成都一诊数学19题微积分解题步骤

有同学讲，老师啊，成都一整最后一个题，最后一个问太恐怖了，答案都看不懂，是不是超纲了？他其实考察的是人教 b 版啊，选择性必修二的第十九页啊，里边拓广啊，探讨里面的一个内容。但这个组合横等式的证明是相对比较简单的。然后咱们就一步一步给他猜一下这个题啊， 他给到的是函数，然后要证明在负一处的导数值是等于他的，那我们先求个导， 那显然这个地方是 c n 一 c n 二，然后这个地方拆下来，这个二抵一个，是不是就是二分之 x 加一个？以此类推下来，这边是不是就会有一个 c n n n 也抵一个，是不是 x 的 n 减一次方，然后再把这个负一带进来， c n 一 加个 c n 二，二分之负一， c n n 分 之负一的 n 减一次方。你想你要正到这个式子，要等于后边这个式子，是不是这个太麻烦了， 对吧？即正这个式子嘛，因为你去拆拆解这个是 n 嘛，那后边这是 n 分 之一啊，所以差距很大的，所以你没法直接的去拆开。那怎么操作呢？我们先把这个写成一个和的形式， 这和的形式比较明显，就 c 个嘛， k 等于一到 n， 然后这儿 k 在 变化，你看这个把它当成 k， 对， 然后下边这个也在变，上面这个次方也在变，所以它这个方是不是应该是 c n k， 然后 k 分 之负一的 k 减一次方，就这个进行一个求和， 它的通口在哪呢？其实是这个式子，我们在组合式里面，它这个式子是不是刚好就是 n 的 阶乘除一个 k 的 阶乘，然后 n 减 k 的 阶乘，往往如果这个整体它前面有一个式子，我们这个是没法求和的，有系数的话没法求和，但是我们可以进行操作，如果这个地方它前面系数有一个 k 加一， 或者它上面会有个 n 加一或者是 n 减一的情况，我们可以考虑通过 经过配凑，把它换成我们想要的这个组合式，因为含系数的 c m n， 这个前面含系数是没法求的，但是如果把它变成单纯的，这个就可以转换成二项式定力 啊，这个就是做这种题的大致思路，包括咱们常见的组合和等式，八大也是啊，这种变形的，那这怎么弄啊？我们假设它就是 a n， 我们去弄一个 a n 加一，因为现在它这个系数是一致的，你看这个 k 和 k 相同，所以这儿是没法约压凑啊 啊，这儿是 k 等于一到 n 加一，那么这里就是 c n 加一，然后这儿是 k k 分 之负一的 k 减一次方啊，变成这个造型，这个造型我们就要有一个比较重要的组合，横等式 n 加一， k 刚好是等于 c n k， 然后这儿是 c n k 减一， 这个造型好，这个是怎么证明呢？他教材上面是有一个证明啊，这是我们给他提供两种证明的方法。 好，我们在八大组合恒等式的证明体系里面给大家讲过，从最基本的 啊，到稍微麻烦一点。第三个就是最重要的，因为教材上面有高考也考不过啊，选两个方法去证明，证明的时候大家注意一下。第一个方法，教材上面就是利用组合分类的方法，然后把它挣出来，第二个方法就是直接硬来硬算， 把它展开通风，最后就可以划成一致。大家如果考后面的更加难受啊，这个是我们新定义课程，之前因为有新定义的考法，所以就给他讲了一下 啊，这个并不超纲的，这个就是高考真题，考的也是一个证明题啊，可以看一下下边这个也是 啊，需要练习的可以发给大家去练一下。好，那么我们继续跑啊，大家可以点波关注哈。跑的时候你看这个东西是不是就 c 码 k 等于一到 n 加一，然后这边换进来，但换进来你在这 n 加一啊，你这里才是多少 n？ n 加一就没法弄，那怎么办呢？我们是不是可以先给他分一下， 直接到 n k 等于一到 n， 然后这里是 c n 加一 k， 然后 k 分 之负一的 k 减一。后边是不是把 n 加一带进来，是不是 n 加一 n 加一，然后这是 n 加一分之负一的 n 次方。这个造型现在是不是就可以换进来？好，现在换的话， 这就 c 个嘛， k 等于一 n c n k 加个 c， n k 减一，然后这里是 k 分 之负一的 k 减一，加一个 c， n 加一 n 加一 n 加一分之负一的 n 次方。好，现在就有一个一箭双雕的，就在这个位置，大家看到没有， 你拆开之后啊，这还要除除除个 k 是 吧？除了的，你拆开之后是不是就会有个 c 给码， k 等于一到 n c n k， 然后 k 分 之负一的 k 减一次方， 对吧？再加个 c 给码， k 等于一到 n 啊， c n k 减一 k 分 之负一的 k 减一，加一个 c， n 加一， n 加一分之负一的 n 次方 啊，这个东西讲起来真的吃力不讨好啊，一方面大家可以可能没有耐心听到这，另一方面的话，就是平台上基本上都是人均幺十加，是吧？说你这讲的不对劲，那是吧，可以更好的方式啊，做的太麻烦了啊，大家点波关注支持一下啊。好，整到这的话，大家发觉没有一方面这个是指， 这就是前面所讲到的 a n 啊，就这个位置上面这里看到吗？而这个地方是不是就出现了，你看 k 和这个待会儿是不是组合可以配错，我们把它写下来嘛，那就 c n k 减一除一个 k， 好， 我们把它写这儿来， 来写这儿吧，来， c 给嘛？ k 等于一到 n， 然后这儿加上除个 k， 是 吧？ 啊？这是负一的 k 减一次方啊，加个 c， n 加一， n 加一， n 加一分之负一的 n 次方。我们现在这个地方变是不是特别舒服，就可以变成新的组合式，就这个式子，我们只写这，这个式子变的时候， 上面是不是就刚好是 n 的 阶乘除一个 n 减啊？ k n k 减一是吧？ k 减一的阶乘，你看它除个 k， 这不就变成一个 k 的 阶乘去了吗？而再来下面的话，这是不是一个 n 减 k 再减一，是不是就加一， n 减 k 加一，是吧？ 这个样子啊，再乘一个负一的 k 减一，因为我们如果含 k 的 有一个 k 的 系数在前面，就是 c n k 就只要含 k 的 相关的，这个就没法求和，是吧？那我们可以把它融进去，所以这怎么融啊？这是刚好是 c 给马 k 等于一到 n， 然后这里是 c 给马 k 等于一到 n， 这不就变成了一个 k 的 阶乘，然后 n 减 k 加一的阶乘分之 n 的 阶乘，它加它，是不是应该等于它才是新组合四？那这儿加上来是不是刚好是 n 加一？所以说你这儿乘一个 n 加一，再来除个 n 加一下来，对不对？ 好了，要为时不变，是吧？就这儿给它配配好啊，其他都不变好。那么这个数字是不是就变成 c 个码？ k 等于一到 n 啊？这个整体是不是就刚好就是 c n 加一 k， 对，然后 n 加一分之一负一的 k 减一次方。那为了好求和这个地方，我们可以把后边你看 c n 加一， n 加一， n 加一分之负一的 n 次方，这一项是不是刚好是这一项的多少？是不是 d n 加一项， 对不对？所以这个整体又可以变成就这两个合在一块，是不就是 c 个吗？ k 等于一到咱们的 n 加一，那 c n 加一， k 负一的 k 减一次方，就这个样子，还有个 n 加一分之一，是吧？啊，这个好难 好，那么其实后面两个就串成这个式子去了。这边是不是相当于有一个等于 a n 加上它吗？ a n 加上它，那这是 a n 加一，那么相当于 a n 加一，减个它要等于它 减个它刚好等于它。那么你看 a n 我 们刚刚设的是不是刚好左边，其实它和这个是相同的，就证明嘛，肯定是对的，对不对？所以其实你只需要证到这个式子， 即正这个右边他刚好等于多少？就是令 n 等于加一，减下来是刚好就是 n 加一分之一啊，等于这个造型就可以了。好，那么怎么等于等于他呢？我们就对这个式子看能不能求和，现在是不是他前面就没有东西了， 对不对？这个是不是和变量没关系？所以你把它拆开，提个负的 n 加一分之一出来，好算一些嘛？ 那这相当是 c 给吗？ k 等于一到咱们的 n 加一，这就是 c n 加一 k， 然后负一的 k 次方，是吧？提那个负一出来嘛？好，把这个拆开，是不就是负 n 加一分之一，那这取相当是 c n 加一，一负一的一次方， 加 c， n 加二， n 加一，二负一的二次方，一直加加加加加 c n 加一是负一的 n 加一次方，是吧？这个造型，那么你看这个式子是不是肯定会想到二项四就是负一加一得 n 加一次方，这个容易想到嘛， 对不对？这个拆开是不是它缺一项？缺一项你给他补一下嘛？给他补一个多少补一个 c n 加一零嘛？负一的零次方是不是相当于减个一就可以了？所以这个就组合起来，是不是就刚好是负的 n 加一分之一，然后这二是刚好是负一加一的 n 加一次方，减个一，不就变成这个样子了？这就是 n 加一分之一，对不对？你看是不是就正到这个式子这样？这个式子，然后你再退回去嘛， 是不是就可以求到？就是叫什么法？是不是叫累加法，对不对？累加法 对就整完了，可理解吧？好，再验证一下第一二项是吧？第一二项就可以了， 对吧？所以这个就是八大组合式啊。我们新定义课程里边讲了很多哈教材有背景的，背景相关的，然后又比较重要的啊。

成都一整。我靠， 这个组合数的很冷。是用两次，两个不一样的。这个用的比较多啊。这个其实不太常见的，卡了很久 最后把他给推出来了。然后这个题的背景其实应该是从变现积分那个地方出来的，所以拿你变现积分倒回去推的话，其实过程会简单很多， 但是不写积分的话其实很难去处理，等活儿晚点再出一版比较好的这个写法，尽量防止被扣分吧。这个题出了真的牛逼。

刚刚考过的成都一整，你们感觉如何呢？是简单的毛毛雨还是难的摸不着头脑？同一道题，你又能想到多少种解题方法？通过这套试卷是否能洞察新高考的出题方向？接下来鹏哥会逐一的对每个解答题进行讲解，分析方法不唯一，建议先点赞收藏加关注。 我们首先来看一下解答题的第一题啊，也十五题，他告诉了这个椭圆的离心率是二分之根号三，然后又告诉了左右顶点 a 一 a 二，这个 a 一 a 二不就是椭圆的长轴吗？也就是二， a 等于四。然后我们再结合这个离心率， e 等于 a 分 之， c 等于二，分之根号三。所以呢，我们就可以快速的 把 a 算出来，等于二， b 呢等于一，所以说椭圆的方程就是四分之 x 方加上 y 方等于一，这是第一问，还是比较简单的。 然后来看一下第二个，第二个呢，他说直线方程与椭圆相干于 p q 两点，让我们求一下这两个向量之几是多少？那么向量之几的话，你要么用我们的数量集中式，要么呢用坐标，那这肯定是用坐标要更加直接一些。我们首先啊，先把它的坐标先给它写出来， a 一 左零点负二负零， p 点呢，是 x 二负 y 二，所以呢， 我们把 a e p 的 坐标也给它写出来，那么就是 x 一 加上二都 y 一， a e q 呢，就是 x 二加上二都 y 二。 然后这个时候啊，我们要去得到他们两个知己的话，那就要涉及到坐标之合和知己，那我们就马上要把这个四分之 x 方加上 y 方等于一，和这个直线方程 x 减二， y 减一，等于力进行连力啊，当然这个直线呢，我们要给它连力了，肯定消 x 要方便的多，所以呢，这里 我们就把这个直线方程变个型， x 等于二， y 加一，然后代入到椭圆的方程就得到了八， y 平方加上四， y 减三等于零。所以啊，我们就可以得出 这个维达定律， y 一 加 y 二等于负的二分之一， y 乘 y 二呢，是等于负的八分之三。然后这个时候啊，我们再把这个 a 一 p 乘以 a 一 给它写出来，那么它就可以得到 x 一 加上二乘上 x 二加上二，再加上 y 一 乘 y 二。这个时候呢，我们需要把它的 x 给它消了，因为前面我们得到是关于 y 的 伟大定义和它的一二次方程， 所以这里呢，它就变成了二， y 一 加上三乘上二， y 二加上三，再加上 y 一 乘 y 二。 那么这个时候我们把它变个形啊，它就变成了五倍 y 一 乘 y 二加上六倍 y 一 加 y 二， 然后再加上九啊，这个时候呢，我们再把微大定律啊给它带进来，所以呢，就可以得到五乘上负的 八分之三，加上六乘以负的二分之一，再加上九。最后答案呢，就是八分之三十三啊，这个呢，就是这个题的整个过程还是比较简单的，那么接下来我们再来看一下十六题。十六题考察的是三角函数，那么这道题呢，也是比较常规的题，我们先来读下题， 他说啊，三 a 加 cosine， a 等于根号二三， b 呢加 cosine 二 c 等于零。第一问，让我们算一下 a 和 b 的 角度值是多少？首先我们可以根据这个三 a 呀，加 cosine a 等于根号二， 快速的反映出我们的辅助角公式，根号二倍三 e a 加四分之派，它是等于根号二，所以啊，我们就可以得出这个三 e a 加四分之派，它是等于一的啊，来想一下，三 e 多少等于一，是不是二分之派？当然这呢 朋友们一定要注意啊，我们一定要写上 a 是 属于零到派的啊，不然的话三的多少值等于一，这个多少它是有很多种情况的，所以这个时候我们就可以知道， a 加四分之派，它就直接是二分之派，算出来 a 角就是四分之派啊，这是第一个 a 角。然后我们再来看一下 b 角， 我们要肯定要用到第二个词了，这个 c 加上 cosine 二 c 等于零啊，出现了一个 cosine 和一个 cosine 相加，那么这个时候啊，你就要想到一个结论， sine alpha 等于 cosine beta 的 时候，那么你要知道这个东西啊，我们就可以知道 alpha 加 beta 它是互余的啊，这是一个啊，比较好用的一个结论，那么这里呢，我们看怎么样去利用它。 sine b 加上 cosine 二 c 等于零啊，我们需要把它转换一个形式，那就是 cosine 二 c 等于负的 三 e b 啊，也就是把它移过来，那么这个符号呢，我们把它放到三 e 里面去，是不是就可以得到三 e 负 b 了？ 这个就是我们的诱导公式来 cosine 多少等于 cosine 多少，那说明里面是不应该是布于的关系，但是这里一定要注意啊，我们这个二 c 啊，这个 c 和 b 一定要写上它是属于多少零到派的， b 和 c 二属于零到派的， 所以我们就可以知道二 c 减去 b， 它就是二分之派。然后再结合我们刚刚求的 a 角是四分之派，那说明 b 加 c， 它是不是应该就是四分之三派？有这两个式子，我就可以把 b 给它求出来， b 呢，它是等于三分之派， 这个是我们的第一问啊，第一问，有的老师或者同学啊，他们是直接把，因为这个 a 角等于四分之派，那所以说 b 角和 c 角之合呢，是四分之三派。通过这个关系式，把这个式子里面的 b 或者 c 啊给它换成同一个角度啊，也是可以算的。然后我们来看一下第二问， 第二问的话它给给你了。 bc 啊，是等于二的啊，这个 bc 的 话，不就是我们的 a 边吗？等于二，然后算一下这个面积，这个根号算了，然后我们画一个图， 这个是 a 角， b 角 c 角 a 呢是四分之派告诉我们的，然后 b 呢是六三分之派，然后这个 b c 啊是等于二的啊，这儿呢，我们首先可以通过我们的正弦定律，先把这个 a c 给它算出来。所以啊，又因为 a 比上 sign a 等于 b 比上 sign b， 所以 说我们就可以得出这个 b， 它是等于 sign a 分 之 a 乘 sign b， 然后再把值给它带进去。 a 呢是等于二三根， b 呢，刚刚求出来了，是二分之根号三三， a 呢是二分之根号二，所以呢，这个 b 边算出来过后，那么就是根号六啊，这个呢就是根号六，那我们要算面积的话，是不得通过这个角啊，那你想这是四分之派了，这是三分之派了，那这呢 啊，不就是我们多少度，是不是七十五度啊？所以呢，我们就可以直接利用我们的面积公式 s 三角形 abc， 它是等于二分之一啊，乘以根号六，再乘以一个二，再乘以一个三影七十五度 啊，二二约了，那就是根号六，这个三影七十五度啊，我相信很多同学都背过，他应该等于四分之根号六加上根号二，所以呢，这个最后算出来结果 就是四分之六加上二倍根号三，所以画完减过后呢，就是 二分之三加上根号三，这个就是我们的面积的最后答案。

给我五分钟，带你速解成都一整压轴题！既然我们要证明左右两边相等，那得先看左边是什么。我们用 sigma 的 形式把这个累加式给写出来， s， n， x 等于 sigma， n， k 等于一。 每一项都是这样的形式，我们就把它给写下来。这个时候我们发现可以提取一个常数既 k 的 平方分之 c， n， k， 那 这个时候 x 就是 密函数的形式，可以用密函数求导公式把这个导数给写出来。 f， e， n， x 等于 sigma， n， k 等于一， 我们就把常数写在一起，写成分数的形式，然后 x 逆函数指数减一，就可以很轻松的算出来了。再代入题目中的条件，就可以算出目标和 s， n 及 f 一 飘的负一， 把所有 x 替换成负一就可以了。 那么得到了左边的式子，证明左边和右边相等，左边看成 a， n 的 和右边就可以看成 b， n 的 和 b， n 等于 n 分 之一。 需证明 b n 等于 a n， 那 得把 a， n 也写成这个形式。这个横等式让我来写一下， 我们用组合意义来解析。假如从 n 个开视频中的人选出 k 个人当我的朋友，就是左边的。这个式子是没有特殊情况直接选择一个大范围，右边呢是。假如要选要内定一个人， 规定一人当女朋友，那应该就是 k 减一，剩下的朋友的人数就减一，那他总数也减了一，就是相当于一个减一，剩下的去补，那么在选朋友的时候就变成了 n 减一， k 减一，这边是不内定的情况下，总人数除这个人数外，还有 n 减一个人在桶中去选择 k 个人，那他们两个是互斥的，相加起来就是所有条件，所以跟左边算的是同一个东西。接下来把这个公式应用在四字里面， 我们来写一下， 这时候会发现左边这一部分正好是 s n 减一，又因为前 n 向和，我们知道 a n 等于 s， n 减去 s n 减一， 那么我们再去化简通项，再用一次另外一个横等式写一下， 用组合的意义来解释一下，这个原本的式子呢，是这样的， n 个人里面选 k 个人就是 c n k， 再从朋友里面选一个女朋友，从 k 个人里面选一个人，就有 k 种可能，然后相乘就是所有的可能数。这边是先选小范围的女朋友，再选大范围的朋友。 先把女朋友从朋友里面选出来，从 n 个人里面选出一个人，所以就有 n 种可能成大范围的朋友。已经确定了一个人，总数就变成了 n 减一，我选 k 减一个人，因为已经有了一个人了嘛， 相乘也是总数，所以两边是相等的，这时我们把它同时除以 n k， 是 为了提出这个更方便我们的计算。再次把 a n 以这个形式写出来， 那这个求和要怎么算呢？我们将会用二项式定义， 把上面得到的负一给带进去， 算出来等于零，我们再移项， 所以可以得到 a n 等于二分之一的形式。最后我们来检验一下，当 n 等于一的时候能不能够得正，算一下 s 一， 发现没有问题，那我们累加的形式 s n 就 等于 s n 加一， 和我们上面组合数的是同一个形式啊。一直到最后的 s n 减去 s n 减一，即又是的这个式子相等正比。

