七年级上册最后一个单元角，如何画图

本视频耗时一个月精心制作而成，总时长四十二分十六秒，带你一口气复习完七上最后一张， 期末考试又要来了吧，今天我们进行七上最后一张几何图形初步所有知识点总结以及重点题型梳理，我们一起来学习。关于我们几何图形初步，这里呢给大家分两个大板块，一个是我们的立体图形，一个是我们的平面图形。 关于立体图形，这里呢重点要讲什么呢？重点我们来学正方形的这个展开图啊，展开图这里呢是我们一种题型，而且还是有一些难度的，我们一起来学习正方体的展开图呢，请记住，一共有十一种， 那么这十一种呢，我们来分门别类的进行总结啊。我们这十一种展开图可以分为一四一型、二二二型、三三型以及一三二型， 什么意思啊？我们第一行有一个，第二行有四个，第三行有一个，这叫一四一行， 那么一四一行呢，一共有这样的六种，你怎么去记这六种呀？我们首先呢，这里啊站一号位，然后我们这四个呢排列好，接下来下面这一个呢，你可以在一号位，二号位，三号位和四号位都可以依次来一遍，这样不就出现了四个了吗？ 对吧？那么剩下的我们就可以来动一动第一行的，第一行的你可以把一号位动成二号位， 然后我们第二行的呢，你不能从一号位直接开始了，为什么？因为会有重复啊，所以直接从二号位和三号位开始，那一共就这样的六种，剩下的全部都是重复的了，这是我们的一四一型啊，这个也是最多的一种形式， 那我们剩下的就可以把这四个呢，让他哎减少一个，变成一三二型。那关于一三二型，这里的三和二啊，是固定的 啊，我们只需要让这个上面有一个的再占一号位，二号位和三号位，所以一共是这样的三种， 记住了吗？那剩下的我们的二二二型和三三型呢，各自只有一个，只有二二二三三这种排列的啊，这我们特殊来记就可以了，一共是十一种的展开图，大家按照规律去记，就不会记错了，那这里呢就会有题型总结了，请听老师的大招啊。 我们现在在判断展开图的时候呢，有两句话啊，可以快速帮我们判断出来，叫做一线不过四填凹七弃之。什么意思？ 我们一条线上这个展开图，你看无论是哪种形式，都没有超过四个的吧，对吧？最多就是四个小正方形了啊，所以说一旦出现了比四多的，那一定不是你的展开图，然后还有一些特殊的形状，比如说出现了我们的填字格， 如果有这种形式的，那一定不是我们的展开图啊。同理，如果出现了我们的这种凹字形，出现了我们这种七字形，这都是我们非展开图，而且比较常考的啊，看到这些特征之后呢，直接判断他不对就可以了。 好吧，那关于我们的展开图这里呢有一个非常非常重要的题型，叫做什么呢？我们判断啊，对立面 告诉你展开图了，来问你们啊，这个小正方形，它的一个对立面应该对着哪个啊？那么这会就特别考验孩子的什么呀，一个空间想象能力， 如果你但是有的小孩呢，刚开始就是他想象不到我怎么去找那个对立面，不可能考试的时候现场折一个，那是不可能的，对吧？其实也是有技巧有大招的啊，叫做两句话，同行隔一个，一行 z 两端来，记住老师，这个大招非常好用， 比如说举个例子，比如说我们同行隔一个，举一个例子，那这个小圈圈和这个小圈圈，那么这两个正方形在折回去之后，他就是一个对立面， 这就满足我们的同行隔一个，所以如果这两个面在同一行上，只要他中间隔着一个，这就叫做两个对立面，同理这里也是啊， 这个圈圈和这个圈圈，那就是同行隔了一个啊，所以这就叫我们的对立面，这是判断同行的那一行呢？如果不在同一行，叫做一行 z 两端，你去找这个 z 去啊，什么意思？比如说我们来看 这里呢，画一个 z 字形，那么 z 的 头跟 z 的 尾，这就是我们的一个对立面，这两个面呢，它没有在同一行上，对不对？所以你就不用套 同行隔一个了，咱们套的就是一行 z 两段，他是我 z 的 头和 z 的 尾，这就是我们的对立面，这个大招在解决问题用起来还是非常好用的，大家一定要记住这两句话啊。那么剩下的呢？还有一种类型，就是我们的三式图， 这个也是也很考验咱们孩子的一个空间想象能力啊。这个你就主要是你从你的这个主视图以及你的俯视图，你看到了什么样子，你就按照什么去画 好吧，尤其是涉及到一些什么，一些这个测试图，或者叫左视图和俯视图的时候，你就要去想象，你站在了这个物体的左面，你站在了这个物体的上面，还是有一些空间想象能力的。那这里老师提醒一点，如果你在你的视线当中，你能看得见的这些线呢？你就画成实线， 如果说有一些线，你是看不到，他也真正存在的啊，你从你的这个仕图里面并没有看到，那这种呢，一定要画成虚线，他也是存在的，只是你当下没有看到而已。好吧，画成虚线啊， ok， 那 关于三仕图这里呢，有一种比较难点的题型，就是已知告诉了你某些仕图，比如说告诉了你的主仕图和俯视图，举个例子 告诉了你这些仕途，让你给我判断这一堆小正方体，它到底有多少个，甚至让你判断最多多少个，最少多少个。这种题型应该已经见过了吧，还是有些难度的啊，今天老师教你一个大招去解决问题， 后面我们也会有这个这种题的，给大家重点讲解啊，叫做什么呀？叫做我们的地基法。哎，什么叫地基法？你可以想象一下，就类似于你搭房子，先铺好一个地基，然后一层一层一层往上去盖，怎么去盖？一会遇到题目，老师带着大家重点的来学习， 好，这是我们的立体图形部分，接下来呢，来到我们的平面图形部分，平面图形我们初一上学期啊，两个重要的线跟角， 这里首先上来呢，就会有特别多的概念变息类的啊，非常非常易错，一会我也会给大家去分享一些题目啊，大家好好去听。那关于我们线的概念之这个我们里面的易错点呢，会涉及到三种， 一个叫做我们的直线，一个叫做我们的射线，一个叫做我们的线段。这三种线之间啊，他的端点情况，延长线情况和表示情况，以及还有一个点再给大家总结，还有他的一个长度能否背肚梁的一个情况， 这是我们在考试当中比较啊，容易能够遇到的。来给大家画画这三种线啊，什么叫直线？你这样直直的划过来，没有任何的端点去限制，这叫我们的直线，所以直线是零个端点啊，并没有端点， 射线呢？射线你想象一下是从一个点发射，对吧？发射的感觉啊，所以射线呢，还是有一个端点的从这发射出去的，好吧，这里有一个端点， 线段呢，哎，线段呢，就是我们可以能够量出来它到底是多长，是两个端点在限制你啊，所以线段的左右两边都是有各有一个端点，所以线段是有两个端点情况。 然后接下来我们来看延长线，因为线段呀，是两头都堵住你了，所以你想要想做他的延长线是能够做出来的，对吧？比如说我们这样直接延长，哎，就能做出来延长线， 那或者说我这样来反向延长也能做出来延长线，所以说我们的线段呀，哎，既有延长线，又有反向延长线， 那射线呢，就是这样的，因为射线本身我在这一点发射出去之后，就已经是无限延伸了，我还需要借助外界的力量来帮我去延长吗？不需要了，所以说射线这里是没有延长线的，但是 因为这一头啊，有端点在堵着他啊，所以我们这一头还是能够画出来什么反向延长线的，所以说射线是有反向延长线，没有延长线，然后最后来到了直线，直线自由的很呀，没有任何的端点去限制他， 对不对？我想往右延伸就往右延伸，我想往左延长就往左延长，不需要借助外界力量。所以说啊，他没有延长线，也没有反向延长线。记得了， ok， 那 么剩下的我们来讲一讲表示啊，我们这三种线呢，都有两种表示方法， 你就可以理解为咱们一个人，他有可能有多个名字，对吧？他有个正名，还有个小名。那比如说我们的这个直线在表示的时候呢，可以用两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。 那如果我们用两个大写字母来表示的时候，比如说我可以叫做什么呀？叫做它的直线 a b， 在这啊，直线上任意取两个点，注意这两个点你别堵住它了，因为我们的直线是没有端点的，那可以叫做直线 a b， 也可以叫做直线 b a， 这里是没有顺序的差异的 啊，都表示的是这条直线，但射线呢，射线你再给他起名字的时候就有限制了，因为射线本身是从一个点发射出去的，那你再给他起名字的时候啊，第一个字母呢，表示的一定是它的端点，这个你不要反了， 也就是说射线 a b 和射线 b a， 它俩不一样，代表的不是同一条射线。 ok， 那 么剩下就是我们线段，哎，线段呢，是有两个端点是限制的， 你可以叫做它的线段 a b， 你 也可以叫做线段 b a 啊，就没有顺序的差异了，都是表示这同一条线段。 最后我们来讲一讲这个长度的问题，也是我们考试高频的考题。来，我想问问大家，我说孙悟空在天上画了一条十万八千里的直线，你觉得这句话对不对 啊？有人上来可能觉得对了，在我们数学角度这句话是不对的，因为我们说直线是无限延长的，哪怕你足够长有十万八千米，但是呢，我们的直线在十万八千米的基础上还可以无限延长啊，也就是你在描述直线的时候，你不能说它的长度 到底有多长，他的长度呀，是不可以被度量的。好吧，你不能告诉我这条直线到底有多长，限制住他，这个考试特别特别易错，一定注意了。 然后接下来射线，同理，虽然有一个点在限制了我的发展，但是我另外一头很自由呀，我可以无限延长，对吧？所以射线这里也不需要啊，去给他讲长度，他的长度也是不能被度量的。 好，那么剩下就是我们的线段了，线段呢，它就有所限制了，两个端点卡住了我，对吧？它的长度呀，还是可以被度量出来的，所以你可以告诉我说这条线段有多长，比如说刚才那句话 啊，说孙悟空在天上画了一条十万八千米的线段，哎，这个就对了，好吧， ok， 这是我们的一个基本概念啊，关于它的一个区别，也是咱们考试比较爱考的 概念，变式类的一个题目。好，那么剩下的两个基本事实很简单，我们要考这两个基本事实就是考两点，确定跳直线，两点之间线呢，最短 你给他取一个啊，这种题做的时候小孩没有做错的好吧，亲啊，要记住啊，那么我们还有关于线和角这里呢，咱们学了一些尺规作图，做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角，这两个尺规作图非常简单， 当然我们尺规作图呢，也是在我们的新课标当中啊，我们要这个在新中考当中也是要重点去考的啊，所以后面呢也会给大家出专题啊，将我们的尺规作图。好，接下来关于我们的线段的中点， 线段的中点呢，类比于角，就是我们角的什么角平分线啊，这些在做的时候呢，概念类的也不难啊，就是有小小的易错点。比较难的就是什么呀，这里就题型，什么题型啊，我们就涉及到双中点题型， 还有我们角这里呢就是双角平分线题型，这两种题型呢是有什么是有大招可以帮着大家去解决的， 考试的时候非常快的，能够做出来题目，很节省时间，一会老师给大家进行分享。好，那我们角度的基本的定义，这啊啊，这个比较简单，没什么难度啊，我们在这个表示角的时候呢，是有四种方法，注意这四种方法呢，有的会有限制， 那如果我们表示用三个字母啊，三个大写字母去表示这里呢，叫什么呀？这叫我们的万能方法，你所有的角都可以这样去表示， 什么方法呢？就是我以这个角的啊，这个顶点 o 放在中间的位置，然后在角的啊，这两条射线上任意取一个字母，一个取 b， 那 你可以称为角 a o b， 也可以称为角 b o a 描述的都是这个角， 这是我们的万能方法，所有的角都可以用三个大写字母去表示。还有一些比较简洁的方法，比如说呀，我这个这个点 o 这里呢？我不在边上取点了，我直接叫做角 o， 可以 吗？这个图里面是可以的 好吧，但是它有一些小小的限制。什么限制？如果说呀，我从这个 o 这发射的不止一个角了，因为你现在叫角 o 就 描述不清楚了，角 o 到底是代表的这个角 还是这个角还是这个角嘞？咱说不清了，对吧？所以这种情况下，你必须用三个字母来表示了啊。 好，那我们还有两种呢，用我们的阿拉伯数字，或者用我们的希腊字母来表示啊，我们可以标一个一角一标个阿尔法，叫做角阿尔法，这个也很简洁，后续我们到了初二初三，几何学的比较难，角比较多的时候，可以用这种方法去表示。 它也有一个小小的限制啊，就是我们尽量不要跨角去标注，比如说还是这样的图， 你可以说这个叫角一可以的，但是呢，哎，你这个如果叫做角一的话，就不太啊， 不太对了，你跨角标注就不规范好不好，注意这个小小的限制啊。 ok， 这是我们一些关于线和角的基本知识。 那题型这里重点会给大家讲什么呀？像涉及到我们的双中点和双角平行线，以及我们线段的计算和角度的计算，是咱们期末考当中的占分大项，接下来呢，我们一种一种题型给大家进行梳理，一定要认真听。 好，我们先分享一道啊，期末必考题，叫做我们的展开图的问题，我们来看啊，这里告诉你，展开图呢，我们像要剪掉一个小正方形，那么剪掉之后呀，就能够拼成正方题了， 对吧？问，剪掉的这个小正方形不可以是谁？这里就可以很快用老师的大招我们来看啊，什么大招？因为你打眼一瞧就发现了什么，立刻发现了一个填字格。 老师刚才给大家讲了，你如果要判断是否为展开图，当出现填， 出现凹，出现七这种图案的呢，那都不是我们的展开图。 所以你要想减掉啊，变成我们的展开图，一定要在这个田字格里面去选出来一个，减掉一个，让他不不能变成我们的田字格，所以你可以选一，可以选二，可以选三啊，我们的前三个都正确， 好吧，一定要把它分开，所以这个题啊，我们不可以的，就是我们的四 d 了，你如果把这个四减掉了，那你就把田字格留下了，留下田字格还能变成展开图吗？ 一定不能了好吗？记住老师的解决方法啊，看到田，看到凹，看到七字形的都要给他叉掉，这种都不是我们的展开图，你学会了吗？ 好，接下来我们来分享一道找对立面问题。这种问题呢，一属于咱们期末必考。二、很考验咱们家娃的什么空间想象能力，有的小孩就跟老师说，老师，我真的想象不到他是怎么去折的啊，你考试的时候也没办法，我立刻给你拼起来呀， 怎么办也是有解决方法的，好吧，学会今天老师这个大招啊，让大家立刻啊了解我们的对面问题，叫做同行隔一个 哎，一行 z 两端 什么意思？如果大家在找我们对立面的时候，处于同行的呢，你可以来中间隔一个，它旁边这俩就是对立面， 如果在同行找不到了，找什么呀？找不同行的啊，在不同行的呢，我们就来画 z 字形， z 的 这两端啊，就是我们的一个对立面，比如说这， 比如说这道题呢，就考察的咱们跟学的一个对立面学在这。首先你同行隔一个能找到吗？显然找不到， 对吧？同行最多留两个，你怎么去隔呢？找不到，那找不到了怎么办？我们来画 z 在 一啊，一行画 z 字形，注意，我们这个 z 呢啊，就能找两端， 这个 z， 你 可以横着画，竖着画都可以啊，反正画这种正规的。我们的 z 型画完之后呀，这就是我们的两头啊，我们现在这个学跟我们的广啊，它就是一个对立面啊，选我们的 c 选项啊，老师的这个大招还是非常好用的啊，同学们一定要记住，你学会了吗？ 接下来呢，我们来学习一道难题，突破啊，这种问题呢，是带图案的，这种题啊，小孩碰到了就更头大了，我不带图案的都想不明白，你现在还给我带图形了，哎呦，这可怎么去整啊， 别急别慌，也是有方法的。我们来看问图中的立方体展开之后，应该是下图当中的哪一个，我们来观察一下这个立方体。这个立方体呢，给我带了啊，这三个点，而且这三个点的面呢，分别都是什么呀？这叫离面， 相邻的面并没有相对啊，看似是在考你邻面的问题，实则仍然是考对立面的问题，你只需要让他们不是对立面是不是就可以了，因为不是对立面的话，那不就是邻面了吗？ 对不对啊？所以我们来看一下 a、 b、 c、 d 当中有没有两个小点点是对立面的呀？如果有，赶紧给我叉掉啊！又回到老师，今天啊，教你那个大招叫什么呀？你如果在同一行里面去判断，叫同行隔一个， 如果是在不同行里面去判断，叫做一行 z 两端。 好的，我们来观察一下现在这三个圈圈啊，是在这，那我立刻就扫到了，什么，这是在同一行，哎，同行隔一个，所以它们两个变成对立面了，那怎么办？就不对了， 因为你需要点点是同啊，是里面。接着我们来看 b 同里呀，哎，同行隔一个，这两个又是隔了一个，哎，又变成什么对立面了，所以不对。 好，我们来看 c 选项， c 选项呢，仍就是我们这两个点点是在同一行啊，同行隔一个，又变成我们的对立面了，所以他也不对啊，那只剩下四 d 了。四 d， 我 们来观察一下这里，现在呢，发现，哎，无论是同行 不是隔一个的这种关系，无论是一行，他也没有最两端，对吧？