聊城中考刷什么题

我们来看第二小问，他说阿尔法大于三十度，小于六十度的时候，当阿尔法的角度变成一个范围， 咱们知道，咱们从第一问知道 b， m 等于 c， n 的， 他说让写出 m， p， d， p， c， d 的 数量关系，这是三条线段的数量关系。我们之前都做的是两条线段的相等倍数关系。那三条线段我们 按照两条线段的和或者是差等于第三条线段，或者是和差等于第三条线段的一倍或者是二倍。两条线段描完之后，我们来看一下 m， p 是 这条线段， d， p 是 这一条， 还有 c， d 这条。这几条线段描完之后，你会发现 c， d， p， d， 它是在一个三角形中的，因为我们可以把 mp， 那 我们可以把 mp 转化成另一条线段，而这三条线段中数 d， c， 它是最长的。 我们来看一下，我们知道 c， m 是 等于 c， n 的 角， p， m， c 等于角， p， n， c 等于九十度，那连接 cp， 连接 cp 之后，我们发现 cp 是 公共边， 所以三角形 p， m， c 全等于三角形 p， n， c， 所以 p， m 等于 p n， c， m， p 加 d， p 就 等于 p， n 加 d， p 等于 d， n， 那 看一下 cos 角 d， 它等于 d， n 比上 c， d 等于 m， p 加上 d， p 比上 c， d， 它等于 cos 三十度角， 然后他的二分之根三，所以 d， p 加 m， p 比上 c， d 等于二分之根号三。我们继续接着看，他说当 r， f 大 于六十度，小于一百二十度的时候，他直接写出线段 m， p， g， p， c， d 的 数量关系， 他的图形发生了变化，他让咱们写出来，还是这三条线段就是他的取值范围。阿尔法是变了的，但是这三条线段的名称是没有变的，思路也是没有变的。那刚才我们连接了 cp， 这一次我们也连接 cp， 我 画了一个图， 我们来看一下。上一步咱们说了，三角形 pcm 是 全等于三角形 pcn 的， 所以这一步这一次也是成立的。所以 pm 是 等于 pm 的， 所以 d n 等于 pm。 减去 d p， 它是等于 p m 减 d p， 因为 p n 等于 pm， 我 换了一下，所以 p n 直接变成 pm。 又因为这个角 c d f 是 等于三十度，它是含三十度的直角三角形，所以 cos 角 c， d f 是 等于 d n 比上 c d， d n， 我 们刚才求出来了，它是 m p 减 d p 比上 c d， 它等于 cosine。 三十度角，它的数值等于二分之根三，所以 m p 减去 d p 比上 c d， 它就等于二分之根号三。

我们来继续看第三小问，读题如图，四，连接 d， d 撇交 b， e， 点 p 连接 c p， 当点 e 在 线段 c、 d 上运动时， 线段 c、 p 是 否存在最小值？若存在，直接写出，若不存在，说明理由，那对应最值问题存在与否。这个问题它一定会存在的，所以可以写出来它。咱再读一下题干 a 撇、 d 撇分别是 a、 d 的 对应点， 那他是怎么得到的呢？他是通过翻折得到的，翻折其实就是轴对称，所以对应 d 和 d 撇是对应点， b、 d 是 对称轴。我们能够知道 d、 d 撇是垂直于 b、 e 的， 而两者又相交于点 p， 垂足视为 p， 既然有垂足，那三角形 d、 p、 b 是 直角三角形，而直角三角形有个结论，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。根据题目所给的， a、 d 等于二， a、 b 等于四，所以可以求出来 b、 d 等于二倍的根。五、通过勾股定律，那我接下来找到 d 的 中点，找一个 h， 把 h、 c 连接起来，然后把 p、 h 也连接起来，两条线段构成了一个三角形， 那我们知道三角形有个结论，三角形的两边之和是大于第三边的，所以 hp 加 pc 是 大于 hp 的， 而这个问题是问的是最值问题。那什么时候这个式子可以取等号？是不是当 hp c 三点共线的时候， hp 加 pc 等于 hp？ 因为我们刚才找到点 c 的 时候， b、 d 是 固定的 点， h 相当于定点，点 c 也是定点。第一问求的是 c、 d 的 长，那那对应 h、 c 的 长，它也是一个定点，那当 h、 p、 c 三点共线的时候，此时的 p、 c 是 最小，等于 h c。 因为我们刚才找到点 c 的 时候， b d 是 固定的 点， h 相当于定点，点 c 也是定点。第一问求的是 c d 的 长，那对应 h c， 那 对应 h c 的 长，它也是一个定点， 那当 h p c 三点共线的时候，此时的 p c 是 最小值。那我们怎么来求 p c 和 h c 呢？咱们知道 b d 等于二倍的根五，所以 h d 等于根五，第一位已经求出来了， c d 是 等于四倍的根五，那所以 h c 的 平方等于 ph 的 平方，加上 c d 的 平方等于八十五，那他让求 p c 的 最小值， pc 的 最小值怎么来求呢？它是不是等于 hc 减 hp 等于根号八十五，减去根号五？所以点 e 在 线段 cd 上运动的时候，线段 cp 存在最小值，它的最小值是根号八十五，减根号五。

