高职高考数学大题第一小题给多少分

题啊，那十六题的话，是一个简单的计算题对不对？直接把它们两部分都计算出来就可以了。对于根号六十四的开三次方，那很简单，算出来是四乘以四乘以四对不对？三个四相乘就是六十四了，所以说开三次方呢，就是四啊，那么对于 log 以三为底九的对数的话，也有写成 log 以三为底三的平方，对不对？那么增数的指数呢？可以提到前面呢，也是二倍的 log 三三的形式，那底数呢？和增数相同，那么很显然它是等于一的，那就是二乘一啊，所以这道题呢，就是四加上二，那么也就是六对不对？答案也就是六了啊。 好，接下来看十七题啊，那十七题的话，是一个计算一个模对不对？那计算这个模的话，其实我们要想到什么去开平方和它向量是什么关系啊？那么也就是对于后面这个整体去平方，又是二倍 a 向量的 减去 b 向量的模的平方，又等于就跟我们正常的完全平方公式计算就可以了。又是二 a 减 b 乘以一个二 a 减 b， 那 么打开括号呢，就是四倍 a 向量的模的平方对不对？再减去四 a 点 b 啊，再加上 b 向量模的平方啊， 那么其中对于 a 点 b 来说，是不等于两个向量模相乘， 再乘以它们之间的夹角 cosine 三分之派啊，也就是等于三乘以四，再乘以二分之一等于六的，对不对？所以说我们把这个答案带去替换掉 a 点 b 啊，也就是等于， 那么膜呢，就是里面已经告诉我们的，直接把他们的膜带进去，也就是三的平方乘以一个四，再减去四乘以个六，再加上四的平方，那么最后化简又得到四，乘以个九，再减去二十四，再加上十六，那么合并一下，又得到了，是等于二十八的， 所以答案呢？记住呢，这是平方的值啊，所以说我们要开根号啊，所以说也是根号下二十八了啊。 好，现在看十八题，那十八题呢，某个学校有一千八百人，其中高一有六百，高二呢有五百四，高三呢有六百六。现在用分层抽样的方法，从中抽取一个容量为九十的样本啊，记住，这个九十呢，是从这个一千八里面抽出来的啊，所以说抽样比，也就是从哪抽的除以谁，对不对？所以说对于抽样比来说， 有等于九十，除以一千八有等于二十分之一啊， 那我们要去算高三里面应该抽多少人，对不对？你就是用高三的人数六百六，再乘以一个抽样比就可以了，二十分之一，那么算出来答案呢，是三十三的，所以说就应该是抽三十三人就可以了。 好，接下来看十九题，那十九题呢？过点 p 与这个圆相切的一个直线方程，让我们去求，其实对于这个点的话，你带入这个圆方程里面，会发现这个点就是在这个圆上的，那对于圆上一点， 求这个相切的一个直线方程，直接采用斜修的方法，就是 x 乘以 x， 加上 y 点， y 等于五啊，把它的平方呢都写成两个整体相乘的形式，那把点呢？代入其中一个 x， y 就 行了，把其中一个 x 写成 p， 点的横坐标就是根号五倍的 x， 再加上 把其中一个 y 呢写成 p 点的重坐标，就是零乘一个 y 等于五，那么答案呢，又是 x 等于根号五，所以说这就是它的一个切线方程， x 等于根号五就行了。 好，接下来看到二十题啊，那给出了我一个向量 a 一， 那也给了我一个递推公式，算前 n 项和 s 一 百的值啊。那我们大胆的去算一下， a 二 是不等于二倍的 a 一 减去二啊，对不对？那么 a 三呢？同样道理，二倍的 a 二减去二还是等于二的， 那么 s 四呢？有等于二倍的 a 三，再减去二是等于也是等于二的。其实依次算出来呢，它每一项都是二，所以说 s 一 百其实也就是等于一百个二啊，所以说也就是答案两百了啊。

好，我们来看一下我们的这里的第四次模拟考试啊，他相对来讲还是有一定难度的啊，有一定难度，我们废话不多说，直接开干，看大家能拿到多少分。 第一题，第一题考的是一个集合，而且它这里给了一个 x， 属于 n， 那 么这个 n 呢，代表的是一个正整数啊，有个星号，那么它代表的就是正整数的意思啊，所以呢， b 集合它，其就相当于是小于二的正整数， 小 y 的 正整数呢，当然就是有谁啊，是不是只有一啊，所以呢， b 这个集合就只有一这个数了。好了，那么 a 和 b 的 并集，那当然就是负一和一，所以呢，答案应该选 d。 继续看第二题，第二题考的是一个三角函数值，那么当然还是要去背熟我们的特殊函数值的，对不对？ 但是呢，如果你记过我的方法其实很快的啊，三角函数值，我们说当他是钝角时候，你又记他的锐角，锐角那等于就是三分之八，就是互补，就相当于用一百八减去他，那得到的就是这个角。 但是呢，互补角，正切值是相反的，也就说我们要加一个符号， 添准三分之二拍，那么就等于负的三分之拍，正切值相反啊，那么最后就等于负的 正根号三，也就负根号三，答案应该选 a， 正切相反。还有，那就结给大家讲完余弦呢，余弦也是相反的，只有正弦才是相同的， 所以呢，我们的三角函数值，这里的话，在解三角形在小题都适用，因为它是一个三角函数的这个诱导公式啊，互补角，这个前提就是互补的角啊。 好吧，第二题就过了，应该有时间会讲大题啊，会讲大题。第三题，定义域，定义域的话，那么这个是一个复合函数，就分开来找就可以了，对不对？分开来找，那么对于它根号作为分母， 根号作为分母，只需要大于零，就不能等于零了，对数的真数呢，也要大于零，那么从这里我们就可以求出 x 大 于负四，那么这里是小于三， 大于三啊，大于负四，并且小于三，所以呢，第三题只能选 a 了， 也是一个常规考题啊，只不过是一个复合考题而已。第四题，第四题的话，是一个分层抽样的问题了。那分层抽样无非我们说就是占比一样嘛？比例一样啊，有好多种做法，就你喜欢用哪一种就用哪一种。 他说男生有二十七人，女生有十八人，那么男生加女生是不是一共有四十五人呀？总人数有四十五人，现在要抽五个人去参加比赛活动啊， 那么他男生应该抽取多少人呢？那么当然我们应该先算男生占总人数的几分之几，除以二四十五就是占比。 好了，你最后一共抽了五个人，那我就乘以五就可以了，这个就是比例乘以后面的总数就可以了。抽取的人数，那么直接化掉，对吧？五九四十五，直接化掉三，所以呢，答案就等于三， 所以呢，这道题应该选 c， 没问题吧。能来听我的课应该都是非常厉害的人了啊， 不厉害，听多几遍也厉害了啊，有问题你们再打出来好不好？我就直接直接讲好不好？你们有问题就直接打啊，没问题我就一直讲 来看第五题，第五题的话有一个小坑啊，所以大于取两边，小于取中间。但是不要忘了，我们说只有 x 是 正的时候，他才能大于取两边，小于取中间， 对的，上一题是三啊，上一题是三，这个如果相乘之后，他是一个负的，对不对？也就是他的二次项是一个负数， 那既然是负数，你就不能用我们所谓的大于取两边了，而是应该要用什么呀？要反过来，小于取中间，不能用这条啊，小于取中间，这个是有限制的， 因为有些同学这个秒杀秒多了，大于取中，大于取两边，就直接选了。不是的，这个前提是 a 大 于零啊， a 大 于零的话就是要用这个，但是呢，这个很明显是小于零的，怎么去看小于零呢？就是 x 乘负 x 最后肯定是负的，那么我们说了，就把这个口诀换过来，大于呢，应该取中间，那么既然是取中间，肯定 b 和 d 先排除掉， 排除掉之后，那究竟选 c 还是选 a， 应该很多同学都会了，对不对？无非就是一个根的问题， x 加二，很明显负二加二就等于零嘛，对不对？所以它的根应该是负二，负二和三啊，所以答案应该选 a。 常规的方法，其也是让你要先算 x 加二等于零，三减 x 也等于零，说明有一个根是负二，有一个根是等于三的，所以答案应该选 a 啊。大题会讲，我会讲到大题的这份试卷，我应该 在十一点之前吧，十一点前，十一点之前我能讲到哪里我就讲哪里，好不好？ 你看你有听课吗？你是刚进来吗？同学，你看，大于零就大于取两边，小于取中间，但是这道题是大于零吗？我刚说了，这两个数相乘是一个负数了，负数就不能用这个口诀了， 不能用这个口诀，我在弟子班里讲过那么多遍，你没记住吗？我刚刚也讲了哦， 它是一个负数，负数的话就把口诀调过来用好吗？啊，它的原理其实就相当于是有一个人是负二，有个人是三，开口向下，那么大雨淋很明显就在上方，所以呢，它就是负二到三 啊。赶紧来赶紧来，待会看我的回放。你这好吧，接先看吧。第六题， 垂直，垂直的话，呃，也很简单啊，对不对？垂直无非我们说垂直的方程，是不是调换位置啊？首先我们从这里也可以去出发就行了，有两种做法，第一种做法 就直接把这个系数调换位置，那变成了 x， y， 这个二移过来就变成二 y 符号变成加号啊，加上一个数，加上 m 等于零。那你对比来看，那么它这条线跟这条线是垂直的，也就是这个跟这个是一样的，是不是对应的 a 就 等于多少？ 会看吧，会对比吧，同学们，对比一看就知道 a 是 多少了，你看这个就是在这里对比来看一下，是吧？会对比吗？同学们，知道 a 是 多少了？没有，这个跟这个一样，那么 a 是 不是应该就等于这个一啊？所以答案就应该选 b， 对的，就是第一种啊，第二种方法，其实也给你们讲讲，第二种方法的话，就是我在我的视频里面也讲过，就提取系数就可以了啊， 提取系数，把这个二提取出来，把这个符号提取出来，然后呢？把这个 a 提取出来，把这个 r 提出来，然后呢，由于它是垂直的话，那垂直就用垂直的公式，就是对应相乘相加应该等于零啊，二乘以 a 就 跟向量垂直一样，二 a 负一乘二就减二，最后等于零。二 a 等于二， a 呢，就等于一 两个方法，你喜欢用哪种就用哪种，当然是你能听懂哪一种就用哪一种，好不好？嗯， 好了，这里就第六题了啊，下一道，下一道的话应该有同学应该做的做错一点啊，三角函数，这个是考了一个充分必要条件， 应该选什么呢？ sin a 等于二分之一和 a 等于六分之拍，那谁的范围更大呢？ 其实我们要知道 sine 函数啊，它是一个循环的函数，也就是它的函数值一定是循环的。 当一个正弦值等于二分之一的时候，它其实有无数个角啊，也就是有无数个角都等于二分之一，这个是一个六分之拍，它是等于二分之一的，这个六分之五拍也是等于二分之一的，所以它有很多个，所以呢，第一个范围肯定是最大的， 后面的范围是更小的，因为它只有一个角。大范围对应的就是必要条件，所以呢，答案应该选 b， 必要不充分啊， 因为高考经常考的都是充分，不必要， 所以呢，它来一个必要不充分的点好下一道， 下一道的话是我们的比较大小，比较大小的话，其这个你就利用我们的函数单调性或者说函数值去理解嘛，对不对？ 一点二的零点三次方和这个一是不是相当于一点二的一次方啊？那不对，我们就写一点二的零次方，那谁更大呀？ 是不是他是单调递增的话，那应该是这个更大一点，他是比一要大的啊，一点二的零点三次方，他是比一要大的，或者你可以理解成他的底数都比一大了，那他大于零的时候，他就比一要大了。 同样道理，那么这个当然有些同学可能 b 答案不会看，不会看的话，我们可以先看 c 嘛。同学们， 二的负零点六次方指数函数，无论他是多少，他都一定会比零要大的，肯定会比零大的啊，一定比零大好不好？因为你看指数函数的图像，人家是这么画的，无论他在哪里，他都是都是一个正数啊，永远都是一个正数。 那么 d 呢？ d 是 小于零点三的零点啊，小于零点三的七，那么对数来讲，它是一个单调递减，而且它是增数为七了。七对应的数是一个什么数啊？对应的数是不是一个负数了？所以呢？ d 也是错的， 所以呢，答案应该是选 boy， 答案应该选 boy。 那 么 boy 应该怎么去看呢？也可以给你们去看一下，若由于它的底数不一样，那我能不能把它化成底数一样啊？ lo 四六可以怎么画？是不可以把它变成 lo 四啊？ lo 二的平方，然后再六分之一啊，六的一是方，那就变成 lo 二的多少，这个指数和这个指数其实可以把它放在同一边，就变成二分之一， 所以呢，就相当于是幺二的根号六，那么这个时候你再把它拉下来，对比一下，幺二三和幺二根号六谁更大呀？ 这个不是等，这个不是等号啊，是左边和左边，右边和右边的意思。三和六比较，那是不是三更大，那么三更大，它对应的函数值就越大， 所以答案应该选 b 啊。 c 为什么错？这个把，这个你能理解吗？只算数，无论它带什么数，它都是一个正数 啊，或者说我可以画一个图给你去看，你也知道了，这个二，如果是二为底，它是单调递增。负零点六在哪里呢？在这里，负数在这，但它对的 y 是 一个正数，看到吗？而且它也是比一小的一个正数，但是呢，要比零大， 明白了没有？ 好吧，下一道了哦。 第九题，第九题的话，这个平行四边形，它其实有一个方法很快的，这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是 d， 这是一二，这是负二零， 这是三负一，这个 d。 不知道，那怎么做呢？听清楚，不要眨眼，就用这两个点的坐标相加，就等于这两个点坐标相加，就他们两个相加，他们两个相加，结果是一样的。 这就是平行四边形的一个性质啊，你学就直接用就好了好不好。直接对应相加， 这个一加三，就等于这个负二加多少呢？我们列一列吧，这个写成 x y 啊， 那么就相当于对应相加罗。一加上三，那就等于横坐标加横坐标，就等于这边的横坐标，就用负二加 x。 所以呢，求出 x 就 等于多少， 就等于六，这个是算出横坐标了，中坐标一样。二加负一呢，就等于 y 加零，也就是 y 呢，就等于一好了。 x 等于六， y 等于一，就直接秒选 c， 非常快的。这个是平行四边形的一个性质， 就直接用这个坐标相加，等于这个坐标相加好不好？对角方法，方法，还是那句话，方法， 但有些同学可能会，或者说有一些老师可能会用项链跟你们讲，两个项链相等。对的，斜修，是的，斜修， 如果你还不懂的话，那可以画一个具体，我这个是随便画的图，对不对？如果你还真的不懂，那你画一个具体的图像，这是一二一二在这里，负二零，负二零的话在这里， 三负一，三负一大概在这里。那你想 a、 b， c， 那 么 d 是 不大概在这里啊？ 画图都会画吧，相当于画平行线，这里画平行线，那你都大概知道他在这边吧，那这边对了，不就只等于六一吗？选 c， 刚刚我画的图不是标准的图，而随便画一个平四边形就可以做的。那如果你要画标准的图，就是把它的点坐标都是大致大概的位置写上去，一二大概在这，负二零在这，三负一在这，那么最后一个点坐标肯定在这边。 就这样。选 c， 刚刚斜修，方法就是用坐标相加，横坐标加横坐标就等于这个横坐标加这个横坐标啊，方法啊，记住方法就够了， 根本都不用算 好不好。两个方法，两个方法。不讲了，看回放吧，口水太多了。 然后十一点之前大家又想听大题，你们就听我讲吧，好不好，不然大大题可能最多就讲一道两道而已，待会你们又又觉得不过瘾没？刚来的，有空看回放吧。看第十题， 这个很明显是一个什么竖列一二四很明显，乘二乘二很明显它就是等比竖列，它是一个等比竖列求和，等比求和， 那既然是等比求和，那当然我们可以首先第一种方法，你可以先把等比求和的公式写上去，对不对？首先就用 a 一 乘以一减 q 的 n 次方，再除以一减 q， 那 么 a 一 对呢？是不是就是第一个数？就是首先一一不用写了， 那么就一减 q， q 是 多少？是不二的 n 次方，再除以一减二，所以呢，最后等于多少？ 这个是负一负一个数除以一个负数。我写上去吧，一减二 n 次方，除以负一负一的话，你就把它分子给它调换位置就可以了，就变成二的 n 次方减一，所以呢， f n 就 等于它，那么人家问的是 f 二零二六，那不就等于 二的二零二六减一吗？ 哦，不对哦，这个是 q， 这个是 n 次方了，我写错了，那就应该是 n 加一， n 加一。不好意思啊，刚刚看着了，那么就变成了多少二零二七了。 它有 n 个数，有 n 个数，有 n 加一个数，因为它这里就相当于是零次方，这里一次方，这里是 二的二次方。所以呢，从一到二的 n 次方有 n 个数，前面还有一个数。所以呢，这道题的坑在哪里？坑的话就一共有一共有 n 加一个项啊，我刚刚也看漏了， 因为为什么呢？你看我 f n 人家是等于多少的？是等于一的零次方，其实就应该是二的零次方加二的一次方， 那那个四呢？你看了四的话，是不是应该二的二次方了？一直加加到二的 n 次方，那你看这个数据，从一到 n 就 有 n 个数了， 从这个数到这个数就一共有 n 个数了，前面还有一个，那变成了 n 加一个数了。 但如果，但这种题如果你不会看的话呢，还可以用另外方法，还可以告诉你啊，还可以告诉你另外一个方法，看我，我再来一遍，再来一遍啊。 f n 它等于一加二的一次方，加二的二次方，一直加加到二的 n 次方，那么我这个一先不要动它，那我是不是可以用后面这个数进行求等比数列，把这个求和会不会求， 那么这个就是从一到 n 了，那这个就是等比竖列求和了，对不对？那么对这个竖列我圈起来的竖列来讲，它的 a 一 就是谁了，这个时候它的 a 一 是不是就是二？首先就是二 公比 q 呢？公比 q 是 不还是二呀？所以呢，它的求和就等于什么？就等于首项乘以一减 q 的 n 次方，再除以一减 q， 所以呢，最后变成了多少？一加上二乘进去是二减二的 n 加一，再除以负一， 又来了，又把它调换位置，哦，就加上二的 n 加一减二，所以呢，就变成二， n 加一减二，再加一就减一，所以 f 二零二六还是等于二的二零二七减一。 所以呢，这个你就可以不用知道它为什么是 n 项，我先求后面的和，把这个 e 先给它保留掉，这样子的话就有 n 项了，因为从 e 加到 n， 这个容易理解吧？ ok 吗？ ok， 下一道了哦。等比竖列啊。 第十一题，十一题的话，这个是点到直线的距离跟点到点的距离小，那么这个时候你就怎么去看就行了，这个定点 就是我们的抛物线的焦点，定点就是抛物线的焦点， 所以呢，我们不用看这个，就直接看这个就行了，所以呢，那么是焦点，那既然是焦点的话，是不是要求方程是不是乘以四就可以了？反过来乘以四，乘以四，那当然就选什么呀？是不是选 a 给出焦点，那为什么是选 a 呢？其实这个是一个比较高中常考的题，但是你们应该做的比较痛苦，没怎么做过，对不对？但是呢，它其实就是抓住焦点， 因为它这个是动点，随便一个点到一个点的距离，那么说它一定就是一个定点了。你看一个随便一个，这个点是一个动点，说明它是可以活动的，这个点到线到点的距离等于它到谁的距离，等于它到 到一的距离，那一在哪里？这个假如是一的时候，它是不是就相当于是少了多少？少了二嘛？ 小二，那为什么会小二呢？因为你这个是一啊，如果我刚好是等于三的时候，那不就是相等了吗？所以你这小段就等于这小段画的开箱啊。你看点到定点的距离是不是等于点到准线的距离了？ 因为你到这个扫一扫二嘛，那我加回二，不就得到的就是三了吗？这是一，这是二，我加回二是不是相当于这条线段和这条线段就相等？ 那么既然相等，是不是就是抛物线的定义？一个点到一个定点的距离，等于这个点到定直线的距离，也就准线的距离，所以呢，得到的就是一条抛物线 距离就是长度啊，长度这一段。假如这条段长度四啊，随便啊，假如这条长度是四，那么这条长度应该是多少？就是二。小二，不就是这一段也是二吗？如果它是五，它是一啊，不对，它是五，它是二，那这段就是三， 应该是二五三这样子，点到定点的距离比它到这条距离小二，明白没有？说明这条线段比这条线段会小二，也就是说如果这条是 a， 这条 v 就是 a 加二 小二的意思啊。所以呢，你给它加回二就一样了。 方程不是 x 减四，哪来的减四啊？所以呢，我们知道这个，这个就是焦点，这个就是准线，那么要求回方程就乘以四就可以了。 给出焦点乘以四啊， 不是乘以负四，是乘以四，不是乘以负四。同学， 所以呢，你们有时候就正着来，那我问你，假如这条方程，这条方程的焦点你们怎么做的？ 焦点你们怎么求啊？ 焦点是不是除以四？除以四得到的就是三零，那么这个焦点就是三零， 那反过来呢？我知道，焦点怎么求，方程不就乘以四吗？三四十二呀。同学，那然后这道题的焦点是负三零啊，那负三零的方程，那当然就是这个呗。那你验证不验证一下吗？嗯， 验证一下就行了，这个点就焦点，那你想哪下列哪个焦点是负三零的？负三零的焦点不就只有 a 吗？同学， 是的，斜修。好吧，斜修， 懂了没有？同学们，给出焦点求准线，方程就乘以四， 没有什么意思，他就告诉你这是一条直线， 这个代表的就是给出一条直线，给出一条直线等于一， 这个 s 等于一，不是准线。哦，同学，再讲最后一遍啊，最后一遍看一下能不能听懂。他说一个点 p， 这个 p 点是不知道在哪里的， 他到到这条直线的距离，比如说这个点到一的距离，假如这就是一了，对啊，这就是一条直线， x 等于一， 他说的是这个点到这条直线的距离比他到一个点的距离还要小于二，那么负三零，我画长一点，假如负三零在这里，那么说明什么呀？说明这个点到这条直线的距离要 要怎么样？少二，也就是说这条红色的距离比这条绿色的长度，长度啊，要少二，也就短了啊， 对不对？那短了二的话，那我假如给他补回一个二呢？这是一了，我补回一个二给他，是不是补回一个二就到哪里了？是不是到了这条线就是 x 等于三了？ 好了，那这样子，一个点到负三零的距离等于他到这个条直线的距离，那就是一个抛物线的定义了。点到焦点的距离等于点到准线的距离，所以呢，我们就可以知道他就是一个抛物线。 开口向左，那么这个负三零得到的就是一个焦点，对吧？焦点，那么这条 s 等于三，得到的就是准线。知道焦点，知道准线，那么要求 抛物线的方程斜修的方法就直接给它乘以四就可以了。负三乘以四，那就等于负十二， 那如果你非得要用用功啊，课本里面的二 p x 的 时候呢，你怎么做呢？你就记住了，这个是负的啊。开口向左， 这个 p 是 什么东西呢？这个 p 就是 这个点到准线的距离，这一条焦点是三，这个准线也是三，所以呢，我们就可以得到这个 p 就 等于六，那么负二 p 就 负二乘以六，乘以 x 就 等于负十二 x， 这个就是我们标准的过程，就是我们的常规方法。 好了，下一道 懂了就好。十二题求 虚数，那这个直接平方就好嘞。嗯，其实如果你学会的话，它就等于中间的两倍，就等于负二。哎呀， 当然你们不知道，对吧？那你就完全平方公式，用首项的平方减去二乘以一，再乘以 i 啊， 直接写二 i 再加上 i 的 平方啊，这个一减二， i 再减一，一减负一就没有了，就等于负二 i 答案应该选 d。 完全平方公式啊，完全平方公式没有什么难度的，对于这个负数的话，你记得 i 平方等于负一就差不多够了。十五题不难，十五题是一个高考题考过的 十三题给出正弦，给出 sine 的 什么鬼，对吧？那这个的话，没有诱导公式，没有诱导公式，那只能用什么呢？用和差角给它进行展开， 和差角展开也就 sine 阿勒法减倍塔就塞成扣，减扣成塞啊，就塞成乘以第二个角扣塞，再减去扣塞乘以塞。 那明显这个已经知道了，那么这个呢？二分之根号二。这个呢？不知道，但是我可以去求对不对？由正弦怎么去求余弦呀？ 如果你熟悉之后，很多同学都可以秒了他扣赛，这是五分之四，那另外一个一定是五分之三。第二项链是一个负的 啊，这个是秒杀，但你如果你不会秒杀怎么办呢？那你就老老实实用 sum 平方加 cosine 平方等于一，把这条公式给它默写下来，要把五分之四给它带进去， 那就等于二十五分之十六，等于 cos 阿法平方等于一，那么 cos 阿法平方就等于一，减去它就二十五分之九，然后要开方，那么开方的话，这里一定要注意什么呢？注意正负啊，这个不要，我没告诉你，开方永远要注意正负。 cosine， 那 就等于五分之三，但是呢，由于人家在第二项线，第二项线的余弦是个负数，所以应该写个负号啊，最后就五负，五分之三乘以二分之根号二， 所以呢，这里就变成十分之四倍高啊，这个负负的正，那就加上三倍根号啊，最后就等于十分之七倍根号啊。所以答案应该选什么呢？答案应该选 c， ok 吧，没问题吧， 第十四题啊，十四题的话，其实也比较简单了啊，一二三四五，那么一加二加三加四加五除以几？有五个数嘛，那就除以五，那说明乘以多少， 那就变成了十五除以五就得三。好吧，就相当于每个数加了三，再乘它两倍，那就用二乘四加三等于八，加三等于十一选 d。 听懂了没有？ 每个数乘到两倍，那就用平均数乘到两倍就可以了。那像这些加的不一样的话，怎么办呢？那我先把这些加起来，再取五，得到三，然后呢，再用二乘四加三， 快不快？算吧，这么低，很快的。当然，有些同学如果不懂怎么办，那我告诉你，老老实实，平均数为四呢，就把它看成四二四得八，八加 二四的八，八加二就等于十啊，十一，十二，十三，然后把这五个数给它加起来，除以五也行， 就把平均数当成每一个数，九加十加十，一加十，二加十三除以五，最后算出来也一定是等于十一的。 在高子高考，谁管你考，计算过程你学会就行了，会用就够了。 好了，下一道大家有空可以点点赞呢。发发转发一下。怎么感觉用我感觉用手机播都是没啥，流量太少了。 还是大家很努力，都在学习。来啦，这种题就是什么呢？这个其实是在高考题里面有一道出现过一模一样的啊。嗯，只不过那一道题是四，这道题他改了一下是三这个东西就什么呢？叫做周期， 周期就是三。那你记得周期是可以干嘛的呢？周期可以加减的， 可以理解成就是对于每一个数它都可以加三，那么对于每一个数呢？但它也可以减三。为什么可以减三呢？比如说如果 f 零的话，它就等于 f 三，那同样道理， f 三的话它就等于 f 六了， 所以呢？所以呢？这个就周期啊，周期。然后他现在要问的是 f 三加上 f 四，那怎么办呢？那很明显三不知道，四不知道怎么办。那我就减三呗。 f 三等于 z 就 等于 f 零， f 四等于 z， 减三就等于 f 一 啊。简单解错了， f 四， f 四等于五， f 二。 哎，等一下，稍等一下，我看看那个 对吧。你看了这个就是一个周期性的问题，你觉得就 f 零等于多少？同学， f 零这个应该知道的。 f 零你们知道等于多少吗？ 这个是积啊，周积偶函数的那个特点啊。 f 零等于多少？对，利用等我们的那个性质对不对啊？性质就可以知道它是 f 零应该是等于零的啊。 f 零应该是等于零的， 那 f 四呢？ f 四应该等于多少？ f 四等于 f 一 对不对？ f 一 又等于多少呢？ 和 f 一 啊？对对对，它这里给出了 f 四就等于五了，对不对啊？就等于五了， 所以呢， f 四，其就相当于是 f 二，那就等于多少？就等于五，对不对？所以呢，它结果就等于五啊，就等于五。 f 零是零， f 一， 那就相当于 f 一， 是不是就等于五啊， 对吧？ f 五就等于 f 一， 就等于。我说错了，那现在他要求的 f 二，那怎么办？ f 二也没有答案呀。那我，那么我们是不是还可以用我们的等差啊？不对，我们的周期性周期是不还可以再减一个三给他二减三就等于 f 负一，对不对？ 是吗？用周期听懂没有？ f 二，如果它的周期为三，那就用二减三，那最后等于 f 负一好了。它给出 f 一 等于五，那么 f 负一应该等于多少？ f 负一应该等于多少？是不是就是利用 g 函数的性质啊？带正数和负数，结果应该是相反的，所以呢，应该等于负， ok 吗？ 所以呢，它其实用到的还是一个偶含基函数，就是结果相反，偶函数结果相同。 能不能听懂？同学们没听懂，我再来一遍。 这个代表就是周期能懂吧？能懂我就不讲了啊。 周期为三啊，周期可以随便的加减，所以呢，他给出 f 三加 f 四等于五，那么其实就三减三就等于零，四减三呢，就等于一， f 零等于零，所以呢，就是得到 f 一 等于五，最后 f 问 f 二，那 f 二的话，我们可以用再减一个周期变成 f 负一奇函数，结果相反，五就变成了负五。 好了，就这样啊， 填空题，从四个数里面选两个，那就直接列局，很快呀，对吧？一二一三 一四二三二四三四，一共有六种，其和大于四的，大于四的话呢，有多少种啊？ 那就看呗。一加四大于四，二加三大于四，大于四大于四，一共有四种，所以呢，就变成了三分之二，搞定是不是很快？ 第十七题，那明显是一个三减三角形的题。 a b c a b 二倍括号三， a， c 等于二， c 等于三分之二。然后问你，角很明显，这是边，这是边，这是角，这是角， 两边连角，正弦定力，用边比上它对应的角，用二倍括号三比上它对应的角， 然后呢，就直接算进去，交叉相乘就二倍。根号三乘以 c n， b 等于二乘以 c n c， 也就是 c n 的 多少度啊？三分之拍，是不是二分之根号三呀，然后就化简。 c， n， b 等于多少？这个有根号三跟根号三约掉，这个是二节根，这点二约掉，那就只剩二分之一， 那所以呢， b 就 只能多少度？只能等于三十度啊？六分之八，这是最新的模拟试卷，不是高考题啊。 什么位置啊？边对应角啊，哪个位置？没懂你问的问题啊，什么位置啊？ 正弦令你边对应角啊，边对应角啊。二比上三 and b， 这条边比上三 and c， 交叉相乘啊，有什么问题吗？ 但这个角为什么不能等于一百五十度呢？我们说了，这个是六十度了，这条边比你这条边要大，所以呢，这个角对应的角一定会比这个 b 角要大，所以呢，就不可能是一百五十度，只能是三十度。 二根二，根号三， 什么调换呐，都都说了直接用边比上角了，那怎么能兑换了呢？交叉相乘，交叉相乘就二乘以这个数啊，得到它呀，二倍杠三乘以下面这个东西啊 啊，如果你是第一步就错了，那怎么能算对啊，边根对应的角，边根对应的角，怎么能做错呢？ 不能做错，做错就是你对概念还没懂。 ok， ok， 下一道啊。 向量 a 乘向量 b 等于三，那么就对应相乘相加呗。两个向量相乘就是用横坐标乘坐标重，坐标乘重坐标三乘 x， 负三乘四，那就等于负十二等于零，三 x 等于十二 x 等于四。 哦，对，说错了，不好意思不好意思。哎，我忘了，我也当成垂直了。这三就十五就是五，所以答案应该是五对的。角对边，边角对 对应相乘等于三， 就这样啊，两个项链相乘就是对应相乘相加。这个没没难度，这个是最简单的一道题了 啊，这个十九题也相当于是顺分题了，对吧。一二三 a 就 等于五 s 九九个，九个 a， 五九四十五。嗯， 你喜欢用什么法就什么法啊。是的，单一条件怎么做都可以啊。 二十 t， 二十 t 的 话，这个渐近线，渐近线很多同学不会做，那怎么办呢？其实就调换位置啊。渐近线的一般方程其实很简单的， 渐近线的方程就是把这个 b 放在前面，把这个 a 放在这边，所以呢，它得到的是 b x， 随便一个你写个加 a a y 就 行了，最后等于零， b x 加 a y 就 等于零，然后呢，它的圆圆心就是三零， 那么就利用圆心到直线的距离等于半径把三零带进去，那就是三 b 的 绝对值除以根号下的 a 方加 b 方等于多少等于半径根号二， 由于我们的双曲线， a 方加 b 方就是等于谁的，就等于 c 的， 对不对？所以呢，它就相当于是除以 c， 除以 c 啊，那就等于多少？就等于根号二。所以呢，我们就可以算出三 b 不 用结对值了，因为你 b 都是正数，就等于根号二个 c 好 了。对这道题来讲， 它要求的是离心率，离心率是一个比值，你随便带数回去算就行了。那比如说，为了好算一点，我可以令这个 c 等于多少呢？随便你带一个数回去就行了啊， 随便带数，这个不受影响的啊。如果我们设这个 c 等于多少呢？假如它等于等于一个一吧，等于根号二也行，因为你这个是根号二嘛。如果让 c 等于根号二，那么三 b 就 等于多少？ 根号二乘以根号二就等于二嘛。所以呢， b 就 等于二分之三分之二， 求出了 c， 求出了 b， 那 么再求 a 就 行了。 a 方呢，就等于 c 方减去 b 方开根号，所以呢，就等于二，减去三分之二的平方再开根号。所以呢，最后点多少？ 这个不要平方啊，那就是二减去九分之四，那就九分之十八啊。十四，九分之十四，开根号，三分之根号十四。 所以呢，最后 a 分 之 c 呢，就等于多少？就等于根号二。除以三分之，根号十四，那就根号二乘以根号十四分之三。 根号二跟根号十四约掉。还有一个根号七分母有理化就七分之三倍，根号七。

