呢？他说，哎，过这个左焦点，然后呢？哎，坐我这个 这个圆的一个切线啊，这是一个圆，然后呢，与这个交与 m 两点，只只，只不过就是这个点的一个做，这个点的一个字母表示变了一下，哎，这时候这个变成 m 点了，然后呢，这个变成 n 点了，然后呢，他说考算以 f 一 n f 等于五分之三，他告诉你了，这个角的考算以只是五分之三，是不是一模一样， 对吧？只不过呢，这个题比较简单一点，他直接告诉你这个是六十度了，但是呢，这个题他没有告诉你是六十度，他只，他只告诉你我是五分之三， 是不是一样的。那这个题怎么做呢？哎，连了一下啊，这是一个垂直，这是 a， 然后呢？哎，你看这里做一个垂线连中位线，这个是二 a， 那 这个是二 a 的 话，因为这个考三是五分之三，所以这两个是都能求出来，对不对？一个是二分之三 a， 一个是二分之五 a 都能求出来，然后呢，这个是 b， 哎，这个也是 b 加上一个二分之三 a， 二 b 加上一个二 a 减去，哎，这个二分之五 a 等于二 a， 这不就 d 定义吗？然后呢， a b 是 等于三 a， 那 离心率不就出来了吗？是不是一模一样？ 所以这个题就是今年提八，这个题就抄的。是啊，三年前啊，二二年我当年高考的那道啊，这个 单选呲牙咒啊，就考就抄的这道题，当然这个题我为什么说是这个错题呢？就是因为除了这个情况，就是命题老师想的这个情况以外，还有一个情况，大家可以自己去思考一下。好吧，这个就给大家留成作业啊，自己去思考啊，这个题是有两个选项的啊，好吧，自己去做好了，这是我们今天的这个第七题，然后现在看一下这个第八题啊，这个第八题，嗯，非常有意思 啊。这个题如果说啊，你现在如果考不到啊，一百一十分吧，考不到一百一十分的话，你可以，呃， 听到这听到这就可以了啊，如果你能考到一百一十分以上，这个题一定要听完，好吧，你别看这个是单选羊肉题，但是这个题真的非常重要。 ok 啊，我们现在看一下，他告诉你了一个 f x， 我是 一个分段的，然后呢， g x 等于 f x 加 f 负 x 能看到你我，我不知道你看到这个东西的条件反射是什么，就是我的条件反射，就是你把 x 全部换成负 x 的 话，我的这个 g x 是 不变的，那换，那换句话说就是我的 g x 就是 一个偶函数啊，对不对？所以呢，我读到这个信息的时候，我就已经条件反射， 我就已经条件反射，想到我 g x 就是 偶函数，那你是偶函数的话，然后我说啊， g x 和啊，这个，这个恰好有四个零点，哎，是不是一道非常经典的零点问题？那零点问题我们说通法是什么？ 百分之九十九就记住我一句话，所有的零点问题，百分之九十九他一定是转化为图像焦点问题，这个东西能记住吗？好吧，这个东西就真的是。呃， 我给自己的学生就讲了无数次了啊，零点问题就是转化为图像焦点问题，当然简单的可能就是两条直线啊，可能就那个焦点，但是呢，如果稍微复杂一点，有可能像这个题就是一直一曲啊，一个直线，一个曲线啊，这个题啊，这个题。我这个怎么说呢？我讲的 我不按标答讲，标答那个太复杂了啊，还要用什么落必答？我看了一下，还用落必答，还用什么极限啊，就真的很复杂。但是呢，我给大家讲的这个方法非常简单，就是直接转换一直一曲就可以了。那么现在翻译一下这个题啊，这个题说 g x， 我是 一个偶函数，然后呢？你有四个零点，你想一下， 我一个偶函数，哎，如果有四个零点的话，那说白了是不是研究一半就可以了？我只需要在 x 大 于零的时候有两个零点就可以了，能明白吗？好吧，所以这个题我们只需要什么？只需要研究一半就可以了。那我们只需要求出 x 大 于零的时候，我的 g x 的 表达式是什么？这个，这个能理解吗？咳咳，嗓子有点不舒服啊，我这个， 咳咳， ok 啊， 今天讲了一天，嗓子确实有点不舒服，但是不影响。好吧，不影响，现在已经凌晨五点半了，五点半了，嗯，我们讲吧。啊，然后呢？现在我的 g x 是 一个偶函数，然后我们研究一半就可以了。那我们只需要求出来 x 大 于零呢？是我的 g x 表达式，那 g x 等于 f x 加上 f x， 你 想啊， x 现在是大于零的，那负 x 就 小于零呗， 对吧？那 f x 那 不就是大于零的这个东西，那 f x 不 就小于零的这个东西吗？明白了吗？所以直接把这个东西大于零的这个东西，所以 g x 不 就求出来了吗？ 明白了吗？然后我们现在要研究 g x 的 零点，那么我们就令 g x 等于零，哎，你发现那就是令它等于零，你把这个东西如果移到右边，是不是成功转化成了一直一曲啊？ 能理解我这个方法论的意思吗？什么叫一直一曲？你看我这个 k 乘以 x 减一，这个东西是一个直线吧，对吧？而且我是过什么？过一个定点的叫一斗零，我是过一个定点的一个直线，然后呢？这个东西是一个曲线， 那其实说白了，题目说，哎，我这个东西等于零，有两个解，那其实说白了，是不是我这个曲线和这个直线有两个交点，能明白吗？这就是为什么我说零点问题一定要转化成图像，这个这个图像交点问题，因为这样的话会简化很多思考， 明白吗？现在我这个曲线和这个直线有两个交点，然后我们现在看一下啊，我们已经翻译过来，然后我们现在看一下，那怎么办呢？那只需要把两个图像画出来呗， 对不对？那只要把两个图像画出来呗。那首先我们先画这个左边这个曲线的一个图像，对不对？你看令 h x 等于 e x 再乘以 x 减一啊？这个东西首先我不知道你能不能看出来我是这个东西是递增的，当然你如果看不出来，你求导也可以，但是我能直接看出来，为什么？因为这是单调性的结论嘛，对吧？哎，我这个东西是增的，这个东西也是增的，并且 x 大 于零的时候，我是一个正的，我也是正的， 对吧？两个正的，然后两个都是增的，那乘起来肯定也是增的嘛，对不对？那增的话，那就有两种情况，那要么可能就是，哎，斜率越来越大，要么可能斜率越来越小，都是增的，那到底是哪个呢？啊？你这里都看到 e x 方了，你能想到我的斜率肯定是增大的吗？对吧？所以呢，你的这个图像就能画出来了， 对吧？并且呢，哎，特殊点，那因为是这个初十指示这个 x 大 于零，所以把零的话，那就是 a 乘以负一，那就负一，所以我的这个 h x 这个曲线的图像是不是就大概就这个样子， 能明白吗？好吧， ok， 我 们现在研究出来这个 h x 图像了，然后我们现在研究一下什么？再研究一下这个直线的图像，那这个直线，哎，刚刚您说过了，他给我的定定点是一到零，然后呢？我的斜率是不确定的， 然后呢？那你想那一到零，那你现在可能会有一个问题呢？说，哎，我这个一在这呢，还是在这呢，对不对？那这时候我们就得研究一下什么？研究一下我这个 h 一 到底是正的还是负的？带一下啊？ h 一 就等于一的一次方，再乘以二乘一，再减一， 你反等于一嘛，对吧？他肯定是正的，所以呢， h 一 是正的，那说明什么？那说明一就在这嘛，能明白不？说明一就在这嘛？把这个图像再换一下， 他大概就是啊，这个一可能肯定是在这的，肯定是在这个零点的这个右边的，然后呢，现在我们这条直线是过这个定点的，那说明我这个直线是不是有可能是这个？有可能这个，但有可能也是这个， 总之就是过这个零点就可以了，能明白吗？好吧，那现在，我们现在研究一下，我们现在说，哎，我这个曲线和这个直线得有两个焦点，那你想有，有，有什么可能性呢？有什么可能性呢？是不是其中一个可能性？我这个直线可能就是 就这个样子，能明白吗？可能和左边哎，有两个交点，当然是不，也有可能，我这个直线可能是长这个样子，可能和右面上面这里有两个交点，能明白吗？是不是有两种可能性啊，对不对？所以呢，他最后问的是什么？问的是我的这个什么？问的是我的这个 k 的 一个范围， 那说白了，是不是问的是你的这个直线的一个斜率的范围啊，明白了吗？那怎么办？去找零件就可以了呗，对吧？我们找零件，那零件是什么零件呢？就相切呗，是不是啊？就是一个相切的一个问题。那我再问你啊，能能听到这的，那肯定基础不错了啊，那我问你相切问题的通法是什么？是不是设切点， 对吧？那我们直接设切点就可以了，对不对？那设切点就是 x 零，然后呢？啊，就比如说设这个 x 零，二 x 零减一嘛，对不对？所以呢，就是 x 零啊，然后呢， 二 x 零减一啊，这就是我的这个啊，切点。那这样的话，你想那，哎，只需要什么？只需要再求一下导，那 h 导 x 零是多少呢？在 x 零处的切线的斜率是多少呢？哎，求一下导，那就是啊，我，我写这里吧，那这个 x 导 x 的 话，那就等于这个 e 的 x 次方再乘以二 x 减一啊，然后再加上一个二，就等于二 x 加一吧， 对不对？所以呢， h 导 x 零就等于 e 的 x 零，然后再乘上一个二 x 零，再加上一个一，然后呢？现在你说，哎，我在这个 x 零处，我的一个切线的斜率在这， 然后呢，同时我如果是切线的话，是不和这个一斗零是不是一定是连线呀？所以呢，只需要列公式叫两点连线的斜率等于我这个导数就可以了，对不对？那就是这个点与一斗零连线的斜率等于。这个东西写一下呗， 对吧？写一下呗。所以呢，就它减零，那就是一的 x 零，然后呢，再乘上一个二 x 零，一的 x 零乘以二 x 零，然后再减一，然后呢，再减去一个零，再比上一个 x 零，再减一，就等于什么？等于一的 x 零，再乘上一个二 x 零，加一嘛， 对不对？然后呢，你发现这个一 x 就 约掉了，就是用这种话做的话，就没有任何计算量啊，约掉之后，哎，把这个东西乘过去，那这样的话就二 x 零减一，哎，就等于这个二 x 零方啊，加 x 零，然后减二 x 零，再减去一个一，减一减一，哎，没有了， 所以呢，哎，化简一下就是二 x 零方，这是减 x 零，再减去二 x 零，减三 x 零，哎，就等于零，所以呢， x 零背的一个啊，这个二 x 零再减三，哎，就等于零，说明你可以解除两个切点啊，第一个切点呢就是零，第二个切点呢，就是 x 零等于二分之三 啊，所以现在就这个图像就已经啊能搞清楚了啊，能搞清楚了，他长什么样子呢？我这个如果是一斗零啊，这个是啊，这个零斗负一，我这个图像，哎，我肯定是长这个样子，你看着我画的标准一些， 首先第一个零件，第一个切线是，哎，我这里镶嵌，明白吗？正好在 x 等于零的时候镶嵌，然后第二个切线是什么呢？第二个零件的切线是什么呢？它是在这， 哎，我在这个 x 零等于二分之三的时候是想起了，明白了吗？这就是两个这个零件啊。那你现在想想，我，如果我我，我们先看下面这个情况，先看这个第一种情况，那你看这个东西，我现在要有两个切线啊，要有两个切点，你觉得我能转过来吗？如果这样转一下，你觉得有几个切点，有几个焦点啊？ 是不是只可能有这一个焦点，对不对？你再转呢？你这个斜率能再小吗？你再小的话，你发现，哎，仍然是，不是啊？这个仍然是只有这一个焦点，能明白吗？也就是说你这个第一种情况，哎，你再怎么转，你再斜率再往下怎么转，你如果往上转的话，那就是第二种情况了，那你如果再往下转的话，你是永远都不可能有两个焦点的，所以呢，这个情况是不废了， 明白吗？但是我们现在看一下上面这个第二种情况，但是你稍微往左边转一点点，你看啊， 哎，是不是就有两个交点了，能明白吗？能明白这个道理吗？你是不是就有两个交点了？所以呢，只需要大于这个切线的斜率就可以了，哎，这就是这个题就已经做出来了，哎，所以现在我们只要求他的斜率就可以了，哎，那直接怎么说呢？直接这个 啊， x 到 x 在 这呢，对不对？那直接 x 到二分之三呗，对吧？ x 到二二分之三等于多少呢？啊？那就等于这个啊， e 的 一个二分之三次方，然后再乘一个二乘以二分之三，再加上一个一啊，所以等于四乘上一个 e 的 二分之三次方，那就说，哎，我这根直线的斜率就等于什么？就等于四乘 e 的 二分之三次方，那就说你只需要再转转什么呢？只需要比我的这个斜率大， 哎，你就可以，是吧，你就可以有两个焦点了，能明白吗？好吧，所以最后你的 k 的 斜率就是 k 大 于啊，这个四乘一的一个二四二分之三方就可以了，明白了吗？好吧，这个题做完了 啊，不用什么，就是像标答里面的那些什么极限法，就是没有必要啊，直接用这个转换一支一曲去研究它的斜率就可以了，好吧，这是啊，这个题我觉得最快的做法，好吧，所以这个题直接选这个 b 就 可以了， ok， 这是我们的第八题啊，这个题非常的非常的棒啊，然后啊，所有就是你，哪怕你你要冲一百三啊，冲这个稍微高一点的分的话，这个题一定是要拿下的，好吧，这个题型一定要拿下， ok 啊，这就是整个所有的单选题啊，非常就是非常棒啊，非常棒，就没有没有一道水题，只能这么说啊，没有一道水题啊，任何一道题都可以拿来直接当高考题的，好吧。 啊，然后我现在看一下这个多选择题，多选择题第一题非常简单，多选择题第一题真的，我觉得就是来来搞笑的，但，但是啊，这个会考验一下你对这个几个这个量啊，你对他的理解就是我现在有一组数据啊，是这个平均数为 x 一 把， 哎，这里是少打了一个 x 一 把，平均数为 x 一 把，然后呢，将这组数据分别加上你的平均数，那你看 x 一 加上一个 x 一 把，哎，得到了这么一组新的一个数据，然后他问你新的数据和原来数据相比？首先 你可以这么想，哎，我原来的数据的分布如果可以化成这样的话，那你现我给每一个人都加了 x 一 八，加了一个同样的数，那是不意味着我这个图像它就是往上平移了一个 x 一 八， 能明白吗？那首先我问你极差相同吗？极差叫什么？叫最大的那个减去最小的那个吗？明白吗？就比如说你原来里面最大的可能是 x 七啊，最小的是 x 七减 x 一 嘛，对不对？那你看，我加完 x 七加一八之后，那最大的就是 x 一 加 x 一 八了， 对吧？那你最后的你变变变完的这个新数据的级差，那就是 x 七加上 x 一 八，然后呢，减去 x 一 加上一个 x 一 八，你发现仍然是等于 x 七减 x 一， 所以呢，你的级差一定是相同的，这个没有问题吧？好吧，那平均数呢？ 啊，这个你可以这么想，就是啊，你们现在这就是你们班的成绩啊，现在突然发现有一道题啊，就比如说你们班现在平均成绩为五十分，只能考五十分，现在突然老师发现啊，有一道题，哎，遇错了， 现在给每一个人都给他加上五十分，你觉得你们班的均分会变吗？对不对？那肯定是变高呀，能明白这个道理吗？对不对？你们每个人都考了五十分，那平均数你的均分那肯定会变高呀，所以不同这个 b 也是对的。 那方差呢？方差代表的是什么？方差代表的是离散程度，哎，或者换句话叫集中程度啊，你就记住一句话，就是只要你的这个啊，分布的这个图形不变， 那你的方差是永远不变的，除非什么？除非就是你可能从哎这个状态，然后呢，变成什么了？变成一个哎，又高又瘦的，变得更集中了，你这样的话，你的方差才会变，能明白吗？就只要你的图像，你无论是上下平移还是左右平移，只要你这个图像是不变的，那你的方差一定是不变的，能明白吗？