求导公式coxx分子sinx

恋爱可以不谈，但高数必须每天都学。今天的每日一题是密指函数求导，这可是导数求导的高频坑点题，直接套公式必错，变形技巧才是关键，有想法的同学赶紧暂停算一算。接下来进入讲解环节。 同学们好，今天我们来做一道密指数求导题，很多同学第一眼看到这道题，想到的就是复合函数求导， 那复合函数怎么求导呢？先设 sine， x 等于 n， 然后套用基本公式， x 的 n 次方的导数等于 n 乘以 x 的 n 减一，所以 x 的 三 x 次方的导数就等于三 x 乘以 x 的 三 x 减一，这样做是完全不对的，为什么呢？因为这个公式是基本 初等函数的求导公式，而我们的 x 的 三 x 次方，它的底数和指数都是变量，属于密指数， 密指数是不等于初等函数的， 所以我们不可以通过基本出纳函数求导公式对它进行求解。那同学就会在想了，平常要么就直接用这个基本出纳函数接求导，要么就是变形，然后符合函数设 t， 设 n 啊什么什么的进行求导。 那现在这种情况，这些方法都不能用的，那我们该怎么办呢？我们可以用对数求导法进行求导。什么是对数求导法？ 首先对数有个性质，比如 line 的 a 的 x 可以 把这个 x 拉下来提到前面，我们同样也可以把这个三引 x 拉下来提到前面，然后帮助我们计算。 哎，我们首先对两边取 line， 左边是 line y， 右边是 line 的 x 的 三引 x， 然后将这个三引 x 提到前面 line x， 然后我们就得到这个公式的，然后我们两边对 x 求导，尝试一下，看能不能求出来，然后我们看左边左边的 line y 的 导数，首先 是这个 line y 导数对 x 求导，它不好求，对吧？所以我们通过列式法则进行求导， 设它对外求导 一个列式， 然后就可以算出来左边这一部分，它就是乱 y 对 外求导，然后利用出的函数求导公式算出等于 y 分 之一，然后右边那就是 y 的 导数，左边求出来了，我们看右边， 右边是三 x 的 无穷 x 求导，然后我们利用乘积法则前导后不导，再加上前不 导后导，然后我们成功对两边对 x 求了个导，然后我们可以得到这个求导后的公式， y 的 导数等于 cos sine x sine x 加上， 然后我们把这个 y 分 之一乘到右边去， 这样我们求出了 y 的 导数。啊。同学看到这里就会疑惑，这里不是还有个 y 没有求完吗？难道我们要把它当做常微分方程继续进行求解吗？ 大家想一想我们该怎么去掉这个 y？ 没错，看题目，题目给了 y 的 结果，我们直接把这个原式回代到我们的公式里面 就可以了，然后带回去是 y 撇儿，等于 三 e x 考三 e x， 洛恩 x， 再加上三三 e x。 好， 这样我们就求完了。 这一题就讲完了，今天的视频就到这里结束了，欢迎大家留言评论投稿，也可以加入粉丝群一起学习，我们明天再见！

注意刷视频暂停，先来三十分钟速成一下高数来看这一页。 哇哦，好多公式呀，是不是又开始打退堂鼓了？你先暂停，仔细看一眼里面的大部分公式，你高中的时候就记住了，你说老师那剩下的也不好背，不好背就去看这个视频，两分钟就能背下来。他们就好比游戏里的技能，你不多记住几个，咋放大招咋做题。 在背过公式的基础上，我们看导数的运算法则也得背过这些式子，我相信你也很眼熟，因为中学咱们都学过。 看题，上面的那些式子，你背下来了直接求导就可以。稍微有点迷惑的就是要记住，下面二分制派是常数，你记住一点，常数的导数是零。 第二题，求两项乘积的倒数，等于前倒后不倒，加上前不倒后倒， 前倒后不倒就是你先求乘号。