所以这个呢，他们都不是对立面，那就是我们的平面了啊。所以这道题应该选我们的四 d 选项，你学会了吗？ 好，今天我们来分享一道什么呢？用地基法来解决我们的最多最少啊这种小正方体的问题，这个问题对于孩子们来说是一个难点啊，一起来学习一下老师这个方法啊。 说若一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成的，如图，分别是它的左式图和俯式图。问该几何体用的小立方体的个数是 m， 问 m 的 一个最小值， 当然有的题也会问你最大值，其实同理的啊，这种问题怎么去做呢？一个大招叫做递级法，就是你无论给了你什么仕途，你先帮我把俯视图判断出来， 那么这个题比较简单的是俯视图直接给你了，有的题也是告诉你左视图，告诉你主视图，让你自己呀，先把俯视图啊确定了， 一旦确定了俯视图，开始干什么？打地基，盖高楼啊，因为你的俯视图如果长成这样子，说明呢，你至少底上，哎，每一块上都得有一个啊，小正方体 b g 搭好了，接下来根据我们的左式图在一一去匹配。左式图呢，第一列你看到了两个，哎，哪里代表他第一列啊？你想象一下你这个人啊，站到了左边去看，这里是代表他的第一列，对吧？第一列，如果你看到了两个，说明这呢？哎，要给我改成二了，一个就不够了。好， 第二列呢，你是看到了三个，第二列是这里看到的，你在这如果想看到三个的话，说明什么呀？说明至少啊，这上边要么是这个，要么是这个，得是有三个小立方体， 对不对？所以这里二选一就可以了，因为咱们本身问的就是最小，好吧，你随便选一个，比如选它 是三个，好吧，然后接下来呢，我们的这个第三列你看到了一个，那么第三列呢，就是我人站到了这，刚刚好有一个，哎，这一个就能够帮我把左视图的这个确定好了，所以我们最小的情况就是他了啊，二加三，再加上一二三四， 答案就是九，这是我们最小值，是九个。如果老师给你变形一下，你能不能告诉我 m 的 最大值，好，最大值是多少？大家可以在弹幕里面啊，去把你的答案写出来。 怎么去求它的最大值啊？最大值呢？就是我现在，哎，不选择其中一个摆三个了，我让啊，这两列啊，都摆上三个，并不影响我的左视图吧，也没有影响你的俯视图吧，对吧？啊，所以我们现在在九的基础之上呢，又增加了两个，所以它最大值呢？是十一， 你学会了吗？好的，同学们，谁又在这种关于概念变式类的题上面给我做错了， 说的是不是你啊？今天老师呢，把这里线与角这常考到的啊，概念辨析类都给大家总结到这里了，我们一起来学习一下，期末拿掉啊，学会这三分，我们来看啊。现在呢，给了大家十种说法，关于线和角的一一去分析， 圈一过两点，有且只有一条直线没问题，对吧？两点就是确定一条直线，所以圈一是对的。 好，第二个，第二个非常非常高频考啊，你今天一定一定要记住，它说连接两点的线段叫做两点之间的距离，比如说，老师，看着没毛病呀，你来分析一下啊，这什么意思呀？说你连的这条线段叫什么呀？叫距离， 是线段叫距离吗？你距离应该说咱俩离多远，对不对？所以你应该说线段的长度啊，一定注意啊，这个，这原话说的是这个线段的长度 叫做距离啊，你说这条线段有五厘米长，代表这两个点呢？距离是五厘米，明白了吧？啊，这个一定要记住了，那么圈三两点之间线段最短没问题，这也是刚才给大家讲过的基本的原理啊。圈四在线段射线直线当中直线最长， 这是不是我说的刚才你总结的那个长度问题啊？注意，直线跟射线，你能用长度去度量我吗？ 啊？换句话，你能用多长多长就能限制住我吗？你并不能，我的长度是可以无限延长的 好不好？所以你进行长度比较的时候不能去比啊，因为它长度就是无限延长，你没法度量出来，你怎么去比较呢？所以圈字不对啊，因为射线跟直线啊，他你都不要去谈长度的概念了，他们都无限延长， 记住这一点好，那么五跟六是一样的啊，说画直线 ab 等于三厘米，你能给我画出一条直线是多长吗？你画不出来啊？好吧，一定注意，这是错的啊，我们 直线的长度是无限延长的，那它不可以被度量的，你能说画一条线段是三厘米啊？好，圈六延长直线 o a 来这条直线，还记得老师刚才讲过的吗？ 它有没有延长线？它有没有反向延长线？它木有啊，因为本身人家就是无限延长的，所以圈六也不对，圈七两条射线组成的图形是角。哎呦，我说老师没毛病啊，这不是两条射线 o a 和 o b 吗？ 你这个画的是对的，我们的定义是什么呀？我们定义是指的有公共端点的两条射线，对吧？你看，我随便给你画一条射线，这叫 o a， 这画一条射线叫做 b c， 他能组成角吗？显然不能啊，所以指的是有公共端点的两条射线组成图形，叫做角啊，加上公共端点来。第八个，说，角的大小呀，与边的长短是有关系的，有吗？ 换句话讲，这个还怎么去考？还去考你？我拿着一个放大镜，我去观察这个角，哎，这个角就被我放大了，对吗？一定注意。不对，它跟角的长短没有关系 啊，我脚的大脚跟我脚的扩张有关系。我很快给大家举一个反例，比如说呢？来，我们第八个的反例举到这。我说呀，我这里两条射线，你看现在呢，这个脚呢，大概扩张的是这个样子，对吧？我再把这个边啊给你写长一点。 这里还有个角叫做角，也是 a o b， 明显哪个角大呀？是不是我上面画的这个角一比下面这个角二更大一些，对吧？跟长短并没有关系。而且呀，我们说这个角的啊，角的一边是什么呀？是一条射线，它本身就是无限延长的呀， 对吧？跟长短并没有关系啊。来第九个，因为平角的两边组成了一条直线，所以一条直线就可以看成一个平角，有人又觉得没毛病了，这不就是吗？ 对吗？一定注意。不对，你怎么能把两个概念给我混为一谈呢？啊？这个概念叫做线，这个概念叫做角，线能变成角呀，啊？角能变成线呀，不对的啊，你只是你的眼睛看着像啊，为什么像呢？因为我说呢， 比如说老师画的这是一条直线，而角是什么呀？角是有公共端点的两条射线啊，所以我这里点个点叫做 o 啊，这里呢，有一条射线，叫做 o a， 这里有一条射线啊，叫做 o b， 只不过这两条射线呢，哎，互为反向延长线了。所以啊，我们刚好构成了一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，是不是同一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，说周角是一条射线，同理， 角跟线就不是一回事好不好啊，不能做一些对比啊。所以我们现在正确的只有圈一和圈三啊，只有两个，这道题选我们的 a 选项，好吧，你学会了吗？ 好，关于我们线与角这里的一种难点问题啊，就是我们的一个技术问题啊，小朋友们就记不明白了，没有方法。今天老师教给大家一个招，叫做什么呀？打枪法， 哎，我们就可以很快把这种技术问题呢搞懂。我们来看啊，铁路上的火车票啊，是根据两站距离的远近而设定的， 距离越远票价越高啊，符合我们的常识。那如图呢，这就是一条这个火车线路图， a、 b、 c、 d、 e 呢？是五个火车站。而且告诉我呢，每两站间的距离呀，都不一样 啊。问，这段铁路上一共有多少种不同的票价，票价是怎么规定的呀？人家说了，票价是根据我们这个两站之间的距离，那你就要看一看啊，每两站之间有多少种不同的距离，是不是就有多少种不同的票价， 那每两点之间的距离都不一样。所以这个题最终就被我转化成问啊，有多少条线段，就有多少种不同的距离，也就是多少种不同的票价了，对吧？其实这就是数线段问题啊。那么数线段问题呢？你看一看，我们现在是一二三四五， 有这样的五个点，怎么样去打枪呢？你想象一下，你站在这里啊，这每个点上的都有只小鸟，你去打他啊，你可以怎么打到你？首先二，这你是不是能打到一只小鸟，这里又打到一只，这里打到一只，这里打到一只，也就剩下的这四个点，你都会被打到一只小鸟，那一共是不是四只 啊？所以从 a 出发的 a、 b， a， c， a， d， a， e 啊，就是咱的四条线段啊。同理啊，你把枪放在这儿继续打小鸟啊，剩下的三个点都能被我打到， 然后呢？把枪放到这里是两条，然后把枪放到这，只能打到一这里一只小鸟了，加到一起呢，就是我们的十啊，所以我们数线段问题呢，十种不同的线段就对应十种不同的距离，也就是十种不同的票价。好，那么这题还没完啊，老师快速给大家来一个辨识。 现在呢，还有一种问法，不是问你票价了，而是问你车票， 我问你现在有多少种不同的车票？什么叫车票呀？大家都坐过车吧啊？车票上会写什么呀？会写你的这个出发地是哪里？你的目的地是哪里，对吧？比如说你从 a 出发，你要去 b， 那 你的车票呢？可能写的是 a 杠 b， 那反过来讲，你如果说，哎，从 b 出发，再回到 a 呢？那你的车票上写的是什么？是 b 杠 a？ 你 思考一下，这两种车票长得一样吗？ 长得一样吗？比如说我们从北京到上海，车票长的是啊，应该写的北京杠上海， 对吧？你从上海回北京呢？那应该是上海 to 北京两种不同的车票啊。所以我们如果给你改成车票问题了，你把这个线段数完呀，还没有完还得干什么？还得给他 double 一下，给他乘以二啊。因为 线段 a b 和线段 b a 你 在数线段的时候认为是同一条，但是我现在在这个描述票价的时候，它就不是一条了。 a 杠 b 和 b 杠 a 票价啊，这个，这个车票是两个。好吧，所以我们现在车票问题呢，就改成有二十张不同的车票了啊，这种问题你彻底学会了吗？ 好，今天给大家分享一道期末必考题，关于我们线段的计算问题啊，这种问题呢，一旦看到我们的题干之后，立刻想到我教你的题眼方法啊，怎么去做？说，点 c 是 线段 a c 的 什么中点？ e 是 线段 ab 的 中点，那我们来看一看啊，条件，在图上标一标 d， 如果是中点，说明这两条线段啊是相等的，然后我们的 e 呢，是 ab 的 中点 啊， e 是 ab 的 中点，说明我们的 ae 和我们的 b e 也是相等的。如果告诉咱， a c 比上 bc 等于什么呀？等于二比三啊，我这里写成二份，这里是三份。 好，一旦在看到这种问题，就是我教你的啊，解决的体验叫做什么呢？记住我们的大招啊，看到这种笔直赶紧给我干嘛？射出来 见比射参，射出来参数怎么去？射两份你就射成二 x， 三份就射成三 x。 好 吧，记住咱们的大招叫做见比射参，然后已知 c e 长的是十二。接下来让我们去求 d e 的 长度啊，求 d e 是 多长，这种问题怎么办啊？我们来教教大家解， 看到比值呢，我们来进行射啊，射 a c 长为二 x， 那 么所以我们的 bc 长就是什么呀，就是我们的三 x， 那 现在整个线段 ab 长，你是不是会表示了，对吧？所以我们的 ab 长就是等于 ac 加 bc， 二 x 加上我们的三 x 就是 五 x。 好 了，有了总长，你的终点啊，它分的一半的线段就都可以表示了，对吧？来，因为啊， d 是 线段 ac 的 终点，我就不抄了。 然后呢，又告诉咱们， e 是 线段 a b 的 中点。好吧，大家把这句话抄下来，有了中点之后呢，我们就可以来表示一半了啊， a d 就 会等于我们的 c d 等于啥？等于二分之一的 a c， 因为 a c 是 两个 x 啊，它的一半呢啊，就是一个 x， 同样的 a e 就 会等于 b e 的 一半，因为 ab 是 五个 x 呀，它的一半就是二分之五 x。 好吧，你看看啊，这里是 x x， 然后呢啊，这里是二分之五 x， 那 你已知的这个十二是不是可以用含 x 代数式来表示了？这样不就列出来方程了吗？对吧？因为 c e 啊， c e 啊，咱们知道是等于 a e 减 ac 的， 看图啊， 那等于什么？ a e 是 我们的二分之二 x， 那 减完是二分之一 x g 是不是得到我们的二分之一 x， 就是 这个十二，所以 x 求出来是二十四 x 求完还没完，人家让你求的线段 d e 的 长，那我们来看一下 d e 呢，是不是我们的 a e 减去 a d， 对 吧？所以最后我们要求的这个 d e 长呀， 就是 a e 减去我们的 a d， a e 呢，是咱的二分之五 x， 不 用着急算出来啊。 a d 呢，是我们的 x， 所以 是二分之三 x， 那 也就等于二分之三乘以我们的二十四， 约分十二乘以三三十六，所以我们的最后答案的定义呢，就是三十六啊。今天教你比较好的方法就是见笔设参，一旦在线段计算或者后面我们要的角度计算问题， 看到笔直之后，把我们这个分数给我设出来，就很快能解决了。好，这个题大家学会了，接下来先不要走，再来教你个更厉害的大招。这还是我们的什么问题啊，这个问题也有特征，什么呀？终点，终点，这叫什么呀？这是咱们的 双中点问题，双中点还有双角平行线，一定是我们线与角这一张期末必考的题，有非常好的大招让大家去学习啊！请记住老师四个大字叫做去重留半， 什么意思啊？后面再看到我们双中点问题，你就看一看 d 是 不是 ac 的 中点，把 ac 给我写在这， e 是 不是 ab 的 中点，你把 ab 给我写在这儿，接下来干什么？去重留半，你把重复的字母给我去掉。 哎，剩下留下了谁？留下了 b 和 c， 所以 留下的呢？取一半啊，就是二分之一的 bc， 这就代表我们双中点组成的线段长，因为 d e 是 这俩双中点，说明 d e 长呢，就会等于去重留半。哎， d e 就 等于二分之一的 b c， 超级好用这个大招，那接下来我们来验证一下。我们来看 bc 呢，是咱们设的三 x， 你 看二分之一乘以三 x， 不 就是二分之三 x 吗？在这呢对不对？所以这个结论一定成立啊！后面再看到两个啊，终点问题，如果这两条线段有公共的字母， 直接把公共字母去掉，留下的这两个字母取一半，就是两个终点之间的一个距离啊，你学会这个大招了吗？ 来分享一道我们的期末易错题，叫做我们的双中点问题。什么叫双中点问题啊？当我们后面看到啊，给你描述两个点，比如说 e、 f 是 按某两条线段的什么中点，这不就出现两个中点了吗？顾名思义，双中点问题。 还记得刚刚给大家分享的双终点问题的解析大招吗？请给我打四个字，叫什么？去重留伴，这个大招非常好用，一定要学会了。什么叫去重留伴啊？我们现在呢，因为 e 呀，是 a c 的 终点，你把 a c 给我写在这， f 呢，是 bc 的 中点，你把 bc 给我写在这，然后把重复的字母呢去掉，只留下谁了，只留下我们的 a b 了。所以现在啊，就能得到我们双中点之间的距离，就等于留下的一半，就是二分之一的 a b。 这题就已经做对一半啊，双中点问题很快啊，节省我们的时间，叫做两个中点之间的距离，就等于去重留半。好，既然等于二分之一 a b 了，那我们只需要算算 a b 是 多少， e f 是 几，就可以做出来了。 我们来看啊，现在告诉我的是点 c 啊，在直线 a b 上来，大家读题一定要会读关键词，把直线请给我赶紧勾出来， 在直线 a b 上，如果 a、 c 是 四厘米， b， c 是 六厘米啊，那我们就通过这两条线段长，你是不是得帮我确定一下 a b 长呀，一旦有了 a b 长， e f 不 就搞定了吗？那我们啊，画一下图试一试 这个问题呢，他是没给你画图的，对吧？所以接下来还记住老师教大家的一句话，在你的这个初中几何问题里面，给你的几何题没有画图，那百分之九十五以上都是要干嘛？分类讨论的，所以记住四个字，叫做无图有坑 就等着你往坑里跳呢啊，一定注意，没给大家图的大概率都是要进行分类讨论的，而且呢，也跟我们是一样，跟我们直线，这印证了，对吧？他并没有在线段上去限制你，而是在直线上限制这个让你自由的啊，去发挥，找那些点去让我们画一下图啊。说 a c 等于四， 先随便画吧，反正在这 a b 上呢， a c 是 个四厘米，对吧？ b c 呢是个六厘米。哎，你在找 b 的 时候，我现在好像就找到了不止一种 b 了， 为什么呢？因为我现在啊，可以在哎右边找一个 b， 让这是四厘米，这一边这是那个 b， c 是 六厘米，是不是也是可以的，对吧？所以用这样的两种情况，在这两种情况下，咱们要求的谁啊？先求 ab， 那 这个 ab 呢，就是四加六啊，是十厘米， 那么这个 ab 呢，是六减四啊，就是我们的二厘米，好吧，一个十，一个二，然后接下来我们去重留，什么留半呀，所以结果就是十二的啊，一半十的，一半是五，二的一半是一，所以这题选我们的四 d 选项 做出来啊，就会非常快了，请记住四个字，再来一遍，去重留伴，你学会了吗？好，继续啊，给大家分享一道我们的双角平行线问题，跟我们的双中点问题的解决方法是同理的，记住我的四个大字，大招叫什么啊？去重留伴啊，我们一起来看。 现在又告诉我，这个 o、 d、 o e 分 别是什么呀？分别是两个角的角平分线，对吧？所以你直接把这个角 a、 o c 写下来，把这个角 b、 o c 写下来，把重复的射线 o c 给我勾掉，就是剩下的这个角的一半，剩下了 a 跟 b。 那 你看你的 o a 跟 o b 组成谁啊？这是不是就组成我的角 a o b 了？好吧，用老师的结论啊，那现在两条角平分线组成的这个角 d、 o e 就是等于去重留半啊，就是等于二分之一的角 a、 o b。 有 了这个结论，简直不要太爽了啊，因为结论可以直接秒了，因为人家告诉你角 d、 o e 呢，是六十四度， 求谁啊？求这个角 a o b， 那 么 a o b 不 就是它的二倍吗？对吧？二倍一百二十八度，太简单了 好吧，啊，通过这个视频呢，老师给大家快速的证一下，为什么啊？会去重留半？我们来看啊，因为 o、 d、 o e 分 别是角平分线，如果是角平分线的话啊，那么这两个角相等，比如说我们都标为阿尔法，那如果 o d 是 我们的这个角平分线的话，这两个角相等，我们都标为贝塔。 好的，你看整个大的 a、 o b 是 不是两个阿尔法加上两个 beta 呀，对吧？哎，小的角 d、 o e 呢， 是不是一个阿尔法加上一个 beta 呀？所以它们之间一定会有一个角 d o e 等于角 a、 o b 的 一半啊，这是我们去重留半就是这样来的， 所以后面但凡在看到了双中点问题，还是双角平行线问题，直接把这两个线段或这两个角拿出来重复的勾掉啊，然后剩下的留一半，简称去重留半，你学会了吗？

