九年级上册数学证明题技巧小曼

哪怕离期末就剩一天，恭喜你可以提前开香槟了！老张总结了初三期末八类必考源题，多看一分钟，多涨四五分， 全部看完直接爆炸式提分必考点，一解一元二次方程六分。别看解方程是期末送分题，但很多同学还在考场傻算，浪费时间。老张这就教你一个又准又快的十字相乘大招。先看题解方程二， x 的 平方加五， x 减十二等于零。这道题的拆法有很多种，该如何下手效率最高呢？要从拆法少的数开始，所以先看系数二，它只有一二、负一、负二两种拆法，再考虑更简单的，正数一二在方格左边，接着拆长数，长数是负十二，能拆出 六种。下面看个窍门，拿出负二和六交叉相乘和六加负四等于二字形，换过来试试。负二加十二等于实抄了。大家发现什么规律没？因为二和六是偶数，十字相乘后结果也是偶数，不可能凑出五，因此我们要找奇数的，比如负四三交叉的负八加三等于负五 和五了，符号不对，那就换下正负，变成四和负三，负三加八等于五，凑到了最终结果要横着写得到。 x 加四乘二 x 减 三。整体思路就是一拆二凑三分，但一定要按照窍门把不靠谱的先排除掉。在讲的老师很少教的技术二除了能拆成正数， 还能拆成负数，也能得到结果，就是负 x 减四乘以负二 x 加三，但与拆正数的相比，只是调了个，只要提出一个符号出来，跟正数的结果是一样的。 所以我们只用考虑正数的拆法就可以了。那这道题大家就能很快做出来了吧！要想把出题人挖的坑全躲掉，一定要看首项系数不，唯一的十字相乘，搜索章吾宪就能解锁期末冲刺的所有内容了。 b 考点二 跟与系数的关系三分这类题别看分值少，但百分之九十同学逢考必错，核心考察就是维达定律。别看书上只有两个公式，但变形式和题型应用层出不穷。下面用一道题带领吃透解析关键，真正做到举一反三。来看一道考试原题， 已知方程， x 的 平方减三， x 减五，等于零的两个根为 x 一 x 二二。让你求下列五个式子的值，千万不要直接开算。记住这句，存决与根相关，与系数相关，用维达。比如这道题硬算的话，到考试结束都算不完。根据维达定律， 这个方程的两根之和等于负的 a 分 之 b， 也就是三，两根之积等于 a 分 之 c， 也就是负五。得到这两个数之后，再把要求的式子凑出两根相加或相乘， 最后整体代入就能得到结果了。那么第一小问，根据完全平方公式回答定律能变成为 x 一 的平方加 x 二的平方等于 x 一加 x 二的平方，减两倍的 x 一 x 二，代入即可求得结果十九。第二小问给它展开，就有十六乘以 x 一 x 二减十二乘 x 一 减十二乘 x 二加九。现在两根基有了，再提出十二，中间两项就变成了两根之合，接着代入就得到负一百零七。其他几个都是同样的思路。完整的过程在这里大家可以保存下，然后自己做完后再对下。光听不练假把式， 赶快用这两道题趁热打铁下，做完记得看回答定理，求值下对答案。必考点三，二次函数的图像与性质这类题型通常是期末小题中的压轴必考题， 分值低，难度极大，深度考察二次函数的各种图像性质，百分之九十九的同学都死在这上面。下面老张用一道多解问题，带你快速掌握核心解析思路。先看题目， o 线顶点应对称轴 x 等于一， 右边焦点在三和四之间。根据对称性，我们就能补全整个图像，得到左边焦点必然在负一和负二之间。接下来再一个个看给出 的结论。先看结论一，盯着左边的式子看，这其实就是 x 等于负二时的函数值，数形结合的思想。直接看图， x 等于负二，对应的图像在 x 轴下方小于零。结论一，直接 b 掉。再看结论二，左侧 a 和 b 混在一起，马上想到对称轴 x 等于负二， a 分 之， b 等于 一，得到 b 等于负二， a 把 b 换掉。三， a 减二， a 等于 a， 开口向下， a 小 于零，所以三为 加 b 小 于零。结论二，又错。再看结论三，三 a 加 c 无法进一步化简，尝试使用特殊指法。