高一三角函数和差化积练习题

帅加帅等于帅哥，帅减帅等于哥，帅哥加哥等于哥哥哥减哥等于富嫂嫂。

和差画机公式多想想三十秒速记这类题型 来看这道题， sine alpha 加 sine alpha 加三分之 pi 等于什么？很明显咱们要用到和差画机的公式对不对？我不会背，怎么办呢？来，我们上魔法，我们的魔法躲密躲密。你小图一画，我的答案直接出来是根号二倍的 sine alpha 加 六分之派。怎么做的？别急，我们来看一下这两个相加啊。我可以把 sine alpha 和 sine alpha 加三分之派。是不是可以看做两个项链，两个项链之合不就可以找到它的对角线，那我们就能求结了。 sine alpha 呢，就是咱们平着的这条项链啊。 sine alpha 加三分之派呢，其实就是把这个项链给他旋转的三分之派个角度。 角度咱知道了，那魔长呢，我们就把它设为一吧，它的对角线是不就是根号二倍的了？那根号二倍对角线平分它这个三分之派的角，所以这个假角是六分之派。那我们直接就写出了它的答案，是根号二倍的 sine alpha 加六分之派。好了，我们下期再见。拜拜。

大家好，今天呢，我们专门来讲一讲高考数学必考的核插画机，还有计划核插公式。我想说的是啊，这个公式呢，其实在老教材上是有的，新教材呢，其实也有，只不过老师们不讲，新教材是以这个习题的形式出现的啊。我们先来看这个核插画机公式，是三角恒等变换里面的， 那么和差化机公式的话，主要指的是什么？和差化机和差化机，那就是你看了啊，等号左边，他要么是三按 off， 三按 beat， 要么是口三按 off， 口三按 beat， 然后呢，要么是两者的 相加，要么是两者相减，这就是和差啊，这就是等号左边不是和就是差啊，正弦余弦的和差，那等号右边呢？乘积啊，二倍的他乘他二倍的扣三乘三，二倍的扣三乘扣三，然后呢，当然最后 我一个特殊意见，他是一个负二倍的，那么我们来看一下怎么证啊？其实你每一个公式啊，这四个公式里头，你只需要把阿尔法看成谁呢？看成 这两者，一个是二分之二分加 bet， 另外一个呢，是二分之二和减 bet， 看成它俩相减就行。 然后呢，他俩相加啊，然后你把这个 bet 看成两者相减就可以，二分之 rf 加 bet， 减去二分之 rr 减 bet， 这样的话就都可以证明了， 比如说咱们前三个证明是完全一样的啊，最后一个呢，其实也一样，只不过他这个负二，有同学在想他是究竟是怎么来的，那我们先来证明一个这个 sun 吧，比如说 sun， 阿尔法那两脚之和，咱们把这两个看成整体哈，两脚之和的正弦展开，那不就 是三二分之他加，他再乘口三二分之他减，他们中间是加号啊，然后呢，口三 二分之二法加贝特，再乘三二分之二法减贝特，这就是这样一个形式了。那么有了三恩之后的话，咱再继续写三恩贝特啊，三恩贝特也一样，跟前头是完全一样的啊， 只不过唯一不一样的地方是什么？是这里这个加号要变成减号啊，其他地方都是长得完全一样的。 好，那根据三角横的变换写出来这个之后，咱们此时这个圈一和圈二两个式子直接相加，你看得什么？结果此时一加二，咱们就得出来了，三按 r 加上三按 bat 等好，右边那不就是二 二倍的三二分之二法加倍的，然后再乘口三二分之二法减倍的，对吧？这是两者相加，那圈一减去圈二呢？那左边的话就是三减去三， 那右边的话，相同的部分消掉了，然后正的减负，咱们负负得正嘛，二倍的口三， 它再乘三二分之 r 减倍的，所以还是非常简单的。那么口算呢？也一样，那口算的话，刚才我们仍然是需要把这个 f 跟刚才同样的处理看成二分之 f 加杯，它和二分之二分减减杯，它两者相加的形式，那此时的话，口散里头是加，外头可是减啊，它会变成口散， 然后口三中间是减号啊，减去三再乘 三，就这样一个样子。那么写完这个形式之后的话，那继续 bat 看成什么呢？看成这两者一个是二分之二二分加倍的，一个是二分之二二分减，被它两者相减的形式 呢？口三贝特的话，其实就变成了你里头是减号吧，外头反而变成加号，其他部分是完全一样的，你看看好了啊，然后呢，口三二分之二分减贝特，中间是加啊， 然后三二分之 r f 加 bat 再乘三，这个地方的话应该是个减号啊，二分之 r f 减 bat。 