二次函数垂直过定点问题

这个专题吗，来玩转二次函数过定点问题，凡是过定点类型的，他给的简易是大多数都是含有参数的，因此我们的分析方向至关的重要，我们该往哪个方向想呢？ 其实找定点呢，相当于是问 x 等于几的时候，能够求出来外的具体的值，这样也就得到定点坐标了。这里定点的横坐标就是 x 等于的那个数， 然后纵斗标呢，就是外求的的那个具体的值，也就是说我们求定点坐标求出来呢，一定是一个准确的横坐标，纵斗标呢，都是长寿的形式， 换句话说，该定点呢，他与参数是无关的，你那个参数啊，爱等于几等于几，不管等于几呢，这个抛物线始终经过那个定点，因此呢，我们要证明，二次函数他经过定点的话， 只要找到那个定点就 ok 了。那分两种类型，有的呢，他二次项的系数，一次项的系数，甚至长寿项都不知道，都是用了参数来表示的，这种呢，我们称为是多参数类型的。多参数类型的呢，我们可以用代入法， 为什么可以用代入法呢？因为他会给定参数的一个关系式啊，给定的关系式呢，我们就要观察一下，自变量为己的时候， 能够将给定的参数代入式呢，整体的代入，从而呢实现消参求到 y 的值。我们在这里求这个众多边具体值的时候呢，一定要把简易式当中的参数给他销去，这里可以采用整体代入法， 这是多参数的人，那么对于一个参数的，我们称为是独餐的，可以用孤立法。什么叫孤立法呢？稍后我给你结合立体，咱们说一下啊， 就是孤立参数，令其所乘的自变量的代入室呢，为零，你乘以零的话，零乘以任何时候都得零，这样的话呢，就把那个参数给他消去了啊，这样得到 x 值，既然呢，求出来 y 的值， 这里让自变量也就含 x， 那个代入是等于零，不就得到了关于 x 的方程吗？就可以求得 x 的值， x 呢，就是定点的横坐标了，此时求的那个值， 然后再带入啊，就可以求得这个纵坐标。好，这样的话也就找到了他的定点坐标了。这两个方法呢，是我们最常考的啊，多餐代入法和独餐孤立法。 现在咱们看例一，在二字函数他中，你看这里面的两个参数，一字像的系数不知道，长处像 c 也不知道，两个都不知道， 他必然会给你一个关系式，就是 b 加 c 等于零，只要他的图像一定过哪个定点啊。那么按照我们的代入法的话，就要观察一下这里的自变量， x 也就是横坐标等于几的时候，在这个关系式当中会出现这个参数的必加 c 这个整体， 那可以看到这个 x 等于几的时候，是不是 x 等于一的时候呀？大家想一想，当 x 等于一的时候，你把它带进去，这个呢，其实就是定点的横坐标了。好，咱们来试一下啊， x 等于一的时候带入，此时呢 y 就等于， 然后一的平方加上 b 乘以一，就是加 b， 然后再加上 c， 而 b 加 c 出来这个身影了，他说了是等于零，那就玩一个整体带入，带过来的话，也 就变成了一加上零，那就是一，这说明呢，当 x 等于一的时候，此时 y 的值呢，与参数无关了，因为呢，这个时候他告诉我们 b 加 c 等于零，从而让我们求得了这个动作标，也就是 y 的值，因此他一定会过哪个定点， 就是横坐标是一，中坐标呢也是一，那这就找到了，故这道题呢，选择 d 选项， 体会体会这种整体代入法。这个呢，简易是比较简单，就是你得想出来，或者观察出来字边上等于几的时候，才会出现它给定的这个必加 c 这个式子，从而呢，把它 啊，他是零带你去。当然这道题你还可以变一变，比如说你把 b 加 c 呢，哎，换成个一呀，换成个副五呀，他不就又成了一道新题了吗？ 好利益，咱们搞明白的同学啊，欢迎敲个六，我们再来操练。利二说，以至二次函数就是这个二次项的系数，你看不知道吧啊，唯一不知道一次项的系数， b 也不知道吧，这又是多餐的。 果不其然的，后面给了参数的关于是了二， a 减 b 等于一，让我们求其图像经过的定点。 大家想一想，这个时候观察观察横坐标 x 等于几的时候，你带入的简易是能够求出来外的值，把这个关系是给他用上，怎么用呢？就是整体带入了，可以看到这个 a 的系数跟 b 的系数呢， 符号不同，一个是正的，一个是负的，而且呢，绝对值呢，他这边是绝对值，具有二倍的关系。那我们就想一想，符号不同的话，你看看 x 等于几的时候才会出现这种现象， x 等于正数是不会了，因为呢，等于正数的话，这一个你把 x， 比如说正一啊或者正二啊带进去的时候，你会发现 a 和 b 的系数啊，那个时候的符号都是正的， 都是相同的，那就得带负的。带负的话， x 是负数，因为这个地方会出现 x 平方，负数的平方呢，他还是正的，所以呢，能够保证 a 乘以一个正数，而 x 是负的时候呢，这个 b 就乘以负数了。那再想一想， x 等于负一吗？ 负一的话，你会发现他变成了 a， 然后呢，他变成了负 b， 也就变成了 a 减 b， 可是这个系数的倍数关系不满足这个啊，那还出不来这个整体，那再来想一想二倍的绝对值哈，这个系数的绝对值 有二倍的关系的话，其实想到了吧，挨个等于负二的时候，当挨个等于负二时，我们看看这个时候的外置，那么外呢，就等于 把 x 等于负二带入，也就是 a 乘以负二块起来平方负二，平方就是四，对吧？ a 乘以四呢，也就是四 a， 然后加上 b， 再乘以 x 是负二，也就是负二， b 再减去三。大家看一下，这个地方是不是就具备了 a 的这个系数，跟 b 的系数的绝对值就有二倍关系了。 可是我们这里脑 a 的系数是二，这里脑 a 的系数是四，也没有关系，我们呢，再给他提取一个二，就把这两项拎出来个二不就行了吗？括号了，你看就会出现二， a 减去 b 括起来，然后再减去三，果不其然的出现了这个整体 了吧，就把这个整体他告诉我们等于几，咱就带进去，就可以把这里的外值给他求出来了，外的取值就与 a 和 b 无关了，这个时候啊，那可以写，因为呢二， a 减去 b 呢，他等于一， 也就是给他带入，所以此时球球的外值等于这个地方是二倍的那个整体，这里有二吗？对吧？也就二乘以这里的一，然后减去三，那也就是负一。 