关于函数图像的直线对称

来小伙伴我们来看这样一道题啊，函数的自对称性，首先看 g s 等于 f 一 加 s 加上 f 三减 x， 那 么在这里头 f 一 加 x 和 f 三减 x 呢？它是两个函数， 但是啊，你可以看它这个函数是关于什么，是不关于 x， 我 们推导一下，是关于 x 等于一 对称的两个函数，这是两个函数对称，但是把它再相加的话，哎，也就说有一个 x 的 点，是不是我们可以对应，把这 y 值再加起来，是不得到一个新的函数， 对吧？也就说我们 g x 呢，其实是个复合函数，加起来以后它会变成一个单独的一个函数，它是具有自对称性的函数，这能理解吗？因为一加 s 和三减 s 确实是两个函数，但是我们把它的 y 值相加吗？每对应 x 也会有个 y 值，各有一个 y 值，我们再把 y 值相加，是不是就是我们新的一个函数的图像，对吧？那么这个函数是具有自对称性的，所以 g x 本身是个自对称性函数，让你求关于 它，它关于哪条直线对称，那么快速的方法我们知道，那么就一加 x 等于三减 x， 我 们直接给算出 x 等于多少， x 等于一，是吧？ s 等于一，那我们其实如果你不知道，我们就按照我们最基本的定义是我们设 g s 关于什么 x 等于 a 对 称， 那么根据表达式我们来推导一下，那么就是 g x 加 a， 会等于 g 的 负 x 加 a， 然后我们这里头再把它带回去，对吧？那么所有的 x 都要要变，一起变嘛？那么 g x， 所以 的我们的 f 一 加 x， 那 就 f 一 加 x 加 a， 对 吧？然后加上 f， 三减去 x 减 a， 等于右边的 f， 一 减 x 加 a， 加上一个 f， 三加 x 减 a。 好， 那么注意这里头的正的 x 和正 x， 负 x 和负 s， 它们对应的里头的系数是不是应该相等？就是他们所所谓的这个参数，其他参数是吧？常数是不是要相等？那么也就是一加 a 是 应该等于什么三减 a 的， 同理，负的里头是吗？是三减 a 等于一加 a 的， 这你 a 是 不是就解出来了？所以我们的 a 等于几啊？ 嗯，一项项，所以 a 是 等于一的，对吧？跟我们刚才的快速验算方法是一样的，所以这条图像是关于 x 等于一对称的。好，那么具体验证，你可以把它再带回去啊， 我们可以验证一下，多次，多验证一步啊，我们来验证一下，那是不是这样的，那我们把它 g x 加一，等于 g 的 负 x 加一，我们带回去试一下，那么原来的 f， 那 么就变成了这个 x 加二，加上一个 f， 那 么就是二减 x， 右边呢，是二减 x 加上一个 f， 这个 x 加二，对吧？好，请你观察左右两边是不是相等的，所以没问题啊，所以这就是我们关于 g x， 关于图像 x 等于一对称的推导。好，我们来看第二道题，以此 第二道题呢？一样的啊，如果你知道快速的方法，你直接可以解除了什么二加 x 等于六减 x， 我 们可以算出 x 等于二，然后没有长竖向，所以它是关于二到零中心对称的啊。那么如果你 不确定，我们还是用最全传统的什么定义方法来计算，我们设 g s， 就是 关于什么 a 到 b 对 称的， 然后我们来把它展开而已啊，那么你是不是应该关于 a 到 p， 你 是不是能写出 g x 加上 a 加上一个 g 的 负 x 加上 a 等于二 b？ 好， 我们再把这式子嘛带回去啊，所有的 x 都要换成我们对应的 x， 是 吧？那么要换一起换，那么 f 就 二加 x 加上 a 减去个 f， 六减 x 减去 a， 然后再加上我们的 f， 后面的负 x 加 a 带过去啊，负 x 加 a， 把 g s 里头所有的 s 都换掉啊，那么就是 二减 x 加 a 减去个 f， 六加 x 减 a 等于二 b， 对 吧？好，我们把这个负负向全移过去，所以就二加 x 加 a 加上一个 f， 二减 x 加 a 等于个 f， 六减 x 减 a 加上一个 f， 六加 x 减 a 加二 b 等于零。好，同样的，我们对应的 x 和 x 的 啊，里头的 表达式要一样，负 x 和负 s 要一样，对吧？所以我们会什么二加 a 就 等于六减 a， 然后这里头是负 x 呢？也是二加 a 等于六减 a， 我 们看 a 是 不是算出来 a 就 等于几啊？ a 就 等于二，同理啊，那么既然我们这 a 都 左右表达式都是一样的了，那么关于 f 的 都约掉了，那你说二 b 是 不是应该等于零啊？那么 b 等于几？ b 是 不是等于零？好，那我们这个 图像它自对称的对称中心是爪二斗零啊，那么验证你们自己带进去验证一下啊，小伙伴啊，那么这种方法你有没有掌握呢？

一遇到二次函数的图像变换问题呢，有些同学就蒙圈了啊，平移，对称，旋转，傻傻分不清楚，选填的基础题丢分，非常可惜。 那上个视频呢，三老师带大家去解决了平移问题，今天呢，我们就来解决一下对称问题，对称问题呢，他同样有口诀。好，口诀是什么呢？ 关于谁谁不变，关于原点，都改变，这两个对称，这两个字可以不要啊。同学们，好，关于谁谁不变，关于原点都改变，这样更顺一些。好吧，同学们，那这个口诀到底是怎么去用的？二次函数的一般式给大家讲解一下啊？关于谁谁不变，关于原点都改变。首先，如果说人家让你求关于 x 轴对称的， 关于谁，关于 s 轴，对不对？那说明关于 x 轴， x 就 要不变，不能说谁都不变啊。 x 不 变， y 要怎么着？ y 要变成它的相反数， y 的 相反数是谁？是负 y 对 不对？所以同学们，如果让你去求关于 y 轴对称的函数解析式的时候， x 不 变， y 变成相反数，那就是负 y， 其他的全部不变，对不对？全部不变啊，哎，负 y 呢，就等于 a， s 方加 b， x 加 c， 好， 那这个式子就是你通过关于 s 轴对称得到的式子，单式对慢， 答案可不能写成这个啊，那所以我们整理一下就得到哎， y 呢，就等于负 a， s 方减 b， x 减 c。 好， 同学们，这是我们关于 s 轴对称的。那接下来如果说让你去求关于 y 轴对称的函数解析式的时候，怎么去做好，还是同样的道理嘛？ 那关于 y 轴， y 不 变， x 要怎么着？ x 要变成它的相反数，对吧？好，同学们，那 x 变成它的相反数，哎，我就这样去写了。啊， y 不 变吗？不是 a x， 哎，见到 x 了啊， x 变成它的相反数，把 x 换成负 x， 其他不变，全部照抄。好，是不是这样一个式子，好，接下来继续往后走，加 b， b 也不变啊， x 要变成它的相反数，负 x， 好， 最后一项没有 x， 好， 那我就照抄。所以，对面我关于 y 轴对称的函数解析式，是不就是 y 等于 a 倍的负 x 括号的平方加 b 倍的乘以负 x 再加 c， 对 不对？好，那再整理一下， 负 x 括号的平方是不是仍然是 x 的 方，对吧？所以 y 就 等于 a 倍的 x 方减 b， x 再加上 c， 所以， 哎，是不是就得到了这个式子， 对吧，同学们，好，这是关于 y 的 对称，那如果说让我们去求关于圆点对称的函数解析式，应该怎么去做呢？好，关于圆点，怎么着都改变，对不对？好，那就是 x 和 y 都变成它的相反数，同学们，那我们就来写一下了啊，首先， y 要变成负 y， 对 吧？然后 x 也要变成负 x， 那 是不是就得到了这样的一个式子，负 x 方，然后加 b， 哎，又遇到 x 了， x 要变成它的相反数，好，然后呢？再加上 c， 好，所以，对吧？来，我们再来整理一下啊！整理一下，首先我先把后面的整理完全，等于 a 倍的 x 方减 b， x 加 c， 对 吧？好，然后，哎，再把 y 前面的符号给消掉，对不对？两边同时乘以负一，所以我就得到了 y 就 等于负 a， x 方加 b， x 减 c， 对 吧，对吧？好，这是这样的一个式子啊，这是我们关于原点对称的函数解析式，也求出来了，哎，是不就是这个式子？到这里呢，老师就带大家把 关于 x 轴对称，关于 y 轴对称以及关于圆点对称的式子解析式全部都搞清楚了啊。首先见到这类题目，先想我们的口诀，关于谁，谁不变，关于圆点，都改变，对吧？好，关于 x 轴，那就是 x 不 变，把 y 变成相反数，所以我们就得到了负 y 呢，就等于二 x 方 加三， x 加一。好，那整理一下，是不是得到了 y 就 等于负二 x 方减三 x， 建议，对吧？哎，就得到这样一个式子啊，那其实这道题目就解决了，好，弟们，那接下来呢，老师再给大家拓展一下啊，如果说这个题目让你去求关于外轴以及关于原点 对称的函数解析式，应该怎么去算呢？好，我们来看一下，这是关于 x 轴的，如果说让你去求关于 y 轴以及关于原点对称的函数解析式，应该怎么去做？首先关于 y 轴，关于谁谁不变，关于 y 轴， y 不 变，对不对？那就把 x 变成相反数，所以呢，我就得到了 y 就 等于二 负 x， 括号的方加三乘以负 x 加一，一定不要跳步啊，对面不要跳步，因为一跳步就容易出错啊。然后呢，我们整理一下，是不是就得到了 y 呢？就应该等于二 x 方减三， x 加一。 好，这是关于 y 轴。那如果说让你求关于原点对称的函数解析式呢？好，关于原点都改变，对吧？那 x 和 y 都要变成它的相反数，那负 y 呢？就应该等于二倍的好， 负 x 块的方加三乘以负 x， 再加上一。好，那再整理一下，其实又变成什么了？同学们，首先还是啊，负 y 应该等于二 x 方减三， x 加一，然后呢，再整理一下， y 就 等于负二 x 方 加三 x 减一。好，哎，我们就得到了这样的一个式子啊，这就是关于 x 轴，关于 y 轴以及关于圆点对称的三个解析式，分别是一二三这三个式子。今天的这道题目你学会了吗？学会的同学可以把口诀打在评论区，我是思南老师，专注拆解中考难题。

