数学三大最美公式

一起来欣赏三大最美数学公式！

今天我们来讲一下泰勒公式啊，回想一下，我们在高中学了几个新的函数，有指数函数、对数函数，三角函数 啊，比方说，我现在写出来三个函数， y 等于 e， x 是 指数， y 等于 long， x 是 对数， y 等于 sin， x 是 三角函数。然后我们再想想，我们在初中学过的函数，基本上都是些多项函数，比方说二次函数 y 等于啊， 我们举个三 x 方加上二 x 加一吧。然后那么我们高中所学的这个只对包括三角函数的话，如果我们带入 x 的 某个值的话去算 啊，除非是一些特殊值。比方说啊，指数函数当 x 等于一了，等于零了，等于，呃，他的值是比较好算的，比方说当 x 等于一点一，那么 e 的 一点一次方是多少？ lo n 一 点一又是多少？ sin 一 点一，那又是多少？实际上是比较难以计算的。而对于这个啊，多项式函数的话，当 x 等于一点一的话，我们只需要简单的相乘相加，是不就可以得出来啊，这就是多项式函数，它的好处，比较容易算值。 而泰勒公式就给我们提供了这样一个方法，他通过泰勒公式可以把一个啊，我们所有的函数都转化成一个多项式函数啊，来逼近这个函数值啊，这就是泰勒公式。当然他会有一定的误差，但是当我们这个 这个这个写的像素越来越多，他这个误差其实可以忽略不计的啊，我们把泰勒公式写在下方 啊， f x， 这是它的泰勒公式啊，这里有个 x 零，那我们简易去记一下。就是啊，我们把泰勒公式里面的这个 x 零，我们都取零时，就得到了一个叫麦克劳林公式啊，这也是我们在高中所讲的泰勒公式的基本形式，什么样子呢 啊？一个函数，如果它在零处是有意义的，那么它的这个函数 f x 就 可以写成它在零处的函数值，加上它在零处的一阶导数值乘 x， 二阶 导数值去除以二的阶乘乘 x 方。在零处的 n 阶导数值去除以 n 的 阶乘，再乘上 x 的 n 次方，最后这里有一个 p r n 余项啊，那么这个其实就是一个误差，可以忽略不计 啊。那么我们常用的他的公式都有哪些啊？比方说 e 的 x 次方，这个比较好记，他是一加上 x 加上二的结成 分之 x 方，加上三的结成分之 x 三次方，一直加到 n 的 结成分之 x n 次方，当然他后面还有一个余项，那我们可以忽略不记啊， loan x 加一啊，我们要记的是 loan x 加一，为什么不是 loan x 呢？因为 log x 在 零处有没有意义？没有意义，所以说我们给他加了一个这个加了个一，这样在 x 等于零的时候， log x 是 有意义的。 那么他的这个啊，他的公式是 x 减去二分之一倍的 x 方，加上三分之一倍的 x 三次方。哎，他是这个正负间隔，并且他这个分母呢，就是一二三。那么往后排的 正弦函数，正弦函数啊，我们去改一改，正弦函数实际上是一个奇函数，所以说它的泰勒展开是只有奇次项一次项 x， 然后三的阶乘分之 x 三次方，五的阶乘分之 x 五次方，它也是正负间隔的 啊，我们需要记住前三个公式，当然还有一个就是我们常见的就是根号下 x 加一 啊，它的泰勒展开的话，是一加上二分之一的 x 次方，然后减去八分之一 x 的 平方，加上十六分之一 x 的 四次方啊，我们只记前四项就行，后面的话我们就忽略不记了， 那这四个公式失效，就我们记记住的，其实记这四公式啊，有的时候同学们觉得这个也比较难记啊，高中数学那么多公式，我要记不住怎么办？记不住，那就用泰勒公式本身去做推导 啊，比方说，那么这里的话，这个根号下 x 加一，那我们去看一下，那么我们如何去推导呢？那么我们就把它去记作 f x 吧。然后 那么这里的话，我们去求下这个导数值，他的一节他的一节导数是不就等于二分之一倍的？ x 加一的负二分之一次， 他的二节导数就是我们再提个负二分之一，是不就是负的四分之一倍的 x 加一的负的二分之三次，那么他的三节导数值，那我们再提个负二分之三出去，就是正的八分之三， x 加一指数再减一，就是负的二分之五次，那么这个我们一般记个三阶导数就够了，然后我们再往里去代入就行了，那么 f x 它等于 f 零， f 零是多少？ f 零是不就是一，然后再加上 零出的一阶导数值，零出的一阶导数值，那么零带入是不是就二分之一啊？零出的一阶导数值就是二分之一，去除以一的阶乘乘 x， 然后再加上二阶导数值在零处的，那么我们把零代入是不是负四分之一，负四分之一除以二的结乘，也就是负的八分之一去乘上 x 的 平方啊？这里我们就把加号给它省略了，就是减了， 然后再加上那么它的三节导数值，当 x 为零的时候，是不是就是八分之三，八分之三去除以三的阶乘，也就是除以六，那么也就是十六分之一，然后再去乘上 x 三次方，那是不是我们就把它的这个泰勒公式 啊去给它推出来了，那后面我们就不用去写了，因为一般的话，在高中阶段泰勒展开式最多啊，也就用到它的二次项就够了，那么其实比较常见的都是用到它的一节，也就是一次项。 那么后面还有一些公式，比如说余弦的啊，我们记余弦的其实跟正弦的有点类似啊，正弦是积，余弦是 o， 所以 说我们剩的全是 o 次项 啊。 e 减去二的结成分之 x 平方，加上四的结成分之 x 四次方啊，它也是什么正负相隔的，那么我们也可以只记正弦，我们只需要对三式两边分别求导，那么就可以出现四式 啊。那么还有一个呃，比较常见的公式啊，我们再找一个空白的位置再去写一下吧，那么同学们也可以能看到这个 x 加一分之一，它的泰勒展开式是不是？那么这个需不需要记呢？ 那么同学们发现 x 分 之一是谁的导数？其实就是 low x 分 之 low x 加一的导数，我们两边求导，就可以得到另外一个泰勒展开式了。 ok， 那 么其实泰勒公式在高中数学的应用主要应用在什么？不等式放缩？ 不等式放缩，比方说我们经常遇到的这个切线放缩指数型的 e x 大 于等于 x 加一，它其实就是把泰勒公式后边的这部分给它省略了，就是把后面的这部分给它省略了，那么省略之后，那么它肯定是省略的。是怎么样省略的这些项是当是 x 大 于等于 省略的这些是大于等于零的，是吧？所以 ex 方是大于等于 x 加一的，那么我们可以再保留到二次项，那么它也是大于等于，因为后面都是正的嘛。 那么同理，零 x 加一是小于等于 x 的， 为什么？因为我们省略的这些，那么首项最大它减去的是二分之一，所以说整个忽略的话，它整体是变整体，是啊，后面这个，后面这个像素整体是变大了，那就小于等于 x， 那么这些放缩我们都可以根据泰勒公式去做一个选举。那要注意它的这个啊，不等式的方向主要跟我们舍去的到底是正的啊，余项还是负的余项有关系啊？呃， 比方说 low x 加一小于等于 x， 如果我们变变形的话，把 x 都替换成 x 减一，是不是就得到了经典的对数放缩 x 小 于等于 x 啊，减一对不对？ 泰勒公式的话，还可以帮助我们去近似的计算，当然了，我们所展开的接触越高，它的计算的精度就越高啊。精度越高，我们在高中的话，一般绝大多数算到一节或者算到二节就够用了。 那我们去看一下泰勒公式的一些应用啊，它的最大的一个应用就是在这个比较大小的这个用法上，这是二零二二年的高考题，那我相信很多同学可能啊，自己也都做过， 我们简单一写啊，这个 abc 的 话，实际上他们的值是很接近的，如果我们正常用求导的方式去做比较的话，是比较难写的，它毕竟是个小题嘛。如果我们用泰勒公式的话，我们可以去算一下， a 等于零点一， 去乘上 e 的 零点一次方，那么也就 x 是 不是就是零点一？