这样的话，我们就找到了，当 x 等于负二的时候，此时呢能够求出来外值，外值呢是个具体的长数，所以他一定经过定点，横坐标呢就是负二，然后纵坐标呢就是负一， 我们就找到这个定点了，不信你就验证一下，你把这个点做标，你带进来的话，他一定会满足这个解决式的，不管 a 和 b 是几，当然这里 a 他隐含了一个条件，他呢， a 是肯定不等于零的，因为人家是二次函数，我们这里呢，找到了他这个定点就 ok 了。 好，丽儿，咱们搞明白的，欢迎敲个六六体会体会我们这个整体代入法。而且我们不但体会，会，还会把这道题呢，再变一变啊，把它再改个数，甚至呢，你把这个代入数呢，你再变一个数，你心里先想好 x 等于，先想好它经过哪个定点， 然后呢，让你的啊好朋友去猜，比如说你编一个他经过的定点啊，那你可以把这个柿子改成什么啊？改成一个九 a， 然后 减去三 b， 他呢等于啊六，甚至呢，把他再变一下，行，两边都除以一个，哎三，你可以写成一个三 a 减去 b 等于，比如说再编一个，编一个负二，给你这么一个柿子，那你看看这个里面能不能变出来这样的整体。其实你会发现呢，你把 x 等于负三，带入 x 等于负三的时候，你试一试，是不是这个时候哇？就等于 啊，就等于九 a， 然后减去三 b， 再减去三呀， 那么这一个呀，其实就是他给你的这个整体大都市的几倍啊？三倍，对吧？三倍的话，那因此他呢，就应该是这个负二的三倍，也就是负六，哎，在 跟这个负三后边合起来就是负九，说明呢，这个时候他如果满足这个关系式的话，就会经过定点负三，逗号负九。好，你都现在会出题的话，你说这种题还能难道咋吗？ 好，再来看一个立三，说一只抛物线，他这个里面呢，只含有一个参数啊，不是多参类型了，他就不再给我们相关的参数的关系式了，他说横过定点，让我们求出来这个定点的坐标， 像这个呢，我们就得用第二个方法，也就是孤立参数法。怎么叫孤立参数法呢？我们找找参数，得把参数集中起来，然后再孤立他啊，这叫分离参数。或者说现在呢，你可以看一看，这个里面含有参数 k， 然后这个括号里还 躲了一个参数 k， 我们就得把括号给它打开，也就 y 等于 k 乘以 x 的平方，然后加上二， kx 再加上 x， 再加上二，找到这个时候含有参数的这些项，就这两项，对吧？ 把这两项呢，怎么孤立出来呢？把这个可以给他拎出来提取出来，那么括号里还剩 x 的平方加上什么？加上二， x 扩起来，然后再加上外面的 x， 加上二， 我们呢得把参数想一想， x 等于几的时候， y 的取之于参数无关，这就是我们的思考方向啊，你说 x 等于几的时候， y 的取之于 k 无关呢，就得想办法把它 k 消灭掉，把它孤立出来了。现在已经他跑到这里来了，其他任何地方没有 k 的，就只在这个地方了，我们只需要让他盛的这个柿子， 让他是零不就行了吗？他乘以零，这下不就没了吗？那大家就想一想，挨个等于几的时候，这个式子会等于零呢？这不就是一个新问题了吗？当 他所称的这个柿子， x 的平方加上二 x 等于零十，我们解下方程就知道， x 等于几的时候，他会等于零了，对吧？这就列出一个方程，当他等于零十，解这个一元二次方程啊，用什么方法解？简单呢？ 提供一事法，提取个 x， 那么跨两 x 加二跨起来等于零，那是不是就求得 x 一等于零啊？ x 二呢，它等于负二，对不对？ 哎，即当 s 等于零或等于负二的时候，这个东西就是零了，这个东西是零的话，这一整块就不含有参数了，它 k 乘以零还是零，那此时呢， y 的取值就与 k 无关了。 那也可以看到，当 x 等于零时，我们这个时候就把外值给求出来，此时的外等于多少？外等于二，你把 x 等于零带进去不就行了吗？反正这个是零了，这个呢是零，这还剩下个二，这不就是外值吗？ 这就经过定点了，这个定点呢，就是零，逗号二。好，再看第二种情况，他还有一个定点，他这个抛物线呢，他经过两个定点啊，这就好玩了。就是当 x 等于负二的时候，此时呢他也是零，因为呢，就是让他等于零，咱们 减出来的值吗？肯定会满足他等于零的啊，那这个时候的 y 值，也就是众多标的值，就等于把 x 等于负二带进来，是不是就是负二加上二，哎，这个时候 y 等于零啊，那急， 当挨个等于零的时候，横的标是零的时候，中的标呢？是二，还有一个呢，就是横的标是负二的时候，中的标是零。这两个点做标，他与 k 的曲折是无关的， 既然与 k 的取之无关，此时这就是他要他所谓的横过的那个定点，而且不但过定点，我们还发现了他过两个定点， 好像这种呢，我们就采用了一个分离参数法，或者说孤立参数，把参数整出来之后，让参数所成的那个，哎，自变量的代入室，这不就 这个关于 x 的，或者关于横坐标的，或者关于自变量的那个代号是吗？令七为零，从而呢削去参数 k， 那同时呢，也就把定点的横坐标给他写出来，了解出来横坐标的带入，就可以求得相应的定点的纵的标，这就叫孤立参数法。 体会透彻这种方法的微妙之后呢，欢迎咱们敲个六六六，咱们解决过定点问题就越来越溜了。 好，我们再来操练一个，说一只函数，他 k 为十数，一看到这里面就有一个参数 k， 第一个问题，该函数图像一定于 x 柱有焦点吗？让我们判断说明理由。好，有没有焦点？大家想一想，抛物箱的话，无论开口向上还是开口向下，他与 x 柱的焦点 点纵左边是不是就是零啊？啊？这个点的中的标，这个点中的标都是零，他只要在挨个头中的边是零，其实呢，也就转化成了方程问题，就是令中的标等于零，带入这个解决室就会得到横坐标的方程，那个横坐标的方程有减的话， 你求出来的就是焦点的合同标，如果没有减的话，那你那个就没有焦点了。比如说开口向上的时候，最低点还在 x 轴上方，或者开口向下的时候，最高点还在 x 轴下方，这就没有焦点，那那个方程也是让他等于零得到的。是关于 x 一百二十方程他有没有减， 是不是要看他的判别？是啊，当然前提条件呢，他得是二次函数的时候，在这里呢，他说一定是二次函数了吗？他没有说非得是二次函数，所以他也有可能是啊，一次函数这里呢， k 为十数，一次函数的话就是 条斜线，斜线的话，铁定他会与 x 轴有焦点的，对不对？无论上升还是下降啊。好，那么对于第一个问题呢，就分两种大情况了，他要是一次含重的话，就是二次性的系数， k 加一等于零呗， 当 k 加一等于零的时候，也就 k 等于负一呗。