所以方差不同，哎，肯定是错了，因为方差是相同的， 然后中位数相同，那就想，哎，那就想你们班啊，你们班啊，这个，呃， 我这么说吧，就是你们班，还是拿刚刚那个例子，对不对？你们班这个排名啊，这个，呃，根据那个数学考试成绩会有一个排名，对不对？那最中间的那个人，现在啊，我们每个人都加了五十分，那你觉得最中间那个人变不变？可能最中间那个是小张，对不对？那现在啊，每人加了五十分，那最中间肯定还是小张呀，但是小张他的成绩变了吗？ 那肯定变了呀，对不对？你原来可能考四考，可能考个这个四十三分啊，可能考四十三分，但现在加了五十分，你成绩可能变成啊九十三分了。所以呢，你这个中位数肯定是变了呀，并且呢，中位数肯定是啊，虽然那个人没变，对不对？那个按照那个排名啊，你那个人没变，但是呢，你的分数肯定变了，对不对？所以呢，应该是肯定会啊，上升这个 x e 八的， 肯定会在原来那个中位数的基础上上 x 一 八的，明白了吗？这就是这个第九题啊，非常简单，然后现在看下第十题，这个第十题说实话，这个计算量不小，而且考了一个东西，叫飘带放松啊，这个你会的话，这个题很快。我们先看一下这个题，他说了一个 f x 等于三一拍 x， 然后呢， g x 等于这么一个东西，然后他说 h x 等于我俩相乘， 然后呢， a 选项 g x 分 之一加 g x 等于零，那 g x 这样，那就试一下呗，对吧？你看 g x 分 之一，那就把里面所有的 x 全部换成 x 分 之一，不就可以了吗？能明白吗？啊，然后呢，再加上一个 g x， 那 就把整个东西抄过来，哎，最后你发现，哎，哎，这两个直接约掉了，哎，约掉了，所以呢，就是负的一个 log x 分 之一，那 log x 分 之一，那不就是 log x 的 负一次方吗？ 对吧？那 x 负一，那么说指数是可以调提到前面的呀，所以呢，负一提前面，然后和这个符号就约掉了，所以呢，就是 log x， 然后再减去 log x， 那 不就等于零吗？所以呢， a 选项非常非常简单，直接就对了 好吧。啊，然后呢， b 选项他说 g x 大 于等于零的，解结为这个零。逗一啊，就是让你去解这个东西，令它大于零的话，你去解这个 x， 啊，这个怎么解呢？啊？我们就令啊，这个 g x 大 于零，哎，你发现稍微移一下项就得到这么一个东西，这两个函数我们都很熟悉啊， 对吧？啊，这个东西是什么？是对数函数啊？是劳力函数，然后这个东西叫什么？叫飘带函数，大家可能如果变成加号的话可能就认识了，叫对勾函数吗？对不对？那如果变成减号，这个东西叫飘带函数啊，这个如果啊，不知道可以去啊，网上自己去搜啊，去让别的老师给你讲一下 啊。那飘带函数和这个对数函数有什么关系呢？大家记一个，哎，导数或者说函数可能比大小里面经常用的一个东西叫飘带放缩啊，这个东西很重要， 就是我的学生是一定要会的。好吧，什么叫飘带放松呢？就是你看啊，我现在有三个函数啊，一个叫这个就是飘带函数，然后呢给他乘一个二分之一啊，乘一个系数，然后呢？ 啊，这个捞引 x 在 这，在中间啊，然后呢？这个两倍的这个东西在最下面啊，这就是我们三个的一个关系啊，就是无论是比大小还是说啊，这个导数的大题都有可能会用到，所以呢，这个一定要会啊，然后呢，这是第一个版本，然后第二个版本是什么？就是啊，我现在不要那个系数吗？对不对？然后呢再和捞引 x 他 们的图像是什么关系呢？ 首先捞引 x， 我 们说我们俩的焦点都是一到零，这个能理解吧？这个这个没问题吧？我们焦点都是一到零，然后你发现在 x 大 于一的时候，我这个飘带函数是要比捞引 x 高的， 但是呢，在啊，这可能是零啊，在零到一的这个区间里面，我的这个捞引 x 是 要比飘带函数要高的，明白吗？那我们现在要求的是什么？要求的是飘带比捞引高的， 那飘的比捞音高的是哪一部分？你看飘的比捞音高，那不就是 x 大 于一的时候吗？明白吗？所以呢？哎，你解出来应该是 x 大 于一啊，就是如果你对这个放松非常熟练的话，你这个题直接可以秒杀了，明白吗？今天我就给大家讲了，所以一定要会啊。 好吧，所以直接解出来 x 大 于一啊，所以这个错了啊，应该是 x 小 于零的解解才是这个零多一，能明白吗？好吧，这是我们的 b 选项，然后 c 选项，这个就挺啊挺，挺复杂了，他说 h 三分之十六小于 h 十一分之三， h 是 什么？是我们两个相乘， ok， 那 我们现在把它抄下来， c 选项，我们先把这个 h x 抄下来啊，这个就是 f x 嘛，对不对？然后呢？这个东西是这个 g x， 然后我们来相乘，等于这么一个东西，然后现在我们要比这个 h 三分之十六，和这个 h 是 一分之三， 这个怎么比的，对不对？那是不是直接把这个三分之十六带进去，哎，这个十一分之三也带进去，那是不是最终比的就是，哎，散以三分之十六派乘以这三分之十六，哎，和这个散以十一分之三派，和这个这十一分之三就比我们两坨东西啊，明白了吗？那现在很明显肯定是分开去比嘛，对吧？我比我，然后你比你嘛， 明白吗？好吧，那我们先比一下三以三分之六和这个十一分之派，所以呢？哎，就等于负的一个三以三分之派 啊，然后呢？这个是散以十十一分之三派，这个就不用变了。然后我们现在比一下这个散以三分之派和这个散以十一分之三派，散以三分之派和散以十一分之三派，这个怎么比呢？ 中间我们都是零到二分之派的，对不对？那就比谁大呗，比这个三分之派和这个十一分之三派谁大呗？怎么比呢？直接啊，这个通分啊，所以呢，就三分，我这个三分之派，那就是三十三分之十一派吗？对吧？那十一分之三呢？就等于三十三分之九，对不对？然后呢，你发现，哎，这个明显是要比散以十一分之三派要大，并且我俩都是正的 好吧？ ok 啊，这个就是，哎，你看，哎，我俩就已经啊，相关的这个大小都已经，哪怕是绝对值的大小都已经比清楚了。然后我们现在比一下这个 g， 三分之十六和三，这个 g 是 一分之三啊，这时候非常非常啊，这个题非常非常好的地方来了，就是没有无缘无故的 a 选项， 就是你发现一个东西就是三分之十六是一个大于一的，十一分之三的又是一个小于一的，对吧？他们俩这个倒数好像又有点关系哎。然后呢，你又想到这个 a 选项， a g x 分 之一加上 g x 是 等于零的，这个已经挣出来了，那你想，那我的 g x 是 不是就等于负的一个 g x 分 之一啊？明白了吗？我们现在就要用这个 a 选项的结论，这就像有的大题哎，导出大题，第一问，让你证明一个东西，那第二文是不是经常就要用到第一问的那个结论呀？ 明白了吗？这就是啊，大题里面可能是没有无缘无故的第一问，那多选题这种复杂题里面可能是没有无缘无故的 a 选项，明白了吗？把这句话记死啊。好吧， 所以你看啊，我们要比的是三分之十六和十一分之三，那其实本质上你看 g 十一分之三是不是就等于负的一个 g 三分之十一啊？对不对？哎，所以你其实比的是这两个，那我们现在比一下，哎，这个 g 三分之十六和这个 g 三分之十一到底是一个什么关系呢？哎， g x 它明显是个低增，这个能看出来吧？ 啊，你如果看不出来，你就求导。当然你如果啊，能看出来，如果这个图像已经刻在脑子里了，哎，你看吧，哎，左边那就是这个啊， 这个，这个飘带减去老影，你看啊，飘带减去老影，就是负的越来越少了，那不就变大了吗？对不对？然后呢，右边呢，就正的越来越多了，所以呢，也是变大了，所以整个肯定是低增的。相减肯定是低增的啊，这个如果你啊这个想不明白，你就去求导啊，也可以，那你其实是递增的，并且呢，这一是等于零的，这个没有问题啊。所以呢，你想这一是等于零的，你还是一个递增的， 你还是一个递增的，那说白了你三分之十六在这，对吧？三分之十一在这，那你看 g 三分之十一是一，并且是正的， 明白了吗？好吧，你只需要哎，把这两个只要能全部都能比明白啊，你这个题就做完了啊，不然你这个题还是有点够，还是够呛，好吧， 然后呢，哎，那就是最终，哎，你回到刚刚那个，哎，我要比的是这两个，然后我们现在看一下，哎，三以三分之十六派等于负的一个三以三分之派啊，然后呢？啊，你的这个这十一分之三等于负的一个这三分之十一，然后我们现在看一下，我们几个，哎，全都是正的，对吧？全都是正的，并且呢，我是大的，三以三分之派是大的，哎，这个是小的，然后呢，你看 十六三分之十六是大的，哎，所以这个是大的啊，然后呢？哎，这个是小，哎，这个是小的。所以呢，两个大的相乘呢？肯定是大的，所以一个是负的，一个大数，一个是什么？一个是负的，一个两个小的相乘，那就负的一个小数嘛，那比如说负八和负三，你觉得是什么号呢？ 那肯定是小于号嘛，明白了吗？所以小于，小于，所以全都是小于，哎，所以最后，哎，这小于，哎，小于，所以 h 三分之十六是小于， h 是 一分之三的，好吧，这个题做完了， 明白了吗？好吧，所以这个啊， c 选项，哎，就是对的，明白了吗？好吧，所以这个题 a c 读对了，然后得个选项，这个就比较简单了。他问你 h x 是 不是极大值点，那怎么做呢？哎，你只需要哎验证一下 h 一 h 倒一是否等于零就可以了，对不对？如果你这个一是极大值点的话，那一定 h 倒一是等于零的，你那里的导数肯定是平的吗？对不对？肯定是等于零的， 那所以我们现在求一下导数啊， h x 在 这啊，求一绕一绕一，不就是零吗？ 对吧？然后呢？散一派，然后再加一减一啊，你看，哎，那这个一减一，那说明左边这一坨等于零吗？然后右面的散一派，散一派是多少？那不也是零吗？对不对？所以呢，就零加零，哎，所以等于零，那所以 s 倒一等于零，那说明 s 等于一，那不就是你这个图像的什么极大知识点吗？明白了吗？好吧， ok， 所以呢，这个题选 a c 得啊，这个题非常的棒 啊，非常的棒，我觉得这个题啊，最棒的不是这个飘带放松啊，不是，后面怎么比？就这里比的这一坨东西其实我觉得还是有点繁琐的，嗯， 不是非常的好，但是呢，我觉得最重要的是这个最亮眼的是这个，他用到了一个 a 选项， a 选项的一个结论，好吧，这个就真的很重要， 好吧，所以这个题需要大家掌握的，第一个就是这个飘带放松，这个非常重要。第二个就是学会我这个方法就是没有无缘无故的 a 选项，你当一个题可能多选题啊， c 和的做不出来，哎，你去看一下这个 a 和 b 可能就能用到了，能明白吗？好吧，所以这个题是我们的这个第十题就 ok 了， 然后这个第十一题立体几何，这个得选项真的是非常有新意啊，但是呢， a b c 还是比较长，还是很常规的啊，然后他说我是一个正四能追啊， p a， b， c， d， 那 什么叫正四？正四能追？ 什么叫正四能追？就底面是一个正方形，对不对？底面是一个正方形，并且这些棱长全部都相等啊，这个叫正四能追。那什么叫正三能追？什么叫正三能追？正三能追？就底面是一个等边三角形，然后呢，三条侧呢？都相等啊，这个叫正三能追，这个要搞清楚，然后他说我的底面边上是一，那说明这个是耶耶耶啊，然后呢？该四能追的一个顶点，屁在正方的一个内部啊，包括表面， 啥意思啊？我是一个正方体的高，是不是也是一啊？然后你这个屁点不能捅破这个天花板， 那你这个屁点如果要在里面的话，那是不肯定是啊，得大于零，小于等于一啊，能明白吗？你等于一的时候，你就刚好就头碰到那个天花板上了，然后你再大于 a 就 一下捅出去了，明白吗？所以呢，你不能超过 a 啊，所以这个 a 直接打对，明白吗？那这个题如果我出的话，我可能会给这里加一个这个 圆括号啊，但是你的它它包括表面了，好吧，这个就是稍微有点坑，这个 a 选项我觉得没什么意思。然后呢，这个 b 选项他说如果，哎，你的测能长是二分之根号三，问你高度啥意思啊？ 他说我的这个测能长是二分之根号三。然后呢，问你这个高度高度就是这个屁啊，和这个屁一撇的一个这个连线吗？那你想我是正四能追啊，那正四能追的话，我的这个顶点，他在底面的那个投影是不一定是底面的那个中心啊， 能明白吗？是不一定是底面的中心，那这样的话，他现在已经知道这个了，然后问你这个高度还是怎么求呢？那明显是在这个直角三角形里面去求吗？对不对？哎，底面这个东西等于什么？这个怎么算？ 这个不就是对角线的一半吗？那对角线呢？就是一的平方加一的平方等于根号二啊，那所以呢，你这个长度就是二分之根号二吗？明白了吗？那你这个 s 的 平方加上二分之根号二的平方一定等于二分之根号三的平方，直接勾股定点，哎，一写，哎，解出来 x 等于二分之一，这个题就 ok 了，哎，所以 b 选项解出来 x 等于二分之一，所以这个就错了，好吧。然后 c 选项 他说点屁啊，是这个，你的一个上底面的一个中心，就是你这个点屁，现在是那个啊，那个那个正方体天花板的那个啊，中心就是刚好碰到头了， 怎么翻译呢？是不是就是你的那个屁的那个高度，就是我的一啊，这个能翻译，明白吗？这句话。这个这个 c 选项怎么翻译呢？就是翻译过来，就是啊，我这个正四能追啊，我的高度是一的时候，然后让你去求那个外接球的表面积，这不就是一个非常非常经典的一个外接球问题？外接球问题有几种考法？ 有三种考法，第一种叫什么？第一种叫顶点再过啊，第二种叫侧能垂直于底面，第三种叫一般的模型啊，这个如果想听的，这个我之前已经讲过了，如果想听的话啊，可以去翻啊，翻不出来的话你可以私信我，我可以给你单独发一下 啊，这个就是，嗯，一个顶点再过模型。什么叫顶点再过呢？就是我的这个顶点，我的这个屁啊，它刚好在这个，什么刚好在这个，哎，整个底面的投影它在这个最中心嘛， 明白了吗？那这种模，那这种题型怎么去求这个外界球的半径呢？或者求表面型呢？怎么去求呢？方法论啊？第一个，哎，记住一句话，如果是你这种顶点在罐的，就是你这个测能，哎，我干脆这么说吧，叫测能，哎，全都相等 啊，只要是侧能全都相等的，那么你的这个球形 o， 他 一定在这个啊，这个顶点和这个投影的一个连线上面，那这样的话，我们可以把半径射出来，然后呢，再去列勾股定里去解这个半径就可以了，这就是顶点在惯性啊，可能比较常考的是那个三能锥啊，这个三能锥，对吧？这是可能比较常考的，然后呢，哎，他的这个通法啊，那然后我们做一下，我们做一下 啊，那你看啊，我现在啊这个球形 o 假设在这，那这样的话，我射出这个半径啊，射射这个半径啊，比如说啊，这个半径的话就是 r 嘛，对吧？然后呢你看，那这个 o p 是 r， 那 你看 o a 啊，这是 a， 那 o a 是 不一定也是 r 啊，同样 o c 还有这个 o b 都是 r， 但是我们现在不需要写，我们现在只需要干嘛，你看这个如果是 r， 然后我的高度是多少来着？ 高度题目告诉你了，哎，我们已经翻译出来了，是等于一的，那这样的话，你看啊，那这样的话，我的这个 o p 一 撇，哎，这个东西是不是就是一减去一个二呀？因为整个高度是一嘛，对不对？那整个这个是一减二，然后底面这个这个长度呢？哎，对，角线的一半二分之根号二， 然后呢，只需要在这个哎三角形里面去列一个勾股定律，哎，就可以解除半径了呀，对不对？