七年级上册数学长江几何图形答案

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学线衣上色第六张几何图形，初步六点三点二角的比较与匀算。我们来看一下我们这节课的一个学习目标，首先呢，我们要掌握一个角的大小与比较，然后理解我们角平分线以及我们 角的和差辈分问题，能用几何语言来进行表述。第二个呢，会涉及一些度分秒的一个角度的预算，这是我们这节课的一个学习目标，我们来看一下，我们先来复习一下我们上节课所学的线段的比较，那我们知道我们线段的比较有两种，第一种呢就是从我们的数的 从数出发，也就是说量出来，当我们量出我们线段的大小的时候呢，就可以就可以比较了。 第二种呢，就是从形出发，利用我们的线段叠合法，然后把它放到一块，那就很容易观察了，比如说我们下面 ab 和 ac 很 明显啊， ac 是 不是小于 ab 啊？ 同样的，那我们来看第二种，那 ab 和 ac 应该是相等的，那最后一个呢， ab 应该是小于 ac 的， 所以说我们可以测量和我们叠合，那我们来看一下，那我们知道啊，我们类比一下我们线段的一个比较方法，能不能把两个角也进行这样的一个度量呢？我们先来看一下第一个， 我们是不是能用两角去去把两个角量出来，比如说这个角明显是五十多度，这个角明显不到四十度，那很明显，是不是说我的黑的第一个大于第二个，对吧？ 再来看一下我们第二种能不能把它俩放在一块，你会发现啊，我的脚这个黑色的应该大于蓝色的，对吧？所以说我们度量法和叠合法呢，在我们脚中同样的适用。 好，当我们知道这两种办法呢，我们能不能用几何语言来表示呢？比如说我们来看一下啊， 我们来看一下第一个角 b o a， 那 我们来看和我们的角 a 撇 o 撇 b 哪个大呢？很明显，红色所标的这个 o 撇角 a 撇 o 撇 b 撇大， 那我是不是就是角 a o b 小 于角 a o b 撇 b 类似的，那当它俩相等的时候，是不是就是等于号，当它俩当我的角 a o b 比它大，对吧？ 是不是我们用我们的几何语言也能说明我两角之间的关系啊？好，再来看，如果说我把角 a 的 两边都延长了，那你想一下角 a 的 大小改变吗？ 我们来看一下，当我把角 a 两边延长之后，它的大小是不变的，对吧？我们知道啊，我们角 a 两边是射线，可以无限延伸，所以说无论你延伸多少，它角的大小都 不会发生改变，只与我的开口开口大小，也就是说只与我的开口大小这里有关，其他的都是不变的啊。 好，再来看线段的和差问题，我们知道啊，我们下面 ab 是 不是也能写成 ac 加 cb， 同样的 ac 是 不是能写成 ab 减 cb， 那 我们来看一下，所以说那 bc 呢，是不是也能写成 ab 减 ac 啊？ 那我们线段有和差，再来看一下，线段也有终点，若 c 是 线段 ab 的 终点呢？是不是我们知道 a c 等于 bc 等于二分之一倍的 ab， 反过来也能写成 ab 等于二倍的 ac 加上二倍的 bc， 这是我们线段的终点，类似于像我们的什么呀？ 线段，那我们来看角是否存在这样的问题呢？看一下图中有三个角，第一个 a、 o、 c 也是我们最大的角，以及我们的 a、 o、 b， 这个角和我们的 b、 o、 c 三个角，那他们三个角之间是不是也存在我们刚刚类似的关系？比如说我们来看一下 a、 o、 c 是 不是就等于 a、 o、 b 加上我的 b、 o、 c， 那 再来看是不是我的 a、 o、 b， 那 a、 o、 b 也能写成 a、 o、 c 减 b o、 c。 最后类似的 a、 o、 c 减我的 b o、 c 是 不是就等于 a b o c a o c 减 a o、 b 是 不是都等于 b、 o、 c 啊？ 那我们角之间和我们角与角之间也是啊，和我们现在之间可以用我们的和差来计算。 好，我们来填一下空。第一个角 d、 a、 b， 我 们来看下 d、 a、 b 等于谁？等于这个加这个，对吧？第二个角 a、 c、 b a、 c、 b 等于谁？等于角 d、 c、 b、 d、 c、 b 减这个是吧？所以说我们可以很明显的把这两个填上来， 没问题吧？角之间的预算大家要能看出来，再来填一个。第一个角 abc， 来我们来看一下角 abc 是 哪一个呢？是不是这个呀？等于角 a、 b、 d 和我们的角 c、 b、 d。 什么呀？他俩相加 角 b、 d、 c， 也就是说我们的这个角等于角 abc 和我们角怎么 b、 d、 a 啊？是不是把这个减掉就等于它呀？所以说这里应该没有问题。再来看 角 a、 o、 c 是 哪两个角合呢？我们来找一下角 a、 o、 c 是 不是很明显角 a、 o、 c 是 我的角 a、 b、 o 和我的角 b、 o、 c 合呀？所以说第一道题应该就是 等于角 a o b 加角 b o c。 同样的角 a o b 是 哪两个角之差呢？角 a o b 是 哪一个呢？ 是不是角 a o b 是 这个，那是两哪两个角之差呢？是不是我可以用角 a o c 把我的角 b o c 剪掉，那同样的可以用 a o d 把我的 b o d 剪掉，两种写法都可以，大家应该能明白啊。 好，再来看一下。角 a o b 等于我的角 b o。 角 a o b 来， a o b 和我的 c o d 相等， c o d 相等，那我们看 a o c 和 b o d 就是 a o c 和 b o d， 当它俩相等的时候，你会发现它俩加它俩， 当他俩相等之后，这两个角是不是就是他俩加了同样的角啊？那是不是也是相等的呀？所以说我们的角 a o c 等于角 b o d。 要会表示我们角与角之间的关系。 当我们借助我们三角尺的时候，如何来画出我们十五度和七十五度呢？比如说我们第一个七十五度，把我们的四十五度和三十度放到一块，就能画成七十五度， 三十度放在我们四十五度之上面，也是能画出十五度的，这是不是就是我们角与角之间的和，和，角与角之间的差呀？那我们借助三角板可以画出其他的度数，对吧？大家可以试试画一画。 好，再来看一下。当我们角为 aoc 为五十三度十七分时，那我们求我们角 boc 的 位置，那你知道啊，我的角 boc 是 不是就是一百八十度？把这个剪掉就可以了。之前我们学过我们的和差辈分问题。 呃，之前我们学过我们的角的角度制，我们来看 aob 是 平角，那我们知道啊，角 aob 就 等于角 aoc 加角 boc， 同样的我们的角 b o c 就 等于角 a o b 减角 a o c。 好， 那就是一百八十度减五十三度。我们知道啊，如何来计算呢？我们来看一下，是不是它后面没有 分呀？好，当没有分的时候，我们可以把它借一个，也就是把它借成五十，一百七十九度六十分，那这样的话就可以进行运算了，我们度减度分，减分就可以了，这种做法大家要会啊，这种做法大家要会。好，最后算完一百二十六度，四十三分。 好，那我们再来针对一下训练下。第一个角 aoc 等于三十五度，角 boc 等于四十度， aoc 三十五度，然后呢？ boc 等于四十度。问你，角 aob 很 简单，加起来就可以，是吧？ 好，这是第一个。第二个，我们来看一下角 aob 六十度，也就是整个等于六十度，然后问你，他那很明显六十度减四十度，是不是就等于二十度呀？ 再来看一下，角 a o b 等于六十度，角 a o c 等于三十度，那是不是就是说我们换一个六十度的角，角 o b 等于三， a o b 对， 等于六十度，然后呢？角 a o c 等于三十度。哎，那你说这个 a o c 是 在这里还是在这里？ 那是不是有两种情况，一种是在这里，那我的脚 b o c 就 等于三十度，那如果在这里的话呢？是不是就等于多少度呢？等于九十度了，所以说此时啊，此时有两种情况，对吧？所以说我们要分情况来讨论，那一个是三十度，一个是或者是九十度， 所以说我们角度啊，它存在多种情况。好，我们来看一下，那角的平分线是什么意思呢？就是说，当我把一个透明纸在我脚上画，在我的一个纸上画上一个 a、 o、 b， 当我刚好画出一个呃线段的时，哦，射线的时候， oc 刚好是它俩的一个终点，也就是说 b、 o、 c 也就它和它相等，当它俩相等之后，你会发现，是不是我的角 oc 就是 它的一个平分线， 例如我们的中线中点是不是是一样的呀？当他弄他的时候，那是不是角 aob 就 等于二倍的角 aoc 啊？所以说我们的角平分线大家要会啊，当我们把这样的角呢，就叫做角平分，这样的线段呢，这样的射线呢，就叫做角平分线。 好，那应用格式呢？就是说，因为 a、 o、 c 是 我的角 a、 o、 b 的 角平分线，所以 a、 o、 c 等于 b o c 等于二分之一倍的 a、 o、 b， 同样的，反过来也就等于 a、 o b 等于二倍的角 b、 o、 d 等于二倍的角 a、 o、 c。 好， 当我们知道这个的时候，我们角的三等分线是不是一样的呀？也就是说它等于 a、 o、 d 三倍的 c o d 三倍的 a、 o、 c 是 一样的啊？ 好，当我们知道角平分线的概念的时候呢，我们就能做题了，你看一下， o、 b 是 a、 o、 c 的 角平分线，也就是这个等于这个 同样的 o、 d 是 它两个平分线，这个等于这个 a、 o、 c 呢？等于多少度呢？ a、 o、 c 呢？等于八十度，那 b、 o、 c 等于多少呢？应该是比较简单的是吧？就等于它的一半，也就等于四十度。 好，再来看，如果说我 a o b 等于四十度， a o b 等于四十度， d o e 等于三十度， d o e 等于三十度。问你 b o d 那 是不是把它俩刚好是，我们刚刚说了它是角平分线，是不是把它俩加起来也，最后呢就等于多少呢？七十度没问题。 再来看， a o e 等于六十度也 a o e 等于一百四，整体等于一百四， c o d 等于三十度， c o d 等于三十，那这个是不是也等于三十？那一百四，把这两个，把这两个减掉，是不是 就剩下它俩了？除以二。然后呢，我的 a o b 的 度数是不是也就能求出来最后等于四十度，对吧？所以说我们的角平分线在我们的期末考试里面是不是也就能求出来最后等于四十度，对吧？所以说我们的角平分线我们的概念弄清楚要会写 好，我们来总结一下，我们涉及到角度运算时呢长，除了常规的和差辈分问题，我们还有去分，嗯，用我们的方程思想和我们的分类讨论思想来解决问题，我们来巩固一下。来第一道题， oc 呢，是我 aob 的 角平分线，那就是我这个和这个角相等的，然后呢， o d 呢？是它的角平分线，有这个和这个有相等的，所以下列格式正确的是选哪个呢？大家可以看一下 是不是选 a 呀？我们知道啊， c o d 就 等于二分之一倍的角， a o c， 因为它俩，因为为啥呢？因为我知道 c o d 等于二分之一的，它等于二分之一的，它，是不是这个 b o c 和 a o c 是 相等的，所以 最后也能写成这样的关系，对吧？好，这是我们的第一道题，其他都是错的，大家可以验证一下。再来看一下我们第二道题，来填空第一个角 a o b， 也就是我的角，它加上我的角 b o c， 很 明显，是不是角 a o c 啊？ 那角 a o c 加上 cod 呢？是不是就是我们整个大角的角 a o d， 同样的，它减，它就等于 b o c a o d 减，谁减？我的 b o d 就 等于角 a o b。 这几个角要会填好， 那我们知道啊，如图，当我的 a o b 也就等于 b o c 等于我的 c o d 的 时候，是不是 o b 是 我 a o c 的 角平分线？那角 a o c 是 不是就等于角 b o d， 同样的，它等于三分之一倍的 a o d， 就是 我们的三等分线，对吧？ 好，来再看一下，因为 a d 是 它的角平分线，是不是说我就知道了，既然你是人家角平分线，是不是你剩下的两个角就相等了呀？所以说这个角等于这个角角平分线的 e， 同样的，因为它等于它，所以它是它的平分线，那就是反过来也要会用，对吧？ 角平分线的意义，所以说角平分线呢，是我们必考的。再来看来，角 aob 等于它等于九十度，那就是这个角和我们的哪个角呢？ codd， 这个角等于九十度， aod 等于多少呢？这整个角等于一百四十。 呃， a a o d 啊，这个角等于一百四十六度。问你啊，角 b o c， 角 b o c， 那 是不是根据我们的什么呀？九角最后就能算出来，减去，减完之后就等于三十四度，没有三百六十度，把它来减去就可以了啊。 好，再来看一下来，已知 aob 等于三十八度， boc 等于四十五度 aoc 的 度数，那是不是就是有两种情况， aob， 那 我的 boc 是 不是？呃， boc 可能在这里，也可能在这里，所以说有两种情况，那就有两个答案，大家可以算一下。 好，那我们来总结一下我们角的比较吧。第一个我们学了角角的度量法和叠合法，是不是能进行我们角的比较呀？那角的运算呢？就是角的和差辈分问题，以及我们角的角平分线问题。最后呢是我们角的计算问题。 其中我们角什么呀？角的平分线是最喜欢考的啊，这个是在我们考试里面最喜欢最喜欢考的，大家要清楚。好，那我们这节课呢，就上到这里，我们下节课再见。

