高数华里士公式

我就是你的 泪，但你会有，我却听不懂。

注意刷视频暂停，先来三十分钟速成一下高数来看这一页。 哇哦，好多公式呀，是不是又开始打退堂鼓了？你先暂停，仔细看一眼里面的大部分公式，你高中的时候就记住了，你说老师那剩下的也不好背，不好背就去看这个视频，两分钟就能背下来。他们就好比游戏里的技能，你不多记住几个，咋放大招咋做题。 在背过公式的基础上，我们看导数的运算法则也得背过这些式子，我相信你也很眼熟，因为中学咱们都学过。 看题，上面的那些式子，你背下来了直接求导就可以。稍微有点迷惑的就是要记住，下面二分制派是常数，你记住一点，常数的导数是零。 第二题，求两项乘积的倒数，等于前倒后不倒，加上前不倒后倒， 前倒后不倒就是你先求乘号。前面的式子，后面的原式直接放上去，前不倒后倒就是前面的式子，你原式放上去，后面放求倒的式子。这个公式在这，你把公式背过就可以了。下面你来暂停，做两道练习题，背过公式就能做。 接下来看复合函数求导，你首先要找到中间变量。啥叫中间变量？假设你要寄一个很珍贵的礼物给远方的朋友，但是这个礼物很脆弱，需要先放在一个小盒子里，然后再把这个小盒子放到大包裹里寄出去，这个小盒子就是中间变量。来看这道题， y 等于二 x 加五的四次方， u 就 相当于小盒子，二 x 加五就相当于那个礼物，所以 y 就 等于 u 的 四次方， 所以这个岛就等于 u 的 四十方的岛数对 u 求岛，然后再乘以 u 的 导数，写出来就可以了，这个叫面试法则。 面试法则又是啥意思？举个例子，大冬天的时候，尤其是在北方的同学，在外面的时候，你会穿的很厚，然后就在宿舍很热，有暖气吗？那怎么办？你是要从外向内一层一层的铺衣服？复合求岛也是，你是不是也要先拆外面的大包裹，再打开里面的盒子呀？ 提四提五提六都是复合函数求导。提五提六，稍微有点不一样。求 d y， d y 啥意思？ d y 叫微分，微分怎么算？可以先求导数，再代公式。所以 y 等于 f x， d y 等于 f， 导数 d x 这个练习题也是复合求导，一定要小心一点， d y 要先求导数，再套公式。删了复合函数求导来看引函数求导，那什么叫引函数？ x y 在 一对了，都在左边，这叫引函数，这样怎么求导？就是将等式两边同时对 x 求导， 注意， y 是 x 的 函数，所以这个求导可以用到复合求导的列式法则。第八， x y 在 一对，也叫引函数，两边求导就可以了。第九题，怎么求二阶导数？ 二阶导，第一步是两边同时对 x 求导，注意 y 是 x 的 参数。第二步，将第一步得到的式子两侧再同时对 x 求导， y 是 x 的 参数， 把这个解出来就可以了。这个练习题和前面的做法一样，只要知道它们是引函数，就可以自己暂停做一下。 下面我们说参数发生求导部分，学校可能不包含这一部分，你跳过就可以了。参数发生求导，你把公式背过就行。 x y 都是 t 的 函数，这叫参数方程，咱们中学的时候就学过，这是椭圆的参数方程吧。记住， y 对 x 的 导数是什么？是个分式，分子式， y 对 t 求导，分母式 x 对 t 求导。把这个公式背过。 第十一题要求这个参数方程在四分之派出的切线方程和法线方程。先求切点，切点在这了，再求斜率，这个斜率包括切线的斜率，法线的斜率。注意，切线的斜率就是倒数，那切线和法线是垂直的，所以法线的斜率就是切线斜率的负倒数。 十二题求二阶导数要背公式，一阶导在这了，就是这个式子，而二阶导是什么？二阶导是个分式，分子依然是一阶导对七求导，分母 x 求导。这个公式直接背过就可以了。 练习题也是一样的，你自己暂停做一下。下面我们看导数定义，要算分段函数，在分段点的导数要求左导右导。那什么叫导数呢？导数是因变量增量与自变量增量相等的极限， 好在这个里面左导是什么？左导音变量增量与自变量增量商的极限 显然应该是一右导是什么？一样的，算出来也是一左导右导都存在，还相等，所以零点的导数就是一 看练习题 f x 等于三 x 的 绝对值，这个里面零就是分段函数的分段点，要求分段函数在分段点是否可导，要求左导右导， 这个左导是负一，右导是一，所以导数不存在。下面来讲可导与连续。这里记住一句话，可导一定连续，连续不一定可导。来看这道题，求这个分段函数在 x 等于零处的连续性与可导性在 x 等于零处的连续性，要考虑极限值是不是等于函数值， 左极限右极限都等于函数值，所以它应该是连续的。那可导不可导呢？可导不可导可以用档次的定义来判断，导数是音变量增量与自变量增量商的极限， 这个左导是负一，右导是一极限，不存在，所以在这不可导。这些题你来自己做一下。接下来看第三部分，我们进行积分， 不见积分，首先把公式背的很熟很熟，一定要背过。其实咱们的积分公式和求导公式是一种逆运算，求导是往前迈一步，积分是退回来，你把前面求导公式背熟了，积分公式就好背了。你在这把积分公式背熟了，求导公式就好背了。 这些公式就是你们手机上存的那些锦鲤，佛祖保佑考试顺利背下来他们你的好运气就来了。 比如第一题 x 方的积分是什么？你直接看一看积分表里面哪个式子跟它占标带公式就可以了。第二个也是看看哪个式子跟它占标直接带公式。第二个表格是比较复杂的，积分的表格也得背过。第三题也是带公式，把公式找到直接带进去， 所以这个公式咱们要背的很熟很熟，这得练到啥程度呢？就好比你看到手机你就想划拉，他摸到篮球你就想投篮，听到音乐你就想摇摆，让他成为你生活里的肌肉记忆。你要把这个公式背的很熟很熟。第四个差的积分是积分的差，拆出来两个积分， 第一个积分和第二个积分，我们直接背公式就可以了。练习题也是再强调一遍，把公式必须背过。有些时候公式会进行变形，一般会怎么变形呢？看几个高中时候学的二倍角公式，你自己暂停回忆一下。 第五题，直接用二倍角公式来进行化简，就变成了这个式子。这个式子拿过来就是二分之一套算平方，分之一 是 second 方， second 方的积分是 tenth x， 也就是把积分表背过就行了。第六题，把分子乘开单写开，然后背积分表。 另外强调一下，我做了积分，写了半天，我做对了吗？对与错看两点，一是结果必须有 c， 如果结果没有 c， 你 一定错了。第二个积分结果的导数等于背接函数，如果等于你就做对了，不等于的话，你就得检查检查。 第七题，这个题就是你只要背过常见的三角函数和常见的积分公式就可以了，所以我们要用敏睿的眼光，灵活的使用这些公式，看见这个题就把不会的式子转化成我们背的公式。例如第八题，有这个式子吗？没有咋办？ 公式里面有 x 方加一分之一这个积分，所以这个分式我们可以把分子加一减一，再约分就可以了。编辑题都是熟记公式，下面我们看第一类换元法。第一类换元就是直接带公式，没法直接带咋办？没法直接带，你就得想办法凑一凑，凑成我们常背的那个积分表凑出来就可以了。 像这个题前面是二 x， 你 背公式的时候，注意公式里面的 x 不是 x， 是 方框， 像这个你一定会 cos 方框 d 方框的积分，而这个是二 x 方框，所以 d 凑方框，这么凑就多了二， 所以前面的二就没了。这是第一类换元，又叫凑微分，关键在于把计算表里的 x 看成方框就行了。这个也是五 t， d t 怎么办？就把方框写成五 t， d 方框就是 d， 五 t 前面差了一个五分之一， 像十一题，这是平方，这是一次方，所以要把 x 凑到后面来，凑的时候前面配个系数二分之一，就把这个凑成我们会的式子了。十二题，你只要知道余弦的导数是负的，正弦可以把正弦凑到 d 的 后面，写成负的 d 抛线就可以了。 这一块关于积分，熟能生巧，一定要把题多练一练，求导说，少练没事，积分绝对不能少练，下面我们看分不积分。分不积分的关键是正确的选择，要选对了，事半功倍，要选错了一些， sorry， 选择顺序是什么呢？ 反对密指三，注意这里面哪个函数最难？那肯定是反函数呗。第二难的是对数，最简单的是三角函数，所以从前到后是从难到易，从繁到简。进而我们选择 u 的 原则叫先苦后甜，哪个类型难，哪个是 u？ 看这题， x 是 密函数， cos， x 是 三角函数， 反对逆值三，所以 x 为 u， 记住这个 u 要选对了事半功倍，选错了一切， sorry。 十四题，如果背接函数只有一项，那么这一项如果是对数或者是反三的函数，把它设为 u 就 可以了， 这个是 u， 那 v 呢？ v 就是 x， 直接计算。十五题， x 逆值三，所以 x 为 u， e 的 for x 是 指数函数。反对逆值三，所以 x 为 u， e 的 for x 方求 d v。 十六题， x 是 逆函数，绕 n 是 对数函数，谁厉害，对数函数厉害，所以绕 x 减一为 u， 把 x 缩到 d x 的 后面去就行了。看这些练习题，这些练习题的关键就在于看清哪一个是 u， 哪一个是 v。 第二类还原法，其实就是见到二次根式，用三角函数代换， 看谁不顺眼就让谁消失，看哪个不顺眼就把哪一个设为 t 就 可以了。就用这个表格看这题，根号下 x 方加一的立方，见到根号下 x 方加一，二次根式，所以用三角代换，令 x 等于看成 t。 像这题怎么办？看谁不顺眼，让谁消失。根号二 x 是 不是不顺眼，所以用 t 等于根号二 x 就 可以了。注意注意，不管是第一类还原还是第二类还原，你怎么还原还是怎样把它带回去 练习。五也是看谁不顺眼，让谁消失谁不顺眼。根号下一加一的 x 去 me 这有个根号不舒服令 u 等于它，记住谁不顺眼，让谁消失就可以了。