每天一道好题，为高考加油！大家好，今天我讲的这个题目啊，是为一个粉丝答疑的，这个有一个叫极限的粉丝在后台留言，希望我讲一下成都一诊的第二三小问，今天就安排一下。 这个题呢，难度确实不小啊，我们来看一下。首先看这个第二小问， f 二 x 加一大于等于这个东西求 a 的 值， 这个 f 二 x 我 们先给它写出来。 f 二 x 是 什么呢？就是负一加上 c 二 e， 因为 n 得二了， c 二 e x 加上 c 二二二的平方分之 x 放， 那么 f 二 x 加 e 的 话，你看这个 c 二 e， 这个就是二，这个 c 二二，这是 e， 这就是四分之一 x 放，所以这个就是二 x， f 二 x 是 这对 啊，等于它，所以这个 f 二 x 加一的话，这个一就可以消掉，它要大于等于 a 倍的 l x 加一，实际上就是二 x 加四分之一 x 放，它大于等于 a 倍的 l x 加一，这个横乘以求 a 的 取值， 这个咋办呢？这个行成力问题，求函数的范围，这几年啊，尤其是二零二四年考过以后，二零二五年的备考中，模拟卷中出的非常多。 这种行成力求函数值或者范围的问题，我们往往有很多方法，一个就是多点效应，一个就是极致点效应，还有就是呃，分离函数等等吧，各种手段。 但是对于这个题来说，分离函数不太合适，因为你这个东西是正负不太好讨论，你除过去以后，将来这个导函数求最值也是个费劲的事。这个题考虑的是什么呢？答案的方法啊，感觉有点麻烦一点，我说一下我的想法， 这里边你注意到一个特点，就是什么呢？这个里边 x 要得零的话，他两边都得零。 也就是说，你看啊，我把这个重新设一个函数吧，我比如说利用 g x 等于二， x 减加上四分之一 x 放减去 a 倍的绕， x 加 e， 也就是这一坨大 a 等于零横成力，它大 a 等于零横成力，显然这个 g 零还是得零的，你看到了吗？ 也就是说在定域内部有一个点，定域是负一到正无穷内部有一个点正好得零，而这个函数又恒大于等于零，那说明啥？说明在 x 得零的时候，是函数的极小值点， 明白了吗？所以 x 得零一定是 g， x 的 极小值点，它是极小值点，那极值点的导数不就一定得零吗？ 所以这样的话，我们就利用这个极值点得零，我就可以把这个 a 给解出来。那么我们算一下，这个 g 撇 x， g 撇 x 就 等于二，加上这是二分之一 x 减去 x 加一分之 a， 那 这个 g 撇零，他就一定得零，那就等于二减去 a 得零。所以呢，我们就可以探出来，这个 a 的 值就是二， 那么 a 得 a 就 得二，对不对呢？这里边只是它的一个必要条件，它大于等于零，那么既零又得零，就必然有 g 撇零得零，也就是必然有 a 得二，但反过来 a 得二的话，它一定恒大， a 等于零吗？所以我们还需要反过来正一下。 那么下面就是证明什么呢？证这个 a 等于二十 g， x 大 于等于零横乘以。那这时候我们要找 g， x 大 于等于零，肯定对 g x 求导。我们照上面这个直接抄一下吧， 就是二加二分之 x 加减去 x 加一分之二，我们给它通分一下，这就是应该是二倍的 x 加一，这是公分母， 这个上面应该是二倍的，应该是四倍的 x 加一，然后加上 x 倍的 x 加一，然后再减去一个四， 上面分子上一整理，这个四就还能消掉，看到了吧，所以上面是这有个四 x， 这有个 x 方加 x， 所以 上面是 x 方加五 x。 好， 整理一下，这就是二倍的 x 加一，上面是 x 方加五 x。 我们所说的函数定义域是负一到正无穷，这个分子上 x 方加五 x， 这一个是负五，这个是零。显然负一到正无穷的话，负一到零，这是负的，零到正无穷是正的。我就简写了啊， 那么就说明 g x 这个函数呢？在负一到零是单调递减的啊，我就不详细写过这了，负负不是说写错了，负一到零， 负一到零，单调递减，零到正无穷，单调递增。所以这时候 g x 一定有个极小值，就是 g e 要 g 零，所以 g x 大 于等于 g 零， g 零等于啥呢？我们可以代入 g 零的话，就是 x 零不正好点零，所以这个就出来了， a 的 值就是二。 好了，第二小问我就解决到这里，这个就是用极致点的，特殊的极致点的方法，下面我们重点分析这个第三小问，这才是我们这个题的真正的难点， 短短的一句话就让我们证明他，那么这个题是个什么呢？我们先给他看一下啊，为什么难 这个题啊，我就讲一下这个答案的方法，因为这个答案呢，解析很多同学可能说看起来都很费劲， 首先我们先把这个 f n 撇负一的这个值给算出来， f n， 先把这个导函数先求出来，它应该是 c n e 加上 c n 二，上面是二分之 x 加上 c n 三，应该是三分之 x 放，一直加到 c n n 应该是 n 分 之 x， n 间一次放。 那么这个 f n 负一的导数我们就可以给它写出来了，就是 c n e 加上 c n 二，二分之负一，加上 c n 三，三分之负一的平方，一直加到 c n n 分 之负一的 n 间一次方。这个写出来以后，让我们证明这个式子等于右边这个， 这是一个证明等式成立的，证明等式成立，左边显然是 n 向求和，右边也是 n 向求和，如果恰好通向等于通向的话，是不是两边肯定相等啊？ 但是你看看这通向等于通向吗？显然不等，显然不等，对不对？所以这个想法是解决不了的。 另外，通向等于通向，证明不了这个求和能求吗？这个求和能求吗？他的和要能求也行，但显然右边这个和是求不了的，左边呢？左边也求不了，因为这里边有指数，有这个组合数， 有组合数。同学们最先想到的是什么？就是二项式定律，那这个是二项式定律吗？显然还不是，因为二分之三分之，这个 n 分 之，我们这个是不是二项式定律？ 所以这个东西啊，我们想到的这些问题都解决不了。那这个是考察什么呢？ 那你再想一想，什么样的数字里面有求和呀？哎，可能想到了就是数列，所以就可能猜想，这个问题要证明的是不是跟数列相关呢？ 如果跟竖列相关的话，这又是竖列的求和，竖列的求和法能解决吗？什么错位相减法，到那个的列项相消法，这是什么倒数相加法等等吧，我们还解决不了。难点在哪？难点就是这里边藏着一个组合数，这个东西我们解决不了， 所以这个东西啊，虽说是求和，跟熟练的求和方法又用不上，那咋办？我们呢？这样去看，把这个东西我给它设成一个 a n 啊，这个就是我照着答案给大家解读一下了，因为这个东西啊，真是确实不太好想， 我为了好下边好解答，我把这个组这些求和用 sigma 符号来表达。 这个求和就是 k 从 e 到 n， c n k， 然后里边有个 n 分 之负一点减一次方，那就是 k 分 之负一的 k 减一次方，我就可以把这个和式记作 a n， 把它记作 a n 干什么呢？我们将来呀，主要是为了表达这个 c n k 好 处理一些。 我要找的是什么呢？既然直接求和解决不了，我就找一下这个，如果把它看成熟练看一下地推关系呢？它和它的下一项就是 a n 加 e， 是 不是会有一些千丝万缕的联系呢？ 好，我们先看一下这个 a n 加 e 又是什么？ a n 加 e 的 话，这就是 n 加 e， 那 么里边这个 n 是 不是都换成 n 加 e 啊？那将来就有 n 加 e 项， 那么这个 a n 加 e 是 比这个 n a n 就 仅仅多一项的问题吗？显然不是，虽说比它多一项，但是你这里面的 n 都换成了 n 加 e， 都换成 n 加 e， 所以 这个组合数也变了。好，我写一下， 这个就是 c c 吗？ k 从 e， 这就到 n 加 e 求克了，那么里边这个组合数就是 c n 加 e k， 然后这个后边这个没变 k 分 之负一的 k 减一次方。 好，那为了表达这个 a n 加一啊，我现在给它表达出来，为了找一下 a n 加一和 a n 的 关系，这时候啊，我们就得考虑这个组合数问题了，这也是这个题的难点之一， 为啥它难呢？因为这个组合数公式啊，不是说课本中不重要，只是考的频率不太高，我们平时用的太少。 哪个组合数公式呢？我写一下，就是这个 c n k 减一加 c n k， 它等于 c n 加一 k， 这是一个课本阅读教材中给出的一个组合数的性质。当然呢，一些题型中，尤其是一些选择填空题中可能会出现这个，我们可以实施，但是解答题里边用用它的话，概率这个频率稍小一小很多的。 这个组合数怎么用呢？这个组合数你看这里边不就有它吗？我就可以把这个和这个给他建立一个关系，你看是不是？所以我就可以把后边这个式子写成什么 k 从一到 n 加一，后边这个组合数就可以写成 c n k 减一，加上 c n k 乘以这个 k 分 之负一的 k 减一次方。 我用这个组合数的目的就是把这个 an 加 e 和 an 建立关系，因为你看你把这个乘一块的话，不就是这堆吗？ 对不对？但是这一堆里边 k 的 取值范围是从 e 到 n 的， 而这个 k 的 范围是从 e 到 n 加 e， 所以 我把这个式子这个合适，再提出一项求，为了和它对应上。 好，我继续往下写，我往左写一下啊，拿出一项，实际上我就是让这个 k 从 e 到几了呢？到 n， d， n 加一项，我拿外边去，我一会再写，那么我们把这个式子长开，这个里边就有一个 c， n， k 减一乘以这个 k 分 之负一的 k 减一次方。 加上 sigma k 从 e 到 n， c， n， k 乘以 k 分 之负一的 k 减一次方。 然后我再把这个 d， n 加一下，这个 d， n 加一下，我就这从这里面拿出来吧，写到外边，这 d， n 加一下，写到外边 d， n 加一项是啥呢？ k 的 n 加 e 这块，这就是 n 加 e， 这就是 n 加 e， 这个就是 n， 所以 最后一项我就写成 c， n 加 e， n 加 e， 然后就是 n 加 e， 分 之负一的 n 次，就是这样一个式子。好，我这样拆解完以后，你看这一坨，这一坨就是它，也就是这个 a， n， 所以 这个 a， n 加 e， 我 就分离出来一个 a， n 来了， 我就直接把这个记作 a n 啊，这个写出来了，然后我们再看后边这两部分，这两部分，这两部分有啥联系没有？ 这两部分呢？也有联系，什么联系呢？你看这个 c， n 加 e， n 加 e， 我 可以写成什么呢？ c， n， n 写成 cnn 的 话，你当这个 k 要得 n 加 e 的 时候， k 得 n 加 e 的 时候，这不就是 cnn 吗？而这个 k 得 n 加 e， 你 看跟它就对应上了， k 得 n 加 e， 这不也是 n 吗？ 所以完全可以把这个式子并到这个合适中，也就是 k 的 范围再多加，取到 n 加 e， c， n， k 减 e 乘以 k 分 之负一的 k 减一次方啊，把这两坨给它并一块了，就是它。 好了，我们找到了这个 a n 加一和 a n 的 一个除位的关系，它等于 a n 加上这一坨，那这一坨跟这一坨不还这个关系吗？还是处理不了啊，但是啊，这个不太一样， 这个往下还用到一个组合数的一个性质，这个组合数性质啊，是在课本这习题中出现的。什么组合数性质呢？我想在里面给大家说一下。 就是 c n m 吧，它就等于 n 加一分之 m 加一乘以 c， n 加一， m 加一。 在课本中还有这样一个组合数的性质，这个组合数的性质用的频率更低，我给大家简要证明一下。可以用阶乘形式，你比方说 c n m c n m 的 话，就是 n 的 阶乘比上 m 的 阶乘以 n 减 m 的 阶乘。 右边呢？右边这个 c n 加一， m 加一呢？那就是 n 加 e 的 结成，比上 m 加一的结成，乘以 n 加一减去 m 加一，也就是 n 减 m 的 结成， 那么再乘以一个 m， 呃， n 加 e 分 之 m 加 e， 我 们再乘一个这样一个分子，这样一乘的话，这个 n 加 e 和这个 n 加 e 的 结成是不能消掉一个 n 加 e， 消掉 n 加 e 以后，上面就是 n 的 结成， m 加 e 和这个 m 加 e 结成，也消掉一个 m 加 e， 它不也变成 m 结成，所以它就等于做了 啊，也就是有这样一个组合数，这个组合数的性质，我给他用到这个公式里边去。用到公式里边会出现啥呢？我就可以把这个目的，我用这个的目的啊，就是把这个东西给他编一下，我把这个 k 给他消掉， 因为呀，我要把这个数，这个数给它算出来，把这个数算出来，你能怎么算呢？没别的方法了，因为导了半天，导出 a n 加一和 n 的 关系，它再往下算，只能是用二项式定力去给它化解了，否则没有别的好法。 那我先试啊，我们看这个式子继续往下，等 a n 加上后边这一坨。那么根据刚才咱讲的这个 n 加一 c n k 减一又得什么呢？我下面擦一擦。好，这个 c n k 减一，我们根据刚才的公式，就等于 n 加一，上面就是 k 减一，加一就是 k， 然后是 c n 加一 k， 看到了吗？所以我就可以把它代换进去，就是 n 加一分之 k 乘以 c， n 加一 k 乘以 k 分 之负一的 k 减一次方。用这个组合数的话，我们就显然能把这个 k 和这个 k 给消掉。 看到了吗？为啥要削它呢？削它。因为在这个和式中，这个 k 是 一个变量，你 k 的 取值是从一变化到 n 加一的，而这个 n 加一是一个常量，所以我就可以把这个 n 加一给它提到外边来， n 加一提到外边去，然后里边就变成了 k， 从 e 到 n 加 e， 求和是 c n 加一 k， 然后就是负一的 k 间一次放了。 看到了吗？这个跟组合数跟这个二项式定例有啥关系呢？二项式定例我们都知道是 c n 零加 c n， e 加 c n 二，一直加到 c n n 的， 那你看看是不是， 但是还差一点。为啥差一点呢？因为这里面有个 k 是 从一开始的，你 k 从零开始才是二项式定例。 你这种形式的还差在哪呢？还差这这个 k 减 e 次方。因为我们往往跟 k 的 对应着，对不对？ 所以我们可以啊，你看一下啊，有同学可能在这说的时候不太理解，因为 a 加 b 的 n 次方，这个展开式的通向 t 二加 e 是 c n 二， a 的 n 减二次， b 的 二次， 所以这里面这个 c n 加一 k 的 话，你这里面就应该是 k 次，前面这个就应该有个 n 加一减 k 次， 对不对？所以为了跟二项式定律结合起来，我把这个 k 减一次，把这个 k 的 负一次方拿出一项来，变成 k 次，也就相当于拿出一个负一，那我就放前面了就行了。 看懂了吗？这样的话和二项式定律就越来越接近了。差多少呢？还差个零，因为 k 的 取值是从零到 n 加一的话，才是二项式定律，所以这样的话，我把这个式子给它写成从零开始求和， 要从零求和的话，是不是又多加了一项？为了被把这个等式让它相等，我把它再减去一项 c n 加 e k 负一的 k 次方 啊，然后我再减去那一项，那零那项是啥呢？就是 c n 加一零负一的零次，我再把这项减掉。好，我这样一写的话，我们再继续往下看看这一坨， 这一坨是啥？这一坨就真正的妥妥的二项式定律了。因为你这个 c n k 的 话，它的通向 c n 加一 k， 例如我们再乘一个一的 n 加一减 k， 再乘个负一的 k 次方，这不就是二项展开式的通项吗？这部分不就是那个一吗？一，我这里边没写啊，所以前面这一坨， 前面这一坨，这就是一个二项展开式。谁的二项展开式呢？就是一减一的展开式。 好， a n 加上 n 加一分之负一，前面这一坨就是一减一的 n 加一次方，后边这一坨它就是个一，对不对，这样的话，里边算完了，就是个负一再乘，前面不就得到了这个 a n 加上 n 加一分之正一了吗？ 我们通过计算，最后就得到了。什么关系呢？就是这个 a n 加 e， 因为我们设的是这个 a n 加 e， 它实际上就是等于 a n 加这一坨， 那这就是一个竖列的递推关系，所以我们推导了半天，就只得到了这样一个结果， a n 加 e 减 a n， 它实际上等于 n 加一分之一。 好了，我们找了半天，那下面我们怎么求这个 a n 呢？这个呀，你想想，一个竖列给出这样一个递推关系，那不显然就是那个累加求，嗯，这叫累加法，求通项公式的问题吗？ 好，我们下面就可以从上往下倒了。那么就是，但是这里边注意一点，我们这个题中的这个 n 是 大于等于二的，所以你这个 n， 这个 啊，这个 a n 你 必须从二开始， n 不 能取 e， 所以 这里边我们只能是从 a 三减 a 二开始， n 得二的话，这就是三分之一，然后 a 四减 a 三就等于四分之一，然后以此类推，一直到 a n 减去， a n 减一，就应该等于 n 分 之一。所以我们把这些式子累加的话，左边就会得到，嗯，相加，累加， 左边就会得到 a n 减 a 二，这就不用解解释了吧？右边呢，相加就是三分之一加四分之一，一直加到 n 分 之一， 这样的话，我把 a 二移过去，是不是 a n 就 等于后边这一坨了，越来越接近了。那 a 二是啥呢？我们再看一下， a 二就是前两项的和， a 二就是前两项的和，就是这个对不对？那么 a 二的话就是 c 二一， c 二一就是二， 这个 n 得二了呢？这就是一，这个就是负二分之一，所以这是二减二分之一，也就是二分之三， a 二要得二分之三，那么这个 a n， 那 把这个 a 二移过去，不就是二分之三加后边这一堆吗？ 而这个二分之三，我们一瞅，他不正好就等于一加二分之一，我们就挣出，我们得到这个 a n 等于右边这个合适了。 所以这个题啊，他这个出的特别巧妙啊，我估计在考场上能做出来的几乎寥寥无几，能做出来的也只能是出题人。好了，今天咱就讲到这里。

我们做 a、 g 垂直于 d、 e 与 g 备用，做 d、 f 垂直于 a、 e 与 f， 再连接 c、 f， 这样我们就把这个二面角的平面角给它做出来了。我们换个角度看一下， 它这个红色的部分就是我们所求的二面角的平面角，我们再转回来。好，我们先证明一下角 d、 f、 c 就是 这个二面角的平面角。 好，我们做的是什么呢？ d、 f 垂直于 a、 e 与 f， 这是我们自己做的，然后题目当中已知的这里有一个 a、 b 垂直于 a、 e， 我 们看一下是不是这个角，因为 c、 d 和 a、 b 是 不是平行线，这两个，你看这两个是不是平行线，所以我们得出什么呢？ c、 d 也垂直于 a、 e， 那 么这个 a、 e 既垂直于 d f， 又垂直于 c、 d， 所以 它就垂直于面 c、 d、 f， 而 c、 f 就 在这个什么面上，所以 a、 e 就 会垂直于这个什么 c、 f， 那 到这里，这个 d、 f 垂直于 a e， c f 也垂直于 a、 e， 我 们看一下 d、 f 和 c、 f 都垂直于 a、 e 了，所以中间这个角就是什么二面角的平面角了， 所以角 d、 f、 c 是 二面角的平面角， 也就是说我们求的就是角 d、 f、 c 这个角的余弦值的最大值。好，要求 d、 f、 c 这个角，这个角的什么余弦最大值？我们就需要把这个三角形的三条边给它解出来，哪三条边就是绿色的三角形的三条边，如果三条边的长度都能表示，我们最后用一个余弦定零是不是可以了？好，我们一个一个来找一下， 好，看一下我们已知这些东西啊。 ab 是 根号二，那这也是根号二了。好，那折起来，这个 a、 e 也是根号二，那斜着的 b， e 就是 什么 b， e 这条边数就是二，对吧？ a e 这条边我们是不知道的，那我们把 a e 把它设成二 a 吧，因为这里是 a， 这里也是 a。 好， 因为这个 o e 和 o d 是 相等的， o e 就是 o d 转上来的，对吧？因为 o e 等于 o d， o d 又等于 o b， 那 么脚斜边上的中线是不是就等于斜边的一半了？ 我们看一下 o e 是 不是这个三角形斜边上的中线，所以这就是直角，对吧？好，所以脚 d e， b， d 等于根号下 d， e 的 平方加上 b， e 的 平方好，这等于多少呢？就是四 a 方再加个四好，就等于二倍，是吧？等下 a 方加一。好，那我们就把 b d 求出来了， o b 是 不是 b 的 一半，所以 o b 就 等于什么？根号下 a 方加一。好，我们此时我们看下知道什么了？知道了 o b 又知道什么？ a b 是 不是就可以算 o a 了？行，我们算下 o a 啊， o a 等于根号下 a， b 方减 o b 方就等于根号下二，减去 a 方加一就是一减 a 方。 我们现在知道了两个非常厉害的东西啊，一个是 a， 一个是 o b， 有 了这两个的长度都好表示了。好，请问还是我要走我们的中心，对吧？我们想算什么呢？想算的是这个什么？整个绿色三角形，这三条边，对吧？看，怎么能用小 a 统一的表示出来。好，其中 c、 d 就 不用表示了，因为 c、 d 是 多少呢？是不是就是根二好，要表示的什么就是什么？ d f 和什么 c f， 我 们看下 d， f 怎么表示。 好，我们先看左边的三角形吧，好，在三角形 a、 d e 中，我们用等面积法试一下，二分之一底乘高 d e 是 谁呢？就是 a e。 好了，就是 df。 好， 我们想要的 d f 出现了啊，等于二分之一， d e 乘以高就是 a g 好， 我们算一下，二分之一单底销了。 a e 是 几来？ a e 是 根号二， d f， d e 又是几来？ d e 是 二 a a g 是 多少呢？是不是放在这个直角三角形里面看一下？根据勾股定它等于什么二减 a 方。好，所以 d f 出来了， 就等于根号二个 a 再乘以什么二减 a 方。先放着啊，我们去找 c f 就 可以再解决了啊。接下来我们去找 cf， 是 不是这个等面积法可以再用一次？ 我们看一下啊，在三角形 a c e 中，二分之一，我们想要的是 c f， 对 吧？