给三个点画正方体的六边形截面怎么画

立方体的结构没你想的那么简单，举个例子哈，一个立方体，如果我们沿着这边砍一刀，那我会出来一个什么呢？这就是会出来一个三角形的结面啊，这个结面孩子就是看得见摸得着的，然后这结面就出来了，如果我们这样砍一刀下去，就会出来一个正方形的结面。好，那我先问个问题，在结构上的结构知识上的，一个正方体的豆腐块 随便砍一刀，请问他出来的结面最多是几边形？你脑子里能不能想象出来？能不能砍八边形结面，那个结面怎么砍下去？最多这个就是结构，你能不能想象这个结构你没有搭过来，在脑子里容易想象吗？非常的不容易想象，看到没有？沿着对边中点砍下去，这个就是一个正六边形 结，所以这个是一个几何结构的理解。我们说了，小的时候啊，应该让孩子充分的理解空间几何的结构， 因为拼搭你就能够产生直观的图形的组合和拆分。那这样的知识啊，不要等到初中、初高中再来了，因为初高中以后，他进入了抽象思维阶段。初高中我们的孩子坚持的都是传统学习，都是在纸和笔上来进行几何的学习和论证。如果一个孩子在小的时候，他对几何结构没 没有一定的认知，他进入初高中以后呢，他就会产生一些障碍，他的理解的成本就很高，他理解的效率就很低。就是我们认为中拓能够帮助到孩子的地方，所以中拓能够带来非常多的这种叫做立体几何 和空间几何平面图形的各种的几何结构的认知，帮助孩子快速的建立所有的这些基础几何结构 在脑子里面，他还会创作作品，因为孩子就喜欢搭一个火箭，搭个坦克，搭个飞机，搭一个花篮，搭一个非常漂亮的结构，然后摆件放在家里，那这是一个创作的过程，大家细看，但凡这些作品你细看，里面全是基础几何图形结构， 全是基础几何图形的组合拆分，所以我们想说的是通过空间创意的方式让孩子了解几何结构， 所以这个是我觉得下一代孩子培养空间思维的方式，而不是像我们那一代人只用纸盒笔来培养。所以我们最终的课程是什么？我们最终的课程是既把几何结构放在里面让孩子体验，又把各种的一些创意创造放在里面，所以它是一个 steam 导向的课程，中途非常非常的 steam 导向， 这种 steam 导向里面它就是有几何创意在里面，有建筑的创意，有艺术的创意在里面，所以使得孩子不单单是枯燥的玩几何，而是生动的玩几何，然后来产生空间创造能力，所以一箭双雕，一举两得。关注速感星球，进博士，玩转速感提升计算。

立体图形被平面切开得到的结面是什么样子呢？我们先从正方体被切说起。 正方体相貌堂堂，方方正正，所以从某些角度切下去，可以得到特殊的结面。比如以平行于一个面的方式切下去，得到的结面为正方形。平行于任意一条棱切下去，得到的结面一定为长方形。 如果恰好切到了三个顶点，那么可以得到等边三角形的洁面。如果切入的方式随便一些的话，那么得到的洁面也会多种多样，三角形、四边形、五边形甚至六边形也可以得到。 其实从本质上来说，你切到了几个正方体的表面，那么得到洁面的边数就为多少，这又是为什么呢？因为两平面的交线肯定是直线， 如果你的平面与正方体的六个面都相交，那么一定得到六条线段，并且首尾相切，那么这个洁面自然就是六边形了，是不是有种豁然开朗的感觉呢？嘿嘿，下面来说说其他的立体图形吧。 棱柱被水平方向切得到的洁面与底面形状是一样的，都为多边形， 如果偏一些，得到的也是变了形。多边形竖直方向切得到为高度都相同的长方形，只不过有胖有瘦。 圆柱的情况跟棱柱差不多。水平被切得到圆形结面偏一点则为椭圆形。竖直被切得到的长方形中，过轴心为最胖那个。棱锥和圆锥被水平方向切开得到与底面形状一样的结面，只不过是缩小版的，并且越接近顶点，结面越小。 如果切面过顶点的话，得到的结面是都为三角形的。至于球体吗？本身很特别，从任何方向看都一样，它的结面也同样很特别。不管如何切，结面都是圆形，其中过球心的结面圆最大。 斜着切火腿肠得到的结面形状为下面哪个选项？ a。 四边形 b。 圆 c。 椭圆 d。 三角形首先我们要知道火腿肠的形状，这个大家应该都了解，火腿肠细长 可以看做圆柱的，如果大家切过火腿肠的话，那就更简单了，一般我们都是切成片刀，如果正着切下去，那么得到的结面应该是一个标准的圆形。如果斜着切下去呢？那么是变形后的圆， 也就是椭圆心。所以本题的答案为选项 c。 用平面去截一个几何体，如果截面是圆，则圆几何体可能是下面哪个选项？ a。 正方体求 b。 圆锥棱柱 c。 求长方体 b。 圆锥圆柱求。本题考察立体图形的结面，如果结面是圆的话，那么圆几何体可能是什么样子的呢？ 这当然要从结面的特点来入手了。结面是圆，圆的轮廓是曲线围成一周，那意味着圆几何体的形状必然有曲面围成一周的样子。我们来看看各选项， a 选项中的正方体没有曲面， b 选项中的棱柱也没有曲面， c 选项中的长方体也没有曲面，所以这几个几何体都不可能出现圆形结面。 排除掉了三个选项，那么 d 选项呢？圆锥和圆柱只需要水平方向切就会得到圆形结面，而球体不管怎么切，得到的都是圆形结面，所以本题的正确选项为 d。 