九上数学原点旋转怎么画

好多同学竟然不知道如何做图，我都感到很吃惊，因为这个东西比较简单，可能是课堂上练的就比较少了。 这个耻归做图的要求是做 a 系边上的中线 b o。 那 我们首先要找到中点呀，怎么找中点呢？就是一个线段的垂直平分线就经过他的终点了。 垂直平分线怎么做呢？就是你以大于二分之一 a c 为半径啊，你在两边画弧啊，分别以两个顶点， a、 a 点和 c 点为顶点，你画弧，哎，这些弧交在一个地方， 然后呢，你再连接一下， 哎，这就是中点，中点呢，然后那个这就是 o， 哎，我们再连接一下 b o， 这个 a c 边上的中线我们就做出来了，你看就这么回事啊。嗯，第二，我们在 e 所做的途中，将中线 b o 绕点 o 逆时针旋转一百八十度啊，得到 b o， 哎， d o 旋转一百八十度啊，那我们把这个旋转一百八十度，那我们把它延长一下啊，它等于 b o 嘛， 量一下它的长度能转回，哎，我们再在这边这个弧上画一点，这不就旋，这不就旋转一百八十度了吗？那这一点就是 d。

哈喽，各位家长们好，如果你家也有初三的孩子，那么请停留一会。现在已经是十二月份了，安徽现在初三的学习进度已经学习到了九下的内容，那随着时间的推移，数学的学习难度在逐步的增加， 各科也在不断的瓜分孩子们的学习时间，为了更高效的学习，我会紧跟着学校的学习进度，实时的把数学每一节的重难点内容 把它总结成一个视频，总结成视频，然后方便孩子们的学习和巩固。好的，废话不多说，咱们现在直接开始 那九下的开篇。第一节的内容就是关于旋转的，那旋转中常考的几何模型有五大类，第一类就是我们的手拉手模型，夹板角模型，还有一线三垂直啊三类了，然后还有 奔驰模型和废马点模型这五类。那么我们讲了手拉手模型，夹板角模型和一线三垂直模型这三个呢， 在八年级上册就已经学过了，就已经学过了，那么他的难度不会大，不会太大，那现在主要就是我们的废码点模型和奔驰模型这两类，这两类学校不一定会讲他，但是考试就会考到，如果考到他的话，他一般会出现在我们的选择题和填空题的压轴题当中， 那么如果你没有做过，那百分百是会做错的。好，我们现在就来重点去学习一下费马点模型和奔驰模型。好的啊，接下来我们来讲费马点模型。费马点模型，首先我们来看一下费马点，它的背景是什么啊？背景是看 在三角形 abc 所在平面上，求一点，要求一点使它到三个顶点的距离之和最小。 那这个问题是数学家费马向意大利的物理学家所提出来的，所求的点叫做费马点，是所求的这个点叫做费马点， 是什么意思呢？也就是说在三角形 a、 b、 c 这个平面上，这个平面上有一动点屁，动点屁屁在哪里不知道， p 哪里不知道，但是他说了他要干嘛要让求这个 p， 这个点 p 到 p a、 p、 b、 p、 c， 那 么这三个线段的和最小的时候，这个点在哪里？ 这个点在哪里？那么所求的这个点就是我们的什么飞马点啊，也就说动点 p 到 p、 a、 p、 b、 p、 c 三个点的距离之和最小， 那这个点在哪里呢？这个点在哪里呢？我们来看啊，这个洞点，它就在当三角形 abc 三个内角均小于一百二十度时，这有个前提啊，三角形 abc 三个内角均小于一百二十度时，费马点在三角形 abc 的 内部。 哎，为什么要给他加一个前提呢？为什么要加一个小于一百二十度的前提呢？那么如果他三个内角均大于或者是等于一百二十度， 有没有分码点？有没有？这个点也有啊？也是有，但是我们现在初中阶段，它只要求我们去掌握三角形 a、 b、 c 三个内角均小于一百二十度时，它的证明的方式啊，它的步骤怎么去做好？首先它有个前提是三个内角均小于一百二十度时， 费马点是在三角形 a、 b、 c 的 内部，在 a、 b、 c 的 啊，在这个三角形 a、 b、 c 的 内部，内部，而且这个点使得什么这三个点相连之后，这个角 a、 p、 b、 a、 p、 c、 c、 p b 都等于一百二十度， 那只有这样的时候， pa 加 pp 加 pc 的 取得的值是最小的，那为什么呢？为什么呢？那么现在我们来证明一下啊，我们来证明一下，我们来进行一个严谨的逻辑证明。那么我们首先要知道费马点，它的特征是以动点 p， 这个动点 p， 它干嘛？到三角形三个顶点的距离之角到三个顶点 三个顶点的距离， p a 加 p b 加 p c， 干嘛和最小啊？