今天我们来学习七年级上册数学第六章第一节几何图形，千万别看这个三角形，老张怕烧坏你的 cpu！ 看起来像是个三角形成的夹角，却又变回了直角，这种视觉反差下，完全搞不懂它是平面或者立体， 也根本分辨不出三角形的具体方向与走向，它就是被誉为最不可能物体的彭罗斯三角。在破解它的奥秘前，我们要先从基础的几何图形说起。图上这些都是我们常见的立体图形，我们一个一个来看，这个就是由我们学过的三角形在空间中沿垂直方向向上延伸，就形成了这个立体 图形，它叫三棱柱，还有四棱柱、五棱柱、六棱柱。关于棱柱的特点，其实大家都能看出来，首先上下等宽，像这样的就不是棱柱。最后底面 面是几边形就是几棱柱，里面是三角形就是三棱柱，里面是四边形就是四棱柱。我们之前就接触过的长方形和正方就属于四棱柱。还有一种和棱柱很像的立体图形，最熟知的就是埃及的金字塔，这种立体图形叫做棱锥，我们可以看到棱锥的顶端是尖尖的，它和棱柱既有相同点也有不同 点。首先棱锥只有一个，底面，也是多边形，棱锥有一个尖，叫做棱锥的顶点和棱柱一样，底面是几边形，就叫做几棱锥。既然棱柱和棱锥的底面都是多边形，那么如果把它们的底面变成一个圆呢？我们还是会得到两种立体图形，一个叫圆柱，另一个叫圆锥。关于圆柱，我们既可以看作是圆向上延伸得到的， 也可以看作是一个长方形，绕一边旋转三百六十度得到的。至于圆锥怎么来的，大家试试脑补一下， 答案是 c， 来转一下，你答对了吗？好，关于柱体和椎体的特点，老张都给大家整理好了截图保存。总结一下上面几何图形，不同面的形状，靠转动就能明确分辨出。回到视频开始的问题，这种无法在三维空间实现的彭罗斯三角，换个角度看是什么样呢？你会发现这只是视觉误差，还没完。关于立体图， 弧形，还有一种叫做球，大家平时玩的乒乓球、足球、篮球都属于球，但是要注意，橄榄球不是我们数学中定义的球。我们说球是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体也叫做球体，像圆一样，球也有一个球心，球面上每一点到球心的距离都是相等的。虽然上面提到的都是立体 图形。比如从正面看长方体，我们会看到一个长方形像这样从一个方向看过去形成的图像就是矢图。 立体图形的一个仕图就代表着它在一个方向上的形状，比如长方体，从正面看是一个长方形，这就是一个仕图。但从左边看是一个正方形，也是它的仕图。这说明我们要从不同的方向观察，才能更加全面的反映立体图形的形状。在实际应用中，我们一般画一个 图形，从三个方向看过去的样子，分别是从正面、左面和上面来看，这就是它的三仕图，也叫主仕图、左仕图和俯视图。通过三仕图 图，我们就能得到一个立体图形的形状，比如长方体，它的主视图和俯视图都是长方形，而左视图则是个正方形。再比如这个三棱柱，从正面看它是一个长方形，这条棱我们也能看见，所以也要加上中间留下这条竖线。从左面看，它是一个长方形，从上面看，它是个三角形，所以它的主视图、左视图和俯视图 就分别是这样。注意，题目中一般会把主式图画在左上角，它的右侧是左式图，下方是俯视图，基本位置都是固定的。还有圆柱的三式图，这是圆锥的三式图，注意，俯视图里千万别露了圆中间的点，这是四棱锥的三式图，同样要注意，它的俯视图最简单的就是球体的三式图 了，都是一个人。虽然现在看到的三式图好像很简单，但是考试我们遇到的往往是这样的。老张这里温馨提示，一定要注意遮挡关系。