前面的式子，后面的原式直接放上去，前不倒后倒就是前面的式子，你原式放上去，后面放求倒的式子。这个公式在这，你把公式背过就可以了。下面你来暂停，做两道练习题，背过公式就能做。 接下来看复合函数求导，你首先要找到中间变量。啥叫中间变量？假设你要寄一个很珍贵的礼物给远方的朋友，但是这个礼物很脆弱，需要先放在一个小盒子里，然后再把这个小盒子放到大包裹里寄出去，这个小盒子就是中间变量。来看这道题， y 等于二 x 加五的四次方， u 就 相当于小盒子，二 x 加五就相当于那个礼物，所以 y 就 等于 u 的 四次方， 所以这个岛就等于 u 的 四十方的岛数对 u 求岛，然后再乘以 u 的 导数，写出来就可以了，这个叫面试法则。 面试法则又是啥意思？举个例子，大冬天的时候，尤其是在北方的同学，在外面的时候，你会穿的很厚，然后就在宿舍很热，有暖气吗？那怎么办？你是要从外向内一层一层的铺衣服？复合求岛也是，你是不是也要先拆外面的大包裹，再打开里面的盒子呀？ 提四提五提六都是复合函数求导。提五提六，稍微有点不一样。求 d y， d y 啥意思？ d y 叫微分，微分怎么算？可以先求导数，再代公式。所以 y 等于 f x， d y 等于 f， 导数 d x 这个练习题也是复合求导，一定要小心一点， d y 要先求导数，再套公式。删了复合函数求导来看引函数求导，那什么叫引函数？ x y 在 一对了，都在左边，这叫引函数，这样怎么求导？就是将等式两边同时对 x 求导， 注意， y 是 x 的 函数，所以这个求导可以用到复合求导的列式法则。第八， x y 在 一对，也叫引函数，两边求导就可以了。第九题，怎么求二阶导数？ 二阶导，第一步是两边同时对 x 求导，注意 y 是 x 的 参数。第二步，将第一步得到的式子两侧再同时对 x 求导， y 是 x 的 参数， 把这个解出来就可以了。这个练习题和前面的做法一样，只要知道它们是引函数，就可以自己暂停做一下。 下面我们说参数发生求导部分，学校可能不包含这一部分，你跳过就可以了。参数发生求导，你把公式背过就行。 x y 都是 t 的 函数，这叫参数方程，咱们中学的时候就学过，这是椭圆的参数方程吧。记住， y 对 x 的 导数是什么？是个分式，分子式， y 对 t 求导，分母式 x 对 t 求导。把这个公式背过。 第十一题要求这个参数方程在四分之派出的切线方程和法线方程。先求切点，切点在这了，再求斜率，这个斜率包括切线的斜率，法线的斜率。注意，切线的斜率就是倒数，那切线和法线是垂直的，所以法线的斜率就是切线斜率的负倒数。 十二题求二阶导数要背公式，一阶导在这了，就是这个式子，而二阶导是什么？二阶导是个分式，分子依然是一阶导对七求导，分母 x 求导。这个公式直接背过就可以了。 练习题也是一样的，你自己暂停做一下。下面我们看导数定义，要算分段函数，在分段点的导数要求左导右导。那什么叫导数呢？导数是因变量增量与自变量增量相等的极限， 好在这个里面左导是什么？左导音变量增量与自变量增量商的极限 显然应该是一右导是什么？一样的，算出来也是一左导右导都存在，还相等，所以零点的导数就是一 看练习题 f x 等于三 x 的 绝对值，这个里面零就是分段函数的分段点，要求分段函数在分段点是否可导，要求左导右导， 这个左导是负一，右导是一，所以导数不存在。下面来讲可导与连续。这里记住一句话，可导一定连续，连续不一定可导。来看这道题，求这个分段函数在 x 等于零处的连续性与可导性在 x 等于零处的连续性，要考虑极限值是不是等于函数值， 左极限右极限都等于函数值，所以它应该是连续的。那可导不可导呢？