天津数学初三23题动点答题技巧

初一上一期期末考试的动点问题啊，绝对是个难点，他不仅在初一会经常考，等到你初二初三也会常考动点问题，那么对于间断动点问题呢，核心点就是三步，今天我们来看一下这个三步怎么去解决这类问题。第一步，动点位置列时间坐标。 第二步，距离化成绝对值计算。第三步，去解这个距离方程就可以了。来看啊，有一个竖轴，有两个点好，那么我们可以看到呢， a 的 点是负七， b 的 点是正三，两个定点点 p， 从 a 点出发，向左来移动。 那好，我们把这个 p 点呢给它标出来，然后呢，每秒两个单位长度，标一下，速度是二。再来看点 q， 从 b 点出发，向右移动，速度每秒是三个单位长度 同时出发啊，设时间为 t， 问你什么时候 p q 相距二十个单位长度。那么对于这种题来说呢，假设啊，我们暂时先抛开后面的三步法啊，常规的一个解例方法是什么呢？首先啊，第一步你肯定还是要通过时间和速度去表示 p 和 q 的 位置。你比如啊，我们的 p 点的位置好，它从点 a， 也就是负七出发，起始的值是负七，那么它往左运动，那你会发现它的数值呢，会越来越小，比如说，你过了一秒钟啊，它从负七变到了 负九，对吧？好，所以是减去二倍的时间，也就是说这个点往左走呢，它是减号，往右走是加号啊，所以 p 点是负七减二 t， 那么对于 q 点来说呢，同样的道理，起点是正三，好，向右来运动，那么向右是加号，因为越来越大啊， 加上三 t， 那 么这是 p q 的 一个坐标的位置，然后我们再看，他问你 p q 距离为二十个单位长度的时候，那么我们发现你在这样的一个相背运动的方向的时候，无论如何 q 永远在 p 的 右侧，所以同学们呢，会想到，哎，这个距离啊，二十，我们是不是可以用 q 的 坐标三加三 t 啊，减去 p 的 坐标，减去哎，负七减二 t， 你 去解这样一个方程啊，我们稍微来解一下，这个非常简单化简，三加三 t 加上七，加上二 t 啊，等于十加上五 t， 那 么也就是说这个十加五 t 呢等于二十啊， t 呢就等于二，对吧？那么第一个问啊，在这样的一个问题当中，那么我们直接用点去做减法就可以了， 但是你会发现啊，有一些题目呢，他会给我们一些变形，你一旦是到变形了，那么你简单的去列坐标，然后做差的一个方式呢，可能就会带来一些问题。 好，我们来看一下，假设我把这个题做了一点点的变化，刚才我们是说 p 点向左， q 点向右，现在我反了啊，所有的条件全都一样， 如果你是 p 点向右来运动， q 点向左来运动，那么我们会有什么样的一个结果？ 好，我现在的要求啊，还是距离为二十个单位长度。那么在这样的一个条件下，其实你会发现 p 和 q 呢，它的相对位置会发生改变，原来 p 在 左侧， q 在 右侧，那么随着运动的进行，它俩肯定会相遇， 相遇之后再被离，对吧？也就是说后面 p 在 右侧， q 在 左侧，所以你就很难单独用 p 减 q 或者 q 减 p 去解决这样的一个距离问题，那么此时我们就可以用绝对值的概念去代表距离，因为我们回忆啊，绝对值的几何意义 是两个点，无论你这个点谁前谁后，那么它在数轴上的距离长度，所以同样的，我们还是啊去先列时间坐标 p 点，这个时候呢，我们就可以套到这个三步法了。第一步，我们套动点位置，时间坐标好，时间坐标等于起点，然后 左减右加，现在 p 点开始往右，那么就是右加啊，速度是二二 t， q 好 也是一样的，起点三，左减右加，向左减去，速度是三三 t。 第一步解决完了， 第二步，你不用考虑点相对左右的问题，你直接用两个点的坐标做叉，然后化成绝对值就可以， 化成绝对值以后我们的左右关系就可以忽略掉了，因为都包含在绝对值之内了，那么比如说我们就用 p 减 q， 哎，绝对值，那么就是 p q 间的距离啊，无论左右好，二 t 减七减三 加三 t， 它俩一代啊，那么化简一下，等于五 t 减去十，好，我们要求呢，最终是二十， 前边加个绝对值，那么第二步呢，我们结束了距离化成绝对值。那么第三步呢，我们简单的来解一个绝对值方程就行了啊，因为你五 t 减十，绝对值等于二十，那实际上就是五 t 减十等于正二十或者负二十啊，所以呢，简单来去处理一下，第一个五 t 减十， 它等于正二十的时候，那么 t 就 等于，你看五 t 变成了三十啊， t 等于六，这是一个。第二个五 t 减十，它如果等于负二十，那么 t 等于多少呢？等于负二， 但是你会发现啊，尽管我有两个解，但是呢，时间永远不可能是负数，对吧，因为你时间不能倒流啊，所以呢，你只能选 t 等于六这样的一个值 啊。当然，如果我们 a b 的 初始距离再拉长，那么你第二个解呢，可能就变成正数，所以我们根据情况来做取舍就可以。 其实这种题啊，方法很明确，大家只要熟练掌握啊，考试一定能拿到分数。我给大家总结了动点和动脚这两大难题的综合训练，大家可以先关注，然后评论六六六即可领取了。

二元一次方程组你还会吗？很简单，看完视频，压轴题也能得分。大家好，今天我们一起来学习下题型。九，二次函数与三角形的问题。那么二次函数与三角形的问题呢，是我们中考的一个必考点，而且也是一个难点，这是一道中考题 啊，我们来看一下题，如图，抛物线 y 等于 a， x 的 二次方加 b， x 加三与 x 轴交于 ab 两点， a 在 点 b 的 左侧，与 y 轴交于点， c， o， a 等于二， o， b 等于六。 d 是 直线 bc 上方抛物线上的一动点 作 d， f 垂直于 ab 交 bc 一 点一交， bc 一 点一垂足为 f 连接 c， d。 第一位是求抛物线的表达式，那么第一位呢，基本上是一个送分题，我们只要是说认真的来写的话啊，那么这个分数是可以拿到的。我们首先来看 o， a 是 等于二，那么 a 点的坐标就可以写出来了，因为它在我们外周的左侧，所以 a 点的坐标就是负二斗零， o， b 等于六，那么 b 点的坐标也可以写出来了，它应该是六斗零。那么这个函数的这个抛物线的表达式该怎么写呢？啊，那接下来我们来计算一下啊。 首先呢，抛物线是 y 等于 a， x 的 二次方，加上 b， x 加三，啊，是这个是这个表达式。然后呢，我们把这 ab 两点分别带入我们的这个表达式里，把 ab 求出来，然后就可以把抛物线解出来了啊，接下来我们去代入一下， 我们代入完之后呢，发现它是一个二元一次的方程组，那是我们初一学的内容，接下来呢，我们是要进行消元。 最后我们解的 a 呢，是等于负的四分之一的，我们再将 a 代入一式，代入一式之后就可以解的负一， 所以现在我们 ab 都求出来了，那么直接代入我们这个表达式，所以它的抛物线的解答式表达式就是 y 等于负的四分之一， x 的 二次方 加上 x 加三。啊，我们在我们这个题这边写一下。

本期视频我们来讲解期末压轴当中圆的动点最值问题，分析两件，如图，圆 o 的 半径是 r 点 a 在 圆周上，它是一个定点， r 点 b 呢，是在圆 o 上运动的，它的轨迹就是这个圆， 并且给了我们个定角，叫做 a b m 等于三十度。好，分析一下，我们知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半，那我们把它的圆心角找到，是谁呀？哦，是我们的 a o m， 为什么要找这个圆角？ 因为在没有六十度的加值下，我们知道 o a 等于 o m， 这已经是一个等腰三角形，再来个六十度。哎， 三角形 o a m 它是什么？它是一个等边三角形的，那等边三角形它的性质可就太多太多了。好来， a c 垂直， b m 垂直为 c， 连接 o c 之后，请问 o c 的 最小值是什么呀？我们来分析一下。 o c o 点它是一个定点，而 c 点它是一个动点，它为什么运动啊？因为 b 点的运动导致了我们 b m 的 运动，对吧？好，那么过点 a 做的 b m 的 垂线也会随之改变。 好，这时候要求 o c 的 最小值，我们会发现 a o c 所在的三角形，为什么呀？那么如果有了这三角形，我可以用什么呀？哎，用三角形的三边关系嘛， 对不对？那我们来观察一下他在哪些字眼当中呢？第一个能看到的是，哎，在三角形 o c m 当中还有吗？哦，还有三角形 o a c 当中，我们来分别分析一下，如果我需要使用三角形 o c m， 好， 要求 o c 的 最小值。换角中除了 o c 以外，另外两条边我都得知道。哎，这个是什么原理啊？我们说，哦，三角形当中，第三边你要求最小值吗？肯定是大于，大于两边之差，对不对？大于两边之差，那这两边就是剩下来的呗。你看， 哦， o c m 当中， o c 去掉还剩两条边，分别是 c m 和谁啊？哦，和 o m。 好，来看，这两列边你都能解决吗？ o m 半径搞定 c m 呢？啊，我们讲了， c 点在动， m 点也在动，它是一个变量，所以不可能求出一个固定值，也就意味着我要求解决问题，这个两边之差必须是一个什么东西，必须是一个 定值才行，对吧？好，接下来我们看第二个三角形，哎，叫做 o a c， 同样的，把 o c 剔除，还剩什么？哦？还剩 a c 还有呢？ o a 来 o a， 这是半径，毫无疑问 a c 一 样的问题， 面临跟 c m 一 样的问题，它是个变量，所以定值得不到，那就说明，哎，这两三角形不行。 换句话说，前面提供的这个等边三角形啊，一定是为了让我们去构造出一个新的三角形，从而能够利用到这两边之上，是一个定制的。哎，那这时候你就想了， 如果没有这个六十度，它是个等腰，对不对？如果等腰三角形，你第一个反应想到什么？哎，三线合一对不对？你看， 为什么要给我们这个垂直呢？好，我们先把三线合一给它做出来，那三线合一，那不就是过点 o 去做 a m 的 垂线，好来，比如说标个点 g， 那 这时候唯有的是什么？哦， g 点是中点。哎， 哦，我知道他为什么要给我垂直了，因为三角形是什么？哦，三角形 a c m 是 直角三角形，直角三角形，这点是 am 的 中点，斜边上的中点，那连接不就斜边的中线等于斜边的一半吗？所以很自然的，我一定会连接 c g。 好， 所以第三个三角形它不就出来了吗？是哪个三角形啊？哦， o c g， 那 么这个三角形当中，哎， o c， 除了 o c， 另外两边分别是谁啊？哦， c g 和 o g， 而 o g 是 半径。 c g， 你 知道的呀，是斜边上的中线等于斜边的一半，对不对？好，等于几？我们知道 a m 等于二的，对不对？就等于半径吗？等边三角形一半，它就是一对不对。而 o g 呢？哦， o g， 是 啊，不是半径，但是它可不可以求？可以求，因为它是等边三角形的。什么？哦，高，对不对？那请问这个高你会不会求？当然会求啊，这是三十度来二，一一，三十度所对应，斜边一半，那我们知道这三边关系之比是一比二 b， 根号 三，所以这个高就是多少，刚好三，换句话说就是 o g 等于刚好三，哎，这不搞定了吗？哦，所以我们的第三边 o c 是 大于等于两边之差的，分别是 o g 减去谁？ o， 噢， o g 减去 c g， 哪来的 o 啊？好，所以我们最终的结果就是根号三，再减去一，是不是可以了？ ok， 好， 那么本期视频就到这里，大家拜拜。

