勾股关系含义

这种特殊的根古数，当时上新课的时候就让你们背了，到现在都快期末了，你还搞不明白？看着啊，当时我们定义的时候是在直角三角形去定义三角函数的，那他是 r 法角，那么 c e r 法他就等于对边比斜边， 那就是对比斜。 cosine 尔法，它就等于这个是对边，那它就是邻边。 cosine 尔法是邻比斜 攀登切的话，它是对比邻，那它也等于 cosine 尔法。比 cosine 尔法，这是课本上给我们的定义。我们小时候就有两个三角板了，一个是等腰直角三角形，这个是个四十五度， 这里也是四十五度，所以说他的三边关系就是一，一根号二，还有另一个直角尺三十 度，那这里就是六十度，这里是一三十度。角所对的边等于斜边的一半，这里是一，这就是二，那这个边的话就是三，这个就是我们最开始接触的两组勾股数一，一根号二， 这个是一，二根号三。后来我还给你们补充了三、四五、一、二根号五， 还有六、八十五、十二、十三，你说就这种的吗？你死记硬背啊，你想想三边关系你都知道了，要什么三角函数你算不出来啊？你还要什么自行车呀？

大家好，这里是踏实数学老宋这个视频，我们来看一下勾股定律。 勾股定律是在直角三角形中，两条直角边的平方的和等于斜边的平方。比方说这个直角三角形三条边分别是 a、 b、 c， 那 就是 a 的 平方加上 b 的 平方等于 c 的 平方，这个就是勾股定律。那么它是对于任意的直角三角形都成立的。 那常见的呢？满足这个条件的三个整数，我们会叫它勾股数，那大家知道最多的就是勾三股四减五就是三、四五，三的平方，加四的平方等于五的平方。 那还有一些其他常见的勾股数，比方说五十、二、十三、八十五、十七等等，以及他们的倍数， 就把这个各自扩倍，比方说把这个三、四、五分别扩成原来的两倍，变成六、八十，那自然也是符合勾股数的。 很多小学生在学这个勾股定律的时候，有一个误区啊，就是认为必须三条边都是整数，因为毕竟小学只学整数，小数和分数嘛， 但其实不是这样子的，它可能会出现你求不了的数。举个最简单的例子，比方说一个等腰直角三角形，然后呢它两条直角边都是一， 那就是一的平方加一的平方就等于这条边。比方说叫 c 的 话， c 的 平方，那就是 c 的 平方，应该等于一，加一等于二，但是我们很明显是不知道有哪个数它的平方等于二的， 所以存在这样的数，但是我们暂时解决不了，那你就不要管它，以后到了中学再去学习。 那相应的还有一个误区，就是比方说这个勾股数三四五，他又觉得啊，我有一条边是三，这个直角边是三，那么另外两个直角边就一定是四和五了，这个是错的。 比方呢，我们把这个 b、 c 这条边不动，然后呢我们再画几条， 那这里就分出了三个直角三角形，对吧？一个、两个，三个，这三个直角三角形，它的这条直角边都是三，但是很明显另外一条直角边和斜边的长度都是不一样的， 所以不是说有一条直角边是三，另外两条边就一定是四和五，不是这样子的。勾股定律必须是知道两条边才能使用，就是知道 a、 b、 c 其中的两个求另外一个， 只有知道一个是三，另外一个是四，那么斜边才是五啊，否则就不是这样子的。 那下面我们来看一下购物定律比较常见的两个用法。第一个用法是求斜边上的高， 比如这里有个直角三角形，它的两条直角边分别是六和八，那要求这个斜边上的高 a、 d。 首先我们可以根据勾股定律把 b、 c 求出来， b、 c 的 平方就该等于六的平方，加上八的平方也就是一百，所以 b、 c 等于十。 答案，如果你对刚才的勾股数比较熟的话，它其实就是三、四、五的两倍。然后我们求 a、 d， 怎么求呢？