武汉初三数学抛物线二次函数大题讲解

在二次函数的综合题里，只要题目中涉及到面积的问题，那么百分之九十会用到牵垂线法。 只要题目中涉及到有平行四边形的问题，那么大概率会用到平行四边形的顶点坐标公式法。我们来看这套二三年的武汉原调二次函数压轴题。 题目说抛物线 y 等于 x， 平方减二， x 减六，与 x 轴分别相交于 ab 两点点 a， 再点 b 的 左侧， c 是 ab 的 中点。 平行四边形 c、 d、 e、 f 的 顶点 d、 e 均在抛物线上。这道题目的第一问要直接写出 c 的 坐标，那么根据抛物线的解析式，我们可以知道， a 点的横坐标加上 b 点的横坐标等于二，那么 c 点的坐标为一零。接下来我们来看第二问，若点 d 的 横坐标为负二点一，在第三象限， 平行四边形 c、 d、 e、 f 的 面积为十三，要求 f 点的坐标，我们就可以直接写出 d 点的坐标为负二二， 可以设出一点的坐标为 t， c 的 平方减二， t 减六，这里平行四边形 c、 d、 e、 f 的 面积为十三。 要求四边形的面积是很麻烦的，那我们就可以将这个平行四边形划分为两个面积相等的三角形，那么三角形 d、 e、 c 的 面积就等于六点五， 那么接，那么接下来我们就要用 d、 c、 e 三点的坐标来表示面积。这里我们就过 e 点作 y 轴的平行线，它交 d、 c 与 g 点，然后作，然后过 d、 c 作 e、 g 的 垂线。 垂足分别为 m 点和 n 点，那么三角形 c、 d 一 就等于二分之一乘以 d， n 乘以 e、 g 加上二分之一乘以 c， m 乘 e、 g， 也即是二分之一乘以括号十一点的横坐标，减去 d 点的横坐标乘以 e、 g， 那么这里三角形 dc 的 水平观就为 d 点到 c 点的水平距离铅垂高为一点到 c、 d 的 铅垂距离一记已知 c 点到 d 点的水平距离等于三， 那么接下来我们只用求出 e、 g 的 线段长度就可以了。已知 d 点坐标为负二二， c 点坐标为一零，那么就可以求得直线 c、 d 的 解析式， y 等于负三分之二， x 加上三分之二。 已知一点的横坐标与 g 点的横坐标相同，所以 g 点的坐标为 t。 负三分之二， t 加上三分之二， 进而可以表示出 eg 的 长度等于负梯的平方，加上三分之四，梯加三分之二十。所以四边形 c、 d、 e、 f 的 面积等于二分之一， 乘以二，乘以三，乘以一， g 等于十三。解这个关于 t 的 一元二次方程，我们可以求得 t 等于负一或者三分之二。因为一点在第三象限，所以三分之二舍去，我们就可以求得一点的坐标为负一负三。 这里在平行四边形 c、 d、 e、 f 中已知 c 点、 d 点和 e 点的坐标，那么接下来我们只用根据平行四边形的顶点坐标公式法就可以求出 f 点的坐标。 一组对角线的横纵坐标之和等于另一组对角线的横纵坐标之和， 所以我们可以求得 f 点的坐标为二负五。各同学知道题目的解题的关键就是要根据题目的几何条件，平行四边形 c、 d、 e、 f 的 面积等于十三，然后用点的坐标来表示这个面积。

好，各位同学，我们再来看这道二三点武汉原调的二次函数压轴题。这是一道二次函数动态定值问题，是直线横过定点的问题。 题目说抛物线 y 等于 x， 平方减二， x 减六与 x 轴分别交于 a、 b 两点， c 为一零，平行四边形 c、 d、 e、 f 的 顶点为 平行四边形 c、 d、 e、 f 的 顶点 d、 e 均在抛物线上，若 f 点也在抛物线上连接， d、 f 要求正直线 d、 f 横过一个定点。 那么二次函数与平行四边形的综合题，它有两大考点，一个是平行四边形存在性的问题，另一个就是 平四边形与抛物线结合求点的坐标，那么这类型的题目一定会用到平行四边形的顶点坐标公式法，那么这道题明显的是第二类， 那么我们就要用到顶点坐标公式法来求解，那么顶点坐标公式法就是一组对角线的横坐标等于另一组对角线的横坐标， d 点的横坐标等于 c 点的横坐标加上 e 点的横坐标， 那么一组对角线的重坐标就等于另一组对角线的重坐标之和， 那么 e 点的重坐标加上 c 点的重坐标等于 d 点的重坐标加上 f 点的重坐标。那么这道题目要求证直线 d、 f 是 否横过一个定点，那我们就首先设出直线 d、 f 为 y 等于 k， x 加 b， 让它与抛物线连立，我们就得到了一个一元二次方程， x 平方减去括号， k 加二， x 减 b 减六等于零。那么根据根与系数的关系， d 点的横坐标加上 f 点的横坐标等于 k 加二，又已知 c 点的横坐标加上一点的横坐标等于 d 点的横坐标加上 f 点的横坐标等于 k 加二， c 点的横坐标为一，那么一点的横坐标就为 k 加一。 又一只一点的重坐标加上 c 点的重坐标等于 d 点的重坐标， d 点的重坐标等于 k 配的 d 点的横坐标加上 b， f 点的重坐标为 k 倍的横坐标加上 b， 那 我们就那么它就等于 k 倍的括号 k 加二加上二 b， 由于 c 点的重坐标为零，那么一点的横坐标就等于 k 乘以括号 k 加二加上二。 b 题目又说一点的坐标带入了方程， 我们就得到了一个等式三，化简整理，这个等式三可以求得 b 等于负， k 减去二分之七， 那我们就可以用 k 来表示直线 d f， 它为 y 等于 k 倍的括号 x 减一减去二分之七， 那么只有当 x 等于一的时候， y 为一个定值，等于负二分之七，所以这条直线 tf 横过定点一负二分之七。好，各位同学，这道二次函数的动态定值问题我们就搞定了。

看这个 d 这样小点，如图，这个抛物线，它与我们的 x 轴呢？交于 a b 两个点。这题我们这句话做过，但是问题问法不一样，这个也可以直接实心相乘，可以求出这个 a b 的 位置。我们交 y 轴的话呢，与点 c 啊。抛物线交 y 轴一点 c， 那 这个点 c 的 位置是零，负 m 在 这里啊，那过点一 m 二，做一条直线交抛物线呢？于 p q 两个点， a p q 啊，交我们的 y 轴呢，分别于点 m 还有点 n， 求证 o m 和 o n 的 话，乘积是个定值。又是三条线啊， 那我们选一个开始就可以了，选 p q 开始吧，或者是选 a p， a p 的 话好求一点，因为 a 一 点比较明显，就是负一零，从 a p 开始吧。我们先对这个 把函数进行一个实相乘， y 等于 x 啊，这边是负 m， 还有正 e 减 m， x 加一，所以两个焦点 a 点是负一零， b 点是 m 零，那对，先开始写这个 a p 这条线，假设 a p 的 自减方程是 y 等于 k， x 加 b 好。 解析式， x 平方加上一减 m， x 减 m 好， 然后呢，我们连立它 x 平方，加上一减 m 减 k， 括号 x， 然后减 m 减 b 等于零，所以 x a 加上 x， p 等于 m 加 k 减一， x a 乘以 x p 等于负的 m 减 b， 那 在这里 k 就 等于 x a x p 减 m 加一，然后 b 等于负的 x， a x p 减 m 就是 y 等于，这样就不需要了。好，那这个是我们的第一条直线 a p， 同理这个 a q 也可以出来， y 等于 x， a q 第三条直线就是 p q y 等于 x， p q 减 m 加一 x 减去 x p x q 减。写完这个呢，我们先来看啊，一条条看。第一个 a p， 它是经过点 a 的， 那 a 呢？有没有呢？这有，所以我们就直接给他化减这个式子， a 负一，零 带入，这个准确，应该是只带 x a 等于负一就够了。带入 a p 啊，得到 y 等于负一和一，就抵消是 x p 减 m x 再加上 x p 减 m。 好， 另外呢，它与我们的 y 轴有个交点啊，就是 x 等于零的时候，此时交点就是 m 点的纵坐标，就等于 x p 减 m。 啊， 好，这是带入的这个结果。好，这样画的这个部分可以不要了。好，第二个呢，就是 a q 这条直线，那 a q 这条直线呢？我们呢，应该考虑呢，将这个 a 点再带入，就是 x a 等于 负一的时候，对应的这个 a q 直线方程。 y 等于 x q 减 m， 加上 x q 减 m， 那 同样的呢， x 等于零的时候，可以算出来，这个 a q 与 y 组的这个焦点就是 n 啊，重置标可以算出来，等于 x q 减 m。 好， 那根据题意呢，这里面他问的是 o m 和 o n 的 乘积啊， o m 啊， o m 呢， m 在 正半轴上就是 x p 减 m， 它是个正数，然后 o n， 因为这是个负数啊，所以应该是写它相反数， m 减去呢 x q， 那 么一会的话，去求它成绩也可以提前求啊，这 o m 乘以 o n 等于 x p 减 m 乘以 m 减去呢 x q 等于 m 倍的 x p 减去 m 平方减去 x p， x q 加上 m 倍的 x q。 这么个式子，这个不容易看出来啊，咱们把它用伟大定律写一下，就是 m 倍的 x p 和 q 减去 x p， q 减去 m 平放，这样是没问题的。好，写好之后呢，这两条直线都结束了啊， a p a q 都完了， 最后呢，就是我们这个 p q 这条线， p q 这条线，他说的是过点一啊，做的这样一条线，这个点一，我们看在 p q 当中，它既不是 p 点也不是 q 点啊，所以将这个点进行代入这边啊，这是 o m 乘以 o n 再移上去，将这个一点 m 二带入 p q 当中去，带进去的话呢，结果就应该是整个带这个 x y 了啊。二、等于 x p 加上 x q 减 m， 加一乘以呢 m， 然后减去 x p， x q 减 m 啊，得到这样式子，对它呢进行一个化简，等于呢， m 倍的 x p 加上 x q， 减去 m 倍的 m 平方再减去，再加上 m， 减掉 x p， x q 再减 m。 好， 这呢可以抵消。得到呢 m 倍的 x p q 减去 x p 乘以 x q， 再减 m 平放啊，它是等于二的，你发现这个式得到呢，就和我们这个 o m 乘 o n 是 一样的啊，所以 o m 乘以 o n 啊，它就是等于二了，也没有什么变化。

好，看，这十二题啊，这道题啊，两个人两个说法，对吧？看谁对谁错这种的。嗯，这个假肯定是错的， 因为他说姐姐是一定为 y 等于负的零点六 x 方，那这个姐姐是，他是把原点定在了点 e 这啊，把原点定在了点 e 那 人家也没说原点一定在点 e 这啊， 这个它是原点在这的时候算出来解一式确实是这个，但是如果我把 x 轴放 a、 d 这呢，这是 x 轴，那解一式就不是这样了啊，所以假肯定这是错的啊。 嗯，然后咱们就把呃，这个圆点就放在这个点 e 这，然后咱们顺便就用它这解释啊，点 c 到 a、 d 的 距离，点 c 到 a、 d 的 距离，那就这段啊， 那咱们把解式有了之后，把点 c 的 纵坐标算出来，再把点 d 的 这个纵坐标也算出来啊。就像他，他俩横坐标都有，比如说 b、 c 是 二的话，那点 c 的 横坐标不就是一吗？横坐标是一， 然后你带到解式里求纵坐标啊， a、 d 长度是四，那点 d 的 横坐标就是二，把二再带进去求他那纵坐标之间的差距， 就是那个点点 c 到 a、 d 的 距离啊，这算出来正好是一点八啊，这计算我就不在这再算了，所以最后是选 c。

