几何综合大题八上26题

好，各位同学，今天我们继续来讲解初中数学几何必考题型，截长补短。好，那么今天这道题目呢，是之前期中考试的一道真题，考察的就是截长补短这种辅助线的做法， 但是截长补短这种方法，很多孩子从开学开始学，到现在马上快期末了，仍然对这种方法存有疑问 啊，不知道他的整个的做题步骤是什么，怎么去分析的好，好，那么今天老师就以这道题为例啊，再具体的讲解一下截长补短的方法。好，好， 首先截长补短啊，他是包括两种不同的方法，一个是截，一个是补。好，那什么情况下会用到截长补短呢？好，一般就是在题目中会出现这样的式子啊啊，让我们 表达出来这三条线段之间的数量关系。好，有的呢，是已经给出来这个数量关系了啊，一，一条线段等于另外两条线段之合，那么你只要看到这种形式的啊，就要往截长补短上去靠拢了啊。 好，怎么去截呢？就是在一条长线段上截一条短线段，使它剩下的线线段与另外一条短线段相等。 而补的方法呢，就是延长一条短线段。延长到什么程度呢？延长到和长线段相等。 好，那么我们只需要去证明你延长的部分与另外一条短线段相等即可。好，我们来看这道题目啊，在三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 e 中啊啊，它们两个都是等边三角形好，看到这里，两个等边共顶点，所以马上就想到了手拉手模型。 好，所以第一问是不是就解决掉了啊？ s a s， 老师就不再具体的讲解第一问了啊，非常简单。好，第二，连接 a e p。 好， 老师就用实线了啊，用等式来表达出来这三条线段之间的数量关系，我们先把这三条线段找出来啊，一个是刚刚我们连接的 ap， 还有一个是 pd， 好， 还有 e p， 那么这是一个非常典型的截长补短的方法啊，那么这道题目呢，既可以截，也可以补。好啊，那今天老师呢，就来讲解截的这种方法。好，课下你再去思考一下补，怎么去补啊？好，首先在长线段上去截取一条短线段。 好，那在截取之前，我们是不是要先找到哪一条是长线段呀？好，这个时候我们不一定找的非常非常准确，但是大致的能猜测出来这三条线段是不。我们观察到 e p 是 较长的线段呀，好，那么我们就是要去证 e p 等于 a p 加 p d。 好， 接下来就是在长线段，长线段就是 e p 啊，我们在 e p 上去截取啊，截取一条短线段 啊，截取 p h 等于 pd。 好， 那么接下来只需要证明剩下的这一条线段，剩下的线段也就是 e h。 好， 与另外一条短线段相等，另外一条短线段就是 ap。 好， 只需要证明这两条线段相等即可啊， 好，证明线段相等，我们还是老套路，是不是政权等。 好，那么我们观察到啊， e h 是 这一条线段呢，它不存在于任何三角形中。好，我们既然截取了这个 ph 等于 pd， 此时我们连接 d h 去看一看啊，好，连接之后就形成了一个三角形 e h d。 好， 我们来看一下 ap 存在于三角形 a p d 中。好，我们观察到这两个三角形呀，是不是非常的相似？ 好，那它们两个有没有可能全等呢？对不对？好，如果我们能证出来它们两个全等，那么 p a 是 就等于 p d 了。好，我们先来看已有的条件啊，其中有一条边是相等的啊， e d 等于 a d， 因为三角形 a、 e、 d 是 等边三角形好，接下来就没有别的条件了啊，没有别的条件没关系，咱们说，哎，往前面去看啊，往第一问上去看，我们每道题不是孤立存在的， 看每道题，看第一问的条件。好，三角形 b、 a、 d 和三角形 c a、 e， 我 们正出来了，全等，那么有全等就可以得到对应边相等好，角一角一就等角二好，到这里还不够。 我们说手拉手模型里面呀，最常出现的还有一个八字形，那么这里面有没有八字形呢？好，假如说这个焦点是 o， 我 们观察到三角形 a、 o、 e 和三角形 d o e 是 不是就是八字形好，角一等，角二 好，还有对顶角等，对零角好，那么这两个角是不就相等呀？好，假如这个角是角三，那么我们就得到了角 e、 a、 o 是 不是就等于角三好，而角 e、 a、 o 是 六十度，所以角三就是六十度，角三是六十度，而三角形 p c， p a 是 d， 等腰加六十度，是不就是等边好，它就是等边三角形好，接着我们就可以得到 一 h d 就 等于 p d 好， 那么就有两条边了啊，那它们的夹角如果再相等，是不是就可以用 s a s 了？看它们两个的夹角 好，由于它是等边，那么这个三角，这个角 p、 d、 h 是 六十度好，而这个角 a、 d、 e 是 不是也是六十度？好，那这样的话， 同时减去中间的公共的角好，外面两个小角是不是也相同了？刚好是这两个三角形的夹角啊，也就是角 e d h 等于角 a d p 好，所以咱们就证出来了啊，三角形 e h、 d 是 全等于三角形 a p d 的， 那么全等，所以对应边相等啊啊， e h 就 等于 a p 好，接下来我们只需要等量代换一下是不就可以了？好， e p 本身呢，它等于 e h 加 p h 好， 而 e h 呢，我们挣出来它等于 a p 了，而 p h 呢，我们是让它等于 p d 的 好，所以这道题目是不就做出来了，一 p 等于 a p 加 p d 好， 这个是结的方法啊。好，当然还可以去补啊，补的话就是在一条短线段上延长啊，延长，一条短线段延长到什么程度呢？延长到它和长线段相等， 好，补的方法，老师给你留个口，作业啊。好，今天这道题目我们就点个关注啊。好，我们下期。

好，各位同学，今天我们继续来讲解初中数学必考题型几何多结论问题。那么这道题目呢，是咱们八年级数学期末考试的压轴题，考察了角平分线的性质等，边三角形的性质等， 所以综合性非常的强啊，是咱们期末考试的重点与难点。好，我们一起来看这道题目。如图，在三角形 abc 中，角 abc 的 角平分线相交于点 o， 好。 看到这里，马上想到了是双内角角平分线模型， 好 i、 d 过点 o 与 b、 c 相交于点 d， 好， 同学们，我们一定要学会能够边读题边得出相应的结论啊， b、 o 和 c、 o 是 两条角平分线，那我们知道啊，三角形中三条角平分线是相交于一点的，而且呢，我们有两条角平分线，是不是就可以判断出它的角点了？而现在 a、 o 这条 a、 d 这条直线也过点 o， 说明什么？ 说明 a、 d 也是三角形 a、 b、 c 的 角平分线啊，也就是这三条角平分线是相交于点 o 的 好！以 i、 d 为边，向两侧做等边三角形 a、 d、 e 和等边三角形 a、 d、 f。 好 马！想到等边三角形的性质啊，三线合一，分别和 a、 b、 a、 c 相交于点 g、 h 好若角 b、 a、 c 是 六十度，好角 b、 a、 c 是 六十度，好，我们这里标个小角啊，那么角一就等于角二等于三十度好， ab 等于 a， b、 c 等于 b， a、 d 呢？等于 c 好！让我们判断下列正确的是哪个好。第一个，角 b、 a、 o 等于一百二十度，好。刚刚咱们说啊，是不是双内角角平分线模型，那么角 b、 o、 c 我 们可以直接利用结论，就等于九十度加二分之一角 b a、 c 好，等于一百二十度，它是不是非常的快？好，当然了，你还可以呃，直接去推导啊，推导的过程咱就不说了啊，这前面已经讲过了啊，非应该非常的熟练了啊。好，所以第一个正确的啊！ 第二，三角形 a gh 是 等边三角形。