七年级的题，关于代数式配几何说明，考察两个知识点，第一个代数式，第二个看几何图形。我们面前的叫回字形，读题后发现阴影部分 种草。第一问表示阴影部分，所以阴影部分的面积。回字形就是大的长方形减去小的长方形。长方形的面积公式 a 乘 b， 小 的长方形 x 小 长方形的长就是 a 减二 x。 小长方形的宽就是 b 减二 x， 所以 回字形的阴影部分的面积就是 a 乘 b 减去括号， b 减二 x 乘以 a 减二 x。 化简之后出答案。第一问，大家一定要注意，刚才老师在说复习的过程当中，这是一个代数式，也是一个多项式，由于后面有单位，所以要添括号。第二问，当然后给了具体值，求面积 相当于代数式求值。因为 a 等于二， b 等于十六，所以 b 等于八。因为 b 题里没有给，所以先求 b， 当 a 等于十六， b 等于八， x 等于二十，圆是等于 二乘十六乘二，加上二乘八乘二减四乘二的平方，这一步一定要写，这是彩分点， 同理这一步也要写。然后就是六十四加上三十二，减去二的平方等于四十六，所以答案等于八十。 由于圆体里带单位，所以建议同学们写八十的平方。第二问，一定要注意老师的书写，写当然后圆是等于，然后出结果。 第三问，在二的条件下，花草求多少元，那就是在二的条件下，里面种花的位置是空白的部分，所以我们要求的就是空白的部分，需要的加上 阴影的部分，需要的阴影的部分是第二问的八十乘一百，加上 十六乘八减八十乘三百，算出答案就是最后的结果了。总结一下，首先，代数式要写括号， 其次，规范书写要写当原式，等于出答案。第三，代入求结果。所以本道题属于计算类问题。

各位同学大家好，今天我们一起来学习几何图形的第一节课。在小学，我们已经学习过许多有关几何图形的知识，知道三角形、长方形、平行、四边形、圆这些图形的形状特征， 以及会进行有关周长面积的计算。那么进入初中后，我们将继续用数学的眼光观察身边的世界，学习新的数学知识、数学方法，感受数学之美， 感受用数学知识解决实际问题的乐趣。大家知道数和型是数学的研究对象，本章我们将继续学习更多的 几何图形，进一步探究直线、射线、线段、角等最基本的几何图形的性质，进一步了解他们的应用。 今天就让我们在丰富多彩的图形世界中开始我们这节课吧！ 大家来看，这是大自然中漂亮的植物，造型奇特的动物。这是晶莹的雪花，放大后的样子简直就是一件艺术品。 这是小蜜蜂的杰作。一排排整齐排列的蜂房，数学家已经证明过，在相同体积条件下，这 这种建造方式是最节省材料的。可见小蜜蜂不但勤劳，还是非常聪明的建筑师呢。那么人类呢，也从大自然中获取灵感和启发，建造了很多雄伟漂亮的建筑。 可以说，用心观察我们身边的世界，是改变世界的开始。 这是二零零八年北京奥运会的主会场国家体育场，又称鸟巢。它位于北京奥林匹克公园中心区南部，建筑总面积达到了二十一公顷， 可以容纳观众九万一千人。在这里举办了奥运会、残奥会的开幕式和闭幕式， 以及一些田径比赛和足球比赛的决赛。在奥运会结束后，这里成了广大北京市民参与体育活动、享受体育娱乐的大型专业场所， 那么这里也成了地标性的体育建筑和奥运遗产。同学们来仔细观察，在这张国家体育场的照片中，你能看到哪些熟悉的图形呢？ 好同学们找到了，这里有我们熟悉的线段， 三角形、四边形，这里还有一 一个半圆形。同学们表现的都非常不错。刚刚我们就是在用数学的眼光来观察我们身边的事物，从而发现这些丰富多彩的图形其实都是由一些基本的几何形状构成的。 让我们把目光从国家体育场转回到我们的教室内，大家再找一找，在教室里有哪些我们熟悉的基本的几何形状呢？ 好同学们找到了很多，这是我们国家的国旗，五星红旗， 他是我们中华人民共和国的象征和标志。那么我们来看五星红旗的外形， 它的基本几何形状是可以看成平面上的一个长方形。这是教室里的钟表，它的外形可以看成是平面上的一个圆。 这是我们同学带来的地球仪，它外形的基本几何形状可以看成是一个球。 这是我们同学用来喝水的水杯，它外形的基本几何形状可以看成是一个圆柱。 那么老师也准备了一些大家熟悉的图片，大家再来找一找，这里又有哪些基本的几何形状呢？同学们来看这幅图片，这个人戴的 这个叫斗笠，那么过去在山村水乡是随处可见的。唐代有一个诗人柳宗元，他有一首诗，江雪 千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪。其中第三句孤舟蓑笠翁描绘的就是一个穿着蓑衣，带着斗笠的老渔翁， 一个人孤零零的坐在船上的画面。那么现在这个斗笠基本上都是作为集实用与美观于一身的工艺品了。 那么斗笠的外形的基本几何形状，我们可以看成是一个圆锥， 下面这是一个非常精美的茶叶块，它外形的基本几何形状是一个柱体，我们观察这个柱体有六条侧棱，所以我们称它为六棱柱。 这是一个帐篷，这是它外形的基本几何形状。那么它的名称是什么呢？ 通过观察我们发现左边这幅图是个三棱柱， 而我们把它换个方位放置，得到的就是右边的这幅图形，所以右图也是一个三棱柱，所以这个帐篷外形的基本几何 形状是一个三棱柱。 这是二零零八年北京奥运会的主游泳馆。国家游泳中心，又称水立方，它也位于北京奥林匹克公园内， 在奥运会期间承担了游泳、跳水、水球等比赛项目，可以容纳观众一万七千人。 在奥运会结束后，他也是成了具有国际先进水平的集游泳、健身、运动、休闲于一身的中心。 在二零二二年北京冬奥会期间，他将转型成为宾利方 作为冰湖项目的比赛场馆，这也是世界上首座在泳池上架设冰湖轨道的场馆。那么水立方外形的基本几何形状，我们可以把它看成是一个长方体， 也可以叫它四棱柱， 这是古埃及的金字塔，它外形的基本几何形状是一个锥体，我们观察它有四条侧棱，所以我们称它为四棱锥。 那么这些丰富多彩的图形都是我们从现实世界的物体的外形中得到的，那么各种各样的物 除了具有颜色、质量、材质等性质外，还具有形状，如圆的、方的等，大小如长度、面积、体积等 和位置关系如香蕉垂直、平行等。那么物体的形状大小和位置关系是几何中研究的内容， 我们先从物体的形状开始我们的研究，一个物体的美和它的功能离不开它的形状， 大家看这是一张跑车的照片，它流线型的外形既体现了一种动感的美， 同时也有效的降低了风的阻力，提升了它的行驶速度。 这是北京大兴国际机场，它外形的寓意是浴火凤凰，那么它的外形就是把我们的中国文化和功能和谐的统一到了一起。 三角形的稳定性在这辆自行车的结构中得到了应用， 而我们常见的伸缩门则又很好的利用了平行四边形的不稳定性。 大家再来看这里有圆形的井盖，也有六棱柱形状的铅笔，那么 那么他们的外形又都考虑到了哪些因素呢？有兴趣的同学可以课下去研究一下。 那么这些物体的形状在数学家的眼中都可以看成是一些基本的几何图形构成的，那么下面我们就来看与几何图形有关的几个概念。 一、几何图形，长方体、圆柱球、圆锥、棱锥圆、长方形、正方形、线段点等都是从形形色色的物体外形中得出的， 他们都是几何图形，是数学研究的主要对象之一，大家看到的这些都是 几何图形，也都是我们刚刚从各种物体的外形中得出的。那么这种从物体的外形的形状得到几何图形的过程，应用的就是一种从具体到抽象的思维方法。 那么这些图形中有些图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥球等的各部分不都在同一平面内，他们是立体图形。 各部分不都在同一平面内，指的是这个立体图形的有些部分在一个平面内，而有些部分则不在一个平面内。我们以长方体为例，大家来看这两条红色的棱，他们都在 上底面所在的平面内。我们再来看此时这条红色的棱和这条绿色的棱则不在同一个平面内。 而有些图形，如线段、角、三角形、长方形、圆的各部分都在同一平面内，他们是平面图形。 我们以后对几何图形的学习也是分为立体图形和平面图形两部分进行的。 四、立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但是他们是互相联系的。立体图形中某 有些部分是平面图形，我们还是以水立方为例，观察它的外形，从整体上看，它的形状是一个长方体，也就是立体图形。而我们只看它的侧面，得到的是长方形， 只看他的棱，我们得到的是线段，只看他的顶点，我们得到的就是点。那么大家知道长方形、线段点，他们都是平面图形，而此时他们也都是这个长方体的某些部分。 好，那么这里为什么说立体图形中的某些部分是平面图形，而不说所有部分是平面图形呢，我们来看下面这个立体图形， 这是一个圆锥，它的底面是个圆，是平面图形，而它的侧面是个曲面，并不是平面图形，所以我们用立体图形中某些部分是平面图形来描述则更加的严谨。 好，那么刚刚呢，我们明确了立体图形和平面图形的相关概念以及二者的关系后，下面我们老师来考考大家，我们来完成几个练习。 我们先来看练习一，如图说出下图中的一些物体的形状所对应的立体图形。 好，这位同学找的 又快又全，而且也准确说出了这些立体图形的名称，在这里有长方体、圆柱和球。那么练习一告诉我们，这些丰富多彩的图形其实都是来源于我们的现实生活的。 好，我们再来看练习二，说出图中各立体图形的名称，找出其表面中包含的哪些平面图形，是指出这些平面图形在立体图形中的位置。 好，以上五位同学回答的非常好。第一个立体图形的名称是圆柱， 其表面包含的平面图形有两个圆，分别位于它的上下底面。 第二个立体图形的名称是圆锥，其表面包含的平面图形有一个圆，位于他的底面。 第三个立体图形的名称是五棱柱，其表面包含的平面图形有两个五边形和五个长方形，分别位于它的上下底面和侧面。 第四个立体图形是一个六棱锥，其表面包含的平面图形有一个六边形和 六个三角形，分别位于它的底面和侧面。最后一个有点难度，这是一个组合体， 是由一个长方体和一个四棱锥构成，其表面包含的平面图形有四个三角形和五个长方形，分别位于四棱锥的侧面以及长方体的下底面和侧面。 那么刚刚练习二则让我们又感受了一下立体图形和平面图形二者之间的关系， 即立体图形的某些部分是平面图形。我们再一起来看练习三如图，你能看到哪些立体图形 好？这个同学找的非常的全，他在这里发现了有圆柱、长方体和球。我们再来看练习四如图，你能看到哪些平面图形呢？ 好，这位同学找的也非常的好，他在这个图形中发现了有三角形、长方形、五边形、六边形、椭圆和曲线。 那么刚刚的练习三和练习四其实又在说明我们把一些几何图形的形状进行拼接，其实我们会发现它可以构成很多 内容丰富的图形，而这一过程则体现了你的几何思维和精彩的创意。我们曾经玩过的七巧板和积木也在体现这一点。 七巧板是由七块板构成，其中有五块是等腰直角三角形形状的， 有一块是正方形形状的，还有一块是平行四边形形状的。据统计，利用这七块板可以拼成的图形有一千六百种以上。 老师在这呢展示了其中的三个，第一个是一个小房子，第二幅图形拼成的是一个奔跑的人， 第三幅图形拼成的是一条小鱼。 那么积木大家小时候都玩过，这也是我们儿时特别爱玩的一个玩具，那么相信同学们在搭积木的过程中 既得到了快乐，同时也一定培养了自己的创造力和想象力，当然还有动手能力。当然了，在这过程中大家也认识了很多的几何图形。 好，下面我们对这节课的学习内容进行一下小结。我们这节课主要是学习立体图形和平面图形，知道了什么是立体图形和平面图形。 那么在学习立体图形和平面图形的过程中，我们尝试着用数学的眼光观察各式各样的物体，比如这个水杯，我们就可以把它看成是几何图形中的圆柱， 那么从中经历了从物体的外形抽象出几何图形的过程，体现了现实生活与我们数学的密切联系。 今天这节课同学们都做到了积极思考，踊跃发言，表现非常好，也期待着下节课大家能有更精彩的表现。我们今天这节课就上到这里，好，同学们，再见！