这一问就变成了找出 y 等于 x 的 平 方，乘 a 加 x 乘 b 加 c 等于三， a 加 c 时的 x 值。由上一问的 b 等于负二 a， 我 们直接代入 y 等于 a 乘 x 的 平方，加 x 乘负二， a 加 c 等于 x 的 平方，减二，乘 a 加 c 等于三， a 加 c。 在 使用特殊指法时， 我们一般先尝试正负一和正负二，将负一代入满足位乘负一等于三， a 加 c。 所以 结论三其实就是在问 x 等于负一时，外值和零的大小关系。在图像上找到 x 等于负一的点，在 x 轴上方对应外值大于零。 因此结论三正确。这类题最核心的解析思路就是树形，结合思想和特殊执法，学会之后再来挑战一下后面两个难度更高的小问吧。必考点四，这次函数实际应用题八分，这类题型作为期末必考题，考频高，分值高， 堪称九年级上册的超级大 boss。 但实际最让大家头疼的是读题，那怎么去解决读题的问题呢？老张通过一道经典题，带大家吃透解题方法，期末稳拿分！首先，太长的题， 在读题时必须圈出关键信息。先看第一问，求 y 和 x 的 函数关系式，在题目中圈出有关 x 和 y 的 信息。售价 x 等于八十时，销售额外等于一百，降的越多，卖的越多。 列出式子， y 等于一百，加五乘以八十减 a 化简得到 y 等于负五， x 加五百。再来看第二小问， 求最大利润。 w 很 显然是二次函数的最值问题。对于这类题，我们先列出对应公式 利润问题。万能公式，利润等于销量乘以售价减成本，分别将 x 和 y 代入，再把函数表达式化成顶点式，轻松得到 w 等于负五，乘 x 减七十的平方，加四千五百看顶点， 当 x 等于七十时，最大利润就是四千五百。第三小问，求 x 的 取值。这类问题需要我们确定两个式，第一是根据不等式确定 x 的 范围，第二是在范围内确定 x 的 取值。 根据题目信息，捐出二百元后，利润不低于四千二百二十列出不等式， w 大 于等于四千四百二十。很多同学傻乎乎的去解一元二次不等式，太难了，容易算错等式问题。我们直接用图像， 四千四百二十小于 w 的 最大值四千五百，那 w 等于四千四百二十，对应的来 就有两个值对应在图像上这两个焦点，当 x 在 两个焦点范围内， w 的 取值都满足条件，求出两个焦点值为六十六和七十四，确定取值范围为六十六小于等于 x， 小 于等于七十四，再根据题目要求确定 x 应 该取范围内的最小值，也就是六十六。那么第三小问也解决了，暂停可以看到完整的解析步骤， 更难更压轴的题，比如这道，想要全部吃透的话，可以看二次函数的实际应用，利润最大问题。好了，今天就讲到这里，想要轻松满分的同学，我们下期看压轴题板块。

初三数学最难的圆的切线证明打印一份，让孩子吃透期末稳进前三圆的切线证明常见题型题型一，圆与直线有交点，连半径正垂直。一，利用角度转换正垂直。二利用勾股定律正垂直。 四利用平行线正垂直五利用角度计算正垂直六，综合分析正沿着切线题型二，未知圆与直线有交点做垂直。正半径角平分线的性质正半径电子板。

各位同学大家好，我是小明学长，今天我将带大家学习专题二十二点四重难点，探讨利用二次函数求面积、周长、炫淡最值问题的三大考点。我们今天要学的是考点一， 利用二次函数求面积的一个最值问题啊。我们直接来看这个题，如图，已知抛物线 y 等于 x 平方减二， x 加 c， 以 x 轴交于 ab 两点， 以 y 轴交于点 c， 求抛物线的顶点为抛物线，顶点为 d 点， a 的 坐标为负一的零。求地点的坐标地点是不是求顶点的？那第一问其实很简单，对不对？第一问很简单，因为我们知道 a 在 因为 a 负一的零在抛物线上，对吧？ 上，所以什么把这个带进去对不对？所以负一的平方减去二乘以负一加 c 等于零， 好，所以可以求到什么？所以这是一加二加 c 等于零，所以 c 是 等于负三的，对不对？好，所以抛物线解析式为， 为， y 等于 x 平方减二， x 减三，我们把它化为零点十就可以了，对吧？