可导不可导可以用档次的定义来判断，导数是音变量增量与自变量增量商的极限， 这个左导是负一，右导是一极限，不存在，所以在这不可导。这些题你来自己做一下。接下来看第三部分，我们进行积分， 不见积分，首先把公式背的很熟很熟，一定要背过。其实咱们的积分公式和求导公式是一种逆运算，求导是往前迈一步，积分是退回来，你把前面求导公式背熟了，积分公式就好背了。你在这把积分公式背熟了，求导公式就好背了。 这些公式就是你们手机上存的那些锦鲤，佛祖保佑考试顺利背下来他们你的好运气就来了。 比如第一题 x 方的积分是什么？你直接看一看积分表里面哪个式子跟它占标带公式就可以了。第二个也是看看哪个式子跟它占标直接带公式。第二个表格是比较复杂的，积分的表格也得背过。第三题也是带公式，把公式找到直接带进去， 所以这个公式咱们要背的很熟很熟，这得练到啥程度呢？就好比你看到手机你就想划拉，他摸到篮球你就想投篮，听到音乐你就想摇摆，让他成为你生活里的肌肉记忆。你要把这个公式背的很熟很熟。第四个差的积分是积分的差，拆出来两个积分， 第一个积分和第二个积分，我们直接背公式就可以了。练习题也是再强调一遍，把公式必须背过。有些时候公式会进行变形，一般会怎么变形呢？看几个高中时候学的二倍角公式，你自己暂停回忆一下。 第五题，直接用二倍角公式来进行化简，就变成了这个式子。这个式子拿过来就是二分之一套算平方，分之一 是 second 方， second 方的积分是 tenth x， 也就是把积分表背过就行了。第六题，把分子乘开单写开，然后背积分表。 另外强调一下，我做了积分，写了半天，我做对了吗？对与错看两点，一是结果必须有 c， 如果结果没有 c， 你 一定错了。第二个积分结果的导数等于背接函数，如果等于你就做对了，不等于的话，你就得检查检查。 第七题，这个题就是你只要背过常见的三角函数和常见的积分公式就可以了，所以我们要用敏睿的眼光，灵活的使用这些公式，看见这个题就把不会的式子转化成我们背的公式。例如第八题，有这个式子吗？没有咋办？ 公式里面有 x 方加一分之一这个积分，所以这个分式我们可以把分子加一减一，再约分就可以了。编辑题都是熟记公式，下面我们看第一类换元法。第一类换元就是直接带公式，没法直接带咋办？没法直接带，你就得想办法凑一凑，凑成我们常背的那个积分表凑出来就可以了。 像这个题前面是二 x， 你 背公式的时候，注意公式里面的 x 不是 x， 是 方框， 像这个你一定会 cos 方框 d 方框的积分，而这个是二 x 方框，所以 d 凑方框，这么凑就多了二， 所以前面的二就没了。这是第一类换元，又叫凑微分，关键在于把计算表里的 x 看成方框就行了。这个也是五 t， d t 怎么办？就把方框写成五 t， d 方框就是 d， 五 t 前面差了一个五分之一， 像十一题，这是平方，这是一次方，所以要把 x 凑到后面来，凑的时候前面配个系数二分之一，就把这个凑成我们会的式子了。十二题，你只要知道余弦的导数是负的，正弦可以把正弦凑到 d 的 后面，写成负的 d 抛线就可以了。 这一块关于积分，熟能生巧，一定要把题多练一练，求导说，少练没事，积分绝对不能少练，下面我们看分不积分。分不积分的关键是正确的选择，要选对了，事半功倍，要选错了一些， sorry， 选择顺序是什么呢？ 反对密指三，注意这里面哪个函数最难？那肯定是反函数呗。第二难的是对数，最简单的是三角函数，所以从前到后是从难到易，从繁到简。进而我们选择 u 的 原则叫先苦后甜，哪个类型难，哪个是 u？ 看这题， x 是 密函数， cos， x 是 三角函数， 反对逆值三，所以 x 为 u， 记住这个 u 要选对了事半功倍，选错了一切， sorry。 