和最小 我立马就能回想起来，我之前就好像讲过有两个线段和的最小值是不是？那是将军印码。现在我们来讲三个线段和的最小值是什么？是我们的飞马点模型啊，好， ok， 它的特点，这是它的特点啊， 那现在我们来看一下，那我怎么去找这个点呢？我怎么去找这个点呢？啊？我们要利用旋转，我们要利用旋转， 那怎么旋转呢？往哪里旋转呢？顺时针还是逆时针呢？好，我们来看啊。首先我们在三角形内部任意画一个点， 那么这个点把 p a、 p b 三个顶点相连，我们看到是不是把这个大三角形分成了三个小的三角形，对不对？好，我只要任意旋转其中一个小三角形就可以 旋转，哪个呢？你看 a p b a p c 和 b p c 随便旋转。那么我们现在来旋转 a， p c， 我 以点 a 为旋转中心，以点 a 为旋转中心，旋转三角形 a， p c， abc， 往哪旋转呢？然后你去思考了，往哪里去旋转？往哪里旋转？向外旋转啊，向外旋转。如果你旋转是 a p b， a p b， 那 就向这边旋转啊，向外旋转， 如果你旋转 b p c 以点 b 有 旋转中心，那你就向外旋转就行了。好，向外旋转多少度？旋转六十度，旋转六十度。为什么旋转六十度？旋转六十度是为了构造出等边三角形啊？为了构造出等边三角形， 那好，那我们来看一下啊，那我们现在现在旋转 a p c 这个三角形 a p c 这个三角形。好，那向外旋转六十度，向外旋转六十度，向外旋转六十度，那 ap 旋转六十度。 好，然后这个再旋转六十度。 好，你看我们现在已经把三角形 a p c 三角形 a p c 旋转到这了，旋转到这个位置了，是吧？旋转了六十度，那旋转六十度后，我现在把它的名命名给它标上，那这是 p 点，旋转到这就是 p 一 撇，是不是？ c 点旋转到这就是 c 一 撇。好，然后 再连接 pp 一 撇，再连接 pp 一 撇。啊，那现在把这个旋转六十度，我给它标上。好，那现在我们来看啊，它现在题目不就是问我们 p a 加上 p b 加上 pc 这三个线段合吗？对不对？那我看这三个线段它又不在一条线上，我没办法具体去算啊，那怎么弄呢？我要把这三个线段转化出去， 转化啊，转化到一条线上去，什么叫一条线呢？你看啊，那现在这个 p 点是不是在动啊？ p 点是不是在动？在另一个位置，那 p 点在动的话，那 p 撇点就在动了，对不对？ p 撇点就在动，那 p p 撇是在动的，那现在我们看，你现在旋转六十度，你旋转的话，三个边相等，三个角是相等的，对不对？好，对应边是相等的，那现在 ap 就 能转换到 ap 一 撇上去了，对吧？ pc 就 能转换到 p 一 撇， c 一 撇上去了，对不对？好，现在我们来看，本来是求这三个线段的和，那现在我只要，我现在不求它了，现在求干嘛？ pp 还是 pp？ 那 ap 呢？ ap 是 不是就等于 pp 一 撇啊？那有的同学，为什么 ap 等于 pp 一 撇？因为现在它是一个等边三角形，为什么？你把这个三角形往外旋转之后，旋转过后， ap 是 不是等于 ap 一 撇， 对不对？好，那这两个相等，然后又旋转的是六十度等腰三角形，有一个角是六十度，那么另外两个角它也都是六十度，所以它是个等边三角形，等边三角形的话， ap 就 等于 pp 一 撇， 是不是？ ap 等于 pp 一 撇，然后 pc 呢？你又旋转出去了，是不是等于 pp 一 撇？ c 一 撇？好，那现在求这三个线段的和，其实讲白了，它就相当于是求这三个线段的和， 求这三个线段和，那这三个线段的和的最小值是多少呢？是哪里呢？那我们之前在初一就已经学过，两点之间线段最短，对不对？ 你 p 点在动， p 撇点在动，但是你什么 b 点和 c 撇点是不再动的，它是个定点，那么我只要连接 b、 c 撇，这样一连，这个线段的长度就是我们的什么最小值，这三个线段和的最小值啊？为什么呢？我给你们举个例子啊，给你举个例子，现在宝贝，这是一个定点， 这是一个定点，这是一个定点，那在这里面，在这里面任意画啊，这是屁点，屁屁点，因为屁屁屁，它不是在动吗？对不对？这两点在动来动去，动来动，随便动。那你既然在动点，在动的过程当中，那什么时候才能让这三个线段合最小呢？ 