好，那现在我们已经知道了啊，在三角形 a gh 中好，已经有一个角是六十度了哎，角 gh 等于六十，那么等腰 加一个六十度，是不就是等边？所以现在咱们至少要再判断出来一个六十度，或者说再判断出来它是一个等腰。好， 题目中还说等三角形 a d， e 和三角形 a d， f 还有都是等边三角形啊，两个等边，那么我们可以得到 a 一 是不是等于 a d 啊？好， a g 也等于 af， 好， 再来， 那角一和角二都是三十度啊，角一 a d 是 六十度，六十度减角一，那么这个角三是不是也是三十度？好，同理，这边角四也是三十度。好，角一和角 f 是 不是也相等呀？都是六十度，所以你看啊，在这个两边的这两个三角形中， 是不是可以判断出来他们两个全等呀？利用 a s a 好， 正出全等，所以我们就可以等到啊， a g 等于，哎，是，好，那么等幺加六十，那是不是个等边呀？所以群二也是正确的啊？好，第三就更简单了， d g 等于二分之一 c， 好， 我们观察到啊， d g 是 在 r t 三角形 i g d 中 啊，不对，好，为什么它是 r t 三角形啊？因为角一等角三是不是三十度，它是 a g 是 个角平分线，而又因为它是等边三线合一啊，所以 a、 g 是 角平分线，也是高线，那么就是直角啊， 角一是三十度，好，我们说直角三角形中三角三十度的对边是斜边的一半啊，所以，那么 g、 d 就 等于二分之一 a、 d 好， a， d 等于 c， 所以 是二分之四，三 d 三，完全正确， 好，第四，三角形 abc 的 面积。好，由于我们得出来了啊， a、 g 和 a、 h 都是两个等边三角形的角平分线啊，所以，那么角 a， 那 么 d、 h 垂直 a、 c， d， g 呢？垂直 ab， 所以三角形 a、 b、 c 的 面积我们直接求，求不出来，可以间接去求啊，就等于我们把它分成两个小三角形啊，三角形 a、 d、 e、 b 和三角形 a、 d、 e 四，那么这两个小三角形的面积我们是不是可以巧出来了？ 好，三角形 a、 b、 e、 d。 左边这个小三角形，我们可以把 a、 b 是 不是看作底边，那么 g、 d 就是 它的高， 好，右边三角形 a、 d、 g 中啊， a、 c 就是 它的底边， d、 h 就是 它的高，好，那么 d、 h 和 d、 g 啊，都是相等的，等于二分之 c。 好， 我们再把 a、 b、 c 往里面代入啊，代入之后好写到上面。 等于二分之一 a 乘上二分之一 c， 好，整理一下，就等于四分之一 a， c 加四分之一倍 c， 也就是四分之一倍的 a 加 b 再乘 c。 好， 所以圈四不正确啊，好，正确的选项应该是一、二、三，也就是选 d。 好， 各位同学，你听明白了吗？可以给老师点个关注啊，我们下期再见！

一块来看一下第二十六题，那这道题呢，正常考法是一个对角互补，我们直接做双垂就可以了，但这道题在后面的拓展里面呢，双垂就没办法做了，因为后面要涉及到相似，所以这道题我们转换一个模型思想来看，同学们看他这个东西，这个九十度啊， 无论它怎么旋转，它其实都是在一条边上的，你看啊，比如说第一题，在 aoc 这条边上，我给了一个九十度，第二题呢，还是在 aoc 给了一个九十度。第三题呢，在 aoc 给了一个九十度，所以这道题我们在一百八十度的上面呢， 有了一个九十度，所以这本质上它其实是一个夹半角模型。 那角的话呢，我们的做题方法是什么？是不是应该是旋转、 旋转型全等，然后再加一个什么对称型全等？这题是不是思路就有了，旋转加对称， ok， 我 们一点来感受一下啊，特别是图二，其实就开始给我们暗示要旋转加对称了。 首先第一题，这个正方形的对角互补，同学们可以把这个结论记一下，因为正方形太特殊了，所以 o e 和 o f 始终是相等。那我们来简单的证一下，这里面 a e 和 b f， 那 它所在的三角形，一个是 a e o， 一个呢是咱们的 b f o， 那 这两个三角形呢？因为这里面咱们的 a o 和 b o 对 角线的一半是相等的，有两个角都是四十五度。然后还有一个什么条件，还有一个就是在 o 点，它其实有两个九十度，有好几个角，角一加角二，九十，角二加角三也是九十，所以角一等于角三， 那这样的情况呢，我们就得到了三角形 a e o 全等于三角形 b f o。 好， 那这样呢？它的对应边相等，所以第一问很简单啊， b a e 等于 b f 也不用我们证明好。第二题，图一中连接 ef， 那 ef 呢？连起来之后，线段 a e c f ef 之间的一个关系式，那这个 a e ef 跟 cf 我 们说因为全等， 如果你对这题印象不是，就是理解不深刻，因为全等 a e 是 等于咱们的 b f 的 全等对应边，那 c f 呢？同理，它是不是也等于咱们的 b e 的 e f 就是 e f， 你 发现这三条边正好在一个 r t 三角形 b e f 中，那说明两条直角边的平方等于斜边的平方， 这是不是咱们三条线段的关系？那同学们注意啊，我们三条线段的关系一般只有两种，一种是和差关系， 就是两个短的加起来等于长的，或者是两个长的加起来等于中间的两倍啊等等。第二个呢，就是咱们的平方关系，或者简单来说就是咱们的勾股关系。那对于这道题来说，它是不是一个勾股的关系？所以我们得到呢？是 b， 我 直接写了这个 r t 三角形，里面叫 a e 的 平方加上 c f 的 平方等于 ef 的 平方。 那这个问题发现了，为你后面的问题做准备好，那这题同学们还可以怎么理解呢？就像我刚刚说的，它本质是一个一百八十度加九十度的绊脚模型，我把这个三角形给它旋转到了这里，所以才有一组呃，对称型的全等。那 这个题呢，可以帮助我们来解决这个图二，当你的题二，即使没有这么理解，我们看图，它这个垂直平分线也非常明显，我们也是能做出来的。简单来看一下这道题啊，这道题相当于是在矩形的对称中心，咱们又放了一个矩形，放了一个九十度，那是不是相当于是在一百八十度的基础上， 有了一个九十加半角？那它题目其实已经给了一个提示了，因为 o 点是咱们的对称中心，所以呢， p f 当中，这个根据中心对称性，这个 o 点正好是中点，那 e o 呢？和它又垂直，所以是不是就很明显可以得到 e o， 它是垂直平分， 咱们的 p f 的 那中垂线两两端，所以我们得到 e f， 它是等于 e p， 对 不对？好，那 e f 等于 e p 这两条边相等，我们就把 e f 给它给转移出来了。那继续看其他的，我发现这个 e p 啊，它和咱们的 a e 在 一个三角形里面， 通过这个牵线的条件，我知道我是不是可能要研究这个直角三角形，但是呢，这个 a p， 但我们问的是什么？是 c f， 所以 我们看一下 a p 跟 c f 什么关系？哦，还是中心对称。所以呢，我这个就直接分析思路啊，不写过程了。中心对称， 咱们的 a p 是 等于咱们的 c f， 那 这样不就结束了吗？在这个三角形里，满足直角边的平方和等于斜边平方，所以呢，这个 a 一 方加上 c f 的 方等于 e f 的 方。 好，那我们从另一个思维思路来看一下这道题，同学们，我们怎么从旋转的角度呢？它这个本质上是不是就是相当于因为我们的这个 e、 o、 f 这个一百八十度夹了 e、 o、 f 这个直角，我把两边的三角形旋转过去，这题它本身的做法是不是就把 c、 o、 f 这个角给它旋转到了 咱们的 a、 o、 p 这个三角形，那本质上这是一个对称中心，对称图形旋转一百八十度的嘛？