要用到的就是三角形的面积公式， 三角形面积公式就是底乘高除以二啊。对于这个直角三角形，我们有两个算式，第一个算式就是用直角边底乘高除以二，那么呢还可以用斜边就是十乘上它的高 a、 d 再除以二。 因为我不管用哪个方法，求的都是这个三角形的面积，所以这两个答案肯定是一样的，这样就能把 a、 d 求出来，那等于四点八。 那还有一个用法呢，就是连续地用购物典例，我们来看这个例子， a、 b、 c 是 一个等腰直角三角形，直角边长是四啊，因为是等腰，所以两个都是四。然后呢，另外一个直角三角形 a、 b、 d， 它的 b、 d 的 长是七。问这个 a、 d， 那 很明显，我可以用勾股定律先把 a、 b 算出来， a、 b 的 平方就该等于四的平方，加上四的平方就是十六加十六等于三十二。 但是这个时候出现一个问题，就是我们刚刚说的，你不知道谁的平方等于三十二，你只知道五五二十五、六六、三十六。对，那这时候怎么办呢？ 那你就不要求 ab， 你 直接带 ab 的 平方就行了。在右边这个直角三角形里面也有勾股定律，就是 ab 的 平方加上七的平方等于 a、 d 的 平方， 你看这个地方它用的也是平方，你不用管 ab 是 多少，反正它整个平方就是三十二，你把这个三十二直接带进去就行了。所以 a、 d 的 平方就应该等于三十二，再加上七的平方就是四十九，等于八十一， 那我们知道九的平方等于八十一，所以 a、 d 就 应该是九。这题又做完了，所以对于勾股定律而言，如果你能直接算出边长，那最好，如果这个边长是你现在求不了的数，那你也不用去纠结， 它肯定不属于小学的内容，那么你就把整个平方放在一起，整体进行代入就行了。 以上就是这个视频的全部内容，如果觉得这个视频对你有帮助，欢迎点赞、收藏或者是转发给其他的小伙伴。持续关注我的账号，我们下个视频再见。

家人们谁懂啊！数学课本里的勾股定律居然藏着千年套路！三十秒教会你考试直接闭眼写答案！先上干货！直角三角形，两条直角边 a 和 b 斜边 c。 记住这个公式， a 方加 b 方，等于 c 方就行。简单说就是两条短边的平方和等于最长边的平方。是不是超好记？咱再看看古人怎么证明的！赵爽贤图， y y d s 把四个一模一样的直角三角形拼起来， 中间刚好出现一个小正方形，边长就是 b 减 a。 大 正方形面积既等于 c 方，又等于四个三角形面积加小正方形面积 算下来就是二 a， b 加 b 减一的平方。化简完正好是 a 方加 b 方。古人的智慧也太绝了吧！常用的勾股数有三组，三、四五、五十二、十三七二十四、二十五。宝子们要记住， 考试必考！重点来了！勾股数有两个神仙规律，一是倍数大法，三 四五乘两变六，八十乘三变九，十二十五，随便乘多少都是勾股数。二是奇偶定律，要么两基友，要么全是偶数。 三个基数错不成，勾股数字下来，直接排除错题选项怎么样？是不是超简单？评论区说说你还想解锁哪个数学知识点？记得收藏起来，考试前翻一翻，问拿分！

hello， 同学们，大家好，上一次我们玩了玩玄图，这一次呢，我们来了解一下勾股定律， 老师给大家两幅图，大家可以先观察一下，图当中呢，有八个完全一样的直角三角形，每个直角三角形短的这条直角边，我们把它假设为 a， 长的这条直角边，我们把它假设为 b， 这个直角三角形的斜边，我们称为 c。 来请同学们观察一下，下面两幅图，你能看出什么吗？ 很好，有同学已经发现了，无论左图还是右图，都会出现四个这样的直角三角形，那它们单独每个都一样，那它们四个之合呢？ 很好，是不是也是一样的非常棒。那除了四个直角三角形以外，左图当中还有什么很好？