今天呢，我们来看一下我们前两天考的高值高考数学的选择填空题。 我们来看第一题，他说集合 m 是 这个集合， n 是 右边加上呢是我们的并集的意思，并集呢就是全写上，所以就是把一二四、五全部写上，所以选择 a 选项。 然后第二个，他要求他的最大值，那就是看三， x 的 最大值是一，那所以二乘一，所以最大值就是二，所以选择 b 选项。 然后第三个是两个相对相减，那就是 x 减 x， y 减 y， 所以 这三减二逗号二减一，所以就是一逗一，所以选择 b 选项，然后第四个。那我们知道 指数函数和单纯的我们的一个对数函数都是非奇非偶的，那所以呢，我们的反比例函数是奇函数，所以选择 b 选项。然后再来看第五个，他是从四本不同的书里面任取两本， 那所以我们要做的其实就是假设这四本书分别是 a、 b、 c、 d 就 可以了，对吧？那所以它可能是 a， b 可能是 a， c 可能是 a、 d， 然后可能是 b， c 可能是 b、 d， 也可能是 c、 d， 所以 总共有一二、三、四、五六种情况，所以就选择 d 选项。 然后再来他说 f 一 呢，一呢是大于零的，所以就把它带入下面这个解式里面，所以就是一的平方减一，所以就是零，所以就选择 b 选项。然后再来看我们的一个第七题， 它负数的魔长是等于根号下他们前面的这两个数字的平方的和，所以就是三的平方加四的平方，所以就等于根号二十五，也就是五，所以选择 c 选项。 然后呢再来看他说两个事件互斥，互斥呢，指的是他们两个不会挨着，也就是没有公共的部分，所以 a 并 pa 并 b 呢，就是等于 pa 加上我们的一个 p b， 所以 就是零点二加零点六，也就是零点八，所以选择 d 选项。 然后第九个，他说他的间接性方程，间接性方程呢，等于 y 等于正负根号下， y 下的数字比上 x 下的数字，那所以就等于正负根号四 x 也就等于正负二 x， 所以 选择 c 选项。 然后再来看第十题，他说他的平均数是九，那我们来看第一个数跟平均数差三，第二个差二，第三个差二， 然后第五个差多一，第六个多一，第七个是多我们的一个七了，对吧？ 所以我们可以看到哈，右边呢，总共呢是多了九，左边呢就已经是少了我们的一个七了，所以中间这个 x 呢，就一定要少二才行，所以也就说明 x 是 七，所以中数呢，就是最多的，最多的呢就是七，因为有三个七，所以就选择 a 选项。 然后第十一题，他说正态分布，正态分布呢是什么呢？他指的就是会围绕着他第一个数字是他的对称轴，然后左右呢都是各占零点五， 这个东西其实就是正态分布，就随便把它当成 x 就 可以了，指的就是 a 要大于零的部分，占百分之多少，那占的呢，就是占的零点五，所以选择 c 选项。 然后看第十二题，他说已知 a 是 实数，然后呢， a 方大于 a， 那 所以把它移到左边呢，就是 a 方减 a 大 于零，所以就 a 乘 a 减一就大于零，所以就得到 a 二大于一，或者说 a 二小于零， 所以我们可以知道 a 呢有两个，前面呢有两个范围，后面只有一个范围，所以就是后面是小范围，前面是大范围，小推大，对吧？ 所以就是 c 选项必要不充分条件。然后再来看第十三题，他说圆心，所以首先写法就应该是 x 减一括号的平方加上 y 减二括号的平方，然后等于半径 r， 所以 首先就可以排除掉 b d 选项， 然后说跟直线是相切的，那相切的话就说明圆心到直线的距离要等于半径，所以 r 就 要等于我们的一个三乘一加四乘二，减去一的绝对值比上根号下三方加四方， 所以就等于我们的一个三加八减一的绝对值比上五，所以它是要等于二的，所以半径是二，那 r 方就是四，所以选择 a 选项，然后再来看第五个，这里呢应该是要，应该是要写成没有这个加一才对哈。 那我们来看，他告诉我们 a 一 是等于五，那所以看 a 一 等于五，那 a 二呢，就等于一，减去五分之一，所以就是五分之四，然后 a 三呢，就是一减去五分之四分之一，也就减去四分之五，所以他就等于负四分之一， 然后再来 a 四呢，就等于一，减去负四分之一，那就一加四，所以就是等于五。哎，我们可以看到 a 四刚好跟 a 相等了， 那所以下面就直接套写就可以了，这 a 五就是五分之四， a 六就是我们的一个，又是负四分之一，对吧？所以 a 七就是五， a 八就是五分之四，然后呢 a 九就是负四分之一，所以我们就可以知道 a 十就等于五，所以选择 c 选项。 然后再来看第十五题，它是偶函数，并且呢要是在零到正无穷，它是单调递增的，那所以我们就直接画出来 是偶函数，幺是递增，所以就直接这个样子就可以了。所以这里就是他又说了 f 一 是等于零，所以右边这个焦点是一，左边这个焦点就是负一， 他说 f m 减一要小于零，所以就说明 m 减一就必须得在负一到一之间，所以这 m 减一大于负一小于一，所以这 m 大 于零小于二，所以呢就写零到二的区间的形式，所以就选择 a 选项。 ok， 然后再来看二十五。第十六题，那五的平方就是二十五减去四呢是二的平方，然后指数往前放，所以它其实二被 logo 二二，而 logo 二是一，所以它就是二十五减二，所以就等于二十三， 然后他说三斗零在上面，所以就直接把三斗零带进去，所以就三的平方比上 a 的 平方，加上四分之零的平方就要等于一，所以就知道 a 一 方就要等于三方，所以 a 就是 三。 然后第十八题，他这两个向量是平行的，平行就说明乘倍数，所以看到他们 x 乘两倍，所以 y 这一部分 x 就 应该是四， 然后再继续下一个，他说公比 q 是 二，然后 a 四是十六。问我们 a 一 说了是等比竖列，所以就说明 a 四就等于 a 一 乘以 q 的 三次， 所以就说明 a 四是十六，所以十六就等于 a 一 乘以二的三次，所以就有八倍。 a 一 等于十六，所以 a 一 就等于二。 ok， 然后我们来看第十二个，那他给了两个的和， cosine 的 和跟 sine 的 和。问我们 cosine 法减倍它，那我们可以看到他问的其实就是 cosine 法， cosine 倍它加上 sine 法 sine 倍它， 那所以我们可以看到，哎，我们就需要用到前面两个等式让它出现，后面的 cosine 乘 cosine 三乘三，所以如果要出现的话，就比是不是只要平方一下就可以了？所以如果同时两个式都平方一下，第一个式子就是 cosine 的 平方加上两倍 cosine 法 cosine beta 再加上 cosine beta 的 平方，所以就等于十六分之九。第二个平方下就是三阿法的平方加上两倍三阿法三倍它再加上三倍，它的平方就等于四分之一，哎，看，因为我们要得到的就是它们两个的和，对吧？所以这是一式，这是二式， 一是加，二是就刚好可以得到了，那这里第一个位置相加就是一，第二个位置相加就是两倍，题目问的，对吧？所以这是扣三发减倍它第三个位置相加就还是一， 然后后面位置相加，这是四乘四，那所以就是十六分之，我们的一个以九加四，所以就是十三， 那所以把这两个移到右边去，我们就可以知道两倍 cos 括号 alpha 减 beta 就 要等于十六分之十三减二，也就是十六分之十三，减去十六分之三十二，所以就等于负十六分之十九， 那所以我们就可以知道 cos alpha 减 beta 就 等于负三十二分之一十九，那所以这就是我们的选择填空部分了。 ok。