那么我们用泰勒展开式去展开的话，它就是一加上 x 也加上零点一， 再加上呃，二分之 x 方，也就二分之零点一的平方， ok， 我 们就保留到平方向就行了，后面我们就不算了，是个约等于他，一般的话，这个值就比较精确了，那么这个值算出来是多少呢？一加上零点一就是零点一，去乘上零点啊， 一加上零点一是一点一，是吧？一点一，然后这是零点零一分二除以零点零一，零点零一除以二就是零点零零五，再加上零点零零 五，那就是这个值，是吧？那么再乘上零点一，也就是零点一一零五啊，这是 a 的 一个近似值，那我们再算一下 b， b 是 等于九分之一，是不也就直接约等于零点一一啊， 这样一直循环是不是？那我们再看一下 c， c 是 负的零点九，那么也就是负的零， 这个负的零点一来加一，对不对？那么也就是 x 实际上去的值是负的零点一，那么这样的话，我们用泰勒展开式的话，它是这个呃， x 也就是负的零点一，然后减去， 减去二分之 x 方，减去二分之 x 方，也就减去二分之负，零点一的平方，就零点零一，对不对？然后再加上三分之 x 的 三次方啊？ 三分之 x 三次方，那么负零点一的三次方是不是负的零点零零一，那又是减去三分之零点零零一，然后那我们去算一下的话，它大约是多少？这就变成正的了，是不是都变成正的，那就现在零点一 零点一加上零点零五，那么这个地方是零零五，然后又减去一个，是不？后面还有个余数，那我们这就是 c 的 近似值，那我们简单一比较的话 啊，明显是 b 最大， a 次值 c 最小，是吧？那么就是 b 大 于 a 大 于 c， b 大 于 a 大 于 c， 那 么就是选 c 了 啊。我们再来看一个比较大小的题啊，这是 b 二 b 二的话，是这个二一年的这个新高考一卷的一个比较大小的题，同样也是比较复杂，但是用泰勒公式也会变得很简。 先来看这个 a 选项，同学们可以自己去试一下啊， a 选项是二倍的 lone 零点零一，那么 a 也就等于二啊，二倍的 lone 零点零一加上一，是吧， 那么也就等于二乘上。我们用泰勒展开的话啊，它是等于啊 x， 也就是零点零一，然后去减去二分之一倍的 x 方，零点零一的平方，然后再加上三分之一倍的 x 的 立方，就是零点零一的立方。 ok， 那 么我们后面的我们就不写了，只斩到前三项就可以了啊。这样的话，我们简单去运算一下的话，二乘进去零点零二，然后二去乘，这一项是不减去啊，零点零零零 一，然后再加上后面这个我们不算了，三分之二，如果有必要，有必要去算的话，我们一会再去把它去计算出来，这是 a 啊。然后我们再来看一下这个 b， b 的 话是 loan 零一点零二，也就是 loan 零点零二加上一，那么它展开之后，也就是 x x 零点零二减去 二分之 x 方，减去二分之一乘上零点零二的平方，加上三分之一乘上零点零二的三次方，那我们也把第二项给它展开，是零点零二 减去零点零零零四除以二零点零零零二，是吧？然后再加上这个尾项三分之一乘上零点零二的立方， ok， 这是 b， 那 么很明显观察一下的话， ab 谁大呀？ 啊？零点零二，零点零二一样，那么这个是减的是零点零零零零二，明显是 a 更大，对不对？ a 是 大于 b 的， 那我们再来看一下 c， c 的 话是等于根号下啊，我们一点零四变成零点零四加一，然后再减去一，那么这个减一的话，我们记着它的展开式里面是不是一加上二分之一被的 x x， 那 么这个减一的话，我们就不写那个一了 啊，因为被抵消了，就是二分之一去乘上 x 零点零四，然后再减去八分之一，乘上 零点零四的平方，然后再加上十六分之一，乘上零点零四的三次方。