初中全等三角形设计国庆主题几何图案

全等三角形手拉手模型是八年级数学考试频率特别高的一个模型，但对模型能够熟练掌握并应用的同学并不多， 今天我将从模型的特征、模型的四个结论、模型的结论的证明三个方面做一个详细的讲解。 首先我们来看一下手拉手模型有哪些特征。 ab 等于 a、 c 意味着三角形 abc 是 一个等腰三角形 a、 d 等于 a、 e 意味着三角形 a、 d、 e 也是一个等腰三角形。所以模型 的第一个特征是题目中含有两个等腰三角形，所以模型的第一个特征是题目中含有两个等腰三角形。所以模型的第一个特征是题目中含有两个等腰三角形，所以模型的第一个等腰三角形。 那么从图形上我们可以发现 a 点，它是三角形 a、 b、 c 的 顶点，同时也是三角形 a、 d、 e 的 顶点。 所以模型的第二个特征是这两个等腰三角形共顶点 角 b、 a、 c 等于角 d、 a、 e， 也就是这两个角相等。 那么从中我们可以发现这两个角分别为这两个等腰三角形的顶角，所以模型的第三个特征是这两个等腰三角形的顶角相等。 当题目中的条件同时满足这三个特征时，我们就要想到手拉手模型 前面的三个特征可以帮我们辨别出题目的考点是手拉手模型，那接下来的四个结论及其证明将可以帮助我们快速解析 结论。一、与腰勾全等，即三角形 a、 b、 d 与三角形 c、 a、 e 全等。那有一部分同学可能不知道如何找出这两个三角形，这里我来说一下方法， 那从图中我们可以发现， bc 为三角形 abc 的 两个底点，那 b 点在左， c 点在右， d、 e 为三角形 a、 d、 e 的 两个底点， d 点在左， e 点在右。 那接下来我们只需要将左边与左边的点相连，即 b、 d。 右边与右边的点相连，即 c、 e， 就可以得到我们所需要的两个三角形，这也是手拉手模型的名称由来，左手拉左手，右手拉右手。 从图中我们可以发现，在三角形 abd 中， ab 为三角形 abc 的 腰， ad 为三角形 ade 的 腰。 在三角形 a、 c、 e 中， a、 c 为三角形 a、 b、 c 的 腰， a、 e 为三角形 a、 d、 e 的 腰。所以我们的结论一是与腰共全等。结论一的证明过程我已经写下来了， 大家可以暂停看一下，有不明白的步骤可以在评论区留言，我会一一解答。结论二，拉手线等长， 即 b、 d 等于 c、 e。 这个证明的过程比较简单，它来源于结论一的证明，即三角形全等对应边相等。 结论三，两个拉手线形成的夹角等于顶角，即这个角角 b、 f、 c 等于角 b、 a、 c 等于角 d、 a、 e。 它的证明过程我写在了下方，里面用了一个八字型，大家可以暂停看一下证明过程。 结论四，顶点与拉手线的交点连线平分。拉手线夹角，即 a、 f， 它平分角 k、 f、 h 平分这个角。 结论四的证明我已经写在了下方， 大家可以暂停看一下，有不明白的步骤可以在评论区留言，我来解答。 另外需要说一下的是，这里涉及到了一个辅助线的添加，这个辅助线的添加是需要大家记住的，因为在解大题目的时候，他是需要写解析步骤，那这里面的辅助线添加就是我们需要用到的。 有了这四个结论，可以让我们在做选择和填空题时秒答题。理解了这四个结论的证明过程， 可以让我们在解大题的时候首先思路清晰，然后写过程也将十分轻松，因为这个解析过程其实就是结论的证明过程。