当 k 等于负一的时候，此时呢，这个函数就变成了 y 等于二， x 加上一，再减去负一以后呢，那个 k 是负一，对吧？ 也就是一减去负一就是一加一也就是二啊，这就是依次函数，他呢与 x 中有焦点啊。 后面给他说一下，这个时候呢，与 x 轴是有焦点的一字，还是说他与 x 轴有距，但是这个焦点呢，是可以求出来的，你让 y 等于零，就可以求得 x 不等于负一啊。啊，那这是第一种情况， k 等于负一的时候是可以的，那么当 k 不等于负一的时候，此时呢， 他等于零得到那个有没有减，就取判别是第二他。我们来看一下，判别是第二，他也就是 b 方减去四 a c， 这就是 b 啊。二的平方是四减去四乘以 a 呢，是 k 加一 c 呢是一减去 k。 好，这个呢，一加 k 之一减 k 可以用平方叉公式展开，也就是四减去四倍的括号里，一减去 k 的平方在平方叉公式展开了，然后就等于四减去四，然后加上四 k， 对吧？ 这里是负四，这里是负的， k 方乘起来呢，同号亦成得正，那么他也就等于 四倍的 k 方。大家想一下，无论 k 等于几啊，平方有负的吗？没有负的，再乘以四的话，也是大于等于零的。当判别是第二的大于等于零的时候，他一定有有实数跟的，所以这种情况呢，也是与 x 有交点。因此呢，综上两种情况， 该函数图像无论是一次函数还是二次函数，他原子轴一定是有焦点的啊。答案这句话就可以了，我在这就不该给你写了，我们再看第二个，若可以大于负一大于负一的时候，该函数图像一定过哪个点 啊？那等于负一的时候，他成了一次函数，大于负一肯定不是一次函数了，那这个时候呢，他就是个二次函数，那二次函数一个参数独参的，对吧？他是个独生子呀，我们就得给他孤立啊，孤立法。首先呢，这里这个呢，他乘以 x 平方， 里面呢有参数 k， 我们给它盛开，也就是 k 乘以 x 的平方加上 x 的平方，把不含参数的呢，都放到靠后，含参数的呢，咱们集中起来啊，然后加上后面的二， x 加上一，这边呢，还有个副 k， 好给他集中一下， 那么也就是这两项调整的一块，那就是同时呢，把他俩呢提取出来， k， 也就是 k 乘以括号的 x 方减去一，是这个吧，然后再加上其余的部分，也是 x 方加二， x 加上一，其实这个呢，是个完全平方式啊，别激动啊，咱们找这里的参数 k 的，要想削参数 k 的话，就要让 k 遇到个猪队友，哎，就是遇到个零，遇到个因数是零， 就是 x 方减去一，让他得零呗。啊，那就我们令 x 方减去一，他等于零， 这个时候就看看 x 值等于几啊， x 方就等于一， x 就等于正一或者负一啊，当 x 等于正负一时啊，即 x 等于正负一时，此时这个中的标的取之外就与 k 无关了，因为呢， k 遇到了个零， 这下就拜拜了，没了就还剩下后边的。我们这个时候呢，就把啊，这个 x 等于正一负一代入 啊，是不是也是两个定点啊，那相当呢，就给他分两种小情况，当 x 等于一十，此时呢， y 的值就等于 啊，一的平方加上二乘以一，再加上一，他那就等于四，这个定点左边是不是就出来了？横左边一中左边四，然后再来算，当 x 等于负一的时候， 那么此时呢，我们带你来算一下外值，那就是负一的平方是一，然后加上二乘以负一，就减去二，再加上一，这个时候是几啊啊，那这就是零， 那就是负一零，这又是一个定点，所以他一定经过哪个点，经过两个点， 这个定点呢，我们一个找到了定点，有两个，无论这里的啊， k 等于几，这里的定点啊，一个是一四，还有一个呢就是负一 零，那么咱们绿色呢，又采用了一遍孤立参数啊，这个孤立参数的方法，把它孤立出来，其实呢，就是集合一下，找一找他， 集中提出来，然后怎么才能孤立掉他呢？就是令他所成的这个自变量的或者横坐标的这个带入式 为零，让他为零的时候，其实就想一想， x 等于几的时候，他所成的这个音是为零，那我们一眼看不出来的时候呢，你就令他为零，不就可以得到解放程求出来 x 的值了吗？也就求到定点的横坐标了， 然后再带回去，就可以把纵斗标求出来，带回去呢，我们果不其然的发现，纵斗标呢，求出来就是一个具体的长数了，你要带错了 x 值，你比如说你把 x 等于 我带你去，你就会发现呢，得到的 y 呢，就是一个含有参数 k 的代入士，他只要还含有参数 k 的代入士，那个 k 取不同的值的时候，中国就会跟着他变，他变来变去的，那能叫定点吗？那就不叫定点了，那成了动点了。而我们这里要找定点，所以呢，就采用了孤立参数的这个方法。 那么有同学还要问说，这里 k 大约负一的时候是这样，那要是大约负一，他有什么意义吗？ 其实实际意义呢，就是一个决定开口方向的问题，他与过哪个定点呢没有关系了，因为呢，只要简易是我们这个坐标，满足这个简易，是的话， 这个解释呢，就一定会啊，图像呢一定会经过这两个定点的，所以这两呢不用担心，他就是说 k 大于负一，也就是说明呢，能保证这个系数不等于零， 他就是个二次喊出的意思，他仅仅是代表这个意思。好，咱们立四，搞明白了的，欢迎回复个六六六六。 好了，下面总结一下。这一讲呢，咱们研究了二次函数过定点，我们现在呢，把这个思考方向啊清晰的浮现在脑海里面。找定点其实就相当于是问自变量 x 为几的时候，才能够求出来外的具体的值， 这样的话得到那个定点坐标，或者说呢，就是 x 为 g 的时候， y 的取值与参数无关 啊，你可以这么来简单的去概括一下，就是你试一试，挨个等于几的时候，外呢就能够求出来一个具体的值，他呢与参数没有关系了。那么多 套餐的时候呢，可以采用整体代入法。为什么可以采用整体代入法呢？他一定会给出来一个参数的关系式，否则的话，我们就无法判断他经过不经过定点了，他必须有这样一个给定的关系式的前提条件。 那如果是独立的一个参数的时候呢，就可以孤立参数法，那么孤立参数法呢？我们刚才也体会了后面的两个例题， 就是把参数给他找出来，集中起来，提出来让他所成的那个横坐标的带入式，也就是自变量的带入式为零， 这样的话就自然而然的求得了 x 的值了，也就是横坐标的值了，也就是说横坐标为己的时候，他所成的那个自变量那个横坐标的代表是才能为零，同时呢，这个为零本身呢，就是一 个等量关系，就是个方程啊，如果一眼看不出来，那么咱们就让它等于零，这就得到方程，了解方程也就可以求的这个使这个袋是为零的 x 值， 也就是那个横坐标啊，定点的横坐标就出来了，再带回去也就可以求得纵坐标了。这两个大招哎，希望能够帮助到你。他不只是二次，还是过定点，是运用这两个大招， 依次函数，过定点也是这两个大招，反比例函数，其他的函数都可以运用这两个大招去搞定他。 ok， 这个专题就为大家讲解到这里，再见！