泰勒公式一、 多项式是最简单的函数，因为它里面只涉及到加法和乘法两种运算。 本节考虑用多项式去近似的表示一个复杂的函数。 在微分的讨论中，我们曾经用一次多项式，也就是曲线的切线来近似的表示一个函数， f x 在 x 零附近， 约等于 f x 零加 f， 在 x 零处的导数乘上 x 减 x 零，这个 x 在 x 零附近啊，就说 x 减 x 零的角的值远小于一，请见微分内节，就是教材一百一十七页，公式五杠六。 那么这个近时公式的几何意义就是说，我们这个右端实际上是曲线在这一点 x 零 y 处的 切线方程啊。所以这个建设公司的几何意义就是局部用切线代替曲线。你看，在这一点的附近，在这一点的这个 园内，以这一点为中心的园内啊，这条曲线很接近这条切线。 例如，当 x 的 绝对值较小时， sin x 就 约等于 x， e x 方约等于一加 x， non， 一 加 x 约等于 x。 这在微分内节，我们得到了这些净值公式。 那么这个右端都是趋现在零 f 零处的切线 啊。你看 sin x 在 零圆点附近和切线非常，这个 y 点 x 这条切线非常接近啊， e s 方也是在零一处，和它的切线非常接近等等。 但是用切线竟是代替曲线的不足之处是一，精度不高。 因为曲线是弯的，直线是直的啊，你用直线来代替曲线，精度不高。也就是说， f x 减 p x p x 是 那个切线方程啊，它仅为 x 减 x 零的高阶无穷小。 二、适合范围较小，在离这个切点较远的地方，曲线和切线相差很大。 第三，这个误差对吧？他们的差，这个误差是用这个无高阶无穷小记号来表示，不容易定量估计，所以用切线近时代替曲线有以下不足之处， 为此，我们需要寻求一个更高次就是 n 次的多项式来近似的表示一个函数。 好，我们要寻求一个在 x 零附近啊，找一个 n 次多项式函数 p n x， 它是 a n 乘 x x 零的 n 方加 a， a n 减一乘 x x 零的 n 减一方。好，一直到 a 一 乘 x x 零，再加 a 零。 我们也可以把这个右端用连加符号写成 sigma， a k 乘上 x x 零的 k 方 k 从零到 n 加起来 啊。我们希望这个多项式与函数 f x 在 x 零处有相同的零到 n 阶导数。零阶导数就是函数值本身啊，就说它们的函数值相等， e 阶导数一直到 n 阶导数都相等。 为什么两个函数在一点处有相同的各阶导数，它们就非常接近呢？ 我们下面来解释一下这个这个呃性质啊，就说如果两个函数在一点处有相同的函数值和各节导数，这它们在该点附近就有较高的近视程度。 譬如讲，两个函数在 x 零有相同的函数值，说明什么呢？说明它们所表示的曲线在 x 零 y 处相交啊。你看，在 x 零处有相同的函数值，那这里就是它们图形的焦点，对吧？ 但是离开这一点，他们相差就很大了，所以两个函数只有相同的含。呃，两个函数有相同的函数值，只能说他们在这一点相交。 但是如果我们还要求他在这一点有相同的导数，有相同的导数，就意味着他们的切线斜率还要相等， 那么他们就有公共的切线啊，两条曲线在 x 零 y 处不但相交，还有还要相切。 看这个图形啊，他们在这里有公共点，而且斜率相同，也就说他们的切线有一条公共的切线，他们的他们有相同的倾斜程度或者说变化率， 这样他们就更接近了啊，就说他们离开这个点以后，他们的方向在这点附近，方向还是大体相同的，不像这个这个地方啊，他们的方向完全不一样， 所以他们的接近程度就更高一些。现在我们还要求他有相同的二节导数， 这个我们以后会说明。那么两条曲线在 h 零 y 零这一点，还有相同的弯曲方向和弯曲程度，这个叫曲率， 因为我们以后会知道啊，弯曲程度是靠一节导数和二节导数来决定的，你有相同的一节导数和二节导数，那你弯曲方向弯曲程度就一样，还有二节导数的符号决定它的弯曲方向， 所以他在这地方啊，不会像这个一个向上凹，一个向下凹，你看他们的弯曲方式，也就是凹凸性也是一样的，可见他们就在这一点附近，洁净程度越来越高 啊。所以两个函数在一点，有相同的函数值和更可能相同的，更可能高的相同的导数的话，他们就有较高的近视程度。 再举个例子，设想两个运动的字典的运动方程，在某一个时刻有相同的零到二阶导数，有相同的零阶导数，就是函数值相同，说明他们在 t 零这个时刻位置相同，对吧？有相同的位置， 但有相同的位置并不能说明他他们的这个运动，这个运动这个 状态也相同啊。现在我们还要求他有相同的一节导数，那我们知道这个一节导数是速度，所以他们在这个时刻还有相同的速度， 这样他们的运动规律就更加接近。现在我们还要求他有相同的二节导数，我们知道二节导数路程对时间的二节导数是加速度，所以他们的加速度也相同，可见他们 的运动规律就越来越近视了，对吧？所以两个函数在一点有相同的 函数值和相同的更可能高。尽可能高的各节导数的话，他们的他们的近视程度就非常高。下面我们用一个命题来 来这个描述这种近视程度啊。 c 函数 f s 和 g x 在 x 零处有相同的零到 n 阶导数， 零阶导数就是函数值啊。你看 g 在 x 零处的 k 阶导数和 f 在 x 零处的 k 阶导数相等， k 从零到 n 啊，那么这两个函数的差一定是 一。当 x 去 x 零时的 x 减 x 零的 n 方的高减无穷小。我们知道 x 减 x 零，如果很绝对是很小的话，它的 n 方是非常小的啊，而它还是这个无穷小的高减无穷小。 这个命题就描述了两个函数在 x 零处有相同的 n 到 n 解导数，那么它们的相似程度。 这就说明如果两个函数在一点处有相同的函数值和各节导数，叫它们在该点有较高的记时程度。 怎么证明这个命题呢？是这样的，我们实际上可以证明这样一个命题啊，这个是在呃，我们这个教材的第六版一百八十三页的十八题。呃，第七版这个题型 被三去了啊。他是这样说的，如果一个函数在 x 零处的零到 k 结导数为零，那么这个函数当 x 去 x 零时，是 x 减 x 零的 n 次方的高解无穷小。注意啊，这里是个结导数为零， 那么这个函数本身就是 x 减 x 零的 n 方的高解无穷小。当 x 去 x 零时， 那么什么叫高阶无穷小呢？就是 f 是 里面这个方括号里面这个无穷小的高阶无穷小，就要证明它和这个无穷小的商，随着 x 去 x 零，以零为极限啊， 只要把这个证明这个跟上面这个等式是一回事啊。分子是分布的，高阶无穷小就意味着分子和分子的商极限为零。 这个证明方法就是反复地使用罗密达法则，使用 n 减一次啊， 最后一次用这个导数的定义。这个我们已经在前面的五十二讲罗密达法则那一节讲过了，这里就不再重复了。 好，有了这个引理，那么刚才我们那个定理中的这个命题中的这两个函数的差，你看，由于他的这个 他们的差，他们有相同的导数，那么他们的导数的差就为零，对吧？所以这个差就满足那个刚才那个引理的条件。 所以由于 f x 减 g x 满足刚才那个盈利条件，所以它们的差就是当 x 去 x 零时， x 减 x 零的 n 方的高角无穷小啊。这样我们就证明了这个命题。 好，现在我们就希望这个 g x 呢是一个 n 次多项式，我们希望我们这个函数和一个 n 次多项式非常接近嘛。 好，现在我们写 f x 和一个 n 次多项式 p n， x 在 x 零处有相同的零到 n 阶导数，对吧？这个多项式前面讲过了，我们就希望这个 f x 和这个 p n x 在 x 零处有相同的零到 n 阶导数，那么它们的差，根据以上命题， 就是当 x 去 x 零时， x 减 x 零的 n 次方的高阶无穷小，对吧？好，这样我们把这个多项式移到等式的右端来，这个函数就可以写成这样一个多项式，再加一个非常小的一个高阶无穷小。 如果我们把这个高阶无穷小去掉，就得到一个近似公式，这样我们这个函数就用一个多项式的表示，近似的表示了啊，这个误差呢，就是这个高阶无穷小的绝对值。 下面我们就要问这个多项式，这个系数怎么取啊？关键是这个系数 a k 怎么取？ 如何确定这个系数 a k 呢？ 我们给出这样一个结论啊，如果这个多项式和这个函数在 x 零处有相同的零到 n 结导数， 那么这个多项式的这个 n 次密的系数 ak 将等于 k 的 阶乘分之 f 在 x 零处的 k 结导数，这就是这个多项式的系数啊，系数， 下面我们来推导一下这个结论。好，我们假设这是一个多项式啊， n 次多项式 p n x， 现在我们要确定这些系数 a 零 a 一 a 二到 a n， 我们求导啊。呃，第一项求导是密函数求导 n x 减 x 零的 n 方的导数是 n 倍， x 减 x 零的 n 减一方，对吧？ n 拿到前面来做乘积因子，这个是 n 减一倍， x 减 x 零的 n 减二方。 倒数第四项求导密降第一次三拿下来做乘积因子。倒数第二项，呃，第三项求导是二倍 x x 零的一方乘上 a 二，倒数第二项求导就是常数 a 一， 而最后一项求导是零。 所以这个求导以后啊，各项都降第一次密，而要把原来的密拿来做乘积因子，然后少了一项啊， 最后一项求导少了一项，我们继续求导啊，再求导。你看，第一项求导 n 减一，又拿来做乘积因子， m 又降低一次，这个 n 减二，拿来做乘积因子， m 又降低一次。倒数第三项，这里啊，二拿来做乘积因子三乘二乘 a 三， 然后逆向第一次 x 减 x 零的一方，倒数第二项求导就是这个系数了。二 a 二，最后一项求导又变成零，又少一项，各项又降低一次零。 我们依次这样求啊，再求一次导数，大家看，第一项变成 a n 乘 n 乘 n， 减一乘 n， 减二乘 x 减三方，然后这个倒数第二项求导是三乘二乘 a 三，最后一项求导是零。 好，现在我们把 x 零带入这些等式的两段。我们把 x 零带到第一个等式两段左端是 p n x 零，右端大家看， 把 x 零带进去以后，前面这些全是零了，只剩下 a 零，对不对？我们再把 x 零带入一阶导数两端， 那么 h 零处 p n 的 一阶导数，一样的道理，左端只剩下，呃，右端只剩下 a 一， 代入二阶导数两端，右端只剩下二倍 a 二，代入三阶导数两端，右端只剩下三乘二乘 a 三，三乘二就是三的阶乘，对不对？由此可知， 我们最终会得到这样一个结果，我们把 h 零带入 k 阶导数的两端，就会得到 p n 的 k 阶导数。在 s 零处啊，是 k 的 阶乘，乘 a 的 乘 ak 啊， k 去零，一直到 n， 然后把 k 的 结弦除过来，我们就得到 a k 的 系数，呃，就是个系数 a k 啊。所以，如果这个多项式和 f 在 x 零处有相同的零结导 n 结导数，那么这个多项式 k 次密的系数 a k 将等于我们把这个 k k 的 结弦除过来，等于 k 的 结弦分之 f 在 x 零处的 k 结导数。 这样这个多项式的系数确定以后，这个多项式就确定下来了。 好，如果我们这个函数在 x 零处和这个 n 次多项式这样一个 n 次多项式在 x 零处有相同的零导 n 阶导数，那么这些系数就是唯一的啊，就是由这样这个式子来给出的。 好，我就把它带进来， a n 写在后面啊，是最后这个啊，我们看倒过来写啊， a 零就是 f x 零 a 一 k 一 就是一阶导数， a 二就是二的阶乘分子，二阶导数 a 三就是 a 三就不说了啊。 a k 就是 k 阶导数分之 f 在 x 处的 k 阶导数，乘以 x x 零的 k 方。最后一项是 a n 啊， a n 就是 n 的 阶乘分之 f 在 x 处的 n 阶导数，再乘以 x x 零的 n 方。好。