今天我们学余角和补角，如果两个角的和等于九十度或是直角，我们就说这两个角互为余角，简称这两个角互余。比如这个图里边角一加角二等于九十度， 那么角一和角二就互余，角一是角二的余角，角二也是角一的余角。 再比如，三角尺中，这个角等于三十度，这个角等于六十度，他们俩相加等于九十度，所以这两个角就互为余角。还有这个三角尺，这个角和这个角都是四十五度，他俩相加等于九十度，所以他俩也互为余角。 类似的，如果两个角的和等于一百八十度或是平角，我们就说这两个角互为补角，简称这两个角互补。 比如图中角三加角四等于一百八十度，那么角三和角四互补，角三是角四的补角，角四也是角三的补角。 我们来讨论一下，如果角一和角二没有挨着，角一等于三十三度，角二等于五十七度，那么此时他们俩还互余吗？在互余的概念里边，如果两个角的和等于九十度，那么这两个角就互余。 这里边没有说互余的，两个角必须要挨着，也就是两个角是否互余跟位置无关，只要他们两个的和等于九十度，那就是互余。那三十三度加五十七度刚好等于九十度，所以角一和角二互余。 再看一下，这个角 a 加角 b 等于一百八十度，他俩也没有挨着。那么请问此时角 a 和角 b 还互补吗？在补角的定义中，只说如果两个角的和等于一百八十度，那么他们俩就互补， 这里边也没有说位置，所以说两个角是否互补跟位置无关。所以说角 a 和角 b 还是互补的。 来思考一个问题，角一与角二、角三都互为于角，角二与角三的大小有什么关系？ 角一与角二互为于角，那是不是角二就等于九十度减去角一？角一与角三也互为于角，所以角三也等于九十度减角一、角二等于九十度减角一，所以角二就等于角三。 由此得到关于与角的一个性质，同角或等角的与角相等。再来思考一下，如果角一与角二、角三都互为补角， 那么角二与角三的大小有什么关系呢？角一与角二互为补角，所以角二就等于一百八十度减去角一，角一与角三也互为补角，所以角三也等于一百八十度减去角一、角二、角三都等于一百八十度减去角一，所以角二等于角三。 由此得到关于补角的一个性质，同角或等角的补角相等。来看一个例题，如图，点 a、 o、 b。 在 同一条直线上，射线 o d 和射线 o e 分 别平分角 a、 o c 和角 b、 o c。 图中哪些角位于角？ 首先，互为于角，指的是两个角之和，等于九十度。点 a、 o、 b 在 同一条直线上，角 a、 o c 加上角 b、 o c 是 不是就等于一百八十度？ o d 和 o e 又是这两个角的平分线，所以角 c、 o d 加上角 ce 就等于二分之一。角 a、 o c 加上二分之一角 b、 o c。 把二分之一提出来，所以这块就等于九十度。这两个角相加等于九十度，所以这俩就是互为余角， 那 o d 是 角平分线，所以角 c、 o d 又可以替换成角 a、 o d。 同理，角 c o e 也可以替换成角 b o e。 那 分析完了，我们再来看一下这个题的解析过程。先写上解。因为点 a、 o、 b 在 同一条直线上， 所以角 a o c 和角 b、 o c 互为补角，互为补角，就是它们俩相加等于一百八十度。又因为射线 o d 和射线 o e 分 别平分角 a、 o c 和角 b o c， 所以 就可以得到角 c o d 加上角 c o e 加上二分之一角 b o c。 把二分之一提出来，就是二分之一。括号里，角 a、 o c 加上角 b、 o c， 他 俩互为补角，也就是他俩相加等于一百八十度，最后等于九十度。相等的角是可以替换的，所以角 a o d 和角 b o e。 角 a o d 和角 c o e。 角 c o d 和角 b o e 也互为于角。好了，这节课就到这里了，我们下节课再见。