这是二四年中考真题第二十一大题。这道题考察平行四边形的性质和判定圆的性质、扇形的面积以及等边三角形的性质 来读题。在四边形 a、 b、 c、 d 中， ad 平行于 bc， 有 平行线对应内错角相等同位角相等同旁内角互补。他说角 d、 a、 b 是 等于六十度，我们来标一下， 他等于六十度。他说 ab 等于 bc 等于二， ad 等于二，那我们标注一下， ab 等于二， bc 等于二， ad 是 等于一。他说以点 a 为圆心， ad 为半径画弧，那所以 a、 e 是 等于一， b、 e 等于一。后边他说以点 b 为圆心，以 b、 e 为半径画弧，那所以 b、 f 是 等于一。那看题，他说让我们来证明 c、 j 为圆弧， ef 所在圆的切线。只要题目出现切线两个字，不管是条件还是结论，只要是有切线，你就看他有没有过切点半径， 只要是没有，一定要连接，见切线连半径则垂直，那我们先连接一下 b、 g， 只要知道角 b、 g、 c 等于九十度，他就知道 c、 g 是 为这个圆弧所在圆的切线了。那怎么来看他是不是为九十度呢？ 因为二 a、 d 是 等于 b、 c 的， 所以 a、 d 等于 b、 f， a、 d 平行于 b、 f， 所以 可以证明四边形 a、 b、 f、 d 是 平行四边形，所以知道这个角是一百二十度。平行四边形的对角相等。而我们做的这个辅助线 b、 j， 它也是一个半径，所以这个 b、 j 是 等于一的， 它的长也是一，所以角 g、 b、 f， 它这个是等于六十度。看三角形 b、 g、 f， 它一个角是六十，那这两边 b、 g 是 等于 b、 f 的， 这两边是相等的，所以这是等腰三角形。 有一个角为六十度的等腰三角形，它一定是等边三角形，所以角 g、 f、 b， 它是等于六十度， 他也是等于六十度。他知道这个角是六十度，那这个角就是一百二十度。他知道三角形 b、 g、 f 是 等边三角形，所以这个边是等于一。知道 bc 是 等于二，所以这个 c、 f 等于一， 所以三角形 c、 f、 g 也是等腰三角形，那所以角 f、 c、 j 等于角 f、 j、 c 等于三十度，那这个角 b、 j、 c 就 等于角 b、 j、 f 加角 f、 j、 c 等于六十度。加三十度等于九十度。所以已经证明出来了， c、 j 为圆弧 e、 f 所在圆的切线 b、 j、 c 等于九十度。