只要把这个相连相连就可以了，这个两个定点相连，那么这个长度就是这三个线段合的最小值啊？为什么？为什么？就当屁运动到这个位置，或者屁也运动到这个位置，那么 它们三个三条线是不是就在一起了？在一条线上叫两点之间线段最短。 ok， 好， 有点废话了啊。然后我们再来，现在我只要干嘛？只要让 bc， 他 现在是在 bc， 也是在一条线上了，对不对？那在一条线上的时候，那么这个线段和是最小的呀？好，既然在一条线上了，那既然现在已经是一条线的话，这个角是不是六十多？这个角是不是六十多？那六十多的话，那这个 ap a p 这个角 a p p 是 不是就是一百二十度了，对不对？好，再来，那这个角也是六十度，对不对？因为它是个等边三角形啊？等边三角形，那这个角也是六十度，那这个 a p 撇 c 是 不是也是一百二十度了？ a p 撇 c 是 不是等于这个角呀？对不对？你是 a p c 旋转出去的嘛？所以这个角是一百二十度，那你这个角也是一百二十度那一圈，那这个呢？不就也是一百二十度？因为一圈是一个周角，是三百六十度，对不对？好， 有，这三个角是一百二十度的时候， p a 加 p b 加 p c 的 和最小，对吧？啊？ ok， 我 们就证明出来了，我们就证明出来了啊。 那可有同学有疑问，那如果假如碰到我们三角形 a b c， 它大于或者是等于一百二十度时，这个分码点在哪呢？分码点在哪呢？分码点就不在这三角形内部了啊，三角形不在三角形内部了。是，先首先是找到这个三角形最大的那个角，最大那个角好比 画一个三角形，嗯，这个三角形，这个角是一百五十度，现在让我去在这三角形内部找一个点，找一个费马点 p， 让 p， a， p、 b， p、 c 的 和最小。这个点在哪里呢？就在最大角的顶点上面，就在这个点，这就 p 和 a 重合了， 就在这个点上面啊，好，但是这个不要求掌握。好啊，好，我们现在看一下例题啊，练习， 首先读题，在直角三角形 a、 b、 c 内部有一动点 p， 有 一动点 p， 然后角 b、 a、 c 等于九十度。好， b， a、 c 等于九十度。把信息往上标啊， b， a、 c 等于九十度，这是九十度，然后角 a、 c、 b 等于三十度。角 a、 c、 b 等于三十度，这个角是三十度， 这个角有三十度连接 p， a、 p、 b， p、 c， 若 ab 等于二，他说若 ab 是 二的， ab 是 二的，那么问你 pa 加 pa 加 pc 的 最小值是多少？这三个的最小值是多少？ ok， 好 的， 那现在我们来看啊。哎，那我通过审题，我立马就发现这个题目它就是费马点的题型啊，对不对？它就是费马点， 为什么呢？我们刚刚讲了，费马点是三角形的内部有一动点屁，内部有一动点屁，让 pa 加 pp 加 pc 动点屁，与三个顶点的连线合得最小值， pa 加 pb 加 pc 合得最小值。是不是？哦，立马就想到了，这是费马点， 那费马点怎么做呢？费马点怎么做呢？啊？我刚刚讲了，费马点，我们要干嘛？要旋转 六十度，对不对？要旋转六十度，那旋转六十度，我刚讲是怎么旋转呢？是向外旋转，那这个动点 p 将三角形分成了三个小三角形，任意旋转其中一个都可以，对不对？任意旋转其中一个都可以啊，好，那现在我们来看， 现在我们结合到题目来做，题目里面给了个说，啊，这是六，这是三十度，这是九十度，那我这个是二，我立马知道这是含有特殊角的直角三角形，对不对？你含有特殊角，那么我现在就知道了，这个长度是二的话，这个长度是二的话，那么 还有三十度角的直角三角形。三十度角所对的边是斜边的一半，所以 bc 是 四， bc 是 四，那么 ac 呢？就是二倍根号三，对吧？ ac 就是 二倍根号三。 ok， 好， 我们理了解就行了。然后我们再来看，那现在我要开始旋转了吧，对不对？我要旋转哪个三角形呢？ 那我现在想呢，我旋转 a p c， 我 以点 c 为旋转中心，我旋转 a p c， 那 我为什么会旋转三角形？ a p c， 你 们旋转其他的行不行？旋转 c p b 也行啊？旋转 a p p， 那 也行，都可以， 那么你旋转 app 只是计算得稍微复杂了一点啊，那我旋转 a p c a p c， 为什么我要旋转 a p c， 因为我现在要向外旋转六十度，那既然是向外旋转六十度，我立马就能发现，旋转六十度之后，它与这个三三十度的这个角能构成直角三角形。 