好了，写完这个形式之后 的话，咱们还是你比如说圈一加上圈二会得怎样的一个结果呀？那显然就是口散 off， 再加上口散贝特，这不就变成了二倍的口散再乘口散了吗？ 然后呢，这两个角你一填二分之二和加倍特，再来一个二分之二和减倍特就行。那一减二，一减二，一定要注意了，左边的话还是非常简单的，扣三 r 减去扣三倍特，但是右边的话，你看负的减去正的，那么就是负的两倍的三， 然后再乘三二分之二分减倍，他清楚了吧？所以呢，大家在记的时候一定要记清楚了，其他呢，其实前头他都是一个二倍，二倍，二倍，但是如果你遇到了口算减 区口算的形式的时候，前头是一个负二位，记住一个特殊的情况就可以了。那么我们继续来看，这是核查话题公式， 其实在教材上人家就是以细节的形式出现的，这不就是让你证明非常简单的核查话题吗？只不过刚才我们是把这个二分之一去掉这个二倍写到右边，二分之一去掉二倍写到右边的，其实完全是一回事，怎么证明呢？ 来，他的意思是给了你一个圆，这个圆呢，很特殊，是标准位置的单位圆，标准位置就是圆心在圆点处哦，圆心就是圆点， 然后呢，半径等于一标准圆，对吧？标准位置的单位圆，单位圆就是半径等于一的意思。那么在这个圆中，根据三角函数的定义，比如说啊，这个点 a 是怎么产生的？是 f 这样一个任意角跟单位圆的交点， 那根据三角函数定义， a 点横坐标就是口三 f， a 点纵坐标就是三 f， 那有 r f 还是必须有 beat 吧， beat 也是个任意角，其中 beat 这个中边呢，它跟这个单位元的焦点是点 b， 那点 b 横坐标就是口三 nbat， 点 b 纵坐标就是三 n beat 杯。 那么根据垂径定理，大家应该知道我的意思吧，因为你毕竟最终是要出现二分之二回家， bat 的 二分之二 r 加贝特是什什么是什么角，那显然正好是位于这个谁， r 和 bet 这两个中间对不对？正好是正中间的位置，平均数就行了。那么既然是个角平分线，角叉，两个角相等吧，或者说两个角圈相等，那根据垂线定理，角平分线肯定也是垂直于 a b 这条线的，清楚我的意思吧，所以的话， 你现在观察一个东西，观察谁呢？哎，嗯，比如说我们正第一个式子的时候，你看二分之三 f 加上二分之 san bat， 我们在图中 san 有实际含义啊，其实这个 san f 就是点 a 的纵坐标， san bat 就是点 b 的纵坐标。哎，我有点清楚什么意思了，点 a 点 b 的终点正好是 m 点吧，这是垂经定理得出来的， 那既然 m 点是终点的话，所以，哦，有点意思了，当你联想到终点公式得出来， 其实这个二分之三啊 f 加上三啊贝特就是点 m 中坐标的时候，你此时此刻自己都应该想到怎么去做辅助线了，所以怎么做辅助线啊？好，做来 我们只需要做 m n 垂直 x 轴交 x 轴于 n 点就可以了，就是这样做的。为什么要做 m n 呢？很简单呀，因为 m n 的长度在图中就是 m 点的动作标。哦，原来是这么回事，那就很简单了， 所以接下来告诉我应该怎么办？很简单，那么我们先表示一下这个 om 的长度哈。 om 的长度还是很简单的，根据垂青定理，首先在这样一个圆里边， 他是等于谁的？哦，他是等于 oa 的长度，再乘口三，这个角很简单吧，那这个角的话，是被他减去阿尔法，那根据垂线定理，他是角平分线吗？那不就是二分之被他减阿尔法吗？好，原来是这么回事啊， 所以接下来就很简单了，口算角 m o a 其实不就是 o a 的长度，就是半径啊，是等于一，然后再乘口算二分之贝特减二分，其实就是图中我标的这样一个角度，对吧？那么根据 什么诱导公式，其实口三负 x 和口三正 x 完全就是一回事，我们方便期间为了保证形式统一，其实口三贝特减 f 和口三 f 减贝特完全一样，就好像口三六十度和口三负六十度完全一是一回事就行。啊，这个理解， 那有了这一部 o m 之后的话，咱们写一写吧，标一个圈，因为一会还要用啊。那有了 o m 之后的话，我们必须落实到这个 m n 的长度，或者说点 m 纵坐标上，应该清楚了吧。次， 此时这个 m n 和 o m 有什么关系啊？