无穷小分析引论在哪买

今天我们来讲六百六的第十题，好，对于本题，你们发现它是 x 分 之一， x 分 之一，然后 x 分 之二，我们可以直接令 t 就 等于 x 分 之一，对吧？这样就比较好计算了，因为 x 是 趋零的，所以 t 就 趋于无穷了。注意，这无穷是趋，是有正无穷和负无穷的哦，好，写吧。 i 就 等于 利密塔，然后 t 去无穷，然后 e 的 t 乘以阿克泰林 t 比上一加一得二 t， 对 不对？好，我们来看吧， 如果 t 趋是无穷，那么对阿克泰利，他是去正二帕，二分之帕和负二分之帕的，对不对？好，因为他 t 趋无穷，然后把这个 e t 也给弄下来。 阿克泰利 t， 然后 e 的 t 就是 e 的 负 t 加上 e 的 t 喽， 对吧？好，我们来讨论吧。第一种情况，如果 t 是 处于正无穷球的话，正无穷球的话，你看阿克泰林是不是就处于正的，而不是 pi 了，你看这个 正无穷就是负无穷，那就去零了，然后他是去正无穷的，对不对？好，那无穷分之二分之八，那肯定也是去零的呀，对吧？好。第二种情况，如果 t 去负无穷的话，那么阿克泰利 t 就是 负二分之八了， e 的 负 t， 那 就变成正无穷了，然后 e 的 t 又变成零了，对不对？那也，那也是去 零的，对不对？无穷分之一个数肯定是小于零的，我发现零和零是相等的，对不对？零和零相等，说明他的极限就是存在了，那极限就是零了。 好，小雨，今天我们来讲六百六的第十一题，好，他说这个表示不超过 s 的 最大整数部分，然后求他的极限。对于这个函数，取整函数，我们要有一个不等式，一定要记住， 取整函数都不能收，它是大 x 减一的，然后小 a 等于它本身，明白吗？好，这个公式我们要记住。好，那厘米它，那这个 x 分 之二取整， 比如说变成大于 x 分 之二减一，然后小于等于 x 分 之二了吗？然后前面又乘了一个 x， 对 吧？那乘一个，那个时候我们肯定要考虑它是正数还是负负数，是考虑它是否有变号的。 好，那么，那么了，我们来分情况讨论吧。第一种情况，如果 x 是 正的，就是趋零正，好，那他乘以他，比如大于 二减 x， 然后小 a 等于 x 乘以变成二了，对不对？好，然后 x 是 去零的，那他就趋向于二了，然后他也是二， 根据我们的夹比准则，大喊一声，哪里跑，他也是二，对不对？好，零正是二。第二种情况，如果 x 是 零负的话，那我们乘乘以这个 x， 乘以这个 x， 肯定要编号了，对不对？好， 那么来写一下吧。那 r 它本来是小于等于小于等于 x， 小 于等于它，那么就变成大于等于了，然后大于等于二，然后它大于它变成小于喽。 然后就是 r 减 x， x 也是去零的，零负也是零，那就是二喽，它是二，它也是，也是二，根据我们的夹逼性质，大喊一声哪里跑？ 所以这题的答案就是二，他的零正等于零负，对不对？好，小雨，今天我们来讲六百六的第十二小题， 好，看到这个题目，我们会想到一个等价无穷小的公式，对吧？就是一减 cosine a 的 x， 然后他也等价于二分之 a x 平方，然后 x 是 去零的，对吧？ 好，那我们代入吧， i 就 等于厘米它 x 去零，然后我们看一下分母， 它就是二分之一，然后 x 平方，然后括号 n 减一，对吧？好，看，分子，这个是二分之，它是二，然后这是三，一直到 n， 那 么来吧，它就是二分之二分之一，然后 x 的 平方 再乘以二分之三分之一 x 的 平方，然后一直乘乘到二分之 n 分 之一，然后 x 的 平方，对吧？好，我们来化解一下，就厘米它 x 去零， 你看，这是从二分之一开始的，一直到三分之一，四分之一，一直到 n 分 之一，是不是总共有 n 减一个啊？ n 减一项，好，那二也就是 n 减一项喽，你看下面也是二的， n 减一项，那二就消掉了， 对吧？然后再看 x 平方，那 x 平方也是 n 减一项，分母也是 n 减一项的 x 平方，那就消掉了， 最后就变成，那这句也不用写了，最后就变成二分之一，一直乘三分之一，乘到 n 分 之一，那就等于如果我们再给他乘个一的话，乘以他这个答案并不变，对吧？他就变成 n 的 结成分之一了。 