底层高。那还是拿 a e 来当底，再乘一个 c f 就 等于二分之一底层高，这个底就是 ac， 再乘一个 o e， 好， 二分之一，这样抵消。 a e 是 不是根号啊？乘一个 c f 就 等于 ac ac 咱们是知道的。 ac 是 不是两个 o v 啊？ o v 在 哪里？我们回顾一下。 o v 在 这里是根号下一减一方，那两倍的 o v 呢？ 这是两倍的根号下一减 a 方 o e 怎么办？ o e 跟 b 是 相等的，我们看一下 o e 跟 b 是 相等的， o e 有 没有？有，在这。好，就是根号下一方加一。嗯， 好，就是根号下，我们写成加一方吧，好看一点啊。好，那么 c f 也算出来了，就等于根号二倍里面是不是平方差公式一减去 a 的 四次方了。好，到这里我们想要的东西就差不多了，你看我们的 d、 f 表出来了， c、 f 表出来了，然后 c、 d 已知根号三条边都清楚了，所以用余弦点就可以了。但是有个问题， 咱们这个条件是不是还没用上啊？体积不大于三分之一，是不是还没用上？这个条件到底是来干嘛的？应该是来约束这个小 a 的， 对吧？如果小 a 这个自变量的范围都不清楚，我们待会即便写成了 a 的 函数，咱们也不知道值域是多少，所以我们要用这个体积大于三分之一来约束一下这个小的范围来表示一下。好，这个体积， 哪个体积呢？整个对吧？ a、 b、 c、 d 我 们可以把它分成两个部分，哪个部分呢？我们以 d、 b、 e 这个三角形为分界，把它砍成两半，对吧？外面一半，里面一半，这样就形成两个嘴，嗯， 就是 a 杠 b， d 一 加上 v c 杠 b d 一。 当然我们知道这个 o、 c 和 a 是 相等的，对不对？ o、 c、 a 相等，也是说这两个锥的高就是相等的。好，这是两倍的一个锥，对吧？两倍的一个锥的体重是背一下三分之一底，面积 乘以高。好，前面就是三分之二了，写上啊，好， b、 d 的 面积怎么算呢？当三分之底乘高喽。 d 我 们看一下是和谁呢？ d 是 不是就是 d？ a 和 b 也是一致的，对吧？首先 d， a 是 二 a， b， a 刚才是不是也表示过了？好，最下面这个位置啊，这就是根号下一减 a 方。 好，它就等于，我们看一下啊，这是三分之四， a 乘以根号下一减 a 方，他说这个体积怎么样呢？是不是小于等于不大于什么三分之一？ 好，我们把它三分之四弄过来， a 除以什么？ a 除以根号下一减 a 方就小于等于多少了？四分之一，那么 a 方乘以一减两边同时平方啊，就小于等于十六分之一，呃，也可以继续解，对吧？咱们先放着看看，待会要什么，对吧？万一要的就是这个整体来，对吧？好，我们先放着，我们可以用余弦定了在三角形。看清楚了啊，我们合龙就会啊， d f c 中 口算角， d f c 就 等于来，我们看着这个三角形啊，哪个三角形？我们再画一遍这个三角形，我们是这个角，对吧？两个零边平方减对边平方，对吧？ 好，就是写一下， d f 方加 c， f 方减 c， d 方除以两倍的 d f 乘以 c f。 好， 我们继续等，找我们的 d f 在 哪里？ d f 是 不是在这个位置？ 让我们把它放一下， d f 的 方就是二 a 方，二减 a 方， c f 在 哪里？往下看一下，这里二倍的一减 a 地方， c f 是 根号的地方，就是二 行，然后再两倍的根号二 a， 二减 a 的 平方乘以根号二乘以什么？一减 a 的 四次方。好，我们刚刚的两个数据。好，我们把上面画出来讲，四 a 方减两个 a 的 四次方，加二减去两个 a 的 四次方，再减二， 然后再根号下二减 a 方，再乘以根号下一减 a 的 四次方。这是什么？四个四个 a 的 平方减四个 a 的 四次方，下面四 a 两个根号啊，上面是不是可以提个 a 方出来，一减去 a 的 平方， 下面四 a 根号下二减 a 方，我们发现这个一减 a 的 四十方是不是个平方？差？公式，我们把它写成两个看，一加 a 方，在一减 a 方，好，接下来我们发现上下有两个地方可以约，首先是四 a 方还是 a， 其次是一减 a 方和根号下一减 a 方。是不是两个地方都可以处理一下，我们约一下看看啊。上下同时四 a， 上面三个 a， 好，这里就是个什么了，根号下二减 a 方，然后上下如果同时约掉一个，这个约掉一个，根号下一减一方了，那上面是不是一减一方了？下面是什么？一加 a 方。好，就换成这样子，然后我们尝试着把它所有的东西都给它放进根号里面去，我就写下面，你们好联系啊。好，根号下 分子的话，肯定是 a 方减 a 的 四十方，把它弄到根号里面去，分五乘一下二加二， a 方减 a 方，再减 a 的 四十方。我们整理一下啊，为了方便你们联系好，根号下 a 方减 a 的 四十方，分五，也是 a 方减 a 的 四十方，但是加了个二，到这里分子分五非常接近，我们是不是可以平行数了？嗯， 好，就是 a 方减 a 的 四次方，加个二，再减个二就可以了。好，分母 a 方减 a 的 四次方，再加二。好，它就等于根号下这是一，再减去二倍的 a 方减 a 的 四次方，再加二。好，我们再回来看一下 a 的 范围，我们刚刚停在这了，对吧？我们说看需要怎么用再用它，不要盲目的用它，对吧？是不是它就是 a 方减 a 的 四次方，小于等于十六分之一，嗯， 这就是小于等于十六分之一，所以我把这十六分之一带进来，请你们看一下，一减去二十六分之一加二。好，算出来就是根号下三十三分之一结束。

十九题是一道对数函数和三角函数相结合的题。由于今年新高考一卷十九题考了三角函数与导数结合，所以想必各地的模拟题十九题都会出现三角函数， 所以暴风雨还在后面，大家先做好心理准备。那我们先看第一问。第一问非常简单，咱们一笔带过即可。 等于一加 x 分 之 a 减二在零 f 零处的切线方程 y 等于 x， 所以 显然 f 撇零等于 a 减二等于一，也即 a 等于三。 第二问，若 f x 大 于零，对任意 x 属于零到派横乘力求整数 a 的 最小值。这种横乘力问题我们 最好可以掌握。泰勒展开，先用泰勒展开来窥探一下函数的形态，虽然这道题函数本身并不复杂，但是窥探一下总是 ok 的。 泰勒展开等于 a 倍的 x 减二分之 x 方加，这里长到三截就差不多。 简单整理一下， a 减二， x 减二分之 a， x 平方，再加三分之一加 ax 的 三次方， 后面就不写了，所以我们可以看到 f 零是等于零的， f 一 撇零等于 a 减二， 那很显然，如果 a 减二都小于零的话，函数在零的右侧肯定是单调递减的，显然不合题。也就是说 a 至少要大于等于二。当 a 等于二的时候， 这项为零在零的附近，由 x 方向主导，而 a 等于二时， x 方向的系数为负的，也就是说函数仍然会为负值，所以 a 等于二显然也是不合题意的。 题目中说求整数 a 的 最小值，那也就是说这个题我们很难求得 a 精确的值，那么 x 首先要大于二，等于二又不行，那自然想到 a 应该等于三，所以我们只需要尝试证明 a 等于三即可。 但是在卷子上我们肯定还是要说明为什么 a 小 于三都是不行的。 由于我们知道 f 撇零等于 a 减二，当 a 减二小于零，即 a 小 于二十，这里一笔带过就可以，显然不合其意。 当 a 等于二时， 刚刚我们已经分析过了， a 等于二十依然也是不成立的，我们这里只需要带一个特殊值就可以。比如说我们尝试带一下 f 二分之派应当等于二倍的 lone， 一 加二分之派减二， 这里显然可以得出它是小于零的，因为只有它等于一时，恰好等于零而论， e 才等于一。 e 是 我写在上面， e 是 二点七一而一加二分之派，我们知道二分之派大约是一点五七，所以它大约是二点五七，显然是小于 e 的。 因此 lo 一 加二分之派就小于一，所以整体小于零 也是不合提议。 我们接下来只需要证明当 a 等于三的时候符合提议即可。 当 a 等于三时，此时 f x 等于 三倍的 lone， x 加一，减去二倍的三 x， 这里既有对数，又有三角函数。如果大家尝试在草稿纸上求一下导，会发现处理起来并不太容易。 当然你愿意求二阶导数也是可以处理的。这里我还是推荐大家使用一下放缩来处理会更好一点。我们知道一个基本的放缩，当 x 在 低项线或者说零到二分之派时， sin x 小 于 x， 小 于贪婪的 x。 这个大家在高一学习三角函数的时候，通过数形结合就可以很容易的证明这一点。所以当 x 在 零到一的时候， 这里你可能会好奇，为什么我不写零到二分之派，而写零到一？这个咱们等会就知道了。 f x 应该大于三倍的 loon x 加一减去二 x， 这里我们将三 x 换为 x， 令 g x 等于三倍的零一加 x 减去二 x。 由于 f x 是 大于 g x 的， 所以我只需要证明 g x 大 于零即可。 g 撇 x 等于一，加 x 分 之三减二， 那这就非常好解了。已知 g x 在 零到二分之一单调递增，在二分之一到一单调递减，那我们再算一下， g x 在 零到一上的最小值只可能是 g 零或者 g 一 g 零等于零， g 一 等于三倍的零二减二。 我们知道 lo 二大约等于零点六九，所以三倍 lo 二减二显然是大于零的，这样我们就可以得知，故 f x 大 于 g x 大 于零。 这里我们之所以选择一，是因为当 x 等于一的时候，记一是比较好计算的。而如果我们选择二分之派的话，来计算记二分之派是比较麻烦的，还需要用一些其他的放松， 那么这是 x 在 零到一之间，除此之外，还有 x 在 一到派之间。 这时候我们看一下，刚刚 x 在 零到一之间的时候，我们已经证明了三倍的零二减二大于零，或者说三倍的零二是大于二的。而我们知道三角函数的一个基本特点就是有界 观察到这里二倍的 sine x， 二倍的 sine x 显然应当小于等于二， 所以当 x 在 一到 pi 的 时候，三倍的 sine x 加一应当大于三倍的 sine 二。 因为 long x 加一是一个单调递增的函数，当 x 等于一时，它是三倍的 long 二，那么当 x 大 于一时，它就要大于三倍的 long 二三倍 long 二又大于二二显然大于等于二倍的三 x， 这样我们就证明了 f x 它也是大于零的。所以综上所述， 当 x 属于零到派时，若 f x 大 于零，横成立， 整数 a 的 最小值为三。 下面咱们来看第三问。 对于第三问，咱们先来分析一下， 当 a 属于零到一时，证明在零到派上存在唯一零点 x 二与唯一极小指点 x 一， 且满足这个不等式，我们先求导画一下图， f 撇 x 等于一加 x 分 之 a， 减去二倍的扩散 x。 由于这两个函数你直接用导数运算，用代数计算，看起来是有点麻烦的，但是图像却是非常好画的。 对于二倍的扩散 x 来说，它相当于是这样， 这里是二分之派，这里是派。而一加 x 分 之 a， 相当于是把 x 分 之 a 这个反比例函数向左平移一个单位，且 f 撇零是等于 a 的。 由于题目中说 a 在 零到一之间，所以它与 y 轴的交点应当介于零到一之间，那么它大概是这么一个形态， 这样我们就可以看得很清楚了，这个交点就是它 函数唯一的极值点。而在 x 一 的左侧导数是小于零的， x 一 的右侧导数是大于零的，因此在零到 x 一 单调递减，在 x 一 到派单调递增，所以说是 唯一极小指点 x 一。 那么咱们怎么说明这个事情呢？考试的时候是不能画个图说，如图所示，这肯定不行，我们需要严格的用分析的方法来证明。注意到这里面有一些特殊值，我们先尝试计算一下， 三分之派是等于一加三分之派，分之 a 再减一，显然是小于零的。 二分之派，一加二分之派，分之 a 是 大于零的。 我们发现这两个值相乘小于零。根据零点定律，必然存在一个根在二分之派，呃，在三分之派到二分之派之间，但是这仅仅是存在，而不能确定为一，所以我们还需要通过单调性来进行判断。 所以我们需要求一下一阶导的导数，负的一加 x 平方分之 a 加上二倍的三 x。 不难发现，当 x 属于三分之派到二分之派时，二阶导数是大于零的，也就说明一阶导数是单调递增的，所以 b 存在为一 x 一 属于三分之派到二分之派，使得 f x 一 等于零， 且当 x 属于三分之派到 x 一 时， f 撇 x 小 于零，当 x 属于 x 一 到二分之派时， f 撇 x 大 于零，故存在为一 极小值点 x 一。 那证明了极小值点之后，接下来我们来研究零点。 看图我们可以发现，函数是在零到 x 一 递减，在 x 一 到 pi 递增，那我们先算一下端点值， f pi 是 等于 a 倍的 sine 一 加 pi， 这显然大于零， f 二分之派等于 a 倍的 loon 一 加二分之派减一。 这里刚刚我们已经算过了，这个数是比一要小的，而 a 本身又在零到一之间，所以 f 二分之派就是小于零的。 同样，根据零点定理，我们可以说在二分之派到派上至少存在一个零点。但是还是刚才的问题，我们需要说明唯一性，那我们就继续当 x 在 二分之派到派时， 观察一下导数 x 在 二分之派到派的时候扩散， x 已经是小于零的了，那么前面再减二，也就是这一项为正，一加 x 分 之 a， 当然也为正，所以 f 撇 x 就是 大于零的，也即 f x 在 二分之派到派上单调递增， 既然单调递增又存在零点，那么只能存在唯一的零点，故由零点定里 之存在为一， x 二属于二分之派到派，使得 f x 二 等于零，这样我们就证明完了存在为零点 x 二和为极小值点 x 一， 并且顺带也就证明了 x 二大于 x 一， 显然 x 二大于 x 一。下面我们真正需要研究的是二 x 一 大于 x 二。 在开始写后面这个不等号之前，我们先简单分析一下如何证明。 刚刚我们已经相对精确的求出了 x 一 x 二的位置， x 一 是在三分之派到二分之派， x 二是在二分之派到派之间。那我们可以发现二倍的 x 一 跟 x 二都在二分之派到派这个区间， 而恰好函数在二分之派到派又是单调递增的，因此这个证明的思路就比较显而易见了。要证二倍的 x 一 大于 x 二， 事实上只需证 f 二 x 一 大于 f x 二，而又因为 f x 二等于零， 所以实质上只需要证明 f 二 x 一 大于零即可。 f 二 x 一 等于 a 倍的 loon 一 加二 x 一 减去二倍的 sine 二 x 一。 这里有一个参数 a， 我 们需要先处理一下。不要忘记，刚刚我们已经证明了 x 一 是函数的极小值点，也即 f 撇 x 一 是要等于零的。 这里我们可以得到 a 等于二倍的 cosine x 一 乘以一加 x 一。 将这个结果代入， 即证明 f 二 x 一 等于二倍的扩散 x 一 乘以一加 x 一。 ln 一 加二 x 一。 这个式子依然是一个看起来非常复杂的式子，有三角，有对数，还有多项式。那么我们在证明相关不等式的时候，肯定都听说过对数单身狗， 所以我们这里考虑把它单独摘出来，所以需要把它的系数给除掉。我们令 g x 一 等于两边同时除以二倍的 cosine x 一 和一加 x 一 之后，应当是 sine 一 加上二 x 一 减去。这边我们演算一下二倍的 sine 二 x 一 除以二倍 cosine x 一。 一加 x 一。 上面可以使用二倍角公式， 四倍的 sine x 一 cosine x 一 除以二倍 cosine x 一。 一加 x 一， 也就是 一加 x 一 分之二倍 sine x 一。 需要证明这个函数大于零， 而这里同样还是又有对数，又有三角。我们在第二问用的放缩，这里可以再用一次，因为 x 一 是属于三分之派到二分之派的，所以 sin x 一 一定是小于 x 一 的，因此 g x 一 要 大于 lone 一 加二 x 一 减去， 这样我们只需要证明后面这个大于零即可。我们令 h x 一 等于 lone 一 加二 x 一 减去一加 x 一 分之二 x 一。 到这里，如果熟悉飘带放缩的同学肯定心里很高兴。这套试卷的最后一道题基本就已经结束了，我们来简单复习一下飘带放缩。当 x 大 于一时， long x 是 大于 x 加一分之二倍 x 减一的。 这里是 lone 一 加二 x， 所以 我们用 lone 一 加二 x， 用一加二 x 来替换式子中的 x， 可以 得到 一加二 x 一 加一分之二倍的一加二 x 一 减一。 简单化简一下，你发现右边事实上就是一加 x 一 分之二倍的 x 一。 这样这道题其实就已经结束了，只是我们还需要再写一下过程，把飘带放缩的证明写在上面，或者是你直接就对 h x 一 求导即可。因为 x 一 明确是属于 三分之派到二分之派的，所以我们对它求导 h 撇 x 一 等于一加二 x 一 分之二减去一加 x 一 的平方，分之二 同分整理一下一加二 x 一 一加 x 一 的平方，分之二 x 一 的平方， 那这显然是大于零的，所以 h x 一 应当大于 h 零，也就是零。 这样我们证明了 h x 一 大于零，也就证明了 g x 一 大于零，也就证明了 f 二 x 一 大于零，即 大于零等于 f x 二。又因为二 x 一 和二 x 一 x 二均位于 二分之派到派，而 f x 在 二分之派到派上是单调递增的，所以我们可以得出二 x 一 大于 x 二。 纵观这道题目，我们可以发现，它的第一问是非常基础的，第二问用了一点简单的 放缩，就是 x 三 x 和 tan 的 x 之间的关系。第三问的证明思路也是比较清楚的，我们需要用到参数的代换。 同时最后这里如果大家熟悉飘带放缩的话，肯定一眼就能看出来。好的，十九题咱们就讲到这里。