一分钟带你了解所有函数对称性。第一类，偶函数一、常数项二、无一次项的二次函数。三、绝对值函数以及任何在自变量 x 处套绝对值的函数。 四、鱼弦五、双曲鱼弦可以以任何常数为底，图像不变。六、外层偶函数，复合出的所有函数。 七、任意函数对称化处理构造出的所有函数对任意函数 f x， g x 等于 f x 加 f 负 x 一定是偶函数。八、偶次幂函数。 第二类，基函数一，正比例函数二，反比例函数 三，对勾函数四，飘带函数五，鸡次逆函数 六、正弦正切。七、双曲正弦八、双曲正切，将双曲正弦与双曲余弦做伤， 通过 x 区域正无穷极限分析 y 区域一，可知有两条水平渐近线， y 等于正负一。九、逻辑函数详见下一个视频。十、双曲余切及双曲正切的倒数 十一、反双曲正弦若给双曲正弦求反函数，可得它的相反数，也是奇函数。 十二、反双曲正切图像形似正切，有两条数值渐近线比，随便换一也可以改成 a， 仍是奇函数。十三、三、次函数对称中心。

都二零二六年了，这种考函数对称性的题还没有思路呢。不会吧不会吧，还是让魅力无限赵理想来教你吧。我们只要见到乱，不管三七二十一，十七三十九的，我们先想定音律两种方法让你搞定这道题。他说他关于 s 点一对称，求 a 加 b 的 值。 首先对称轴是一对吧，那这就说明什么呢？啊？他的定义域必须得关于一对称，因为有 line， 我 们只要见到 line， 不 管三七二十一，十七三十九的对不对？我们先想定义域，那他的定义域是多少呢？他的定义显然是真数大于零， 看到吗？真数大于零，相除大零就是相乘大于零，相乘大零的话，就应该是两根之外，两根之外的话，他关于一对称，那你想一想，一在哪？是不是有一个是零对不对？有一个是零，那一在这吗？这对准吗？ 哎，他的定义域得关于对称大于零，就应该是上面，那你猜这地方是几？是不是这个地方必须得是二， 那必须得是二的话，又因为这个地方是负 b， 所以 我搞定了一个数了。听明白什么意思了吗？为什么呢？因为它是两根之外，一个根是零，一个根是负 b 嘛，所以我们就能够算出 b 等于个负二来。 这一步怎么算出来？再说一遍，就是利用他们的定义域图像，关于 x 等于对称，说明他们的定义域必须得关于 x 等于对称。 又因为定域的端点值一个是零，另外一个是负 b， 所以 零和负 b 得关于一对称，它的定域。取这两段，我们搞出 b 来了，我们再搞 a 呗。那 a 怎么去做呢？ a 怎么去做？因为它是偶函数。我们讲两种方法， f x 关于 x 等于一对称，我问你往哪平移？你想一想， 对称轴和偶函数的关系是什么意思呢？假设图像是这样的，对称轴和偶函数的关系。就是啊，一般和特殊的关系，偶函数是一个非常特殊的对称轴， 所以就相当于把这个图像往哪平移呢？往左平移了一个单位，它就是偶函数。往左平移了一个单位的话，所以它就等价于左加右减。所以你加个一呗， 它只要是偶函数就可以了。那加个一的话，它是不是相当于 x 加一减 a 的 三次方乘以个 long， x 加一， 加个一的话，是 x 减一，看到了吗？把 b 带进去， x 减二，把这里面所有的 x 变成 x 加一。又因为我们总结过方法，这个地方是一个奇函数，那说明奇乘奇才是偶， 听懂了吗？所以这个地方它一定是个偶函数。等价课本上原话对不对？所以它是，它已经是 g 了，要想成为偶函数，前面必须得是 g， 所以 a 等于几？ x 的 三次方是 g 啊，所以 a 就 应该等于个一。所以这道题还是一样的，足够简单吗？所以 a 加 b， 它就应该等于负一，就等 搞出来了，对吧？哎，听懂了吗？零在一的左端。对，肯定是这样的。第二种方法是什么呢？哎，我会背公式。第二种方法就是对称轴是一， 对称轴 x 等于一。我们总结出一个二阶结论来，这个公式是，它 f 二减 x 等于个 f x， 这就是对称轴是一的意思。 你这样做也是可以的，也能做的出来吗？又因为我们已经知道 b 等于一个负二，那说明啊，算呗，我现在写出 f x 就 应该等于个 x 减 a， 这个 b 等于负二。一样的方法，一定通过定域来看， x 减 a 的 三次方乘一个 l n 啊， x 乘一个 x 减二， 所以呢，我们就满足 f 二减 x， 把它算出来，没 f 二减 x， 就 把这里边所有的 x 变成二减 x， 二减 x 减 a 的 三次方，好麻烦啊，乘一个 line 对 吧？啊？把 x 变成二减 x， 对 吧？你看，还是用第一种话挺简单了，把 x 变成二减 x， 就 负 x， 看到了负 x 啊，就跟那个 x 减 a 的 三次方乘一个 line， x 分 之 x 减二，看懂了吗？ f 二减 x 等于 f x， 那 么又因为这个数的话，什么关系？这个数是不是相当于 x？ 比上一个 x 减二，你会发现他俩是倒数关系， 能发现不？他俩是倒数关系，所以他俩是倒数关系的话，我往前提一个符号，他也往前提一个符号，负负得正抵消了，就相当于 x 加 a 减二， 对吧？提了个符号啊，三次方，他提个符号的话，就应该是这样取个倒数，所以这就叫基础，这就叫基础。各位同学， 这就叫基础。最终运算你得知道，所以他俩是横相等的，那横相等的话，那说明他都完完全全对应相等，所以他俩是相等的，他们是相等的，那这就说明 a 减二等于个负 a， 一定是完全对应相等。两种方法啊，你看哪一款适合你？ a 减二等一个负 a， 所以 a 就 应该等一个一，都要掌握，都要掌握啊，简单不？

挑战一百分钟讲解高中数学之函数！今天要讲的是图像的平移、对称、伸缩以及翻折，他们都是有口诀的啊，我们记住这几个口诀就行了， 平移要加减，对称要变反，伸缩成细数，翻折绝对值。好，先看平移， 平移就是我们经常说的左加右减，上加下减，其中要注意的是，左加右减针对 x， 上加下减针对的是 y。 比如说 log 以二为底， x 对 数，将它上移一个单位，它本来经过的定点是一斗零。上移一个单位以后， x 不 变， y 加一，那就变成一斗一。与平移变换后的解析式正好是一一对应， 所以上下平移是在整个式子后面加减一个常数左右。平移针对的是所有的 x。 log 以二为底， x 对 数，它经过的定点还是一斗零？新的函数解析是， 当 x 取二的时候， y 等于零，所以它经过的定点是二斗零。我们看定点是将一斗零如何变换到二斗零的呢？是将它向右平移一个单位。好，这个是平移。 下面我们看对称。对称有三种形式的对称，关于 x 轴对称的时候，纵坐标要变反，关于 y 轴对称的时候，横坐标要变反。关于坐标原点对称的时候，两个坐标都要变反。 f x 等于 line x， 它的函数图像长这样子。我们将 line x 经过 x 轴对称，那 x 轴就像一面镜子，所有在 x 轴下面的点对称到上面去， 所以对称以后，函数长这个样子，所以它是将整体的 y 了。相反数 n 的 函数解析式就是 f x 等于负的 long x， 那 将它与 y 轴进行对称，我们要把 y 轴作为这面镜子， 所有 x 取负值的时候，它也能取到对应的 y 值。我们看任何一个点，它经过圆点对称的时候，我们看任何一个点，它经过圆点对称的时候，我们看任何一个点，它是负 a 到负 b。 所以在经过原点对称的时候，我们要把横纵坐标都取反。第三部分，伸缩需要成细数， 伸缩分为两种，一个是横坐标的伸缩，一个是纵坐标的伸缩。我们先看纵坐标，纵坐标伸长为原来的二倍，那就是将函数图像给它变高了，看这个是新的， 如果是缩短为原来的三分之一，那就是变矮了。所以变换后的函数解析是前面的系数 就等于伸缩变换的系数。那横坐标的伸缩变换理解起来就比较特殊了。我们只要记住它伸长的或者是缩短的这个倍数，我们假设它为 k 一 和函数解析式里边 f、 k 二它俩之间是有关系的，并且 k 一 乘以 k 二等于一，我们只要记住这个式子就可以了。比如说 y 等于 x 和 y 等于零二分之一 x 他 横过的定点是一斗零，所以他过的定点是二斗零。 那么将如何将一斗零变成二斗零呢？他是给他伸长为原来的二倍，而且他也满足伸长的倍数， k 一 乘以 x 前面的系数 k 二等于一。 最后一个变换叫翻折，可以是将 x 轴下方翻到 x 轴上方去，或者将 y 轴右方的翻到 y 轴的左方去。我们还是以 y 等于 loin x 举例，说明 它的函数图像是长这个样子，那么 y 等于 loin x 整体的绝对值，它需要将 x 轴下方的翻到 x 的 上方去，那 y 等于 loin， 只对 x 取绝对值的时候， 需要将 y 轴右侧的翻到 y 轴的左侧去，所以函数的图像变换，我们只要记住这二十字的口诀就可以了。想听什么内容评论区留言哦！