所以呢，一减二的平方加上二分之二的平方，等于二的平方，哎，解出来 r 是 等于四分之三的，那 r 等于四分之三，你的面积，哎，四排二方，哎，就出来了四分之九派。所以这就是这个 c 选项啊，这是一道非常非常常规的一个外界求问题啊，所以呢，这个题啊， c 是 对的 好吧，然后呢得选项，这个就啊，有点难，有点有新意啊，这个真的啊，眼前一亮，好吧，眼前一亮啊，他说我这个屁点是正方体，你内切球的一个球星式，你想我一个正方体现在有一个内切球，那你想内切球的球星是不是一定是那个正方体的中型啊？ 这个能想明白吗？就是啊，你看我现在这是一个正方体啊，那你那个球星那是不是一定是正那个正方体的一个中型啊，对不对？然后我这个屁点呢，就是我正方体最中间的那个东西，最中间的那个点， 那说明啥？那是不说明我的这个高度就是二分之一啊，明白了吗？因为整个测能查是一，整个高度是一，那一半就最中间那个位置，那不就二分之一吗？啊，先把这个题目意思先读懂啊。然后呢，他说，哎，我真的是没想到他会这么问，他说我这个内切球和正四能锥的一个公共部分的体积，哎，这个东西怎么做呢？没见过吧？ 我这个正方体他现在里面有一个球，然后这个球呢，和这个四能锥的公共部分的一个体积，怎么算呢？ 很有新意吧，对不对？哎，怎么去思考呢？很简单啊，我们现在想，如果以屁为顶点，然后一个正方体是不是有几个面，是不是有 六个面啊？对不对？那我们以每一个面为这个底面，你看，比如说我现在以最下面的这个 a、 b、 c、 d 为这个底面，你做了一个四能锥，那同样，如果以屁为顶点，然后呢？以，哎，这个侧面为这个底面的话，哎，你是不是仍然是可以做一个这个四能锥的， 明白吗？你发现这四轮锥都是长得一模一样的，因为什么？因为屁点是最终点吗？最中心的那个点吗？所以你发现以每一个店面为底面，你是不是可以做六个长得一模一样的四轮锥啊，对不对？那也就说你这个正方体那不就是由六个然后呢，长得一模一样的这个四轮锥拼接组成的吗？ 对不对？那说白了，你的那个内切球是不是就会被六个四能锥给他咔咔切成六份啊？这个能想清楚吗？想不清楚，慢慢想。那你想我那个球被六个四能锥给他切成六份了，那每个四能锥是不就占用六分之一的球体啊？这一套逻辑链能想明白吗？ 对吧？那所谓的题目要问的这个什么公共部分，那不就指的就是我这里的六分之一个球体的体积吗？对不对？所以呢？哎，公共部分的体积就等于六分之一乘以三分之四 pi r 的 三次方 r 是 等于二分之一吗？就等于那个正方体能长的一半啊，所以二分之一三次方最后是等于三十六分之一 pi 啊，所以这个题，哎，得也是对的啊，所以这个题 ac 的 好吧？ ok 啊，单选择题，多选择题，就说到这就 ok 了啊，这个终于是讲完了，现在已经凌晨六点了，已经啊，这个大家可能已经快起床了，但是我得去睡觉了。嗯， 这道题真的很棒啊，这个能听到这的真的很很感谢大家，很感谢大家。然后，呃，因为我讲的初衷就是真的是想让大家会一类题，因为 我刚高考完，也就是个三年时间啊，也就是个三年时间，因为我很清楚网上呃很多讲这种东西的老师吧，他就是很死板，跟学校老师一样，他会讲啊，这道题怎么怎么做啊，怎么怎么做，学校老师一样的，但是呢，不讲题型啊，不讲背后的方法论通法，下次稍微变一下，哎，不会了。所以呢，我就是想，呃， 陪大家到高考，今年会陪他结束，并且呢，明年我会一直就是做整个这个事情，我会一直做下去，然后呢，把所有的那些场，那些比较经典的模拟题也好，高考题也好啊，然后也会都给大家陆续都讲。所以呢啊，还是希望大家可以关注我一下，然后我们总结一下今天这道卷子 啊，这个我觉得已经讲的很透了，今天这道卷子，这个选择题啊，就是，嗯，个人觉得吧，对这个高考试卷其实没有什么太大指导性，就是很多人啊，会说什么把那个高考就已经这个难度啊，怎么考法都已经定了。但其实我觉得啊， 这才还没过年呢，对不对？还没过年呢，你这一套模拟题对高考能有什么指导性，对吧？那题都还没命出来呢。所以就唯一的可能就是真的是你发现现在有个趋势，就是其实不用这套卷子来指使我们就是那些烂大街的题型啊，烂大街的那些二级结论啊，已经不考了， 你平时在抖音上，在小红书上刷的那些烂大街的那些二级结论啊，题型啊，什么某帮某辅导那些给你讲的花几千块钱报名那些啊，给你上课讲的咔咔讲的那一堆什么大招啊，二级结论都不考了 啊，所以说就是不要报那个侥幸心理了，真的就不要去研究什么大招了对不对？你的秒什么秒题的人家对吧？练习时长两年半，你咔咔上来给人秒了对吧？你这现在高考已经不可能了 好吧，就是不要啊，去去去，报侥幸心理去钻研什么大招了，就老老实实的总结题型好吧，老老实实总结题型就是我现在就是已经把整个高考里面所有啊，高考数学啊，所有的题型全部都已经总结完了。 好，现在其实就差一个导数了，全部都已经总结完了，然后我会在今年寒假之前就是把整个所有的题型免费啊，在这个网上给大家，全部给大家讲，讲完啊，就是一定会对大家有帮助的，无论是今年高考还是明年高考，一定会有帮助的啊，就如果说啊，想一路赢到高考的就点个关注啊，我们下期再见！

两种方法秒杀 t 八联考秀鞋第六题第六题源于课本是吧，给大家讲俩法。为什么俩法呢？这个题啊，大可以不告诉你，式子完全让你自己写去。那就是我要讲的法二了。先讲法一 算法一说呀，如图呀，一个半径为两米的桶车，逆时针，每分钟一点五圈哦，这半径为两米。然后呢，哎，轴心距水面高度为根号三哦，轴心距水面的高度为根号三，半径是二。明白了啊， 来听课宝贝们啊。然后嘞，说呀，统车上的某个地点呀，到水面的距离为 d， 单位是米， ok 哦， p 到水面的距离啊，这个横着是水面啊，水面 d。 然后呢，说呀，若在水面下的话，则这个 d 为负数哦，水面上的话，高度即为负数。那行了，他说呀， 从这个屁点刚浮出水面开始计时。哪呀，你说既然呀，他是逆时针转啊，逆时针这么着转的话，刚浮出水面就这呗，哎，这是屁零从这开始计时，听懂打个。 然后呢，哎，说呀，哎，那个 d 和 t 呀，满足一个三角的关系啊，满足一个 d 等于 a 倍的赛欧米伽， t 加 f 加上 k， 就是 它到水面的距离啊，满足这么一个三角关系，然后问你 f 是 几？ 这个超简单，为什么？因为啊，我显然哎， d 的 最大值跟最小值的渴求吧。 我说它到水面的最大距离是几啊，那显然是，哎，这段呀，当屁跑这的时候，半径是二，这是根号三，最大值一定是，哎，二加根号三呀，是吧，那 d 的 最小值是几啊？一定是屁跑到这了， 一定是 p 跑到这了，那这时候 d 是 几啊？哦，这个半径是二，这是根号三，所以是几啊？哎，是根号三减二吧，因为从这了吗？水下 d 是 个负数呀， 因此呢，做完了，我说 d 的 最大值，哦，那这玩意是负一到一啊，最大值就是这玩意取一的时候，是吧？他取 a 了， a 加 k， a 加 k， 那 最小值呢？就是这玩意取负一的时候，他是负 a 了。哎，负 a 加上 k 按得三 d， 因此呢， a k 都解出来了，这是一是，这是二是？是啊，我们一是加二，是整理一波二 k 得的是二，根三，那 k 呢，得的是根三是吧？ k 的 根三一带的话，你是根号三的话，二加根三等于二加根三。解了个 a 取二，看懂哪个一，不跟大家细说了 啊，这是一个方法，通过最慢慢通过图来解参数呗。因此呀，它的 d 呢？满足什么呀？二倍的 si 欧米伽 t 加上 five 加了个 k， 根号三。然后呢，涛呀，还说了啊， 我们知道最高他从啥时候开始计时的呀？他问你啊，斐是啥？什么是斐呀？问你，斐是啥？我说，哦，从这，我这也是一个，那最高点，最低点，这是起始点出象嘛？ 物理的出象嘛，这也是一个值得关注的。我说，啊，那明白了，那我说说白，说白了，就是七等于零的时候， 最开始计时的时候，高度是几啊？哎，高度也是零吧？是啊，高度是零啊，因此呢，得了什么呀？得了个零等于二倍的赛提，取零的话，就是 five 加上根号三。本题做完了，考虑三个关键的位置， 最高点，最低点，起始点，起始点。哇，这个 five 本来就是出象的意思。好吧，因此做完了，那解一下 five 是 几？哎，直接负的二分之根三就完事了。 所以呢， five 是 sum， 是 负二分之根三是吧，满足借取这个负九十到九十度的话，那 five 呢，哎，就是一个等于几啊，哎，负六十度呗，哎，负的三分之 five 就 不是了。 under 三 d 听懂了没？ 是吧，哎，答案就是 a 了，那就是 a 了，这是法医，没问题吧？法医是你必须会的法，但有点投机取。巧了， 为什么呀？哦，你给我试试子了，我通过关键位置最高点最低点和最起始点给解出来了是吧，但是呢，哎，如果呀，我说压根没给咱们柿子， 压根没给咱们设置，我们能不能给他写出来呀？啊，我觉得这个题出的有点多此一举了，写一下。写一下 什么意思？我说，哦，哎，这是其实点屁零，我这么转，那不妨呢，我就转到如图所示的位置了。那好啊，那你说这种转的话，从屁零转到屁了，我射转了啊，贼他 c 度。那我请问你啊，这个 c 它怎么算呀？你看，从这个屁零一直转转，转了转了这么多度数到了这个屁点了，怎么算呀？ 那我分析分析啊，哎，每分钟转一点五圈，那就是啊，每分钟一圈是二派的话，一点五圈，哎，就是三派了， 他也玩了个小心机，单位是秒，不是分钟，说白了，六十秒转了三派了，那那一秒呢？一秒呢？那就是 a 三除以六十呗，弧度啊， r a d， 所以一秒是几啊？一秒是一秒，是哎，是二十分之派弧度，每秒看懂哪个是吧，一分钟赚了三派弧度嘛，我省略不写单位哈，所以六十秒赚了三派弧度，那一秒呢，是三派除以六十是二十分之派 弧度是吧，所以呢，其实角速度是这个了，因此呢，我屁零到屁了。我经过七秒的话，一秒转了这么多弧度，那一共转多少呀？一共转的是哦，二十分之派 t 呗，没问题吧， 是吧，我一秒转这么多弧度，我这到这，我经过了七秒的话，哎，我转了这么多弧度，那因此呢？那我请问你啊，这个 d 的 高度怎么写啊？ 分析分析啊，他说这个的是根号三了，半径是二了，半径是二了二，根号三，你就是一了呗，那你就是，哎，三十度了呗。 那怎么求高度呀？那很显然，高度由两部分构成的，一部分是这个根号三，一部分这根号三。同意，打个一 高度啊，一部分由根号三构成，这是根号三，跟它一样，另一部分呢？另一部分是这段呀，这段是几啊？那显然是二倍的。什么呀？二倍的 sine 这个角 f 吧， 没问题吧？二倍的 sine 这个角 f 吧，那 f 是 几呢？ f 显然是这个大 c， 它加了个三十度，大 c 它加了个三十度，然后呢？然后就减了一个这个九十度吧。同意，打个一 没问题吧？你看好了，给大家写一下这个大塞塔加了个这个三十度，减了个这个九十度，就这个阿尔法了，做完了。所以呢， d 等于几是吧，哎，一个高度是根号三， 另一个呢？是二倍的 size 啊，是二十分之派倍的 t， 然后减了一个六十度，减去三分之派。做完了 啊，这我觉得老师命题有点小失误了，不用给让，让考生自己去写啊。 是的，他说了啊， d 等于 a 倍的三欧米伽 t 加 five 加上 k 一 样吧，你看 k 根号三 a 二欧米伽一解 five 负三分之 pi 是 吧，这才是更有难度的东西，明白了吧？ it's nice！ 通过这道题，我们不仅会 特殊法了，还会自己写了，跟大家强调一下，你说按照你为什么，你用不用分情况呀？不用哈，我指屁到这了。哦，是这么列的。其实屁转下来你角度变成小的了，其实算出来结果是一样的， 这个式子是通用的，就像咱们在做例几何式。例几何式我们算出来啊，可能这玩意的外接球的球心跑下面了。虽然高度是个负的，道理是一样的。因此呢，通过随便一个位置的屁写出来式子是通用的。好吧，好，这道讲完了啊，讲完了，这是阿良的讲法。

我估计第十六题在考场还是很多同学会觉得有难度的啊。一问，移动两次以后，他的期望大于零的 p 的 取值范围，我们是不是应该先把它期望给算出来， 对不对？好了，首先大家说一下， x 的 可能取值有多少？ 你移动两次，是不是有可能向右移动两次？有可能向左移动两次， 所以有可能二，有可能负二，还有可能向右移了一次，又向左移了一次，向左移了一次，又向右移动一次，对不对？好，我们把它对应的概率去算一下啊。 x 等于二，那么 x 等于二什么意思呢？是不是向右运动了两次，他每次向右运动的概率是 p， 于是呢，就是一，就是 p 的 平方，明白吧？好。然后 x 等于负二呢，就是向左移动两次，一减 p 的 平方好， x 等于零呢，就是 有可能第一次向右，第二次向左，有可能第一次向左，第二次向右，也就等于二 p 乘以一减 p， 你 看这个加这个加这个，刚好，是不是一的平方等于一？没毛病吧。好吧， 好，我们来看一下啊。 e 的 x 就 算期望等于什么啊？二乘以 p 的 平方，加上负二乘以一减去 p 的 平方，加上零乘以二 p 乘以减 p， 那 么就等于二倍的 p 的 平方，再加上一个一减去 p 的 减去一减 p 的 平方好，这个地方再利用一个 平方，差两根相加，就是一两根相减就是二 p， 它把它减二 p 减一， ok， 也就等于几呢？四 p 减二了啊， 要大于零，这个大于零，那是不？二 p 减二， p 减要大，零 p 呢？要大于二分之一，搞定结束。而且呢，你再怎么大，他是 p 的 曲子范围，本来题目给了零到一之间的，所以 p 要大于二分之一小于一。 不过也跟大家聊一个小的问题，有人说曲子范围在高一的时候，你们有没有老师给你们拉曲子范围一定要用截口或者区间，其实现在到我们高三了以后没这个规矩啊，能把它表出来就行了，对不对？好，我们来看下第二位， 第二呢，他说这个从点 a 出发，上下左右都是等可能的，然后移动四次以后回到 a 点的概率。好，我们不妨就把 a 点当做圆点吧，你要移动四次，一二三四。 那么呢，总共有走就是走这个四个步骤啊，一共有多少种可能性啊？样本总数来 也不是最后到哪啊，有多少种可能性走的移动四次样本总数是多少？走的路径啊？走路径的样本总数， 第一次是不是可以上下左右四种？第二次是不是也是上下左右？第三次也是可以走上可走下，可左可左右， 设四个四次方，二百五十六，这是总共的。那么要想回到 a， 满足这个的啊，一共四次，总共有这么多，然后回到 a 的 样本数，把它求出来，一除以二百五十六就行了。好，那么要想回到 a， 你 想想这四个步骤应该怎么样走， 不要算漏，不要算重要想回到 a， 上走一次，下走一次，左走一次，右走一次，对不对？或者样本总数 为一个，我就随便写一个吧。啊，为一个 m， 好 吧，那么呢，这个就包括了 四次为上下左右的啊，顺序， 顺序无所谓啊，上下左右的。那我们呢？总共有多少种方法？这个打死六十分之九没问题啊。四次有上下左右，我们叫有吧。好吧，也不是为上下左右的次数是多少？第一次 就可以走上或者下或者左或者右中的任何一个就有四种。第二次呢，就可以上，你走了一个，你比如说第一次走了上，第二次是不是下左右三个中的任选一个，然后呢再是二，再是一四三二一四六，二十四 就是 a 四四对吗？就是上下左右，或者你直接 a 四四就行了，上下左右随便排位置是不是 a 四四，那么除了这种还没有别的情况。 四四中有两上两下的怎么办？ 是不是从四个位置里面拿出两个来 给上下，是不是就固定了？是不是就是 c 四二还要不要乘以二或者除以二？大家思考一下啊？要不要乘二或者除以二？这有两个上两个下，那么就一定在这个四个里面先选两个位置出来放上， 我上移确定下次就固定了对不对？还要不要什么互换位置？上和下不需要 c 十二选两个位置出来放上就可以了。四乘以三，除以二乘一就等于等于六。好，四次中 有两左两右的，那么同样在四个位置里面选两个位置出来放两个左，选择两个位置放左就行了，剩下的就确定就放右了就行了。所以 c 是 二，给左就行了，所以也是六。所以 m 就 等于多少呢？ m 这个总数我们数是 n， 好 吧，这个数是 n 就 等于三十六，所以对应的概率啊， 这个事件我们随便给个字母吧，就等于三十六，除以二百五十六，再同时除以个四九，于是六十四。首先总数 这个简单，四的四次方二百五十六，这个实际上就是一个 a 四四就是 a 四，四个位置上下左右进行全排列，随便排 a 四四， 这个呢，只需要在四个位置里面选出两个来放上就行了。这比如说这两个位置放上，那这就放下了，这个和这个放上，这就放下了，懂吗？好，同样两左两右的四个位置选两个放左就行了。