初一的同学基本都已经学完了上学期最后一个单元，几何图形，初步认识这部分的内容，后台很多留言都说理解起来有难度，感觉学的不顺，所以接下来我们将开始更新几何部分的学习视频，考虑到时长问题，将分成多期视频来讲解。 如果觉得视频内容对你有帮助，记得点赞收藏，再按个关注，我们不断跟你们不断学。本期视频先来学习第一个模块，直线、射线和线段。在此之前，我们先来认识什么是点。 点是几何中最基本的图形，它没有大小，也没有长度、宽度和厚度，唯一的作用就是用来表示一个具体的位置，比如下面的这个小黑点，通常我们用大写字母来给点命名，比如点 a、 点 b。 值得注意的是，点可以帮助我们理解线是怎么来的。你可以想象，当一个点在平面上持续移动时，会留下一条连续的轨迹，这条轨迹我们就叫做线， 这就是点动呈现的直观体现。但要注意，在数学里，直线、射线线段的定义不是靠点怎么动，而是靠端点和延伸情况来确定，这样才严谨，也更方便做题。 基于这个理解，我们来看看什么是直线。先给结论，向两端笔直的无限延伸，没有端点的线叫做直线。比如下面这个图形就是直线。因为直线是双向无限延伸的，所以我们无法用尺子量出它的长度， 即直线不可度量。为了方便表示，一般用直线上两个点的大写字母来命名直线。比如在直线上分别取点 a 和点 b， 那就可以把这条直线叫做直线 ab。 又因为直线没有固定端点，两个点只是轨迹上的普通点，顺序不影响，所以它同样也能够被叫做直线 b a。 另外，直线也可以用一个小写字母来命名，比如直线 l。 好 了解了什么是直线，我们来看一下点和直线的位置关系。这是一个点，记作点 m。 这是一条直线，即做直线 l。 显然它们之间的关系只有两种，第一种叫做点 m， 在 直线 l 上，也可以说直线 l 经过点 m。 第二种叫做点 m， 在 直线 l 外，也可以说直线 l 不 经过点 m。 应该很好理解，给予这个知识点，我们可以来推导出关于直线的一个基本性质。已知点 m 在 直线 l 上，即直线 l 经过点 m。 那 请问这样的直线在平面中有多少条呢？答案是无数条， 这些都是符合条件的。而如果点 m 和另外一个与之不同的点 n 都在直线上， 即 l 同时经过点 m 和点 n， 那 这样的直线又有几条呢？答案是尤且仅有一条。 因为尽管单独经过点 m 和单独经过点 n 的 直线都可以有无数条，但是同时经过它们的直线就只有一条了，这就叫做经过两点，尤且只有一条直线，即两点。确定一条直线，这个经常在概念辨析中考到，一定要记住， 这就是关于直线的全部知识点。我们接着来看什么是射线，还是先看结论。直线上一点和他一侧的部分叫做射线， 这个点叫做射线的端点。比如这条直线上有一个点 a， 那 点 a 以及直线上点 a 左侧这部分的整体就是射线。同样点 a 及直线点 a 右侧这部分的整体也是射线。 可以看出，射线其实就是以某个点为端点，向一端笔直的无限延伸的图形。注意，只能往一端延伸，不能同时向两端延伸，这是它和直线的本质区别。 而因为它可以单向无限延伸，所以我们同样无法用尺子量出它的长度，即射线也不可度量。为了方便表示，可以在射线上再找一个点，然后利用这个点和端点一起就能表示出射线。比如 这条射线的端点为 a， 再找一个点 b， 那 它就叫做射线 a b。 注意，给射线命名的时候，一定要把端点写在前面，比如这里 a 是 端点，那就叫做射线 a b。 而如果是射线 b a， 就 意味着 b 才是端点， 他就是这样的一条射线了，两者完全不同。类似直线的命名方式，也可以直接用一个小写的英文字母来表示射线，比如直接记作射线小 a。 好， 这就是关于射线的全部知识点。 最后再来看看什么叫做线段，先看结论，直线上两点和两点之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。比如这条直线上有两个点 a 和 b， 那 点 a 点 b 以及 a 和 b 之间的这部分的整体就叫做线段。可以看出现段是有两个端点，并且只在这两个端点之间笔直延伸的图形， 他没有办法超出左右的这两个端点，所以存在固定的范围，我们就可以用尺子直接量出他的长度，这个长度就是线段的长度。 因为端点决定了线段的位置，所以我们一般用表示两个端点的大写字母来命名线段，比如这条线段就叫做线段 a b， 又因为从 a 到 b 和从 b 到 a 的 轨迹是同一段， 所以叫它线段 b a 也是正确的。当然，为了方便记录，也可以直接给他起一个小写字母的名字，比如线段小 a。 好 了解了线段的定义，再来看一下线段的性质。 首先，根据定义可以知道，线段一定是两个端点之间比值的连线，而连线两个端点还可以有各种不同的方式，比如这样、这样或者这样。但是显然只有当连线是比值的时候，长度才是最短的。 所以可以得出线段的第一个基本性质，两点的所有连线中，线段最短，简单来说就是两点之间线段最短。 其次，我们知道，对于直线来说，因为他本身就可以向两端无限延伸，所以并没有长度的概念，因此也就没办法再延长或者反向延长。 对于射线来说，他有一个端点，那就可以向有端点的这一侧进行反向延长，而没有端点的那一侧本身就是无限延伸的，所以不存在延长的说法。而对于线段来说，因为他被两个端点所限制，无法无限延伸。 但正因为如此，我们既可以将线段延长，也可以将它反向延长。所以尽管线段本身是没有方向的，从 a 点到 b 点和从 b 点到 a 点指的都是同一条线段， 但是线段的延长线和反向延长线却是有方向的。比如线段 ab 的 延长线和线段 ab 的 反向延长线表示的方向也是不同的。 接着来看一下线段中点的概念，对于这条线段 ab 来说，如果有个点 c， 将它分成了长度相等的两条线段 ac 和 bc， 那 么这个点就叫做线段 ab 的 中点。因此， ac 等于 bc 等于二分之一倍的 ab， 也可以说 a、 b 等于两倍的 a c 或者两倍的 b c。 这个概念理解起来不难，关键是在题目中遇到的时候要能够应用起来，后面做题的时候多留意。 关于中点，有一个地方非常容易出错，如果点 c 是 线段 a、 b 的 中点，那么 a、 c 等于 b c 没有问题，但反过来先告诉我们， a、 c 等于 b c， 让判断点 c 是 否一定是线段 a、 b 的 中点，这个结论就不一定了。如果 a、 b、 c 三点不在同一条直线上， 比如像这样，尽管 a、 c 等于 bc， 但此时线段 ab 都已经不存在了，那 c 点自然也就不可能是 ab 的 中点了。以上就是关于直线、射线以及线段基本概念的全部内容， 下面是关于这些内容的总结表格，你可以截图保存，多看多记。最后我们再来看几道简单的例题，快速回忆一下今天所学的内容。 第一题，下列说法正确的是哪个选项？射线 o a 和射线 o、 b 是 同一条射线，那对于射线的定义同学们已经清楚了，他有一个端点， 然后一边可以无限延伸吧。要判断两条射线到底是不是属于同一条射线的话，需要满足两个条件，第一个条件就是他们得有一个共同的端点，或者说起点。第二个条件，延伸的方向相同。 我们先来看射线 o a， 它的端点是这个 o 点，那延伸的方向哎，是沿这个方向的。再看射线 o b， 它的端点或者说起点也是 o 点，延伸的方向也是向这个方向吧，所以这里射线 o a 和 o b 呢，确实是同一条射线啊，那 a 选项就是对的， 是否为同一条射线，那么依据同学们一定要掌握好啊，有两个，首先看一下是否有共同的端点，第二个呢，要判断它们延伸的方向是否相同。再来看 b 选项，直线 a b 和直线 b a 不是 同一条直线，根据直线的定义， 它是可以向两边无限延伸的吧，所以直线并没有方向性。直线 a b 和直线 b a 其实表示的就是同一条直线啊，所以 b 选项是错的。 c 线段 o a 和线段 a o 不是 同一条线段。那么我们很清楚，线段 o a 和线段 a o 那 指的都是同一条线段啊， c 选项也是错的。 d 点 o， 它是在线段 a b 的 延长线上，线段 a b 指的是这条线段，那它的延长线呢，应该是在这个方向吧， 所以这里的点 o 呢，应该说是在线段 a b 的 反向延长线上，或者说点 o 呢，它在线段 b a 的 延长线上。哎，这么描述就对了啊，所以这个细节也需要同学们注意一下，那 d 选项也是错的，所以这道题的正确答案就是 a。 再来看第二题， 下列说法不正确的是哪个？先看 a 选项，可以延长直线 ab 到 c 点，那这句话肯定是错的啊，我们说直线，它是向两边无限延伸，不能度量的吧， 所以你怎么能说延长直线 a b 呢？那这个描述呢，就有错误。再看 b， 可以 反向延长射线 o a 到 b 点，那首先我们可以画出射线 o a， 现在要反向延长射线 o a 到 b 点，显然是可行的吧，比如说这个点就是 b 点， 所以 b 选项它是可以做到的。再来看 c 可以 延长线段 a b 到 c 点，使得 bc 等于 ab， 那 这个当然也是可行的。比如说我们先划出线段 a、 b， 延长 a b 到 c 点，满足 ab 等于 bc， 这个是可行的，所以 c 选项是对的。再来看 d， 经过两点又一条直线，并且有且只有一条直线，那这个 d 选项当然也是对的。前面我们讲过两点，确定一条直线， 所以这个 d 选项也是对的。那么这道题的答案也是选 a。 再来看第三题，已知点 c 是 线段 a、 b 上的一点， a、 c 等于十二， c b 等于三分之一倍的 a、 c， 所以 c、 b 的 长度就是三分之一，乘以十二等于四 点 d 和点 e 分 别是线段 a、 c 和 ab 的 中点，这个 d 点呢？它是线段 a、 c 的 中点。根据前面我们讲的线段中点的描述，那我们知道 a、 d 和 d、 c 这两条线段是相等的。同理，点 e 它是线段 ab 的 中点， 所以 a e 和 b e 这两条线段也是相等的。那第一个小问题，让我们求出线段 a、 e 的 长度，那显然这个问题非常简单啊，我们来写一下它的过程。因为 a c 等于十二， c， b 等于三分之一倍的 a c， 所以 就等于三分之一乘以十二 等于四。我们现在要求的是线段 a、 e 的 长度，那 e 呢？又是 ab 的 中点，也就是说 a、 e 它是等于二分之一倍的 ab 吧，所以我们只要把线段 ab 算出来即可啊，所以我们要求的这个线段 ab 呢，它就等于 a c 加上 bc， 也就等于十二加四等于十六点， e 是 ab 的 中点，所以 a e 等于二分之一倍， ab 也就等于二分之一，乘以十六等于八。这个计算上没有什么难度啊，但是一开始同学们在求这个线段长度的时候，一定要注意把它的解析过程写规范啊。第二个小问题，让我们求线段 d、 e 的 长度，要求这条线段的长度， 那这一条线段呢，它可以看作线段 a， e 减去 ad， 那 a e 的 长度刚才我们已经求出来等于八，所以假如我们能够算出线段 ad 的 长度就可以了吧。那这个 ad 当然求起来也很简单， 点 d， 它是 a c 的 中点，所以 a d 呢，它是等于二分之一的， a c 也就等于六。那我们也把这个过程简单的写一下，因为 d 是 a c 的 中点，所以 a d 等于二分之一，变成 a， c 等于二分之一乘以十二等于六， d， e 又等于 a， e 减去 a d， 所以 就等于八减六等于二。这个第三题我们就说完了，那希望通过这道题，同学们可以熟悉一下它的基本书写的过程。接下来我们再来看一下第四个小问题， 这是一道尺规作图的问题，让我们用无刻度的直尺和圆规画出一条线段。首先他给了我们三条线段 a， b， c， 让我们画出的线段呢，使二 a 加 b 减 c， 简单的来说一下他的做法。那第一步呢，我们先任意画一条直线，取一个点作为要做的这条线段的端点，假设叫做 a 点吧。第二步，我们以 a 为圆心，以小 a 的 长度为半径，画弧，交直线于 b 点。同学们看，那这样我们就在这直线上做出了一条线段， a， b 和小 a 的 长度相等。同样的办法，我们再画一条线段，让它的长度依然等于小 a， a， b 的 长度等于小 a， bc 也是小 a。 同学们看，这样我们就做出了一条线段，它的长度呢，是等于两倍的角 a 吧。那接下来呢？二 a 还要加 b， 所以我们继续以 c 为圆心，以小 b 的 长度为半径画弧，焦点记为 d， 那 c， d 的 长度就是小 b， 那 这样线段 a， d 的 长度它就是二 a 加上 b， 那 最后还要减去 c， 那 最后一步，我们就以 d 为圆心画弧，那这个焦点把它记作 e 点，所以线段 d 的 长度就是小 c。 所以 最终我们要求的这条线段呢， 其实就是 a、 e 的 长度啊， a， e 即为所求。那这道题我们只是大概说了一下它的思路，因为这个做起来其实非常简单啊，同学们可以自己动手，用直尺和圆规来做一下这一条线段。