用一个平面截正方体，其截面不可能是下面哪个图形？ a。 正三角形 b。 等腰三角形 c。 直角三角形 d。 正方形本题考察平面截正方体。 正方体是一个特殊的几何体，他的六个面都为正方形，所以能够得到特殊形状的结面。首先来看看选项 a， 正三角形， 也就是等边三角形，那么意味着平面与正方体三个面相交，并且交线长度相等，要满足这个条件并不难。平面找适当的方向切掉正方体的一个角就可以了，可以得到等边三角形。 继续来看看选项 b， 等腰三角形。这个选项就不用多思考了，刚才 a 选项所说的等边三角形就是特殊的等腰三角形， 所以等腰三角形也是有可能的。再来看看 c 选项，直角三角形。 刚才我们提到切掉正方体的一个角可以得到三角形，那么能否选合适的角度使得斜面为直角三角形呢？在这里要告诉大家，这是不可能的理由吗？以后我们学了更多知识就明白了。 不过这不影响对这道题的选择，因为 d 选项我们可以轻松搞定。 d 选项为正方形，那么我们只需要平行于一个面去截，就可以得到正方形截面了。 所以即使我们想不明白， c 选项因为可以确定 abd 都可能也可以得到，最终答案为选项 c， 简单几何体的三式图而对于简单的几何体，我们往往用三个平面图形来描述它，这就是三式图。这三个图形分别是从三个不同的方向观察几何体所看到的形状。 首先是从正面看得到的形状，叫做俯视图，其次是从左面看得到的形状叫做左式图。 最后是从上面看得到的形状，叫做俯视图。那为啥不从后面、右面、下面看呢？因为对于一个几何体，从前从后看是差不多的，只不过前后颠倒。从左从右看也差不多，左右颠倒， 从上从下看还是差不多，只不过上下颠倒。所以我们只需要从三个方向上观察几何体。 接下来分别介绍一下我们常接触的几种几何体的三式图。首先看正方体，我们很熟悉，六个面都为正方形， 所以不论是从正面看，还是从左面上面看，看到的都是正方体的其中一个面，也就是正方形，所以正方体的主视图、左视图都为正方形，注意，是三个相同的正方形哦。 接下来看长方体，这也是大家熟悉的几何体，从正面、左面和上面看得到的都是长方形，也就是说其三式图都为长方形。不过这三个长方形之间可有着不一般的关系。 大家来看长方体的前面上边的这条棱，他在主式图中对应上面这条边， 也就是说主视图和俯视图的水平长度是相同的。而对于长方体，前面左边这条棱，在主视图中对应左面的边，在左视图中对应右面的边，也就是说主视图和左视图的数值长度是相同的。 最后来看长方体左侧上方这条棱，在左式图中对应上方的边，在俯视图中对应左面的边，也就是说左式图的水平长度和俯视图的数值长度是相同的。看， 这就是三式图之间的对应关系，简单来说就是符合比例大小关系，切记不能出现像这样比例失调的情况。 好了，下面来看圆柱体侧面虽然是带有弧度的面，但是从正面看的话，显然是长方形。从左面看也是长方形， 也就是其主视图和左视图为相同的长方形，而俯视图为上底面圆形。注意对应关系，圆的直径为刚才两个长方形的水平长度。顺便把圆锥拿来对比一下，主视图和左视图为相同的三角形 俯视图吗？除了看到下底面的圆之外，注意圆锥的尖顶也能看得到，所以圆中心要有一个点，表示的就是这个顶点。 再来看球体啊，这个就很简单了，无论怎么看，轮廓都是圆形，所以其三式图为三个相同的圆。 最后研究一下棱柱，我们以正三棱柱为例，也就是上下底面都为等边三角形的直三棱柱，若它的一个侧面朝向正前方，那么从正面看可以看到正三棱柱的一个侧面长方形。 此时要注意，虽然后面的侧棱是看不到的，但为了更好的描述几何体，我们通常把被遮挡住的棱也画出来，只不过是用虚线。 也就是说，在主示图的长方形正中，存在一条竖直的虚线，表示后方的棱。 从左面看棱柱看到的是左边的侧面，因为此侧面相对于视线为斜侧方向，所以左示图的长方形高度与棱柱相同，而宽度则比侧面实际的宽要小，相对于主示图要瘦弱一些。 从上面看得到的俯视图当然就是上底面动边三角形了。找一下这个三角形与刚才的主视图、左视图的对应关系，可知三角形的边长与主视图的水平宽度相同，三角形的底边高的长度与左视图的水平宽度相同。 哦，好繁杂的棱柱啊！简单几何体的三式图就这些了，大家一定要记住各基本几何体的特点，结合空间想象准确判断其三式图，并且要能够根据三式图判断圆几何体的形状， 多留意身边的各种立体图形找感觉吧。一个几何体从上面、正面、左面看到的图形完全相同，它可能是什么几何体？ 本题考察从不同方向看基本几何体，如果一个几何体从上面、正面、左面看到的图形完全相同，那么此几何体应该很规律，很有特点。观察一下常见基本几何体，发现正方体满足要求。 从三个方向看都是正方形，还有吗？别忘了最特殊的球体从任何方向看都是圆的，所以本题的答案为正方体或球体。 小鹏同学从正面观察如图所示的两个物体，看到的是下面哪个选项？ 有？本题配图可以看出，这是一个圆柱体和一个正方体并排放置，如果从正面看的话，两个几何体都能被看到，不存在遮挡问题。 