七上数学第六章几何展开图

今天我们讲立体图形的展开图，来看一个例子，将一个正方体的表面沿某些棱剪开，能展成哪些平面图形呢？ 我们先沿着这三条线剪开，顶部的绿色面就可以展开了。再沿着这两条线剪开，右侧的绿色面和黄色面就可以平铺下来。 再剪这个棱，将前面的红色面平铺下来，最后剪这个棱，剩下的红色面和黄色面也可以平铺下来。 这样我们就把一个正方体平铺成了一个平面图形。当然正方体的展开不只有这一种，比如还可以这样剪，先把两个红色的面平铺下来， 再把剩下所有的面往一侧平铺。正方体的展开图一共有十一种，就不一一展开了，这里做一下汇总。这十一种平面图又可以分为四个类型。第一个类型，一四一型，一共有六种， 中间四个一连串，两边各一随便摆。这是什么意思呢？就是中间四个正方形连成一串，剩下两个正方形像两个小翅膀一样，一上一下，你可以靠左，也可以靠右随便摆放，这样灵活的摆放就摆出了六种花样。 第二个类型，二三一型，一共有三种，二三相连错一个三一紧靠一随便。这个的意思就是二的部分和三的部分要挨着， 而且要像楼梯拐角一样错开一个位置，一要紧挨着三，但是呢，它可以在三的下边任何一个位置。第三个类型，二二二型，一共有一种， 三组二二连步步台阶线，它是由三组两两相连的正方形组成，每一组是一个台阶，而且每一级台阶都要错开一个，就像楼梯一样。 第四个类型，三三行一共一种，两排各三格，日字型相连。这个的意思是上下两排，每一排都是三个相连的正方形，中间用一个日字进行连接， 最后六面七刀财，对面不相连，实图巧排凹和填。这句话的意思是，一个正方体，它有六个面， 我们要把它剪成一个平面图，需要剪七刀。正方体有三对相对的面，在任何一个正确的展开图中，这一对相对的面在图纸上是不可以有公共边的，也就是不可以挨着。另外，在所有的平面图中，不会出现田字格，也不会出现凹字形， 所以在做题的过程中，我们在排除错误时可以用到，只要平面图中出现填字或凹字，那他就一定是错误的。我们做两个题练习一下。第一题，下列图中不是正方体，表面展开图的是 a 图， 这是一个二三一型，二三相连，错一个，三一紧靠一，随便两个的部分和三个的部分是连在一起的，而且错开了一个，三一也紧挨着，所以这个展开图是正确的。地图这是一个一四一型的，只要中间是四个的，两边可以随便放，所以这个也对。 c 图第一行是一个，第二行是两个，第三行是三个，那他是二三一型吗？二三一型要求二和三挨着，三和一挨着要按着顺序挨着，显然这个顺序是不对的，所以 c 是 错误的。 地图第一行三个，第二行三个中间是用一个日字型连接，所以 d 也是对的，所以这个题选择 c。 第二题， 下面正方体展开图，折叠成正方体后，如果尖在下就在后，盛和力在哪里？这个展开图是一四一形的，我把所有一四一形都放在这里，那它就是这一种。我们把它竖过来， 那尖和盛对应的就是两个红色面，那这两个红色面在正方体中对应的是两个对立面，所以尖在下，那盛就在上， 同理就和力也是对立面，所以就在后，那力就在前。那像这种题，我总不能把十一种平面图的每个色块位置都记下来吧？我也记不住呀。不用担心，这里我给大家总结好了。 相间最端是对面，这句话的意思是，同一行或同一列相隔一个，那他俩一定是对面。如果两个方块能画出一个直角的 z 字形，那他俩也是对面，不管这个 z 是 横的、竖的、正的、反的都可以。 那尖二拐角邻面之是什么意思呢？邻面就是挨着的两个面，这句话的意思是同一行或同一列，要么挨着，要么中间相隔两个，那他俩在立方体中就是挨着的两个面，就是邻面。 然后我们再回到这个题，肩和肾在同一列，而且他俩中间相隔一个，那他俩就是对面，所以肩在下，肾就在上，同理就和力也是同一列，而且也是相隔一个，所以他俩也是对面，就在后，那力就应该在前。 我们再做一个题，将下列的展开图与能围成的立体图形相连接。我们先看这个圆锥，圆锥的底面是一个圆，侧面是一个光滑的曲面，将这个光滑的侧面展开之后，它是一个扇形，所以它展开后的一个平面图应该是这个。 然后看一下这个圆柱，圆柱的上下两个面都是圆，将侧面展开之后是一个长方形，所以它对应的是这个， 这是一个正方体，正方体的十一种展开平面图里边有一个三三形，刚好是这个，所以他应该连接这个。好了，这节课就到这里了，我们下节课再见。

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学七年级上册第六章几何图形初步六点三点一角的概念。我们来看一下我们这节课的一个学习目标。第一个呢，我们要理解我们什么叫做角，我们角的相关概念和它的定义，掌握如何用我们几何语言来表示我们角。 第二个呢，就是要学会用我们的量角器去测量角的一个大小，然后认识我们角的单位，然后进行我们度分秒之间的换算。最后呢，就是我们要了解我们的方位角的概念。 好，这是我们的这节课的一个学习目标。我们先来复习一下我们之前学过的线段射线和直线，他们的表示方法，如何来表示呢？是不是我们线段可以表示线段 a， b， 也可以小写字母，同样的是不是我们的端点有两个可以 不能延伸，对吧？这是我们的线段，那我们射线呢？是不是说我们射线能同样的有一个端点，以及我们一方可以无限延伸？ 那最后再来看我们直线 a， b 和 a 有 两个端点，呃，有没有端点，然后呢，两边可以无限延伸，这是我们的直线射线和线段。再来看一下下面图中有几条线段呢？ 大家是不是可以数呀？有线段 a， b， a， c， a， d 和 a， e， b， c， b， d 啊，还有我们的 be， 对 吧？ cd， c， e， 最后是 d， e， 好， 这是我们的一个线段 啊，还有一个公式，大家可以记住，有二分之 n 乘 n 减一个，那就是有几个点我就带进去，有五乘以五减一，括号除以二，也就是五乘四，除以二也就等于十，所以说有十个线段，这个公式大家可以呃，感兴趣的话可以记一下啊。 好，那线段是我们的一种几何图形，我们来看一下啊。好，那线段是我们的一种几何图形，我们的基 脚也是我们的一种基本的几何图形，我们来看一下类比于我们线段来学一下，比如说我们下面四个四幅图中是不是我们的剪刀，我们的这里以及我们的棋盘，包括我们的圆规，还有我们的桌子，还有我们的钟表，还有我们的直角尺， 是不是都会涉及到我们的脚呀？也是，所以说我们的这个脚呢，也是来源于生活以及我们的这个，是吧？好，我们会发现他们都是我们脚的一个形形象。现在看一下我们第一个知识点呢，就是我们脚的定义， 通过我们上述呢和我们小学学过，我们来看一下，当我们有一条射线的时候呢，再来一条射线，这两个射线有什么样的一个关系呢？是不是说他们的端点一样呀？所以说当两个射线端点一样的时候，他们所之间所形成的这个 也就是说假角，对吧？就是我们所说的这个角。好，那我们角的第一个定义就是说当我们两个有公共端点的两条射线组成的图像叫做角， 那我们的所谓的我们的公共端点呢，就叫做我们角的顶点，两条射线边呢叫做角的边，这是我们角的静态定义，那静态定义大家一定要明白啊，两条射线并且有公共端点， 好，我们的顶点以及我们的边应该要知道。再来看一下，那我们角能否看作一条射线绕着它的端点进行旋转呢？比如说我们现在有一个射线 o a， 我 是不是从 o a 开始来转，那是不是我转到我的这里的位置，那你会发现我这两个所形成的这个是不是也是我们的所形成的一个角呀？同样的，如果说我转到这里是不是形成了平角， 那如果说我转到三百六十度，是不是转了一圈，也就是我们的周角呀？是不是周角是我们的三百六十度？所以说我们角的动态定义是不是说也可以看作是什么呀？一条射线绕着他的端点 旋转而成的，所以说角的静态定义有我们角的动态定义。大家要知道好，下面的图中哪些是角呢？这应该很简单吧，除了第二个，我们其他的都是，对吧？ 再来看一下下列说法，正确的是可以看一下啊，平角是一条直线，不对吧？我们一条射线就是一个轴，角也不对，两条射线组成的图形叫做角，这个也不对吧，如果说我们两条无没有相关的射线呢？一定是两边形成 两边，两个边成一条直线的角呢？是一个平角，这个是对的，所以说我们要清楚再来看， 那我们知道角之后呢，如何用我们符号语言来表示角呢？我们先来用这样的符号把它标叫做角，然后呢，我们可以用三个大写字母， a o b 和和我们的 b o a， 你 会发现我的 a o b 和我们的 b o a， 是 不是我们顶点放在中间，两边可以换呀？ 这是我们用我们大写字母，那如果说用一个字母呢？是不是我直接用角 o 来表示，也可以表示我们的这个角，对吧？ 好，那你再想一下，如果说我现在还有一条射线 oc， 此时我能不能说我的 boc 就是 角 o 呢？肯定是不行的吧，因为 你的角 o 如果用角 o 的 话，是不是现在有可能是他，也可能是他，也可能是他？所以说此时必须用三个来大写的字母来表示，这块一定要注意啊。 好，再来看，当我们把一个数字加上弧的时候，他也可以记作角 a， 同样的也可以记作我们的希腊字母角 r 法，这样的表示方法也是可以的，必须在图上标注之后，并且呢才能表示，并且能表示一个角，对吧？ 好，那此时我的角 e 能不能表示呢？是不能的，是因为此时他就有歧义了，对吧？ 好，我们角的表示三种，第一个我们用大写的字母三个，第二个呢，用一个简单的大写字母，第三个呢，就是我们的角一，角二，这三种表示办法，我们常用的是这个和这个，那角一和角二一般是大家自己标上来说的啊。好，所以说这个大家要知道， 我们来判断一下，下列表示正确的是，比如说 a、 c、 b 不 对吧，应该是 abc， 第二个 abc 也不对，然后第三个 abc 对 的，第四个角 b 和我们的角 a， 这个角 a 是 不对的，是吧？应该是角 b， 这个要清楚啊，同样的，下面图中表示我们角 d、 e、 f 的 图像，是啊，哪一个啊？是 c 吧，其他的都不对啊，我们可以看 好回答，我们来看一下，第一个写出图中能用一个字母来表示的，那是不是角的 a、 m、 n 都可以啊，应该是没有问题的。再来看下我们第二个写出图中以 b 为顶点的角，那是不是有好几个呀？比如说 abc， b， 呃， cbm 或者 abm 都是不是啊？好，角一和角二改写我们大写字母，那角一应该是 abc， 角二呢？应该是 bcn 或者是 nncb 都可以啊， 那我们学完角的表示，那我们想一下角的大小如何来表示呢？是不是我们可以把这个角给它量出来，用我们的量角器来量出来，比如说我们这个角等于四十度。 好，所以说我们用量角器可以量，那我们想一下，我们角呢，除了我们用我们的度数来表示，我们可以用度分秒，那度之后呢就是分，分之后就是秒，然后呢一个周角是三百六十分 一度呢，是把它分成六十份，然后呢一一份呢叫做一分，一分呢又把它分成六十秒，六十份，然后呢叫做秒。那如果说我们用我们这个来表示的话，就是一个轴角三百六十度，一个平角一百八 一度呢，等于六十分一分呢，等于六十秒，那此时呢，我们的角呢，就可以用我们的度分秒来表示了。我们以度分秒的来表示的话呢，叫做我们的角度制，同样的我们比如说把我们其他的比如说叫做弧度制压，或者是密度制压等等。 好，我们来看一下，当我们用我们的度分秒来表示我们的角的时候，如何来画呢？那一定是我们用度化成分化成秒的时候，一定是我们知道他两两之间是不是差了一个六十呀？大化小乘六十，小化大除六十，那是不是说五十七点三二度，是不是就可以？什么呀？ 化成五十七度，加上零点三二，那零点三二是不是可以乘以六十分？那就是十九点二，那十九点二呢？是不是十九分？然后零点二再乘六十分，最后化完就是它大化小用乘，乘什么呢？乘以它们之间的进值就可以了。那反过来呢？ 我们再来画一下，是不是我们依旧是小画大用除，然后呢？十七度六分三十六秒，是不是说也就是十七度加上六分，除以三十六，除以六十，然后呢再加上六点零，除以六十就可以了。所以说我们只用记住大画小用乘，小画大用除， 基本上就可以了，除多少呢？除以他们之间的近值，也就是六十。好快速的前后大化小，五乘六十，然后呢他再乘六十就可以了。好，然后呢三十八度，然后零点一五乘六十，也就是九，对吧？来，他应该化成除六十，零点六，再除六十，零点零一， 他呢零点一五乘六十，也就是二点五，对吧？好，然后这两个相等吗？不相等。那是不是说我们把它统一一下，我们把我们的这个化成我们的度数三十八点二度，那这个是我们三十八点一五，是不是很明显人家比他大？ 同样的，如果说我们除了量角器之外呢？是不是我们还可以用其他的一些工具测量？所以说我们借助我们的三角尺也可以画，我们知道我们的三角尺啊，有一个六十、三十和九十，有一个四十五、四十五和九十，所以说我们能够用这些来进行加减来画 好，比如说我们可以用我们的两角，用我们的三角尺来画出这些三十度、四十五度、六十度、七十五，是不是他俩加起来六十度呢？就等于两个六一百二，等于两个六十就可以了啊， 所以说我们借助我们手中的三角板可以画出很多的度数。好，然后再来看一下我们的方位角，那小学已经学过了，我们的方位角我们知道上北下南、左西右东，那我们来看一下八大方位，第一个东西南北应该比较好吧，比如说我们涉线 o a， 涉线 oc， 涉线 o d， 以及我们的东北、西北、东北、东南、西南、西北，我们射线 o e 和我们射线 o f 一定是正东正正西北、正东北，是吧？一定是偏四十五度。这个八大方位大家要记住应该是比较简单的。再来看一下我们的下列，比如说 射线 o a 呢？你看 o a 是 不是在北偏东多少四十度，然后呢？ o b 呢？是北偏西 oc 呢？是啊，南偏西，以及我们的 o d 呢？是不是就是南偏东二十度呀？这些方位角大家要清楚， 当我们有一艘货轮的时候呢，你会发现我们根据这艘货轮，他会在我们灯塔的发现灯塔在他的南偏东六十度方向，那是不是南偏东六十度就是 我们的灯塔呀？同时他在他的北偏东四十度，南偏西六十度，你会发现我根据我们所说的这个方位角，就能确定我们的一些位置，一定要知道哪个偏哪个以及偏多少，对吧？