同学们好，我们来看这么一个题目，如图，一段抛物线 y 等于 x 乘以 x 减二的差， x 大 于等于零，小于等于二，即为 c 一。 它与 x 轴交于点 o 以及点 a 一， 将 c 一 绕点 a 一， 旋转一百八十度，得到 c 二，交 x 轴于点 a 二， 将 c 二绕点 a 二，继续旋转一百八十度，得到 c 三，交 x 轴于点 a 三，如此进行下去，直至得到 c 十。 第一问，请写出抛物线 c 二的解析式。第二问，若点 p 的 坐标为十九到小 a， 在 第十段抛物线 c 十上，则小 a 的 值为多少？ 我们可以看到，这是一道找规律的题目，那就需要我们有一些观察和推理的能力。 为了更好的发现和归纳，我们制作了一张表格。接着我们根据题目的已知来填一填这个表格。 首先，抛物线 c 一 开口方向是向上的函数。解析式的二次项系数为正一， 与 x 的 交点为 o 零斗零以及 a 一。 二斗零，顶点坐标一斗负一，这是我们可以通过解析式得出来的。接下来我们看看 c 二。 c 二开口向下。 由于 c 二和 c 一 这两段抛物线，它们的开口大小是一样的，因此 c 一 和 c 二对应的解析式的二次项系数的绝对值都是一。由于 c 二开口向下，因此 它对应的二次项系数是负一。接着我们由图中可以得出， c 二与 x 轴交点为 a 一， 二逗零， a 二四逗零，顶点坐标为三逗一。 接下来 c 三的信息我们也是同样可以获得的。那我们看到抛物线 c n 的 时候是什么情况呢？ n 为基数时，开口是向上的，就好比我们的 c 一 和 c 三， n 为偶数的时候，开口是向下的，就好比我们的 c 二和 c 四， 以及我们可以通过找规律得到 c n 对 应的函数解析式，它的二次项系数为负一的 n 减一次幂，以及可以得到 c n 与 x 轴的交点坐标以及顶点坐标， 进而我们可以对标第二问，我们需要得到的是 c 十的相关信息。 c 十开口向下函数解析式，二次项系数为负一，与 x 轴的交点为 a 九， 它的坐标是十八斗零和 a 十，它的坐标是二十斗零以及 c 十的顶点坐标，我们可以得到是十九斗一，这也就是第二问提到的点 p， 由此我们把这两问都可以填写出来。首先看到第一问， c 二的解释是， 看到它的二次项系数是负一，它过二逗零以及四逗零，我们可以先用双根式把它表示出来， 再取括号，由此得到 y 等于负 x， 方加六， x 减八，那么第二问 点 p 十九逗小 a 在 c 十上，我们对应下来其实就是我们 c 十的顶点坐标十九逗一，因此小 a 等于一。 我们一起来梳理一下这道题的，我们做题的思路其实就是基于我们找规律的需求，去列了一张表格，去梳理题目中的信息，由此得到一般的情况， 进而求出题目中要求的某一段特殊的抛物线它的一些信息。这道题我们就讲到这里。

好，各位同学，今天我们来学习二年武汉原调二次函数压轴题的第三问。题目说，抛线为 y 等于负二分之一， x 平方加上二分之三， x 加上二与 x 的 负半轴交于 a 点，与 y 轴交于 b 点。 将三角形 a、 b、 o 绕平面内一点 p 点顺时针旋转九十度之后得到了三角形 df 点 a、 b、 o 对 应的点为 df。 第一两点恰好在抛物线上，要求 f 点的坐标， 要求 p 点的坐标，那么根据抛物线的解析式，我们可以求得 a、 b 两点坐标。 那么根据提议，三角形 a、 b、 o 绕平面内的一点 p 点，顺时针旋转九十度之后，得到了三角形 d、 f， 那 么三角形 d、 f 就 全等于三角形 a、 o、 b， 并且 d、 f 平行 y 轴， e、 f 平行于 x 轴，那么 d、 f 等于 a、 o 等于一， e、 f 等于 b、 o 等于二。我们如果设 f 点的坐标为 ab 的 话，那么 d 点的坐标就为 ab 加一， 一点坐标为 a 加二， b 又已知 d 一 在抛物线上，那我们就可以把 d 一 的坐标带入到抛物线，那么 b 加一就等于负二分之一， a 的 平方加上二分之三， a 加上二， b 等于负二分之一乘以括号， a 加二的平方加上二分之三，乘以 a 加上二的括号加上二。 解这个方程，我们就可以求得 a 等于一， b 等于二，那么 f 点的坐标就为一二，一点的坐标为三二。接下来我们再来看这个 p 点的坐标该如何求。 题目说，三角形 a、 b、 o 绕平面内的 p 点顺时针旋转九十度之后，得到了三角形 d、 f， 那 我们就可以理解为 p、 o 绕 p 点顺时针旋转九十度之后得到了 p f， 那 我们就可以大概的画出这个图形，那么三角形 p o f 就是 一个顶腰直角三角形， 那么接下来我们就要根据这个等腰直角三角形来求 p 点的坐标，那么在这里我们就要构造出一线三垂直的模型来求解，那我们就过 p 点作 y 轴的平线，它交 e f 与 m 点，交 x 轴与 n 点。

hello， 朋友们，这个视频我们给大家说一下第四道打卡题目的处理方法。他说在平面直角坐标系中，已知抛物线 y 一 啊，等于这个，然后呢， d 是 一个大于零的数， 抛物线呢，与 x 轴交于 a， b 两点，并且点 a 是 在点 b 的 左侧，与外轴交于点 c。 那 么首先第一问，要求抛物线 y 一 的对称轴，这个的话呢，非常直观直接，用相应的一个表达式，对称轴应该是直线 x 等于负的二， a 分 之 b， 也就是二分之 d 减一。好，接下来我们来看第二位， 它如图一点， d 呢，是在第四象限的，并且在抛物线 y 的 图像上连接 o、 d， b， c 两线相交于点 e， 求 d， e 与 o e 的 一个比值，最大值用含 d 的 式子表示。 好，那这个题型呢，其实是非常经典的，只不过说在这我们的这个表达式中含有了一个参数而已。而且在这的话呢，我觉得大家可以快速的反应一下啊，这个表达式是可以进一步化简，或者说整理成更适合解决这道题的形式的 啊。 y 一 等于 x 平方减去 d， 减一倍的 x 减 d， 那 我们很明显是可以进行一个十字相乘法，对不对？所以你可以把它表示成我们的 x 减 d， 乘以我们的 x 加一。 那通过这个的话呢，我们其实直接就知道啊， x 一 是等于负一， x 二是等于 d 的。 根据图像，其实 a 点的坐标就是负一到零，而 b 点坐标就是 d 到零。 好，这样一来的话呢，其实这个问题啊，已经比较的明确了，我现在要求他的一个比例的最大值。那我们知道啊，在这的话呢，就是进行一个相似的转化，所以我可以从 d 点做一条 竖直线，因为 d e 是 很明显同一条直线上不相邻相邻的两个线段之比吗？所以假设做一条竖直向上的线 d t， 好， 那这个时候的话呢，我们可以得到三角形 d e t 是 相似于三角形我们的 o e c， 所以 咱们题目要求的 d e 比上 o e， 就 可以转换成 d t 比上 oc， 那 这个比值好不好处理呢？我觉得应该就很好操作了啊，因为在这的话呢，我们可以回归到设点的一个逻辑，对不对啊？那 t 我 们来看一下啊， o c 的 长度通过题目意思应该是等于 d 的， 注意标的是长度啊。好，那么在这的话呢，进一步就可以转换成是等于 t d 分 之 dt 当地作为一个参数啊，它应该是相对确定的，所以我们要求的就是 dt 的 一个最大值。那在这的话呢，我就不去设点慢慢做了啊。呃，正常的做法就是你设 d 点坐标，然后去进行一个求结。那在这的话，我就直接说，我们给大家分享过的结论 就是，当我们 d 点的横坐标是这条直线与抛物线两个交点的什么中点的时候，那么他有最大值，这个 c 点的横坐标是零， b 点的横坐标是 d， 所以 说我们就直接可以得到 d 点的坐标，横坐标应该是二分之 d， 他 们横坐标中点，那纵坐标带进去是不是就可以求出来了？应该是四分之负 d 的 平方减去二 d。 所以啊，最大的时候 d 的 一个坐标出来了，那 d 的 坐标出来，我进一步可以求出对应 t 的 一个坐标，那 t 的 坐标的话呢，结合它是在这条直线 bc 上，而直线 bc 的 一个解析式非常直观， y 等于我们的 x 减 d 啊， y 等于 x 减 d， 所以 横坐标是二分之 d， 重坐标是负的二分之 d， 那 在也就可以得到 d t 它的一个最大值 啊，拿 t 的 动作表减去 d 的 动作表，这个的话呢，大家可以自己去进行计算，是四分之 d 的 平方，所以 我们的一个比值 d 比上 o e 的 一个最大值啊， d 比 o e 的 最大值就是等于 d 分 之 d， t 的 最大值也就是四分之 d。 但这个题目的话呢，其实本质和我们之前的这种问题没什么区别啊，只不过呢，在这他是没有给具体的一个表达式对不对啊，而是含有的一个参数，那你就用这个参数 d 去表达就可以了啊。好，这样我们来看第三问， 他说啊，如图二，当 d 等于三的时候，我们将抛物线啊 y 向上平移四个单位，得到 y 二，那么抛物线 y 二与 x 轴交于点 e 与外轴交于点 f， 点 p 呢，是直线 y 等于负 x 加二分之一上任意一个点，并且这个 p 点是在抛物线对称轴右侧的。 那么直线 p e 和 p f 啊，分别交抛物线 y 二呢？于另外的 m 点和 n 点 连接 m 啊，请问这个直线 m n 是 否过定点？如果求出该点的坐标。好，那这种题目的话呢，应该说我们带着大家也做了不止一次了。首先的话呢，我们还是把这个抛物线 y 二啊，把它求出来，那么在这我就直接在它下面写吧。 嗯，由于我们的 d 是 等于三的，所以 y 一 我们带进去啊，也就是 x 的 平方，减去什么呢？减去二， x 减三。 好，那么接下来向上平移四个单位，进一步得到 y 二，所以 y 二就应该是 x 的 平方，减去二， x 加一， 加三，加下减函数项。那这样一来的话呢，其实 e 点和 f 点的坐标非常好求吧， e 点毋庸置疑就是一到零，而 f 点呢，就是零到 一。好，接下来我们要求它是不是过定点啊？我们在这自然想的最基础就是我直接去设 m 点和 n 点的坐标，然后去一步一步操作，对吧？好，我们假设啊，令 m 点的坐标，我就直接设它横坐标为 m， 那 自动纵坐标就是 m 的 平方减二， m 加一，而 n 点，我就设它横坐标为 n， 那 么自然纵坐标就是 n 的 平方，减去二， n 加一。 好，接下来我是不是可以去把我们的这个 m e， 它的一个直线解析式 m n 以及我们的这个呃， n， f 这三条直线解析式是不是都可以进行一个表达？好，首先我们来看一下我们的一个目标，也就是 m n 这条直线解析式， 那么 m n 的 直线解析式呢？结合 m 点和 n 点的坐标均知道，对不对啊？这样你可以写 y 等于 这个的话，你带入去进行一个求其啊，中坐标减中坐标比上横坐标比横坐标斜率嘛，中坐标减减中坐标。我们来写一下啊，也就是 m 的 平方减去二 m 加一，减 n 的 平方加二 n， 然后减一 中坐标整减中坐标，然后横坐标减横坐标，那就是 m 减，然后还经过我们的 m 点或者 n 点，你带随便带一个就好了。 x， 当横坐标为 m 的 时候，中坐标为 m 的 平方减去二 m 加一。 好，那这个的话呢，我们其实左边这一部分啊，很明显加一减一是不是约掉了，那么刚好 m 平方减去 n 平方以及负二 m 加二 n 是 可以提一个 m 减 n 出来的，对不对？所以说呢，你可以稍作整理，那么最后得到啊，应该是 m 加 n 啊， m 加减二倍的 x， 那 后面的话呢，你把它进行一个整理，得到的应该就是加上或者加一减去 m n 减 m n 加一吧，减 m n 加一。 好，这是这个 m n 的 直线解析式啊，当然啊，这现在还有这些参数， m n 啊，对不对？但是我们最终的落脚点肯定就是与这个 m n 没有什么关系嘛，对不对？好，那么还有另外两条直线， 一个是我们的这个 m e 啊， m e 是 好写的 l m e 好，那么在这的话呢，呃，我们同样把它的一个纵坐标做差，比上横坐标做差，这两个点都是确定的啊，所以纵坐标做差 就是 m 的 平方减去二 m 加一横坐标， m 减一单横，呃，因为 m e 的 话呢，过一到零啊，横坐标为一的时候，纵坐标为 零，所以直接就是这样一个，那当然我们可以稍作整理一下，因为 m 肯定不等于一嘛，对不对？在这，所以 m 减一分子式 m 减一的平方约掉了，就是 m 减一倍的 x 减一啊，当然你写成这样也可以啊，或者你把它展开一下，我觉得也没什么区别。好，那么另一个就是我们的直线，我们的 f n n f， 好，那同样的 n f 纵坐标作差， n 的 平方减二， n 加一，再减一，横坐标就是 n， 好， 然后呢，它是经过我们的横坐标零一，对不对？所以就直接 是啊，零一，那就这样好，我们把它稍作整理，也就是 n 减二倍的 x 加一， 所以这是他对的一个函数解析式。那么接下来的话呢，我们现在要达到的一个要求是不是就是他们俩的交点啊？比如这个 f n 和 m e 啊，他们的交点是不是就是我们的 p 点？所以说呢，我们在这要把它的一个交点进行求解，那在这的话呢，可以进行一个连立， 也就是我们的 y 等于 m 减一乘以 x 减一，以及 y 等于 n 减二倍的 x 加一，这个的话呢，你把它连立出来，从而得到 p 点的一个坐标，那这个的话呢，需要大家自己去耐心算一算啊。 呃，我这就直接给大家说最终的一个结果了，我们的横坐标算出来应该是 m 减 n 加一分之 m， 而纵坐标就是 m 减 n 加一分之 m， n 再减去二 m 再加一个一， 好，当然的话呢，还有一个条件就是 p 点，它是不是在这样一条定直线上的，所以说呢，我们的横纵坐标啊，存在着一个对应的等量关系，那也就是，呃，横坐标的相反数加二分之一，是不是就是纵坐标？所以我们在这可以带进去，也就是 m 减加一分之，负 m， 横坐标相反说加二分之一，对吧？啊？加二分之一应该等于正坐标 m 减加一分之 m 减去二， m 加一，好，那这个式子的话呢，你可以进行相应的整理，对不对？而且我觉得这个你把它移向一下，应该说是比较好操作的吧。你说简单的进行一个移项， 那也就是我们的 m 减 n 加一分之，你把移到右边，也就是 m n 减 m， 其实就等于负的二分之一，那在交叉相乘，进行相应的一个处理，我们最终可以得到 m 加 n， 它是等于二倍的 m n 再加上一，那这相当于是 p 点啊，所带来一个关系式。好，这样一来的话呢，其实我们之前所写的这个 m n 的 直线解释中啊， 这个 m 加 n 以及 m n 是 不是就可以相互进行一个转化了？那也就意味着我们之前写的 m n 的 一个直线解释式，我在这可以进一步转化。所以 l m n， 它所对应的一个解析式就是 y 等于，那 m 加 n 的 话呢？你直接把它改写成什么呢？二， m n 加一， 呃，再减二，那就是减一倍的 x， 再减去 m n 再加一。 好，这个形式的话呢，因为我的目的是要与跟与这个 m n 无关，对不对呀？因为 m n 是 随机的嘛，那不管 m n 取何值，它最终的结果是没有区别的，所以你要先展开啊，那这个就又回归到了我们基础的，减去 x 减 m n 再加一，要与 m 无关，先把 m 找出来和并同的项，也就是二 x 减一，再减 x 加一，则当什么呢？当我们的二 x 减一等于零，既 x 等于二分之一时， 我们的 y 也为 y， 也横为啊。呃，带进去，前面为零，负二分之一加一等于二分之一，那是不是就意味着它过定点什么呢？所以过定点 二分之一到二分之一啊。那这种题目的话呢，确实它的计算量往往是会比较的大的，希望大家稍微耐心一点，一步一步去进行一个表述，解决问题。