二零二六年高值高考真题的选择题跟填空题。首先第一题很简单，他考的是一个并级的东西啊， m、 b、 n 对 不对？那并级其实就是什么，只要出现一次的， 他就要放在这一个集合里面嘛，对吧？所以说我们先把 m 的 这一个集合全部抄上去一跟二，再把 n 的 抄上去，二四、五二已经有了，所以说直接把四跟五抄进去就好了。所以说第一题选的是 a 选项，第一题选的是 a 选项。接下来我们看到第二题，这里求的是考的是一个三角函数的最值问题啊，最值问题，无论对于三还是 靠撒引来说，他们的最大值都为多少的呢？最大值都为一，最小值为多少呀？ 最小它就为负一嘛，对不对？而要你除的是 y 等于二，乘上撒引 x， 这里其实看成两部分，一个是二，一个是撒引 x 嘛，那撒引的最大值为一的话，也就是二乘一等于二，所以说第二题选的是一选项第二个。那么接下来看一下第三题。第三题这里考的是一个向量的 坐标呀，他考的是一个向量的坐标，并且给了一个表达式的东西给你的时候，此时这个向量的坐标怎么算呢？我们这里就要用直接算的方法来求， 那么向量 a 减去向量 b 啊，他用直接算，也就是等于三减二，这是横坐标，重坐标就是二减一嘛，所以说这里我们计算一下，他就等于一到一啊。所以说第三题选的是间接下这一个也算简单的。接下来到第四题这里，题目让你判断的向量函数是 c 函数的东西是哪一个？首先我们要记住 一句话，奇偶性，其实它跟指数还有对数，它是没有关系的，意味着什么？你看到奇函数下面写下有指数跟对数的都排除掉，我们这里指数啊， 它的一般形式是什么呢？ y 等于 a 的 x 是 吗？而对于对数来说， y 它就等于 log a x 啊，对不对？基于这一个，我们首先把 a 跟 d 排除掉，接下来在 b 跟 c 里面选一个 b 选项，它是 y 等于 x 分 之一， c 选项是 y 等于 x 平方份加一嘛，对吧？我们来看一下 c 选项 x 的 平方，它是一个偶函数， 并且它的图像是一个开口向上的二函数，而 y 等于 x 平方加一呢？其实它就整体往上移了一个单位嘛。所以说这里啊，它关于 y 轴对称， c 选项，它是一个偶函数来的，那么这道题我们只能选括号选项，而括号选项这一个，它其实是一个反比例函数来的，它经过的是一三象限，它是一个这样子画的一个图像。关于圆点对称，所以说这道题选的是第二个 b 选项。 那么接下来我们看到第五题，第五题这里从四本不同的书当中任取两本 b 选项。那么接下来我们看到第五题，这里从第五题这里从四本，这里从四本呢，等于 a 四二 除以 a 二二呀，而 a 四二，它就等于四乘三， a 二二等于二乘一，所以说这里它的答案就是等于六，那么第五题选的就是第四个低选项。接下来到第六题，第六题这一个考察的是一个分段函数的一个知识点。首先我们来看一下，让你求 f 一 的话，求 f 一 此时 x 是 等于一了，那么他就要带进去 f x 等于 x， 平方减一那里去吗？所以说 f 一 他就等于一的平方减一就等于一，减一等于零的呀。所以说第六题选的是 b 第二个选项。那么接下来看到第七题，第七题考的是一个什么知识点呢？考的是一个负数的周长的一个知识点， 负数的模长。对于负数 g 等于 a 加 b， i 来说，负数的模长，它就等于 a 的 平方加 b 的 平方该根号。那我们来看一下，此时 g 等于三加四， i 来说，此时 a 就 等于三， b 它就等于四吗？对不对？此时它的模长就应该等于三的平方加四的平方该根号。这里不用算了，直接等于五的。所以说第七题选的是 c 选项。 那么我们来看到第八题，第八题这一个属于一个比较新的题型了，已知 p a 等于零点二， p b 等于零点六，让你求 p a 跟 p b 同时发生的概率。那我们这里 p a 这一个符号，他有一条公式，等于什么呢？等于 pa 加 pb 的， 这是一条公式，同学们需要记忆。所以说大数进来等于零点二加零点六，此时就应该等于零点八呀，所以说这道题选的就是 b 第四个选项。 那么接下来我们看一下第九题。第九题考的是一个双曲线的渐近线问题，那我们复习一下，对于双曲线的渐近线来说，此时分成两种情况的。首先第一个，如果他的交点在 x 轴上面为多少啊？ y 等于正负 a 分 之 b， x 的， 这是第一个方程。第二个交点， 如果此时在 y 轴的话，那么 y 就 应该等于正负 b 分 之 a， x 啊。所以说，我们这里做到第一步要干嘛呢？第一步，先要判断双曲线的交点。怎么判断双曲线的交点的呀？ 其实就要判断 a 的 平方了，那又怎么判断 a 的 平方呢？此时就要记住一个口诀，谁大？谁是，是谁大还是谁正啊？此时是谁正，谁是 a 的 平方，而对于椭圆来说，是谁大谁是 a 的 平方，此时 x 平方是正的，说明了 a 的 平方等于四，也就说明了焦点 他是在 x 轴的，没问题吧？而 b 的 平方等于十六码，对不对？那么第二步，他的焦点既然在 x 轴了，接下来呢，我们就要判断他的渐近线方程了，此时直接被公设 渐近线方程为 y 等于正负 a 分 之 b， x 啊。你要做的工作就是代数进去， a 的 平方等于四，说明了 a 就 等于二码， b 的 平方等于十六 一，他就只能等于四吗？对不对？所以说 y 等于正负 a 分 之 b， x 按数计算就等于正负二分之四， x 就 等于正负二 x 啊。所以说第九题选的是 c 选项，这道题也是不难的，只需要背公式。 接下来到了第十题，第十题，这个题相对来说简单，若一组数据，这一组数据给了你，并且说他的算数平均数为九，怎么算他的算数平均数或者叫他们的平均数的呀？就应该把他们所有的数 相加在一起，然后再除以他们的个数嘛，对不对？那么我此时用 x 上面一个横杠来表示它的平均数，它就等于六加七加七加 x 加十加十加十六，这里一共有多少个数啊？ 这里一共是有七个数的，它就要等于九嘛，对不对？说明了上面它就等于十三加七加 x 加二十加十六就是三十六，这里同时乘七七九六十三了，说明了我们能解出来 x 是 等于七的，所以说现在这组数据啊， 他就有什么了，六七七七、十十十六，这七个数嘛，而现在问你的是种数，什么叫做种数啊？也就是所谓的出现次数最多的那个数， 这里一谁哪个数出现次数最多啊？是不是七是出现是最多，他出现了三下，所以说这里他的种数就为几啊， 种数就为七嘛，对不对？所以说这道题选的是 a 选项，选的是 a 选项，那么接下来我们看下十一题。十一题这个属于一个随机变量的东西，他说 若随机变量，可 c 服从正态分布 n 零到一，然后求可 c 大 于零的概率，那这个时候正态分布我们就需要画一个图， 它此时的图是这样子画的，零到一意味着什么呢？大于零的时候只有右半边，那只有右半边，它就是这里的一半，所以说 p 可 c 大 于零，它就应该等于二分之一啊，对吧？所以说这道题选的是 c 选项， c 选项这里这个正态分布 n 零到一啊，意味着它在它这里一共是零到一这个范围而已。 那么接下来我们看到十二题，十二题，这里考察的是啥呢？考察的是一个逻辑用语的东西，逻辑用语我们先来看到右半边 a 大 于一，这里已经给出来这是一个范围了，我们不用管它，那我们接下来需要把 a 的 平方大于 a， 要翻译成一个范围啊， 我们才能接下来往下做的。那怎么翻译成一个范围？其实这里隐含着就是要解这个不等式吗？那 a 的 平方减 a 大 于零，先把 a 移到左边去，接下来这里怎么办？提一个 a 出来，变成 a， 乘上 a 减一，要大于零，接下来这里当它等于零的时候，有两个点，一个是零，一个是一，而我们此时大于，要取两边的， 对吧？所以说要取零跟一的两边啊。 ok， 那 此时我们换一个数轴， a 小 于零， a 大 于一，此时红色线段是我们画出来左边的范围，接下来老师用黑色线段表示 a 大 于一，就是这一段嘛，那告诉我听这里啊，是不是红色所包裹的范围更大呀？ 那现在黑色波浪线表示是红色所包裹的范围，而黑色所包裹的范围只有红色波浪线的东西，说明了这属于一个，前面是一个大范围，后面属于一个小范围，它属于前大后小行，说明了这道题要选的是一个必要不充分条件， 因为小范围能推大范围，而大范围不能推小范围。那么十二题选的选项是 c 选项是 c 选项。接下来我们看到十三题，十三题这一个考察的是一个直线与圆的位置关系， 直线与圆的位置关系，此时他考的是一个什么位置关系？考的是一个相切的位置关系。一个直线与一个圆，他们相切有什么性质呢？圆心到直线的距离等于半径吗？而这里他跟你说了圆心坐标为一到二的话，我们圆的标准方程是怎么背的？ 圆的标准方程此时是 x 减 a 的 平方加上 y 减 b 的 平方，等于半径的平方嘛？此时圆心坐标 为一，而 a 到 b 啊，而此时为一到二的时候，代入我就能得到。圆的方程其实是 x 减一的平方加上 y 减二的平方，它是等于 r 的 平方的，所以说这里我们要求的就是 r 的 平方。对于这一个标准方程来说，我们首先要排除的是 c 跟 d 两个选项，对吧？接下来在 a 跟 b 里面蒙，那怎么蒙呢？接下来其实就是我圆心 到直线的距离是为多少的呀？它是为半径 r 的， 对不对？接下来求圆心到直线距离为 d 的 话，把这个圆心的坐标带进去这条直线里面，它就等于三乘一加上四乘二减一，这一个的绝对值除以什么呢？ x 前面那个数三个平方加 y 前面那个数 四的平方开根号，这里就等于三加八减一的绝对值，下面是等于五吗？上面就等于十，一减一就等于十除以五，所以说一它就等于二啊，而你啊等于二啊的平方，它就等于四了呀，对吧？所以说我指示圆的方程为 圆的方程，就为 x 减一的平方加上 y 减二的平方，是等于四啊。所以说这道题我们选的是 a 选项，第十三题选的是 a， 那 么接下来我们看下第十四题。第十四题考的是一个向量的递推公式， 竖列的递推公式，我们只能通过什么来做呢？一项一项给列出来来做，但是这里列到 a 十其实是蛮多的。那我们首先来列举第一种情况，当 n 等于二的时候，此时就应该 a n， 也就是 a 二等于一，减去 a 一 分之一，等于一，减去五分之一，是等于五分之四啊，对不对？所以说我们这里能得出来 a 二等于五分之四啊。接下来第二种情况，当 n 等于三的时候，列出一下， a 三，它就等于一减去 a 二分之一，它就等于一减去五分之四分之一，也就是四分之五，它是等于负的四分之一的，说明了 a 三，我们求出来等于负四分之一。接下来第三步，当 n 等于四的时候， 这能得出什么了？ a 四等于一，减去 a 三分之一，就等于一减去负四分之一，也就是负四吗？它就等于一加四，四等于五的说明了 a 四它是等于五的，你能发现什么呢？ a 一 等于五， a 二，它是等于负五分之四，对吧？而 a 三呢，它就等于这一个是负的四分之一。接下来看一下， 到了 a 四又等于五了呀，接下来 a 五是不是理所应当就有个规律，等于五分之四啊，对不对？ a 六呢？此时它就等于负的四分之一， a 七 a 八 a 九，是不是一模一样的道理？所以说到了 a 十啊，它就直接会等于五的，没错啊，所以说这道题十四题全是七，当然了，同学们可以一项一项列取，也是没问题的。 那么接下来我们看到十五题，十五题，这里考的是啥呢？考的是一个稀有性与单调性的一个结合。 首先来回顾一下，对于偶函数来说，我们有什么性质？第一条非常重要的性质， f 负 x， 它就要等于 f x 的， 对吧？第二条最重要的性质是啥呢？它的图像关于谁对称啊？ 关于 y 轴对称，这是偶函数最重要的两条性质。那么接下来我们看一下，此时 f 一 等于零啊，又因为它是偶函数的话，说明了 f 负一也会等于 f 一 等于零的，没错吧？那么接下来求的是一个取值范围，那我们这里就只能通过画图来做了。什么画图 f 一 等于零，说明了这个等于一嘛，他等于零的时候，并且在零到这无穷是真函数，说明了在右半边他走的是一个上坡路啊。那我们把这个图画一画，此时假设是一个上坡路的图，对吧？那我们左边也要对齐回来，要补全来呀，因为它偶函数，它的图像关于 y 轴对称， 那么接下来我们把左半边补全一下，他就应该刚好跟 y 轴对称，是这么来的，是这么画的，此时这一个跟 x 轴的交点等于负一嘛，因为 f 负一也等于零的，而此时他要的是什么呢？ f m 减一小于零，小于零是不是下面老师现在画黑色线段的？那他此时这个 m 减一的范围就应该在负一跟一之间嘛。接下来我要求 m 的 范围怎么求啊？ 两边同时加一个一嘛，所以说中间加一个一等于 m， 右边加一，一加一等于二，左边呢？负一加一等于零，那所以说 m 它的范围就是零到二之间。那么第十五题选的就是 a 选项，选的就是 a 选项，不难的。接下来看到十六题，十六题考的是一个什么呢？指数对数的运算问题， 指数跟对数预算问题。首先五的平方，它就等于五乘五就等于二十五嘛，对吧？然后 log 二四二的多少次方等于四啊，二次方啊，所以说五的平方减去 log 二四，它就应该等于二十五，减二它是等于二十三的，所以说二十六题答案它就等于二十三。 那么接下来看到第十七题，第十七题已知点 p， 这个点在椭圆上面，然后问你 a 等于多少？对于这一个椭圆来说， 他都跟你说 a 方是 x 平方下面那个了，说明此时这一个椭圆它的交点它是在 x 轴上的，对吧？那我们现在先来画一个图，它在 x 轴上面，说明在 x 轴那里是点一点的，这一个椭圆是这么画的，三到零其实是这个点称为点平，而这一个点说明了它这一段横坐标等于三，而这个横坐标其实就是我们的什么， 其实也就是我们的半长周长啊。那我们的半长周长，其实它等于 a 的， 说明了 a 是 等于点 p 的， 很重要，等于三啊，所以说第十七条答案就是等于三。 ok， 接下来我们看到第十八题，第十八题考察的是啥呢？考察的是一个向量平行的一个公式， 对于向量平行来说，它有一条什么公式呢？ x 一 乘 y 减去 x， 二乘 y 等于零啊。接下来代数进来，这是 x 一， 这是 y 一， 这是 x 二，这是 y 二。代数进来等于一乘 x， 减去二乘二等于零啊，所以说第十八条答案它就为四。 ok， 接下来第十九题，它考察是一个等比数列的通项公式，对于等比数列来说，它的通项公式 a n 等于 a 一 乘 q 的 n 解一次方程，而对于 a 四来说，它就应该等于 a 一 乘 q 的 三次方程，再数进来十六就等于 a 一 乘二的三次方程，所以说八倍的 a 一 等于十六，那么 a 一 只能等于二呀！所以说第十九题答案是等于二的， 那么接下来看到第二十题的答案是等于二的，那么接下来看到第二十题的是三角函数的平方关系，主要考了这两个。首先来看他要你求 cosine alpha 减贝塔，这里通过和角公式拆开来就等于 cosine 法， cosine 贝塔加上 cosine 法乘上 cosine 贝塔了，对不对？那我们这里目标就把这两块求出来，然后套进去就行了。而对于 cosine alpha 加贝塔来说，你知道不能直接套也不能直接乘吗？没错，那我们这里怎么办呢？把它平方一下，这里就等于 cosine alpha 的 平方加两倍的 cosine cosinear 乘上 cosinear 加上 cosinear 加上 cosinear 的 平方，这里它就等于四分之三的平方，等于十六分之九啊！而对于 cosine alpha 加 cosinear 来说，我们仍然也把它平方一下，等于 cosinear 的 平方加上两倍的 cosinear 乘上 cosinear， 再加上塞以贝塔的平方，这里等于二分之一的平方，也就等于四分之一，上面称为二。是这里同学们需要注意的是， cosine alpha 的 平方加 cosine beta 的 平方不等于一的，只有 cosine alpha 的 平方加上 cosine alpha 的 平方才能等于一啊！还有就是 cosine beta 的 平方加上 cosine beta 的 平方，再加上两倍的 cosine alpha， cosine alpha 乘上 cosine beta， 再加上两倍的 cosine alpha 乘上 cosine beta 乘上 cosine beta。 贝塔，这里是贝塔再加上塞以贝塔的平方加上或塞以贝塔的平方，才等于右边的十六分之九加上四分之一嘛。接下来不要看这道题很复杂，那其实化解很简单的，这两个加起来，他们是不是各是一加一等于二啊？然后再把中间这一块用什么公式化解呢？用合减公式化解，先把二提出来，他就变成了 cosine 法乘上 cosine 贝塔，再加上 cosine 法 乘以 a 倍，它就等于右边十六分之九加四分之一就等于十六分之九加十六分之四嘛。所以说它就等于十六分之十三了。所以说两倍的这中间化解一下，等于 cosine alpha 减倍它，它就等于十六分之十三减去二呀。所以说两倍的 cosine alpha 减倍它，它就等于负的十六分之多少嘞？这里是等于十九嘛。负的十六分之十三， 正的十六分之十三减去二，也就十六分之三十二嘛，它就等于负的十六分之十九啊，对吧？所以说接下来同时除以二，右边呢？它除以二就乘二分之一嘛，等于负的三十二分之十九。所以说这道题的答案就是等于负的三十二分之十九。做完了 第二十一题，已知三角形 a、 b、 c 当中内角大 a、 大 b、 小 大 c 的 所对的边为小 a、 小 b、 小 c。 已知两个条件， b 跟 c 这两条边，并且跟你说角 c 等于六十度。第一问求的是三角 b， 这里求的是三角 b。 首先我们要想到的是什么呢？由正弦定的， 先把公式写下来。由正弦定，你的 b 除以三以 b， 它就等于 c 除以三以 c 嘛，对不对？先把这个公式写出来，可能会得一分到两分了，接下来代数进去，所以说两倍根号三除以三以 b， 它就要等于四，除以三以六十度，这个代数进来也是有分的，同学们不要忽略到。接下来怎么求三以 b 呢？我们这里就用交叉相乘来做。 交叉相乘怎么做？四倍的三引 b， 他 就要等于二倍，根号三，乘上三引六十度，也就是二分之根号三，那么四倍的三引 b， 这里他就等于三，所以说三引 b， 这里除以一个四出来就等于四分之三了。第一问我们基本上就做完了，这里第一问做出来能得六分。接下来到第二问， 设点 d 为 b、 c 上面一点，并且跟你说 c、 d 等于根号三，让你求 a、 d 这里啊，我们这个这道题，它跟二零二三年的真题是很像的。我们先来画一个图，三角形 a、 b、 c 是 题干给我的信息，小 b 等于二倍根号三，也就是 a、 c 等于二倍根号三，小 c 等于四，也就是 ab 等于四，并且 c 这个角度等于六十度，对吧？点 d 了，为 bc 上面一点。那此时 cd 等于根号差，说明了这小的像老师画出的这条线，它等于根号差。接下来求 a、 d， 那 我们就要把 a、 d 连接起来，此时我们要在哪个三角形里面做呢？ 要在这一个小的三角形 a、 c、 d 里面用一个余弦定，你写，所以说接下来我们就要写着说，在三角形 a、 c、 d 当中，接下来就要被余弦定你的勾上，由余弦定你的 a、 d 的 平方，它就要等于 a、 c 的 平方，加上 c、 d 的 平方，减去二倍的 a、 c 乘上 c、 d， 不要忘记还要乘以一个 cos 啦，对吧？老师，这里写不下了，就写上面去。那么接下来 余弦定，你这条公式写出来了，估计会得一分到两分。接下来代数进去 a、 d 的 平方，它就等于 a、 c 的 平方，它等于二倍。根号三的平方加上 c、 d 的 平方，根号三的平方减去二倍的 a、 c 乘上 c、 d， 再乘上 cos， 也就是 cos 六十度嘛，对吧？这个代数的过程不要忘记了，那么 a、 d 的 平方，它就等于十二，加三，再减去后面 二，乘上二倍，根号三，再乘上根号三，还要乘上 cos 六十度等于二分之一嘛。然后这里约分一下，所以说 a、 d 的 平方，它就等于十五，减去后面的六，其实是等于九的。那我们可以直接写 a、 d 等于三吗？不可以的。这里如果同学们这么写，会存在扣一分的情况，一定要写 a d 大 于零，所以说它才 a、 d 才能等于三，这里会存在这一分容易扣分的一个点。 好吧，这是二十一题，这是二十一题加二十二题。二十二题，这个属于一个比较不常规的一道题，但是同学们不要慌，我们来看一下题目。已知函数 f x 等于三的 x 次方减 a x， 这一个图像过一到二，这个点第一位让你求小 a 的 值，那这个图像过一个点，是不是说明了这个点的坐标啊？ 它是满足于函数解析式的呀，对吧？这个点的是满足函数解析式的。所以说第一位我们就要怎么办呢？把一到二代入 f x 等于三的 x 次方减 a x 里面，我们可以得到啥呢？可以得到，此时相当于是 x 等于一， f x 等于二嘛，说明了三的一次方减 a 乘一，这一块等于二啊，那么 a 直接第一位求出来等于一了，所以说这里 他会存在一个点是什么呢？第一问，这里六分的话，那么他你把他带进来这里，可能会得两分了，然后你把这一个式子写出来，可能也会得两分，接下来 a 等于一，还会得两分，这就构成了第一问的六分， 这就构成第一问的六分。接下来到第二问，第二问，他说是函数 g x 等于负 x 加九，让你求这个不等式的解析。先不要慌，从第一问，我们知道了啥呀？ 由于的 a 是 等于一的，所以说此时我的 f x 啊，它就等于三的 x 四方减 x， 这条函数关系是对不对？那么接下来，因为 f x 它是大于 g x 的， 说明了三的 x 四方减 x， 它要大于谁呢？ g x 负 x 加九啊。 接下来我们写这个函数关系，是你做到了这里，基本上会得一分到两分，只要写出来不需要解。那么接下来解啊，怎么解？三 x 它就大于负 x 加 x 加九，就要把左边那个负 x 移到右边去，所以说三的 x 是 它大于九啊。接下来我们要解这个解，这个怎么解啊？ 右边是九的话，不好做，对不对？所以说我要把这个九变成三的多少次方，三的多少次方等于九啊，三的平方嘛，对不对？所以说三的 x 次方大于三的平方，又因为三的 x 次方是什么函数？它是一个真函数，真函数 老师可能会跟同学们讲过，真函数说明他们是同号还是一号的呀？同号的对不对？所以说原来是大于号，你抄下来仍然是大于号。那么第二问，解出来的解集就是 x 大 于二，接下来我们只需要写一个结论就行了，所以说不等式 f x 大 于 g x 的 解集为 这里老师需要强调的一个点是什么呢？你这个解集最后的结论要么写成集合的形式，要么写成区间的形式，这里老师用区间形式把它表示出来就是二，大正无穷。那么同学们就会问老师，那我到底写到什么时候会有所谓的步骤分呢？首先第一条，把 g x 大 于 f x 大 于 g x 整出来会得两分，然后解的这个三 x 大 于九可能会得一分， 可能。然后接下来再把这个，又因为 g x 是 一个奇函数，还会得一分呐。接下来可能 x 大 于二会得一分，现在就已经构成五分了。最后结论可能还会占一分，基本上就是这么分布的，这就是二十二题。