二次函数横过定点类问题呢，是中考压轴题里面经常考的，但是呢，很多孩子不会做，今天呢，给大家来讲一讲啊，他说不论 m 呢， 取任何实数抛线呢，总是经过一个定点，让你去求这个定点的坐标。那这种题呢，其实最重要的一点啊，就是转化。这道题说了，不论 m 取何值，它总是经过一个定点的，含义就是有一组 y 和 x 的取值，与 m 的取值呢是无关的，那么既然与 m 的取值无关，咱们就可以让 m 的系数为零。所以解题的关键啊，就是我们先把这个抛物线拆开，然后把含 m 的式子呢提取出来，这里面咱们发现啊，含有 m 的式子有这两坨，所以呢，咱 我们把 m 提取出来啊，第一坨，提完 m 剩一个 x 平方。第二坨呢，提完 m 剩一个三 x， 好的，后面还 还剩一个减 x 加二。既然啊，不论 m 取什么值，这个式子的取值都与 m 无关，那么我们就可以让 m 的系数为零，也就是 x 平方减三， x 等于零。这样的话呢，我们就可以解出来啊，第一个 x 的值是零，然后第二个 x 的值是三 三。然后呢，我们再把这两个 x 的值往里面代求一下 y 啊，第一个 x 等于零的时候，代入的话呢， y 就等于这一大坨是零了，负零加二。哎， y 就等于二， x 等于三，代入这坨也是零负三加二， y 是负一。所以啊，二次函数横过的定点有两个，一个是零逗二，一个是三逗负一，你听明白了吗？

今天呢给大家分享一个非常有用的关于二次函数的结论，这个结论的话，很多地区的中招，包括平时的一些模拟考都考到了，大家一定要转发收藏一下，也许呢就会出现在明年咱们孩子的中考的考场。 什么样的一个结论呢？对于一个给定的抛物线，他的顶点出现在圆点，那他对称轴刚好是外轴，现在他的左侧右侧分别出现两个动点， a 点和 b 点， a o 呢和 b o 呢，始终是一个互相垂直的关系， 那么这种情况下，经过 ab 这两个点的直线呢，他一定是过定点的。那么我们这里面呢，要研究 的是这里面的 a， 我 把它限定在 a 大 于零的这种情况，那 a 小 于零的情况呢？其实都差不多，大家可以自己去推导一下。 我们平时考试里面这个 a 呢，有可能是二，有可能是一，有可能是二分之一，这些具体的数字啊，那么今天我们要找的这样的一个定点的话，顾名思义，我们就是把它的一般情况给大家分享一下。这个定点的坐标和我们这里面 a 呢存在什么样的一个关系，大家能理解吧？那现在我们怎样去推到这样的一个过程呢？ 对于这样的一条抛物线，现在又过直线，那么直线的解析式呀，我们可以先把它假设出来，比方说这样的一条直线 l， 对 吧？先写一个帅气的减，它的直线解析式是 y 等于 k x 加 b， 我 们给它放在这个位置，那么通常来说，你要找这两个点的坐标，你是不是要把它和什么和 y 等于 a x 平方呢？给它连立成一个方程组， 变成一个一元二次方程，那么这个一元二次方程就变成 a x 平方，减去 k x 减 b 等于零的这种形式，因为 y 相等嘛，那通过这个方程的话，它的两个根呐，其实就是这里面 a 点还有 b 点的两个横坐标吧。 那我现在呢，这里面有一个垂直关系，我到底怎样用这个地方呢？你可以直接去构建什么呀？构建我们经常说的这种一线三直角的这层关系，来构建出两个相似关系，从而得到 a 点和 b 点的一个纵横坐标关系。 我们还可以直接利用斜率关系，比方说我们可以假设这里面的 a 点坐标呢， x 一 y 一， b 点坐标呢？ x 二 y 二。 因为这两条直线是互相垂直的 o a 和 o b， 所以呢，我们可以把这两条直线的斜率啊给他表示出来。比方说这里面的 o a， 这条直线的斜率是不是 y 一 比上什么 x 一 直线， o b 的 这条斜率呢？是不是 y 二比上 x 二？那这两条直线是互相垂直的关系吧，我们就可以进一步获得他俩的乘积呢，刚好是什么等于负一的，也就是 他和他相处乘积等于负一，那么这样的话，我们进一步给他画一下，是不是就获得了 y 一 y 二加上 x 一 x 二等于什么等于零的这种形式 啊？这个 y 一 加 y 二呀，我们可以把它变成什么？因为这两个点的坐标都在这样的一条抛物线上面，它就变成了 a 倍的 x 一 的平方乘以 a 倍的 x 二的平方，再加上 x 一 乘以 x 二等于零的这层关系， 到了这个地方以后呢，我们可以把这两项呀提取一个 x 一 乘二出来，那么你们剩下的就是 a 的 方倍的 x 一 x 二再加上一个一等于零吧。 对于这样的一个形式以后呀，这里面的他俩相互乘积有没有可能为零呢啊？没有可能， a 点和 b 点他俩都出现在这两条抛物线的，哎，抛物线的两侧啊，不可能为零，所以为零的那只能是他吧。当他为零的话，我们得到的其实就是 x 一 乘以 x 二 等于什么？负的 a 方分之一吧，是不等于这样的结果。那么这个 x 一 x 二呢？让我们联想到什么？ 这个一元二次方程，它的两个实数根吧，就是 x 一 x 二呢，刚好是它的两个实数根，那么这个时候呀，这个 x 一 乘以 x 二， 是不是等于 a 分 之 c 啊？也就多少 a 分 之负 b 嘛，这里面这个负 b 相当于这个一元二次方程里面的 c 嘛，对吧？那言下之意，这个结果和这个结果呢，是不是刚好相等？ 那么我们得到的结果呢，就是负的 a 分 之 b 等于负的 a 方分之一，是不等于这样的结果，那这个结果就进一步获得， b 呢，实际上等于多少？等于 a 分 之一的 b 等于 a 分 之一。你要注意啊，这里面这个 a 呢，通常考试都会给你一个具体的数字，比方说这里面 a 等于二分之一， a 等于二分之一的话，那么这里面这个 b 呢，是不是刚好等于二？ b 如果为二的话，对于这样的一条直线来说，这个 b 是 不是就是一个确定的值？他是确定的，当 x 为零的时候， y 刚好等于几？刚好等于二吧，所以这里面这条直线他一定是横过什么样的一个顶点，当 x 为零的时候，这个 b 等于多少？ 等于 a 分 之一，这个定点我们就找到了，也就说如果以后考试遇到了像这种问题的话，他给你一个比方说三分之二，对吧？那我这样的话，我就知道你把这个东西给他记住，那么这个他一定过什么？过零二分之三 这样的一个点啊？也就是说这个地方呀，这个点是一个定点。好吧，这个结论呢，相对来说还是比较重要的，通常是会出现在这个各种各样的这个大小压轴题里面，希望大家呢掌握好。