t 八联考试卷新鲜出炉，选填压轴题标答居然用三角换圆，步骤又长，变形还复杂！主播今天教你秒杀技巧，特殊执法，直击答案，秒出结果！ 我们来看这道题八联考的选填压轴题，这道题目无论是难度还是计算量都超级简单。首先给的条件，这个括号乘这个括号等于零。哎，那就是两种情形嘛，第一种情形，第一个括号等于零，三以二法它会等于三以贝特的绝对值， 那既然这里有个绝对值，那肯定是大于等于零的。那第二种情形呢？就是第二个括号等于零呗， 那就应该是 cosine 比特它会等于 cosine alpha 的 绝对值，进而它是大于等于零的。好的，那接下来呢，我们就分别从这两种情形出发，去探讨一下原式的最小值。 如果是他满足第一类情形，那这时候三阿尔法他是大于等于零的，所以这东西的最小值他是个零。 cosine beta 呢？他的最小值肯定是个负一。哎，那能不能同时去取啊？如果能同时取到的话，是不是我们整个式子他就会去取到一个最小值啊？ 我们可以取个特殊值，比如说我们让阿尔法他就等于个零，然后我们让这个贝塔 他去取一个 pi， 这样的话， sin alpha 等于 sin pi， 是 不是他们都是零啊？ 哎，没问题，符合提议的。那这时候呢， sin alpha 他 就取到零， cosine beta 呢？他是不是如愿以偿去取到负一啊？同时去取到，所以说这地方最小值它就是个负三。 好的，然后从第二种情形去出发， cosine beta 它是不是大于等于零的？所以这家伙的最小值它是个零，这家伙的最小值呢？是不是它应该是个负一啊？那能不能同时去取啊？还是去举个例子，那这时候我们可以让这个 beta 它去取一个二分之一派， 然后让这个阿尔法它可以去取一个负的二分之派，那这时候是不是 cosine 二分之派它会等于 cosine 负的二分之派的绝对值都等于个零。那这边呢？ 它如愿以偿去取到个零，这边呢？它也去取到自己最小值，它是个负一，那负一加零再去减二，它的最小值是不是也是负三啊？ 所以说无论第一种情况还是第二种情况，最小值都是这个负三，所以在这种情况下，我们这个式子的最小值他直接就是一个负三了。

t 八连考习八题，两种方法加计算技巧，圈一讲俩法，圈二讲个技巧 是吧。这个题确实有计算量。第一问啊，椭圆的左右焦点是 f f 二，那显然 c 取的是二，且椭圆过这个根二根三往里一带，根二一带的话，那就是，哎。二比上 a 方加上三比上 b 方得一， 那显然 c。 哦，这 a 方 b 方得了什么？得了 a 方等于 b 方加 c 方四呗，解 ab 就 可以了。呃，怎么解啊？很好解， 把 a 方换成 b 方加四，那是二比上 b 方加四加上三比上 b 方，得益。 整理一波啊，两边同时乘以他俩的乘积，那就是二， b 方加上三倍的 b 方加四等于几啊？他俩的乘积 b 方 b 方加四，你也可以直接蹬啊。但是我，我说实话，我不建议直接蹬。为什么你也可以到这？你其实能能看出来是几，你猜也能猜出来， a 方 b 方比三大的话，先是四，你是四的话，你就是八，结束了。 但是呀，为什么呀，这样是有风险的。如果这个卷子简单，因为实际算式一定是俩解的，你要舍解的。如果卷子简单的话，这是要扣你分的。好吧，我建议还是算算吧。 二 b 方三， b 方又是五， b 方加一个三四一十二等于几？ b 的 四次方加上四， b 方挪过来， b 的 四次方挪过去减， b 方减十二，得零。因式分解 至 b 的 四方就是 b 方的平方了。把把当一个整体啊，不用不用换元了， b 方减四， b 方加三得零，看懂哪个零 啊？因此呢，得了个 b 方等于四或者负三，舍了，因为你要直接出的话，是没有舍这个步骤的。我建议大家算一下 啊， b 方是四，那 a 方呢？那 a 方等于 b 方加四就是八了，椭圆是 x， 四方比 a 方加上外方比上 b 方等于一。看懂，打个一，我还是希望大家去算一下的，不要能结束结果，除非你保证没有多解。好吧 好，来吧来吧。看第二本的。第一本啊，第二问的，第一问，它是 x， 四方比八加上外方比四得一。 他说呀，过右焦点 f 二的直线跟椭圆交于 ab 两点啊，过右焦点 f 二的直线跟椭圆交于 ab 两点。那好，是 a， 这是 b 啊，那我们设成 x 一 y 一 吧啊 b， 咱们设成 x 二 y 吧，又交点 f 二呢？别忘了坐标它是二零， 然后 a 在 b 上方哦，规定好位置了，要 y 轴交了个屁，屁在 e 的 下方哦，这是个 e 啊，屁的哦，那是个斜立为正的一根直线了。 然后呢， q 关 q 为点， p， 关于原点对胜点哦， p 呀，关于原点对胜，那个 q 没问题。 q b 就 x 等于 r 啊， q b 的 连线就 x 等于 r。 明白了，然后呢？射呢啊？ q p b q b f 二 q a f 二 q， 面积为 s 一 s 二，什么意思？ p b q 啊，这个的面积， 这个的面积为 s 一， 然后呢， b f 二 q 啊，这个的面积为 s 二 a f 二 q， 嗯，这个的面积为 s 三，看懂哪个哦？哎，多亏啊，它这个顺序是给你安排好的啊，不至于搞乱了。 好，圈一给大家讲两法，圈一，同样，若直线 l 的 斜率为二 哦，那 l 呢？是一根已知的直线吧，它过二零且斜率为二的话，那就是 y 等于二倍的 x 减二吧。整理一波又是 y 等于二， x 减四倍。听懂打个一， y 等于二， x 减四是吧？过二连接这边他问你啊，让你求的是 s 一 加上 s 三，比上 s 二加上 s 三 啊，没卡啊，同学们，没卡。那好，这个呢，就有两种翻译方法了。首先，这个呢，就有两种翻译法，一， 我说面积比，我们最常干的事就是降维，翻译成线段比，我说啊，你得先看看，你想降维，你得先看，这些面积呢，得有共同特征，要么底是一样，要么高是一样。我说它们显然高是一样。同意，打个一 对吧。我说蓝色的三角形可以把这个当做底，是的，橙色的可以把这个当做底，红色的把这个当做底。高都是 q 到这根直线的距离。同意，打个六， 高统一的高，统一的都是 q 到这根直线的距离 h， 那 显然啊，那面积的比值就直接翻译成底的比，因为高是一样的嘛，因此呢， s 一 这个蓝色的底就是 b p 了， 加上 s 三，红色这个底啊，就是 a f 二了，哎，就是 a f 二了。那 s 二 s 三呢？ s 二的话啊，是这个橙色的底， s 三呢？红色底是 b f 二加 a f 二，那就是 ab 了呗。同意，打个一 是吧， s 二加 s 三就是这个点，加这个点了呗，啊，就是 s 二这个点， s 三这个点就是 ab 了呗。然后呢，那线段比呢，我们再降维就可以了。 什么意思？哎，我说呀，那怎么降呢？我说降维的话， 哎，首先啊，我这根直线是 y， 等于二 x 减四吧，因此呢，纵截距这个 p 呢， x 得零，它就是负四了啊，一对称 q 就是 四了。那行啊，再降维。那我问你啊， b p 比 ab 是 什么呀？ 你看一下啊， b p 比上 ab 是 不是就是 b p 两个点的坐标差呀， 对吧？ b p 两个点的对不对？ b 的 纵坐标是 y 二， a 的 纵坐标是 y 一， b p 比就是 b p 两个点的纵坐标的差，比上 ab 的 纵差相似嘛。 这 b p 的 纵差是几？是 y 二哦，是 y 二跟这个负四，那就是 y 二加四了，比上 ab 两个点的纵标差 y 一 减 y， 那同理的呢， a f 二比 ab 呢？是 a f 二两个点的纵坐标差哦， a 和 f 二这两个点的纵坐标差就是 y 一 了呗，加上哦 y 一 比，这个看懂哪个一。 因此呀，整理完之后是啥呀？是哎， y 一 y 二，哎，是 y 一 加 y 二加上四，比上 y 一 减 y 二 under 三 d， 哎，就可以去做了，用 y 的 回答去做你或者呢，阿良再给你们讲一个别的办法，再下一个法更重要了。为什么呀？你看好了？我说你看好了， 好， a 的 横坐标 x 一， b 的 横坐标 x 二，如果没法降维怎么办呀？ 那看好了，那，那我好好做。我，哎，这个蓝色的面积 s 一 怎么算？你告诉我 s 一 怎么算呀？哎，这个长度是已知的呀，八呀，八 乘以 b 的 横坐标除以二呀，意思是四 x， 看懂打个一，是不是这个长度？这个长度是八呀，八乘以 b 的 横坐标除以二， 就是四 x 二了。然后呢，但 s 二没法算，但是呢，我 s 一 加 s 二是可算的呀， s 一 加 s 二是这个大蓝色的面积啊，同意，打个六 是吧？是几啊？我底还是八乘以几呢？ f 的 横标二呀，是吧，这个底还是八。 f 的 横标是二呀，除以二八， 那同理的呢， s 一 加 s 二加 s 三呢？哦，是最后这个大红色的面积 是什么呀？是八乘以八乘以 a 的 横的标除以二呀，四 x 一 啊，这是我觉得最万能的方法，这样显然就能解出 s 一， 解出 s 二，解出 s 三了，这比前面的更屌。 因此呢， s 一 算完之后是四 x 二， s 二呢，是这个式子，减这个式子，它减，它是八，减四 x 二， 八减四 x 二， s 三呢，是这个式子减这个式子是它减它四 x 一 减八。你都把三个解出来了，问啥咱都会啊，听懂打个六啊，这比前面的法更高级。这好像就是答案的法，这是我的法， 明白了吧。因此你无论问啥啊，问 s 一， 你比你你你不用，其次我都能给你算出来。同意，打个六，你不用非得面具，面具我都你无论问啥，因为我都解出来了呀， s 一 加 s 三，他加他，那就是四 x 二加上四 x 一 减八， s 二加 s 三他加他，你看，八消了，四 x 减四 x 二，哎，四 x 一 减四 x 二 啊，都约个四的话，答案就是 x 一 减 x 二分之 x 一 加 x 二减二了，按得二三 d 啊。到这的话就直接被答了啊，把这个直线 y 等于二 x 减四， 呃，和这个椭圆啊，椭圆 x 方比八，加上外方比四得一，连理就快了啊。法二想给你们讲的 是吧？那好，连了一波，怎么连呀？两边乘一个八， x 方加上二倍的外方啊。二 x 减四的平方，减八得零， 他方是四 x 方乘二是八 x 方加一是九， x 的 平方，它是减去十六， x 乘以二，减去三十二， x 加几啊，十六乘以二，三十二减三十二，减八是二十四，等于零。 那显然， x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b 九分之三十二，然后呢？ x 别忘了，我算的是 x 一 减 x 二，已经保证是正的了。因为 x 一 大了， 所以呢？哎， x 一 减 x 二直接给大家上技巧了哈。是 a 分 之根号的它 耶。那怎么算呀？你这么算根号都是他根号下 b 方啊。三十二乘以三十二减去四 a c 四九三十六乘以 c 二十四。阿良教过你们怎么算呀。先提 我能不能提个四出来。你来个四，我来个四是吧。咱提个十六嘛。你来个四，我来个四，成八八了六十四，你来个四，我来个四，九六了。五十四减去五十四直接什么呀？四倍根号十了啊，所以是零计算的，一定要会算根号都是他 啊。做完了，做完了，做完了，因此呢，哎，往里一带就是答案了。答案是几啊 啊。分子是两根之合减二，两根之合九分之三十二减二分母是两个人之差。哎，九分之四倍根号十 等于几啊？分子是九分之三十二，减去十八，那就是十四了。分母是九分之四倍根号十，答案就是十四。比上四倍根号十了，没问题吧。 都约个二的话是二倍根号十分之七了都成根号十二十分之七倍根号十。听懂打个一， 其实我一直不赞成应姐的，我跟大家反复强调了，咱只是讲过，但是我真的不赞成。 好吧，听懂打个一。呵呵，三叶草不在是吧。 因为应解啊，你一旦背错，你就完蛋了。完蛋，咱是讲过的，我是我个人是不太推荐 的，是吧，因为你正常算的话，一是踏实，二是你只要掌握我这些很多的计算小技巧，完全不用应解的。高考唯一啊，历史上唯一一个必须要用应解的，就是出的最烂那年二二年 乙卷和相好一卷，其余情况压根用不着应解，你用了反而更慢了，你得先默写出来。好吧，好，接下来最后一问才是帅气的阿良 啊。讲最后一问之前呀，先给大家补充一个假角公式。什么意思呀？啊？也叫什么呀？哎，其实跟倒角公式差不多，我们讲 q 二，先给大家补充一个，我出去。 那好，哎，我，哎，有两根直线了，他的斜率为 k 一， 他的斜率为 k 二，问假角怎么算？ 我说，哦，很简单，假角的正切什么呀？是 a k 一 减 k 二，一加上 k 一 k 二，绝对值 啊，这叫假角公式，然后倒角反而你得你得考虑怎么旋转，你就记这个就可以了。听懂哪个音 怎么记呢？其实不用记，它就是两角差的正切公式。什么意思呀？ 超简单，你看着啊，比如这个斜率为 k 一， 这个斜率为 a 二，然后它的倾斜角为 alf 啊，他的请斜角为阿尔法，然后呢，这个的请斜角为贝塔，简单吧，我说，哦，贪这特谁塔，就是贪这特阿尔法减贝塔呀，做完了 是吧，就是贪这特阿尔法减贪贝塔。哎，两脚叉的计算公式嘛，然后一加上贪尔法贪贝塔。听懂哪个也 太二号呢，就是这个 k 一 的斜率啊，就是这个斜率， k 一 太没了呢，哎， k 二，这个呢，哎，一加上 k 一 k 二，这咱一轮二轮都讲过安德尔斯丹迪，简单吧，你就记住呀，假角的正切就是两角差的直线公式。 为啥加绝对值啊？因为你啊，你有时候他比他要，他要换个位置呀，你包括呢？有时候算完之后是这个补角呀，因为我们规定啊，假角是那个小角，所以呢，加绝对值。