好，我们看一下啊，把它旋转，旋转好，旋转六十度，旋转六十度后，然后再来 调整一下， 调整一下，好， ok， 这样的话，然后再把它命名，命名上这是 p 一 撇， 这是 p 一 撇，这是 a 一 撇，是吧？好，然后连接 p p 一 撇，连接 p p 一 撇， ok， 这样一粘就可以了。那现在我们来看啊，粘上之后，粘上之后，我现在就知道了，要求这三个线段合的直角值。啊，那我看 你是把这个三角形向外面旋转旋转到这了，是不是？那 p a 就 到这来了？ p 撇 a 撇了，对不对？然后 p c 就 到 p 撇 c， 是 不是这里？好，那现在我知道了，你是旋转的多少度旋转的这个角啊，一定要看好了，拉大一点。 是，你看 pc 是 在这，对吧？你旋转到这，所以就这个角是六十度啊，这个角是六十度，用这个 这个角为六十度，那这个角为六十度的话，那现在这个三角形是什么三角形啊？等边三角形，对不对？它是个等边三角形，那就是 pc 等于 pp 一 撇了，是吧？好， pc 等于 pp 一 撇。哦，那我们看你 pa 等于 p 一 撇， a 一 撇， pc 是 等于 pp 一 撇， pp 在 这里。那么求 pa 加 pp 加 pc 这个线段合的角值，讲白了就是求 b p p p 一 撇 a p 撇，求这三三个线段合的角值是不是？那这三个线段首尾相连的情况下，它们什么时候最短呢？什么时候最短呢？直接就是 a 一 撇， 直接就连上 a 一 撇 b， 就 可以直接这么相连就行了， 对吧？那最小值不就是 a 一 撇 b 了吗？好，现在我开始要求这一个三角形去求 a 一 撇 b， 那 现在求 pa 加上 pb， 加上 pc 最小值，它不就等于 a 一 撇 b 了吗？可，对？好，那现在我们看，你既然旋转六十度，旋转六度的情况下，那这个角 是不是直角啊？大家看一下能不能算看出来这是个直角啊？因为这条边向外旋转六十度，旋转到这是不是旋转到这，那这个角是六十度，加上这个角为三十度，一加这个就是九十度， 这九十度的角，那九十度角现在要求这条边，那我可以利用勾股定力啊，对吧？好，这里给了一个四，是不是？那现在 a 撇 c 的 长度为多少呢？ a 撇 c 啊，等于 a c， 因为它旋转过来的嘛。好，那这是二， 那 a c 呢？就是二倍根号三，你 a c 是 二倍根号三，你 a 撇 c 不 就是二倍根号三了吗？对不对？那么我立马就知道， a 撇 b， 它就等于开根号下的 开根号下的 a 撇 c 的 平方加上 b、 c 的 平方，然后算一下它就可以算出它的最小值了，对吧？ ok， 好， 这就是我们的飞马点模型。

大家好，今天给大家讲解一下二零二六年天津泰达实验九年级上学期期末考试的二十四题的最后一问，大家一起看一下这道题啊。呃，在正方形 oabc 的 点 o 啊，点 a 在 外轴上啊， o 就是 圆点，然后 c 在 x 轴上 点 b 的 坐标是四到四，可以看出这个正方形的边长为四啊，然后说有一动点 e 连接 a e， 咱直接看最后一问啊，他说当满足当 e 点满足 a e 等于 o a 时， a e 等于 o a e 点不与 o 点重合。那咱以这个图二啊，从这图二上做啊，这个 e 点肯定不是这个图中画的 e 点了，它是前一问的图啊，它满足这个 a e 等于 o a， 那 就是 a e 等于四啊。咱们画一个，假如说再画一个 a e 等于四，等于，也就等于正方形边长， 大概画在这啊，这是那个一点，然后连接 o e， 以现在以 o 为中心 o e 啊，顺时针转九十度 得到 o p， 求这个 a p 啊，求这个 a p， 咱们连起来吧， 最大值是 e 点的坐标。好，根据这个条件， a e 等于 o a 啊，咱们知道这个 e 点啊， 它的轨迹是以 a 为圆心，半径为四的圆上啊，这样就能满足永远满足这个 a e 等于 o a 了，只是这 e 点不跟 o 重合。 好，那你知道这个 e 点的轨迹是个圆了啊，半径为四的圆，以 a 为圆心，那么这个 p 点是怎么得到的？是 o e 旋转九十度啊，这是九十度 得到的，并且这个 o e 比上 o p 等于一比一， 这个时候它就满足刮豆原理了啊，这个 e 点的轨迹是个圆，这屁点的轨迹啊，肯定也是个圆啊，刮豆原理满足什么？