作为七上数学的终极大 boss， 动脚问题排第二，没人敢说第一。题型多变不说，一会儿是射线旋转，一会儿是角平分线叠加。最让人头疼的就是藏在里面的分类讨论，稍不留意就会漏解，就算思路对了，最后还是拿不到满分。 很多同学都问我，有没有一招先的通用解法能搞定所有动脚问题？ sorry， 这还真没有。但是别慌，我们学习数学讲究的就是一个万变不离其宗，不管题型的核心逻辑都是相通的。 所以本节课汤姆老师将会用一个视频，五道经典例题，循序渐进，有浅入深，带你彻底搞懂动脚问题。如果对你有帮助，记得艾特一下你的学渣同学也来听一听。对了，千万不要忘了一键三连哦！搬好小板凳开课！ 所谓动角，简单说就是大小会发生变化的角，它和我们之前学的固定角是相对的概念。举个直观的例子，已知点 o 在 直线 a、 c 上，射线 o b 绕点 o 从 oc 位置开始，以每秒十度的速度逆时针旋转。 旋转前，角 b o、 c 等于零度旋转三秒后，角 b、 o、 c 等于十乘以三等于三十度。旋转十秒后，角 b、 o、 c 等于十乘以十等于一百度。那旋转 t 一 秒后呢？显然角 b、 o、 c 就 变成了十乘以 t， 我 们就用十 t 来表示。 可以看到，这个角 b、 o、 c 是 随着 ob 的 旋转而不断变化的，所以角 b、 o、 c 就 属于动角。 同理，角 a、 o、 b 也是动角，它可以表示为一百八十度减十 t。 这里有一个非常容易出错的点，需要同学们格外注意。上面我们说到，在射线 o、 b 旋转的过程中，动角 b、 o c 等于十 t， 对 吧？ 那是不是无论 o b 旋转多少角度，都可以用这个表达式来表示角 b、 o c 呢？ 当然不是，我们来看图，当射线 o b 从 oc 位置旋转到这个位置的时候，他转过的角度已经超过了一百八十度。此时我们说角 b、 o c 的 时候就容易有歧义， 到底是说这个角还是说这个角呢？就不太能分清了。为了规避这个问题，我们就规定在初中阶段研究的所有角度都是小于等于一百八十度的。 所以当射线 ob 转过的角度超过了一百八十度时，我们说的角 boc 就 表示的是下面这个角， 它是满足在零到一百八十度之间这个要求的。而此时角 boc 如果用 t 表示的话，就变成了三百六十度减去射线 ob 转过的角度十乘 t， 即三百六十度减十 t， 并且这时的角 aob 我 们也知道了，等于一百八十度减角 boc， 即十 t 减去一百八十度。 我们可以总结一下，对于上述动角问题来说，当 o b 的 旋转角度大于等于零度，并且小于等于一百八十度的时候，角 b o c 等于时辰 t。 角 a o b 等于一百八十度减去时辰 t。 而当 o b 的 旋转角度大于一百八十度，小于等于三百六十度的时候，角 b、 o c 则等于三百六十度减去时辰 t。 角 a o b 等于十乘以 t 减去一百八十度。 ok， 以上就是射线运动过程中动角的表示形式，我们来做两道基础的动角题型应用一下。先看第一题，他说 o 点在直线 a c 上，角 a o d 等于三十度， 这个角是三十度角。射线 o b 从 o d 出发，以每秒十度的速度逆时针转动， 有一条射箭 o b 从 o d 出发，是逆时针旋转，速度呢，是每秒十度。我们来标注一下， o b 是 从 o d 的 位置出发，逆时针转动速度 v 等于十度，每秒问多少秒后角 a o b 等于九十度。那首先我们来简单的模拟一下 o b 的 运动状态， o b 是 从 o d 的 位置逆时针转动，假设它转动到这个位置， 那根据刚才我们对于这个动角表达形式的描述，它转动的角度就应该是十 t 吧，每秒转动十度，那 t 秒就转动十 t。 看此时角 aob 就是 这个角， 那现在要让角 aob 等于九十度，所以这个 ob 呢，它就应该转动到这个位置。我们来算一下这个角 aob， 它是可以写成这个角 a o d 加上角 b o d 的 吧。于是我们就得到了这个三十度，加上十 t， 它是等于九十度的啊。这个角 b o d， 它转动的角度可以用十 t 来表示，这里是三十度，所以就得到了这个等式。那解出来这个 t 呢，它就等于六秒。那这道题结束了吗？哎，当然没有啊，它还有第二种情况，同学们看， 当这个 o b 它继续转转转，转动到这个位置，那么此时角 a o b 是 不是又变成了九十度啊？所以第二种情况下呢， 就是这个 o b 继续转转到了刚才的反向延长线上。为了区别一下，我们把这个叫做 b 撇，此时这个角 a o b 撇，是不是也满足等于九十度啊， 那这个时间 t 呢？也非常好求，我们只要在刚才的基础上继续转动一百八十度即可把刚才这个记作第一种情况，那么第二种情况下呢？那么这个十 t 就 等于一百八十度， 那为了区别一下，我们把它叫做 t 撇吧，算出来这个 t 撇等于十八秒，也就是说 o b 在 原来的基础上继续转动一百八十度，那需要的时间是十八秒，再加上刚才的六秒，此时的这个 t 呢，就等于 六加十八等于二十四秒。所以这道题一共有两个答案， t 等于六秒的时候和 t 等于二十四秒的时候，这个角 aob 都可以满足等于九十度。 第二题他说木条 abc 定在一起，角一等于一百二十度，角二等于五十度。木条 a 以每秒四度的速度绕着 a 点顺时针旋转一周， 这个木条绕着这个旋转点 a 顺时针旋转一周。求当木条 ab 垂直的时候， 旋转时间为多少秒。那这道题的题干呢？也很清楚，小 a 绕着这个 a 点顺时针转动，那要解决这个问题的话，我们先把它的垂直状态下的图像给他画出来。同学们看，这个木条 a 从原来的状态转动到这个位置，因为垂直，那这个角呢， 实际上是一个直角吧，这个木条 a 转动的角度就应该是这个角，它的速度是四度，每秒时间呢，可以设为 t， 所以 它的旋转角就应该是四 t。 那 接下来我们来看看这个角度能不能求，如果能求的话，这个时间 t 不 就出来了吗？怎么来求这个角呢？这里是一个平角吧， 也就是一百八十度，所以假设我们能够把这个角度算出来，用一百八十度减去它，是不是就得到了这个木条 a 的 旋转角啊？哎，这是一个思路，我们可以把这个角记作角三，那这个角三怎么求呢？好，我们来看这个已知条件，角一等于一百二十度， 所以这个角是不是也是一百二十度啊？因为他俩是对顶角，对顶角相等，我们又知道角二等于五十度， 这里又是一个直角，所以角二和这个小角是互余的吧。我们把这个小角记为角四，于是就得到了这个角二，加上角四，它是等于九十度的。那我们又知道角二是等于五十度，所以就能得到角四等于四十度， 角四等于四十度。刚才又说这个大角它是等于角一等于一百二十度的，所以也就得到了这个角三，它就应该等于一百二十度，减去四十度，那就等于八十度，角三等于八十度，那我们刚才这个旋转角不就等于一百度吗？ 哎，所以这样我们就得到了原来这个旋转角四 t， 它是等于一百八十度，减去八十度等于一百度， 算出这个 t 呢，它就是二十五秒，所以当 t 旋转二十五秒的时候，就能够满足这个木条小 a 和小 b 垂直吧。 那么继续看还有没有其他情况呀？当然有啊，同学们看，当这个木条 a 在 这一种状态下，它继续旋转，转转转一百八十度，是不是又能跟这个木条小 b 垂直啊？为了方便同学们的理解，我们可以把这个木条转呢看成一条 射线的转动，我用这个颜色来表示，那这是第一种情况，那第二种情况下呢？哎，这根木条他转到了这个位置，同学们看， 在这种状态下，这个木条 a 依然和这个木条 b 是 垂直的吧。所以这道题和我们刚才那个第一题呢，是非常像的啊。我们把 这个叫做第一种情况，那第二种情况呢，就是这个小木条他在转动一百八十度，那他的旋转角依然可以用四 t 来表示啊，也就是四 t 等于一百八十度， 算出这个 t 他 是等于四十五秒，我们把这里叫做 t 撇， t 撇等于四十五秒， 也就是说，在原来的基础上，他继续转动四十五秒，又能得到 ab 两个木条垂直。所以第二种情况下，这个时间 t 他 就等于二十五，加上四十五也就等于七十秒。 所以这道题呢，也是有两个答案， t 等于二十五秒和 t 等于七十秒，都能够满足木条 ab 垂直。 这两道题做完，是不是感觉貌似动脚问题也不是很难吧？别高兴太早，要是真这么简单，人家就不是大 boss 了。接下来咱们加点难度，再引入一个知识点，角平分线 还是看前面的问题，他说在射线 o d 始终平分角 b o c， 然后让我们求角 b o d 的 大小，这时候又该如何处理呢？我们一起来分析。显然还是需要分两种情况。第一种情况，当 o b 旋转的角度大于等于零度，小于等于一百八十度时， 因为角 b、 o c 等于十 t， 根据角平分线的性质，角 b o d 等于二分之一倍的角 b o c， 即二分之一乘以十 t， 最终等于五 t。 第二种情况，当 ob 旋转的角度大于等于一百八十度，小于等于三百六十度时， 因为角 b、 o、 c 等于三百六十度减十 t。 根据角平分线的性质，角 b、 o、 d 等于二分之一倍的角 b、 o、 c 即二分之一，乘以括号，三百六十度减十 t， 最终等于一百八十度减五 t。 我 们再看两道包含角平分线的动角问题，难度比前两题大了不少，千万别分心。点 o 是 射箭 o b 上的一点 点， p 是 射线 o a 上的一点角 b、 o、 c 等于一百度，所以这个角就是一百度。射线 op 绕点 o 以每秒十度的速度逆时针旋转一周，这个射线 op 是 绕着 o 点逆时针旋转的啊，速度呢，是十度每秒 o d。 平分角 b o p 旋转时间即为 t 秒。啥意思呢？我们来简单说明一下。比如说，当这个 o p 转到这个位置，那 o d 作为这个角 b、 o p 的 平分线差不多就在这个位置。 先来看第一个小问题，当 o p 恰好为射线 o c 的 反向延长线时，求时间 t 等于多少？那我们知道 o c 在 这里，它的反向延长线 就是这条线，那 o p 转到这个位置的情况下，让我们求这个时间 t。 这个第一小段还是比较简单的啊。 o p 的 转动速度我们已经知道了，它是十度每秒， 旋转的时间即为 t 秒，旋转的角度就是十 t。 那 当它转到 o c 的 反向延长线上时，显然这个角和这个角是相等的吧。此时这个十 t 呢，它就是一百度 t， 解出来也就是十秒，所以这个第一空就是十秒。再来看第二个问题，若角 cop 等于角 p o d 的 时候，让我们求时间 t， 那 么这个第二问呢，是需要进行分类讨论的啊。我们先简单的分析一下这个 op 的 运动状态，同学们看 op 的 位置它是不停的在变化的吧，所以这个角 cop 呢，它的角度也是在变化， 比如说当 o p 它就转到这个位置的情况下，那么角 cop 就是 这个角，那这个角度呢，它就可以写成这个八十度加上十 t 吧，那此时角 p o d， 它就是这个角，也是可以用含 t 的 表达式写出来的。但是请大家注意了， 随着这个 o p 不 断的旋转旋转，当它转到这个位置，再往后的话，这个 cop 它就变成了这个角了吧，我们刚才用八十度加上十 t 的 这个表达式就不成立了啊，所以接下来这个位置就是我们分类讨论的临界点， 那我们知道这个角是一百度，刚才第一问我们已经知道了， o p 转到这个位置的时候呢，是需要十秒的吧，所以第一种分类的情况也就确定了，当这个 t 大 于零， 小于等于十秒，在这种情况下，我们来看一下是否能找到满足这个条件的时间 t。 为了方便大家的理解，我们重新画一个图啊，同学们看，那此时角 cop 就是 这个角度，角 p o d 呢，就是这个角度。哎，显然这两个角看起来是有可能相等的吧。那接下来呢，我们就用含 t 的 表达式，分别把这俩角都写出来，角 c o p， 显然它是可以写成角 a o c 加上角 a o p 的 吧，也就等于八十度加上十 t， 对 吧？刚才我们说这个 o p 的 速度是十度每秒的运动时间 t， 所以 这个角度就可以写成十 t 啊。 这样的话，我们就把角 cop 给它写出来了。再看角 p o d， 角 p o d， 在 这里 我们又知道 o d 是 这个角的角平分线，所以这个角 p o d， 它是等于二分之一倍的角 p o b， 那 p o b 又可以写成这个一百八十度减去角 a o p 吧，这样的话，这个角 p o d 也就能写出来了啊。角 p o d， 它是等于 二分之一倍的角 p o b， 那 角 p o b 又可以写成一百八十度减去角 a o p， 也就是一百八十度减去 十 t。 那 整理一下这俩等式，就能得到这个角 p o d， 它是等于九十度减去五 t， 这样我们就把这个角 p o d 也用很小 t 的 表达式写出来了。那最后因为这俩角相等，也就能够得到 八十度加上十 t 等于九十度减去五 t， 那 解出来这个 t 呢？等于 三分之二秒。好，那这个三分之二呢？确实在零到十秒这个范围内。接下来的情况呢？前面我们已经讲了，当这个 o p 转到这个位置的情况下，继续往后转， 这个角 cop 的 表达式就需要变化了吧，那大概这个 o p 转到这个位置 o d 呢？大概在这个位置， 那此时角 cop 和角 p o d 也可能出现相等的情况吧。这里必须要提醒一下这个中间态，同学们一定要自己动手去画一下，这个是我们解决分类讨论非常重要的一个能力，一定要学会自己动手画图， 同学们看，在这种情况下，这个角 cop 和这个角 p o d 是 不是也有可能出现相等的情况下啊？那这个就是第二种情况啊。当 t 大于十秒，小于等于三十六秒，此时角 cop 又该怎么表示呢？这个角 cop， 它是可以写成角 boc 减去角 bop 吧，那这个角 bop 呢？又可以写成这个大角减去一百八十度， 对不对？因为我们这个 o p， 它是从这个位置出发，一直旋转到了这个位置啊。 ok， 那 这样我们就可以先写一下角 p o b， 它是等于十 t 减去一百八十度，看，十 t 就是 这个角度，那减去这个平角一百八十度，是不是就是角 p o b 的 度数啊？角 c o p 呢？又可以写成角 b o c 减去这个角 p o b， 那这样我们就得到了角 cop， 它是等于角 cop 减去角 pob， 整理一下这个表达式就得到了。这个角 cop， 它是等于二百八十度减去实体， 这个 cop 的 表达式已经有了。那再来看这个角 p o d， 那 p o d 就 简单了，因为 o d 始终平分角 p o b， 所以 p o d 就 等于这个角的二分之一啊。 角 p o d， 它是等于二分之一倍的角 p o b， 整理一下，也就是五 t 减去九十度， 这样角 p o d 的 表达式也有了。那最终因为这俩角相等，所以二百八十度减去十 t， 就 等于五 t 减去九十度， 解出来这个小 t 呢，它是等于三分之七十四秒。最终这道题的答案呢，就是 t 等于三分之二和 t 等于三分之七十四秒。这两种情况下，哎，都是符合要求的啊， 这道题我们就给他说清楚了，同学们一定要记得自己在做题的时候，一定要动手去画一下这个中间态，那有同学说，这个 o p 在 这个位置的时候，或者说在这个位置的时候可不可以啊？哎，你要自己动手去画一下， 除了这两种情况下，在其他位置的时候，都没办法能找到满足条件的这两个角。 第四题，他说 o 点是直线， ab 上的一点角 c o d 是 直角，所以这里是一个九十度的角， o e 平分钝角 b， o c 是 这个钝角的角，平分线 角 a o c 等于三十度角 c o d 绕着 o 点以每秒五度逆时针旋转， t 秒 t 的 范围呢，是在零到三十六度。同学们看这道题和我们前面讲的那个题型呢，稍有不同， 他讲的是这个直角绕着这个 o 点开始逆时针旋转吧，我们前面讲的都是射线绕着某一点旋转。问，在旋转的过程当中，角 a、 o c 和角 d、 o e 之间的数量关系，这个角 和这个角之间的数量关系。那有了前三题的铺垫，我相信大多数同学在做这道题的时候，应该会有一个大概的思路，要想探究这两个角之间的数量关系，肯定是要用含 t 的 表达式 把这两个角都给他表示出来，因为这个角度他都是在变化的啊。那么具体应该怎么表示呢？下面我们一起来分析一下。首先题干当中给到的是这个角绕着 o 点，然后每秒五度逆时针旋转， 那显然角度旋转这个过程是比较抽象的吧，我们要把它变成我们熟悉的形式， 所以对于这个条件，我们可以把它转化成 o c 和 o d 这两条射线的旋转，所以射线 o c 旋转的速度 v c， 它就是五度每秒，射线 o d 旋转的速度也是五度每秒，那方向呢？都是逆时针啊， 这是第一个细节，同学们需要注意的。再来看第二个细节，他说这个旋转的时间 t 是 在零到三十六度吧，这个条件又有什么用呢？ 同学们看 oc 的 速度是每秒五度，所以旋转三十六秒。那么显然这个 oc 呢，它的最大旋转角度就是 一百八十度，相当于告诉我们射线 o c 转到这个位置以后就停止，那同理，射线 o d 最大的旋转角度也是一百八十度。 那接下来我们就来看看具体的在旋转的过程当中，这个角 a o c 和角 d o e 大 概是如何变化的啊？那这里又需要同学们去模拟一下这两条射线运动的中间状态。 比如说我们看射线 o c， 假如它运动到这个位置，那 o d 始终跟它垂直，所以 o d 大 概在这里，这个角还是九十度，那 o e 呢？