这是一到二五年中考真题第二十二大题。这道题主要考察了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点。他给了二次函数，其中 a、 b 为两个不相等的实数读题。当 a 等于零， b 等于三的时候，求此函数图像的对称轴， 那我们先把 a 等于零， b 等于三，代入这个二次函数，可以把它化简为，让它化简为，这是一个二次函数。二次函数。一般的情况下，对称轴是 x 等于负二， a 分 之 b， 那 它是等于负的。二乘以三分之负六，它是等于一的， 这是第一位。继续来看第二位，当 b 等于二 a 的 时候，我们就把这个条件 带进去化简到三， x 的 平方减六 a， x 加二 a 方等于三倍的 s 减 a 的 平方减 a 方数。在零 x 大 于等于零、小于等于一的时候，外随着 x 的 增大而减小。在 x 大 于等于三、 小于等于四的时候，外随着 x 的 增大而增大。它是让求 a 的 值范围。只要见到二次函数的增减性，就需要知道它们的对称轴， 因此他的对称轴是 a 画图大于等于零的，他是开口向上的看题干给的范围。 a 的 时候，外随着 x 的 增大是减小的。 x 大 于等于 a 的 时候，外随着 x 的 增大是增大的。在对称轴上可以任意标注这个等号。题目说 x 大 于等于零，小于等于一的时候，外随着 x 的 增大而减小，所以它是在 x 小 于等于 a 这个范围内的。 进而我们可以得到 a 是 大于等于一这个范围。在对称轴的左侧，当 x 大 于等于三，小于等于四的时候， y 是 随着 x 增大而增大的，所以它是在 x 大 于等于 a 这个范围之内的 满足。 a 小 于等于三，在对称轴的右侧两种情况下同时满足，所以 a 的 取值范围是 a 大 于等于一，小于等于三。我们继续再看第三小问，他给了三个点均在该函数的图像上，这就意味着点的坐标满足二次函数。解析式将它们进行代入得， 这是 y 一 y 二等于化简得 y 三等于。是否存在常数 m， 使得 y 一 加 m， y 二加 y 三等于零成立，那其中把 y 一、 y 二 y 三分别代入二次函数中。对应式子，这两项恰好是 a 方减二， ab 加 b 方。因式分解是 a 减 b 的 平方， 所以 a 减 b 的 平方等于四分之 m， a 减 b 的 平方。题目说 ab 是 两个不相等的实数，那么我们进而知道 a 减 b 的 平方是不等于零的。那那这两边同时除以 a 减 b 的 平方得到一等于四分之 m， 那 m 等于四。

这是二五年中考真题第二十三大题。这道题主要考察了直角三角形与四边形的几何性质相似，三角形的判定与性质以及图形折叠的变换特征。咱们先读一下题，在四边形 a、 b、 c、 d 中，已知 角 b、 a、 b、 c 等于角 b、 d、 c 等于九十度。知道 a、 d 是 等于二， ab 等于四，他让求的是 cd 的 长。我们来根据题目来标注一下， 标注角一、角二以及角三。因为角 abc 等于九十度，所以角一加，角二等于九十度。又因为角 b、 a、 d 等于九十度，所以角一加角三等于九十度，所以角二等于角三。再结合两角等于九十度， 角 b、 a、 d 等于角 b、 d、 c 等于九十度。借助两对角对应相等的三角形是相似三角形 a、 d、 b 和三角形 d、 b、 c 是 相似的 相似三角形边对应成比例，所以 a、 d 比上 b、 d 等于 a、 b 比上 c、 d。 又因为角 b、 a、 d 等于九十度， a、 d 等于二， ab 等于四，所以 b、 d 就 等于 利用勾股定律二的平方加四的平方等于二倍的根五。因为他的边对应成比例，所以 a、 d 是 等于二， b、 d 二倍的根五等于 ab 等于四， d 等于四倍的根五，所以 c、 d 求出来是四倍的根五。 继续来看第二小问。先读题，老师指导同学们对纸片进行折叠，在线段 c、 d 上取一个点 e 连接 b、 e 将四边形 a、 b、 e、 d 沿 b、 e、 d 折叠得到四边形 a 撇 b、 e、 d， 其中 a、 撇、 d 分 别是 a、 d 的 对应点。那么读题，我们知道翻折就是三角形的三角形的对应点，那么读题，我们知道 b、 a 撇、 d 等于九十度。 通过翻折对应联，我们能够知道角 a、 b、 d 等于角 a 撇 b、 d 撇 同时角 d、 b、 e 等于角 d 撇 b、 e。 所以 角 a、 b、 d 等于角 a、 撇 b、 d 撇，同时角 d、 b、 e 等于角 d 撇 b、 e。 再读题，他说点 d 撇恰好落在了边 bc 上，延长 a 撇、 d 撇交 cd 于点 f， 让我们判断四边形 d、 b、 a 撇 f 的 形状， 那判断形状，中学阶段考察的是四边形、平行四边形以及更特殊的平行四边形，所以这些平行四边形是可以相互转换的。我们来看一下题目，角 b、 d、 f 是 等于九十度的，角 a 撇也是等于九十度的。那角 d、 b、 a 撇等于 d， b、 a 撇这个角度看一下它等于多少，它是不是等于角 d、 b、 d 撇这个角度 加上这个角度加角 a 撇 b、 d 撇等于角 a、 b、 d 的， 所以它等于角 a、 b、 d， 它等于角 d、 b、 d 撇二加 a、 b、 d， 它是等于九十度的，它等于 a、 b、 d 撇，它是等于九十度。等于 a、 b、 d 撇，它是等于九十度。再结合三个角是直角， 三个角是直角的四边形是矩形。角 b、 a、 f 等于九十度。角 a 撇等于九十度。角 d、 b、 a 撇等于九十度。那这三个角都是直角，那所以判断 d、 b、 a 撇 f， 它的形状是矩形。