今天我来讲一下二零二六广东高子高考数学的填空题吧。第十六题， 五的平方，二十五减这个 log 二四呢？其实就是 log 二，这个四变成二的平方，这里约就是二十五减二啦，就是二十三。很简单，十七题，这个点在这个椭圆上，我们直接把这个点带进去就 ok 啦。就是 a 方分之九加这个 y 的 零，那算这一坨就是零了，这个直接不写了。 等于一，把 a 方乘到右边，所以 a 方等于九， a 等于三，对吧？本来 a 的 正负三的，因为它说 a 大 于零嘛，所以 a 等于三。非常简单，向量平行十八题，平行的话，内向之积等于外向之积，所以就是 x 等于四啦。送分题， 十九题也是送分题。 a 四我们可以变成 a 一 乘以 q 的 三次方，因为它说是等比嘛。等于十六， q 的 三次方，二的三次方为八八倍的 a 一 等于十六，那么 a 一 就等于二了。那么填空题的前四题完完全全是送分题啊。好，我们来看二十题，二十题我我记得跟某一次联考一模一样，就是它整个题目的那个类型， 出题的套路一模一样。好啦，这题怎么做呢？口算阿尔法加口算贝塔，正确的做法是给他一个平方等于十六分之九。哪，这者四分之三角平方，两边同时平方， 好得出口算呀。平方阿尔法加口算平方，贝塔加两倍，口算阿尔法，口算贝塔 等于十六分之九。 ok， 这个是第一条，那么第二条也是啊，我们也是两边左右两边给他一个平方，那就变成 sine 平方 alpha 加 sine， 平方 beta 加两倍 sine alpha， sine beta 等于四分之一， 这里什么关系啊？三三平方加口上平方，这里也是，它们两个相加就有一啊，你是不是发现，哎，如果我加两条四指，一四和二四相加，是不是能直接把它们变成一了？所以说它们两个相加之后呢，就变成一加一 加两倍，口上阿尔法，口上贝塔加两倍，三眼阿尔法 sin beta 等于十六分之九，加四分之一，对吧？嗯，好，继续算，那这里一加一等于二，那就变成二加两倍。 cosine alpha， cosine beta 加 sine alpha， sine beta， 对 吧？等于 十六分之十三。再把这个二移到右边，那就是减二了。好了，我们在这里的基础上进行计算了，那减二呢？就是减 十六分之三十二了。好，我们来整理一下，这里已经移过去了，那这里呢，就变成了负十六分之十九了。 负十六分之十九，对吧？好了，我们再把这个方程两边同时乘以二分之一啊，那就变成口上的阿尔法，口上的 beta 加萨尔，阿尔法萨尔 beta 等于负三十二分之十九了。 好了，那么这一个其实就是 cosine 的 和角和差角公式啊，那就变成 cosine alpha 减 beta 等于负三十二分之十九了，对吧？那现在题目求什么？题目就求刚好就求这个吧，所以答案就是负三十二分之十九。好，现在课就到这里。

今天我来讲一下二零二六广东高子高考最阴的几道选择题吧。第十二题，冲掉条件，我们来看一下，我们先把这个 a 方大于 a 处理一下，先把它的 a 的 范围解出来， a 方减 a 大 于零，先把它移到左边，然后先求根，这个就相当于减一二十不等式啊。先求根， a 乘以 a 减一等于零，对吧？ a 一 等于零， a 二等于一，那么那它它是大于的，所以说大于取两边，就是取零和一的左右两边，所以 a 小 于零或者 a 大 于一，对吧。好了，我们来看了， a 小 于零， a 大 于一，那么前面的呢，有两个范围，它是大范围的，后面有一个范围，它是小范围的，前大后小，必要不充分。近十几年广东都是考充分不必要的，那现在来了个必要不充分，这题还是挺考人的。 第三题，以一逗二为圆心，对吧？首先我们可以排除 c 和 d 了。好了，与直线相切圆的方程是什么？那么看到相切这个关键词啊，就是说明圆心到直线的距离等于半径，那么 d 等于根号，根号下 a 方加 b 方， 分子为 a x 零加 b， y 零加 c 等于。那这里的 a 和 b 呢？就是三和四嘛，那根号三的平方加四的平方，就是等于根号二十五等于五了。三十五啊，勾股定底，勾股数， 好分子就是把这里的一到二乘进去啊，也就是三加八减一了，等于五分之十等于二。那么所以呢，刚刚说，刚刚说了啊， d 等于 r， 所以 r 也是等于二。所以呢，我们这里 圆的标准方程右边是什么？右边是 r 的 平方来的， r 的 平方等于四啊，所以选 a 啊。第十四题套玩法，直接套玩法就行了，一个个套出来，虽然它是 a 十，我们不要害怕，先套好了，这里放大一点来做了。 a 二等于一减 a 一 分之一，对吧？那因为 a 一 是五，所以一减五分之一就等于五分之四了。哦，好了，再来。 a 三等于一减 a 二分之一等于。好了，那这里呢，就变成五分之四， 再分之一，那这里其实呢，就是一除以五分之四，除以一个数等于乘它的导数，那就变成了一乘以四分之五。那其实这一坨呢，就是变成了四分之五了，也就是一减四分之五 等于四分之四减四分之五，对吧？等于负四分之一。好了，我们把它整理一下，那这一坨呢，就变成了负四分之一。 好，继续。 a 四等于一减 a 三分之一等于。好了，那就是 一减负四分之一，再分之一。那刚刚说过了，这里就变成了一除以负四分之一，那除以一个数等于乘以它的导数啊，等于一乘以负四，所以呢，这里呢，就变成了 一减负四等于五了。好了，哎， a 四又变成了五，对吧？把这里全部先擦了，然后再来看啊， a 五，那就等于一减 a 四分之一，哎，又变成了五分之四了， 所以说 a 五它是一个循环来的，又变成了五分之四，然后 a 六又是负四分之一。好了， a 七等于五，我们就直接向循环的写就行了，然后再循环 a 八 a 九 a 十。所以这题答案选 c 十五题已知偶函数在零到正无穷，当到递增 f 一 等于零。那这节呢，我们最好的方法呢，就是用图像的方法去做完，我们先把这个图像大致的画一下，放大一点， f 一 等于零，对吧？ 好过这个点。然后呢，再零到正无穷，当到递增，我们再零到正无穷，画一条当到递增的直线，大概就是这样子了。又因为它是偶函数， 它是 y 轴对称的，把这个图像补充完整，那就大概这样子了。好了，它又这里又一个交点，这个交点就是负一， 那右边是一啊，好了，它说 f x f m 减一小于零，这一个指的就是 y 轴的坐标值，它的意思就是 y 小 于零，那是哪一个部分呢？我们看图，那就是下面的这个三角形的这个部分，那所以呢，我们随便来个点呢？对上来， 好，那这个点呢，就是 m 减一，所以说你会发现，哎， m 减一，它是在负一和一里面的喔，所以它它就是小于一， m 减一大于负一。好，我们解这个就行了。来了，所以就是 m 小 于二， m 大 于零，对吧？所以就是零小于 m 小 于二了，就是零，都二了，所以这题选 a。

我真服了，学考音就算了，高子高考也太阴间了吧！你看数学，那两道神秘的海草符号，你看得懂吗？同学们， 语文英文已经够崩溃了，你看看，就差英语了，今年谁出的题目啊？很多复读的高子高的同学反馈，有了超纲的知识，改题型就算了，难度还增加了，去年加了负数，今年完全不按套路出牌。 数学正态分布和复试写对了吗？同学们，我二五年十月份发了一条视频啊，分析二零二六年高考，高子高考是最难的一年，被家长说我是制造焦虑，现在胡老师说对了吗？同学们，今年高子高子考到底多少分才能上岸公办？ 胡老师整理了一些学校，点赞收藏起来！第一所，广东财贸职业学院，最低一百九十一分！去年 第二所，广东茂名幼儿师范，最低分一百七十七分。第三所，广州幼儿师范专科，一百三十九分。第四所，广东艺术职业学院，二百零一分。第五所，广东汕头幼儿师范，一百五十八分。第六所，广州卫生，一百一十二分。第七所，广东江门幼儿师范，二百一十三分。第八所，广东文艺 啊，两百分。第九所，河源职业，二百零六分。第十所，汕头职业，二百一十分啊！这些都是可以去低分捡漏的！同学们，你们想低分捡漏哪所学校？关注我，欢迎留言！