这是个七角星，所以他既可以用飞镖，也可以用八字，但要是我的话，我可能会选选择用飞镖啊， 我会选择用飞镖。我不知道你们看到的是哪个飞镖啊？我首先来个飞镖吧。哎，等会我应该用实线，我会选这个飞镖， 我选这个飞镖。我是不是就开始要三换一了，对吧？我就要三换一了啊。 我这个角 a， 这个角 d 以及这个角 e， 啊，以及这个角 e。 我 三换一，我先换到这来。好吧， 我先换到这来。这是我的第一组三换一。三个红的换，换一个绿的啊。换一个绿的。于是你的 a 没了，你的 d 没了，你的 e 没了，就变成这个绿的了。好，再选一个。选哪个呢？其实你面临两种选择啊，随便选一个，选哪个都行。 我再来一组三换一啊再来一组三换一。我选这个吧。 bfc， 这个 啊， bfc 能看到这又有一个蓝色的飞镖吗？这个蓝色的飞镖如果出来了，我又可以三换一啊。来，我这个蓝色的，这个蓝色的和这个蓝色的。 我是不是可以换到这个绿色这来，对吧？三个蓝色的换到这个绿色这来。这样我们的 f 没了， b 没了， c 没了，对吧？还剩个什么呢？就剩个 g 了，对吧？你这是不是都没了就剩个 g 了啊？这个 g。 这有一个绿色的角， 再加这两个绿色的角。有没有觉得跟我那个五角星那个题特别像，只不过他是个七角星，我得来两次三换一。我这个绿色的加这俩绿色的。你知道这俩绿色的要干一件事不？所以我们的答案是多少度 啊？我们的答案最终是多少度？放哪呢？就放这吧， 放这也行。嗯，这个走着， 那三个绿色的角加起来等于多少度？ 你应该把外边两个绿色的对顶进去，再去跟那个角计组合一下。三百一十六个人得三百六十度的。哪有三百六十度？ 三个绿色的角，你应该把下边两个绿色的角对顶进去，就跟角计组成了一个。什么东西。 不晚了吗？来倒计时啊，三二一。好，我们结束做答。这不就是一百八十度，就是一个内角盒呀，对吧？我应该把这个绿的 对顶进来，把这个绿的对顶进来，然后再跟这个绿的是不是组成了一个三角形？内角盒是不是一百八十度？

好，今天的话就开始咱们全等三角形的整体梳理嘛，咱们全等三角形主要考察的内容就是很简单，一个全等三角形的判定， 判定，那么既然是最终的总结模块的话，咱们就整体的来探索一下他到底在玩些什么内容。最开始讲解的是边角边 角边角角角边边边，最后有一个 h l， 对 吧？然后呢，为了讲判定之前呢，那前提我得先告诉你什么是全等三角形， 是什么？ 然后呢，是不是还要详细的讲解一下它有哪些东西，有什么？哎？圈的三角形有咱们非常熟悉的对应顶点，对应点， 对应边，对应角， 然后呢，全等三角形是什么？咱们是不是还得说一下是能完全重合的两个 的两个三角形， 也就是说和形状大小完全一样，只是位置不同 而已。好了，那这就是关于咱们全等三角形的全部内容吧，那 核心的考点是怎么考呢？那接下来的话，是不是就重点是在咱们的判定上了，确定三角形的判定吧，那他这个判定能玩哪些内容呢？ 是不是其实各位同学都比较清楚，无非是关于边的，还有角的边咱们可以把它通俗的称之为线段关系， 而角咱们就可以把它称之为角度关系吗？ 那么这个线段的关系它能有哪些呢？ 这就是咱们说的 a 圈的三角形，既然需要判定，那么它会干一件事，就是我不会给你完全的 条件，我需要把它藏起来，我既然要藏了，你就需要通过把我藏在哪个知识点里，有相等的线段，相等的角度你找出来， 那么这你就会发现了，他的线段关系到底会考哪些内容呢？咱们现在来就来详细的说一下。第一个线段的和差， 这个内容实际上咱们是很清楚的，因为咱们在初一上的时候，初十几何里边就学过线段的加减，线段中线是不是学过这些内容？ 好，那说白了加减，还有一个终点， 终点说白了也是加减嘛，因为是倍数关系，倍数也是加法嘛，那咱们就把它给拎出来吧，因为终点后边会玩的比较多，对吧？ 那线段的和差。然后接下来之后他又学了咱们的角平分线，因为这是后期先加的了角平分线的性质， 角平分线上的点到角两边的距离相等，就会得到一个线段的关系，有边等，对吧？然后呢，是不是就是到咱们的三角形了？ 三角形具体的实际上咱们能很好的线段关系是哪些呢？