泰勒公式很多同学觉得非常难记，非常困难，但其实泰勒公式是高数里最最简单的部分，最最好记的部分了，也不是能说好记，因为它根本就不需要记， 它的大部分公式都是可以推出来的，而且非常好推，你只需要记这一个公式就行了。这个公式我觉得， 呃，大家都是能看出来规律的。你看 x 方，它底下就有二的结成，三次方就是三的结成，然后这边是一次方，其实底下就有个一的结成，然后就是一，就不用写了。然后这边是零 s 零次方，其实就有个零的结成，零的结成就是一，它也没写。然后呢？ 它二次方啊，它就是 r 法乘 r 减一两项，三次方上面有三项，一次方上面就一项，零次方就没项，所以说非常简单，这个式子非常好记。那通过这个式子能推出来哪些公式呢？ 首先你第一个应该就能想到能推出来 x， 一 加 x 分 之一就是一加 x 的 负一次方， r 法就是负一，你只要把 r 法负一带进这个式子里面，你就可以写出来了，等于一减 x 加 x 方减 x 三次方。 举家，我只需要写四项，为什么呢？一般高等数学啊，你考试中啊，百分之九十九的情况都只会推到第三 x 三次方，三次方向不会再往里写四次方，五次向五次方了，基本上是不太会的。 所以说后面你根本就不用管了，你只需要知道前几项怎么推就行了，后面其实是同理的。然后你我知道一加 x 分 之一，那我就可以写一减 x 分 之一， 一减 x 分 之一怎么写呢？一减 x 分 之一，我们需要把这个负 x 看成一个整体，知道吗？看成一个整体，看成一个 x， 或者看成一个其他什么数字，然后你放到这里，放到第一个式子里，你这里的 x 就 等于负 x， 然后你把所有的 x 都改成负 x 就 可以了。你把所有 x 改成负 x， 就 变成一加 x 加 x 方。 这边改成负 x 是 什么？就是加 x 三次方，然后省略号，然后你有了这两个式子，就可以写 lone 了呀。 lone 一 加 x 也是不是可以写？ lone 加 x 为什么可以写呢？因为 lone 一 x 求导就是一加 x 方， x 加 x 分 之一，所以你把这里求积分回去，是不是就有 lone 一 加 x 的 它的展开呢？求积分一下一的求积分， x 减二分之一 x 四方加上三分之一 x 三次方， ok， 不往后写了？我就写了三次方，然后啰，一减 x 是 不是也同理？嗯，一减 x 就 求到就是这个，所以你往后写是一样的啰。一减 x 我 就不写了，然后还可以写什么？还可以写一加 x 方二分之一， 你同理。把这个 x 方看作一个整体，你把这里的 x 全都改成 x 方，就变成一减 x 四方加 x 四次方， ok， 就 不往后写了。 我有了一加 x 万分之一，你立马就能想到 arc tangent x 的 泰勒公式，因为 arc tangent x 求导就是一加 x 万分之一，然后，所以说你把这里求积分回去就行了。一求积分是 x 减去三分之一 x 三次方，其实这里就够了。那我再写一下吧，五分之一 x 五次方。所以说这里已经能推出来很多很多很多公式了。呃，还有什么？还有什么没有推的呢？还有个就是 sine x 和 cosine x 这两个东西没有推，是不是还有一个 arc sine x sine x， 其实你也可以靠这种方法推。为什么？ arc sine x sine x？ 求导。我觉得大家都知道是 一减 x 方分之一，它其实你把它写成第一，上面这种形式就是呃一减 x 的 方的负二分之一次方，然后呢，你把这个 负 x 方看做一个整体，而法这里次数，而法就是负二分之一，你仍然通过正的方法写出来，写出来之后呢，你再求积分回去就可以得到 x 三 x 了。但这个方法稍微有点复杂，我现在我等会会告诉你一个 x 三 x， 更简单的一种记法 就是其实你不用这么这么麻烦的，我们先看算 x 或算 x 吧，我们算这两个的泰勒泰勒公式你有一个知识点一定是要记住的。是什么知识点呢？就是等价无穷小。等价无穷小就是 泰勒公式的第一或第二项或第二项。 什么意思？就是我们平常说的三 x 等加乘以小，什么于 x， 那 它泰勒公式的第一项绝对是 x， 我 们平常说 ak 泰利的 x 也等加于等加无穷小于 x， 对 不对？那你看这里，它 ak 泰利的 x 第一项是不是 x？ 是 x， 我 们还说什么一减括号三 x 等加无穷小于二分之一 x 方， ok， 那 cos 多少 cos 是 不是就是呃一减二分之一 x 方？你一想一下嘛。所以 cos 的 泰勒公式前面一定是一减二分之一 x 方， cos 第一项一定是 x， 所以 这个也也是你不需要记的，因为我告诉你这个知识点，这个知识点非常重要的，这是一个， 就是其实等价物兄小就是靠泰勒公式推出来的，知道吧？我们是先有泰勒公式才有等价物兄小的， 所以说在有这个知识点的情况之下呢，我们再看一组，我们看平常我们说的，呃，一加而法 a 加 x 的， 而法次方，我们说的它等加无穷是多少？是一加而法 x， 对 不对？一加 x， 而法次方，看这里是不是一加而法 x， 所以 全都满足， ok， 所以 说现在我们再来推往后面的三 x 和三 x 泰勒公式。现在请你记住， 三 x 和 cos 函数，它的规律是完全一样的，就是它的所有规律都是一样的。什么叫所有规律呢？比如说它的次数规律，次数规律 cos 第一项是 x 零次方，第二项是 x 平方，它的次数是不是每次都加二，对不对？所以它后面你往，如果你想往后写，后面一定是 x 四方， 知道吧？然后就不往后写了，那这里呢？这里是，哎，第一项是 x 四，后面那一项 一定是 x 三次方，因为我说了它是每次加二，然后后面一定是 x 五次方，然后省略号， 这一点，请你记住，它的规律是完全一样的。还有什么规律？还有一个符号规律就是你扩三 x， 第一项是正号，第二项是负号，它的符号是正负正负正负 交错的，所以说三 x 也是一样的，那这里也是交错的，所以第三项这里符号，这里就正好了，那这里呢？这里第一项是正号，那第二项一定是负号，那第三项一定是正号。 还有一个最后一个规律，最后一个规律就是它的系数规律，系数规律这边是 x 方， x 方，这里是二分之一，它其实是二的阶层分之一，二的阶层分之一就是二分之一，所以说这里是四的阶层分之一。 这里是什么呢？这里前面有个一的结成分之一，发现没？所以就其实一就不写了。然后这里呢？这里是三的结成分之一，然后这里是五的结成分之一， 所以这就完全结束了。然后最后还有一点就是 cos 二 cos 的 函数公式，我刚才说了，你可以用转换求，但是 我告诉你一个简单的方法，就是我们平常这个次数只写了三次项，对不对？那我们前面这边到第二项其实就是三次项了，你只需要 arc sine x 的 前两项，其实就是把 sine x 这里的符号改成正好就行了，就是 x 加上 三的阶乘分之一 x 三次方。 ok， 后面你别管，根本用不到，你考试是不可能用得到，还会用到后面的，知道吧？我们只需要把三 x 的， 呃，第二个符号改成正好，就就是它的，就是 它的等加无穷小。我们说三二个三 x 等加无穷小，是不是 x， 那 第一项就是 x， 所以 说它的公式板块的所有内容就结束了。关注我一天一个高数技巧。

这个账号会发一些关于高数的题目，后面也会持续更新。这是一道函数极限的计算题， 这里介绍一种解法是泰勒公式加等价无穷小。首先介绍几个常用的泰勒公式，这里之所以不用 x 而选用其他的符号 e 在 表示，不必拘泥于固定的形式，只要满足条件就可以使用。 以上这些公式都可以作为结论记忆，并且可以直接使用。由之前的公式。 题目可以这样解，原极限中的分母部分由劳盈加 x 的 展开式等价为 x 的 三次方，分子部分使用对应的展开式净次等价，然后运算得到最终结果是二分之一。 当然还有些其他的解法，比如落笔打法则也可以。 如果极限题涉及到三角函数与反三角函数，或者套在一些基本的等价代换，比如这样，则可以用下面的图像， 图像展示了各函数在零点附近的粗略的大小情况。请在涉及到三阶的函数极限计算题目中，具体关系是，三阶的 x 大 于二个三 e x 大 于 x 大 于三 e x 大 于二个三 e x。 这图像最主要的利用价值是，每相邻的两条曲线之间相差一个六分之一 x 三次方。这图像可以这样记，它的 x 最大 直线直向直线， y 等于 x 在 中间，它的上下各有两条曲线，其中对应的三角函数以反三角函数，比如这个三 x 和二个三 x。 关于这个直线对称， 那有了这个。再来看这个题，是二个三 e x 和二个贪心 x， 然后找到它们的位置，在这和这它们直接相差一个两个三个三个六分之一 x 三次方，所以上面就可以直接写成二分之一 x 三次方。 然后展示一种常见的错解，就是由这两个等价物从小原极线上面直接成零了，就得到结果是零。这个错解的问题在于精度不够，所以举一个例子用来模拟大胆的展开。 张三和李四的年龄是分别是十八年五个月和十五个月十天，李四是十九年八个月二十五天。然后做以下计算，首先是李四减张三比张年等于一，这个认为是对的。 第二个李四减张三，再减去一年比上月除以这里上面的年已经全部抵消完了，如果就不再进行其他的修正，直接等等于零，那就是错的。正确的应该是李四减张三减一年比上月 年，因为年底消完了，所以要考虑月月，这里减完之后是三个月，然后天认为是月的等价，高阶无穷小，高，高阶无穷小，最终结果是三，这个认为是合理的。出于这个例子中，认为天是月的高阶无穷小，月是年的高阶无穷小。 根据上述错解和例子可以发现，它的公式就是把函数拆成基础项加精细修正项，等价物从小就是相当于拿了基础项 做近似，如果发现被抵消或者精度不够的时候，就需要更精细的像来修正。