所以说大家一定要清楚啊。 好，那这些位置我们都能确定，那我们以他为，以他为顶点，就可以画出我们所谓的几个方位角，对吧？ 来，那我们当通巩固一下方角是比较简单的，我们来看一下下列说法正确的。是，我们来看一下正确答案，选 d。 为什么？你看一下第一个，两条直线相交不对吧，两条射线相交才能叫做角，并且呢，两条射线的公共端点是一样的。 好，两条具有公共端点的线段不对，两条具有公共点的射线组成的角。哎，这个也不对啊，我们说公共端点对吧，一定要强调公共端点。 第二个，下列说法不正确的。是啊，我们的 b， 你 们发现啊，射线 b o 和我们的 a o 分 别表示的是它两条边吗？不对吧，应该是不对的。那如果说让我画一下，应该是 b o， 是 这个，对吧？那 a o 呢？可能为 a o 呢？可能为这个 是吧？完全不是一回事啊，完全不是一回事，其他的都是正确的。来，直线是一个平角，不对吧，我们任何一个角都是由两个射线来构成。 图，一屁不在 b o c 的 a o c 的 内部，肯定在吧，因为我们射线可以无限延伸嘛，所以说，就在啊。来，他俩是同一个角， abc 和我们的 d b e， abc 和我们的 d b e 同一个角，对吧？ 来，再来看一下我们第四道题，图中有多少个角呢？其实大家数就可以了。来，图中的角都表示出来，然后用我们的啊，单独的 角 a 也能表示，用我们的 b a、 c 也能表示，所以说我们几种办法大家可以看清，然后进行表示就可以了啊。 好，一共有八个，然后呢，这些角就表示出来了啊，再来看一下垃圾打捞船呢， a 和 b 都停留在我们的湖边，我来观察我们的湖面，从 a 船发现它的北偏东方向有白色， 同时呢，从 b 船也发现他在他的北偏西，那如何来确定他的位置呢？是不是我们根据他所描述的 a 船的北偏东，然后我们把它划出来，北偏东六十度，以及我们 b 船的北偏西，是不是他俩的一个交汇点，也就是我们的白色白色漂浮物的一个位置呀？ 好点 c 呢，在 a 点的北偏东六十度方向，那么点 a 在 点 c 的， 那是不是我以点 c 建立我们的坐标系，然后他就在他的南偏西六十度方向上呀？所以说方位角呢，考的还是比较简单的啊。 最后我们来总结下，第一个，角的定义是不是有两个，一个静态定义，一个动态定义，这两个定义大家都要能明白。 第二个呢，角的表示方法，第一种呢，就是用我们三个大写字母或者是一个大写字母来表示，要么用一个数字加弧线来表示，要么用一个小写的希腊字母来表示。三种表示办法， 第三个呢，角的度量，那就是我们用度分秒来表示，一度等于六十分，一分等于六十秒，他们之间要相互换算。好，那我们这节课呢，所有的知识点都讲完了，每个知识点大家都要认真掌握，我们这节课就上到这里，我们下节课再见。

本视频耗时一个月精心制作而成，总时长四十二分十六秒，带你一口气复习完七上最后一张， 期末考试又要来了吧，今天我们进行七上最后一张几何图形初步所有知识点总结以及重点题型梳理，我们一起来学习。关于我们几何图形初步，这里呢给大家分两个大板块，一个是我们的立体图形，一个是我们的平面图形。 关于立体图形，这里呢重点要讲什么呢？重点我们来学正方形的这个展开图啊，展开图这里呢是我们一种题型，而且还是有一些难度的，我们一起来学习正方体的展开图呢，请记住，一共有十一种， 那么这十一种呢，我们来分门别类的进行总结啊。我们这十一种展开图可以分为一四一型、二二二型、三三型以及一三二型， 什么意思啊？我们第一行有一个，第二行有四个，第三行有一个，这叫一四一行， 那么一四一行呢，一共有这样的六种，你怎么去记这六种呀？我们首先呢，这里啊站一号位，然后我们这四个呢排列好，接下来下面这一个呢，你可以在一号位，二号位，三号位和四号位都可以依次来一遍，这样不就出现了四个了吗？ 对吧？那么剩下的我们就可以来动一动第一行的，第一行的你可以把一号位动成二号位， 然后我们第二行的呢，你不能从一号位直接开始了，为什么？因为会有重复啊，所以直接从二号位和三号位开始，那一共就这样的六种，剩下的全部都是重复的了，这是我们的一四一型啊，这个也是最多的一种形式， 那我们剩下的就可以把这四个呢，让他哎减少一个，变成一三二型。那关于一三二型，这里的三和二啊，是固定的 啊，我们只需要让这个上面有一个的再占一号位，二号位和三号位，所以一共是这样的三种， 记住了吗？那剩下的我们的二二二型和三三型呢，各自只有一个，只有二二二三三这种排列的啊，这我们特殊来记就可以了，一共是十一种的展开图，大家按照规律去记，就不会记错了，那这里呢就会有题型总结了，请听老师的大招啊。 我们现在在判断展开图的时候呢，有两句话啊，可以快速帮我们判断出来，叫做一线不过四填凹七弃之。什么意思？ 我们一条线上这个展开图，你看无论是哪种形式，都没有超过四个的吧，对吧？最多就是四个小正方形了啊，所以说一旦出现了比四多的，那一定不是你的展开图，然后还有一些特殊的形状，比如说出现了我们的填字格， 如果有这种形式的，那一定不是我们的展开图啊。同理，如果出现了我们的这种凹字形，出现了我们这种七字形，这都是我们非展开图，而且比较常考的啊，看到这些特征之后呢，直接判断他不对就可以了。 好吧，那关于我们的展开图这里呢有一个非常非常重要的题型，叫做什么呢？我们判断啊，对立面 告诉你展开图了，来问你们啊，这个小正方形，它的一个对立面应该对着哪个啊？那么这会就特别考验孩子的什么呀，一个空间想象能力， 如果你但是有的小孩呢，刚开始就是他想象不到我怎么去找那个对立面，不可能考试的时候现场折一个，那是不可能的，对吧？其实也是有技巧有大招的啊，叫做两句话，同行隔一个，一行 z 两端来，记住老师，这个大招非常好用， 比如说举个例子，比如说我们同行隔一个，举一个例子，那这个小圈圈和这个小圈圈，那么这两个正方形在折回去之后，他就是一个对立面， 这就满足我们的同行隔一个，所以如果这两个面在同一行上，只要他中间隔着一个，这就叫做两个对立面，同理这里也是啊， 这个圈圈和这个圈圈，那就是同行隔了一个啊，所以这就叫我们的对立面，这是判断同行的那一行呢？如果不在同一行，叫做一行 z 两端，你去找这个 z 去啊，什么意思？比如说我们来看 这里呢，画一个 z 字形，那么 z 的 头跟 z 的 尾，这就是我们的一个对立面，这两个面呢，它没有在同一行上，对不对？所以你就不用套 同行隔一个了，咱们套的就是一行 z 两段，他是我 z 的 头和 z 的 尾，这就是我们的对立面，这个大招在解决问题用起来还是非常好用的，大家一定要记住这两句话啊。那么剩下的呢？还有一种类型，就是我们的三式图， 这个也是也很考验咱们孩子的一个空间想象能力啊。这个你就主要是你从你的这个主视图以及你的俯视图，你看到了什么样子，你就按照什么去画 好吧，尤其是涉及到一些什么，一些这个测试图，或者叫左视图和俯视图的时候，你就要去想象，你站在了这个物体的左面，你站在了这个物体的上面，还是有一些空间想象能力的。那这里老师提醒一点，如果你在你的视线当中，你能看得见的这些线呢？你就画成实线， 如果说有一些线，你是看不到，他也真正存在的啊，你从你的这个仕图里面并没有看到，那这种呢，一定要画成虚线，他也是存在的，只是你当下没有看到而已。好吧，画成虚线啊， ok， 那 关于三仕图这里呢，有一种比较难点的题型，就是已知告诉了你某些仕图，比如说告诉了你的主仕图和俯视图，举个例子 告诉了你这些仕途，让你给我判断这一堆小正方体，它到底有多少个，甚至让你判断最多多少个，最少多少个。这种题型应该已经见过了吧，还是有些难度的啊，今天老师教你一个大招去解决问题， 后面我们也会有这个这种题的，给大家重点讲解啊，叫做什么呀？叫做我们的地基法。哎，什么叫地基法？你可以想象一下，就类似于你搭房子，先铺好一个地基，然后一层一层一层往上去盖，怎么去盖？一会遇到题目，老师带着大家重点的来学习， 好，这是我们的立体图形部分，接下来呢，来到我们的平面图形部分，平面图形我们初一上学期啊，两个重要的线跟角， 这里首先上来呢，就会有特别多的概念变息类的啊，非常非常易错，一会我也会给大家去分享一些题目啊，大家好好去听。那关于我们线的概念之这个我们里面的易错点呢，会涉及到三种， 一个叫做我们的直线，一个叫做我们的射线，一个叫做我们的线段。这三种线之间啊，他的端点情况，延长线情况和表示情况，以及还有一个点再给大家总结，还有他的一个长度能否背肚梁的一个情况， 这是我们在考试当中比较啊，容易能够遇到的。来给大家画画这三种线啊，什么叫直线？你这样直直的划过来，没有任何的端点去限制，这叫我们的直线，所以直线是零个端点啊，并没有端点， 射线呢？射线你想象一下是从一个点发射，对吧？发射的感觉啊，所以射线呢，还是有一个端点的从这发射出去的，好吧，这里有一个端点， 线段呢，哎，线段呢，就是我们可以能够量出来它到底是多长，是两个端点在限制你啊，所以线段的左右两边都是有各有一个端点，所以线段是有两个端点情况。 然后接下来我们来看延长线，因为线段呀，是两头都堵住你了，所以你想要想做他的延长线是能够做出来的，对吧？比如说我们这样直接延长，哎，就能做出来延长线， 那或者说我这样来反向延长也能做出来延长线，所以说我们的线段呀，哎，既有延长线，又有反向延长线， 那射线呢，就是这样的，因为射线本身我在这一点发射出去之后，就已经是无限延伸了，我还需要借助外界的力量来帮我去延长吗？不需要了，所以说射线这里是没有延长线的，但是 因为这一头啊，有端点在堵着他啊，所以我们这一头还是能够画出来什么反向延长线的，所以说射线是有反向延长线，没有延长线，然后最后来到了直线，直线自由的很呀，没有任何的端点去限制他， 对不对？我想往右延伸就往右延伸，我想往左延长就往左延长，不需要借助外界力量。所以说啊，他没有延长线，也没有反向延长线。记得了， ok， 那 么剩下的我们来讲一讲表示啊，我们这三种线呢，都有两种表示方法， 你就可以理解为咱们一个人，他有可能有多个名字，对吧？他有个正名，还有个小名。那比如说我们的这个直线在表示的时候呢，可以用两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。 那如果我们用两个大写字母来表示的时候，比如说我可以叫做什么呀？叫做它的直线 a b， 在这啊，直线上任意取两个点，注意这两个点你别堵住它了，因为我们的直线是没有端点的，那可以叫做直线 a b， 也可以叫做直线 b a， 这里是没有顺序的差异的 啊，都表示的是这条直线，但射线呢，射线你再给他起名字的时候就有限制了，因为射线本身是从一个点发射出去的，那你再给他起名字的时候啊，第一个字母呢，表示的一定是它的端点，这个你不要反了， 也就是说射线 a b 和射线 b a， 它俩不一样，代表的不是同一条射线。 ok， 那 么剩下就是我们线段，哎，线段呢，是有两个端点是限制的， 你可以叫做它的线段 a b， 你 也可以叫做线段 b a 啊，就没有顺序的差异了，都是表示这同一条线段。 最后我们来讲一讲这个长度的问题，也是我们考试高频的考题。来，我想问问大家，我说孙悟空在天上画了一条十万八千里的直线，你觉得这句话对不对 啊？有人上来可能觉得对了，在我们数学角度这句话是不对的，因为我们说直线是无限延长的，哪怕你足够长有十万八千米，但是呢，我们的直线在十万八千米的基础上还可以无限延长啊，也就是你在描述直线的时候，你不能说它的长度 到底有多长，他的长度呀，是不可以被度量的。好吧，你不能告诉我这条直线到底有多长，限制住他，这个考试特别特别易错，一定注意了。 然后接下来射线，同理，虽然有一个点在限制了我的发展，但是我另外一头很自由呀，我可以无限延长，对吧？所以射线这里也不需要啊，去给他讲长度，他的长度也是不能被度量的。 好，那么剩下就是我们的线段了，线段呢，它就有所限制了，两个端点卡住了我，对吧？它的长度呀，还是可以被度量出来的，所以你可以告诉我说这条线段有多长，比如说刚才那句话 啊，说孙悟空在天上画了一条十万八千米的线段，哎，这个就对了，好吧， ok， 这是我们的一个基本概念啊，关于它的一个区别，也是咱们考试比较爱考的 概念，变式类的一个题目。好，那么剩下的两个基本事实很简单，我们要考这两个基本事实就是考两点，确定跳直线，两点之间线呢，最短 你给他取一个啊，这种题做的时候小孩没有做错的好吧，亲啊，要记住啊，那么我们还有关于线和角这里呢，咱们学了一些尺规作图，做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角，这两个尺规作图非常简单， 当然我们尺规作图呢，也是在我们的新课标当中啊，我们要这个在新中考当中也是要重点去考的啊，所以后面呢也会给大家出专题啊，将我们的尺规作图。好，接下来关于我们的线段的中点， 线段的中点呢，类比于角，就是我们角的什么角平分线啊，这些在做的时候呢，概念类的也不难啊，就是有小小的易错点。比较难的就是什么呀，这里就题型，什么题型啊，我们就涉及到双中点题型， 还有我们角这里呢就是双角平分线题型，这两种题型呢是有什么是有大招可以帮着大家去解决的， 考试的时候非常快的，能够做出来题目，很节省时间，一会老师给大家进行分享。好，那我们角度的基本的定义，这啊啊，这个比较简单，没什么难度啊，我们在这个表示角的时候呢，是有四种方法，注意这四种方法呢，有的会有限制， 那如果我们表示用三个字母啊，三个大写字母去表示这里呢，叫什么呀？这叫我们的万能方法，你所有的角都可以这样去表示， 什么方法呢？就是我以这个角的啊，这个顶点 o 放在中间的位置，然后在角的啊，这两条射线上任意取一个字母，一个取 b， 那 你可以称为角 a o b， 也可以称为角 b o a 描述的都是这个角， 这是我们的万能方法，所有的角都可以用三个大写字母去表示。