梳理一下这个学期学的一些比较重要的知识点，但是我可能想到哪里就讲哪里了，因为主播并不是一个数学很好的人，然后呢，可能 也不是理科生，所以讲的可能没有那么好，就是给自己看的吧，一个复习的形式。然后首先就是极限，极限的四则预算中 就是要将他们进行四则预算的时候，一定要注意一个前提，就是极限是存在的，两个极限都存在，那么他们相加减的话，他们的结果是存在的，但是如果其中有一个是不存在的话，他们的结论是无法确定的，如果两个都是不存在的话，那么他们的结果可能是存在的， 那么非常重要的就是求极限的方法。在拿到一个式子之前，要对这个式子进行一些处理，比如说因式分解，然后如果分母分子中有根号，就根式的话，要先进行分子分母有理化，然后 再看是否是不是符合，然后再进行等加无从小的代换，最后再看是不是符合洛必达使用的前提，如果是未定是零比零型或者是无从比无从型的话，就用洛必达。 然后等价无穷小在成熟中比较好用，在加减中呢就要慎用，然后最好是不用对然，嗯，最好是不用。那么等价无穷小就是涉及到他的一系列常用的公式和他其中的一个部分叫接的比较。 首先等待无穷小的待换，这在三角函数中是比较，就是使用起来我的性价比是比较高的。然后呢，它还包含着一个非常好用的一个竖轴，这是我在做 同济的，有一个练习册，同济大学图书馆的有个练习册，高中大学就是他答案里面附的，我觉得他的答案做的挺好的。嗯，高中位比较足，不像就是有些大学的，就像我们平时的作业，他可能就一个简略的答案没有详写。嗯， 然后呢，它包含着五个重要的点。首先根据我们以往的知识来说，这个等式应该是比较好记的，就是这三个的大小关系，三 x x 和 tangent x， 那 么 在这条数据上就体现出来是 tangent x 是 最大的，所以呢，它就在最右边，那么它的反函数反三角函数阿克泰特就是最小的， 那么 x 夹在中间，然后呢，三 x 是 小一点，所以它的反三角函数就会大一点， 但这只是一个记忆的方法了，怎么样记都是可以的。然后呢，他们每一个之间相差的格子就是六分之一 x 的 三次方，所以呢，这个可以是用到。比如说在我们求一个极限 是这道题的时候，就会是这样子的一些题，那么他的这个就直接可以用等价物从小淡化出来，是六分之一 x 的 三次方， 哦，不对，错了错，错了，这里一减，这个减这个的话应该是三个格子，应该是二分之一 x 三次方，所以直接就是等于二分之一，非常好用。那么它的另外一个常用就是 它里面另外的知识点就是接的比较，接的比较呢，包含高阶无穷小、同价无穷小和等价无穷小，等价无穷小呢，又是同价无穷小中比较特殊的一点，那么题题型就是给你两看书，说他们是同价无穷小和等价无穷小，然后让你求其中的参数的具体的值， 这就是第三个方法，那么第四个就是路比达，然后路比达解决的就是关于未定式的一个问题，那么未定式的形式呢？主要包含有一二三四五六七，嗯， 六七六七种，最常用的就是零比零型和无穷比无穷型， 那么其他两个形式零比无穷或无穷乘无穷，零乘无穷，那么都要把它进行向中间两个进行转化，比如说零乘无穷的话，就可以 把它变为无穷比上零分之一，或者零比上无穷分之一，那么一般都会把无穷拉到分母里面去，然后像零比零和无穷比无穷转化。 那么还有一个比较重要的就是一的无穷次，这里就和另外一个重要极限相关联，那么这里有一个小技巧，上次刚学到的小技巧就是如果是一个这样的式子的话，就比如说 一个这样的题目，那么首先凑出来一个一，这个重要结界的非常重要的一个标志就是它是一加上 x 的 形式，那么凑出一个一以后，这块黄色的 区域，然后外面呢会它外面是这是它本来的一个指数吗？那么如果我们要凑这个指数的话，我们如果要凑重要极限的话，我们首先是要把这个式子它的倒数就是放在外面，然后呢再配凑回把它抵消掉。但是呢这个技巧就是说 我们在凑出一以后，可以直接把这几个式子和这个指数原来的指数相乘，这就是我们他他算出来的结果，和我们配凑之后算出来的结果是一样的，中间可能会有些抵消的过程吧，所以他就可以直接这样算，还是比较方便的。但是如果在考试的时候，我觉得我可能还是会检验一下， 因为这个技巧我也是刚刚学会，我不太敢用， 然后除了这个我已经是这就是求极限的四步，四个步骤吧，然后求完那么学。嗯，在学会如何求极限以后，我们就要去运用极限， 他包括首先第一个就是判断连续性，函数的连续性，那么判断函数的连续性就要看他的左极限和右极限是否是相等的，应该是，嗯，对左极限和右极限是否相等的，然后再判断他。这还有一个有一种题，就是 他的连续性后，会让你去判断他的可导性，然后最后得出一个结论，他是连续不可导，连续可导还是对没有开始的，因为他如果不连续的话，一定就是不可导。然后如果判断可导性的话，就是看他的左右两边导数是否相等， 然后如果他是不连续的，那么他就会有间断点，这时候就有一个提示，判断这个间断点的类型。 那么首先拿到这种题算他的极限，如果他的极限是不存在的话，我们可以就直接归为第二类，他极限是不，然后正当型间断点呢？是考的非常少的，在之前的题目中我觉得做到的相对比较多。第二类的话是无穷 间断点，然后如果他的极限是存在的话，那我们就要判断他的左右两边极限是否相等，如果是不等的话，就是跳跃间断点，如果相等，但是函数值是一个没有定义的数的话，就是一个可去间断点， 然后好多，然后讲话真的好喜欢说，然后，嗯，不管 那么可导性和渐变点都是趋于某一个具体 x 零的值，那么当 x 零趋于无穷的时候，就是涉及到一个函数图像的问题，那么它就是会要我们去涉及到求它的一个渐近线， 那么渐近线又包含三种，一个是渐近线，一个是水平渐近线，还有个就是斜渐近线，上面两种都比较好求，那么斜渐近线的话，主要就是记住它的公式， k 等于 limit f x 除以 x， 还有 b 等于 limit f x 减 k 乘 x 的 极限。 接下来还有个运用就是加 b 定律，那么有一就是有两个题目，他非常的像，在我整理我的作业的时候，他这两个题目非常的像，而且他们答案还是一样的，但是他们用了两种方法，一个是定积分的定义，一个是加 b 定律。 首先加倍定律呢，就是一个函数把它进行放，所有两边进行放缩，如果他两边的极限相等的话，那么这个函数的极限就是他们两边的极限，他本质上我觉得还是一个放缩，就是你要想他两边是怎么放缩的，我觉得他难点就是在放缩， 但是如果是另外一个是定积分的定义吗？就这两个题目 看，他们的分母就是两题的区别，其实就是在他们的分母上面，一个是二次方加一个加一个长数，一个是平方减去一个数的平方，我这里好像抄错了一点， 就是其实是有平方的，所以 所以说就是。然后就是浅浅的草率的总结了一下自己的规律吧，就是好多就是说话怎么能这么口吃啊。 如果 n 和一个就是它变量，因为如果首先把它们都写成一个求和的形式，会比较方便观察它们的一个区别。如果 n 和变量是在同一个量级，就是它们次数是相等，变化速度是一样快的话，那么就要用定积分，如果它有高有低，就是它的变量， 他变化速度比较慢，对整体设计影响比较小，那么就可以考虑放缩。所以这两个是比较像的一个点。那么极限的还有个运用就是他的导数，因为导数他就是求极限。我觉得他们两个关系很密切的吧。但是导数还没梳理好。所以呢？ 这是昨天梳理的一些内容吧。主要是这么多，拜拜。

这次我们走到导数，那么导数首先我们看他的定义，导数的定义呢，就是高中的时候也讲过了，当时印象很深的就是四个字，我们的数学老师跟我们说导数就是一一对应， 那么导数定义也可以用来求导。求导一共有三个相关的方法吧，第一个是公式法，是最常见也是首先考虑的，但是当我们遇到分段函数的分段点和抽象函数， 或者说当题目只告诉你说 x 等 x 在 呃等 f， x 在 x 等于零处可导，但是他其他的地方没说，也就是说我们不能判断 f x 在 x 整段定义上是否可导的时候，我们就要考虑使用定义法， 那么定义法其实之前我感觉有点绕，但是他总的来说一个模式吧，就是 f x 加上 h 减去 f x 比上一个 x 加 h 减去 x， 也就是 h， 那 么这里的 x 这个部分你可以换成任意的具体的点，就比如说你可能要求 x 等于零处这个的地方的导数，那么你就可以把这个 x 换成零，然后呢再代入 具体，然后就是求极限的一个方法了。那么还有第三个就是引函数的求导，那么引函数的求导其实就是对等式，两边同时求导，然后呢再化解，那么求二阶导也是一样，再进行同时求导， 那么就是导数的定义，隐身出来的求导。然后还有另外一点就是连续，可导、可微以及后来可激发有界他们之间的一个关系，那么根据上期可以知道 可导必定连续，但是连续不一定可导，所以我们可以由可导推出它是连续的，那么可导和可微两者呢？也是 也是一个可以相互推的一个过程吧。然后可微呢，它也是连续的，那么连续它就是可击的，可击 他就是有界的，那么发散和有界，发散收敛和有界的关系，我觉得我还是需要再去理一理，看一看吧，这写的可能我觉得还是不太的完整。 ok， fine， 这个先放一会。 嗯，主要是主要是连续和科导之间关系，我觉得题目会有考，反正这里可能还不太完善吧。然后接下来就是一个终止定力，终止定力我觉得证明题他肯定会考一道的，如果是按我们的考试来讲的话，最后一道证明题应该会考这个，那么他非常重要了，他的难点在于 如何构造一个就是题目让你证明的那条式子，然后如果通过这条式子构造一个函数， 是它最难点吧？然后它包含三个种植定律，罗尔种植定律、拉格朗种植定律和柯基种植定律。那么考的最多的呢？是罗尔和拉氏定律，它的条件也是逐渐的变得少，就是应用范围逐渐变广吧。 嗯，主要是定义把它备注，条件把它备注。然后就是看构造函数这个方面的熟悉程度了， 那么导数他的一个在函数上的体现就是他的斜率就是在该点函数的斜率，那么他这这里也涉及到了函数的图像，那么作图函数的图像呢？首先他是 在画图的时候，首先是做坐标吗？ x 轴， y 轴，然后其实不是这里的部分，而是，而是在你确定定义以后，你要注意的是它的渐近线，那么渐近线是在求极限那块，讲到的就是牵直渐近线、水平渐近线和斜渐近线， 接下来就是全部都是，就是 again。 接下来函数的一阶导，确定它的极值点， 它的局部的极值点以及整体范围来看它的最值点，然后也可以确定它的单调性。二阶导呢，它是有关极值的第二判别法，那么二阶导等于零的地方是它的拐点，由此确定它的凹凸性。 然后最后其实这这这块就是高中的时候比较注重的，那么就是函数的图像，那么有导数可以，其实先有微分还是先有导数，我也看了很多很多相关的讲解视频吧， 但是毕竟来说导数接触的时间久一点吗？对他还是比较，他还是比较熟悉的。然后微分，其实现在我和他和积分就是那种 最根本的那种概念，我感觉我理解的还不是非常的透彻，所以就由导数推出微分，我觉得我会好理解一点。那么导数的话是 d y 比 d x， 那 么把 d x 乘过去， d y 就 等于它的导数乘 d x， 也就是微分，它的公式通俗就是土话一点来讲的话，它就是导数求到以后在后面乘个 d x， 我 觉得是可以这样理解，那么微分就 微分，那么这里其实它如何到定积分，就是不定积分，它就是把 f x 这个东西，用我们老师的话来讲，就是把它拉到这个后面去，拉到微分符号后面去， 应该是这样来讲， 就那么不定积分。 他这是一个非常让人头痛的一点，因为他有很多的公式，但是我还没有背的非常熟练。好吧，现在就来默写一下吧，看我能写下来多少呢？ ok， 我们就可以用来算定积分，根据牛顿莱布尼斯公式，那么之前我就会我就把牛顿莱布尼斯公式就是算用，就是用来算不定积分和变上限积分球道两个混在一起， 然后呢牛顿来不及公式，它是一个计算公式，而便上线积分求导，它是一个求导的过程，所以两者还是有本质不同的，但是可能他们长得有点像吧，所以之前就混在一起了。 那么定积分的另外一种计算方法就是利用它的几何 e， 这也是定积分的一个定义，里面带有一个比较， 我觉得比较有意思，因为涉及到几何意义的话，他会通常会运用的比较巧妙，就是他会把一个代数式转化成求一个图形的面积，比如说 我记得那个式子好像是这样子的， 那么这个当然我们可以用前面的公式，就是把它的不定积分算出来，然后用牛顿来宾尼斯公式，但是呢我们也可以，比如说这样，这里我们知道它的函数是这样子的， 那么同时我们要注意它的定力， 所以他的图像其实是一个在这样的原理，他的图像其实是这一部分， 这一部分那么他的答案其实就是四分之一 pi r 的 平方等于四分之 pi， 就 并很好的避免了运用那么复杂的公式。 然后定积分他还有另外一个应用，首先就是利用定义算极限，那么就是在我们上一期讲到的这个和加倍定律的一个对比这里。 那么第二呢，就是他的一个平均值公式，这个是因为在往年的期末考中，他出现了这样的题型，然后就积累了这样的公式吧。第三个就是积分中值定律的运用， 或许他会考到，但是在往年题目中好像还没有碰到过。 ok， 这就是所有的。 我刚那讲了，不定积分，除了公式法，在公式法的基础上有两种方法，一个是换元积分法，一个是分布积分法。换元积分法，第一类我觉得他他首先就是一开始学的时候，他让我非常的捉摸不透，是因为我本身不是一个非常擅长，我本身不是一个擅长配凑的人， 就是你要让我去想我如何就像正明堂一样，如何凑出一个比较好看的东西，然后继续往下算，我觉得比较难，所以 我可能对第二类还原法还有分布计算法这样比较公式化的东西会比较敏感一点。那么他第二类还原法呢？主要是对公式中的 法，它主要就是把狮子中的某一个部分给换掉。好吧，这其实就是换元法的定义，不知道怎么叫换元法呢？三个类型，第一个是根号代换，第二个是三角代换，第三个是倒代换。倒代换是我最不熟悉的一个类型吧， 那么根号代换就是把整个根式都换掉，三角代换呢？它的类型就是长这个样子的，就是根号里面，然后有平方和和平方差。嗯， 倒代换的主要特征是分母的次数比分子高，就是假分式。但是我觉得其实倒代换也有一点点让我觉得小麻烦， 用的不多，可能我我希望他不要让我用到，就是不要让我强制性一定要用到代换。然后第三个就是分布积分法， 嗯，我画了几个图形，就是就是，他的步骤就是这样子的，就是你要把一个函数拆成 一个函数，乘上一个函数的导数，然后把那个导数呢移到微分符号后面去，变成它的原函数，然后你就可以开始用这个分布积分法，首先就是一个这个圆形成这个方框，再减去它们两个交换位置，再进行求 它的不定积分的方法了。但是我觉得他主要考验的还是你对 你对这个公式的熟悉程度，还是要多见识一点变化的这种技巧吧。好了，这就是所有的 内容，我觉得重点应该就是这些了吧，可能还有些边角公式我还没有仔细的整理过，但大体的主要脉络我觉得是这样子的。这也是我第一次做思维导图呢。我本人不是一个，我非常以前非常不喜欢做思维导图，因为我觉得他只是一个形式主义。 但是前几天听了一堂课吧，我觉得他讲的还挺好，就是挺有那种逻辑脉络的。就是 让我想到了一个图片，就是燕麦，燕麦就是一条主线，然后往旁边分散，我觉得也是挺好的吧。嗯，好吧，这节就这样了，拜拜。

具体几何，我们想到了他会出的难一点啊，但是没想到他出的这么难，平时做的动态的立体几何问题呢，他的变量都比较少，那么这道题的难点呢，就在于他的变量非常的多， 要想统一起来呢，是非常不容易的，所以很多同学在考试的时候呢，都没有把它处理好，包括平时成绩还挺不错的同学啊，那么在考试的那十几二十分钟呢，并没有把它完整的算出来，也没有找到这个最大值。 当然了，这道题呢，出的是非常好的啊，因为前两位呢，非常简单，反而呢，他的得分率还挺高的啊， 所以说，如果你要掌握例题几何动态问题，那么这道题呢，是不容错过的啊。第三问呢，甚至值得反复的去做一下啊，我们直接看一下第三问，他说如图，在菱形 a， b， c， d 中，意思就说四条边呢，它是相等的， 将三角形 a， c， d 沿 a c 翻折至三角形 a， c， e， 那 么我们把 b e 和 d e 呢连接起来，构成了这个四连锥啊， e a， b c， d。 第三个问题呢，他说 a b 如果垂直 a e， a， b 垂直 a， e 呢？我们来画一下啊，那么 a e 呢，它在这里啊， ab 呢？它在这个地方，如果它两个垂直，而且呢啊，这个 ab 呢，等于根号二， 如果它等于根号二，那么显然这个 a e 呢，它也会等于根号二的。那么如果有了这样的关系啊，那么我们的这个 e b 呢，它的长度呢？也就知道了，因为垂直吗，它就是个等腰直角三角形，所以说它的长度呢，就等于二啊， 但是下面的一些量呢，我们就不知道了，比如说这个 b d， a， c 啊，他的长度是不知道的哦，原因是为啥呢？这个菱形他是没有固定的啊，后面呢，他说这个四棱锥的体积不大于三分之一啊，这是一个非常奇怪的条件，我们平时很多时候遇到的呢，都说的是， 呃，这个体积为多少啊？我们直接去表达体积就可以了，那么这里的体积呢，给的是一个范围，嗯，我们的第一个难点呢，可能就是要去表达一下这个体积，最后呢，他的问题反而是很稀松平常的问了两个平面夹角的最大值为， 那肯定呢，我们要去找法向量了啊，如果你见细的话，好，我们现在呢主要任务呢，就是来看一下这个体积呢能不能表达出来啊，或者说能不能用尽可能少的变量呢把它表达出来啊。 好，我们来看一下我们现在有哪些条件。首先呢，这里有一个等腰直角三角形三条边的关系呢，我们也找到了， 那么这里呢，我们试着把这个啊 e o 呢给它连接起来啊，假如这个点呢是 o 点啊，我们把 ob 呢也给它连接起来啊，对吧， 那么把它连接起来干什么呢啊？因为呢，我们呃知道了，这个 e 呢，它是在这个圆弧上运动啊，那么这个半径呢，其实就是我们的 o e 啊，也说它的运动轨迹呢，它就是一个啊，这样的一个半圆 好，因为它这个等腰直角三角形，所以说呢，我们可以试着把它的这个终点呢给它找到啊，终点呢，假如呢它在这里啊，我们给它画一下， 好把这个呢给它连接起来，我们另这个点呢，它是 m， 下面呢，我们可以把 ac 也给它涂成黄色，这样显眼一点。好，这么做到底要干什么呢？显然呢，我们的 am 啊，它是垂直于 e b 的 好， cm 呢啊，它也是垂直于 e b 的 好，也就是说，我们这里可以得到一个非常好的条件，也就是说 e b 呢，它会垂直于平面。呃， amc 啊，我们借助这个量呢，应该是可以表达一下它的体积的啊，我们来简单的尝试一下。好，那么我们想要的是 a b， c， d 的 体积好，那么它就等于两倍的啊，我们把它换成 abc， 换成 abc 以后呢啊，因为这里有一个面呢，它是垂直的啊，所以说啊，那么它就可以等于二倍的底面积啊，底面积 就是三角形， a， m c 乘以高啊，那么这个高呢，就是我们的 e b 好， 再乘以三分之一啊。题干当中说小于等于三分之一 好，我们来试着表达一下，所以说他就等于二倍的，那么这里的关键点就来了，这个三角形呢，他是一个什么样的情况啊？我们可以简单的画一下，假如这个点呢，就是 a 点啊，这个点呢是 c 点啊，这个点呢是 m 点好，那么他有哪些长度是知道的呢？他是一啊，这个呢，也是一， 所以说它的面积呢，应该是很好表示的啊，所以它就可以等于二分之一乘以啊，一和一相乘，那么乘以三引啊，中间的这个角度， a， m c， 好， 后面这个 e b 呢，它的长度，我们也是知道等于二啊，然后呢，乘以三分之一小于等于 三分之一，那么这个角度呢，呃，我们现在呢，就没有办法去处理它了啊，肯定就是一个未知数了，所以说我们把这个式子呢给它整理一下，那么整理一下呢，得到的结果呢是非常好的，也就是说塞角 a m c 啊，要小于等于二分之一，为了方便呢，我们可以把这个角呢给它拎成两个角啊，我们假如呢，它是 c 塔，那么这个呢，它也是 c 塔啊，也就是说呢啊，我们的这个结论呢，就是三以二倍的 c 塔呢，它是小于等于二分之一的， 那么这里呢，我们就用尽可能少的变量呢，去把这个体积呢给它表达出来了。那么后面的事情呢，我们肯定是要去求这个反向量啊，那么这个事情呢，应该是不太好做的啊，好，我们现在呢把这些 多余的这个线条呢，先给它擦掉啊，这里怎么间隙呢？它是显而易见呢，我们直接用这个 o 点来间隙就可以了，那么这里呢是 x 轴 o b 呢，它就是 y 轴。 好，那么 z 轴呢？我们假如给它放在这个地方啊，好，那我们为了方便呢，直接令啊，这里呢是小 a， 这里呢是小 b， 因为我们的这个 e 点呢，我们刚刚说了，它是在这个圆弧上运动啊，那么这个面呢，它就是在 y o z 这个平面上面啊，我们直接呢令它这个角呢，它是个 r 法啊，这是一个新的角。好，现在呢，我们来表达一下这些点啊，首先呢就是 a 点啊，那么 a 点呢，它是比较简单的，就是 a 零零好， b 点 零 b 零， c 点负 a 零零， d 点啊，那么这个呢是零负 b 零，那么关键的就是我们的这个 e 点啊，好， e 点的坐标啊，要注意了，它是零，那么这个点呢，它是 b q 三引二法好，这个高呢，是 b 三引二法好。现在呢，我们来求两个平面的发向量啊，首先呢，这里呢，我们给它设置一下啊，假如 m 呢，它是平面 a c e 的 发向量啊， a c e 的 反向量，那我们要求它呢，我们选哪两个项链呢？首先呢，当然选一下这个 a c 了，对吧？ a c 给它表达一下啊，这个比较简单，所以说它就是负二 a 零 零啊。然后呢，我们选择这个 a e 向量啊，好， a e 向量呢，我们直接来写一下，所以说它就等于负 a b cos 也二法， b 三也二法 好，那么 m 呢，和它们两个相乘呢，是等于零的啊，所以说我们这里呢，直接来写就可以了，也就是负二 a 乘以 x 一， 它是等于零的， 负 a x 一 加上 b cosine 二法外一加上 b cosine 二法 z 一 啊，等于零。那么因为这个比较简单，我们直接写一下就可以了，那么这里呢，我们的 m， 它可以直接写成零，那么这里呢，给它写成是 cosine 二法，负的 cosine 二法 好，现在呢，我们来求另外一个平面啊，也就是说 a 向量等于 x 二 y 二 z 二啊，那么它是平面 a 大 于的 法向量。这里我们在求法向量之前呢，稍微的选择一下啊，方便计算一点。我们这里呢，选择大 a 啊，大 a 向量呢，它就是 a b 零啊。另一个呢，我们走大 e 啊， 答， e 项呢，就是零，那么这个 y 坐标呢，要特别的小心啊，所以说它是 b cosine 而法啊，那么这里呢，本来应该是减去，但是呢，它减的是负 b 啊，所以说它就是加 b 好， 最后一个呢，就是 b 三引而法好，现在呢，它们是等零的，也就是说 ax 二 b y 二等于零啊，第一个看起来很简单，好，第二个就要特别小心了，那么这里呢，我们整理一下啊，就是 b 一 加上科三也二法啊， y 二加上 b 三也二法， z 二，它是等于零的， 呃，那么现在呢，我们来求这个法向量了啊，那么求法向量的时候呢，其实从这里开始呢，问题就来了，解析里面呢，他直接令这个 z 二呢，他是等于一的啊， 那么他为什么令 z 二等于一呢？实际上就是为了后面的计算呢，要更方便一点。