听懂打个六啊啊，这带带你们回忆回忆，咱们一轮二轮都见过。 其次呢哇，其次呢，我说呀，四点太依赖二一结论了。 四点共圆怎么翻译啊？这初中学的四点共圆的翻译，常翻译的就是对角互补。你俩一家是个派你俩一家是个派，听懂哪个？ 因为啊啊，那铜壶所对的圆，他的角是他的一半，所以他是他的一半。整个就夜八了吗？好了，这两个一掌握，最后一问直接结束了 好吧。行啊行，他说呀，是否存在一根直线啊，使得 q r f r a 向量共圆存在判断条数判断什么理由？ ok， 他 说了啊， l 已经斜率不是二了，所以是拼好题嘛， 回忆回忆啊，这也是一个过右焦点的直线，但右焦点是二零，那就是 y 等于 k 倍的 x 减二嘛？或者呢，设成 x 等于 m， y 加二，为什么我用它呢？ 你说阿兰你不是说过吗，这个好连累啊，但是你想，我为了方便算，有两个原因，其实都行哈。原因一，用假角公式呀，需要用到斜率就正切。原因二呢？你这个你这么说的话是好解，屁的屁起码不丑呀。屁是几啊？ 纵截距 x 零是负二 k 啊这是，这个是一个负二 k 撇一对称 q 呢，它是二 k， 你 要用 m 就 变成 m 分 之一了。阿良不喜欢分数，听懂打个六，因此啊，这都可以啊，稍作权衡。 哎，假角需要用到这个假角公式要用到斜率 k， 并且呢好算出这两个数也好看，所以我这么说的，都是可以，都是可以的。 好吧，然后嘞，你翻译翻译下，哪四个点公园呀？ q r f 二 a q r f 二 a。 首先，这题肯定你看你不会，怎么你不会怎么做呀？你不会说啊，阿玲，这点公园，比如说我随便取，比如说我取一个 a q f 二， 求出他的外接圆来带入这个 r， 你 肯定不会这么干的，太麻烦了。其次呢，这么做哪难呀？我说，哎，圆锥形里边 a 跟 b 是 对称的，未答有未答 r 是 个什么鬼啊？因此呀， 那我们怎么办呀？我尽可能做圆圈，我找对称的去。 a 跟 b 对 称， a 跟 r 显然不对称。那有人写啊，我既然这么设了，哦，斜斜绿码 k， 四点过圆，对角互补。用哪俩对角呀？用这俩吗？没什么好用的，哪俩用这俩 做完啊，直接，哎，用这两个角互补就可以了。听懂打个一 啊，这个四点共圆，直接来一波对角互补就可以了。为什么呀？你说，哦，如果他俩互补，你别忘他，你这个角跟他还互补呢。这个是 theta， 那 这个呢？也是 theta 结束了。 为啥呀？因为我的贪婪的贼。他是啥呀？贪婪的贼，他就是这根人之间的协力吧。是 k 呀， 那同理呢？哦，这个呢，也是能用夹角公式的呀，为啥呀？正好是两个很对称的东西。哪两个？ q a， 我 设斜率为 k 一， q r 就是 q b 了，我设斜率为 k 二。那显然太棒了，我就缺对称的呢， q a 和 q b 两个非常对称的式子，我一定能搞出尾答来，这个思路明显没问题。对啊，这样就用不着这个 r 了， r 反而是不舒服的。用 a b 两个对称的是肯定有尾答的，做完了 对不对？假角公式 tan 等于几啊？两角差的正弦公式也是 k 一 减 k 二一加上 k 一 k 二绝对值。但我们分析分析啊，这题 k 二 k 一 都是负弦率， k 二更负一点，因此呀， 这样已经保证是对的了，听懂哪个音？因此啊，它的翻译的结果就是， k 等于 k 一 减， k 二一加上 k 一 k 二，同意，打个六， 对吧？比如说 k 一 缓一点，斜率是负一， k 二陡一点，斜率是负三，你带你看，已经保证它是正的了。 under 三 d 好吧，直接就你你，呃，四点公务员。对，后边你不用说，你直接写这个老师就老师就知道了，满分了。 好吧，那接下来就做，做完了呀，你看着啊，直接算斜率呗。我 a 点设为 x 一 y 一， 我 b 点设为 x 二 y 是 吧，我的直线是 y 等于 k x 四减二 k 是 吧，我把它给撑开了哈， 是吧？然后呢，哎， q 的 坐标啊， q 的 坐标是几啊？是零，逗号二 k 呗，好，算吧。 哎，直接来一波 k 一 k 一。 什么呀？是 q a 的 斜率，它的斜率纵减纵啊， y 一 减二， k 比上横减横 x 一， 那同理的呢？那 k 二呢？ k 二就是哎， b q 的 斜率了，芭比 q 了。 b q 斜率讲纵减纵啊， y 二减二， k 比上横减横 x 二了， 没问题吧？没问题。然后别忘了我这样设直线，他要跟椭圆连立， x 方比上八，加上 y 方比四，得一 数字 x 为的啊，那显然把 k 用直线换掉啊，把 y 用直线换掉， y 用 k x 减二， k 一 换，那就是 k x 一 减二， k 又减二， k 减了个四， k 比上 x 一， 这个呢， x 二，同理呢，用 k x 二 y 换成 k x 二减二， k 减二， k 减去四 k 了 啊，其实也能再化简一下，约一个 x 一 k 减去 x 一 分之四 k， 这个呢， k 减去 x 二分之四 k， 是 吧？那接下来就很容易了 啊，这是第一步啊，第一步把这个翻译完了。第二步呢？哎，连力求完了。第三步呢，往里带呗。 啊， k 等于啊， k 一 减 k 二哦，他减他 k 消了，那变变成这玩意了？变成 x 二分之四， k 减去 x 一 分之四 k 没问题吧？ k 一 减 k 二嘛，他减他 k 消了，他变成正的了。 然后呢，分母是一加 k 一 k 二一加上一，相乘的话，用这个舒服一点是吧？那就是分母是 x 一 乘 x 二分子，你看，我能提 k 吧， 能提 k 吧，那变成 k 方了，剩 x 一 减四， x 二减四了，能不能看懂啊？是吧，能不能看懂啊？ 因为啊，它是不是 x 四一分之 k 倍 x 一 减四呀？ 它是不是 x 四二分之 k 倍 x 二减四呀？所以它俩一乘的话，分母是两个原子积分子呢， k 方倍的 x 一 减四， x 二减四，其实这儿就可以用双根式，但是没必要，没必要， 懂了吧，懂了吧，因此呢，整理一波，那 k 等于几啊？分子分母同乘 x 再好看一点， x 四一 x 二加上 k 方倍的 x 四一减四， x 二减四，分子呢？哎，四 k 倍的 x 四一减 x 二了，没问题吧？ 然后呢， k 肯定不得零消了，他跟他消了，你乘左面来， x 一 x 二加上 k 方倍的 x 一 减四， x 二减四，等于几啊？等于四倍的 x 一 减 x 二，没问题吧？ k 消了， 然后呢，你这可以用什么呀？双根式啊，但是其实差不多了，给大家算一下。那你可以双根试一下应解都是可以的， k 方倍的两根之积就一倍的就是 k 方加一倍的两根之积，这是减四 k 方倍的一个 减得到两个就是减四 k 方倍的两根之和十六倍的 k 方加上十六倍的 k 方。一定要像我这么熟练听懂，打个一等于四倍的 x 一 减 x 二 under 三了个底， 好吧，然后呢？尾答尾答尾答就行了啊，硬解的话也可以直接算，也可以给大家算一下吧。 x 方比八，加上外方比四得一和。那和什么呀？ 其实好算的， y 等于 k， x 减二 k 没那么难算的。 y 等于 k， x 减二 k。 一定要跟着我的思路哈，两面乘一个八，那就是 x 方加上二倍的外方 k， x 减二 k 的 平方，没问题吧？那，那我直接这样吧。 那 y 等于 k 倍的 x 减二吧，可以吧，好，连立一下啊。然后乘一个八，那又是 x 方加上二外方二外方 k 方倍的 x 减二平方，哎，减八得零， 二 k 方有一个一倍的二 k 方加一倍的 x 方，这是减四 x 二 k 方减八 k 方 x 四四八 k 方，哎，加上八 k 方减八等于零。 好吧，两根之和 x 一 加 x 二是负的 a 分 之一。马上到精彩环节了，负的 a 分 之 b， 两根之积是几啊？ a 分 之 c 二 k 方加一分之 c 八 k 方减八，没问题吧， 没问题吧，同志们 哦，口干舌燥。然后呢？接下来呀，我算两，我还得需要两根之差 x 一 减 x 二。什么呀？是 a 分 之根号 der 小 结论了是吧。二 k 方加一是根号 der， 你 算一下啊， 有技巧了根号嘚他根号下 b 方看好了啊，六十四 k 的 四方减去四 a c 四乘以它乘以它，你提个八的话，四八三十二了，你剩 k 方减一了，你不动二 k 方加一，一定要像我这么算啊，练练你们的基本功吧。 然后呢，我知道最高次肯定要消掉的，现在不用管了，他是根号级负三十二，我留着，负三十二留着，最高次一定会消的。里边呢，我们不看最高次 负二 k 方， k 方剩负 k 方了，还有个负一没了，因此呢，就是什么呀？就是根号下三十二倍的 k 方加一啊，很简单，提根号三十二。什么呀？是四倍根号二，然后剩 k 方加一了。看懂，打个六 啊，一定要像我这样把你们硬挤，你就像我这么算算，很有用的， 能否理解是吧。好，都求完了，一带就可以了啊。都求完一带快了，马上到技巧了。 k 方加一倍的两根之积， ok， k 方加一倍的，我加粗一点， k 方加一倍的两根之积，就是二 k 方加一倍的 k 方减一，然后呢？ 呃，减去，哎，减去四 k 方倍的两根之合，哎，两根之合是几？八 k 方。二 k 方加一，没问题吧？ 没问题的，到这儿减去四 k 方倍的两根之和，八 k 往上没问题。然后呢，哎，加十六 k 方，哎，加上十六 k 方等于几？等于四倍的两根之差， 这呢，四倍的两根之差，二 k 方加一分之四倍根号二倍的根号下 k 方加一。好整理一波哈，看好了， 两边同时乘以二 k 方加一，不要眨眼睛，这是几平方？差了 八倍的平方差 k 的 四四方减一，然后减几啊？四八三十二，三十二 k 的 四四方加几啊。十六 k 方，你别忘了乘这个二 k 方加一等于几呢？ 等于乘完之后呢？十六倍根号二十六倍根号二根号下不动， k 方加一，再一看， 这什么呀，这是八 k 的 四四方减八，这什么呀？三十二 k 的 四方消了，还剩一个十六 k 方啊，加上十六倍的 k 方，等于十六倍的根号二根号下 k 方加一，然后呢， 都消一个八 k 的 四次方加一个二 k 方减一等于二倍根号二根号下 k 方加一。算到这儿了，到这儿没问题吧？ 到这儿，下面问题来了，他问你啊，有几个解就有几个 k， 有 几个，他问你，有几个人直线吗？就有几个 k 有 几个解。而且 你想，他这个已经告诉你斜率是正的，他是撇相，一个正，斜率有几个解？到这技巧来了， 说问你啊，这个有几个解，你怎么做呀？你说，阿良，我知道，令 f x 四等于 x 四四方加二， x 四方减一，减去二倍根号二根号向 x 四方加一，求倒八八的， 不用吧？为什么呀？哎，我问你啊，如果这个题我改成让你求一个最值啊，大家都能想到什么呀？换元啊， 是吧，如果变成最值，问题大家都知道，把它换元呀，怎么来？求解问题忘了，换元呢，对吧？ 因此呀，这是本题的计算小技巧了。你为什么不换元呀？干嘛脱了裤子放屁，多此一举啊，是吧？我令， 干嘛呀，直接换元呀，直接令 t 等于根号下 k 方加一不就完事了吗？令，这个是 t 的 话， k 方大于零，加一呢， 反零一，而且因为 k 是 个正的， t 和 k 一 一对应，一一对应。是的， k 是 个正的呀，一一对应，意思有几个 t 就 有几个 k 呗。 那整理一波，那就是 t 方等于 k 方加一了，那 k 方显然就是 t 方减一了。好，往里一带 就是 t 方减一的平方加上二倍的 k 方， t 方减一是吧，然后减一等于几啊？二倍根号二，把这个换元变成 t 了， 能否理解？因此呢？我的妈呀，平方一下， t 的 四次方减二， t 方加一，加上展开二， t 方减二，减一，减三，等于二倍根号二 t， 你 发现了什么？ 哎哎哎，拜拜。好吧， t 的 四次方挪过来减二倍根号二， t 减二得零，太简洁了吧， 一换元倍儿简洁。我天呐，别忘了啊，我的 t 是 百一等于一的是吧。你别你，你只求最值时会换元。这忘了 问， t 大 于一这玩意有几个解？太简洁了。这时候我们利用 f x 等于 x 的 四次方减二倍根二， x 减二呀。 x 大 于一，有几个解呗。哎，求导，看它长什么样。四 x 的 立方减二倍根二呀。 天呐， x 大 于等于一， x 大 于等于一，它大于等于四，减，它一定是个正的，一定是个递增的。递增的话， f x 递增直接 零点存在定底就可以了。 f 一 等于几？ f 一 等于一，减，它减它一定是个负的。 f 二呢？十六减四，根二减二，一定是个正的。做完了，只有一个解一条，本题满分了，听懂打个六， 好吧，这个题啊，你如果我我我，因为我不知道你设 x 等于 m， y 加二，到最后好不好换元。反正啊你，你就老老实实的用谐语来做最后一换元，形式俱简洁。 听懂打个六，好吧，你，你只要射正经的射斜率的话，一换元巨简洁。所以我这感觉老师肯定是这么出的， 但好像标答给的是射 m 吧，反正我不知道有没有这么简洁啊，好不好？换元，好吧，讲完了讲完了。好，接下来。