大有关系啊，在我所画的这样一个直角三角形中，这个不用多说了，角度呢，肯定是二分之阿尔法加贝特，其实就是角 m o n 的度数， 它呢，是等于斜边 o m 再乘三角 m o n 的 o m 的长度我们已经求出来了，就是扣三 二分之阿尔法减贝特，那这个三呢？哦，这个 m o n m n 好说吧，其实 o m 我已经说过了，它的终边就是阿尔法加倍的再除二，所以我们直接写上三 二分之二分加杯它就行了。所以现在清楚了吧，那现在就很简单了， m n 的长度其实也就是点 m 的纵坐标，根据终点公式，点 m 的纵 坐标等于点 a 加上点 b 的纵坐标，实际上不就是谁，不就是这个三 r f 加上三按 batem。 然后呢，点 m 纵坐标还等于什么？ d n m 纵坐标还等于 m n 的长度。那 m n 的长度我们已经写过了呀，不就正好是三二分之 alpha 加 bet， 再乘口三二分之 al 减 bet， 清楚了吧，那关于第一个公式不就正完了呀，它就是一个和差化计的公式。 那么当你写到这之后的话，有同学就要问了，老师第一个会了，我第二个不会，其实第二个呢，你自己完全按照第一个都能想出来，你想一个问题吗？你考虑一下，你说这个二分之口三 f 加上这个口三 n bet， 它代表什么含义啊？ 这个口三 alpha， 它指的是点 a 的横坐标啊，然后口三 bat， 它指的是点 b 的横坐标啊，根据终点公式。哦， 原来它这个含义代表什么？我这个方方里头这个含义啊，它代表的是点 m 的横坐标的意思，所以做辅助线，你应该知道第二个公式怎么正了吧？第一个公式回正，第二个就回正， 所以我们如果你要正第二个公式就是这个公式的话，你接下来应该做的辅助线是做 m p 垂直外轴，因为你现在研究的是 m 点的横坐标 交于 p， 点清楚了哈，然后剩下的就不多说了，这个呢，就是点 p， 你呢？表示出 m p 来，最后肯定是长这个样子的。 m p 既能表示成这个样子， m p 也代表什么？也代表 m 点的后 坐标，他不就是一回事了吗？清楚了啊，这是教材上的原题。那了解了他的证明之后，现在我们来做一个曾经上海高考的原题吧。这个题假如说你会核查化机公式的话，会变得特别简单。比如说我们先看第一题， 第一题非常简单了，口算口算三三，那其实他就是非常简单的 x 减外两脚之差的余先展开嘛，他就是等于二分之一的。这个咱就不多说了，咱们看第二个式子，这个第二个式子应该怎么去变啊？ 也很简单吧，核查画机吧，核查画机，那就是三二 x， 然后三二 y 变成什么？变得很简单，如果你要套公式的话，那其实就是二倍的三。什么什么 再乘口算什么什么，那三的话，显然是二分之，两者相加，然后口算的话，显然是两者相减，因为你都有除个二倍嘛。除个二的话，那其实就变成了三 x 加 y 了吧，然后除个二的话，就变成 x 减回来了， 等于三分之二，这个方程也太简单了吧，那不就是说二倍的三 x 加 y 再乘这个整体我们已经说过是等于二分之一了，不是刚刚算出来吗？ 哦，所以最终我们就算出来这个三 x 加 y， 原来等于三分之二啊。这个题这么简单，就是这么简单，如果你会核查化计公式，那这个题你了解，那么接下来我们再练一道比高考更难的一道题啊，也是考的核查化计公式。那么我们来看这个 第一个，你已知三 f 加三倍特等于 b， 已知这个口三 f 加口三倍特等于 a， 小 a 小 b 呢，我们当成已知的数字来处理。然后呢，首先问的就是口三 f， 第一问还是非常简单的， 因为你这个口算的话，他可以化成口算阿尔法乘，口算贝特，然后再加上三阿尔法，然后呢，再乘三贝特，我们其实就是瞅等，嗯，凑等号，右边这个形式就行。具体来说怎么凑呢？一 平方一下，我们平方的话就圈一这个式子啊，左两边平方，那其实就变成了三 f， 因为你得出现三二乘三，还有口三乘口三的形式，当然是要平方的，圈一左边平方，左边平方，你看变成了什么？ 其实就变成了三 f 的平方，然后再加上三 bet 的平方，然后再加上二倍的 三 f 乘三 bat， 这是它啊，这是第一个式子，那右边平方不就是等于 b 的平方吗？