圆柱从正面看为长方形，正方体从正面看为正方形，所以答案为左边长方形，右边正方形，那么正确选项为 c。 一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，从正面与左面看的样子如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有多少个？ 本题给了堆叠正方体正面和左面的样貌，下面我们按正方体个数最少来还原出这个几何体。首先，正面看到三个正方体， 但是不能判断出它们的具体位置，只能得到左边这列有两层，右边这列有一层，从左面可以看到四个正方体，并且是两层摆放， 那么意味着这两层必然对应着从正面看的左列，所以左列有四个正方体，右列最少就是看到的这一个，在前在后都无所谓，所以这个几何体最少有五个正方体。 从三个方向看物体的形状，不仅是人，各种物品如果选错了角度，识别起来也是很困难的。那么我们所学过的基本立体图形呢？不妨一起来分辨一下这两个谁是圆锥，这次谁又是圆柱呢？ 你能认出正方体吗？这次哪个是球体？有些头晕了吧。所以有时候要从多个角度观察，才能更好的认识立体图形。通常我们选择从正面、左面、上面三个方向来看物体， 以圆柱为例，从正面只能看到侧面的一部分，其形状表现为长方形。从左面看的话嘛，是同样的长方形， 从上面只能看到上底面，所以为圆形。其他立体图形的嘛，一起来看看吧。 一个未知的立体图形，如果从三个方向看的形状都确定了，那么判断起来也就很简单了。例如三个方向看都是正方形的几何体是什么呢？很简单对不对？ 是正方体。可是如果若干个正方体堆叠到一起呢？这是从三个方向看到的情况。 如何来思考正方体的堆叠情况呢？我们一般从上面的样子入手，因为正方体不可能悬空，所以从上面看的样子能够确定最下面一层的情况，然后再考虑另外两个方向。由正面样貌我们可知，只有最右边的一列有两层， 那么到底上层的正方体在什么位置呢？那要根据左面样貌来确定了。有左面样貌可以看出第一排只有一层，第二排有两层，所以上层的正方体在第二排，这样最终确定了整体的构造。 我们小时候搭积木都是从底层往高层搭，正方体的堆叠问题也是一样，从上面看的样貌其实就是最底层的形状。 一个几何体从上面、正面、左面看到的图形完全相同， 它可能是什么几何体？本题考察从不同方向看基本几何体。如果一个几何体从上面、正面、左面看到的图形完全相同，那么此几何体应该很规律，很有特点。 观察一下常见基本几何体，发现正方体满足要求，从三个方向看都是正方形，还有吗？别忘了最特殊的球体从任何方向看都是圆的，所以本题的答案为正方体或球体。 一个几何体从上面、正面、左面看到的图形完全相同，它可能是什么几何体？本题考察从不同方向看基本几何体，如果一个几何体从上面、正面、左面看到的图形完全相同， 那么此几何体应该很规律，很有特点。观察一下常见基本几何体，发现正方体满足要求。从三个方向看都是正方形， 还有吗？别忘了最特殊的球体从任何方向看都是圆的，所以本题的答案为正方体或球体。 如图，是用五个棱长为一厘米的小立方块搭成的几何体，请画出从正面、左面、上面看得到的图形。认真观察这个几何体，从正面看，发现有三列两行小正方形构成， 每列小正方形的个数从左往右依次为二、一、一。每行小正方形的个数从下往上依次为三、一，所以从正面看得到的图形为。 从左面看，由两列两行小正方形组成，每列小正方形的个数从左往右依次为二，一。每行小正方形的个数从下往上依次为二，一。如图， 从上面看，有三列两行小正方形组成，每列小正方形的个数为一、二、一，每行小正方形的个数分别为一、三，所以从上面看得到的平面图形为。 如图所示，是从上面看由小立方块儿搭成的几何体得到的图形。 小正方形内的数字表示该位置小立方块的个数。请画出这个几何体从正面和左面看到的图形。本题考察从不同方向看正方体的堆叠。题中所给图形为从上面看到的情况 数字表示该位置的正方体个数。我们先画出从正面看的图形。根据已知图，我们知道从正面看能够看到三竖列， 那么每个竖列的个数为多少呢？还是根据已知图最左边这列因为标有数字，一只有一层，所以正面看也只能看到一层。中间这列最高的为三层， 所以正面可以看到三层，也就是数值三块，所以正面看到是四层，也就是数值四块。 好了，这样正面看到的模样就确定了。从左面看到的样子也可以用类似的方法。从左面可以看到两竖列，右边一列对应的是前排， 前排最高位置为二层，所以右边为两块。左边一列对应的是后排，后排最高位置为四层，所以左边为四块。 最终从左面看到的样子也确定了。对于这种正方体堆叠问题，大家要学会找各方向仕途之间的关系，找到联系之后，按层按排来思考解答。 我们用小正方体来搭建一个几何体，使它从正面看和从左面看得到的形状如图所示。一、搭这样的一个几何体需要多少个小正方体？ 二、试着画出几种从上面看到的形状，并在相应的形状图中标出各个小正方形所在位置的小正方体个数。 