两个正方形，而且这两个正方形一个边长为 a， 还有一个边长为 b， 那 它跟右面这幅图边长为 c 的 正方形，它的面积应该是如何的关系呢？我们想一想， 很好，它们是相等的关系，为什么呢？因为无论是左图还是右图，两个都是大的整体正方形，这个整体正方形，它的边长为 a 加 b 的 和 整个的面积，它们是一样的，对吗？边长都是 a 加 b 的 和的正方形，那无论左图还是右图，只要三角形每个完全一样，那四个的面积之合是不是也是完全一样的？ 所以那么左图当中红色两个阴影正方形面积之和，也就是 a 方和 b 方，那与我们图二右图当中的这个边长为 c 的 红色阴影正方形面积 c 方，会存在什么关系呢？ 还好也是相等的整体面积相等，三角形面积之和相等，所以其余的阴影部分面积也相等，这个就是我们勾股定律的初步证明，你记住了吗？ 好，那我们来总结一下。勾股定律是一个基本的几何定律，它是指直角三角形，我们一定要注意，它务必出现在直角三角形中，而且两条直角边的平方和，也就是如下图当中的 a 和 b 的 平方之和等于什么？等于斜边，也就是 c 的 平方。 那为什么叫做勾股定律呢？因为我们古代称直角三角形为勾股形，短的那条直角边称为勾，长一些的直角边称为股，斜边称为弦，故名叫做勾股定律。当然也有人称山高定律， 这个山高定律大家感兴趣可以自己课下查阅一下相关资料。好了，我们本期内容就分享到这，我们下期再见。

不是闹闹闹闹闹，就知道闹。那三角函数学这么久连勾股数都不会做，这高中还能不能念了？教你们个口诀，直接把勾股数记住了。第一个叫基数平方，写连续给我个基数五，那比方咱们就说五基数平方，五的平方是几啊？二 十五，五五二十五嘛。那我们找两个连续的数相加，自然数等于二十五，十一加十三，对不对？十二加十三就是二十五，所以五十二十三，这是不是勾股数？ 再比如说刚才你不是说三吗？那三的平方是你学的最简单的三的平方九吗？九等于四加五，那所以三四五不是勾股数吗？七也一样，七的平方多少？四十九，那四十九，我们把它拆成两个连续的数字，哪两个连续？二五二四 二四二五，所以二十四，二十五，所以七。二十五是不是常见的勾股数？你把它这不就记住了吗？第二个叫偶数，半方加减一，这如果要给你个偶数，把它一半的平方加一和减一，也是勾股数，来个偶数八，那比如说你看八，八的一半是谁， 那一半就是四，那四的平方是谁？四的平方应该等于十六，那一个加一，一个减一，那就应该是十五十七，所以十五八十七，这不就是勾股数吗？再来一个十，你看比如说十十的一半是谁？十的一半不是五吗？ 五的平方应该是二十五，那二十五减一，二十四加一，二十六，那所以你看十二十四，二十六是不是勾股数？为什么是勾股数呢？因为十的一半是五十二十三是不是跟这边勾股数一样？所以你看就这样，那勾股数还记不住吗？就知道闹。

只要一句口诀，就能记住所有勾股数，今天让图灵与欧拉带尼打破谣言。基数的口诀是这样的，基数平方写连续，比如说五是一个基数，五的平方等于二十五，二十五又可以拆分成连续，自然数的和，二十五就等于十二加十三， 所以就得到了五的平方加十二的平方等于十三的平方。看上去没错，对于偶数，还有一句口诀，偶数半方加减一，比如八是一个偶数， 它的一半就是四平方后就是十六。十六减一等于十五，十六加一等于十七，八的平方加十五的平方等于十七的平方，这样我们又得到了一组勾股数。 对于三四五这个特殊的存在，还有一句口诀，任意翻倍三四、五，比如三的平方加四的平方等于五的平方，这个可以扩倍。如果把三、四、五分别乘以二，你就可以得到六八十。这组勾股数乘以三之后，又可以得到一组勾股数。 下面我们就来打破谣言，这几句口诀真的能覆盖住所有的勾股数目。在我们图灵与欧拉的数学编程课中，找出勾股数真的是太简单了， 我们随手就找到了一百以内的勾股数，总共五十二组。我们灵敏的发现，第八组勾股数就是二十的平方加二十一的平方等于二十九的平方，如果按照偶数的口诀拆分，就是这样。显然这个口诀并不能覆盖所有的勾股数。