大家好，我是熊叔，一枚喜欢解数学题的野生博主。升到初中，大家普遍反应数学难学，熊叔通过数学经验发现，其实数学压轴题不过是基础知识的综合叠加，把基础不扎实了，中考数学可能可以一笑而过。除了学习方法，熊叔和熊叔的朋友们偶尔也会分享学科之外，提升学习力， 包括记忆力、创造力、逻辑力、体力、心智力的日常方法，有兴趣的朋友可以点个关注。下面请花五到十分钟跟熊叔一起探寻学习的乐趣吧！本期我们要解决的是这个一次函数 的对称性的问题。这个一次函数呢，是八年级的下学期学的东西，那个在我们整个初中阶段所占的这个知识呢，是比较大的，而且它及其锻炼我们的这个计算能力。那么它的图形变换呢，是我们学习这个函数中 第一个遇到的这个函数图像，所以它也很典型，很重要。我们来看一看这道题。首先还是老规矩，我们先读题回答下列问题， 直线 y 等于负二 x 减一，关于 x 轴对称的函数解析式为什么？关于 y 轴对称的函数解析式为什么？关于圆点对称的函数解析式为什么？下面给出了四个选项，要解决这个问题啊，不是很难，那个这算一道中等题吧，关键就是说我们如何快速的把它解决出来。 那么我们在解这道题之前，我们要先看一个我们的这个解题的要诀， 那我们先看看这个知识导航，如图，画出依次函数 y 等于 k， x 加 b 括号 k 不 等于零变化后的图像，并写出变化后的解析式。 一、关于 x 轴对称的函数解析式是什么啊？我们就拿这个第一个关于 x 轴对称来去立吧。我们可以看到第一幅图，第一幅图它这个原函数是这个 y 等于 k， x 加 b 是 这条绿色的线，这个绿色线它过哪两个点呢？要过零到二以及这个点， 以这个点 负一到负一，是不是？那么零到二？关于， 那么这个函数解析式， a 就 等于负一减二，比上负一减零就等于负三除以负一等于三，然后它过零到二，那也就是说 b 等于二，所以 y 呢，就等于 y 就 等于 三， x 加二。那么关于 x 轴 对称的函数解析式是多少？我们怎么求呢？那我们先求出常规方法，就是求出原函数上这两个特定点，它对称。关于 x o 对 称的点，那么零到二，关于 x o 对 称的点，那就是 a 零到负二对不对？然后 负一到负一，关于 x 轴对称点，就是 x 不 变还是负一，然后纵坐标有负一变一对不对？那么这个 k 一 吧，这个关于 x 轴对称的这个函数解释，它就应该等于一减去负二 以上，负一减零等于负三，那么 y 就 应该等于负三， x 减二对不对？那么我们可以看得出， 负三 x 减二和三 x 加二有什么关系呢？这里我们有一个口诀，就是啊，关于谁对称，那么谁就不变， 另一个就变， 比如说就是说律线上的每个点，它的 a 横坐标是不变的，变的是它的这个纵坐标对不对？纵坐标是取相反数，所以我们就有。欸，如果原函数是 y 等于 a， x 加 b， 那 么它的关于 x o 对 称的话，那么就是 x 不 变，那么它的 y 变对不对？ y 要变相反数，所以是这么一个解析式， 那么把它写成我们一般形式的话，就可以写成 y 等于负 x 减 b， 对 不对？我们看一看，那这个图形来解释， y 等于三， x 加二，我们直接用我们的口诀，谁对称谁不变啊。另外一个变，那么也就是负 y 就 等于三， x 加二， y 等于负三， x 减二， 就这样，对不对？和我们的这个用这个一般的方法计算出来的是一样的，那么 y 轴，那如果是 y， 关于 y 轴对称呢？如果是关于 y 轴对称就好讲，那么就是 y 不 变， x 变，那就负三， x 加二，是不是负三 x 加二？ 好，我们可以自行验证。然后如果是关于圆点对称呢？关于圆点对称的话，那么就是 x y 都变，那么就是负 y 等于负三， x 加二， 解出来， y 等于三， x 减二，那 y 等于三， x 减二和 y 等于三 x 加二，斜率都是一样的，都是三，是不是？那么我们看第三幅图也看出来，这条绿线和这条红线它的斜率是一样的，然后呢，绿线它的与 x y 的 交点是二，然后红线与 y 的 交点呢？这里没有画的很明确，但是这里是负二，那么也对应了我的 b 式的那个题目， 那么这道题目就很简单啦啊，直线 y 等于负 x 减负二， x 减一，关于 x 轴对称的函数解析式，那就应该是关于 x 轴对称，那么就 x 不 变， y 变，那就负 y 等于负二， x 减一，那么 y 就 应该等于二， x 加一，对不对？那么二 x， 那 么这个 c 就 排除了， d 也排出了， a 也排出了，那就只有 b 了，对不对？那我们再检验一下另外两个填空应该填什么？关于 y 轴对称的函数解析式，那就是 y 等于 y 不 变， x 变负二，括号负 x 减一，那 y 就 要等于二， x 减一， 对不对？那关于圆点对称图形呢？那就是 x， y 都变，那就负 y 等于负 x 减一，那么 y 呢？就要等于负二， x 加一， 是不是？那么这个答案就选 b。 这道题目还是不难，挺容易的，但是我们要求这种不难容易的题目呢，我们要快速的把它解决出来，因为到了初三的话呢，他 不会单独的出这样的问题，而是会把这种对称对称性放到这个压轴里面的。呃，一个问题和二次函数或者是反比函数或者是圆结合在一起，那么 题目就会比较难了，对不对？那再难也没关系，我们就是说抽丝抽丝剥茧，把这些基础知识点搞清楚了，那么难题也会变得容易。那么本期的分享就到这里了，如果您有好的想法，也可以跟我们一起探讨，一起讨论。 以上就是这个视频分享的内容，如果您有，不管您是家长、同学还是同行，都可以在评论区留言，把想听的想看的告诉我，如果可以的话，希望您点个收藏关注，小心心见三连，您的鼓励支持是我制作视频最强的动力，关注老熊，一起轻松探索更多的数学压轴！好了，我们下期分享，再见！

函数图像的对称轴与对称中心结论一，若函数 f x 满足 f a 加 x 等于 f b 减 x， 则 f x 的 图像关于直线 x 等于二分之 a 加 b 对 称。结论二，若函数 f x 满足 f a 加 x 加 f b 减 x 等于 c， 则 f x 的 图像关于点二分之 a 加 b， 二分之 c 对 称。结论三，若将上述一、二的 x 全部换成二 x 或者三 x 等等，结论依然成立。例如，函数 f a 加二 x 等于 g b 减二 x， 则仍可得到 f x。 关于直线 x 等于二分之 a 加 b 对 称，你学会了吗？

好朋友们大家好，今天我们来讲一下 y 高的第十四次的高一周特试题。嗯嗯，首先这张卷子呢，整理做了一下，嗯，比十三次要难一些。嗯， 但整理难度也没有说那么大。卡根法求欧米拉趋势范围。考了很多啊，就是图像性质考了很多。嗯，那我们在这里面分析的时候呢，还是以 经典题目的分析，或以错点为主，像一二三四都难度不大，我们就不太多说了。第五题呢，闲话切，也比较简单，涉及到了一个对称啊啊，要审题，第六题开始啊，就是考到了图像性质。 好，我们来先讲下第六题。第六题呢，它考得很有意思啊，就是同学们平时做题做多了，都会认为欧米伽为正值，你看这个题他就没有说是吧，也就是说在这里面，欧米伽是可以去负的 啊，欧 e o e o e 法啊，是可以去负的。好，那你说老师最小正周期不是 pi 吗？ 所以又得到了什么？得到了老师 p 等于欧米伽的绝对值，分之二派就能把欧米伽的绝对值算出来，等于几呢？等于二，但是呢，得到的结果是谁呢？是欧米伽等于正负二。 那这个题呢，它有考的，没考这个细节。那如果是我出，我就会把这个递减改成递增 啊，我去，我去做啊，这样的话， omega 为负数的话，很多同学容易考虑不到啊，就就会写错啊，就提高了这个错误率。嗯，因为很多同学默认 omega 为正。这道题确实也是 omega 为正。 omega 为负是不符合题的 啊，去分析。那我们来讲一讲，按照这个道理，我们要讨论 omega 为负行不行呢？ omega 为负，我们得到 f x 等于 cosine 负二 负二倍的 x 加四分之二。那首先用一个公式把 omega 变成正的一个公式四啊，得到了 cos 二 x 减四分之二，那研究它的什么单调性？它在零到十二分之二是不是单调 d 减呢？那求单调取减呢？就是二 x 减四分之二， d 点极限是谁呢？ cosine 上 d 点极限是大的 r k 派，小 a 的是谁？这个二分之派加 r k 派，这样一整理就能算出来。呃，不是不是，这是 pi 啊，不好意思， 这样子做的。 x 大 于等于八分之派加 k 派，小于等于谁？一位是八分之五派加 k 派，那也就是它在八分之派到八分之五派上是在这一层的，是吧？那零到十二分上显然不在这里面， 这是带张递减啊，带张递增，所以这不符合不符合题的是吧？这里面没有零到十，他是八分之派到八分之五派，再往前走的话，是负八分之七派到八分，负八分之三派都没有，所以这个是舍掉的。那只能是第二种情况。 omega 为什么 omega 为正， 那 f x 就 等于 cos 二 x 加四分之八，那这个检验我就略了啊，就能检验出来它是符合 t 的， 那求它的零点，那 cos 零点就是让二 x 加上四分之八等于谁？ cos 零点呢？其实就是零点，是二分之八加 k 派，其中 k 除以 z， 我就能算成 x 的 值啊。