好了，咱先看第一问，由从正面看到的形状图可以看出，几何体从左到右共三列，第一列最多两层，第二列最多三层，第三列最多一层。 再由从左面看到的形状图可以看出，几何体从左到右共两排，第一排最多三层， 第二排最多两层。看来这样的几何体不为一。那最多需要多少个小正方体，最少又需要多少个呢？能确定这两个数值，才能得到需要小正方体的所有可能个数。 先来考虑最多需要多少个，咱可以将从上面看到的形状图做出来分析，发现，当这六个位置上都有小正方体， 并且每个位置上考虑最多能放的数量时，得到的即为最多需要小正方体的个数可以得到为十一个。 那最少需要多少个呢？在保证从正面看和从左面看得到的形状图成立的前提下， 可以将这幅图中的左上角和右上角及下中间位置的正方体去掉，得到如图所示的形状图，看来最少要六个正方体， 这样第一问就解决了。要搭这样的一个几何体，需要六个、七个、八个、九个、十个、十一个小正方体均可。 要解决第二问，咱可以根据第一问的分析，画出所有可能情况，如下图， 注意对应位置放置正方题的个数，用数字标出。 认识了立体图形之后，我们再回头看看之前学过的平面图形，它们之间有什么关系呢？那可要从头说起了，哪是头呢？ 从点开始，点没有。长度和体积是几何大家族中最基础的元素，就像我们身体中的细胞一样，因为他连长度都没有， 所以我们说他是零维的。不过这个小东西一旦跑动起来，他所经过的轨迹就是一条线了，这个过程称为点动成线。 生活中可以解释点动成线的例子有很多，比如用笔写出字迹，飞机划过蓝天，流星飞过夜空等等。现在所得到的线因为具有了长度，我们称为一维的。如果线也运动起来了呢？ 再来个高难度动作看，我们得到了平面图形，也就是说线动成面， 面的级别自然更高了，是二维的。如果面不甘寂寞也动起来了呢？看看工作中的电风扇，旋转中的硬币，注射其吸水，是不是三维的立体图形呼之欲出了呢？所以呀，面动成体， 绕一条轴旋转是面动成体的好办法之一。如果让各种常见的平面图形旋转起来，那么会得到很多有意思的立体图形。以后我们有时间再说吧，今天就到这里，生活中的立体图形。 在我们日常生活中，立体图形无处不在，不管是看得见摸得到的，还是看得见摸不到的，只要是具体现实的物品，都可以看成是立体图形，就连一张纸也不例外，只不过薄点而已。 形状是一个物品最重要的识别属性，对于大部分物品，不需要任何其他信息，仅凭外形就能够确定其身份了。很多形状的复杂几何体都可以看成是一些基本立体图形的组合。这些基本立体图形可以分为三类， 第一类叫做柱体，可在其分为圆柱和棱柱两类。圆柱形的物体随处可见，比如我们喝水用的水杯，上厕所用的卷纸、盖房子的原木、著名的比赛斜塔、孙大圣金箍棒，就连李小龙的双截棍也是圆柱形的。 简单来说，圆柱体上下底面为圆形，侧面为弧形，围成一周。而棱柱却不同，其上下底面为多边形，侧面则是由平面拼接而成。例如老式的铅笔为细长的直六棱柱，美国著名的五角大楼为扁平的直五棱柱。 需要注意的是，我们最熟悉的长方体和正方体也都是棱柱，并且很特殊，因为不管如何摆放，都可以看成四棱柱。 哦对了，一个棱柱有几条侧棱，就叫做几棱柱。侧棱的条数和上下底面的边数是相同的，相对于直棱柱还有斜棱柱，不过在初中暂时不用考虑。圆柱和棱柱的相同点在于他们的上下两个底面都是相同且平行的图形。 继续来看看。第二类叫做锥体，锥字本身就是尖锐的意思，所以我们把圆柱的一个底面缩小成为一个点，就可以得到圆锥形。把棱柱的一个底面缩小成一个点，就可以得到棱锥形。冰淇淋底托为圆锥，陀螺为圆锥。很多新式建筑的屋顶为圆锥， 而现实中最有名轮锥，那肯定要数金字塔了。最后一类，立体图形为球体，这就不用过多解释了吧，足球、篮球、乒乓球、网球、台球、羽毛球哦等等。羽毛球好像不是球体，不过可以看成是球与圆锥的结合体。 虽然自古我们就晓得太阳和月亮是圆球状的，但直到一五二二年，葡萄牙航海家麦哲伦历时三年绕地球航行一周回到西班牙，才第一次证明了原来我们生活的大地是个球体。 认识了立体图形之后，我们再回头看看之前学过的平面图形，它们之间有什么关系呢？那可要从头说起了，哪是头呢？ 从点开始，点没有长度和体积是几何大家族中最基础的元素，就像我们身体中的细胞一样，因为他连长度都没有， 所以我们说他是零维的。不过这个小东西一旦跑动起来，他所经过的轨迹就是一条线了，这个过程称为点动成线。 生活中可以解释点动成线的例子有很多，比如用笔写出字迹，飞机划过蓝天，流星飞过夜空等等。现在所得到的线，因为具有了长度，我们称为一维的。如果线也运动起来了呢？ 再来个高难度动作看，我们得到了平面图形，也就是说线动成面， 面的级别自然更高了，是二维的。如果面不甘寂寞也动起来了呢？看看工作中的电风扇，旋转中的硬币注射器吸水，是不是三维的立体图形呼之欲出了呢？所以啊，面动成体， 绕一条轴旋转是面动成体的好办法之一，如果让各种常见的平面图形旋转起来，那么会得到很多有意思的立体图形。以后我们有时间再说吧，今天就。