这是二四年中考真题第二十二大题。本题考察的是等腰直角三角形与含三十度角直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及正方形的判定、旋转的性质全等三角形的判定与性质。我们来读题， 他说一副三角形板，角 abc 等于角 d， e， f 等于九十度角 b， a， c 等于四十五度角 e， d， f。 他 是三十度 a， c 等于 d， e。 他 说做 b、 m 垂直于 a， c， e， n 垂直于 d， f。 我 们来看题，他让求证 b， m 等于 e， n 是 来求证两两线段相等，那这样我们可以把每一条线段的长给求出来。 他说，三角形 abc 是 四十五度的三角形， abc 是 四十五度的直角三角形 bm 是 高，同时 bm 还是顶角的角，平分线还是底边上的中线。直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，所以 bm 等于二分之一 a， c， 那 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半， 所以 e， n 等于二分之一 d， e。 他 又说 a， c 等于 d， e， 那 这个三角板它是固定，所以 b， m 等于 e、 n。 我 们来看第二小问。他说在同一平面内，将图一的两个三角形按图二的方式进行放置， 点 c 与点 e 重合，即为 c， 点 a 与点 d 重合。他把这个三角板拼起来之后，就如图二所示。他说的是点 c 与点 e 重合，所以 b， m 等于 e， n 就 变成了 b， m 等于 c， n。 后，他说三角形 d， c， f 绕 c 按顺时针方向旋转 r 法。他说当 r 等于三十度的时候，证明四边形 c， n 对 n， pm 是 正方形。 那如何来证 c， n， p， m 是 正方形呢？那可以把四边形转化成矩形，然后把矩形转化成正方形。题目中他说 r 等于三十度，那三角形 abc 是 等腰直角三角形。在三角形 d， c， f 中，角 d 是 等于三十度的。 又因为 c， n 垂直于 d f， 所以 角 c， n， d 等于是九十度。角 d， c， n 就 等于九十度。减三十度，它等于六十度， 所以角 d， c， n 等于六十度，所以角 a， c， n， 它是等于九十度。又因为 b， m 是 垂直于 ac 的， 所以角 p m， c 等于角 b， m， c， 它是等于九十度。那有三个角都是直角的。四边形是矩形，所以四边形 p m， c， n 是 矩形。那矩形是怎么能得到正方形呢？结论是一组邻边相等的矩形是正方形。上面知道 b， m 等于 c， n。 在 带等腰直角三角形中， b m 为顶点的角平分线 是底边上的中线还是底边上的高，所以 b， m 还等于 a， m 等于 c m， 所以 c， m 等于 c n 乘以 c m 等于 c n， 它又是作为这个矩形上的邻边，所以四边形 c， n， p， m 为正方形。