好，我们来算一下的话，哎，发现他的第一项也是零点零二，第二项是啊， 零点零零零啊，四位小数后面是十六是吧？除以八之后，后面就变成尾数是二了，就是零点零零零二，哎，他跟 b 的 一致是不是？ 所以说 bc 要比较的话，实际上还要看第三项，我们来看第三项，第三项的话，这个是两位小数立方之后变成六位数，尾数是六十四，六十四除以十六的话又变成四，也就是零点一二三四 五，后面尾数是四，是不是？哎？这就是 c 的 尾项，那么我们来看看 b 的 尾项， b 的 尾项的话也是六位数，尾数是八 八去除以三八除以三，数比二小，所以说他第六位小数是不是？这个是零点一二三四五，后面这个尾数是不是二二点二几几？是不是？那我不看了啊。那么你来看这个尾象是不是明显 c 更大， c 是 比 b 大， c 是 大于 b， 那 ac 之间的大小呢？ ac 之间啊，我们也不用比较第三项，我们只比较第二项， a 是 减零点零零一， b 是 c 是 减零点零零零二，那么还是 a 大， 所以 a 是 大于 c 大 于 b， a 大 于 c 大 于 b， 那 就是 b 选项了啊，这是在比较大小里面的应用。那我们再来看一下，在这个一些填空或者说大体里面，我们该怎么去用，我们看一下例三， 当 x 大 于等于零时啊，我们来看一下这个不等式横乘，力求实数 a 的 取值范围，指数 三角，那我们可以把指数三角都移到同侧，是不是 e x 方加上口乘， x 要大于等于 a， x 加二横乘以， 那么我们用这个放缩的形式，我们去把 e x 去进行一个放缩，那么因为它是与一次做比较，所以我们放缩到二次项，那么 e 的 x 次方是大于等于一，加上 x 加上二分之 x 方的，对不对？然后那口舌 库森 x 呢？库森 x 是 它的，它的展开还记得是什么吗？库森 x 因为本身是一个偶函数，所以它它后面只剩偶次项，偶次项第一项就是一，那么它是正负间隔的一减去二的结成分之 x 的 平方 加上四的阶乘分之 x 四次方，那么如果说我们放缩到这个二次项的话，那后面是个正的，我们正的如果是舍去的话，他是不是就整体就变小了？所以说口算 x 也是大于等于的，那我们就把这个正的后面余项都给消去了， 那么这样的话啊，这就是泰勒公式，那么这两个公式我们能不能直接用啊？小题可以直接写出来，那大题的话，我们要把这两个在卷面上做一个证明，那么这样的话，我们代入的话，那么就是 e x 加上 q 乘 x， 它是不整体大于等于？我们把一加一是不是就是二 x 加零， x 后面这个平方项是不是消去了？它是大于等于二加 x 的， 那么它既然要大于等于 a x 加二横乘立，是不是这个二加 x 也要大于等于 a x 加二横乘立啊？ 那么这里我们去解一下这个 a 的 值就行了。二和二消去了，那么也就是 x 是 大于等于零的， 嗯，那是不是 a 要小于等于一啊？啊？ a 小 于等于一，这就是 a 的 一个取值范围了，那么这样的话就是无穷到一， 那我们就用泰勒公式，很快就把这个填空题给它求出来了。大体里面的话，那么泰勒公式是不能直接用的，直接用会扣分的，所以说会用到这种放松的话，我们就去证明一下就可以了。 好，那我们今天的话就把这个泰勒公式给大家做了一个讲解，其实啊高中的公式是比较多的 啊，我们最好是能够把泰勒公式他这个特殊形式麦克劳林公式啊，去把他推倒形式去给他记住。这样的话遇到一些我们比较新型的这样一些公式的话，我们直接去 轴向去做一个 n 阶导数，求一阶导、二阶导、三阶导，然后再把它这个在零处的这个导数值带入公式中，就可以求出来的它来展开式，一般的话求到平方向就够用 啊，求到平方向就够用。那今天的课程我们就讲到这里，那么同学们如果对老师的课程感兴趣的话，可以点击关注。