看这个题型， y 等于负， x 平方加二， x 加三。首先大家看看我们的二次函数，我们首先把 a、 b、 c 三点坐标解出来，好，我们念 y 等于零，所以就变成负 x 平方加二， x 加三等于零，也就是 x 平方减二， x 减三等于零，对吧？那么这时候用十字相乘法就变成 x 减三乘以 x 加一等于几等于零。 那么这时候我们仍然知道 a 点的坐标是非零， b 点的坐标是什么？三，零， c 点的坐标是零三， c 点的坐标是零三。好，我们把通过另外的零，我们把 a、 b、 c 三点的坐标求出来了啊。 现在问我们抛物线上是否存在一点扣，这个扣在什么地方？ 目前我不知道。目前我不知道。他说这点 q 使得三角使得角 c b q 加上 i c o i c o， 我 知道了 i c o 的 角在这，在这地方， 那么 c b 扣。那么大家看 c b 扣，我们知道 c 点，我们知道 b 点，我们现在不知道扣点，所以说 c、 b 扣的这个角我们不知道了。 有家长告诉老师能用正确和讲公式吗？我们先分析这个题型啊，我们题目做出来啊，是另外一部分的，我们主要是看这个题型以后我们的定角我们该怎么做？比如说我们这个题型是将我们求四十五度的，如果以后将我们求六十度的， 或者是求三十度的，我们该怎么办？所以说我们先看定角的这种题型我们该怎么做好？ 那么现在我们的扣点我们不知道了，我们现在只知道 i c、 o 这个角了，只知道 i c o 这个角，那么现在扣点我们不知道 扣点是不是？不知道，那么现在我们怎么找扣点？也就说使得 i c o 和 c b 扣，扣点在什么地方？各位家长能告诉老师扣点在抛物线上，那么不外乎扣点就有两种可能，扣点的可能性， 他哪两种可能性？有没有家长告诉老师扣点的位置在什么地方？有没有家长告诉老师扣点的可能性？有两种可能性，那么要么是什么？要么是在 b、 c 的 上面扣点的。第一种可能是 bc 的 这条线段的什么上方？ b 线的这条上方一点扣点的起的线是在什么？ bc 的 下方，那么扣点是不是这种两种两种可能，一种扣点是在我们直线 bc 的 上方， 也就是我们线段 bc 的 上方，有可能在这一段抛物线的上方。 那么另外的一种可能是什么？就是在我们 b、 c 的 下方，这是我们。 那么这个 b 点是不是就这种两种可能，搞清楚扣点它的位置在什么地方？ 好，那么我们现在找第二个，大家以后做这种题型啊，首先我们要找清楚哦， a、 c、 o 的 角在这地方了哦， a、 c、 o 的 角这个角在这地方了，那么说明我们 b c、 c d 扣这个角，我们该怎么找？那么这是我们第一个 有家长告诉老师是一二三四五六七。好，我们再看第二个，这两个角加起来等于四十五度，有这四十五度的特殊角，我们就想办法一给我们这四十五度，他不可能无缘无故的，我们就要找我们这个题目里面有没有四十五度的存在， 我们题目也就说我们这个图像上面有没有四十五度的存在，大家给老师找一找，我们这个二次函数和我们的一次函数有没有四十五度存在？不存在四十五度， 是不是存在四十五度？ o、 c 的 长度等于几？ o c 的 长度等于三， o、 b 的 长度也等于几？ o、 b 的 长度等于三，说明我们的三角形 b、 o、 c， 它是一个等值三角形，大家能不能看出来？ 因为 o、 b 的 长度等于三， o、 c 的 长度等于三，说明三角形 b、 o、 c 是 一个等值三角形。 哎呦，知道这个三角形是一个等值三角形，也就是这个角是四十五度，也是这个角等于四十五度。大家豁然开朗了，也就是说现在的这两个角， 现在的这两个角 c、 b 扣和我们的 a、 c 物，想办法把它变成，想办法，这两个角变成我们这两个角的任意一个角不就好了吗？ 那么 i、 c、 o 是 在这地方不动了啊？ i、 c、 o 是 不是不动了？那么现在 怎么样的？把两个角加起来等于多少？四十五度？四十五度和我们的 i、 c、 o 是 不是挨在一起的？所以想当然了，我去干什么？我们做一个，比如说我们在这地方取一个点 d， 取 o y 等于 o d， 取个 o d， 我 知道应该这样反啊，取 o d 等于 y， 在 这地方在 x 轴上取一点 d， 使得 o、 d 等于 y。 大家看 我们的 a、 o、 c 这个角，我们是不是转到哪个角来了？是不是转到这个角？也就是说我们现在的 a、 o、 c 这个角五，是不是转到我们的这地方？是 d 啊？是不是转到 o、 c、 d 这地方来了？ 我们的角 a、 c、 o， 我 们是不是转到 o、 c 这地方来了？对的，对称也可以。 那么现在我们只要找一个角，剩下的这个角你看这两个角加起来是不是四十五？现在我只要找这个角 o， 只要找这个角 b 角 b、 c、 d， 你 看 b、 c、 d 找 b、 c、 d 等于我们的 c、 b 扣是不就行了？ b、 c、 d 点睛，大家看到啊， b、 c、 d、 d 点睛，那么 c、 b 扣在哪我们不知道， 那么第一种的可能扣点在 b、 c 的 上方，如果扣点在 b、 c 的 上方，你看，那么做出来一个 b、 c、 d 和我们的 c、 b 扣上的， 我们马上晓得了要做一个什么角，你看 b、 c、 d 和我们的 c、 b 扣上的肯定做的什么角，非得做 c、 d 的 平行，不点 b， 做我们 c、 d 的 平行线，不点 d， 做我们 b、 c 的 平行线，那么这个相交就叫做扣点。那么现在这两个角是什么关系？这两个角是内错角， 这两个角是不是立缩角？这个三角形是不是等于红的？这个圆圈，这个蓝颜色的是不是等于这个红颜色的？这个蓝颜色的是不是等于我们红颜色的？ 这两个加起来是不是等于四十五度？说明我们的 c、 b、 q 加上我们的 a、 c、 o 是 不是等于四十五度了？所以说第一种方案我们是不是把四十五度找到了？ 第一种的方案，我们是不是把四十五度找到了？也就是说我们第一种是什么？扣点在 b、 c 的 上方，怎么做的？哦？我们首先 作 o、 d 等于 y， 把我们的 a、 c、 o 转到哪个地方来了？转到这个地方来了，那么剩下的角就是我们的 c、 b 扣。 那么现在我们要想求扣点的坐标，那么是不是现在要想求扣点的坐标，是不是求 b 扣的解析式由什么？如果把 b 扣的解析式出来了，和我们二次函数 连在一起，我们扣点的坐标是不是就出来了？ 如果现在，如果现在我们把必扣的解析式知道了，那么必扣的解析式和我们二次函数是不是连在一起了？好，那么现在我们重点的第一个任务是什么？求必扣的解析式， 那么 b 口的解式，我们现在知道它是一次函数，一次函数 y 等于 x 加 b， 我 们知道其中呢？有一个点， b 点的坐标是三零， b 点的坐标是不是三零？很多的三纵轴表示零。 b 库的解析式和我们 cd 的 解析式是平行的。 cd 的 解析式和我们 b 库的解析式，这两个解析式是不是平行的？那么现在我们又转过来求 cd 这个函数的解析式 是不是求 c d 的 函数的解析式？如果 c d 的 函数解析式求出来了，那么我们的 k， c d 的 k 是 不是出来了？ c d 的 k 和我们 b q 的 k 干什么？是不是互相平行的，那么这个 k 是 不是也知道了？ 于是我们就能把我们 b q 的 解析式解出来了， 那么第一种的方式，好，第一种的方式，老师先擦，清平了啊，大家跟老师互动，哪个地方你没有听懂的，你告诉老师解出来看等级，第一个解出来看等级我就好，我们把这句话清平了啊。 第一种的方案，老师给大家放大了啊，你看 大家可以看见我们取 o e， 取我们这只方二点五取的是 d 啊，取 o e 等于什么？取 o e 等于无底，你看 o e 等于无底 能连接什么？连接 c e， 那 么 c e 的 解是我们把它出来了，你看，然后是这个角和这个角是不是相等，这个圆圈跟这个圆圈是不是相等？三角形加圆圈是不是四十五度，所以这个三角形加圆圈是不是四十五度？ 那么这个 k 减出来等于负三，也就说 y c e， 它的 k 是 几？ k 等于负三， k 等于负三，那么我们 b 扣这条解式的 k 也等于几？负三 x 加几加 b， k 也等于负三。经过哪一点？经过 b 点的坐标， b 点的坐标是几？ b 点的坐标是三零，所以把它带进去，零等于负三。 x 把 b 点的坐标带进去，那么等于几？负三 x 乘三负九， x 加几加 b 等于零。负九 k 负九 负九加 k 解出 b 等几，解出 b 等于九，解出 b 等于九，说明我们 y b 扣的解元是 y 等于多少？负三 x 加几负三 x 加九，这个解元是数出来的，那么现在它是不是在我们二次函数上所定义？ y 等于负 x 平方加二， x 加三，减我们的扣， 接我们的 x。 好， 第一种的方案老师给大家讲完了啊，那扣点在 b c 的 上方，那么现在我们给大家讲第二种方案，不 f 是 什么？扣点在 b c 下方，不 f 就 这两种吗？ 那么如果扣点在 b c 的 下方，大家看，也就是说还是刚才的这个角，我们再调换图形啊，我们再换一个图形，这个图形我现在不要了，我们再换原来这个图形，那么现在 扣点在 b c 的 下方，那么仍然是 a c 扣 a c 五和 c b 扣， 大家想一想，那么现在我们刚才用了这个四十五度，大家想一想我们怎么样的把两个角，有家长告诉老师过 b 做 c、 e 的 垂线，有家长告诉老师过 b 点做 c、 e 的 垂线， 那么第二个我们该怎么做？有没有家长给老师提供思路？第二种的情况下，我们的扣点在 b、 c 的 下方，我们该怎么做？ 那么第二种大家看啊，刚才的第一种方案，是不是把这个角和我们的 c、 b 扣这上面这个角，这两个角都转到这样一个角里面去了， 那么第二种情况其实非常非常的简单，怎么简单？大家一定要注意啊，我们这个二次函数里面的一次函数，也就是说这个三角形时时刻刻是一个什么？等腰直角三角形， 是不是一个等腰直角三角形？所以说我们第一步一定要先转哪个角，先转我们的角 a、 c、 o， a、 c、 o 怎么转？很简单的，我们在 o、 c 上，比如说我们取一点 d， 使得 o， d 等于 y， 在 o c 上取一点 d， 使得 o， d 等于 y。 大家看现在我们的这个角就转到这个角来了，大家能不能看出来这两个角相等，老师画的不平啊？画的 a、 c、 o 是 不是转到角 a、 c、 o 是 不是把它转到我们的角 o、 b、 d 这两个角了？角 a、 c、 o 是 不是转到我们的角？ 角 a、 c、 o 是 不是等于我们的角 o、 b、 d 是 不是等于我们的角 o、 b、 d？ 大家看这两个三角形， 我刚才做了一个 o， d 等于 o， d 等于 y， 大家看下这两个三角形，一条边 o， d 等于 y， 一 条边 o， b 等于 o c。 还有一个 夹角是九十度， o b 等于 o c， o i 等于 o d。 夹角都是什么？都是直角。所以说我们可以证明三角形 a、 o、 c 全等三角形，三角形 a、 o、 c 全等于三角形 d、 o、 b。 利用什么？利用 s a s 这两个三角形是不是全等了？全等好了以后，目的就是告诉我们，目的就是转什么？目的是转角角 a、 c。 物就转到我们的角 o、 b、 d， 把这个角转到这个地方来了， i c、 o。 转好了吧。那么剩下的角，你看这个角是不是四十五度？ i c o 加 c b 扣是等于四十五度，说明剩下的这个角，剩下的这个角，它不就是四十五，就是四十五度减去什么 i、 c、 o 吗？ 剩下的角就是什么 c、 b 扣，说明这个点就是什么，就是扣点。 我们的 o、 b、 d 是 不是等于我们的 i c o o。 说明剩下的 c、 b、 q 这个角就是我们真正的 c b q。 好， 来把这地方清平了啊，好，我们再把这个图形换一下， 大家看我们这个题。那么现在我们在 o c 上面，在 o c 上面 取，在 o c 上面取我们的 o f 等于什么？等于我们的 y， 你 看 o f 等于我们的 y， 取 o f 等于 y。 所以 三角形 a、 o、 c。 看好 a、 o、 c 这个三角形，大家看 a、 o、 c 这个三角形，它一定 全等于我们的三角形 f、 o、 b 这两个三角形是不是全等？利用 s a s， 第一个里面有什么 o， i 等于 o f， 直角等于直角，还有我们的 o b 等于什么？ o b 等于 o、 c， 这两个三角形是不是全等了？对的 s s 三角形全等好了以后， 目的是告诉我们 a 这个角大家看清了啊， a c、 o 转到哪来了？ a c o 是 不是转到这个地方来了？也就是角 a、 c o 就 等于我们的角 o b f， 那么现在 a、 c o 加上 c b q 等于四十五度，这个角加这个圆圈就是四十五度了，说明我们的角 c、 b、 f 是 不就是我们的 c b q？ 所以 延长 b f 交抛物线于哪一点？延长 b f 交抛物线与扣点。延长 b f 交抛物线与扣点，扣点是不是找到了？ 延长 b f 是 不是交我们的抛物线于哪一点与扣点？那么现在仍然就是我们的什么 必扣的这一套解析式与我们抛物线 y 等于负 x 平方加二， x 加三的这两个，一个是一次函数，一个是二次函数，又是年龄，干什么解这样的一个方程组？ 现在我们的任务是找必扣的解析式。必扣的解析式，大家想一想是不是已经有了？ b 点的坐标是三零， b 点的坐标是三零，还有一个 f 点的坐标，刚才我们知道 o f 等于什么？ o f 等于 o i， o i 的 长度是不是一说明 f 的 长坐标是零及 f 的 坐标是零一， b 点的坐标知道了， f 点的坐标知道了，说明 b f 的 解析式 y 等于什么？ k x 加 b， b f 的 解析式是不也出来了？ b f 的 解析式出来了，也就说我们 b q 的 解析式也是出来了，是不是一样的？那么连立 y 等于 b y， b q 的 解析式和我们 y 等于负 x 平方加 r， x 加三等。 又通过这联例，那么我们又解出来扣点的坐标。 好，老师给大家讲这个题型的目的是什么？我们如果题型出现了两个角加起来是一个定角， 比如说四十五度，是六十度，是三十度，这样一个特殊角肯定是特殊角，大家记住了啊，肯定是特殊角，要么四十五度，要么六十度，要么九十度，像这种特殊的角，大家记住，如果遇见到两个角加起来等于特殊角，大家记住 一定是在我们这个二次函数这个图像上面干什么，你先把这个特殊角干什么，你把它找到，然后才能往里面掏。 哦，这个这个题目给我们什么？给我们是四十五度，你要想办法哦，这个一次函数围成了这个角是四十五度，想办法把这两个角变成我们的四十五度， 如果这个地方是六十度，那你一定要通过这个边的关系，也就是说通过三角函数哦，三耳法的二分之一，马上就出现了一个六十度，你要想办法找六十度， 这就是我们这个定角问题，我们怎么处理的？这个定角的问题我们该怎么去处理的？那么他肯定 是一个特殊角，正常的情况下有三十度，正常情况下啊，六十度，四十五度或什么九十度的，像这些特殊角三十度都少， 三十度也有，对吧？那么找到三十度或六十度，那么正常的情况下，我们就要知道这个边哦，这个边是二，那么知道这个边是什么？四，马上知道这个是什么三十度，我就要想办法 长这样的一个角了。所以说今天给大家讲的第一个我们的特殊角怎么构造的？好听懂的家长给老师扣一。