我们来继续来看第二小问，他说求图中阴影部分的面积，那看这个阴影部分， 这是一个不规则的图形，直接求的话是没有公式呢？那怎么来求呢？是不是用这个平行四边形 a、 b、 d、 f， 然后减去这个扇形的面积，再减去这个扇形的面积，减去这个三角形 b、 g、 f 的 面积，他就是这个阴影部分的面积了，是吧？然后我们来求一下 应用部分的面积，等于平行四边形 a、 b、 f、 d 的 面积，减去扇形 a、 d、 e， 再减去扇形 b、 e、 j， 再减去三角形 b、 j、 f， 它的面积。 怎么来求平行四边形 a、 b、 f、 d 这个的面积呢？我们来看一下公式，平行四边形 a、 b、 f、 d， 它是不是公式是底乘以高，咱知道它的底是 ab， 是二，它的高怎么来求呢？它的高是不是做 d、 d、 h 垂直于 ab， 那 这个是二分之一，这个是一，这个是二分之根三， 二分之根三，对吧？这就把 x， 呃，这就把平行四边形 a、 b、 f、 d 面积给求出来了，等于根号三，再减去。由题可以知道， s 扇形 a、 d、 e 是 等于 s 扇形 b、 j、 e 的， 它的公式是三百六十分之 m、 p、 r 方， 它的圆心角都是六十度，乘以 pi 乘以它的半径都为一， 三百六十度就等于六十乘以 pi 乘以一的平方除以三百六十度，等于六分之 pi， 这是扇形的面积。我们来继续看三角形 b、 g、 f 怎么求？ 三角形 b、 g、 f 是 等于二分之一底乘以高， 它等于二分之一，它的底是 g、 f， 它的高是 d、 h， 它等于二分之一，乘以一乘以二分之根三，它等于四分之根三， 那将他们全部代入。等于根三减去六分之派，再减去六分之派，再减去四分之根三，结果等于四分之三倍的根三，减去三分之派。

这是二四年中考真题第二十大题。这道题考察的是一次函数与反比例函数的综合运算。利用图像把写自变量的取值范围，第一行不用看，第二行下表示函数 y 等于二， s 加 b 与 y 等于 x 分 之 k。 部分自变量与函数值的对应关系， 那就意味着当 x 等于什么的时候，求 y。 第一问读题，他说求 ab 的 值，并补全表格， 要想补全表格，得知道函数式，而求函数式就是将函数的坐标带进去。咱看一下这个表格，当 x 等于负二分之七的时候，二 x 加 b 等于 a， 减 负七加 b 等于 a， 当 x 等于 a 的 时候，二 x 加 b 等于一， g 二， a 加 b 等于一，那当 x 等于一的时候，函数是为七， g 一 分之 k 等于七，那我们写一个方程组， g， a 减 b， a 减 b 等于负七。二 a 加 b 等于一，一分之 k 等于七，那将这个求出来是 a 等于负二， b 等于五， k 等于七，那对于函数表达式就是 y 等于二， x 加五， y 等于 x 分 之七， 这个函数表达式。咱们知道了这个函数表达式是不是就可以来补全表格了？来，我们来继续来补全 a 的 值，将 a 的 值放入这个表格，这个是负二，这个也是负二， b 的 话是等于五，那这个当 s 等于一的时候，二乘以一加五是等于七的， 这个是 x 分 之 k， 咱求出来是 x 分 之七，那当 x 等于负二分之七的时候， y 的 值是等于负二，当 x 的 值等于负二的时候，这个 y 的 值是等于负二分之七。 继续来讲第二小问，他说结合表格，当 y 等于二， x 加 b 的 图像，在 y 等于 x 分 之 k 的 图像上方的时候，他说直接写出 x 的 取值范围， 这一看就是图像问题来，我们来先画一个草图，反比例函数，还有次函数，谁在谁的上方，关键是找这两个焦点，他不是说结合表格吗？ 还有谁是函数的焦点，怎么是函数的焦点？就是当取不同的 x 值的时候，函数值 y 是 一样的，我们来看这个表格，谁的 y， 谁的函数值 y 是 一样的。是不是当 x 等于负二分之七的时候， y 都是等于负二。 还有当 x 等于一的时候， y 值是不是同时是等于七的，它的函数值是一样的，所以对应这两个点就出来了，坐标是负二分之七，二还有一和七，那可以标在这个图像上面。一七负二分之七和二， 他说的是一次函数在图像的上方，因为这里边出现了反比例函数，反比例函数是在每一个象限之内的，而一次函数是可以在所有的象限之之中的。 通过外轴，我们可以把 x 分 成两个部分，一个是 x 大 于零，一个是 x 小 于零，在上方的时候是不包含重叠的。当外轴的右边，这是一，这是负二分之七， 所以我们看这个图，那对应 y 轴的右边，它 x 的 曲值范围是，这边是 x 是 大于一的，当 y 轴的左边是这条线， x 就 大于负三，负三点五小于零的，这两者是互的关系，所以 也当 y 等于二。 s 加 b 的 图像，在 y 等于 x 分 之 k 的 图像上方的时候， x 的 取值范围就是 x 大 于负二分之七小于零，或者是 x 大 于一。