旋转完之后呢， 我们的这两个三角形，它是一个对称性的卷，等朋友们可以把这个结论给他给记一下，就是两个全等，第一个，旋转型全等三角形 c、 o、 f 全等于三角形 a、 o、 p。 第二个呢，对称型全等三角形， e、 o、 f 全等于三角形 e、 o、 p。 好， 我们来看一下这样做之后，对于后面的题，特别是结论，应用图三和图四有没有帮助？如图三所示，在菱形 a、 g、 h、 c 中， 菱形、矩形，菱形的对角线垂直， o 点为 a、 c 的 中点，你看，又给了一个中点直角 a、 e、 o、 f 再绕着两边旋转， c、 b 等于三， ab 等于四， c b 等于三， ab 等于四。我觉得这图好像画的不太清，不太标准，我们在旁边再画一个图吧，它这个 f 点位置根本都不对 啊，但是不换，换一个吧。啊，好，然后呢，让我们问我们线段 b、 e 的 长，那你看这个求 b、 e 的 长，好像没有什么好的方法，因为他都不在一个直角三角形。这题的一个好的想法是什么？同学们，我们的好的想法 就是我们来参考一下前面两问，他为什么要做这么多的平方的关系，那我们这道题想一想，他有没有平方关系呢？ 因为我们的做题思路前面都在有你这题突然呃硬做一个其他的方法肯定是不好做的，对不对？所以我们想一下，怎么有平方的关系呢？或者说前面两题的本质就像我刚刚说的，你是不是一个绊脚？那这道题我能不能当成一个绊脚来做呢？哎，它其实也是可以的，那我来把这个图重新画一下， 不然看着不得劲。好，这个三角形呢，就是咱们的 a、 b、 c 只用到了这个三角形，直角三角形，它的 o 点是它的中点，然后呢， b、 f 等于一，然后把它画小一点，然后 o e 等于二。 好，那我们旋转哪个三角形呢？同学们参考上一问，我是不是旋转这个九十度，两侧的哪个三角形都可以，所以那这里比如说我要把 a、 e、 o 给旋转到右边去，那我也要旋转一百八十度，对不对？因为大角是一百八。好，那其实本质上呢，就是把咱们的 e、 o 给它给背长一下就可以。 哎，它是一个中点，像被长中线也可以哦，本质原因都一样。好，那这个被长中线呢？比如说这个到一一撇点，那我们首先得到两个全等，第一个三角形 a， e、 o 全等于三角形 c， e 撇 o。 然后第二个呢，就是咱们的对称性，全等它这个旋转完之后，我们是不是得到这个角九十，这个角也是九十，所以它们所在的三角形呢，是全等的，连接 e f， 连接一撇 f， 那 这个中间的证明过程我就不证了啊，朋友们自己来去证啊。 s a s 第二个呢叫三角形 e、 o、 f 全等于三角形，一撇 o f。 好， 那这两三角形全等，我们发现 e f 和 e f 的 长是一样的，那接下来再来找一下它的数据，你看题目给了什么？题目给了 c， b 等于三， 下面是三，那这个呢？正好是一，这个是二，他说 c f 等于二，这是一至二，左边是四。那我们要求 b e。 看到这么多直角，我觉得很简单的一个勾股方程，同学们应该能够想到。好，假设它是 x， 那 这里面呢，我们发现 e、 f 的 平方，它是等于 x 的 平方加一的平方。那因为全等 e、 f 和它相等，那 e、 f 在 哪个直角三角形里面， 是不是应该是在一撇 c、 f 里面？那因为全等的原因，咱们的 a、 e 这条边呢，正好是四减 x， 所以 它的对应边 c， e 撇也是四减 x。 哦，这两条边斜边相等，他都用不同的 x 表示出来了，是不是就可以列出一个勾股方程了？那这也是最后一问的一个核心思路，四减 x 的 平方加上一个二的平方。好，我们列它们相等，顺便把它化简一下， x 平方加一 等于十六减八， x 加四， x x 平方加四。所以呢，我们解到八， x 等于十九， x 等于八分之十九，你看，这就是求谁舍谁的好处，算出来的结果，是不是就是我们最后要的答案。所以这道题呢，它是一个八分之十九。 ok， 接下来呢，我们来看一下第四题跟前面有没有什么相似的地方。如图所示，在直角梯形里面，你看，题目逐渐的变得一般起来，从特殊到一般，是我们探求问题的一种情况。他说对角线 a， h， b， c 交啊，读差了，不好意思， a d 平行 bc 角 d， a， b 等于九十度直角梯形啊，一点是对角线 a c 的 中点 e o f， 这个它是一个矩形，那说明这个角是不是又是一个一百八，夹着一个九十度的角，而且它本身有平行，那如果你要用被长中线或者说旋转的话，是不是利用本身就可以了？ 那旋转过程中 a b 等于六， bc 等于八，斜边是十，那这两个都是五，当 a n 等于五的时候，那这个六就被我们分成了五和一 标数据的时候，注意一下那线段 c m 的 长尾，你看右边有个备用图，你就知道这题要分类讨论。如何分类讨论呢？就是我们在 a n 等于 五的这里，你究竟是上面的五，还是现在的这种情况五呢？因为这道题它前面说了是与直线相交，所以你需要注意一下。 那我们这里面直接干嘛跟刚刚一样还是旋转啊？你这个 m o m e n 两边的三角形，谁转谁都可以，那我们直接把这个下面的 c m e 给它转到上面去，其实延长 m e 就 可以了。比如说到这个 m e 撇， 那这里面呢，我们很容易的发现，这里有一个八字形的全等，叫三角形 c m e 全等于三角形 a m e 撇 e， 那 这个判定条件呢？对顶角相等，一个中点，一个内错角， 内错角对零角，然后这条边和这条边是不是一个 a s a？ 好， 那这两个旋转型全能搞定之后呢？我们再看有没有对称型全能，是不是我们把 m n 和 m 一 撇 n 连起来，它是不是正好有一个九十加九和九十度的对称的全等，所以呢叫三角形 n m e 全等于三角形 n m e。 好， 那这两个全等之后呢？我们就用勾股方程来设来做吧。我们假设 c m 是 x， 那 上面的 am 一 撇也是 x， 那 对于 m n 来说， m n 的 平方，它是等于一的平方加上一个， 一共是八，这里标千万不要把它弄反了，这是八减 x 加上一个八减 x 的 平方。好，那对于 m 撇 n 来说呢？它的平方是不是正好是在 a m 撇 n 这个三角形里面？五的平方加 x 平方 加 x 平方，那我们列它们两个相等，一加六十四减十六， x 加 x 平方等于二十五加 x 平方， x 平方约掉了十六， x 等于四十， x 等于四分二分之五十六 x 四十， 哎，除以八没问题啊，哈哈。第二种情况呢， a n 在 下面，五还可以在上面 好，比如说 n 点是在这，哎，左边的给我们标好了，那在这一个情况下呢，我们要注意一个细节是什么？就是我们肯定要连接 e n 的， 这是咱们矩形的一部分或者直角的一部分，那我们要看左边啊，就相对来说，咱们的 e n 得到 e m， 它是不是一个顺时针旋转的过程？所以对于这道题，你不用纠结我的 e m 究竟在左边还是在右边呢？因为它是顺时针得到的，所以它一定是在右边啊，这是我们需要注意的细节。那因为是直线相交，所以和线段 bc 有 没有交点无所谓的， 哎，我们把它画长一点，然后把 c b 给它延长好，那这个交点是不是就应该是咱们的 n 点？ 那然后干嘛跟刚刚一样呗？我们找到 emn 之后呢？因为它让我们求的是 c m 的 长， c n c m 的 长， m 的 下面是找 c m 的 长。那我们是不是 c m e 所在的三角形像刚刚一样，左边这个 c m e 给它旋转一百八十度，或者给它背长一下，反正就是反向延长。 