等于 x 平方减去二， x 加一，再减四，等于 x 减一的平方减四， 所以 d 点的坐标为一的负四。这是第一问，很简单啊，先把解析式求出来，然后再求顶点就可以了。第二问，连接 bc 和 cd 说明角， bcd 等于九十度啊， 好，我们来看第二问， bccd 要说明这个角是九十度， 什么叫这个是九十多？那我们是不是可以用勾股定力啊？我们想的是不是可以用勾股定，或者说用这个？呃，两条直线的解析式，他们的 k 值是不是应该乘的？等于负一也可以，对不对？那我们这题就用勾股定力好不好？好连接 b、 d？ 对 啊，连接 b、 d， 我 们是不是要求垂直？是不是要求 c、 d 的 平方加上 b、 c 的 平方等于 b、 d 的 平方就可以了，对不对？对吧？连接 b、 d 好。又因为什么？ c 点的坐标为多少？ c 点为零的把零带进去，它是以 y 轴的交点，零负三，然后 b 点它是另外一个交点，那我们也可以求出来 b 是 不是三的零，对不对？ 好？然后 d 点坐标是多少？ d 点坐标，我们第一问求了一的负四，所以可知 什么？ bc 的 平方等于多少？ bc 的 平方是不是等于 b 的 横坐标减去 c 的 横坐标？我们来看啊， b 的 横坐标减去 c 的 横坐标，三减零的平方好，加上 纵坐标零减去负三的一个平方，对不对？等于多少？我们把它算一下，九加上九等于十八，然后 c、 d 的 平方等于多少？是不是 d 的 横坐标减去 c 的 横标加上纵坐标减去那个对不对？好， 等于多少？ c、 d 的 平方等于多少？等于 d。 横坐标一减零的平方加上括号负四减掉一个负三，括号的平方等于多少？ 一的平方加上负四加三负一的平方，二，对不对？好，又可知 b、 d 的 平方是不是等于 b 的 横坐标减去 d 的 横坐标？三减一的平方加上 零减掉负四，括号的平方等于多少？三减一二二的平方四四加上四的平方十六等于二十，好， 因为 bc 的 平方加上 c、 d 的 平方等于二十，是等于 b、 d 的 平方，所以可知三角形 b、 c、 d 为等腰为直角，三角形对不对？ 所以 c、 d 所以 角，直接可以写角，所以角 b、 c、 d 等于九十度啊，这是第二问。好，我们接着看第三问。 若点 p 是 直线 ab 下方抛物线上移移动点，也就是的是这段的它，对吧？它是这段的 p 点，在这段运动，当 p 点位于何处时，三角形 pbc 的 这里是 p 点 pbc 的 它这个面积最大，此时求出点 p 的 坐标。哈，我们接着来看这个第三问啊。 第三问，点 p， 在 这里我们首先，首先我们观察一下啊， p b， c 的 面积，求三角形 p b， c 的 面积，三角形 p b， c 的 面积，因为它不是一个特殊的，这个三角形是不是很不好求啊？那首先我们做 p r 垂直于 x 轴， 交 bc 以点 q， 然后交 x 轴以点 r， 对 不对？我们是不是可以这样？好，我们这个时候就把它画成了两个三角形，对不对？这是 第一个三角形的面积，这是第二个三角形，我们可以画成两个三角形，我们看一下啊，这两个三角形的面积，因为这个它是以 y 轴对称的嘛，以 y 轴这个平行的嘛，所以我们可以知道这它这个三角形是不是可以等于这一段，然后这边的二分之一的这一段，这个是高，对不对的， 对吧？好，然后这这个三角形呢？它的这一段是高，对不对？那我们写一下啊， 因为三角形 s 三角形 p c， b 是 等于 s 三角形 p q， b 的， 对不对？它是不是等于这两个三角形的面积相加，对吧？好， 那我们看一下这个三角形的面积是什么？它是不是等于二分之一的乘以什么？乘以 p q， 以这个 p q 的 距离，然后再乘以多少乘以？ br 对 不对？ br 是 高底边上的高嘛？这是 p c q 啊，对，是 r o 啊，乘以 r o 的 这个一个绝对值，对不对？一个长度嘛？