为什么直到现在都还没有人能够证明一加一呢？这就是连大数学家欧拉都没能解决的哥德巴赫猜想。而这里的一加一也并非指数学中简单的一加一等于二。早在一七四二年，德国数学家克里斯蒂安哥德巴赫发现了一个有趣的现象，并在写给欧拉的信中提出了以下猜想， 任何一个大于等于六的偶数都可以表示成两个基质数之合，比如六等于三加三，十等于五加五，一百等于十，一加八十九等等。而任何一个大于九的基数也都可以表示成三个基质数之合，比如七十七等于五十，三加十，七加七等。 就是这样一个看似没有任何难度的命题，却是欧拉在经过数月的验证后，在写给哥德巴赫的回信中表示，虽然这个问题看起来是正确的，但我始终都无法从理论上证明它。 与此同时，欧拉又提出了此猜想的另一个等价版本，那便是任何一个大于等于二的偶数都可以写成两个质数之合。从此，哥德巴赫猜想便成为了数学中最著名的难题。而这个猜想直到一七八三年欧拉去世也没能将其证明， 并在之后，无数著名数学家们都想摘取这颗树，润皇冠上最耀眼的明珠，他们利用筛选法不断逼进皇冠的顶端。直到一九二零年，经过数学界一百七十八年的努力，挪威数学家布朗首先证明了九加九，也就是一个足够大的偶数均可分解成九个质数之基与另外九个质数之基的和。 又经过了四十六年于一九六六年，中国数学家陈锦润首次证明了一加二极大偶数都可以写成一个质数，加上两个质数的乘积，这就是著名的陈氏定律，也是迄今为止在哥德巴赫猜想证明中取得的最佳成果。 但在陈锦润愿逝后至今的五十多年间，哥德巴赫猜想便再也没有突破性进展，而这也使其成为了近代数学中最著名的三大难题之一。 我承认张朝阳的物理水平很高，但假如我拿出数学中最完美的上帝公式，阁下又该如何应对？早在一七四零年，数学家莱昂哈德欧拉写下了著名的欧拉公式， e 的 爱派次方等于负一， 他将自然对数的底数 e、 虚数单位 i 和圆周率派这三个最常用的数学常数，以及人类发明的数字零和一如此优美巧妙的融为了一体，据说里面更是包含着上帝的创世密码，因此也被称为上帝公式。 而它究竟有多神奇？作为连接另一个世界的虚数， i 可以 在负数平面坐标轴中进行旋转，如果将其放置在三维空间中，在沿着 x 轴进行旋转时，便会形成一条函数异的 i x 次方的标准螺旋线 作为宇宙的主旋率，无论是行星的运动轨迹、树叶中的叶脉，以及组成生物最基本的 dna 分 子，甚至由能量组成的电磁波，都有着美妙的电磁波，都有着智能等价原理， 即世间万物在本质上都是由能量所构成，所以这些能量或许也都是由具有螺旋属性的电磁波叠加而成。如果此时将 e 的 i x 次方的标准螺旋线进行下拉，便会看到一个余弦波余弦函数 cosine， 如果从正面看，它又是一个正弦波飒影函数，而这个美妙的螺旋线也就是由余弦波和正弦波叠加成。从此使意的 i x 次方得到了一个表达式，当 x 等于派时，便会得到上帝公式，它不仅包含了多个重要的数学常识和函数，更是展现了数学的深度和内在的美感。 此时在结合爱因斯坦的智能方程时，便会惊人的发现，如此庞大且复杂的宇宙竟然都起始于两串如此简单的公式。这也不禁的让人联想，我们目前所处的世界是否就是被造物主随便创造的几端代码而生成的虚拟世界呢？ 世界上有这样一个数，大到连科学计数法都不够用，甚至整个宇宙没有任何一个量级能够超过他，谷歌尔在他面前如同蝼蚁一般，这就是被称为最大的有意义自然数，蛤蜊横竖，而他到底有多大呢？ 为了更好的理解，我们先看看在生活中一些常见的大树，成年人一天心脏跳动约为十万次，一百万滴水也就相当于一百零九瓶矿泉水。现如今全世界的人口总数为七十六亿，人类大脑神经元有一千亿个， 海洋中所有鱼类的总数为一点五万亿，一块方糖可以容纳一万亿个细菌。