第一个是面积， 因为咱们可以涉及到一个底乘高除以二， 对吧？那通过这个同底或者是同高，反正是去进行面积的转换，得到其他角度的关系，线段的关系，还有特殊的三角形等腰等边， 因为这时，呃，咱们实际上如果往深了展开很直板，是不是两边两腰等， 这是三边等吗？ 然后呢，咱们其实现在 还有一个三线合一，但这个内容是后期的，所以说现在咱们先给他补起来，没问题，后期来观察这个知识点就行，那这就是三角形能考的所有方向了。 还有一个地方是什么呢？就是三边关系，但这个内容的话，会慢慢的考的比较少，因为没有必要啊，我考你这个三边关系的不等式，有什么必要呢？ 三边关系的话，唯一能考到的就是在咱们经常遇见的最值问题，这个核心基本上是在最值问题， 为什么？因为两边之和等于第三边就是他的最值， 就是一个考虑的方向，但这个内容的话，咱们后边再遇见了对质问题，再详细的去梳理。 而现在的话，咱们只需要有一个大概的出题方向，咱们先清楚的知道出题人老师到底想干什么事就可以了。那最后就是咱们的全等 三角形，那由全等三角形咱们能得到什么内容啊？很简单，第一个，咱们全等是不是有公共边， 对吧？公共边，咱俩这是咱们需要注意的吧？还有呢，是不是有咱们的全等由全等的边等吗？对不对？ 然后呢，这就全等的三角形里边还有各种形式，什么平移、旋转、折叠， 这些是不是都能构成一个全等，而且也能得到边相等，角相等，对吧？ 那么你就会发现，哎，这就是咱们线段内容目前来说所有能考察的了， 因为其中我还省略了几个不常考的点，比如平行线， 你要说平行线实际上也是可以加入的呦，因为平行线之间的距离相当， 但这个内容考察的内容会比较少，咱们就没必要把它单独的拎出来去回忆这个平行线的内容， 你看这就是线段它能考察的所有方向了，那么这是线段关系，那咱们角度关系又是哪些？角度还是一样先有角的和差 有区别吗？是不是一样的？这里边还是一样，咱们的加减，然后呢？角平分线， 然后呢它的加减会涉及到更多的内容，就是什么余角、补角， 对吧？然后找平分线是不是立马的，咱们能知道它的性质吧？ 第一个它是什么具体的内容， 还有一个它的性质，这是角度的和差吗？然后呢，它比线段多的内容是不是就是咱们的平行线？因为平行线里边有对顶角 判定和性质， 跟咱们角度关系有关的平行内错，同行 啊，那个，呃，同位同旁，内角互补，同位角相等，内错角相等，这是不是关于平行线的那种？然后呢？是不是还又到了三角形？ 那这里边的三角形很单纯，是不是内角外角等边？ 是不是三角形？能考的内容吗？你要说还能考，面积也可以， 但就不是那么常用了，因为咱们看到面积能立马想到的就是九十度，那既然都有九十度了没，没事，如果咱们单独把这个东西拎出来说就会复杂掉了。 好，那这是三角形。最后是不是就是全等？而全等实际上你会发现跟咱们这边的没有任何区别。他，你是公共边，我交公共角， 你是全等，我也有全等，你是平移折叠 旋转，这点我也有。咱们大哥不说二哥，那你就会发现了，实际上两个的内容是非常之相似的。 三角形全等都有平行线，除了角度多一个平行线，剩下的内容都大差不差， 这就是咱们整个全等玩的内容。因为只要你无论是藏角，那藏角的话就一定是从角度关系里面得到的，那角度关系一定是考这些内容， 如果你没学其他内容的时候，你他不会多考，因为你当前学的知识有限，不会往多了考。当你学了这个这些，当你藏了一个边，那这些线的关系就是考察的主要方向， 他藏了一边或者藏了一角，都是如此的，他不会进行复杂化，因为咱们没有学过知识点，他不能进行考。那如果咱们之后学了新知识点呢？咱们就需要分辨他到底是线段关系还是角度关系， 就像咱们初二上后边的内容。呃，轴对称， 那折对称有区别吗？是的，不好意思，我还得给你拉到全等里边去。