再加上二分之一乘以 p q， 然后再乘以多少？这个 p q 的 高？ p b q 的 是不是 b r 乘以 b r 的 一个绝对值，等于？我们把这两个数字，哎，我们发现是不是有一部分可以提出来，二分之一乘以 p q 的 距离，然后 再乘以括号 r o 加上 b r。 有没有发现 r o 加上 b r 这一段是不是定值啊？对不对？定值是多少？它是不是等于 b 点到原点的一个距离， 对不对？是多少？是不是三呐？二分之一乘以三，然后再乘以一个 p q， 那 它要求这个三角形的面积的最大，是不是？求这个 p q 的 这一段的最大，是不是转化为这个，对不对？ 他要求这个面积最大，我们是不是要转化为求 p q 的 这个面，这个距离的最长？最长的一个值，对不对？好， 那我们怎么求这个 p q 距离最长啊？因为 p q 是 垂直于 y 轴的，我们刚刚说了 p p r 是 垂直 x 轴的 p q， 所以 说是平行于 y 轴的。那其实很好求嘛，我们只需要知道 q 点的坐标和 p 点的相同的，只需要用纵坐标，用 q 点的 纵坐标减去 p 点的纵坐标，我们就可以得出它的这个距离，对不对？那我们就可以设好把这个 bc 的 解析式先求出来啊。又因为 bc 的， bc 的 直线的解析式过 bc， 直线的解析式 为 y 等于 a x 加 b 过哪一点？过 c 点零的负三，还有 b 点三的零，所以可以得到什么零？ b 等于 负三，然后把这个代数三 a 加 b 等于零，可以得出什么 b 等于负三。三 a 等于三， a 等于一，所以这个过 bc 这条直线的解析式为 多少？ y 等于 x 减三。好，设设 q 点，横坐标为 为 t， 所以 q 的 坐标为 t 的 t 减三，对不对？把它代进，因为 因为 q 点它是在 bc 上面嘛？又因为 q 和 p， 它是，我们说了是平行 y 轴， 所以 p 的 坐标 p 是 在抛物线上，所以 p 它的横坐标也是 t， 那 它的纵坐标是多少？纵坐标是不是要带进这个解析式里面，对不对？是等于 t 方减二， t 减三。 又因为我们这里说了题目说的什么 p 在 直线 bc 下方， p 在 直线 bc 下方，所以绝对值 p q 是 等于多少？等于 q 的 纵坐标，对吧？因为 p 必然是在 q 下面嘛。等于 q 的 纵坐标对不对？等于 t 减三，减去 t 方减二， t 减三等于多少？ t 减三减 t 方加二， t 加三，那这等于多少？等于负 t 方加上三 t， 然后这两个就没有了，那我们把它 解一下，负的梯方减去三 t， 他 这应该是加上二分之三的平方，加上四分之九，减掉一个四分之九。负的 t 减去二分之三的平方，加上一个四分之九，所以 p q 有 最大值为四分之九。 又因为对吧？所以 p q 有 最大值为多少？四分之九，且当 t 等于二分之三的时候有最大值。 好，那我们知道，所以三角形，则三角形什么 pcb pcb 的 最大值为多少？啥？ p q 的 最大值为二分之三，对不对？ p q 的 值为四分之九四分之九，然后带到这个面积公式里面，对吧？它是不是等于二分之三乘以四分之九，二分之三乘以四分之九，八分之 二十七，对不对？四分之九乘以二分之三， 对吧？好，这就是我们今天要学的第一类啊，就是利用二次函数求这个三角形面积的一个最值。问题啊， 这是我们学的考点一。好，那我们今天的内容就到这里结束，各位同学有任何疑问的欢迎在评论区留言，如果有需要资料的也欢迎在评论区留言。好，谢谢。