还有一些比较简洁的方法，比如说呀，我这个这个点 o 这里呢？我不在边上取点了，我直接叫做角 o， 可以 吗？这个图里面是可以的 好吧，但是它有一些小小的限制。什么限制？如果说呀，我从这个 o 这发射的不止一个角了，因为你现在叫角 o 就 描述不清楚了，角 o 到底是代表的这个角 还是这个角还是这个角嘞？咱说不清了，对吧？所以这种情况下，你必须用三个字母来表示了啊。 好，那我们还有两种呢，用我们的阿拉伯数字，或者用我们的希腊字母来表示啊，我们可以标一个一角一标个阿尔法，叫做角阿尔法，这个也很简洁，后续我们到了初二初三，几何学的比较难，角比较多的时候，可以用这种方法去表示。 它也有一个小小的限制啊，就是我们尽量不要跨角去标注，比如说还是这样的图， 你可以说这个叫角一可以的，但是呢，哎，你这个如果叫做角一的话，就不太啊， 不太对了，你跨角标注就不规范好不好，注意这个小小的限制啊。 ok， 这是我们一些关于线和角的基本知识。 那题型这里重点会给大家讲什么呀？像涉及到我们的双中点和双角平行线，以及我们线段的计算和角度的计算，是咱们期末考当中的占分大项，接下来呢，我们一种一种题型给大家进行梳理，一定要认真听。 好，我们先分享一道啊，期末必考题，叫做我们的展开图的问题，我们来看啊，这里告诉你，展开图呢，我们像要剪掉一个小正方形，那么剪掉之后呀，就能够拼成正方题了， 对吧？问，剪掉的这个小正方形不可以是谁？这里就可以很快用老师的大招我们来看啊，什么大招？因为你打眼一瞧就发现了什么，立刻发现了一个填字格。 老师刚才给大家讲了，你如果要判断是否为展开图，当出现填， 出现凹，出现七这种图案的呢，那都不是我们的展开图。 所以你要想减掉啊，变成我们的展开图，一定要在这个田字格里面去选出来一个，减掉一个，让他不不能变成我们的田字格，所以你可以选一，可以选二，可以选三啊，我们的前三个都正确， 好吧，一定要把它分开，所以这个题啊，我们不可以的，就是我们的四 d 了，你如果把这个四减掉了，那你就把田字格留下了，留下田字格还能变成展开图吗？ 一定不能了好吗？记住老师的解决方法啊，看到田，看到凹，看到七字形的都要给他叉掉，这种都不是我们的展开图，你学会了吗？ 好，接下来我们来分享一道找对立面问题。这种问题呢，一属于咱们期末必考。二、很考验咱们家娃的什么空间想象能力，有的小孩就跟老师说，老师，我真的想象不到他是怎么去折的啊，你考试的时候也没办法，我立刻给你拼起来呀， 怎么办也是有解决方法的，好吧，学会今天老师这个大招啊，让大家立刻啊了解我们的对面问题，叫做同行隔一个 哎，一行 z 两端 什么意思？如果大家在找我们对立面的时候，处于同行的呢，你可以来中间隔一个，它旁边这俩就是对立面， 如果在同行找不到了，找什么呀？找不同行的啊，在不同行的呢，我们就来画 z 字形， z 的 这两端啊，就是我们的一个对立面，比如说这， 比如说这道题呢，就考察的咱们跟学的一个对立面学在这。首先你同行隔一个能找到吗？显然找不到， 对吧？同行最多留两个，你怎么去隔呢？找不到，那找不到了怎么办？我们来画 z 在 一啊，一行画 z 字形，注意，我们这个 z 呢啊，就能找两端， 这个 z， 你 可以横着画，竖着画都可以啊，反正画这种正规的。我们的 z 型画完之后呀，这就是我们的两头啊，我们现在这个学跟我们的广啊，它就是一个对立面啊，选我们的 c 选项啊，老师的这个大招还是非常好用的啊，同学们一定要记住，你学会了吗？ 接下来呢，我们来学习一道难题，突破啊，这种问题呢，是带图案的，这种题啊，小孩碰到了就更头大了，我不带图案的都想不明白，你现在还给我带图形了，哎呦，这可怎么去整啊， 别急别慌，也是有方法的。我们来看问图中的立方体展开之后，应该是下图当中的哪一个，我们来观察一下这个立方体。这个立方体呢，给我带了啊，这三个点，而且这三个点的面呢，分别都是什么呀？这叫离面， 相邻的面并没有相对啊，看似是在考你邻面的问题，实则仍然是考对立面的问题，你只需要让他们不是对立面是不是就可以了，因为不是对立面的话，那不就是邻面了吗？ 对不对啊？所以我们来看一下 a、 b、 c、 d 当中有没有两个小点点是对立面的呀？如果有，赶紧给我叉掉啊！又回到老师，今天啊，教你那个大招叫什么呀？你如果在同一行里面去判断，叫同行隔一个， 如果是在不同行里面去判断，叫做一行 z 两端。 好的，我们来观察一下现在这三个圈圈啊，是在这，那我立刻就扫到了，什么，这是在同一行，哎，同行隔一个，所以它们两个变成对立面了，那怎么办？就不对了， 因为你需要点点是同啊，是里面。接着我们来看 b 同里呀，哎，同行隔一个，这两个又是隔了一个，哎，又变成什么对立面了，所以不对。 好，我们来看 c 选项， c 选项呢，仍就是我们这两个点点是在同一行啊，同行隔一个，又变成我们的对立面了，所以他也不对啊，那只剩下四 d 了。四 d， 我 们来观察一下这里，现在呢，发现，哎，无论是同行 不是隔一个的这种关系，无论是一行，他也没有最两端，对吧？所以这个呢，他们都不是对立面，那就是我们的平面了啊。所以这道题应该选我们的四 d 选项，你学会了吗？ 好，今天我们来分享一道什么呢？用地基法来解决我们的最多最少啊这种小正方体的问题，这个问题对于孩子们来说是一个难点啊，一起来学习一下老师这个方法啊。 说若一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成的，如图，分别是它的左式图和俯式图。问该几何体用的小立方体的个数是 m， 问 m 的 一个最小值， 当然有的题也会问你最大值，其实同理的啊，这种问题怎么去做呢？一个大招叫做递级法，就是你无论给了你什么仕途，你先帮我把俯视图判断出来， 那么这个题比较简单的是俯视图直接给你了，有的题也是告诉你左视图，告诉你主视图，让你自己呀，先把俯视图啊确定了， 一旦确定了俯视图，开始干什么？打地基，盖高楼啊，因为你的俯视图如果长成这样子，说明呢，你至少底上，哎，每一块上都得有一个啊，小正方体 b g 搭好了，接下来根据我们的左式图在一一去匹配。左式图呢，第一列你看到了两个，哎，哪里代表他第一列啊？你想象一下你这个人啊，站到了左边去看，这里是代表他的第一列，对吧？第一列，如果你看到了两个，说明这呢？哎，要给我改成二了，一个就不够了。好， 第二列呢，你是看到了三个，第二列是这里看到的，你在这如果想看到三个的话，说明什么呀？说明至少啊，这上边要么是这个，要么是这个，得是有三个小立方体， 对不对？所以这里二选一就可以了，因为咱们本身问的就是最小，好吧，你随便选一个，比如选它 是三个，好吧，然后接下来呢，我们的这个第三列你看到了一个，那么第三列呢，就是我人站到了这，刚刚好有一个，哎，这一个就能够帮我把左视图的这个确定好了，所以我们最小的情况就是他了啊，二加三，再加上一二三四， 答案就是九，这是我们最小值，是九个。如果老师给你变形一下，你能不能告诉我 m 的 最大值，好，最大值是多少？大家可以在弹幕里面啊，去把你的答案写出来。 怎么去求它的最大值啊？最大值呢？就是我现在，哎，不选择其中一个摆三个了，我让啊，这两列啊，都摆上三个，并不影响我的左视图吧，也没有影响你的俯视图吧，对吧？啊，所以我们现在在九的基础之上呢，又增加了两个，所以它最大值呢？是十一， 你学会了吗？好的，同学们，谁又在这种关于概念变式类的题上面给我做错了， 说的是不是你啊？今天老师呢，把这里线与角这常考到的啊，概念辨析类都给大家总结到这里了，我们一起来学习一下，期末拿掉啊，学会这三分，我们来看啊。现在呢，给了大家十种说法，关于线和角的一一去分析， 圈一过两点，有且只有一条直线没问题，对吧？两点就是确定一条直线，所以圈一是对的。 好，第二个，第二个非常非常高频考啊，你今天一定一定要记住，它说连接两点的线段叫做两点之间的距离，比如说，老师，看着没毛病呀，你来分析一下啊，这什么意思呀？说你连的这条线段叫什么呀？叫距离， 是线段叫距离吗？你距离应该说咱俩离多远，对不对？所以你应该说线段的长度啊，一定注意啊，这个，这原话说的是这个线段的长度 叫做距离啊，你说这条线段有五厘米长，代表这两个点呢？距离是五厘米，明白了吧？啊，这个一定要记住了，那么圈三两点之间线段最短没问题，这也是刚才给大家讲过的基本的原理啊。圈四在线段射线直线当中直线最长， 这是不是我说的刚才你总结的那个长度问题啊？注意，直线跟射线，你能用长度去度量我吗？ 啊？换句话，你能用多长多长就能限制住我吗？你并不能，我的长度是可以无限延长的 好不好？所以你进行长度比较的时候不能去比啊，因为它长度就是无限延长，你没法度量出来，你怎么去比较呢？所以圈字不对啊，因为射线跟直线啊，他你都不要去谈长度的概念了，他们都无限延长， 记住这一点好，那么五跟六是一样的啊，说画直线 ab 等于三厘米，你能给我画出一条直线是多长吗？你画不出来啊？好吧，一定注意，这是错的啊，我们 直线的长度是无限延长的，那它不可以被度量的，你能说画一条线段是三厘米啊？好，圈六延长直线 o a 来这条直线，还记得老师刚才讲过的吗？ 它有没有延长线？它有没有反向延长线？它木有啊，因为本身人家就是无限延长的，所以圈六也不对，圈七两条射线组成的图形是角。哎呦，我说老师没毛病啊，这不是两条射线 o a 和 o b 吗？ 你这个画的是对的，我们的定义是什么呀？我们定义是指的有公共端点的两条射线，对吧？你看，我随便给你画一条射线，这叫 o a， 这画一条射线叫做 b c， 他能组成角吗？显然不能啊，所以指的是有公共端点的两条射线组成图形，叫做角啊，加上公共端点来。第八个，说，角的大小呀，与边的长短是有关系的，有吗？ 换句话讲，这个还怎么去考？还去考你？我拿着一个放大镜，我去观察这个角，哎，这个角就被我放大了，对吗？一定注意。不对，它跟角的长短没有关系 啊，我脚的大脚跟我脚的扩张有关系。我很快给大家举一个反例，比如说呢？来，我们第八个的反例举到这。我说呀，我这里两条射线，你看现在呢，这个脚呢，大概扩张的是这个样子，对吧？我再把这个边啊给你写长一点。 这里还有个角叫做角，也是 a o b， 明显哪个角大呀？是不是我上面画的这个角一比下面这个角二更大一些，对吧？跟长短并没有关系。而且呀，我们说这个角的啊，角的一边是什么呀？是一条射线，它本身就是无限延长的呀， 对吧？跟长短并没有关系啊。来第九个，因为平角的两边组成了一条直线，所以一条直线就可以看成一个平角，有人又觉得没毛病了，这不就是吗？ 对吗？一定注意。不对，你怎么能把两个概念给我混为一谈呢？啊？这个概念叫做线，这个概念叫做角，线能变成角呀，啊？角能变成线呀，不对的啊，你只是你的眼睛看着像啊，为什么像呢？因为我说呢， 比如说老师画的这是一条直线，而角是什么呀？角是有公共端点的两条射线啊，所以我这里点个点叫做 o 啊，这里呢，有一条射线，叫做 o a， 这里有一条射线啊，叫做 o b， 只不过这两条射线呢，哎，互为反向延长线了。所以啊，我们刚好构成了一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，是不是同一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，说周角是一条射线，同理， 角跟线就不是一回事好不好啊，不能做一些对比啊。所以我们现在正确的只有圈一和圈三啊，只有两个，这道题选我们的 a 选项，好吧，你学会了吗？ 好，关于我们线与角这里的一种难点问题啊，就是我们的一个技术问题啊，小朋友们就记不明白了，没有方法。今天老师教给大家一个招，叫做什么呀？打枪法， 哎，我们就可以很快把这种技术问题呢搞懂。我们来看啊，铁路上的火车票啊，是根据两站距离的远近而设定的， 距离越远票价越高啊，符合我们的常识。那如图呢，这就是一条这个火车线路图， a、 b、 c、 d、 e 呢？是五个火车站。而且告诉我呢，每两站间的距离呀，都不一样 啊。问，这段铁路上一共有多少种不同的票价，票价是怎么规定的呀？人家说了，票价是根据我们这个两站之间的距离，那你就要看一看啊，每两站之间有多少种不同的距离，是不是就有多少种不同的票价， 那每两点之间的距离都不一样。所以这个题最终就被我转化成问啊，有多少条线段，就有多少种不同的距离，也就是多少种不同的票价了，对吧？其实这就是数线段问题啊。那么数线段问题呢？你看一看，我们现在是一二三四五， 有这样的五个点，怎么样去打枪呢？你想象一下，你站在这里啊，这每个点上的都有只小鸟，你去打他啊，你可以怎么打到你？首先二，这你是不是能打到一只小鸟，这里又打到一只，这里打到一只，这里打到一只，也就剩下的这四个点，你都会被打到一只小鸟，那一共是不是四只 啊？所以从 a 出发的 a、 b， a， c， a， d， a， e 啊，就是咱的四条线段啊。同理啊，你把枪放在这儿继续打小鸟啊，剩下的三个点都能被我打到， 然后呢？把枪放到这里是两条，然后把枪放到这，只能打到一这里一只小鸟了，加到一起呢，就是我们的十啊，所以我们数线段问题呢，十种不同的线段就对应十种不同的距离，也就是十种不同的票价。好，那么这题还没完啊，老师快速给大家来一个辨识。 现在呢，还有一种问法，不是问你票价了，而是问你车票， 我问你现在有多少种不同的车票？什么叫车票呀？大家都坐过车吧啊？车票上会写什么呀？会写你的这个出发地是哪里？你的目的地是哪里，对吧？比如说你从 a 出发，你要去 b， 那 你的车票呢？可能写的是 a 杠 b， 那反过来讲，你如果说，哎，从 b 出发，再回到 a 呢？那你的车票上写的是什么？是 b 杠 a？ 你 思考一下，这两种车票长得一样吗？ 长得一样吗？比如说我们从北京到上海，车票长的是啊，应该写的北京杠上海， 对吧？你从上海回北京呢？那应该是上海 to 北京两种不同的车票啊。所以我们如果给你改成车票问题了，你把这个线段数完呀，还没有完还得干什么？