同学们看 o e 是 角 b o c 的 角平分线， 并且这个角 b o c， 它始终是一个钝角吧，所以 o e 大 致应该在这个位置，这个细节非常关键。同学们看角 c o e 大 致应该在这个位置。这个细节非常关键。同学们看角 c o e 大 致应该在这个位置。这个细节非常关键。同学们看角 c o e， 所以它的角度一定是小于九十度的，那 o d 是 和 o c 垂直的，所以 o e 大 概就在这个位置啊，在 o d 的 左边，那此时角 a o c， 它就应该是这个角，它的旋转角度呢， 可以用五 t 来表示吧，旋转的速度是五度，每秒时间 t， 所以 旋转的角度就是五 t， 那角 d o e 呢？就是这个角，这个角度呢，也是可以用含 t 的 表达式来写的吧。同学们看，我们可以写成九十度减去这个角 c o e， 因为这个 c o e 是 等于 c o b 的 一半，那 c o b 是 可以写成一百八十度减去角 a o c 吧。那通过刚才的分析，我们知道这俩角都是可以用含 t 的 表达式来写的吧，这样我们就完成了第一阶段的分析。那接下来同学们继续看， 当这个 o c 继续旋转，一直到它转到 o a 的 这个位置，再往后转的话， 比如说 o c 转到了这个位置，现在角 a o c 就是 这个角度了吧，那这个角度它就不再是这个三十度减去五 t， 而是五 t 减去三十度了吧。也就是说这个 o a 就是 oc 在 旋转过程当中的临界状态，只要突破 oc 的 位置，再往后这个角 a o c 的 表达式就要发生变化了。我们再来看一下 o d， 那 o d 呢？它就跑到这个位置， 那此时角 b o c 就 变成了这个角，所以 o e 的 位置大概在这里，显然这个角 d o e 的 表达形式也发生了变化吧。 那经过刚才的这个分析呢，我们基本上就已经找到了接下来分类讨论的标准。同学们看，当 o c 从这个位置转到这个位置转动了，是三十度，他的速度呢，是每秒五度，所以他转到这个位置需要的是六秒。 所以这道题的第一种情况就应该是当时间 t 大 于零，小于等于六秒的时候，此时角 a、 o c， 它是等于三十度减去 五 t。 同学们看角 a、 o c 是 不是等于这个三十度减去它的旋转角度啊？那这样我们就有了角 a、 o c 的 表达式。再看角 d、 o e， 我 把这里面多余的两条线段先给它擦掉啊。同学们看， 此时角 d、 o e 应该是这个角，那这个角呢？前面我们说了，可以写成这个直角减去角 c、 o e 吧。具体我们来写一下啊。 角 d o e， 它是等于九十度减去角 c o e。 我 们又知道 o e， 它是角 c o b 的 角平分线， 所以角 c o e， 它是等于二分之一倍的角 c o b。 也就等于二分之一倍的一百八十度减去角 aoc。 角 c o b， 它可以写成这个一百八十度减去角 a、 o c。 化简一下，它就变成了九十度减去二分之一倍的角 a o c。 那 角 a o c 又等于三十度减五 t， 所以 它就等于七十五度加二分之五倍的小 t， 对吧？因为角 a、 o c 是 等于三十度减五 t， 那 二分之一倍的角 a、 o c 就是 十五度减去二分之五 t， 那 九十度减去这个角，整理一下，它就变成了七十五度加二分之五 t。 有 了角 c、 o e 的 表达式，那这样我们就能得到这个角 d o e， 它就等于十五度减去 二分之五倍的小 t。 现在同学们再来观察，角 a、 o c 是 等于三十度减五 t， 角 d o e 是 等于十五度减二分之五 t。 显然在这种情况下，我们就得到了角 a o c， 它是等于两倍的角 d o e。 那 接下来我们再来看第二种情况，那第二种情况呢？就应该是当 t 大 于六秒，小于三十六秒的情况啊。我们先把这个草图先画出来，同学们看， 此时角 a o c 就是 这个角度，那这个角呢？我们就可以用这个大角减去三十度吧。那这个大角其实就是射线 o c 的 旋转角，也就是五 t， 所以 角 a o c， 它就是五 t， 减去三十度。再看角 d o e， d o e 就是 这个角。 那这个角呢？我们可以看成两部分，可以写成这个九十度，加上角 coe 吧。这里我们写一下角 d o e， 它就等于九十度， 加上角 c o e c o e 是 这个角。因为 o e 是 角 b o c 的 角平分线，所以角 c o e， 它是等于二分之一倍的角 c o b。 那 c o b 又可以写成 一百八十度，减去这个角 aoc， 所以 它就是二分之一倍的括号。一百八十度减去角 aoc， aoc 的 表达式我们已经写出来了，只要把它带进去啊， c o e 的 表达式就有了，那 c o e 的 表达式有了角 d o e 也就能写了。整理一下这个角 d o e， 它就等于一百九十五度，减去 二分之五倍的小 t， 我 们再来对比一下这两个角。角 a o c 是 五 t 减三十度，角 d o e 是 一百九十五度，减二分之五 t。 对 比一下这两个表达式的形式， 我们就能得到角 a o c 加上二倍的角 d o e， 它是等于三百六十度的啊。 同学们看，我们把它扩大两倍，它就变成了三百九十度，减去五 t， 它俩一相加是不是就等于三百六十度啊？那第二种情况下，这俩角的数量关系呢？就应该是角 a、 o c 加上二倍的角 d、 o e 等于三百六十度。 这道题我们就说清楚了啊，同学们注意消化一下我们刚才对于整个细节的分析啊，因为这道题当中的 o d、 o c、 o e 都是在变化的， 那解析的核心呢，就是要找到这个 o c 旋转过程当中的临界状态。因为临界状态一旦确定，那么我们就可以用含 t 的 表达式，把这里的动角 a、 o c 和动角 d、 o e 的 形式都给它写出来。 通过前面四道题的训练，我相信大多数同学对于动角问题的处理方法一定有一些思路了。接下来继续提高难度，把前面引入的角平分线换成角的等分线， 比如还是前面的问题。不过在射线 o b 旋转的过程中，射线 o d 变成了角 b、 o c 的 四等分线，这时候角 b、 o d 的 大小又等于多少了呢？ 首先同学们要明确， o d 是 角 b、 o c 的 四等分线，其实对应的有两种情况，一种是 o d 更靠近 o b 边，另一种是 o d 更靠近 o c 边。 再结合， o b 旋转的角度大于一百八十度和小于一百八十度，也需要分两种情况。所以我们分析角 b、 o d 的 大小时，就需要分四种情况来讨论。首先，当 o b 的 旋转角度时，就需要分四种情况来讨论。首先，当 o b、 o d 的 大小时，就需要分四种情况来讨论。首先，当 o b、 o c 等于十 t， 如果此时 o d 是 更加靠近 o b 边的四个分线，则角 b、 o d 比上角 c、 o d 等于一比三，所以角 b、 o d 等于四分之一倍的角 b、 o c 也就等于二点五 t。 而如果 o d 更加靠近 o c 边，则角 b、 o d 比上角 c、 o d 等于三比一， 所以角 b、 o d 等于四分之三倍的角 b、 o c 也就等于七点五 t。 其次，如果 o b 旋转角度在一百八十度到三百六十度之间，角 b、 o c 等于三百六十度减十 t， 那 么当 o d 更靠近 o b 时，角 b、 o d 就 等于四分之一倍的角 b、 o c 也就等于九十度，减去二点五 t。 相反， o d 更加靠近 o c 时，角 b、 o d 就 等于四分之三倍的角 b、 o c 也就等于九十度，减去七点五 t。 ok， 这就是含有角的等分线的动角问题。很显然，一旦引入等分线，需要我们考虑的情况就会明显增加，难度也就一起提升了，大家一定要注意做好分类讨论。最后，再来看一道涉及等分线的例题， 这道题一共有三个小问，我们分别来看一下。先看这个第一问，他说，如图，角 aob 等于四十度，若角 aoc 等于三分之一倍的角 boc， 求角 boc 的 度数。面对这样的问题，同学们一定要自己动手去画一下。那这里呢？实际上是有两种情况， 第一种情况就是 o c 在 角 a、 o b 的 内部，这种情况下，角 a、 o c 有 可能是角 b、 o c 的 三分之一吧，那么我们把它设为 x， 那 角 b、 o c 的 大小呢？就是三 x， 相当于这个 o c 就是 角 a、 o b 的 四等分线。那简单的计算一下， x 加上三 x 是 不是等于四十度啊？ 所以算出 x 就 等于十度，所以在这种情况下，角 boc， 它就是三十度。那第二种情况呢？哎， o c 还可以去角 aob 的 外面，那也有可能存在角 aoc 等于三分之一倍的角 boc 吧，这个角 它是这个角的三分之一，所以我们把它设为 x， 所以 这个角 aob， 它就应该是二 x。 那 么在第二种情况下呢，我们就得到了二 x 等于四十度，所以 x 是 等于二十度，角 boc 它就等于六十度。所以这个第一小问呢，有两个答案， 三十度，六十度，都是符合要求的。下面我们再来看一下第二小问呢，有两个答案，三十度，六十度都是符合要求的。下面我们再来看一下第二小问呢。图形看起来比刚才要复杂一点啊，但是难度并没有大多少。 他说角 a o c 等于二十度，这个角是二十度， o m 是 角 a o b 内部的一条直线 o m。 在 这里 o n 是 角 m o c 的 四等分线， 且三倍的角 c o n 等于角 n o m。 哎，这个条线非常重要，我们来看一下什么意思，他说 o n 这条射线呢，是角 m o c 的 四等分线，并且 三倍的角 c o n 等于角 n o m。 根据前面我们对于角的等分线的理解，这里我们把角 c o n 设为 x， 那 角 n o m， 它就是三 x。 求四倍的角 a o n 加上角 c o m 的 大小。好，我们来看一下，角 a o n 呢，是这个角，那这个角，显然它是可以写成 a o c 减去角 c o n 吧。 角 a o n， 它是等于角 a o c 减去角 c o n， 也就是二十度。减去 x。 我 们再来看一下这个角 c o m。 那 角 c o m 指的是这个大角，那这个角它不就是这个角，加上这个角，也就是四 x 吧。所以这个角 c o m， 它就等于角 c o n 加上角 m o n 等于四 x。 现在我们把这个角 a o n 还有角 c o m 都用含有 x 的 表达式写出来了吧，所以这样我们就得到了四倍的角 a o n 加上角 c o m， 它就是 八十度，减去四 x， 再加四 x， 结果就等于八十度。所以这个第二问，只要同学们理解了四段分线，然后设 x， 把这两个要求的角都给他表示出来，那最终就能算出这两个角的和，哎，他就是一个定值啊，八十度。 接下来我们再来看这道题的第三问，这个第三问还是比较复杂的，因为接下来在解决这个问题的过程当中，我们需要分多种情况进行讨论。他说角 a o c 等于二十度，这个角是二十度。这里说明一下，角 a o b 始终是等于四十度啊。这个是前面题干当中给到的条件， 射线 o m 绕着 o 点，从 ob 开始，以五度每秒的速度逆时针旋转一周，直到 ob 结束。什么意思呢？有一条射线 o m， 它是从 ob 的 位置 逆时针旋转，哎，旋转一周，速度是每秒五度。在旋转的过程当中，射运动的时间为 t o n 是 角 m o c 的 四等分线，且三倍的角 c o n 等于角 n o m。 我 们来理解一下这句话，比如说假设 o m 转到了这个位置， 那角 m o c 就是 这个角，他说 o n 是 角 m o c 的 四等分线，并且三倍的角 c o n 等于角 n o m， 那 o n 大 致就在这个位置，这里就是角 c o n， 这个就是角 n o m。 根据前面我们对于这个角的等分线的理解， o n 这条边肯定是更靠近 o c 的， 对吧？当 t 在 某个时间范围内， 四倍的角 a o n 加上角 b o m 会是一个定值，让我们写出这个定值，并且指出对应的时间 t 的 范围。通过前面几道题的讲解，我相信大多数同学在做这道题的时候，应该会有一个大方向了。要想求出这两个角的和是不是一个定值， 那首先我们需要想办法把这个角 a o n 和角 b o m 都用含 t 的 表达式给它写出来吧。要想写出这两个角的表达式，那我们就得仔细的去分析一下 当这个射线 o m 在 运动的过程当中，这个角 a o n 和角 b o m 的 位置，下面我们一起来分析一下。角 b o m 指的是这个角 o m 的 速度是每秒五度， 经过时间 t， 它的旋转角就应该是五 t 角 a o n 是 这个角，怎么表示这个角呢？ o a， 它是一条固定的射线，所以这个角的大小它是由这个射线 o n 决定的吧。 那我们知道，在这个 o m 旋转的过程当中，这个射线 o n 的 位置也会发生变化，因为它始终要保证是这个角 c o m 的 四等分线。 比如说当 o n 在 这个位置的情况下，那这个角呢？我们就可以写成角 a o c。 减去角 c o n， 那 c o n 它又是四分之一倍的角 c o m c o m 又可以用这个六十度减去这个五 t， 所以这个角 a o n 它一定是可以用含 t 的 表达式写出来的吧。但是同学们继续看，随着这个 o m 不 断的旋转，直到这个射线 o m 它旋转的位置突破这一条射线，比如说 c m 转到了这个位置， 同学们看，那现在角 b o m 就是 这个角，这个角依然可以用五 t 来表示吧，但是这个 o n 的 位置就已经发生变化了。 同学们看， m o c 就 变成了这个角，那 o n 作为它的四等分线，还得要保证三倍的角 c o n 等于角 n o m， 那 o n 大 致就跑到了这个位置。在这种情况下，角 a o n 是 不是就变成了这个角了呀？此时这个角的表达式就已经发生了变化吧，它就应该变成这个角加上这个角了。所以我们会发现， 当 o m 旋转的角度大于六十度以后，角 b o m 的 表达式没有发生变化，但是角 a o n 的 表达式已经发生了变化啊。这样的话，我们第一种分类情况其实就已经出来了。那为了后面方便同学们的理解，我们可以把这个 o m 旋转的角度 用字母阿尔法来表示。那第一种情况就应该是，当这个阿尔法角在零到六十度之间， 这个 o m 的 速度是五度每秒，对应的旋转时间就应该是零到十二秒。那接下来我们就来看一下 t 在 这个时间段内，角 a o n 和角 b o m 的 表达式怎么写。 我把这个图重新画一下，看起来有点乱，同学们看，我们可以先把这个角 b o m 写出来，因为它是比较好写的，它的速度是五度每秒，那时间 t 内它转动的角度就是五 t， 角 b o m 就 等于五 t。 再看角 a o n， 那 这个角呢？我们可以写成角 a o c。 减去角 c o n， 那 角 a o c， 我 们是知道的，它是等于二十度。角 c o n 呢，它是等于四分之一倍的角 c o m 吧。角 c o n 等于四分之一倍的角 c o m， 那 角 c o m， 我 们又知道，可以写成六十度，减去五 t， 也就等于四分之一倍的括号，六十度减去五 t。 整理一下这个表达式，我们就能得到，角 a o n， 它是等于五度，加上四分之五 t。 角 b o m 的 表达式有了，角 a o n 的 表达式也有了，所以就能得到 四倍的角 a o n。 加上角 b o m， 它是等于二十度加十 t。 显然在零到十二秒这个范围内，这个四倍的角 a o m 加 角 b o m， 它的值不是一个定值吧。那下面我们再来看第二种情况。这个第二种情况下呢，我们要讨论的就是，当 o m 旋转的角度在六十到一百八十度之间， 那为什么是在六十度到一百八十度之间呢？刚才我们已经说过，当 o m。 旋转的角度突破这个六十度以后，角 a o n 的 表达式就会发生变化吧。当射线 o m。 旋转的角度突破了这个一百八十度，比如说 o m 转到了这个位置， 那么此时角 b o m， 它就是这个角嘞。那这个角的表达式，它就不再是刚才的五 t 了吧。 