你转本高速现在要考不到一百分，那么这期你算到了，王哥就挑战用一张 a 十纸带你学完第一张转本高速所有的必考点。第一张我们要学习的肯定先是极限，极限只需要学会俩，一个叫公式，一个叫题型。 公式我相信很多同学还没背下来。零分之一等于无穷，无穷分之一等于零，无穷小乘以有界等于零。大家要明白，零其实就是无穷小，有界就是善也无穷，或者是口善也无穷。 最后一个可以当成性质来做，当极限结果为一个常数的时候，分母极限为零，分子极限一定为零，我们能列出来一个表达式，这是非常重要的一个公式。 题型我们专人本一共会考这么多题型，第一个无穷比无穷，我们可以用两种方法来做，第一个叫抓大头，第二叫落必达，所以你的内心就要想抓大头，怎么用？分子只有最高赤密，分母找最高赤密相，然后他俩比较，如果分母 大于分子，那我的答案大家也经常做，是不是就等于零了？如果分子跟我的分母相等的时候，那这道题答案就是系数之比，对吧？各位，这要一定重点注意， 还可以用洛必达法则，洛必达法则的用法就是分子、分母，我们分别要进行求导，这是大家一定要熟背的。经常考百分之百考 零比零类型是我们大题当中一个八分的题，是经常要考的。等价替换和洛必达来解决零比零问题。等价替换当中有八个公式，这个公式 太重要了，各位太重要了。一共什么塞？整体等价于整体，谈近的整体等价于整体。一共有八个啊，各位一定要熟记这八个公式。洛必达法则跟之前是一样的，这是零比零类型 一的无穷赤觅，他总考三分题，也就是所谓的选择题，先写一个，一赤觅未知不变乘上括号整体减一 e u， 什么 v 减 e i 这个形式表达的啊。还有一个就是经常爱考大题的比较难一点的题型，就是零乘无穷给我换成倒数无穷比，无穷给我通分去做，最后都能转化成零比零，或者是无穷比无穷。 各位，这个是题型，你只要把这些题型学会，极限二十多分的题你就全部都能拿到手了。还有一个就是他衍生出来的，能衍生出来一个叫无穷小， 高阶无穷小，低阶无穷小。他考三分题，把他给我熟记了。还有下一个三分题，要么考连续，要么考间断。这些年选择题第二题经常考的是间断点， 百分之五十概率是可去，百分之五十概率是跳跃，明白了吧各位，什么叫可去？别背你那么多复杂的公式了，就给我背。左极限的值等于右极限的值，不等于中间点那个函数值，这个东西叫可去，什么叫跳跃？左极限的值不等于什么右极限的值，这东西叫跳跃。 如果结果等于无穷，叫无穷的点，如果结果是山野无穷，或者是口山野无穷。这道题就真大，非常简单，别给我背什么 lem 什么什么了，那个东西它不太适合你。 除此之外，这一张你还需要掌握的内容就是这几个画图像，你一定所有图像都能画出来吗？比如说 y 等于根号 x， y 等于 x 的 二分之三次密，这图像能画出来吗？ g 函数 y 数你百分之百会吗？我问你， e 的 次密是什么函数？三角函数值你百分之百能写对吗？各位，你知道会？ 我说三元零，你知道等于零，那我问你，三元二分之一，三元多少多少你不一定知道。还有一个零点定律，这些年都考真题了。如果你能把这些东西都学会了，各位，你的专升本高速你一点问题都没有了。

没时间解释了，高等数学最难的题目，三角函数相乘的不定积分，一分钟十道题不在话下，来吧，请看这类题都像这两题这样，是三乘三塞尼方，或者塞尼乘扣塞尼什么的。要做这一类题型，我们只需要背下这一串公式。像这一题 求的是三元乘三，对应这一串是这一行，在这一行里， c 后面分别是 alpha、 beta 对 应这里的是三 x、 x， 那 我们就将三 x 带入 alpha， x 带入 beta， 套到后面这一圈里，即可得到三元乘三形式的转化。 算一下这个式子，可以算出结果是这个，因为三乘三等于它，所以三乘三的积分也等于它的积分。列出来是这样，这个积分是两项相加的积分，所以它等于这项的积分。加这项的积分。写出来是这样， 这两个积分很简单，很容易，我们即可算出本题答案是这个。我们再来一题，一样还是套这一串公式。在这里是三英方，对应这一串是三英方的公式， 三英方后面是阿尔法，对应这里是 x， 那 我们就将 x 带入这个公式即可。把这个积分转化成这个样子，这个是两项相减的积分，它等于这一项的积分减去这一项的积分，写出来是这样， 这两个积分十分好算，套公式即可求出，所以很容易，我们可以求出本题答案是这个。怎么样，你学废了吗？

一个视频带你速通定积分的计算，不管你是期末临时抱佛脚，还是考研复习，这一条视频都能帮你一次性把它搞定。我们定积分的计算其实有很多很多的方法，那对我们来说最为常用也是最为重要的，就是我们的牛顿莱布尼斯公式，也就是微积分基本定律， 也就是说，如果说我们对于 f x 的 在 a 到 b 段的定积分，如果说我们能够直接找到 f 的 原函数的话，那么我们就直接可以利用牛来公式来进行计算，也就是直接就等于这个原函数在 b 数的值减去在 a 数的值，那我们来看一个例子， 那这个例子呢，如果说想找它的原函数方法呢，对我们来说非常熟悉啊，就是很基本的分布积分，那我们来看分布积分在定积分里怎么进行操作，那我们很容易就能够看出来啊，这个 e 的 x 方跟 d x 凑一分之后，我们做分布积分，那就是先拿出一个 x e 的 x 方出来，然后 分布积分，结果之后是这样，那在分布积分里呢，我们就要多写一步啊，比如这里面啊，这个元函数，我们要把这个零一的值算出来，然后还要把后面这个积分啊，也要写成零积分的样子。当然呢，如果说你说你直接算出了元函数是什么啊，那我们最终直接就能够给出 写成元函数啊，在一处的值减去在零处的值，然后计算，那就是在一处的值就是零，在零处的值就是负一， 最后结果就是一。我们再来看换元积分法，那我们前面呢，在不定积分的换元里讲过，定积分的换元跟不定积分的换元区别在于呢，我们定积分在换元的时候一定要注意，在换元的同时要注意 积分上下线也要跟着变，这就是我们所谓的口诀叫换元必换线。好，我们来看这道例题，这道例题呢啊，很容易在我们讲换元的时候讲过啊，这是很典型的根式换元，也就是我们令 t 等于根号 x， 那 这个时候换元必换线，我们来看 积分线怎么变化，那 x 是 从零到四积分，那根号 x 很 容易看出来它是从零到二的积分，这个时候还原之后就是一加 t 分 之二， t 比 t 这个去找它的原函数比较容易，这是一个假分式，那假分式我们已经看出来，它可以拆成一个 常数加真分式啊。最后我们分别对它进行积分，找到原函数就是二， t 减二倍，绕眼一加 t 绝对值， 然后微积分基本定律分别代入二啊，代入零，然后他们相减，最后结果得到四减二为零三。那当然我们有牛来公式这么一个非常核心的微积分基本定律， 理论上来说，我们对于任何的定积分，只要我们能够找到这个函数的一个原函数，我们都可以用牛来公式去求，但是呢，我们 将会碰到很多很多比较复杂一点的函数啊，这种函数你要是找它原函数也能找，但是要费很大的力气，这个时候呢，我们就要讲究一一些技巧了。首先我们可以利用定积分的几何意义，那对于一些比我们比较容易画出图像的函数，我们就可以利用这一点去给它进行积分。 我们知道定积分的几何含义是函数图像跟 x 轴在我们积分区间这一段围成的，叫做带符号的面积。什么叫带符号的面积？就是如果这一段图像在 x 轴上方，那这个面积就是正啊。如果说这段图像在 x 轴下方呢，我们就取这个面积加一个符号， 这就叫带符号面积的含义。那我们接下来来看这三道例题。首先第一道例题，我们非常容易找到原函数啊，当然可以用原函数方法去做，就是 a x 减二分之 x 方，然后你利用的公式去算就完事了。那还有一点我们注意到啊， 这函数作为一次函数，那我们图像很容易画出来，它就长这样，然后呢，它的 y 截距是 a， x 截距也是 a， 然后那正好零到 a 这一段，它的几何含义就是这个小三角形面积， 所以我们就很容易算出来这个小三角形面积是什么呢？那就是二分之 a 方，立刻就求出来了。第二个呢，其实这个找圆函数我们也练过啊，我们用三角换圆也能做，只不过呢，当时做的时候确实比较麻烦 啊，让函数写了半天，最后你还得把它换回来，那很麻烦。那利用定积分的几何含义，其实我们就很简单了，为什么？比如我们看这里面，如果另外等于根号下 a 方减 x 方的话，那我们很容易找到关系， x 方加外方等于 a 方，说明呢，这个函数图像它是一个什么呢？ 他是以零圆点为圆心，以 a 为半径的这么一个上半圆，因为我们说 y 是 要大于等于零的，然后那他这个零到 a 段的积分就是什么呢？那是不是就是这么一个四分之一圆的面积 啊？那我们就很容易算出来这个面，这个结果就是四分之派 a 方。第三个，这个对我们来说，想要找到他的换元，找元数不太容易，但是呢我们注意到，如果我们另外等于这个根号的话， 我们反写一下它的关系，我们最后呢整理一下，会得到它是 x 减 a 的 平方加 y 的 平方等于 a 方，说明这个函数图像是什么呢？说明这个函数图像是以 a 零为圆心，以 a 为半径的这么一个上半圆，然后我们看它考虑的啊，是零到 a 的 积分， 那零到 a 的 积分是不是还是这么一个四分之一的面积，最后结果当然就是四分之派方。