还得给他 double 一下，给他乘以二啊。因为 线段 a b 和线段 b a 你 在数线段的时候认为是同一条，但是我现在在这个描述票价的时候，它就不是一条了。 a 杠 b 和 b 杠 a 票价啊，这个，这个车票是两个。好吧，所以我们现在车票问题呢，就改成有二十张不同的车票了啊，这种问题你彻底学会了吗？ 好，今天给大家分享一道期末必考题，关于我们线段的计算问题啊，这种问题呢，一旦看到我们的题干之后，立刻想到我教你的题眼方法啊，怎么去做？说，点 c 是 线段 a c 的 什么中点？ e 是 线段 ab 的 中点，那我们来看一看啊，条件，在图上标一标 d， 如果是中点，说明这两条线段啊是相等的，然后我们的 e 呢，是 ab 的 中点 啊， e 是 ab 的 中点，说明我们的 ae 和我们的 b e 也是相等的。如果告诉咱， a c 比上 bc 等于什么呀？等于二比三啊，我这里写成二份，这里是三份。 好，一旦在看到这种问题，就是我教你的啊，解决的体验叫做什么呢？记住我们的大招啊，看到这种笔直赶紧给我干嘛？射出来 见比射参，射出来参数怎么去？射两份你就射成二 x， 三份就射成三 x。 好 吧，记住咱们的大招叫做见比射参，然后已知 c e 长的是十二。接下来让我们去求 d e 的 长度啊，求 d e 是 多长，这种问题怎么办啊？我们来教教大家解， 看到比值呢，我们来进行射啊，射 a c 长为二 x， 那 么所以我们的 bc 长就是什么呀，就是我们的三 x， 那 现在整个线段 ab 长，你是不是会表示了，对吧？所以我们的 ab 长就是等于 ac 加 bc， 二 x 加上我们的三 x 就是 五 x。 好 了，有了总长，你的终点啊，它分的一半的线段就都可以表示了，对吧？来，因为啊， d 是 线段 ac 的 终点，我就不抄了。 然后呢，又告诉咱们， e 是 线段 a b 的 中点。好吧，大家把这句话抄下来，有了中点之后呢，我们就可以来表示一半了啊， a d 就 会等于我们的 c d 等于啥？等于二分之一的 a c， 因为 a c 是 两个 x 啊，它的一半呢啊，就是一个 x， 同样的 a e 就 会等于 b e 的 一半，因为 ab 是 五个 x 呀，它的一半就是二分之五 x。 好吧，你看看啊，这里是 x x， 然后呢啊，这里是二分之五 x， 那 你已知的这个十二是不是可以用含 x 代数式来表示了？这样不就列出来方程了吗？对吧？因为 c e 啊， c e 啊，咱们知道是等于 a e 减 ac 的， 看图啊， 那等于什么？ a e 是 我们的二分之二 x， 那 减完是二分之一 x g 是不是得到我们的二分之一 x， 就是 这个十二，所以 x 求出来是二十四 x 求完还没完，人家让你求的线段 d e 的 长，那我们来看一下 d e 呢，是不是我们的 a e 减去 a d， 对 吧？所以最后我们要求的这个 d e 长呀， 就是 a e 减去我们的 a d， a e 呢，是咱的二分之五 x， 不 用着急算出来啊。 a d 呢，是我们的 x， 所以 是二分之三 x， 那 也就等于二分之三乘以我们的二十四， 约分十二乘以三三十六，所以我们的最后答案的定义呢，就是三十六啊。今天教你比较好的方法就是见笔设参，一旦在线段计算或者后面我们要的角度计算问题， 看到笔直之后，把我们这个分数给我设出来，就很快能解决了。好，这个题大家学会了，接下来先不要走，再来教你个更厉害的大招。这还是我们的什么问题啊，这个问题也有特征，什么呀？终点，终点，这叫什么呀？这是咱们的 双中点问题，双中点还有双角平行线，一定是我们线与角这一张期末必考的题，有非常好的大招让大家去学习啊！请记住老师四个大字叫做去重留半， 什么意思啊？后面再看到我们双中点问题，你就看一看 d 是 不是 ac 的 中点，把 ac 给我写在这， e 是 不是 ab 的 中点，你把 ab 给我写在这儿，接下来干什么？去重留半，你把重复的字母给我去掉。 哎，剩下留下了谁？留下了 b 和 c， 所以 留下的呢？取一半啊，就是二分之一的 bc， 这就代表我们双中点组成的线段长，因为 d e 是 这俩双中点，说明 d e 长呢，就会等于去重留半。哎， d e 就 等于二分之一的 b c， 超级好用这个大招，那接下来我们来验证一下。我们来看 bc 呢，是咱们设的三 x， 你 看二分之一乘以三 x， 不 就是二分之三 x 吗？在这呢对不对？所以这个结论一定成立啊！后面再看到两个啊，终点问题，如果这两条线段有公共的字母， 直接把公共字母去掉，留下的这两个字母取一半，就是两个终点之间的一个距离啊，你学会这个大招了吗？ 来分享一道我们的期末易错题，叫做我们的双中点问题。什么叫双中点问题啊？当我们后面看到啊，给你描述两个点，比如说 e、 f 是 按某两条线段的什么中点，这不就出现两个中点了吗？顾名思义，双中点问题。 还记得刚刚给大家分享的双终点问题的解析大招吗？请给我打四个字，叫什么？去重留伴，这个大招非常好用，一定要学会了。什么叫去重留伴啊？我们现在呢，因为 e 呀，是 a c 的 终点，你把 a c 给我写在这， f 呢，是 bc 的 中点，你把 bc 给我写在这，然后把重复的字母呢去掉，只留下谁了，只留下我们的 a b 了。所以现在啊，就能得到我们双中点之间的距离，就等于留下的一半，就是二分之一的 a b。 这题就已经做对一半啊，双中点问题很快啊，节省我们的时间，叫做两个中点之间的距离，就等于去重留半。好，既然等于二分之一 a b 了，那我们只需要算算 a b 是 多少， e f 是 几，就可以做出来了。 我们来看啊，现在告诉我的是点 c 啊，在直线 a b 上来，大家读题一定要会读关键词，把直线请给我赶紧勾出来， 在直线 a b 上，如果 a、 c 是 四厘米， b， c 是 六厘米啊，那我们就通过这两条线段长，你是不是得帮我确定一下 a b 长呀，一旦有了 a b 长， e f 不 就搞定了吗？那我们啊，画一下图试一试 这个问题呢，他是没给你画图的，对吧？所以接下来还记住老师教大家的一句话，在你的这个初中几何问题里面，给你的几何题没有画图，那百分之九十五以上都是要干嘛？分类讨论的，所以记住四个字，叫做无图有坑 就等着你往坑里跳呢啊，一定注意，没给大家图的大概率都是要进行分类讨论的，而且呢，也跟我们是一样，跟我们直线，这印证了，对吧？他并没有在线段上去限制你，而是在直线上限制这个让你自由的啊，去发挥，找那些点去让我们画一下图啊。说 a c 等于四， 先随便画吧，反正在这 a b 上呢， a c 是 个四厘米，对吧？ b c 呢是个六厘米。哎，你在找 b 的 时候，我现在好像就找到了不止一种 b 了， 为什么呢？因为我现在啊，可以在哎右边找一个 b， 让这是四厘米，这一边这是那个 b， c 是 六厘米，是不是也是可以的，对吧？所以用这样的两种情况，在这两种情况下，咱们要求的谁啊？先求 ab， 那 这个 ab 呢，就是四加六啊，是十厘米， 那么这个 ab 呢，是六减四啊，就是我们的二厘米，好吧，一个十，一个二，然后接下来我们去重留，什么留半呀，所以结果就是十二的啊，一半十的，一半是五，二的一半是一，所以这题选我们的四 d 选项 做出来啊，就会非常快了，请记住四个字，再来一遍，去重留伴，你学会了吗？好，继续啊，给大家分享一道我们的双角平行线问题，跟我们的双中点问题的解决方法是同理的，记住我的四个大字，大招叫什么啊？去重留伴啊，我们一起来看。 现在又告诉我，这个 o、 d、 o e 分 别是什么呀？分别是两个角的角平分线，对吧？所以你直接把这个角 a、 o c 写下来，把这个角 b、 o c 写下来，把重复的射线 o c 给我勾掉，就是剩下的这个角的一半，剩下了 a 跟 b。 那 你看你的 o a 跟 o b 组成谁啊？这是不是就组成我的角 a o b 了？好吧，用老师的结论啊，那现在两条角平分线组成的这个角 d、 o e 就是等于去重留半啊，就是等于二分之一的角 a、 o b。 有 了这个结论，简直不要太爽了啊，因为结论可以直接秒了，因为人家告诉你角 d、 o e 呢，是六十四度， 求谁啊？求这个角 a o b， 那 么 a o b 不 就是它的二倍吗？对吧？二倍一百二十八度，太简单了 好吧，啊，通过这个视频呢，老师给大家快速的证一下，为什么啊？会去重留半？我们来看啊，因为 o、 d、 o e 分 别是角平分线，如果是角平分线的话啊，那么这两个角相等，比如说我们都标为阿尔法，那如果 o d 是 我们的这个角平分线的话，这两个角相等，我们都标为贝塔。 好的，你看整个大的 a、 o b 是 不是两个阿尔法加上两个 beta 呀，对吧？哎，小的角 d、 o e 呢， 是不是一个阿尔法加上一个 beta 呀？所以它们之间一定会有一个角 d o e 等于角 a、 o b 的 一半啊，这是我们去重留半就是这样来的， 所以后面但凡在看到了双中点问题，还是双角平行线问题，直接把这两个线段或这两个角拿出来重复的勾掉啊，然后剩下的留一半，简称去重留半，你学会了吗？

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学线衣上色第六张几何图形，初步六点三点二角的比较与匀算。我们来看一下我们这节课的一个学习目标，首先呢，我们要掌握一个角的大小与比较，然后理解我们角平分线以及我们 角的和差辈分问题，能用几何语言来进行表述。第二个呢，会涉及一些度分秒的一个角度的预算，这是我们这节课的一个学习目标，我们来看一下，我们先来复习一下我们上节课所学的线段的比较，那我们知道我们线段的比较有两种，第一种呢就是从我们的数的 从数出发，也就是说量出来，当我们量出我们线段的大小的时候呢，就可以就可以比较了。 第二种呢，就是从形出发，利用我们的线段叠合法，然后把它放到一块，那就很容易观察了，比如说我们下面 ab 和 ac 很 明显啊， ac 是 不是小于 ab 啊？ 同样的，那我们来看第二种，那 ab 和 ac 应该是相等的，那最后一个呢， ab 应该是小于 ac 的， 所以说我们可以测量和我们叠合，那我们来看一下，那我们知道啊，我们类比一下我们线段的一个比较方法，能不能把两个角也进行这样的一个度量呢？我们先来看一下第一个， 我们是不是能用两角去去把两个角量出来，比如说这个角明显是五十多度，这个角明显不到四十度，那很明显，是不是说我的黑的第一个大于第二个，对吧？ 再来看一下我们第二种能不能把它俩放在一块，你会发现啊，我的脚这个黑色的应该大于蓝色的，对吧？所以说我们度量法和叠合法呢，在我们脚中同样的适用。 好，当我们知道这两种办法呢，我们能不能用几何语言来表示呢？比如说我们来看一下啊， 我们来看一下第一个角 b o a， 那 我们来看和我们的角 a 撇 o 撇 b 哪个大呢？很明显，红色所标的这个 o 撇角 a 撇 o 撇 b 撇大， 那我是不是就是角 a o b 小 于角 a o b 撇 b 类似的，那当它俩相等的时候，是不是就是等于号，当它俩当我的角 a o b 比它大，对吧？ 是不是我们用我们的几何语言也能说明我两角之间的关系啊？好，再来看，如果说我把角 a 的 两边都延长了，那你想一下角 a 的 大小改变吗？ 我们来看一下，当我把角 a 两边延长之后，它的大小是不变的，对吧？我们知道啊，我们角 a 两边是射线，可以无限延伸，所以说无论你延伸多少，它角的大小都 不会发生改变，只与我的开口开口大小，也就是说只与我的开口大小这里有关，其他的都是不变的啊。 好，再来看线段的和差问题，我们知道啊，我们下面 ab 是 不是也能写成 ac 加 cb， 同样的 ac 是 不是能写成 ab 减 cb， 那 我们来看一下，所以说那 bc 呢，是不是也能写成 ab 减 ac 啊？ 那我们线段有和差，再来看一下，线段也有终点，若 c 是 线段 ab 的 终点呢？是不是我们知道 a c 等于 bc 等于二分之一倍的 ab， 反过来也能写成 ab 等于二倍的 ac 加上二倍的 bc， 这是我们线段的终点，类似于像我们的什么呀？ 线段，那我们来看角是否存在这样的问题呢？看一下图中有三个角，第一个 a、 o、 c 也是我们最大的角，以及我们的 a、 o、 b， 这个角和我们的 b、 o、 c 三个角，那他们三个角之间是不是也存在我们刚刚类似的关系？比如说我们来看一下 a、 o、 c 是 不是就等于 a、 o、 b 加上我的 b、 o、 c， 那 再来看是不是我的 a、 o、 b， 那 a、 o、 b 也能写成 a、 o、 c 减 b o、 c。 最后类似的 a、 o、 c 减我的 b o、 c 是 不是就等于 a b o c a o c 减 a o、 b 是 不是都等于 b、 o、 c 啊？ 那我们角之间和我们角与角之间也是啊，和我们现在之间可以用我们的和差来计算。 好，我们来填一下空。第一个角 d、 a、 b， 我 们来看下 d、 a、 b 等于谁？等于这个加这个，对吧？第二个角 a、 c、 b a、 c、 b 等于谁？等于角 d、 c、 b、 d、 c、 b 减这个是吧？所以说我们可以很明显的把这两个填上来， 没问题吧？角之间的预算大家要能看出来，再来填一个。第一个角 abc， 来我们来看一下角 abc 是 哪一个呢？是不是这个呀？等于角 a、 b、 d 和我们的角 c、 b、 d。 什么呀？他俩相加 角 b、 d、 c， 也就是说我们的这个角等于角 abc 和我们角怎么 b、 d、 a 啊？是不是把这个减掉就等于它呀？所以说这里应该没有问题。再来看 角 a、 o、 c 是 哪两个角合呢？我们来找一下角 a、 o、 c 是 不是很明显角 a、 o、 c 是 我的角 a、 b、 o 和我的角 b、 o、 c 合呀？