嗨，同学们好啊，好久没给大家讲课了啊，因为前面时间一直在忙，那么现在呢，抽出点时间正好呢，我们的这个 t 八联考，呃，刚考完啊，不知道大家考的怎么样啊？ 呃，那么这里边呢，我选择了几道比较简单的题目给大家分享一下啊，相信那些难题压轴题一定会有些大佬们已经给大家讲过了，对吧？那么我说几道简单的题目为的是什么？大家比较一下，你们的做题思路和我的一样不一样， 能不能在更短的时间把这些简单的题目做出来，我们要知道啊，小题这些简单题目，呃，其实呢，是为了给我们抢时间的，保证做对的情况下呢，尽量做的要快，这样的话咱们才有时间呢去研究那些难度偏大的题目 是吧？啊，那么这几道大家一块再看一下啊。呃，第一个呢，我选取的就是咱们这个考试题中的第一个 啊，当然非常简单了啊，我们直接做呢，难度也不大，但是我们能不能说快速的给他做出来， 比如说我们在考试的时候，呃，发下试卷到答题之间会有一点时间，是不是我们能不能不通过计算直接看选项啊，或者是通过简单的计算就把这道题给他做出来啊， 我们来看一下啊。首先说我们看这个题，他要求的是一个并级 啊，并级，而我们的 a 级和我不去算具体里边的数，我能知道呢，他开口向上找大于等于零的部分，那一定是要取得这个两个数的两边的， 这样说能理解吧，那就意味着在取完病疾之后还是能够取到两边的，所以说这里边 a 选项和 d 选项就排除掉了，剩下 b 和 c 来说，他们的区别呢是右半部分的左端点不一样， 而此时我们就可以直接验证一下根号 e， 为什么？因为这个三呢，要比根号 e 大 啊，那么根号 e 带入这个 a 或者是 b 中能成立的话，那么 b 集合就 这个 b 选项呢，就一定是对的了，是吧？那么如果说把这个根号 e 带入 啊，发现 a 即可也不行， b 即可也不行的话，那就意味着 b 选项呢就得需要排除掉，那么就选 c 是 不是？而根号 e， 大家想我们要往哪里带？显然是不是要往这个 b 即可里带，看看这里边成立不成立，对不对啊？根号 e 带入呢，发现左边正好是 二分之一，那成立啊，对吧？成立的话，我们就排除了 c 选 b 选项啊，所以说这些过程，呃，大家应该在脑子里很快的就应该反应出来，然后快速的给做出来啊，不要真的去拿笔去算啊，甚至说如果把这道题呢再给算错了，那就很不应该了。 好，那么我们往下看啊，这个第二题呢，是我们考试中的第三题， 那这么这题呢，是一个不等式体啊，常规做法， 常规做法，那么我们需要把右边这个式子呢，做一个变形啊，用换底公式的变形可以给它变成 哎，加上以 b 为底二对数分之一，它应该等于以二为底 a 的 对数，加上以二为底 b 的 对数，那就等于以二为底 a 乘 b 的 对数 啊。所以在结合前面的条件，那么我们就是想去求 a 乘 b 的 取值范围，我们利用基本不等式，根号 ab 等于 a 分 之一，加 b 分 之一大于等于二倍的根号下 ab 分 之一，是不是就可以求出 ab 的 范围，进而去求出最后的范围？ 难度也不大，但是我想给大家分享的是啊，大家体会啊。呃，我们的已知条件， a 和 b 和要求的问题中的 a 和 b， 他 们符合一种对称关系。 哎，这个不知道大家清楚不清楚，那么什么是对称呢？就是说这两个数在条件和问题中，如果我们把他两个互换了位置，对条件和问题都没有影响的情况下，那么他两个呢，就是对称的 啊，就是把 a 换成 b， b 换成 a， 发现条件没变，然后要问的问题也没变，那么他俩呢，就是对称的啊，那么在对称的情况下，一定是他们两个相等的时候会取得一个对质 啊。所以说，如果大家在做这道题的时候，发现他俩正好对称，我们直接令 a 等于 b， 那 么已知条件就变成了什么 啊？根号下啊，比如把 b 换成 a 吧，那根号下 a 方是不是就是 a？ 因为大于零的对吧？等于 a 分 之一，再加 a 分 之一，就等于 a 分 之二，也就得出 a 的 平方就得二。 而把结论中的 b 如果也换成 a 的 话，那那要求的就是 以 a 分 一， a v 底二的对数分之一，加上还是以 a v 底二的对数分之一。问他的最小值，他的值是多少 啊？因为此时已经取得最值了吗？那么此时因为 a 方得二， a 又是正数， a 就 等于根号二好了。那么下边呢，我也不需要给他再进行换底公式的变形了，把 a 的 根号二代入， 我们来看看这个分母得多少啊，是不就得二啊，对吧？所以它相当于就是二分之一加二分之一，结果就得一，那么最终的这个最小值呢？就是一啊，我们选这个 d 选项 啊，咱讲讲，是不是要比这个常规算法要更快一些，是吧？ 好啊，这个第三题啊，我们选的是考试题中的第六题，那么这道题呢？嗯，可能我们在高一的时候做的比较多啊，这个高三大家是不是好久没做这种题了？ 呃，我们看右边这个图啊，那么看这个图形的话，大家体会啊，他如果写成 a 倍的三也偶 make a t 加 f， 再加一个 k 的 形式的话。呃，原始题目是什么样呢？就是我们正弦图像是怎么得到的呢？就是利用的， 我们回一下啊，利用单位元是吧，我们做一个单位元，我们知道呢，单位元的，呃， 上面的点的纵坐标就表示这个角的正弦，那么也就是说随着角度去变化啊，我们后边再做做个细啊，比如说这有一个小角度，是吧，那他的正弦呢，就是这么长啊，画到这啊，然后这个角度， 那正弦就这么长啊，九十度啊，正弦是一，然后超过九十度又下来了，是吧，所以最终我们画出的正弦图像呢，就是长成这个样子。 那所以说，如果大家还清楚这个点的话，那么这里边这个圆啊，本来的这个圆心应该是在 s 轴的位置，那么现在呢，人家说呢，这部分水面的位置呢，就是我们说的这个 s 轴，对吧？说明他一定是向上平移了一段距离 啊，相当平移一段距离，所以说外面呢，它有一个加 k 的 形式。呃，那么平移了多少？人家说了，那轴心 o 距水面的高度是根号三米啊，这里是根号三 啊，本身呢，应该是在零度的时候取最小值，但是人家说什么呢？说这个，呃，时间，呃，以盛水桶屁刚浮出水面时开始计时，也就说它计时的位置，大家看是在这里 啊，那么这个位置呢，显然是要比我们水平位置，呃，相当于顺时针转了一个角度，那么这个角度呢，一定得是一个什么角啊？一定得是一个 这个负角度，对不对啊？那顺时针转了，相当于是有个负角度，所以说要求的这个 f 就 一定得是一个负角度， 这么说能理解吧，那么它是一个负角度啊，并且这个 t 的 零的时候要得这个角，那这角是多少啊？首先说啊， c 和 d 两个选项是不是就排除掉了 啊？剩下 a 和 b， 那 你就能不能看出这个角是多大呢？因为 t 的 零的时候它应该正好得这个角啊，那我们看这是根号三，人家说呢，这个半径是二啊，所以这是二，那么呃，我就知道了。 呃，这个角啊，下边这个角，这个角啊，这个角是不就应该是三十度，那么我们这个角是不就是六十度？好，所以他只问这个角的话，我们就已经选完了呀，他就应该选 a， 跟这里边什么转一点五圈，这个周期什么还有没有关系？没有关系了，我们要看他问什么，是吧？如果人家需要问咱们这个解析式是什么，那我需要把这个 a 啊， omega 呀，呃，包括 k 啊，要求一下，这里边只问了一个角 five 啊，找到这个原石的角就可以了 啊，这是第六题啊， 呃，第四个呢，我选的是第八题，按理说呢，这个第八题是我们单选的一个压轴题 哎，但是大家啊，认真思考啊，其其实这个题呢，难度不是很大啊，难度不是很大啊，我们看啊， f x 啊， f f x 啊，我们发现呢，是一个分段函数，呃，定域里边没有零啊，这个要注意啊，虽然这题没有考到 啊，那么但是呢，大家要注意啊，它的分段之后呢，定域里面没有零啊，不难发现啊，当 x 大 于零的时候，如果说我设这个大于零这部分是个 h x 的 话， 我们通过一次求导会发现它等于啊，这 e 的 x 乘以函数求导啊，就等于 e 的 x 乘以它加上它的导数，对吧？二 x 减一，再加一个二啊，就等于 e 的 x 乘以二， x 加一，在 x 大 于零的情况下， x 大 于零的时候，它是单调递增的 啊，单的技能的呃，增速我们也可以简单看一下啊，因为我如果说对这个函数，呃 呃不，不必再求导了啊，其实我们看这个函数呢，是两个增函数相乘，并且呢，在 x 大 于零的时候，它的两个值还都是大于零的，也就是说它们相乘之后仍然是一个增函数， 那也就是增速呢，会越来越快啊，然后与 x 轴交点二分之一，大致呢啊，是这样一个图是吧？啊，越来越快， 而 x 小 于零的时候是一条直线，过负一零啊，过负一零的一条直线，那么过负一零的直线，那可能是怎么画，如果 k 大 于零的话呢，我们就得这样画是吧啊， k 小 于零的话呢，就反着画 啊，是哪种情况暂时还不知道啊。嗯，那我们看啊啊，先大致的啊，先先了解一下这个直线，下面呢，我们来看这个 g x， 人家说的说 g x 恰有四个零点，那么也就是说我们令 g x 等于零的话，会得到 f x 等于负的 f 负 x。 那 有同学可能会想啊，说，哎， f x 如果得负的 f 负 x， 那 不就是应该是一个奇函数吗？那你就想错了， 那它不是一个函数，具有 f 负 x 等于负的 f x 这样的一个性质， 能不能理解啊？如果本身 f x 就 说对于任何 x 怎么变化都符合它，这是说明它是一个奇函数，但是这里边呢，它其实研究的是让 f x 和另外一个函数叫负的 f 负 x， 它俩相等， 那么这是两个函数啊，所以大家要体会，其实负的 f 负 x 就是 把原来的 f x 给它关于原点对称对称之后的函数，那么它俩呢？呃，有四个焦点 啊，这个事大家要想清楚啊。那么这样一想，那 k 小 于零肯定不行了。为什么这么说啊？你看啊，我随便画一个啊， k 如果小于零长这样，对吧，那如果我们再把它倒过来，关于原点对称之后，那这边的就变成都是递增的了 啊，然后这这边呢，就就变成这样了，对吧，它只能会有几个焦点，只能有两个 啊，显然不行啊，所以 k 不 能是负的啊， a 选项不能选了是吧？ a 选项不能选了，那好，那 k 呢，只能是正数，只能是正数，那也就意味着这个图啊，我们重新再画一下 这二分之一啊， k 只能是正数啊，也就说这边是这样的啊，这是负一啊，然后你给它翻过来之后啊，它就变成什么样了呢？ 我先大致的画一下啊，啊，比如说我大致画一下， 哎啊，然后这边呢？官员的对峙， 哎，你这样，比如我先大致画一下啊，目前来看呢，这这仍然是几个角点，两个角点，那也就说这个直线呢，得往下走啊，往下走走到 一个什么情况哎，比如说右边呢，让他有两个焦点，那么左边因为对称是不是就一定也有两个焦点 啊？这个大家能理解不？那临界情况是什么呢？就是他俩相切的情况，对不对啊？临界情况啊，他俩相切的时候， 那老师我会了啊，有同学说我会了，找这个直线和曲线相切嘛，找切点，然后去找啊。当然可以啊，但是我想说什么，首先我们看这个图形的变化 啊，想让他有四个焦点，那我们这个直线呢，除从相切的角度来看，得继续往哪边走，是不是得往左边转？就是他得需要逆时针转，角度呢？需要变大，对不对？那么也就是说将来要到正午去 啊，也就是分析完之后呢， a 选项我们前面说了不能选了啊， c 选项是不是也不能选了啊？剩下 b 和 d 是 不是 b 和 d？ 那 然后我们再去找临界情况啊，临界情况的话， 呃，其实来说呢，我们也可以简单的去试一下这个一，我们看当 x 得一的时候，它们两个是不是相切啊？不是 x 啊，是 k， k 如果得一的话，看看这两个这个曲线跟这个直线是不是相切， 这样的话是不是就比我们呃直接求导再去找相切的时候那个值要更快一点啊？这个大家可以可想算一下啊，发现一不行所以说就一定是 b 选项了 啊，这是我们的第八题， 呃下边啊，这个十三题啊，十三题也挺有意思的，当然这需要一些结论啊，大家回忆一下，顺便啊说一个抛物线交点是 f 斜率为一的直线与抛物线呢，交于 m n 两点，则它的值为多少？ 那么这条直线的斜率是一，然后呢，他没说过哪个点啊，没说过哪个点，但是呢我们要求的这个值，我们想想他要求的这个值应该是一个定值，对不对？ 那么抛物线的方程也没定，直线过哪个点也没定，只告诉一个斜率，那咱们想想，那是不是说这个定值和这个直线的位置有没有关系啊？ 没有关系，跟抛物线的方程具体这个 p 的 多少有没有关系呢？是不是也没有关系啊，这个大家要体会啊。那如果说没想到这一点，我们想这个常规方法就应该怎么做啊，这一条直线啊，没做过焦点对吧 啊，当然有同学可能说你做题的时候就会更快一点，因为跟他没有关系嘛，对吧，你正好把他当成过焦点了，他也就能做啊。 其实我想说的就是其实 ab 与这个呃过哪点没关系的话，我们就可以让它过交点啊。那我们先说啊，常规的思路 啊，我们知道呢啊，不是 ab 是 m n 是 吧？好，我们改一下啊啊， 一个是 m， 一个是 n， 我 们知道呢，这个 f m 就 等于 x 一 加二分之 p， f n 等于 x， 二加二分之 p， 也需要把这个呢代入到分子， 那分母呢？ m n 的 斜率给了，那么我们就需要这个呃， m n 的 方程，比如说 y 等于 x， 加一个 t 和 y 方等于二 p x 连立，是不是求弦长，求 m n， 对 吧？然后再去比， 比完之后呢，发现都得到一个关于 p 的 式子，然后发现这一笔，哎，正好 p 给它消掉了啊，就没有影响了是吧？最后结果是一个定值，那么快走马，那我们就说了啊，那既然他也没说这个直线在哪，那我就让他过焦点， 是不是对这个结果就没有影响了啊？那斜率又是一，那么这个角是不是就是四十五度就四分之派，对吧？ 上边是 m， 下边是 n， 那 么大家得忽略一个公式啊，如果给出请贴角是四分之 pi 的 情况下，你会不会求 f m 得多少 n f 得多少 啊？这个应该需要会的啊，所以说 m f 等于一减 cosine 四分之派，再分之 p n， f 等于一加 cosine 四分之派，再分之 p， m n 等于塞引方四分之派分之二 p， 这些大家还记得吗？ 所以说啊，我们直接把这些数带入一比较啊，屁已经消了，其实屁，甚至说屁对这个结果也没有影响，其实我们就把屁当成一，也不影响最后算这个结果 啊，不知道大家啊，在做题的时候有没有想到这种方法啊，快速的把它给做出来。好了，这个我不算了啊，大家课下去练啊，这是第十三题， 呃，十五题，呵呵，十五题，我这个做着做着都给我做笑了， 为什么作笑了呢？我们一块来看一下啊啊，第一问，不说了啊，第一问就是用一个这个 被被角公式对吧？被角公式会得出最后角 c 呢，是得二分之派啊，这不多说了。呃，第二问啊，第二问，说 a b 等于三倍的 a， d， 问这两个正切之比，我们正常的 做法啊，我们左一个读， 这是角 c 啊，这是 a， 这是 b， d 是 a b 边上的一个三等分点 啊，然后 d 在 这是吧， ab 等于三倍的 a d， 然后问 tanthan a 和 tanthan t 角 acd 啊，我们连上 啊，写一点啊， a c， d 这两个角的正切制比啊，那么有底下的三边三比一的关系，我们可以设，比如说设这段长的 t 啊，那么整个 a b 长呢，就是三 t， 那 么和它们有联系的啊，角 a 啊，我这这这就写一个角 alpha 吧啊，那么我们用一个正弦定里 t 比乘 sine alpha， 就 等于， 呃，这个， 呃，这个 a c 边是吧？ a c 边是什么呀？三 t 乘 cosine a， 那 就等于，呃三 t cosine a， 再 除以一个什么呃 si in 的 alpha 加 a， 然后把 t 消掉，整理整理，你就会得到最后这个结果呢，它是得二的 啊，这是常规做法啊。那么为什么说我给他给我看笑了呢？大家想象一下，如果你们不是高中生，你们是一个初中生，还求这题，会不会做 啊？老师，怎么着，初中生也能做吗？哼，大家看一下啊，其实我们用初中的知识做，不仅能做，而且非常的快。 那大家想一想啊，如果想求角 a 和角 alpha 的 正切值也好，正弦值余弦值也好，你是一个初中生的话，你怎么办？初中我们只会解决锐角三角函数啊，对不对？ 所以说我们必须得构造直角三角形，对吧？好啊，勾到这两角的直直角啊，好，从 d 点往 a c 做一个垂线啊，跟着节奏啊，做，做一个垂线，嗯，这也垂直，那么这也垂直，这叫 e 的 话，就 d e 和 bc 是 平行的 啊。那么好，那么这个，那 d e 是 三等分点啊， e 是 不是也是三等分点？ 这回你看啊， hundred t a 是 不是等于 d e 除以 a e？ hundred t， 我 们的这个 r 法是不是等于？呃， d e 除以 c e 而 c e 是 不是就等于二倍的 a e？ 我 说我已经做完了，大家能懂吗？ 呵呵，所以这个题，呃，出题人呢，太想考虑高中的方法，而忽略了初中的这个基本方法能做的这个题 啊。所以大家在这些小问题中多思考啊，多体会，我们只有在这些题目中，呃，想的更多一些，花的时间更少一些。这样话呢，你才能有时间去研究那些难度大的题 啊。今天呢，我们就说到这啊，好。