十四题，如果背接函数只有一项，那么这一项如果是对数或者是反三的函数，把它设为 u 就 可以了， 这个是 u， 那 v 呢？ v 就是 x， 直接计算。十五题， x 逆值三，所以 x 为 u， e 的 for x 是 指数函数。反对逆值三，所以 x 为 u， e 的 for x 方求 d v。 十六题， x 是 逆函数，绕 n 是 对数函数，谁厉害，对数函数厉害，所以绕 x 减一为 u， 把 x 缩到 d x 的 后面去就行了。看这些练习题，这些练习题的关键就在于看清哪一个是 u， 哪一个是 v。 第二类还原法，其实就是见到二次根式，用三角函数代换， 看谁不顺眼就让谁消失，看哪个不顺眼就把哪一个设为 t 就 可以了。就用这个表格看这题，根号下 x 方加一的立方，见到根号下 x 方加一，二次根式，所以用三角代换，令 x 等于看成 t。 像这题怎么办？看谁不顺眼，让谁消失。根号二 x 是 不是不顺眼，所以用 t 等于根号二 x 就 可以了。注意注意，不管是第一类还原还是第二类还原，你怎么还原还是怎样把它带回去 练习。五也是看谁不顺眼，让谁消失谁不顺眼。根号下一加一的 x 去 me 这有个根号不舒服令 u 等于它，记住谁不顺眼，让谁消失就可以了。

大家好，我是大家的阿杜老师，这个题型一定要会，今年丰台一模考察的就是这种题型，那具体怎么操作呢？咱们从头开始， y 等于根号 x， 如何求挡呢？阿杜老师要求大家把它背下来，等于二倍根号 x 分之一， 那么 y 等于根号下被开方数如何求导呢？ 他的倒数等于二倍的被开方数分之一，然后再乘以被开方数的倒数，把它记住。所有的题咱们都这么做，比 如说刚才那道题， y 等于根号下一减 x， 它的导函数是等于二倍的根号一减 x 分之一，然后再乘以这个被开方数一减 x 的保数， 那算出结果就是最后答案。我们再练一个， y 等于根号下三 x， 他的导函数等于二倍的根号散养 x 分之一，然后继续再乘以被开方数散养 x 导数。那么最后结果也就是最后的答案，听懂了吗？ 我们总结一下， y 等于根号下被开方数如何求导呢？两步，第一步，二倍的根号下被开方数分之一，然后再乘以被开方数的导数，完事了。

预备开始二零二六届新高考数学复习第五十四期，今天我们正式来开始说导数的基础知识。导数的基础知识非常简单，什么叫导数呢？哎， y 的 导数就是 y 一 撇儿 f， x 的 导数就是 f， x 一 撇，这就叫导数。好吧，哎！首先第一件事，大家务必把常见的导数公式死记硬背下来，都有哪些呢？哎， e 的 x 的 导数还是它自己 long x 的 导数是 x 分 之一啊！别忘了这个对数函数天生的定律， x 的 r 法四方，也就是逆函数，把他肩膀上这个 r 法挪到前面去，自己呢？指数变成 r 减一。举个例子， x 的 平方的导数就是二 x， x 三次方的导数就是三倍的 x 的 平方啊。值得注意的是，如果我们考试的时候遇到这种分式型的，比如 x 分 之一，一定把它变成 x 的 负一次方，然后再求导 x 的 平方分之一，一定把它变成 x 的 负二次方，再求导根号像 x， 一定把它变成 x 的 二分之一次方，再求导。举个例子， x 分 之一的导数是啥呀？负一，拿前面去，自己那个指数再减一，变成负三 高 x 的 导数是啥？二分之一，拿前面去，自己指数再减一，变成负二分之一。好吧，好！ sine x 的 导数是 cosine x cosine x 导数是负三， x a 的 x 次方值函数的导数是 a 的 x 次方的基础上再乘一个 l n a 啊。