二次函数压轴题里边的面积问题呢，是拉开我们分数的重中之重，很多同学呢，一碰到就卡壳。其实呢，这类题的方法呢，也很简单，今天，哎，老师就把答题思路和技巧全讲透，帮助大家稳稳拿下这块分值。好，首先我们先来读题， 如图，这个抛物线呢， y 等于负二分之一， s 方减 x 加四，经过 a、 b、 c 这三个点。好， b 点的坐标人家已经给你了，哎，直线 a、 b 与抛物线的对称轴呢，交于点 e， 然后点 m。 同学们，点 m 在 直线 a、 b 上方的抛物线上运动，所以同学们，它是不是只能在这段上运动， 对不对？只能在这个直线 a、 b 上方的抛物线上运动啊？好，现在让我们求的是当三角形 a、 b、 m。 好， 我先假设 m 在 这儿可以吧？好，当 a、 b、 m 的 面积最大的时候。求，同学 们，目前我们是不是已经知道了，当 a、 b、 m 面积最大的时候，我们 点 m 的 坐标是零点四，对不对？好，那我想问一下同学们，我们 n 点的坐标这个时候是多少？ n 点的横坐标和 m 的 横坐标是相同的？纵坐标，纵坐标是不是往这里一带？是不是零点二，对吧？同学们来观察一下啊！来，老师写三个点的坐标来观察一下，一个是 n 点， 一个是 a 点的坐标呢，是二逗号零。一个是 b 点的坐标呢，是负二逗号四。来观察一下，这三个点有什么样的关系？ n 点的坐标刚刚好是 ab， 这两个点坐标的终点坐标，你发现没， 终点坐标怎么求的呀？是不是二分之 x 一 加 x 二。好啊，二分之外，一加外二，对不对？好，你来算一下 n 点呀， 刚刚好是 ab 的 中点坐标，这个时候人家让你求的是点 m 的 坐标，我能够把 n 点的坐标确定下来了，那 m 点的坐标是不是就出来了？你会发现刚刚好，当 abm 面积最大的时候， n 点就是 ab 的 中点，对不对？好，那所以同学们，其实是哪一种情况呢？就是相当于这个 图像呀，就刚刚好是在这里，这个地方就是点 m， 这个地方呢，就是点 n。 如果说让你去求点 m 的 坐标的时候，你是不是可以直接利用 a b 的 中秒坐标？好，那这个方法给大家总结一下，叫做什么呢？对不对？叫做直抛相交，最直取中一个直线 a b 和一个抛物线相交。 然后呢，如果说要去求 abm 的 面积的最大值的时候，就取 ab 的 钟点坐标 n， 这个时候同学们，如果说人家让你求的是这个一次函数中的这个点 n 的 坐标，你就这样去求啊，如果说让你求点 m 的 坐标，你是不是利用点 n 的 坐标把横坐标求出来，然后再去把横坐标代入二次函数的解析式中，求出来点 m 的 纵坐标就可以了， 对不对？好，那就是这个方法啊。好，那依据这个方法呢？老师给大家出一个题目，我们来秒杀一下啊。那现在是说已知炮线好与 s 轴交于 a b 两点， b 点的坐标是 八多少零啊？好，然后这些与交于 c c 是 零多少？四？好，我就读这么多。同学们， 然后呢，求当 m n 取得最大值的时候， m 的 坐标。同学们，这个时候你思考一下啊， m n 是 不是我们刚刚所表示的那个数值线段对不对？好，人家现在是求到当 m n 取得最大值的时候，跟我们刚刚那个要去求三角形面积的最大值，是不是同一种题目呀？同学们，你思考一下， 我们刚是不是表示了？哎，我们这三角形的面积怎么去表示啊？ m n 的 长乘以 x b 减 c 再乘以二分之一，对不对？好，那所以 m n 的 长达到最大的时候，我们整个三角形的面积就达到最大了，所以这类题目同学们跟刚刚那个题目是不是一样的道理，对吧？好，那这个时候 求 m 的 坐标， m 在 这，我们是不是可以直接利用我们的口诀，直抛香蕉，对，直取中找出来 n 点的坐标，现在呢，我的 b 点坐标是八个 h， c 点的坐标呢？是零的和四。好，那这个时候 bc 的 中点是不就是当 m n 取得最大值的时候的 n 点的坐标，对不对？好，那这个时候 n 点坐标多少？八加零除以二，那就是四， 零加四除以二，那就是二。好，那所以 n 点的坐标我就求出来了。然后求的是什么？求的是点 m 的 红坐标，点 m 的 红坐标和点 n 的 红坐标是怎么什么关系？哎，是不是相等关系？所以直接就出来了，同学们选择我们的 三 c 选项，哎，这是我们的这道题目啊，直接秒杀。好吧，老铁们，那这道题目呢，就给大家讲到这里啊，后面的拓展也一定要好好的去掌握。