本期视频我们来讲解期末压轴的二次函数综合问题。分析条件，已知抛物线 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 的 图像经过 a、 b、 c 三个点，那么直线 l 是 抛物线的对称轴，并且这个对称轴我们一眼就能读出来它是 x 等于一的，对不对？ 第一个问题，求抛线的解一式以及对准轴好，对准轴已经解决了，来解一式经过三个点，但是我们会发现，如果我用 a 三个点带进去是不是有点麻烦？那么它不是交于 x o 两个点，一个叫多少负一零，一个叫多少 三零，对不对？我们用两点式去设，所以 y 等于 a 好， x 加一乘 x 减三，对不对？这样的话我只要带零三一个点是不就可以了？好，所以 来带进来三等于 a 倍的零加一，以零减三是负三好，一乘负三，那就成 负三，所以直接得到 a 等于几啊？ a 等于负一好，解出来， y 等于负的里面 x 的 平方减二， x 减三好，所以最终解一式就是负 x 平方加上二 x 再加上三， ok。 第二个问题，射点 p 是 l 上的一个动点，当 pa 加 pc， 最好是求 p 点坐标，看到 pa 加 bc 立马想到的是将军 硬吗？对不对？那就是走对上。首先确定谁是定点谁动点啊？ a 跟 c 是 定点， p 是 动点，那么动点所在轨迹即为和，那么过和做 定点对称点，而 a 点对称点刚好就是 b 点，所以直接连接我们的 b、 c， 这就是我们要求的点 p 是 不是？其实从图上我们读出来应该就是一二对不对？好， 求解一下 p 点坐标是怎么来的？哦，是我们 bc 这条直线和 l 相交得到的对不对？所以来 bc 这条直线的解式 k 等于，来看一下，这段比上这段二三比上三一，但是往下降的，所以 k 直接等于负一，并且交 y 轴于三，那么即是 y 等于负， x 加三。好，与 x 等于，这条线的交点不就出来了吗？所以带进来 x 等于一， y 等于。果然是啊，所以 p 点坐标哎，就是一二好。第三个问题， 在抛物线上存在一个点， q， 使得三角形 a b， q 的 面积是求 q 的 坐标。好，第一个，我们的方程给我们的 e 是 为了求 a b 底，知道了，那就是高呗。好，所以高度怎么求？ h 等于哦，面积的两倍去除以底底是来 a 到 b 哦，四个单位对不对？负一到三嘛，好 来，所以结果等于五，二，高就是五，说明什么？说明 q 点的纵坐标就是五，那么我是不是意味着我要拉一条？拉一条什么？拉一条直线过来 对不对？因为它是 abq 嘛。好，拉一条直线是五，你会发现上方五哎，跟抛线没交点怎么办？ 下方不还有吗？所以在下方哎，哪个位置负五好？负四负五的位置再拉一条线，这时候你会发现它跟抛物线会有两个焦点，一个焦点， 两个焦点，那么这两个焦点都是什么？都是 q 点的位置。好，我要求 q 的 坐标一目了然，知道怎么做了，对不对啊？就是拉 y 等于负，这条线与 号线连练，方程组是不可以把 q 一 跟 q 二都求出来啦。好，所以来 y 等于负 x， 平方加二， x 加三于 y 等于负五，连练，方程组来解一下就可以了，对不对？ 负五等于负 x 的 平方加二， x 加上三，所以 x 的 平方移过来减二， x 减八等于零，好，因式分解一下是不就可以了？ 负四二一一，所以 x 减四乘 x 加二等于零，那么 x 一 等于负二， x 二等于四， ok， 哎，画的还是比较精准的对不对？所以 q 一 它的坐标就是横坐标，是负二，纵坐标负，好， q 二它的横坐标是四，纵坐标，同样是负， ok， 好， 那么本期视频就到这里，大家拜拜。

这道题呢，也是一样啊，有一些一看到了，你要去想，去顺手标的东西，你要把它弄出来。这个题呢，给了一个直角三角形， 说做了它的外接圆，直角三角形做了外接圆，立刻要想到什么东西，那直角三角形做了外接圆，那这个直角不就是圆的一个圆周角吗？如果看到九十度圆周角，想啥？ 你要想到他所对的弦是不是就是直径呀？那再进一步的直径的终点就是圆心，这些你要直接反应过来啊， 一定要反应过来，反应不过来你就下去在自己脑子里面把这些流程多重复几遍，这是最基本的了啊。所以呢，这里我们看很容易发现， abab 就是 直径， 而直径有了以后，那我顺手的圆心，我就应该给它点出来了，圆心呢，是直径的中点 o， 这种叫做顺手就要给它弄出来的啊。然后呢，弄出来以后呢？那题目说 a c 是 六，给了这有一个圆周角是六十度，看见这个圆周角，你也得有点反应。 各位，咱们对于圆周角只学过一个知识点是什么？看到圆周角是不是学过一个叫圆周角定律的东西？圆周角定律在干啥？圆周角定律不就是在倒角吗？在转化吗？ 所以看到圆周角，他还知道的时候，还是个已知角的时候，你肯定得标一标有关的已知角了。那你会发现这个圆周角对着 bc 弧， 圆周角对着 bc 弧，那同弧所对圆周角向的这个是六十度，谁就知道了， 是不是我的角 a 等于六十度也就出来了，因为这个弧 bc 既对着角屁，又对着角 a， 同弧所对圆周角向的，这是看到圆周角立刻要想到去倒角， 这个同样也不应该要让人提醒了，如果你没建立起这个意识下去，以后多练习，多练圆周角，多去感受，有圆周角肯定得转化，那当你把这个标上以后，你会发现很多量就出来了，这个是六十度的话，我的 abc 其实就是一个三六九， 他是三六九，短边是不是就是六倍根号三，直径也就是斜边，他是不是就等于十二？ 那这时候你会发现很多量就出来了，比如说直径是十二，半径就知道了，十六这些东西就都有了。那这个知道了以后呢？你看题目让求啥呢？题目让求 p 到这个直线的距离， 问你他的最大值，那么还是一样的，我们先找到最值吗？那么这是一个圆上的动点到一条 定直线，而且是定直线，是个弦啊，到这个弦的距离最直，定直线到这个弦的距离最直。哎，那我想请问， p 点走到哪的时候去最大，是不是让这条垂线过圆心呀？ 你先过圆心做个垂线，那么很显然，当 p 点走到远离直线的这个交点的时候，对应最大值，所以最大值就是这节红线的长度。 我就找到最大值了，写出来呢，就是 p h 最大值等于图中的 p 撇 h 撇，而 p 撇 h 撇一定是用谁算的，谁决定了这个最大值 弦心距和半径，所以呢，这个最大值最后算的时候，一定是由半径和 o h 撇来完成计算。那半径我本来知道就是六嘛，那 o h 撇等于什么呢？那你就看 o h 撇你放哪算呗， o h 撇呢？是不是很明显在一个三六九的直角三角形里， 咱们知道半径是个六吗？那你会发现垂进定里这个是个三吗？那随便怎么算了，三角函数勾股定里三倍跟三都能算出来。那最后的答案呢？就是六加三倍跟三。搞定 好了这道题啊，最后还是处理了一个圆上点到直线的距离最直。然后呢？求解的思路跟前面一样，我不赘述了，这里我主要强调一些基本到不能再基本的意思啊，就是你看你自己能不能一看见就反应过来的， 看到九十度圆周角像什么？直径，看到直径像什么圆形第二，看到一个普通的圆周角像什么？普通的圆周角立刻要想到倒角，圆周角已知，那么立刻把有关的已知角都标上。