所以说第一道题应该就是 等于角 a o b 加角 b o c。 同样的角 a o b 是 哪两个角之差呢？角 a o b 是 哪一个呢？ 是不是角 a o b 是 这个，那是两哪两个角之差呢？是不是我可以用角 a o c 把我的角 b o c 剪掉，那同样的可以用 a o d 把我的 b o d 剪掉，两种写法都可以，大家应该能明白啊。 好，再来看一下。角 a o b 等于我的角 b o。 角 a o b 来， a o b 和我的 c o d 相等， c o d 相等，那我们看 a o c 和 b o d 就是 a o c 和 b o d， 当它俩相等的时候，你会发现它俩加它俩， 当他俩相等之后，这两个角是不是就是他俩加了同样的角啊？那是不是也是相等的呀？所以说我们的角 a o c 等于角 b o d。 要会表示我们角与角之间的关系。 当我们借助我们三角尺的时候，如何来画出我们十五度和七十五度呢？比如说我们第一个七十五度，把我们的四十五度和三十度放到一块，就能画成七十五度， 三十度放在我们四十五度之上面，也是能画出十五度的，这是不是就是我们角与角之间的和，和，角与角之间的差呀？那我们借助三角板可以画出其他的度数，对吧？大家可以试试画一画。 好，再来看一下。当我们角为 aoc 为五十三度十七分时，那我们求我们角 boc 的 位置，那你知道啊，我的角 boc 是 不是就是一百八十度？把这个剪掉就可以了。之前我们学过我们的和差辈分问题。 呃，之前我们学过我们的角的角度制，我们来看 aob 是 平角，那我们知道啊，角 aob 就 等于角 aoc 加角 boc， 同样的我们的角 b o c 就 等于角 a o b 减角 a o c。 好， 那就是一百八十度减五十三度。我们知道啊，如何来计算呢？我们来看一下，是不是它后面没有 分呀？好，当没有分的时候，我们可以把它借一个，也就是把它借成五十，一百七十九度六十分，那这样的话就可以进行运算了，我们度减度分，减分就可以了，这种做法大家要会啊，这种做法大家要会。好，最后算完一百二十六度，四十三分。 好，那我们再来针对一下训练下。第一个角 aoc 等于三十五度，角 boc 等于四十度， aoc 三十五度，然后呢？ boc 等于四十度。问你，角 aob 很 简单，加起来就可以，是吧？ 好，这是第一个。第二个，我们来看一下角 aob 六十度，也就是整个等于六十度，然后问你，他那很明显六十度减四十度，是不是就等于二十度呀？ 再来看一下，角 a o b 等于六十度，角 a o c 等于三十度，那是不是就是说我们换一个六十度的角，角 o b 等于三， a o b 对， 等于六十度，然后呢？角 a o c 等于三十度。哎，那你说这个 a o c 是 在这里还是在这里？ 那是不是有两种情况，一种是在这里，那我的脚 b o c 就 等于三十度，那如果在这里的话呢？是不是就等于多少度呢？等于九十度了，所以说此时啊，此时有两种情况，对吧？所以说我们要分情况来讨论，那一个是三十度，一个是或者是九十度， 所以说我们角度啊，它存在多种情况。好，我们来看一下，那角的平分线是什么意思呢？就是说，当我把一个透明纸在我脚上画，在我的一个纸上画上一个 a、 o、 b， 当我刚好画出一个呃线段的时，哦，射线的时候， oc 刚好是它俩的一个终点，也就是说 b、 o、 c 也就它和它相等，当它俩相等之后，你会发现，是不是我的角 oc 就是 它的一个平分线， 例如我们的中线中点是不是是一样的呀？当他弄他的时候，那是不是角 aob 就 等于二倍的角 aoc 啊？所以说我们的角平分线大家要会啊，当我们把这样的角呢，就叫做角平分，这样的线段呢，这样的射线呢，就叫做角平分线。 好，那应用格式呢？就是说，因为 a、 o、 c 是 我的角 a、 o、 b 的 角平分线，所以 a、 o、 c 等于 b o c 等于二分之一倍的 a、 o、 b， 同样的，反过来也就等于 a、 o b 等于二倍的角 b、 o、 d 等于二倍的角 a、 o、 c。 好， 当我们知道这个的时候，我们角的三等分线是不是一样的呀？也就是说它等于 a、 o、 d 三倍的 c o d 三倍的 a、 o、 c 是 一样的啊？ 好，当我们知道角平分线的概念的时候呢，我们就能做题了，你看一下， o、 b 是 a、 o、 c 的 角平分线，也就是这个等于这个 同样的 o、 d 是 它两个平分线，这个等于这个 a、 o、 c 呢？等于多少度呢？ a、 o、 c 呢？等于八十度，那 b、 o、 c 等于多少呢？应该是比较简单的是吧？就等于它的一半，也就等于四十度。 好，再来看，如果说我 a o b 等于四十度， a o b 等于四十度， d o e 等于三十度， d o e 等于三十度。问你 b o d 那 是不是把它俩刚好是，我们刚刚说了它是角平分线，是不是把它俩加起来也，最后呢就等于多少呢？七十度没问题。 再来看， a o e 等于六十度也 a o e 等于一百四，整体等于一百四， c o d 等于三十度， c o d 等于三十，那这个是不是也等于三十？那一百四，把这两个，把这两个减掉，是不是 就剩下它俩了？除以二。然后呢，我的 a o b 的 度数是不是也就能求出来最后等于四十度，对吧？所以说我们的角平分线在我们的期末考试里面是不是也就能求出来最后等于四十度，对吧？所以说我们的角平分线我们的概念弄清楚要会写 好，我们来总结一下，我们涉及到角度运算时呢长，除了常规的和差辈分问题，我们还有去分，嗯，用我们的方程思想和我们的分类讨论思想来解决问题，我们来巩固一下。来第一道题， oc 呢，是我 aob 的 角平分线，那就是我这个和这个角相等的，然后呢， o d 呢？是它的角平分线，有这个和这个有相等的，所以下列格式正确的是选哪个呢？大家可以看一下 是不是选 a 呀？我们知道啊， c o d 就 等于二分之一倍的角， a o c， 因为它俩，因为为啥呢？因为我知道 c o d 等于二分之一的，它等于二分之一的，它，是不是这个 b o c 和 a o c 是 相等的，所以 最后也能写成这样的关系，对吧？好，这是我们的第一道题，其他都是错的，大家可以验证一下。再来看一下我们第二道题，来填空第一个角 a o b， 也就是我的角，它加上我的角 b o c， 很 明显，是不是角 a o c 啊？ 那角 a o c 加上 cod 呢？是不是就是我们整个大角的角 a o d， 同样的，它减，它就等于 b o c a o d 减，谁减？我的 b o d 就 等于角 a o b。 这几个角要会填好， 那我们知道啊，如图，当我的 a o b 也就等于 b o c 等于我的 c o d 的 时候，是不是 o b 是 我 a o c 的 角平分线？那角 a o c 是 不是就等于角 b o d， 同样的，它等于三分之一倍的 a o d， 就是 我们的三等分线，对吧？ 好，来再看一下，因为 a d 是 它的角平分线，是不是说我就知道了，既然你是人家角平分线，是不是你剩下的两个角就相等了呀？所以说这个角等于这个角角平分线的 e， 同样的，因为它等于它，所以它是它的平分线，那就是反过来也要会用，对吧？ 角平分线的意义，所以说角平分线呢，是我们必考的。再来看来，角 aob 等于它等于九十度，那就是这个角和我们的哪个角呢？ codd， 这个角等于九十度， aod 等于多少呢？这整个角等于一百四十。 呃， a a o d 啊，这个角等于一百四十六度。问你啊，角 b o c， 角 b o c， 那 是不是根据我们的什么呀？九角最后就能算出来，减去，减完之后就等于三十四度，没有三百六十度，把它来减去就可以了啊。 好，再来看一下来，已知 aob 等于三十八度， boc 等于四十五度 aoc 的 度数，那是不是就是有两种情况， aob， 那 我的 boc 是 不是？呃， boc 可能在这里，也可能在这里，所以说有两种情况，那就有两个答案，大家可以算一下。 好，那我们来总结一下我们角的比较吧。第一个我们学了角角的度量法和叠合法，是不是能进行我们角的比较呀？那角的运算呢？就是角的和差辈分问题，以及我们角的角平分线问题。最后呢是我们角的计算问题。 其中我们角什么呀？角的平分线是最喜欢考的啊，这个是在我们考试里面最喜欢最喜欢考的，大家要清楚。好，那我们这节课呢，就上到这里，我们下节课再见。

期末不用慌，华姐来帮忙，接下来我们继续啊，我们进行期上第六章的期末考前知识点的一个梳理啊，在这一张呢，这个也就是我们的几何部分啊，几何部分呢，是很多小朋友也是比较头疼的一个问题啊，那老师给大家一块过一过考点有哪些难题怎么去考啊？ 我们先来看第一部分正方体的一个展开图，记住我们的展开图，按类型去记啊，一共是有十一种的啊，按类型去记，而且老师啊在这给大家总结了一个口诀，判断口诀可以很快的帮你排除掉一些错误选项 啊，我们是否为这个展开图呢啊，要求第一条一线不过四，也就是你在一行展开上呀，不能超过四个，如果超过了四个变成了五个图，那一定是错的好吧，然后出现了田字型，凹字型，七字型啊，都要弃之，弃什么意思？放弃 都是不对的啊，因为一会要给大家讲的这十一种展开图当中没有说这种田字格的凹字型的，这都不对，好吧，这都不对的啊， 那这十一种呢，来分这样的几类啊？第一类叫做我们的一四一型，就是这里有一个，这里有四个，这里又有一个啊，一四一型，这个怎么去记啊，你只需要来看一看，这边不是有四个吗？对吧，这边四个，那这个啊，我们让他们两个啊，分别去动一动就可以了，来保证上面这一号位先不动 这个这个位置呢，放在最最右边算一个，往前再来一个，这不就第三个了吗， 对吧？然后呢，接下来往前让他俩对着的形式，这就是出现第四个了，接下来呢？哎，现在我们这一行已经动的位置都动过了吧，那你可以让我们上面这个接着动位置，让这个第一号位置呢，可以跑到这个第二号位置来， 对吧？这里跑到第二号位置来，然后这个呢，不能跟前面重复啊，这个你也得往前走一个位置，要不然就跟前面的某某一类就重复了，对吧？往前走一个，所以这就出现咱们的第五个了 啊，出现第五个了，接下来啊，再往前走一个，让他俩对着，一共这样的六个，所以我们的一四一型呀，一共是这样的六种。接下来呢，我们还有第二种类型的叫做幺三二型啊，也就是让最多的这个呢，先变成啊，少一个变成三个的啊，这里有一个三个两个，注意这两个呢， 这两个你可以怎么去办呀？这两个也可以让他外面露着一个这种，好吧，外面露着一种啊，露着一个啊，这个呢，你就给我固定下来，好吧，看来看看这啊，位置都是一样的，你把它固定下来，然后只需要让这个呢，干嘛来变一变？ 他可以在一号位置，也可以变到我们的二号位置，也可以变到我们的三号位置，所以就这样的三个了啊，这样去记还比较快的啊，那么我们的第三类叫做二二型，第四类叫做三三型，这就是两种特殊的形式了啊，两种特殊形式，特殊单独记忆。 二二二啊，这样斜下来啊，我们的三三也是只重合了一个部分啊，注意不是重合两个的话，这就出现什么了，填字格了就不对了， 好吧，就不对了啊，所以来特殊记忆就可以啊，我们前面的一共六种，加上这里的五种啊，我们的正方题展开图十一种啊，记准了。好，这是我们的第一个知识点啊，叫做我们展开图第二个呢，也属于我们的一种题型，哎，注意，这种题型呢，也是考试必考了啊，叫做我们正方题找对面的问题 啊，这个来听老师给大家讲一讲，有大招方法啊，我们的口诀叫做同行隔一面，一行 z 两端。什么意思？ 就是我们要找对立面的话，如果说两个正方形是对立面，而且他位于同一行，那怎么判断啊？他们中间只要隔了一个，那就叫对立面，比如说我用上面这个图给大家讲一讲，大家来看啊，我们现在这里有一个 a 号位置，这里有个 b 号位置， 他们两个呢？哎，你组合起来就是正方体的对立面，怎么看到的呀？因为 a 号位置和 b 号位置是不是属于同一行，而且呢，隔了一个对不对？这里只需要隔一个。那你用空间想象能力想一想，你把这一块呢掰上来，把这一块掰上来，他俩是不是一定是对立的， 对不对？所以这叫做同行隔一面。那如果是一行呢，就是没有在同行一行呀，就找这个 z 的 两端，比如这里的 a 号位置和 b 号位置，你用空间想象能力想把这个正方体折起来，它俩一定是对立面吧，对吧，怎么快速判断的呀？就是画这个 z 字形， 画完 z 字形之后呢？ z 的 左头和 z 的 z 右头啊，这就是 z 两端就属于我们的对立面了哈，这是我们第二种题型啊，那第三种题型呢？这个就偏难一些了， 这个就稍难一些了啊，而且呢也比较易错，老师给大家总结一种方法啊，叫做小正方体的一个技术问题。技术问题呢，他通常会问你 啊，我们这一摞小正方题最少可以是几个，最多可以是几个，然后达到什么样式图的效果，一般会这么考啊，他的方法叫做什么呀？地基法，地基法就跟我们的盖高楼啊，搭地基是一样的， 怎么做呢？地基法，你需要通过已知条件，无论是否给你俯视图了，你都要先帮我确定出来俯视图长什么样子， 也就是从最上面往下看，当你确定了俯视图，你就知道这个地基该怎么去搭了啊，确定了，俯视图呢，把我们的地基开始搭起来，搭完地基之后呢，再根据其他的，比如说主视图 测试，这个左视图也都给你了，你再根据其他视图呢啊，给我往上去标数，好吧，标数啊，那把这个数字最少呢，就是可以让其中一落满足，最高就可以了啊，其中一落就行了，最高呢，是让所有的落， 所有的那些列都满足啊，这个最高层就可以了。好吧，这叫我们的地基法去判断啊，我们的小正方体的一个技术问题，也是咱们的第三种题型，来，接下来来到我们的平面几何了， 平面几何，这里就是考试的重中之重了，尤其是你这次的期末考来，好好听啊，先来，我们学了三兄弟，对不对啊，叫直线，射线和线段这三种线呢啊，他们在表示 端点延长线，还有我们的这个字母表示上面都是有区别和联系的，来认真听啊，关于我们的直线呀，直线有两种命名，一种命名呢，是两个大写字母， 叫 ab 或叫 b a， 没有顺序差异，叫谁都可以都表示的同一条啊。