大家好，我是博企职教的数学老师杨老师，今天我们来看一下二零二六年高值高考真题的选择题跟填空题。首先第一题很简单，他考的是一个并级的东西啊， m、 b、 n 对 不对？那并级其实就是什么，只要出现一次的， 他就要放在这一个集合里面嘛，对吧？所以说我们先把 m 的 这一个集合全部抄上去一根二，再把 n 的 抄上去，二四五二已经有了，所以说直接把四根五抄进去就好了。所以说第一题选的是 a 选项，第一题选的是 a 选项。接下来我们看到第二题。第二题这里求的是考的是一个三角函数的最值问题啊。最值问题，无论对于三还是 cosine 来说，他们的最大值都为多少的呢？最大值都为一，最小值为多少呀？ 最小它就为负一码，对不对？而要你求的是 y 等于二乘上三 x， 这里其实看成两部分，一个是二，一个是三 x 嘛，那三 x 的 最大值为一的话，也就是二乘一等于二，所以说第二题选的是一选项第二个。那么接下来看一下第三题。第三题这里考的是一个向量的 坐标呀，他考的是一个向量的坐标，并且给了一个表达式的东西，给你的时候，此时这个向量的坐标怎么算呢？我们这里就要用直接算的方法来求， 那么向量 a 减去向量 b 啊，他用直接算，也就是等于三减二，这是横坐标重坐标就是二减一嘛，所以说这里我们计算一下，他就等于一到一啊。所以说第三题选是或选项这一个也是很简单的。接下来到第四题这里，题目让你判断的是向量函数是奇函数的东西是哪一个？首先我们要记住 一句话，奇偶性，其实它跟指数和对数它是没有关系的，意味着什么？你看到奇偶性，其实它跟指数跟对数的都排除掉。我们这里指数啊， 它的一般形式是什么呢？ y 等于 a 的 x 是 吧？而对于对数来说， y 它就等于 log a x 啊，对不对？基于这一个，我们首先把 a 跟 d 排除掉，接下来在 b 跟 c 里面选一个 b 选项， 它是 y 等于 x 分 之一， c 选项是 y 等于 x 平方份加一嘛，对吧？我们来看一下 c 选项， x 的 平方，它是一个偶函数， 并且它的图像是一个开口向上的二次函数，而 y 等于 x 平方加一呢？其实它就整体往上移了一个单位嘛。所以说这里啊，它关于 y 轴对称， c 选项，它是一个偶函数来的，那么这道题我们只能选 boy 选项，而 boy 选项这一个，它其实是一个反比例函数来的，它经过的是一三象限，它是一个这样子画的一个图像。关于圆点对称，所以说这道题选的是第二个 b 选项。 那么接下来我们看到第五题，第五题，这里从四本不同的书当中任取两本 b 选项，那么接下来我们看到第五题，这里从四本，这里从四本，这里从四本。 a 四二 除以 a 二二呀，而 a 四二，它就等于四乘三， a 二二等于二乘一，所以说这里它的答案就是等于六，那么第五题选的就是第四个低选项。接下来到第六题，第六题，这一个考察的是一个分段函数的一个知识点，首先我们来看一下，让你求 f 一 的话，求 f 一 此时 x 是 等于一了，那么他就要带进去 f， x 等于 x 平方减一那里去了，所以说 f 一 他就等于一的平方减一就等于一，减一等于零的呀，所以说第六题选的是 b 第二个选项。那么接下来看到第七题，第七题考的是一个什么知识点呢？考的是一个负数的周长的一个知识点， 负数的模长，对于负数 g 等于 a 加 b， i 来说，负数的模长，它就等于 a 的 平方加 b 的 平方该根号。那我们来看一下，此时 g 等于三加四， i 来说，此时 a 就 等于三， b 它就等于四嘛，对不对？此时它的模长就应该等于三的平方加四的平方该根号。这里不用算了，直接等于五的。所以说第七题选的是 c 选项。 那么我们来看到第八题，第八题这一个属于一个比较新的题型啊，已知 pa 等于零点二， pa 等于零点六，让你求 pa 跟 pa 同时发生的概率，对吧？那我们这里 pa 这一个符号，他有一条公式，等于什么呢？等于 pa 加 pb 啊，这是一条公式，同学们需要记一记。所以说代数进来等于零点二加零点六，此时就应该等于零点八呀，所以说这道题选的就是 d 第四个选项， 那么接下来我们看一下第九题，第九题考的是一个双曲线的渐近线问题，那我们复习一下，对于双曲线的渐近线来说，此时分成两种情况的。首先第一个，如果他的焦点 在 x 轴上面的话，那此时渐近线的方程为多少啊？ y 等于正负 a 分 之 b， x 呢？这是第一个方程。第二个焦点，如果此时在 y 轴的话，那么 y 就 应该等于正负 b 分 之 a x 啊。所以说，我们这里做到第一步要干嘛呢？第一步，先要判断 双曲线的焦点。怎么判断双曲线的焦点的呀？其实就要判断 a 的 平方了，那又怎么判断 a 的 平方呢？此时就要记住一个口诀，谁大？谁是， 是谁大还是谁正啊？此时是谁正，谁是 a 的 平方啊？而对于椭圆来说，是谁大谁是 a 的 平方，此时 x 平方是正的，说明了 a 的 平方等于四，也就说明了焦点 它是在 x 轴的，没问题吧？而 b 的 平方等于十六码，对不对？那么第二步，它的焦点既然在 x 轴了，接下来呢，我们就要判断它的渐近线方程了，此时直接被公设 渐近线方程为 y 等于正负 a 分 之 b， x 啊。你要做的工作就是代数进去， a 的 平方等于四，说明了 a 就 等于二嘛。 b 的 平方等于十六 b， 它就只能等于四嘛，对不对？所以说， y 等于正负 a 分 之 b， x， 代数进来就等于正负二分之四， x 就 等于正负二 x 啊。所以说第九题选的是 c 选项， 这道题也是不难的，只需要背公式。接下来到了第十题。第十题，这个题相对来说简单，若一组数据，这一组数据给了你，并且说它的算数平均数为九，怎么算它的算数平均数或者叫它们的平均数的呀？就应该把它们所有的数 相加在一起，然后再除以它们的个数嘛，对不对？那么我此时用 x 上面一个横杠来表示它的平均数，它就等于六加七加七加 x 加十加十六，这里一共有多少个算？ 这里一共是有七个数的，它就要等于九嘛，对不对？说明了上面它就等于十三加七加 x 加二十加十六就是三十六，这里同时乘七、七、九、六十三了，说明了二十加三十六就等于五十六加 x 是 等于六十三的，说明了我们能解出来 x 是 等于七的，所以说现在这组数据啊， 它就有什么了，六七七、七十十十六这七个数嘛，而现在问你的是种数，什么叫做种数啊？也就是所谓的出现次数最多的那个数， 这里一谁哪个数出现次数最多啊？是不是七是出现是最多，他出现了三下，所以说这里他的中数就为几啊， 中数就为七嘛，对不对？所以说这道题选的是 a 选项，选的是 a 选项，那么接下来我们看一下十一题，十一题这个属于一个随机变量的东西，他说 若随机变量，可 c 服从正态分布 n 零到一，然后求可 c 大 于零的概率，那这个时候正态分布，我们就需要画一个图， 此时的图是这样子画的，零到一意味着什么呢？大于零的时候只有右半边，那只有右半边，它就是这里的一半，所以说 p 和 c 大 于零，它就应该等于二分之一啊，对吧？所以说这道题选的是 c 选项， c 选项这里这个正态分布 n 到一啊，意味着它在它这里一共是零到一这个范围而已。 那么接下来我们看到十二题，十二题这里考察的是啥嘞？考察的是一个逻辑用语的东西啊，逻辑用语。我们先来看到右半边 a 大 于一，这里已经给出来这是一个范围了，我们不用管它。那我们接下来需要把 a 的 平方大于 a， 要翻译成一个范围啊， 我们才能接下来往下做的。那怎么翻译成一个范围？其实这里隐含着就是要解这个不等式吗？那 a 的 平方减 a 大 于零，先把 a 移到左边去，接下来这里怎么办？提一个 a 出来，变成 a， 乘上 a 减一，要大于零，接下来这里当它等于零的时候，有两个点，一个是零，一个是一，而我们此时大于，要取两边的， 对吧？所以说要取零跟一的两边啊。 ok， 那 此时我们换一个数轴， a 小 于零， a 大 于一，此时红色线段是我们画出来左边的范围。接下来老师用黑色线段表示 a 大 于一，就是这一段吗？那告诉我听这里啊，是不是红色所包裹的范围更大呀？ 那现在黑色波浪线表示是红色所包裹的范围，而黑色所包裹的范围只有红色波浪线的东西，说明了这属于一个，前面是一个大范围，后面属于一个小范围，它属于前大后小行，说明了这道题要选的是一个必要不充分条件， 因为小范围能推大范围，而大范围不能推小范围。那么十二题选的选项是 c 选项是 c 选项。接下来我们看到十三题，十三题这一个考察的是一个直线与圆的位置关系， 直线与圆的位置关系，此时他考的是一个什么位置关系？考的是一个相切的位置关系。一个直线与一个圆，他们相切有什么性质呢？圆心到直线的距离等于半径吗？而这里他跟你说了圆心坐标为一到二的话，我们圆的标准方程是怎么背的？ 圆的标准方程此时是 x 减 a 的 平方加上 y 减 b 的 平方，等于半径的平方嘛？此时圆心坐标 为一，而 a 逗 b 啊，而此时为一逗二的时候，代入我就能得到圆的方程其实是 x 减一的平方加上 y 减二的平方，它是等于 r 的 平方的，所以说这里我们要求的就是 r 的 平方。对于这一个标准方程来说，我们首先要排除的是 c 跟 d 两个选项，对吧？接下来在 a 跟 b 里面摸，那怎么摸呢？接下来其实就是我圆心 到直线的距离是为多少的呀？它是为半径 r 的， 对不对？接下来求圆心到直线距离为 d 的 话，把这个圆心的坐标带进去这条直线里面，它就等于三乘一加上四乘二减一，这一个的绝对值除以什么呢？ x 前面那个数三个平方加 y 前面那个数 四的平方开根号，这里就等于三加八减一的绝对值。下面是等于五吗？上面就等于十，一减一就等于十除以五，所以说 d 它就等于 r 也等于二，而你 r 等于 r 的 平方，它就等于四了呀，对吧？所以说我此时圆的方程为 圆的方程就为 x 减一的平方加上 y 减二的平方，是等于四啊。所以说这道题我们选的是 a 选项。第十四题考的是一个什么知识点呢？考的是一个竖列的递推公式。 竖列的递推公式我们只能通过什么来做呢？一项一项给列出来来做，但是这里列到 a 时其实蛮多的，那我们首先来列举第一种情况，当 n 等于二的时候，此时就应该 a n， 也就是 a 二等于一，减去 a 一 分之一等于一，减去五分之一，是等于五分之四的，对不对？所以说我们这里能得出来 a 二等于五分之四啊。接下来第二种情况，当 n 等于三的时候，列出一下 a 三，它就等于一减去 a 二分之一，它就等于一减去五分之四分之一，也就是四分之五，它是等于负的四分之一的。说明了 a 三，我们求出来等于负四分之一。接下来第三步，当 a 等于四的时候， 就能得出什么了， a 四等于一，减去 a 三分之一，就等于一减去负四分之一，也就是负四吗？它就等于一加四四等于五的，你能发现什么呢？ a 一 等于五， a 二，它是等于负五分之四，对吧？而 a 三呢，它就等于这一个是负的四分之一。接下来看一下，到了 a 四又等于五了呀？接下来 a 五是不是理所应当就有个规律，等于五分之四对不对？ a 六呢？此时它就等于负的四分之一， a 七 a 八 a 九，是不是一模一样的道理？所以说到了 a 十啊，它就直接会等于五的，没错吧？所以说这道题十四题选的是 c， 当然了，同学们可以一项一项列取也是没问题的。那么接下来我们看到十五题，十五题，这里考的是啥呢？考的是一个稀有系 与单调性的一个结合。首先来回顾一下，对于偶函数来说，我们有什么性质。第一条非常重要的性质， f 负 x， 它就要等于 f x 的， 对吧？第二条最重要的性质是啥呢？它的图像关于谁对称啊？ 关于 y 轴对称，这是偶函数最重要的两条性质。那么接下来我们看一下，此时 f 一 等于零啊，又因为它是偶函数的话，说明了 f 负一也会等于 f 一 等于零的，没错吧？那么接下来求的是一个取值范围，那我们这里就只能通过画图来做了。怎么画图？ f 一 等于零，说明了这个等于一嘛？它等于零的时候，并且在零到这无穷是真函数，说明了在右半边它走的是一个上坡路啊。那我们把这个图画一画，此时假设是一个上坡路的图，对吧？那我们左边也要对齐回来，要补全来，因为它偶函数，它的图像关于 y 轴对称， 那么接下来我们把左半边补全一下，它就应该刚好跟 y 轴对称，是这么来的，是这么画的，此时这一个跟 x 轴的交点等于负一嘛，因为 f 负一也等于零的，而此时它要的是什么呢？ f m 减一小于零小于零，是不是下面老师现在画黑色线段的？那它此时这个 m 减一的范围就应该在负一跟一之间嘛？接下来我要求 m 的 范围怎么求啊？ 两边同时加一个一嘛，所以说中间加一个一等于 m， 右边加一，一加一等于二，左边呢？负一加一等于零啊，所以说 m 它的范围就是零到二之间。那么第十五题选的就是 a 选项，选的就是 a 选项，不难的。接下来看到十六题，十六题考的是一个什么呢？指数对数的运算问题， 指数跟对数预算问题。首先五的平方，它就等于五乘五就等于二十五嘛，对吧？然后 log 二四二的多少次方等于四啊，二次方啊，所以说五的平方减去 log 二四，它就应该等于二十五，减二它是等于二十三的，所以说二十六题答案它就等于二十三。 那么接下来看到第十七题，第十七题已知点 p 这个点在椭圆上面，然后问你 a 等于多少？对于这一个椭圆来说， 他都跟你说 a 方是 x 平方下面那个了，说明此时这一个椭圆它的焦点它是在 x 轴上的，对吧？那我们现在先来画一个图，它在 x 轴上面，说明在 x 轴那里是扁一点的，这一个椭圆是这么画的，三到零其实是这个点，称为点 p， 而这一个点说明了它这一段横坐标等于三，而这个横坐标其实就是我们的什么， 其实也就是我们的半长轴长啊。那我们的半长轴长，其实它等于 a 的， 说明了 a 是 等于点 p 的 横坐标等于三呢？所以计时器的答案就是等于三。 ok， 接下来我们看到第十八题，第十八题考察的是啥呢？考察的是一个向量平行的一个公式，对于向量平行来说，它有一条什么公式呢？ x 一 乘 y 二减去 x 二乘 y 一 等于零。那接下来代数进来，这是 x 一， 这是 y 一， 这是 x 二，这是 y 二。代数进来等于一乘 x 减去二乘二 就等于零吗？说明了 x 减四，它就要等于零啊， x 只能等于四啊，所以说第十八题答案它就为四。 ok， 接下来第十九题，它考察是一个等比数列的通项公式，对于等比数列来说，它的通项公式 a n 等于 a 一 乘 q 的 n 减一次方，而对于 a 四来说，它就应该等于 a 一 乘 q 的 三次方吗？再数进来 十六就等于 a 一 乘二的三次方，所以说八倍的 a 一 等于十六，那么 a 一 只能等于二啊！所以说第十九题答案是等于二的。 那么接下来看到第二十题，第二十题其实考察的是什么呢？考察的是三角函数的平方关系，以及说我们的一个和角公式，主要考了这两个。首先来看，他要你求 cosine alpha 减贝塔，这里通过和角公式拆开来就等于 cosine 啊！法， cosine 加上 cosine 啊！法乘上 cosine 啊！法乘上 cosine 啊， 对不对？那我们这里目标就把这两块求出来，然后套进去就行了。而对于 cosine alpha 加贝塔来说，你这个不能直接套，也不能直接乘吗？没错，那我们这里就等于 cosine alpha 的 平方加两倍的 cosine， cosinear 乘上 cosinear 加上 cosinear 加上 cosinear 的 平方，这里它就等于四分之三的平方，等于十六分之九啊！而对于 cosine alpha 加 cosine beta 来说，我们仍然也把它平方一下，等于 cosinear 的 平方加上两倍的 cosinear 乘上 cosinear， 再加上 cosine 贝塔的平方，这里等于二分之一的平方，也就等于四分之一，上面称为一式，下面称为二式。这里同学们需要注意的是， cosine alpha 的 平方加 cosine beta 的 平方不等于一的，只有 cosine alpha 的 平方加上 cosine alpha 的 平方才能等于一啊。还有就是 cosine beta 的 平方加上 cosine beta 的 平方才等于一嘛，对不对？所以说我们这里要怎么化解呢？这里是一加二，可以得到啥呀？ 可以得到 cosine alpha 的 平方加上 cosine alpha 的 平方，再加上 cosine beta， 再加上两倍的 cosine alpha 乘上 cosine beta 乘上 cosine beta。 贝塔，这里是贝塔，再加上三以贝塔的平方加上 cos 以贝塔的平方才等于右边的十六分之九加上四分之一嘛。接下来不要看这道题很复杂，它其实化解很简单的，这两个加起来，他们是不是各是一加一等于二啊？然后再把中间这一块用什么公式化解呢？用和解公式化解，先把二提出来，它就变成了 cos 乙乙丙法乘上 cos 乙丙倍，它再加上 cos 乙丙法 乘以 b， 它就等于右边十六分之九加四分之一就等于十六分之九加十六分之四嘛。所以说它就等于十六分之十三啦。所以说两倍的这中间化解一下，等于 cosine alpha 减 b， 它就等于十六分之十三减去二呀。所以说两倍的 cosine alpha 减 b， 它就等于负的十六分之多少嘞？这里是等于十九的嘛。负的十六分之十三， 正的十六分之十三减去二也就十六分之三十二嘛，他就等于负的十六分之十九啊，对吧？所以说接下来同时除以二，右边呢？他除以二就乘二分之一嘛。等于负的三十二分之十九。所以说这道题的答案就是等于负的三十二分之十九。做完了。

终于终于来了，那今天这个视频呢，小涂老师给大家带来了两道关于三角函数非常重要，也会有一定思想深度的，有可能会考到的问题啊，所以希望你可以认真的去听讲。 那在讲这两道大题之前，小涂老师要提醒一下屏幕前的各位啊，就小涂老师的这些押题呀，或者是选择填空，或者是大题，都是会有一定的思想方法想要给大家传递的啊。不是，是那一些就让你学的很开心，考的很垃圾的内容啊， 有同学说，老师你的题目为什么会那么困难，但其实是不难的啊，只是说他的思想方法不是大家平常学的一些非常固定式的模式的内容， 只是你没有想到，而你学过了以后，你刚好去做了一个积累，你下次如果真的考到的时候，是不是就会了呀？好，我们就废话不多说，我们就正式开始滴答问题哦， 好，我们来看一下这道题，已知 a、 b、 c 分 别为三角形， a、 b、 c 内角， a、 b、 c 的 对边，且 a 等于三， b 等于七， tan 的 派加 b 等于根号三，问你三以 a 的 值。 好，我们要先回忆一下在三角函数中我们平常做的那些题目啊，基本上要不就是边画弦问题对不对？弦画边问题啊，那如果遇到了一些稍稍不一样的呢，我们看看能不能搞定，我们就认真来听。 我们先大概画一下这个三角形，做我们任何的题目，先画看看啊。来说 a 等于三呢，意味这个等于三， b 等于七哦，意味这个等于七。还知道了 tangent 的 b 加 pi 等于根号三，那我们先来写啊， tangent 的 pi 加 b 等于根号三，那意味着来我们的诱导公式。 tangent 的 pi 加阿法等于非常棒，就等于我们 tangent 的 b 等于根号三啊， tangent 的 b 等于根号三，那意味着我们 b 立马可以知道等于多少度啊， 嘿，非常的棒啊，贪婪的六十度啊，就是我们的三分之派，是不是？所以我们就可以很明确的知道了 b 等于三分之派， 那这个诱导公式大家别忘记了啊，那现在我们 b 角知道六十度，那现在让你去求 a 角，这个已经知道让你去求它是不是非常的简单，我们就知道什么定律，正弦定律啊，那就意味着 a 比上 sine a 等于什么？ b 比上 sign b， 那 意味着三比上 sign a 要求的就等于什么呀？七比上 sign 六十度， sign 六十度非常的棒啊，是二分之根号三，我们遇到这个式子怎么做？交叉相乘，所以二分之三倍的根号三就等于七倍的 sign a， 那 我们的 sign a 把七除过去就等于什么呀？十四分之三倍根号三啊，十四分之三倍根号三，不就可以把我们的问给做出来了吗？ 那考试的时候呢，正常的去写，在这地方要写个由正弦定里得，好吧，然后正常的去做这道题，就可以拿到第一问的满分了 啊，我们就可以知道三， a 等于十四分之三倍，刚好看一下第二问啊，让你去求它的面积，亲爱的同学们，面积的话啊，我们一般用的是什么公式？非常棒， 两边夹一角对不对？两边夹一角，那我们这道题目里面，两边用哪两边比较好呢？夹的那个角又用哪一个角会更好一点呢？那我们就正式来看一下，分析一下啊。首先 b 角六十度，知道了三， a 知道了啊，这是三，这是七，都知道了。 有同学说，老师，我们要不要用 a 角啊？不可以对不对？因为 a 角它的计算真的是太麻烦了，什么？十四分之三，每根号三，你要再怎么这样做，是不是非常的复杂？那我们用什么角比较好？非常棒，用六十度的这个角，那六十度的这个角，我们现在还缺了一个什么？ 哎，这个角有了，边也有了，那还缺了一个，非常棒，还缺了一个这个边，那我们就来写啊，三角形 a， b， c 的 面积是等于什么？二分之一，什么呀？哦， a， c 三 b， 哎，那 a 角来三根 b， 我 们知道的是什么？二分之根号三 c 边不知道 a 边呢？ a 边是等于三的呀，所以我们这道题现在就转化成让你求 c 边，那我们就立马想到了，两个边都知道一个角，知道立马想到什么，定律，非常棒！鱼线定律， 那就是，哎，非，那就是 b 的 平方等于 a 方，加上 c 方减二， a， c cosine b， 对 不对？ b 的 平方是多少？四十九要等于 a 的 平方，九加上 c 方减二，乘上一个三，乘上 c， 再乘上 cosine， 六十度等于二分之一， 约约，那就是四十要等于 c 的 平方减去一个三， c， 看到了吧，所以我们把它写出来啊， c 方减三， c 减四十等于零，那四十的话呢？我们非常的简单，可以把它写成五八，四十对不对？ 五八，所以负号放这里，所以算出来 c 等于八，还有一个 c 等于负五，这个肯定会舍掉，所以我们 c 就是 等于八，那既然 c 等于八了，以后我们带进去啊，就等于什么？二分之一乘上三，乘上八，再乘上一个二分之根号三，最后我们可以算一下，呃，这是四， 这十二答案等于什么？六倍根号三，是不是就可以把这道题给做出来了？那其实它的问题也不是很难啊，只是说它可能要一定定的思考的方法在里面啊。另外呢，它里面有一个贪婪的诱导公式啊，考试的时候千万别忘了啊，它的这个诱导公式。 好，那这个就是我们的这道题，看看你有没有什么太大的问题。好的，我们来看一下。下面一道题说在三角形 a b， c 中， a， b， c 这个都常见的内容，有一个式子叫 cosine b， 哎， cos 等于什么呢？二 a 分 之什么？ b 加上二 c。 老天爷，老师，这是个什么东西啊？看着好复杂呀，对吧，我们应该怎么办呢？那这个式子我们来想想，要去求 a 的 角，我们可没有什么其他条件，只能考这个。 那我们 cosine 还等于什么？非常棒啊，有同学还背过我们的余弦定律，等于 a 方加 c 方减 b 方比上二 a c， 所以 这两个式子是什么关系啊？非常棒，是相等的，所以 b 加二 c 比上一个二 a， 是 不是等于 a 方加 c 方减 b 方比上一个二 a c。 约约看到了吧，所以我们把它乘过去， b 加二 c， 再乘上一个 c， 是 不等于 a 方加上 c 方减 b 方啊？我们来一起来写一写啊，那就意味着 b c 加上二 c 方是不等于 a 方加 c 方减 b 方啊， 哦，我们来看看会发生什么东西呢？所以我们就可以知道啊，我们把二 c 和 c 方放一起吧，好不好？那我们就来写 b 方怎么样？加上一个 b 方加上一个 c 方是不是等于我们的 a 方？现在题目让你去求我们的 a 角大小，来，兄弟们，我们来想一想 a 角的大小。 cosine a 等于什么？ b 方加上 c 方减去一个 a 方比上二 b， c 是 不是来 b 方加上 c 方立马写出来，就等于什么？ a 方减 b， c 把它移过去哦， a 方减 b， c 再减去个 a 方比上一个二 b c 约约，所以就等于负的 b， c 比上二 b， c 等于负的一除以二。所以我们算出来 cosine a 等于负的二分之一，那 a 角立马就能出来了啊， 因为它是属于什么零到派之间的啊， a 是 在零到派，就是它得是三角形里面啊，所以 a 角立马等于多少度， 非常非常的棒，等于我们的一百二十度啊，等于我们的三分之二派，写三分之二派啊，三分之二派，这就是我们的 d。 问 cosine a 你 会求吗？它其实就是我们一个 公式的来回反复的套用，其实在我们押题的十套卷里面也是体会到的，对吧？好，这是我们的这道题，我们继续喽。 好的，我们来看一下第二问啊，说 b 等于二， c 等于三，问你 a 边的值，那这道题就正常的按照我们什么定理？余弦定理啊，所以我们就直接来余弦定理吧。 a 方等于什么？ b 方加上 c 方减去二 b c 拷三以 a， 那 a 方要求的就等于什么呀？四，加上九，减二，乘二乘三，再乘上拷三，一百二十度等于负的一除以二，所以十三，再怎么样加上约 约加上一个六等于十九，所以 a 算出来等于根号十九，所以我们这道题余弦定律得出来， a 等于根号十九就搞定了。另外提醒一下大家啊，除了这两道题以外，小杜老师还在这个合集里面给大家添加了一些变化前的一些基础问题啊，记得再去刷一刷好不好，在我们在这个合集里面都有的 呃，离考试真的非常的近了，希望屏幕前的各位可以再好好的努力准备一下，我们就要进考场了，祝愿大家有一个非常不错的成绩，拜拜，今天这个视频再见喽！