通过一项就是八分之拍加上二分之 k 拍可以属于 z， 那 我零点，我负值八分之拍，八分之五拍。那答案只能选 d 啊。 好，所以这个题呢，可以改编，就把一个递减改成递增，我绝对相信这道题的错误率会翻个倍吧。啊，毫不夸张，因为考第六题，同学们也不会有什么警惕之心啊。 呃，第七题讲了很多遍了，就用已知角表示，未知角你配做也行，整体还原换成贝塔也能做，我们就不再多说了啊。啊，如果不会的同学可以翻翻我们往期的视频。呃，八和九是类似的。 接着第八题。第八题呢，考的是相对要简单一点的啊。 简单一点？他考察了啥呢？说函数呢，在区间上单调，又告诉了关于这个点，中心对称，关于这个轴对称，求欧米根来取之个数。那这里面的核心点在于对称中心和对称轴。那我们知道，对于正弦图像，它是个波浪形啊。 我们对称中心和对称轴之间的距离是是什么？可能是差了半个周期， 不是差，差了四分之一个周期。你看，这是对称轴啊，这是对称轴心，那也可能会多一个半个周期，以此类推。所以这样的话，我们首先能够得到我们这个区间的长度啊，它是四分之一加上二分之 kick 周期 等于谁呢？等于我们的六分之五派，减去我们的负三分之二派，就加上三分之二派。这一通分的结果呢，是九分之四啊，不是六分之四，六分之九，那就是二分之三派。 化简能力得到了四分之二 k 加一。对了， t 等于二分之三派， 那 t 就 出来了啊，去整理整理的结果应该是二 k 加一分之乘过去是六，就六六派，我们一个呢，等于 t 分 之二派。呃，一代三分之二 k 加一， 三分之二 k 加一。呃，接下来他说在区间上单调，那单调区间的区间长度是不能少一个周期的啊。单调区间 长度是多少呢？呃，六分之派减二分之派，那也就是我们的二分之一个周期是大于等于曲线长度，六分之派减负，三分之派就是加三分之派， 也就是周期要大等于 pi， omega 要小一点，小一点二， omega 等于三分之二，可以加一。当然这里面 k 属于 z 啊。那我赋值呗。好， k 又大， omega 大 于零啊。 omega 大 于零，那所以我们就得到，得到我们的结果。得到谁啊？得到我们的 k 取零可以，取负的不行啊，所以 omega 值只能取 k 去零是三分之一， k 去一的话是三分之三就是一， 然后是三分之， k 去二五， k 去三，三分之，哎，七咱们就超了。所以两个上来讲， omega 只有这三个值，那这三个值都符合题意吗？ 我们要检验啊，因为我们刚才利用单调单调只是为了强调什么？强调这个？我们所谓的这个。 呃，区间长度只是一个必要条件啊。那那区间长度刚好等于二等于 pi 的 话，它就一定符合题目？不见得啊，因为我们有对称轴，有对称中心，其实是能够把 omega 值算出来。 那常规方法应应该怎么检验呢？常规方法就是把 omega 知道，比如举个例子啊，我举个特殊的， omega 取 e， 那 f x 的 就是 c， omega x 加 f 啊，没有没有没有，没有 omega 了，就是 c x 加 f， 那 接下来的话， 对吧？对应的中心，那我们就能把 f 算出来，就是负三分之二派加 f。 呃，对中心算对中心是 k 派，就能算出来 f 就 等于三分之二派加 k 派，再根据 f 的 范围，零到派能够把 f， 哎，落在三分之二派上， 这样我们就得到了 f x 等于谁啊？等于 sine x 加上三分之二派。 那接下来的话也就它的单调性嘛，它的单调递增区间，单调递减区间。哎，我分析就可以了，是吧？啊？经过检验，这个，这个行不行呢？呃， 这个好像好像是可以的吧？这个是可以的。呃，可以的。确实可以。 那你说老师这个一个个检验，我还要求在这样区间，好复杂呀，有没有快的方法？有，其实如果想要在这样单调，那我们就可以等价。什么呢？就是在，就是在我们的这个负三分之派到六分之派之间五对阵轴， 只要没对阵轴是不就行了？他一定单调。那我们这道题其实是有一个对阵轴的，你看是不是六分之五派？那也就是说 我根据对称轴是六分之五派，这是函数的图像啊。那比如举个例子，第一种情况， omega 等于三分之一，那周期是多少？ omega 分 之二派就是六派，那下一个对称轴 是不是以六分之五派减个半个周期？所以我们六分之五派左边的价格对称轴是多少？ 减个三派？三派已经很多了啊，应该是负六分之十三派，那负六分之十三派到六分之五派一定单调，那我们的负三分之派到六分派也单调，那它一定是符合第一。 omega 如果等于一周期是二派，那半个周期是派六分之派向左走的第一个对准轴。半个周期啊，是派减个派，负六分之派，那负六分之派到六分之五派也是单调的。哎，也符不符合提议呢？ 哦，不符合题。那完了，刚才检验错了啊。刚才检验错了。这个 o 秒等于是不行的。还好检验我这个没细算啊。那这个不行啊，因为在负六分之半有对准轴啊。你是在负三分之到六分的单调啊。不单调啊，肯定又减又增啊。 第三种情况， omega 等于几？三分之五，那周期等于多少？ omega 分 之二派，三分之五分之二派。成立的结果是五分之六派。那半个周期是多少呢？五分之三派，这边写不下了，重新写啊。所以我们的这个对阵轴呢，是六分之五派， 六分之五派，那前面对正轴呢？是六分之五派，减去一个五分之三。我们算一算啊，六分之五派减去五分之三派，通分分母是三十五，二十五减去十八就是七，这是三十分之七派。 三十分之七派。三十七分之七派肯定比三十分之五派也是六分之派要大。那还得向左再挪一个对正轴，再挪一个对正轴， 那这个顿值轴呢？就是减一个周期六分之五派，减去五分之六派，一通分三十分之二十五减三十六负十一派，这是负三十分之十一派。 那显然我们知道我们的六分之派是在这的。呃，刚好我们的负三分之派是在这的。哎，这上面是单调的， 也就在负三分之半到六分之半的之间，是没有什么没有对称轴的。那这样不就符合提议吗？所以经过我们的检验，我们会发现，真正符合提议的 omega 只能取三分之一和三分之二。那答案选谁啊？答案选二 b， 我们要取一，反而不行。那这里面可能会会会抬杠说，老师，那这个斐的值，它限定的零到派没有影响吗？好，我给大家说一下啊，它限定斐是零到派，负二分之八到二分之派，其实这个斐呢，它可能就差一个 k 派或二 k 派。 呃，在我们这个题里面，叉二 k 派图像是不变的。叉 k 派他顶多是上下翻折，因为相对平移半个周期，本质上就是上下翻折，上下翻折他不影响单调性，他只会影响递增递减。那比如说这道题考的是单调递增，考的单调递减，那我可能要请教具体的值，但他只说单调，这个里面没有影响， 所以我们这样呢，就不用算饭了，不用算饭呢，就节省时间了，没有对不对？第八题就说到这儿，好吧， 好，同学们可以根据自己的情况去讨论啊。当然了，你说老师，我感觉这种方法还是有点玄乎，我理不清。那你就老老实实把 omega 算出来把，算 f 算出来把。这道题的预算量是可以说是选择题里面我个人认为预算量最大的， 因为像九十的话，特别是第九题，是我们讲过的放大镜函数嘛，对吧？我们之前讲的是那个抽象函数问题。那今天考了一个三角，本质上没有区别放大镜函数是吧？怎么放大呢？好，拿到这道题， 拿到这道题。哎，我先赋个值，感知。感知它是放大还是缩小？ x 取一带入吧。 f 三等于二倍的 f 一， 那图像自左上角就是放大的。那就太简单了。 f x， 呃， cos 二分之 pi x 周期是多少欧米？二分之二 pi 周期是四。那也就是说我能够得到我们 f x 的 图像， x 轴， y 轴原点。呃，负一到一负，负一到一周期是负一，它刚好是长这样子， 是不是长这样子？这是负一，这是一。并且呢，注意左 b 右开，这是开的 好。那 f x 加二等于二倍的 f x， 它其实在前头有什么内容？次倍量每加四倍，三加二，函数值变为了二倍，那就是图像往右平移的过程当中，每平移两个单位，函数值要翻倍，那函数值这是等于几？它是等于一。那平移到 一到三的时候会出现什么情况？ 零还是变为零？一就会变成二，它会经过二段的， 那三还是零，这是空圈。以此类推啊，那就不断的往右平移不就行了？那我再往下挪挪啊，我这个头像往上往上走，那这是谁？四，这是五四，对呢？值也是四，对不对？ 呃，三四 六四啊，减，呃，我这是画的这个增减，老师画的好像二次函数啊，对吧？草图，草图嘛，同学们见谅啊。那接下来就是六七，那六十就是八了， 为什么要找八呢？因为它要找 f x 小 于四根二， 这是完整的图像。那就不不往右走了啊。那这道题其实已经出来了，为啥？嗯，就是四根二，是比四大，比八小，四根二在这儿， 我假如找到四根二与它的交点，这个点我把它交到谁？交到 x 零，所以说 f x 要小于四根二，对应的 x 值范围是介于负无穷到 x 零，所以 m 的 最大值， m 的 最大值， 这是谁？ x 零， 但是 x 零你要算其实还挺麻烦的，但是你看选项，这个值一定是五点多。哪个是五点多呢？只有 b 大 选 b 不 用算啊，所以第八题就算量最大，第九题不用算，但是这是个填空题的话，你要算，那这个值怎么算？ 你注意啊，算的方法有两种。第一种呢，就是你要写它的几页式，这种写几页式其实不太好写。那怎么办呢？