这个直线或者第二种命名，你还可以用一个小写字母叫做直线 l 啊，这是我们的直线。那接下来到我们的这个射线射线这里呢，就不能随便去命名了啊，因为什么呀？因为射线是有一个端点的 啊，比如说我们射线 o a 啊，射线 o a 呢，一定注指的是什么呢啊？我们的以端点 为字母去命名的，你就不能叫做 a o 了，他俩不是同一条射线好不好啊？或者第二种名字呢，叫做啊，一个小写字母啊，叫射线小 l 也是可以的。 然后接下来来到我们的线段线段这啊跟直线哎，就没有什么差别了啊，他叫我们线段 a b， 或者线段 b a， 没有顺序差异啊，或者线段小 l 都是可以的。好吧，这是我们第一种的表示，来接下来的区别，区别呢，在我们的端点延长线，反向延长线啊，都是有区别的，我们的直线呢，没有端点非常的自由好吧，没有点可以限制我啊。然后射线呢，有一个， 只有这边一个端点，而且你在命名的时候呢，也要以端点这个字母啊，开始命名，线段呢，是两个端点哎，这两头都有堵上他了哈，他就没有自由发挥的空间了。然后所以我们线段这里的长度呀，就是可以背肚梁的了。 那因为我们的直线和射线呢，比较自由，他们的长度呢，就不能被度量了，好吧，来第二种，延长线和反向延长线。直线本身就具备延长的功能，所以不需要外界给他去延长，那就没有， 那射线呢？哎，射线啊，他可以自己，比如说这有个端点堵着我，对吧？我可以自己向右啊，做延长，这叫延长线，他自己就具备这个功能，不需要外界给他了，所以他没有延长线，但是呢，他可以往这边，哎， 外界可以帮我做这样的辅助线，哎，叫做有反向延长线。好吧，这个记准了啊， 接下来我们的线段，因为线段他不自由啊，两边都被堵着了，对不对？所以无论是延长线还是反向延长线，他自己不具备这个功能，那需要你外界给我一点力量，所以我既有延长线，也有反向延长线啊。接下来我们的字母， 注意，字母在表示直线和线段的时候是一样的，没有顺序差别，无论是大 a 大 b 还是大 b 大 a 都表示同一种线啊。那我们的这个射线，这不行啊，射线第一个字母呢，必须是那个端点，这个不要搞错了啊，这是我们的命名，来两个基本事实， 初一这个就必考一个小选择题，没有人会做错的，非常简单啊，两点确定一条直线，两点之间线段最短，只来一个小小的易错点，叫什么呀？叫做我们两点之间线段最短，注意，这叫线段， 因为有的小朋友可能在小学的时候听老师说是直线最短，那是错的，你要改过来了，因为我刚才说过了，我的直线是一个无限自由的线，我的长度是不能被度量的，谁能奈我何，对吧？是不行的啊，所以你这要说最短这个事呢，那只能是线断了 好吧，只能让线段当做最短。而且等我们到了初二会学什么呀？将军一马最值问题极大的题型都是要靠这个原理这个基本事实来帮我判定最小值的。好吧，这是我们的这个第五个知识点啊。接着继续第六个，开始到角了，角的第一种表示，来说一下 注意这种小细节问题啊，我在表示角的时候呢，有一种方法叫做万能法。什么是万能法的呀？就是用三个字母来表示，比如说这里射线 o a 和射线 o b 组成了这个角，那我可以叫做角 a o b， 也可以叫做我们的角 b o a， 它两个没有顺序差别，用哪个都可以，这是我们后续做几何题的万能方法， 但他毕竟写三个字母比较麻烦，对吧？也有一些啊偷懒的小方法啊。那我们可以在这里标一个这个弧，然后啊写上一个一，这个角呢，就可以叫做我们的角一 啊，角一，或者是说呢啊，我们这里标一个这个，我们角，这是不是有一个顶点啊？顶点叫做 o， 我 也可以叫做我们的角 o。 好 吧，这两种描述方法也可以比较简单了吧，然后咱们也可以借助什么呀，阿拉伯贝塔、伽马之类的， 我写个阿尔法，也可以叫做角阿尔法，因为这三个呢，属于比较偷懒的表示方法了，那他就有一点点小限制了。 怎么限制呢啊？你如果要用 o 来表示啊，那么以 o 为顶点的角呢？你只能有一个，你比如说在这个图里面，以 o 为顶点的角有几个呀？这个是以 o 为顶点的吧啊，这个也是以 o 为顶点的吧， 甚至于这个角也是，那你角 o 到底说的是谁啊？你就傻傻分不清楚了。那你就不能用角 a 来表示，要不然出题老师不知道你说的谁。好吧，所以这样的呢， 你你就用三个字母或者说标一些数字来表示就可以了， ok 吗？啊？比如说我们这里表示这个角 a o b 的 话，你只能写三个字母，就不能写角 o 了，甚至于你这里也不能给我标个一了， 不能跨脚去标了啊，不规范。好吧，不规范，同样的希腊字母也是不要这跨着这个线给我去标，这就不规范啊，我们就这样明确规定了一下。 好，那么第二个呢，我们来说一下这分类。分类不难，小学也知道快速过一下啊，那我们这个分成锐角、直角和钝角啊，这是我们的分类，当然还有两种特殊角，叫做平角和周角 来，锐角呢，是指的零到九十度以内的这个角，对不对？直角呢，就是九十度，可以画一个直角符号，垂直符号啊，好，钝角呢，指的是九十到一百八十度之间啊，这这样的一个角， 而且在我们初中范围内，如果没有明确规定，我们研究的角呢，一般都是平角以内的角。 什么意思啊？这个呢，就是涉及到我们后面有一个压轴题，叫做什么角度动态问题，动态问题里面呢，会出角平分线。如果我要描述 o o c 为角 a o b 的 平分线，那你这个 o c 呢， 就指的这个 c， 指的这个 o c 不是 哪个呢？你千万不要告诉我角 a、 o b 是 这个角，注意，这就不对了。 好吧，这到了高中在研究的角，这叫优角大于一百八了啊，咱们就不研究初中我们就看这个，呃，一百八十度以内的角，好吧，这就是他的角平面线啊。好，再来两种特殊的角，叫做平角和周角 啊，平角呢，就是我们这两条射线叫做什么呀？叫做互为反向延长线了啊？这个角就是平角，就是一条直线，对吗？ 谁敢跟我说对，一定不对啊，一个是线，一个是角，二者不可混为一谈。好吧，我们这个啊是两条射线，只不过人家呢刚好互为反向成线了而已。 ok 啊，那同样的再来一个周角，注意，周角呢指的是什么呀？哎，指的是我们的三百六十度，那这一圈转回来了对不对？周角是三百六十度啊。 好，这是我们的这个分类问题，给大家讲到这里啊，那最后再来我们的角度换算啊。角度换算，呃，跟我们类似于时间的换算，但是肯定不是一种的概念啊，你就记住是六十啊， 一度等于六十分啊，然后一分呢，等于六十秒，这不是指的时间的那个分秒，是我度下边的那个分秒啊，也是六十的进制哈啊，然后咱们后面如果你想让这个度划分大化小的话， 你要怎么着这个进制啊？怎么着？这个六十用什么计算？用乘对不对？比如说两度等于二乘以六十一百二十分啊，大化小就用乘。如果说小单位，比如说我这个秒想往上化成这个分小单位化大单位应该用什么法呢？ 就应该用我们的除法，比如说二六一百二十啊，我让这个一百二十秒的话，你怎么化成分呢？是不应该用一百二十除以这个六十，对不对？应该是两分， 明白了吧？ ok， 然后接下来我们的余角和补角，哎，这两个概念啊，你记准了就行了啊，余角指的是两个角的和呀，是九十，如果两个角和是九十的话，那我们称为这两个角啊，是互余的啊。如果两个角的和呢，是一百八十度，我们就称为它是互补的， 记准了就成好不好？然后最后一个方位角啊，方位角呢，小学可能你也见过，但是到了初中， 如果小学跟我们学的不一致，你要纠正过来了啊，因为小学不会严谨的给你进行怎么去说啊。然后我们初中的这个方位角呢，都是要以正北和正南为基准 的，就是你必须要写成南北偏东西好不好啊？小学个别地区呢，可能老师也说过东西偏南北也对啊，到了初中纠正过来好不好，一定注意是南偏东多少多少度，或北偏东多少，北偏西多少 啊，一定是南北为基本的啊，去描述。如果有一个特殊情况啊，出现角平分线了啊，如果这是个四十五度，四十五度特殊情况， 那么这条线你要怎么叫呀？还叫做北偏东四十五度吗？那就不叫了，如果这种特殊情况的话，给他一个特殊的名字叫东北方向， 我们日常生活当中也经常见到，对吧？东北方向，你没听过北东方向的吧？日常生活当中不会这么描述啊，一般就会说东北方向，东南方向，西北方向啊，这个就指的呢，比如说西北方向，就指的是北和西啊，这刚好恰好位于角平面线的一个位置， ok 吧。啊，这个大家了解就可以了啊，那关于啊，我们的第六章的他的知识点呢，就给大家讲到这，那我们这里的难题会怎么考？给大家说一下。 我们这里难题压轴题啊，会考我们线与角的什么动态问题，这是你这一次期末考试当中的最后一道题， 能不能拿满分就看这类题了。好吧，关于我们线的动态问题啊，你可以类比于我之前给大家讲过的数轴的动态问题去解决，大家可以翻看前面的视频，那关于角的动态问题呢？在后续的视频里面，老师还会给大家分享啊，敬请关注就可以。

朋友们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学七页上册第六张几何图形，初步六点一点一立体图形的三式图和我们的展开图，我们来看一下我们这节课的一个学习目标， 那我们这节课的一个主要学习目标呢，就是要了解我们的立体图形与我们平面图形之间的联系，能够画出简单的立体图形的不同的 方向看到的平面图，也就是我们的三式图。然后呢能够把我们的例图的图形进行展开，以及了解他们的展开图，通过呢展开与折叠，了解我们的棱柱、棱锥，圆柱圆锥的他们的展开图呀，还有我们的一些正方体的一个展开图， 那这是我们的一个学习目标。我们来看一下一首诗题惜林壁苏轼，相信大家呢已经会背了，我们中有一 句话，也就是说我们这句话横看成零侧成风，那我们来看一下这句话蕴涵了一个什么样的一个数学道理呢？是不是你在不同的方向看到的我们的山是不一样的，横着看是零啊，侧着看的是风， 那我们来看一下，如果说我们来看我们立体图形，从不同的方面看，是不是也有不同的平面图形呀？同 同样的，我们来看一下他们两个争执，一个说是九九九，一个说是六六六，那到底是九和六呢？其实他不是九，也不是六，那要看你在哪个方向看，是不是你从不同的方方向看呢？所得到的答案是不一样的，所以说呢，我们立体图形也是啊，我们来看一下， 当我们对于我们的立体图形呢，我们如何来把它转化成我们的平面图形来处理呢？比如说下面左图呢，是一个弓箭的立体图，我们来看一下， 如果说我们从我们正面来看，是不是这样的一个图形，那想一下，如果说从左边来看，是不是这样，好，中间的这一横杠呢？大家知道应该是这一杠。 再来看，那如果说从上面来看，大家应该也会看，是吧？应该是我们这样这个横杠呢是他，所以说我们从不同的面呢，可以看到不同的形状，并且呢是不是把我们的立体图形转化成平面图了，大家应该能够体会到啊？ 再来看一下我们的长方体，比较常见，我们来看一下从我们的正面，左面和上面，是不是我们从正面、左面和上面看到的图形都不一样？ 再来看一下我们的常见的一个圆柱，圆锥和球，从正面来看，它是一个长方形，从左面来看是不是一模一样，好，那从上面来看呢，是我们的圆，同样的我们圆锥，对吧？我们圆锥，好，它是 三角形，三角形以及我们的一个圆，中间加一个点，这个点呢就是我们的这个顶点，对吧？好，那我们的球呢，是不是三个都是一样的圆呀？ 再来看一下，那我们来观察一下我们的三棱柱和我们的四棱锥，同样的，我们能得到什么样的一个图形呢？是不是你也能够会画，以及我们的从正面看应该是三角形，从左边看中间有一条棱，对吧？ 再来看一下我们的四棱锥，好，从正面和侧面是一样的，从上面看大家要会画啊，中间的要交叉。 好，下面呢？右面有三幅图，分别从哪个方向来看到的？我们？棱锥啊？好，第一个应该是从上面，第二个呢，从正面，第三个呢？从左面 再来看一下。当我们通过呢组合体，就是有多个小正方形来组合成一个立体图形，那我们此时来画我们的图，从正面、左面和上面，所以说我们三式图就是从正面、左面和上面。哎，有的同学说，那我从右面行吗？ 不行，因为我们规定了啊，正面、左面和上面所观察的这三个不同的视角呢，就是我们的三式图，所以说这是我们数学中的规定，那我们依照规定来看就行了。首先我们来看，从正面来看，是不是？ 呃，从正面来看，竖着是两个，然后横着呢，是我们的四个，对吧？好，从左面来看，竖着是两个，然后这里还有两个，以及从上面来看，这样，这样，这样，对吧？ 好，再来看，如图呢，是有若干个小正方形搭成的，我们的几何体也是啊，从我们三式图，也就是从正面、左面和上面来看，大家要会画，来，我们一起来画一下。首先我们从正面来看，是不是一二三四有四个？是不是这样？ 以及我们从左面来看，一二三，竖着两个，横着两个，从上面来看，以及 是我们的四个，对吧？横着三个，竖着两个。好，再来看一下。所以说呢，我们从不同的方向呢，能够得到不同的形状，同样的，我们再来看一下。这个， 从正面来看，以及从左面来看，以及从上面来看，相信大家都能够画出来，对吧？好，再来看，从不同的图形来观察，从不同的方向来观察一下我们下面这两个，第一个正面是不是竖着 左边呢？是竖着两个，然后上面呢是横着两个，那我们这个呢？这个应该是一个类似于那个山字上，左边呢就是一个田字，以及上面的是一个，这样，对吧？ 好，那大家快速的来画一下，上面应该是比较好画的吧？正面一二三，竖着画三个，然后这边画一个，上面呢一个两个三，然后再横着画一个，是不是就是这样来画？ 讲台上呢放了一本书，数学书，书面上呢放了一本粉笔盒，若看到的组合图形，从上面看到的是这样，那你想一下从左边看到的是哪一个呀？ 是不是从左边，也就是从这边观察，那从这边观察，你看他在哪呢？是不是选 a 呀？ b 呢是靠近了这边， c 呢是靠近了这边，同样的 d 都是这里了，所以说我们正确答案应该选 a。 再来看，画出我们平面图形的三式图，也就是正面、上面和下面，相信大家应该都会画，注意啊，我们讲强调一个点，不要把这个点漏掉了，因为你中间看到的是有一个点的。