同学们好啊，我是最爱你的叶老师。我们来看一下二零六二六年广东省高次高考参加证书的一个考试真题的一个讲解。好，看到选择题，第一题，他告诉你 a 等于一到二， b 等于二三四五，要求的是什么？求的是 a 并 b， a 并 b 并就是所有的， 那所有的就是他所有的元素。好，第二题，他求的是一个 一般式的一个最大值， f s 等于 a， sin omega s 再加一个角，再加上 k， 它的最大值。我们说了，它这公式就等于绝对值， a 加 k， 好， 那这里 a 是 二，它没有 k， 所以 它就是二，加上零， 这其中就等于二。这道题答案就选择 b， 答案就选择 b。 好， 继续往下看。那第二题，他考的是一个向量之间的一个减法，向量间的一个减法，加就是加，减就是减，那他就是三逗，二，减去多少减去二逗一。 好， s 减 s， y 减 y， 那 减完之后变成三减二就变成一，答案就选择 b， 答案就选择 b。 好，继续看。看到第四题，第四题，他求的是一个偶函数，好，那我们知道这个是一个指数，他应该是一个非基非偶。好，这是一个基函数，求的是一个基函数，整体答案应该是一个基函数。 好，那答案选 b。 好， 这里打错了，这是 g 函数。那你继续看 c 选项，这里 s 平方，它是一个偶函数，常数一，它还是一个偶函数，所以偶加偶，它还是等于偶，所以 c 选项，它是一个偶函数，那这是一个对数， 对数，它是一个非极非偶，所以这道题它求的是一个 g 函数，答案就只能选 b， 答案就只能选 b。 好，我们看到第五题，他说从四本书当中任意取出两本，这是一个组合，因为你取出 a 跟 b 或者 b 跟 a， 它是没差别的，它是一个组合，那就是 c。 四取二，那就是二乘以一，四乘以三， 乘完之后就变成六，所以总共的总数就为六种，就为六种。好看，第六题，第六题，他求的是 f 一， f 一， 那就是给谁带谁，他在这个范围里面，所以 f 一 就等于一的平方减一，那他就等于零，所以答案选 b。 答案选 b。 好，继续往下看，看到第七题，第七题，他求的是一个负数的一个什么魔，求的是一个魔，魔就等于根号下 a 方加 b 方， a 方是多少啊？ a 方是三， b 方是四，所以就变成五，所以答案选 c。 答案选 c， 好，这一个步数这个概念，他是二五年有考，二零二五年开始考，今年二零二六年也考，那二七年是不是继续考这个就会还不可知道，好，那今年第八题出现了一个互测，好，互测。很多同学看到之后，他就一脸懵， 那这个互测什么意思呢？呃，就是说这两个事件，他们是有他就没有他，有他就没有他，那他们两个加起来又不等于一，如果加起来两个，他就是说， 呃，怎么说呢？就，就互斥，他们就是有他就没有他啊，就互相排斥。那现在求的是什么？ a 并 b， a 并 b， p 就是 a 并 b， a 并 b， 就是 把他们两个都合起来用乘法，用加法就是零点二加三，零点六，好，那他就等于多少，等于零点八，所以答案选 d， 答案选 d， 给你画个图，好，这一个是 a， 那 这个是 b， 其实 b 可以 这么多，也可以只有这一部分，因为他们加起来，他不一定要等于一。好， a 跟 b 他 不一定要等于一，他还可能中间存在一个 c， 还可能存在一个 c。 好， 所以这个就是互测，那要求他们并结，那就是把这两个相加加起来等于多少啊？就等于零点八，所以答案就选择 d， 答案就选择 d， 好，继续。第九题考的是一个穿起线的一个渐近线方程，好，渐近线方程 y 等于正负，好，这，这里是 b， 除以 a， s 好， 那 b 是 多少啊？ b 是 v 的 平方等于十六，所以 b 就 等于多少。 b 就 等于四，那 a 方等于多少？ a 方等于四，那 a 就 等于二，所以它就等于四， b 方等于十六， a 方等于四，所以它变成正负四，除以二就等于正负二。 s， 好， 这里没有平方啊，这里没有平方，这里打多了啊，这都是手整理的四件套，这里的平方没有的好，没有平方的，没有平方的，所以他答案就选择 c， 答案就选择 c， 答案就选择 c。 ok， 那 我们继续下道题，好，他说第十题有一组数据，六七七 s， 十十、十六，他的一个算数平均数为九，好，平均数就是为九，你就这么理解，那就是六加七加 七，再加 s， 再加十，再加十，再加十，六，数一下多少个数， 一二三四五六七七个数，那就除以七，它就等于九。最终我们可以把 s 给取出来， s 算出来，它等于七，它等于七。那什么叫种数？好，这里是变成七了。 什么叫种数？就是出现的最多的这个数，我们把它叫做种数，那只有七次，出现三次，所以种数就是七，答案就选择 b， 答案就选择 b。 好， 继续， 好。第十一题，他也是一个随机变量的一个服从正态分布这样的一个特点。好，他是一个随机变量，那他服从正态分布，那好，正态分布我们就得读懂正态分布。好，正态分布这一个怎么来理解呢？好，正态分布，那这一个东西，我们把这一个东西 叫做缪，叫做缪。好，第一个它其实它就是这样的一个，它就是这样子的一个图形。好，那它就是这一个。呃，缪跟希格玛的平方。好，希格玛的一个平方，那这个缪表示什么意思？ 好，这个 mu 表示什么意思呢？这个东西读 ksi， ksi。 好， 好，那这一个就是 mu 跟希格玛的一个平方，那这个 mu 表示的就是一个对称轴，对称轴，对称轴，那这个对称轴是多少？这个对称轴在这里，它就是对称轴，就是零， 它就是表示一个对称轴，它就表示一个对称轴。好，也叫一个我们的一个期待值，我们期待它长在哪里？那好，它画出来的这个图形，它就是。好，这条对称轴它是多少？它就是零。好，我先这样子画一下。 好，我们的一个期待值就是零。好，这个命在这里，他就是零，所以这里就是零。然后这一个正态分布，他就是像一个钟一样，像一个波一样，好像一个波一样，他就这样的一个图形。 好，他就变成这样一个图形。那他现在你看一下，他这里说的是可赛要大于零，可赛大于零就是这一部分大于零的这一份， 因为整理它是一，那大一点的部分，它就占了它右边这一个部分，所以它占了多少？就占了二分之一，就占了二分之一。好，那这一个叫做标准差。好，标准差这个是一，是标准差，当然我们可以读不懂，那我们要读懂的是什么？这道题读懂就是它对称轴就是多少， 对称轴就是零，对称轴就是零。那我现在大于零的这个范围。好，左个左右就以零为分间分成左右，那我右手边是二分之一，左手边也是二分之一，所以答案照题就选择 c， 答案就选择 c。 来看一下第十二题，十二题，他说 a 的 平方大于 a， 那 他是一元二次不等式，那就是 a 的 平方减 a 大 于零，提个 a 出来，那就是 大于零，所以得到 a 等于零， a 等于一大一取两边，那就是负无穷到零并上一到正无穷，而后面这个是一到正无穷， 所以前面取值范围比较大，后面取值范围比较小，那它就是必要负充分条件，必要负充分条件。好，继续往下看。第十三题， 他说这个圆跟这条直线干嘛相切？那我们相切就要知道 d 等于 r 了， 圆心我们知道了，那这道题差的就是什么？差的就是我们的一个半径， r 了，那圆心到直线的距离，我们就可以求点到线的距离带进去计算，那就是三乘以一，再加上四乘以二，再减去一 的绝对值，除以根号下三的平方加四的平方。乘完之后，我们就知道 d 等于多少啊， d 就 等于二，因为上面是十，十除以五就等于二， 所以 d 等于 r 了，所以 r 了，也就是等于二。那这一个圆的方程就等于 s 减 a 的 平方，加上 y 减 b 的 平方，等于 r 的 平方。好，那 a 就是 这个一， b 就是 这个二，那好，它变成 s 减一的平方，加上 y 减二的平方，它等于四。 r 的 平方，这里是 r 的 平方，那它应该等于四。 好，这道题答案就选择什么，答案就选择 d， 答案就选择 d。 好， 继续看第十四题。第十四题他说一个数量满足这样的一个格式， 那其实这个格式给你，就是让你干嘛的，就是让你带带带带带带。好，那他这里给到 a 十，那给到 s， 他 肯定就是有规律，因为考试他不会让你算太多。但没关系，我们首先要知道，当这里因为是 n 减一，当这里是一的时候，这里就要加一，就是 这里是 a 一， 这里是 a 二，这里是 a 二，这就是 a 三，这里是 a 四，这就是 a 五。好，它就不断的这样的变化，所以我们先把 a 二求出来。 a 二就等于一减去 a 一 分之一，那等于多少？一减去五分之一，那等于五分之四，它等于五分之四。 那 a 三呢？ a 三就等于多少？一减去 a 分 之二分之一，那就是一减去五分之四分之一。减去一个数，除一个数导数，那就是一减去多少？ 四分之五。那卷轴变成负的四分之一，就变成负的四分之一，那 a 四呢？ a 四就等于多少？ a 四就等于一减去 a 三分之一，那就一减去负的四分之一分之一。负负得正，所以它就是一加上四，除一个数乘一个数倒数，它等于五 a。 同学们，你发现没？这里，你看，他又回到这里是五了，他回到这里是五了，所以 a 四又回到五了，那 a 五就会回到多少， a 五就会回到 a 二，所以 a 五就在这里，这个就是 a 六，这个就是 a 七，那这个就是 a 八，这个就是 a 九，这个就是 a 十，所以 a 十最终算出来，它这个数字应该等于多少，它就应该等于五，所以答案就选择 c， 答案就选择 c。 好，继续看第十五题。第十五题，它告诉你它是一个什么函数？偶函数？偶函数，并且零到正无穷，它是一个真函数，那这种题我们画图是最容易来解决的。 好，它告诉你零到正无穷，它是一个什么函数？零到正无穷，它是一个真函数。好，那这边对应的它是偶函数，那这边就是负无穷到零，它就是一个减函数， 因为偶函数是关于 y 轴对称的。好，那继续。他告诉你 f 一 等于零。好，那这个 f n 减一大于零，那这个零可以写成什么？零就可以写成 f 一， 那就是 f n 减一，它要小于一，那好，那 f 一 它等于零， 我们就可以标这个点为一，那这个点对应的应该就是负一，对应的这个点就是负一，那这个 n 减一，就是它整体的数值要比一小，就比这个零小，那就它的 y 就 只能取下面这个部分，它的 y 取下面这一个部分，它对应的 s 就是 这一个范围。啊， 对应的 s 就是 这个范围，所以 s 就是 多少，所以我们就可以得到 n 减一小于一，小于多少？负一小于负一，所以你看，我们就可以把同时干嘛再加上一，那就变成零小于 m 小 于二。好，这个 n 就是 这个范围，就是零根 零到二之间，所以答案就选择 a， 答案就选择 a。 好， 继续看第十六题。第十六题第十六题，它告诉我们这一个还是比较简单，一个指数的一个基本音算跟一个对数基本音算 a 五的平方，五五二十五 log 四，那就变成看成是 log 二二的平方。我们要知道有个公式， log a a 方 a a 的 n 次方，它就等于 n， 那 它答案就应该等于二，它等 n 就 应该等于二。 选道题就等于二十五。减二，答案应该是等于二十三。二十三， 好。第十七题十七题它还是给的比较简单，它过这个点，并且 a 大 于零， a 大 于零。好，那这一个 这个顶点，那我就是 b b， 它就只能是二，那它就只能是零。逗二，因为这里给的是三逗零，所以 a 就 等于多少啊？ a 就 等于三，或者给点你带点，你带进去也知道 a 等于三，这个 b 它是等于二的。 好，继续往下看。好，第十八题告诉你，向量 a 跟向量 b 平行，那就是内积 等于外积，那就是二乘以二会等于一乘以 s， 那 二乘以二会等于一乘以 s， 那 就变成 s 等于多少？ s 等于四， s 就 等于四。好，选这道题，答案就是等于四，答案就是等于四。好，接下来看第十道题，他告诉你他是一个什么数列等比数列。 a 四等于十六， q 等于二，那 a 一 就等于多少？ a 一 a 四就等于 a 一 乘以 q 的 三次方，那看一下，你看 a 一 就等于 十六， a 四等于十六， a 一 q 的 三次方，那就是二的三次方，所以就最终算出来就等于十六除以八就等于 a 一， 所以最终得到它等于多少？等于二，所以 a 一 就是等于二， a 一 就等于二。 好，到了二十题的二十题。这道题很多人考完试做老师道题没怎么做过，不大会。那企业出现这种有夹的，你就要想到的就是干嘛把它给平方？好，把它平方。平方完之后变成多少 cosine alpha 加上 cosine beta 的 平方，它就会等于十六分之九。就等于十六分之九。那这一个 sine alpha 的 平方加上 sine beta 的 平方，这样做它会等于多少？它就会等于十六， 它就会等于四分之一。好，那两个进行相加就变成多少。好，这个口三的平方把它展开，那就变成口三。阿法的平方。加上什么？再加上 cosine beta 的 平方，再加上二倍 cosine alpha， 乘以 cosine beta 等于十六分之九，对吧？等于十六分之九。那这个我先先把它给展开就行了。 那这边这一个也把它展开。展开完之后会变成多少？展开完之后变成 cosine alpha 平方，加上 cosine beta 的 平方，再加上多少？二倍的是什么？ 加上二倍的 sine alpha 乘以 sine beta， 它又等于四分之一，这个是十六分之九。好，那这一个 这个加上这个，那变成多少？那变成 sine alpha 平方。加 cosine alpha 平方， 这一个跟这个就加了好，加完之后再加上什么？再加上 sine 平方，再加 cosine sine 平方，这一个跟这个就加了。加完之后 再加上多少？再加上二倍的 sine alpha sine beta， 再加上多少 cosine alpha， cosine beta， 对 吧？那我们当然可以把 cosine 写在前面， 因为等一下用到的是一个两角和差公式， cosine alpha 再加上 sign alpha， sign beta。 好， 你看他跟他相加得到这一个，他跟他相加得到这一个， 他跟他相加得到这一个。那这两个又要干嘛？四，四分之一就是十六分之四，那他就变成十六分之九，加十六分之四就等于十六分之十三。好，同学们看一下，这个等于一，这个等于一， 那这个变成多少？它变成二，加上二倍 cosine 的 阿法减去比特，它等于十六分之十三， 这等于十六分之十三。好，你看一下，那这里减得过来，那就变成 cosine 阿法减比特，它就等于多少啊？它就变成 good， 三十二分之十九。好，自己回去算一下就可以了。选答案就是等于 good， 三十二分之十九。好，这就是二零二五年真题当中的选填题、选择题跟填空题。 好，除了两道新题，其实整体的难度是比较低的，都比较低的。好，这节课先讲解到这里，再见。

今天我来讲一下新鲜出炉二六年高值高考数学的选择题吧。第一题，并集呃，很明显了，并集就是所有的东西加起来啊。一二四五选 a 第二题，最大值最大值看三眼的系数啊，为二啊。选 b 第三题，向量向量 a 减向量 b， 那 这里呢，我们用 x 轴减 x 轴三减二为一， y 轴减 y 轴二减一也是一，一逗一选 b 第四题， g 函数的是 a 是 指数函数，它是非基非偶的，写个非非吧。 b 是 基函数啊， c 是 偶函数 d 对 数函数也是也是非基非偶，再写个非非吧。选 b 第五题，从四本书选两本组合，很明显的组合，四本取两本 c 十二等于分子为四乘三，分子为一乘二等于一约选六啊，等于六选 d 第六题，送分题啊， f 一 等于多少？它 f 一 直接代替第二条就行了，因为它是大于等于零的这个范围啊，那么它就等于一的平方 减一等于零呢。选 b 第七题，负数求负数的摩擦，那么就是勾股定律啊，根号下 a 方加 b 方等于，那么 a 呢，就是这个前面的这个数啊，前面的这个实数啊，实部三的平方 b 呢，就是这个虚部啊，就是 i 的 系数啊，四的平方等于根号二十五等于五选 c 第八题，考了一个新的知识点啊，那么如果你们不知道，没有学过也没关系，其实其实也很明显了，你看后面这个 a 并 b， 对 吧，我们都知道 b 级是所有的东西结合相加起来嘛，那其实呢，它的它的就是概率 a 加概率 b， 那 就是零点二加零点六啊，对，零点八选 d。 第九题，渐近线的方程首先我们来看啊，它的焦点在 x 轴的，所以它的渐近线的方程呢，就是 y 等于正负 a 分 之 b， x 再把 ab 找出来，那么 a， a 方呢，就是前面的这个数啊， 写在这里吧， a 方等于四，对吧， b 方呢，就是后面的那个分母 b 方的十六，所以 a 呢，就等于二， b 等于四，对吧，那这里呢， b 分 之啊， a 分 之 b， 对 吧，那就等于正负二分之四， x 等于正负二 x 选 c。 第十题，这一坨数的算数平均数，那其实就是平均数来的，要求它的种数，种数是什么意思呢？就是这一组数出现的最多的那个数，就是种数了。 好了，先求平啊，先求这个 x 啊，平均数就是六加七加七加 x 加十加十加十，六加起来除以它的个数，一二三四五六七除以七等于九，对吧？好了，我们再把这这两坨数加起来， 好，那么就是五十六加 x， 等于把这个七乘过来啊，七九六十三 得出写下面，把 x 对 七好了， x 就 变成了七了，那么这组数的重数，刚说了出现最多的数，那就只有七啦，选 a。 十一题，这一个的正态分布呀，又是一个新的知识点了，没办法了，这个只能看懵了，但他其实呢，是这样子的，这个零呢，表示就是平均数，然后这个一呢，表示就是它的方差为一，那么整个图呢，就是这样子画的， 那了解一下就行了，好，这样子画的，并且呢，它的对称轴为 x 等于零，所以呢，这个叫做 x 等于零呢，然后它说它的概率大于零，对吧，但大于零，那就是右边的这一部分了，所以呢，就是二分之一吧？选 c。 好， 现在课教到这里。

哈喽，大家好，我是小李老师，今天来跟大家聊一聊在职高考的数学试卷。首先呢，数学试卷一共包含二十四道题，三种题型，考试时间为一百二十分钟，满分一百五十分。选择题有十五道，每题五分，满分七十五分。主要考察特殊角的三角函数值， 函数的定义，域函数的奇偶性、复数的运算，三角函数的周期性、平面向量的坐标运算充分必要条件，排列组合、直线方程、分层抽样、抛物线的性质、概率、数列与函数的计算等。填空题共有五小题，每 题五分，满分二十五分。主要考察指数与对数的运算等比数列的前 n 项和向量的坐标运算，圆的方程、三角恒等变换等内容。解答题共有四道，满分五十分。其中 第一题十二分，考察正弦定律与余弦定律。第二题十二分，考察等差数列的综合应用。第三题十二分，考察二次函数的运算与性质。 第四题十四分，考察椭圆的相关问题。以上呢，是小李老师根据二零二三年至二零二五年在职高考数学试卷整理的主要知识列表，建议大家点赞保存好，关注小李老师，在职高考生学不迷路哦！

好，我们继续看这个押题的选填啊，讲到十五题了，第十五题比较巧妙，你看啊，首先我们可以排出两个答案， y 等于负一， 排不了， y 等于二，可以排啊，你看他过这个点的直线方程，那你这个 y 又不等于二了，是 x 等于二了，所以排掉， 然后 d 也可以排掉， x 等于负一，这是 y 等于负一啊，不是 x 等于负一啊，所以在 a 和 c 里面去选，然后稍微画个图会好一点点，一下就选出来了。看这个圆的圆心，是啊，一逗号负一啊，一逗号负一来画图吧。 圆心是一逗号负一，大概在这个位置一到负一，然后半径又是一，那说明刚好跟 x 和 y 轴都相切啊， 是这样的，一个圆都相切啊，是吧。然后他说过过点二都好负一二，那这个地方对对上去不就是二吗？负一就在这里啊，所以相切，你看是不是长这样子啊，都画出来了呀，这是二了，所以这个值就是 x 等于二，所以选 c 秒了十六题。 这个一看就是奇次式啊，要巧用一啊，你不巧用一怎么做啊，同学们？巧用一， 然后再构造一个一分母是一，然后把一写成三，一 r 平方，加上 q 三 r 平方这样子的，然后分子分母同时除以 q 三 r 平方， q 三的地方就变成一啊，所以一分子是一加，然后 q 三 r 平方跟 q 三约一个，变成了贪婪 r 法，这是分子分母的话就贪婪 r 平方， 哎，加一，然后再把它加它，等于三带进来，所以等于一加三，除以三的平方加一，三的平方九九加一，十十分之一加三，四约个二， 五分之二，所以答案选五分之五分之二。十七题，等差速列 s， n 有 了，求。哎，这个简单，你要等差的前一项和啊，是一个关于 n 的 二次函数，且没有常数项。 a 等于零，搞定十八题， logo 一， 只要见到一就是零， 然后这个横对住横等式，咔嚓等于二，零加二等于二，看多简单。十九题，十九题，哎呀，你看又是个易错题。来，等边三角形 abc 换一下 a， b， c 等边三角形 abc。 嗯，加就是六十度吗？每个角就是六十度啊，边长为四，他说 ab 向量， ab 向量点成 c， b 项链找到方向啊， c， b 项链在这里。哎，这个题很多人把它的假角当成六十度啊，就错了，同学们， c 大 等于六十吗？错了，不对，看着啊你，你得把这个项链给它平移一下，把 c、 b 项链平到这来， 平移过来。所以夹角是这个角才对啊，要拱起点了，一百二十度，拱起点听到没找。相等的是夹角时候要拱起点，把这个 c、 d 往这个左边移一点点啊，所以一百二十度，所以它的内积就等于 四，乘以四，乘以摩擦，乘以夹角的余弦值，乘以科三一，一百二十度，哎，就负二分之一，负二分之一约一个是不是四四十六除以除以负二了，所以填负八才对。懂了没？考大家一下吧，我让你求 ab 向量 点乘 bc 向量等于多少好还是四啊？等于多少，自己做一做 二十题，这个玩意我就讲十六八，自己去算啊啊，然后甲乙都有了啊，不出意外的话，平均数应该是一样的哈。如果你谁的成绩最好，最稳定 啊，最稳定就是算方差，方差越小越稳定啊。找个越小的方差怎么算呢？用每一个数据 去减平均数啊，然后平方和加起来啊？加起来，然后除以个数，所以是五个就除以五就就比一下就出来了啊。好，下期我们讲解答题吧，这个解答题看看会不会啊？ ok。