我把它向左走， 我把它向左平移几个单位，这是五点多，平移四个单位，平移五个单位，平移到这， 平移到负零点多，这是平移六六个单位。不好意思，平移六个单位啊，平移六个单位相当于算了三次嘛，是不是？好，那我把这个值，这个值就是 x 零减六， 那也就是说，我发现我的 f x 零本质就等于哎，几倍的 f x 零减六呢？一个是二的三次方倍的 f x 零减六，因为相当于挪了三次，每次过它二倍。那这样的话，我的 f x 零减六就等于八分之四根二， 那就是二分之根二。为什么找它呢？因为这个 x 零减六，它是落在了我们负一到一上，我可以把它带进去。 which cosine 二分之 pi 乘上 x 零减六等于多少？二分之二，并且在我们这个图里面，它显然这个是在左边，所以这个值一定等于负四分之八。 二分之 pi 倍的 x 零减六就等于负四分之八，就能算成 x 的 值，乘过去负二分之一，我六减二分之一。二分之十一。答，选 b 啊，这是严格预算，这种算法是最快的。那我就不用求这段几式了，因为老师我就想求。 我又平移了六个单位，函数值扩大原来的二倍。直接写答案， f x 等于六十度变换啊，纵坐标扩大原来的八倍，八倍的。 不对啊，一二三二四八就是八八倍的 cos， 二分之八倍的 x 是 吗？左加右减，往右点里面平移六个单位找到它，你通过它带进去去算也行，都可以。 好，接下来第十题， 第十题呢？哎，对了，为什么它叫放大镜函数？可能你看大家有没有看过那个哆啦 a 梦啊？老师，记得我看那个哆啦 a 梦，小时候看哆啦 a 梦第一集的时候，它就那个任意门吧，不是它那个放大，你看这不是放大嘛， 这叫放大镜函数，形象比喻即可啊。你没有说严格定义啊，高中的很多叫法都是 你可以把它印成野路子，那野路子呢？只是为了让大家对它有一个清晰的认知啊，我并不认为这是一个很坏的事情啊。 f x 呢，告诉了有四个零点，那这个函数没解？没没没参数，我直接分析单调函数大于零，那我取值呗，我发现 f 一 带进去等于一是正的，我向左边取 f 二分之一， lawyer 二分之一，所以我或者我直接取一个不符合 t 的 f 一 分之一就可以了。我不取二分之一。二分还得判断 f 一 分之一代入。第一个是负一，第二个是一分之一，它肯定是负的，一正一负，那说明在我们的一分之一到一上存在零点， 零点存在定力，唯一零点，因为它单调，它只有唯一零点，所以零到正无穷是一个，那这有四个，证明这有三个。那就很简单的呀，你看正数 omega 啊，那也就是我们也就 f x 等于 sine omega， x 减三分之派啊， x 属于负派到派，负派到零啊，它有有有，有三个零点， 那这个是很简单的啊。呃，我跟大家说过，为什么简单的原因是因为它这里面有零，因为有零的进去的话，它有个端点是确定的，我们还原令 t 等于 omega x 减三分之派，就会导致我们 t 的 范围是介于我们的负 omega 派。减三分之派到负三分之派， 那我也就是我整体还原，我得到 y 的 in c n t 在 这个区间上有三个零点， 画出 c n 图像。 好，负三分之一在哪呢？负三分之一在这儿， 那有三个零点，我左端点这一个，两个三个，那我左端点应该落在这儿啊，这是我们的谁啊？负 omega 减三分之一， 那显然我会发现这个值呢，是负二派，这是负三派，这是谁？负四派，所以我们就能够得到我们所谓的负 omega 派。减三分之派，它要大一等于我们的负四派， 小一等于负三派。哦，写错了，哎，不能取负四派啊，它是必须要取负四派的，多的肯定它只能大于负四派，但不能取到等号啊。 咱们可以取到负三派啊，那解不等式呗。先乘个负号吧。 omega pi 加上三分之 pi 就 大于等于三派，小于四派移向 omega 大 于等于移过来三分之八， 小于移过来三分之十一，所以是三分之八到三分之一的左 b 右开区间。答案选 a 啊， 不等号不能写错啊，这是第十题，所以总评这个选选择题还是比较简单的。呃，填空题啊填空题。呃，填空题来讲的话不是多选择题两道我都讲了吧。 这第十一题呢，我们讲过啊，我们课本上算是原题。首先呢，拿到它首先分析记偶性啊，偶函数，偶函数，所以 f x 为偶函数。偶函数的话，我只研究 x 大 于等于零的情况， 那这样的话，你会发现，此时 f i 解释就可以去掉绝对谁啊？二倍的 c x 加上谁 c x 的 绝对值。 x 大 于等于零，那这时候的话要研究 c i 的 正负，那就在分段，如果 c x 大 于等于零，那它就是三倍的 c x， 如果 c x 小 于零，那就是负的，就是 c x， 那 图像就出来了呀， c x 正负我们很熟啊，你比如大于零的时候，零到派换红色了，零到派为正，那这个值就是三，派到二派为负，那就是 c x， 这是谁？负一，这就是我们得到 x 轴， y 轴原点， 能理解吗？增减减增。那右边也一样啊，继续往右走，继续往右走。好，那右边画。但是呢，你说老师有没有周期呢？你注意啊，它是偶函数，那我左边不就出来了？ 哎，你会发现完了这个一标就没有周期性，就不存在周期了， 是不是因为这个图像不会重复出现？就这个，这个，这个就像大 m 型跟麦当劳一样是吧？大 m 型它不会重复出现的，所以它没有周期。甚至你严格定义的话，你说选择题嘛，我计算 f x 加二 pi， 它和 f x 不 相等的原因是因为 x 加二 pi 的 绝对值去不掉啊。 二分之派到二分之三派递减来二分之派，二分之三派就是递减， b 是 对的零点，所有零点之和。 呃，那这个呀，这个零点，这个还蛮有意思的，这个是相当于 f x 等于 x 分 之，因为 x 取零是不成立的。那就画 f i 等于 x 分 之，有几个交点是吧？ 那 x 分 之一有几个焦点呢？呃， x 分 之是经过一对一的，我们找它一对一， 一对一在这儿，所以说那个图像长长长这样子， 有很多焦点啊。那左边呢？左边也 x 分 反比的函数，这样它也会有很多焦点。可是你显然你会发现这个焦点不一样。 其实不一样，它不具备什么性，对称性。 c 呢？我们就不严谨判断了， c 严格是错的。你这个值它肯定没有关系啊。 d 又来了，这个 t d 这个 d 选项不是跟 d d 十 t 一 模一样吗？就是卡根法。所以一个知识点再再重复考说 f omega x 大 于零在零到二分之一，尤其是有五个零点。 嗯，到整体还原呗，令 t 等于 omega x， t 的 范围就落在零到二。欧米伽派上三 t 的 图像换成三 t 的 图像不就行了？它在零到二派上有五个零点。那我们看五个零点啊，因为这五个零点是一样的，零到二派上零是一个，派是一个，所以它它在零到派上的零点是零派， 二派，三派，四派，五派。有四派没五派我就不给你图了。那这个端点一定落在了四派到五派之间，还是 b 去接二。 omega 派是大于等于四派， 但是小于五派不能取到五派， omega 方就出来了。大于等于二，哎，二分之二，所以大家选四 d 啊。哎，大家选 b d， 这是我们的第十一 d， 是 吧？老朋友 是吧？之 g 等于一。我讲太多了，就是它，我就不赌题了啊。这个题肯定是画 f i 图像 以二为底， x 对 数的绝对值。下翻上，这是一，我画的紧凑一点吧，因为还有四了， 这是一 再四对应的这个值是二，这是二， 还有十四。那这个函数 c 图像的周期 t 等于 omega 分 之二， pi 是 十二，周期是十二。呃，我利用五点画图法的话，应该能画上它的图像。我们先画一个周期吧，我画完之后再合并啊。 五点画图法，让六分之派被的 x 加六分之派等于谁？零二分之派派二分之三派和二派。这五个点啊，第一个算成 x 等于负一，第二算成 x 等于二，第三个算成 x 等于五，第四个算成 x 等于八，第五个算成 x 等于十一。周期是它， 所以他经过负一斗零，二斗四，五斗零，八斗负四和十一斗零。这五点。五个点嘛，那我只要呗。我从四开始找到五斗零经过五斗零在这， 这是增减的，是往下走的。八八在这，这是五，这是八八斗，负四就在这吧。 十一都是零，继续往下走，因为相差为三嘛。那十四十四是在这，十四是刚好在最大的点处。 十一十四在这，经过这个点，十四十四都是四，四在这。也不能画太高。差不多吧，这个画的太低了啊。往上走点，尽量保持差不多， 比如说完全标准吧，大差不差。好，那这个是减增增是吧？一大值。那在四数字的值我还算嘞。 by， 等于四，代入四倍的三 a。 谁？ 六分之四加六分之一是六分之五，六分之五是二分之一，二分之一乘二，它刚好等于二，二分之一乘以四刚好乘二，那刚好连在一块。哎呀，完美减增减增。好，实际的问题来了，说这个 f x 啊，等于 m 有 四个焦点，那 m 只能在这，哎。 对应于 x 轴有四个焦点， x 一 在这儿， x 二在这儿， x 三在这儿， x 四在这儿，它们的范围又出来了， x 一 落在了零到一之间， x 二一到四之间， x 三四到五之间， x 四十一到 说是十四，其实这不是十四，那我们把这个范围我们都写一写吧，因为都讲到这了， 那这个向量是多少呢？我们这可以算出来的向量是几呢？对称性嘛，这是八，这是四，这是八，这就是十二，这个值是十二。