对数函数的导数是 x 分 之一的基础上，这个分母上再多乘一个 l n a 啊。某一个数的导数一二三四五六七八的导数就是零。好吧，哎，就完事了，大家在这先截个图，一定一定要把导数的基本公式都背下来。好， 紧接着我们来说一下导数的四则预算。先说加减法吧。哎，什么意思呢？就是我求一个函数相加或相减的导数， 等于我分别求到再相加或相减，非常非常简单。比如说这个例题一和例题二吧。 啊，我说求 f x 的 导数，就啊求这一大坨的导数，就相当于先求 e x 的 导数，再加上二 x 的 导数，再加上三分之一倍的 x。 三四方的导数啊，分别求导，再相加 e 的 x 的 导数就是它自己 二 x 的 导数。注意同学们，像这种 y， x 前面乘一个数啊，我们先把这个数给它落下来啊，然后只针对 x 求导就行了。 x 求导啊，非常简单，就是一好，最终结果就是二乘一就行了。 三分之一 x 三次方导数。按照前面这个啊说法，前面乘的这个数，不要管他啊，依旧落下来就行。 x 三次方求完，导是三 x 的 平方，所以最终结果是 e 的 x 方加二，再加上 x 的 平方。好吧， 下一道道题同理也是一样的， f， x 的 导数等于这两个导数分别求到，然后再相减 二倍。浪 x 前面那个二倍，不要管它，直接落下来浪。 x 的 导数是 x 分 之一，减去三倍的 x 的 导数三，直接落下来， x 的 导数就是一，就是三乘一，最终结果是 x 分 之二，再减去三。别忘了写 x 大 于零。 好，紧接着是乘法的导数，乘法的导数法则呀，哎，大家把它背下来就行。就是 f x 乘 g， x 的 导数等于 f， x 的 导数乘 g， x 的 导数乘 f x。 比如说例题一， f， x 的 导数乘 long， x 的 导数乘 x， x 的 导数就是一啊。 log 的 导数 x 分 之一， x 分 之一再乘 x 是 一，最终结果就是这个。别忘了写 x 大 于零。下面那个也是一样的， f x 的 导数 就相当于二分之一 x 的 导数乘一的 x， 再加上 e 的 x 的 导数乘二分之一 x 二分之一 x 的 导数前面乘一个数直接落下来，二分之一 x 单独求到就是一，然后再乘上 e 的 x， e 的 x 的 导数就是它自己再乘上二分之一 x， 那 么最终结果就是，二分之一的 x 次方加上二分之 x 倍的 e 的 x 次方， ok， 最后一个除法的导数除法，这个导数跟乘法那个很像，分子是 f 一 撇， x 乘 g x， 只不过从加号变成减号，减去 g， x 的 导数乘 f x， 然后分母再多乘一个 g x 的 平方啊，就是原来分母的平方。大家把这个事背下来就行，比如说看一下例题一， f x 的 导数，首先先不干别的，先给分母来个平方再说 啊。然后整积分分子的导数乘分母，减掉分母的导数乘分子， ok， 好。 long x 的 导数 x 分 之一， x 分 之一再乘 x 一 x 的 导数就是一，减掉 long x 就 行。再看例题二，先不干别的，先给分母来个平方再说。 e 的 x 括号 y 的 平方 分子的导数乘分母，减掉分母的导数乘分子分子的导数二 x 的 导数啊。遇到这种乘系数的，先把二给它挪过来， x 自己的导数就是一二乘一乘一的 x 次方 减掉啊，这个 e x 的 导数是谁呀？还是它自己乘上分子比上 e x 括号 y 的 平方分子，我给它提出来个 e x 方，就是这个样子， 这样的话，分子和分母我是不是可以上下约掉一个 e x 呀？对吧？所以最终结果就是 e x 方分之二减二 x 非常简单，大家只需要牢记 求导的基本公式以及求导的四大加减乘除四大法则，做对这的题就没有问题了。