我们知道在直角三角形 abc 中，假定角 c 是九十度的话， a 对的边是小 ab 对的边是小 bc 对的边是小 c， 我们就知道了 c 方是等于 a 方加 b 方的。那么我的问题来了，在国内咱们叫做勾股定理，那么为什么国际上不承认这件事情？为什么在国际上我们把这个定理叫做 b？ 达克拉斯定理， 为什么我们在学校学习的过程中不去叙述和讲这件事情？首先第一件事，我们现在在整个的数学史上，我们去定义一个定理或者命名一个定理的话，通常有两种不同的命名方式。第一种是什么呀？ 谁最早提出假设的？以谁为命名？第二个是什么呢？谁最先证明的以谁为命名？我们知道，实际上在中国古代的商高和周必算经中，最早提出了勾股数，不是勾股定理。周必算经最早基本成 评书是在公元前一千年左右，而比他再早个八百年左右的时候，已经就有这么一波人，叫做梅索波达米亚人，其实就是古巴比利人的一个分支，他们就已经开始用购股书了， 而且用的贼大，就上万的购物书他们都已经找到了。然后在大约公元前一千五百年的时候，古埃及建造那个巨大的金字塔也在用购物书，他们这些都比中国发现的早，所以这个时候是国际上市，不太承认中国最早发现了购物书。 更重要的是，我们在周必算经中提出了一系列的勾股数，他没有提出一个猜想或者说假设，这是最重要的。 说白了，他举了一些特例告诉我们，你干活的时候啊，这些数能用或者勾股数可以使，但是呢，没有把它提炼成一种假设，没有提炼成假设就不能叫做提 出了一桩特定的定理的前身，所以我是不能这么认知的。而这件事情恰恰是我们在出生阶段一个特别容易出错的点，所以这个事我要说的就是我们在出生阶段经常会犯的一个错误是，你以为一个特例他就是一个定力，这是不对的。一个特例不是一个定力， 一个特例他也只能提出一个假设或者说猜想，一个猜想要经过严格的证明才能成为一个定理，这是数学上的逻辑，所以勾股定理这个东西确实在轨迹上不可以承认，而确实也有他不可以承认的原因的。

接下来我们要讲一讲巧算勾股。为什么要讲巧算勾股？来，我给大家举个例子，即便我现在已经知道了勾股定律了，你会发现，我如果告诉你，这个是六十五，这个是十三倍根号三，这个算起来是不是也极度恶心，对吧？如果你真的要用勾股定律，那你得算一下根号下的六十五的平方，再加十三倍根号三的平方， 是不是也极度恶心？好了，那我们接下来的任务就是什么呢？我要做到哪怕是这么复杂的狮子，我也可以秒出答案。那么这个秒出答案不是什么大招，它是有非常坚实的底层逻辑的。这个底层逻辑需要我们具备两项能力。 第一项能力啊，你要具备巧算勾股的能力。你第一项能力一定要先记住十以内的勾股数，这个十以内的勾股数，如果这是三，这是四，这是五，大家肯定都知道。然后呢？第二，如果是五，这是十二，那这条边是多少？十以内的常见勾股数， 一个是三四五，这是五，这是十二，这个是多少？五，十二、十三，这是第二个，需要大家去记住，五十二十三，第三个是七二十四，这条边是多少知道不？这是二十五，这是七二四二五，这第三个，第四个，这是八，这是十五，我就不问了，这是十七。 