好，这里就到这二期考研数学答疑的方式，可以在你问的问题上进行涂鸦讲解，可以为您录制一个视频，逐步分析，直到为学弟学妹们讲明白为止。 为您答疑服务期间全天在线答疑，不限制题目次数，七天内有任何任何的不满意， 比如为您讲解的听不懂，比如回复速度太慢，均支持七天，无理由全额退款。超过七天不满意，或者是您找到性价比更高的达宜辅导团队，仍可以按时间比例退款。达宜学长均为九八五 c 九研究生，可提供考研成绩与学信网学历证明 答疑，均包含复习计划制定、督学等服务。复习计划可包含数学、英语、政治。我们会尽全力为学弟学妹们服务。好是一个计算法则啊，学弟就是如果这个二，这个符号出现在 n 的 右上方，就代 前方不等绝对值，这肯定是两个不一样的函数。感兴趣的二期考研的学弟学妹们可以主页私信我来试学。

今天我们要聊一聊现代分析里面非常重要的测度和概率的理论，这个理论是怎么从一些和我们的直觉相违背的一些现象当中发展出来的，然后又是怎么为整个数学提供了一个非常坚实的基础的？ 这个确实是一个很有意思的话题，那我们就直接开始吧。好的，咱们先来说说直觉的失效，就是当我们的长度和概率变得非常棘手的时候， 我们先来看第一个让人困惑的问题，就是有理数集。嗯，我们都知道有理数它是可数的，那我们怎么来看待它在零一区间上的长度呢？这确实是个很让人迷惑的地方。 其实如果我们把零一区间中的所有有理数拿出来，然后因为它是可数的嘛，所以我们可以把它一个一个的排列起来，那每一个点其实它的长度都加起来，你最后得到的还是零。 但是从另一方面来看，这个有理数集他在零一区间里面又是到处都有的，就是他是稠密的，嗯，所以你会觉得他好像又应该有长度，但是他偏偏就是零，这个就会让我们的直觉有点崩溃。没错，确实让人有点摸不着头脑。那如果说我们现在有一枚硬币， 我们不停的抛抛无穷多次，那为什么说所有可能出现的结果的序列，它的概率会让我们的直觉完全失效呢？这是因为如果我们抛无穷多次的话，它的所有可能的结果，我们是没有办法一个一个的列出来的。 嗯，所以这个样本空间它是一个不可书籍，那每一个具体的结果序列，比如说正反正反这样一直下去，它发生的概率我们直观上觉得好像应该是零。 对，但是问题就来了，你要怎么去处理这个无穷多个概率都是零的东西？对，这就会让我们的直觉完全没有用武之地，我们就不得不去找一些更严格的数学工具来帮助我们了。 明白了，看来我们得换个思路了。那接下来我们要讲的一个东西呢？它是测度论里面的一个非常核心的概念啊，叫做希格玛代数。嗯，为什么我们不能给直线上的每一个子级都去定义一个长度呢？这是因为在一九零五年，有一个数学家叫维塔利， 它就构造出了一个非常奇怪的集合，我们现在叫它维塔利奇，然后它就用这个集合。非常巧妙的证明了我们没有办法给实数集的每一个子集都定义一个长度，如果一定要定义的话，就没有办法同时满足平移不变性和可数可加性。 对，所以我们不得不去限制一下，我们只能挑出一些我们可以去测量的自己，这就是希格玛代数出现的原因。原来如此，那希格玛代数到底是什么？它有什么样的关键性质？其实它就是一个集合的一个家族，然后它需要满足三个性质。 嗯，第一个呢是它要包含全集，第二个是它对于补集的运算是封闭的。第三个是它对于可数病的运算是封闭的。对，就是你可以随便的去做补集，或者说随便的去做可数病，它都还是在这个家族里面， 它就像是一个自带了一个保护层的这样一个家族，你怎么折腾它都还是在这个家族里面，哎，你说的这个 borr 希格马代数，为什么它在分析学里面会这么重要？ borr 希格马代数其实就是我们从所有的开级出发，然后不断地去做补级和可数病，这样生成了一个希格马代数， 嗯，它里面的元素就叫做 bro。 那 其实分析学里面我们关心的几乎所有的集合都是 bro 级， 对，然后它还有一个非常厉害的地方，就是它可以用很多看起来非常不一样的简单的集合组去生成。 但是最后你生成出来的这个 bro 希格马代数，它的结构又非常的丰富，所以它就变成了一个连接拓普和侧度的一个桥梁。好的，了解完希格马代数，我们再来看看侧度这个概念。对，侧度到底是怎么给这些可测级去赋予一个大小的？ 然后它有哪些最核心的性质？