同理啊，圈上这个式子啊，左两边平方，那就是口三 nf， 口三 n bat， 那平方之后的话，就是口三 f 的平方， 口散 bet 的平方加上二倍的口散 are 乘口散 bet 等于 a 的平方，那现在我们圈三和圈四，其实这两个方程左两面相加就行了呀，你看 圈三圈四来三按方加上口三方，这是不是等于一啊？所以相加以后得一，那三按 beta 的平 方加上口三倍的平方，是不是又是一啊？然后再来一个二倍的，这两者相加吧，那就是，嗯，多少呢？就是口三 f 啊，然后口三 bat， 咱们写上啊，再加上三 and f， 三 and bet 等于 a 方加 b 方。 哎，很简单了，其实你这样一个括号里头，不就相当于谁，不就相当于你要求的这个样子吗？ 口算 f 减贝特吗？对不对？所以最后一处理，我这个口算啊， f 减贝特，他是等于 a 方加 b 方减二再除二的，就是这个样子，清楚了吧？那好， d 问总算是求完了，咱们先把这个 d 问的结果呀，先写到 这个前头啊，它是等于多少呢？它是等于这个二分之 a 方 b 方减二的，很简单，那主要是第二个，第二个我说实话啊，真的确实还是有一定难度的啊，他用了很多三角恒能变换的公式，包括万能公式，那么他是怎么去解的呢？这样来解的？看了哈，首先你看 我们根据核查话题公式来，三按 off， 三按 bat， 它等于什么东西？它是等于二倍的 三乘口三的，对吧？前者呢，是二分之阿尔法加贝特，后边这个角呢，是二分之阿尔法减贝特。哦，原来是这么回事，那么我们先写一个圈一，那第二个式子也是啊，这个口三啊， rf 加上口算贝特，根据核查话题公式，它显然是等于二分之口算 再乘这个口三的，那显然圈一和圈二这两个式子的话，我们是可以做一下比，为啥？因为你也得出现阿尔法加贝特或者二分之阿尔法加贝特吧。所以呢，我们圈一 啊，除圈左两边做一个比值。嗯，然后你看好了啊，他的话，我们圈一实际上是等于 a 的，圈二是等于啊，圈一是等于 b， 圈二是等于 a。 好，那很简单，看二比二消掉了吧，然后呢，口散比上口散也消掉了吧，那其实就变成了散，然后呢，再比上口散 绊脚吧，其实也就是说 tangent 二分之 r 加倍的，它是等于几的？等于 a 分之 b 的呀，那么接下来我们直接根据万能公式啊，万能公式啊，万能公式就是知道 tangent 绊脚能够求三扣三，还有探证的都可以求的，所以我们就求出来了啊，扣三阿尔法加 bat， 你也可以叫做被角公式。也行哈，他就变成了一减去探真的平方吧。嗯，绊脚的平方，然后一再加上探真的 绊脚的平方。那我们代入啊，那分子其实就是一减去 a 方，分之 b 方，然后分母就是一加上 a 方，分之 b 方，那接下来分子分母同时乘 a 方吧，那就变成了 a a 方减 b 方，这是分子分母就是 a 方加 b 方，所以最终结果第二个的式子，请告诉我是多少啊？就是 a 方加 b 方，分之 a 方减 b 方就求完了，这是第二个。第二个呢，确实要用到喝茶化解公式。 那么了解完了和差化积之后的话，你别忘了还要反过来计划和差呢。那计划和差就是说等号左边我都是乘积的形式，但是等号右边呢？除了这个二分之一以外，他还有什么形式？他要么是相加，要么是相减的形式，他的证明都是非常简单的哈， 比如说我们证明一下圈一，他特别简单，如何证明这个圈一呢？你看好了，这个三阿尔法加贝特，显然是等于三阿尔法 乘口散贝特，然后再加上口散阿尔法，再乘多少，然后再乘三贝特，就是这样啊，那两脚之差呢？阿尔法减贝特吧，等号右边，其实除了那个加号变减号之外哈， 其他部分都完全一样，应该清楚吧，这个大家都背的非常熟悉了，那么接下来这两个式子逆相减嘛，异相减得出来了吧？左边的话就是三 f 加贝特减去三 f 减贝特，这就是等号左边。那等号右边呢？ 来看变成了什么？或者说相加啊，相加就是得第一个狮子，那右边相加的话，一正一负消掉了这两者相加，那不就是阿尔卑的三阿尔法，然后在这 成啊，这个口散杯他们那不就结束了呀，第一个就整完了是不是？然后你在记忆过程中的话，也需要注意一点，特别注意一点，你前头这三个的话，他都是二分之一，但如果出现了三 f 三贝特两个相同，那后边就是余弦了，那么他前头的系数是负的二分之一，这个做一下区分就行。他的证明都很简单，大家自己都会证，从右往左证明，对吧？