我们今天来看一道二次函数的线端垂直问题，题目当中说已知函数抛物线为 y 等于 a， s 平方加 b， s 减四，交 x 轴于四豆零和负二豆零，这两个点交 y 轴于点 c。 第一问，求函数的 抛物线的解析式，那两个点求两个位置数，我们将两个点代入，得到是零等于 十六， a 加四， b 减四，零又等于四， a 减二， b 减四，所以得到的是 a 等于二分之一， b 等于负一，所以函数表示 y 等于二分之一， x 平方减 x 减四。 那接着看第二位，题目当中说 p 点是抛物线上位于 a c 下方的一个动点， 一定要注意这两个关键词啊，是一个是在下方，一个是在动点，那题目当中说 p 点做平行线，分别交于点 d 和点 e， 然后求 p d 加 p 的 最大值， 那我们知道 p 点是抛物线上的动点，那 p d 这条线段和 p e 这条线段，他们的之间的值并不明确是几，所以让我们求最大的距离。 那我们该怎么去表示这个 pd 和 pe 的 距离呢？我们像以前一样可以设设 p 点的坐标为 m 逗号，那横坐标设 m 的 话，纵坐标一定是二分之一， m 方减 m 减四， 那 e 点是和 p 点在同一竖线上，所以 e 点的横轴， e 点的坐标一定是 m 逗零， 那同样 d 点的坐标，他和 p 点是在同一横线上，所以 d 点的纵坐标确定一定是二分之一， m 方减 m 减四，那现在唯独就是他的横坐标不确定，我们回头要想办法求一下， 那现在要表示它们之间的距离的话，那就是 pe 的 距离是等于它纵坐标相减是零，减去二分之一 m 方减 m 减四，这里面一定要注意这个问题是这儿 它是一个整体性问题，一定要带括号相减得到是负二分之一 m 方加 m 加四， 那下一个我们继续求 p d 的 距离，那 p d 的 距离是 p 点横坐标减去 d 点的横坐标，那现在 d 点横标我们不知道，但是我知道的是 d 点在 a、 c 这条横线上， 那 a、 c 这条线，我们知道 a 点的坐标是四到零，那 c 点坐标。根据二次函数抛物线的表达式，我们可以知道 c 点坐标一定是零到负四， 那 a、 c 的 函数表示，我们可以求解。设 a c 的 函数表示为 y 等于 k， x 加 b， 然后将 a 点和 b 点分别 a 点和 c 点分别代入得到的是 零等于四， k 加 b， 然后负四是等于零加 b 得到 k 等于正一， b 等于负四，所以 a、 c 的 函数表示为 y 等于 x 减四。 我们既然知道 a、 c 的 函数表示为 y 的 x 减四，那 d 点它是在这条线上的，所以我们可以将 d 的 纵坐标代入，知道是二分之一 m 方减 m 减四，但是它纵坐标那等于什么呢？等于 x 减四， 求得的这个 x 就 一定是 d 点的横坐标，所以 x 是 等于二分之一 m 方减 m， 那 pd 的 距离我们会表示了 pd 的 距离是用 p 点的横坐标减去 d 点的横坐标，用 m 减去 二分之一 m 方减 m， 所以 等于负二分之一 m 方加 m， 那题目是让我们求它两人合的最大值，所以 p d 加 p， e 是 等于负二分之一 m 方加二， m 加上负二分之一 m 方加 m 加四， 那整理得到负 m 方加三， m 加四，那题目让我们求最值，我们知道这是一个二次函数表达式，那负二次项的系数为负值，所以开口朝下，最大值一定在它的顶点处，所以我们要找顶点配方。 负 m 平方减三， m 加四，那配方怎么配？找一次项系数的一半， 所以等于负 m 平方减三， m 加四分之九，一半的平方吗？那多了一个，就得减去一个 加四，整理得到负 m 平方减三， m 加四分之九，这个负四分之九拿出来之后还一个负值，所以负负得正，加四分之九加四，最后负 m 减 二分之三，括号的平方加上四分之二十五，那我们就可以知道了。所以当 m 等于二分之三时， p d 加 pe 一定有一个最大值，那最大值是谁呢？是四分之二十五，但是这个题目让我们求的是点 p 的 坐标，所以我们要要将这个 p 点求出来，回到 p 点，我们设的 p 点横的表示 m， 那 我们知道 m 是 等于二分之三时，所以将它带回去，得到的是 p 点坐标为二分之三。逗号负八分之三十五，你学会了吗？

