每天半小时轻松学数学这节课咱们来接着学习正比例函数,有关正比例函数的图像以及性质。 首先咱们来复习上一节课所学的内容,判断哪些是正比例函数。正比例函数是形,如 y 等于 k, x, 其中 k 不等于零这种,它是正比例函数, 那 y 等于 k, s 比例修为是负三,它是正比例。按住 y 等于 k, 这个有个小尾巴不行, y 等于 k, x 比例修为是四可以, y 等于哎平方,哎平方,次数是二也不行,所以呢,一和三是正比点。按住, 那咱们来也学了函数图像画法,分别是列表、描点、连线三步走好。用描点法 画函数图像呢,是列表、描点和连线。那咱们来看一看,怎么样画这些正品颜色图像呢?那咱们可以分三步走,分别是列表、描点、连线。咱们可以看出来 x 的取值范围是 可以正取正数,取负数,取零都可以,那可以取正数,负数和零的话,那所以咱们来看一看,取的时候可以让 x 等于正数,或者是等于负数,还要等于零。 好,在这里边咱们列出来表格,那 x, 比如说先从零开始, i 等于零的时候, y 就等于零。 二等于一的时候, y 是等于二,二等于二的时候, y 是等于四,那咱们在左边去负的话,去负一,去负二,然后等等等。好,那咱们来看一看。 通过把这些表格列出来之后,咱们呢在平面知道图标语中,把这些点给它描出来好,描出来如下, 用平滑的曲线相连,发现他一条直线,好,这是 y 等于二, x。 同样的方法,咱们的列表描点、连线可以画出来, y 等于三分之一, x。 好,观察这两个函数的图像,这两个函数的图像呢,发现他们都是一条直线,而且这个直线呢,经过了圆点,所以呢,这两个图像都是过圆点的直线。 那过哪些象限呢?过 y 等于二 x 过第一象限和第三象限, y 等于三分之一, x 也是过第一象限和第三象限,所以它们的共同特点呢,都是经过 过了第一、三象限。而且另外咱们来比较,你看 y 等于二 x, 它的比例系数是二, y 等于三分之一, x 的比例系数是三分之一,那它们在这里边的比例系数 k 都是大于零的。 好,接着咱们来看一看,把这两个函数的图像也画出来。观察这两个函数图像呢,也是经过圆点的直线,他们过的是谁呢?他们过的是第二、四象限, 那为啥有的过一三,有的是过二四呢?同样是正比例函数,为啥会有这样的区别呢?那是因为我们来看,在这里边, y 等于负的一点五 s 比例修数是负的, y 等于负的,比例修数也是负的。也就是说,当比 比例系数 k 大于零的时候,图像过的是一、三象限,如果比例系数 k 小于零的时候,过的就是二、四象限。好,所以咱们得到了 y 等于 k x 它的图像特点。对它的图像而言, 他首先是过圆点的直线,那过圆点圆点的坐标是零,逗号零,那 y 等于 k, x, 当 x 等于零的时候, y 就等于 k 乘零,确实是零。 另外他过象限的时候,如果 k 大于零,图像就过一三,如果呢, k 小于零,图像就过二四。啊,咱们把这个表格给背下来,背的时候呢,咱们脑海中要浮现正比例函数,他的图像,他是过圆脸的一条直线,然后呢,如果 k 大于零, 图像就过一三象限,如果 k 小 a 里有图像,就过二四象限。所以呢,咱们把函数 y 等于 k x 的图像呢,也称作是直线, y 等于 k x, 因为它的图像就是一条直线, 好用简单的方法画出来函数的图像。那在这里边的话呢,咱们有什么方法画图像呢?刚才他们说了,这两个函数的图像,他都是正面的函数,正面的图像呢,是一条直线, 想画直线还不容易吗?两点确定一条直线,对于第一个而言, 而且正面还有又过圆点零零,所以咱们只需要再确定另外一个点就行了。比如说第一个咱们再找一另外一个点,另一个点一般呢,让 x 等于一, x 等于一, y 等于负 三,好,所以咱们秒点的时候,只需要秒零零和一括号 k 连线即可。