来吧，同学们，昨天是不是讲过一个同样类型的题啊？那我们今天再来练一道，我们看一看今天这个正六边形他是怎么考的。首先明确这个模型左边掏空的圆锥，右边掏空的圆柱。我们先来看 a 选项，竖着不要切到中间，如果切到中间的话，左边就是等于二三角形了。 但是我觉得 a 选项左边这个双曲线，他画的有点太圆润了，这个双曲线应该是脑袋尖尖的，不过不影响我们再看横切的四、 d 选项，因为左边是圆锥，右边是圆柱，所以横着一刀下去，左边的圆要小一点。二、 b 选项外框是等腰梯形，那就找一个角去切底部，同时也要切到一半的圆柱。 ok 啊，同志们，这三个都是比较基础的结面。我们来看 c 选项外框是正六边形。昨天是不是讲过呀，正方体能结正六边形，那你这是一个长方体啊，同志们，所以对基础模型的结面熟悉了之后，这 c 选项就秒选了，我还需要一点点去排除吗？这我看到一眼直接就选 c 了，同学们，无他为首鼠耳。

问题，球与正方体的结面与交线问题件非常的简洁，数据就两个，一个是正方体的冷场，还有一个是球面的这个球的半径三分之二倍的根号三， 那这个球到底是一个什么样的球？他的大小又是如何的？我们需要先有一个概念，于是拿到这个题目的话，我们先做这样的一个工作啊。呃，大家先想想看和正方体的这个大小有关的量，其实主要有这样的几个，一个的话呢，是它的轮成一， 还有一个的话呢，是他的面对角线根号二，还有一个的话呢，是他的体对角线根号三。那大家来比较一下，这三个数和三分之二倍的根号三的关系好，三分之二倍的根号三的话呢，相当于 是呃，根号三分之二哦，也就是根号下三分之四， 那很显然的话呢，他应该是一个大于一的数，也就是说这个球的话呢，半径是比棱长要长的，而同时的话呢，根号二的话，相当于是根号下三分之六，那也就是说这个半径比面对角线还要短。那 好，我们发现虽然知道了这个半径大概是一个什么样的大小，但依旧非常难难想象，而这个球和这个正方体的关系以及表面到底应该是有些什么样的交线来构成。 所以接下来的时间的话呢，我们一起来看一看具体的模型啊，凭空想困难直接来看吧。 好，首先呢，我们来感受一下啊，不同的方向去切一个球的话呢，它所形成的洁面很显然应该是一个呃，圆形，那这个圆的话呢，有些时候小，有些时候会大，最大的时候呢，应该是恰好过这个球的球星的时候， 那类似的话呢，我们也可以换一些其他的方向来切他，比如说我们换另外一个方向去解这个球啊，大家也可以发现他得到的这个洁面也一样是一个圆形，这个圆可大可小，最大的时候是过球星的时候 大，类似的话呢，我们可以再换一个角度啊，如果是从这个方向去切这个球的话呢，这个结论也是一样的。好，那么有了这样的三个分 解的情况以后，我们再来理解正方体和球的关系就容易的多了。 好，我们一起来感受一下，当球的球星就是这个正方体的一个顶点的时候，到底这个球的大小会和这个洁面的形状有些什么样的关系呢？我们一起来看一看动态的演示。 好，现在的话呢，这个球的半径非常的小啊，缩在一个角落里面，那可以看出这个 球的话呢，应该会和我们的正方体的三个面是相交的关系，那么在相交的时候呢，每个面啊都会形成一条胶线， 我很显然这和我刚才讲的切苹果是类似的，这相当于是从苹果的正中心给切下去的，于是呢，大家看到这三段相当于应该是 大圆中的三段圆弧，并且可以看出他们应该是完全相等的三段。好，那紧接着的话呢，我们可以让这个球的半径变得更大一点啊，来看一看这个胶线会发生什么样的变化 好，当这个球越来越大的时候呢，每一段弧的长度都逐渐的增加 好，增加的同时的话呢，这个条数是没有发生变化的，依旧还是三条，那关系的话呢，也依旧是大圆中的三条圆弧，并且大家还会看到这三条圆弧呢，所对的大圆的这个圆心角应该都是九十度。 好，那大家可以从各个角度啊去感受一下。那紧接着的话呢，我们可以继续让他拖动，一直拖到什么时候呢？一直拖到 当这个圆的半径恰好和这个正方体的轮长是一样的时候，那这三段的话，弧上我们感觉应该达到了一个最大值啊，达到最大值。 好，那我们接下来再来感受，当这个球在继续膨胀一点之后，会发生一些什么样的变化呢？啊？我们拭目以待啊，来看一看。好，当这个球再大一点之后啊，这个形状就完全不一样了。来仔细来体会一下这个时候的情况。 当这个球弹进超过了人场，而又没有超过面对角线的时候，这个球会和正方体的六个面都相交。 好，大家首先先感受这一点啊，球星在 a 的位置，然后呢，他会和每一个面啊都相交， 下底面相交于两个点，左侧面相交于两个点。好，右侧后侧面啊也是两个，上侧面也是两个，前面也是啊，右边也是。那么当我们把这些线连起来的时候，你会看到它全部构成的是曲线， 而每段曲线的位置关系又是怎么样的呢？我们同样来旋转看一看，比如说大家现在看到了这个 fh， 这一段 好，他相当于的话呢，是一个小圆面啊，那这个小圆面的话，相当于是一个。