这是二五年中考真题第二十大题，考察了切线的判定等腰直角三角形的判定和性质、勾股定律等。如题，在三角形 o、 a、 b 中，点 a 在 圆 o 上边， o、 b 交点 o 于点 c， a、 d 垂直于 o、 b， 关键信息是 a、 d 垂直于 o b， a、 c 是 角 b、 a、 d 的 角平分线，所以角 d、 a、 d 的 角平分线，所以角 d、 a、 d 等于角 c、 a、 b 称为一， 这个称为二，所以角一等于角二。因为他说求证 a、 b 为圆 o 的 切线，那其实切线就是求 o、 a、 b 等于九十度。那么来看， 因为点 a 也好，点 c 也好，它都是在圆上，所以意味着 o、 a 等于 o、 c， 进而知道角 o、 a、 c 等于角 o、 c、 a， 而我们又知道 a、 d 垂直于 o、 b， 所以 换句话来说，角 a、 d、 c 等于九十度， 进而知道角一加 o、 c、 a 等于九十度。可以借助三角形内角和定力，那又因为角一等于角二， 角 o、 a、 c、 a 等于角 o、 a、 c， 进而可以推出来角二加角 o、 a、 c 等于九十度，它俩角二和角 o、 a、 c 正好是角 o、 a、 b， 它等于九十度， 所以已经证明出来了 ab 为圆 o 的 切线。第二小问，他说如果圆 o 的 半径为二，如果圆 o 的 半径为二， 所以 o、 a 等于 o、 c 等于二，他后边说角 a、 o、 b 等于四十五度。结合第一问，角 o、 a、 b 等于九十度，所以 角 a、 b、 o 等于四十五度，所以 o、 a、 b 是 等腰直角三角形。因此我们可以快速的知道 a、 b 也等于二。那么通过勾股定律也可以知道 o、 b 等于二倍的根二，它让求 c、 b 的 长 c、 b 等于 o b 减去 o c， o b 是 二倍的根二， o c 是 二，所以结论就出来了，二倍的根二减二。

我们继续来看第三小问，他这道题主要考察一元二次方程根与系数的关系。咱看题，他说是 y 等于 a， s 方加 b， x 减三的图像与 x 轴交点为 x 一 零 x 二零，那 x 一 x 二这两个字母可以把它看成方程， a x 方加 b， x 减三的两根，那既然是两根，那就是一元二次方程根与系数的关系，那所以 x 一 加 x 二等于负， a 分 之 b， 它等于。咱第一问知道 b 是 等于负二， a， 所以 它是等于二的， 那 x 一 乘以 x 二是等于 a 分 之 c， 它是等于负的 a 分 之三。后面他说 x 二减 x 一， 它大于四，是小于六的，求 a 的 取值范围。 那 x 一 减 x 二等于什么？咱们之前学过一个公式是 x 一 减 x 二的平方等于 x 一 加 x 二的平方，减去四倍的 x 一 乘以 x 二，也可以自己推导出来， 它是等于 x 一 加 x 二的平方，二的平方等于四，减去四乘以负的 a 分 之三，它等于四 加 a 分 之十二。根据题目知道， x 二减 x 一 是大于四，小于六的，所以 x 二减 x 一 的平方是大于十六，小于三十六。将这个值可以带进去，四加 a 分 之十二 大于十六，小于三十六，那 a 分 之十二大于十二，小于三十二，所以 a 的 取值范围就出来了， a 是 大于八分之三小于一的。