哈喽，各位小朋友们和家长朋友们，那今天的话呢，我们一块来看一下九年级期末易错书里的二三数专题， 那么有关这个专题的内容呢？首先，呃，在整个的啊，初中的生涯里面，可以说是非常重要的直观重要的一个章节啊， 因为这里面呢，在中考里面也是经常会出现在压轴大题的位置啊，包括小题里面呢，也会有些这种题型， 所以我们把它分成两个视频来去讲解。第一块的话呢，我们主要去讲解一下图像及基本性质啊，这里面呢也有很多需要讲解的，第一个是对称轴， 顶点坐标，开口方向以及呢相关的，去求一些不等式以及描述整个抛物线的一些增点性的这样一个问题 啊，那下一个视频呢，我们会讲解一下求解以及啊与实际或者与几何结合的啊，这么一些问题啊。那么啊，这个图呢，可能稍微有点小问题啊， 就是这里面各个学校的知识梳理下来呢，总共的分值占比呢，是非常大的啊，我们起码呢应该有二十五 分左右啊，那具体的这个分值呢，我们可以看这个这个这个图上啊，那长安区的话呢，是考了啊，有一道大题和这么几道啊，三道小题， 然后四十的话呢，是三道小题，一道大题，调七的话呢，两道小题一道大题，二十八的话呢，小题更多了啊，然后四十三的话，也是小题和大题都很多啊，所以二次函数在期末里面还是很重要啊，因为我们全一测的重点其实就在二次函数。 好，那接下来我们来简单梳理一下这些知识点，好吧，梳理一下知识点，首先呢，二次函数的基本定义，我说形如 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 这里面 abc 均是常数，并且 a 一定不等于零的函数，我们把它称为二次函数， 其中 x 是 正变量，然后 abc 分 别是二次项系数、一次项系数和常数项好吗？那这是最基本的定义，那我们再三强调，如果这道题里面规定是二次函数了，那么 a 不 等于零。 但是经常会有一种考题，它可能直接说函数 y 等于 ax 方，那写一下函数 y 等于 ax 方， 然后加 b， x 加 c， 那 像这种情况下，他只说函数，没有说二次函数的时候， a 是 可以取零的，那如果 a 取零，然后 b 要不等于零的话呢？那这就是一次函数 能看到吧？啊，所以这种的话呢，也是存在的，所以具体的话你要看题目而定好。然后接下来啊， 我们来说一下跟它图像相关的考题，这种考题是非常非常多的，首先 a 决定什么呢？ a 决定这个抛物线的开口的方向， a 如果要大于零，则抛物线开口是向上的， a 如果要小于零，则抛物线开口向下的。在这里呢，我们可以对比一下 y 等于负 x 方和 y 等于 x 方，然后结合这个图啊，你看上面这个是 y 的 x 方，下面这 y 的 负 x 方， 那么如果说我们把这个 a 的 值啊，就 a 的 绝对值增加，那么把这里面的写一个，就画一个 y 等于二 x 方和 y 等于负二 x 方。这两个图像， 我们去和原来去对比，你会发现它相当于往里面更紧缩了一些，能看到吧？往里面更紧缩了，所以原来的话，比如这么宽，那现在呢？变这么宽，再大，绝对值要再大就再往里缩，所以 a 的 绝对值其实决定了它的开口的大小， 那如果 a 特别大的话呢，它它它就缩的，缩的会非常非常的窄，那这个开口非常非常窄。那如果说两个抛物线，它的 a 的 绝对值是相同的，那其实它形状是完全一样，只不过就一个是向上的，一个是向下的，就征服性一个向上，一个向下，就这点区别 啊。好，那么接下来我们再来看，就是二次函数图像与系数的这样的一个关系啊。这里面一个我们刚刚解释过了， a 的 作用是决定了开口方向和开口的大小，对不对啊？这是 a 的 作用，那么 b 是 用来干嘛的呢？ b 和 a 共同可以决定这个抛物线的对称轴到底是在哪里啊？哎，决定它的对称轴到底是在哪里，那大家也都知道，对称轴应该是 x 等于负的二 a 分 之 b， 这是它的对称轴，所以你看受 a 和 b 的 同时影响， 我们在这里呢，有一句话叫做左同右异，中间零啊，什么意思？就是如果说啊，对称轴在左侧啊，对称轴在外轴的左侧， 如果对称轴呢，是在外轴的左侧，那则会证明我这里面 a b 应该是同号的。 那么这样画呢？你画出来的抛物线啊，它的对折轴才会在外轴的左侧，因为要么同正，要么同负，那么你取完前面的负二 a 分 之 b 之后呢，都会变成负的， 那么右 e 的 话呢？如果说我这里面在右面啊，对折轴在右侧，外轴的右侧，那么说明 a， b 是 e 号， 那如果说对准轴就在外轴上，那么则说明这里面的 b 应该为零啊， b 应该为零，那这个叫左从右异中间零。好吧，好，这是我们的 b 的 作用， c 其实作用是什么呢？ c 决定了这个抛物线与外轴的交点位置， c 要大于零，则和外轴交于正半轴。 c 要小于零的话呢，则和 y 轴交于负外轴。 c 要等于零，则交于圆点 啊，所以这是这个对称轴啊，这这这是这个 c 的 作用。好吧，然后接下来我们来具体看一些题目的考察的知识啊，像这道题，它是考察对称轴的，你可以用 y 的 这个负负二 a 分 之 b 去做，能看到吧？啊，就这样，你可以快速旋转，当然你需要把这个形式呢转一转，变一下， 但其实呢，我们还有一个考察点呢，就是这个形式啊，它其实呢，就相当于是，呃，我们画出来就应该这样，当 x 等于一的时候， 它是和它是 y 等于零的，当 x 等于三的时候呢，它 y 也是等于零的，所以我们把这个叫做交点式啊，就是你和这个负一吧，负一和正三啊。 sorry， 所以 你这个抛物线啊，它和 x 轴一个呢，会交于负一零，还有一个呢，会交于三零啊，所以负一零是一个焦点，三零呢，是一个焦点，所以它的对称轴的话呢，应该是这两个值相加的一半啊，就是它对称轴的位置，所以对称轴算出来应该是 x 等于一， 那你也可以对它呢进行化解，化解完之后呢，去求也是可以的啊，也是可以。 好，然后这是四十的，那这道题，这个题我们也不说了，也是比较简单的。 然后这道题呢，我们稍微说一下，这个题的问题呢，稍微多一点，他说呢，这个开口向上呢，就显示错的嘛，这抛线都已经画出来了，包括他这个焦点的话，也画出来，对称轴也画出来，顶点也画出来。然后我们主要看这第二个，他说 弱点， m 外一和负的 m 加六外二均在二次函数的图像上，则外一等于外二， 对还是不对呢啊？则外一等于外二。那我们来分析一下这两点，好吧，那分析一下这两点，他说了，都在二次图像上，首先这两点都在图像上，而这两个点它们相加， 然后取他们的一半，取他们横坐标的一半啊，和的一半，那就应该是 m 加上六，然后再减 m， 然后除以二，算出来的话呢，应该等于三。 而三这个点其实恰好是谁呢？恰好是不对称轴啊，所以证明这两个横坐标 好，我们相连之后，他们的这个中点正好在正轴上，所以证明啊，这两个点一定是关于正轴对称的啊。所以的话呢，他们的外直应该是一样的，对称的两点外直一样，所以这个二呢，是正确的。 然后第三个呢，说 x 大 于三的时候呢， y 值随着 x 增大而减小啊，这句话呢，我们来结合图像看， x 大 于三是不定轴右侧，那么却是 y 随着 x 增大而减小。 然后接下来的话呢，再来看第四个，说函数有最大值八，呃，这个是不是也是正确的？那函数的这个最大值确实是谁啊？确实是八，对吧？因为它顶点的纵坐标九十八， 所以四也是正确，然后与 x 轴的两个焦点分别是零一零五，这个很容易出错啊，很多人觉得这个也对啊，那它这里面与 x 轴的两个焦点，这应该是谁啊？应该是。呃， 应该是一零和五零吧，对吧？应该是一零和五零啊，所以这个应该是不正确的啊，不正确的。 然后接下来的话呢，第六个说函数图像呢，不过二三项线啊，不过第二和第三项线，那这是一，这是二，这是三，这是四，他一定不会过第三项线吗？啊？不是吧？啊，他确实不会过第二项线，三是可以过的，所以这句话也是不对， 所以这个题的话呢，正确的，他其实应该选择的是 b 吧。 好，然后接下来的话呢，桥西的这个我们就不再说了，就比较简单，然后这个也是好做的。嗯，新华的这个也也很好， 这就是三个点，对吧？你可以呢把这个对正轴的位置画一画，然后把这个图像呢画一画，然后你在这个三个点上去拍一拍，看他在对正轴左，对正轴右，对吧？还是在哪个位置。然后去比较大小的时候，你可以看他们到对正轴的距离， 因为这个抛物线的话呢，他是开口向上的，对吧？所以距离对称轴越远的这个点，他所对应的外值呢，就会越大一些，那就越大一些。因为在正轴上取最小值，所以距离正轴越远的那个距离所对应的点外值应该越大。 然后其他我们就没什么多说的啊。四十三，这个第七题的话呢，这个你需要先算出来 b 哦，算完 b 之后再带到里面，带到里面之后也是像刚刚一样去找和对准轴的距离。好吧，看他们的横坐标，然后去找和对准轴的距离，对准轴越远的点。哎，你看靠 q 向上 距离对准轴越远，那么这个外值就会越大，外值就越大。好呃， 那么别的我们就不再多讲了啊，不再多讲啊。那感谢大家的收藏和点赞，那么你们的支持是我们持续更新的动力，那么我们下一期视频再见吧，拜拜。

我们看一下这个第二题，它说抛物线这个 y 等于负 x 平方加上 b， x 加 c， 经过这两点，我们一看它有两个未知数，一个 b， 一个 c， 你的 a 已经知道了 a 是 负一，所以我们知道两个点之后，直接把点带入就好了。所以这个地方我们就直接把两个点带入，就你横坐标带 x， 纵坐标带 y 啊， 所以 x 等于负一的时候，我们这个地方就是负一，减去个 b 加上一个 c 等于上个零。那把三斗零带入的时候啊，那这就是一个负九加上一个三 x， 这是个三 b， 再加上一个 c 等于上个零。所以连立方程组我们就可以把 b 和 c 求出来了，那求出来解析时以后求顶点坐标 就根据你配方也可以，也可以根据我们的顶点坐标公式就是顶点。我们有一个啊，坐标公式 它是什么呢？负的二， a 分 之 b 都四， a 分 之四， a， c 减去 b 平方，那相应的啊，你套用把这个顶点坐标求出来也行。 然后我接下来我们看一下第二问啊，他说在 y 轴上找一点 p， 我 们在要在这个 y 轴上找一点 p， 使得 p h 加上一个 p d， 就 这两条 边加起来的值最小。那这种题我们知道啊，他肯定是将军赢马问题啊，将军 引码问题，那一般这种情况就说，哎，这是那条河，这是那两个村庄，那所以我们要做其中一个点，关于这个河的对称点，这样的话你的 p d， a 才会等于 p d 片儿， 我们知道了 p d 等于 p d 片儿以后，那你的 p d 加上 p h 就 会转化成 p d 撇加上一个 p h， 那 两点之间肯定直线段最短，所以 d 关于 y 轴的对称点是负一到四， 那然后两点之间的啊，距离公式我们之前也讲过啊，这个地方两点之间的啊，距离公式， 两点之间距离，那也就是 a b， 它可以等于上一个根号下它俩的横坐标，就 a 点和 b 点的横坐标的和， 就是横坐标的差的平方，加上啊纵坐标差的平方，其实它的原理是勾股定律啊，这个我们讲过好多回了，那所以这个地方地点的坐标是负一到四两点之间的啊，距离公式 就可以算出来了，这个地方我们算一下啊， d 撇 h 就 可以了，因为你这两条边就转化成了 p d 撇，加上一个 p h， 两点之间他用直线段最短就可以。然后我们再看一下啊，第三问，第三问呢，他说 p h 减去 p d 的 值是最小的，那你看 p h 减去 p d， 他 首先是大于等于零的， 因为那个一个数的绝对值，它肯定是大于等于零的，那什么时候值能最小呢？值能达到零呢？不就是你的 p h 和 p d 相等的时候吗？ 它的值就是零了。那我们看一下 p d 能不能等于上一个 p h 呢？不就，呃，是你这个 d h 你 做啊，它的中垂线做它的垂直平分线交这个啊， y 轴于 p 片儿这个地方，其实就是我们求的这个啊 p 点，如果这个题让我们求这个 p 点的坐标，我们该怎么求？首先啊，我们这个 d 和 h， 就是 说我们第一步啊，就是说这个地方，我们看一下 就是，呃，如果说这个第三问让我们求 p 点的坐标， p 点坐标我们该怎么去求？ 记住，第一步，先把 d h 的 解析式求出来， d h 的 解析式求出来。这样的话啊，我们知道啊，因为你 d 点的坐标这是一到四，然后 h 点的坐标 是二到二，所以我们可以把它的解析式求出来。第二，这个地方，我们来个 e 点，就是 e 呢，是 d h 的 中点， 我们把一点的坐标求出来。记住啊，你的 k p 撇一，就是你这条直线的 k 值和你这条直线 k h 的 这个直线的 k 值，它们是 n 互为负倒数的，因为垂直啊，相互垂直，所以 k p 一 撇一，它是会等于上个，就是它会乘以上，它们俩是互为负倒数的啊，所以它乘以上个 k， d h 是 等于负一的，所以 d h 那 个 k， 我 们不是根据这个解析式求出来了吗？所以它的解析式的那个 k 也能求出来，就是 k p 一 撇的解析式也能求出来。 这样的话啊，你 y 等于 k x 加 b， 你 k 已经知道了 b 呢，就把这个一点的坐标带进去，所以我们就求出了 p 撇一的解析式， 那进而你再令我们的 x 等于零，就是说它解析时有了以后，你求它与这个 y 轴的交点坐标 x 等于零的时候啊，求出来 y 的 值，我们就是这个 p 点的总坐标了，所以这是我们的第三问。我们这儿拓展了一下啊， 就是如果这个地方是求的是 p h 减去 p d 的 最大值，就是这个地方还可以说求它的最大值。 那怎么求这个最大值呢？我们看一下啊，因为我们知道 p h 就是你 p 减在这上头吗？ p h 减去一个 p d 两边之差，我们加了绝对值了啊，加了绝对值，谁减谁其实都行啊，你 p h 减去个 p d， 两边之差肯定小于第三边的， 那什么时候啊，它能达到你的这个最大值，就是这个地方啊，老师说我们写的这块，我写在这就是你的 p， 就是 说 p h 减去一个 p d 的 绝对值，两边之差 它肯定会小于等于第三边 d h， 那 什么时候它可以等于 d h 呢？那三点共线的时候， 你的 p h 减去个 p d 不 就等于 d h 了吗？我们这个地方是用的啊，两边之差 小于第三边， ok， 这个地方啊，就是你的 ph 减去 p d， 它会小于等于上 d h， 然后当 p d h 共线的时候，其实这种的话，一般就是延长这个 h d 交 y 轴于 p 点， 这是我们求的啊， p 点啊，就是想求这个 p h 减去 p d 的 最大值的时候，你那个 p 点是在这呢，所以你把解析式求出来以后，把 d h 的 解析式求出来以后， 然后令 x 去等于上个零，那就能求这个 p 点的总坐标了。这是我们拓展的啊，这是拓展， 然后此时说他的啊，假如说让你求最大值，那最大值不就是 d h 的 啊，长度吗？那 d h 你 用两点之间的距离公式求就可以了。所以我们这个地方的拓展老师解在这了啊，这是啊，这个题的拓展分析 就是让我们求的，是啊，求这个 p h 减去一个 p d， 他的啊，最大值的时候，这是这个啊，就老师把这几个都写的很清楚，一定要认真的啊，看一下啊。