但实际上我们在计算的时候呢，我们正常做的时候，你是不太容易想到的啊， 因为你如果念了 y 二等于一，感觉也差不多，但是呢，他的计算量就上来了，所以这是一个啊，非常要注意的地方好，那么我们如果正常的去思考的话，这里应该怎么去令值呢？先呢照顾一下这个比较麻烦的这个式子啊，也就是下面的这个式子 啊，我们这里呢，一般就是交叉令值啊，假如说我们令 y 二等于啊，那么显然这个 b 呢，我们不要了啊，我们令乘等于三引二法啊，为了方便一点，我们把符号给它 负的三引二法，那么此时呢啊，我们显然呢，哎，这个 z 二啊，它就出来了， z 二呢，它就是前面这个了，它就是一加上 q 三也二法好，如果你念成了这个样子，对吧，那么我们的 x 啊，也就是说我们的 x 二啊，那么它就等于负的 a 分 之 b 好， 再乘以负的三也二法 好，也就是说它就等于 a 分 之 b 三引而法，那么我们正常的思路呢，可能会把法向量写成这个样子啊，好，也就是说我们的 a 向量就等于 a 分 之 b 三引而法负的三引而法 好。最后一个呢，就是一加上 cosine 二法了，这里呢，先把 m 给它写下来啊，可以方便点啊，它是零 cosine 二法 负的 cosine 二法为一部分一部分来算啊，因为 cosine 我 们想要的呢，就是这个 n 等于 m 点成 n 啊， 好，下面的是 m 的 魔长啊，这边呢是 n 的 魔长，因为它要的是夹角啊，所以说肯定是要加绝对值符号的啊， 好，现在呢，我们来一部分一部分的来表达一下这个式子。第一个 m 减成 n 啊，那么它就等于负的 三以二发的平方啊，那么这里呢，是减去科三二发啊，减去科三二发的平方， 好，所以说他得到了一个好的结果啊，那么就等于负一减去科三二发，因为待会呢，他会加绝对值，其实呢，就是加在他头上的啊，那么加完了以后呢，他其实就是一加 q 乘以二法好，现在呢，我们来分别看一下下面的啊，那么的，这一个是好算的啊，那么它其实就等于三以二法的平方加上 q 乘以二法的平方呢，它是等于一的，那么关键就是最后一个啊， n 的 周长啊，那么它就等于 根号下啊，那么这里呢，是 a 方分之 b 方，三以二方的平方加上三以二方的平方啊，加上一加 q 三以二方啊，这个整体的平方 啊，那么它呢，等于这么多啊，等于这么多，那么也就是我们后面的这个关键的问题呢，就是去解决这个式子啊，呃，那么我们来整理一下这个式子啊，来算一下，也就是说 cosine m 点乘 a 啊，那么它就等于上面呢，我们直接写一加 q 三 e 法啊，那么下面这个看起来它就很不友好了啊，所以说它是根号下 a 方分之 b 方啊，三 e 二方平方好，加上，我们把后面这个直接给它打开， 加上 q 三 e 二法的平方，二倍的 q 三 e 二法，那么这里呢，有一个加一 好，等于一加 cosine 二法， a 方分之 b 方啊，这里的 cosine 二法加上二倍的 cosine 二法啊，那么它等于这样的一个式子啊，那么后面呢，我们的关键问题呢，就是去化简它了啊，嗯， 等于一加上 cosine alpha 好， 那么下面呢，我们把这个 cosine alpha 的 平方呢给它换掉啊， 换成一减去 cosine alpha 的 平方，为什么要换这个呢？因为后面呢，它出现了一个一加 cosine。 呃，那么我们把上面这个分子如果给它放进来的话啊，那么也就是说 一加 cosine alpha 的 平方啊，那么下面它就会有 a 方分之 b 方啊，一减去 cosine alpha 的 平方，加上二倍的一加 cosine alpha 好，现在呢，我们给它再一次整理一下啊，那也就是说啊，上面呢，它实际上就可以留下一个一啊， cosine r 法好，下面呢就是 a 方分之 b 方，一减 cosine r 法啊，加上二 好，那么这个式子到这里呢，我们感觉就不能再整理了啊，也是，这里面有 a 方，有 b 方啊，还有这个可算有 r 法啊，所以说呢，我们现在要返回到前面去啊，来统一一下这个变量。 好，那么这个统一变量的思路在哪里呢？实际上就在我们的这个，呃，体积公式这里面啊，好，在这个三角形里面呢，呃，我们能知道的呢，其实呢，就是知道了这个 o a o a 呢，它其实就是小 a 啊，那么也就是说我们的 sine theta 啊，它是等于 a 比上一的，换句话说呢，我们的 a 呢，等于 sin sin， 关键是 b 在 哪里呢啊？那么要注意，这里还有一个三角形啊，就是三角形，我们给它画一下 o b， 这里呢是 e 啊，好，这个呢，它是小 b， 这个呢也是小 b 啊， 那这个呢，它是等于二的，所以说这个地方呢，它是我们刚刚拎的 r， 所以 说呢，这里呢，它有一个等量关系，我们用余弦直接来写就可以了，也就是说二 b 方 q 三以二法啊，它是等于 二 b 方啊，减去四的，也就是说 q 三以二法啊，它是等于 b 方分之 b 方减二的啊，也就是说呢，它等于一减去 b 方分之二啊。 呃，还有一个关系呢，就是在一开始的时候就是 a 方加上 b 方呢啊，它是等于二的，那就是那个小的直角三角形里面啊，所以说，那么我们的 b 方呢，它就等于二减去 a 方啊，也就说它可以表达成二减去 山影 c 塔的平方啊。嗯，那么 cosine r 放呢？它等于这样的一个事情啊，好，现在呢，我们把刚刚的那个式子呢啊，来整理一下。 好，那么刚刚的那个式子呢，我们搞了半天了，他就等于这样的一个东西啊，好，现在来化解一下他，那么我们这里呢，把这个平方呢全部给它转换成 a 和 b 啊，所以就是一加上啊，一减去 b 方分之二。 好，这里呢啊，要注意，它是 a 方分之 b 方，一减去一，加上 b 方分之二。好，再加上二， 我们来从这个思路上来试一下啊，也就是说上面呢啊，就等于 二减去 b 方分之二，那么这个下面呢，它是看起来简单点啊，也就是 a 方分之二加上二 啊，都有二可以拿掉啊，也就是说它就等于一减去 b 方分之一，这边呢，它就是 a 方分之一加上一。 好，最后呢我们给它统一一下啊，那么也就是说它就等于 b 方分之 b 方减一。好，乘以啊，我们给它写成乘法啊，那么这里呢，就是 a 方加一分之呢， a 方。 好，最后呢我们等于啊，这样一个式子，就是 a 方 b 方减 a 方啊，好，那么这里呢， a 方 b 方加上 b 方 啊，那么因为有一个很好的关系呢，就是 a 方加 b 方啊，它是等于二的，我们给它换掉啊，好，所以说后面呢，它就等于 a 方二减去 a 方减去 a 方。 后面呢就是 a 方二减去 a 方，加上二减去 a 方。好，再一次的整理啊， 所以说它就等于 a 方减去 a 的 四次方啊，好，那么下面呢，它是等于 a 方减去 a 的 四次方啊，加二，所以说这个的结构呢，还是比较简单的啊，我们直接给它换元就可以了啊，那么另这个部分呢，等于 t 啊，所以说这个就是 t 加二啊，来找到它的这个最小值就可以了，它是等于 a 方减去 a 的 四次方的。撒引 c， 它的平方减去三引 c 它的四次方啊，好，那么这里呢，我们把后面这个给它拆开，减去三引 c 的 平方，一减去 cos 三引 c 的 平方啊，好，也就是说 cosine 它的平方减去 cosine 它的平方啊，加上，那么这里要注意了啊，这个是 cosine 它的平方， cosine 它的平方。好，所以说啊，那么它就等于 cosine 的 平方， cosine sine sine 的 平方啊，那么这个呢，显然它是可以进一步化简的啊，好，那么它就等于二分之一， 所以二 c 他的平方啊，那么因为前面这个值呢，我们是知道的啊，小于等于二分之一，二分之一的平方，所以说他的这个最值呢，是十六分之一。 好，那么找到这个最值呢，我们来看这个最值呢，他就比较简单了啊，实际上放到里面去呢，很容易找到他的最值啊，他的最值呢啊，最后呢就是根号三十三分之一啊，也就是我们最终的这个答案了，三十三分之，根号三十三， 当然这个思路呢，他是不好算的啊，那么如果要好算呢，就是直接在念法向量的时候呢，我们念这个 z 二呢，他等于一，后面的计算量呢，要小一点，但否则的话呢，他的计算量就很大，没有走这个思路都会比较的难算啊，那么这个题呢， 确实出的挺难的啊，非常的不好做，所以说大家呢，要反复的去做一做啊。

高三的成都医诊这套题目的质量是非常高的，咱们今天再来讲一个里面的单选压轴题。这道题考察的是等比数列的性质，其实难度不大，但是大家要会分析， 一起来看看这道题目。一个等比数列，前四项和是一，前四项的绝对值的和等于三，问 a 一 是多少？这道题目拿到了之后，千万别着急去列方程，我们用前项和把它写出来，这个方法不是特别好，大家先来仔 去分析一下。对于一个等比数列来说，无非就是这么三大类，第一大类全都是正的，第二大类全是负的，第三大类就是正负间隔的，那么咱们来分析一下，前四项的和是一， 那么他就不可能全是负数。接着再来看，如果他全是正数，那么这个绝对值的和也就是前四项的和， 所以这个东西应该也等于一。通过这两个分析，咱们就得到了，这个竖列一定是正负间隔的，这样子的等比竖列， 也就是 q 一定是小于零的，那正负间隔不就无非是两种可能性，正负正负或者是负正负正。所以咱们进行一个分类讨论，如果 a 一 a 三都是正的， a 二 a 四就是负的，这个式子咱们别动，咱们来变一下绝对值，那不就变成了 a 一 减 a 二加 a 三减 a 四等于三了吗？然后这两个式子作合，两倍的 a 一 加 a 三 就等于四，所以 a 一 加 a 三就等于二。然后两个式子再作差，两倍的 a 二加 a 四就应该等于负二， 所以 a 二加 a 四就应该等于负一。那么这两个式子不就是一个乘以 q 的 关系吗？这个式子乘一个公比， q 就 等于下边这个式子， 所以 q 就 等于负的二分之一。那有了 q 了，再算 a 一 就非常简单，直接把它带入到第一个式子里面去。 a 一 加上四分之一倍的 a 一 就等于二，所以四分之五倍的 a 一 等于二，那么 a 一 就应该等于五分之四，再乘以二，也就是五分之八，所以有五分之八的，咱们就留下 c d 去掉。接着分析第二种情况， 当 a 一 小于零的时候，那么这个绝对值的式子就变成了负。 a 一 加 a 二减 a 三，再加 a 四等于三，然后这两个式子作和两倍的 a 二加 a 四就等于四， 所以 a 二加 a 四等于二。两个式子再作差两倍的 a 一 加 a 三就等于负二，所以 a 一 加 a 三就应该等于负一，那么 q 就应该等于负二，然后再代入到这个式子里面。 a 一 加上四倍的 a 一 等于负一，所以 a 一 就等于负的五分之一。所以 b 选项去掉答案选 a。 对于这道题目来说，千万别着急，列这个前 n 项和的公式去算 q 就 非常麻烦，咱们用讨论的方法把这个 a 一 a 三和 a 二 a 四解决掉，公比就很容易求出，那当然 a 一 也就很容易得到。

ok 啊，各位同学，已经快要到期末考试的时间了，对吧？所以说今天我们来 学习一下这个期末考试的相关的内容啊，这里是一个你可以管他叫微积分，也可以管他叫光头数学啊，他们的考点都差不多，那不同的学校不同的名字，今天我们看一个这个 啊，为积分的一个简单的卷子啊，我们为了准备一下接下来这个期末考试 啊，我们看一下他这个题型的分布啊。首先这里是有霸道的一个选择题，选择题都是我这里挑选的题，都是比较简单啊，他根本他肯定是没有考研那么难，但是他这个题是比较适合我们一个就是期末考试啊， 不是很难的题啊，八道的一个选择题，然后还有一个六道的一个填空题，然后这里还有一个六道的计算题，最后有一个十分的证明， 好，基本就是这个状态。好，我们现在开始对他这个题型啊，简单进行一下讲解。 ok， 我 们可以看一下第一题啊，它是一个求极限的题，首先我们可以看到这道题其实它有几个地方啊，我们可以有一些感觉啊，零啊， x 趋于零的时候，它是一个什么样的状态呢？ 你的第一反应是不是可能它是一个我们比较常见的一个啊，两个重要极限其中的一个，当然了这没有问题，两个重要极限的其中一个，你可以把它认为是啊， 三 x 比上 x， 然后把这五分之三啊，它分出来的一种形式，当然了，我们可以直接是， 当然了，你也可以把上面的三 x 直接进行一个无穷小的替换，哎，三 x 可替换成无穷小就是三 x， 所以 这道题三 x 比乘五 x 是 五分之三啊，哎，是没有问题的，当然了，我们也可以使用一些其他的技巧啊， 我们看一下解析，这里是如果你使用的是这种形式，哎，两个重要极限，当然了，我们可以给它乘一个五分之三， 而前半部分刚好就是一个一，对不对？所以这道题答案是五分之三。也可以像我说的，你可以使用无穷小的 a 替换，把上面的三三 x 替换替换掉， 替换成三 x， 这样更加简洁一些，或者说如果你什么也记不住，但也没有关系，这道题是不是也可以使用，我们啊，也可以对它进行一个什么路必达，当然了，上面这个三三 x， 我 希望你不会把它求错啊。然后我们看一下其他的一个情况， 好，这里洛必达，我们看一下它符合这个我们常说的一种规则吗？如果是下面是一个，哎，五 x 对 不对？上面是一个三 x， 对， 下面是一个零，而三三 x 是 一个什么样的情况？ 重要的在于上面这个三三 x 的 洛必达，它是个三 x， 你 还要进行一次啊，进行一次求导，它是一个三倍的口算，三 x 要注意一下。好了，我们看下下一道题， 下一道题考的是一个连续和求导之间的一个连续和可导之间的一个关系啊。首先我们看啊，这是一个什么？这是一个绝对值的一个函数， 我们可以知道这个绝对值的函数，它在定义域内是一个 r 的 一个存在啊，所以它肯定是连续的，对不对？连续的，但是我们知道它这属于有一个尖角，尖角的地方是不具有导数的，所以这道题选的是一个 b 啊， 选的这个 b。 然后我们看下一道题，下一道题这个也是比较简单的，首先它是属于一个复合函数，对不对？复合函数求它的一个 dy 啊， dy 肯定是这边要跟着一个 d x， 所以 我们四个选项都是跟着 d x 的， 这个是没有问题的。 然后这里肯定要存在我们的本体 e 的 x 的 平方，然后针对于我们这里的 x 的 平方也需要进行一次求导， x 平方等于二 x， 所以 这道题答案就是二 x 倍的 e 的 x 的 平方啊，好的， 下一道题，下一道题已知它的一个积分会得到一个这样的形式，这个是比较简单的一种情况，对不对？但是我们这里啊，你要知道这里让我们求的是一个 f x 对 不对？ f x 是 没有 c 的， 所以说这个 f x 是 不带有 c 的， 所以有 c 的 这个两个选项是都不对的。 然后我们看一下它的一个状态，它的一个积分我们是比较容易理解，就是一个二 x 的 一个积分，所以这道题选 a 是 没有问题的啊， 下一个，下一个就是 y 等于 x 的 立方减三 x 的 一个拐点的坐标，还记得什么是拐点吗？ 对吧？首先你要回想一下什么是一个拐点的一个东西，对吧？拐点是不是拐点？是，首先我们要对它进行一个二阶导，对不对？求二阶导，这里对它一个先求一个一阶导，它的一阶导是三 x 平方减三，再求一个二阶导，所以等于六 x， 六 x 二阶导等于零的点，它有可能是关键，对不对？首先我们先二阶导， y 两撇等于六 x 啊，在 y 两撇等于六 x， 我 们其中一个 x 在 等于零的时候， y 也刚好等于零，所以我们这里首先有个后选项是零零的点， 它是否是拐点呢？我们要判断它的这个在零零点的左右，它的二阶导是否发生了正负号的一个变化。后来我们发现确实是可以在零的左右，刚好是有一个正负的一个转变，这样它就符合了一个我们拐点的定义。 看下这个解析，就是对，它先去二阶导，然后是在二阶导等于零的点，我们可以得到一个零零点，这时候你不能太高兴，它有可能是不存在哦。 所以说我们这时候还判断一下，当 x 大 于零的时候，它的这个二阶导是大于零的， x 小 于零的时候，它的二阶导是小于零的，所以它的凹性或者叫凹凸性是发生了改变的，所以它是符合我们观点的。好哦，这道题选的是 a 对 吧？这里打错了， 好，这里是 ok， 然后我们看下一个， ok， 我 们看一下第六题，第六题考的是一个广义积分啊，广义积分就是它的在一个上下线中出现了无穷的一个形式，这个时候会出现一个广义积分的一个概念。然后 首先是它，我们先可以把它看做一个普通的积分，对它进行一个求解，哎，求解之后，其实它是我们，它是你可以看成一个是一个 x 的 负二次方，对吧？然后 x 的 对 x 的 负二次方进行一个积分的求解。我们可以看一下这个解析啊， 我们对它进行一个 x 的 负二次方啊，你先画成这种形式，你可能是比较好求的一个状态，然后这里我们可以把它的上限啊换成一种极限的一个形式，上限换成极限的一个形式， 对它进行积分的求解，其实就是负的 x 分 之一，然后负的 x 分 之一，这里有一个，它的上下线是一，上限是一个 b 嘛？ b 是 一个无穷啊这样的一个形式，我们其实在这里你可以对它增加一些，写的不是很全，我看一下啊， 好，这个位置它的下限是一个一， 上下是个 b。 好 了，像这样就 ok 了，然后它到我们用这种极限的形式代代替它这个上限， 而我们这里求完了它的负的 x 分 之一的时候，把它全部给它写出来，就是负的 b 分 之一加一，然后对它的 b 取一个正无穷，取正无穷的时候这项就没有了，所以是等于一选择 a 下一个函数，这个函数我们要求它在这一个 b 区间上的一个最大值啊，求最大值的时候，我们首先求一下它的这个导数对不对？求一下它的导数，导数为零的点会出现极值点啊， 我们对它求一个一阶导数，它的一阶导数会出现一个什么样的状态呢？是三 x 平方减三，我们可以看一下这里， 首先我们对它求一个导数，导数为零的点，导数为零的点有极值点，然后一阶导数式可以，然后对它进行一个因式分解， 三倍的 x 减一， x 加一，这里在 x 等于正负一的时候会出现极值点，然后因为我们考虑的是最大值嘛，最大值是极值点和两边的端点，我们都需要求出来，所以其实是有正负一和正负二四个值的，这四个值对比之后， 哎，全部带了进我们的 f x 求解，求解之后发现最大值是四，所以选择 a， 下一个是第八题， e 的 x 次方减三， x 等于零的实数的根是有多少个？要求它的根，我们这里用的是一个，先看一下它的这个单调性，然后以及它如果能求出它的一个极值点，那是更好的， 所以我们对它进行了一个求导。求导之后呢，我们对它的一个极值点的一个求解。这里首先我们得出对它进行一个求导， 它的 e 结导数为 e 的 x 四方减三，在它的导数为零的时候会存在极值点，在它导数为零的时候，刚好我们会发现这里的 x 等是等于零的 时候，刚好我们会发现这里的 x 等于是等于一个递减的， 这个时候，因为它的导数是负的嘛，对不对？而在 loon 三到正无穷的时候呢，这个时候呢，它的 导数全是正正的，所以它属于一个递增的，它是一个先减后增这样一个状态，而它的极小值 f loon 三等于三减三倍 loon 三。这里我们可以发现 loon loon 三 是大于一的， loon 三是大于，因为 loon 一 是等于 loon e 嘛，所以是三是大于二点七，二点七一八二八的，所以这个里面啊，它是这个值，极小值是小于零的啊， 这我可以知道它有一个极小值是小于零的，它就这样一个状态，有个零的点啊，极小值是在这里，所以说它和我们这条线呢，是不是是有两个交点的，所以说就是有两个十根。我们看下一题， 下一题是我们的一个填空题，第一题这个题其实考的是比较我们比较典型的一个东西，你要是记住它这个框里面这个 啊 x 分 之二，你会或者写的是 n 分 之二，如果这里面是一个啊可以趋近于零的状态，我们可以看一下 x 在 趋近于正无穷的时候，刚好里面的这个 x 分 之二，它是一个 可以是趋近于零的一个状态，如果里面是趋近于零的一个状态呢，那就刚好符合我们的一个式子，就是外面是里面是一加 x 分 之二，外面我们写成他的倒数的形式，写成他的倒数，他的倒数就是二分之 x， 我 们把三 x 写成一个二分之 x 的 一个形式， 写出一个二分之二 x， 然后就需要去给他再乘一个六，对不对？再乘一个六就可以了啊？ ok， 给他再乘一个六就可以了。