好， 再来说一说，我们的下面的三个图是分别从我们平面图，三个图是从我们立体从哪几个方面来看的呢？第一个是从哪个呀？是不是从正面好？第二个呢，是不是从我们的上面以及第三个从我们的左面来看到的，对吧？ 再来看，分别从正面上面和下面有一个若干的正方形来组成，我们来看一下，那我们来搭一下什么呀？搭一下正面的 横着三个，中间有一个，好，我们再来看左边呢，是不是要再凸出来一个，以及我们的上面是不是就是这样了？所以说我们是不是能够搭出来呀？ 同样的，我们来看一下，当我们已经明白了，我们立体图形从三个方面，三个面来看，是不是有三种形状？那我们来想一下，如何我们沿着它的棱把我们的图像给它剪开之后，它是一个呢？我们来看一下我们的正方题啊，当我们沿着它的十二条棱， 也不是说十二条，就是说我们沿着一些棱把它展开展开之后呢？是不是就是这样的一种形状呀？ 是不是我你所减的不同的棱所构成的形状也是不一样的？所以说我们来看一下，是不是我们正方体的展开图一共有多少种呢？一共有十一种， 那我们来看，有的同学在小学其实已经背过了，已经背过了我们的一些口诀，那我们今天再来带大家背一下啊，就当复习了。好，我们来看一下， 那我们知道啊，如果说是一四一的话，你会发现呢？我们这里的一啊，上下一都能移动，是吧？无论是你是怎么移动都是可以的，但是像这种的话，如果说你上上面有两个， 然后横着是四个，肯定是不行的，所以说我们有六个啊，也就是这样的，同样的，我们来看一下一三二，这样，这样也行，对吧？这样，那这样肯定是不行了，他们放在一块了，所以说这种也是不一样的。 好，同样的，我们再来看一下，我们的二二二，以及我们的三三，是不是就是这样排列的？好，所以说我们正方体相对两个面呢，有什么样的一个特点呢？就是说我们对面和对面有什么样的特点呢？我们来总结一下啊， 我们相对的面呢，肯定是不相邻的，比如说你看他们说用蓝色所标或者是红色所标以及黄色所标， 他们都是对面都是不相邻的，你观察并且呢左右相隔一列是不？左右都会隔一列，同样的我们上下要隔一行， 那所以说我们在找我们对面的时候要注意啊，上下隔一行，左右隔一列，拿我们这个黄的来说吧，你会发现左右是不是隔，呃，上下是不是隔一行呀？那左右呃这个就不隔了，对吧？好， 所以说我们要总结一下啊，来再来看一下，那我们的口诀呢？是这样的，我相信大家都背过啊，如果说没背过的话，我们再背一个，再背一遍啊，一四一六种是吧？二三一三种呢？二二与三三各一种，大家要会背以及会认识， 那我们背过有什么样的用处呢？哦，在最后强调一点，我们的凹字和填字是不行的，也就是我们如果说四个放在一起，或者是呢，我们四个呃，把它放成一个凹字也是不行的，大家要注意。 那这样的话有什么样的一个考试题型呢？我们来看一下下面不是我们正方体的展开图示，是不是很明显是 c， 这个不用说了是吧？ 好，再来看一下，我们来看如何让你去画出我们正方体的一个平面展开图呢？是不是你能画好多个呀？比如说第一个应该是对的，第二个呢？对的吧，第三个是不对的，是吧？没有这种的好。第四个二二二对的， 我们一三二也是对的，同样的他是一四也是对的。好，再来看一下树在下，树就在后，那胜和力在哪呢？那你想一下，是不是我们的胜和胜在上，力就在前呀？ 一个多面体的展开图呢？在同一条直线上的相邻的三个线框中，首尾两个连线是我们的立体图形的相对的两个面，大家要记住啊。再来看一下我们的长方体和我们的圆柱的一个侧面展开图，我们能够是否能够想象他们都是哪些图形的一个展开图呢？ 比如说我们来看一下他，如果说从正面来看，能得到什么呢？是不是得到 a 呀？同样的我们来看，从上面来看，能够得到三角形的是哪一个 a？ 好， 这节课呢，我们主要学习了什么呢？是不是学习了我们立体图形的一个展开图和我们的三十图呀？常见的立体图形，比如说我们的长方形三棱柱，三棱锥以及我们的三棱 椎和三棱柱，正方体以及圆柱，它们的展开图呢？大家要能够区分能够画出来。那我们这节课呢，就讲到这里，我们下节课再见。

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学千页上册第六张几何图形，初步六点二点一直线、射线和线段。我们来看一下我们这节课的一个学习目标，那我们第一个学习目标呢，就是要掌握我们两点，确定一条直线，这是一个基本事实。 第二个呢，我们就要认识我们的直线、射线和线段，会用我们的正确的几何符号语言来表示我们的直线、射线和线段。第三个呢，就是看看他们三个之间有什么样的一个区别。好，我们带着我们的目标来看一下， 我们来看一下，如图一所示呢，就是我们下面这个经过一个点 o， 你 能画多少条直线呢？ 第二个，经过 ab， 你 能画多少条直线呢？我相信大家经过点 o 可以 画多少条呢？是不是能画无数条呀？但是你经过 ab 的 时候是不是只能画唯一的一条？相信大家都是这么画的，对吧？ 这是第一个问题。再来看一下经过两点画直线有什么样的规律呢？是不是说我两点可以什么呀？你画的都是这是吧？那就是两点能够确定唯一的一条直线，对吧？ 再来看一下，如图呢，如果说我要在墙上固定一根木条，需要几个钉子？至少需要几个钉子，如果我只固定一个，是不是这个木条呢？是不是随着我的这个钉子会转呀？好，那是不是我再来一个钉子之后呢，他就会固定了，对不对？这是我们钉木条在墙上， 所以说我们固定一根木条至少需要两个钉子。那通过上述操作，如果把木条抽象看成一条直线，我们把钉子抽象为点，是不是说也就是啊，和我们刚刚那个是一样的，两个点能确定一条直线，对不对？ 再来看一下我们工人，建筑工人呢，在砌墙的时候，通常会在我们两个墙角的位置分别固定一根木杆，然后拉一条直线作为参照， 这是不是也是我们刚刚所说的两个点能确定一条直线？再来看我们第三种，在我们直数的时候呢，我们通常会固定两个树坑，然后呢就能使同一行树坑在一条直线上了，是不是我们就可以啊，把我们的树呢栽直，对吧？ 好，我们日常生活中呢，有很多可以看成我们的直线，射线的，直线，射线和线段的，比如说我举个例子，我们的激光可以看到哪个可以看成射线？我们一段短的一个金属导管，金属管是不是可以看成线线段呀？ 那再比如我们的铁轨是不是能看近似的看成直线，对吧？因为我们看不到头。同样的是不是能近似的看成一条我们下面的铁路呢？可以近似的看成一条直线，但是我们一节一节的火车是不是可以看成线段呀？ 好，再来看一下我们这个船划龙舟，对吧？这个也可以看作啊，什么呀看成一条线段， 那我们来看一下，来回答下我们第一个问题，是不是我们刚刚已经说了，如果说过过一点呢，是能做无数条的，过两点呢，只能唯一的确定一条直线，所以说我们现在能得到一个结论，什么样的结论呢？就是经过两点只有一条直线，这条直线不论是谁画都是一样的， 那如何来减数呢？我们就说两点确定一条直线，这个大家能够理解，然后我说一遍，大家也能够记住，对吧？两点确定一条直线，两点可以唯一的确定一条直线，对不对？ 好，那我们来看一下，我们如何来表示我们直线 ab 呢？那我们不能一直用嘴上说对吧？我们数学呢，肯定要严格的去表示，要表示出来大家都认识，那如何来说呢？我们可以写直线 l， 直线 ab， 或者是直线 b a， 那我们来看一下我这三个表示表示方法，大家觉得有什么样的一个特点呢？是不是我们当我们用小写字母来写的时候，只用一个就可以了，当我们用大写的字母来表示，必须是两个，那这是我们的书写规范。 好，我们来总结下，所以说我们表示直线的办法呢？如果说用一个小写字母来表示的话呢？那就是一个字母就是用小写，两个字母呢，必须要用大写，但是我们在表示直线的时候，可以交换我们的顺序， 那我们继续来判断一下下列语句中是否正确。我们先来看一下第一个，一条直线可以表示为直线 a， 错了，对吧？我们要用小写的才能用单个的 一条直线可以表示为直线 ab， 也错了，为什么是要大写的两个同样的一条直线可以说直线 ab， 又可以说直线 b a， 也可以说直线 m， 那 第三个是对的，这个三个相信大家应该没有问题，对吧？也可以进行改正。 好再来看一下，观察下列图，说一说我们点和直线有什么样的位置关系呢？那是不是简单的来说，我的点 b 不 在你直线上呀？ 那如果说我画一个点 d， 那 就说我的点 d 是 不是在直线上呀？所以说我点和直线只有两个关系，要么是在直线外，要么在直线上，这个大家应该能够明白。 好，所以说我们可以说什么呢？直线 l 经过点 a， 或者是说点 b 不 在直线 l 上，两个都是可以的， 那我们继续如图，当我们把直线 a 和 b 进行相交的时候，我们知道啊，如何来说呢？是不是直线 a 和直线 b 交于 o 点， 当两条不同的直线有一个公共焦点的时候呢？我们称这两条直线相交，那反过来，如果他们没有公共焦点呢？那就叫做什么呀？平行了，对吧？所以说我们公共焦点呢，叫做这两个直线的一个焦点，这这个相交和焦点的概念应该比较好理解。 再来看，按我们的语句呢，就画出我们两个，第一个直线 e f 经过 c， 那 是不是我画一个直线，那 e f 可以 随便来写，那 c 呢？是不是这样就可以了？或者是这样都可以，对吧？ 这是第一个，第二个呢，指点 a 在 直线 m 之外，那我可以画一个 m， 那 标一个点 a， 是 不是我点就在我们 m 之外呀？那这是不是比较简单呀？我们来看一下。 好，都没有问题，那我们继续往后看，建筑工人呢？在砌墙的时候呢，我们可以拉我们的那个什么呀？参照线是不是左右两边可以拉一条？那用我们刚刚学的知识是不是两点确定一条直线呀？ 好，应该没有什么问题。再来看木板工人师傅呢？用我们的漠河去漠，呃，漠河弹漠线是不是也是两点能够确定一条直线，我弹的这个线段就是我弹的这个线，是不是就是唯一的也是直线呀？对吧？ 再来看一下我们的类比一下我们的直线表示办法。我们来想一下我们如何去表示射线呢？同样的，你可以用我们大写字母来表示，也可以用我们小写字母来表示，但是 当我们换了我们的大写字母的位置的时候，那你说直线 o a 和直线 a o 有 区别吗？ 是不是有区别呀？为什么？因为我们说了，呃，不涉县 o a 和涉县 a o 有 区别吗？是有区别的，为什么我们说涉县的时候一定先说端点，再说另一个点， 所以说我们涉县 o a 和涉县 a o 不是 一个值，一个涉县，那同样的，我们说涉县 d 是 可以的，所以说涉县要尤其注意 好。再来看类似于我们直线的表示办法，我们来看线段如何表示呢？是不是是一样的？线段 a b 和线段 b a 是 一样的，线段 a 也是一样的，是不是和我们直线表示的办法是一样的？ 来，我们分别来画一条直线、射线和线段，看一看他们之间存在一个什么样的联系和区别。我们先来看第一个他们的联系， 首先我们画一条线段 a b， 当我们延长一个方向的时候，无限延伸是不是就能形成射线？当我们相把我们线段两边无限延伸，就能形成我们的直线。 所以说我们能总结一句话，什么话呢？就是说我们的线段和射线是我们直线的一部分，对吧？ 是不是我们直线？是啊，包含最多的，这是我们三者的一个联系。再来看他们三者的区别。第一个图像大家应该会画，对吧？尤其是要注意画线段的时候，两端来表示 a b， 射线的时候，一端表示 a， 那中间的部分表示 b， 那 我们 a 直线呢？就在中间来表示，那表示就不用说了，以及我们的端点数和我们的度量。好，那我们来看一下我们的直线和射线，因为它都是无限延伸的，所以说都是不可 测量的，只有我们的线段才能测量，这个要注意他们的区别和联系。我们已经讲完了。 再来看当我们连接 ab 的 时候，就是要画出以 ab 为端点的线段，所以说当我们后面题目中出现连接 ab 或者是连接我们的 mp， 那 大家都知道它所说的都是我们的线段。 再来看延长 a b， 那 就是指从端点 a 到 b 的 方向延长，那是不是是这样延长呀？那你是不能这样延长的，对吧？我们知道啊，他说从端点延长 a b， 或者是那如果说这样延长呢？就是延长 b a 了，大家要明白这种说法。 再来看我们第三个延长线段 b， a 是 指我们线段从 b 到 a， 对 吧？也可以说反向延长我们的 ab 都是可以的，所以说我们要注意啊，在延长的时候看他的话术 好，按照我们下列的语句来画出我们三个图形，画出我们的图形，第一个经过我们的点 o 的 三条线段 abc， 这个好画吧，我们可以什么呀？画一个点，我们把它标为点 o， 然后呢画三条线段，大家要注意啊，是画三条线段， 所以说你这每一个线段啊，都要标端点，把它标上我们的字母标 l 一、 l 二和 l 三就可以了。再来看线段 ab 与 cd 交于点 b， 这也好画，对吧？把它们来来，不对，它是应该是这么画的啊。 来，他是 a， 他 是交于点 b， 然后 cd 是 不是就可以了？好，我们来看一下啊，所以说应该要绘画， 那我们的课就讲完了，我们来看一下我们的一个作业。第一个，下列语句中规范的是哪一个？大家来看直线 a 和我们的直线 b 交于点 m。 第二个，反向延长 ab 至反向延长直线，直线已经无限延长了，所以说他不能是延伸的啊。第三个，延长射线 o a， 那 你说 o a 能延，射线能延长吗？也是不行的啊，所以说我们只有我们的 d， 答案是对的。 好，来看我们第二道题，下列几何图像，与我们相应语言不相符的是哪一个？第一个，如图一所示，直线 a 和直线 b 相交于点 a， 没问题。第二个，如图二所示，延长线段 b a 到点 c。 第三个，射线 bc 不 经过我们的 a b 点，对的吧？第四个，射线 cd 和线段，我们的 ab 有 交点， 那你说不相符的是哪一个呢？是 b， 为什么？你看一下啊，他说延长我们的 b a 到点 c。 好， 那我们知道啊， 他所表示的这个是什么呀？是不是表示的是一个射线呀？如果说我按照他所说的延长，那是不是延长到 c 点就停止了，但是他出去了，所以说这个就不是了，能听懂对吧？ 好，那我们继续往后看，我们再来看一下第三道题，下列说法不正确的是，我们来看一下我们直接看不正确的是点 c。 为什么？你看一下 射线 ac 和我们的 bc 是 同一条吗？ ac 是 这个对吧？那 bc 呢？ bc 呢？是不是这一条呀？所以说它不是同一条，这个要明白。 再来看，当两条直线与我们另一条直线在我们同一个平面的时候，他们的交点个数， 那就三条直线吗？是不是他们的焦点个数可能有几啊？是不是像这种的话就是一条？那如果是这种的话就是两条，那像是这种的话就是三个，所以说他们的焦点个数有几个？有三个，对吧？ 好，再来看我们第四个，第五个如图所示，点 m、 p 分 别是从我们是是直线上 l 上从左至右的三个点。下列说法错误的是 c， 为什么？我们来看一下 点 n， 在 线段 mp 上，我们线段 mp 就是 这一节，那你点 a 都在外面了，肯定不对吧。所以说我们错误的是 c， 其他都是正确的。 那我们来看一下我们这堂课学了什么呢？是不是我们就主要学了直线、射线和线段呀？我们学了一个基本的事实，就是什么呀？两点能够确定一条直线以及我们的表示办法，如果说用大写的 就两个，小写的就一个，对吧？所以说最主要的是要区分我们射线 o a 和我们的射线 a o， 它是不同的两条射线。 要了解我们直线线段和我们的射线之间的相互的联系与区别，要读懂我们的一个几何语言所说的呃，事实，对吧？好，那我们这节课呢，就上到这里，我们下节课再见。