历史上印刷的所有英文书籍加起来大概有一百万亿个英文字母，而地球上的蚂蚁总数在一千万亿只左右，而在往后的更大数量级，我们几乎就很难再接触到。 对此，于二零二零年，荷兰设计师丹尼尔德布鲁因为了展示超越宇宙更古的数值谷歌尔的大小，设计出一款由一百个齿轮组成的世界上最难转动的齿轮系统， 其中每层齿轮转动比都是十比一，也就是说，当第一层齿轮转动一百圈时，第二层齿轮就会转动十圈，后面每层齿轮都会按时的倍率减少。 如果想要转动第一百个齿轮，就意味着整个齿轮系统需要消耗时的一百次方的能量，也就是一股戈尔。如果第一层齿轮以每圈三点五秒的速度转动，那么我们终其一生也只能看到第十层齿轮转动，其所需要的时间会远远超出宇宙的寿命。 但即便是如此恐怖的谷歌尔，在葛立恒数面前也几乎为零。作为曾在正式数学证明中出现过最大的数， 是美国数学家罗纳德葛立恒提出的一个问题的上陷阱。这个问题被描述为连接 n 为超立方体的每对几何顶点，获得一个有着二的 n 次方的顶点的完全图。 每一对顶点之间都恰点有一条边的简单图，然后将该图每条边的颜色填上红色或蓝色，那么使所有填法在四个共面顶点上包含至少一个单色。完全子图的最小恩值究竟是多少？ 最终推导出一个大到连科学计数法也不够用的句型数字。它并非如圆周率派那样无限不循环，而是一个有尽头和终点的数，即便用高德纳箭头来表示，也需要六十四阶才能表示出格力横竖。虽然我们无法知道格力横竖的全部，但却能推导出它的最后几百位或更多。 对于我们来说，蛤蜊横竖根本无法被大脑想出来，因为一旦这个数值被装进我们的大脑中，其信息量将会超过黑洞的商值，最终会使大脑酣缩成一个黑洞，而那时的你，也就实现了真正意义上的脑洞大开了。提到圆周率派，首先你会立刻想到三点一四， 如果派算尽了会发生什么？早在一九四七年，数学家一万尼文就利用微积分和反正法证明派是无穷无尽的无理数。截止到二零二一年八月，派已经计算到小数点后六十二点八万一位， 这需要具有不小于三百一十六 tb 内存的超级计算机才能做到，而且至今仍在日复一日的计算中。 虽然目前来看这并没有太大意义，仅仅是在检验超算的性能。目前航天局工程师也就能利用到圆周率后十五位，而如果能利用到后四十位，就能精确计算出可观测宇宙的大小误差，甚至不到一个原子的体积。 如果怕有一天算尽了，这就意味着世界并不存在真正的圆。所谓的圆滑曲线都是由无数的小线段组成，这会使几何学中的图形变得混乱不堪，所有计算的思想方法也都是错误的， 不仅微积分将会被颠覆，数学大厦也将土崩瓦解，所有科学测量标准也需要全部推倒。蓬莱， 你认为派会被算进吗？是我眼花了还是数学家疯了？零点九九九的循环居然等于一。假设 x 等于零点九九九的循环，那么十 x 等于九点九九的循环，将等是两边的，仅去一个 x 的 得到，九 x 等于减，那么 x 的 就等于一，这看起来十分的不可思议。那么我们换一个思路， 如果在一条线上画出零点九、零点九九、零点九九九等等对应的点，并一直不断的画下去，就会发现右侧最小的点和一之间的间隙越来越小。而根据有理数的稠密性原理，任何两个不等的有理数之间必然存在着一个有理数，也就是说一必须是这个最小的点。 所以零点九九九的循环和一将等各种数学的证明完美的验证了这个看似违背常识的结论，其实早在一七七零年，白昂哈德欧拉就曾在代数要素中验证过。 虽然这个问题被数学家争论了数百年，直到现在依旧还有很多人不愿相信这个结论，而数学中的完美却在现实中多了那么一丝诡异的问道。