呃，球星啊，没有过球星的一个小圆面， 而他的对应的圆心角的话，应该是九十度的圆心角，那么和他的地位一样的话呢，是这个上底面啊，上面切出来的这样的一个圆弧形， 那么同样呢，我们再旋转一下，还会看到在右侧面的时候呢，这一条线啊，也应该是和刚才两段是完全一样的地位，那也就是说这里面有三段弧，应该是长度一样，并且他们的地位都是 这个小圆面中的四分之一圆弧。而另外的三段的话呢，我们会看到另外的三段啊，来感受一下。另外的这三段的话呢，它的特点是什么呢？比如说这个 nf 啊，这个 nf 应该切的时候呢，是一个过球心的一个切面切下去的效果， 他也就是说这个 nf 应该是大圆的圆上面的一段圆弧，但是他的圆心角对呢是多少我们看不出来啊，同时呢，他也是会发生变化的好，那么大， 大家可以观察啊，这个呃球在与正方体相交的时候，有三段壶都是经过大源的。 好，那我们继续让他再变化起来好，当在变化的时候呢，这个基本的形状我感觉有点像一个梯字形啊，梯字形的形状是没有发生变化的，但是各段湖的形状发生了一些变化，好继续在变的时候呢，呃，我们会看到他 接近于的一个什么有点像一个三角形的形状啊，那到这个时候是一个什么样的情况呢？好，大家可以来理解一下啊，到这个时候的话呢，呃，球星是 a 点 好，然后的话呢，这个半径相当于其实就是面对角线，那也就是说半径是面对角线长度的时候，我们呃这个胶线又是构成又是构成 成了三段，而这三段的话，分别应该是什么样的长度呢？大家来想一想啊，这三段的话，到底是小圆面上的这个写啊，这个圆弧呢，还是大大圆面上的 好？其实你主要去找的是什么呢？找的是他所在的这个面和球星的关系啊，比如说这段壶， 他所在的面是这个正方形，这个正方形的话呢，是不过球星的，那于是呢，他所对应的圆呢，就是一个小圆，那从而这段胡的话呢，就是小圆上的一段胡， 那圆心的话呢，就应该是小圆的圆心啊，就应该是必点，那一直直接可以看出他应该是圆心角是九十度，于是这种时候啊，他应该是三段小圆 圆面上的这个四分之一圆弧构成的形状。好，那么当我们再继续再让这个半径变得更大一点的时候呢，这个形状其实是没有太大的变化，还是有点像三角形，而是一个曲线三角形， 但是显然这个弧长发生的变化变得越来越短，而当这个半径越来越大的时候，当半径就已经是体对角线的时候，最后呢，所有的焦点啊，就都重合为这一个点了，就相当于胶线就已经没有了。 那很显然我们也可以理解到，如果球的半径再大一点，那正方体呢，就完全包在里面了，就不会再有胶线的形成了。所以我们从头再看一遍啊，相当于这里面的胶线其实是几种模型呢？大家来体会一下。如果半 小于冷场啊，就是一个像三角形一样的结构啊，但是它是曲线，这三段曲线呢，全是大圆上的四分之一圆弧。 好，而当半径超过了面对角线的时候，它会形成的是一个像六边形一样的形状。 那这个六边形的话呢，分成了两组，其中两组啊，其中第一组的话呢，是由小圆上的四分之一圆弧构成的三条， 而另外的三条的话呢，是由大圆面上的一段圆弧构成的，那具体他的圆心角是多少是需要另外去算的。而当半径超过了面对角线的时候， 又是由三段圆弧构成，那这三段圆弧的话呢，都来自于小圆，那小圆的圆弧长度以及他的圆心角也是需要另外去算的。 好，那么有了刚才对这个这一类问题的一个分析以后啊，大家再来看一看我们现在这个问题该怎么解决。 我们现在的话呢，已经知道了，这个球的半径是一个呃，小于面对角线并且长于冷藏的一个半径， 那于是的话呢，这个关系的话呢，应该是一个形成了一个像六边形一样的一个关系啊，那特别的呢，我们来画一画这个三分之二倍的根号三，到底在哪里？现在呢，球星是在 a 点，轮长是一好，那么我们会知道呢，他应该画上这样一条半 性的话呢，应该会有一个直角三角形形成啊，这个地方长度是三分之二倍的根号三，那有对称性的话呢，这边啊，也应该会有一个地方是三分之二倍的根号三。那类似的话呢，呃， 把这个三分之二倍更好。三也可以画在这底下来，这底下的话呢，也会有一个三分之二倍更好三的位置。好，那同样的话呢，这边也会有啊，如果大家觉得不是很好想的话呢，我们可以直接先来画一个正方形 啊，在正方形里面轮长是一，那三分之二倍的根号三是一个什么样的概念呢？三分之二倍的根号三，应该对于一个三十度的角，三分之二倍的根号三啊，这一段长度的话呢，应该是三分之根号三。好，这个地方是三十度 好，类似的话呢，我们在这里还可以再画一个好，这个应该也是三十度啊，这个地方也是三分之二倍的更好，三，好。也就是说我们可以从 a 点出发，在 a 所在的三个平面，一个是底面 好，一个是后面，一个是左侧面，分别找到他与这个正方体会相交的六个交点啊，这假设叫做，呃， e、 f、 g、 h ig。 好，那么接下来的话呢，我们来连一连啊，大家还可以回想一下我们刚才的那个六边形是怎么形成的啊？像六边形的形状应该严谨一点。像六边形的那个形状是怎么形成的呢？呃，那他应该是由三个小 圆的这个圆弧加三个大圆的圆弧形成的，那哪三个是大圆的圆弧，哪三个是小圆的圆弧，你还记得吗？好，可以想一想啊。呃，上面 这个面是不过球星的，所以它切过去的话呢，形成的应该是以小圆的圆心 为啊，这个所在的圆，这个圆弧，所以应该是这样涂出来的一个圆弧啊，是这样的一个扇形所对应的圆弧 好，那么和他类似的。