好，各位小伙伴好啊，今天和大家分享一道二次函数呃，背景的这个等角问题，这种题难度相对来说比较大，用到的还是分情况讨论的思想，预算量相对来也比较大啊。下面我们来看题 说已知二次函数 y 等于负二分之一， x 方加二分之三， x 加二，它的图像与 x 轴这个交于两个点 ab 两点与 y 轴交于点 c， 我 们连 bc 点 p 呢，是抛物线上的一个动点 啊，当这个角 pcb 等于角 abc 的 时候，求点 p 的 坐标， 那我们看啊，说拿到这个题之后呢，我们很明显我们是要逐步的去看这个问题，对吧？这个二次函数的图像与 x 轴交于 ab 两点， 而给的二次函数是一般式，所以我们要把它化成这个焦点式啊。一化成焦点式是负二分之一，乘以 x 减四，再乘以 x 加一， 那么这样的话，我很明显我就知道了点 a 的 坐标，它就是负一逗号零点 b 是 四逗号零点 c 呢，就是零逗号二，对吧？我们在图上给它标上啊， a 点，它是负一逗号零， b 点呢，是四逗号零， c 点是零逗号二啊。当然了，各个重要重要线段的长度， o a o b o c， 我 们是不都知道了， 来于 y 轴角与点 c 了，对吧？点 p 是 抛物线一个动点，说 p c b 得等于角 abc， 哎，出现等角了，那么 p 呢，是在抛物线上动的，那么这个点 pcb 呢，等于角 a b c， abc 在 这个位置，那么很明显，我们的 q 点呢，可能在 bc 的 上方，也可能在 bc 的 下方。好了，我们先看 p 点在 bc 上方的时候，我们这个图啊，大概就是这样的一个图，对吧？大概就是这样一个图， 呃， pcb， 大家看 pcb， 它等于角 a b c， 所以呢， p c 和 ab 自然是平行的，它要一平行的话，那么 p 点的纵坐标 和 c 点纵轴波应该是一致的，所以 p 点的纵轴波应该是二，那这样的话， p 点呢，又在抛物线上，所以我列方程就是负二分之一， x 方加二分之三， x 加二，它应该等于二， 这样的话，我算出两个解来，一个解是 x， 一 等于零，一个解呢是 x 等于三，其中 x 等于零的这个实际上就是点 c 啊，我们把这个呢要舍去的，所以，那这样的话呢， p 点的横坐标只能是三了，对不对？所以 p 点的坐标呢，应该是三，逗号二， 这是 p 点在 b c 上方的这个我们的处理情况。好了，我们看 p 点呢，如果在这个的下方怎么办，对吧？如果在下方，你看我们大概画的图呢，就是这样的一个图了， 角 abc 等于角 pcb， 大 概就是这样的一个图， 呃，我们这个时候呢，我们设 p c 呢，它和这个 a b 有 一个交点，交减点 d 啊，那很明显我们大家会发现这两个角相等，是不是我马上我能得到 c d 和 b d 相等， 对吧？ c d 等于 b d， 呃，当然了，根据这个条件的话，我们要求这个点 p 的 坐标的话呢，必须得知道这个 c p 的 它的这个直线的表达式啊，直线的表达式，对吧？所以 我们可以通过点 d 的 准确位置来做一下判断啊，做一下计算。 好了，我们这个时候呢，我们设 o d 的 长度等于 o a， o d 等于 a， 那 大家想想， o b 长度总的是几啊？它是四，对吧？所以 这个 d b 就是 四减 a， 当然了， d b 呢，和 dc 相等，所以 dc 也是四减 a， 考虑到 o c， 它等于二啊，二， 所以呢，我在这个三角形 o c d 中，我用勾股定律会得到 a 方加上二方等于四减 a 括号， 那么这样的话，我就能算出 a 等于二分之三啊，也就是说这个 d 呢，坐标就有了，是二分之三，逗号零 啊，当我把地点的准确坐标我给它算计算出来之后啊，好了，我就可以用待定系数法求出点 cd 的 这个 表达式，对吧？直线 cd 的 表达式是 y 等于负三分之四， x 加二啊，加二。 好，最后我们来看，那这个点 p 的 坐标呢，我就可以通过 cd 和抛物线相交来完成，对吧？那么我令这两个表达式呢，相等啊， 算出的一个是 x 等于零，一个是 x 等于三分之十七，当然了， x 等于零，这个必须舍弃的，这个求出呢，实际上是直线和 抛物线相交的这个点 c 的 坐标了啊，所以要舍去好了， x 二等于三分之十七，这也就是 p 点的横坐标， 所以 p 点呢，就是代入计算三分之十七，负的九分之五十 啊，这样的话，我们 p 点呢，是不是有两个点的坐标啊？好，所以 p 点坐标呢，就应该是三逗号二和三分之十七，逗号负的九分之五十。 在计算这个题的时候呢，我们用到的一个重要的思想就是分类讨论的思想，同时大家要坚持一句话啊，我求点的坐标是通过两条线它的求焦点来进行的，比方说我们的点 p 对 吧？点 p 好 了，另外大家的做题的话呢，特别注意这个图中的特殊的 这个图形，比方说前面这个图用的就是什么呢？就是平行这个特殊位置关系，那么在做第二问的时候，用的就是等腰三角形的这个特殊图形。好了，这个题你听明白了吗？

同学们大家好，我是你们的栗子老师。今天我们来学习二次函数的图像与性质中一个非常重要的题型叫做抛物线的平移。 那么在解决这类问题之前，我们需要记住八个字的口诀，叫做上加下减，左加右减。 那么这些口诀用在哪些方面呢？左加用减，对的是自变量 x， 而上加下减，它针对的是整个函数 y， 那 么碰到题目的时候，该如何去运用这八个字呢？我们来看典型例题。 已知抛物线 y 等于 x 方加二 k， x 减 k 方，它的对称轴在 y 轴的左侧，将该抛物线先向右平移两个单位长度， 再向上平移一个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点求 k 的 值。那么我们在利用二次函数进行平移的时候，一定要将二次函数的解析式通过配方变成我们的顶点式。那很明显这道题它是一个一般式。 第一步，我们先进行配方，这道题的二次项系数刚好是一，所以我们取一次项系数一半的平方， x 方加二 k， x 加 k 方， 那么由于我们在前面已经加上了一个 k 方，所以后面需要减 k 方，就是减二 k 方，那么再变成 x 加 k 的 完全平方减二 k 方。 好，那现在这个二次函数已经配成了我们的顶点式。接下来利用我们的口诀，左加右减，上加下减，现在他向右平移两个单位长度，那么平移以后的 y 撇解析式需要对他的自变量 x 减二，也就在括号里变成 x 加 k 减二，完全平方，那么再向上平移一个单位长度，此时对到的是整个函数值 y， 所以 我们在它的常数项这里加一， 那这个 y 撇就是平移以后的二次函数解析式，因为它说平移以后得到的抛物线正好经过了坐标原点，所以我们代入原点坐标零逗零可以得到一个一元二次方程，零等于 零，加上 k 减二的完全平方减二， k 方加一， 那么这里一个一元二次方程就出来了，那么我们的答案会有两个根，一个根是一，一个根是负五， 那很多同学在这里会写上答案一负五，那恭喜你答错了。为什么我们做数学题目一定要抓准每一个关键信息？ 题目在最开始说了，它在 y 轴的左侧，所以如果我们把 k 等于负五带进去的话，会发现对称轴在 y 轴的右侧，那这个答案是要舍去的，所以最后我们的答案 k 值只能为一，那大家学会了吗？

这个视频我们来讲解一下含餐二次函数的取值范围问题，需要用到数形结合和分类讨论的思想。已知抛物线 y 等于 a， x 方减二， a x 减三加二， a 方， a 不 等于零，设点 p m y 一 q 三 y 二。 在抛物线上，若 y 小 于 y 二，求 m 的 取值范围。这个函数表达式是一个含餐的二次函数，它里面的参数是 a， 虽然有一个未知的常数 a， 但并不影响我们求对称轴，因为对称轴永远等于负二， a 分 之 b， 我 们将其代入，就等于负二， a 分 之负二 a， 我 们就可以求出它的对称轴永远都是一。 那么这个时候，因为二次项系数是不知道的， a 不知道大于零或者小于零，那这种情况下，我们应该分两种情况去考虑。第一种情况， a 是 大于零的。第二种情况， a 是 小于零的， 那么如果 a 是 大于零的，开口一定向上，我们就可以做出一个这种类型的函数图像。对称轴是 x 等于一， 因为点 q 的 三 y 二，它的横坐标是已知的。我们先找到点 q 大 概的位置，这个地方就是点 q 大 概的位置，它的横坐标就是三， 纵坐标就是 y 二。那么这种情况下，我们可以去求一下点 q 的 对称点 作它对称轴的一个对称点，这个时候这个地方的坐标，它的纵坐标一定还是 y 二。 因为点 q 和这个点是对称点，他们的纵坐标相同，那么他的横坐标也就是这个数加上三除以二是等于一的，所以这个点的坐标就应该是负一 y 二。 那么因为我们知道点 p 这个纵坐标一定是小于 y 二的，所以点 p 的 位置就只能在这个区间范围内，所以我们就应该知道 m 一定是大于负一且小于三的。那么第二种情况， a 是 小于零的，我们可以画出开口向下 对称轴还是 x 等于一，我们同样找到点 q 的 坐标，点 q 这是三 y 二找个大概位置做它的对称点，它的对称点同样的也是负一 y 二， 那么这个时候因为外一一定是小于外二的，所以外一一定是在这条线的下面这部分，那么这条线的下面部分这个这种情况下分两种情况，这种情况一种就是 m 一定小于外一， 或者是这边一种情况，那就是 m 一定要大于三，所以第二种情况是 m 小 于 负一，或者是 m 大 于三。所以做这种类型的题，我们一定要竖形结合和分类讨论。这道题你听懂了吗？听懂的记得和老师点赞和收藏。