其实我们有了这个可测极的集合 f 之后，测度它就是一个函数，嗯，它是一个从 f 到零到正无穷的一个函数，然后它要满足三个条件，第一个呢就是它的函数值总是非负的。第二个呢就是空极的测度是零。 第三个呢，也是最重要的一个，就是它的可数可加性，嗯，就是如果有一列集合，它们是两两不相交的，那么这一列集合的病的侧度就等于每一个集合的侧度的和 对，然后这三个性质就完全刻画了。侧度这个东西是如何去度量集合的大小的？哦哦，那勒贝格侧度到底是怎么严格地定义出我们熟悉的长度、面积和体积的勒贝格侧度，其实就是在 n 维欧式空间里面。对，然后所有的 bra 级上面定义的一个侧度， 它是唯一的一个满足。对于每一个矩形，嗯，它的侧度就是这个矩形的边长的乘积， 就是我们高中学的那个体积公式。对，然后对于一般的集合呢，它是通过一个叫做卡拉西亚多里条件的东西，嗯，通过一个外侧度和一个可测性的条件来定义的，它是一个两步走的一个过程。那这个勒贝格测度和我们前面讲的这个 bro 测度到底有什么区别和联系？ 其实所有的 bro 级都是勒贝格可测的，嗯，但是呢，勒贝格可测级比 bro 级要多，就是存在一些勒贝格可测级，它不是 bro 级。 然后勒贝格测度其实就是 pro 测度的一个完倍化。对，就相当于你把所有的那些测度为零的子集都加进去了，然后你就得到了勒贝格测度，原来是这样。 然后我们要讨论的下一个主题是可测函数。对，可测函数它到底是怎么定义的？然后它跟我们这个可测空间和 pro 结构到底是一个什么样的联系？可测函数其实就是两个可测空间之间的一个映射，嗯， 它要满足一个条件，就是说你在实数集这边取任何一个泊尔集，它的原像都得是 x 里面的一个可测集， 对，就是它把泊尔集拉回到可测集里面，所以它就是一个让两个空间的结构能够兼容的一个硬设。那可测函数它相对于连续函数到底好在哪里？可测函数它有一个非常厉害的地方，就是它对于极限运算是封闭的， 嗯，就是如果你有一串可测函数，然后你对它取上确据，下确据，上极限，只要它有极限，那么这个极限函数也一定是可测的。 对，这个是连续函数完全没有办法做到的。好，了解完可测函数，我们再来看一个非常重要的内容啊，就是勒贝泽积分的构造。 嗯，那这个乐卑泽积分他到底是怎么通过简单函数、非复可测函数和一般的可测函数这三种情况一步一步的建立起来的？其实他是一个分层的构造，就是我们先从最简单的简单函数开始， 嗯，简单函数他就是一个有限的限性组合，就是用一些特征函数组合起来的，那他的积分就直接是用这些系数和对应的集合的测度做一个乘积，然后加起来就好了。 对，然后对于非负可测函数呢，它的积分就定义成所有的小于等于它的简单函数的积分的上确居。对，那最后一般的可测函数呢？我们就把它拆成正部和副部， 然后它的积分就是正部的积分，减掉副部的积分，前提是这两个积分都要是有限的。那勒贝泽积分和黎曼积分相比，它到底强在哪里？ 离曼积分他是你把定义域切成一段一段的，然后你去做逼近，但是勒贝泽积分他是横着来，他是把直域切成一段一段的，然后他是用集合的侧度来做加权，嗯，所以他就会比离曼积分更能够处理一些非常复杂或者说非常不连续的函数。 对，然后它的适用范围就会更广，然后理论性质也会更好。懂了，那这个勒贝泽积分理论里面这三大收敛定律到底有多么的重要？这三大收敛定律简直就是勒贝格积分理论的灵魂， 嗯，就是它给了我们非常严格的条件，就是你可以放心的把极限号和积分号换过来。 对这个换序操作在分析里面是一个家常便饭的事情，但是他的合法性是要靠这三大收敛定律来保证的。所以说这三大收敛定律的条件和结论，我们应该怎么去理解他？然后他们分别有什么样的直观的意义？首先第一个是单调收敛定律， 他说的是如果你的函数列是单调递增的，并且逐点收敛到一个函数，那么你就可以把极限和积分换过来。第二个是法图盈利，他说的是对于任意的非负的函数列，你这个极限下积分总是小于等于积分的极限下。 然后第三个是控制收敛定律，他说的是如果你的函数列是主点收敛的，并且呢他是被一个可积的函数控制住的，嗯，那么你这个极限和积分也是可以换序的。好的，下面咱们来谈谈克尔莫格勒夫的这个伟大的动件， 就是概率论和测度论之间到底有什么样的对应关系。