吴老师能讲解一下在职高考数学试卷考什么吗？可以，那我按照二五年在职高考的数学试卷为例来跟同学们讲解一下，记得点赞保存好！首先，数学一共会出二十四道题，三种题型， 考试一百二十分钟，满分一百五十分。选择题，一共十五道选择题，每题五分，满分七十五分。考交集特殊角、正值函数、定义域函数、基友性负数、三角函数的基本正周期、平面向量的坐标计算充分必要条件，排列组合、直线、方程、分层充 抛物线的基本性质。概率数列和函数的运算。填空题，一共会出五小题，每题五分，满分二十五分。抛指数对数的运算、本底数列前 n 项和向量坐标运算、直线与圆三角恒等变换。解答题，一共会出四道题，满分五 十分。那么第一题呢？占比十二分，考察的是正余弦定例。那么第二道题呢，占比十二分，考察的是等差数列综合。 那么第三道题呢，占比十二分，考察的是二次函数的运算。那么第四道题占比最高啊，十四分考的是椭圆。总结，这个是二三年到二五年在职高考数学所考察到的知识点列表，记得点赞保存好！关注老师，高级高考不迷路！

二零二六广东省高中高考真题讲解大全集他来了，那么刚考完这套卷子，同学，大家觉得这套卷子他难不难？那有的同学已经私信小张老师说，老师我已经答完这套卷子，我已经准备要进场， 那么我感觉是比较两级分化。还有的同学私信老师，老师这套卷子我觉得轻轻松松，简简单单，那么今年我感觉两级分化比较严重，有的同学说简单，有的同学说特别难，那我们一起来看一看好不好？ 好，第一个题，万年不变的集合问题，取并集，全都要来一二二四五，所以一二四五选 a， 没毛病，来第二题，取最大值三角函数，就取前面这个数，这个数取正的，他本来就是正的，所以就是选二， ok， 没毛病，来第三个来我的押题， 减相减来三减二等于一，来二减一也等于一，都是一，所以选的啥？所以选二 b 来第四题，还是看我的押金，我押的就是一个奇函数，奇函数是啥？谁是奇函数来，直接他就是奇函数，选二 b， 剩下要不就是偶函数，要不就是非奇非偶。 ok， 第五题来，还是看我这个押题。大家看这个取班干部学当这个副组长的事，是不是跟这个取，从四本书里取两本书 是不是一样的？是不都是取啊，从一个东西里拿出来，而且我不排顺序，是不是因为当班长也没有正副班长是不需要顺序的，这取书呢，也是不需要顺序的，所以我们用排列数还是组合数来，必须用组合数， 一定要用 c 来。 c 二四等于啥？ c 二四等于四乘三除以二乘一来一，约 上面二乘三等于六，所以选择 c 没问题，这就是前五道。来继续看这个第六题，说 f 一 等于多少来代入那个属于一的一是大于等于零的代入，这里来一的平方减一呢，就是零，选二 b 没有难度。 第七个，这是个负数，负数求模怎么去求？来开根号里面第一个数的平方来九，加上第二个数的平方是十六，所以等于根号二十五，根号二十五就是五，所以选 c 也没难度。简简单单来第八题，忽视，啥叫忽视啊？ 他 a 并 b， 然后他俩的什么呀？他俩的可能性就是直接他俩相加来，因为他俩互试啊，所以零点二今是零点六啊，这是零点六，零点二加零点六，那就是多少，那就是零点八，所以选 c d 也没问题。 来这个第九题。第九题在考前我之前我就发了个视频，我说教大家双曲线求渐近线方程。那个丢盔卸甲法还记得吗？ 丢盔卸甲法什么意思？来把它还原成戴帽子的东西来，这个四就是二的平方，然后减去 y 方，然后这个十六呢，就是四的平方，然后等于一来跟我一起丢盔卸甲。什么叫盔？就是他所有的帽子就是盔甲，就后面这个一 把它全去掉，也就变成了，剩什么呢？来二分之 x， 减去四分之 y 等于零，就剩它了，然后平移位置，也就是二分之 x 等于一个四分之 y， 然后再加一个正负号就行了。 加个正号，两面同时乘以四，同时乘以四，就正负二 x 等于 y， 那 你说选择什么呀？来 y 的 正负二 x 直接选择 c， 这就是我们丢愧泄假法，我的系统课讲的非常详细，你今天你学会了，你这考试就不到一分钟做出来了是吧？来第十个题， 求他的算数平均数是多少？问这种数的重是多少，怎么去算？大家看 算数平均数就是所有数加起来除以这些数有多少个？看查一下多少个。来一个、两个、三个、四个、五个、六个、七个，对不对？所有数加起来除以七来六加七加七加 x 加十加十加十六除以一个七等于一个，最后平均数是九 啊。然后大家去算一下，最后这个 x 左边的全加起来来，六加七加七加 x 加上二十，是十加十得二十加上一个十六等于七九六十三。 大家简简单单一算来，两边一剪，直接一算 x 就 得七， x 如果算出来得七，那你说什么叫中数？中数就是那个最多的数，所以说三个数，那就选啥呀，那就是七了，所以选 a， 这也没难度。然后大家看这个来，这个符号不会 有的同学老师没复习到这呢，教大家，你不用说这个符号怎么读，你说可赛一不虚了，无所谓 符号怎么读，无所谓。重点你得会画图，他说这个正在分布，这是零一，所以这个图，这个图怎么画？这零一是不得这么画呀，那你大于零的是不是占一半啊？这个山峰，所以是二分之一 选 c 来继续我们的十二题，十二题说他是他的什么条件？大家看你这个条件能推 a 大 于一吗？你首先你把这个 a 方和 a 移到一边，也就是 a 方减 a 大 于零，所以提一个 a， a a 减一大于零，这明显他不可能是指 a 大 于一啊， 对不对？这是不是 a 大 于去两边， a 大 于零， a 小 于零或 a 大 于一啊？所以说他不能推他，那他他不能推他右边能不能推左边，右边能推左边，所以这是什么呀？这是不充分，但必要，所以说必要不充分。选择 c 来十三， 以他为圆心与他相切的圆的方程。大家先看清楚圆心是谁，圆心是一到二。好，这不行，这不行，他是一到二，他也是一到二。再看，如果跟他相切，这个是什么不一样呢？是半径不一样， 所以我算一下这个圆心到这个直线的距离是多少是多少，半径就是应该是多少。好，怎么去算来？ d 等于 根号下来这个数的平方，加这个数的平方一共等于二十五，然后把一到二带入这里面来。三，加上这个二乘四的八，再减一个，一加一个绝对值，底下是五，上面是 一，算就是十，也就是哎， d 等于二，那 d 要等于二，我 r 是 不应该也等于二，但是我这个右边这个位置，切记，我是 r 方，所以 r 方应该等于四。所以选择 a 这个题不要做错了 啊，做错了也没办法来重点十四题，十四题是一个有点难的题，他考了一个竖列啊，这个东西是有规律，大家看 a 一 等于五， a n 等于这个东西， 那有的同学就有点发蒙，老师这是啥题啊？这到底是等差竖列还是等比竖列啊？跟大家说这个都不是，这是一个有循环性的一个竖列，怎么去发现它的规律？往里带来 a 一 等于五，来，咱们看下 a 二等于多少？ a 二往里带， a 二等于一减去， a 一 来一减去， a 一 是五，也就是五分之四。来， a 三等于多少？ a 三把 把三代数进去，这是 a 二，也就是一减去，来，它的倒数是四分之五，一减就是负的四分之一。好， a 四是多少？ a 四等于一减去，这底下是 a 三，也就是一减去。呃， 负的四分之一，也就是一加上一个四，一加四还是五，到这你发现了三个一循环，来， a 一 等于五， a 二等于五分之四， a 三等于负的四分之一，从四开始又是五了，三个一循环，那你说 a 十等于多少啊？来， a 十是 一二三循环，来，一二三循环，一二三循环，又多出来一个第十个，这第十个是不又是第一二三循环中第一个，所以还是第一个数，还是五选择 c 没问题 啊。这个题有点小难，有些同学败在这了。来，继续十五题，十五题。来，偶函数增函数画图。这我在我系统课，我说很多啊，今今年今年看我系统课的同学这一题肯定是会的，因为我我讲来 直接画图，怎么去画呀？首先偶函数关于 s 轴对称啊，这是关于 y 轴对称， 关于 y 轴对称，他说零到正无穷是增函数，且 f 一 等于零，那 f 一 假设在这个位置是增函数，我就往上画呗，我就往上画呀。又因为是偶函数，是不关于 y 轴对称，是不应该这样啊。 那你说这个东西 f m 减一小于零，是不得在 x 轴的下方啊，也就是我是不得在这个位置啊， 那这个位置是一，这个位置是负一，所以我这个 m 减一是不得介于负一和一之间呀，那我这样我不就知道 m 的 范围了吗？来，同时加一， m 也就大于零，小于二来大于零，选二，直接选 a， 这就是我们所有的选择题。然后来到我们这个填空题来，第一题很简单，就是算数来五的平方，所以是二来二十五减二等于二十三，正确， 把他带入进去，就求 a 这个参数了，把他直接带入进去，因为这个点在他上来带入进去。九除以 a 方，加上一个零，除以一个四等于一，这个位置是零，所以九就等于 a 方，那 a 等于正负三，又因为 a 是 大于零的，所以 a 等于正三， a 等于三，没问题。 来第十八题，我在系统课，我怎么讲的？我说两个向量是平行的， 来，直接用什么方法？直接用里应外合。怎么里应外合？这个位置乘这个位置，这叫里来二乘二等于外和，这是外，这是外面，因为他俩在外面，一乘 x 等于 x， 所以 x 等于四。 就这么简单来。第十九题，这是个等比数列， q 是 等于二的 a 四等于多少？ a 一 乘以 q 的 三次方 等于一个十六。好， a 一 咱不知道，写在这， q 是 等于二的，所以二的三次方等于十六。来八倍的 a 一 等于十六，那 a 一 等于多少？ a 一 是不等二啊。填空题没有难度啊。这个第二十题算是有一丢丢难度，但这个题我其实也讲过 来，我们把这个擦了，看一下第二十题，好，二十题你会发现我们，我们先观察我们想求什么东西。 cosine r 减贝特对不对？先把这个东西展开来。 cosine r 减贝特，它等于考考加塞塞，因为我说了它比较叛逆，对不对？扣里面是加在外面，就是减来 cosine r 加一个 cosine r 塞比特。 但是你看我们题干中有没有考乘考加上赛乘赛呢？哎，没有啊，没有怎么办？没有你就创造出来。怎么创造？ 你发现没有？你把它平方之后能创造出来？考三 r 八乘考三倍的来这个第一个式子，这是第一个式子，你把它平方之后来是不是变成来考三 r 八？平方加上考三倍的平方，加上二倍的？考三 r 八乘以考三倍，它 就等于是不？哎，十六分之九啊。来第二个式子，我也同样，平方等于来 sine r 方加上 sine beta 方，加上二倍的 sine r 乘以 sine beta 等于一个四分之一。来一式二式。你发现没有？ 它加它等于一，它三角号加三角号等于一。来，上式和下式我相加起来， 那就是二喽。来，他俩将加起来。大家发现没有？这不就是我们想求的二倍吗？因为我们想 cosine alpha， cosine 它加上 cosine alpha 加乘以三倍的，对不对？所以相当于二倍的所求所求，我就设为 x 就 行了。 等于多少呢？来这个位置加这个位置，这四分之一是四十六分之四，所以加起来是十六分之十三。 那所以二 x 等于多少？挪到右边来，十六分之十三，减去一个十六分之三十二，因为二就是十六分之三。十二。好，二 x， 我 讲的很细啊。负的来，它减它等于多少？ 它减它等于一个十九，那 x 等于多少？负的三十二分之十九。这个题有很多同学可能会倒在这里，为什么倒在这里？因为你可能计算问题啊，失误了，所以答案就是负的 三十二分之十九。然后我们看一下这个大体部分，看他怎么考的，难不难。第一个，三角函数解三角形，解三角形不是用什么公式，不是用正弦定理，就是用余弦定理，直接带就行了。来，第一个求三 b， 你 看给了 b， 边给了 c， 边给了 c 角，又问你三 b 的 值，直接用正弦定理 冒号来， b 比上三 b 等于一个 c 比上三 c， 直接用这个公式把我们知道的东西带回去来， b 是 二倍，根号三，三 b 不知道写在这， c 是 多少， c 是 四来三， c 是 三六十度。好，我们再转化一下，二倍根号三除以一个三， b 等于一个四，三六十度等于多少？三六十度是二分之二三。所以三 b 来 把这个东西乘到右边来，把这个东西乘到左边去，也就是等于二倍根号三，乘以它的倒数二分之根号三，底下除以一个四来二跟二一约，上面是一个啥？上面是一个三，等于四分之三。第一问，四分之三来拿倒 难吗？这块就是一个简单的一个正弦定律和一个计算来。第二个，这个东西大家得去画图啊，教大家去画图，他怎么说的？他说 d 是 bc 上的边，我们先简单画一画， 大家不用去画的特别精确，你画个大概就行，因为这个东西不是我们画在我们的答题卡上的，我们算在我的草稿纸上来。第二问， d 是 bc 上的边，我先画这个图， a b， c， d 是 bc 上的边，然后人说了， c， d 等于根号三啊。假设 c d 等于根号三，然后呢？求 ad 的 长来，我们把它连上线， 我们把我们知道的函数代入进去。来， b 是 二倍根号三， b 是 谁？ b 是 就 a， c 啊，这是二倍根号三，对不对？来， dc 是 根号三，然后呢？ c 是 六十度，大家看着没？这是六十度。我知道一个夹边， 两个边夹着一个角，也就是夹边和角。我用什么呀？我 b 用余弦顶里啊，这我在课上完全讲过了，对不对？ b 用余弦顶来，直接用余弦顶里，由 余弦定里得来。用谁的呢？用 ad 来， ad 的 平方等于 ac 方，加上一个 dc 方，减去二倍的 ac 乘以 dc， 再乘以 cosine 六十度。 好，那 ad 的 平方我不知道来，继续写， ac 方是多少来，它的平方等于一个三，减去二倍的 ac 二倍根号三， dc 是 根号三。来， cos， 六十度是二分之一。来，二分之一跟二，一约，他跟他一乘，这是六。所以说来，十二加一个三，减一个六， 也就是 a、 d 的 平方等于一个九， a d 的 平方等于九，谁的平方等于九，而且 a、 d 是 正数，所以 a、 d 等于三就完了。这就是我们 r、 e、 t 也不难 按下这个二十二题，这是一个函数类型的问题。第一个非常简单的疑问，白给分来，他说我们求 a 的 值，他不是说这个图像过这个点吗？来，我们可以把这个点带入进去。来， 把一到二带入 f x 中，也就是 f 一 等于一个三的一次方，减去 a 乘以一等于几，等于二，也就是三减 a 等于二。来， a 是 不等于一啊， a 是 不等于一啊？来，第二问，第二问，说 g x 等于它，求它的解集。来，第二问的话，你先把它写出来呀， f x 和 g x 写出来， f x 第一问，我知道了，来三的 x 方减一个 x， 因为 a 是 一， 也就大于这个 g x， 人家告诉我们了，来，负 x 加九，两边都有负 x， 能不能约要约要了，也就是三的 x 方大于九，三的 x 方，九是多少？九是不是三的二次方啊？ 那所以直接 x 大 于二不就完了吗？所以解集就是它，然后最好人家问我们那是解集，所以我们答案最好是，哎，我们写个集合 啊，这样是最好的啊，但是你这么写，一般老师不会判错啊。这是我们二十二题。来看这个二十三题，我一看这二十三题，这不是我考前发的视频吗？大家看这个东，你一看到他这是什么呀？这不就错位相减吗？来看 几乎，这我一个是二，一个是三，这个数有啥区别？没有任何的区别，学会方法一样去做，对不对？来，你看这个题，来第一个 求同向公式，看有没有难度。来 a 一 告诉我们，我们是不直接把这个等差数列的 d 求出来，是不就行了呀？哎。 a 一 等于一来， a 二加 a 四等于一个六， a 一 等于 a， 一 加 d， a 二等于 a， 一 加 d， a 四等于 a， 一 加三， d 来等于一个六，也就是二倍， a 一 加四， d 等于一个六。 好，那 a 一 是等于一的，所以说二加上四， d 等于六，你一算 d 等于一。来，第一问直接结束，所以通向公式， a， n 等于 a， 一 加上一个 n， 减一倍的 d 一 代入进去，这是一加上一个 n， 减一乘以一个一，就等于 n。 ok 了， ok 了， 第一问结束。来第二问， b， n 等于二， n， 然后乘以什么呢？ a n 是 不是 n 呢？来，这就是经典的什么呢？这不就是经典的错位相减吗？ 口弦直接压中了，我太太高兴了，今年运气特别好，今年一共压中了六道题啊，二十、二十三题来，怎么去做？ sn 就 叫等差数的前移项和，是不是啊？ sn 是 前移项和，来，我们直接把它写出来， 也就是一乘以二的一次方，加上一个二乘以二的二次方，加上三乘以二的三次方来。继续往下写，我最后的是什么呀？ 最后我再写最后的两项，也就是 n 减一乘以二的 n 减一次方，加上一个 n 倍的二的 n 次方来 二的 n 次方。好，那我们写完这个 s n， 我 们还需要写什么呢？错位相减，我之前说了，我说两边同时乘以什么呀？ 同时乘以这个公比，谁是公比？看着没？这个二就是所谓那个公比，所以同时乘以二二， s n 等于。那乘以二之后就变成啥了呢？ 我同时乘以二，这上面是不是一乘以二的二次方了？因为同时乘以二加上一个二乘以二的是不三次方，加三乘以二的是不四次方，加点点点， 那他就变成什么呢？是吧？ n 减一乘以二的 n 次方，那他变成什么了呢？那他就变成，哎， n 倍的二的 n 加一次方 啊，就形成形成了这两个式子，这两个式子我们用错位相减，我们用第一个式子减去第二个式子，这是第一个式子，这是第二个式子。一式减二式等于什么呢？哎，错位相减是这样减的 啊，这样减错着减来等于。左边是 s n 减二， s n 是 负的 s n。 来，我们看右边这个东西是不是剩下来了？我们把它写上来二的一次方， 它减它是多少？二倍的二的二次方，减它是一倍的二的一次二的二次方，加上二的二次方，它同理是不是一减也是二的三次方？来加点点点。来，我们看最后一个加啥？ 我们最后来，来来来，是不是他是最后一项，他是不是应该加到二的 n 次方啊？然后这样一错开，是不是还得减一个？它减 n 倍的二的 n 加一次方。 好，所以负的 s n。 我 先整理一下右边来这个东西是不是一个等比，竖列的前项和来首项是二，公比也是二，也就是来展开二倍的， 也就是一减 q， 一 q 也是二，来一减二的 n 次方，来减去一个 n 倍的 这个东西啊，也就是 s n 等于什么呢？来把它去上下同时乘以负一，二底下没了，上面是二的 n 次方，减一个一，再减一个 n， 其实大家一一处理就好了。所以说呢，来负的 sn 就 等于二 n 加一次方，减一个二，再减去 n 乘以二的 n 加一来同时乘以负一 sn， 就 等于 这又变成减了啊，这个就变成加了，这个变成加了。然后呢，你可以把它把它俩合并一下，看着没合并一下 n 减一个一倍的二的 n 加一，然后再加一个什么呀？ 啊？再加一个二就够了啊，这有二十三。然后咱们看一下最后一题，很多我的同学一百三十分的都是这个，第二本没做出来，所以答一百三。那我们看一下这个题，确实有点难度来 说，这是一个抛物线，那有很多同学把重点你就放在椭圆上，那你这抛物线就很容易做不出来，知道吧？这是个抛物线呃，所有的圆锥曲线，这个图一定要画出来。我跟大家说，所有的圆锥曲线的题，你一定要去画图来，跟我一起画 好。 y 方等于四 x 来口朝着右边的这个位置是 f 焦点 啊，那你说我们求第一点，求 f 的 坐标，这就太简单了，因为人家给了我们这个四 x， 给了我们抛光线方程啊。那求 f 干嘛呀？来，二 p 是 等于四的，那 p 是 不等于 二啊？那二分之 p 等于几？是不等于一啊？所以 f 坐标直接出来了，因为他就是二分之 p， 所以 这个点的坐标是一斗零，对吗？一斗零，这就做完了呀。那很多同学就第二问，做你第一问是不是简简单单来，第二问说 s 一 比 s 二最小值。我们先搞清楚什么是 s 一 s 二 来读题，他说呀，准线交 x 轴与点 a， 什么叫准线在这边， 准线是在这呢，所以这个 a 呢？我们知道这负一都零好，然后呢，他说 m 是 抛线除顶点之外的任何一个点，那 m 就 只要不是这个 o 点，是不就行了？我随便写一个来，这是 m， 然后他说啊， af amf 的 平分线，那我们先把它连起来来， am 连起来来，换一种颜色笔， am 连起来， amf 连起来， 然后 af 也连起来来，他说 amf 的 角平分线， amf 是 不是大概在这个位置啊？ 对不对？这是角平分线，角平分线重点就在这个角平分线，然后人家说了 m b f m a b 的 分别是 f s 一 比 s 二，所以说 s 一 比上 s 二，我现在知道是谁比谁是 s 一 是 m b f 啊，然后 s 二呢？是 m a b。 那 我看，呃，一共哪两个三角形？ m 这个 b 啊，焦点是 b m a b 和 m b f 啊，这是 s 一， 然后 m a b 这个右边是 s 二啊，阴影部分是 s 一， 那你说，那这两个三角形有什么共同之处呢？有什么共同之处？唯一的共同之处就是 他有个共同的角平分线。来回答我，角平分线上的点是什么？角平分线上的点到角两边的距离是相等的，所以你这个 b 到 am 的 距离与 b 到这个边什么呀？边，这个 m f 这条边，它是距离相等的，是角平分线上的点到角两边的距离是相等的。哎，那你会发现，那这俩 h 是 不是相同啊？ 那这俩 h 要是相同，那我就知道了。来，上面这个 m b f 这个阴影面积等于什么？是不等于二分之一？ 哎，底乘高，我拿 m f 作为底高，我就是那个相同的高，就记为 h， 然后二分之一 m a b 呢？ m a b 也是， 我拿 am 做底，然后还是那个做高，也就是还是 h， 那 我发现我能约掉，我这周是不是都约掉了？所以我就等于 m f 比上一个 am， 所以我只要花心思把 m f 和 am 表达出来就行了。我这个 am， m f 和 am 怎么去表示呢？来，我们注意来看 m f 等于啥？ m f 是 不是？哎， f 是 焦点， m 到 f 的 距离是不等于 m m 到准线的距离啊？那假设我设 x 的 横坐标为 m 的 横坐标为 x， 那 m f 是 不是就等于 x 加一啊，对不对？这个也很难 啊，也很难想起来。其实就 m f 等于 x 加一啊，只要我设 m 的 横坐标为 x 为 x 就 好了啊。所以 m f 我 找到了，那 am 怎么去表示呢？ am 怎么去表示？怎么去找来 am am 我 可不可以用两点之间距离公式？这，这是 x， 纵坐标是 y 来， 怎么去？根号下来横坐标相减， x 加一的平方加上一个纵坐标的差值，纵坐标就是 y 方。 好，然后呢？继续写，这个位置是 x 方加二， x 加一，那 y 方等于多少？来？看好了， y 方等于多少？ y 方题上有 y 方等于四 x， 所以 一加四， x 等于来，根号下 x 方加一个六， x 是 不是加一来验证一下对不对？ y 方等于六， x 方加六， x 加一没问题，所以说我现在我就能表达出来了。 所以 s 一 比上 s 二等于来 m f 在 哪呢？在这呢？也就是 x 加一来比上一个根号下 x 方加六， x 加一 来。换元法来了，要用换元法来令 t 等于 x 加一，但是你会发现 x 的 范围是多少？因为 x 范围是我在 y 轴右侧的，所以 x 肯定是大于零的。那我这个 t 是 s 加一，所以 t 的 范围呢？ t 就是 大于一的， t 是 大于一的，所以 s 一 比上 s 二就等于 t， 那 那 t 是 等于 s 加一，那 x 呢？ x 中 t 减一啊， 所以底下也可以代入，也就是 t 减一来的平方加上一个六倍的 t 减一，加一个一来。我们简单化简一下，化简 底下化解来， t 方减二， t 加一个一加六， t 减六，再加一个一来，等于 t 方加四 t， 然后减一个四。那到这呢？有可能。同学老师，那到这我发现分子分母还是两个变量怎么办？再换 再换。但换之前你先控制变量，因为分子分母都有变量，你先同时除以 t 来， 上下同时除以 t 之后来 s 一 比上 s 二，就等于上面没了，是一，那下面是谁呢？下面你根号里面是不是就除以 t 方了？来，所以一加上一个四除以 t 减去一个四除以 t 方， 那到这有的同学会发现，隐约感觉这个是基本不等式，是不是？但是你要把它化成我们熟悉的啊。其实我们这个东西不用基本不等式，他只是比较像我们用我们的函数方法来，我们再还原。令 m 等于 t 分 之一，那我 t 分 之，那我 t 是 大于一的 t 分 之一，是不是？就，哎，这怎么样啊？是不得 m 就 大于零小于一啊？ 因为它是大于一的，它分之一是不是大于零小于一啊？所以 s 一 比上一个 s 二，就等于来根号下 一加上四 m 减四 m 的 平方来继续把它换一个位置，减四 m 方加四 m 加一个一。 我的天，这个东西不是一个二次函数吗？二次函数这个图怎么画？开口方向朝下的。什么时候取得最大值？在对称轴负二 a 分 之 b 处取得最大值，那他分母如果取得最大值，分子不就取得最小值了吗？ 对不对？是不？我，我们想求的是最小值，所以来令 m 等于负二， a 分 之 b 来负二， a 就是 正的八分之 b 是 四等于二分之一来一带入进去 s 一 比上一个 s 二就等于 根号下来把二分之一带进去，这是负一，然后加一个 二，再加一个一，一约也就是一除以根号二，一除以根号二。答案，二分之根号二。这个题确实难，你做不出来呢。情非常情有可原啊，所以这个题答案是这个，那我们就讲解完毕。