哈喽，各位同学大家好，我是旭老师，今天继续为大家讲解六点三的部分角。 首先我们来一起看一下本节课的学习目标，理解角的两种定义和相关的概念，掌握角的表示方法。 理解角的单位会用量角器测量，角的大小会进行度分秒之间的换算。了解方向角的概念，并能解决一些简单的实际问题。 我们一起来看一下新课导入部分。观察上边的实物，你能发现这些实物能抽象出什么样的共同形象？ 那首先看第一个钟表，时针与分针之间，它是有一个夹角，对吧？三角形，三角形有三个边，三条、三个角， 然后看一下这个是什么三角板，三角板呢，也是由好几个角构成，三个角构成对吧？ 那我们第一看一下第一个知识点，角的定义及表示的方法。 角的相关概念，一个是静态定义，有公共端点的两条射线形成的图形叫做角。第二个，这个公共端点是角的一个顶点，这个公共端点叫做角的顶点， 这两条射线是角的两个边。 角的相关概念的第二个动态定义。角可以看作是一条射线绕着它某一个端点，然后干什么进行旋转，得到的 阴影部分是角的组成部分吗？角包含两条射线所夹的平面所有的区域。 想一想，如果射线 o a 绕着 o 点进行旋转，当中指的位置与起始的位置形成一条线时，这是什么角呀？是不是是一个平角呀？ 那继续旋转之后呢？是轴角与原先重合，就叫做轴角。 判断哪些图形是角，这个是这个不是这个，这三个只有谁二，不是，对吧？ 然后下列说法正确的，平角是一条直线，它是不对的，是吧？ 那哪个是对的呢？两边成一直线的角叫做平角，两边成一条直线，这样的角呢才叫做平角。 角的表示方法，角呢，可以用三个大写的字母来进行表示，像 a、 o， b、 b、 o， a 都可以，但是我们一定要注意，要把什么顶点的这个字母放到中间， 我们也可以用一个大写字母表示，但是这样的表示方法只能是这个角唯一的时候，像最开始的时候，像这个时候我们可以用角 o 来进行表示，为什么呢？因为它角 o 所。

正方体找对面，老师教你一招一秒钟出答案的方法，哎，遇到这样的题就不要再发时间了，对不对？如图，正方体的表面展开图上写有我们热爱祖国这六个字，那么还原成正方体之后，国的 这个字的对面的字是谁？好，其实就一句话，那么就是什么呀？呃，我们给大家总结一个口诀，就是跳一跳啊，找对面， 然后什么呀，如果对面没有，那就是对面不在，拐个弯 就行了哈，就这两句话啊，就可以瞬间秒解这样的题。你看哈，我们小找国字，那么国字跳一跳，找对面，跳过这个爱字在这，是不是对面没有啊？对面没有拐个弯，哪边有字你就往那拐吗？拐个弯，所以呢， 他的对面的字啊，就是祖国的祖字，明白吧？可以呃，描解答。那么这道题你学会了没有？如果学会的话呢，把老师整理的这个几何初步里边的这个正方体的展开图这几大题型拿回去给孩子练一下。

好了，那看完视频呢，咱们还是先通过一些动态的演示啊，来体会体会，把这些立体图形啊展开以后，他会变成什么样啊？ 咱们先看一个三轮柱啊，大家看啊，这个图呢，你要会看实线部分是我们从前面看能看到的地方，虚线部分是藏在里面，咱们不能直接看到，但是心里知道他是这样啊存在的。 ok， 现在啊，这有个三连柱啊，但三连柱的展开呢，取决于你从哪剪开，展开图啊，其实你就可以换一个角度理解，就是我沿着一些线给他剪开来，然后呢给他铺平到一张纸上，是吧？ 那么这个三连柱呢，咱们去解释，沿着里面的这条虚线给它剪开来，大家看啊，拆开以后 各自往各自方向走，看清楚啊，先看左右两边，各自往左右两边打开，然后呢上下的这个图啊，上面这个三角形往上翻，下面三角形往下翻，最后呢展开来就长这样， 那我们来看看啊，这样其实就是三个面，是这样的，一个长方形，上下两个面是完全一样大的三角形，那这种情况呢，就是一个三棱柱的展开图。

朋友们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学千人上册第六张几何图形，初步六点一点一，立体图形与我们的平面图形。我们来看一下我们这节课的一个学习目标，那主要是呢，能够带领大家呢，了解我们的立体图形和我们平面图形的一个区别， 我们要会判断一个图形到底是立体图形还是我们的平面图形，能够准确的识别到我们简单的几何体。我们来看一下， 先来观察一下我们生活中的一些一些建筑呀，还有我们的一些标志，是不是都里面都会有我们的图形，我们之前大家应该在小的小学已经学过了，是吧？我们有圆形，圆柱，还有我们的各种各样的一个图形， 那再来看一下我们这几个，这几个呢就是我们的魔方，还有我们的一个化学元素的一个分子，是分分子呃，或者是我们的一个化学式，那我们来看一下这种图形呢，是什么呀？是不是 立体的呀？我们上面看到的是平面的好，所以说无论从我们的一些城市建筑，还有我们街头的一个交通标志，还有比如说立交桥呀，剪纸艺术，从我们的成像雕塑，那我们自然界中呢，有我们各种各样的图形，所以说我们图形呢是丰富多彩的， 那这些图形除了我们的颜色质量和材质这些性质之外呢？是不是还有什么形状大小，还有我们的位置关系。那我们来说 几何图形初步中的几何到底是什么呢？我们就是来研究我们物体的形状的大小和我们的位置关系的， 所以说大家一定要清楚啊，我们几何，几何到底学的是什么东西呢？一定是我们物体的形状大小和我们的位置关系，这三个是我们几何所研究的一个重点内容， 小学呢大家已经学过了一些，比如说点、线段、三角形，还有我们四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥，求都是我们的几何图形。我们知道啊，所以说我们几何图形是我们数学研究的主要对象之一，我们代数占一部分，我们几何也占一部分。 好，我们来观察一下我们的几何啊，我们如果说直接看这个整体，它是个什么呀？是不是一个长方体，如果看一个侧面呢，我们知道它是一个正方形，那看上面呢，也是一个长方形，如果说看棱的话，它是一条线，看点的话呢，看我们的顶点的话，知道就是 点，当我们把这些图形给它画出来之后，是不是我们知道啊？那就是长方体，正方形以及我们的一条线段， 我们竖的的一条线段，还有我们的一个点，所以说从整体上来看，他的图形是长方体，看不同的侧面呢，能够得到我们的长正方形或者是长方形，看棱会得到线段，最后看顶点呢，我们能得到我们的点， 再来看一下我们上面的几个，我们能得到什么呢？是不是我们来关从上面、左边、右边，或者是看整体，那是不是我们能得到一个圆柱或者是圆锥，我们能圆柱，对吧？然后呢我们也能得到我们的球，能从球呢也能得到圆，所以说我们长方体呀，圆柱呀，球， 我们的长方形，正方形，圆线段点都是我们的长方形，正方形点都是我们的几何图形， 所以说啊，我们数学不单单是一门，呃，什么呢？呃，我们所谓的学科，它是从我们实际生活生产中所延伸出来的科目，所以说大家在学数学的时候尽量和我们的生活生产来联系起来，相信就学的比较 不枯燥了啊，那我们来看一下，说一下我们下面的这些图形共有什么样的一个特点呢？是不是我所列举的这五个它都是我们的立体图形。我们知道啊，他们所有的图形的各个面都不在同一平面内， 对吧？你看啊，是不是都不在平行平面内啊？我们图形的各个部分不在同一平面内，所以说他就是立体图形。那反过来说立体图形是什么呀？就是说我们的图形中的各个部分不在同一平面内呢？那像这种的图形呢，就叫做我们的立体图形。 还能举出其他的立体图形吗？是不是很多呀？我们的，呃，除了我们上面所展示的长方形、长方体、正方体，还有我们的球，圆柱、圆锥，还有我们的棱柱和棱锥也是我们常见的立体图形，比如说我们图一中的一些帐篷，帐篷呀，螺母呀，这些都是棱柱对吧？ 好，以及我们后面的什么，嗯，金字塔给我们什么棱锥的形象，那我们来认识一下棱柱和棱锥，大家应该能很好的区分吧，我们的这个叫什么呀？六棱柱，他呢叫我们的四棱锥以及我们三棱柱， 如果让大家连线，是不是我们能够一一对应呀，所以说这些图形呢，都是从我们生生活中抽象出来的，也就画出来的，是吧？你还能再列举其他的一些棱柱和棱锥吗？我相信大家呢能列举很多，那我就不带大家来一一来列举了啊。 好，我们来观察一下小红的房间能看到哪些的立体图形呢？比如说我们的圆锥， 正方体，还有我们的长方形，正方形，是吧？还有我们的球体圆能列局好多好多，是吧？ 好，那我们来看第一个，能不能把这些立体图形和我们对应的图形用我们的实线连接起来，这太简单了吧，小学生都会啊，那我们就不带大家一一的连了，我相信大家应该都会啊。 好，再来看一下，棱柱和棱锥有什么区别呢？我们敢来看，是不是凡是能有什么棱锥或者是圆锥，他们除了一面，那其他的面都会相交于某一个点，所以这样的图形呢，我们就把它叫做锥体。 那圆柱和圆锥呢？是不是刚刚我说的除了一个面之后，其他的面都相交于某一个点，我们就把它叫做锥体，对吧？我们圆柱呢就不是了。好，上下底面一样，棱柱也是啊，那左右底面也是左右，左右的话，呃，不是，我们侧面呢，是一个长方形。 好，我们根据我们一有的经验呢，我们能否把我们的立体图形呢进行分类，想想大家如何来分呢？比如说 我们可以把正方体归为长方体放到一块，棱柱放到一块，圆柱放到一块，圆锥放到一块，棱锥放到一块，所以说呢，大家能分成各种各样的类，那看老师来怎么分啊？我们来看，我们可以把它分成柱体、锥体和我们的球体。 那柱体能分成什么呢？能分成圆柱与棱柱。那求呃，棱柱呢，又分为我们的三棱柱、四棱柱，五棱柱，对吧？同样的，我们的锥体能分为圆柱和圆圆锥和棱锥，对吧？这是一种分类，大家也可以 分成其他的类，都是可以的。好，我们来看一下棱锥呢，又分为三棱锥、四棱锥和我们的五棱锥。好，上面呢都是我们的立体图形。那我们来看平面图形是什么呀？那是不是说我们平面图形和我们立体图形刚好相反呀？大家还记不记得我们刚刚讲的平面立体图形是什么？ 我们的立体图形呢，是我们的所有的各个面呢，不在同一个平面。那我们的立体图形呢？我们的所有的面呢，都在处于同一平面，比如说我们下面的正方形，圆，还有我们的长方形，对吧？所以说我们这些 由简单的图案来组成的呢，他们都是我们的平面图形。我们来看一下这些图形有什么样的共同特点呢？是不是说 这些图形的各各个部分都在同一平面内，所以说我们平面图形和立体图形大家会区分了吗？我向大家说，哎，你不告诉我概念呢，我也能区分，但是呢，我们数学是比较严谨的，那我们来看一下他们的定义啊。再来说一遍平面图形呢，就是说 我的几何图形的各个部分都在同一平面内，我们把它称为平面图形。那我们立体图形呢，就是说我们的几何图形的各个部分不在同一平面内呢，我们把它称为立体图形，根据这个总结呢，所以说我们就能区分什么是立体图形，什么是平面图形。但是 我们立体图形和我们的平面图形呢，都不是严格区分的，对吧？比如说我们立体图形中有很多图形都是我们的平面图形，所以说他们之间也是相互有联系的。 好，第一个，下列几何图形中呢？含有曲面的是，那大家想一下，其中这个曲面我不用讲，大家应该都知道，比如说哪个有曲面啊？我问你，一有吗？没有吧？二有，三没有，四有，那就是选二四，是不是这是曲面，大家去理解就可以了。 再来看棱柱，哪个是棱柱呢？是不是很明显是 b 啊？第一个是圆柱对吧？第三个是圆，呃，棱锥，三棱锥是吧？我们的这个什么叫做棱台？好，四棱台。 再来看六棱柱，有几条棱呢？这前大家都是小学学过的，应该有十二个。再来看他说该作品中呢，没有几何体的，没有哪种几何体呢？我们看有棱柱吗？有。这个有圆锥吗？有。有球吗？有。那有圆柱吗？是不是没有圆柱呀？ 下面图形中呢？不属于平面图形的是。那这个比较简单了吧，我们来看，属于平面图形的啊，三角形，长方形，正方体，不是吧？圆形圆是吧？我们的四，呃，四棱锥不是，圆柱不是。所以说我们正确答案选一二四 来，直径为六十厘米的圆在生活中可能是什么？哎，这个太简单了，是吧？可能是我们的井盖的面，对吧。好， 我们简单的把我们的图形来分一下啊，是不是我们就能分成什么呀？平面图形和我们的立体图形。那平面图形包括 柱体，球体和锥体。那我们平面图形呢？包括我们的多边形，也就是四边形，五边形，六边形，还有呢圆压线段和角。我们的柱体能分为圆柱和棱柱，我们的锥体能分为圆锥和棱锥。最后呢 能助能分为三能助，四能助能追呢？我们能分为四能追，五能追。大家只要今天呢能够把我们的立体图形和我们的平面图形能够区分的了。然后呢这个图呢？每一种球体，每一种， 每一种呢？立体图形和我们的平面图形能够认识。那我们这节课的任务就学习目标就能够学好。呃，就能够学习目标都能够达到了。好，那我们这节课呢就上到这里，我们下节课再见。