哈喽，大家好呀，今天我们开始来看 t 八联考数学试卷，今天我们主要讲解第一、第二题，我们先看一下第一题，第一题是属于集合的问题啊，并集，那我们需要先把集合 a， 集合 b 里面 x 的 曲折范围先求出来。对于集合 a 来说，好，研究对象是 x， 后面要满足这一个不等式，那这左边很明显就是一个二次函数啊，那我们先把两个根先求出来，十字相乘一，一一复三 交叉相乘，刚好等于负二，所以它两个根，一个根是负一，一个根是三。嗯，或者我们写成是 x 加一乘 x 减三，大于等于零。好，然后这是一个开口向上的二次函数， 负一和三开口向上，所以 x 应该是小于等于负一，或 x 大 于等于三， 这一个就是集合 a， 集合 b 是 一个对数不等式的问题。 long x 大 于等于二分之一，那左边是一个对数，右边是一个常数，所以我们想着把右边的常数也写成底数一样的对数，那就是 long， 根号 e， 因为底数为 e， 所以 这一个对数是单调递增的，那么 x 要大于等于根号 e， 所以集合 a， 集合 b 的 曲子范围都求出来了，那现在我们要求的是并集，所以我们应该是选 b。 嗯，那这个就是第一题好，属于比较简单的题。第二题复数的问题好，我们需要先把这个 z 先化解，先求出来，我们先把它整理一下。二， z 加一等于三， i 减 z， i 左边有 z， 右边也有 z， 我 们把 z 合并同类项，所以应该是二加 i 乘 z 要等于三， i 减一，那么 z 就 等于 三， i 减一除以二加 i， 所以 相当于就变成一个负数相除的问题，那我们需要把分母的 i 给化掉，所以上下同时给它乘一个二减 i， 所以 下面就是五，上面 是一加七 i， 所以 z 就 等于五分之一加五分之七 i， 那 z 的 共二就是五分之一减五分之七 i， 或者我们就 考虑 z 乘 z 的 共二，那应该就等于实部的平方加虚部的平方就可以了，也就是等于二十五分之一加二十五分之四九，等于二十五分之五十，也就是二，所以我们应该选 c。 那 么我们这两个题就完成了，你们做对了吗？

备受关注的 t 八十二月大连考，今天咱们来讲这套题里面的一道单选题目，这道题目考察的呢还是双曲线圆的一些几何性质，咱们一起来看看。这道题。 说双曲线，它的 a 方是知道的，等于一 b 方对应的就是 m 方左右焦点是 f 一 和 f 二，过这个 f 一 做这个圆的一条 小切线，这个圆的半径呢，恰好是一，与双曲线的右值交于点 m， 告诉我们 f 一 m f 二这个角是一个六十度， 然后让咱们求小 m 的 值。其实这道题拿到了之后呢，我们肯定要把 m f 二和 m f 一 这两条线连在一起， 我们看到了 f 一 m 是 切线，所以一定要把切点和圆心连线，那么这个切点假设它叫 n， 这个角对应的就是九十度。 那接着再来看在这个图形里面特别重要的点，就是大家一定要看清楚，这里面有一个中点， o 是 f 一 f 二的中点，那么 o n 和这条线垂直这个角呢，是一个特殊角六十度， 那么特殊角要是能放在特殊的直角三角形里面就特别好做了，所以我们来构造一个六十度的直角三角形，过 f 二做这条直线的垂线。这个图画的不是特别标准，大家看清楚这个地方，假设叫垂足是 h， 那 么大家来看 h f 一 f 二这个直角三角形里面有一条特别重要的线叫做中位线， o n 是 中位线， o n 的 长度是一，那么 h f 二的 长度自然就是二。咱们把这个 h m f 二这个直角三角形给它拿出来，因为这个图画的不是特别标准，所以拿出来之后去找它的边角关系， h m f 二这个地方是二，这个地方是六十度，那么自然 h m 这条边就是二，除以根号三，而 m f 二这条边对应的就是四，比上根号三，那么有了这几条边，大家再来看 m f 二的长度，知道了那 m f 一 和 m f 二一定满足双曲线的定义， 所以 m f 一 就应该等于二 a 加上 m f 二，二 a 的 长是二， m f 二的长度是根号三分之四。把它放在这里，也就是我们知道了 m f 一 的长度， 也知道了 h m 的 长度，那自然就可以算 h f 一 的长度，它就等于 m f 一， 减去 h m， 也就是二，加上根号三分之二。那接着再来看算出了 h f 一 之后， 咱们怎么去算这个小 m 的 值，这个小 m 其实就是 b， 那 大家注意，在这个三角形 f e o n 当中，这条边是 a， f e o 呢是 c， 那 对应的 n f e 自然就是 b， 所以 f 一 h 其实就是两个 b， 那 它就等于二 b， 也就是二 m， 所以 m 就 等于一，加上根号三分之一，也就是一加三分之根号三，答案自然选四 d。 所以 这道题目来说，难度不是特别大，大家要把图形画出来，然后注意第一个双曲线的定义，第二个三角形的中位线。

公益流程是提分最快的一个大题，也是套路模板最多的一个大题，十天就能从三到四分提到十三到十四分，我们结合套路模板呢，就可以轻松秒杀刚刚考完热度很高的 t 八联考试卷啊，这个题目呢也出的很好， 然后呢，我们来看一下这个试卷，首先如果你这个题目想拿十分以上，就必定要结合我们套路模板去分析题干，然后呢再结合我们的题目写出来，所以说这个大题呢是套路模板最多的大题， 其他大字里面没有这么多套路模板的，而且是死的套路模板。什么是死的套路模板呢？比如说正极材料有这个物质，这个物质，这个物质以及铁单质，碳黑呢，就是碳单质喽，对不对？好，那这里面全都进去加入氢氧化那碱剂，因为我们的碱剂一共就三个作用，考到了之后直接套 溶解铝及其氧化物，溶解硅及其氧化物喽，那这里面的铝的话和氢氧化物就生成四氧基和铝酸根， 看到没有啊，所以说这个减斤的目的就立马就是两分到手啊，就是溶解铝箔啊，然后继续往右边走呢，那我们铝枪呢，就下车了，他继续往右边走呢，还有个骨酸里还有个碳黑，还有个铁单质，加入酸剂硫酸吧，硫酸就酸剂 嘛，酸剂的作用只有两个，溶解活泼金属单质和金属氧化物，是吧？然后呢？我们这边融进去之后呢？啊，铁是活泼金属单质，所以说铁呢就能变成谁，变成二价铁吧， 因为碳单质不和硫酸反应，所以说他就在这个绿渣里面啊，这个碳黑是不是？然后呢？我们骨酸里呢也这里面不会和硫酸反应吧，所以说骨酸里的话，那就是骨酸里 啊，而且骨酸里是沉淀。好，那我们这里面硫酸已经反应完了，接下来我们还要往这里面再加入过氧化氢，哎，过氧化氢大家都知道是一种氧化剂 啊，熊哥教过你，不管加入什么氧化剂，过氧化氢，高锰酸钾，二氧化锰啊，只有一个模板，一定是将二价铁氧化生成三价铁，只有这一个作用，如果有其他的作用的话，题目中一定会告诉你啊，明示或暗示 你，所以说这个地方呢，他就是加入过氧化氢，这个作用是什么？将二价铁呢？变成了三价铁了，就所以说继续往右边走的这个地方有三价铁， 同时我们来观察一下这个股川里到底有没有发生反应的，那接下来肯定要发生反应了，是吧？因为这个股是几价的？朋友们，我们关注一下，这边是正三价的吧，最后我们萃取反萃取的时候，我们会发现这边的股呢，是二价的股啊，以二价股离子形成配合物，所以说我们加入 p r 零四之前呢，一定是变成了二价股离子， 那我们这里面必定是发生了氧化还原反应，这个骨酸里把谁氧化了，他只能把过氧化氢氧化吧，过氧化氢氧化他把他氧化生成，谁生成氧气了，他自己的产物就是二价二价骨 啊，所以说这个离子方式等下我们就要继续写了。好，那接下来我们就要考虑这个问题，说明继续往右边走的有谁？三价铁和二价骨吧，就这两个离子啊，以及锂离子也已经释放出来了，这个锂离子是不是释放出来了？好，这三个离子继续往右边走。那接下来调节 ph， 我们看一下同学们调节 ph 固定的套路模板是你把近五年全国各地高考试卷写一遍，只要看到调 ph， 必定是除掉两个离子，一个是三价铁 啊，一个是三价铝，因为铝离子它前面已经除掉了，你就不需要考虑。那说明这个绿渣是谁？氢氧化铁嘛啊？氢氧化铁，所以说这个绿渣下面题目考了呦，下面题目他说考了绿渣的主要成分，一个是碳黑，一个是氢氧化铁，又是两分啊，又是两分是不是？那最后再往右边走呢？调完 ph 再往右边走，这个离子是谁？离子呢？ 一个是二价骨离子了，还一个就是锂离子，所以说就是二价骨和二价锂呢？继续往右边走， p 二零四，他专门，呃，是一种有机溶剂对不对？萃取而反萃取，这是已经是高频的工艺了啊，这个工艺呢，在我们课程当中讲的非常明白啊，如果你提前学一下，这里面其实就相当于是考一个纯考一个概念问题了 啊，一种有机溶剂当中，那水溶剂当水箱就是水溶液，可以理解为对不对？然后我们再加入碳酸钠啊，就可以得到碳酸锂 这么回事。然后二价骨呢？二价骨的话就在我们的有机相当中哦，有机相当中加入我们的硫酸反萃取呢，他又能跑到水溶液当中去，所以说这个地方又可以得到二价骨离子的水溶液啊，加入我们赤离子氧化就可以得到氢氧化高谷，再锻烧得到四氧化三谷，分析的非常明白， 如果你们在考场上分析明白了之后，这个题目随便拿十分，我们全套的分析模板呢，我就给他放在我们评论区置顶里面啊，那接下来我们把这些题目秒杀一下，第一个就是我们股在元素周期表当中的位置，这送分题喽，就第四周期第八组对吧，这送给你的两分，接下来我们第二问和第三分就是两个的一直放在四。 我们说了，再难的离子方程是你只要掌握到了通法，你三十秒之内是一定能秒杀出来的，否则你就是没掌握到通法，所以说这里面我们一定要学个通透一点，你不能只知道一个德式电子法，同学们啊，你经常会卡住，如果你只知道只知道德式电子法的话， 然后呢，第二位和第三位呢，这两个离子方程啊，我就给他写在这里，下面一个绿渣的主要成分啊，主要的成分呢，这里面刚刚我们说一个就碳黑，一个就氢氧化铁啊。第四个呢，就是我们 p h c p 的 计算吧， 首先我们他告诉你铁离子浓度等于四点零乘以十的负八字方，然后我们就可以结合这个 ksp 喽，求到氢氧跟离子浓度应该等于十的负十字方，口算都能看出来了，对吧？然后呢，我们再结合我们氢氧化谷的 ksp， 等于一点零乘以十的负十五字方， 除以七两根离子浓度的平方八，应该就可以得到十到五十方了，摩尔每升啊，二甲骨离子浓度，所以说呢，我们这里面一共就三个公式，三种类型，连环颠倒转化，你不要转晕了就行啊。第五个，使用硫酸可以实现反萃取的原因是什么？其实这个反萃取的原因如果你跟着我们课程当中学过了，大家都知道，你比如说二甲骨离子 啊，它这里面的 p 二零四呢，就可以用它去代表出来，是不是它我们这边有个可逆反应，比如生成谷二价，以及加入我两个氢离子喽，那为什么我们加入酸可以反萃取呢？就这个原因，因为这个反应呢是一个可逆反应，这就是有迹象，对吧？有迹象，还有二价骨离子，我加入酸的话，它平稳逆向移动， 应该逆向移动，阿胶骨离子呢，从有机相当中又释放到水水箱里面来了，所以说这个地方呢，就是这个原因啊。第六个，我们城里得到的是高温，而不是我在室温，他这面原因，这跟我们这个两分呢，还是比较难达到的， 为什么呢？因为碳酸锂呢，跟青草花钙一样，随着温度的升高，它溶解度反而下降，所以说为什么要在高温条件下呢，就降低碳酸锂在水中的溶解度啊，所以说呢，这就是我们的这个 t 八联考试， 如果你跟着我们课程去学呢，不管是题型方面，还是说解析方法方面，还是说在我们的分析模板方面呢，都会更加全面一些啊，就是一杯奶茶价。

我们今天接着讲数学语音理解在考试中的应用哈，今天就以我们前段时间刚考的高三 t 八联考中的第十六题，一个概率统计题为例，我们来看 好提到概率统计题呢，就像我们现在看到的这个十六题一样，你会发现他说了很多事，但是最后让你求的东西，可能你读完之后，你都没理解这玩意是什么意思。 在我的主页有二零二五年全国高考新一卷里面十四题填空压轴里面这道题的视频解析。那道题其实也是一个概率统计题， 他的题干虽然不长，但是他一句话里面包含的信息量太多了，他会导致你压根读不懂那句话。 所以那道题难在哪呢？他并不是难在说你要去做这个随机变量的分布列，不好做，求期望不好求，而是你压根就没理解出那个随机变量是什么东西。所以在概率统计里面读懂题，然后把题对应到我们学过的知识里面去，这是一个重要能力。我们来看这个题啊， 一个置点在竖轴上运动，每次向左或向右移动一个单位长度，然后括号。你说的什么呢？相对于圆点 o 置点向右移动了挨个单位长度后，位置即为 i。 向左移动了挨个单位长度后，位置即为负 i。 把这个括号 你先踢掉行不行？你先不看这个括号说的啥，以免影响你对这个句子的整体理解。我们看一个字，点在竖轴上运动，每次运动是向左或者向右，而且每次只移动一个单位长度，也就是说他不会一下子移动两个长度。 已知质点每次向右移动的概率为 p g， x 为质点，向圆点 o 出发移动两次后的位置。求满足随机变量 x 的 期望大于零的 p 的 取值范围。最后问的一句是什么意思啊？ 满足随机变量 x 的 期望大于零的 p 的 取值范围。所以你就应该先把这一个随机变量 x 的 期望给计算出来，而这个期望一定是一个含有 p 的 一个代数式， 基于这个代数式大于零，你再反向求解出 p 的 范围是什么。好，那我们要求一个随机变量的期望的话，我们来看这个随机变量是一个连续型还是离散型的？ x 是 质点从原点 o 出发移动两次后的位置， 所以它移动两次后的位置一定是某一个位置，它能不能有无限个位置？不可能吧，所以它肯定是一个离散型随机变量，而且它的分布列你可以求出来。 好，接下来再看这个事说的是什么哈，这个文字太长了，会导致你很抽象，那我们就还是竖形结合， 他说的是什么事？有一个圆点 o， 那 你画一个竖轴，在这标示成圆点 o 不 就完了吗？也就是说一开始我的点是在这的哈， 他可能会往右边走，也可能会往左边走，每次往右边走的概率为 p， 往左边走的概率自然是 e 减 p， 所以 这个得首先翻译出来。 好，接下来再来看这个括号里说的什么事。括号里说，相对于圆点 o 至点向右移动，挨个单位位置即为挨，向左移动挨个单位位置即为负挨。好，再结合我们的提设说，每次只移动一个单位，每次不是向左就是向右 移动两次，现在移动两次，我们可以想象一下移动两次他会怎么走哈？第一种，我向右一次， 再向右一次，两次都向右，所以我向右移动了两个单位长度。向右移动两个单位长度。根据我们这个绿色括号里的话说，我移动之后，我的位置是什么？是二，因为向右为正，向左为负。 好。第二种情况是什么？我先向右一次，再向左一次。由于我先向右，再向左，最后我回到了原点 o， 所以 此时我的位置是零。 好，第三种是我先向左一次，我再向右一次，还是回到我们的原点 o 位置，即为零。 最后呢，是我两次都向左，于是我就得到了左二这个位置，我们记作负二这段。我这里的数字是什么？我这里的数字 就是 x 的 取值。为什么？因为 x 是 移动两次后的位置 位置，我们是不能说右二和左二或者圆点这个的，他这里的括号就是告诉我们这个位置怎样用数字表示出来，他有一个映射关系，所以根据这个位置，我们能够将它记作二零负二。那好，这道题就简单了嘛， 你来画出它的分布列，上面是 x， 下面是 p， x 取值负二零二，当它取值负二的时候呢，我是向左移动了两次，所以我是一减 p 的 平方。 当它为零的时候呢，我是左一次右一次，然后或者右一次左一次，所以应该是二倍的 p 乘以一减 p， 那 向右两次呢？就是 p 的 平方， 然后我们去求它的期望不就完了吗？ e x 就 等于负二倍的一减 p 的 平方加上二 p 的 平方，然后会等于一个与 p 有 关的代数式，我们令它大于零去反，解除你 p 的 范围就可以了。但是注意，我们这里的 p 有 一个原始的定义域，是 p 在 零到一之间。 好，这个事情就解决完了。第一问就这么个事。同样的思想，我们来看第二问啊。 第二文说一个质点，从平面直角坐标系中某点 a 出发，每次等可能的向上或向下或向左或向右移动一个单位长度，然后经过四次移动后回到点 a 的 概率。 好和第二问，第二问和第一问有什么不同啊？我们的方向除了向左向右，还有向上向下，那我们不画坐标轴，原始的一个点，我们来想经过四次移动后回到点 a， 所以我要不然是左边两次右边两次，要不然是上面两次下面两次，要不然是左一次右一次，上一次下一次。 当然每次我先移左边还是先移右边，还是先移上面，先移下边。这个没有关系，我只要最后保证你每一个方向的次数是这样分布就可以了， 然后你接着再去求他的这个概率就可以了。求概率？怎么求？他告诉你是每次等可能的向四个方向移动。好，这道题现在是不是就很简单？所以在我们的概率统计那题目里面哈，重要的就是你读懂这个题目就可以了， 而不是说他会给你设置很复杂的计算，或者说很复杂的一个函数逻辑之类的。他的难度就在于说将他给你的这一长串文字描述转化成你的数学语言来解决这个问题。