说题以前呢，我先带大家明确一个意识啊，咱们前面讲了这么多圆上动点有关的最值，你会发现都会涉及到什么呢？都会涉及到圆的半径，还有什么呢？ 还有圆心有关的距离。我不写具体的了啊，就是圆心有关的距离，圆心到定点，圆心到定直线。那这里你不难发现，对于这个圆而言，他的半径大小是不是我们一定得得到，想求最值半径得知道吧， 同时呢，你会发现他的什么也得知道呢，你圆心在哪里，你也得确定吧。所以做这种圆的最值的题，尤其是以后大家遇到辅助圆的题， 一定要注意，有了圆就先去关注半径和圆心，把它们求出来，只要看到动点轨迹是原有了圆了，先把半径和圆心给他找出来，这是一个基本的认知啊。那么有这个认知呢，这个题也是秒的， 你看这道题呢，他告诉我们说有一个直线与坐标轴交于 m n 两点。其实你应该养成习惯啊，直线与坐标轴的交点，顺手就求一下， 一个零六，一个负八零，顺手求一下啊。然后接下来他说，屁，是 m n 为直径的圆上一点，哎，各位，看到直径了，看到后面有最值了， 顺手应该把什么求一下直径有了半径是不是就知道了？那这里面你会发现，这是六，这是八勾股定律，直径就是个十，所以半径等于五就知道了。 而且不止如此，我发现谁的位置也知道了。圆心呗，圆心也很重要啊，那你会发现圆心的位置也有了，圆心一定是啥呀？圆心一定是 mn 的 终点，直径的终点嘛。 哎，所以这时候我发现圆心就是 q， 它的坐标我其实都能算了，它是 m n 的 中点，所以中点坐标公式求一下，二分之零加负八是个负四，二分之六加零是个三，圆心的坐标我都给它求出来了，所以一上来啊， 看到这个直径，半径，圆心都有了，这是处理圆最值的基本习惯。好，当这些有了以后，现在呢，他跟我说有一个点， c 是 个已知点， 让我求什么呢？求 pc 这个线段的最值。首先， pc 是 个什么最值？ p 是 圆上的一个动点吧， c 是 个什么点？ c 是 个定点吧，圆上点到定点，他的最值什么时候取？圆上点到定点的最值一箭穿心吗？过圆心的时候取吗？所以你二话不说，先把过圆心的线给咱画出来，肯定是我的屁点走到这条线上的时候取最值。 那么现在问题来了，这个线和圆有两个交点，那你说 p 点应该走到哪头的交点的时候去最小值左边还是右边？你最小值嘛？那肯定是离得近的时候嘛。哎，所以我发现了，这次圆上这个点到 c 的 最小值对应的是这一节线段， 所以我只要求出 p 撇， c 等于几就完了。那这个有了以后呢？那你会发现咱们也不难发现了。哎，你要求 c p 的 最小值对不对？ c p 的 最小值就是个 c p 撇嘛，那 c p 撇的长度怎么算嘞？那我肯定要让它跟圆的半径以及圆心 q 到定点 c 的 距离建立联系嘛，半径就是这一节，这是五。 然后呢，圆心到 c 的 距离就是 q c 这一角。那我很容易发现，这个最小值其实就是半径减去一个 q c 的 长度嘛，要看半径和圆心到点的距离，那最小值很明显对应的是它俩的差， 那这时候半径是五，我已经知道了，就差个 q c 了， q c 等于几？ q c 等于几，这都直接看出来了。 如果你刚刚算了中点坐标，算了圆形位置，那你很容易发现 q c 纵坐标一样，这就是个横线，那么它的长度直接就对应 q 点横坐标是个四，或者还可以怎么想呢？我们可以发现， q 是 中点， c 点其实也是 n o 的 中点， 那两个终点的连线叫什么线？两个终点的连线，那叫中位线，它等于底边的一半，等于四也出来了。所以只要想到要去求 q c， 随便怎么算， 于是最后就得到了 r 减四等于一完事。好，这个题呢，跟前面相比呢，就是多了一点点操作上的细节啊。 就是第一啊，我想提醒大家，圆上动点的最值，一定要去关注圆心和半径，尤其是在以后的辅助圆问题中， 一定要重点关注。然后呢，第二个呢，就是这里面一些找圆心求半径的机操啊，看到直径了，圆心就是终点，半径就是直径的一半啊，这些明确了以后呢，最后求最值的时候，大家去感受一下啊。求最值的时候，你心里一定要有一个方向， 这个最值不管是正明还是计算，都跟什么量有关，你只要想一想这些怎么求，就立刻明了了， 它一定跟半径，跟圆心到点的距离有关，所以我看看半径，圆心到点的距离跟我所求的关联方向，立刻就出来了。

好，然后来等等，先针对 o、 d， g 这个三角形，因为三角形 o、 d， g 它是没有动点在的，所以你们可以根据第一、二问的那些条件全部求出来来。 d o 有 多长？ d o， d， o， d， o 有 根号四十五，根号是三倍，三倍根号五多少？三倍根号五，这个能够口算的吧？那你这一条是三，这条是六一比二比根号二吗？还是一比二比根号五吗？ o 不 ok？ 好， d o 等于三倍根号五，然后呢？ d g 等于根号四十三，那个 d g 等于多少？根号四十三，算错数了吧？哦，就是， 那么这这一条 o、 d 等于三倍根号五，这个算对了，然后那个 d 点的坐标你是知道的，三倍高五，三倍高五，这里 g 的 坐标能不能求出来？ g 的 坐标能不能求出来？ g 的 坐标怎么求吗？ 怎么求吗？呃，这个，这个 f、 f、 d 的 表达式呀？你，你那个 d 点和那个 f、 d 的 坐标都能够写出来，直线 f、 d 的 表达式能不能求 等于多少？ y 等于负 x 加九加九，所以说 g 的 坐标这里是九了吗？ o 不 ok？ 喂，不要抄答案，先等下在外面写好。看到这一个之后会想到什么了？ 负 x， 你 看到负 x 这个斜率这个东西，负 x 这里斜率是不是会有四十五度？或者说你斜率写不出来的话，你用低点的坐标去表示也行嘛，你低点的坐标这么一下来之后来 d、 i 这里是不是各等于三个等于三个等于六，你要是可以证得到这个四十五度的呀？ o 不 ok， 那 d， g 的 长度你也能够写的出来了吗？在等腰直角三角形中， d g 就 等于三倍根号二， o 不 ok？ o 不 ok， 然后 o g 等于九。就是说我们先把 o、 d、 g 这个三角形的那些条件全部列出来，三条边的长度，三条边的长度我们全部都取出来了，有一个角等于四十五度，然后另外两个角的度数你能不能够写的出来？就这个 写的出来吗？写不出上面这一个呢？也写不出，因为你知道这个四十五，但是旁边这个不知道吗？ o 不 ok。 所以 这里我们就只能够说这里有个角一，这里有个角二四十五度，然后上面有个正角，角一角二四十五度，正角 o 不 ok？ o 不 ok。 现在隐藏条件就是那个四十五度都找出来了，然后你现在要让 o、 d、 h 和 o、 d、 g 相似，那你想啊，分类讨论你要分多少种？ 因为他这个三角形就先别管他那个全不全等的情况，先这个三角形每个三角形是不是有三个角，对不对？所以你那个角轮流等于角一角二跟钝角是不是三种情况？然后你要相似，所以隔壁那两条边一条对一条，一条对一条翻，再反过来的时候是不是又有两种情况？ o 不 ok， 所以 又有六种情况。 o 胞胎一共有六种情况。好，六种情况是不是全部都成立的？你慢慢来。好，现在我问你啊，那 o 点跟 d 点都是定在那的 h 不知道。来先解决第一个问题，如果我让你找一个点去，等于角一等于角二等于那个踝角，轮流分类讨论，你打算那个点在 o 点这里做，还是在 d 点这里做？ d 点， 懂？你有意思吗？就现在你要去做那个角等于角一等于角二等于钝角，从比较好算的角度入手，就说你在 o 在 d 是 都 ok 的， 但是你想一下 o 的 坐标和 d 的 坐标，哪一个的坐标？简单一点， o 肯定是 o 啊，明白了没有？明白了没有，所以你现在的任务是什么呢？角 o， 当然考试不能写角 o， 哈，就等下这个 o 点在这角 o， 它要轮流，它要轮流。等于角一等于角二，它要等于那个角 o d g ok 吗？哈哈哈， ok 吗？笑的那么开心， o 不 ok 先就是因为 o 点 o 点的坐标稍微好算一点嘛，所以 o 点那个角轮流要等于这个三角形的角一角二，还有大钝角， o 不 ok？ 好， 决定一个问题了吧。来第二个问题，你从 o 点那里去做这个角，你觉得角一角二还有大钝角，哪一个比较好算一点？大钝角，大钝角非常好。为什么？ 其实你们是瞧不上那个大墩角的，因为你们现在很多都没有看到那个。对，你不要觉得说这里有四十五度啊等等，你不要说这里有四十五度啊，四十五度特殊角肯定是他了，你把那个四十五度从从这条 o d 这里开始整一个四十五度在这，你会觉得很奇怪的，因为你下面那个角的度数你不知道，所以就算你加了个四十五度在这，你这个四十五度是不是也很难帮助你去 往下面算，对不对？而且就跟你说，你四十五度分类讨论两种情况都是成立的，那这个辅助线计算量是最大的，所以其实大钝角是最好算的。为什么这么说？当你做大钝角的时候，就说我以 o d 为边，然后往这里去做一个大钝角，令到这个钝角等于这个钝角， 是不是这个意思？所以如果我这两个钝角一相的，说明这一条直线的那一条直线肯定就干嘛了，肯定就平行了嘛。 老师，我问你个问题，你刚刚不是说三一三一是错的吗？我算错，三一一还是错，一是错了还是错了还是错了吗？ o 不 ok， 先，那这里第一种情况就是角，这叫 h 了，你看这里有个 h 了，角 h o d 等于角 o d g 大 钝角，是吧？然后这里因为这两个钝角相等，所以呢，内侧角相等，两直线 o h 就 会平行于 d g 来，我就称为 h e 吧，平行。那平行完之后呢？这个四十五度减六了吧？ 呦，一个答案，哎哎，是不是过去了？一个答案，这个他平行啊，所以这个四十五度是不是过去了？如果四十五度来，四十五度过去了之后，说明 h 的 横纵坐标其实是干嘛？ 相等不能叫相等，就是互为相打数，对，人家在一二三线了吗？ o 不 ok， 这里我来做，九点就是他来了这里四十五度之后，所以 就可以知道 h o 就 会等于 q o 了。好，然后呢？暴力射 s， 然后直接开机，然后呢？那个那个对线段对应成比例，你们不要浪费啊，你现在不是已经确定人家相似吗？对不对？好，然后再来这里的相似分类讨论有多少种？两种 是两种，但是是不是两种都成立，不是因为你这一条 o d 在 这，我 h 在 这，如果我就是这里是钝角吗？对不对？如果我 h 放在这里，那这不就变成了平行四边形的吗？ 理解我意思吗？就是你那个 h 在 这里，你这一条 h o 可以 做这一条边，也可以做这一条边的吗？是不是这个意思？如果它等于这一边是这一条边的时候，它是不是变成了全等？ 能理解我意思吗？它不能。 h o 在 这不能做短边，它做短边，它就会变成两个三角形全等了。因为本身 o d 是 公共边呢， o 不 ok， 所以 它只能够往上走。那这里的分类讨论就只有一种情况了吗？很简单的。好，所以呢，三角形来， o d g 相似于谁？ o d g 相似于 d o h 对 三角形 d o h， 然后你对应线段乘比例 等等， o d g， d o h 啊，对来 o d 比 o d， 那 么就变成 e d 了，怎么那么奇怪？ o d o， d g 比 h d o 吧，这里 h d o 吧，你自己先说的 o d 比 h o 来继续 o d 比 h o， 然后这里是 d g 比 o d 了吗？ o 不 ok。 其实第三个你可以不用写了，这里够的了。 o d 有 多长？给不给自己长的？对啊，然后这里是三倍，根号五， h o 留着，然后 d g 的 长三倍， 然后二下面 d o 也是三倍，然后五交叉相乘，所以 h o 的 长度是不是可以求得出来哦？ o 不 ok。 你 h o 的 长度求出来了，所以 h 的 横坐标和纵坐标自己会写了没？会写了没？答案我不给了，我自己求给 o 不 ok？