折对称只配在全等里边，他不配单独列出来说他是一个线段关系还是一个角度关系， 他是属于全等里边的。好有的同学，哎，学的快的，这时候有可能会学到勾股了， 那勾股定律是可以单独拿出来玩的，它也一样，又能是线段，又能是角度。只是说我在这个行列里单开了一个小门框，而不是我重新学了一个不相关的内容。 因为 google 定律，我能直接得到线段长，也能通过特殊的角度关系，特殊的线段关系得到角度关系， 这是勾股定律。然后呢？哎，哪怕咱们再往后延伸，你学的平行四边形，请问有区别吗？那他永远是在这个框架内，而不是我们要单独的新开一个关系内容来。 平行四边形考的线段关系，考的角度关系，我只是需要在这两页单独的把它加进来考察方向就行。在后边的相似三角函数 啊，都一样，你只需要把它单开一页就行啊，不用单开一页，就把它加到咱们的这个考试框架里边就行， 因为整个初中的几何就考两个内容，一个是线段，一个是角没了。你要说其他内容，他考啥呀？他能考啥呀？哪怕最后的，哎，我加了一个非常奇葩的二次函数综合， 对，我把二函数加进来没了，那你跟我说几何能有多复杂呢？实际上它的主体框架就这些，我少一个边，少一个角，你给我找出这个关系， 我少两个边，少两个角，你通过以上内容给我找出关系，这是它的考察方向，这就是它的所有的考点了。 但是呢，咱们每次学习就是把学了一个内容之后，把前面的内容给忘记了，你并没有把它体系化。 那么如果咱们把它组合起来，你会发现你一初一到初三总共就学了这些几何的东西，然后代数式也同理，代数式也就学了那些代数式的东西， 那么咱们接下来就非常的轻松，因为我只学了这点东西啊， 那剩下的是不是只需要把这些内容给详细的给说出来就行？当我遇到了某一个条件，我能快速的反应出来如何进行展开他的知识点是什么，比如我看见九十度，我立马能想到鱼角， 我能想到垂直，我能想到面积，那你发现没，你是不是你的方向就有了， 咱们做题的思路就有了第一步，那有了第一步才能顺着往下走，不然的话，咱们就是永远卡在我没有做题思路上。 那么这个框架同学们可以尝试着自己去总结梳理一下，就你可以总结一个更为详细的你适合于你自己的方式， 因为这是老师按自己的习惯总结的，可能不是那么的适合你，但你可以以这个方向去参考， 因为咱们如果想要学的更轻松，一定要学会总结，而不是去记所谓的模型，所谓的套板，因为所有的模型。 呃，来吧，大家实际的去看一看。嗯， 呃，所模型搁哪呢？他们写的那些， 嗯，就像我做题，你看吧，我写啥步骤呢？ 只写一个长一角，长一角长角，这是在长变，这是在转变，只需要写这个东西就行了呀， 需要去想如何去什么啊？像这些什么什么通过平心找角，什么公共线段加减，啥玩意，需要去记这些内容吗？你这些旋转模型怎么旋转模型？什么对称模型 啊，什么飞机型，什么八字型，这些模型是真的没有必要去记了，因为你只需要记住一个，他是在考察什么内容，到底是考察线段还是考察角度关系呢？这些所有的模型它没用啊， 你与其计模型，想想不想做题，像这样的这道题到底在干什么？他在考什么啊？通过终点藏了一条边，一组对边，一组边相等啊，通过垂直藏了一组角，相等结束了， 那我搁这还写步骤干嘛呢？不需要了呀，是不是都是一样的呀？ 这才叫轻松的去做题啊，因为咱们一眼就看穿了这个出题人老师到底在考什么内容，那这时候咱们学习起来才轻松嘛。所以说这就是咱们的总体 关于全等三角形判定的所有使用方向了， 之后有升级版，那么老师再给大家分享出来。好，今天就到这。