所以严格来讲， x 是 落在十一到十二之间， x e 也有范围， 它如果等于二的话，以二为底，四的角等于二，以二为底，四分之一等于它，那这个值是四分之一， x e 落在了四分之一到一之间， 并且还取不到四分之一啊。好，接下来 m 的 取舍范围。第一，零到二， a 肯定是错的，不能取二，取二的话，只有三个焦点 啊， a 绝对不正确的。那首先有 a， 哈哈哈，先提清楚， x 一 x 等于二， x 一 x 乘以等于一，这是我们一直在讲的结论，我们就不再讲。所以 b 也是错的啊， 那 b 也选啥？老师写到这，我，我不太会了，就可以离场了。 c x 三加 x 等于十六，三和四，就关于 x 等于八对称，那所以 c， c 是 对的， 不选 c， d， 你 说 d 不 会不会选 a， b 就 拜拜就行了，最少得四分，最多六分，那 d 对 不对呢？我们可以判断 x 一 和 x 三， 你说老师， x 一 的范围是四分之一到一， x 三范围是四到五，利用不等式的同项可乘性算出来 x 一 乘 x 的 范围，那严格上也没错啊， 这是大概的范围， x 一 是大于四分之一，小于一的， x 三的范围是大于四，小于五，所以严格上， x 一 乘 x 三的范围一定是落在一到五之间的，是吧？你注意啊，他说的是取值范围，他说的不等于乘以五之间的，是吧？你注意啊， x 一 乘以取不到，所以 d 肯定是错的。 那我这个范围，呃，严谨不严谨呢？其实也不严谨，因为这个，因为 x x 是 有联系的呀。所以如果说这个要算严格的学术范围，这个答案也不是一到五啊，一到五也是不对的。 呃，因为，哎，我想想一到五对不对？哎，一到五是对的，因为因为它俩单调性是一致的，就是当 x m 取二的时候，它是不断靠近四分之，它不断靠近一，呃，不断靠近四，成绩刚好是均一的。这个答案一到五是对的。嗯，那是巧合。 那本来是 x 一 x 三是有联系的啊，这个联系刚好，它是正反馈， x 一 越小的时候 x 三也越小， x 越大的时候 x 三越大，是吧？所以我算这个四分之一是有价值的。 但这个题呢，它说的不正确的，你就算 d 判断错了，你选的也是 ab， 是 吧？也是四分，它不会因为你判断失误导致扣分，明白吗？ 好，这是我们的这个，这个十二题，十二题。呃，接下来这个十三题，十三题没什么好讲的， 两个点一带对联计算法去求就可以了。好吧，对联计算法去求就可以了。十四题，十四题就记函数啊，类记函数，十四题说一说，因为它可以素描，就拿这种函数你，你就是你读题的时候你就发，你就发现了啊。 g 函数它呢？呃，你不用定义法判断，你让分子除下来就行。 e 的 x 方减 e 的 负 x， 分 母为 g， 整个就是 g， 那 这是常数二是吧？那这样的话呢，也就是我可以把这个整体看成 g x， 我的 f x 呢，等于 g x 加二， g x g 函数 f x 就是 关于零度二这这个中心图的图形。那满足它。那其实 f 负 x f 四负四加 f 四 一求和就等于四嘛，你是六，那你就是负二数秒。 十五题，十五题。我跟你说，绝对有同学是这样做的，两角合成框下公式打开，然后图加它二七五，关系平方和等于一去算。大家一定要注意啊，这种题千万不能这样做，这样做有点太大，应该怎么做？用已知角表示未知角，就提示一下，把贝的写成 阿尔法加 beta 减去阿尔法。呃，还有就是它是锐角，所以你算 cosine， cosine 正切都可以。 cosine beta， 你 cosine alpha 加 beta 减阿尔法一整理打开是 coco 加 cc。 哎，结束就行了啊。七分之一，七分之四跟三十四分之一啊，十四分之十一一九六减去一二一，哎，这是多少啊？这个我没背过啊。 其实五，其实五就是五倍跟三。那还好，我就不算了啊，这个题逻辑分析清楚哎，一定要用已知角表示未知角。十六题不讲十七题，十七题就讲一下第二问吧， 实际就讲第二问，因为今天好多同学问我第二问啊，对吧？可能很多同学看这视频就是奔着最后一道题来的，是吧。 我跟你说啊，很多同学被这种题吓到了，我的天，这是啥呀？恐惧。其实没没用啊，这道题非常简单，首先看第一个啊，说存在 m 属于 r， 使得 g x 满足什么函数？ 函数是不是有定义啊？那先代号，代号带进去那，所以第一个就得到了 x 一 减去 x 二， 这绝对值 x 等于谁？ k 倍的 k 是 多少？二零二五 这样 x 一 减 x 二绝对值是不是横乘立啊？ g x 一 x 又带进去就行了。我发现 g x 减 g x 二 n 没了二 m 的 x 二 m 的 x 二二 m 的 绝对值倍的里面， x 一 减 x 二绝对值 小于等于二零二五倍的 x 一 减 x 二的绝对值。哎，有意思有意思的点在这呢。就是你看大家有没有发现约这样，人家说了 x x 二不相等，一约得到了 a m 小 于等于二分之二零二五， 但 m 又大一啊， m 大 一小于二点二五， m 出来了。呃，只要你这个正常情况下是给分的啊。但是我听说这外高答案不对，零分是吧？哈哈，但是你这个案例是要给分的啊。 第二问看着怪吓人，但是这都遇到公式啊。三 a 减 x， 那 不二倍的 c x 那 不就是 cos x， 这是 g， 括号 c x g c x 加二分之一就是谁 cosine x 知道吧？那这也好算呀，我代入不就行了吗？代入就等于二 m 倍的。我直接提出来了， c 加 cosine n n g n 二 n 写到这你明显能感受到，这不核察机互化吗？天天体天天体，高频考点每周必考。你们外高的考试哪次色卷好的考生没考他？你你算一算，那到现在你看到他还不敏感，说明肯定有问题。好，我们还原呗。令 t 等于谁？ c x 加 cos x。 好， 那负极角公式等于根二倍的 c x 加四分之派。大家注意啊，在这里面 x 是 落在了谁负四分之派四分之派上。 好，那我换言要注意，求求虚元的取值范围，那 t 的 范围我直接跳步了，它加上四分之派是零到四分之派啊，我还写错了，左开右闭啊那。呃，零到二分之派 c 值对应的零到 根号二，左开右闭，还有的点在于零到二，零到根二之后呢？这函数单调的啊，这函数单调函数一定要强调啊， t 等于根二倍的谁？ c x 加四分之派 在谁？在我们的负四分之派到四分之派单调，为什么？ 原因是因为最终这道题是研究函数的零点，你换元，如果一个 x 对 应了两，一个 t 对 应了两个 x， 那 零点个数就要发生发生变化，考题就难了，它没考那么难，知道吧？ 它的代号就说明一个 x 对 应一个 t， 每个 x 对 应每个 t， 那 我一换元，我就得到了，我的 t 方就等于一加二倍的 c， x 乘以 cos x， 那 这代数 t 方减一 等于谁？等于二 m， t 加上二 n， 那 得到什么？得到我们所谓的 t 方减二 m， t 减一减二， n 等于零，它要在我们的零到根二上有两个不等于十 根。老师，为什么这个零点根数没有发生改变呢？就是一个 x 对 应一个 t， 你有两个 x， 那 就对应两个 t， 那 这变成什么问题了？这，这大家太熟了吧。这不就是二次函数根的分布吗？ 对吧，还是两个实根最简单的类。那我画个草图，开口向上。关于 t 的 函数啊，有两个焦点，根二在这。好，那我设一个 gt 吧。有有，有 g 了，设个 h 吧。有 h 吗？ 没有 h， 那 我用 ht 说 ht 等于谁？ t 方减二， mt 减一减二 n， 那 我需要满足，第一，嘚儿它是不是要大一点？嘚儿 b 方减 c c 比方四 m 的 平方减 c， c 加上四倍的一加二 n 是 吧？ 大 a， 哎，对称轴是不要落终点负二分之 b m 它要大于零，小于根号二小于等于根号二等于。不行，比它再小一点。 呃，第三，我们的 h 零是不是在为正？我们的 h 根号二是不是也在为正？哎， h 根号二能不能等于零？可以。 h 根号二等于零，可以， 它等于零可以，因为刚好卡到这个点是可以的。呃，那会不会出现这种情况呢？ 这是根二不会。对，折轴在根二的左边，不会出现这种情况，这是 h 根二等于零就可以了。好的，这样勾走了不等式。第一个，一整理 m 方加一加二， n 是 不是大于零？第二， m 大 于零，小于根二。第三， 呃， h 零 h 零小于根二等于根二的时候是二 二减二跟二 m 减一减二， n 大 约等于零一整理。呃，得到了这个这个这个这个一。呃，一减二跟二 m 减二， n 大 约等于零。就列了。类似于这样四个不等式。接下来题目让你求什么呢？ 呃，求这个取值范围的是吧？那。哎，这还挺麻烦的。首先， m 是 大一小于等于二分之二零二五，那这个二零二五相当于没用， 真没用。那最终相当于我们，我们只能得到两个比较具体的， m 的 范围肯定是大一小于根二。大一的原因是因为题目刚才给了 n 的 范围，这个一整理得到了 n 是 要小于负二分之一。这两个具体的。接下来还有啊， m n 是 有联系的，那也就是我们的， 因为这道题是让你求 n 的 去式范围，所以我要把这两不等式要列出来，并且还要满足。第一个就是我们的二， n 或者 n 大 于吧， 就是 n 大 于，移过去除一下，二分之负 m 方减一，是不是这个 n 小 于等于二分之一减二根二倍的 m 就得到类似于这两个范围？