t 八数学试卷是不是难倒一大片人呢？今天瓜老师带你三分钟秒杀选择题。那有人就要问了，瓜老师，三分钟你用什么方法秒杀呀？来，我告诉你，其实用什么方法都可以，就是不能用你想得到的普通的方法，或者叫不用正常方法。那你说我这么干的目的在哪啊？ 来吧，咱边看边琢磨。 ok， 我 们看第一道题， a 集合来逆向带入验证去， x 等于二，那么你告诉关老师二，它在结合 a 吗？不在。在结合 b 吗？在呀，所以并集一定有二，所以答案是 b， b 区间一定二，来吧。第二题，负数魔，哪里有魔呀，就是那个绝对值 这个，所以式子两边取模整理忽略来平方一步得出答案二啊。好，下一题基本不等是最值，最值相等出取得让 a b 相等代入算出 a， 把根号二代入选 d 啊，简不简单，来，我们继续啊。第四题，向量比值，你可以用万能做法间隙来解决， 但是不好，我告诉你，可以画图啊，来看题目要求比例关系三个，所以那么大等于二分之一。来，接着看下面两个式子，推出 m 等于 f 的 二分之一，所以说选 b 呀，你看画图找比例，重心都是一半，当然最快的是什么？这是固定结论啊，做题多了自然有的嗅觉了。 好，第五题，竖列范围，哎呀，看起来老难了是吧，其实这个题目最漂亮的就三字 横乘立，有点夸张了啊，所以我代值摁去一，摁去二，求出 s。 二题目说啥呀，横乘立我都取到负六了，选 a 呀，大家听懂的扣一，没听懂的扣二啊。好，我们看第六题，三角函数解析式，看这题目非常唬 人，但是改变不了什么三角函数解析式送分的格局。求出方，那我就需要知道 d， a、 w、 k 四个值了， 去找呗。来，首先看图，第二个正负 a 等于半径等于二的偏值呢？根号三题目给的呀， ok， 四个量都有了，代入化解选 a 牛不牛？当然还可以有更不要脸的方法啊。首先你看起点在圆心下边是不？所以是负啊？题目里的根号三一定是存在的， 所以必然是六十度，所以选 a。 你 是不是觉得瓜老师这个叫知道答案去凑了？嗯，你在寻思寻思呢。好，第七个圆锥曲线怎么办？ 选择题必然是特殊的，所以可以用二级结论加图啊。求 m 和形式列方程，搞出一个关于 m 的 等式交点三角形的面积二级结论吧，方程一，这个面积还等于方程二 s 大 就是交点三角形。 方程三，把二三连立，我们要求的是 m 把一三连立结合圆锥曲线的定义推出，所以说等于代入得 d。 来吧，零点问题啊，单选的最后一道了，零点等于焦点，等于图像 g x 偶函数其实就是四个一半，两个大于零，两个代入最终得到。这个你随随便便取几个值嘛，一二三大概画个图像，哎，要有两个零点啊。所以只要大于某个值，只能选 b d， 而最低点不可能是 e 的 呀，因为取 e 是 正无穷，所以选 b， 否则要求到求极值，那过于复杂了是不好。我们来道多选题， 第一道送分题来的呀，随便取三个数呗，一二三平均值多少啊？二来，后面的数字三四五反差就是波动，波动不变，都是增加一，所以选 a， d 来第十道题，函数判断， a 带个一 ok 的 呀， b 带个二分之一，负的错 c， 哎呀，不好带取近似值，三分之十六看成五啊，十一分之三看成三分之一。 h x 是 两个相乘，那么 x 越大，那 f x 都是负的，越大的越小，所以说 c 是 对的。 来 d 选上带三个值一零点九一点一。结束了，你看够不够简单呢？一是零零点九一点，一是负。好了来立体几何压轴好难哦， 只要有图就简单了，来， a 看图， b， h 会算不？ c 直接利用二级结论， d 选项零计算呢，爽不爽？选择题，哎，就这样轻轻松松被我们秒掉了。那么有人就问了，填空题和大题呢？郭老师， 哎，我知道你很急，但你先别急，咱们下次再讲嘛。选择题的秒提技巧你先去消化好呗，如果没有听懂，瓜老师整理了详细的解析版，还有更多的答题模板，后台告诉我，你的年级加上数学啊，我直接给你安排上。

各位同学大家好，这两天我们 t 八联考的这个分数在陆续的出来， 呃，网上呢也出来了这个我们一些本科的这个画质的分数线，今天呢，老师再进一步把这个我们本次 t 八联考数学试卷的一个整体情况再给大家简单介绍一下，希望对大家接下来的一个复习能提供到一定的帮助啊。 呃，接下来老师从以下的五点去解读一下本次这个 t 八联考，第一个呢，是他的这个难度啊，本次这个 t 八联考的数学呢，整体难度还是比较大的啊，预计比明年的高考卷肯定是要略微难一些的 啊，所以这是第一个难度上的一个区别。呃，主要体现在以下几方面，第一个呢，综合性比较强。第二个他考题的灵活度比较高。 第三个啊，对我们考生的基本功要求非常高，你对一些基本在一龙复习阶段的基础内容必须得掌握的非常熟练啊，在这次考试中，你才可能说把一些我们高频考察的题型才有可能做对的。 另外一个好多体算题还是比较常规的啊，在平常一龙复习中也有练习到，但是整体的计算量是比较大的，在考场上有限时间内想快速的算出计算结果还是有一定难度的啊。 第二个呢，体现的这个灵活性啊，考题还是比较灵活的，也迎合我们新高考改革的一个趋势啊，考题杜绝这种生搬硬套题都要一定的思考和一定的灵活空间啊。 第三个呢，反映到这个压轴题上啊，整体的思维跨度还是比较大的，对我们数学学科素养要求比较高啊，要想减少计算，你必须去多多想啊，多思考才能去少计算啊，一定要从多角度去 分析和看待这个题啊，找见最优的切入点啊，你的计算过程就可能相对减少一些。 十九题还是考察了一个我们高斯函数啊，一个新定义的题型，也符合我们整体的一个命格的一个趋势啊，一个函数结合我们的导数还有数列的一个新定义题型的一个考察 啊。第四个呢，是我们解答题模块还是比较规整的啊，一直在我们六大模块里面六选五的一个考察数列、解三角、立体几何、统计概率、圆锥曲线和导数啊。解答题从这六个模块中选择五个去考察 啊，在本次考试中呢，在这个最后十九题里面柔和了我们数列和导数，第一道是解三角， 第二道是我们这个统计与概率啊，第三道是我们立体几何，第四道是圆锥曲线。第最后一个压轴题，十九题新定义柔和了速列和倒数综合的一个考察，还是符合我们一直以来的这个高考的命题趋势的。 第五个还是大家要接下来在我们二轮和三轮复习中，还是需要多多注意这个新定义与多模块知识的融合啊，这其实是当下考试的一个趋势啊，新定义题型柔和我们常规 呃知识点进去综合来进行考察的，这就是整个试卷透露出来的一些信息啊，为我们在接下来的备考去指明一些方向啊，其实还是一直以来啊，符合我们 新高考命题趋势的所，所以我们通过本次试卷，你要找见自己的薄弱点，在我们接下来的复习中，把自己薄弱环节逐一的去攻克和加强。

嗯，大家好，我们好久没刷这个高考卷子了，然后最近这个 t 八八审联考挺火的，所以我们也来看一下到底有多难。 ok， 我 们这个答案都已经找到了，然后改一下，这里的选择题应该是 b c d b a a b c d b a a， 单选的话，这里应该没毛病，然后是 d b d b， 然后多选的话是 a b a c d a c d a b a c d， 这里应该是漏选了一个哈，这个 d 当时算的时候就没有算，因为我想到后面再来算，但是后面也没想到这个算这个 d 的 方法， 我看下这个答案应该是怎么算。嗯，答案他应该是找到了哦，他是刚好是这个部分是一个，这个外接是这个内接球的六分之一哈，那，那确实这样的话就计算量不大。 然后这个单选的话呢，前面的基本上都不难啊，都相对来说还是比较基础的题。然后这个第六题是那个书上的一个圆体啊，其实就是我们那个三角函数引入的，里面会有一道这样的圆体，然后也不难，也很简单。 然后像这个第七题的话呢，计算量其实也不大。呃，这里面画个图，你把它那个图像画出来，然后利用相似三角形去做，比较简单。然后这个第八题的话呢，也是这样，第八题可能计算量稍微大一点。那我就是算第八题的时候画的时间比较长，第八题算的比较久，他要用到一个引零点的一个方法，然后呢去找他那个最值，也是画图就可以了。 然后第九题、第十题都比较简单，这两个都是相对来说比较简单。这个第十题的这个 c 选项比较难算一点啊，比较难判断一点。然后呢？第十一题的话呢？其实不难啊，但这个 d 选项你要想到这个，呃，要想到这个公共部分，其实看这个答案的话，好像计算应该也很简单。找到的公共部分是那个内切球的六分之一，那就很简单，那这里是扣两分， 然后是填空，再看一下这个填空题，填空题的话，第十二题，第十二题是个六， 然后是二分之根号二，然后第十四题是负三，这个填空题都相对来说很简单啊。那么这个填空题像这个第十三题也是直接 画个图，然后呢？你把这个，呃那种闲长公式给它带入一下，那么这个题目就很简单了，没有什么计算啊，基本上没计算的。然后这个第十四题也是这样，可以直接猜出来，对吧？当这个三引取最小的时候，这个口三引它也能取最小，那你加起来就肯定是最小，对吧？这个直接就猜出来了，计算就比较简单了。 然后是第十五题，看下第十五题，第一个应该是九十度，刚好它等于九十度， 嗯，找下这个巨大，嗯，没问题啊，那直接你把这个二角公式换一下就完事了。然后第一第二题的话，也是画个图啊。第二题画图，然后用相似三角形，就算这步骤非常短，我就只写了这么一点，然后可以直接写到这个应该是二 对的哈，这个答案是二，然后就不需要用那个那个三角形的那个截三角形的方法，直接画图，然后做辅助线，用那个相似三角形，很快。然后第十六题这个概率，第一问是第一问是二大于二分之一哈，没问题的。然后第二问是 第二问的话呢，是六十四分之九哈，对的，这个概率呢也比较简单，只需要分一下这个情况就好了，相对来说比较比较比较普通。然后后面是第十七题， 找一下第十七题，第一个是第一个证明应该没问题，第一个证明他这里最重要的是要找那个相，叫做全等三角形，关键是这个条件的使用 啊，这个条件这两个角相等，你直接把它用全等三角形去证就可以证出来。我们的 a、 e、 c 跟 a、 e、 b 相等，然后用那个等腰三角形三线合一，可以找到一个垂直，然后呢就能证到这个线面垂直了。然后这个第二问的话，应该是七十九分之七，根号七十九啊，这个答案我都检查了好几遍，是吧？有点不太相信哦，那么这个答案有点奇怪，但是答案确实是这个， 这个数据还是比较奇怪的。然后后面是第十八题，第一问是八和四肯定对的，然后后面是第二问的话呢，最后是 二十分之七，刚好是这个第二问的话，我用的这个方法还比较好啊，就是相对来说，直接把这个三个三，把这个三角形的面积给它转化成，对吧？转化成都是一样的底，那么都转化成 p、 q 作为底，然后呢就是这个 a 点、 b 点、 f 点，他们的这个横坐标就作为高，这样去进行一下转化，就这个面积的转化这一块比较关键。 然后第二问的第二小问他一个，第二小问那个什么四点公园，但是四点公园的我感觉我应该做错了，因为我这个是留到最后来做的。 哦，他确实他这里只有一条，那我看我找的这个什么垂直平面线，我最后没有去，没有时间去写这个了，因为这个第二位我感觉想不到，我就跳过了这个四点公园。他应该是先把那个外接圆，外接圆画出来， 画出来之后这个答案是用了一个把它转换成角度啊，这个是比较好的一个翻译，转换成那个对角，对角互补，对角互补的话呢，这两个角度就相等，这样翻译比较好，然后后面可以用我们的那个斜率把这个角度转化成斜率，那这个思路是比较有意思的。 问十九题，十九题第一问第一问的肯定是负一和零哈，应该没问题。然后后面第一问第二问做了一个第一小问，这个第一小问是证明单调递减没毛病，然后最后答案应该是，嗯，零或者是一减 n， 对 的话， 这个地方他就是把他这个利用这个单调性，然后呢去写一下这个范围就可以了，对吧？你会写到他都是在这个三点九到四点一之间，这个题目他第一问跟第二问联动的还比较好，对吧？刚好第一问呢，你去求了这个 f 四和 f， 然后第二问呢，刚好又提示了这些数据，你就大概是能想得到的，然后后面的话这个就没时间了，后面的这个第二问的第二小问就没时间去写了， 然后看一下应该是扣多少分。这里面写了一个第二问是能得十分，但是需要扣七分，这个题目的话呢，这个第二问，第二小问都错了，这个应该是只能得得九分，扣八分，那就是看前面还扣两分，那就一共扣了十七分了，一百三十三。 这个这个试卷的话，难度我觉得应该跟那个高考的那个一卷应该是差不多，就跟今年那个一卷难度差不多，那张卷子好像我写的好像也是一百三十三， 那比较那个，然后他也是倒数第一题的最后一小问比较难一点，然后他这个倒数第二题的最后这一小问。呃，我后我我看了一下他这个答案的话呢，其实应该还是能写，只不过我刚好是找那个 垂直平分线的时候找错了啊，我只找了两个垂直平分线，因为确实时间也比较紧的。然后呢，应该找到三个垂直平分线就就能去做，然后如果能找到这个题目的这个翻译哈对角互补，把它转换成角度去翻译的话，应该会更简单， 所以其实还是能去做的。然后就第十九题的最后那一小问是比较难，这个比较难，这个第二小问的话呢，其实也需要你先化解一下这个函数，先去观察这个函数，还需要一定的观察能力的话。