来我们进去看啊真题卷第七题这道题啊，我记得我在呃考试前十几天讲过复数的时候发过的，是不是啊，哎，如果说大家有看这道题五分就有了，是不是啊？来， 已知 z 等于三加四， a 要求 z 的 模，是不是很明显啊，它会等于什么？根号下 a 方加 b 方就是什么，就是会等于三的平方加四的平方自然就等于五啊，是不是啊所以呢选 c， 嗯，哈哈，简简单单又一题是不是 ok 第 八级啊，互斥事件很多东西说。哎，这个我好像第一次听是吧，互斥的话就是两个事件，它是相反事件，是不是我举个例子，假设 a 等于。呃，我举举个集合的例子好不好， a 等于一二， b 等于什么东西啊？三四啊，三四五是不是好，这两个集合没有任何交集对不对啊？没有任何交集也就说事件 a 与事件 b 它是没有任何交集的啊， 它是两个完全不同的个体是吧。要求 a 并 b 啊， a 并 b 的 话就是要求这两个事件的和，是不是就好像这两个集合你要求 a 并 b 一 样， a 并 b 的 话是把所有的写在一起是吧。那在这里面的话也是一样的， pa 等于零点二， pb 等于零点六，那他们的并集啊，就把这两个怎么样相加是吧，加起来零点二加零点六等于零点八是吧， ok， 哈哈，也简单是不是好第九题 第九题的话我们来看一下已知啊，这个双曲线是吧，渐近线是多少呢？你看从这里我们可以发现 a 平方等于四， b 平方等于十六，是不是？所以啊， a 等于几？ a 等于二， b 就 等于四，是不是？渐近线方程就是 y 等于正负， a 分 之 b， x 是 不是正负，那就是正负二分之四， x 是 不是？所以呢？是选 c， y 等于正负，二 x 是 不是？ ok， 也没问题 啊，也没问题，来第十题，有很多同学说考完之后发现这数学很难，我想问难在哪里，是吧？啊？难在哪里？来第十题， 这组数据的平均数是九，要求这组数据的种数是不是？哎，平均数是九的话，你就可以先把什么先把 x 先算出来，是吧？种数是什么意思嘞？种数是出现最多的数，你看在这里面一个什么，一个是七， 一个是十，是不是？那平均数是九，那你就把 x 先算出来是吧？那如果说 s 是 七的话，哎，那总数就是七，如果说 s 是 十的话，那种数就十，是不是？好，那他平均数很明显了。六加七加七加 x 加十加十再加十六，是不是全部加起来除以加， 呃，除以一二三四五六七除以七啊，等于九是吧？七九六十三，是不是？所以呢？这六加七加七加十加十加十六，算出来什么是五十六，五十六加什么等于六十三呢？五十六加七等于六十三，所以 x 算出来它是七，是吧？所以中数呢？就是七啊，直接选 a， ok 不？ 哈哈，简简单单， ok， 来十一题，哎，十一题，这个就什么，你们说的出现了一个蛇的符号，是不是？哎，我们来看一下出现这个蛇啊，出现这个蛇的符号，那怎么做呢？这道题 来看一下啊，来看，若随机变量是一个吧，服从啊，是一个吧，这个图是一个吧，服从正态分布 n 零到一 则 p， 就是 啊，是一个马大于零的这个概率， p 还是它是指概率是吧？好服从正态分布 n 零到一，这什么意思呢？正态分布啊，它标准的正态分布，它的对称性，是吗？是这样的。零，然后呢？这个是六，是不是？然后呢？这个它，它这个怎么写啊？这个方叉啊，平方， 这是代表方差啊。六，然后呢？他为均值啊，他为均值，然后呢？他是关于这条曲线对称，是吧？那我们再看一下，这个时候，你看这道题目里面他是什么？零都赢，是吧？说明了六的一角 面在里，是不是？哎，关于缪对称的话，就是说关于零对称，是不是在一个坐标轴中？关于零对称的话，哎，你可以理解为左右两边，可以理解为上下两边，是不是？所以啊，它小于零的概率，或者是它大于零的概率都是一样的，都是吗？都是二分之一啊，可以怎么理解呢？你看 可以把它理解为，哎，相当于二次函数，是吧？这是零嘛？是不是？然后关于这样对称，那二次函数的话，要么是这样的，然后呢？这边要么是这样的，是不是？所以两个部分，一个部分了， 跟这一个部分他们都是相等的，都是一样读的，所以呢，占了总概率的二分之一，这是二分之一，这也是二分之一，是不是？所以啊，不管他大于零还是小于零，都是吗？都是二分之一。直接选 c 按的时间啊，就这一道题超刚好，不好啊，刚刚讲了这么多题，就这一道题超刚好，其他的都还可以，是不是？ ok， 我 们再看下题。 所以啊，十二题这道题的话我们就讲过很多次，是不是？哎，来看一下要求，这个是什么条件呢？哎，我记得我发视频讲过，是吧？ a 平方减 a 大 于零，是不是？然后呢？提取一个 a a， 然后呢？ a 减一大于零，所以啊，它有两个解，第一个解什么？第一个解是 a 小于零，第二个解呢？或 a 大 于一，是不是？所以这有两个解，这里只有一个解，所以前不能推后，后能推前，后能推前，就是必要不充分条件直接选 c。 啊，你学会了吗？啊，这就是这个。呃，选择题 七到十二题啊，非常简单，是不是？特别是这复数？我刚给你讲完，如果说你看到我的视频拿下五分。

高中高考最后四天了，今天我们来讲数列大题的最后一期，列项相销求和，也是二五年的最新考点。这个知识点很多同学还是比较陌生的，但其实它非常非常简单，二六年也很可能延续二五年的考点，所以这个视频一定要看到最后，让你这十二分稳稳拿到手。 那我们直接来看二五年的真题，他说等差数列 a n 等于二， a 四等于八。先要求 a n 跟 s n， 我 们需要看的第一个是什么？首项 a 一 跟公差 d 好， 目前 a 呢，我们是知道了，那这个 d 怎么算呢？把这个 a 四拿下来， a 一 加上三， d 等于八，然后先 a 一 知道那 d 是 不是很好算， d 等于三， d 等于六， d 等于二，那么它的通项公式等于多少呢？ a n 写出来等于 a， e 是 什么？二加上 n 减一乘以二等于二 n， 因为这个二，这个二跟这个二直接消掉了，直接等于二 n， 那 么 s n 是 等于多少？ an， 我 们知道了 sn 的 这个通项公式已经在这里了，所以就变成二加上二， n 乘以 n 除以二， 会等于二， n 加上二， n 的 平方除以二，把二全部消掉，那么 sn 会等于 n 加 n 的 平方，这 n 我 们算出来就等于 n 加 n 的 平方。好，那我们现在来看第二问， b n， b n 等于 s， n 分 之一啊，然后要求 b n 的 前 n 相和。我们首先把 b n 的 竖列写下来，等于 n 加上 n 的 平方分之一。好， b n 它不是等比，也不是等差，那么这个式子怎么求和呢？哎，今天我们讲的就是列向相消求和的方法。 我们把 b n 呢化简一下，会变成 n 乘以 n 加一，那么这个呢，是列项的一个模板，就是 n 乘以 n 加 k 啊，分之一的情况下，那它会等于 k 分 之一乘以括号啊， n 分 之一减去 n 加 k 分 之一，那么这个是指是什么？它会变成 n 分 之一减去 n 加一分之一， 因为前面啊，前面这一个系数呢？这个 k 啊，这个 k 他 是等于一，所以一分之一还是一，所以这里我们就已经省掉了，没有写，那为什么要这样子写呢？其实大家反推一下应该就很清楚了，我们把这个分式呢，通分一下，变成 n 乘以 n 加一， 然后这一个呢？第一项他会变成什么？ n 加一，好减去减去什么呢？这一项他会变成 n 乘以 n 加一分之 n 减完之后呢？是不是回到原来的式子 n 加一分之一了？好，这个式子是不是跟这个是一样的？ 好，现在我们要求前 n 项和 t n， t n 等于多少呢？是不是 b 一 加上 b， 二加 b， 三加加加加到 b n 就是 他的前 n 项和 t n 了。那接下来我们就把这个 b n 把对应的数值带进去， b n 会等于什么呢？一分之一 减去二分之一，加上这个 b 会等于多少？ b 二二分之一减去三分之一，再加上 三分之一减去四分之一，是不是一直加加到最后是什么呢？ n 分 之一减去 n 加一分之一， 那么我们来观察一下这个式子，把对应的括号呢，全部展开啊，展开，它是这一部分呢，它是负的二分之一，这一部分呢，它是正的二分之一，这一部分负的三分之一，正的三分之一，是不是第一个首项里面的尾项啊？尾项跟这个第二项里面的首项，它是不是可以直接消掉了？ 然后呢？哎，以此类推啊，全部都会把它消掉，消掉，剩下第一项的首项跟最后一项的尾项啊，留下来了。那第一项的首项是会等于什么？ t n 会等于一，减去减去这一项， 最后一项就变成 n 加一分之一，所以最后我按一下， n 加一分之 n 加一啊，减去 n 加一分之 n 加一分之 n， 这个就是 t n 它的前 n 项和。 那我们来看二六年的预测啊，它其实跟上面二五年的式子呢，是非常像的啊。那我们先把这个 a n 跟 s n 求出来，两条式子，两个位置数， a 一 加上 d 啊， a 二 a 五啊，等于 a 一 加上四 d 这个等于五，这个等于十四。 解出来， a 一 等于二， d 等于三啊，大家回去可以算，那么通向公式， a n 算出来是三 n 减一啊， s n 呢？大家把对应的公式啊带进去算啊， s n 会等于三的 n 平方加上 n 除以二，大家有时间可以把这个对应的式子呢带回去算一下，就能得出答案啊。那我们重点来讲第二问，他说 b n 等于 a n 乘以 a n 加一分之一啊，然后要求竖列 b n 的 一个前 n 向 t n 和啊，那我们还是一样把 b n 写下来，它是什么呢？ a 三 n 减一啊，然后乘以三 n 加二分之一。大家知道为什么是三 n 加二吗？我们把 a n 加一啊，等于什么？等于这个式子会等于三乘以 n 加一，再减去一个一啊，所以它会等于什么？三 n 加三减一啊，会等于三 n 加二，好，这个就是 a n 加一，所以我们就把它对应写下来， 那么他这个式子他应该怎么列项？是还跟前面这一个二五年真题一样去列项吗？那肯定是不对的啊，那我们看原本这一条式子啊，他已经写出来了，哎， k 分 之一啊，因为他这个 k 的 系数啊，怎么去确定的呢？他就是后移项， 后移项减前一项的差啊，就是这个 k 的 系数，大家听明白了吗？那后移项是三 n 加二啊，三 n 加二减去三 n 减一，哎，这两项呢，就消掉了，就二减去负一等于三，所以他前面呢，列完项之后呢，你前面要乘以一个三分之一， 大家听明白了吗？如果说还不是很确定啊，就可以把这两个式子呢通分，通过，通分完之后呢，看是不是等于前面这一项， 如果他是相等的，那你这个列项呢，他就是没有问题的。那我们接下来看，列完项之后呢，我们就要求 t n 前 n 项和那 t n 是 不是等于 b 一 加上 b 二加 b， 三加到 b n， 那么我们就把对应的数值带进去，把这个三分之一呢提出来，里面是什么？ b 一 b 一 会等于多少呢？二分之一减去五分之一，好，括号，加上 b 二 b 二会等于多少呢？五分之一减去八分之一，再加上八分之一减去十一分之一好，再加上到最后一项 三的三乘以 n 减一分之一，再减去三 n 加二分之一括号。那么我们化简一下，最后会得到首项跟最尾一项中间这部分呢，全部消掉了，负的五分之一加上，哎，五分之一，八分之一跟八分之一，十一分之一跟后面的全部已经约掉了， 那么最后他会剩下三分之一乘以二分之一减去三 n 减二分之一，这一部分呢，我们分一下会变成三分之一乘以啊，二乘以三 n 加二 分之三 n 加二分之二，化简之后出来会等于三乘以三分之一乘以 二乘以三 n 加二分之三 n。 因为这个二跟这个二呢是消掉了，这个三呢跟这个三也是消掉了，会直接等于二乘以三 n 加二 分之 n， 这一个就是最后的答案。最后给大家总结一下列项相销的求和方式，什么情况下会用到列项相销呢？就是它既不是等差，也不是等比，哎，它的形式呢就是在分母之下啊， 并且呢是两项相邻的项啊的乘积的形式，那这那这种情况呢，就需要你用到列向相销的求和方式，我这样说大家听明白了吗？最后也祝大家考的都会蒙的，都对，顺利上岸，公办大专加油！

来，各位，二零二六年啊数学高考真题卷新鲜出炉啊，全网应该是最全的了，哈哈哈，我们来看一下今年考的题目到底如何来。第一题，选择题 m 集合，并上 n 集合，对吧？啊，要求并集一二 一二四五，所以呢，并集应该是吧，一二四五啊，这道题选对对吧？ ok， 我 们再看第二题， 第二题啊，要求这个的最大值是吧？哎，他的最大值我们在上一期视频讲过了，是吧？啊，就利用一个公式， a 的 绝对值加 k， 是 不是啊？ a 是 几啊？ a 是 二，二的绝对值还是二，有没有 k 啊？没有 k， k 是 零，二加零就等于二，所以呢，选 b 是 吧，简简单单是不是？ ok， 第三题， 第三题， a 向量减去 b 向量相减的话，那就把它横坐标减，横坐标减中坐标三减二等于一， 二减一等于一，所以呢，是一逗一选 b 啊， b 选项一逗一啊，也很简单是吧？ ok， 我 们再看第四题，下列为 g 函数的是 a， 我 们讲过很多次是吧？ 首先呢，这个指数函数，还有对数函数，它是吗？它是飞机飞偶函数，所以呢，这两个首先排除掉，然后呢，这个是二次函数，开口向上是不是有增有减？它，它是什么？它并不是关于圆点对称，所以呢， c 也不对，是不是啊，那就选什么选 b 啊，直接用排除法把它排除掉，是吧？同样简简单单来看下题。第五题， 从四本不同的书任取两本，那不同的取法数为啊，不同的取法，那四种里面取两本，那就怎么样？ c 四二，任取两本是吧？ c 四二，那就什么四乘三除以二乘一，十二除以二就等于六，所以呢，选 d 有 没有问题？也是简简单单是不是 ok？ 第六题，这道题更简单了，哈哈，这道题送分的是吧？来看一下，要求 f 一， 你看，只要求一个 f， 并不是求两个，只要求一个 f 一 的话，一是吗？一是大于等于零的，属于这一个范围是吧？所以啊，就把一怎么样带到这里面去，是不是就变成一的平方？减一等于减等于零？ a， 选 b， 是 不是 ok？ 答案，选 b。 你 看一下，我记得我发过一个视频，还记不记得，不会的选 b， 你 看一下，偷偷告诉你个秘密，不会的都选 b， 这一个 b 有 多少？ 就第一面六道题，一二三四四个就选 b， 牛不牛逼？我就问你牛不牛逼？好，接下来下一题。下一题的话。哎，我重新录个视频给大家好好讲讲好不好？好到第七题。