m e 反向延长和上底肯定没有交点了，但是和它的延长线有交点，这个叫 m e 撇点。哦，连接一个 n m n m e 撇，这两个图的本质是一样的，虽然大小长得不一样，还是两个全等，同理，跟左边是一样的。那我这个把左边的判定给你写一下，然后复制粘贴一下。这个对称型全等的原理呢？是 s a s。 好，我把左边的给它给拷起过来到右边，其实你发现它的点的顺序都是完全没有改变的，只不过它的线段长改变了，所以这里面呢，我们还是 c m 等于 x 吧。 那这个 b m 呢，就应该是 x 减八，整个 bc 长是八。好，那因为它是 x， 所以 整个 am 的 长，它也是 am， 一 撇的长也是 x， 所以 还是列两个勾股方程，两个方程 mn 的 平方， 它正好是 x 减八的平方，加上 b n 的 长，那 b n 呢？上面是五，下面是六，加起来是十一 十一的平方。好， m n 的 平方。知道了 m 撇 n 的 平方呢，找它所在直角三角形，这个直角三角形上面是五，下面是 x， 所以 是 x 平方，加上一个五的平方，令它们俩相等，直接化减，减十六， x 加六十四，加幺二幺，等于 x 平方，加上二十五。好， x 平方。约掉之后呢，我们得到了是多少？十六 x 移过来， 这个是一百八十五，一百六十六， x 等于一百六，那 x 正好等于十， 好，简单验算一下对不对吧？ x 等于十，左边是这是二的平方四四加一百二十一，一百二十五，右边这个呢？一百加二十五，哎，正好没问题啊。好，所以最后呢，就这两个答案了。朋友们自己写的时候要有一个验算的思想，不然你算错了， 知道思路算错了，是不是太可惜了？那这道题同学们可以总结一下两个思路本质是一个非常重要的， 为什么呢？因为背长中线，它构造一个旋转型的八字全等，而我们的这个夹板角呢，它是一个旋转一百八十度的，和我们的一个八字形的全等，它本质是一样的，对不对？可以好好总结一下，这道题表面上考的是四名，实际上本质还是我们的全等三角形。

来看这道题目，这是一道什么几何综合亚洲题目。好吧，好了，那么说了这个问题呢，他首先提供给了我们一个东西，叫做问题提出。哎，提出了，提出来这一个问题。然后呢，说在三角形 a、 b、 c 当中呢，说给我们说 a、 d 是 它的角平分线，看到了吗？ a， d 是 角平分线， a， d 是 角平分线。对于这图形来说，我们说某数学兴趣小组进行了一个如下探讨，说如果我过 d 点向两边呢？说做什么呢？做 d， e 垂直于 ab， 做 d， f 垂直于 ac。 做完这个动作之后呢，他说，哎， 你会发现在这个地方， s 三角形 a、 b， d 和 s 三角形 a， c， d， a， b， d， 左侧的这个三角形，对吧？ a， c， d 呢？右侧的这个三角形，对不对？那么他说我这两个三角形的面积呢，一定是 ab 比 ac， 为什么呢？ 为什么呢？这个很简单啊，因为你左右两侧嘛，对不对？我们说面积嘛，面积跟谁有关系？面积跟底乘高有关系，那这里呢， ab 乘以 d， e， a， c 乘以 d， f， 是 不是？所以我们可以把这个式子给它还原出去，对吧？ x 三角形 a、 b， d 和 x 三角形 a、 c， d 呢？我可以写成什么？我可以分别在这个地方写成二分之一的二分之一的 ab 乘以 d， e， a， b 乘以 d， e， 是 吧？然后呢，后面呢，可以写成二分之一的什么？ a， c 乘以 d， f， 那 么你就会发现，这两个比例关系里面呢，二分之一抵消了，对吧？然后呢， d， f， d， e 是 角平分线，上一点到角两边的距离相等，所以也抵消了。最后剩了一个谁 a， b， a， c 了，是吧？ 这个地方给我们给到了 a、 b、 a、 c 理所应当的，对不对？所以这个东西呢，它是通过一个什么我们叫做等面积法去建立的一个关系，对吧？然后呢，它给我们又提出来了一个问题，说 a、 b 比上 a、 c 呢？和 b、 d 比上 c、 d 有 什么关系？ 这个时候要注意啊，这个地方 b、 d 在 这里，这是我们的 b、 d， 对 吧？然后呢，这个地方有一个 c、 d、 b、 d 和 c、 d 之比， 你换一个视角，你会发现这两个不，不也是什么？不也是我们的三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d 的 一个边吗？那我以这两个边做底，我的高在哪里呢？我的高是不是过 a 点？过这个 a 点自上而下去做一条垂线，这个地方他是不是就是我的高，对吧？ 那他既然是我的高的话，那这个时候我还可以再进行第二次的表示，对吧？我可以再进行第二次的表示，没有问题吧？是不是， 对吧？那么这个时候呢，你会发现，比如说我在这个地方可以干嘛呢？同样的 a、 b、 d、 a、 c、 d， 我 们说 s 三角形 a、 b、 d， 对 吧？比上 s 三角形 a、 c、 d， 对 吧？等于什么呢？等于二分之一的 b、 d 乘以这个 h 这一条高，对吧？那就是二分之一的什么？ 二分之一的 b、 d 乘以这个 h， 对 吧？然后呢，再比上一个二分之一的什么 c、 d 乘以这个 h 好了，然后呢？然后注意看 h、 h 抵消了二分之一，二分之一抵消了，然后呢，是不是这个面积关系还是 b、 d 比上 c、 d 呢？那也就是说你这个地方给了我一个面积关系，是 ab 等于比上 ac， 我 还可以在这个面积关系后面再续一个，续一个。 b、 d 比上 c、 d， 对 吧？ b、 d 比上 c、 d， 得了呗，问题解决了吗？问题解决了，是吧？这个地方他问我的这个东西有什么数量关系？相等 相等结束。第一问，来看一下需要我们去干嘛？说，若 ab 等于 ac 的 时候，看 ab 等于 ac 的 时候，他们俩相不相等，他俩不等的时候，我都证明相等了，他必须得相等呀，是不是？所以说呢，这个问题已经不不能造成对我们的障碍了，是吧？ 然后呢，看一下第二问，第二问，我们刚才已经证明完毕了吧？证明完毕了，那么再看一下第三问，第三问给我们。图三在这里说，如图点 e 呢？是 ab 上面一点，对吧？连接第 e 说，若 b、 d 等于三， b、 e 等于 c， d 等于二， a、 e 等于二倍的 c、 d。 求三角形。 b、 e、 d 呢？是等腰三角形来一，一点一点来啊，一点一点来。首先呢，角平分线还是角平分线？这是实打实的，是吧？若 b、 d 等于三， b、 d 在 哪里？这是 b、 d 等于三。 然后呢， b、 e 等于 cd， b e 等于二， cd 等于二。说 a、 e 等于二倍的 cd， a、 e 等于二倍的 cd， 想表达什么呢？看一下主题干，主题干好像没有什么直接性的条件，他只告诉了我这个地方呢， a、 d 是 角平分线， 只告诉了我这么一个事实，对吧？ a、 e 等于二倍的 cd 三角形， b、 e、 d 要求等腰三角形呢？要求等腰三角形， 怎么办呢？那正常情况下，我们说看到小平分线的时候，你自然而然的这个在这个地方采取相应的动作呢？这个地方给我 a、 e、 a、 e 说 a、 e 等于二倍到 c、 d， 那 c、 d 等于二，这个地方是不等于四，对吧？等于四，这个地方等于四，还有什么信息吗？没了， 这里有个四，这里有个五，没了，没有其他额外的信息了。说三角形， b、 e、 d 呢？要是等于三角形呢？忽然之间就让我们去证明这么个信息，所以你要去看啊，如果说你不知道这个题目怎么做的时候呢，一定要去慎重的，慎重的去分析他的条件，看看有什么能够帮到我们的吗？