呃，这个前面这个面，他也是一个小圆面去切这个球，他所得到的这个小圆的圆形是 b 啊，那所对的圆弧的话呢，也应该是一个和刚才全等的一个小的扇形啊，所对的圆弧， 他们完全类似，地点也是一个小圆的圆心，那 gh 的话呢，就应该也是一个小圆所对的圆弧。 那么这三段圆弧分别对应的半径其实是这样的一个半径。那么我们回到这个正方体里来，寻找一下，这个半径在哪里呢？这半径其实就是我们的三分之根号三的位置啊，那于是呢，我们可以先把这三段求出来，三段啊，有三段乘以什么呢？每一段都是 圆的四分之一，圆的半径是二派，二，二是三分之根。好，三， 好，那也就是说我们能算出其中的三段的长度，加在一起的话，应该是二分之根号三派。好，再继续啊，我们再来看一下另外的，呃，三段。另外的三段的话呢， 比如说左侧面切下去的话呢，是刚好过这个 a 点的，于是他是一个大圆的圆弧啊，也就是说他应该是这么来画啊，这个圆心是在 a 点好，是大圆的圆弧上的一段好，那么类似的话呢，底下这个也应该是个大圆 所对的一段圆弧啊，好，那后面的话呢，也是以 a 为圆心的一个大圆所对的圆弧。 那现在问题是这三段大员的这个圆心角各是多少？其实问题又回到了这个正方正方形里面来，那这个角度是多少呢？ 其实由于旁边两个是三十度，我们很容易看到中间的也应该是三十度啊，也就是说这里有三个三十度圆心角所对的圆弧，并且呢，他们的半径应该是 三分之二倍的根号三好，但于是呢，这三个的话呢，呃，就相当于三个的长度啊，三个乘以每一个都是三十度，三十度在三百六十的十二分之一啊， 再乘以二派，他的半径应该是三分之二倍的根号三好。那约分化减的话呢，我们会算出最后的答案，应该是 可以算一算啊，应该是三分之根号三派，那于是呢，最后这六段合在一起的结果就应该是二分之根号三派， 加上三分之更好，三派好，等于六分之五倍的更好，三派这个结果，那这样的话呢，我们就顺利的完成了这个题。好，那么希望今天这 这个视频的话呢，能够对大家解决正方体和球的洁面以及胶线问题能够有所帮助。那以后的话呢，大家再回想到这个题的时候，就想一想老师今天讲过的三种模型，分别是大圆还是小圆中的胶线问题，就可以五分钟之内了解喽。

今天大家只要记住这个口诀，能够搞定洁面图的所有问题，十秒钟之内让你快速出答案，而且能保证百分之百的正确率。 好，那这句口诀叫做正邪不两立，什么意思呢？正就是正切，斜就是斜切，正切和斜切不可以同时出现在同样的一个洁面图里边，要么一个刀口全是正切，要么全是斜切。好，我们来看一下以下选项给到我们的立体图形呢，是一个拼接的一个正方体，再加上一个长方体， 那么如果说是正切的话，是不是都是规规整整的正方形加矩形，或者说斜切的话呢？都是一个什么样的？呃，它是一个这个梯形的， 或者说呢，它是一个三角形的，再加上梯形的，对不对？那么 a、 b、 c、 d 选项，我们来看一下它到底是怎么切的？ a 选项的话，你看上面它是一个梯形，下面也是个梯形，梯形怎么截呢？它只能斜着去截，对不对？所以的话呢，下面下面都是斜切的，它是可以的。 b 选项呢，它是一个规规整整的矩形，所以它是这么去截的啊，它也是正切。好，那么接下来 c 选项呢？ c 选项的话，你看上下两个部分，上面是三角形，三角形应该怎么剪呢？三角形是不是应该斜着去切呀？ 斜切，那么底下的矩形呢？矩形应该怎么切？应该正切，所以正切不能同时出现。 c 选项，我们直接选到。好，那接下来的话呢，同学们啊，正切跟斜切，大家只需要记住我们的正切就可以了， 因为斜切的话呢，很多都不规整，你可能看不出来，所以的话，大家看一下啊，只需要记住你的正切，那么正切的话，像六面体当中的话，它是规规整整的，比如说，嗯，四正方形或者长方形， 那么像圆柱的话，正切要么就是规整的一整个的圆形，正圆形或者说是我们的一个长方形。好，那么像圆台的话呢，我们正着去切，那么要么是我们的一个圆形，要么呢是我们的一个梯形。等腰的好，那么像圆锥的话，也是圆形，或者说是正三角形。 好，接下来的话斜切，你们简单看一下六面体，斜切的话就有很多选择了。好，那么接下来圆台的话呢，斜切是一个椭圆形，或者说这样去斜切的话呢，是一条直线加上一条曲线的，这是斜切。 好，那么了解到之后呢，同学们，我们再来看几道题，像这道题的话，你看一下，那么它给到我们的立体图形是一个正方体，挖空了一个圆锥的，对吧？那么 a 选项它问你，不可能是它的洁面图的，那么 a 选项呢？外边它是一个怎么样的？是一个正方形，里边它是一个椭圆， 那么外面的话，正方形是不是正切的，那么里边的椭圆椭圆只能是斜切，所以的话呢，正斜不两立，这道题直接秒到 a 选项。那再来看一下 这个图形的话呢，大家看到啊， a、 c、 d 它都是什么规规整整的？这些矩形，矩形再加上矩形的，对不对？所以它们都是正确切出来的，那么你看一下我们的 b 选项呢， b 选项上和下两个部分，上面是一个倒三角，倒三角是不是只能去斜切切出来啊？