然后我们看一下， 其实这个题简单的地方就在于，如果你判定了里面的这个东西，它是可以去零的，然后我们再给外面给他配套一个， 哎，和它是刚好是相反数，里面的这一堆在它趋于无穷的时候呢，刚好就是一个 e， 而外面呢，我们出来一个六，它其实就是 e 的 六次方啊，所以说这个里面的这个堆东西啊，我是推荐大家记记录一下， 然后下一个是 y 等于 loon sin x， 这是一个复合函数，我们来求导数的时候，是先对 loon 求一次，然后再对 sin x 求一次，所以说这要求两次，这个导数复合导数吗？ 然后我们看一下里面的 loon sin x， 它的就是它的倒数 sin x 分 之一，而 sin x 它的导数呢，就是 cos x， 这个是这样的一种形式，我们可以把它简单写一下，它就是 cos x， 然后下一个，下一个是 x 立方加 a， x 加 b， 它在 x 等于一处有极值，有极值的时候说明什么呢？说明我们在一处的时候，它的导数是等于零的， 我们可以根据这个条件对它进行一个求导，求导之后，它的一阶导数在一处是等于零的，此时我们可以求出 a， 再回代这里的这个它，因为它存在一个点，在它存在一个一二的一个点，我们 a 值有了，回代再求 b 就 可以了，我们看一下解体过程， ok， 这里我们对它求，先求一个一阶导数，一阶导数我们一命令，这个里的一阶导数在一处是等于零的，所以我们这里的 f 一 撇，它是等于零。这样呢，我们可以把它带进来，可以很容易的求出它是 a 是 等于负三的，然后我们再 带着 a 是 等于负三的，再把一二这个值带进来，联合求解 b， 最后 b 是 等于四的。 下面这个定积分啊，它首先我们定积分嘛，首先我们看一下，我们发现一个特殊的点，这里的 x 立方加上二 x， 它是一个奇函数，奇函数就是 f x 等于负的 f x f 负 x， 它是一个奇函数，首先它是一个奇函数，而且这里呢，一到负一呢，它又是一个对称的一个区间，奇函数的对称区间是等于零的，所以这个定积分呢，它就是零。好了， 下一个第五题是一个微分方程， y 撇等于二 y， 我 们可以首先先把这里的 y 撇写成莱姆尼斯特符号的形式是 d y 比 d x， 然后利用分离变量法就可以进行求解了。 ok， 我 们看一下，这里先把 y 撇写成 d y 比 d x 分 离变量，分离变量，把 d x 拿过来， y 除过去这里，然后对两头同时对进行一个积分的求解。这里 左边会得到一个 long y 的 绝对值，右边会得到一个二 x 加上 c 一， 这里我们可以把这个 c 一 再次进行简化。 好，这里我们会得到一个其实是一个 y 等于 e 倍的二 x 加 c 一 次方，对不对？但这个 c 一 你可以拿到前面来，其实会得到一个常数是 e 的 c e e 的 c 一， 你可以把这一图哎把它整个写成一个 c 就 可以了， 所以最后答案就是 c 倍的 e 的 二 x 次方啊。 好的，这里角的值我们就可以给它去掉了，因为这里呢， e 的 二 x 方是一个我们这里的 c 嘛，可以取正负，所以说这最后我们可以把它这个角的值就给它去掉了。 下一个我们看一个曲线 y 等于 x 分 之一在一点的一个方程啊，切线的方程，首先我们想求切线的方程，可以求先求一下切线的斜率。 切线的斜率呢？我们看一下怎么处理这个切线的斜率的一个问题，切线是什么？切线是导数啊，所以我们要先对这个曲线 y 等于 x 分 之一对它进行一个求导，一阶求导， 求导之后我们把这个一带进来，就可以去求出它的一个切线的斜率，再用点斜式我们就可以，因为有个点嘛，点斜式就可以求出切线方程， 对他先进行一个求导，求导之后等于负的 x 分 之 x 平方分之一，我们在一处，我们把这个一带进来就可以了。一带到我们这个切线的这个，我们这个导数的导数导函数里面， 把它带进来就可以得到 k， 这个数 k 是 等于负一的，然后我们用我们的期限方程就是点斜式嘛， y 减一等于 k 倍的 x 减一， k 是 负一带进来，然后化简一下，你可以得到这个 y 等于负 x 加二。 然后我们看一下我们的计算题，第一道计算题是这个状态是一求一个极限的一个形式，哎，极限这里有一个知识点， 好，它的一个形式它，如果你记得这个，我们这个啊，泰勒极数的一个展开的形式，它是等于 e 的 x 次方， e 的 x 次方减一，它是等于二分之一 x 的 平方的，如果你它是等于二分之一 x 平方加 x 啊，我们需要展开两项，如果你只只展开一项，这里的 e 的 x 次方减一等于 x， 如果你展开 x， 上面就是 x 减 x 就 没了，所以这道题就错了，所以说我们需要展开和分母同样的一个次数啊，所，所以需要展开到它的这个平方向啊。 当然了，如果你记不住它的一个量子极数的展开，我们可以上下，我们可以看一下，上方是一个零，下方也是一个零，我们可以使用零比零形，零比零形我们可以使用洛必达， 我们可以知道这里嘛是一个 x 的 平方向，你心里要知道我们至少要洛必达，要落两次，所以就这个你也可以用洛必达来做。 ok， 这里我们如果是采用，如果你记不住这个太阳展开，我们可以使用洛必达。 ok， 路易达行次路两次之后，他就可以得到二分之一，下一个这种形式是这个是非常典型的一个形式，在他的这个指数上会有一个函数，这种我们一般是使用的这个求他的一个导数，是两边先取一个 对数啊，两边同时取 loon， 取完 loon 之后，因为 loon 后面这个 loon x sin x 嘛，这 sin x， 这就可以乘到前面来，对我们这个求解是非常有帮助的， 我们可以看一下，对于这种带指数的形式，我们同时取对数，取 loon， 所以 左面就是 loon y， 右面就是一个 loon x， 可以 把 sin x 它指数拿到前面来， 变成三 x 乘以六 x 的 一个形式，再对左右同时 x 进行一个求导，右面就变成 y 分 之一 y 撇，而左面就是，这是一个乘积的一个求导，乘积的求导是前导后不导，再乘以一个后导前不导，我们这里可以得到一个这样的一个形式， 最后把 y 乘过来啊，我们最后一步一定要把 y 乘过来，乘过来之后把 y 带进来，好，把 y 带进来。 ok， 这道题就求解完成， 下一道题是计算一个不定积分，其实我们可以发现第三题和第四题都是考察一个我们对于积分的一个求解，而且它俩都是一个，首先它是一个 x 乘以 log x， 这是一个 x 乘以散 x， 这种乘积的形式，我们第一步就想到什么，对，是分布积分法， 我们这里可以使它属于一个分布积分法里的一个比较简单的例题级别的一个分布积分。 ok， 我 们看一下它对于它的一个求解， 这里分布积分法，你还记得如何进行分布积分法？分布积分法，这里我提到一个地方是我们需要记得啊，分布积分法，这里的符号，这里中间的这个分布积分，这里的是减号啊，你一定要记清楚了，这里是减号 啊，这要记错了可就完了，是不是这里是一个减号，然后其实就是我们这个 u 和 v， 我 们是把谁放在这个 u 和 v 的 上面去，对不对？好， 我们争取是对它进行一个分布计算法之后进行一步求导，之后是越来越简单的，如果你的这个分布计算法使用之后呢，它越来越复杂，我们就换一下 u 和 v 的 位置就可以了，换一下 u 和 v 的 位置，这里是我们是把 log x 设成 u 啊，对不对？ 把这个 x 它设成了一个 v 的 形式啊， ok， 然后我们可以对它进行这个简单的一系列的一个求解，求解过程其实还是比较简单的，注意这符号不要写错， 然后下一个下一个 x 乘以三 x， 它的形式也是非常符合我们这个分布积分法的，所以还是我们判断一个 u 和 v 的 一个取舍。 ok， 因为它属于一个负值的一个过程。 好，这里就是多了一个负值的过程。记得，其实这里也是减号啊，这里是减号，为什么现在这里变成加号了？因为是一个减去，里面是一个负的 cos x， 负的 cos x 里面出来一个减号和前面的减号，负负得正了 啊，然后这里我需要，然后把值带好，不错就可以得到的是最后答案是派 分布积分法。其实我们第三题和第四题是两种非常典型的形式，一种乘以小 于 x， 一 种是 x 乘以散减 x。 当然了，我们这道题如果出的要更难一些，有的可能是它是 x 的 平方，散减 x， 我 们就需要进行多次的一个分布积分，或者是还有种形式，这是一个散 x 的 平方或者散 x 的 立方的形式，我们需要考虑的就更多了。 好，下一道题。下一道题是比较典型的一个求曲线所围成的一个面积，这里呢，我们是为了求它的一个面积，所以需要求一个，它是一个比较简单的一个曲线的一个围成的图形，嗯，它应该是这样吧。 好，这样子曲线的围成一个图形，所以说我们这里要看的一个就是，哎，我们需要求他一个左右的两个焦点的问题，焦点还是比较好求的，先连立这两个方程进行一个求解， 根号 x 等于 x， 可以 非常求出它的两个焦点，一个是零零，一个是一一，所以它的左右它我们的这个积分的上下线就是零到一啊。然后我们判断一下谁在上方吧，因为我们如果你判断不了也没关系，直接放绝对值就 ok 了，对吧？ 判断不了，但是这里其实还是比较好判断的，我们在这个零到一的过程中呢，我们的根号 x， 它是在我们这个图像，它是在上方的，所以我们用的是根号 x 减去 x， 然后积分的线是零到一。好的，我们看一下。 首先我们先连立方程，可以很简单的求出零零和一一两个交点，所以我们求的这个围成的图形的面积是零到一上的， 而在零到一上的，我们的曲线根号 x 是 在 x 的 上方的，所以我们这时候的面积其实就是零到一啊，根号 x 减 x 啊，这里出现了一点问题，我改写一下。好，这个书写是出现了一些问题啊， 我看一下，这里的是 好，是这样的一个形式。 ok， 好了，我们这里是根号 x， 里面的曲线是根号 x 减去 x， 然后它是在零到一上的一个积分的形式。里面是比较简单的，如果你前面这部分，你可以把它写成一个 x 的 二分之一次方，对它一个积分积分，这是一个多项式的积分，还是比较容易的。 然后把它带进来，最后划减一下，它可以得到六分之一。下一道题，求减微分方程，这里是 y 撇加 y 等于 e 的 负 s 方，而且它是一个出值问题，它有 y， 零等于一这个，最后我们可以求出它这个 c 的 值。好，我们看一下。 首先我们可以判定它是一个一阶的嘛，因为只有 y 撇嘛，它是一个比较简单的一阶的微分方程。我们想要解一阶的微分方程呢，我们可以把这里你可以想象成 这个是 y 撇加上 p x， y 等于 q x 啊，这是 这样一种形式，所以我们先要求的是一个积分因子，对不对？积分因子，积分因子 e 的 什么？这里的这个值其实是一个 p x， 而 p x 这里的 p x 刚好是一个 e， 是 没有啊，只有一个 e 嘛， e y 嘛， 所以 p x 是 e， 这里我们这个积分因子比较好求。积分因子是一个 e 的 x 次方，所以我们把这个，最后我们把这个我们的 e j 的 向量方程左右两边同时乘以这个积分因子， 哎，同时乘以积分因子，他这个 e 的 负 x 次方乘以 e 的 x 次方就等于一了。同时乘以积分因子之后，我们就可以发现，其实这个左侧是 e 的 x 次方， y 他的导数是等于一的，我们对这个时候对他的这个左右两头同时进行一个积分的一个求解， 左边刚好就等于 e 的 x 次方， y 右边呢？这个一的积分就是 x 加 c， 好得到这个一样的一个形式。然后这里其实这里写了一部通解啊，你不写这个通解也是没有关系的啊，不写这部，然后我们可以直接带入我们的出值，我们的出值是 y 零等于一，把 y 零等于一带进来，可以求出 c， c 是 等于一的， c 是 等于一的，所以说这里的 y 呢，我们可以直接把这个 e 的 x 次方给它除过来，除过来就是乘以 e 的 负 x 次方嘛，最后得到我们这个 e 阶的微分方程就是它。 哎，最后我们这个考试的一个题就是一道证明题啊。证明题，这里是首先给出了一个我们 f x 的 一个函数， f x 在 a b， 它是 啊 b 区间连续开区间可导，而且给出了我们的 a b 的 两个端点是相等，都是等于零的。我们想要证明这里的可 c 是 在可 c 属于 a， b 就是 a b 中间存在一个可 c， 可以 使得 它的导数可 c 和可 c 的 值相加等于零。首先我们看到这里的这个端点是等于相等，而且等于零的，我们想到是什么？是罗尔中值定律对不对？ 鲁尔中值定律，所以说我们就可以想象一下，那如何让它出现这样的一个值呢？它比较像谁呢？它像不像？我们在用乘法法则 在进行求导的时候，乘法法则其中的一部分，我们给它配上一个函数，就可以把它构成一个乘法法则。 ok， 我 们就是基础的想法就是这样子，所以我们第一步是构建函数，这里构建一个 g x 等于 e 的 x 方 f x 好， g x 是 和我们 f x 是 有这样一个关系的，然后我们看一下，构建完之后呢，我们的 f x 属于有这些关系，我们 g x 当然也有这些关系了，我们的这里的 g a， g a 就 等于 e a 倍的 fa， 因为 fa 是 等于零的，所以我们的这里这它这项是等于零，所以我们导致整个一项也是零，那我们的 g a 就是 零，同理啊，我们的 g b 也是零，其实我们这里可以得到的其实是什么呢？是 g a 等于 g b 也是都是等于零的。 我们这由这个罗尔中置定律我们可以知道存在一个可 c， 可 c 是 在 a 和 b 中间的，使得我们的这个啊， 使得我们的导数在可 c 这个点是等于零的，这个是没有问题的，因为它的端点是相同的。然后这个时候我们可以得到我们对这个值，对我们 g x， 对 它进行求导， 因为我们构建的是 e x 嘛， e x 的 好处就是它的导数是它的本身，所以我们在求解鲁尔中之定律的时候，经常会构建这种 e x 的 和我们原函数相乘的形式的，这种导数相乘的形式的这种函数用这种函数，它在乘法法则的时候有非常的优秀的性质， 我们对它进行一个求导，首先是一个前导后不导加上一个后导前不导刚好可以得到我们这里的想要的 f x 和 f x 撇， 我们把 e 的 x 次方提出来，你会发现谁？这是不是就是我们想证明的啊？没有问题，这就是我们想证明的。然后我们这里会得到一个可 c， 在 它的导数是等于零的， 然后把可 c 全部带进来，会得到这个式子，得到这个式子时候我们可以知道啊，这是两个乘积是等于零的，而前面这个 e 的 可 c 次方是肯定是不是零的，所以那么后面的这一项就是我们的证明项必然为零， 所以我们的这后面这项是零的，所以证明完毕。 ok， 那 么我们今天这张难度适中的一个期末考试卷就给大家讲解到这里，希望可以对大家的期末考试有一定的帮助。

大家好，我是三无居士，今天给大家讲一下成都市一等考试的第十六题。这是一道解三角形的问题，还是比较简单的。 已知在三角形当中，这里有一个等式，这里有一个等式。第一个问题，要求 a b 的 值，要求未知数 a b， 必然要建立关于 a b 的 方程。 第一个等式显然就是一个关于 a 的 方程，而且这个等式当中呢，只有未知数 a， 因此呢，可以以这个方程作为突破口，把 a 呢解出来。而后面这个方程呢，它有两个未知数，一个是 b， 一个是 c。 所以 显然我们要以第一个方程作为突破口， 因为三 a 加上括号 a， 等于根号二。这个等式呢， 有两个名称，一个是正弦，一个是余弦，但是角度相同，名称不同，角度相同的正余弦的加减，我们马上会想到什么呢？辅助角公式啊，辅助角公式。 所以提一个根号二出来，就得到根号二，被上印 a 加上四分之拍，等于根号二。这个等式两边都有根号二，直接把它约掉就得到上印 a 加四分之拍等于一。 a 加上四分之拍的正弦值要等于一，说明这个角 a 加四分之拍，它的中边只能在 y 的 正半轴上，所有中边在 y 的 正半轴上的角都等于二倍。 k 拍加上二分之拍的样子， 这里的 k 呢，属于整数，而我们要把这个 a 确定下来，要去把这个 k 呢确定下来。 由于 a 是 一个三角形的锐角啊，是是一个三角形的内角，所以它是在零到拍当中变化，因为 a 这个角呢，它要在零到拍当中变化。 那么根据上面这个等式来讲， a 要在零到拍当中变化的话，这个 k 只能取零啊，只能取零， 如果 k 大 于或等于一，或者小于或等于负一的话，那么它对应的值呢，显然都不在零的牌当中，所以这个时候 k 只能取零，因此 a 的 值呢，就只能等于四分之一，所以 a 解出来了， 那么怎么去求这个 b 呢啊，怎么去求 b？ 对 于三角形的问题啊，只要看到这样一个状语， 在三角形当中，这个状语一旦出现我们脑海当中，实际上首先要想到什么呢？要想到三大定力，正弦定力、余弦定力、内角和定力，那么这里既然 a 已经算出来了，所以这个 b 和 c 的 关系就清楚了啊， 所以 b 加上 c， 它只能等于什么呢？四分之三拍，根据内角和定力啊， 而第二个方程当中，这里有一个二倍 c， 所以呢，我们要把 c 呢用 b 来表示出来，然后把二倍 c 呢啊表示出来，先把 c 表示出来， c 就 等于四分之三派减去 b， 二倍 c 的 话就等于二分之三派减去二倍 b， 那 么把这个等式加 q 乘以二， c 等于零， 所以上面这个方程呢，我们可以把这个二 c 消掉，它就等于三根 b 加上 cosine， 二分之三 pi 减去二倍 b 等于零， 二分之三 pi， 它是一个特殊角，所以我们自然想到把这个展开啊，把它展开， 用我们的两角叉的余弦公式括括，加三三，所以就得到三硬币，减去三硬二倍币要等于零， 也就是三硬币要等于三硬二倍币，而三硬二倍币就又可以用什么呢？ b 角公式，把这个角度变小，就得到二倍三硬币乘以 cosine b， 我们知道这个三根 b 呢，它是大于零的，所以把这个三根 b 约掉过后，就得到了 q， 三根 b 的 值等于二分之一， 因为 b 这个角呢，它始终在零到盘当中变化，它的余弦要等于二分之一的话，这个角呢，就确定下来了，它就只能等于三分之拍啊，只能等于三分之拍， 别无选择啊，别无选择，只能等于三字派。因此呢， ab 这两个位置数呢，就解出来了啊， ab 这两个位置数解出来了，当然根据内角和定义的话，角 c 的 值呢，是可以算出来的啊，可以算出来， 那么需不需要算角 c 的 值呢？我们要看后面是否需要用到角 c。 第二个问题，若 bc 等于二， 也就是角 a 的 对边知道等于二，要求三角形的面积， 那么要求三角形的面积自然会想到正弦定律啊， s 等于二分之一倍， ab 乘以三角 c 等于二分之一倍， bc 乘以三角 b 等于二分之一倍啊 b， ac 乘以三角 b 等等。 那么用哪一个公式呢啊？用哪一个公式？我们来分析一下。 由于这个三角形的三个角显然就是可以算出来的啊，所以我们要用正弦定律的话，显然要把另外的啊一个角把它算出来啊，把它算出来，这样的话才好方便用我们的正弦定律。 由第一个问题知道， c 就 要等于拍，减去 a 减去 b 等于拍，减去 a 四等于四分之拍， b 四等于三分之拍， 就是等于拍展区这里后面是十二分之七拍，所以这个结果是十二分之五拍。 c 这个角呢，它不特殊啊，它是等于十二分之五拍， 那么有了这个 c 过后，我们是要去用到角 c 的 正弦呢？还是角 c 的 对边的值啊，看能不能求出来。因为我们要求面积嘛，所以这个地方求面积的时候，有多种公式可以利用啊，有多种公式可以利用， 由正弦定力， 这里的 b c 所对的角就是角 a， 所以 b c 分 之三 a 要等于啊，这里有个 b c， 如果我们假设以 b 这个角作为啊，我们的这个面积公式当中的这个要用的角的话，那么这个什么叫去寻找啊？ b a 的 场，要去寻找 b a 的 场， 我们想用到二分之一倍三 a b 啊，再乘以这里的 b c b a， 那 么要去寻找 b a 的 话， b a 所对的角呢？就是 c 这个角，所以要用到什么角 c 的 正弦啊？角 c 的 正弦， 如果你不用这个角是有阵形的话，又可以怎么做呢？我们可以用这个公式啊，但我们这里的三 a 除以 b 除以 bc， 这个肯定要用到，因为这里的 a 和 bc 都是一致的啊，肯定要用到它， 你也可以用什么呢？用我们的另外一个角，就是三 a， b 的 话， b 的 对边就是这里的 ac 啊 ac， 因此这个时候要去把 ac 求出来啊， ac 求出来， 那么显然我们如果去求 ac 的 话，好像看起来比较简单一点啊，那么你用了求了 ac 过后，这里面又要用到什么角 c 的 正弦，还是要用到角 c 的 正弦啊？所以无论如何呢，我们都会用到什么角 c 的 正弦啊？角 c 的 正弦， 所以我们干脆就把这个角 c 呢正弦的先求出来，三音 c 就 等于三音， 十二分之五拍就等于三音，那么十二分之五拍它不特殊，那么怎么办呢？十二分之五拍可以看作是十二分之三拍，加上十二分之二拍， 十二分之三拍的话，实际上就是四分之拍，十二分之二拍就是六分之拍。 根据两条和的正弦公式，它等于三扩加，扩散，三扩，那么就变成了 四分之根号六，加上扩散啊，就是四分之根号二， 这是假设的正弦。那么既然有了正弦，我们就最好是用前面这个吧，用前面这个公式啊，比较好一点。所以这个时候呢， b、 a 的 长可以算出来， b a 的 长就等于 b， c 乘以三 a， c 再除以三 a 啊三 a 是 等于二分之二，除以二分之二就乘以根号二， 就得到二分之，这里带进去是二，加上根号一是二倍。根号三二约的就是根号三，加上一啊 b 也可以算出来，所以这个时候三角形 a、 b、 c 的 面积 就等于二分之一倍， b， a 乘以 b， c 再乘以角 b 的 正弦 b， a， 这里是根号三加上一， b、 c 等于二三，因 b 角 b 是 等于三分之派啊，它的正弦二分之杠三， 好把这里二约掉，约掉过后就得到二分之三，加上根号三，这就是面积啊，这就是面积了。 总的来讲呢，这道题呢，比较简单啊，比较简单。我们这里没有用到余弦定力啊，没有用到余弦定力。 好，我们这个题呢，先讲到这里啊，感谢大家收看，我们下次再见。