那么说到圆上动点的最值啊，它其实大致可以分成两类，一类是在一个圆上有一个动点，让你去求这个动点到一个定点的距离最值， 我们把这种呢叫做圆上动点到定点的最值。那么还有一种呢，也是圆上有一个点， 也是圆上有一个洞点，我现在要求什么呢？我要求的是这个洞点到一条定直线的距离最直， 圆上洞点到定直线的距离的最直，就这个垂线，让你去求它的最大和最小啊，这是另一类圆上洞点到定线。那么咱们今天讲的 最值问题呢，都是围绕这两类型去进行的，那么第一幅图呢，会相对比较容易，它的证明方法呢，是唯一的啊，就只有一种证明思路， 然后呢，会了就完了。然后呢第二幅图呢，根据直线和圆的位置关系不同，比如说与圆相交，与圆相离，那么他在证明上呢，有一些细微的差别，我们要稍微详细的展开说一下啊，这是方法梳理这块两大类的最值， 那咱们就开始啊，这次呢，咱们通过一些例题来推进。先来看第一幅图对应的最值类型，这个题比较简单啊，我就直接带大家读题了， 现在呢，他给了一个半径为三的圆，就这个白色的圆，圆心是 o， 现在呢，给了一个点屁，告诉屁的长度始终是六，就你把这根线一连， 这个长度我是知道的。然后现在他说呢， q 是 圆上的一点，一般告诉你点在某个线或者某个圆上，又没有详细说位置的时候，我们一般会认为它是一个洞点，一个点在线上没说位置，一个点在圆上没说位置啊，一般认为它是一个洞点， 现在呢，让你去求 p q 的 最值，最值就是最大值或者最小值。哎，那这里 q 是 动点的话，那咱们一般就可以认为 p 是 一个定点啊，因为这个题呢，也没有更明确的条件了，如果都动的话，那属于是自己给自己找麻烦，所以呢，咱们这时候呢，就不妨默认 p 点和圆不动啊，是圆上的这个点在动，那么这样会好理解一些。那么现在让你去求最值，并且证明，那么首先求最值其实就很简单了，我想咱们都可以直接口算了，大家告诉我这个 p q 的 最大值是什么？ 最小值是什么？最大值其实就是一个九，最小值就是一个三，那这玩意是怎么来的呢？那么咱们首先呢，肯定是先得找到取最值的这幅图，那么我现在求的是一个动点到圆上定点的最值，那么我现在找到他取最值的状态。 那这种问题大家其实很熟了，有句话叫做一箭穿心嘛，我只要让 p q 这条线经过圆的圆心，那么就能找到它的最值了，比如说这里面呢，我就连接 p o 并且延长， 然后呢，这时候呢，这条直线会跟圆有两个交点，那么左边这个交点，比如说咱们叫做 q 一， 右边这个交点叫做 q 二， 哎，那你会发现 q 一 呢，就是离点 p 最远的点，那这时候 q 一 p 其实对应的是最大值， 而 q 二呢，是原上离点 p 最近的点啊，那么 q 二 p 呢，对应的就是 p q 的 最小值， 一箭穿心很直观的就能感受到最值在哪取，而接下来球场也就简单了，很明显，最大值其实就是 o p 这个六拼了一个半径三，所以呢，最大值是三加六等于九，而最小值呢，那很明显就是 o p 长度减去了一个半径，所以最小值呢，它就等于六减三等于一个三，这个最值就搞定了。那么这类型最值呢，叫做想求，很简单，一箭穿心，穿完了以后， o p 加半径， o p 减半径，最值就出来。 但是问题来了，这个东西我要怎么去证呢？证明其实也很简单啊，它的证明其实就一句话，怎么证呢？ 哎，你会发现，我只要把半径 o q 连起来，连起来以后呢，我的所求线段 p q 和我已知的半径，已知的 o p 就 进入了一个三角形， 那这时候呢，我们可以利用三边关系的原理去推出这个最值啊，很简单，那你发现在这里呢，我们可以得到 p q 呢，它是要大于等于 o p 减去半径，小于等于 o p 加上半径的。 那这个形式呢，其实就是三边关系的形式，但是有一点区别，我们都知道，在三边关系里面呢，因为三角形始终要存在，所以它其实是取不了等号的， 但是这个取不了等号的前提是三角形存在。那么在这种动点的题目中，你会发现，当动点运动到 o p 的 延长线上，运动到 o p 这条线段上，共线的时候， 三角形不存在了。这个 q 点如果在 q 二处， q 二处的时候呢， p q 正好等于 o p 和 r 的 差， q 在 这的时候，这是 o p， 这是 r， 它俩减完了，对应这个 p q 的 长， 而当 q 点在延长线和圆的交点的时候，哎，这时候你的 p q 长对应了一个 o p， 加上半径， 也就对应这边取到了等号，所以啊，这里大家要理解一下三边关系取最值的原理呢，其实是三角形存在的时候取不到等号，共线了，在线段上两边之差跟第三边取等号，走到延长线上 两边之合跟第三边去等号，这是三边关系求最值的原理。那么你在这里要去写证明的时候，你只需要把这句话写出来就 ok 了，你就直接写，因为 你的 p q 要满足这样的一个关系式啊，这个呢是可以直接用的，不用再解释了。所以 p q 最大值等于什么？最小值等于什么，直接写就 ok 了。关于这个的求解和证明就说完了，那么最后呢，不知道大家有没有发现啊， 在这个圆上动点最值的计算和证明的过程中，咱们其实都是通过两个量来完成的，在计算最值的时候，我们用的是 o p 这个六和半径，算出了和就是最大值，差就是最小值。 而在正名的时候呢，我们也是用半径和 o p 还有所求围出来的三角形半径， o p 所求围出来的三角形，用三边关系正出了这个最值。 那不难发现，这个最值的求解过程中，你的 o p 长度，你的半径长度，其实是直观重要的，大家有没有想过，这到底是为什么？你把这个东西想明白了，对于你理解所有的原上动点最值都是有帮助的，就是为什么 是这个圆心到点屁的距离和圆的半径决定了证明思路和计算思路其实很好想，我们来想啊，你想要求一个圆上面的点到一个定点有多远？求最值，其实就是求他俩距离有多远吗？ 你想求这两个点有多远，那你说这个远近到底由哪些量决定啊？哎，首先它跟半径会有关，为啥呢？因为半径对应的是圆的大小，很明显，这个圆越大， q 点就可以离 p 更近，或者也可以离 p 更远。圆越大，这个最值会受到影响。 那么再来呢， o p 又是啥呢？ o p 是 p 到圆心的距离，这决定了什么呢？决定了圆这个整体，圆这个整体和定点 p 的 距离关系远近关系圆的整体与定点 p 的 距离。 其实一个圆上动点的最值，它就是受这两个因素影响的。圆有多大，影响最值的大小，整体离圆有多远，也就是圆心到屁的距离影响最值的大小， 他就由这两个或决定。所以不管是计算还是证明，我都围绕他来进行。你把这个懂了以后，以后再做原上动点最值的题，你就可以围绕这个去想了。下来，他给你一个别的原上动点的最值，那你也想一想， 这个最值由谁决定？大概率还是由圆的大小，还是由圆整体到这个目标的距离决定的？所以不管是证明还是计算，我围绕这两种量，围绕这两种量去思考就 ok 了。