这个视频给大家分享两种方法，教你如何解决四十五度角在二次函数当中的应用。已知 p 为抛物线上的一个点角， a、 c、 p 等于四十五度求 p 点的坐标，那好，看到四十五度角，我们第一个反应一定就是做垂直构造，等腰直绕三号形。而 在含有平面照坐标系这样的问题当中，出现等腰照三角形，那有极大可能就是对一线三垂直的考察。而我们这个辅助线垂线段，他坐在哪比较好呢？大家不要忘了，平面照坐标系两个坐标轴，这里是不是隐藏了一个九十度的直角啊？ 所以我们在这道题当中，最好就是从 a 出发，做 ac 的垂线交 cp 延长线于一个点，假设这个点是特点，这样就使得等腰直角三角形的直角顶点也落在了 x 轴上，那再加上我们刚刚这个坐标轴夹角垂直，这 x 轴就是 一条线，上面已经有了一个两个直角，那这是等腰直角三角形。所以我们只需要从对出发，再往 x 周去做一个垂直。假设垂足是点 e 的话，一线三垂直模型我们就构造出来了，这两个三角形就应该是全等的，那一旦有了全等，是不是就可以找对应线段了？ 抛线结是已知 a、 b、 c 三个点与坐标轴的焦点，坐标已经给大家标出来了，所以通过全等找定边， o， a 等于对儿， e 等于一， o， c 等于 a， e 等于三，那紧接着我们就可以直接确定出特点，它的坐标横坐标就是 o a 加上 a、 e， 也就是一加三等于四。 纵坐标呢，就是得意的长，而他在第四象限纵坐标为负，也就是四豆负一。好，接下来我们要想判断 p 点坐标，大家可以观察一下 p 点，他现在就在这个直线 cd 上，并且是 这条直线与抛线的一个焦点，所以我们直接待定系数，求出 c 的直线的解析式，应该是二分之一 x 减三，再和我们的抛线解释进行连立，得到的就应该是我们批点它的横坐标。 那好，这是我们第一个思路，构造一线三垂直模型。接下来第二个思路呢，就是利用一二三四五模型来解决这道题。 先带大家简单回顾一下一二三四五模型，他的结论，其实一二三四五模型呢，是一个知二退一的一个模型，已知某一个角的正切值为二分之一，另一个角他的正切值为三分之一，并且这两个角度之和等于四十五度。 这三个条件知道其中任意两个，第三个一定是成立的。而在我们这道题当中，是不是已经有了四十五度角，但这四十五度角是某一个单独的角，我们怎么给它拆成两个角呢？ 很简单，只需要过点 c 做 y 轴的垂直，然后再过点 p 往这条线做一个直角，这样我们就构造出了一个直角三角形。假设垂足是 h 的话，那我们来观察一下这个角，我设成阿尔法，这个角我们设成 bat， 阿尔发加贝特是不是刚好等于四十五度，那这个条件就已经满足了。那紧接着你看阿尔发和贝特，他们两个都在直角三角形当中，并且这个阿尔发所在的直角三角形，他的两个直角边是已知的， oa 等于一， oc 等于三，那他弹进值正好就是三分之一， 所以其中一个角的弹进值为三分之一，我们是不是也得到了？那我们就可以接下来判断出另外一个角，它的正切值应该是多少呢？应该是二分之一，也就是这里面弹进的角 p c h 等于 p h， 比上 c h 等于二分之一，那 p h 和 c h 它的长度应该如何来表示呢？我们可以直接设 p 点坐标，假设 p 点横坐标为 x， 纵坐标就是往抛线结式当中带入负 x 的平方，加上四 x 再减三， 那接下来 p h 这条线段长就是 o c 这段长减去 p 点它的纵坐标，所以就是三减去 负 x 的平方，加上四 x 减三的绝对值，然后再比上 c h， 它的长度就是横坐标，那等于二分之一。把这个 方程解出来，求出 x 的值，就是我们批点的横坐标了。两种方法都给大家分享到了啊，含有四十五度角的二次函数当中两个思路，一个是构造一线三锥值，另外一个就是看他是否满足一二三四五模型三个条件当中的任意两个，满足的话，我们就可以直接利用三二函数去求解了。

同学们好，我是研学校的刘老师，接下来我们一块来看一下二次函数的这道压轴题。那么首先我们一块来看一下题，题目里面给了我们一个抛物线 y 等于 a， x 方加 b， x 减三， 那么与 x 轴交于点 a 和点 b， 与 y 轴交于点 c， 那 么点 p 是 直线下方抛物线上的点 p 灯呢？垂直于 a， c 于点得 p， f 垂直于 x 轴于点 f 交线段 a， c 于点一。那么第一问，让我们求抛物线的表达式，那我们求抛物线表达式用的最多的就是待定系数法， 那很明显，抛物线的表达式里边，我们要想求出来，需要把里边的 a 和 b 求出来就可以了，那么我们有两个未知数相当于，那就需要两个等量关系刚刚好题目里面告诉我们 a 和 b 的 坐标了，我们就把 a 和 b 的 坐标带入我们一块来看一下啊。 第一问，然后呢，把点 a 负四，逗号零和点 b 一 逗号零带入抛物线的表达式， 把第一个点带进去，那就是零等于十六， a 减四， b 减三，把第二个点带进去，那零等于 a 加 b 减三。很明显这是一个二元一次方程组，那我们接下来的话就直接解这个二元一次方程组就可以了。 在这一个题目里边的话，基本上直接把答案写出来就行，那么咱解二元一次方程组的时候，第一个叫做加减消元，第二个叫做带入消元， 那这样的话大家可以考虑一下加减消元或者带入消元，那我们用的比较多的应该是带入消元可能，呃，加减消元多一些，你可以让下面这个方程 这一个不需要在答题纸上写啊，我在这里简单写一下，同乘以让这个二乘以四得零等于四 a 加四 b 减十二，这是第三个选项， 那这样的话，负四 b 和四 b 刚好是符号相反的，那就让第一个十字加上第三个十字，左边加左边是零，右边的话就是二十 a， 对 吧？