所以接下来我们讨论的第二种情况呢，这个旋转角阿尔法，它只能在六十到一百八十度以内， 因为在这个时间段内，角 b o m 以及角 a o n， 它们的表达式都是统一的啊。那那个时间 t 呢？我们来算一下，就应该是 大于十二秒，小于等于三十六秒。此时角 b o m， 它的表达式依然是五 t， 因为 om 旋转的速度是五度每秒，那时间 t 内它转动的角度就应该是五 t。 角 a o n 呢， 它就是这个角，那这个角呢？它就可以写成角 a o c 加上角 n o c a o c， a o c 还是二十度。 角 a o b 还是四十度。角 a o n， 它就等于角 a o c 加上角 c o n， 这个角依然是二十度。那么角 c o n， 我 们说它始终是等于四分之一倍的角 m o c， 那 现在这个角 m o c， 它就变成了这个角 b o m 减去这个六十度了吧，所以它就等于 四分之一，括号五 t 减去六十度。连立这两个等式，我们就能得出要求的。这个角 a o n， 它的表达式 就等于五度，加上四分之五 t b o m 的 表达式有了，角 a o n 的 表达式也有了。所以 四倍的角 a o n 加上角 b o m， 它就等于十 t 加二十度。所以当 t 在 十二到三十六这个时间段内，四倍的角 a o n 加上角 b o m， 它们的和依然不是一个定值半。 那这样我们把第二种情况也就说清楚了。接下来我们再来看第三种情况。第三种情况下，这个旋转角阿尔法，他就在一百八十度到二百四十度之间，也就是说 o m 在 这个角度内旋转。 下面我们来重点解释一下二百四十度这个临界值又是怎么得到的？那其实逻辑跟前面是一模一样的。刚才我们讲过，当射线 o m 转到了这个一百八十度的下面，也就是说它的旋转角度超过了一百八十度，那么角 b o m 就 变成了这个角吧。这个角的表达式呢， 和刚才一百八十度以内的是不一样的了。比如说我们要求的这个角 b o m， 在 这个状态下，它就可以写成 这个周角三百六十度，减去它的旋转角五 t， 而且随着这个 o m 不 停地往后旋转，直到和 o b 重合，这个角度的表达式 都不会发生变化。那么为什么还要分二百四十度这个区间再讨论呢？哎，原因就是角 c o m 的 表达式发生了变化。这个就是这道题最难的一个部分， 我们在考虑分类讨论的时候，是需要同时去思考这两个角度的形式是否都统一。接下来角 b o m 的 表达式虽然统一，但是这个角 c o m 它是会发生变化的呀。同学们看， 当 o m 旋转的位置只要突破了这个二百四十度，比如说 o m 转到这里来了，那么角 c o m， 它就变成了这个角，那显然它的表达是又要发生变化了。 角 c o m 的 表达式发生了变化，那么角 c o n 的 表达式就发生了变化。角 c o n 的 表达式发生了变化，那么角 a o n 的 表达式是不是就发生了变化呀？ 所以这就解释了为什么第三种情况下，我们讨论的 om 旋转的范围呢？它是在一百八十度到二百四十度之间，只有在这个区间内同时满足角 b o m 和角 c o m 的 表达式都是统一的。 此时角 b o m， 也就是这个角，它是可以写成这个三百六十度，减去它的旋转角吧？那这个旋转角始终等于五 t 吧，所以角 b o m 就 等于三百六十度减去五 t， 角 a o n， 它就等于角 a o c 加上角 c o n， 对 吧？这个角等于这个角度，加上它，角 a o c 依然是二十度。那角 c o n 呢？ 同学们看，它始终等于四分之一倍的角 c o m， 角 c o n， 它是等于四分之一倍的角 c o m， c o m。 这个角度呢，我们可以用这个五 t 减去六十度吧，等于四分之一，括号五 t 减去六十度。 那整理一下这两个等式，就能得到角 a o n， 它是等于五度，加上四分之五 t。 角 b o m 的 表达式有了，角 a o n 的 表达式有了，所以在这个范围内， 四倍的角 a o n 加上角 b o m， 它们就等于四括号五度加上四分之五 t， 再加上三百六十度， 减去五 t， 哎，整理一下，发现刚好等于三百八十度。当阿尔法角的旋转角度在一百八十度到二百四十度之间，此时这个时间 t 就 应该是大于三十六秒，小于等于四十八。 在这个时间段内，我们讲这两个角的和它就是一个定值了，对不对？ ok， 再接再厉，我们再来看第四种情况。这个第四种情况呢？这个旋转角阿尔法，它是在二百四十度和三百四十度之间，也就是说射线 o m， 它在这个范围内旋转。 这个三百四十度的临界点又是怎么来的呢？前面我们说，当射线 o m 旋转的位置突破这个二百四十度以后，角 c o m 的 表达式就发生了变化吧，它就会写成角 c o b 加上角 b o m， 再往后，比如说当它转到这个位置， 那么角 c o m 的 表达式还是和刚才是一样的吧。那么为什么还要框定一个三百四十度的临界点呢？这又是一个非常容易出错的点，原因就是当射线 o m 在 这个范围内旋转和在这个范围内旋转， 射线 o n 的 位置会发生变化， o n 的 位置发生变化，角 a o n 的 表达式不就发生变化了吗？比如说，当这个 o m， 它恰好转到了三百四十度这个位置， 这里原来是六十度，那这个角度它是三百四，所以它就是二十度，这个角是八十度。我们又说 o n 始终是角 c o m 的 四等分线，那此时这个 o n 它就会和这个 o a 重合，哎， 对不对？好，这个角等于它的四分之一射箭 o n 和 o a 是 不是重合啊？所以 o m 再往上转的话，那 o n 就 会跑到这个位置。所以这就引出了下面我们需要讨论的第五种情况， 当旋转角 r 大 于三百四十度，小于等于三百六十度。第四和第五种情况主要考虑的就是射线 o n 和 o a 的 位置状态，这里对应的时间 t 的 范围呢， 它就是大于四十八秒，小于等于六十八秒。那这里对应的时间 t 呢，就是大于六十八秒，小于等于 七十二秒。那么接下来同学们需要做的就是分别在这两种情况下，把角 b o m 的 表达式和角 a o n 的 表达式分别给它写出来。比如说在第四种情况下，那角 b o m 的 表达式 和前面是一样的吧，它始终等于三百六十度减五 t， 那 角 a o n 呢？它就可以写成角 c o n 减去角 a o c。 那 再往后整个的处理方法和前面我们讲的三种情况是一模一样的， 所以接下来计算的过程就交给你们了啊，如果同学们听懂了的话，我相信这个第四和第五种情况你们肯定能够搞定啊。那最终计算的结果，第四种情况下呢，这俩角的和不是一个定值，但是在第五种情况下，求出来这两个角的和是一个定值，等于二十度。 那到这里，我们就把这道题的五种情况给同学们全都说清楚。那希望这道题呢，同学们自己一定要花时间好好的去消化一下啊，最好听完以后呢，自己把这道题完整的再做一遍，看看你能不能做到清晰明了的把五种情况都分别写出来。 以上就是本节课的所有内容，复盘一下。在处理动角问题的时候，核心思路就是做好分类讨论，而分类讨论的关键就在于处理好射线旋转是否超过一百八十度这一个分界点。 当然，如果题目中出现了等分线，那等分线的位置也是需要注意的。这节课就讲到这里，咱们下节课再见！拜拜！

伤元之夜，长安如昼，万民都在等待此时的烟火，但这掌管全程报时的金凤机关此刻却陷入了死寂。 核心基建天宫伞意外卡死，若不修复，盛典将成至暗时刻。 图纸显示，只有解开三道关于角度的谜题，才能让天宫伞重开。各位学徒，时间紧迫，这第一道难关还请助我一臂之力！ 想要修复天宫伞，必须先看懂这张由于年代久远而模糊的机关图纸。这第一道难关便是辨别零件的大小， 这两根散股的张口看似一模一样，但只要差之毫厘，机关就会卡死。各位，除了用眼睛箍，你们有什么法子能帮我精准比出他俩谁大谁小？ 一剪能不能凑出这个数来？ 机关修复必须分毫不差度，分秒的计算是六十进至满六十，进一不够。简介一档六十，切记， 究竟该画在哪里？ 是你们的智慧修正了毫厘之差，今夜长安的盛世光景，有你们一份功劳，各位学徒出师了！

关注孙老师，每天我们一起来交流一道数学好题，我们一起来共同的进步。今天我们来讲一道七年级的动脚问题，动脚问题呢，是一个难点，会在考试当中的呃， 最后一道题压轴题出现，很多孩子呢是得不到分的，那对于动角问题，他有自己的答题的思路，还有答题的过程，那么今天我就通过这一道题和大家一起来探讨一下动角问题的解析思路。 我们一起来看一下这道题的条件。已知 o d 垂直于 o b 啊，那这就是一个直角 o e 呢？平分角 b o d 角 a o e 等于八十五度，角 c o e 等于二十度， 那么角 c o e 呢？绕着 o 点，以每秒五度的速度逆时针旋转 t 秒，那大家知道逆时针就是跟钟秒方向相反，它每秒是五度， 我们可以标一下，那么 t 在 零到十三之间问 g 等于多少秒的时候，角 a o c 等于角 d o e。 那么这是一个经典的豆角问题，大家一定要先明白所有的豆角问题，我们第一步一定要把所有的角转化成 中点的边所对应的度数，就是把角的度数转化成对应的中点边的度数。什么意思呢？我们在小学的时候学过呃，两角器上进行两角和画角，我们先一定要找零刻度线， 那么角的中点边在量角器的多少度，那我们就知道这个角是多少度角。那么对于动角问题，先一定要转化角的度数，那么看一下这里比较复杂的角的度数，我们把 o b 当做零刻度线来看啊，一定要先找一个零刻度线，它相当于零度， 那么角 b o d 是 九十度呀，那这个对应的就是九十度的所对应的终点边。那角 b o d 不 就九十度吗？那 o e 是 角平分线呢？这就是四十五度，那这个就是四十五度所对应的终点边。 那 oc 我 们怎么表示呢？那么知道 c o e 不是 二十度吗？那四十五度加这二十度和六十五度，那 c 对 应的就是六十五度的角所对应的终点边。 那最后的角 a o e 等于八十五度，八十五度加这个四十五度是一百三十度，所以角 b a o b 是 一百三十度，那这个 o a 就是 一百三十度的终点边。好，我们把这个所有的 角都转化成所对应射线的度数以后，这是第一步啊，解决豆角问题的第一步。第二步，我们去把对应的角的度数，我们用这个一个未知的一个字母量来表示，那这里已经射出来了，就是 t 量。我们来看一下 角 c o e 绕着 o 点逆时针旋转 t 秒以后，角 b o e 这个角变化了吧，它四十五度，然后往这边就相当于增加了。呃，五 t 度，对吧？因为一秒钟转五度，那 t 秒的跟五 t 度，那角 b o e 我 们可以表达出来角 b o e。 哦，他就等于四十五度加上五度七，那同样的，你角 c o e 一 旋转， o c 这条边也动了，那角 b o c 呢？可就等于这个六十五度加上同样的五度七。好，角 b o c， 我 也表示了 b o c 等于六十五度加上五度七。 表出来以后，我们第二步完成以后，下等量关系，等量关系就是角 a o c 等于角 d o e。 啊，我们就建立关于 t 的 方程，把 t 解出来，动角问题解决了呀。 所以我们来找等量关系，就要表示角 a o c 了，大家注意看，角 a o c 很 关键，角 a o c， 大家要考虑到啊， o c， 因为随着时间 t 的 变化， o c 可能在 o i 的 这一侧，也有可能跑到 o i 的 这一侧。 那我就先看 o c。 在 在 o i 的 这一侧的时候，你看一下角 a o c 等于什么，它就等于角 a o b 减掉角 b o c。 啊， 那如果 o c 跑到这一侧来了，那就反过来拿角 b o c 减掉角 a o b 来，那不管是谁减谁，我们加一个绝对值不就可以了啊？这就跟我们在讲 这个数轴上面的动点问题是一样的呀。你看你本来是啊，这是一啊，这是三，一和三之间的距离，我可以用三减一的绝对值，或者一减三的绝对值，对吧？他两之间的距离是二。如果我现在加个 t， 我 不知道这个三 t 在 一的左边或右边，我要求他两之间的距离，那我就用三 t 减一，加个绝对值就行了。 所以角 a o c， 我 加上角的值，我就拿角 a o b 减角 b o c， 那 就是一百三十度减去角 b o c 是 哪个？六十五度加五度七，括号六十五度加上五度七 可以了，加一个绝对值，那角同样的角 d o e 呢？我们再看那同样的道理，角 d o e， 那 么这时候 o e 如果在这一侧，跟在这一侧，我只要加个绝对值就行了，我拿角 b o d 减掉角 b o e 不 就行了吗？那我加个绝对值，角 b b o d 是 什么？角 b o d 是 九十度呀，拿一个九十度减掉角， b o e 是 四十五度加五度 t， 减去括号，四十五度加五度 t， 我 只要加了绝对值啊，就能表示两种情况，那根据题目的意思，这两个角相等，也就是说这两个绝对值相等。在上一期的视频当中，我教了解，绝对值相等只有两种情况，第一种情况， 这两个整体本身相等，那也就是一百三十度减去六十五度，然后减五度 t 啊，我把括号直接去掉，就等于九十度 减去四十五度，同样的减五度 t， 这个大家能直接看出来，你看减五度 t， 减五度 t 与原料，那这就是六十五度等于四十五度，那这很明显不存在这样的 t， 那就不存在这样的 t 值啊。这个第一种情况，第二种情况，我们说了两个绝对值相等，除了第一种情况，两个绝对值里面的本身相等，或者他两互为相反数，那就拿一百三十度减六十五度 t 减五度 t， 加上九十度 减四十五度减五度 t， 他 俩的和等于零吗？微商函数，我们来简单换一下，这就是六十五度加四十五度和一百一十度，把这两题过去，是十度 t 等于一百一十度 t 等于十一，对吧？可算这啊， 那十一在零到十三这个范围之间，所以 t 等于十一秒的时候，角 a o c 就 等于角 d o e 了， 这道题呢，我们就把它解决掉了，这是一道啊，很难的动角问题，我们一定要总结动角问题的解决思路，我给大家总结三步，第一步，一定要遇到动角问题，先把 呃所有的角的度数转化成所对应的角的终点边所对应的度数啊，这样我们等一下再进行角的表示的时候，会特别的方便。 第二步呢，就是把中间的一些重要的角的关系，用这个字母 t， 往往都是字母 t 表示出等量关系关系，把这个角的度数先用 t 表出来。第三步就是建立这个方程呀，根据题目当中肯定会给你一个相等的角，给你个等量关系建立方程，解决这个方程， 解这个方程我们就可以啊，求得 t 的 值，从而解决动角问题，你学会了吗？