对于这几类圆最值呢？首先第一你要明确他怎么找最值，咱们一个一个过一下啊。第一种呢，是圆上有个动点，我要求动点到定点的最值，动点到定点的这个最值什么时候取呢？过圆心 离得远的对应最大值，离得近的这个焦点对应最小值，还有什么呢？还可以是圆上的一个动点到一个定直线的距离最值，那这时候呢，有一些许变化， 我可以让这个定直线呢，与圆是相离的，定直线与圆相离，那这时候这个垂线呢？是既有最大又有最小，怎么找呢？你让这个垂线还是 过圆心啊？垂线还是过圆心？然后呢，垂线和圆的远处的这个焦点对应最大值， 垂线和圆的近处的这个焦点对应最小值，还是过圆心。所以你会发现啊，后两幅图我先不画了，你会发现所有圆的最值，其实抓住核心三个字就是过圆心， 知道过圆心了，你就能找到最值了。过圆心，这是第一个啊。然后呢，接下来第二个我们还得会证明。那么不管是怎样的最值， 在正明的时候呢，其实都是关注他的哪些量啊，关注决定最值的那些线段。我们求一个圆上点到定点的距离最直，我要关注什么呢？我要关注圆心到这个点有多远，这是这个圆作为一个整体 到点的距离。还有呢，就是圆的半径，半径是啥呢？半径是这个圆的大小，我们去关注决定最值的量，圆大小和圆整体到点的距离， 关注这些量，你会发现证明的思路就很好找了。我把这些量往一块放了，放一块，三边关系就出来了， 这边我也往一块放，放一块以后呢，哎，你会发现，利用垂线的最短也就推出来了，所以证明围绕的是整体到点，整体到线的距离以及圆的大小。 而除此之外呢，你会发现计算也是一样的道理，我在计算的时候呢，我也要围绕啥呀？围绕整体到点的距离和圆的大小去进行计算， 整体到点的距离肯定能求，然后呢，半径再求出来，加起来就最大，减一下就最小，这个最值也就搞定了。所以呢，证明和计算的时候，你都要注意关注什么呢？关注半径和圆心到点 或者到直线的距离，证明和计算都是关注半径和圆心到点到直线的距离。 我不要写加号啊，加号大家会有误解，我就打个斜杠啊，关注这两个量，那么对于原上动点最值就说完了啊， 就两大类，然后呢，这一类的另外两个变形的图我就不去具体画了啊，本质是类似的，不过证明思路的时候有一点细微的差别，大家下去以后呢，要做的事是啥呢？把这些东西明白以后，自己一定要把这几幅图的最值证明从头到尾走上两遍， 你自己从头到尾走上两遍，在这过程中去理解我刚刚给大家传递的那些想法，你把这些想明白了，弄熟了以后，看到原最值的问题呢，你会更容易找到正确的思路。好了， 这些说完了，下来呢，咱们来做一些练习啊，练习的话我们就不去讲怎么正了，大家就快速的想办法求出最值就行了。求最值的过程中呢，注意去看明白 自己求的到底是哪种最值，是圆上点到点的最值，还是圆上点到线的最值，咱们把它看清楚来第一题，那么这次呢，题目告诉你，意识蓝色圆上的动点，蓝色圆的半径知道是一， 现在呢，让我去求这个点 e 到一条定直线的距离的最大值。那这种圆上动点的最值，我们刚刚总结过了，都是在过谁的时候取最值，是不是当你的所求过圆心的时候。 所以呢，你做题的时候很简单，你先把过圆心的垂线给咱做出来，圆上点到直线的距离，你先把过圆心的距离垂线给他做出来， 做出来以后呢，那你就想你要求的是最大值，那你说你一点应该是在下面这个焦点还是在上面这个焦点 最大值，越远越大嘛？所以呢，肯定是当一点走到下面这个焦点的时候取得最大值嘛，你先把图画出来，图画出来以后呢，接下来其实就很难算错了啊，图画出来以后呢，我很容易发现，哎，这个最值呢，它其实由两部分组成， 一部分是半径等于一，另一部分呢，就是 o h 撇儿，注意，一定是分成这两部分去算，因为最值其实就是由半径 和圆心到直线的距离共同决定的，计算的时候，肯定是围绕这两个决定最值的量来计算。好，那这时候呢，我就只需要再算一个 o h 片了。 o h 片怎么求呢？我看它是个什么玩意嘛， o h 片呢，很明显呢， 是一个直角三角形的。啥呀，它相当于这里一个直角三角形斜边上的高。 那我要求这个垂线，想到了什么方法呀？直角三角形斜边上的高，那么咱们说求垂线是不是有一个想法叫做等面积，所以接下来我就想着看一看这个直角三角形的面积和边长就好了。那这个就很容易了， 已知表达式，那么你会发现它与 x 轴、 y 轴的焦点坐标是直接口算的。那我就得到了直角三角形的边长，一个是三，一个是四。勾股定律，斜边就是五 斜边有了以后，那你换求这个高，就可以列等面积的式子了。二分之一乘以五倍的 o h 撇，是这个 r t 三角形的面积，那么 r t 三角形面积还等于什么呢？它还等于二分之一乘三乘四。 哎，于是 o h 撇就解出来了，等于五分之十二。而我要求的最大值是啥呢？它的最大值呢？咱们刚刚说了，就是这幅图中的一撇 h 撇， 也就是 o h 撇加上一个半径，也就是五分之十七，完事。

重点问题不是只有初一上学期有啊，初一的下学期，初二、初三，包括我们的中考都会考到动点，那比如说我们的全等三角形的动点来，大家可以看一下这道题啊，如图，等幺三角形 abc 的 周长是二十一啊，这是个等幺三角形， 底边 b、 c 等于一个五厘米，我们在这可以标一下，那如果我知道了它的周长是五，是不是可以把幺算出来？ 我应该用二十一减去五，再除以二，那就十六除以二。所以我们两个腰长是不是都等于一个八，他是个八八五这样的一个等腰三角形啊？ 点 n 是 ab 的 中点，那我们的这一段是不是等于四？这一段是不是也等于四？点 p， 从 b 出发，以每秒两厘米的速度向点 c 运动啊？有个点 p， 从 b 出发，以每秒两厘米的速度 向 c 运动，同时点 q， 从 c 出发，向点 a 运动，有个点 q 哈向点 a 运动，但是有没有发现没告诉我们它的速度，对吧？当三角形 b p、 n 啊，与我们的三角形 c q p 啊， c q p 这两个三角形全等的时候，求点 q 的 速度，果然没有告诉我们速度，我们先要求这个速度，那怎么办呢？我们首先得画一个大概的示意图啊， 你得让这两个三角形相全等啊，那我的 p 点就走到这，然后我们的 q 点走到这了，是吧？让这两个三角形全等，你有没有发现这两个三角形里边有没有什么东西已经相等了呢？ 是不是角 b 已经等于角 c 了？角 b 如果已经等于角 c 了，要让这两个三角形全等，是不就是让这个角的两个夹边相等就行， 对吧？那他们的夹边呢？有没有发现又要需要进行分类讨论？有可能是 b n 等于 c q， bp 等于 c p， 也有可能是 b n 等于 c p， 此时 b q 等于 c q， 两种情况让他们分别相等，那在这画出来的是不是就是我们的 b n 等于 c q， 这种情况，对吧？ 那我们的 b n 等于四，我们的 c q 是 不是也等于四啊？然后我们的 b p 等于 c p， 这两个是不是都是二点五？这个也是二点五？题目现在要求这个 q 点运动的速度，这个 p 点是每秒两厘米，对吧？他走了二点五秒，我们能得到什么结论呢？ 我们是不是能算出他走过的时间啊？那应该用路程除以，我们的速度是不是二点五除以一个二，同时扩大个二倍，是不是四分之五啊？对吧？ 他走了四分之五秒，说明他是不是也走了四分之五秒？那我们要求 q 的 速度，你是不是应该用路程除以这个时间了？我们应该用四除以四分之五，是不是乘上一个五分之四，他就等于一个五分之十六？好，这是我们的第一种情况啊。五分之十六。 那我们再来看一看第二种情况，第二种情况我们依然是有这两个角相等，那这次是不是要让我们的 b n 等于我们的 c p， 对 吧？ b n 等于 c p， 我 们的 c p 现在等于 b n 是 不等于四？ 总长度是个五，那 b p 就 等于一了，那 c q 是 不就等于一了，对吧？呃，有没有发现它们俩走的路程是一样的， 他们同时出发，走的路程一样，意味着他们俩的速度是不是也是一样的？那这个时候我们 q 点的另一个速度是不是应该就是我们的一了，对吧？每秒一厘米， 把这两个图想明白，注意在这找到这个相等的角，然后让这个两个夹边分别对应相等，分别能求出两个速度。这道题同学们听明白了吗？我们就讲到这里。