负四 b 加四 b 就 没有了，对吧？负三加负十二，那就是负十五， 所以说就能得到二十 a 等于十五，那么 a 呢，就等于二十分之十五，那约一个五就是四分之三，那就能得到 a 等于四分之三， 对吧？然后再把 a 带进去，一般来说，我们带到第一第二个式子，相对来说稍微简单一点啊，就能把 b 求出来了，是四分之九，那这样的话，我们就能把第一问给求出来了，对吧？把答案写出来就可以，那我就把刚刚演算的这一个删掉了啊。 到这以后，所以这个抛物线的解析式就是， y 等于四分之三 x 方加上四分之九 x 再减去三，这就是第一问的答案。那么接下来的话，我们重点看一下第二问和第三问。先看第二问，他说当三角形 p 得 e 的 周长最大的时候，那我们先找到 p 得 e 这个三角形， 那么对于这个三角形来说，首先周长，那就是 p， e 加 p 的 加得 e， 那很明显，这个三角形的三边里边最容易求的就是 e p， 对 吧？这就是我们之前讲的那一条铅垂线段，用点 e 的 纵坐标减去点 p 的 纵坐标就可以了。但是 p 得和得 e 虽然可以求，但是呢，表示起来是比较麻烦的， 所以说我们不用这一个直接去把三条边求出来再相加，因为很明显我们能看出来，你看啊， a、 e、 f 和 p c e 是 不是刚好是一个八字形的相似， 对吧？你看这是一组对角相等，这里是一个直角，这里也是一个直角，所以说这两个直角三角形是相似于三角形 a、 f、 e 的， 但是很明显我们会发现 a、 f、 e 这个三角形的三条边里边，你在表示的时候，三条边也不是很好表示，那么我们再看，你看 a、 f、 e 这个三角形和 a、 o、 c 这个三角形是不很明显也是一个相似啊， 对吧？那这样的话我们就能得到谁啊？三角形 p 得 e 实际上也相似于三角形 a、 o、 c， 那 么 a、 o、 c 相对来说就比较简单了，所以说我们要想求 p 得 e 周长的最大值，就考虑这两个三角形相似就可以了， 对吧？那这样的话，两个三角形相似，对应周长的比就等于我们的相似比。那么接下来的话，我们先简单的说一下，这两个三角形是相似的，来我们一块看一下， 一会我就选这个地方了啊， 哎，这是角一，这个是角二，那这个角是角三，我剪下了啊，因为角一等于角二，对吧？角二呢，又等于角四， 所以角一等于角四，对吧？那这样的话，就这个角和这个角是相等的，已经有一组角相等了，对吧？又因为这个角 p 得 e 等于角 aoc 等于九十度， 所以三角形 p 得 e 就 相似于三角形 aoc。 那么接下来的话，我们看一下 a、 o、 c 的 长度啊，它的周长，首先 a 点的坐标是负四，逗号零，那 o a 的 长就是四， 那么要想求 c o c 的 长度，我们先知道 c 点的坐标，也就是这个抛物线与外轴的交点要求一下，那要想求与外轴的交点坐标，是不是直接利用 x 等于零就可以了？ 那么解出来 y 等于负三，所以说通过这个条件我们可以得到 o c 就 等于三，对吧？能得到 o c 等于三。那么在直角三角形 a o c 中有勾股定律， 得 a c 是 不是就等于根号下 o a 方加上 o c 方，也就是根号下四方加三方，很明显的一组勾股数就是五了。 所以说现在我们是不是就能把 a、 o c 这个三角形的周长求出来了？那我设它们两个三角形的周长，用 c 来表示的话，既然它俩是相似的， 对吧？那么三角形 p 得 e 的 周长比上三角形 a o c 的 周长，对吧？周长的比就等于相似比，那么接下来我们找相似比的话，肯定找一组简单的，那你就看看 p 得 e 这个三角形里边，刚才我们说了 p e 是 最简单的，那就等于 p e 比上 a c， 也就等于 p e 比上五好了，那接下来的话，我们来表示一下 p e， 因为 p 和 e 这两个点的横坐标是一样的，我们在这里我们可以设啊 p 点的坐标，横坐标是 t 吧，那纵坐标我们带到这个抛物线的表达式里边去，是四分之三 t 方加上四分之九 t 再减三。 知道 p 的 坐标了，那我们就也可以把 e 点的坐标求出来，那 e 的 坐标就是 t 逗号 e 点的重要标，很明显 e 在 a c 上，所以说我们还要把 a c 的 表达式求出来， 那么要想求 a c 的 表达式，我们已经知道 a 点的坐标了，是负四，逗号零， c 点的坐标是零，逗号负三，那么这样的话，我们就可以用代定系数法，对吧？我们可以设它是 y 等于 k， x 加 b， 把这两个点带进去，零等于负四， k 加 b， 对 吧？负三等于 b， 所以 说我们就可以把 k 和 b 啊都求出来了，对吧？ b 是 负三，那 k 呢？是负的四分之三，所以说这个一次函数表达式，那就是 ac 啊，就是负的四分之三 t 减三，所以 p e 的 长度就等于 e 点的动作标负四分之三 t 减三，减去 p 点的动作标四分之三 t 方，加上四分之九 t 减三。那接下来我们要做的就是把它给整理出来，那等于负的四分之三 t 方减去三 t。 那么接下来的话，我们就用上刚才得到的这一个啊，那就是三角形 p 得 e 的 周长比上 aoc 的 周长， aoc 的 周长就是三加四加五，对吧？就等于五分之 p e， p e 就是 负的四分之三 梯方，减去了三 t， 所以 三角形 p 得 e 的 周长，那就把这个地方是十二乘到右边去，就是五分之十二乘上负的四分之三梯方减去了三 t。 那么接下来的话，我们一块来整理一下这个式子啊，化简一下，他俩相乘，就是负的五分之九 t 方，然后减去五分之三十六 t， 因为负的五分之九小于零，所以说他的开口是向下的一个二次函数，那么接下来求一下对称轴， 就是 t 等于负的二乘，负的五分之九分之，负的五分之三十六，那我们把对称轴求出来以后，应该是负二，对吧？所以说 t 等于负二的时候，这个周长取得 最大值，那我们看一下这个题目里面有没有让我们把这个周长的最大值求出来啊？很明显题目里面没有让我们把周长的最大值求出来，对吧？只要把 p 点的坐标求出来就行了，对吧？