今天我们来看一道九年级上册的期末复习题，这是一道关于二次函数的选择题，那么这道题啊，它是很简单的， 但是啊，前提是你必须得掌握这一类题，也就是这个二次函数的知识点，如果你不掌握的话，你可能就不知道，觉得就比较难啊。好，咱们一起来看一下，你看这些知识点你都掌握了吗？ 好，如图，二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 它给了一个一般式的部分图像与 x 轴的正半轴交于点 a 这个地方， 对称轴直线 x 等于一啊，对称轴告诉我们有下列结论啊，那么看到有选结论的这些 这类题啊，怎么办？咱们讲过啊，第一步，先判断 abc 的 情况。 首先开口向下， a 怎么样？零呢？ a 是 小于零啊， a 小 于零。然后我前面也讲过，二次函数的图像与 y 轴的交点就是对应 abc 里面的哪个啊？ c 对 不对啊？那么这个交点的纵坐标，我们看一下，它在这个 y 的 正半轴，所以怎么样？ c 是 大于零的，咱们来看一下这个 啊 b 怎么判断？前面讲过啊， b 的 话，咱们是通过这个对称轴的公式，根据 x 等于负的二， a 分 之 b。 好， 我们看图，这个对称轴在 x 的 正半轴，所以怎么样？零啊，所以它是这个大于零，对不对？好， 已知咱们这个 a 是 小于零，所以说这个 a 的 这个负号和前面这个负二的符号怎么样？就变成一个正号， 你要整体怎么样？大于零的话，这个 b 就 怎么样，只能大于零啊， b 就 只能大于零，所以说第一个序号咱们就可以判断啊，你看两个正号相乘是正的，再乘一个负的，那必然是负的，就怎么样？零小于零。所以说第一个是对的啊， 好。第二一个，这个关于什么？ a 和 b 的 一个关系，哪个式子对？对称轴对不对啊？根据这个 x 等于负的二 a 分 之 b， 然后题目告诉我们，这个对等轴是一啊，等于一，然后来十字怎么样？一相乘得到 b 等于负二 a， 对 不对？咱们把这个负二 a 怎么样？移过来一项变号就变成 b 加二 a， 也就是二 a 加 b 怎么样？ 等于多少等于零，所说第二一个也是正确的。好，来看第三一个，第三一个，它是一个关于 a 和 c 的 一个关系的式子，对不对？ 就说我们这个一般式里面，哪个不变了，哪个不在了，就这个 b 它就不见了，对不对？那么它不见 是怎么不见的？我们这里是不是得到一个 b 和 a 的 一个关系，对不对？就说咱们需要把这个 b 换成这个 a， 对 不对？然后这里又是几 a 又是三 a， 就 说我在前面的时候讲过啊， 最常见的 x 等于几啊？一负一二负二，对不对？那么你这里要是三 a 的 话，那么 x 等于几啊？ x 等于负一啊，那么当这个 x 等于负一的时候，咱们把它带到这个解析式里面去啊，得到什么呢？得到的是这个 y， 它是等于 负一的平方还是一二就是 a， 然后这里是负 b 啊， a 减 b 怎么样？ c 不 变加上 c 对 不对？那么此时是这个 x 怎么样？等于负一对不对？好，这个图它没有完整式部分图像，我们在考试的时候啊，我们可以怎么样？可以把这个图啊， 把它补充完整，这样就可以快一点啊，快一点啊，但是你画的时候不要画太夸张啊，你不要怎么样？不要这样啊，会太过来，这样子就不行，对不对啊？好，我们看啊，那么这个地方，这里是一一的话，这个就是 对应的长度，是这一段，对不对？好，那么负一是不是应该对对，在这边来，所以说大概位置负一就是这个位置对应的这个 y 的 值，怎么样？他应该是在外的一个负半轴，说怎么样呢？所以说他应该是小 于零，对不对？好，然后把我们这个 b 怎么样？等于负二 a 把它带进来啊？带进来 b 等于负二 a 这里有个负，这里有个负负负的正，对不对？那么就是 a 加二， a 就是 几啊？就是三 a， 就 说三 a 加 c， 怎么样？三加它是这个啊，小于零的，而不是大于零，所以说这个三的一个就是错误的啊，错误的 好。第四一个他说方程 a x 加 b， x 加 c 等于零，必有一个根，怎么样？大于负一且小于零， 那么这样一个方程它是什么？它其实就是这个二次函数对应的一元二次方程，对不对？哈？我们前面讲过啊，这个二次函数对应的这个一元二次方程的根，就是这个二次函数与 x 的 什么？ 两个的交点，不是交叉的交点，对不对？你有交点就是有两个根，一个交点就是一个根，没有交点就是没有根，对不对？