有什么能够帮到我们的？ b、 d、 c、 d 有 了 ab 有 ab 有 了 ac， 哎，你注意看，我们刚才这个等式关系是不还搁这摆着呢？这是我们在这个题目里边的主信息啊，是不是这个主这个信息呢？能告诉什么？你像这个题目里边有角平分线了，我们说 ab 等于几？ ab 等于二十四加等于六，是吧？ 六，六比上什么 ac， ac 我 不知道，我给上 ac， 对 吧？然后呢？ b、 d 比上 c、 d， b、 d 等于几？ b、 d 等于三， cd 等于二。好了， 确定了吗？ a、 c 等于几？三比二等于六比几？六比四，所以呢，这个地方是四，那这个地方是四的话，我们说角，角，角一等于角二，这两个角相等，完事呢？两边还相等，中间还有一条公共边，两三角形全等了没有？全等了，一全等的话，这个地方的二是不走到这来了，所以他要，他要写什么 三角形， b、 e、 d 呢？是不是，是不是等于幺三角形呢？是的，没有一点问题是，好吧，所以这个第二问呢？第三问呢？也搞定了啊，限阶段呢？我们就看一下我们最后一问，第四问，第四问呢，它表达的是一个这样的一个图形啊，三角形 a， b， c 是 一个， 嗯， a， c， b， a， c， d。 然后呢 e、 d。 我 们把这个图呢往下划一下啊，往下划一下，咱们看一下这个信息到底在这个地方想要表达什么？ 首先呢给我们给了一个什么？给我们给了一个顶角，是六十度的角，顶角是一个什么？六十度的三角形，那我们可以在这个地方看，先去画一个任意画一个状态的顶角为六十度的等于幺四，不是等于幺三角形，就是三角形这么个三角形。然后呢给我说了这个地方呢有一什么， 呃，给我说了这个地方呢，有一信息说 c、 e 呢是 abc 的 角平分线， c， e 是 abc 的 角平分线。然后呢 我们看一下这个是 c， e 在 这边，是吧？那从这个地方呢引出去，从这个 c 点呢引出去一个角平分线，是吧？然后呢这个地方他说我也引出去一个角平分线了，是吧？ 好了，就这么个信息啊，就这么个信息。然后呢咱们可以看到他的信息里边呢，还有个 b、 d， e， a， c。 来，先把 b， d， e， a， c。 好 了，这么多信息，完事这再读它的条件啊，再读它的条件，角 abc 等于六十度，这个角，这个角给我们给出来六十度， 这个角六十度想表达什么？下面有两个角平分线，我们能读出来这个地方是多少，我给他给一个 o 点啊，我给这给一个 o 点，给这给一个 o 点。之后呢，注意看角 b， 角 b 等于六十度，能得到什么？角 b 等于六十度，我们能得到下面的角 b a、 c 和角 b c a 合为一百二角，角 b a c 加上角 b c a 等于一百二十度， 这个一百二十度能接着干嘛呢？记住他各自取了一个什么一半，对吧？我这两个角是不各自的一半，那这两个角如果说是角一和角二的话，我是不是可以理解这两个角的和呢？就是多少？就是六十度。所以呢，我在这个地方再取角一加上角二等于六十度， 他是六十度。上面这个地方角 aoc 是 多少度？角 aoc 是 一百二，这个地方是不也是六十， 对不对？这个地方是不是也是六十？好了，明白了吗？这个动作一定要补清楚啊，补清楚之后咱们再干其他的事情的时候呢，你自己心里边是明确的。并且啊，你注意看这个地方，我们说了 c 一 是角平分线，角 abc 呢是六十度。好了， 这种情况呢，往下去做做什么呢？在已知的角平分线的基础之上，往下去做什么？往下去做截取，将 c e 呢？将 c d 这个边呢给他截取下来。截取到什么？截取到 f 这个位置，这样一来的话，我们说这个地方会造成什么关系呢？ 这样一来的话，我们说这个地方就会造成说，哎，我的三角形，这个三角形和这个三角形是全等的，这个三角形和这个三角形是全等的，这两个三角形，这两组三角形呢，都是全等的。然后咱们转身过来呢，再看一下什么？再看一下这个地方的问题，问题是什么呢？ e o 比上 c o 呢是几？ e o 比上 c o 是 三比五， e o 比上 c o 是 三比五， 能干嘛？作为这样一个比例，我们能够直接性的得到什么？这是 e o 比上 c o， e o 比上 c o， 我 们是不是可以得到 a e 比上什么 ac 啊？对不对？所以在这个地方，从这直接从上面的条件里面得到这里 a e 比上什么 ac 等于多少？ a e 比上 ac 呢？就是三比五了，那也就是说我们可以理解啊，这个地方 a e 呢，比上 ac， 它是三 x， 下面就是五 x， 而三 x 呢，可以挪到 a f 这，这是三 x， 那 这个地方就是二 x， 对 吧？行了，那么 a o 比上 c o 呢？ 你看 a o 比上 c o， a o 比上 c o 是 几比几呢？这个地方是三 x 二 x， 对 吧？三 x 二 x 的 话，那我说了，你的三 x 二 x， a o 比上 c o， 是 不是这个地方也是角平分线呀？ 对不对？这个地方也有一条角平分线，所以 af 比上 c f 呢，就等于 a o 比上 a o 比上 c o， 所以 这个题目呢，最后的结果是二比三， 问题解决了吗？解决了。所以你倒过来去看这样一整道题目，整个的一个路径的话，他其实是非常复杂的， 但是呢，他这个复杂性呢，体现在他跟其他的很多的知识点呢，是属于一个结合性的，而且呢是属于一个层层递进，你要不断的消化这个原题干里面的知识点，从中呢去对应到这个地方，给到相关的什么反馈，用到你的题目当中，当你卡住的时候呢，你要转身去回看人家，就这个题目而言，他在干什么呢？ 知道吧？这是我们这个地方的核心，而不是说单纯的把这个题目给他卡住了，你卡住，你要习回忆形成一个习惯，就是我卡住的时候呢，有两个方向是我必须要考虑到的，第一个方向就是这个题目的原题干。 第二个方向呢，就是我在做这道题目的时候，这个题目大的一个考点，考点是什么？比如说这个图角平分线模型，对吧？那么这个题目本身呢，他的核心是什么？就是他前面说的这个比例关系， 我们最开始证明的这个比例关系，看到了吗？就做的是这个事情，你得先呼应到这来你才能够知道。哎，这个题目呢，一共有这么两方面的切入点呢，你不会你也得会了，好吧，好了，这个题目呢，咱们就说到这里啊，咱们。

等腰三角形、全等三角形、直角坐标系以及含有特殊角的直角三角形，这些都是八年级上册数学中的重要内容，它们不仅自身有着关键的知识点， 更常常综合在一起，以压轴题的形式出现在试卷的最后部分。接下来我们就一起看看他们是如何相互结合，形成综合问题的。由这个已知条件，我们知道什么？我们知道 ab 等于 ac 的， 而且这个角是一个直角，这说明 abc 是 一个等腰直角三角形。 现在是要求点 b 的 坐标，那点 c 的 坐标我们知道是二二负二。充分利用已知条件， 那我们做过 c 点做 c h 垂直于 x 轴，那很显然我们就知道这两个三角形是全等三角形， 为什么？因为 a、 c 等于 ab， 而且这个角和这个角是互补的，不余，都相加起来得九十度。 而在这个直角三角形里面，这个角加上这个角也是九十度，所以很自然就可以推出这个角等于这个角。又因为这个是这两个都是直角三角形，所以根据 a、 a、 s 就 可以判定 这两个三角形都是怎么样的。是全等三角形，所以很快就知道这个 a 点的坐标是多少。 因为 o a 就 可以推出 o， a 是 等于 c h 的， c、 h 长度是二，那 o a 的 长度也是二 o a， 所以 o a 长度是二，所以 o a 点的坐标是负二零，那知道 a 点的坐标，那 a、 h 的 长度是多少？ a h 的 长度是四吗？知道 a、 h 的 长度，那就知道 ob 的 长度， ob 的 长度也是四，所以 b 点的坐标是什么？ 零四，好，很快就可以解。解答出第一个 好，那看第二点， c、 a、 c、 b 分 别交坐标轴于 d、 e。 求证 三角形 a、 b、 d 和 c、 b、 d 的 面积分别相等。看一下，要求这两个部分面积相等，那我们现在知道什么？它们有个公共的底边 b、 d， 那 我们只要证明它们的高相等，那自然它们的面积就相等了。是不是 它们像这个三角形 b、 d、 a 的 这个面积，这个高度，这个高度是多少？是二嘛？就是 o， a 嘛，它的高就是 o， a 就 二。然后呢，这边这个三角形它的高是哪一个？就 c 点到 y 轴的这个距离嘛，也是二， 所以现在它们的高一样，所以它的面积就自然而然就相等了。好，这第二问也解决了。 连接 d， e， 求证 b， d 减 a， e 等于 d e， 那 就是说在 b、 d 上剪起截掉一段长度是 a、 e 的 一段，假设在这一点 m， 使得最后要证明什么？要证明这个 d、 m 和 d、 e 相等就可以了，是不是？那我们最好是要把 am 连接起来，是不是？连接起来以后，因为我们之前挣过 这个角角一和这个角角二是相等的，是不是？那很容易就可以证什么这两个三角形全等，因为 ab 又等于 ac， 现在 接起的这一段 b、 m 是 等于 a、 e 的， 所以这两个三角形全等一全等，我们就可以证出什么 a， m 等于 e、 c， 又因为 这一个角 o、 a、 d 是 等于角 c 都是四十五度，因为刚才我们这里 正出来全等这个角和这个角四十五度嘛，因为这里是一个直角，所以这个角等于这个角也是四十五度。又因为根据他们的坐标，我们都就知道这个 d 点正好在 a d 的 中点嘛， d 点是 a d a c 的 中点，所以 a d 又等于 c d， 所以呢就可以证明这个 a d o 和 b d e 是全等的，一全等我们就可以证明出 dm 等于 d 一， 所以最后就可以证明出 b d 是 减去 a 一 等于 d 一 的。整个解析思路就是这样子自己去写，这样子能够加深自己的印象。

发上期末必考的压轴题，一定有全等三角形综合运用问题。这道几何问题啊，是最近很多初二的孩子在后台咨询比较多的一个热点问题，据说这个问题呢，很多孩子无从下手，但实际上 真正在初二到初三这个阶段，你遇到了几何压轴和难题，它往往是好几个知识点的汇总，关键的信息都藏在题目里边， 如何能够看题目读到一个条件，想到一个结论呢？那么今天呢，小李老师就通过这个小题给大家做一个小分析，跟好了老师的思路。你看 他说如图啊，在你的题目中，他发现 a、 b 和你的 a、 c 之间的关系是个垂直的，而且 a、 b 和 a、 c 之间的关系是相等，所以这是一个等腰直角三角形。 同时我在这里边我又发现你的 a、 b、 e 等于 f c b， 所以 我用一个阿尔法和阿尔法来做个标记， 同时我还知道 b、 e 等于的是 c f， 那 么蓝色的边等于蓝色的边，黄色的边等于黄色的边，红色的角等于红色的角。那么当你的 a、 e 加 a、 f 最小的时候，那么求 e、 a、 f 的 度数等于多少？ 你在这个题目你整个读完之后，百分之九十以上的孩子读完了整个题目之后，他其实脑袋里边是没有息息的， 稀里糊涂把题目读完了，感觉条件都知道，但实际上这些条件如何去用，你的脑袋里边是空的。 所以你遇到这类问题了怎么办呢？当你把核心的信息标在你的图上之后，迅速的转动你的大脑，你要去想每个条件引出出来的技巧模型是什么？比如说 一目了然，你在这里边会发现这个边和这个边一样，这个边和这个边一样，加的角又是一样的，如果它位于两个三角形里边的话， s， a， s 就 得全的。你在这里边你会发现这个角不在这儿， 那么你想直接利用 s a， s 是 不可能的，那就隐身出来一个东西，叫做一线一角构全的，你没有没有关系，我可以在这构造一个和它相等，那么我就可以在 c、 b 上截取一段 c， d 和你的 a， c 和你的 ab 相等，也就是三条黄色线段是相等的，那么再加上蓝色的线段相等和角等，那么你在这里边就可以得到 a、 b， e 这个三角形和你的这个 d， c， f 这个三角形 s， a， s 全等。 全等了之后干嘛？全等了之后就会有对应边等。也就是说呀，如果这道难题你能把第一步一线一角结全等想出来， 你们学校百分之九十以上的孩子将被你打败了。因为这一步思路的想出，就预示着这一道题你有百分之八十的概率会把它解出来。那么你在这一部分的问题解完了之后，你会发现，按照全等我们可以得到对应的比尔等 a 到 e 的 距离和 d 到 f 的 距离是一模一样的。那么我在原题中我要求的是 a f 再加一个 a， e 就 转化成了 a， f， 再加一个 f， d， 那这个就是你熟悉的了。我要求两条线段和的最小值，那么你的第一步一定一定是干嘛？我得让 a、 f、 d 这三个点共线， 只有你共线的时候，它的值才是最小的，那么你在共线的时候，你又发现 a 到 c 的 距离等于 d 到 c， 而且这个角还得的是一个四十五度，那不就相当于 最小的时候，它构成了一个等腰三角形，而且顶角是四十五度。那么你分析到了这了之后呢？那么第二个问题就出来了，他为什么 当你取得最小值的时候，你的 e、 a、 f 这个角等于的是多少度？所以你在这里边我要想办法求这个小角等于多少度， 那么剩下的问题纯粹是一个倒角，怎么倒呢？我们在这个题目中刚才说了，你有一个等腰三角形是 a、 b 等于 a、 c 截的又和 c、 d 相等， 如果你的顶角等于的是四十五度的话，那么你的底角就得六十七点五度，那么由三角形的全等，你会发现这个底角也等于的是六十七点五度， 那么如果这个底角等于六十七点五度的话，你还能得到什么呢？因为我们在原题中知道， 等腰三角形每个底角都得六十七点五度，原题中又是一个直角三角形，所以这个小角得二十二点五度， 那么你从整个的六十七点五度里边把这个二十二点五度给它减掉的话，那么这个小角就得的是四十五度。这个题目就 ok 了，你看明白了吗？关注我，最会教初中数学的女老师。

北京初二的家长们，今天给初二的同学们推荐一套非常好的期末复习试卷，就是这套二四年北京二中的期末试卷，整个试卷出的非常有水平，虽然现在对有些同学来说有一定的挑战，但是 这套题是标准的，结合新中考的出题动向，特别是最后三道的亚洲题，二十六题的代数小综合，这个题型非常新颖，而且非常符合这两年中考阅读量增大的趋势。 贴近八上分式的灵活运用，结合了实际场景挖掘具体原理的考察方式，而且都是题目看着非常难，但实际考察的知识点又没有那么难，这种题还是非常值得大家做一做的。 二十七题呢，考察了几何综合截长补短这个热门模型，这个呢，老师重点强调过很多次，这是初二上的重点，也是我们中考的重点。 二十八题就是最后的新定义，在初二上学期初步涉及新定义与中考的最后压轴题。链接，我觉得这份试卷没做过的同学一定要做一次，做过的同学在期末前也可以再刷一次，检测一下自己的学习成果，各位加油！