哈喽，大家好，今天呢我们来一个西上重点压轴网，就是关于动脚的问题。那么很多同学非常头疼竖轴上的动点问题，我刚刚学会，现在又来了一个动脚，今天老师教你一个绝招，用竖轴上的动点问题来解决动脚问题。 那么首先咱们先来读一下这道题，那这个题呢，其实比较麻烦，我只截取了它的最后一问。首先如图，点 o 为直线 ab 上的一个点， 将两个含六十度角的三角板，就是图中展现出来的 m o n 和 p o q。 这两个三角板呢，如图摆放，使三角板的一条直角边 o m 和 o p 正好落在了直线 ab 上，其中 o m， n 和这个 p o q 它都是六十度角。那接下来呢，我们就可以将题干上的已知条件标注一下。那怎么样将竖轴上的动点问题转化成动角问题呢？大家都知道竖轴上呢有一个圆点零，那么我们这种图形呢，我们要找一个零度线， 那所以说我们一般习惯上把左边的这条线设为零度，设线也就是 o a 和 o m 初始位置叫零度线，那么同理 o n 呢，就可以叫九十度线，因为它是在顺时针方向与 o a 夹角为九十度。那同理 ob 就 可以表示成一百八十度， o q 就 可以表示成一百八，再加上六十二百四十度。这是题中的已知线，包括 o p 跟 ob 是 一样的，都是一百八十度。 那接下来呢，我们来看一下第三问。第三问呢，一扫而过，他一看就属于动脚问题，因为他有很多速度和方向在旋转。我们读一下第一句话，第一句话呢，是将三角板 m o n 绕点 o， 以每秒两度的速度按顺时针方向旋转。 第二句话，同时将三角板 o p q 绕 o， 以每秒三度的速度按逆时针方向旋转。我们所有的动图问题，我们都要标注一下它的旋转方向，这个三角形呢，它是按照顺时针旋转， 而且它的速度是两度。而这个三角形呢，它是按照逆时针方向旋转，它的速度是三度。 好，继续读题。将射线 o b 绕点 o， 射线 o b 也在旋转，它是绕着 o 按逆时针方向六度的速度旋转。 那旋转后的射线呢？ o b 称之为 o e。 那 么接下来继续读题。射线 oc 是 平分角 m o n 的 线，那也就是这个 oc， 它平分的角 m o n， 那 所以原来射线 o c 的 初十角度，我们可以定为四十五度。那射线 o d 呢？它又平分角 p o q， 那 所以射线 o d 的 初十位置，我们可以假设成，因为它也是一个角平分线， 所以在一百八的基础上又加了三十度，那所以它就代表二百一十度，这是它的初始位置。然后继续读题，他说当射线 o c、 o d 重合时，我们所有的动点和动角问题，它的每一个时间节点都是非常重要的。 o c 和 o d 重合时， 射线 o e 改为绕 o， 以元素按顺时针方向旋转，所以说这个 o e 是 非常非常复杂的，它是中间会变方向。 好，继续读，在 o c o d 第二次相遇前，所以这又来个时间节点，就是它第二次相遇前，它想使角 c o e 等于十五度，求旋转时间 t 的 值。 那刚才老说了，咱们要把这个题读完之后呢，把动角问题转化成数轴上的动点问题，那动点问题呢？同学们都知道，我们要知道它的起始位置以及它的运动方向，而且再加上它的运动距离，那么这种题呢，它也是一样的，我们要找它的起始度数，还有它的旋转方向，以及它的旋转路程。 那么这道题它最重要的三条线相关线是谁呢？也就是 o c， o d 和 o e， 那我们分别做一下它的动图分析。首先我们先来分析第一次相遇前，那么第一次相遇前呢，你会发现 o c 的 起始位置其实是四十五度， 那么因为它 o c 是 角 m o n 的 角平分线，所以它的速度与角 m o n 的 速度是一样的，都是二度，而且它是顺时针方向旋转，所以 o c 可以 表达成加上速度二，再乘以它的时间 p。 那同理的我们的 o d 该怎么表示呢？ o d 的 初始位置是二百一十度，因为它是按照逆时针在旋转，所以它是减 减多少呢？它也是角 p o q 的 角平面线，所以它的速度跟角 p o q 的 速度是一样的，都是三度，那么所以说它就是三度乘以它的行驶时间 t。 大家再看 o e， o e 的 起始位置是谁呢？因为 o e 它最开始是 ob， 所以 它的起始位置就是一百八十度，它也是逆时针旋转， 那所以说我们发现它就减去它的速度六度乘以时间 t， 这就是第一次相遇前这三根射线的表示方法。那接下来我刚才说了，每一个时间节点都非常的关键，先求第一个时间节点 o c 和 o d 重合时， 那么它第一次重合的时间该怎么求呢？在讲数轴上的动点问题的时候，老师说过，两个点重合就代表它们所表示的数是一样的，那就把它俩相等，那在这种问题上也是一样， o c 与 o d 重合的话，就说明它俩所表示的度数是一样的。 所以说我们在求的时候，就是让 o c 等于 o d， 也就是让四十五度加二 t 等于二百一十度减去三 t， 解得 t 是 等于三十三秒，所以说它第一次重合的时间是 三十三秒。那么又因为当射线 o c 和 o d 重合时，射线 o e 就 要改变方向了，它就跟竖轴上的动点要改变方向一样， 它叫重新起步。那它重新起步时所表示的度数是多少呢？与动点也一样，就它在这时刻所表示的数，给它求出来哪个时刻呢？就是 t 等于三十三秒的时候代入，也就是一百八十度减去六度， t 就 等于一百八十度减去六度乘以 三十三，就等于负的十八度，那所以说此时此刻 o e 已经变到了负十八度。这 那很多同学有疑问了，怎么会出现负度呢？初中你没学过负度，但高中多少度都有，那所以要用这种方法呢？你要接受它出现负度的可能性，那也就是此时此刻 o e 已经跑到了 o a 的 下方，比如说这个位置， 而且这块夹角是十八度，他就开始从这再继续绕 o， 以原速按顺时针方向继续旋转，那所以我在标的时候，他的方向又变成了这个，而且他的速度还是原速度，也就是六度， 而他按顺时针走的时候，就是加了，加多少呢？速度乘以时间，那我们这个时候就跟动点的问题一样，他的时间呢，就变成了 t 减去他用过的三十三秒，那所以说这块一定要表示好他的距离。那我们再进一下下一个步骤，下一个步骤是什么呢？下一个步骤当然就是他第一次相遇 后会变成什么样，那 o c、 o d 它是没有变速的，它也是没有往返的，那所以说它们的表示方式是不变的。但是 o e 刚才说了重新起步，它重新起步的起始位置是负十八度， 而且是顺时针旋转，就是加，加多少呢？速度不变六度，但是时间变成了 t 减三十三秒， 因为他前边已经用过了三十三秒重新起步了。那接下来我们再看最后一种情况，就是他的第二次相遇前，也就是他的第二次重合时的时间， 那他也与动点运动问题一样，那第二次重合其实就相当于他俩第一次相遇之后，共同再走一圈三百六十度，那么这三百六十度才需要多长时间呢？因为他们的核速度一个是二度，一个是三度，那所以说他们的核速度是五度，那么其实也就是我们的三百六十度除以 和速度三度加二度，最后等于七十二秒，那总时间就是原来的三十三秒，加上后来的七十二秒，最后等于一百 零五秒，那也就是一百零五秒之后 o c 和 o d 第二次重合，那因为整个题呢，它是在 o c、 o d 第二次相遇前，当角 c、 o e 等于十五度时在求值，那所以整个题的时间限制就是整个时间一定要小于等于一百零五秒。 那我们发现呢， o c 在 整个题的过程当中，它的表示方式是没有发生任何变化的，但是我们 o e 发生了变化，一个是第一次相遇前是一种表达形式， 第一次相遇后又是另外一种表达形式。那我们知道在竖轴上两个点之间的距离如何表达呢？是不是就让他们两个相减瘪绝对值。那么在这里一样，两个射线所表示的度数相减并瘪绝对值，那所以说同学们跟老师一起来表达一下， 那也就是我们的第一种情况，就是在第一次相遇前，也就是时间大于零小于等于三十三秒。这个期间我们 o c 的 表示方法是四十五度加二 t， 老师抄一下， 而 o e 的 表示方法是一百八十度减六度 t， 而刚才老师说了两条射线的夹角，那就用它们两个相减去绝对值， 然后最后让他们的夹角等于十五度，然后我们去解这个绝对值方程即可。那当在数轴上的动点问题的时候，老师就说过，其实我们就是将复杂的几何变换转换成了绝对值方程的分类讨论题，那几何的分类讨论非常麻烦，那代数的分类讨论其实非常简单， 其实解决的值呢，他肯定是有两种答案的，有一个 t 一， 有一个 t 二，自己去解一下就可以了，但是无论是 t 一 和 t 二，都必须在这个条件范围之内。我们再看一下第二种情况，第二种情况呢，就是时间他一定大于 三十三，小于刚才咱求的一百零五的时候。那这种情况 oc 怎么表示呢？ oc 表示成还是不变的，还是四十五度加上两度 t， 而 o e 呢，它发生了变化，也就是咱们后来表示的这个负十八度 加上六度，括号 t 减三十三，那么这个时候想表示他俩之间的夹角为十五度，方法依然成立，也就是让他们俩相减缺绝对值， 然后也等于十五度。那么这里面呢，我们又解了一个 t 三和 t 四，然后在这个前提条件下去取舍即可。那整个这道题既然分类讨论了，我们最后再来一个。综上所述， 将这四个答案取舍后的结果给他写到最后这个位置即可秒杀。

动角问题中的三角板旋转，在七年级期末考试中一定会出现这类题，通常会和角平分线结合在一起。最后考察的是一个定值问题，就比如这道题， 把一副三角板拼在一起，那这里就是四十五度的，这里就是六十度的那个三角板。现在把这个 c、 o、 d 固定不动，那就是这个六十度的固定不动。将 a、 o b 绕着 o 点，以每秒五度的速度旋转，那就是往这边旋转。在转动的过程中，三角板 a、 o b 一 直在 e、 o d 的 内部， 那 e、 o d 就是 这里，就是它在这个范围内旋转，设时间为七秒，现在告诉你 o m 平分 b o e， 这是 o m 平分了 b o e， 那 说明这两个角相等。 o n 平分 a o d， 这里是 o n， 它平分了 a、 o d， 所以 这两个角相等。题目最后说，在旋转的过程中， m o n 的 度数是否会发生变化，那么 m o n 就是 这个角，这里的这个 m o n 这个角，我们可以怎么求呢？我们可以用这一个大角减去黄色的这个角，再减去这边绿色的这个角， 那么剩下的部分就是这个角 m o n。 这一个角很容易求，因为你这个是六十度，所以这个 e、 o d 呢？那肯定就是一百二十度。所以我们现在需要把这个绿色的和这个黄色的角求出来， 先找到它的旋转角 o a。 一 开始在这里，那现在 o a。 到了这里，它的速度是五度每秒，所以它旋转过的角度，那这个角就是速度乘以时间，那就是五 t。 所以 这个绿色的角，这个 e o m， 它就等于二分之一的 b o e， 这个角 b o e。 在 图里看一下，它可以由这一个四十五度的这个三角板再加上这一个五 t， 所以呢就是四十五度加上五 t， 这个是 e、 o m。 再看一下 d， o， n， 它是等于二分之一的角 a o d， 那 这一个 a、 o d 怎么求呢？ 因为我们知道这个 e、 o、 d 这个角肯定是等于一百二十度的，因为你这个三角板，这里是六十度，那它旋转过的角度是五 t， 所以 用一百二十度减去这个五 t， 那 剩下的就是 a o d， 所以 它就相当于一百二十度减去五 t， 那 最后这个角 m、 o n， 它就可以用这个 e、 o d 减去这个绿色的部分，那就是 e o m， 再减去这个 d， o n， 所以 最后剩下的，那就是这个角 m、 o n 的 度数 e， o， d 呢？它就是一百二十度。把 e、 o m 这一部分带进去， d， o， n 这一部分也带进去。最后去括号化减一下，这里就是二十二点五度。减去二分之五 t， 这里是减去六十度， 这里是加上二分之五 t， 所以 最后发现这里的角 m、 o， n， 它的度数是不会发生变化的，它就是三十七点五度。

恭喜大家呀，即将走完速客版七年级上册的数学旅程，今天啊，我们就来攻克最后一张，也就是整个初中几何的基石线段角。别小看这两个简单的图形，他们可是你未来几何大厦的第一块砖。跟紧我这一张的考点啊，难点咱们一次性搞定！ 第一部分，直击灵魂的线。首先啊，我们来看线，生活中有很多线，比如说桌子的边缘，笔直的公路，在数学里面，我们把它抽象成了线段。 线段有两个最关键的特点，第一，它是直的。第二，它有两个什么端点也它的长度呢，是有限的，是可以测量的，这就好比一根有头有尾的铅笔一样。 那么如果我们把这根铅笔的一端无限拉长呢？他就变成了射线。射线只有一个端点，另一端是可以无限什么延伸的，这个有个端点，然后朝这边无限延伸的， 就像手电筒一样啊，射出的光，或者是像激光笔发出的光束一样，都是射线的绝佳例子啊。那如果把线段的两端都无限拉长的，没错，他就变成了直线。直线是没有端点的， 可以向两段无限的延伸，所以它的长度是不可测量的。那么这里有个小技巧，帮大家区分一下 线段两个端点像一座桥，有头有尾。射线一个端点像一道光，有头无尾。直线没有端点像宇宙无头无尾。那么这一张呀，关于线段最重要的考点是什么呢？毫无疑问是两点之间 线段最短，这个是基本的事实啊，这句话非常重要，他解释了为什么我们走路总喜欢超近道。在考试中，他经常和生活应用题结合在一起的，比如 河边建一个水泵站，怎么建才能让到两个村的这个水管总长度最短？核心就是利用这个原理。第二部分，无处不在的角，聊完了这个线呀，哎呀， 我们来看一下由线组成的这个图形。角。角是怎么来的呢？很简单，就是从一个端点出发，引出两条什么射线，这两条射线所组成的这个图形，我们就把它称为什么角，那这个公共的端点就把它叫做什么顶点。 这两条射线啊，就是角的两条边，比如说张开的书本钟表上的这个时针和分针，都形成了什么角，是不是这样子的？那么爱心也是啊，角的核心是什么呢？是它的大小。 脚的大小啊，和两边的这个长短是没有关系的，比如说这边可以这么长，对吧？但是他脚的大小是不改变的，你把扇子张开的越大，脚就是越大的，你看这样和这样是不是不一样呀？啊， 怎么比较两个角的大小呢？我们可以用叠合法，就像叠纸一样，把两个角的顶点和一条边成和，看另一条边的位置。当然了，最精确的方法还是用两角器啊，两角器的使用是必考的操作技能，大家一定要熟练掌握。两对齐， 中心对顶点，零线对一边。好，接下来是角的这种分类，这也是必考点啊，比如说锐角是大于零度，小于九十度的。钝角呢，是大于九十度的，是小于一百八十度的， 他看起来就是一条直线啊。周角呢，是等于三百六十度的，比如说旋转一周就回到原位了，这是周角 啊，这里有个小口诀，锐角小于直角小于钝角小于平角小于周角。它们之间的关系也要牢记，比如说一周角等于什么？两个平角是不是等于四个直角？ 核心考点与易错点大总结啊！好了，知识点我们串完了，那现在进入最关键的划正点环节。第一个考点，基本概念的辨析， 选择题里最爱考你线段、射线、直线的区别以及角的定义，记住他们的端点和延伸性啊。考点二，基本事实的应用，比如说两点之间线段最短的应用题是大题常课啊，一定要会画图分析。 第三个考点，做图题，比如说硬尺规呃一，一个角等于做一个角等于已知角的，或者是做线段的垂直平分线的，这是几何证明题的基础啊，动手能力一定要跟上的 啊！这里面的易错点就是角的表示方法，当一个顶点处只有一个角时，你可以用一个大写的字母表示，比如说角 a 角 b 角 c， 单独的一个角。但如果一个顶点处有多个角，你必须用三个大写字母来表示，比如说角 iob， 角 boc 啊，并且顶点字母要写在中间，这是无数同学栽过跟头的地方啊。第二个易错点，就是角的计算，看到一个复杂的图形，里面有很多个角，不要慌， 仔细寻找这个对顶角呀，比如说对顶角相等是不是还有没有邻补角，邻补角相加是等于一百八十度的这种关系，还比如说互余的两个角啊，是不是他们和是呃，九十度啊，这些往往都是解析的突破口。 同学们，线段角啊，这一张是你们从竖的世界正式踏入行的世界的大门， 它不难，但非常重要，它教会你的不仅仅是几个定义和公式，更是观察、分析和逻辑推理的几何思维。 把这一张学渣舍你的初衷几何之路就成功了一半。好了，今天的内容啊就到这里了。嗯，我是胡老师，祝大家嗯，好好复习期末考的那个优秀的成绩。