朋友们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学七页上册第六张几何图形，初步六点一点一立体图形的三式图和我们的展开图，我们来看一下我们这节课的一个学习目标， 那我们这节课的一个主要学习目标呢，就是要了解我们的立体图形与我们平面图形之间的联系，能够画出简单的立体图形的不同的 方向看到的平面图，也就是我们的三式图。然后呢能够把我们的例图的图形进行展开，以及了解他们的展开图，通过呢展开与折叠，了解我们的棱柱、棱锥，圆柱圆锥的他们的展开图呀，还有我们的一些正方体的一个展开图， 那这是我们的一个学习目标。我们来看一下一首诗题惜林壁苏轼，相信大家呢已经会背了，我们中有一 句话，也就是说我们这句话横看成零侧成风，那我们来看一下这句话蕴涵了一个什么样的一个数学道理呢？是不是你在不同的方向看到的我们的山是不一样的，横着看是零啊，侧着看的是风， 那我们来看一下，如果说我们来看我们立体图形，从不同的方面看，是不是也有不同的平面图形呀？同 同样的，我们来看一下他们两个争执，一个说是九九九，一个说是六六六，那到底是九和六呢？其实他不是九，也不是六，那要看你在哪个方向看，是不是你从不同的方方向看呢？所得到的答案是不一样的，所以说呢，我们立体图形也是啊，我们来看一下， 当我们对于我们的立体图形呢，我们如何来把它转化成我们的平面图形来处理呢？比如说下面左图呢，是一个弓箭的立体图，我们来看一下， 如果说我们从我们正面来看，是不是这样的一个图形，那想一下，如果说从左边来看，是不是这样，好，中间的这一横杠呢？大家知道应该是这一杠。 再来看，那如果说从上面来看，大家应该也会看，是吧？应该是我们这样这个横杠呢是他，所以说我们从不同的面呢，可以看到不同的形状，并且呢是不是把我们的立体图形转化成平面图了，大家应该能够体会到啊？ 再来看一下我们的长方体，比较常见，我们来看一下从我们的正面，左面和上面，是不是我们从正面、左面和上面看到的图形都不一样？ 再来看一下我们的常见的一个圆柱，圆锥和球，从正面来看，它是一个长方形，从左面来看是不是一模一样，好，那从上面来看呢，是我们的圆，同样的我们圆锥，对吧？我们圆锥，好，它是 三角形，三角形以及我们的一个圆，中间加一个点，这个点呢就是我们的这个顶点，对吧？好，那我们的球呢，是不是三个都是一样的圆呀？ 再来看一下，那我们来观察一下我们的三棱柱和我们的四棱锥，同样的，我们能得到什么样的一个图形呢？是不是你也能够会画，以及我们的从正面看应该是三角形，从左边看中间有一条棱，对吧？ 再来看一下我们的四棱锥，好，从正面和侧面是一样的，从上面看大家要会画啊，中间的要交叉。 好，下面呢？右面有三幅图，分别从哪个方向来看到的？我们？棱锥啊？好，第一个应该是从上面，第二个呢，从正面，第三个呢？从左面 再来看一下。当我们通过呢组合体，就是有多个小正方形来组合成一个立体图形，那我们此时来画我们的图，从正面、左面和上面，所以说我们三式图就是从正面、左面和上面。哎，有的同学说，那我从右面行吗？ 不行，因为我们规定了啊，正面、左面和上面所观察的这三个不同的视角呢，就是我们的三式图，所以说这是我们数学中的规定，那我们依照规定来看就行了。首先我们来看，从正面来看，是不是？ 呃，从正面来看，竖着是两个，然后横着呢，是我们的四个，对吧？好，从左面来看，竖着是两个，然后这里还有两个，以及从上面来看，这样，这样，这样，对吧？ 好，再来看，如图呢，是有若干个小正方形搭成的，我们的几何体也是啊，从我们三式图，也就是从正面、左面和上面来看，大家要会画，来，我们一起来画一下。首先我们从正面来看，是不是一二三四有四个？是不是这样？ 以及我们从左面来看，一二三，竖着两个，横着两个，从上面来看，以及 是我们的四个，对吧？横着三个，竖着两个。好，再来看一下。所以说呢，我们从不同的方向呢，能够得到不同的形状，同样的，我们再来看一下。这个， 从正面来看，以及从左面来看，以及从上面来看，相信大家都能够画出来，对吧？好，再来看，从不同的图形来观察，从不同的方向来观察一下我们下面这两个，第一个正面是不是竖着 左边呢？是竖着两个，然后上面呢是横着两个，那我们这个呢？这个应该是一个类似于那个山字上，左边呢就是一个田字，以及上面的是一个，这样，对吧？ 好，那大家快速的来画一下，上面应该是比较好画的吧？正面一二三，竖着画三个，然后这边画一个，上面呢一个两个三，然后再横着画一个，是不是就是这样来画？ 讲台上呢放了一本书，数学书，书面上呢放了一本粉笔盒，若看到的组合图形，从上面看到的是这样，那你想一下从左边看到的是哪一个呀？ 是不是从左边，也就是从这边观察，那从这边观察，你看他在哪呢？是不是选 a 呀？ b 呢是靠近了这边， c 呢是靠近了这边，同样的 d 都是这里了，所以说我们正确答案应该选 a。 再来看，画出我们平面图形的三式图，也就是正面、上面和下面，相信大家应该都会画，注意啊，我们讲强调一个点，不要把这个点漏掉了，因为你中间看到的是有一个点的。好， 再来说一说，我们的下面的三个图是分别从我们平面图，三个图是从我们立体从哪几个方面来看的呢？第一个是从哪个呀？是不是从正面好？第二个呢，是不是从我们的上面以及第三个从我们的左面来看到的，对吧？ 再来看，分别从正面上面和下面有一个若干的正方形来组成，我们来看一下，那我们来搭一下什么呀？搭一下正面的 横着三个，中间有一个，好，我们再来看左边呢，是不是要再凸出来一个，以及我们的上面是不是就是这样了？所以说我们是不是能够搭出来呀？ 同样的，我们来看一下，当我们已经明白了，我们立体图形从三个方面，三个面来看，是不是有三种形状？那我们来想一下，如何我们沿着它的棱把我们的图像给它剪开之后，它是一个呢？我们来看一下我们的正方题啊，当我们沿着它的十二条棱， 也不是说十二条，就是说我们沿着一些棱把它展开展开之后呢？是不是就是这样的一种形状呀？ 是不是我你所减的不同的棱所构成的形状也是不一样的？所以说我们来看一下，是不是我们正方体的展开图一共有多少种呢？一共有十一种， 那我们来看，有的同学在小学其实已经背过了，已经背过了我们的一些口诀，那我们今天再来带大家背一下啊，就当复习了。好，我们来看一下， 那我们知道啊，如果说是一四一的话，你会发现呢？我们这里的一啊，上下一都能移动，是吧？无论是你是怎么移动都是可以的，但是像这种的话，如果说你上上面有两个， 然后横着是四个，肯定是不行的，所以说我们有六个啊，也就是这样的，同样的，我们来看一下一三二，这样，这样也行，对吧？这样，那这样肯定是不行了，他们放在一块了，所以说这种也是不一样的。 好，同样的，我们再来看一下，我们的二二二，以及我们的三三，是不是就是这样排列的？好，所以说我们正方体相对两个面呢，有什么样的一个特点呢？就是说我们对面和对面有什么样的特点呢？我们来总结一下啊， 我们相对的面呢，肯定是不相邻的，比如说你看他们说用蓝色所标或者是红色所标以及黄色所标， 他们都是对面都是不相邻的，你观察并且呢左右相隔一列是不？左右都会隔一列，同样的我们上下要隔一行， 那所以说我们在找我们对面的时候要注意啊，上下隔一行，左右隔一列，拿我们这个黄的来说吧，你会发现左右是不是隔，呃，上下是不是隔一行呀？那左右呃这个就不隔了，对吧？好， 所以说我们要总结一下啊，来再来看一下，那我们的口诀呢？是这样的，我相信大家都背过啊，如果说没背过的话，我们再背一个，再背一遍啊，一四一六种是吧？二三一三种呢？二二与三三各一种，大家要会背以及会认识， 那我们背过有什么样的用处呢？哦，在最后强调一点，我们的凹字和填字是不行的，也就是我们如果说四个放在一起，或者是呢，我们四个呃，把它放成一个凹字也是不行的，大家要注意。 那这样的话有什么样的一个考试题型呢？我们来看一下下面不是我们正方体的展开图示，是不是很明显是 c， 这个不用说了是吧？ 好，再来看一下，我们来看如何让你去画出我们正方体的一个平面展开图呢？是不是你能画好多个呀？比如说第一个应该是对的，第二个呢？对的吧，第三个是不对的，是吧？没有这种的好。第四个二二二对的， 我们一三二也是对的，同样的他是一四也是对的。好，再来看一下树在下，树就在后，那胜和力在哪呢？那你想一下，是不是我们的胜和胜在上，力就在前呀？ 一个多面体的展开图呢？在同一条直线上的相邻的三个线框中，首尾两个连线是我们的立体图形的相对的两个面，大家要记住啊。再来看一下我们的长方体和我们的圆柱的一个侧面展开图，我们能够是否能够想象他们都是哪些图形的一个展开图呢？ 比如说我们来看一下他，如果说从正面来看，能得到什么呢？是不是得到 a 呀？同样的我们来看，从上面来看，能够得到三角形的是哪一个 a？ 好， 这节课呢，我们主要学习了什么呢？是不是学习了我们立体图形的一个展开图和我们的三十图呀？常见的立体图形，比如说我们的长方形三棱柱，三棱锥以及我们的三棱 椎和三棱柱，正方体以及圆柱，它们的展开图呢？大家要能够区分能够画出来。那我们这节课呢，就讲到这里，我们下节课再见。