ok， 继续我们三角形往下说啊，上次学的三角形的全等判定，现在往下来看一下三角形的尺规图做图 来。首先了解一下这个尺规图在几何作图中，我们把没有刻度的直尺和圆规做图称为尺规做图。其实尺规做图里面我们用的最多的是我们的圆规。圆规啊， 矢图图，做一条线段等于已知线段。第一步怎么样呢？先做一个射线 a b， 哎，做一个射线 a、 b， 然后用圆规量出我们这个已知线段的长量出来啊， 这是我们的圆规开口是吧？量出来再往上面截取是不就可以了？所以说尺规作图整体的原理是，直尺画什么？画直线啊，画射线这这样的。然后我们的圆规负责截取长度啊，看一下后面的 已知三角，这个角 a o b， 求做角 a 撇， o 撇 b 撇，使得两个角相等。呃，让我们做两个相等的角，还是啊，先确定一个边嘛，对吧？先做一个射线， 做一个射线啊，画这块吧， 做一个设限。然后呢，以 o 为圆心，任意长为半径画弧，开始交于两个点，比方说我，我以它任意长为半径画弧是吧，交 a 于 d 点，交 o b 于 c 点，现在得到两个新的点，然后他说以 o 撇为圆心， o c 长。哎，我把这段卡住，是吧， 为半径画弧，交 o 撇， b 于 c 撇点。那我给它画出来就行了呗。就我们的 c 撇， 以 c 撇为圆心， d 非常为半径画弧，交前弧于 d 撇。哎，看我们 c d 看一下啊，以 c 撇为圆心， c、 d 长为半径画一个弧， 这是我们刚刚的弧，画长一点， c、 d 长一半，箭化弧，那这连上就行了是吧？这是我们的 d 撇啊，连接，这就是我们的这个相等的角啊，相等的角。 然后再看一下我们的教学活动，在三，已知三角形的三边，求做三角形了。 a， b， c 求做三角形。 a， b， c， 使得他们三个边啊，围出来一个三角形做线段， b， c 等于 a， 先任意做一个，对吧？ 等于 a， 然后以 c 为圆心， b 为半径进行画弧。哎，这，这是我们的半径了，开始画弧啊，可以，可以，画很多呢 啊，咱就做一面就得了。继续， 此时再以 b 为圆心， c 为半径画弧，这两个边相交于 a 点，那这就是我们的 a 点，然后连上即可。三角形，这就出来了， 主要利用的条件是什么？三 s， 你 看，咱用以，首先先确定一个具体线段，比如说我把 bc 等于 a 了， 然后呢，再让另一个边，比如你看啊，他刚刚是以 c 圆心 c， b 长为半径画弧，那这就是我们的弧嘛，对吧？弧上都相等， 所以说以 b 为半径画弧，那我们这段就应该等于 b， 那 再以 c 为半径画弧，这段就得 c。 所以 这个，这就是我们使回作图的一个基本原理，主要是为了构造全等的三角形或者全等图形啊。 来往后看，已知三角形的两边及其加角，求做三角形。 哎，这个题啊，跟别的不太一样了，他给了两个边和这个加角长度，所以我们先得怎么样呀？确定一下我们的角度。哎，这个角度很特殊，先把角度确定确定下来，先把我们这个角做出来， 跟刚刚那个做角相等的就一样了啊，咱就不再过多展开了啊，以这个为原先是吧，任意长半径画弧交于 d 两点，然后咱把这个等角给它做出来啊。 做出来等角以后干嘛？截上一段？截这个角它两边可以无限延伸的，对吧？截一段得 a， 截一段得 c， 然后就完事了啊， 脸上，脸上，这就是我们三角形啊，哎，已知三角形的两边继续加角，求做这个三角形。刚刚说了咱就不再展开了啊， 一样的啊，不说了啊，不说了，比较简单啊， 所以就了解一下我们这一块的一个基本原理，其实没有想象中那么麻烦，其实就是全等三角形的一个延伸。看，再来一个。已知三角形的两个角和加边，求三角形，那咱是不得先把两个等角做出来是吧？嗯， 做两个等角，然后截取即可啊，做两个相等角，然后截取就行了啊。 已知两角和一角对边能不能做啊，那不也一样的吗，是吧，两个角，先把两个等角做出来，然后截取一个边啊，先做角，再做边，最后再做角也可以啊。 这是一个详细的作图步骤啊，了解即可。我们中考河北省的考察的时候更加侧重于垂直平行线啊，或者角平行线的一个考点啊，这块还是考的比较少的。 顺序角，边角加边角，是吧，角 作图语言作图语言，注意一下啊各位，这个作图语言作哪个角和哪个角相等，在哪个线上去截取，使得谁等于谁。这个线是直线或者射线啊，然后以谁为顶点，以另一个为边，做一个角， 做两个等，巧做线段，谁等于谁，连接什么或者连接谁，谁交于点什么啊，这就是我们的实践题了啊。