这是两点作图好,在第一个 x 等于零的时候, y 等于负三乘零, y 就等于零, i 等于一的时候, y 等于负三乘以一就等于负三, 好,对,第二个函数,哎,等于零的时候,外等于二分之三乘零等于零,哎,等于一的时候,外等于二分三乘一等于二分三,好,那咱们分别把这些点描出来 好,分别呢,第一个点的是零零,然后是一负三,这是 y 等于负三 x 的啊。第二个呢,是过点零零,还有呢,负三好,还有一负三,还有这个 e x 点击的时候, y 是等于二分之三,还有过点一二分之三,好,那咱们来秒点好,零零一负三 连线啊,这条就是 y 等于负三, x 好,把 y 等于负三, x 写在直线的旁边,可以写在上面,也可以写在下边。第二个过点零零,还有呢?一二分之三 好,把零零还有一二分之三描出来,然后呢,用平安曲线连起来,好,在他的旁边写上 y 等于二分之三 x, 这是这两个的函数怎么样?所以咱们可以看来,对于正比的函数而言,用两点法还是比较简单的。过哪两个点呢?一个是原点零零,另外一个点是一逗口 k。 好,那咱们来看一看,在这里边已知正比例还是 y 等于 k 加 e x, 如果图像过 一三,如果图像过一三,说明比例系数 k 大于零,说明是比例系数 k 大于零,这里边的比例系数是这个整体是 x, 前面的系数叫比例系数,是 k 加一大于零,一定要注意了啊。不是 k 大于零, k 大于零是指的是 y 等于 k, x 里边的 k, 那这里边变成 y 等于 k 加一 x 的,所以就是 k 加一大于零,那所以呢, k 大于负一,所以 k 的取值范围是 k 大于负一, 如果它过点二四,它过点二四的话呢,咱们把 x 等于二, y 等于四,代入它是二的时候,它是四,也就是说二倍的 k 加一等于四,那所以 k 加一就等于二, k 就等于一。好,所以在第二文字中, k 是等于一。 关于正比例函数,它有什么性质呢?那咱们来研究。刚才咱们探究了它的图像,如果 k 大于零,正比例函数过一三相线,如果 k 小于零,那正比函数过二四相线,那咱们来看 x 在增大的时候, y 的值是怎么变化的? 好,以 y 等于 x 为例,那咱们来研究,对于 y 等于 x, 咱们呢分别取负一,取一,取二, x 再增大 y 的值呢? 好, y 等于 x, 所以 y 也是负一, y 等于一, y 等于二。发现 x 在增大的时候, y 也是在增大,所以咱们说 y 随 x 的增大而增大, 那这是对于 y 等于 x 这样的,它是不是具有一般性?对于任意的 y 等于 k 乘 x 都是这样呢?那不难发现,如果 k 大于零的时候,那 y 等于 k, x 确实是这样。 好,那咱们来看一看,你看 y 等于 x, y 等于三, x 从左往右看这个图像,这是属于上升的状态。 好,所以 ycx 的增大而增大。你看上升, ycx 增大而增大,这是 k 大于零的时候, ycx 增大而增大。那咱们从图上观察向右的话呢?逐渐是上升的,所以 ycx 增大而增大,而 y 等于负二分之一 x, y 等于负四, x, y 等于负二分之一, y 等于负四, x 从左往右,这是下降的,这是下 这样的,所以 y c x 增大而减小。呃, y 等于 k, x, 当 k 小一点的时候, y c x 增大而减小。所以咱们得到了它的一个重要的性质, 在正品函数中,如果 k 大于零, y 字要增大而增大, k 小于零的时候, y 字要增大而减小。好,这两条性质咱们得需要熟练的备注,当然了,备的时候还是脑中浮现 图像过哪一项线?图像 k 大一,零的时候过一三,它是上升的,所以 ysl 增大而增大。当 k 小 i 零的时候,图像过二四,它是下降的,所以 ysl 增大而减小好。