同学们好，今天我们来讲一个八年级上期期末考试的压轴题，这是一个依次函数的综合题。如图，在平面直角坐标系当中，我们已知 a、 b、 c 这三点的坐标， 并且角 abc 就是 这个角和角 a、 d、 c 这个角，它们加起来是一百八十度， bc 垂直于 c、 d， 那 也就是说这个角是九十度。第一个问，让我们求证角 a、 b、 o 和角 c、 a、 d 这两个角相等。 我们仔细观察一下题目，我们发现根据四边形的内角和，那我们可以很容易得出 b、 a、 d 这个角，它也是一个九十度的角，那么我们要求 a、 b、 o 和 c、 a、 d 这两个角相等。那么我们知道在三角形 a、 o、 m 这个三角形当中，这个角肯定是九十度的， 所以我们不妨设 a、 b、 o 这个角为角一，然后 a、 m、 b 这个角为角二。角一加上角二，肯定是等于九十度的。我们可以看出 c、 a、 d 这个角，那么它其实也是 角 o、 a、 m， 那 么它加上角二肯定也是等于九十度的，那么根据等量代换，那么角 a、 b、 o， 那 么肯定等于角 c、 a、 d 正 b。 第二个问，让我们求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积。我们可以看出四边形 a、 b、 c、 d， 它是由 abc 这个三角形和 a、 d、 c 这个三角形它们合在一起组成。对于三角形 abc， 由于 abc 这三个点的坐标我们已知， 所以求出这个三角形的面积是比较容易的。那么现在的重点是我们要求出三角形 a、 d、 c 的 面积。由于 a、 c 的 坐标已知，所以我们需要求出 d 点的坐标。 由于 d 点它是 a、 d 所在的直线和 c、 d 所在的直线的交点，所以如果我们能够把 a、 d、 c、 d 这两条直线的解析式求出来的话，那么我们很自然就能够求得 d 点的坐标。 那首先 a、 b 它所在的直线的解析式我们很容易求出来，就是 y 等于三分之七， x 加七， 然后 b、 c， 我 们根据它的坐标点也能够求出 b、 c 所在的直线是 y 等于负， x 加七， 然后 a、 d 由于它是垂直于 a、 b 并且过 a 点的，那么所以我们也能够求出 a、 d， 它的解析式就是 y 等于负的七分之三， x 减七分之九。 我们注意到 a、 b 和 a、 d， 它 x 的 系数相乘等于负一，那么同样的道理， c、 d 所在的直线 y 等于 x 减七，所以我们只需要把 a、 d 和 c、 d 它们俩的解析是连律，我们就能求出来 x 是 等于四， y 是 等于负三，那么也就是说 d 点的坐标我们就已经求出来了，就是四负三。那么所以 s 四边形 a、 b、 c、 d 它是等于 s 三角形 abc 加上 s 三角形 a、 d、 c 的， 那么三角形 abc 他的一条底 ac 的 长度是十，然后他的高度 o、 b 这个长度是七，加上同样的道理，对于三角形 a、 d、 c 来说，他的底 ac 也是十， 然后他的高，那么正好是 d 点的纵坐标的绝对值就是 d， g 的 长度，那么就是三。所以最终我们算出来 abcd 这个四边形，它的面积就是五十。 第三个问点， e 是 在角 b、 c、 o 这个角，它的零部角的平分线上的一点，并且角 b、 e、 o 等于四十五度， o， e 和 bc 交于点 f， 让我们求 b， f 就 这一段它的长度，那既然 e 点是在角平分线上，那我们过 e 点做这个角，两边的垂线垂足分别为 g 和 h， 那 么很显然 eg 的 长度和 e、 h 的 长度是相等的。同时角 o、 f， c 和角 b f、 e 这两个角是对顶角，我们假设它们都是角 e， 它们也是相等的。然后角 b， e、 o 这个角是四十五度， 然后角 b、 c、 o 这个角也是四十五度，那么所以这个角就是 e b、 c 这个角和 e、 o， c 这个角，那我们假设它们都是角二，它们也是相等的。 那既然 e、 h、 eg 这两条线段相等，而且它们各自都是直角三角形，并且还有一个角二相等，所以三角形 b、 e、 h 它是全等于三角形 o、 e、 g 的， 那么所以 b、 o， e 是 等于 o e， 所以 b o， e 和 o b e 这两个角相等，并且由于 b、 o， e 是 四十五度，那么所以 b、 o， e 是 六十七点五度， 然后再加上 obf， 就 这个角它是四十五度，所以我们也能够算出来 bfo 这个角它也是六十七点五度， 那么所以就有 bf， 它是等于 bo。 由于 b 点的坐标是零七，所以 bf 的 长度它也是七。新域界四物界，这里是无界数学。我是彭老师，我们下期再见。

一次函数与几何图形综合。今天我们接着学习第三位，上一期视频中已经带领大家分析过题目了，我们知道这一题共有四种图可画，分为两种圈的情况，左边为一种，右边为一种。不管哪一种，我们都需要取出公版本的长度，从而确定 p q 的 坐标。那么接下来我们就一起学习如何写出解答过程。 题目问在外一组上是否存在点 q， 使它们确 no。 那 么只要题目本是否存在的，我们首先应该回答它存在还是不存在。通过之前的分析，我们知道它是存在的，所以我们应该先写上存在满足条件的 p q。 那么接下来这是如何求解了？我们都知道我们第一遍要完成的是求出 o m 长度，那么 o m 长度怎么求呢？好，题目告诉我们和长度有关，那我们都知道 o a 它是四， o b 是 三，那这是一个直角三角形啊，因为左半角这一收直角，根据勾三五四选五，也就是我们的固定里，从而求出 ab 的 长度是五。 好， ab 的 长度是五了，那接着我们怎么求 o m 呢？我们知道题目还告诉每个条件说 o m 垂直 ab， 那 既然 o m 垂直 ab， 所以 o m a 这里它是一个 直角，也就是九十度。那么我们的面积除了用四乘三处呀，我们也可以用斜边，斜边也就 ab 看作是底，它的 o m 看作是高处呀，也能求，那所以我们的四乘三处呀，其实就是五乘 o m 处呀，那么从而得到 o m 长度是不分之十啊！ 好， o m 就 出来了。那么接下来该怎么做呢？我们前面说了，因为我们这里是有直角，所以说我们的三角形如果想全等的话，那另外一个三角形也得是一个直角三角形，从而确定我们的直角。好，来看一下之前的前面两种图，如果说三角形 o m， p 全等于三角形 p q o， 那我们就能得到什么呢？就能得到我们的 p q 就 等于我们的 o m， 也就是五分之十啊， o m 如果有五分之十啊， p q 就 五分之十啊，那么 o m 如果有五分之十啊， p q 就 五分之十啊。好，那一旦 p q 知道了，那就好办了，为什么呢？我们就能知道 p 点的横坐标是多少啊？ p 点的横坐标是负五分之十二或五分之十二。好，那 p 点横坐标知道，总求出 p 点的纵坐标呢？别忘了我们之前说了， p 在 哪一条线上？ p 在 直线 l 上，在直线 l 上，我们只需要把这个横坐标代入这个函数关系，就能取出来了。 所以说我们可以把负五分之十二代入这个函数关系，求出 y 的 值，或者说我们把五分之十二代入函数关系，求出这个 y 的 值， 所以 p 点坐标我们就能取出来了。好，这是我们的前面两种情况，那么还有就是我们的另外一种权重，就是三角形 omp omp 全等于三角形 oqp 的 这种情况，那这种情况我们又能得到什么呢？之前我们说了， om 长度是五分之十二，那么由于权重，我们就可以知道它等于 oq， 说明 oq 也等于五分之十二， 那 oq 等于五分之十二，所以那么 q 的 纵作表我们就知道了。所以我们可以知道 p 点的纵作表其实就是负五分之十二或五分之十二。 好，那接下来怎么求 p 点坐标呢？我们都已经知道 p 的 纵坐标了，那横坐标怎么求？和前面一样，我们的 p 在 哪一条线上？ p 在 直线 l 上，所以我们只需要把这个纵坐标，也就是 y 的 值带进去，从而求出 x 值就可以了。 注意了啊，此时的五分之十二和负五分之十二是 y 值，那么带进去可以求出对应的 x 的 值，所以 p 点的坐标我们就求出来了。那么综上所述，我们可以求出四个 p 点的坐标。