同学们大家好，今天我们讲的是全等三角形手拉手模型。手拉手模型是初中几何中非常重要且常见的模型，它的核心是共顶点、共顶点、等线段 等顶角。通过旋转构造全等三角形， 主要用于证明三角形的全等或相似。我们今天只讲全等。他得名于两个三角形共享一个顶点，就像这个三角形，这个三角形他是一个人，这是另一个人，这个顶点 是这个三，这个人的右手，这个顶点是他的左手点。 a 是 这个三角形，相当于一个人的右手点。 b 相当于这个人的左手，左手牵左手， b、 e 相连， a、 d 相连，他就相当于一个人左手牵左手，右手牵右手， 这两个顶点一定得相对应。将两个等腰三角形绕着公共顶点旋转，某一个角度完全重合自这两个三角形 构成的手拉手全等也叫旋转型全等，常用边角边判定定力证明全等。掌握该模型有助于快速识别图形关系，简化证明过程。在复杂图形中 常需要添加辅助线构造手拉手模型来解决问题。该模型通常涉及等边三角形、 等腰直角三角形，还有等腰三角形或者正方形等特殊图形，通过旋转产生全等三角形。下来，我们言归正转让第一种，它是双等边三角形， 他总共有以下四个结论，我们逐一证明。首先我们看条件，三角形 a、 b、 c。 三角形 d、 e、 c。 三角形 d、 c、 e 均是等边三角形， c 为公共顶点连接 b、 e、 a、 d 交于点 f， 这个点是 f。 让我们开始证明第一个三角形 a、 c、 d。 全等于三角形 b、 c、 e 这两个三角形都是等边三角形的话，我们就知道了 a、 c 他 和 bc 他 是相等的， 而又有 c、 e 和 c、 d 也是相等的。我们又知道这两个角它都是六十度，这又是一个公共角， 所以呢，这个角和这个角它就是全等的。因此呢，我们就运用 边角边就可以证明这两个三角形全等。这两个三角形全等了以后， b、 a、 d 是 它的一条对应边。接下来我们看第三个，第三个的话，它是要让证明角 a、 f、 m 这个角和角 b、 c、 m 是这个角。我们通过第一个结论三角形全等，我们已经知道了这个角 f、 a、 m 还有这个角 m、 b、 c， 它是三角形的对应角，也是相等的。同学们看，这里还有一组，这是对顶角。又知道三角形的内角和一百八十度角 a、 f、 m 等于一百八十度减 角 a、 m、 f 再减角 f， a、 m 角 b、 c、 m 等于一百八十度减角 b、 m、 c 减角 m、 b、 c 这两个是对顶角相等，这两个是对应角相等。因此呢，我们也可以就可以得出来这两个角也是相等，等于六十度，这个我们也没问题。接下来我们 连接 cf， 他 说 cf 他 平分角 b、 f、 d， 我 们也知道了，如何证明他是平分呢？是不是只要知道了这个点到角两边的距离相等，就知道这个这条 cf 这条线 就平分角 b、 f、 d， 我 们先做辅助键过点 c 分 别做 b、 f 和 d， f 的 垂线，分别交于 p、 q。 有 这个图像我们可以看出来，这 p 它是不是三角形？ a、 c、 d 在 a、 d 边上一条高了，而 c、 q 呢，它又是 b、 c、 e 三角形，在 b、 e 边上一条高。前面我们第一个条件我们已经证明了这两个三角形它是全等的，全等的话，它的面积也就是相等面积的话，等于二分之一，乘以 a、 d， 再乘以 c、 p， 因为它们全等，所以面积也是相等二分之一。 