现在有几个交点？有两个交点，所以说有两个根， 那么其中一个告诉我们他在二和三之间，对不对？那么另外一个在这边来，刚才怎么讲呢？这一段是一，对不对？那么你负一肯定要超过这个位置，是在这里对不对啊？非在这个位置，所以说那么这个交点就在什么？ 就在这个负一和零之间，所以说他要大于负一怎么样？小于零就说第四一个怎么样他也是正确的。这是通过什么？通过咱们对这个 途径一个大致的一个呃，补充来得到这个答案，对不对？你也可以怎么样？假设这个 a 点这个地方， 是啊，二点多，这个取个中间值二点五，对不对？然后然后怎么样？从而算出另一个交点，去判断这个交点它是否在这个负一和零之间啊？在考试的时候我们可以为了节约时间，怎么样把这个图你画的这个， 嗯，稍微标准一点，他就是没有问题的。啊。好，那么今天这个内容啊怎么样？呃，这个有几个正确的？有三个正确的，对不对？就说选择这个 b 答案对不对？好，那么今天这个内容咱们就讲完了，大家听懂了吗？

大家好，那么今天我们六中和实验考的晚至的弊卷啊，最后一题压轴题，很多同学说有点难，没做出来，没有时间做，或者说辅助线不知道怎么做啊，为什么辅助线这么做？那么徐老师，徐老师看到这一题呢，我觉得啊， 不一定非要用相似比值来证明这两个啊， n g 比上 cd 等于 eg 比上 cf， 那 么在正方形当中呢，我们完全可以把它算出来， 比如说我们设 b， n， b， e、 c， e 都等于 a， 那 么我们其实首先能把 e、 g 算出来，比如说我们根据这个角的什么正弦或者余弦值，首先我们知道 n c 用勾股定律算一下 n， c 是 根号五 a， 然后我们根据这个角的正弦或余弦值，我们就能把 e、 g 给它算出来，比如说 e， g 啊，比上我们的什么 a， 就 等于 a， 比上根号五 a， 这样我们算出来 e、 g 就 等于五分之根号五 a， 那 么 c 值呢？就是五分之二倍，根号五 a， 那么 g， n 呢？啊，就等于根号五 a， 减上五分之二倍，根号五 a， 所以 g、 n 就 等于五分之三倍，根号五 a， 这样的话，在这样的一个 n、 b， g、 f、 c 这样的一个八字相似里面，相似比就是三比二，那如果 b， n 是 a， 那 么 c， f 呢？就是三分之二 a 啊，这样的话，我们题目让我们求 n g 比上 c， d 就 等于 n g 啊，五分之三倍，根号五 a 比上 c， d 是 二 a， e， g 比上 c、 f， 那 么 e， g 呢？是五分之根号五 a， c， f 呢？是三分之二 a 啊，它们两个都等于什么十分之三倍，根号五啊，所以这两个当然相等啊，这样做的话比我们去构造相似三角形来证 n e g 和 b c f 这个三角形相似 要容易的很多，所以徐老师认为像压轴题的几何其实，嗯，现在啊，很多题啊，都有一题多解，方法都不为一，只需要大家几何的这种思维能够，数学思维能够跟上啊，基本上都有三种方法左右啊大家，这种方法徐老师给大家借鉴一下，大家想想是不是不一定非要做辅助线？

九年级中考数学原的计算与证明三十题寒假吃透，初三考试不下一百一十五分。

九年级数学最难的圆的切线证明，给孩子打印一份，练会期末不丢分。我加班老师统一发的圆的切线证明常见题型，题型一圆与直线有交点，连半径正垂直。 这些都是期末考的高频考点，建议家长都给孩子打印一份未完完整电子版和打印。

九年级数学最难的圆的切线证明，给孩子打印一份，练完期末就没有丢分的圆的切线证明。常见梯形，梯形一圆与直线有交点，连半径正垂直。一利用角度转换正垂直。二利用勾股定律正垂直三利用权等正垂直。四利用平行线正垂直。 五利用角度计算正垂直。六，综合分析正圆的切线角，平行线的性质。正半径以上就有电子版。

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