好，最后一个就是九四十和四十一，这五组勾股数也没有啥，就是你慢慢用的多了，你就都记住了，这是最常见最常见的五组勾股数，也就是说，遇到这些数字的时候，你要瞬间想到，这也帮不了你了，反正你就多多用，有意识的去记它， 好吧，我就不展开了，就是你只要记住的就是这么，五组三，四五，五十二，十三，七，二十四，二十五，八十五，十七，九四十四，十一，就五组数，没有啥，你用的多了就记住了。好，这是我们要具备的第一个技能，这个技能没有什么好说的，你就记就行了。 接下来第二个是一个理解的事，什么叫等比例缩放来，看好了，看好了，如果这条边是一，这条边是二，这是一个直角三角形，接下来我把这个直角三角形每条边都给他，给他放大多少倍，给他放大十三倍， 给他放大十三倍。放大十三倍会长成什么样呢？哎，你看那么一是不是就变成了十三，二就变成了多少二十六。好了，你看，一放大十三倍，二放大十三倍，现在我要求他，哎，这是 abc， 这是 df， 我 现在要求 df 等于多少？你会发现我一定不会说的是我去直接算 df 的， 我算谁就可以了，我算 a c， 就 相当于，既然这个三角形是这个三角形放大十三倍来的，对不对？那么这条边放大十三倍得到它，这条边放大十三倍得到它。那么问号不就是由 a c 乘十三过来的吗？ 所以呢，我要求他，我跟我干嘛要求他，我求 ac 就 好了吗？这是一，这是二， ac 根号五，是不是秒算乘个十三，这就是十三倍根号五结束。所以你会发现，我如果一开始要算十三的平方加二十六的平方，那简直把人恶心死了。但是呢，我如果看到了他的最简比，他其实就是由一和二乘十三过来的， 那我就算他乘十三就好了，这就是巧算勾股的底层逻辑啊。这其实到了初三你就会更透一点，这其实就是相似啊，这两个三角形都是相似比就是十三。那么接下来当你懂了这个东西之后，你回来你会发现，我如果要算十五和二十五，要算他， 我第一步应该去找到十五和二十五的什么最简比，非常好。我十三和二十六，我找到了一和二，一和二是十三和二十六的什么东西 最简比嘛，对不对？为什么要找最简比？因为最简的肯定好算嘛。所以我第一步找到十三和二十六是一比二。第一步找最简比，找最简比。在这我也找最简比，这十五。二十五。最简比不就是三比五吗？ 如果这是三比五，那么这条边是不是秒算最减比三五，那这条边就是四， 对不对？这是不是第一步？第一步，用最减比算出第三边的比值应该是多少？是几分，这是三分，这是五分，那这应该是四分。 接下来看什么？你看接下来我是不是得看一下放大多少倍？看，求出根号。以后我乘十三是不是放大十三倍？那么这边来 这个三角形放大多少倍最减比？放大多少倍就放大五倍嘛。你看三乘以五是不等于十五，五乘以五是不等于二十五，那这个问号是不就等于四乘以五？放大五倍就是二十？ 所以总结一下两步，第一步看什么？第一步我看最减比，第二步看什么？看放大倍数，就这么两步来再感受一下。看好了， 这是零点五，这是一点二。最减比是多少？就五比十二嘛，那这就是五份，这就是十二份。那么你看为什么要让大家去记勾股数据？ 勾股数的好处，他给你的这些数字，他一定不会随便给你的，他一定给你的都是这些常见勾股数，对吧？这是五，这是十二，那么这就是十三分，接下来看放大倍数。放大倍数是多少？零点一吗？十二零点一是一点二吗？十三零点一，一点三。 打完收工。好，那么接下来我们再算两个。哎，你比如说这是二，这是二倍根号五，最减比其实就是一比根号五， 你注意这个最减比，反正也不一定是整数，你就不能再减了吗？你看二比二倍根号五，同时遇到一，一比根号五，这是一份，这是根号五份来，请问这是几份？这一二根号五。放大倍数是多少？是不是乘二乘二，所以这是二，乘以二就等于四， 对不对？