背完它的性质之后,咱们来看练习题目。 第一个,已知正比例函数 y 零二,同样有两个点,这两个点问 y 一和 y 二的关系,那比例? 记住, k 大于零,所以 y 才增大而增大。三五三到五是在增大,所以 y 也是在增大。 y 小于 y 二 好。第二, y 等于 k x, k 小于零, k 小于头上有两个点,负三和一。负三到一, x 是在增大,那 k 小一点, y 在增大,是减小,所以呢, y 一要减小, y 一减小变到 y 二,所以是 y 一是大于 y 二 啊,这是这样的两个题目。另外呢,咱们也可以通过画草图好,那画草图的话,怎么画草图呢?咱们来看, y 等于二, x 图像呢,是过一三项线啊,大致画一样 好。一个是三,一个是五,三对应的是外移,三这个地方对应的是外 一五对应的是 y 二。通过观察发现,外语小于 y 二,这是画草图。第二个也可以通过画草图,过远点,最小为零。咱们画一条过远点下降的一条直线, 一个是负三,一个是一啊。假设这是负三,这是一,那负三对应的这是 y 一,一对应的这个点,这是 y 二。从同样可以看出来, y 一大于 y 二好,咱们可以用竖形结合的方法,也可以比较出来他们两个谁大谁小, 好。下一个题,已知正比的函数同样过点 m 四,而且 y c x 增大而减小, y c x 增大而减小。这一句话就说明了 m 是小于零的,比例是 m 小于零, 那过这个点有点必带,那过这个点,咱们把这个点带入,所以 m 乘以 m 就等于四, m 乘以 m 等于四 m 的平方等于四,所以 m 等于正负二。 因为 y 台增大减小,所以 m 小于零,所以 m 只能等于负二。好,这是这一个题, 所以咱们可以想而知,正面上的性质是非常重要的。好,那咱们来看一看, 一个是 y 等于 x c, 一个 y 等于三 x, 咱们知道 k 大于零,随着 x 增大, y 都是在增大,哪一个增加的更快呢?哪一个增加的更快?是 y 等于三 x 增加的更快。 刚才咱们看它的图像的趋势,一个呢是 y 等于 x, 大致是这样的,一个是 y 等于三 x 啊,大致是这样的,这是 y 等于三 m, 这是 y 等于 m, 你看 y 等于三 m, 是不是更陡峭,所以它变化的更快,而且 k 的绝对值, k 的绝对值越大,它越接近于 y 轴,它就越陡峭,它变化的就越快。同样的,如果 k 的绝对值越大,它就越接近于 y 头,那这一个就是 y 等于负四 x, 这个是 y 等于负二分之一 x, 随着 x 增大, y 都在减小,而 y 等于负四, x 减小的 够快。而且咱们还可以这样理解,你看一看,对于 y 等于 x 而言, x 每增加一, y 就增加一对,它 x 每增加一 y, 增加的是三 好。对于下边的 x 没增加一 y 减小二分之一 x 没增加一 y 减小的是四 好。也可以看出来他们变化的趋势。所以咱们得到的这样的一个结论,对于 y 等于 k, x 而言, k 的绝对值越大,直线就越陡峭,那么他就越靠近外轴。那咱们来看本节课的一些练习题目。第一个, y 等于负 x, y 等于负 x 是过圆点的,过圆点的,而且呢, k 等于负一,所以呢,过二次象限。 第二个, x 增大, ysi 增大,增大, ysi 增大,说明比例系数,比例系数,这边比例系数是 k 减二,比例系数大于零, k 减二大于零,那所以 k 大于二,所以呢,在这边呢, k 是大于二的。 好,这是这样的一个题。好。第三个,图像过哪一项线推小于零,所以图像过二次象限,经过原点零零,还有哪个点呢?还有一,正好 k 也就是一负七, 外加增大而减小。好,第四个,第四个,对于正比例函数而言,过一三,想要过一三,说明 k 大于零,也就是二 m 加四大于零,所以二 m 大于负四,那么 m 就大于负二。 