为什么全网都在说数学才是高中最白痴的学科？因为跟其他学科相比，数学你只要学会一个东西，立马开窍，考试就会变得简单，一百二也很简单。那么这个东西到底是什么呢？就两个字， 公式。这三个公式啊，老师他不讲，课本也不写，他就藏在高考题里面，你要是学会了，最少也是班级里的前二。 来看第一组，看起来不是特别的顺眼啊，但是你绝对想不到，他能让你一秒秒杀高中数学。在这题目来看这道题啊，传统方法呢，非常多，我们分享一个最简单的三角换元，算到你想吐我， 但是呢，我能一秒解决，这只是我们本期最简单的一道题了。记住啊，如果题目呢是这个形式，那么最大值就是这个。回到题目，这些已知数呢，直接带入进去，熟练之后一秒搞定。那聪明的孩子就会问了，如果题目问的是最小值呢？ 好问题，方法更绝，我一会儿再告诉你现在这些，你是否一秒一道呢？再来看第二题啊，根号不等式，求最值，看一个最简单的解法，你根本看不懂， 算到此，估计还大概率错了，我们看毒招啊，如果题目是这个形式，最值就是这个已知，他们直接带入进去， 秒出结果来，一秒一道。记住了，以后啊，看到这样的题目，只要把 c、 m、 n 这三个字母甩他一脸就够了。第三组，史上最难的最值到底有多难呢？就算你现在数学能考一百四，都未必会做。来，给你看一种最简单的解法， 恭喜你哦，直接让你算到头，我给你解决这类题目是最快的方式，没有之一。如果让你求最值的式子是这么一个， 条件是这么一个，那么最关键的是什么呀？就是这个蓝宝石，假设其他字母呢，都是来自如下这两个式子，直接看题， 利用式子，然后一步就能得出这个，再用求根公式求出，大的就是最大，小的就是最小，轻松搞定，熟悉之后不到五秒。那现在这些是不是能够一秒一到呢？哎，你肯定很好奇啊， 为啥有那么多的万能公式？其实呢，不是我发明的，是高考啊，本来就藏的这些规律，我只是帮你 挖出来了。那这些方法呢？我都叫解题模型，类似的万能解法，我花了三年的时间，从高考题里面呢扒出了最精华的九十个，全都做成了视频，需要的同学呢，后台私信我，你的年级高二高三就可以了。最后啊，我再留一道题，看看你能不能一秒搞定。

高中数学三大禁书第一书，泰勒展开式这是广大无脑学生的最爱，万能展开模型一旦学会，不管是一次函数、二次函数、三角函数、反三角函数、复合函数，还是密函数、正弦函数、 余弦函数，都可以暴力展开模型，代替大脑公式，代替思考，考试再也没烦恼，妈妈再也不用担心你不会做题了。 你看，在我们人教 a 版的倒数第二页课后题，英国数学家泰勒发现了如下公式，什么是泰勒公式？ 我们最早学习函数啊，一次函数和二次函数都属于多项式的函数，之所以最早学是因为简单，但高中之后学习函数就没有那么简单喽。于是来自英国的三百三十九岁小伙就没有那么简单喽。于是来自英国的三百三十九岁小伙儿泰勒来表示，这就 是泰勒展开式。第一句话总结就是，可以把复杂的函数题啊变得简单。下面这几个就是常见的，也是我们会用到的特殊的泰勒展开式。我们来看到二二年的高考真题，这种比大小 的题很多同学都无从下手，但是如果你会泰勒展开这种高考题，也就几秒钟时间。我们知道 cosine 的 麦克劳林长 是是这样的，将四分之一带入去前三项，所以 cosine 四分之一约等于零点九六八九幺，即 b 的 大小为零点九六八九幺。再来看 c 的 大小，我们知道 cosine 的 麦克劳林展开试试 这样的，将四分之一代入去前三项，可得， c 等于一减零点零一加零点零零零三等于零点九八九六三。再来比大小，很明显， c 大 于 b 大 于 a， 所以 我们选择 a 选项 很简单，对吧？恭喜你学会了泰勒公式，这道题拿去练习吧。当然，你只知道泰勒展开肯定是不够的。类似于这样的公式，我花了三年的时间，其中最精华的五十五个录制成了视频课，数量有限，先得先得。你只需告诉我你的年纪，高二还是高三？快来吧，拜拜。

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