所以你要理解最减比就是你反正看着他这个形式不能再减就行了，他也不一定是整数比四六，那不就是二三吗？二三的话，那这条边是多少根？十三吗？四加九吗？这不是根号十三吗？对不对？然后放大倍数是几？二到四三到六，这是二倍的根号十三。 最简比不是相似比啊？最简比是自己比，放大倍数这个东西其实是相似比，这个东西是相似比。来吧，兄弟们自己算一波，你就算你看零点一，四比零点五，你就比嘛？这个时候你，你觉得他最大的问题是什么？最大的问题是小数吗？对吧？小数怎么办？ 那我就都给他乘个一百，这不就是十四比五十吗？十四比五十就是七比二十五吗？对不对？你观察一下，他最大的问题是什么？小数吗？ 小数？那你是分子分不同乘一百八的变成整数吗？变成整数，这不就好了。所以你觉得他有啥问题？你把那个问题给他搞定不就完了，对吧？你觉得他是小数，我给他乘一百不就成整数了，对吧？好了，所以这是七比二十五，七比二十五。为什么要让大家记个股数来了，七、二十四，二十五， 对不对？然后看放大倍数，七乘以多少是零点一四七乘以零点零，二是零点一四，所以二十四。问号就等于二十四，乘以零点零二就等于零点四八。 好，来，再来，这是十，这是二十六，同时约个二，这就是五十三，那么五十三，这肯定是十二，放大倍数是几？放大倍数是二，所以问号等于二十四，对吧？这比较简单， 这是五分之十二，这是四，是不是又看不出来最简比了？很简单，你就比就完了吗？你要看最简比，你就比，这是不是就是五分之十二去比四吗？ 来，五分之十二比四，那不就十二比四，不就是三比五吗？你看十二和四约不就是三吗？ 所以它是三比五，来，这下有没有问题，对吧？你要看最简比，你看不出来怎么办？你就比吗？五分之十二除以四，不就是五分之三吗？那接下来 那看嘛，三乘以多少是五分之十二，三乘以五分之四吗？哎，这是三三五，那这条线段是四放大倍数，三乘以五分之四，才能等于五分之十二，所以这段也是四乘以五分之四，对吧？就等于五分之十六。最后一个五分之根号，五分之二倍根号，这个好看，就是一比二吗？ 对吧？一比二，那这就是根号五吧。接下来看放大倍数一到五分之根号五是乘以五分之根号五吗？所以这个问号就等于根号五乘以五分之根号五，根号五乘以五分之根号到哪一吗？ 所以你会发现这些东西如果你不用最减比去计算，那都把人算死了，这是为什么？很多小伙伴在后期这个线段长的计算能力不行， 就是因为他没有掌握用最简比的思路去计算购股定律，你如果不用最简比的思路去计算购股定律，这这这哪一个都把你算死了。零点一四平方加零点五的平方，那你说你不错谁错？来这一组自己来一下，看一下这组能不能轻松搞定，我们一个一个。来啊，来，这个最简比多少？ 这两条边的比是多少？如果你看不出来还是一样的，你就用二去除以四分之十五，就等于八比十五，所以这是八，这是十五。八十五，那这就是十七，所以是八十五十七，然后放大倍数乘四分之一，所以这是四分之十七， 那么这两个的比就是九比四十，那么这就是四十一。好了。放大倍数是三分之一，这就是三分之四十一， 五分之十二，五分之二十四，这是一比二一二，那这应该是根号五，对吧？所以呢来看，放大五分之十二倍，这就是五分之十二倍的根号五。五分之二倍根号，五分之三倍根号，这是二比三 二三，那么这应该是根号十三，所以呢，来放大倍数五分之根号二，所以是五分之根号二，再乘以根号十三，就等于五分之根号下二十六。来再来看好了，这是二，这是二倍根号十，这是一比根号十， 一比根号十，这应该是几，这应该是三嘛一，三根号十嘛乘以二，所以第一个答案就是六，然后呢，这是三分之十四，这是十六，这个最减比不好看，那怎么办呢？