b， e 乘以 c q a d， b， e， 它是对应边相等，又有二分之一，所以呢， c、 p， 它等于 c、 q 两条高线，它是相等的。因此呢，是不是就可以得到结论， c、 p， 它平分角 b、 f、 d。 所以呢，第四个结论我们也就知道了。这四个结论呢，都是我们做题通常很常见的结论， 同学们一定要知道证明他的方法。接下来我们看这个手拉手模型，是由两个等腰直角三角形手拉手而来的，我们看 c 仍然是他的公共点 连接，这，这就让他们牵手了 b 和 ad 对 应点，然后再继续证明。我们看第一个 abc， 它是一个等腰直角三角形，这两条边相等，呦呦，这两条边也是相等， 这是一个公共角，这个角是不是九十度加公共角，这个角又是九十度加公共角。因此呢，还是运用边角边来证明三角形全等，全等了的话， b、 a、 d 仍然是对应边相等。这两个结论没问题， 现在他要证明第三个，是需要证明这垂直。来我们证明一下这个角是不是仍然是他们手拉手形成的一个夹角，夹角等于他的三角形的一个顶角，也就是这个结论。来我们证明一下。看 b m c， a， m n 这两个三角形，我们已经知道了这两个三角形全等，因此呢，这个角和这个角它是对角相等的， 而这又有一个对顶角也是相等。因此呢，和上面这一样，一百八十度接上 这两个角，角 a、 n、 m， 等于一百八十度。减角 a、 m， n， 再减角 m a， 嗯，这个角呢，它是角 a、 c， b， 等于一百八十度。减角 b、 m、 c， 再减角 c， b、 m， 这个是对应角相等，这个是对应角相等。没有。在这个三角形里面， b、 m、 c 中，我们知道这两个角加起来是 九十度，所以这两个角加起来也是九十度，所以这这两个角我们就知道相等的，它是九十度。所以第三个我们就证明出来了。接下来我们看第四个结论。第四个结论，我们连接 c、 n， 它仍然是要证明 c、 n 平分角 b、 n、 d。 我 们还是和上面一样，分别做两条边的垂线， 分别交于 p、 q 两点。第一个结论，我们已经证明这两个三角形相等，因此这两个三角形的面积它也是相等的，所以三角形面积它就等于二分之一。 a、 d 乘以 c， q， 这是 s 三角形 a， c、 d， 它就等于二分之一，乘以 b， e， 再乘以 c、 p， 这是 s 三角形。 b、 c、 e， 它俩是相等的。又有 a、 d、 b、 e， 它是三角形的对应边，所以这两个角也是相等的，所以我们仍然可以退出来。 c、 q， 它是等于 c、 p 的， 因此呢，结论也就出来了。 一个点到两条边，它的距离它是相等的，因此呢，这个点也在角平分于角 b、 n、 d。 这个结论我们也就求出来了。 接下来我们看两个都是等腰三角形的，这种情况说是 a、 b， c 和 d c， e， 它是共顶点 c 的 等腰三角形，然后在手拉手连接 d、 a、 b、 e， 这个点是 f。 我 们首先看第一个 a、 b、 c、 d、 c、 e 都是等等腰三角形，说明这两条边相等，这两条边也是相等。我们又知道了这个角，这两个角也是相等，这又是一个公共角，这个角它等于这个角。 所以呢，这个这两个三角形我们就可以站出来，他是全等的，仍然是要用边角边三角形全等以后，这是两条对应边也相等，没问题，他仍然是要证明 角 a、 c、 m 三角形，一个顶角和两条手拉手交界的这个角是相等的。接下来我们证明这是一个对顶角，这是一组对应角，用一百八十度剪， 我们方便的话，它会标成九二九三九四，一百八十度接九一接九三， 一百八十度减角二，减角四，这两个是对应角，这两个是对应角。角 a、 c、 m 和角 b、 f、 m 这两个角也是相等的，我们也就证出来了。 