刮豆原理就是这两个边的比值是 一固定的啊，嗯，是个常数，也可以不一定是一啊，这一就更特殊了，它俩相等，并且这个定点 o 啊，这两个边 o e 和这个 o p 的 夹角是九十度，也是固定的啊，夹角固定， 两个边的比例固定啊，绕着一个定点，那他满足那个刮豆原理，也就是说屁眼的轨迹也是个圆，那他圆心怎么找呢？ 那你就模仿着啊，这个刮豆原理找圆心啊，轨迹是圆的，找圆心从动点啊，刮豆原理也叫祖祖重连动啊，模型这个 e 点是祖重点啊， p 点是从动点，那他的圆心怎么找呢？就模仿着 o p 怎么得到的？ o p 是 o e 啊，顺时针要九十度得到的，那它要 p 点的圆心怎么找？那你就先找到这个 a 点 e 点的圆心不是 a 吗？它绕着 a 转的半径是四，那 p 点圆心就模仿着 e 点的圆心，找法就是连接这个固定点 o， 这个 o a 不是 连接这个固定点和这个 e 点圆心 a 吗？你就把这个 o a 啊，也顺时针旋转九十度， 这个 o a 顺顺时针旋转九十度，正好得到转到 c 点这了，那这个 c 点就是 p 的 啊，圆心轨迹圆的圆心啊，咱们可以证明一下， 咱们连接 pc 啊，咱们可以证明这个三角形 a， o e 和 cop 全等啊，证明方法也比较简单啊，这个，首先这个有这个 o p， o e 等于 o p， 然后呢，这个 o a 等于 o c， 两个边都有相等了，然后这个 a o e 啊， 它也等于这个角 cop。 为什么？因为有俩直角减去公共的角啊， 两个直角减去公共的之间重叠部分，这个 e o c， 那 就等于 a o e 等于 cop 了，那这满足就是边角边啊，这两个三角形全等， a o e 全等于三角形， cop 全等完以后，对应边相等，那这个 a e 就 等于 p c p c 的 长固定啊，等于多少？等于四，也就是说 p 点到 c 点的距离永远等于四。那可不是， p 点的轨迹就是以 c 为圆心，四为半径的圆上吗？ 好，这个时候你知道 p 点的这个轨迹是个圆了，半径是四了， 那么你再求 a p 的 最大值，那就是一箭穿心模型了。什么意思呢？就是咱假设把这个 p 点的轨迹描出来啊，半径为四吗？ 画的不太好啊， 再这样， 这 p 点在这圆上运动，那什么时候 a p 最长？肯定是这个一箭穿心啊，这个 a p， 这个 a 点是圆外一点连接这个圆 p 点的圆心 c 的 时候并延长啊， 在这个圆 p 点运动到这的时候过圆心，这个时候这个 a p 是 最长的啊。 这个屁点求出来以后呢，还得找到他对应的原来的初使那个 e 点的这个坐标。那怎么找呢？咱们把这个其他的啊擦掉啊，把这个没用的部分擦掉，咱就留这个特殊的情况啊， 让他们怎么求这个 e 点对应的。 好，刚才咱们已经证明了啊，这个 p， 这个 a o e 始终跟这个 cop 全等的啊，这会咱们把 cop 连起来，这两个三角形全等，那么对应角肯定也相等，那谁呢？那这个 o c p 肯定也等于谁 o e 啊，那这个时候这一点就好画了， o a e， 你 看这个角多少度啊？ o c p， 这个角是不是等于这个角的补角？ 这个角 a o c， 这个角四十五度啊？所以这两个角都等于一百三十五度啊，补角算求出来一百三十五度，那这个 o a e 也等于一百三十五度，那你就可以把这一点找到了。 o a e， o a 是 这个外轴上的边，然后你再画一个一百三十五度，也就是说你再画一个这个四十五度就可以了啊，并且 a e 始终等于多少四，你画一个四十五度， 就能让这个 o a e 等于这个一百三十五了。哎，画到这个一点， 这个时候你就连接这个 o e 啊，这个 o a e 肯定还是和 o c p 啊，全等这个角一百三十五， 这个角一百三十五，所以这个它的补角就四十五度，那这个时候求一点坐标就好求了啊，你可以这个特殊往它外轴做垂线吗？ 他说起个名字为 d 点吧？那这个直角三角形 a、 d、 e， 这个直角三角形是个特殊的啊，等腰直角三角形吗？ 那这个 a e 等于四，你根据三边比例，这个 a d 就 等于二倍根号二， d e 也等于二倍根号二， 然后一点坐标就很容易求出来，横坐标是二倍根号二，然后纵坐标是二倍根号二，还得加上底下这个 a o 四呢，就是四加二倍根号二。好，这个题就讲到这里。