那接下来的话我要干什么？我要我看看啊，说是存在求 m 的 趋值范围，存在的话存在 m， 存在 m 求趋值范围，那 m 负值的时候它有没有范围呢？ 嗯， m 是 一到二，这个函数在一到二上二次，函数开口向下代表递减，那负二分之 m 方减一，它的范围是落在了多少？ 呃，我们把一和根二都带进去啊，取一的时候是负一，负一，那就是负一，它代表递减最大值是负一，取根二的时候是负二分之三，应该是负二分之三到负一， 是吧？那我们现在 n 是 大于它，它是介于这儿， n 不 断向负二分的靠拢呢， n 就 不断向它靠拢，所以我们首先能得到 n 是 大于负二分之三的，就这点可能同学们不太好理解啊。 呃，不是， n 要大于它最大值，它只要存在就行了，所以 n 要大于不断接近的那个值，就相当于它的下限，是不是？然后接下来右边也一样呢？这个是二分之一减根二， m 二分之一减根二， m 是 什么范围？嗯，取值范围，当它取一的时候是二分之一减根二，取根二的时候是二分之一减二，取根二是最小负二分之三。 嗯，取一的时候是二分之一减根二，现在求 n 的 范围， a 要小于它就少它的上限， n 要小于二分之一减根二， 所以也就是我们最终算是 n 的 取值范围是大于负二分之三，小于二分之一减根二。呃，就是，其实我，我个人认为这道题出的还不是很严谨啊，还是不是出的很严谨？就是如果严格上要做的话，就是我这种讲法 不是很严谨，就是需要用信息规、信息规划的知识去讲。可是信息规划呢，就删掉了，只能用不等式去构造去进行分析，知道吧，这里面就没法用细节规划， 然后还要跟 n 小 于负二分之一求交集。嗯，零点五减一点四 是负零点九，这是负五零点五，那负零点九更小，所以它肯定要比负二分之一要小，所以 n 的 取值范围介于负二分之三到二分之一减根二。啊，好，这是整个这道题，所以整张这张卷子的话确实要比去年。不是不是，比十三周要麻烦一点，但是我把这里面的一些经典题给大家讲一讲。 呃，我个人为这张卷子其实也没有什么特别难的题，你只要平时把我们上课所讲过的内容好好理清楚。 呃，应该是没问题的，时间上应该也也还行吧，除了十七级的最后一个求恩的范围稍微恶心一点，其他都基本没有区别。好吧， 好，那今天的课程我们就到此为止啊，同学们，有兴趣的同学可以关注一下咱的视频号啊。也可以，如果有什么问题的话也可以找老师。好吧。

我们今天来看到一个有关于函数的对称性的问题啊，我们看到题目已知函数 f x 等于 x 减 a 的 三次方乘以 loing x 分 之 x 加 b， 它 说它的图像关于 x 等于一对称，让我们求 a 加 b 的 值。我们研究函数的时候讲过很多遍，函数呢，我们首先要注意一个定义域对不对？它这里的函数它是关于直线 x 等于一对称，那么这意味着我们的定义域呢？它必然也是关于 x 等于一对称的吧？ 他这里定义的要求是什么？这里只有一个真数是有要求的，所以呢，我们如果去直接求他的定义 x 分 之 x 加 b， 他 怎么样？大于零对不对？我们求出来的这个值，他应该就是关于我们的 x 等于一对称的， 那么这个不等式我们解出来它有两个根对不对？而且是在两根之外，我们一个根是零，另外一个根，因为它关于 x 等于一对称吗？所以另外一个根它一定是二，我们另外一个根是几啊？它是不是等于负 b？ 所以 我们的 b 是 不是解决了？我们求出来 b， 它是等于负二的，然后呢， 他说他什么让我们最后求的是 a 加 b 这个值，然后呢，我们还需要去把这个 a 求法呢？我们就有两个方法，我们首先用我们的对称性， 它说了它是关于直线 x 等于一对称，那么我们既然知道它是关于 x 等于一对称，所以我们会有什么？我们的 f x 就 等于我们的 f 二减 x 对 不对？ f x 题目里面已经告诉我们，所以呢，我们把 f 二减 x 带进去，此时呢，所有的 x 变成了什么？ 变成了二减 x， 然后再减去 a 的 三次方，然后再乘以我们的 loin 二减 x 分 之。 我们的 b 等于负二，带进来应该就是 x 减二。所以呢，我们用二减去 x， 再加上一个二，就变成了多少啊？再减二就变成了我们的负 x， 对 不对？因为它是等于我们的 f x 嘛？我们的 f x， 它是 x 减 a 的 三次方，然后乘以我们的 l y x 分 之 x 减二。好，我们这里的 x 前面的系数是负的，我们想办法把它化成正数， 我这里面提取一个符号出来，那我后面的数字呢？是不是也得提取一个符号，所以它可以写成我们的 x 减二，然后加上 a 的 三字方，我们这里提一个符号前面的方，我们可以怎么样拿到上面去，对不对？所以它就变成了我们的 loin x 分 之。我们为了写的好看一点，我们把这个符号拿到这个里边来，然后就写到 x 减二，它是等于我们的 x 减 a 的 三字方。然后呢， rolling x 分 之 x 减二。好，我们把它写成这种形式，你会发现它跟后面是一模一样的吧？所以呢，我们这两个数字，它也应该是相等的，所以会有我们的 a 减二等于负 a， 所以 我们求一下 a， 它就是等于一，所以 a 加 b 就 等于负一。这是我们的第一个方法，利用我们的对称性的二级结论，直接可以做出来。然后我们再用到第二个方法。 第二个方法呢，我们结合我们的基有性，它是关于 x 等于一对称的。那我们想一想第二个方法，一个函数，它是关于 x 等于一对称，对不对？它 是关于 x 等于一，那我们怎么办？我们把它向左拼一个单位，它是不是就变成了关于 x 等于零对称呢？那么意味着它是什么？它就是一个偶函数，是不是？ 所以呢，我们就可以说，我们把这个函数向左去平移一个单位，那么平一个单位向左平移，是不是加？所以呢，此时我们就变成了啊，我们的 f x 加一， f x 加一，它就等于我们的 x 加一，减去 a 的 三次方，然后再乘以我们的 l y x 加一， 然后呢， x 加一减二，不就是 x 减一吗？它是一个什么函数？它是一个偶函数，对不对？这个 rolling x 加一分之， rolling x 减一。我们前面讲过，它是一个奇函数，所以呢，我们要使它整体为偶函数，那么就是奇函数，乘以奇函数才是什么？才是我们的 偶函数，对不对？那我们这个就是奇函数了，既然它是奇函数，我们知道 x 的 三次方肯定就是奇函数吧，所以呢，一减 a， 它等于零就可以了，所以我们的 a 等于一，同样我们的 a 加 b 等于负一。好，那么我们今天这个题目讲到这里，希望同学们有所收获，再见。

这个题啊，堪称高一函数的丢分陷阱王，更是考试当中的必考点，百分之九十五的同学一看到题目的条件就犯难，搞不清两个函数对称轴的推导逻辑。其实啊，特殊化的思想和从图像对称到点对称的转化才是破题的核心技巧， 那老师今天就一次性带你彻底学透这类题的高阶考法，考场遇到直接拿分。好，我们来看题， 两个函数，一个是 f a 减 x， 一个是 f x 减 b， 问他俩的图像关于哪条直线对称 好？首先我们要注意啊，这是两个函数的对称轴问题，和一个函数的自对称，一定要区分开啊。好了，那我们首先呢，来讲最简单的方法就是特殊化，注意到 题目并没有告诉我们这两个 f 代表什么函数，也就意味着不管它代表什么函数，这个结论是不是都是正确的，那就提醒我们，找一个最简单的 f 来研究它是不就可以了？ 好，找谁呢？我就让 f x 等于 x 好 了。那这时候呢，两个函数，一个呢，就是 a 减 x 这个一次函数，一个呢，就是 x 减 b 这个一次函数。那他俩的对线轴是不就简单了，我们直接来画图呗。 好，一个呢，相当于是斜率为负一的一条直线，还有一个啊，是斜率为正一的这样条直线。 那不用多说啊，他们的对称轴肯定应该是过他俩的交点的，就是这条线。 好了，那接下来我们的问题啊，就是把这个交点的横坐标给求出来是不就可以了？不用多说啊，让这俩相等啊，就求他们交点的横坐标啊，得到 a 减 x 等于 x 减 b 啊，所以 x 就 等于二分之 a 加 b， 换句话说，焦点的横坐标是二分之 a 加 b， 那 对称轴就是它了， x 等于二分之 a 加 b。 好， 当然这个方法呢，只能用来投机取巧啊，但是我们如果要想搞清楚啊，这里面的本质原理啊，咱们是不是还得 回归到啊，更一般的方法。来，我们看一下更一般的方法，关键呢，就要把这个图像的对称呀，给转化成点的对称，那我们还是借助于图像来研究啊。好的， 这两个函数的图像呢，比如说啊，一个长这个样子啊，一个长这个样子，咱就画个述意图啊。那接下来关键呢，就要去找到这两个函数图像上的一组对应点啊，来，我们看一下，比如说这个点， 它的横坐标是 x 零，好，我们现在已经知道它们是对称的，对吧？所以我就把这个对称轴能给设出来啊， 假设这个对称轴啊，咱们就把它设为 x 等于 k， 这个位置是 k。 好 了，那想一想， 这个对称点的横坐标，咱们是不是也就可以表示出来了，对吧？因为它俩要以对称轴为中点啊，所以这个点的横坐标就应该是二 k 减 x， 零。好，接下来一步非常的关键，同学们， 我们知道这是一组对称点，换句话说，就 x 零，我把它带入到这个函数里面去，和把二 k 减 x 零带入到这个函数里面去，他俩的函数值一定是相等的，对不对啊？因为他们是在同一条水平线上，那么函数是相等啊。好了，那我们就可以带进去啊，得到什么呢？ 来 f a 减 x 零，就要等于把它带到这来， f 二 k 减 x 零，然后再减 b。 而且我们注意啊，我们是随便找了一组对称点，也就是 x 零，我是将是任取的，对吧？这个式子也就意味着它要对任意的 x 零横乘以，那你想这两个函数值要相等横乘力，我们现在就考虑外层的 f 这个函数啊，这个函数在这两个点的函数值相横相等。那只能什么呢？ 只能是这两个自变量一定要相等啊，对吧？啊，因为它是横乘力嘛，所以 a 减 x 零就要等于二 k 减 x 零减 b， 哎， x 零呢？可以 消掉啊，我们最后要求谁要去求 k， 对 吧？我们要看这个对称轴 k 是 多少好解出来， k 是 不是就是二分之 a 加 b？ 回过头来体会一下，就当 k 取二分之 a 加 b 的 时候，这个式子是不是就横成立？换句话说，这两个函数图像上任意的一组对称点一定就关于它轴对称。好的啊，这就这类问题的本质的做法和特殊化的技巧，大家可以一起把它掌握住。好的，同学，你学会了吗？