对不对？那么底下呢？ 底下你看规规整整的梯形，它是不是只能正切切出来呢？所以正斜不两立，并且你把它补全的话，你看，如果说我们想斜切给它补全，它底下不就是一个圆柱吗？那么如果说斜切的话，一定是一根直线加上一个曲线，肯定是带有曲线的一个结面， 所以 b 选项不可能出现。选 b 结束，好，再来看一道题，你看一个圆柱挖空了两个，挖空了一个小的，一个圆柱再加上一个圆锥。好，那么这个 a 选项的话，应该怎么去切呢？ a 选项是一个椭圆，不是正圆，所以它必须是斜切的，那么斜切的话，我挖出来是整的，对不对？所以那么如果说我没有挖空的中间这一部分，我挖出来是不是可以得到这个 a 选项是可以的， 那接下来的话呢？ b 选项是一个矩形，然后我们如果说沿着这个没有被挖空的地方，我们直接给它这么来一刀，它是不是可以直接截成它也是正切的？那么再看一下我们的 c 选项， 那 c 选项的话呢？同学们看一下啊， c 选项我们正着去切，怎么去切呢啊？正着去切，正着去切的话呢，是不是直接从这里去切就可以了？上面的话呢，正好是一个什么三角形，下面呢正好是一个什么矩形，所以的话正着切的话都是满足的，所以它们全都是正确 意义，全都是正切是可以的。那么 d 选项它外面是一个椭圆形，椭圆形应该是斜着去切的，对不对？ 那么它中间就一个正圆形，正圆形怎么切的？不管说你切的是圆锥还是圆柱，正圆形它是不是都是正切的？所以正切和斜切不可以同时在同样的一个界面里边，所以这道题当选的是我们的 d 选项， 大家一定要记住，正邪不两立，非常好做。像这样的秒题口诀大概还有一百多个，是我们针对近五年的真题整理总结出来的一些高频考点，一两个视频肯定是讲不完的，所以把口诀给同学们梳理成四天的精品技巧课。第一天是小白先导课，带你们去快速入门的。 第二天讲言语和判断，教你们拆解框架，套口诀。第三天讲数量，二十七个母题资料，我的大速算不用计算，不能出答案。第四天讲申论攻击综艺，全是干货，还有配套的口诀和思维导图， 帮助你梳理思路。另外还有我们自己内部的技巧库，整理好了五大板块，每个题型对应的口诀和真题，可以用来学习刷题和复习巩固需要精品课口诀和技巧库的同学。

好，各位同学，大家好，今天呢老师来给大家讲解一下，在我们国考当中一类比较特殊的题型叫做洁面图，其实洁面图这类的题目，如果我们掌握了一定的方法和技巧的话，在二十秒左右的话，我们能够直接选出正确答案的，所以洁面图这类题型在我们考试当中一定要去把它拿下，那我们一起来看一下。对于我们说洁面图这道例题，我们一起来看一下。 说一个正方形，如下图所示，切掉了上面半部分，现在从任意面剖开之后，下面哪一项不可能是该动面体的一个界面，那么老师拿到这道题会在十秒到二十秒钟之内，第一反应出来的正确答题其实就是我们的 c 选项，为什么这道题正确答案为 c？ 一起来听老师讲解一下。 首先我们观察左边这个立体图，你会发现它其实是由我们的一个上面的正方体和下边的长方体所组合而成的。那啊，我们 abcd 四个形象同样的是不是也可以把它分割成 两部分，那我们看 c 选啊，是不可以分割为三角形和我们下面这个句型。好，我们说在我们常见的右面题当中，如何得到一个三角形呢？大家还记不记得，是不是说有点，怎么样？斜切到面对不对？好，这是我们上面得到一个三角形所切的一个 方法，那我如何得到下面这个句型的一个这个方法呢？是往往有三种情况，第一种是不是就是平行的切对不对？第二种是不是就是垂直的切？第三种是什么？是不是斜切，但是这里不用说斜切的话，这里他是不是需要平行于能来进行个斜切啊？ 那这种来仔细观察一下，我三角形是有点斜，街道面，我剧情是有以下三种情况的，这种情况他们两者之间存不存在的一种组合，能够一刀切到底的， 来这里注意这个一刀切到底是不是我们说做极锐度最根本的一个原则，对吧？好，那这种我们发现我们说并没有一个三角形和我们的个句型能够一刀切到底的一种情况，对不对？所以这道题正确答案就是我们的一个 c 选项，那我如果有一个点斜接到底部的话，它真真正正的一个图形是怎样的呢？我们一起来看一下。其实就像老师下面画的一样，是有一个三角形加上一个梯形所构成的， 这是我们的这道题，那么接下来干货来了，就是针对于我们洁面图当中常见的一些坑网，大家需要把这些给掌握了，那你如果把下面这几种情况掌握的话，在考试当中百分之八十左右的题目，我们都能在二十秒以内选出的内答。第一种 重要是六面体切出了直角三角形来，第二种就是什么圆柱切出了梯形，这两种是比较基础的哈。然后第三种就是说空心图形带线，也就是开口的部分洁面有线条。第四种就是我们得了空心圆柱，切出了外圆内圆，或者说外椭圆内圆这种情况。最后一种就是我们刚刚讲的拼和的六面体切出了三角形加上句型这样的一种情况， 所以这五大类是我们洁面图当中最为常见的一些坑王，我们在考试过程当中遇到了这些的话，要能够做到二十秒之内选出这笔答案就可以了，好。