今天咱们来聊聊数学九年级上册的图形的旋转。你有没有想过，为什么车轮转起来还是圆的，钟表的时针走的那么稳？其实旋转就像数学里的魔法，图形一转，位置全变，但样子一点没走形。这 里面可藏着几何的变形守恒定律呢？把一个平面图形绕着平面内某一点 o 转动一个角度，就叫做图形的旋转。把三角形 a、 b、 c 绕点 o 逆时针旋转六十度至三角形撇 b 撇 c 撇。点 o 是 旋转中心旋转角，视角又为撇，等于六十度。点 a 和点 也是一组对应点。转的方向通常默认逆时针为正方向。旋转有三条核心性质，记住它们！旋转题基本就拿捏了旋转的性质。首先，旋转前后的图形全等 旋转，只改变位置，不改变形状和大小。所以圆图形和旋转后的图形是相等的。比如三角形 a、 b、 c 绕点 旋转，得到三角形一撇， b 撇 c 撇，那么 a、 b 等于 b 撇， a、 c 等于 a c 撇。就像游乐场旋转木马， 所有木马到中心柱子的距离始终不变。同时对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，这几个夹角都是旋转角。 画出旋转后的图形，要画旋转后的图形，就把图形关键顶点的对应点一个个找到，再连起来就搞定了。每个对应点的画法要根据到旋转中心距离相等的这条性质，在正方形和格子图这种条件下，可以运用尺子和两角器，事半功倍。 详细的话题讲解就不多说了，想知道的欢迎到洋葱学员搜索！你好，记得一定要看旋转这一章节哦，下次在几何题里看到不同的条件，不妨想想能不能让图形转一下，说不定一转思路就通了。毕竟数学的妙处就是换个角度，突然看清所有秘密啊！

这是一道关于旋转的例题啊，我们来看一下题，有两块全等的两直角的三角板，这么放置的角 a 角 d 都是九十度，然后我们这个这个三角板的点 e 啊，正好落在另一个三角板 b c 中终点的位置， 然后我们按照围绕这个点 e 去旋转，让我们这个直角 d 落在直线 a b 上啊，然后给了我们 bc 是 二，让我们求 a d， 那 我们这个应该是会出现两种情况啊，也就是直线 a b 啊， 我们的直线 a b 是 这样，对吧？那一个点 d 旋转，是不是一个可以落在这个位置，一个可以落在这个位置，哎，这个时候我们来看一下他两种情况，我们去找一下， 一个呢就是落在这个位置，是吧？另一个呢，应该是落在这个位置啊，当落在这个位置的时候，我们再把这个图补一下啊， 那我们先看这个第一种情况啊，也就是点 d 落在这个位置，然后 f 在 这里， 这样的话，让我们求这个 a d 啊，我们可以做一个垂直啊，构造一个直角三角形，做一个垂直，我们来构造一个三角啊，构造一个 假设，我们这是点 m， 这垂直，那这样的话啊，我们条件里给的这是二，这个边是一，这是一个比一，等腰直角斜啊，等腰直角三角形，这个 ab ab 是 不是等于格号二啊？我们的 am ab 是 另一个角点 ab， e d 是 多少？ e d 是 等于 c b 的 e d 就是 隔号二，嗯，我们的 e m 呢？又是一个，你看 四十五度啊，直角四十五度对吧？这是一斜边，所以我们的这个 am am 等于这个谁啊？等于 b m， a m 是 不是等于二分之根号二啊？这是二分之根号二啊，不是 a m， 我 们的 e m 二分之根号二，所以这三角形啊，这三角形啊， d m e 在 这个三角形啊，这个直角三角形当中。 好，我们的 m e m e 有 了二分之根号二，我们的 e、 d 有 了， e d 有 了， 是根号二。哎，所以我们 m d 是 可以算出来的，我们的 m e m 是不是就等于这个 e、 d 的 平方啊？根号二的平方，也就是二减去减去谁？我们的 e m 平方加二分之一， 就等于二分之根号六。好，当我们这个边有了二分之根号六，那这个，这个它是不是 ab 的 一半？实际上它也是这个 am 啊，它等于二分之根号二， 所以我们 ab， ab 就 算了啊，这个时候我们的 ab 减去这个 a m， 是不是等于二分之根号六？减去二分之根号二，等于二分之根号六，减根号二。所以第一种情况啊，我们的是二分之根号六，减根号二啊，这是第一种情况 啊，下面我们再来看一下它的第二种情况啊， 好，再来做一下这个图 啊，就是我们的点 d 啊，到这个位置 f 呢？