其实还是在求一个圆上点到直线的距离最值，只是这次直线变成了圆的一条弦所在的直线，它俩相交了， 那么这里呢，我们需要做一点点区分啊。这次呢，我说的是 p， 是 弧上面的动点，它是这个弧 a p b 上的动点啊，应该是 a p b 啊， q 没有啊， 是弧 a p b 上的动点，你会发现我限定了一下动点的运动范围，那么这里呢，这个最大值，首先我还是先找到嘛，找很简单，你就直观的去感受 p 走到哪的时候最大，是不是走到这个弧的顶端的时候最大啊，就走到这的时候直接做垂线啊，那么你会发现，这就是 p 点能走到的离这个直线最远的地方， 所以呢，这时候对应最大值，而这个最大值怎么求呢？它依然有两部分组成，一部分是半径，然后呢，另外一部分呢，是这个 o h 撇，它这个最大值还是由圆这个整体到直线的距离和半径决定的 半径直接知道，所以接下来你算一个 o h 撇就行了。 o h 撇怎么求呢？简单的圆的一些知识， 这里 ab 是 弦，我做了弦的垂线，是不是有个垂进定律，垂进定律的话，那我就知道了，这两个肯定是相等的，等于四，因为垂直于弦的直径平分线， 这两个肯定等于四。而接下来我要求问号的话，那我是不是要把它放到一个直角三角形里，那很自然的想到了要连已知的半径，所以五四三最大值等于八就出来了。 那么这次呢，稍微多了一点点计算量，就是这个圆心到直线的距离，需要你算一下啊，但也很简单，就是个垂径定律。然后这个算完了以后呢，你会发现这幅图其实跟咱们前面那幅求最大值的图几乎是一模一样的啊。 那么我的最大值呢？ ph 的 最大值其实依然是等于我的半径加了一个 o h 撇， 圆的大小远离直线的距离依然是由这两个去决定的，最终得到了最大值，是吧？那么证明呢？证明其实跟刚刚是不是也是一模一样的？你要去证明的时候呢，你是不是围绕你的半径五 和你的圆心到直线的距离三去想问题。哎，那我这时候呢，要占它的最大值，我得找到一个 p q 小 于等于谁的不等式，那有关系是跟上面的那个例子是一毛一样的， 那这时候呢，写出来就是 p h 直接垂下来小于等于拐弯垂下去，拐弯垂下去就是半径加了一个 o h 撇， 那你发现因为它小于等于，后面这个是个常数，所以呢， p h 的 最大值就直接出了， 等于 r 加上 o h 撇，也就等于图中的屁撇 h 撇，证明计算跟前面几乎都没差别。那么什么不一样呢？来，接下来我想问大家一下啊，各位啊，如果我把这个题改一下， 我现在告诉你呢，点 p 就是 圆 o 上的动点，不再限定在弧上了，现在呢，点 p 可以 在整个圆上动， 他可以在整个圆上动。然后呢，现在呢，我想问一下大家，这个 p 到直线距离的最小值等于什么？这时候有小伙伴就很开心了，说，哎，你这个问题显然是要侮辱我的智商， 你都说了最大值在点上吗？所以呢，最大值刚刚对应的是五，加了一个三，等于一个八， 那最小值呢？最小值自然是走到下面这个点处了呀，走到下面这个点处的时候呢，这一小截的长度也很好算呀，就是一个半径五减去弦心距三呀，所以等于二嘛。那这时候咱们直观的去感受一下啊， 什么叫做最小值？最小值其实指的就是这个点，屁离圆最近的时候， 那我们不难发现， p 点越靠近直线，这个垂线就越小，越靠近这个直线，垂线就越小。那么大家想想，这个垂线到底什么时候就最小了？是走到这吗？明显不是呀， 你会发现， p 点如果往中间这靠一靠，往左边这靠一靠，很明显你的这个垂线是比这个二要更短的呀，再往过靠这个会更短呀。 所以最小值应该是什么？你会发现，这个 p 到直线的最小值应该是 p 点正好走到 a 点， 或者 p 点正好走到 b 点的时候，他走到这条线上了，距离最小值是零。所以这里一定注意啊，初学者的一个常见误区，会以为圆和直线的最小距离是下面这角，其实不是 只要圆和直线相交，这个距离最小可以取到零，但是这件事情你想明白就行了，考试呢，是不太会考的。为啥呀？咱们研究几何问题，其实求的都是线， 如果一条线的长度都变成零了，那么其实也就失去了研究它的价值了，因为它甚至都不是线了，它变成一个点。所以呢，我们要研究线段长度的时候，零其实一般是不考虑的， 所以这个最小值叫做理论上存在，但是考试一般不会让你求，但不影响你要把这件事想明白啊，想不明白的话容易犯瓜啊，所以这里想明白最小值是零。好，那现在问题来了，最小值如果是零的话， 那我的屁点走到下面这个点的时候，到底对应了个啥？这一小节线呢？到底对应的是个啥？他呢，其实也对应着一个最大值，但是注意是，当这个动点在什么上面动的时候的最大值，其实是动点在裂弧上动的时候 对应的最大值。如果现在规定啊，动点 q 只能在弧 a b 也就是裂弧上动，那这时候它的最大值是这里的 q 片， h 片是这个二。 所以呢啊，动点在幽弧的顶端和动点在裂弧的顶端的时候，其实对应的两个垂线都是最大值，然后呢，只不过区别是动点在哪段弧上动而已，这个最值弄明白了， 但是接下来大家想一件事啊，这次我应该怎么去证明这个 q 撇 h 撇是它的最大值呢？要证明这个 q h 的 最大值，它就等于什么呢？最后相当于半径减了一个弦形锯。要证明这样的一个式子，首先咱们这样想啊，你要去证明这个最值， 我肯定要围绕哪些量来思考，我是不是要考虑这个最值由谁决定这个最值？一个是由圆的半径决定，半径代表圆的大小， 你就想吧，点在圆上动，这个圆越大，或者这个圆越小，对于它对应的最值肯定是有影响的。还有一个呢，就是咱们的弦心距，弦心距代表了圆心到直线的距离， 圆这个整体离直线有多远？弦心距代表了这个我的最值呢，一定是由圆的大小和弦心距来决定的，那现在弦心距做出来了， 半径还没有出来，决定圆大小的半径还没出来，那我应该怎么办？是不是先把半径给他连一下， 所以咱们把 o q 连起来。那 o q 连起来以后呢？我现在需要找什么呢？我需要找到这个定量弦心距、定量半径，还有我的所求垂线它们三者之间的不等式。那这里怎么找呢？那么这里其实 有一个比较特别的找法啊，你会发现啊，在这个图里面呢，我们可以把半径分成两部分，比如说这个点是一个点 n 吧， 上面的 o n 和我的弦心距是不是存在一个不等式关系？你会发现 o n 是 个斜线，斜线呢，肯定是大于等于 o h 撇的，也就是 o n 大 于等于 o h 撇。在上面这个小三角形里，斜线肯定大于等于 o h 撇。而在下面这个小直角三角形里，我的斜线是 q n， 斜线 q n 呢，是不是也是大于等于垂线的大于等于 q h 的？ 哎，我把半径拆成了两段，分别找到了它跟已知弦形距所求 q h 之间的不等式关系。好，那接下来呢，就很简单了， 我只要让这两个不等式一相加，左边这两个或加完了，其实就是半径， 这两个或加完了就是半径。所以呢，我们给它整理一下，就变成了 q h 要小于等于什么呢？要小于等于我的半径 减去一个 o h 撇，那你会发现这不就完事了吗？半径 o h 撇都是常数，所以 q h 的 最大值就出来了，它的最大值呢，就是半径减去弦心距，对应到图里面， 这是半径减去上面这一节弦心距，所以得到了下面这节线段对应最大值啊。我们把这个点叫做 q 撇的话， 最大值就是 q 撇 h 撇，这是这里面最复杂的一个证明啊。这里你理解成把它拆成两段，拆成两段分别列不等式，再拼起来就 ok 了。但是呢，整体的思路跟前面其实是一样的，我要正最值， 还是要找到一个跟所求有关的，跟常数有关的不等式啊。我的目标就是左边是所求，右边是个常数，得一个他的不等式，最值就挣出来了，这是其一。其二呢，就是我关注的量依然是决定 最值的圆大小、半径和远离直线的距离。弦心距，我要关注这两个量，利用这两个量去找所求 q h 的 最值。所以呢，一直看着这三个线段列不等式就可以了。

出三圆，求动点轨迹长。如图，圆 o 经过 a o 的 中点 b， ob 等于一，那么 ab 也等于一点 p 为圆 o 上一个动点过点 b 向 ap 做垂线段，垂足为 q。 当点 p 在 圆 o 上运动一周时，问点 q 的 运动路程，我们先来分析点 q 的 运动轨迹。 因为 a b 是 一个定线段，而角 a、 q、 b 始终等于九十度，所以我们就知道 q 点 是在以 a b 为直径的圆上运动，我们把它画出来。很多同学做到这一步，就急不可耐地去计算这个圆的周长，把答案填上去，那你这道题就得不到分，因为点 q 不能在整个圆上运动。 q 点是跟随点 p 运动的，当 p 运动的时候， a、 p 会形成一个角度，而这个角度是有最大角的，就是从 a 点向圆 o 作切线。 好，我们补全图形。圆 o 的 半径是一，而 o a 的 长度是二，所以这个角度是三十度， 同样的，下面也是三十度角。当我连接这两个半径以后， q 点运动的弧长，它所对的圆心角我可以求出来是一百二十度，那么我们继续回到 p 点的运动。当我们从这个切点 向右走过大半个圆的时候，那么 q 点从上面到了下面的这个点， p 点从下面的这个点又回到上面这个点的时候， q 点又从下面跑到了上面，所以 q 点的轨迹是走了两个这样的弧长。所以本道题 q 点的路程可以用三百六十分之一百二十乘以二， pi 乘以 r 乘以两倍，约一下，三分之一等于三分之四 pi。