结构提出问题，如何利用一张正多边形硬纸片制成一个无底的金字塔模型？在正多边形中，各点距离相等的点是正多边形的中心， 如图点 o 是 正 n 边形，纸片的中心沿虚线剪开，分割成多个三角形形状一样的大小， 组成一个无底金字塔，此时正 n 边形的中心变成了金字塔的顶点。来看这道题，第一道题补充， 三角形、正方形、正五边形面积均为一百八，就是这三个图形面积都是一百八。 我们来看这里，这个怎么填呢？ p o q 的 度数。 p o q 是 哪里？ p o q 是 这里， 就是我们可以发现这个，这个角加上这个角就是一个小三角形，加上一个平行四边形的两个角，我会发现这里同样有一组，所以这有，所以这这有三组，所以就是三百六十除以三， 三百六十除以三，一百二。那这边呢？这是四边形，就有四组，是一个三百六十除以四，等于九十度啊， 每个侧边的面积二十十五，这怎么出来的呢？ 这个的话， 前面三百六十 是 n 边形，我们主要是看这个二十，跟这个 n 有 什么关系？二十乘三，二十乘三 六十，六十再乘三八十，十五乘四，六十，是不是再乘四？对 试一下这个三，因为他是因为他这里，这里是三等分，那我们应该我们乘个三十，这个 三乘三九二九，一百八十度。四乘三，三四十二十二，又乘十五， 一百八十度，哦，那就是 n 乘三，再乘着下面这个度数， 那等于等于一百八十嘛，那就是这里面积面积它是一百八十，所以是一百八十，一百八十除以 五乘三十二，所以这应该填十二 面积为 s， p、 o， q 的 度数。 q 这个度数跟面积没有关系，所以这还是这个就是三百六十除以 n 码 面积。面积我们刚刚算出来，这是一百八，一百八除以三 n， 那 面积变成了 s， 那 就是三 n 分 之 s。 若想拼出每个侧面面积均为五十 cm 方的无底金字塔模型，要用正八边形纸片， 那每个侧面这上面我们已经求出了公式，每个侧面的面积为三分之 s， 那 我们知道三 n 分 之 s 就 等于这里的五十 cm， 那 五十 cm 有 什么不是？那这是一个正八边形，所以视频把它分成八分，所以要三百二十四。 二十四分之 s 等于五十，那么可以求得 s 等于一千二。

七年级上册期末考试有一个重点专题就是角的计算，那这个角的计算呢？它其实是有八大题型的啊，你比如说角的概念 中面角三角板中的角度计算，几何图形中的角度计算，还有角的四则运算，角平分线有关的计算，与角补角，还有同角和等角的与角合补角这八大题型，那么每一道题呢？都有详细的答案解析回复角的计算哪去练习？

这是七年级上学期必考的几何图形动点问题，我们一起来看一下。甲乙两动点分别从正方形 a、 b、 c、 d 的 顶点 a、 c 沿着正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙呢，按照逆时针方向环形，乙的速度是甲的速度的三倍， 并且呢，他们第一次相遇是在 a d 边上，请问他们第二零二五次相遇是在哪条边上？那很多同学啊，看到这样的题目呀，就一筹莫展了 啊，我们来看一下这个题的切入点到底在哪？那这个题的切入点呢，就在这乙的速度是甲的速度的三倍，那我们来想一想，甲和乙他们的运动时间是一样的吧，他们的速度如果说是三倍的一个关系，那是不是也说明他们走的路程 也是三倍的关系啊？那我们首先我们可以得出来一个式子，就是 s e 啊，比上 s 甲，它等于三比一的关系。那我们再来想， 如果说我们将这个正方形的边长呀，我们设为 a， 那 他们在第一次相遇的时候，我们想他是不是从 a 到 c， 他 们走的路程之合，是不就应该是他这两个正方形的边长之合呀？ 那也就是他总共走的路程是不是二 a， 我 们先算一下甲的路程，他等于二 a， 那 然后甲的话他是占了整个路程的四分之一，所以说他占了四分之一 啊，那所以说我们是不是可以去计算出来甲的一个路程呀，那就是等于二分之一，那也就是说他们在哪相遇了，相当于甲才走了这个正方形的边长的一半的一个路程，他们就相遇了，我说那这就是第一次相遇 那个点。好，那我们再接着往后看，他们在第二次相遇的话，应该是一个什么情况呢？你想乙从这那是不是就往左走了呀？ 好，甲的话是不是从这继续往右走？那他们在下一次相遇的话，他们要经过的一个路程，那就应该是这个正方形四个边长的一个核了。哎，于是这个正方形一周的核了他的总的一个路程，那你想那甲在其中是不是还是占了四分之一啊？那所以说，哎，他再乘以四分之一 也是假呀。在第一次相遇之后，他走的走路程一共是 a， 那 我们现在来看，他原来相遇点是在这，那他走了 a 这个路程，那是不是应该到这了呀？啊，那也就是说咱们走到了 c、 d 的 终点去了，那这就是第二个情况，那很多思维敏捷的同学已经找到这个规律了，那第三次是不是应该在 b c 的 终点？ 第四次是不是应该在 b a 的 终点？再一次，这不又回到了 a、 d 的 终点啊？那所以说这就是一个循环。那现在这样去求第二零二五次它们相遇在哪条边上，我们是不是就用二零二五 去除以四，我们看着它余几就行了呀？我很明显发现它应该是等于五零六余着一， 那所以说于这一，那就应该是在哪条边上，那应该就是在这个 a d 边上，那也就是他第一次然后相遇的那个点。好，那所以说我们应该是选 a d 啊，也就是 a 选项，那你学会了吗？点关注田老师，带你学习更多的数学解题方法。