那如果说这个题啊，如果我们考虑零到二 a 的 面积呢？ 零到二的积分啊，那就是这么一个整个半圆的面积，那它就变成了二分之 pi。 下面一个技巧比较重要，我们来看，如果说被积函数是积函数，或者它是偶函数，并且注意下面的条件， 积分区间要关于原点对称，如果满足这两个条件的话，我们就可以利用奇偶性来计算。我们考虑负 a 到 a 一 段 f x 的 积分，那我们首先考虑 f x 是 奇函数的情况，那如果说 f x 是 奇函数的话，根据我们定积分的几何含义， 那这个函数图像它是关于原点对称的，那比如说我们去考虑负 a 到 a 的 这一段， 那我们从图像上可以看到，因为这个图像关于圆点对称，所以说呢，这一小这两块他们的面积相等，但是呢，我们说几何含义是带符号的面积，所以说呢，那这一段上，他这零到 a 这一段图像在 l 上方，所以是正的负 a 到零这一段图像在下方，所以它是负的， 那一正一负正好就被抵消掉了。所以说我们说对于奇函数的情况，在对称区间上的积分，最后值变成了零，那我们再看 f x 是 偶函数的情况，那偶函数的情况的话，我们从图像上来看，图像呢，关于外轴是对称的，那 负 a 到零一段和零到 a 一 段，它们的面积都是相等的，并且呢，我们看到它们都在 x o 的 上方，所以说呢，最后呢，我们如果是偶函数的情况，我们可以通过 这么一个运算，把它啊把这个积分之间给缩小，使我们这样会使我们的计算变得减变很多。我们接下来看一道例题， 那这道例题里面呢，我们根据定积分的性质，我们当然可以把这两个看成两个函数，分别进行积分来计算，它的难点在于我们后一个积分， 如果说你用传统的牛来公式想找元函数呢，不太好找，你要三角还原，三角还原完了，你还得一通算。但是呢，我们首先注意到这个积分区间，它关于零对称，其次这个函数它是一个奇函数， 所以我们根本不用管他的记分，那他在负三到三的记分自动就是零，我们不用看了，所以我们只需要算 x 方在负三到三的记分，那 x 方作为偶函数，那他就等于两倍的零到三， x 方的记分，那这个记分对我们来说就很容易，二倍的三分之 x， 三个方 三处啊，再三处就是减零，最后结果十八。接下来我们要给大家补充一个比较重要的常见的二级结论，那现在我们来考虑一个最为普通的 f x 在 对称区间负 a 到尾上的积分，那这里 f x 我 对它没有任何要求，所以它可以是非基非偶的， 那我们可以给他在零处做一个分段，我们分别考虑在负 a 到零处和零到 a 处 f x 的 积分，那负 a 到零处，我给他做一个怎样的换元呢？我给他令 t 等于负 x， 那 这样的话我们来看换元必换线，就是 a 到零 f 负 t 底负 t， 最后啊这个符号挪到前面去，再让这个符号跟上下线起作用，这样的话我们就得到了它变成了零到 a， f 负 t， d t 的 积分。所以呢，我们这么做完变换之后，我们再跟我们再跟这个零到 a 处啊做一个加法，那最后我们就可以得到我们的结论就是它可以变成零到 a f x 加上 f 负 x d x 积分，这是一个我们相对来说比较重要的一个结论。接下来我们要讲的一公式，叫做区间在线公式，区间在线公式是怎么回事呢？这样的我们来考虑一个一般的 f x 的 定积分，那现在我给 x 做一个这样的变换， 我令 t 等于 a 加 b 减 x， 这么一个变换是什么意思呢？它简单来说呢，就是我把 f x 的 图像 以呢我比如说我们来看 a 到 b 这一段图像，我呢以它的中点作为对称轴， 给它来一个左右的翻转，那它的图像大致是成这个样子的，我们说这个这么变换完之后， 它的左右发生了翻，这个 f x 图像左右发生了翻转，但是呢，我们从图像的直观意义上可以看到，它的这个面积肯定还是没变的，因为我们做的是全等变换，那我们从积分换元的角度其实也很好算。 我们说如果我们直接去做换元的话，那换元必换线，它就是 b 到 a， f a 加 b 减 t， d， a 加 b 减 t， 然后啊还是同样的，跟刚才一样，这个这个就是负 dt 符号，挪到前面去，正好让这个上下线再换回来，最后变成了我们区间在线公式的结论就是 a 到 b， f， a 加 b 减 t， d， t 的 积分，那这个区间在线公式有什么用呢？我们来看 我们现在的例题，这样一道例题，我们要计算它的积分，那它的积分我们想要找元函数不太好找，我们当然有技巧啊，比如说我可以给它分解成，比如说啊， 就说它的元函数啊，和它的导函数啊，做一个线圈组合，然后分别去积分。但是这么算呢，挺麻烦的，我们可以用刚才讲的区间在线的技巧，我们区间在线之后，零到二分之派，那 它就是 cosine 二分之派减 x 加 sin 二分之派减 x 分 子 cosine 二分之派减 x， d x， 然后那根据诱导公式，那这些函数都要变名字，那自动变成了二分零到二分之派， cos x 加上 sine x， 这是分母分子，正好变成了 sine x dx。 我 们说这两个积分有什么关系呢？ 那我们刚好看到这两个函数加起来正好等于一，所以我们那就结论就是二倍的 i 等于零到二分之派一， d x 等于二分之派，所以我们直接算出来积分值为四分之派。你看我们合理的利用我们的这么一个结论，就根本不需要再去找他的元函数，然后一共算，根本没有必要了。 所以你看这就变得很简单，区间在线公式对于我们计算有关三角函数的积分的时候非常非常有用，那我们这里就有一个二级结论给到大家，如果说啊，我们说这个函数只跟三角函数有关系的话，比如说我们看 f cos， 我 们考虑它在零到二分之派的积分的话，那根据区间在线公式， 我们可以把它写成零到二分之派 f cos 二分之派减 x 的 积分，那 cos 二分之派 x 刚好诱导公式它就是 cos， 所以呢，那我们的结论就是它等于零到二分之派 f 三 x d x 的 积分。接下来我们看分段函数的积分，那对于分段函数的积分呢？我们其实在学习定积分的时候 讲过定积分的性质，其中有一条重要的性质就是我们看如果是 a 到 b 的 积分的话，我们可以把它分解成 a 到 c 和 c 到 b 两段积分加起来的格。 所以对于分段函数，我们可以把函数在分段点处断开，然后我们分别对分段点左右的两段分别进行积分，然后我们去计算。比如我们看这道题啊，这道题很明显 他在零处做的分段，然后我们要看他在负一到一处的积分，很明显我们要把它分解成负一到零处的积分和零到一处积分加起来，比如我们负一到零的积分就是 x e 的 x 方 d x， 然后零到一的积分 就是一加 x 方 d x。 那 这两段我们找圆函数啊，都比较容易。第一个很明显 x 跟 d x 凑为分之后，然后我们分别记分啊，那我们找到圆函数，那最后二分之一的 x 方 负一到零，加上一加 f， 二分之一，积分表里有 r， 看成它 x 零到一，然后我们分别计算啊，最后我们计算出的结果就是二分之一减 e， 然后加上四分之 pi。 那 最后我们给大家介绍一个非常著名的公式啊，叫做华律式公式。 这个公式啊，嗯，也有给他系成叫做点火公式的，那来源就是我们著名的考研老师的某个段子，大家可以自己去查一下。那这个公式我们谈到的是我们看塞 n 四方 x 在 零到二分之派的积分，那当然我们刚才提到过，就是根据区间在线公式， 他也是零到二分之派口塞 n 四方 x 的 积分，所以这俩没区别，我们只记一个就可以。那这个公式在这里给大家，那注意这里面。 哎，我们第一次见到这个符号，两个叹号是什么意思呢？这两个叹号啊，叫做双阶乘，那双阶乘就是说从 n， 然后每次往下减两个去乘 n 乘 n， 减二， 乘 n 减四，一直往下乘，一直乘到。比如说如果 n 是 偶数的话，那就乘，最后会乘到二，如果 n 是 基数的话，最后乘到一。这公式本身不太好记，那为什么会细成点括号公式呢？就是因为这位老师教大家 怎么去直接给他算出来，那我们就直接来看，我们比如看三八字方 x 在 零二分之派的记分，如果说你记不住这公式，其实你根本不用记，怎么办呢？我们从分母开始啊，一个一个往上写，就是八、 七，然后再写一个分数啊，再从分母六、五、四、三、二、一。如果我们写完整了，把最后这个分数写完整了，证明我们这个他们就叫点火，成功了，就成了二分之派。 那如果说，比如我们看下面这个例子，从基数开始，我们同样的方式，从分母开始写七、六五四、三、二，最后我们发现如果我们写到这个一的时候，一在分母上证明我往下写，写不完全了，那就叫点火失败，那就是啥也没有，那就是其实就是我们的这么一个结论。 那刚好你看一下啊，这个八是偶数的时候，你看跟我们这个结论是不是一样的啊？那七是基数的时候，跟我们上面的结论是不是他也是一样的？所以我们这个公式啊，华理式公式看着复杂，实际你只要掌握这个写法的技巧啊，对我们来说就非常简单。 那看完整个视频，大家对于定积分的计算是不是更加得心应手了呢？那如果有疑问，欢迎在评论区留言，我们下期见。