刚才跟大家减小说明,二 m 加四小于零,二 m 小于负四, m 小于负二, 过点二十,过点二十,把二十带入二倍的二 m 加四就等于十,所以 二 m 加四就等于十,除以二等于五,那二 m 等于一,所以 m 等于二分之一,或者写成零点五都可以。好,这是关于这样的三个填空 啊。第五个题,咱们来探究。这里边呢,有四个正比例函数,分别是 y 等于 k, e x 紫色的 y 等于 k, r x 红色的 y 等于 k 三 x 深蓝色 y 等于 k, 才有浅蓝色。好,那么咱们来比较, k 一和 k 二谁大谁小? k 一和 k 二谁大谁小呢?刚才我们说了,越接近 y 轴,它的绝对值越大, 那 k 一的绝对值大于 k 二的绝对值,而他过二次象限,过二次象限,而且呢,他说明 k 一和 k 二小于零,绝对值大的反而小,两个负数比大小就比大的反而小,所以 k 一是小于 k 二,同样的 k 四的绝对值大于 k 三的绝对值,那么 k 三和 k 四都是正数。 k 四大于 k 三,也就是 k 三小于 k 四。第二个用不等号把 k 一、 k 二、 k 三、 k 四以及零连起来。那其实咱们知道, 对于正比例来说,它过两个点,一个点是零零,一个点是 e k, 那咱们把 x 等于一这条线画出来, 那它与各个图像的交点,那这个点所对应的这是谁呀?就是 k 四,这个点对应的它就是 k 三,那这个点对应呢?它其实这个 x 轴就是相当于 y 等于零,乘以 x 了, 就是 y 等于零, x 值就是 y 等于零,所以在这边零是在这定的,那 k 二对应的是它, k 一定了,它好,所以呢是 k 一小于 k 二小于零,小于 k 三小于 k 四。所以咱们比较这些数大 小的时候,咱们还可以这样比较,就是说在 x 等于一的时候,画一条直线,你看越在上面的 k 的值就越大,所以 k 四大于 k 三大于 k 二大于 k 一。好,咱们把它连起来,连起来之后就是 k 四小于 啊,就是 k 一小于 k 二小于零,小于 k 三小于 k 四。好,这是咱们本节课所学的一个主要的内容,那咱们这一节课呢,就上到这里,下一节课再见。
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我们今天怎么画一次函数的图像呢?比如说我们要做出这个 y 等于二, x 加一,他的图像,呃,我们怎么做呢啊?我们要做一次函数的图像,我们用的是秒点法,秒点法的话有三个步骤,第一个步骤,列表格,第二个步骤,秒点,就是要把点找出来。第三个步骤呢?连线, 那比如说像这一道题,我们要做这个函数的图像。首先第一步列表格啊,直线嘛,两点确定一条直线,那我们只要起两个点就行了, 那这两个点的起值你可以是任意的,直线上的点是有无数多个,那你只要任意起两点就行了,那我们一般来说是比较容易计算的,比较容易找的。比如说当 x 等于零的时候, y 等于一, 当 x 等于一的时候,带进去, y 是不等于三啊?我们就可以找两个点,那么这个表格列出来以后,第二步叫描 点,那这两个点哈,一个是 x 七零的时候啊,这个是 x, y 呢?就是等于一,这是一个点,一个是 x 等于一的时候, y 是等于三。第二个点啊,两个点,那所以我们要把这两个点找出来,那么这个点在哪里呢? x 等于零, y 等于一,那么这边是一。哈, 那所以我们可以知道这个点就在这个地方,一三呢,就是 x 起一, y 等于三,一二三。好,那么是这个 啊,那么第二个点在这个地方,那么这两个点找到了,然后我们用光滑的曲线连起来,那么这条直线就是依次函数的图像。 所以我们要做一次函数的图像的话,我们就用描点法,在这个直线上任意起两点啊,这两点你随便可以起,但是我们一般的原则就是要起比较好计算的,还有这个点比较好找的啊,那么第二描点,把点找出来,第三连线。