各位同学大家好，很高兴能和大家一起进行几何图形的学习。 请同学们观察下列图形，想一想从他们的外形中分别可以抽象出什么立体图形？我们逐一来看。 书可以抽象成长方体，魔方可以抽象成正方体，圆罐可以抽象成圆柱，冰淇淋可以抽象成圆锥， 篮球可以抽象成球，茶叶罐可以抽象成六棱柱，金字塔可以抽象成四棱锥， 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体简称体。 请大家观察这些几何体，再联想上一节课展开图的知识，想一想，包围着体的是面、是线还是点？ 不难得出结论，包围着体的是面。接着观察这些几何体，并指出他们分别有几个面。可以看到四棱锥 有四个侧面，每一个面都是三角形，有一个底面，底面是四边形，这样四棱锥共有五个面，而且这五个面都是平的面。 圆柱有一个侧面，侧面是弯曲的面，有两个底面，底面是圆，是平的面，这样圆柱共有三个面。 圆锥有一个侧面，侧面是弯曲的面，有一个底面，底面是圆，是平的面，这样圆锥共有两个面。 最后看球，球只有一个面，而且是弯曲的面。我们接着看下面的问题，这些面有区别吗？ 通过刚才的分析，能够看到围成这些几何体的面是有区别的，有平的面，有弯曲的面，所以面是有区别的，可以分为平面和曲面。 而在数学中，平面一词具有特定的含义，它是无限延展的，围成体的面只是平面或曲面的一部分。 通过前面的学习，同学们已经对平面和曲面有了初步的了解，下面我们来归纳一下 前面出现过的这些几何体的面，哪些是平面，哪些是曲面？长方体有六个面，每个面都是平面。 正方体也有六个面，也都是平面。圆柱有两个底面，底面是圆，是平面，有一个侧面，侧面是曲面。 圆锥有一个底面是平面，有一个侧面是曲面。 球面是曲面。六棱柱有六 侧面，每个面都是平面，有两个底面，底面是平面，所以围成六棱柱的各个面都是平面。四棱锥的四个侧面和底面都是平面。 请大家观察我们的教室和周围环境，你还能举出一些实际生活中面的例子，并指出哪些面是平面，哪些面是曲面吗？ 有的同学说，浇花用的湖面是曲面，教室里黑板和桌面是平面，国家大剧院是 曲面建筑，我们平时用的碗是曲面的。当然，生活中还有很多这样的例子， 请大家再观察这些几何体，回答下列问题，一、面与面相交的地方形成了什么？他们有什么不同？ 通过前面的学习，我们已经对面有了一定的认识。进一步能够看到， 长方体的前面和上面相交形成的是直线， 圆柱的侧面和底面相交形成的是圆，圆是曲线。 圆锥的侧面和底面相交形成的也是圆，是曲线。综合这三种几何体，我们可以得到面与面相交的地方形成线，线分为直线和曲线。 在此基础上，我们继续思考线与线相交的地方形成了什么？他们有什么不同？可以看到，长方体两条棱相交的地方是点 圆锥侧面的两条线相交形成的也是点，因此我们可以得到线与 线相交的地方是点。这里请同学们注意，点只代表位置，没有大小，所以点都是相同的。 点和线都是构成图形的重要元素。同学们想一想，你能举出生活中符合线点形象的例子吗？ 生活中很多的景象都能给我们以线的形象，比如从高空中看到的沙漠里的公路给我们以曲线的形象， 彩色花田的田埂给我们以直线的形象。同样，生活中还有很多给我 我们以点形象的例子，比如地图上的每个城市及夜空中闪亮的星星，这些都给我们以点的形象。大家要多想一想，也可以和身边的同学交流一下你的想法。 接下来请大家观察电视屏幕上的画面、大型团体操的背景图案，从几何的角度想一想，他们有什么共同的特点？ 你能发现构成图形的基本元素是什么吗？电视屏幕上的画面、大型团体操的背景图案都可以看作由点组成的， 所以构成图形的基本元素是点，图形可以看作由满足某种条件的点组成的。 我们还可以再举出这样的例子，比如庆祝节日时，不同颜色的鲜花组成的美丽图案。符合这一观点， 一块块小瓷砖镶嵌成的美丽图案、十字绣图案等。在现实生活中还有很多这样的例子， 接下来我们归纳一下前面学过的结论。包围着体的是面，面可以分为平面和曲面， 面与面相交的地方形成线，线分为直线和曲线， 线与线相交的地方是点，所以图形的构成元素包括点、线、面、体。 为了巩固前面学过的内容，我们以六棱柱为例，再来体会一下点、线、面、体之间的关系。观察六棱柱，它有几个面， 面与面相交的地方形成几条棱，棱与棱相交成几个点， 我们一起来数，六棱柱有六个侧面，再加上两个底面，这样他一共有八个面。 面与面相交的地方形成侧面有六条棱，上下底面分别各有六条棱，这样加在一起共十八条棱。 棱与棱相交形成上下底面分别各六个点，加在一起共十二个点。 我们知道物体运动会形成运动轨迹，如果 把笔尖看成一个点，这个点在纸上运动时会形成什么图形呢？同学们可以动手画一画， 相信大家心中已经有了结论。如果把笔尖看成一个点，这个点在纸上运动时会形成线。这一结论可以简单概括为点动成线。 我们还可以举出生活中能够说明这一结论的例子，比如 国庆七十周年阅兵典礼，飞机尾部喷射出来的彩色烟雾，给我们以现的形象， 连成线的雨滴，绽放的烟花，这些都是点动呈现的例子。接着看下面的问题， 把汽车雨刷看成一条线，从几何的角度观察他在挡风玻璃上摆动的现象，可以得出什么结论？ 我们可以把雨刷看成线，雨刷动即线动形成扇形，扇形是面。这一结论可以简单概括为线动成面。 同学们想一想，生活中还有哪些线动成面的例子呢？我们 把折扇打开，拉上窗帘，舞动双截棍，用镰刀收割庄稼，这些都是线动成面的例子。线动可以形成平面，也可以形成曲面。 前面的学习我们知道了，点动成线，线动成面，那大家想一想，当面运动时又会形成什么图形呢？ 不妨把我们手中的课本看做平面绕着他的一边旋转一周，想象一下会形成什么图形， 可以看到长方形绕着它的一边旋转一周，会形成圆柱。接下来，同学们可以再用你手中的三角板试一试， 把三角板绕着一条直角边旋转一周，想象一下会形成什么图形。 可以看到直角三角形绕着他的直角边旋转一周，可以形成圆锥。圆柱和圆锥都是体，这些过程可以简 单概括为面动成体。为了巩固前面学习过的内容，我们一起来看下面的练习。 一、夜晚，流星划过天空时，留下一道明亮的光线，用数学知识解释为什么 流星可以看作一个点，它划过天空形成线，用数学知识解释为点动成线，所以选择 a。 二、车轮上的浮条旋转起来，形成一个圆面，用数学知识解释为什么 浮条可以看成线。浮条动，即线动形成圆面，用数学知识可以解释为线动成面，所以选择 b。 三、下列现象能说明面动成体的是哪一个？ a、 天空划过一道流星，前面已经讲过，这一现象能说明点动呈现。 b、 旋转一扇门，门在空中运动的痕迹，我们可以把门看成一个长方形， 绕着一边旋转，在空中留下的痕迹能说明面动成体。 c、 抛出一块小石子，石子在空中运行的路线， 我们可以把小石子看成点，他在空中运动呈现，能说明点动呈现。 d。 汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面， 前面已经讲过这一现象，能说明线动成面， 所以下列现象中能说明面动成体的应该是 b。 四、将下面的平面图形绕直线 l 旋转一周，得到的立体图形是哪一个？ 前面的学习我们知道，长方形绕一条边旋转一周，可以形成圆柱。直角三角形绕一直角边旋转一周，形成圆锥。 图中这个平面图形可以把它分成长方形加一个直角三角形， 这样它绕直线 l 旋转一周，得到的立体图形就应该是由一个圆柱和 一个圆锥组合在一起，且圆柱应该在上，圆锥应该在下，所以图中的平面图形绕直线 l 旋转一周，得到的立体图形就应该是 d。 五、如图，第一行的平面图形绕轴旋转一周，可以得到第二行的立体图形。八、有对应关系的平面图形与立体图形连接起来。 我们先看第一个平面图形，这是一个半圆。同学们想象一下，半圆 绕着轴旋转一周，会形成什么立体图形呢？没错，应该是求与 b 图连上。 第二个图是半圆的一半，那它旋转之后形成的立体图形就应该是球的一半，也就是半球，所以应该与 a 图连上。 第三个平面图形是梯形，它与第四个图很像， 同学们要认真分析这两个图，找出共同点和差别。他们的上下两边都是垂直于轴的，旋转 之后会形成水平的面。第四个图侧边是曲线，且中部凹进去一些，这样他旋转之后得到的立体图形也应该有这个特点， 所以它旋转之后得到的立体图形应该是 c。 梯形的梯形的腰是直线，它旋转之后得到的立体图形就应该是 d。 下面小结一下这节课的内容。本节课我们知道了几何图形是由点、线、 面、体构成的，点是构成图形的基本元素。其次我们知道了他们之间的关系， 包围着体的是面，面与面相交形成线， 线与线相交形成点，点动成线，线动成面， 面动成体。点线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形， 形成多姿多彩的图形世界。今天的课就上到这里，同学们再见！