在这里，这个时候我们再来看这个 a d 啊，这里我们还需要再去构造一个直角三角形， 再去构造一个直角才行。哎，你说我们这么去做一下啊，这么做一个垂直，它这是 n， 那 构造的这个啊，我们的 n b d， 它是一个 n b d， 这也是一个等腰直角啊，因为这是垂直 啊，这是四十五度，零角，对，零角，四十五度，四十五度。在这里我们啊设一个未知数，也就是我们 b、 d， 我们四个 b、 d， 它等于 x， 也就这一段 x， 那 么我们的 b， n 啊，我们的 b， n 是 不是等于我们的 d， n 等于二分之根号二倍的 x 啊？所以在这个三角形当中啊，在这个三角形，在哪个三角形？在这个三角形 n， d， e， 在这个三角形当中，我们的这个 d， e 啊， d， e 啊，也就是这个 d， e 吗？旋转过去， d， e， d， e 是 不是等于根号二？这是根号二，那这是。 好，我来写一下这个 d， n 啊，等于二分之根号二的 x， 那 我另一条边 n， e 啊， n， e， n， e， 是 不是这是一啊？一加一加二分之根号二 x， 这样三条直角边都表示出来，我们可以列一个勾股定律的方程，哎，也就是我们的斜边的平方， d， e 的 平方，就是 它的平方，就是二，等于它的平方二分之二 x 平方，加上这一加二分之根号二 x 平方啊，这样式我们就得到这个方程。最后啊，我这里我会解解一下我们的方程，应该是二分之根号六减根号二啊， 这就是 x， 我 们把 x 解出来了以后，利用这个方程解出 x， 解出 x 是 我们的，这个怎样 啊？是我们的这个 b、 d 的 b， d 的 长， b， d 的 长，我们要算的 a， d， a， d， a， d 是 不是等于 b、 d 再加一个我们的这个 ab 啊？ ab 是 根号二，再加一个根号二， 也就是加一个二分子二倍的符号，所以第二个答案应该是在这里，我们应该是 二分子隔号，六加隔号啊，所以这个题两种情况啊，希望这个理题能有帮助。

今天我们来分享一个动点最直的啊，综合题，如图，在矩形 abcd 中， ab 是 五， bc 的是五倍根号三点 p 在 线段 bc 上运动，含 b 和 c 两点连接 ap， 以点 a 为中心啊，将线段的这个 ap 逆时针旋转，旋转六十度，得到我们的 a q， 然后连接 d q， 在 这里让我们求 d q 的 最小值， d q 的 最小值， 那如果想找 d q 的 最小值，因为 q 啊，是一个 p 点旋转过来旋转六十度得到的，那么 p 又是在这个 b c 上运动， p 是 动点，它也是动点啊，所以我们要找到点 q 的 一个运动轨迹 在这里。如何去找点 q 的 运动轨迹啊，我们可以利用全等啊，如何利用全等？我来做一个图，我看一下 啊，我们假使我们让这个点 p 啊，啊，点 p 运动可以含 b， 那 我就让它在 b 点位置，在 b 点位置做一个啊，六十度等边三角形 啊，六十度的 啊，我们如果这个点 p 在 b 的 位置，那么 a b 旋转到这，也就是我们的这个，呃， p p 啊， 我们的 p p 一 应该在这个位置啊，如果在这个位置，那么我们呢，再去看一个这个啊， 好，我们的三角形 a， b， p， e 和我们三角形 a p q 都是以这个啊，这一段长旋转的啊，红的旋转过来，然后 ap 旋转到这， 那么这个啊，这个，这个不是屁屁啊，这个应该是一个 q 啊， q 一 的位置啊，那这个点是 q， 这一点也是 q， 那 q 应该在一个直线的， q 的 运动轨迹应该是一条直线啊， q 的 运动轨迹啊，那应该是一条射线，也就是说我们最大的位置就是在 在这里，应该在这，哎， q 运动到这一直往上走，那有了 q 点的运动轨迹，在这里我们去去找一个全等的三角形， 全等，也就是我们的 a a b p 这个三角形 啊，因为这相当于一个手拉手，手拉手的一个一个两个啊，两个等边三角形顶点相对，由这个三角形和我们的这个三角形 后面这个三角形应该是全等啊，因为你看我们这个边和这个边相等，然后呢这条边和这条边相等，然后这是六十度， 这也是六十度，所以这个角和这个角也相等，这样我们就找到了这个三角形和这个三角形，它全等，全等以后，哎，我们这个角角 b， 这个角它是一个直角，也就是说我们的这个角 q 一 啊，我们 q 一 这个角也是一个直角，那么点 q 在 这条这个直线上啊，在这个射线上 他是直角，那么这又是一个六十度啊，这个角这个角就是一个三十度，三十度，三十度，哎，我们呢，我们的这个角就应该是一个六十度， 这时候点 q， 如果在这上运动的话，我们点 q， 是 不是，哎？