这证明的话，同学们还可以这样，你们看这个角分别这两个三角形， 它的一个外角，外角，这个是外角的话，它一个外角是不是也就等于这个角加这个角， 这个角也是加这个角，仍然等量等会还是一样的，还是这个角，这两个角相等，这个我们就证明出来了。接下来我们看第四个结论，但是要证明 c、 f、 c、 f 平分角 a、 d 平分角 a、 f、 d 这个角，因此呢，我们仍然是正因此，我们仍然是过点 c 做它的垂线，分别做这两条边的垂线。 我们已经证明了三角形 a、 c、 d 全等于三角形 b、 c、 e。 仍然我们还知道三角形 a， 三角形全等的话，它们面积三角形全等的话，它们面积仍然相等的。 这个是 p， 这个是 q 还是三角形 a， c、 d， 它等于二分之一 a， c、 d， 嗯，这个错， 这个是 b， 这个是 a， a， c、 d， 它等于二分之一的 a、 d 乘以 c， p， s。 三角形 b， c， e 则等于二分之一 b， e 乘以 c， q， 面积相等 a， d， b、 e， 它对应边相等。因此我们就可以得出来 c、 p 等于 c、 q， 是 不是我们又可以证明了 c、 f， 它平行角 a、 f、 d， 这个面对吧？这里我们都知道。接下来我们看双正方形四边形 a， b、 c、 d， 四边形 c、 e、 f、 g。 同学们看下这个有没有很熟悉？这个双正方形是不是和我们上面这个等腰直角三角形它是相似的呢？ 是不是就 b、 c、 d， e、 c、 g， 它就和上面这个等腰直角三角形是不是就类似了？ 只不过这个是在正方形还是一样的？我们看一下这四个结论的正面都是正方形的话，这两个 边相等，这两台边相等，这是九十度，这个是公共角。然后我们就用九十度加公共角，这边是九十度加公共角，因此这两个三角形它是全等的，还是运用边角边 全等了以后，这是对应边，这两条线仍然是相等的。接下来我们看还有证明它的正方形的一个顶角和这个手拉手这个夹角，它俩相等。 我们用就是刚才咱说三角形外角的那个方法，证明一下这个角分别是三角形 bcm 和 d、 m、 n。 外角。所以我们可以知道了，角 b、 m、 d， 它是外角，它等于角 b， c， m。 加角 m， d， n 又等于角角 d， n， m， 加角 m， d。 嗯，这一组是对应角，它是相等的。这有一个公共角，一个外角，因此呢，这两个角它是相等的。我们又知道了角 b， c， m， 它是相等的，等于九十度。 第三个结论，我们也就这样占领了。接下来，我们看第四个结论，他说， c， n。 仍然平分角 b， n， e。 因此，我们还是和上面一样，做垂线过 c， 做 d， e 的 垂线交于点 q 过 c， 作 b， g。 的 图形， b， g 的 垂线交于点 p。 我 们知道了这两个三角形相等，所以它的面积它也是相等的。 s， 三角形 b， c， g 等于二分之一 b， g 乘以 c p， s。 三角形 d， c， e， 它等于二分之一 d， e 再乘以 c q， d， e， b， g， 它是对应边，它是相等的，面积又相等。因此，我们可以得到 c， p 等于 c， q。 仍然，我们这个结论也就出来了。 c， n， 它的平分角 b， n， e。 的 同学们看一下手手拉手这四个模型的它共同的结论，它是不是都类似了？都是出现了 一组对应的全等三角形，而且手拉手形成的这两个线段它是相等的。手拉手这两条线段，它形成的夹角，与这个等腰三角形的顶角它是相等的。 我们又知道了顶角与这个手拉手模型这个交点连线，手拉手直线，它形成的一个夹角， 他俩是平分的关系。这就是我们这节课所学的知识点。手拉手模型，这个很常见，同学们一定要知道。好，这节课就上到这里，下次再会。