七上数学最难的八大几何图形，年年压，年年重。七上数学几何图形八大题型，总结题型一，线段中的动点问题。题型二，利用线段的条数解决实际问题。梯形三，直线、射线线段的规律，探讨 梯形四，线段的和差的实际应用。梯形五，三角板中的角度探讨。完整可分享。

来，各位家长啊，黑板上的这道角的计算看似非常简单，但是呢，好多同学呢，都不得分儿，这是为什么呢？你看， 已知角 a o b 等于七十度，以 o 为端点作射线 o c， 那 么使角 a o c 等于四十二度，则角 b o c 的 度数为多少？ 嗯，这道题呢，其实他是不难的，但是呢，他是牵涉到什么呢？有题无图，所以就非常容易出错啊。大家说，有题无图的情况下，我们一定要注意什么样的一个原则，那么就是分类讨论， 对吧？啊，如果它的图形给你了，那你确定呢？你照着它的图形去分析就可以了，但是呢，它没有图，那你画的时候，你就要特别小心，比如说角 aob， 那 么 等于多少呢？等于七十度，是吧？以 o 为端点做射线 oc， 使角 aoc 等于四十二度，大家你想一想啊，比如说我们这里面呢，有一个啊，这样的两个角吧，嗯，这一个角 也是 a o b 啊， a o b。 呃，那么我们在画这个 o c 的 时候，你要特别注意，因为我们这个角分角的内部和角的外部，你这个射线 o c 呢，到底在角的内部还是角的外部呢？是不是？所以我们要分两种情况讨论，那么第一个呢，如果它在角的内部， 嗯，比如说做射线 o c， 对 吧？嗯，这是这个呢，是四十二度，而这个呢，总的是七十度，七十减四十二，那所以这个 b o c 就是 多少呢？就是二十八度就可以了。 那如果说我们这个啊， o c 这个在这个三角形 a o b 的 外部的话呢，那我们也可以画一个，这是 o c， a o c 是 四十二度，那本身这个角呢，是七十度， 那很明显，这时候这个角 b、 o、 c 的 度数，那就是四十二度加七十度，等于一百一十二度。那所以我们这道题呢，应该有两个答案，那么一个答案呢？ b、 o、 c 是 二十八度，或 第二个答案呢？是一百一十二度。大家记住这个原则啊，有题无图，分类讨论，那你就不会出错了，有关这个角的计算呢，他有八大题型专题资料呢，已经给咱准备好了回复角的计算，拿去练习。

七、上数学最难的几何图形二十八大易错母题全部吃透，考试没有丢分的二、五星。七、上几何图形初步二十八大易错题靶向突破，精选历年期末常见易错真题一、常见几何题二、组合几何题的构成。 三、几何体中的点棱面。四、三、四图五、几何体展开图问题六、展开图计算几何体的表面几何体积。 十、直线、射线、线段的联系与区别。十八角的四则运算。十九、方向角相关的计算。二十八、角度中的动角、定角角关系折叠等问题。这个是重难点，有完整版。

这节课我们学从不同方向看立体图形。苏轼在提西林壁中有提到，横看成岭侧成峰，远近高低各不同。同一座山，从正面看是连绵的山岭，从侧面看却是陡峭的山峰。 我们看立体图形也是一样的，你从前面看，从左面看，从上面看，看到的往往都是不一样的。在建筑工程设计中，设计师们也常用这种方法，他们会画出从正面、左面上面看到的平面图， 来表示一个立体的建筑或零件，这样工人们就能够准确的理解它的样子。 我们一起来看一个具体的例子，如图所示，这是一个由九个大小相同的正方体组成的立体图形，请分别从前面、从左面、从上面观察这个图形，我们看到的平面图形分别是怎样的呢？ 先看从前面看，这时候我们只能看到正对着我们的面，也就是这几个面。我们先画出一号图形，然后看一下二号图形在一号图形的下面，那三号图形在二号图形的右面， 四号图形在三号图形的右面。再看一下五号图形，它和四号图形在同一层，在四号图形的右面， 六号图形紧挨着，五号图形在他的右面，所以从前面看，我们看到的是这样子的。我们再看一下从左面看能看到什么平面图形， 从左面看，我们可以看到这几个面。我们还是先画一号面，那二号面还是在一号面的下边，那三号面呢？他和二号在同一层，在二号的右边，四号在三号的右边，所以从左面看，就是这样一个图形。 我们再从上面看一下，看看能得到什么样的平面图形。此时我们看到的是这几个面，先是一号，然后二号在一号的右边，三号在二号的右边，四号在三号的右边，五号在四号的下边，六号在五号的右边， 七号在五号的下边，八号在七号的右边，所以从上面看就是这样一个图形。我们再练习一个如图，是由若干小正方体搭成的几何体，我们分别从前面看，从左面看，从上面看 得到的平面图形分别是怎么样的呢？我们先从前面看，看到的是这几个面。我们先看一下一号和二号的关系，一号在二号的上面，那三号跟二号的关系是他们俩在同一层，所以三号在二号的右边，四号在三号的右边， 所以从前面看整体图形是这样的，我们再从左边看一下，从左边看，我们能看到的是这几个面，二号还是在一号的下边，三号挨着，二号在二号的右边，所以从左边看就是这个图形。 我们再从上面往下看一下，此时我们看到的是这几面，此时一号和二号在同一个垂直线上，所以从上面看是这样一个图形。 从不同方向看立体图形的时候，他可以分为这几步。第一步，定方位，也就是我们需要明确观察的方向，是从上还是从下，从左还是从右，从前还是从后。 第二步，找平面，也就是要找到当视线垂直对准时能看到的面。第三部，数层列这块，我们可以分行或者分列，然后确定他的位置在哪一行，在哪一列。第四步，画轮廓，按照刚才找到的位置画出我们能看到的 这里，一定要记住，被遮挡的绝对不化。好了，这节课就到这里了，我们下节课再见。

这节课我们看一下正方体的相对面问题。正方体有六个面，展开后是六个正方形组成的图形，其中每个面都与四个面相邻，与一个面相对。那么我们怎么判断两个面是不是相对面呢？ 大家记住这个口诀，相间最端是对面，什么意思呢？先看这个图形，相间就是同一行或同一列中两个正方形之间隔一个正方形，那这两个面他就是相对面。再看这三个图形， 最端就是能找到一个最字形的连线，而这个最字的起点和终点的两个正方形，他就是相对面。 我们看几个历年的考题，如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个汉字，则在原正方体中与弱字相对的面上的汉字是。我们先使用相间法，先看同一行，同一行只有他自己，所以没有相对面。 再看同一列同一列，只有这两个字，也没有相隔一个的正方形。我们再使用 z 字端法。首先 z 字可以是这样横竖横，也可以是这样的横竖横，还可以是竖横竖，或是这样的竖横竖。 图形中刚好有一个以弱开始的 z 字形，重点刚好对应的是这个字，所以这个题选择 b。 再来看这个题，如下图，若要使图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数互为相反数，则 x 减 y 等于多少？ 在这个图中， x 和一形成了一个 z 字端，所以 x 就 等于一的相反数。负一三和 y 形成了一个 z 字端，所以 y 等于负三。最后 x 减 y 就 等于二。相间 z 端是对面的方法，你学会了吗？

好，大家好，我们来看一下这道找规律的题目， 如图一个鸡蛋饼表面可以看成是一个圆面，每一刀可以看成是一条直线，那问题切切到最多 可以将它分成多少块？我们来看一下，切一刀可以分成两块，切两刀的话最多就是四块， 那切三刀的话，大家来看一下，我们来数一下，一二三四五六七，可以七块，那切四刀的话，我们来看一下，我们也来换一下，也就是尽量的 多点香蕉， 这样子，我们可以数数一下一共有多少块，那这个是一二三四五六七八，呃，九十 九十，数了吗？ 十一，呃，就是十一，可以切成十一块。我们来看他们的规律，多二多三，那多四是十一， 那切五刀的话，那这边是多五是十六，那切六刀的话，那就是多六。二十二，那切七刀的话，那就是再多七，所以应该是二十九， 所以最多可以将它分成二十九块。感谢大家的收听。