下来呢，我们来看一看圆上的动点 q 到定直线 l 的 距离的最值，那同样我已知了半径， 半径是什么呢？是圆的大小，已知了圆形到 l 的 距离，这是什么呢？这是整体，整体到直线 l 的 距离，怎么求呢？这个基本上也能口算啊，其实还是一样的啊，你可以先画图找出最直的状态， 那么我要求圆上动点到直线的距离呢？其实最直状态的找法依然是过圆心就行了， 依然是穿心就行了。那么这里注意，垂线怎么穿心呢？垂线呢，你不能是直接连 o q 这么穿心，你这么穿过去，你垂直都不存在了，肯定不对，垂线要怎么穿心呢？ 应该是过圆心去做个垂线，过圆心去做个垂线，当这个 q h 运动到这条直线上的时候，跟这条直线垂线重合的时候，它就取到最值了，那取到最值以后，其实最大值最小值在哪你也就看出来了， 是不是当 q 点走到底上这个位置的时候，这个对应的就是最大值啊？那这个最大值由谁决定呢？ 最大值是不是由半径三和 o 到直线的距离这个七决定？所以呢，最大值就等于什么呀？最大值就等于七和三的和等于十，而最小值呢？最小值是不是他这个 q 点 走到离直线最近的位置的时候，就下面这个交点，那这时候这一节最小值等于什么呢？ 最小值是不是还是由整体到直线的距离和圆的半径三决定？所以最小值是什么？ 七减三。好，那这个计算就搞定了啊，还是由圆的大小和圆这个整体到直线的距离 q h 的 最大值，它其实最后就是一个 o h 撇，加上半径是一个十， q h 的 最小值 o h 平减，半径减完了以后呢，等于一个四啊。那接下来呢，咱们继续啊，我们再来想一想，这次最值要怎么正？来，各位， 结合刚刚上一个例子的思路，大家觉得现在我要证明的时候，应该围绕哪几个量去思考？我要正这个最值，那我是不是肯定围绕圆的大小，也就是半径 圆心到直线的距离，也就是 o h 撇这个七，接下来要证明的肯定是围绕半径，围绕这个七来找到我 q h 的 最值，那么有了这个目标，你会发现就好想多了，咱们把这个图精简一下啊， 那你回来我要去关注这条红色的垂线，我要去关注圆的这个半径，利用它俩呢，要找出来 q h 的 最值，要挣出来它的最值，咋挣呢？首先我们有个大方向啊， 其实挣它的最值，最后就相当于要挣一个它和已知量的不等式。比如说 我如果正出来 q h 小 于等于一个常数 a， 那 是不是就是在说 q h 的 最大值等于 a？ 如果我正出来 q h 是 大于等于一个常数 b， 那 是不是说明 q h 的 最小值就是 b， 所以 我叫正最值，其实最终会正出来这样的一个大于等于或者小于等于的不等式 来，那大家看着这幅图，你想一想，你能列出 q h 怎样的不等式？注意这里都是一些垂线啊，千万不要想着让他什么三边关系啊，拐弯啊啥的啊，不科学，怎么正呢？其实很简单，你就想垂线段最短就行了，你要正的目标是一条垂线， 没毛病吧？哎，那这时候呢，你会发现这条 q h 呢，它相当于是从 q 直接垂下来了， 然后呢，它跟我们的半径还有 o h 撇有什么关系呢？你会发现半径和 o h 撇其实相当于是拐了个弯垂下去了。 哎，那我们想一想，直接垂下来是不是肯定比拐个弯垂下来要小呀？也就是 q h， 它是会小于等于 半径加上 o h 撇的。 q h 是 直接垂半径加上 o h 撇，相当于出去拐了个弯再垂， 那肯定是直接垂下去更短，所以一定会满足它小于等于半径加这个，或而我们的半径和 o h 撇，这都是常数呀， 那我是不是就相当于得到了这个整体是一个常数，哎，那是不是就相当于得到他的最值了？ 写的时候也很简单，你就直接写，因为他要小于等于这个或这是垂线段最短啊，不用解释为什么公里。 那么所以我 q h 的 最大值就是 r 加上 o h 撇，在图里面画出来，其实就是 r 和 o h 撇贡献了，取出来的这个最值呢，就是 q 一 h 撇， 这是关于最大值的证明，那么最小值是类似的思路，那这次呢，我还是想办法去找半径 o h 撇，还有索求他们三者之间的不等式嘛， 我得围绕这三个去列个不等式。然后呢，那这时候大家看一看，这里还是有垂线吗？两个垂线吗？刚刚是 q h 垂线，它要小于等于拐弯垂下来， 那还有哪个垂线呢？我是不是还有 o h 片这个垂线？那大家能不能想办法列出来一个不等式，其实道理是一样的，那这次呢，你会发现 o h 片叫做直接垂下来了， 它直接垂下来是不是肯定要小于等于拐弯垂下来，所以 o h 撇它是要小于等于 r 加上 q h 的， 而你会把这个不等式写出来以后呢，我一定可以把它整理成 q h 大 于等于 o h 撇减半径， 因为我想让一侧是所求，一侧是所求，另一侧的两个或呢都是长数，而我整理成这个样子以后呢，那你会发现就直接所以了，所以是不是得到了 q h 的 最小值就是 o h 撇减半径， 那我把这个点标一个 q 二，那么你换上题时，就意味着最小值对应了这个 q 二 h 撇，因为我的 o h 撇减去我的半径，对应的就是下面这条线段，哎，那么这个最小值也就挣出来了。 好了，对于这个最值的证明，大家品一下，证完了以后呢，你会发现这个垂线的证明跟前面还是有一点不一样的，三边关系特别好想，因为大家很熟， 但这个垂线呢，最短这个拐弯垂下来呢，感觉有点突破想象空间啊，这之前可能没有想过这样的最值证明方式啊，那你可能这块强化一下，就首先啊， 整体的找最直的思路跟之前是一样的，我肯定得去关注最直由谁决定，那么他一定是由圆的大小，也就是半径 以及圆这个整体到目标的距离。我们这次的目标是这个直线嘛，我要求圆上动点到直线的距离，所以是看整体到目标直线的距离，那么肯定是围绕这两个货去求 qh 的 最值，这是第一个要点， 第二个要点呢，就是求最值。正最值本质上是要得一个什么正最值，本质上要得一个不等式，这个某种程度上可以理解成是一个数形结合啊， 就是最值。在咱们的代数关系里面怎么去体现呢？其实就是一个不等式关系。 如果我要求的目标小于等于了常数，那这个常数就是它的最大值，永远小于等于它嘛，最大取到常数，所以最大值就是这一坨。而如果我要求一个最小值呢？那就是我的目标 q h， 它要大于等于一个常数， 因为它永远大于等于它最小，最小也就是等于，那么最小值就出来了。对应这个常数， 总结一下就是我要去正最值，其实最大值就是正，它小于等于一个常数，最小值就是正，它大于等于一个常数，相当于要正一个不等式。这是证明思路上的两个要点， 最直由谁决定？那么正最值的时候到底需要得一个什么样的结论？然后呢，再接下来呢，就是垂线但最短的具体应用了，这里面有两条垂线，每条垂线都可以认为是直接垂下来的，而 直接垂下去一定小于等于拐弯垂下来，这是垂线段最短原理的一个运用。直接垂下来 q h 小 于等于拐弯垂下来，半径加它 直接垂下来，也可以认为是 o h 撇，直接垂下来是 o h 撇，那么拐弯垂下来就是半径加上所求利用。这个呢，我们列出了两种不等式，整个证明就出来了。

我们来看一道河西区初二上学期期末考试的真题，如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c、 b、 c 等于四，面积是十六 a、 c 的 垂直平分线 e、 f 交 a、 b 于点 e 交 a、 c 于点 f。 若点 d 是 b、 c 边上的中点， d 是 一个中点，点 p 为线段 e、 f 的 一个动点，我们把这个动点先标出来， 则三角形 p、 c、 d 周长的最小值。我们来看一下题目要求。我们求的是图中右下角三角形 p、 c、 d 它的周长的最小值，它的周长我们可以表示成什么呢？我们用 c 来表示周长，也就是三角形 p、 c、 d 的 周长 等于 pc 加上 pd， 再加上它的底边 cd 的 长度， bc 长是四， d 又是 bc 边的中点，所以 cd 的 长度就是二，我们把二写在这里，那么此题我们只需要求出 pc 与 pd 两条线段的和就可以了。 点 p 是 线段 e、 f 上的一个动点，当点 p 的 位置发生变化的时候， p、 d 与 pc 的 长度是会发生变化的，也就是 pc 和 pd 这两条线段的长度是随时在变的。那我们要怎么去计算呢？我们知道 ef 是 幺 a、 c 的 垂直平分线，我们补充一个直角， 由垂直平分线的性质，我们知道垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，那此时我们连接 pa 这条线段， 那么 pa 就 应该等于 pc。 好， 那此时 pc 加 pd， 我 们就可以转化为 pa， 加上 pd， 再加上 cd 的 长度是二。我们来看一下，那么 pa 和 pd， 因为点 a 和点 d 是 固定的 ad， 两点之间什么最短，是不是线段最短？所以我们连接 ad 连接 ad， 此时 ad 的 线段的长度就是 pa 与 pd 两条线段长度和的最小值。 又因为三角形 abc 是 一个等腰三角形，而且点 d 又是底边的中点，我们有等腰三角形的性质。可以知道 ad 是 垂直且平分底边 bc 的 好，那此时这个 ad 就是 三角形 abc 的 高， 又因为这个三角形 abc 的 面积是十六，底边 bc 的 长度是四，所以我们可以很容易知道 它的高。 a， d 的 长度就等于八，我们把这个八带入进去，把 pa 和 pd 换掉，那么此时三角形 p， c， d 的 周长的最小值我们就可以得到十。那么这道题我们正确的选项选择 b。