你呢？

好，那么我们就得到第一个泰勒中值定义，泰勒中值定义 e c 函数 f x 在 x 零处有零到 n 结导数， 那么这个函数就可以写成这样一个多项式，就是刚才那个 p n x 啊，再加一个 x 减 x 零的 n 方的高减无穷小，这是 x 去 x 零式的高减无穷小啊，这样我们就可以 把这样一个函数写成这样一个 n 次多项式，再加一个高减无穷小， 这就是 time 的 终极定理一啊，然后我们把这个连加号把它写出来啊，就是 f s 零加 f 在 s 引出的导数乘 x 减 s 零 加二的阶乘分之 f 在 x 零处的二阶导数乘 x 减 x 零的平方。最后一项是 n 的 阶乘分之 f 在 x 零处的 n 阶导数乘以 x 减 x 零的 n 方，再加一个 x 减 x 零的 n 方的高阶无穷小。 这个多项式我们称为 f x 的 n 次态的多项式， 就是这个啊， n 次态的多项式，而这个与这个高阶无穷小是一个很小的量，我们叫余项，这个呢叫做佩亚诺余项，用 r n s 来表示啊，这是，呃， 余项，就是我们这个函数写成一个多项式，然后再加一点点这个，这一点点就称为余项，这个形式的余项叫做佩亚诺余项。 所以这是一个带配料的鱼相的 nga 制的公司，这个叫做这个公司啊，就是函数 f s 带配料鱼相的 nga 制的公司， 这就是泰勒多相矢啊。然后把这个佩尔的余象，把那个余象去掉，我们就得到一个近视公式， f x 约等于这个泰勒多相矢， f x 约等于这个泰勒多相矢， 那么这个 x 越接近 x 零，这个近视程度就越高。 这个公式它的优点是条件较弱，只需函数在 x 零处有 n 阶导数。 它的缺点是这个余项啊，不具体啊，它不是一个数学表达式，它这个小欧是一个 高阶无穷小记号啊，所以这个误差不容易做定量分析。我们一会改造一下，把它改造成比较具体的一个余项，但是要增加一些条件， 现在我们就来给出另外一个余项，就是 t 的 终止定点，这个就要加个条件啊， c 函数在 x 零的某个领域内有零到 n 加一节导数， 刚才我们只要求它在 x 零处有 n 节导数，现在在 x 零及其附近要有 n 加一节导数，这个条件就要强一些啊，那么对该领域内的任何 x， f、 s 都可以表示成这个泰勒多项式，再加上这样一个余项，这个余项是这样一个形式， 叫做拉格朗日拉格朗日余项是这样写的，这样写的啊， 这个拉格朗日余弦是 n 加一的阶乘分之 f， 在 x 零和 x 中间某一点的 n 加一减导数，再乘上 x 减 x 零的 n 加一次方啊， n 加一次方， 因为它这个是 n 加一次方，所以它就比 n 方要高阶啊，所以它还是一个 x 加 x 的 n 方的高阶无穷小。但是它这个就比较具体了，比较具体啊， 这个公式就称为带拉格朗日余象的 n 阶 type 的 公式，那么下面就要证明这个余象能够写成这个形式。 这个证明是这样的，我们令 r n， x 等于我们那个函数减去那个泰勒多项式啊，那么 由于它们在这个 x 零处 f s 和这个泰的多向是有相同的零到 n 节导数，所以它们的差在 x 零处的各节导数都是零，对吧？因为，呃，差的导数是导数的差嘛，所以它们的差的导数就为零了。 还有这是个 n 次多项式 n， 哦， n 加一次多项式哦， n 次多项式，对不起， n 次多项式的 n 加一阶导数一定为零，对吧？我们知道的 n 次多项式的 n 阶导数就是常数了，你再求导就是零。好，我们就令这个 g x 为 x 减 x 零的 n 加一方啊，这个密函数， 同样这个函数它在 h 零处的零到 n 阶导数都是零，因为你求了 n 阶导数都还有一方，你把 h 零带去，当然还是零，对吧？ 但是它的 n 加一阶导数就是 n 加一的阶乘呐，这个学了高级导数，我们都知道，密函数的 n 次密的 n 阶导数就是常数，而且恰好是 n 的 阶乘，现在是 n 加一方， n 加一， n 加一次方，所以它是 n 加一的阶乘。 那么这个证明跟我们在这个第三章递减，就是那个 第三章第一节，就是那个中指微分中指定律那节的十五题，证明非常类似啊，这个我们在第五十一讲讲了一个类似的一个结论啊，所以这个我们就不在正面了，不在正面了啊。那么 哦，这里我们还是可以说明一下啊，证明一下也可以，我们要证明的就是什么呢？大家看，我们要证明余项能够写成这个形式啊，我们就把这个 n 次方除过来哦， n 加一次方除过来， 我们要证明左边这个分式的，能够得到右边这个分式就可以了。好，我们就从这里出发，这里我们分子分母都减去一个零，这个零是什么呢？这个零是 我们把分母叫做 g x 啊，为了方便迅速，我们把这个分母叫做 g x， 我 们分子分母都减一个零，这个零就是 r n 在 x 零处的函数值，根据根据这个条件，它是零啊。还有 g x 零也是零，对不对？我减到两个零，可以吧？然后这个就可以用科西中置定零。 两个函数函数值的差在两点，函数值的差的商等于它们中间某一点的导数的商。这点我们取为 x 一， 对不对？好，就是它们在 x 一 处的导数值上。 好，我们又在 x 一 零， x 零和 x 一 之间，我们又减一个 r 又减一个零啊。因为 r n 在 x 零处的导数和 g 在 x 零处的导数还是零。 再用科学公式定义，又可以找到 x 零和 x 一 之间的某一点，使得这个商等于那点，这两个函数的二阶导数的商 一次做下去啊。 n 我 们做，我们应用 n 加一次可求中值的就会得到有一个点 k 赛，它在 x 零和 x 之间， 使得 r n x 除以 x， x 一 的 n 加一方，等于这两个函数在 k 赛出的 n 加一个导数的上。但是刚才我们说了啊，分母是一个，这个 g， x 是 一个 n 加 x 减 x 的 n 加一方，它的 n 加一导数就是 n 加 e 的 j 层，所以分母就是 n 加 e 的 j 层。这就是我们要证明的结果啊，所以这个余象可以写成这个形式。 好，我们就证明了带拉格朗日形余象的 t 的 公式。 顺便说一下啊，当 n 取零时， n 取零，这儿就只有一项 k 取零嘛啊？呃，这里 n 取零就是一阶导数，分母是一的，阶乘就是一，这就是一方啊，我们就得到这个啊。你看 这个 k h 零就是第一项，就是函数值，我们再再把 f x 零移过来减，这个恰好是拉格朗的终止定律，所以在拉格朗是姓余香的泰利公式，实际上是拉格朗的终止定律的推广啊，是 拉格朗的终止定律，是它的特点好。 还有，如果我们取 h 零为零，这个公式就叫做麦克劳林公式。 x 零取零的话，这就是零处的可加导数，这个就变成 x 的 k 方，对吧？这里变成 x 的 k 加一方，而 n 加一方。 好，这个公式就叫做麦克劳林公式，它是 x 零等于零时的泰勒公式。 这个呢，就是一个 x 的 密 x 的 多项式啊，这个就是带拉格朗斯余项的 nj 迈克劳力公司。 呃，为了方便，有时候我们把这个 k 赛，因为这个 k 赛是在零和 x 之间，对吧？这个数一定可以写成零点几 x， 所以 我们把这个 k 赛写成 theta， x 写成 theta， 取零，取零到一之间的某一个数啊，这个看起来有时候觉得， 呃，更方便啊，或者看起来更舒服一点，本质上是一样的。因为这个写法呢，好像跟 x 有 关系了啊，其实是本质上是一样的，所以有时候我们用这个，用这个记号来表示这个中指 c x， 好，这是带拉格朗日余象的 n 阶，呃， n 阶麦克劳林公式。同样，我们把这个余象换成这个佩尔的余象，就得到 x n 方的高阶无穷小。这是带佩尔的余象的 n 阶麦克劳林公式啊。呃，麦克劳林多项式都是一样的，只是余象，一个是拉格朗日余象，一个是佩尔的余象。 现在我们举个例子啊， c f s 在 s 零处二阶可导，就是有二阶可导，那我就可以写出 待配了。余项的二阶麦克劳力公式，你看， f s 等于 f 零加 f， 在 零处的导数乘 x 加二的阶乘分之， f 在 零处的二阶导数乘 s 平方，再加个 s 平方的高阶无穷小，对吧？ 但是你要写带拉格朗次余项的马克劳尼公司的话，你就只能写到这里，对吧？你就只能写到这里。 f 零加 f 在 零处的导数乘 x， 然后在附近。 哦，这个还不行呢，在 x 零处有这个还不行？对不起，这个，因为你在 x 只在 x 零处有，而且导数的话，这个都不能写， 这个都不能写，因为你这个导数是在在零附近去求了啊。 那么如果在 s 零的某个领域内有三节导数，我们就可以写出，才能写出这个。对不起啊，刚才，刚才这个不要，这个不要。 所以你看啊，你要写出带拉格朗日于象的二阶麦克劳林公式的话，你必须在 s 零的某个领域内有三节导数，你才能够写到这里，对吧？ 你要在 s 零的某个领域里有二节导数，你才能够写到这个。我们划去这个啊， 可见，两种鱼象的泰勒公司的条件差别较大，前面这个条件比较弱，但是它们各有各的用途和优缺点。 嗯，这个的优点就是我的条件比较弱，缺点是他这个鱼相不具体。这个的优点是鱼相具体，但是呢，他要求的条件较高啊。是这样的， 拉格朗斯鱼相优点是便已估计误差，因为他这个鱼相比较具体。 呃，缺点是条件较强啊。你看啊，你要写成一个二次多项式加个余项的话，前者只需要 f 在 x 零处有二阶导数，后者要求 f 在 x 零附近还要有三阶导数，对吧？ 但是有些函数呢，它的各节导数都存在，所以问题就不大了啊。但是对有些函数来说，这个条件差别就比较大。

游戏可以不打高数，每天都要学！今天是一道经典的零比零型极限题，三秒钟时间思考。 当 x 趋近于零时，分子 x 立方三 a 五 x 直接摆乱趋近于零，分母一三 x 减一也跟着躺平趋近于零，妥妥属于零比零型不定式。这类题有个懒人专属高效解法，就是套用等价无穷小替换公式。用这个方法解题时， 先把核心等价无穷小模型焊在脑子里，精准找准替换适用条件，别瞎用。再把分子的三五 x、 分 母的一三平方 x 减一 分别匹配对应等价无穷小完成替换。原本绕到头晕的三角与指数函数极限，就能转化成小学生都会的密函数分式极限。接下来计算这个密函数分式极限， 直接约去公因子 x 平方，就能光速得出最终结果。核心逻辑就是靠等价无穷小替换，把零比零行三角指数函数极限转化为密函数分式的基础极限来计算，同学们学会了吗？

我的高数上册是九十二分，高数下册是九十七分，然后大一的高数竞赛还拿了一等奖，然后今天这个视频我就来分享一下我当时是怎么应对期末复习的，以及要听什么网课去刷什么题。然后首先就是期末周他时间可能比较紧张，顺丰之神送号已经来不及了，我比较推荐的是大家去看一高数的 期末速成课，这个呢，三个小时里边有八张思维导图，我们再去第一遍听的时候，要去听一高数老师是怎么做的， 你要先自己做一遍，如果就是你后面这答案对了，就抓紧跳过，节省时间。如果你不对，就抓紧听一下老师怎么做，怎么应用知识点的，然后去模仿一下。然后你去把这个视频看完之后，你可以开始立马去刷题了。刷的这个套题呢，一定是你们学校真题，如果你们就是学校变态到不给你们真题， 你就是搜专升本数一的题，里边那些难度和考点基本上是和你们期末考试差不多的。我们刷这个套题的时候，首先你一定要去看你们历年考试的题型，然后把你觉得就是那些题型差不多的，考的知识点也差不多的放到一块，先做一遍，然后里面有些不会的题，你抓紧搜出来，然后再做一遍。然后呢第二遍刷题，我们就整套整套刷卷子，我们在考试前的标准就 一定要完完整整的刷完一套卷子，然后你再刷一整套卷子的时候，如果有不会的知识点，再回去看那个视频，再去梳理。然后经过这几遍，你的期末成绩一定不会太差，肯定有人这个时候你连视频都没有时间看。那为了帮大家节省时间呢，都已经把一高数的那些八张思维导图整理出来放到粉丝群了，以及我当时 记高数的一些笔记，有高数上、高数下以及现代课程，目前还在持续更新，因为有些我找不着了，我在现记现陪大家复习。希望这个视频对大家有所帮助。那我们下期视频再见。

今天王哥只用三分钟带你学完专升本三张的四十三分，所有的必考点， 一张纸的内容就能让你学会高数四十多分的题，如果你刷到了，一定记得收藏起来。好了，第一个就是定积分，他会考你十三分的题，分为大题和小题， 小题能考你两个，一个叫偶倍积分，一个叫绝对值。但是这些年考偶倍积分人比较多，如果你遇到了我们所谓的背积函数，如果是积函数，答案直接就是零，不需要犹豫。 如果是偶函数，你把这个区域对称区间给我拆分成二倍的零，到这个数值就可以了，再把偶函数找出来就可以。如果这些年考的都是积函数，加上或减去偶函数， 宝子别担心，你直接把这给我拆分，把它拆分成奇函数，再加减上什么偶函数，奇函数直接就是零偶函数。按刚才这个我算，这道题白给你分一个三分的题，几乎你都能口算出来绝对值，问题到时候自己来做啊。好了，下一个大题 直接就给我用公式就行了， u d v， 但是前提条件，把这公式给我背下来，这是第一个点，第二个点就是用反对密指山来找谁是优谁是 v 倒，上一期视频也给大家说过了。第二步，这题白给你的十分题一般都考大题的第二题 好了，我们来看定积分应用，这道题考大题直接就考你大题，让你求第一个问题面积，绕 x 轴旋转的体积，绕 y 轴旋转的体积，我让你三十秒能把这道题练完，三十秒能把道题解完，就这个特别重要的思路，第一步你就给我画图像。第二步，你根据图像来给我找出 d x 型或者是 d y 型的一个区域。 第三步，如果你用 d x 区域去列的，我给你一个万能的公式，三十秒用不上，你就给我列完。如果你用 d x 区域， x 大 于等于 a， 范围小于等于 b 范围， y 大 于等于 f x 这个方程小于等于 g x 的 方程，直接按那个模板，你给我往里套就行了。 求面积就是 a 到 b， 用右边的方程减去左边方程，这道题就完事了。如果让你求绕 x 的 平方减去左边方程的平方， 如果让 y 轴旋转，你就乘一个二 plus 还是右边方程减左边方程，这道题就搞定了。 y 轴的区域是一样的，你给我好好看一看啊，白给你的多少分了？十二分， 把模板背下来，这道题你不需要任何复杂的思路就给我解掉了。还有一个二重积分，大家都说他不会，他能考个题型有啥的，一个小题，一个大题，小题会考俩大题会考一道题。 面积问题一般在选择题。第十二题小按步骤来。第一步，画图像，第二步，给我乘上倍数，如果求完面积以后，里面是二倍，就把面积乘二倍的一个面积就行了，如果里面是五倍，就五倍的面积 换去。问题，给我按步骤背下来，这道题你百分百能做出来。第一步，给我找原来的 d x 或者 d y 区域，第二步，直接还原图像，把图像过完之后，给我找相反的 d x d y 区域。第四步，你就能给我做出来。最后一步，大题称之为，我觉得最简单的一道大题 就是，第一步，画图像，第二步 diy 区域，第三步直接解过程就行了。其实综合性下来看，如果你要能会画图像，你要能会写 diy 区域，我跟你讲这个四十多分的题，现在告诉我觉得你至少能考一百多分了，所以大家一定要收藏起来，有哪些不会的可以随时来找王哥。好，我们下期见。拜拜。