其实克尔莫格勒夫他就是把概率论完全的纳入到了测度论的框架里面， 对，就是它把概率空间定义成了一个总测度为一的测度空间，然后随机事件就是这个可测级概率就是测度，随机变量就是可测函数，嗯，期望就是勒贝格积分，然后几乎必然就是测度里面的几乎处处。 对，然后这样的话，所有的概率论的概念都可以用侧度论的语言来重新描述，然后所有的侧度论的定义都可以直接搬到概率论里面来用。然后我们再来看一看公里化的概率空间，嗯，这个概率空间，它的这个公里化的定义，以及它里面的这些事件域、 样本空间、概率测度，它们分别都扮演了什么样的角色？其实一个概率空间它是由三个东西组成的，嗯，第一个呢是样本空间，就是所有可能的结果的集合。然后第二个呢是事件域， 它是样本空间的一些子集组成的一个希格玛带数，对，就是我们可以谈论概率的那些事件。然后第三个呢是概率测度，它其实就是一个定义在这个事件域上的一个函数，它满足非复性、规范性和可数可加性， 然后他就把每一个事件都对应到了零到一之间的一个数，这个数就代表了这个事件发生的可能性的大小。那随机变量和分布以及期望这几个东西在公里化的框架下面， 他们又是怎么来定义的？在这个公里化的框架下面呢？随机变量他就是一个从样本空间到实数级的一个可测函数。 嗯，然后它的分布呢，其实就是一个由这个随机变量诱导出来的一个测度。对，它是把每一个括号集都拉回到样本空间里面，然后再用概率测度去算它的概率， 然后期望呢，它其实就是这个随机变量关于概率测度的一个乐悲则积分。接着我们要来看的就是两个概率论里面的非常重要的理论的成果啊，就是大数定律和中心极限定律。 嗯，那这个强大数定律它到底是说了一个什么事情？然后它这个几乎必然收敛到底在测度论的意义下是一个什么样的东西？强大数定律说的是，如果你有一列独立同分布的随机变量，嗯，然后它的期望是有限的， 那么这些随机变量的算术平均，它是几乎必然收敛到它们的均值的。对，然后这个几乎必然收敛呢？它的意思就是说这些样本均值不收敛的那些点组成的集合，它的概率是零。 对，所以它是一个纯粹的用测度论的语言来描述的一个东西，就是没有测度论的话，你甚至都没有办法把这个定论说清楚。哦哦，那中心极限定律里面说的这个分布收敛， 它到底在测度论的意义下是一个什么样的东西？中心极简定律说的是你有一列独立同分布的随机变量， 嗯，然后它的期望和方差都是有限的。那么这些随机变量的标准化的核，它是一分布收敛到标准正态分布的 分布函数，在每一个连续点上面都是收敛到这个标准正态分布的分布函数的。 嗯，然后这个也是完全是在测度论的框架下面才能够被严格的定义和证明的。所以说整个这个知识架构，从最初的那些悖论， 一直到最后我们的大树定律和中心极限定律，它的这个整体的脉络到底是怎么样的？其实它是一个非常有层次的一个架构，就是我们最开始是有一些直觉上的悖论，然后我们为了解决这些悖论呢，我们就建立了这个希格玛代数， 就是把我们可以谈论的这些对象先框定一个范围，然后我们再在这个上面去定义测度和积分， 有了这些之后，我们就可以构造出来概率空间。对，然后我们就可以严格的定义出来随机变量和期望，最后我们就可以推导出大数定律和中心极限定律， 所以这个整个的过程就是一个从直观到严格，然后从模糊到精确的一个过程。好的，那这个测度和概率的这套语言，它的统一的基础到底为现代分析学 打开了哪些全新的研究的方向？它其实就是把大小和随机这两个东西建立在了一个非常坚实的功理的基础上， 然后它就变成了现代分析和概率的共同的底座。对，然后它的下一步呢，就可以通向很多很多深刻的理论，比如说 l p 空间， 然后拉东尼科蒂姆定律、富比尼定律、条件期望央论，还有随机过程等等。对，然后这些东西呢都是在无穷维的空间里面，或者说在随机的环境下面去做严格的分析的一个工具， 所以它是现代数学里面处理无穷和随机的一个核心的利器。没错，所以今天我们其实就是带大家一起从一些非常违反直觉的悖论出发， 然后一起见证了测度和概率是如何一步步的为现代数学打下坚实的基础的。这就是这期播课的全部内容啦，然后感谢大家的收听，我们下次再见吧，拜拜。拜拜。