此时 p 点的坐标横坐标是负二了，那纵坐标的话，直接带到抛物线的表达式里面就行了，这个我们就不算了啊，负二，逗号负三，这是第二位，那么接下来的话，我们再来看一下第三位，他说如图二 点 m 是 直线上方，抛物线上一点，那么它告诉我们的什么呢啊？当角 m a o 等于角 o a c m a o， 那 我们大体上看一下 假设这个样子啊，当角 m a o 等于角 a o c， 那 实际上就这两个角相等，那么这样一看的话，就能看出来，假如说这个点设为 c 撇吧，那很明显 c 和 c 撇一定是关于 x 轴是对称的 啊，因为这一个角和这一个角是相等的，那我们可以简单定一下，对吧？ o a 等于 o a， 对 吧？然后呢，角一又等于角二，这个角和这个角又是九十度，那么这两个三角形全等全等以后，是不是这个 o c 撇和 o c 就 相等了？ o c 的 长度是三，那 o c 撇的长度也是三，那 c 撇的坐标就是零，逗号三。所以说我们要想求点 m 的 坐标就很简单了，那么点 m 就是 直线 a c 撇与抛物线的交点， a 点的坐标知道， c 点的 c 撇的坐标知道我们就可以求直线 a c 撇的表达式，再和抛物线连累就可以了啊。那么接下来我们一块来看一下， 这个图写的就比较小了啊，我写这个地方了啊，对吧？ u t e 这一个角一是等于角二的，对吧？又因为这个 o a 等于 o a 角 a o c 撇等于角， a o c 等于九十度，所以三角形 a o c 就 全等于三角形 a o c 撇，所以 o c 撇就等于 o c 等于三，所以 c 撇的坐标就是零度或三。 然后呢，接下来设 a c 撇的表达式是 y 等于 k 一， x 加 b 一。 因为我们前面已经设过了啊，是 a c 的 表达式。我们现在设 a c 撇的表达式，还是用代定系数法，先把 a 点的坐标带进去，零等于负四， k 一 加上 b 一， 再把 c 撇带进去，那就三等于 b 一， 那就能直接解出来了啊， b 一 等于三， k 一 等于四分之三，所以这个 a c 撇的表达式就是 y 等于四分之三， x 加三。 所以接下来我们要想求 m 的 坐标，就把它和抛物线的表达式连立就行了。所以接下来我们连立 y 等于四分之三， x 加三，和 y 等于四分之三 x 方加上四分之九 x 减三。 具体连立的过程大家在草稿纸上写就行啊，直接就写连立得就可以了啊。那我们在左边简单连立一下啊，就是四分之三 x 方加四分之九 x 减三 等于四分之三， x 加三。我们都以左边来四分之三 x 方加上四分之六 x 减去六等于零。 那么接下来的话，因为它带着分母，我们可以乘个四，那就三 x 方加六， x 减二十四等于零。还可以约个三，那就是 x 方加二， x 减八 等于零。那么很明显我们解这个方程的话，最容易考虑的还是十字相乘，对吧？ x x 四和负二，那就是 x 加四乘上 x 减二等于零，所以 x 一 等于负四， x 二等于二， 因为很明显这个 m， 对 吧？他是在第一项线里边的，所以说他的横坐标一定是正二，所以说点 m 的 坐标，横坐标就是二了，纵坐标带到抛物线表达式里边是二分之九， 那么这就是这整个题的解析的过程。好了，那这一个题我们就先说到这个地方，各位同学再见。

昨天讲完视频之后，很多同学问我，老师，我等腰三角形会了，那直角三角形存在性问题怎么判定呢？我们今天就来学习一下直角三角形存在性问题当中让你求点的坐标个数及点坐标怎么去求？其实也很简单啊， 你像这道题里边，让你在抛物线上求一点 q， 使得以 a c q 为顶点的三角形为直角三角形。那我们知道的是，直角三角形最大的特征就是有一个直角九十度， 所以我是不是就可以以这三个点为直角顶点去分类讨论？那如果以 a 点为直角顶点的话，是我们就相当于过 a 点做一条直线垂直于 a c， 那 我们会发现与抛物线是不是交于一个点就是 q 第一个点了。同样道理， 我如果以 c 点为直角顶点的话，我过 c 点做一条垂直于 a c 的 垂线，是不也可以与抛物线交于一个点？如果以 q 点为直角顶点的话， a c 是 不是就是它的斜边？那我们可以通过圆的性质知道以 a c 为直径的圆上的任意一个点与 a c 的 连线是不是都构成九十度。 所以我是不是以 a c 为直径画一个圆，那这个时候会发现它这个圆是不是与我们的抛物线交于两个点，那就是 q 三和 q 四了。所以这个题如果选择填空题的话，就直接秒杀了 q 点一共有四 四个点，那么如果要是解答题让你求点坐标呢？这个题跟上个题一样，也很简单，我们不需要看图，我们直接通过直角三角形的性质就可以了。那我们说直角三角形关于边之间的关系是不？无非就是我们的勾股定律， 那我这里边的 a、 c 点已经确定，那 q 点是在抛物线上是不？我可以设 q 点，坐标为 a， 逗号 a 的 平方加二， a 减三，那 这样的话是我可以把 a、 c、 a、 q 和 c q 的 长度分别表示出来，然后利用勾股定律去解决就可以了。为了方便计算，我们先可以表示出它们的平方， 那么 a、 c 的 平方可以表示为 a 加三的平方，加上 a 方加二 a 减三的平方， 那么 c， q 的 平方就是 a 方加上 a 方加二 a 的 平方。第一种情况，如果我们的角 c q， a 等于九十度的话，也就说 q 点是直角零点，那这个时候是不就是 c q 的 平方？加上 a q 的 平方是不就等于 ac 的 平方？把它代入，那么第二种情况是不就是我们的角 q c， a 等于 九十度的时候，那么我们就是 c q 的 平方，加上 c a 的 平方是不等于 a q 的 平方。同样道理，那么角 c a， q 等于九十度的时候， a 点为直角顶点，那这个时候是不就是 a c 的 平方加上 a q 的 平方就等于 c q 的 平方。那么通过这三个式子代值是不可以求出 a， 那 么在这里边千万要记得，我们既然要构成三角形， 所以我们的 q 点与 a、 c 两点数不重合才可以，所以求出这些 a 点的值必须跟 a、 c 不 重合。