我们一起研究一道函数的对称问题，解决这个问题呢，涉及到函数的图像基有性、对称性、函数的焦点以及数形结合的思想。我们先看题目，告诉 f x 的 定义域为 r， 给了大于零的解析式， y 等于 f， x 加四分之一，是个奇函数。关于 x 的 方程， f x 等于 k， x 减四分之一的解，那是这些。如果满足这个方程问 k 的 取值范围，先分析一下题目啊， f x 的 定义域为 r， 但它只给了大于零的解析式，又给了 f x 加四分之一是奇函数。那么根据平移，我们知道 y 等于 f x， 可以 通过向上平移四分之一得到 y 等于 f x 加四分之一， 那你平移之后是个奇函数。关于圆点对称，说明你平移之前应该关于零到负四分之一中心对称。 那关于 x 的 方程，这个 f x 等于 k， x 减四分之一的解，那我们可以看成两个函数， y 等于 f， x 与 y 等于 k， x 减四分之一，它们的交点横坐标， 交点横坐标就是我们刚刚这个方程的解，那这两个函数都是关于零负四分之一中心对称的， 你看前面这个是刚刚推导出来的，后面 k x 减四分之一啊。 y 等于 k， x 是 个奇函数，向下平移四分之一， 也是关于零的负四分之一中心对称。那两个函数图像都关于零的负四分之一中心对称，那只要它的焦点不是这个对称中心，那它的焦点一定是成对出现的。成对出现的焦点 都关于零，都四负四分之一中心对称，那横坐标相加等于零，重坐标相加就是负四分之一的两倍，那这这是第一个思考方向，是可以解决这个问题的， 那不过这个问题我们选择第二种方向去研究。 f x 加四分之一，因为它告诉我们这是个奇函数，所以我们直接令 g x 就是 我们的 f x 加四分之一，它是个奇函数。 g 函数关于圆点对称，那下面的方程呢？这个 f x 等于 k x 减四分之一，我们也往 g x 去画，那想导出 g x， 那 要给它加上四分之一，所以也就是 f x 加上四分之一就等于 k x， 也就是我们的 g x 等于 k x， 这个方程的解也是 x 一 x 二到 x m， 那 这个方程我们就可以看成 y 等于 g x， 这个函数与 y 等于 k x 这个焦点横坐标 一个焦点问题，而他们俩都是奇函数，都关于原点对称，那么只要他们俩的焦点不是对称中心原点，那剩下的焦点都应该是成对出现的。 那由于关于圆点对称，焦点也关于圆点对称，那么这些焦点的横坐标相加等于零，重坐标相加也等于零。这就是为什么我们选择用 g x 而不用 f x， 你 用 f x， 你 对称之后，外相加是 负二分之一，这边圆点对称，外相加是零，所以用基函数。这个关于圆点对称可以更好地帮助我们去计算以及去画图分析。 那涉及 y 等于 g x 与 y 等于 k x 的 焦点，我们画下图，我们先看一下 g x 的 解析式，我们知道 g x 是 等于 f x 加四分之一的，那 f x 大 于零的解析式是有的，所以我们可以得到 g x 大 于零的解析式。当 x 大 于零，小于等于二的时候， 把它加个四分之一，也是二的负 x 四方加四分之一，再加四分之一，那就加二分之一。当 x 大 于二的时候，这个二次函数给它加上四分之一。 好，大于零的解析式有了，那别忘了 g x 是 个奇函数，而且是 r 上的奇函数，所以那一定有 g 零等于零。零的值也解决了，那 x 小 于零的值，我们可以通过对称来解决。那我们试着画一下 g x 的 图像 来看， g x 在 零到二上， 零到二上，这是一个指数函数，向上平移二分之一。 x 等于零的时候，这是一加二分之一，也就是二分之三。 二分之三，这是个空心。那 x 等于二的时候，这是四分之一加二分之一，也就是四分之三。这里 这是个实心的二的负 x 四方单调递减，而且是下图的。 那假如说啊，我们这个 x 不是 是零到二，它不是被限制在零到二上，如果是往右一直取到无穷，那最后这个趋势应该是无限接近于 y 等于二分之一， 因为 y 等于二的负 x 次方，它的渐近线是 x 轴，往上平移二分之一之后，渐近线变成了 y 等于二分之一。那再看大于二的是二次函数，对称轴是 x 等于三， 在 x 等于三的时候是四分之一，这里 x 等于二的时候是二加四分之一，也就是四分之九。二加四分之一。这里注意，这个地方是一个空心的。好，我们画一下二次函数，这边歪了， 大致长这个样子，那零这个地方记零等于零。别忘了，左边我们通过对称 来，零这个地方有一个负二分之三，空心二的时候有一个四分之三，那这边负二就是一个负四分之三。实心 这边有个二次函数啊，大概画一下看，这是实心啊，好， g x 图像就画出来了。关于原点对称， 那 y 等于 k x 呢？我们可以画一下过圆点，比如说这样 好，这是 y 等于 k x， 那 我们画的这个 y 等于 k x 与 y 等于 g x。 焦点你看啊，有一个，两个，三个，别忘了圆点四个，五个，六个，有七个焦点， 那么由于对称，我们可以看到，除了原点这个焦点， 其他的焦点成对出现， x 互为相反数， y 也互为相反数，加起来等于零，那有什么用呢？哎，我们看一下最后一个条件，这些和是负四分之七，那我们可以试一下去算算 g x 它们的和， 那我们从 g x 的 角度出发， g x 一 加上 g x 二加到 g x m， 这里面一定有一个是 g 零， y 等于 k x 过零零， g x 也过零零，所以一定有这个零 这个解。那把比如说第一个是零啊，把零拿出来，剩下的成对出现，那成对出现，由于是关于原点对称，关于原点对称，那么的话，你这个两个对称的 g， 它的函数相加也是零，所以这个和肯定是零。 那 g x 和 f x 有 关系啊？每一个 g x 都是 f x 加四分之一，所以这里面有 f x 一 加上 f x 二，一直加到 f 的 x m 四分之一，四分之一，一共有 m 个，加上四分之 m 等于零。结合题目，给到这个负四分之七，那负四分之七加四分之 m 等于零，所以 m 应该等于七，也就是有七个交点， 只要是有七个焦点，那这个和就是负四分之七，所以它让我们求实数 k 的 取值范围，我们能限制 k 的 就是 y 等于 g， x 与 y 等于 k， x 有 七个焦点，而我们刚刚画的恰好有七个焦点， 那它是不是能够一直保证有七个焦点呢？不是的，比如说我们把这个直线变缓一点啊，变缓一点，找它的临界位置， 比如刚好过这个点来，刚好过这个点，我们只画这个第一象限的，因为对称性嘛，那么七个焦点除去原点，那第一象限要有三个焦点才行，所以我们画来过这个过这个点的 y 等于 k x， 如果恰好过这个点，你看第一项线有一个、两个、三个交点，所以这个位置是可以的，这是一个临界，我们记为 k 一 这个位置，那如果 y 等于 k， x 比这个直线再缓一点，那就只有两个交点就不行了。 好，斜率变大，直线变陡，往上还有一个临界位置，比如说过这个点， 那我们看如果过这个点的话，这边一定有一个焦点，这里有一个焦点，而这个地方是空心的， 它没有焦点，所以只有两个焦点是不符合的，那我用虚线来画。答，那从这个红色的虚线位置，如果你再变陡的话，那也是两个焦点，不符合 t， 所以 最终我们的这个斜率应该卡在 k 一 和 k 二之间， 那就是第一线线，三个焦点，总共整个 r 上是七个焦点，那我们就知道 k 的 范围了， k 应该要 k 应该要小于 k 二，大于等于 k 一， 那 k 二我们看啊， k 二算的话，需要知道这个点的坐标，这个点是二度，就是四分之九， 过零零二到四分之九，所以它的斜率是八分之九，那 k 要小于八分之九，那这个点它是二到四分之三，所以它的斜率是八分之三，所以 k 要大于等于八分之三，小于八分之九，那么这个题 k 的 范围我们就解决了。 这个题目实际上考察的就是函数的对称问题以及焦点的对称性， 我们能够用，我们能用奇偶性去解决的，就尽量用奇函数，偶函数的这种关于外周对称，关于圆点对称去解决，如果说用奇偶性解决太复杂，我们再选择用其他的对称。