恋爱可以不谈，但高数必须每天都学。今天的每日一题是密指函数求导，这可是导数求导的高频坑点题，直接套公式必错，变形技巧才是关键，有想法的同学赶紧暂停算一算。接下来进入讲解环节。 同学们好，今天我们来做一道密指数求导题，很多同学第一眼看到这道题，想到的就是复合函数求导， 那复合函数怎么求导呢？先设 sine， x 等于 n， 然后套用基本公式， x 的 n 次方的导数等于 n 乘以 x 的 n 减一，所以 x 的 三 x 次方的导数就等于三 x 乘以 x 的 三 x 减一，这样做是完全不对的，为什么呢？因为这个公式是基本 初等函数的求导公式，而我们的 x 的 三 x 次方，它的底数和指数都是变量，属于密指数， 密指数是不等于初等函数的， 所以我们不可以通过基本出纳函数求导公式对它进行求解。那同学就会在想了，平常要么就直接用这个基本出纳函数接求导，要么就是变形，然后符合函数设 t， 设 n 啊什么什么的进行求导。 那现在这种情况，这些方法都不能用的，那我们该怎么办呢？我们可以用对数求导法进行求导。什么是对数求导法？ 首先对数有个性质，比如 line 的 a 的 x 可以 把这个 x 拉下来提到前面，我们同样也可以把这个三引 x 拉下来提到前面，然后帮助我们计算。 哎，我们首先对两边取 line， 左边是 line y， 右边是 line 的 x 的 三引 x， 然后将这个三引 x 提到前面 line x， 然后我们就得到这个公式的，然后我们两边对 x 求导，尝试一下，看能不能求出来，然后我们看左边左边的 line y 的 导数，首先 是这个 line y 导数对 x 求导，它不好求，对吧？所以我们通过列式法则进行求导， 设它对外求导 一个列式， 然后就可以算出来左边这一部分，它就是乱 y 对 外求导，然后利用出的函数求导公式算出等于 y 分 之一，然后右边那就是 y 的 导数，左边求出来了，我们看右边， 右边是三 x 的 无穷 x 求导，然后我们利用乘积法则前导后不导，再加上前不 导后导，然后我们成功对两边对 x 求了个导，然后我们可以得到这个求导后的公式， y 的 导数等于 cos sine x sine x 加上， 然后我们把这个 y 分 之一乘到右边去， 这样我们求出了 y 的 导数。啊。同学看到这里就会疑惑，这里不是还有个 y 没有求完吗？难道我们要把它当做常微分方程继续进行求解吗？ 大家想一想我们该怎么去掉这个 y？ 没错，看题目，题目给了 y 的 结果，我们直接把这个原式回代到我们的公式里面 就可以了，然后带回去是 y 撇儿，等于 三 e x 考三 e x， 洛恩 x， 再加上三三 e x。 好， 这样我们就求完了。 这一题就讲完了，今天的视频就到这里结束了，欢迎大家留言评论投稿，也可以加入粉丝群一起学习，我们明天再见！