大家好，今天讲解一道七年级的亚洲题，也通过讲这道题跟大家探讨一下学亚洲题需要具备哪些能力，为什么亚洲题对很多同学来说一直难以突破？ 首先来看这道题，这道题长得就比较唬人，图形很复杂，它考的主要只是点注平行线结合动角问题。 这个题如果在一些进度比较快的学校，可能在期上的期末考试就会考这道题，但大多数学校一般会在期下的月考，第四月考或者是期中考试来考，考的概率还是蛮大的。一般的学校可能进度快，就可能学到二零四方程组这里了，期中考可能就在这里考， 但是大柱选项可能在实数平面坐标系这里就可能要期中考试了。所以前面如果要考几何压轴的话，就只能考这个平行线相关的问题。好，我们回到这道题目，题干给的是一组平行线，被直线 e f 所截，给了一个直角 问角 m n d 加上角 m q d 的 度数和，也就是这两个绿色的角加起来是多少度。 这个图很明显就是一个模型，有的地方叫铅笔头模型，有的地方叫猪蹄模型。通过这个模型咱们可以知道，这两个绿色的角加这个蓝色的角应该是三百六十度，所以求两个绿色的角的和就等于三百六，减去这个绿色的九十度等于二百七十度。不过我学模型就把这第一道题给直接看出答案了。 第二题在前一问的基础上加了两个角分线，一个是的 q p 的 角分线，我们把这个角分线先进行一个标注，这两个角相等， 我们要求的是什么？求的是角 n m q 和 ng q 的 数量关系。就涂上这个灰色的角跟这个绿色的角，它们的数量关系。这两个角跟我们的条件貌似都没有产生什么直接的联系，所以这个时候咱们一定要进行一个视角， 把其中的一个角设未知数，是哪个角呢？这里承接上一问的那个模型，我们设这个角为九十度减阿尔法，这是一个模型，这个角加这个角 一定会等于这个角，然后由此再进一步推出这两个角，它们是相等的，都会等于一百八十度，减去这个九十度减阿尔法，然后再除以二，就得到这个角的度数是四十五度，加上二分之一阿尔法，这个角下面这个角形成了对顶角，这个是角分线， 那其中的一个角就等于二分之一阿尔法。这里又涉及到另外一个模型，叫做音嘴模型，通过这个模型我们看得出，咱们已经把需要的角都求出来了，就用这个第二幅图，这个绿色的角就等于二分之一阿尔法，减去这个四十五度加二分之一阿尔法。 直接可以求解，这个绿色的角等于四十五度，刚好等于这个灰色直角的一半，也就他们数量关系是一半的关系，或者是两倍的关系。 好，我们来看第三问，第三问还是给了之前的那个直角， e， f， d 等于六十度， e， m， r 等于二十度，大家可以暂停先看下条件，因为确实条件比较长， n g 为角， m n b 的 角平分线有一块三角板就涂上了绿色，这个三角板它的顶点 o 呢？跟 m 重合，这个绿三角板，它初始状态两条直角边分别跟 m、 n 和 p 是 重合的，然后从初始位置顺时针方向每秒钟转动五度 开始运动，当 o i 与 m f 重合的时候，它它会发生返回，这个条件很关键。再来看一遍 初时位置， o i 碰到 m f 返回。好，再看橙色这个角， n b 和 n g 两条边同时转动，也就是这个角是个动角，它们从初时位置顺时针方向每秒钟转动三度，当 n g 与 a 重合的时候，所有的运动停止，也就是终点时刻。 再来看一遍橙色的初始状态，每秒钟三度结束状态。绿色的三角形和橙色的角是同时转动的，咱们把这个屏幕的条件标记一下，一个角是六十度，一个角是二十度，橙色的角转动速度是三度每秒，绿色的角转动的速度是五度每秒， 这时候看到一个速度慢，一个速度快，这个时候在心里就要记住这个条件，感受他的运动状态。就比如说绿色转动到这里的角度肯定要小一些， 绿色的转动速度要比他快三分之五，这是这个动态感受啊，进步挖掘条件，这些度数是可以继续挖掘的，咱们来把挖掘的标上 内错角也是六十度，这个六十度，这个角必定是四十度外角啊。好，还有题目中的关键条件，咱们也要把它先挖掘一下，就比如说像动态类问题，特别像动角问题，关键的一个重点时刻，还有特殊时刻，都要把它算一下。 那这个题他说了，当 n g 与 na 重合的时候，所有运动停止，也就是说算出这个时间，它就是我们时间的上限。任何答案算出来的时间 t 都不能超过这个上限。 n g 和 na 夹角很容易算出来是一百一十度，所以说它的上限就是一百一十度除以三， 这就是时间上限。还有一个比较特殊的时间呢，就是绿色三角形这个 o i， 它与这个 m f 相遇的时候会发生折反，那么折反的这个时间节点也很重要，也需要把它算出来， 那我们很容易算出来，绿色这个 o i 跟 m f 初值的夹角应该是九十度，二十度，然后一百八减去九十加二十是七十度，然后七十度，每秒钟转动五度，那就是七十除以五，算出时间是十四秒。再看一下问题，问题是说，绿色三角形的两条直角边， 其中的一条分别与橙色这个角的一条边平行的时候，时间是多少？你看橙色有两条边，绿色的直角边里也有两条，他们其中的一条又互相平行，那情况是不是很多呀？所以这个时候就一定要分类讨论。 东西很复杂，那我把它变成简单化，先单独看， ok， 这根直线橙色的呢？也只看一条单独看，比如说看 nb 这条直线，只看这两条红色的线，到 nb 转到这里的时候，是不是可能会平行？ 看这两个红色什么？当它旋转到这里的时候， n g 在 这里是不是不可能平行？我可以继续旋转，旋转到这里的时候， ok， 发生了返回，然后 n g 继续往前走，我可以继续走，是不是有可能到这里的时候会平行？好，这就是两条红色的线 平行的状态，分析完了 b 这条直线，这条直线是不是就平行？当 o i 开始旋转的时候， n b 也开始旋转，当 o i 旋转到这里的时候， n g 旋转到这里，是不是就平行了？你就会继续旋转， o i 也继续旋转，但返回旋转到这里的时候，是不是又有可能会平行？ 再往后旋转，他们就不可能再平行了，因为再往上旋转，这个 n g 跟 n a 重合，所有运动就停止了。好，分析完这一线其实就是四条线段，两两互相平行，一共就四种情况，那我们来看情况一，当 m i 和 n g 平行的时候， m i， n g 平行， 是不是这种情况， m i 和 n g， 那 他们平行的时候，这个角度怎么算？是不是可以用同方内角互补来算？好情况二，当 ok 继续往外旋转，碰到它返回， b， n g 也在往那边旋转，是不是还会这种情况？也可能会平行， 也可以利用同方内角相等，把角度替代一下，比如这个式子算出来，这个 t 等于十五秒。那第二种情况， m i 平行于 n b 回到出式状态，我们来看第二种情况， n b 和 m i 什么时候平行呢？ n b 开始往下旋转， m i 往下面旋转，旋转，旋转，旋转到这里的时候，每一个是返回完开始平行，也可以利用同方的角互补来计算返回出的状态。情况三，当 n g 和 mk 平行的时候， n g 在 这， mk 在 这旋转，在这个位置才可以平行，算出来 t 等于四分之一百零五度。再来看情况四，情况四，是 n b 和 mk 平行。 这道平行线东角的亚洲题到这里就全部讲完了，但是还有一个重点就是到底怎么去突破亚洲题，并且今天聊的不只是这道题怎么解，更要站在核心素养的培养。中考选拔改革这些教育比较重要的事情。想明白一个关键问题，突破亚洲题到底要念什么？ 现在教育改革的核心方向很明确，就从以前单纯的考考知识转向重点考察能力，而中考压轴题就是这个改革方向最直观的体现。就像这道题，它的基础门槛是平行线、动脚表示，这些都是必须掌握的基本功， 属于知识层面的东西，只要大家踏实学，多练几遍，基本上每个学生都能搞定，但真正能拉开大家差距。符合现在这个素养考察要求的，是背后处理复杂情境的综合能力， 就是今天我要说的这个能力。具体来说就是把长长的体盖拆开，找出关键的条件，把复杂的图形拆成咱们熟悉的基础模型。 考场上可没有那种像我画的图样的动画演示，全靠自己在脑子里推演，在草稿纸上画图，把动点动脚的运动过程还原出来，最后把条件和图形结合起来，找到解题的突破口。大家要清楚，这种处理复杂情境的能力，绝对不是看懂答案、听懂老师讲就能拥有的。从教育规律来讲， 能力的养成他必须经过主动实践、深度思考、复盘沉淀这三个步骤。很多同学之前一直跨不过压轴题这道坎，问题就在只停留在被动接受的层面，光听不练，不自己动手拆解退演，也不试着自己犯错修正。而现在中考选拔恰恰就是要选出那些能主动解决复杂问题的学生， 这种能力不只是应付考试需要，而是以后大家面对社会，走向社会，解决真正的实际问题需要的核心素养。 更关键的是，这种核心能力的培养有个最佳的起步阶段，就是咱们现在学竖轴动点动脚的问题。为什么这么说？因为这类问题属于一维的动态情境，就在一个直线上，或者是一个角度围绕一个点旋转，复杂程度适中， 然后变量也比较单一，是培养分析、拆解、推演思维的最佳载体。大家这个阶段把基础打牢，养成处理动态复杂问题的思维习惯， 以后再碰到二维几何、综合函数压轴题都能事半功倍。这就是教育里常说的循序渐进、能力迁移。在简单的情境里练会核心的方法，能用到更复杂的问题上面，这才是高效学习的本质。 好，最后总结一下，突破压轴题的关键，从来不是盲目的刷题，而是抓住处理复杂情境这个核心，在合适的阶段主动练深入下，这不仅是应对中考的好策略，更符合当下素养教育的要求， 是在为大家长远的学习能力铺路。希望从今天这道题开始，能真正动起来，把这种核心能力练扎实，一起加油！

七年级最后一张几何图形初步，那么这种几何题求角度问题，很多人不知道如何去做，其实非常简单，题中给出你什么信息，我们就根据这个信息去衍生其他的信息。看这道题， 如图， oc 是 角 a、 o、 d 的 平分线，看到平分线注意找等角，所以看 oc 是 角，平分线是角 a、 o d 的， 所以角一是不是等于角二，我利用这个数字去代替啊。 同样的 o e 是 角 b、 o d 的 角，平分线 o e 平分角 b、 o d， 所以 得到角三，是不是角三和角四相等？ 好，衍生出这两个问题来了，角 c、 o e 等于，让你求角 c、 o e 的 度数，角 a、 o b， 那 么看一下， 等于一百三，这一百三怎么来的呀？是不是一二三四，也就是角一加角二加角三加角四，是不是等于一百三十度？ 那么角 c、 o、 e 呢？角 c、 o e 是 不是等于角一加角四等于多少？观察 角一和角二相等吧。好，把它换成角一，角三和角四相等吧，把它换成角四，说明两个角一加两个角四等于一百三，那么一个角一加一个角四呢？等于一百三，除以二多少吗？六十五度太简单了是不是？其实并不能按 看第二题，如果角 d、 o、 c 等于二十度，那我看如果这是二十度，这必然也是二十度，那么让你求角 b、 o e， 让你求这个角，这是二十，这是二十，总共是一百三，对不对？一百三减去多少度啊？四十，说明角 b、 o、 d 等于多少度呢？等于九十度， 这儿这个大角等于九十度，那么角 b、 o e 又因为 o e 等于角平分线，是角平分线呀，角三和角四相等，那么九十除以二出来了四十五度， 其实并不难，只要根据他给出的咱们条件衍生出对应的条件就可以。关注大哥，老师教给你更多的学习思维和方法。

大家好，今天我们专门来攻克一种初一期末压轴题里的常客动角问题。 这种题通常出现在试卷的最后一题，不少同学觉得他特别绕，不好理解。别担心，今天我准备用两种方法带你彻底搞懂这类题， 下次考试遇到咱们稳稳拿满分。我们直接来看这道真题。大家跟着我一边读题，一边在图上做标记。题目说，角 a、 o、 b 是 一百二十度， 角 a、 o、 m 是 九十度，那么角 b、 o m 就是 三十度。同样的角 b、 o n 是 九十度，那角 a、 o n 也是三十度，对吧？ 那此时角 m、 o n 是 多少度呢？从图上看，应该是九十减三十等于六十度，这就是两条射线的初十加角。好，我重新标一下。 接着两条射线开始动了， o m 顺时针旋转，每秒十度，那 t 秒就转十 t 度。 o n 逆时针旋转，每秒五度，那 t 秒就转五 t 度， t 的 范围是零到八秒。题目问，在转动过程中，什么时候两条动射线的夹角 m、 o、 n 会变成十五度？ 方法一，图形分析加分类讨论我们先来理一理它的运动过程，一开始角 m、 o、 n 是 六十度， o n 逆时针转，它们是不是朝着对方在转？ 对，这就是相向运动，夹角会越来越小。那么在变小的过程中，会不会有一个时刻，夹角正好变成十五度呢？ 会的，这就是第一种情况，我们叫它相遇前，它们接着转，总会相遇吧，也就是 o m 和 o n 重合 相遇之后，他们继续各走各的，就变成背向运动了，夹角会越来越大。那么在变大的过程，会不会也有一个时刻，夹角正好等于十五度呢？也会，这就是第二种情况，相遇后，既然有两种可能，我们就要分别来计算。 第一种情况，相遇前，我们假设 o m 转到了这个位置， o n 转到了 这个位置。为了描述方便，我们把 o m 的 出使位置记作 o m 零，把 o n 的 出使位置记作 o n 零，那么角 m 零 o m 就是 十 t， 角 n 零 o n 就是 五 t， 此时角 m o n 是 十五度，那这三个角加起来等于多少？是不是正好等于加角 m o n 零，也就是六十度呀？所以我们就能列方程了，十 t 加十五，再加五 t 等于六十。解这个方程，十五 t 等于四，十五 t 就 等于三。别忘了检验范围，题目说 t 大 于零，小于八 t 等于三，在这个范围内是有效的。第二种情况，相遇后，相遇后， o m 跑到了 o n 的 另一侧了，这时 m 零 om 就是十 t n 零 o n 是 五 t， 它们合起来是不是已经超过最初的加角六十度了？超出的这一部分正好是现在的加角 m o n 也就是十五度， 所以方程是十 t 加五 t 减十五等于六十。解这个方程，十五 t 等于七，十五 t 就 等于五。 在检查范围， t 大 于零，小于八， t 等于五，也符合。所以用第一种方法，我们得到两个答案， t 等于三 或五。再看第二个方法，旋转竖轴法，三步搞定。这个方法，我们借用竖轴上动点问题的思路，把动角问题变成竖轴上点的运动，这样做步骤清晰，不容易漏解。 第一步，建立一个旋转数轴，我们需要规定一个正方向和一个零度线，原则是怎么方便怎么来。这里我选顺时针方向为正， 选 o b 射线为零度线，这样每条射线都可以用一个角度数值来代表它的位置。先看固定射线， o b 对 应零度， o a 对 应一百二十度，因为角 a o b 等于一百二十度。再看动射线，公式是当前位置等于初矢位置。加减速度乘时间 和动点问题的公式一模一样，向正方向用加，向负方向用减 o m 的 初矢是多少度？因为 o b 是 零度，角 b o m 零是三十度，所以 o m 的 初矢 o m 零就是三十度。 它顺时针旋转，是正方向，所以 o m 的 位置就是三十。加上十 t， o n 的 初使位置呢？角 b o n 零等于九十度，所以 o n 的 初使位置就是九十度。 它是逆时针转，是负方向，所以 o n 的 位置就是九十减五 t。 这样在任何时刻， t 两条射线的位置我们就用代数式表示出来了。第二步，表示加角 m o n 两条射线的加角怎么算？和竖轴上两点的距离一个道理。记住，知道谁大谁小就用大减小，不知道谁大谁小，就用它们差的绝对值。 在转动过程中， o m 和 o n 谁大谁小会变化，所以我们用绝对值。角 m o n 就 等于 o m 的 表达式。三十加十 t 减去 o n 的 表达式。九十减五 t 的 绝对值化简一下，等于十五 t 减六十的绝对值。 看，这个式子，很简洁地表示了任意时刻角 m o n 的 大小。第三步，列方程并检验。题目说，角 m o n 等于十五度，所以十五 t 减六十的绝对值就等于十五 去绝对值得到两个方程，十五 t 减六十。等于十五或 十五 t 减六十等于负十五。解这两个方程， t 等于五， t 等于三。检验范围 t 大 于零，小于八五和三都符合要求，所以方法二也得到了同样的答案， t 等于三或 t 等于五。总结一下，今天我们用了两种思路来解决这道动点题。一、图形分析法， 通过想象射线运动分相遇前和相遇后讨论，直观易懂。二、旋转竖轴法，把每条射线的位置用数值来表示， 用绝对值表示。加角列方程求解步骤清晰，不容易漏解。两种方法都得出 t 等于三秒或 t 等于五秒。 建议你先掌握第一种直观的思路，再熟悉第二种通用的方法，以后遇到动点问题，你就能灵活选择，轻松应对了。希望这期讲解对你有帮助，我们下期再见！

大家的期末考试都结束了吗？反正我们结束了，今天咱最后来看一期逗小问题。如图，角 a o c 等于六十五度角 c o e 等于四十五度。 角 c o e 绕点 o 每秒五度逆时针旋转 t 秒后，当 a， o c 等于 d o e 时， t 的 值是多少？ 再先看 t 的 曲值， t 大 于零，小于十三，那么 o c 边旋转的角度不能超过六十五度，所以 o c 边只能无限地接近 o a， 但永远拿到不了 o a。 角 a， o c 就 等于六十五度，减去五 t。 当 o e 边在 o d 的 右侧时，角 d， o e 等于四十五度，减去五 t。 当 o c 等于 a o d， o e 时，六十五度减五度。 t 等于四十五度，减去五度 t 捷德六十五等于四十五，所以这种情况舍去。 第二种情况， o e 和 o c 都在 o d 的 右左侧时，叫 d o e 等于五 t 减去四十五度。 因为 a o c 等于角 d o e， 所以 六十五度减五 t 等于五， t 减去四十五度， 所以 t 等于十一。综上所述， t 等于十一。这道题就做对了，你听明白了吗？点赞加关注，张爱修陪你学数学！