嗯,好,我们看一下这个面是二,这道题,他说已知一次函数 l 一 和 l 二,给了两个解,是 l 一 是 y 等于负二分之一, s 加五,那就在这的,对吧?我们很容易知道 k 是 等一个负二分之一的嘛,然后 b 是 等于 五,对不对?与 y 轴交点,然后另一个直线是 y 等于二 x 二 x, 因为 b 是 等于零, k 是 等于二的, b 等于零,所以经过圆点的嘛。正比例函数对不对? k 是 等于二的, 交于点 c, 交点是 c 啊,交点是 c, 如果让我们求角点 c 的 坐标,我们会求吗?是不是就连立就行了?连立这两个函数,现在又说了线有一次函数 l 三,第三个函数 y 等于 k, x 加二, 然后说这个函数这三条直线不能不能围成三角形,让我们求 k 的 值的, 我们心里想一想啊,这个题怎么做?是我们观察这个 l 三这条含这个函数它的 b 啊,有没有发现它的 b 是 等于二的,对不对? b 是 什么呢? y 等于 x 加 b, b 就是 与外轴的交点,所以说 l 三这条直线与外轴的交点是零二,这个点能不能理解? 也就是说经过这个零二这个点有一条直线,比方说这样这样这样都是可能的,对不对?然后跟这两条直线不能构成三角形, 那该怎么做呢?首先第一种情况,我们想啊,三条线如果两两相交,是不是就能够成三角形了呀? 它不能构成三角形,就说明没有两两相交,明白吗?第一种情况,它可以是什么?平行吗? l 一 平行于 l 三,平行 l 一, 这是 l 一, 如果这样的话,你看 能不能理解一条线穿过两条平行线,是不是勾不成三角形了?那此时 k 的 值你知道多少吗? 这个题是不用算的啊,我们用到一个原理叫什么?两直线平行, k 相等,我们的笔记本上有的对不对?记过的啊,因为它们倾斜程度是一样的嘛,所以 k 就 一样的。 l 一 的 k 是 几啊? l 一 的 k 就是 负二分之一啊,那就是负二分之一嘛,对不对?这个写出来了,那第二种情况呢? 有没有可能第二种情况?第二种情况 l 三怎么办?有没有可能平行 l 二啊?那我们就这样,能理解我的意思吗? 经过这个点的啊,那我们现在看啊,这条直线平行,他跟这跟这条直线是不是勾不成三角形啊?那此时 l 三的 k 会求吗? k 等于几啊? k 是 不是等于 l 二的 k 啊? l 二的 k 是 不是等于二啊?所以第二个答案就是二, 能理解吧?那还有什么情况呢?还有什么情况呢?经过这个点,你看前两条直线交一点呢?如果说我们三条直线刚好交一点,他是两两相交,但是交一点呢,是不是也够不成三角形了? 所以说第三种情况就是这个黄色的啊,既经过零二,又经过 c 的 坐标,知道吗?第三种情况就是过 l 三,过点 c, 过点 c, 求 k 的 值的怎么做? k 是 参数,几个参数几个点,代入系数代定系数法,我们就找一个点的坐标代入这个直线几一式不就能求出来 k 了吗?代入谁呢?肯定带 c, 所以 我们要求点 c 的 坐标。 求点 c 的 坐标怎么求啊? c 是 焦点啊,焦点是不是就连力求焦点啊? 那么什么叫连利呢?连利就是把两个函数放在一起对不对?第一个函数 y 等于负二分之一, s 加五,第二个函数是 y 等于二, x 能不能解得 s 的 值啊? 解得 x 等于几呢? x 等于二, y 等于四,所以点 c 的 坐标就二到四。那下一步明白了吗?再怎么做啊? 我们只需要再把 c 二逗号四带入 l 三, y 等于 k, x 加二就行了。 带你得到一个式子, y 是 四, s 等于二,二, k 加二, k 等于几呢? k 算出来是等于一的。所以第三个答案, k 等于一,然后综上 可以等于负二分之一,或二或一。这道题你听懂了吗?