到这个位置啊，假如说这个是 m dm， 这就是一个最小值， dm 就是 我们要找的最小值，那怎么去求这个最小值啊？我们看啊啊，题里给了我们 ab， ab 是 五啊， ab 它是五， ab 是 五，也就是 a q a q 一， 这就是五，看这又是一个三十度，对吧？所以我们利用三角函数啊啊 cosine 三十度是不是等于我们的这个 a q 一 a q 一 比上我们的这个假设，这点是 f 吧？ a f a f， 那 我们的 a f a f 是 不是能算出来啊？ a f 是 不是等于 a q 比上我们 cos 三十度 a q 啊， a q 就是 五啊。 cosine 三十度啊，应该是二分之根号三，所以它等于我们的三分之十倍根号三啊。 af 出来了， 三分之十倍根号三。有了 af， 我 们 ad 也是知道的啊。 ad， 嗯， bc 啊， bc， 因为是矩形， bc 就是 ad， 是不是五倍根号三，所以我们的这个 d f d f 就 出来了。 d f 是 不是等于啊？ a d 减去 a f 啊，应该是等于最后等于三分之五倍根号三 啊，五倍根号三，减三分之十根号三，等于三分之五倍根号三啊，它有了， 那么看啊，这是一个对顶角，这也是一个六十度啊，这个时候我们要去算这个啊，算它六十度，那 算以六十度，那我来算，以六十度是不等于 dm 比上我们的这个 d f 好， 我们的 dm 啊，就能得到我们的 dm， 就 等于 sine 六十度，比上，呃不呃。 dm 等于 d f 乘以 sine 六十 啊。 df， 好， 我来算一下 df， 三，三分之五的根号三，三六十度，二分之根号三啊，最后应该是等于六 二三，得六十五，等于二分之 二分之五。好，最后我们的答案最小值二分之五 a， 希望这个题对你有帮助。

旋转构图在几何教学中啊，也是一个难点，那今天呢，我们来看一看一道旋转题，如何求角之间的数量关系。好，我们来一起分析。 将菱形 a， b， c， d 绕 a 逆时针旋转，得到菱形 a， e， f， g， a， e 经过点 c， c， d 与 e、 f 交汇点 h 表 b 等于 alpha 度，表 c， h， e 等于 beta 度，求 beta 等于啊，这里面呢，应该是用 alpha 的 代数式表示 啊，那如何用 alpha 的 代数式来表示 beta 呢？那这样我们就得分析一下这道题。那我们知道 i、 e、 f、 d 是 由 a， b， c， d 旋转来的，那我们看旋转的时候，我们要学习什么， 从哪来到哪去，非常好。那也就是说这个阿尔法会旋转到哪去呢？哦，会旋转到角 e， 所以 我们这地方就轻松地知道角 e 等于阿尔法。 嗯，很好，那角 e 等于阿帕哦，角 e 和角贝塔就在同一个什么哦三角形中了，那此时还有什么信息呢？ 在这地方，若 i c 经过点 e， 那 此时我们来观察一下 i c， 那 i c 此时就变成了哦菱形的对角线。那你会想到菱形对角线有什么性质 啊？平分一组对角，那非常棒。那此时呢，实际上我们可以知道，角 b， c、 d 等于根据菱形，所以等于一百八十度减，角 b 就 等于一百八十度减。 那根据菱形的对角线平分一组对角呢？那么所以角 a， c、 d 就 应该等于二分之一，角 b， c、 d， 那 就等于九十度减二分之一啊。 好，我们看 a、 c、 d 正好是这个三角形的什么外角，所以我们又得到它等于角 alpha 加 beta 啊，等于 alpha 加 beta。 好 了，那么下面呢，我们就建立起 beta 等于多少了，通过整理我们可以得到 beta 等于九十度减去二分之三倍的 alpha。 好 在这里写上九十减去二分之三倍的 alpha。 这道题呢，我们就求出来了摆塔和阿法之间的关系。好在旋转的过程中，那么我们要知道从哪来到哪去，还有绕哪一点是进行旋转的。好，你掌握了。