同学们大家好，我们一起来学习不定积分的计算，这一部分我们考试的时候不可能考证明，对吧？不定积分都是考计算，这个考计算为啥这么难呢？因为许多同学没有掌握 啊，计算技巧他见的也不多，就是这个不定积分形式出来之后，他根本就不认识我们通过这一节课的学习呢，我们一定要掌握技巧，为了让大家见多识广呢，我们这一节课 以大量的立体为主。首先我们看 f x 乘上一个 d x， 它的不定积分是这种形式，对吧？这个符号是什么叫不定积分符号？其实它就是字母 s 给拉长了，为什么是字母 s？ 老师告诉你，其实这个是英文字母 sum， 它是求和的意思，求和或者是累加。然后呢，我们把这个 s 给它拉长， 就变成了我们的积分符号。好的，既然说这个积分符号是求和和累加的意思，它是求谁的和累加的是谁？我告诉你，累加的就是 f x 和 d x， 这个 f x 和 d x 之间是什么关系啊？就是相乘的关系吗？就是 f x 乘上一个 d x， 为啥是乘呢？因为它表示的是一个面积，我们在计算这个曲边多边形的面积的时候，是不是把它分割成无数个小条啊？ 比如说我们这里分割的有一个小条，这个小条的面积就是是不是底边边长乘高啊？ 边长升高边底边是谁？底偏不就是 x 的 微分吗？叫 d x， 虽然说这个 d x 它是趋向于零的，对吧？学极限的时候知道吧，但是它的面积就是 底边乘上一个高，高是多少高？不就是函数值吗？ f x， 对 吧？这个因此这个小条的面积就是 f x 乘以 d x， 然后我们把所有的小条的面积都给它乘出来，然后再累加一次，重 求和累加一次，是不是就是这个不规则多边形的面积啊？好多同学学完不定积分之后，还是不知道说这个 f x 和 d x 是 相乘的关系， 如果说你知道它是相乘的关系，后边我们做横等变形的时候不要犯糊涂。我们再看 f x 乘以 d x 表达的是一个面积，这一点，为什么说把这个小条给累加起来，它就是面积，为什么？ 它的面积是底面积乘高，它本来是不规则的，现在变成规则了？如果不懂，去看我们二点一节微积分总量，那里边有清晰的述，我们这里就不多讲了。好吧？ 好，既然 f x 乘以 d x， 它是一个面积，我们不定积分就是一个面积的累加，那他会有有，有什么性质呢？我们看第一个说，如果说我想把这个面积放大二倍，有有几种放大方法。第一，这个表达的 就是它的面积，对吧？我现在把这个整体的面积给他放大二倍，可不可以？ 当然可以了，对吧？现在我放大二倍了，对吧？还有一种方法，我能不能把这个 f x 这个高给他放大二倍啊？也是可以的，因此这种也是把整体的面积给放大二倍了， 我把高放大了二倍吗？因此他俩是相等的。还有一种我能不能不放大高，我把底边放大二倍啊？底边放大二倍，是不是就是这种情形啊？对吧？因此这这个三种关系他是相等的，是不是？ 我这是二，我这个二，我能不能，我能不能给他写成 a 啊？我放大 a 倍可不可以？你看我这个 a 的 位置放的有三个，一个是这个积分符号， s 的 前面还有一个高的，前面还有一个微分，这个 d x， 这个跟 x 放到一起三种方法，它俩是恒等的，后边我们做不定积分，这个，呃，不定积分的，这个恒等变换的时候不要犯糊涂，好吧，原因在这呢，是吧？都是把面积放大 a 倍，好， 我现在在 x 后面能不能加个东西呢？比如说加个 b， 好 吧？ 加个 b 之后，他依然等于这个 f x 成了一个 d x， 为什么？因为你这个 d 是 微分，对吧？你对 x 加 b 进行微分的时候，是不是先求导，然后再乘了一个 d x 啊？ 因为 d x 加 b， 他 就等于他，对吧？等于他的情况下，你看你求导一下子，他 还不是就是 dx 吗？ x 求倒之后变成一了，然后这个 b 求倒之后变成零了，他就等于 dx， 因此你后边无论是加上几，他都是恒等变形， 也就是说这个 d 后边的变化是关键，对吧？比如说我做恒等变形的情况下，我这个 d x 和这个乘了一个二，我前面再乘上二分之一，是不是还是恒等的呀？ 对吧？我这二分之一放，这也可以放，这也是可以了。因此我们看有一个恒等变形 叫什么呢？这是不是恒等变形？ f x 乘上一个 d x， 然后累加一下，它就等于什么？如果说我 f x， 我 的 d 后边成了一个 a 倍，然后又加了一个 b， 那 我前面直接乘了 a 分 之一，它就是恒等了， 你加这个币没有任何影响，对吧？你这二分之一也可以放到里边都可以，那你里边呢？也可以提出来，无所谓， 对吧？这个后面我们恒等变形的时候，大家不要有疑问，好吧，行，我们继续看说。呃，你这个不定积分计算的核心逻辑是什么？ 老师告诉你，核心逻辑是叫恒等变形，恒等变形之后我们要达到什么目的呢？恒等变形之后，我们要达到我们这个积分变成了 基本积分表已经有的形式来，我们看这个是基本积分表，只要我们恒等变形之后，我们达到了这几种形式，那我们这个积分就是可求的，对吧？ 是，我们这里面都是以 x 为自变量的，这个 x 其实可以看成一个，我给它换成一个整体，比如说是 u， 是 吧？或者是，呃，一个小黑， 这个小黑可以代表什么？想代替什么就是什么，是吧？我们我们这里做恒等变形之后，一旦符合我们积分表基本积分表的形式，我们这个立马可求，是吧？ 好，这几个基本积分表大家一定给我牢牢地给我记住，好吧，呃，提醒大一点大家一点， 大家对这个 sun 和 cosin 还有这个 tanning 和 cotin 比较熟悉，这个郑哥和于哥好像不是太熟悉。这个啊， second 和 cosin 的， 大家简单的记一下就行。这个啊，这个是不是 cos 乘 x 分 之一的平方，对吧？因为 second 是 cos 分 之一，它这是啊， 正戈，对吧？这个 cosine 是 于戈，它是 sine 分 之一，是吧？好，我们看这里，这里写的就更清楚这个 cosine 定义和这个，呃， second， 呃， second 定义是吧？ cosine 定义。嗯，注意一下，这个是正弦的倒数，是于戈 余弦的倒数，是正格，这个好记吧。啊，这个都会， 然后再看，这个是 sine 的 平方， cosine 的 平方和 tan 的 平方，这个是不是降密啊？三角函数降密了，对吧？降密公式，这个初中学过，对吧？这下边是两个变形，分别是除上一个三 x 的 平方，或者是除上 cosine x 的 平方，就变成了下边的这个， 对吧？这个呢？二倍角公式，二倍角公式，注意哈，这个也是常用的，叫积化和差， 或者是和差化积都是可以的，比如说你，我们后边，呃，计算的毛线呃，我们计算 cos cos 二 x， 然后乘上一个 cos x， 然后 d x 它的积分，我们这个积分怎么算？那你立马积化和差和差化积是不是变成了二分之一？考三三 x 加上考三 x， 然后 d x， 你 看你这个是加的，然后拆开后边乘以三，不是变成考三三 x， d 三 x 了吗？是吧？然后考三 x 跟 d x， 它直接积 啊，虽然说你现在有可能不会哈，我们继续学。下面我们看说第一类换元积分法，这个第一类 很明显有第二类哈，我们就两类啊，好多同学我们学完这个不定积分的计算之后，第一类和第二类的换元积分法有什么区别？他还不知道，学的不够扎实。好吧， 这个第一类换元积法是干啥呢？就是说我把这个 x 给它凑成一种形式，我把 f x 的 部分东西给它拿到 d 后边，变成了什么？变成了 g 小 黑，然后 d 小 黑。这个小黑是什么？是 x 的 一个函数，它说，哎， x 用一种表达式可以表达出小黑，然后这个 g f x 和 d x， 本来它是不符合这个积分基本积分表的形式的，现在我变成这这种形式了， g 小 黑 d 小 黑它就符合了。符合，然后我直接套基本积分表， 然后再回答一下子，对吧？是吧？然后我小黑再用 f h x 给他代替一下子，我就能求出这个积分。好，我们看例子，看例一说，考三二 x 加三乘以 d x， 然后我求他的 这个不定积分，我们来来来，是不是做恒等变形？怎么恒等变形？是不是啊？积分原式等于什么？ 考三二 x 加三，对吧？那我低我这个 x 能不能乘以二啊？可以，我只是前面再乘一个二分之一，它不就恒等了吗？对吧？然后我再加上一个三，没问题吧？ 加上三之后是不是变成了，它不就是 sine 二 x 加三吗？ 然后再加个 c， 对 吧？因此这一题的结果就是这个。好吧，非常简单，是不是我这个变形过程中一定是恒等变形， 对吧？大家注意哈，你这个不定积分求解的过程中，你个人积分表达式一定是恒等变形的，不是，恒等变形绝对是错的。注意哈，你这个，你要是不服的话，你可以回去计算一下，看他俩是不是恒等。 好，我们再看一个，再看一个例子，这个你看这种形式，你有没有想起来哪个积分表中哪个公式？想一想是不是这第四个叫一加 x 平方 分之一它的啊？这个积分阿克泰勒 x 加 c， 这个， 呃，形式不完全符合，我们来给他凑一下子。好吧，你看我这个不是这种吗？我积分原式是不是首先我把 a 平方给他提出来，是不是变成这种了？叫 a 平方 分之一 d x， 对 吧？我只是提出来，我没变，没做什么动作，对吧？一加上就 a 分 之 x 块平方，对吧？我们发现这个 x 跟 x 还对不上，我能不能再做一个变形啊？ 要 a 分 之一对吧？好， d， 我 这个 a 分 之一拿后边了， 对吧？可以吧？可以，拿吧。一加上 i 分 之 x 块平方，是不是这个？ ok， 我 然后再套公式，我把这个 i 分 之一给他拿到前，前面，是不是完全符合公式了？ 因此他最后等于什么？不就是 a 分 之一？阿克泰林的这个形式，对吧？非常简单，对吧？好，我们继续看例子，这个不定积分的计算，他的例子就是很多，好吧，我们一个个走，你看这个， 你看这个，有没有想起什么公式啊？对于这个基本积分公式不熟悉的同学，你把这个表给抄下来，或者是记下来啊，听课的时候照对着看一遍，好吧，一定要把这个东西给记下来， 是不是这个积分公式啊？对不对？我把这个 a 平方给它提出来不就行了吗？那我积分原式是不是等于这个？ 把下边的 a 给它提出来，是不是变成了这个 a 分 之一 d x e 减去， 对吧？好，我把这个 a 分 之一我放到后边，行不行？ 完全符合这个形式了吧？因此最后我们求出的答案是什么？ x n 分 之 x 加 c， 非常简单的一种这个计算形式好。哎，这个例四，你看一下形式是不是特别简单啊？我们只是把 x 你 放到后边 就对了，因此我这个积分原始是等啥？我把 x 放到后边那 ex 平方，我这个照抄变成了 dx 平方了，对吧？你这个 dx 平方，你给，呃这个微分回去， 这个 d x 平方不就等于二倍的 d x 吗？对吧？我原先是 d x， 二 x 乘以 d x， 我 本来是 x 乘以 d x， 你 现在变成了二 x 乘以 d x， 我 前面是不是要乘个二分之一啊？它不就是恒等变形了吗？ 啊？所以说这个答案是多少？简单，对吧？非常简单。 好，我们继续看。说啊，贪念的 x 的 积分是多少？你，你这个贪念的 x， 你 处理着有点难受，你给它还原一下子不就行了？它积分原式是不是等于这个 sin x 乘以？好， sin x d x， 对 吧？ 那我把这个三 x 拿到后边不就行了吗？那它积分原式不就等于考三 x 分 之一乘上一个低考三 x， 但是这个考三低考三 x， 它是负三 x， 我 们，呃之前是三 x， 因此我们为了恒等变形，前面应该加个负号， 对吧？那这种形式不就变成了 t 分 之一 d t 吗？对吧？ 因此它是不是等于 long t 绝对是 t， 然后加 c 啊，对吧？然后这个 t 我 们把 cosine x 再给带回来，它最终是等于。这个 提醒大家，这个浪一旦出现的时候，一定要注意，一定要干什么带绝对值号。为什么要带绝对值号？是因为我们浪要要求这个，呃，自变量干啥？大于零对不对？但是你这个人没要求大于零， 对吧？没要求大于零的情况下，你这个如果不带绝对值耗法，它是不对的啊，你不带绝对值，你只取了不带绝对值的情况下，你只取了它大于零的部分，它小于零的部分，你没要带上绝对值，那就是可以的， 对吧？好，我们继续看这个例六。例六这个形式呢？呃，你后面学完这个有理。呃，有理。含说的拆分了之后这个会变成更简单， 好吧，其实这个只是一个，这个恒等变形怎么做？它就是一个拆分好吧？然后先 x 加 a， x 减 a， 对 吧？然后分之一，然后 d x 恒等变形，没毛病吧？恒等变形你看没问题吧？好，没问题。我们分别把这两个积分都给它求出来之后 就是我们要得到它，因此它等于这个，是吧？这个绝对值号千万不能忘啊，只有什么时候这个绝对值号不要 这一部分，他确实他就是大于零的，所以说我们直接就不要绝对值号了，对吧？ 这是两个，两个积分记号之后他俩用这个。呃，对手函数的性质可以合到一起，别忘了啊。对手函数性质我们看再看一个例题，叫例期啊，这个 其实是一言秒，但是你积分啊，表不熟的情况下可能没有办法一言秒好吧。这个怎么一言秒？积分元是等于啥？你这个 x 分 之一给放到 d 后边，他不就是什么叫 d 捞 x， 对吧？然后一加上二倍的 lo x， 然后我们继续变形，二倍的 lo x 加一，可以吧？然后我前面乘个二分之一，没问题，对吧？一加上 二倍的 lo x， 这个没有啊，因此你看最后是不是等于这个太简单了吧。 好，我们看，我们求正根函数的积分之。这个 second 是 考三分之一，对吧？ 你如果说对 six second x 不 太熟悉的话，你给它换成考三 x 分 之一不就行了吗？那积分原式是不是等于 考三 x 分 之一乘以 d x， 你 这么换仅仅是为了你，你更熟悉嘛，对吧？好， 这个等等变换。其实啊，你要是没见过的话，确实啊，再思考一会啊，但是你见过之后以后再遇到一定要会。好吧，我上下同时成立个考三 x， 是 不是考三 x？ 考三 x 的 平方，对吧？然后 d x， 然后我把这个考三 x 拿到后边，是不是变成了 d 三 x？ d 三 x， 然后这边呢？我又改成了什么？一减去三 x 的 平方， 是不是变成这种叫一减去三 x 的 平方，对吧？然后 d 三 x， 对吧？然后如果说这是三 x， 他 拿到后边变成考三 x， 前面要加负号，为啥？因为考三 x 求倒之后他等于负三 x， 对 吧？ 这个是不是立马就有了？是不是刚刚我们求过的形式？求过的形式？好， 老师直接给答案了。求过的形式吗？对吧？你这个过程你再整理一下子，好吧？好，我们再看啊。给大家一个规律，说三 x 的 偶次方乘上考三 x 的 偶次方，一旦遇到这种积分形式的时候，我们立马将什么将三 x 换成了这个，这什么是不是降密啊？然后考三 x 呢？你给换成这个， 这个换成之后，基本上你的这个积分呢，就变成了考三二 x 的， 它是这个变量的形式的多项式，然后这个时候你多项式求积分，特别特别好求， 对吧？然后如果说不是偶数，其实更简单，这个我们用例题来说明说明，好吧，不是偶数更简单来看。好， 你看这个就不是偶数，三 x 的 三次方的积分三次方，那我直接不是偶数就更好了，我直接把三 x 拿掉一个在后边，对吧？拿掉一个在后边的话，前面呢就是偶数了，对吧？偶数肯定是平方的形式，平方的形式 三 x 跟考三 x 可以 相互换，为什么？因为三 x 的 平方加考三 x 的 平方等于一啊，你别忘了呀，对吧？那积分原式是不是等于 三平方 x， 然后低考三 x， 对 吧？你这个低考三 x 一定要加个符号，千万不能忘啊，它等于负，三 x 乘以 d x， 我 们是啥？三 x 乘以 d x， 加个符号才是恒等变形，对吧？然后你再把这个三 x 平方给它再换一下子 是背面一一减去考三 x， 对 吧？然后低考三 x， 多简单，分开求吧。这个一的考三 x 平方不就是三吗？前面有个符号别忘了啊，他这是不是等于负，然后我负直接放到前面了，这个是不是，这个是不是考三 x 然后再减去？你注意啊，考三 x 它是个整体，是不是考三 x 的 三次方，然后这个有个三分之一，对吧？然后再加个 c， 是 吧？然后我们再符号再给它带进来，画到最减的形式就是这种，对吧？ 这个，呃，基本积分表，这是第一个积分公式，对吧？这考三 x 是 个整体啊，你别拆开来看好吧。好，我们看这个，它是偶数的时候，这是偶数了吧？啊？这个时候有同学问老师，这个考三没有了， 你这个谁说没有啊？这不是考三 x 的 零次吗？这个零也是偶数呀，在写这呢，你只是没看见，好吧。 什么？这个怎么做来着？是不是要降密啊？降密函数怎么用来着？我是不是把这个三 x 平方等于什么？是不是二分之 一减去考三二 x？ 公式不熟的同学回去再记一记，好吧，它平方这个是不是就是三 x 的 四次方，然后再乘个 d x， 对吧？好，我们继续变形哈。我把这个二分之四分之一给提前遍，是不是这种了？ 然后一加上考三二 x 的 平方，对吧？加减去二倍的考三二 x， 然后 d， 我们直接 d 二 x 吧。 d 二 x， 那 我前面要变成八分之一， 理解吧。然后这是不是每一项都可求了呀？每一项都好求了吧 啊？比如说第一个是直接求，然后第二个，呃，我是不是你这个平方其实也可以降密，对吧？你继续降密时候就可求了，对吧？好，我们最后求出来是什么？这个答案，你这个过程还还挺难的，大家回去试一试啊。好吧，我们再看这个 啊，一个平方啊，你一个一个偶次方，一个奇次方，老师说了，偶次方是那么处理降密，对吧？奇次方就更好处理了。 你直接拿一个 cosine 在 后边不就完事了吗？对吧？那积分原式是不是等于 cosine 平方 x 乘以 cosine x， 四次方乘以 d cosine x， 对吧？那 d 三 x 是 不是？是不是我要把这个考三 x 的 四次方给换成三 x 的 三 x 的 形式，那它不就等于三平方 x， 然后一减去考三平方 x 括号的平方， 对吧？然后 d 三 x， 哦，这个写错了啊，这个是三， 是吧？然后你这你这个再给他平方，给他平方出来，好吧？然后平方出来之后，你看啊， 三平方 x 一 加上三四次方 x， 对吧？然后减去二倍的三平方 x， 对 吧？然后 d 三，这个好，已经看出来了吧？已经好求了吧。我这个三 x 我 用 t 来代替，为了写方面令 t 等于三 x， 这个时候我的积分元是等于啥？是不是等于 t 的？ 嗯，平方加上一个 t 的 六次方，减去一个二倍的 t 的 四次方， 括号 d t。 啊，这个就好记了吧，这不不是密函数的积分法则吗？对吧？啊，好， 然后我们求出关于 t 的 积分形式，然后把 t 给我带回去，好吧，答案是这个，好吧，然后我们再看历十二啊，这个刚好它又是偶数的形式了，是不是偶次幂啊？都是偶次幂，怎么来着？ 降密对不对？这三平方 x 一定要写成什么？那积分原式是不是就等于这个是二分之一减去考三二 x， 然后再乘一个什么呢？