呃，没有泰勒用不了的，只有你想不到的啊。好，我们接着来学习泰勒公式，好，请所有同学啊，拿出红笔啊，在泰勒公式这个位置啊，打满五角形 啊，打满五角星啊，拉满啊，拉满我们整个极限里面乃至我们整个高速里面最重要的公式啊，他的极限里面呢，我们称之为泰勒公式啊，或者说在零处展开呢，又称为叫做麦克劳力公式啊，在我们后面中值定律里面的又有对应的公式啊，叫做泰勒中值定律啊。 这些呢，其实底层逻辑都是一样的啊，他的用处是很多的，因为极限里面我们说，呃，没有泰勒用不了的，只有你想得到的啊包我们在后面不断的学习的过程中呢，在不同的地方呢，我们都会穿插着去讲解泰勒的一个 高校要去理解他啊，尽量的去什么呢？去理解他背后所决定的意。好 这个泰勒公式他背后的意义是什么呢啊？我给他简单去写一写啊，就是他发明这个东西到底在干嘛啊啊？到底在干嘛呢？那么粗浅的认识一下啊，泰勒公式到底在干嘛呢？他其实就在干一件事情。用什么呢？用简单函数，你和赋的函数 是不是？我相信大家都有听过一个什么数学家烧水怎么烧呢？先把这个水壶给他洗了 对不对？然后装满水放在这个水炉子上面对吧，去打开开关，然后去烧水是不是好，那此时如果有一个半壶水啊，这个某一壶水啊，某一壶装了半半壶水啊，在你面前怎么去烧啊？数学家，他怎么去烧呢？ 正常人呢是加满水是不是啊？你不是半壶吗？我给你接满了我就接着烧呗。数学啊，不是这样的，干嘛呢？先把它倒了。为什么你敢倒了？就是把它转变成我们已知的我们简单的这样一个东西，我们再去研究 啊，这是个笑话，不会说真的是个数学家，毫无生活常识啊，但只不过通过这个通俗例子呢，想告诉大家，在数学里面一个非常重要的思想呢，就是先去把一些复杂的啊，麻烦的转变成我们熟悉的简单的将去研究何为简单函数何为复杂的呢？ 我们只要记定一个就可以了呀。你定义清楚谁是简单的，那就除了简单之外的都是复杂的嘛。可以这么去理解呗。你比如说啊，大家非常熟悉的三 x 这个函数简不简单呢？有的时候这不挺简单吗？这不中学都学过了呗，你确定他简单吗？来，我给大家举两个例子啊，比如说你觉得三 x 简单，那我就问你三 x 二分之一等于多少呢， 对不对？三 x 三分之一等于多少呢？那你中学背的不就那些特殊角吗？是不是零度三十度，四十度，六十度九十度啊？这些你能用那二分之一呢？ 他对的是什么呢？完了呀，是不白瞎呀，你看就不太好做了啊，对不对？你知道那些角度的，你是知道怎么做的好，那反过来比如说干嘛呢？我给你一个三 x， 它等于什么呢啊？它不是等一些常见的一些值啊，比如我们写一个什么呢？三 x 等于三分之一吧，对吧？你常见的数值是什么？零，呃，二分之一，二分之二，二分之三一，是不是你是有的啊？那三分之一它多少呢？这个题你解出来，同学们， x 它等于多少呢？ 你好去进行解这个东西吗？好像也没那么容易啊，是不是？所以这种不能称之为是一个简单函数？好，那从这个维度去理解，什么样的函数是简单的呢？ 这样的一个函数应该是简单的呀，比如说 x 方，就密函数这一类简单呗。为什么说这类简单呢？你比如你负值， 比如说我们说三的平方等于几，你看九直接口算出来了，比如说 x 方等于十六，你解 x 也非常简单，是不是解出来 x 就 等于是 正负四呀？哎，这种函数是不是简单呀？好，那意味着什么呢？密函数简单呀。好，密函数就是一个简单函数，那除了密函数之外的函数通通都可以理解什么呢？是一个复杂函数。 好，但是如果你只用单一的密函数，能不能去表示呢？比如说 x 方 x 立方，能不能去表示一个负的函数呢？这个不够啊，干嘛呢？这个叫做多项式啊，就是一个密函数，它的一个线圈组合的形式啊。 举个例子啊，比如说二倍的 x 方加三， x 加五，这就是一个密函数的一个线组合的形式啊，它是个二次端式呗。啊，所以我们就称之为叫多线式的这样的函数吧，它就是一个简单函数啊，去拟合复合函数。怎么去解拟合呢？来有两种拟合方式啊， 用两种拟合方式，那如果你想要去拟合的话，它的一般式的，我们先写一写啊，这叫 a 零加上啊， a 一 啊，比如乘以什么呢？ x 减去 x 零，对吧？然后呢？再加上一个 a 二啊， 再加上一个 a 二，乘一个 x 减去 x 零的平方，然后一直往外加啊，比如说一直加到什么呢？加到 a n 乘一个 x 减去 x 零的 n 次方啊，讲道理呢，次方越高，你合的就越好，那我们就写到 n 次方为例吧。啊，有两种方式我们可以你合，第一种什么呢？ 就是我们围绕什么呢？ n 加一个点啊，它的函数值是相等的，就是在不同的点处的值呢，是相等的啊，我们围绕什么呢？函数值来进行，你和你，比如说你把这个 x 等于零带进去， 比如你你 f x 不 一个句函数吗？ f 零，然后是 f 一 对不对？然后点点叠，然后我们取干嘛呢？取 n 加一个值啊？因为这里面不是 a 零 a a n 吗？你需要把这玩意求出来吗？来围绕这个呢？是不可以解呀？去解 啊，去解 a 零 a 一， 然后点点点，一直到 a 一 样，能不能解出来是可以解的，我们不讨论这个具体的求向，我们只是说从方法层面理解一下啊。你 n 加一个数值呗， n 加一个点出的函数值呗。那得到 n 加一个方程组，正好是 n 加一个未知数，应该是可以解的啊，解的 a 零 a 一 m。 好， 那这个时候 a 零 a 一 a n 是 一个具体值了嘛？那你看这个礼盒好不好？为什么不好呢？它只能去表示 这这些点处的函数值是相等的，就是零处一处 n 处，它的点处是相等的。那你其他的点处呢？函数值就不一定相等了呀，而且是什么呢？我们在高等数学里面不但去研究函数层面啊，还研究什么呢？导数？ 二阶导，一阶导描述的什么呢？它的增减的趋势，二阶导描述什么呢？凹凸性，你看这个都是我们后面去研究，三阶导、 n 阶导都是要进行研究的呀，所以这个呢，他就不太好啊。那么干嘛？换一个你的方式干嘛呢？ 我们去拟合任意的一个点，就在某一点处，你可以理解，函数不就是由无穷多个点所构成的吗？就是任意一个点， 任意的 x 属于 r， 如果你能把任意的一个点处拟合好了呀，那他不就能了吗？而且任意的一个点，你拟合的时候，你不能只表示函数值相等，还干嘛呢？ 还要去导数值，它也得相等才能去。什么有更高的一个使用的一个情景啊？比如一阶导研究的是单调性，二阶研究的是凹凸性，它都能保持是相等的吧。 那干嘛呢？就围绕什么的函数值，导数值都是相等的，你比如说啊，这个如果是函数值，你把 f x 零带进去嘛，我们就研究的是这一点处啊， x 零点处的一个几何来就 x 零处， 你把 x 零带进去，左边带 x 零，右边带 x 零，右边不是 x， 解决 x 零吗？因式不就没了呗。所以立马得到 a 零是不就出来了呀？ 这不是来，接下来我们要干嘛呢？求一导一接导干嘛呢？左右两边求导啊，左边求导变成什么呢？来，我在这会稍写一步啊，左边求导直接变成了 f 一 撇 x， 右边求到 a 零，长竖没了吧。然后第二项变成什么呢？是变成是 a 一 了呀，然后后面你再去写的时候，你会发现什么呢？它是二倍的 a 二乘一个 x 减去 x 零，然后呢，再去加点点点，然后再加什么呢？ 是不是 n 倍的 a n 乘一个 x 减去 x 四零的 n 减一次？方法好，干嘛呢？再把 x 四零给它带进去，所以得到什么呢？ f 一 撇 x 四零，是不是等于是 a 一 了呀？ 按照这个是不是一模一样可以往下做啊，是不是再到二阶导，再到三阶导呀？好，下面我们就简写了啊， 你比如，如果你是二阶导啊，那在善事的基本上再去求导二阶导，就一阶导的导，接着求导就行啊，这个导数呢，在这个位置要求不太高啊，大家呢，简单知道一下它怎么变形就可以了啊。好， a 一 常数求导没了，然后这个位置变成什么呢？是变成是 二的，接上完按接上来写了，是不是 a 二的也没了吧，然后后面是不是再一直往后去写呀？那这什么 n 乘一个 n 减一，再乘一个 a n， 然后是 x 减去 x 零的 n 减二次方了吧，然后也是一样的，把什么呢？把 x 零带进去，立马做什么？ f 两撇 x 零就等于什么呢？是不是二的阶乘乘一个 a 二的？好，后面我就不注意数了，一模一样给我写干嘛呢？ n 阶导啊，这个 n 阶导写法大家认识就可以了啊，就是括号 n， 这是 n 阶导的意思啊，不写括号呢，表示 n 次方的意思啊，好干嘛呢？ 跟上面一模一样的做啊，一直求 n 阶导就可以了，那 n 导呢？只有这一项？左边的啊，就是第一阶的全部倒霉了啊， 低级的是不是穷没了呀？但我们只写到 n 次方吗？如果你要高级，就后面你要再接着写，这不都是 n 加一次方呢，你再带着是不是也是零呀？那我们就按照 n 向去写啊，那得到这个位置是什么呢？应该是 n 的 阶乘，是不是乘以个 a n 了呀？好，那以上呢，我们是不可以解出来了呀，是不是得到 a 零，就是等于是 f x 零，然后 a 一 呢？就等于什么呢？是，等于是 f 一 撇 x 零吧。好，后面呢，一直往下写，其实你最后写个通式就行啊， a n 等于什么呢？是不是 n 的 结成分之 n 结倒在 x 零处的值呀？ 是不是对的是这种东西啊？好，接下来把 a 零 a 一 a n 全部带进去，不就完了吗？好，前面啊，以上所有讲的内容，大家能听得懂理解， get 到这个泰勒在干什么事就可以了啊，我们以第二种形式礼盒啊，这个就比较好， 既能保持函数值是相等，又能保持什么呢？在这一点的一些一阶到二阶的 n 阶到呢，它也有关系啊。 好，那我要这个呢，我们就能得到泰勒公式，就能得到这个泰勒公式了啊，我们来写 啊，那它对应什么呢啊？就是 f x， 它就等于是 f x 零，就把刚刚球的 a 零 a 一 a 全部带进去啊， 这是 f 一 撇 x 零，乘以个 x 减去 x 零，然后一直加加加啊，加到什么呢？ n 的 结成分之 n 阶导在 x 零处的值，再乘一个啊， x 减去 x 的 n 次方吧。但我们前面是为了方便大家去理解啊，我们只写了 n 次方这一项啊，但是从什么泰勒的公式的层面呢，是不能只写的这一项的啊，它后面呢，是按照这个规律呢，是可以一直往外去写的。 那后面写的什么？就 n 加一的阶乘分之 n 加一，记到在 x 零处值，然后再乘一个 x， 减去 x 的 n 次方啊，就用写法啊，啊，就可以一直按照这规律往外去写，这个即为我们的泰勒公式。 那可能有些资料你们又干嘛呢？把后面很多项呢写成 r n x 啊，就把我们的简历上也写了，写那个余项的形式啊，也是没啥问题啊，但我们就按照这个一般形式去写，都是可以的啊。好，泰勒公式， 那泰勒公式呢？你 x 零，你不是可以去取不同的点呗，是不是你 x 零，我们干什么？是任意的一个点呀，那将来干嘛呢？你当 x 零取一些特殊的值，取什么值呢？当 x 零等于零时，哎，我们就能得到什么呢？ 来此 f x， 它就等于什么呢？它是不是就是 f 零加上一个 f， 一 撇零 乘 x， 然后一直往后写，加到什么呢？加到 n 的 结成分之 n， 接到在零处的值，然后再乘一个 x 的 n 次方吗？然后是不是再去加点点点啊？这玩意我们称之。为什么呢？这叫麦克劳力公式 啊，叫做麦克劳林公式，就是对于泰勒公式呢，在零处展开的这个公式，我们就称为叫做麦克劳林公式。那以后呢，我们可以说是麦克劳林公式，也可以说泰勒公式啊，就我们知道我们在讲什么东西就可以了啊。 那你再来看你后面写的很多项啊，它不都是 x n 加一次方， x n 加二次方吗？如果你这个 x 啊，它是在零附近啊，或者说是一个介于负一到一之间的吧，你 n 足够大的时候， 这个 x n 次方是不是就足够小了呀？而且是比前面是要更小的吧？是不是？你比如 x 的 曲线零在零的附近吗？一个足够小的领域的时候呢，就能得到什么呢？后面的小尾巴呢？其实就转变成什么呢？转变成了是高阶无穷小的呀，这个也就极限里面我们会用的一个主要的形式。好，那接下来 我们就得到了啊，对应的一个一般的方程以及常见的方程啊，就什么呢？就是 f 零 加上一个 f， 一 撇零乘一个 x 啊，我多写一下嘛，这是二的结成分之 f 两撇零乘 x 方，对吧？然后一直加，加加啊，一直加，往过去写啊，往过去写， 就是 n 的 结成分之 n 结倒在零处的值，再乘一个 x n 次方。那如果你研究的是什么呢？你讨论的前提是在极限里面吗？那就讨论什么呢？讨论 x 去向零时啊，其实也就是我们讲一下，写的在 x 的， 在这个零的足够小的领域里面，在这个附近， 后面就可以写什么呢？写成皮亚诺，余下了，就是 x n 次方的一个高阶无穷小。这不就我们前面写的这个高阶无穷小这个形式了吗？那确实是这么回事啊，你比如你后面不都是 x n 加一次方， x n 加二次方了吗？它是属于是 x n 次方的高阶无穷小呀，所以通通我们写成高阶无穷小这种写法。 好，那接下来常见的啊，一些函数它干嘛呢？都是能转变成公式，但这公式怎么来的呢？就是推的呀，就你比如三 x， 我 以三 x 为例啊，就是三元，然后呢，三 x 一 接导在零处的值，三 x 二接导在零处的代到下面这个式子里面去，就能得到它的一个什么 常见的一个麻烦公式了啊，那这个呢，我们就不推了，我直接给大家啊，比如三 x 干嘛呢？你真的去用的时候不会说真的一直往我去写啊，我们一般干嘛呢？主要是到第二项，第三项为主啊，这是什么呢？这是 x 减去六分之一倍的 x 立方， 加上一个立方的高阶无穷小。那阿根三 x 呢？是 x 加上一个六分之一倍的 x 立方， 加上一个立方的高阶无穷小啊，不是说只只能写到立方，可以一直往后写啊，你比如这个六分之一呢，其实什么呢？就是三的阶乘啊，它后面可以接着往后写五的阶乘，七的阶乘啊，但是呢，我们平时做题目呢，尤其在基础呢，这完全都是够用的啊。然后它点 x 对 的什么呢？是 x 加上三分之一倍的 x 立方，再加上一个立方的高阶无穷小 r 和 t x x 减去三分之一倍的 x 立方，加上一个立方的勾结五中小。 e 的 x 方呢？是一加 x 加上二分之一 x 方，加上三的间隔，三的间隔就六分之一了啊，六分之一倍的 x 立方，再加上一个立方的勾结五中小。然后 l e 一 加 x 呢啊， x 减去啊 x 减去二分之一倍的 x 方，再加上一个三分之一倍的 x 立方，再加上一个 x 立方的高阶无穷小。括号 x 啊，括号 x 一 减去 啊，一减去二分之一 x 的 四次方，再加上一个四次方的高阶无穷小。 一加 x r 八次方啊，就是一加 r 八， x 加上二分之一倍的 r 八乘一个 r 八减一倍的 x 方，然后再加上一个 x 方的一个勾结用小好。以上这是我们常见的八个公式啊， 那八个公式呢？其中啊，最后一个呢？我给他一个。呃，一个一般的显示用的比较多的啊，就一加 x r 八四方，这个 r 八可以取什么数呢？是可以取啊啊，残疾的我们会遇到什么呢？取负一的，那就是一加 x 分 之一呗。但这公式不好记啊。我们记什么呢？我们记个一减 x 分 之一的， 这个就是一加上负 x 负一次方的，就这种形式啊，为什么记这公式？因为这公式好记。他对的是什么呢？他对的是一加上 x 加上 x 方啊，一直往外加啊， 一直啊，加到 x 的 n 次方，再加上一个 n 次方的一个勾结无穷小。你看这个就好记啊，所以大家记这个就可以了啊，对吧？啊，记这个就可以了。那如果你真的遇到是一加 x 分 离，那干嘛把它看成什么？ 一加上负的 x 分 之一吗？然后把这个你们这个公式里面的 x 换成负 x 不 就完了吗？啊，那大概理解吧。啊，就这样意思啊，那一共什么呢？八加一是九个公式了啊，九个公式了，但我们讲第九个呢，其实什么呢？就是第八个的一个延伸啊，就那里面 r 八取负一的这种情况啊，八加一公式， 所以从这个角度呢，这个他的公式麦克罗林公式，你可以理解什么呢？他是等 t 的 延伸，他是一个更准确的等加无效， 就我们前面所给的那个等价无穷小呢？他只是保留了最低阶的那个无穷小啊，我们称之为叫老大。那如果你是一个乘积的类型呢？老大没有关系，可以留，但如果你加减的形式，老大可能会抵消掉你，比如三 x 减 x， 那 x 和 x 没有了呀，他就得再接着我们去占啊。