是不是觉得这道题很有问题？首先他说抛物线啥都没有，他就是 a s 平方加 b， s 加 c， 只知道他开口向上，然后又有一个直线，我去，他又是一个未知数，你看 k 也不知道， b 也不知道，是吧？然后他说这个直线跟这个抛物线有且只有一个焦点， 问 abc 的 值，就是两个不知道什么东西的解析式，它产生的图像，它尤其只有一个焦点，问其中一个是什么，有没有觉得很恶心？是不是觉得这道题好像漏条件啊？这种情况不可能解得出来，这就是最新题型的出题方式啊。这种题就是最新题型的出题方式， 看起来很恶心。来，我放大一点啊，给大家看一下这个图像，我等下可以补一个啊。 那么此时应该怎么做这种题啊？来来，我给教大家啊。先确定直线，因为你这个抛物线 abc 啥关系都没有，我们是没办法从它入手的。但是直线呢？它只有一个 m 是 未知数，我们先从直线入手， 直线 y 等于这个来 m 有 没有可能等于零？ m 等于零的时候，有没有可能等于零？老师，我们教科书说过，一次函数里面它的 k 是 不能等于零的，所以这个 m 不 能等于零，是不是这样子 不对啊？在坐标轴里面，直线不等于一次函数，所以它只是形容这是个直线， m 是 可以等于零，当 m 等于零的时候，这个直线 y 等于零，说明了它就是 x 轴，说明了它就是 x 轴。 所以还有一个 m 不 等于零，此时它才是一次函数。 要把它区分开来啊，它讲的是直线。好了，直线那个 s 等于零，我们先不讨论它啊，这个是比较特殊的，我们讨论这个二啊，那个一次函数，这个一次函数有什么特征？有什么特征，同学们能看得出来吗？ 我们叫一号情况跟二号情况，我们先说二号情况，它是不是经过 一到负四分之 m 的 平方，它横定经过这个坐标，是吧？当 s 等于一的时候嘛，这一坨就等于零了，只剩下后面那一坨。 老师，我们之前遇到的所有题，横定经过某点的时候，这个点肯定是个固定的点，但是我们这里写出来这个点，它是一个未知的点，它只有横坐标等于一是确定的，但是负四分之 m 平方怎么样？它是个未知数。 所以这个翻译成什么东西呢？这种题翻译成什么东西？能能能，能想象出来吗？同学们能想象出来吗？我把这个 s 轴画这里啊， 我给他补一个 s 轴上去。这里意味着当有一条 s 等于一的直线，这条二号所代表的一次函数，它是 随着 m 的 改变，它经过 x 轴下方的，就是 s 等于一条射线里面的 s 轴下方的任意一个点。可以，但是它在变，它随着什么变？随着 m 随着 m 在 变而变。打个比方， 当我 m 等于一的时候， m 等于一的时候，是不是我的 k 等于一在这里面了？大概是这意思，它就经过一负， 这个 k 不是 很标准，这个 k 的 标准啊，这个对应的 k 等于一的时候，也就是 m 等于一的时候，斜率等于一嘛，那么它经过的点是一到负四分之一，没错吧？然后呢？ m 等于二的时候，注意啊， m 等于二的是不是更倾斜了？ m 等于二的时候是更倾斜了，但是它横定经过的点呢？就是一到负一，在这里能想象吗？ 一到负四分之一， m， n 等于的时候， n 等于二的时候，一到一到负一，也就是这条直线。当 m 大 于零的时候，它是这么一个变化的情况， 就是它越倾斜，它跟这个 s 等于的焦点越往下走啊，是这么个变化情况，谁能想象出来啊？这个这个这个直线变化，那么就是 m 大 于零了， m 小 于零的时候，同理了。是同理啊， m 小 于零的时候， 它对应 m 等于负一，它同样经过一到负三负四分之一，因为负一跟一 n 的 平方都是一样的。 然后呢？ m 等于二的时候，也就是，欸，是不对称啊，完全对称这些东西啊。两条绿色的直线关于 s 等于一对称，两条粉红色的直线关于 s 等于一对称， 是不断的这么变换，相对于这条直线了。问，这种直线在变换的时候，他跟这个抛物线尤其仅有一个焦点，此时这个抛物线是多少？无非就是问这个，是吧，这种题很少见吧，因为这是最新的题型，很少见吧。那么能不能想象他怎么做， 怎么做？你想象一下，我这个相当于这这个直线，这两个对称的直线啊。 m， m 是 相反数的时候，它是这样的，代表两条直线越来越大的时候，它它这个焦点就这个点对称点，这个焦点不要对称点啊，这个焦点是不是越来越往下走，越倾斜啊？整个变化就是这样子。 嗯，如果想象不到，我就大概画一下啊，这个很斜的时候是这样子， 没那么斜的时候是这样子，就越倾斜，越往下走这个点了。越倾斜就意味着 m 的 平方越大了，是吧？意味着负四 m 的 平方越小了，越小这个点就越往下走，是这意思。老师，他跟我们的 pose 有 什么区别？有什么关系？ 你想象一下，我要跟这些直线所有变化，直线我有且仅有一个交点，那时候我要取极限情况，刚刚我说了，我二号情况的时候是 e 函数，一号情况它不是 e 函数，它就是 x 轴， y 等于零。那么我，当 m 等于零的时候，什么东西这个抛物线跟我有一个交点呢？ 这个抛物线是开口向上的吧？当我它跟那个 x 轴有且仅有一个交点，是意味着它最低点 它就是零啊，就这个抛物线最低点处四个零就重坐标啊，才能确保我这些直线里面，我不管 m 取什么值的时候，我我我都能够跟它只有一个焦点，此时就是 m 等于零的时候，只有一个焦点。 想象一下，来想象，你脑补一下啊， m 等于零的时候，如果 m 不 等于零的时候，是不是跟来这里一样，哎，我，有没有可能是这样子的？ m， n 不 等于零的时候是不是相反数嘛？两边那是不是也是只有一个焦点呢？相切有没有可能会出现这种情况？来，我继续，继续长，继续长，来，就是，来，我来这里，我切这个比它更陡一点了， 我还是这样子，我，我的那个 m 值啊，绝对值越大了。那有没有可能我还是相切整个变化过程，哎，想象不到，想象没有，就我不管 m 怎么取什么值的时候，哎，我所代表的这些直线，它勾刚好跟我这个二次函数怎么样相切？那我是不是满足这道题？ 我们要把它的动画过程想象出来，才能够明白这道题问什么，不然的话你是一头雾水的。好，你吊塔等于零，你求不出来 a b， c 的 时候，它有三个未知数。同学看一下这个图有什么特征， 是不是我不管怎么变的时候，它这个对称轴等于多少啊？ x 是 不是等于一啊？因为直线它横定啊，对称的直线它是关于 s 等于一对称的。那么如果存在这种情况，是不是意味着我的抛物线它的对称轴也是等于一， 是吧？那么我的抛物线对称轴等于一，是不是意味着来开始开始解析了？我们把它想象出来了，整个东西啊，意味着负二， a 分 之， b 等于一， b 等于负二， a 有 这么个情况， 所以上面那个解析式就可以写成， y 等于 a， x 平方减二， a， x 加上 c。 然后又因为我们刚刚分析了它跟 s 轴是要相切的，它要满足 m 等于零的时候，这个直线相切， 所以意味着什么？当这个抛物线 s 取一的时候， y 等于零， s 取一的时候， y 等于零，你看 a 减二， a 加 c 等于零，是不是意味着 c 等于 a 啊？那么 c 等于 a， 那 那个我就直接把这个 c 变成 a 就 好了。 我这个 a s 平方加 b， s 加 c， 是 不是变成了 a， s 平方减二， a x 加 a 啊？ 它是这么变换的啊？好了，有了这个之后，有同学刚才学到了，我要任意时候都相切，直线跟抛物线相切意味着啥？连立直线的解析式， m x 减一，减四分之 m 的 平方跟这个抛物线 有且仅有一个点连立起来，就是根只有一个，这个一元二次方的根只有一个，就是第二塔等于零，第二塔等于。我们不妨算一下啊， 我们就是 a x 的 平方减二 a x， 这里 m 是 减过去就减 m 加 m， 括号 x 有 了，然后加上 a 加上 m， 因为负 m 啊，过去就是加，再加上四 m 的 平方等于零，就是这个一元二次方程的调卡等于零。 调卡等于零，我们在这边算吧，这边我就擦掉了啊，你要清楚，这边我就擦掉了， 看看能算出来是个什么东西。第二塔就是二 a 加上 m 的 平方，负没了，减四 a， 什么？四 a 乘以这个东西， a 加 m 加 四分之 m 的 平方，它就有四 a 的 平方加上四 a， m 加上 m 的 平方，减去四 a 的 平方减四 a m 怎么样？减去 a， m 等于零， 这个没了，这个没了，也就是 m 的 平方减 a， m 等于零， a 等于一。同学们， 解出来了没？这道题， y 等于它的，我可以用 a 全部表达， 调用它等于零的时候，发现 a 等于一的，我不管你 m 取什么时候，我 a 等于一的时候，调用它肯定等于零。这意味着我不管你的 m 取任何值，你都跟我这个抛物线相切。这个抛物线是什么？ a 等于的时候，是不是 y 等于用绿色啊？ y 等于 x 的 平方减二， x 加上一，这就是我们要求的 c。 来，我跟大家看一下整个动画啊，因为这道题感觉大家可能难理解， 相当于这个抛物线是这样的，这个抛物线是这样的，我们求出来了，直线呢？它是这样的，我不管 m 怎么动的时候，它都跟抛物线相切， 我现在划的这条直线就是 m 不 同曲直的时候，它的不同的表现现状，明白了吧？脑补出来这个变化状态了吧？啊？心静直， 这，这个整个动画片，明白了吧？没听懂的同学，因为我后面还有很多题要讲，没听懂的同学可以点击我头像加群，你是哪个年级的就加到哪个年级。我先我会把 直播回放放进去，然后把每答案解析放进去，然后再看不懂可以在群里面问我，我会回答群里面任何学员的任何问题。 ok， 我 会回答大家的任何问题的。

若需要在 o d 上的点 e 处， o d 上的点 e 处啊，随随便找一个点竖立雕塑是 e f， o e 等于十 十米， e f 等于一点八米， e f 垂直于 o d， 问顶点 f 是 否会碰到水柱？通过计算说明，那么我们 o e 是 十的话，我们就来计算一下， o e 是 十，假如说啊，在这个位置， 因为这是十一，我们假如说一点，就是在这个位置 o e 是 十，也就说当 x 等于十时，我们看一下我们的啊，纵坐标是多少，如果 x 等于十时，我们的纵坐标比我们这一点八米要高要大， 说明我们他不会碰到我们这个抛物线，也就说不会碰到我们这个水柱。如果我们的 x 等于十的时候呢，抛物线所对的这个纵坐标要比我们一点八米要小，说明他就会碰到。那我们就算一下，当 x 等于十时， 那么 y 等于什么呢？把 x 等于十带到我们这个解析式里边来，十减五是五，五的平方二十五，所以还是等于负的六分之二十五，加上六，也就等于负的六分之二十五，加上六分之三十六，最后还是等于六分之十一米， 六分之十一米，我们大概在这里面算一下，六分之十一就是十一，除以六应该是一，六得六是五，这小数点啊，所以说六八四十八还余二， 所以说一定是比一点八要大了，那么我们就可以得到了，是六分之十一，其实是要大于一点八的，所以呢，我们就会觉得他是不会碰到水柱。