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二四年中考真题第十八大题这道题主要考察的是全等三角形的判定与应用得到的数据我们看一下， ab 是 等于六十角， pab 等于七十九度，角 pba 等于六十四度，那我们根据这个可以求出来，角 a p b 等于三十七度， ab 是 一个固定的值，是六十， a p 是 我们需要求的三角函数的值。第一问要求是 a p 两点之间的距离，那肯定是用到了直角三角形，那 ab 是 一个固定的值， a p 是 我们要求的， 那我们考虑是不是可以把 a p 分 成两部分来求？我们过点 b 做 b， c 垂直于 a p 与点 c 垂足为 c， 所以 要求的是 a p 等于 a c 加 c p。 想求 a c 的 话，就需要在三角形 a abc 中求解 ac 为这个角的邻边，那用 cos 七十九度等于邻边比斜边，邻边是 ac， 斜边 ab， 那 得到 ac 等于 ab， 乘以 cosine 七十九度等于约等于六十，乘以零点一九，等于十一点四，那知道了 ac 等于十一点四，然后可以求出来 bc 的 长 bc 怎么来求？是不是 三七十九度等于对边比斜边，对边是 bc， 斜边 ab， 然后得到 bc 等于 ab 乘以三七十九度，约等于六十乘以零点九八， 等于五十八点八。我们把 bc 求出来是五十八点八，那 bc 有 了，要想求 p c 怎么来求？知道角 p 等于三十七度， tan tan 三十七度等于对边比邻边对边 bc， 邻边 p c 得到 p c 等于 bc 比上 tan tan 三十七度约等于七十八点四。 最后要求计算 ap 两点间的距离，所以求 ap ap 等于 ac 加上 c p， 我 们 ac 有 了是十一点四， c p 有 了是七十八点四，所以它等于八十七点八米。接着再来看以小组提出的方案，它如图二，选择合适的 d、 e、 f， 使得 a， d， e 在 同一个直线上，且 a， d， e， a， d， e， f 等于角， d， a， p。 又因为当 f， d， p 在 同一条直线上，所以叫 a， d， p 等于角， e， d， f 这个角等于这个角，所以三角形 a， p， d 和三角形 e、 f， d 是 全等的。通过 a， s， a 全等三角形意味着边相等， 所以 ap 等于 ef， 只需测量 ef 即可得到 ap 的 长，不就意味着 ep 等于 ap 吗？ 这个答案一定是三角形全等啊！你看到这一问，即使你没有看这个题干分析，看到一个解，直角三角形和三角形全等，我就问你这个图里面有没有直角三角形？没有直角三角形的话，何来求三角形？那这个题一看就是三角形全等啊！

这是二四年中考真题第十九大题，这道题主要考察统计相关的核心知识点。对于文字复杂的第十九题，因为这个题，你看到这个题就应该知道是什么类型的题目。咱先看问题对应来看这两个图，它是五个人，对应百分之十，那一共是五十个人，那九十到一百 是十个人，那七十到八十、八十到九十是不确定的，咱只知道这两个是占三十五。再往上看，他给了八十到九十的成绩。我们从左向右看， 这里面一共是二十个数，并且已经从小到大排列完了，那就是八十到九十有二十个人，那七十到八十是用 五十减去二十减五减十，所以等于十五个人。所以咱补全平数分布直方图，八十到九十是二十标，标注一下，七十到八十 是十五个人。我们继续来看第二小问，他说所抽取学生的模型设计成绩的中位数是多少分？中位数。中位数，顾名思义就是最中间位置的数。最中间位置有两种情况，当数据为基数时，中位数是二分之 n 加一。当数据为偶数时，二分之 n， 二分之 n 加一，个数据的平均数为这组数据的中位数。那五十是偶数，所以二十五、二十六的平均数为这个数据的中位数。数据最小是六十到七十是五个人，七十到八十是十五个人，那二十五只能在八十到九十之间来选， 这是二十，所以二十一、二十二、二十三、二十五、二十六，所以八十三、二十六， 数据是八十三，所以他的平均数是二分之八十三加八十三等于八十三，所以所抽取学生的模型设计成绩的中位数是八十三分。我们继续来看第三小问。他说，请估计全校一千名学生的模型设计成绩不低于八十分的人数， 那样本不低于八十分，这意味着是大于等于八十，取的是八十、九十、一百数据一共是三十个人，样本里面总共是五十个人， 所以他所占的比例是百分之六十。他全校是一千个学生，所以乘以一千，他等于 六百个人。我们继续来看第三小问。读题。根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按三比二的比例确定这次活动个人的综合成绩。某班甲、乙两位同学的模型与设计成绩与科技小论文成绩如下， 模型成绩占三，科技小论文占二。我们可以来计算一下，甲，甲的成绩是九十四，九十四乘以模型设计所占的分数是三，加科技小论文的成绩乘以论文所占的分数是二，除以总共的比例是五， 它等于九十二点四分。再看乙，乙的成绩是九十，乘以模型设计所占的分数，加上加上乙的成绩九十五乘以科技小论文所占的比例是二， 除以总共占的比例五、等于九十二分，所以九十二点四小于九十二，所以甲的成绩比乙高。

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