y 等于三分之二 x 平方减二 x 加 c， 它加 x 等于圆点跟 a， 这什么意思？来，先翻译一下，它加 x 等于圆点， 是不是当 x 等于零的时候， y 等于零，所以意味着 c 这个东西它是等于零的，所以实际上它的解析式是三分之一 x 平方减二 x， 是吧？好。然后有一个直线， k， x 加 b， 它也是个位置的直线跟这个抛物线交于 b、 c 两点，其中 b 为 y 轴左侧抛物线的点， c 为 x 轴下方抛物线的点。其实始终有这个角度关系。问 b c 是 否经过定点，我们是不是先得把这个图给画出来？ 家人们，那么这个函数能画出来吗？减是可以的，它经过圆点跟什么啊？把 x 提出来嘛。三分之一 x 减二，也就是当它等于六的时候，六六三十六十二， 这么一个东西开口向上啊，这个是六到零。好了，有一个直线，它要跟这个抛物线交什么？交？ b c b c 要在哪里？ b 要在 y 轴左侧，就是 b 要在这里。 c 呢？ c 要在 x 轴下方的抛物线， x 轴下方，就只有这里了啊。随便点个点 c， 也就意味着它的直线是长这样的。 这这个啊，就是题目所描述的直线 o 在 这里啊，这是 a 点啊，这是 o 点。好，它现在有个条件叫 a o b， 我 们用这个啊， a o b 是 指这个角 减去 a o c a o c 是 指这个角等于九十度。同学们，它这个这句话想表达什么意思？我们看这个图的话，能看出来吗？角 a o b 减去角 a o c 等于九十度， 能看出来吗？ 想一想啊，我角 a o b b 在 y 轴的左侧的这个抛物线是个确定的角， a o b 减去什么角可以等于九十度， 是不是这个角可以等于九十度啊？就这个小角，就 y 轴跟 o b 这个小夹角，我 a o b 减去它等于九十度，我 a o c 减去 a o c 也等于九十度，意味着什么？这两个角按了法相等，也就是说 清晰一点，我们随便这里标个 m 点啊，也就是说角 e o m， 它等于角 a o c， 清楚吧？它这个角度关系想表达的就是这个意思 啊。家长们不要觉得这些题难啊，因为你在真正的中考面对的亚洲题就是这种级别的。好吧，来， 那如何让 b o m 等于 a o c 呢？所以三角函数乘减阿尔法等于乘减阿尔法，那么两个阿尔法就相等了。那么这个阿尔法乘减阿尔法等于什么？是等于负 x b， 因为它在 y 轴的左边，它横坐标肯定是负的除以，也就是这个嘛，这个长度除以它的重坐标， 没毛病吧？下面呢，由于它在 x 轴的下方，所以它重坐标肯定是负的，就等于负 y c 比上 x c， 因为根据这个函数，它在这里横坐标一定是大于零，那么就意味着什么？ x b 乘 x c 等于 y b 乘 y c， 就 这个角度关系想表达的意思就是这两个啊，这条 b c 直线所经过的 b 和 c 两点横坐标相乘，等于纵坐标相乘， 我们得把它翻译精准啊，有了这个之后，你才能做往下做。好了，他现在要的是什么？证明 bc 他 是否过某个定点？回想一下我们第一题， bc 经过某个定点，是不是我要跟你的变量没关系， 你，你变量前面那个 c 数，我可以当 s 等于什么时候，你刚好等于零，那你变量怎么变都没关系，在这里面的变量是什么？ b 和 c 是 不是都是变的？同学们， 是吧？那么看到这个东西能想到什么？两个横坐在上面，所以又想到伟大定律，因为 bc 是 直线和抛物线的交点嘛。来，我们就连立，从这里连立啊， 它那个直线是 k x 加 b 来， k x 加上 b， 它就等于三分之一 x 平方减二 x， 因为 c 已经没了啊，抛物线是这个啊，来，把它移一下下，三分之一 x 平方减去二加 k x 加上 b 等于零，那么 x b 乘 x c 等于多少？说负 a 分 之 b， 所以 就有六加上三 k 负 a 分 之 b 啊，负没了。好，我们要用到这个。那好了， y b 乘 y c 呢？ y b 乘 y c 来，由于 y 是 等于 k x 加 b 的， 所以 y b 乘 y c， 我 们可以变成 k x b 加上 b 乘以 k x c 加上 b， 它是不是 y b 乘 y c 啊？直接套就好了。来，这里 是 k 的 平方， x b x c， 然后加上 k b x b 加上 x c， 再加上 b 平方。来猜一下来 x b x c 是 不是这个东西， 那么现在这里还有个 s b 加 x 呢。哦，不好意思啊，加才对啊，不好意思，这里犯了一个小错误。对对对对，出错了，出错了，没错啊，没错没错，出错了，这是 s b 加 x c 啊， 说的跟想的不一样啊，乘以的话，那就是什么 a 分 之七三 b 啊，这个才是相乘的啊。谢谢啊，这个你都没有，没有文字的，你的名字啊，谢谢你啊。 ok， 那 么是不是带进来， 是不是带进来来带进来，我们就这里等于三 b k 的 平方， 减 b 啊，减 b 减 b 减 b 负三 b 啊，这里是三 b k 的 平方，然后呢？ s 是 又减去三 kb 的 平方， 怎么怪怪的？同学们来帮老师一起检查一下啊！ 三分之一 s 平方，减去二 x， 二加 k， 没错，再减去 b， 这里改过来了。所以 s 等于负 a 分 之 b 嘛，六加三 k 没错。然后 s， b 乘 s， c 等于 a 分 之 c， 负三分，负三 b 没错，然后这两边呢？ k 的 平方 s b s c 啊，负三 b 负三 b k 的 平方，然后加上 k b 啊 k b x b 加 x c 啊，是这个 k b 啊，加上 k， b 乘以 六，加上 b 的 平方，是这样才对啊。这是 y， b 乘 y， c， 那 么三 k 的 平方加乘以 b， 是 不是这个就没了？ 这里就剩六 k， b 加上 b 的 平方，它是等于 y， b 乘 y， c 的， 它就等于 s， b 乘 s， c 就是 负三 b， b 又没了，这里又没了，意味着什么？是不是六 k 加 b 等于负三，我写这里啊，六 k 加上 b 等于负三， b 等于什么？六 k 加三， b 等于六， k 加三。所以 y 等于 k， x 啊， b 等于负六， k 加三啊，负六 k 减三 啊， b 等于负六， k 减三， y 等于 k， s 减六 k 减三，所以当 x 等于六的时候， y 等于负三，它跟 k 没关系。