我信你个鬼，你这个糟老头子坏得很！你的朋友可能不会点屁在二次函数上运动，当角 b、 c、 p 等于角 a、 c、 o 时，求屁的坐标。先思考一下， 遇到这类求等角的题型，先求定角的正切值，那么角 b、 c、 p 的 正切就是这个。现在是重点或点 b 做 b、 c 的 垂线 延长 c、 p 交于点 h 过 h 做垂线交 x 轴于点 e， 这三个角都为九十度。 聪明的你一定知道，此时三角形 o、 b、 c 相似于三角形 e、 h、 b， 且角 b、 c 正切值为三分之一，所以 b、 h、 b、 c 等于一比三得出三角形相似比为三比一，标出大三角形边长， 根据相似比标出小三角形边长，所以 h 点坐标为四斗一，求出 c h。 直线。解析式 直线 c、 h 与二次函数连立，求出点 p 坐标。聪明的你一定还知道 b、 c 下方还有一个，打明白了吗？关注私信，领取学霸笔记！

数学的尽头是哲学，万法皆空，因果不空。今天我继续用五字诀简寻连导组来解决西港区初三最后一道题。 二十三，已知抛物线 y 等于 x 方，加上 b， x 过点二斗零点 p q 是 抛物线上的两个动点，横坐标分别为 m 二减二 m。 括号一，则抛物线的解析式为， 首先我要讲一下这个简字，简呢，我们从三方面去考虑。第一个，我们要简化题干，那这道题的题干非常简略了，那就不用再简化题干了。第二个，我们在做题的过程中要简变操作。 什么是简易操作？数学是向减而行，那么怎么去简易操作呢？第一个，比如说我们在做几何题的时候，我们经常遇到角平分线或相等的角，我可以设这是 r 发，这是 r 发，不用三个顶点去表示。 还有在复杂的图形中，我们可以进行抽图简编操作，咱要抓住重点，减名额，要这样的做题，我们就非常的容易顺利。 接着寻寻，我们就要寻找关键条件，寻找突破口啊，寻找解析路径。好，下面我们看第一问， 则抛物线的解析式为，这个是非常简单的，往里一带， y 等于 x 方减二 x， 这是捷德的这个括号二，若直线 p q 平行于 x 轴，求此时的 m 的 值，如何破解？ 平行就直接告诉我们，平行就是 y 值相等，也就是纵坐标是相等的。 我们看在这里边 y p 等于什么？ y p 是 m 方减二 m， y q 的 什么？等于 是二减二 m 扩回的平方减去二倍的二减二 m， 那在这里边经过整理，这个是四 m 方，减去四 m， y 值相等，那然后让它俩列个等式， 截得 m 一 得零， m 二等于三分之二。我们发现在 m 二的时候，这个是属于两点和一点，不能成为直线，所以要舍去 那 m 一 这块也是有疑义的。那接着第二种思想，我们想一想二次函数最大的特征，二次函数最大的特征就叫对称性， 这是二次函数最大的特征。那既然对称，我们就想一想，它这两个点横坐标这两个点 之和的一半，正好是对称轴。也就说如果存在这两个点， x 一 加 x 二除以二，一定等于这个 中点。我们抓住这个对称性，那就是 m 加上二减二， m 除以二，它的对称轴是什么？对称轴我们一算式得一， x 等于负二， a 分 之 b 就 得一， 然后一截得 m， 直接就得零，就把这种情况省略了。那么第三个题，我们看抛线在 p q 两点之间的部分， 图像为 g， 含 p q 两点，当图像中 g 的 最大值，最小值的 x v m 的 绝对值，直接写出满足条件的 m 的 值。这道题老师一看脑瓜子疼，为什么第一个 这两个动点，然后最大值和最小值，还有一个是 m 的 绝对值，那如何去破解这个题呢？下节课老师想用三种思想再继续分享一下这道题。

今天来给大家讲一个初三的阿是圆最值问题啊，这个是讲的是两点在圆外系数小于一的这种问题，我们看题，如图，矩形 a、 b、 c、 d 中呢？ ab 等于八，我们这 ab 是 八， a， d 是 六点， e 是 矩形 a， b， c、 d 内部的一个动点，且 e、 b 是 等于四，然后呢，连接 c e， 则 d e 这条线段加上三分之二 c e 这条线段的最小值是多少？ 那么这种题呢，我为了帮助大家理解啊，我们把这个因为第一的长度是一个定值是四，所以他一点的轨迹呢，他就是一个圆，而且他在内部的话，所以他其实就是这一这一部分， 它圆内部分就是这一部分啊，外面这部分是不用看的，就是其实就一段那个弧。好，我们来再分析一下什么叫阿是圆，我们阿是圆呢？它的是圆的第二定义啊，是指平面内一点到两个洞点，不是一个洞点到两个定点之间距离。 支笔是定值的话，那么这个点的轨迹呢？它就是一个圆。而这题呢，我们就要用到圆的那个 r 是 圆的定义来解了，它本质是什么？本质是构造一个子母相似。好，我们来看这个题啊， 他是我们要看 d e， 我 们这 d e 他 是不用动的啊，因为他这有个三分之二 c e， 所以 我们要构造这两个 e， d 点和 c 点都是在圆外的，只有 e 点是在这个圆上的，我们要构造一个子母相似，把这个三分之二 c、 e 给构造出来。 那我们看这个怎么构造呢？这是 d e， 这是 b c， 这是 c e， 我 们再看，如果我们构造一个三角形的话，这有个 b e 边，有个 bc 边，这是一个公共角，我们要再构造一个什么边 的比值跟它相等，我们构造一下看看啊，这个 好，我们这个假设这个点是 f， 一定要在这个 b、 c 上构造，因为字母相似，这两个边是公共边啊。那我们这个 b、 f 的 长度怎么求呢？我们先看这个三角形相似啊，三角形 b、 c、 e 是 不是应该错开了？字母相似，所以我们这个 b e、 f 和 b c、 e 是 相似于三角形 b、 c、 e 好，我们这相似的话，我们就可以得出对应边的比相等，那么 b e 一个的写啊， b e 比上 b c 等于 b f 比上 b e 等于 e， f 比上 c e 好， 这里面 c e 是 不是有了？我们要 这个 e、 f 呢？我们这 e、 f 其实就是我们要求的三分之二 c e 啊，为什么呢？看着啊， b e， 我 们 b e 的 长度是不是四？ b、 c 的 长度是六， 那么 e、 f 比 c e 这四比六是不是等于三分之二？我们可以得出 e、 f 比上 c e 就 等于三分之二，所以我们 e、 f 就 等于三分之二。 c e， 我们已经构造出来了， e、 f 这个三分之二 c e 出来了啊，构造出来了，但是我们这个 f 点的长度怎么求呢？在用这里面来看着啊，用这个比值 交叉相乘，我们 b e 的 平方就等于 bc 乘以 b f， 我们 b f 是 不是就等于 b f 等于 b e 的 平方？除以 b c， b e 是 四，等于十六，除以六，就等于三分之八，所以我们的 b、 f 的 长度就是三分之八， 这就是三分之八。好， f 点定点了， f 点， d f 长度是出来了，所以 f 点是定点， d 点也是定点， e 点在这个弧，在这个弧弧上是不是？那我们求这个长度的 最小值，是不是可以了啊？把这个 e 点三点共线，我们把 d、 f 连起来，三点共线，所以 e 点就到这来了，这是一撇， 那我们这个是不是就好求了？我们其实就让你求这个 d、 f 的 长度， d、 f 的 长度是不等于又勾股定你了啊？ d f 就 等于根号下 c f 的 平方加上 c、 d 的 平方， c f 是 dc， 减掉 b， f 就 等于 六，减掉三分之八就是三分之十啊，三分之十的平方加上八的平方， 这里面怎么算快呢？我们看着啊，这里面，哦，加十的平方啊，加十的平方， 哎，啊，八的平方，不是十的平方啊，来看一下啊，三分之十，这里面有二，我们要把风口去掉，那我们提取一个三分之二出来，这个八呢？我们提取一个二出来，那就可以提取一个三分之二的平方， 那再乘以多少？五的平方，这里面我们八呢？我提取二的平方出来了，但是他我们再提取一个三分之二，所以这个多少呢？应该提取一个三分之二的平方，乘以应该十二的平方， 所以我们可以把三分之二提到根号外面来，三分之二的根号下五的平方加上十二的平方。哎，有没有聪明的人发现了，这是什么？这是一组勾股数五十二十三，所以这个值又等于多少？等于三分之二 乘以十三，等于三分之二十六，所以具体选 b， 这个给你选择题其实都已经降低难度了啊，有的人他蒙都能蒙出来，但是他其实考的就是你的，考你的 r 十元够不到字母相似。 好，今天就讲到这了啊，如果大家还有什么其他疑问的话，可以私信我，或者在评论区留言，我们一起讨论一下。

动点问题是初中数学的难点和易错点，也是拉分板块，初中数学要拿高分，一定要多练习动点问题， 给大家推荐这套初中动点压轴题专项训练一共有三本，七年级这本主要是以数轴上的动点为主，一共五十道题。八年级这一本主要是关于三角形、四边形和函数的动点，一共五十道题。九年级内容就比较多，一共一百道题。他把初一、初二、初三的重点问题都总结融合在一起， 一共安排了四轮复习，而且难度是由易到难，逐渐拔高。并且每道题的答案都非常详细，右边是学生作答区域，左边是详细的手写版参考答案。每道题目都是由数学战神令浩老师亲自讲解。令浩老师有十八年的一线教学经验，每道题目的讲解都很耐心细致。 初三的一道题目，宁浩老师讲了三十七分钟，这都相当上了一下课了，学生在家也能轻松自学压轴题。中考数学想拿高分的同学，这套书一定得准备动点压轴题一定要攻克下来。