我们就比一下嘛，就是三分之十四，三分之十四，再比十六， 就等于十四，比上一个多少？十四比上一个四十八，就等于七比二十四，所以这是七，这是二十四。七，二十四，这是二十五。 然后接下来呢，看一下，看一下乘了多少？七到三分之十四，这是不是七？要乘以三分之二，才能等于三分之十四，所以这块就是二十五。乘以三分之二，就等于三分之五十，这是这两个一约是五比七， 除以三十五，除以三十七，这就最减米是五比七。五比七的话，那我们就只能算了，那这个就应该是二十五加四十九，根号下的七十四， 然后看成三倍，所以三倍的根号下七十四，这是九加二十五，九加二十五，根号下三十四啊， 对吧？所以应该是六倍，根号下三十四，这下对了吧？好，来吧，最后一组，那我们就一起来啊，最后一组，五分之四，五分之二倍根号七，这应该是这个最减比，应该是多少？就五和五约掉 四和二约一个二，所以这是二比根号七，最减比是二比根号七，所以那这应该是多少？这应该多少？二根号七至根号三， 然后再看一下乘以多少，乘以五分之二，就是五分之二倍的根号三，对吧？好，来第二个十二和十五可以约一个几啊？十二和十五可以约一个三，这是四比五，对吧？四和五十六加二十一，这是根号下四十一啊， 对吧？然后看成几乘三，三倍的根号下四十一，好，来继续，这是六十二，这是一比二，一比二的话，那这是根三份， 所以这是六倍的根号三，对吧？六十二，这也是一比二，但是注意这次一比二是直角变比，所以这是根号五，对吧？所以呢，这是根号五，就是最后就是乘以六六倍的根号， 这减比就讲到这了，接下来我们来完成一下最初的那个目标，我们最初的目标是什么呢？我们的最初目标是要把这样的一个货自己给它算出来，现在自己试一下二十六倍根号七来看好了。 最简比这两个可以约多少？约一个十三嘛，这是五比根号三嘛，所以最简比应该是五比根号三。看五乘以十三是六十五，根号三乘以十三，十十三倍根号三，这是五，这是根号三，意味着这是多少分？ 二倍根号七，对吧？看二十五加三二十八，二十八，根号下二十八，二倍根号七，二倍根号七，对不对？ 好了，然后呢，接下来看放大倍数乘十三倍乘十三倍，这就是二倍根号七。乘以十三就等于二十六倍根七打完收工。所以呢，你会发现会不会巧算勾股，他会极大的影响我们利用勾股计算线段长的速度以及正确率， 不光是影响速度，还会影响正确率。你如果真的拿六十五的平方和十三倍根号三的平方去算，那你的正确率就毁完了，他会多非常非常多的预算步骤啊，以及预算复杂度。 所以呢，我今天讲的两样东西，你看，我第一个讲了，证明就是一定要去，第一定要自己通过证明去感受对学过的知识的运用，这是非常重要的，对吧？这是提升你几何能力，这是你提升 数学思想。好，这是我的第一个要求，一定要自己重复这些证明，至少重复三遍，重复这三遍你才算真正的掌握了 来。第二个要求，巧算勾股，所有的题重算，直到每道题都算对为止。你注意我刚才给大家讲的这些题的这些数字，不是说随便给你整的 那些数字，都是尽可能的把所有的可能性，那些最简笔是怎么算的？你会发现每个最简笔算起来很多最简笔算起来都不太一样，都是尽可能把可能性给你包完了的。 所以重算所有的题重算，算对为止。这是第二个要求，干这两件事才能把今天的课程内容真正的融会贯通。 你不要觉得你今天的课你听懂了，你听懂了，你最终如果不做这些练习，你的收获可能连百分之三十都没有。我一点也不夸张，如果你今天听懂了就过了，你的收获可能连百分之三十都没有。 但是如果你下来再花一点点的时间去进行重复，那你的收获可能就能达到百分之七八十，只需要花一点点的时间，因为你已经听懂了，你只需要再做一遍动动手就行了。