二分之一加上考三二 x， 对 吧？平方，然后 d x， d x， 我换成 d 二 x， 可以 吧？然后前面乘上了一个二分之一，这个给它括上，然后继续， 然后我这个二全都提到前面。这，这是，这个是四分之一，这个是二分之一啊，八分之一，然后前面是十六分之一，对吧？十六分之一一减去考三，一减去考三二 x， 对 吧？然后再乘上一个什么呢？ 一加上考三二 x 的 平方加上二倍的考三二 x， 然后再乘一个 d x， 是 吧？ d x 啊，呃，然后这个就变成可求了，然后你再给他列一下子啊，因这个最后答案是这个哈，答案是这个，大家做完之后对一下子好不好？行， 我们历十三，你这个有个 c 卷的，他像这个形式不太熟悉啊。这个如果大家能记得这个公式的话， 这个凑微分的话好像挺好凑的。应该是这种啊，我可以拿到后边，对吧？变成了这个 d c 卷 x， d c 卷 x， 你 看这是 c 卷 x， 是 不是个整体的？ 整体？之后我就能求出来他是这个。你其实这种方法有点难，对吧？有点难，而且你这个形式好像也不是很熟悉，那如果说你形式不可能说要老师给一种法，再给一种方法，你把这个积分给换成你熟悉的形式不就可以了吗？是不是考三 x 的 八次方？上面是什么？三 x 的 四次方，五次方， 对吧？是不是？然后 d x 我 们继续写，是不是考三 x 的 八次方？上面是我把一个三 x 给放到后边， 是不是三 x 的 四次方，然后 d 考三 x， 对 吧？ d 考三 x， 我 前面来加个符号，否则不是不是这个恒等变形， 对吧？你考三 x 是 个整体的，我三 x 肯定要用考三 x 来代替。怎么代替？那就太简单了，你这个应该很熟悉了，一一减去考三平方 x 块的平方，对吧？然后考三 八 x 叫低考三 x， 然后你这个考三 x 看成个整体用 t 来代替，是不是也是一种非常简单的形式啊？嗯，这种形式的话，要求你这个呃积分表很熟悉，而且见的挺多的，老师第一下就没反应过来。好吧， 我们再看下一个例题，下一个例题就要，呃，其实挺简单的，但是如果说你公式没掌握，这题你公式没掌握？ 不是积分公式啊，是三角函数变换的公式，如果你没掌握的话，你基本上做不出来哪个公式。不就是这三个吗？和差化，积积化，和差，对吧？是不是这个？因此我这个是不是变成了什么？是不是考三二分之一？我放最前面 是不是考三 x 减二 x x， 对 吧？然后再乘一个 d x， 你 看 这个分开再再积，是不是简单太多了啊？中间有一步老师没写，同学能看能看得出来吧？是不是这一步 二分之一写一下啊？口算五 x， 对 吧？然后 d 五 x， 然后你这个，呃，乘以了五，我前面要除以五，因此这变成了十分之一， 对吧？然后再加上一个二分之一，考三 x dx， 这一项三五 x 分 三五 x， 对 吧？这一项就是三五 x， 这一项就是三 x， 前面成了二分之一和十分之一，你看结果我们对起来了， 是比较简单的，对吧？行。呃，这些题目呢？还算是这个有章可循， 然后我们看一类无章可循的东西，你看这个，这个，你对于某些特殊的积分形式，如果不是很熟悉的情况下看不出来，为什么呢？是因为你看，呃，这个做是这么做的，我上下同时乘以 e x， 上下同时乘以 e x 变成什么？因为这个整体可以拿到后边。 那我不知道说，呃， x e x 它求导就等于啥？等于 x 加一 乘上一个 e x， 我 不知道这种形式，或者是我没有刻意的去记它，我这题是不是做不对啊？对吧？所以说我感觉这种这种其实是最难的，因为它 好像没有特别的扎法，就是要求你见过你就会，你要是没见过的话，不好意思，你不会，对吧？没有特别好的扎法，行，我们看。呃，其实这题已经出来了，对吧？这是还是比较简单的，是这个，他变形变成这个，这个把这个看成整体 就可以求了，对吧？然后再列项，这个是列项，对吧？这个列项现在，现在怎么拆分？你先别问，好吧？后面我们学尤里寒说的，拆分的时候我跟你讲的明明白白的， 然后他拆成了这个之后，你这不就是可击了吗？对吧？因此最后等于这个，切记啊，这个一定是带绝对值号的，但是实际上， 呃，你要是不带绝对值号，你默认他是大于零的，但实际上他不一定大于零。你要是默认他大于零呢？是不是少了一部分解，那就不对，对吧？ 好，我们在这还不是最简单的形式， long 的 话，我们再给他合并一下子，其实就是这种。其实你合并不合并应该都不算错，对吧？最好合并一下子，然后还有一种。呃，这种形式，你的这个恒等变形，他 难是不难，但是你要是没见过的话，确实刚开始一看脸一蒙，这个怎么变形？就是上面乘以的 x 九次方，下面乘以 x 的 九次方， 他给的形式都很巧合，是吧？无巧不成书，要是不巧合的话，那这题就没办法做了，对吧？ 因此他的形式就变成了这种。我把 x 的 九次方给拿后边，拿后边前面再乘个十分之一，是不是恒等变形啊？这不就是恒等变形吗？然后再列个像拆分， 拆分现在不熟悉，后面我们学完有理函数的拆分之后回来再看，非常简单。好吧，相信老师的功力。好吧，因此最后答案是等于这个 老师，这个我们第一类还原法的十六道题，老师讲完了课后 把每一道题都仔细做一做，甚至把这些题都记，因为记下来，因为他这个变形方法很值得我们去掌握，有的变形方法确实需要我们记一下。好，我们再来看第二类还原法。 第二类换元法，他都是换元，对吧？都是对 x 进行处理，都是需要换元的，对吧？换元的话，你看我们第一类是把 x 个整体，令整体等于一个字母，等于 t， 对 吧？我们现在干啥呢？我们现在做了一个，就是我把这个 x 换成一个函数，比如说是 t 分 之一， 对吧？我们之前第一类换元的时候，是不是把一个整体看成一个字母啊？现在是把这个未知数看成一个方程。 所以说第一类换元法和第二类换元法有什么区别？第一类换元法中， x 是， 你如果用替换的话，是不是 x 是 t 的 函数啊？第二类函数吗？ t 是 x 的 函数，他俩是反着来的，你注意了， 对吧？因此我这个第二类换算法，我这个 x 就 变成了一个方程了，对吧？变成方程之后，我希望，哎哎，我这个积分又变成了一种形式，这个什么形式？ 我希望呢？是我的积分表中已经有的形式，这样我就又可以套积分表了，是吧？ 好，我们还是实战来看，我们看一个例题，你看这个啊，这个东西初学的时候感觉非常非常难，这个叫啥？叫三角代换， 总共有三种三角代换，大家全给我记下来，就三种多一种都没有，为啥是三角代换？你看我这有个根号，这个根号不拿掉我就特别难受，没法记，是吧？ 或者是你后边你能凑出这个 a 平方减 x 平方的形式低于这个，你这个根号，只有这种情况下，你这个根号不拿掉是可以求的，对吧？否则你这个根号是需要拿掉的，怎么拿？ 这个 a 平方减 x 平方，你看是不是个五定理的形式啊？这个斜边减一个零边是不是等于另外一个斜边的平方？如果我们利用这种 变化把这个根号给他拿掉，是不是变简单了呀？好，我们把这个三角形给他画出来，这个叫什么？叫三角代换， 因此这个 a 减去 x 平方，那这个 a 已经是斜边了，对吧？那这个 x 是？ 如果说这个角的话，我们令这个角为 t 的 话，那我请问 x 是 零边还是对边，我们现在不确定，对吧？ 因为你 x 在 这，你会形成，因为这个就等于啊，根号下 i 放，减 x 放，那你 x 在 这也是可以的，对吧？好，我们 看什么情况下，它到底在哪？我们令 x 等于 a 三 t 说明什么？ x 在 这，对吧？对吧？好，那我问你个问题啊，我令 x 等于 a， 考三 t 行不行？ x 等于 a 考三 t 也是可以的，好吧，这种情况也可以， 也可以的话，你我们目前来说，我们先用这种利用 a 等于三 t 来做，好吧？好，我，我现在给出来了，先，给出来之后，嗯，我们要看什么？我们对这个 t 的 范围也有个要求，为什么可以这么待会？ 我们要看是不是恒等变换，对吧？你这个三 t 在 t 除以负二分之差 a 到二分之差 a 的 时候，是不是负一到一啊？ 也就说你 x 的 取值范围是啥？负 a 到 a， 对 吧？负 a 到 a， 你 看这个 a 平方减 x 平方干啥？ 得大于零，是吧？因为开根号嘛，它大于零，我们就得出了 x 的 取值范围，确实是负 a 到 a， 然后这个又什么？ x 就是 负 a 到 a， 刚好它能取完，对吧？是恒等变化，没毛病，对吧？ 因此我们看后面干啥？我把这个 a 三 t 给带进来，这个式子是不是变成了这个？然后是不是变成了 a 平方？括号一减去三平方，一减三平方就是考三平方，因此最后变成什么 a 成考三 t 啊。这个就太简单了，我们把这个回代代到这个积分式中，是不是我求 a 考三 t 的 积分呀？这个时候 d x 也也好算，对吧？ d x 对 吧？因为 x 等于 a 三 t， 我 现在对它进行替求导，就 a 考三 t 乘以 dt， 对吧？好，然后我们带入这个，我们把这个 dx 和这个积分倍积公式、倍积函数给它全都带进来，是不是变成了这个？因此是不是 a 平方根？我给它提到前面 这个怎么求来着？这个是不是考三 n t 的 偶次密啊？是不是我需要给它降密？我用二分之一加考三二 x 给它换一下子啊？考三，对吧？换一下子之后， 这个是不是变成了 a 平方二分之一加上考三考三 二 t， 对 吧？这个就比较简单，然后这一步一击，然后这一步，然后再击，简单了吧？ 因此最后等于这个，然后我们还要把什么 x 等于 s 三 t 给它带回来， 对吧？然后这你这个三二 t 换成这个，然后我们给它带回来之后，是不是把 x 等于 a 三 t 给它带回来，然后三 t 是 不是等于多少 f 分 之 x 吗？考三 t 等于多少？考三 t， 你 直接就看这个三角形就完事了，这个不是 a 平方减 x 吗？ 减 x 平方，对吧？然后考三 t， 然后它再除个 a 就 完事了，是吧？ 因此我们带进来是不是这种？好？这是第一种三角代换，我们看第二种三角代换，其实这个三角代换很简单，你，你看到这种形式，你这不是两个零边相加，然后应该等于斜边的， 对吧？两个零边的平方相加，括号等于斜边，因此我们还是把这个啊三角形给它画出来，这个斜边是不是 x 平方加 a 啊？ a 平方，因此他的这个两个这个是 t 的 话，两一个 x 一个 a， 对 吧？我们希望是代换，用 t 来代换 x， 那 我我这个 t 这个是 a， 可以 吗？然后反过来行不行？那这个时候我就等什么？ x n a t 对 边比邻边，那如果你反过来会造成什么情况下？是不是 cosine 的 也，道理上也是可以做出来的，但是我们一定要选择一个最简单的形式，好吧？ a 乘以零，然后我，我给他带进去之后，这个 dx 就 变成什么了？核能变形，对吧？这个就变成了这个 啊， a 乘以正格函数，对吧？然后这个 d x 就 变成这个。对于求导基本求导公式不熟的同学，你回去再看一看，别蒙了啊，这个是，对吧？ 然后我们把这两个东西都给它带入积分原式，你带进去之后不就是这个吗？对吧？哎，这个我们是不是求过了？ 是不是当时是把它看成考三 n t 分 之一，然后上面乘一个考三 t， 下边乘一个，下面就是考三平方 t， 然后这个考三 t， 再拿到 d 的 后边，然后下面用三 n t 给它换一下子，对吧？这个就渴求了吧？因此最后它，它等于这个， 然后等于这个，我们是不是最后要回代啊？因为你这是 t 嘛？你的 t 要用 x 来表达，对吧？你这贪婪的 t 直接换成 f 分 之 x 就 成了。你这 正歌 t， 正歌 t 是 啥来着？是不是考三分之一？你把考三 m 给表达出来，考三 m 就是 a 除以一个根号， a 平方，加上 a 平方，对吧？ a 除以它，对吧？然后你这个一导给它导回来，因为它是考三的导数嘛？是不是你给它带进去，简单吗？看整理一下子， 是吧？你，你这个非常简单。那老师现在问你个问题，你说了你这个 low 后面都是绝对值，这个为啥不是绝对值？ 它本身它就是大于零的，你加啥绝对值，是吧？多此一举，对吧？ 本身就是大于零的，这个 x 加上它永远大于零，为啥？因为它这个永远是正的，而且大于 x， 你 是 x 是 负的情况下，它比 x 的 绝对值要大，而且它永远是正的，它加到一起永远是正的，这个好理解，对吧？ 好。这是这个三角代换的第二种形式，我们还有最后一种形式，下面我们来看啊。三角代换的第三种形式 就是 x 平方减去 a 的 平方，然后再开根号，这个在三角形中是什么形式？应该是这种，这个是 t， 很 明显这个 x 是 斜边，对吧？ 然后这边是 a， 很 明显对边是 x 平方，减去 a 平方，然后开根号，对吧？我们对它的倒数进行这个积分，这个时候我们 a 需要用 t 来表，这个 x 需要用 t 来表达出来，对吧？因此我这个时候呃 x 就 等于 a 呃 second t， 然后 t 是 零到二分之 pi， 你 仔细看一下，是不是呃完全等价的这个代换， 对吧？我们反带回去之后他就是等价的，对吧？然后，哎，老师增加一下说能不能等价代换，是不是？我反带之后可不可以构成一个函数，对吧？ 那我反带回去是不是带回去反函数？那他这个 t 就 等于什么呢？ t 是 不是等于阿克 啊？ second a 分 之 x 啊？这个能不有这个函数存在？不存在，如果存在的话就可以，如果不存在的话就不可以代换， 对吧？它存在说明说明要求啥要求？这个 x 等于 a 乘以 second t 一定是单调的，因为单调函数才有反函数嘛， 对吧？这个好理解。好，我们把这个带进去之后，紧接着我，我们把这个 d x 还有这个积分表达式给他，求一下子，你看这个 他是不是变成了这种啊？然后我们 a 平方跟这个呃都提出来变成 a， 它能 t， 然后 d x 呢？又变成了这种形式，因为我我们全部都给他带进去，带进去之后积分元是变成了什么？ a ten ten t 是 不是给它约掉啊？然后进一步就是啊， second t 的 积分 second t 这个我我们学过了，对吧？啊？当时是怎么计算来着？ 回忆一下，是不是 call 三 t 乘以个 call 三平方 t 啊？然后 d t， 然后这个 call 三 t 再拿，拿到后边变成 call 三 t， 对 吧？这个再改成什么？ 一减去三平方 t， 然后我们新的积分就干变成了什么呢？啊？这个是三 n t 啊，新的积分就变成了以三 n t 为一个整体，它的一个积分，这个就好求了，对吧？好，我我们 求出来这个积分之后，然后这是 t 关于 t 的 积分，然后再反带回来吧。啊？ c 根的 t， 他 直接就是什么 f 分 之 x， 我 们带进来，然后他那的 t 是 多少？看三角形，看这个直角三角形，他那的 t 是 邻边比对边，也就是说是什么他那的 t 对 边比邻边，也就是说是这个根号加 x 平方减 a 除以 a。 啊， 这是他那个 t 在 直角三角形中能看出来，对吧？然后我们需要给他化简一下，这个 a 很 明显是可以提出来的，对吧？我们给他提一下，是不是就变成了这个？ 这个为啥写成 c c 一 啊？这个是 c， 因为这两个数他不一样，对吧？ c 一 等于 c 减了 a， 你 这个是咋来的？你，你把这化简之后你就能看出来了，好吧，我们然后呢去实战， 我们看一下例式啊，正常我第一反应是我学完这个三角代换之后，我第一反应说是这个，把这个给他三角代换一下子，是吧？ 然后呢？呃，并不一定好算。这个时候我们来学新的一种方法，叫倒代换。首先是我们先用倒代换做一下子，然后老师再告诉你什么时候用倒代换，倒代换怎么用？我令 x 等于 t 分 之一， 然后呢？我给它带进来，带进来这个就变成什么 t 分 之一，我给它带进去，然后 dx 变成 dt 分 之一， dt 分 之一变成什么了？就是负 t 方分之一乘 dt。 这个形式看着挺挺复杂，是不是？你给它整理一下，其实一点都不复杂，我们整理之后就变成什么了？这种形式， 这种形式你 t 给放，放到后边是不是变成 t 平方了？我前面再乘个二分之一吧，是吧？然后后再乘个 a 平方，各种变化，是不是变成了一种简单的形式了？简单的形式非常容易求，然后我们再反代 t 等于 x 分 之一，我们在这个把给它反代回来。最后是不是 你看我这个是变形，这种形式好求了吧？到这种形式我是不是求，到这个时候我是不是开始反带啊？ 好，我反带回来就是这种。你看这个倒带换非常非常容易，比你用所谓的三角代换简单多了。那这个倒带换 什么时候用？为什么要用代代换？倒代换有什么效果？来，我老实告诉你说，当分母次数过高，特别注意就是我这个分母的次数要比 这个分子高三次或以上，就是他的次数相差三次，考虑倒代换。为什么这这样？ 是因为。比如说你这个，呃，这个分子分母相差多少？你上面是零次的，对吧？下边是三次的，他刚好像差三。 相差次数这么高，你这个构造函数一般情况下都不好构造，是吧？分子分母这个次数差值越小，积分起来就越容易积， 这个能理解吧？他这个分子是多少是零次的？分母是三次的，对吧？因为他相差三， 由于分子分母的这个次口相差过大，导致我们积分很难积。我们希望的积分是什么呀？就是分子分母他相差不大， 甚至是相差一个次，就比如说你这个啊，分母高了一个次，然后我的这个分子呢？分子我放到低后边他升了一个次，反而跟下面对齐了，这个时候就很方便求。这个时候我们又倒代换，有什么特点呢？来看看。倒代换啊。 这个倒代换，比如说这个是零次和三次，我一倒代换，那零和三一定要翻过来，上面三，下面零，这个能理解，对吧？ 上面三下面零，上面次数过高，下面次数过低，然后我 t 分 之 dx 换成 dt 的 时候，需要乘一个负 t 方分之一，也就是说下边我又乘了一个什么 二次，对不对？我下边成了一个二次，我上原先下边的次数我给放到上面， 本来相差很远，我现在又减了一个二，发现没减了二之后是不是相差更近了？这种构造方法就会导致什么分子和分母它的相差过大的这个次数给给它磨平了，是不是？比如说这个是不是相等了， 发现没分，这个时候分子是不是依次的，分母也是依次的呀？都是依次的，是不是就方便我们积分了？好， 因此其实我们倒代换的核心就是利用 d x 等于负 t 方分之一， d t 用这个 给他，把他次数给他降，相差值给他降低了。因此当分子和分母的次数相差大于三的时候，一定要考虑代代换。倒代换。这个倒代换能用不能用我不知道，但是一旦出现这个信号，你一定要考虑倒代换。这个时候 老师我有没有表达清楚？什么时候要考虑到代换？好，我们继续看说，我记到这个时候我有个恒等变形，是吧？这个是代换吗？ 能理解，就是代换所要达到的效果和目标。好，我们学了这么多代换， 我们需要把这个一些特殊的代化呢？给他补充到这个基本的积分表中，因此我们有一个积分积分表的补充，这个是两个曲线，大家了解一下啊，可以去了解一下，然后这个 哦， tangent x cosine x， 不 用刻意的去记，是不是这个 tangent x 我 们刚讲过了，它不是三 x 除上一个 cosine x 吗？对吧？你这积的时候，我这三 x 拿到最后这个一样的三 x， 呃，考三 x， 我 积的时候考三 x 拿到后边，对吧？这个要注意一下，你看这个跟之前的公式是不是一样的，它只是变成 a 了，对吧？我们计算的过程中需要把 a 给他提出来，然后这个你看表面上是个公式，其实他是啥？化成 x 加 a， 括号 x 减 a， 然后再拆项，是吧？拆项我们用之前的积分公式也能给他记，计算出来，表面上看了，我们多了， 哎，又是多了十几个积分公式，其实都是可以推出来的，对吧？没有那么难记好吧，关键还是在之前的那个十三个积分，好吧，我们再看例题， d d 二十一，我们看，其实这个稍作变形就能求出来了， 对吧？我们哪一个积分公式是不是这一个？之前我们学的时候他是一吗？现在只是变成 a 了，只是一个变形，你看我们稍微变形的积分原式是不是变成这个了？ x 加上一括号平方加 根号，二破二平方，为啥是二？因为恒等的吗？你算一下，看看是不是恒等的，这个立马就变成了他是不是这种形式了，我们套公式立马就有， 是不出来了，对，很简单吧，这个积分非常简单，是不是？好，我们再看例二十二，你这个，你，你能想到啥？ 是不是这个公式就 a 平方减 x 平方吗？这个稍微变换一下他就是了。稍微变换一下子，看清没怎么变化呢？你这个后边加了一个负二分之一，加不加的，你加上他也没有任何变化，对吧？紧接着我们就能算出来，好，算的。