先看等号右边拆开肯定可以凑出等号左边来的。 那么了解了这个公式，记忆了这个公式之后，他有什么用处呢？我们看一道北京高考曾经的例题，那现在看好了啊，我们不是刚刚学完了这个计划和差吗？两倍的口三 x， 然后乘三 y， 他其实就是等于 三 x 加 y， 再减去三 x 减 y 的。那当我们了解这点之后的话，所以说咱们先画这个分子嘛，分子的话其实就是多少？就是这个二倍的 口三 f， 然后再乘三三十度，三三十度就是二分之一啊，他不就相当于三 f 加上这个三十度，再减去三 f 减去这个三十度吗？对吧？原来分子是等于这个东西的，所以说 当你分子画成这个样子，画成这个样子之后，那我们分子就开可以写二乘口三，再乘三三十度啊，然后分母在比上口三口三，一比不就没了吗？就变成了二乘三三十度了，那么就是二乘二分 之一啊，这个都会了吧，横线上原来填一呢，就这么简单。假如说你会核查话题计划，核查公式，这个题特别简单，那继续来看这个例四，例四的话，难呢？咱们直接变形其实就可以了。我们这个口算 多少啊？口散 r 加 bat， 还有乘上这个口散 r 减 bat， 它是可以变形的。变形成为什么样子呢？首先咱们看好了啊，它的话根据 计划和差，计划和差公式，你要注意了哈，口算 x 乘口算 y， 它原始公式是等于二分之一，口算 x 加 y， 两者相加，再减去，再 来一个口算 x 减位中间是个加号吧。那我们直接套公式就可以啊，那直接套公式的话来等号，右边不就是二分之一口算 谁加谁啊？口三 f 加他，哎，画圈这两部分一相加，这不就是二倍的 f 吗？对吧？继续再加上 口算 x 减 y 哦。 x 减 y， 这不就括号减括号吗？括号减括号，原来是等于二倍的 bate， 原来是这么回事啊， 当你了解了计划和差这个公式之后，这道题变得就异常简单了。那接下来如何出现平方呢？很简单呀，被角公式啊，被角公式，或者说生命公式，那就变成了。嗯，这个是二倍的口散，而 负的平方减一，后者的话变成一减去二倍的三 b t 的平方。 那么呢，你这个正义负一是可以消掉的，然后这个二分之一再乘，那不就变成了口三 f 的平方，再减去三 n bat 的平方吗？你说等于几？他一开始就说了，还是等于三分之一的呀？ 原来横线上直接写三分之一就行。所以你说这个核查画机计划核查公式好用不好用，应该学会了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下节课再见！

十五秒搞定和插画机和插画机公式怎么记？你会吗？和插画机与极化和插公式是将两个三角函数的和或差与乘积形式相互转化的重要工具。分享一个和插画机的记忆方法。 左边是正余弦的和差式，右边分别是正余弦的和角公式的拆分和式时，右边有二积画和差就是和插画机左右颠倒过来。 现在来看第一题， 分子部分可以拆分出一个三八十度与后面的三按二十度进行和插画机 这个三八十度与抠三五十度无法直接合并。把正弦画成余弦函数名相同时，就可以用和插画机 分子与分母相同直接得到答案。根号三。再看第二题，先处理分母，把三五十度换成 q 三四十度、 q 塞纳十度和 q 三四十度是公是祖的。第三个直接用基化和差拆分 一加 q 三四十度用升降密公式化解， 合并后继续和差化积 分母其实和分子是可以直接消除的， 这样就得到了答案。和插画机公式是三角函数中一次优雅的翻译，它不创造新的结果，却改变了看待问题的维度。掌握它，做一个优秀的洞察者。

正弦加正弦，常规解法式和插画机，但今天教你一招更妙的找出那个隐藏的孪生兄弟，鱼弦减鱼弦，让对偶式法完成一次优雅的双杀。 对偶式法的精髓就是缺什么补什么。当题目给你正弦和，你就构造鱼弦叉，给鱼弦叉就构造正弦叉，这一补补出的是整个等式体系的完美对称。这里是正弦和，所以补鱼弦叉引入参数 m。 这里的郑于贤，一次式需要平方找关系，所以把这两个式子分别平方 再相加，可以消除大部分式子。 相加后，式子中出现了带球式，把带球式放在式子一侧，另一侧是基本的开口向下的二次函数，最大值是四分之一，就得到了答案。 对偶式法教我们，面对看似孤立的式子，要主动构建它的呼应结构。数学之美往往藏在这种自觉的对称里。