今天我们一起来学习一道关于一次函数与几何图形的综合题，我们看到这一题有三问啊，而且还提到了动点，所以这一题还是有难度的，不着急，我们先一问一问，看 题目说如图，直线 l， 好， 我们找到直线 l， y 等于 k， x 加三，嗯，这是它的函数表达式，与 x 轴 y 轴分别交于 a、 b 两点，好，我们找到 a 点 b 点，那么它说 o a 分 之 o b， o a 分 之 o b 等于四分之三， o m 是 垂直于 ab 的 垂足，是 m 点。 p 呢，为直线 l 上的一个动点点， p 是 直线 l 上动点啊，所以 p 在 这上面，他说不与 ab 两点重合。第一问，让我们求直线 l 的 表达式，让我们求它的表达式，好，后面我们先不看，我们先来看一下第一问， 那么第一问他首先告诉我们的第一个条件是什么呢？他说这个直线 l， y 等于 k， x 加三，与 x 轴 y 轴分别交于 ab 两点。好，我们找到 a 点，那 a 点的坐标是多少呢？我们 x 轴这里对应的，我们是不知道的，但是我们知道它 y 是 零，对吧？这个是零， 但因为 x 不知道多少，所以 k 我 们没法求。我们再来看一下它与 y 轴的一个交点， b， 好， 那么与 b 的 交点，那说明 x 为零， y 是 几，我们不知道。好， x 是 零，如果我们带进去的话，你会发现，哎， y 就是 三，那么所以根据这个 直线与 y 轴的交点为 b， 我 们就可以知道，其实我们 b 点的坐标就是 x 为零， y 为三的一个点好，也就是说 o b 这里是三 好。那么既然 o b 是 三了，那么 o a 该是多少呢？我们来看一下题目，告诉我们第二个条件，题目说这个 o a 分 之， o b 等于四分之三。好，那既然 o b 是 三了，那所以 o a 就是 几呢？好，所以我们可以得到 o a 就是 四，那既然 o a 是 四，所以 a 点的坐标就是四零， 好，那 a 点的坐标也找到了两点，确定一条直线，所以我们的函数表达式就可以求出来了。我们把 a 点的坐标带入这个函数表达式，当 x 为四十。好，当 x 为四十，我们带进去。好吧，那么 x 为四十，也就是四。 k 加三，我们得到 y 为零，所以等于零，所以 k 我 们就求出来，它的值为负四分之三， 那 k 的 值我们求出来了，所以这个直线 l 的 表达式就为 y 等于负四分之三， x 加三，我们把它写在旁边。

第九题有点难的，首先我们先画个图， a 是 根号三负一，知道根号三负一这个点 有什么特别的吗？嗯，二，它正好是一个三十度的直角三角形， 说明这个地方是三十度，对不对？好，这个是 a 点，是 o 点，现在想要找一点 b 使得 oab 为等腰三角形，那我知道它其实在考两元一线， 就是所有可以使得 oab 为等腰三角形的点，我们可以先给它找出来啊， 这是第一个圆，对吧？以 o 为圆心，第二个圆以以 a 为圆心， 那个图画的不太对劲。 好，然后还有一条线，对吧？在 o a 的 垂直平分线上， 是这样吧，就是所有可以使得 a、 o、 b 为等腰三角形的点就在这几个图上了，是吧？所以现在这个题说只存在唯一的，也就是说要让这个正比例函数和我现在这些图形只有一个焦点， 是这样吧。好，那现在就意味着我把这个正比例，这个这个函数啊，在这个地方去旋转啊。那现在想和这个图形只有一个交点，我们看怎么才能只有一个交点？那首先我发现啊， 如果 k 小 于零的话，好像是 一定会有两个焦点记以上，对吧？就如果 k 小 幽灵的话， 你看这样，它回头这样一延长，它肯定你看这，这都三个焦点了，对不对？因为往下延长，你看它无论怎么都是错的，所以只有可能往上的时候是对的，比如说现在这种情况是不是对的？ 因为它有个 x 大 于零嘛，现在这个情况是对的吧，现在这个情况是不是能看出来只和这个地方有一个交点？好，那我们就是探求啊，在这种情况下， 到什么时候是错的，它什么时候是错的，比如说现在这个情况是不是错的？ 现在这个情况错了吧？因为这有一个，这有一个好，再往右肯定还是错的，对吧？因为你跟上面这个圆都有一个焦点了，你再往右，无论什么时候你还会再有一个焦点，所以说它的答案好像就只能从这个 y 轴开始，一直到到这个地方。 但是很多同学就不知道这个地方是什么地方 啊？这个地方其实有一点点超纲，它是垂直的时候， 当这条黑色的线啊和 o a 垂直的时候，他此时和这个圆 他就相切，不会有第二个交点啊，其实这个东西叫相切，就等你们初三会学到啊，有一条直线和这个圆就是擦肩而过，就只有那么一个点的时候，那种情况叫相切。 好，当然你不知道相切，其实我也可以帮你们去理解，你看，我现在不是说它是垂直吗？你看它为什么垂直是对的啊？因为垂直的时候，这个 a 点到这条黑色线的距离是不是就和这个 o a 长度是相等？ 而当这个点往这个上面走，它的长度是不是一定比 o a 大， 而 o a 是 半径，你这些长度都比 o a 大， 是不是说明你这些点不可能在圆上啊？ 这样说能听懂吗？啊？就是当垂直的时候啊，黑色的这个线上的每一点到 a 的 距离一定是大于 o a 的， 而这个圆的半径是 o a， 那 就意味着这些点不可能是在圆上的点，就这么个逻辑，所以大家应该能理解了啊。最后是在垂直的时候是特殊的好垂直的时候是多少度？ 六十度啊，六十度对应的 k 应该是根号三，所以 k 应该是大于等于根号三。刚刚那个同学说还有个三分之根号三，三分之根号三，因为这个地方它本身是一个 特殊的，所以说他这个两元的焦点和垂直平面线的焦点会在同一点，对吧？所以当这个 o 点过了这个点的时候，确实好像只有一个焦点吧。我觉得这个同学说的是对的，后面答案错了吧，我看看。所以这个同学说的还是非常好的， 还是要夸一下的啊，不错，想参加我们 t u 训练营的家长可以在评论区留言哦。

北京初二的家长们，初二上学期期末几何综合的压轴预测，年年压，年年重，考前必看。这类题考察灵活，综合性强，孩子们复习时容易抓不住方向。因此呢，张老师直接预测了最可能出现的四大几何综合的题型，并且整理好了专题资料。 第一种，背长中线模型，关键的考点就是遇中线想背长。一张老师课上重点强调过一句打油诗以避之。三角形中有中线，中线背长是关键，八字全等立成线不难发现平行线。 第二种，手拉手模型，关键考点在于两个等腰三角形，顶角等共顶点，两条拉手线长度相等，加角等于顶角。 第三种，截长补短模型，它核心辨识点是遇到两条线段的和等于第三条线段，把长的线段短的，把短的线段补成长的，或者在长的线段上截取一段短的，结合全等进行证明，这个是难度比较高，但是考频比较大的一类。 第四个是对称类，它的核心考点是结合垂直平分线、角平分线，它的核心考点是结合垂直平分线模型，还有角平分线的四个模型 连接或做垂式操作、翻折对称轴构造全等。需要专题训练资料的家长打出二几何综合期末很快就到了，给孩子练一练，各位加油！