七上数学«我的作业»卷子压轴题几何

作为七上数学的终极大 boss， 动脚问题排第二，没人敢说第一。题型多变不说，一会儿是射线旋转，一会儿是角平分线叠加。最让人头疼的就是藏在里面的分类讨论，稍不留意就会漏解，就算思路对了，最后还是拿不到满分。 很多同学都问我，有没有一招先的通用解法能搞定所有动脚问题？ sorry， 这还真没有。但是别慌，我们学习数学讲究的就是一个万变不离其宗，不管题型的核心逻辑都是相通的。 所以本节课汤姆老师将会用一个视频，五道经典例题，循序渐进，有浅入深，带你彻底搞懂动脚问题。如果对你有帮助，记得艾特一下你的学渣同学也来听一听。对了，千万不要忘了一键三连哦！搬好小板凳开课！ 所谓动角，简单说就是大小会发生变化的角，它和我们之前学的固定角是相对的概念。举个直观的例子，已知点 o 在 直线 a、 c 上，射线 o b 绕点 o 从 oc 位置开始，以每秒十度的速度逆时针旋转。 旋转前，角 b o、 c 等于零度旋转三秒后，角 b、 o、 c 等于十乘以三等于三十度。旋转十秒后，角 b、 o、 c 等于十乘以十等于一百度。那旋转 t 一 秒后呢？显然角 b、 o、 c 就 变成了十乘以 t， 我 们就用十 t 来表示。 可以看到，这个角 b、 o、 c 是 随着 ob 的 旋转而不断变化的，所以角 b、 o、 c 就 属于动角。 同理，角 a、 o、 b 也是动角，它可以表示为一百八十度减十 t。 这里有一个非常容易出错的点，需要同学们格外注意。上面我们说到，在射线 o、 b 旋转的过程中，动角 b、 o c 等于十 t， 对 吧？ 那是不是无论 o b 旋转多少角度，都可以用这个表达式来表示角 b、 o c 呢？ 当然不是，我们来看图，当射线 o b 从 oc 位置旋转到这个位置的时候，他转过的角度已经超过了一百八十度。此时我们说角 b、 o c 的 时候就容易有歧义， 到底是说这个角还是说这个角呢？就不太能分清了。为了规避这个问题，我们就规定在初中阶段研究的所有角度都是小于等于一百八十度的。 所以当射线 ob 转过的角度超过了一百八十度时，我们说的角 boc 就 表示的是下面这个角， 它是满足在零到一百八十度之间这个要求的。而此时角 boc 如果用 t 表示的话，就变成了三百六十度减去射线 ob 转过的角度十乘 t， 即三百六十度减十 t， 并且这时的角 aob 我 们也知道了，等于一百八十度减角 boc， 即十 t 减去一百八十度。 我们可以总结一下，对于上述动角问题来说，当 o b 的 旋转角度大于等于零度，并且小于等于一百八十度的时候，角 b o c 等于时辰 t。 角 a o b 等于一百八十度减去时辰 t。 而当 o b 的 旋转角度大于一百八十度，小于等于三百六十度的时候，角 b、 o c 则等于三百六十度减去时辰 t。 角 a o b 等于十乘以 t 减去一百八十度。 ok， 以上就是射线运动过程中动角的表示形式，我们来做两道基础的动角题型应用一下。先看第一题，他说 o 点在直线 a c 上，角 a o d 等于三十度， 这个角是三十度角。射线 o b 从 o d 出发，以每秒十度的速度逆时针转动， 有一条射箭 o b 从 o d 出发，是逆时针旋转，速度呢，是每秒十度。我们来标注一下， o b 是 从 o d 的 位置出发，逆时针转动速度 v 等于十度，每秒问多少秒后角 a o b 等于九十度。那首先我们来简单的模拟一下 o b 的 运动状态， o b 是 从 o d 的 位置逆时针转动，假设它转动到这个位置， 那根据刚才我们对于这个动角表达形式的描述，它转动的角度就应该是十 t 吧，每秒转动十度，那 t 秒就转动十 t。 看此时角 aob 就是 这个角， 那现在要让角 aob 等于九十度，所以这个 ob 呢，它就应该转动到这个位置。我们来算一下这个角 aob， 它是可以写成这个角 a o d 加上角 b o d 的 吧。于是我们就得到了这个三十度，加上十 t， 它是等于九十度的啊。这个角 b o d， 它转动的角度可以用十 t 来表示，这里是三十度，所以就得到了这个等式。那解出来这个 t 呢，它就等于六秒。那这道题结束了吗？哎，当然没有啊，它还有第二种情况，同学们看， 当这个 o b 它继续转转转，转动到这个位置，那么此时角 a o b 是 不是又变成了九十度啊？所以第二种情况下呢， 就是这个 o b 继续转转到了刚才的反向延长线上。为了区别一下，我们把这个叫做 b 撇，此时这个角 a o b 撇，是不是也满足等于九十度啊， 那这个时间 t 呢？也非常好求，我们只要在刚才的基础上继续转动一百八十度即可把刚才这个记作第一种情况，那么第二种情况下呢？那么这个十 t 就 等于一百八十度， 那为了区别一下，我们把它叫做 t 撇吧，算出来这个 t 撇等于十八秒，也就是说 o b 在 原来的基础上继续转动一百八十度，那需要的时间是十八秒，再加上刚才的六秒，此时的这个 t 呢，就等于 六加十八等于二十四秒。所以这道题一共有两个答案， t 等于六秒的时候和 t 等于二十四秒的时候，这个角 aob 都可以满足等于九十度。 第二题他说木条 abc 定在一起，角一等于一百二十度，角二等于五十度。木条 a 以每秒四度的速度绕着 a 点顺时针旋转一周， 这个木条绕着这个旋转点 a 顺时针旋转一周。求当木条 ab 垂直的时候， 旋转时间为多少秒。那这道题的题干呢？也很清楚，小 a 绕着这个 a 点顺时针转动，那要解决这个问题的话，我们先把它的垂直状态下的图像给他画出来。同学们看，这个木条 a 从原来的状态转动到这个位置，因为垂直，那这个角呢， 实际上是一个直角吧，这个木条 a 转动的角度就应该是这个角，它的速度是四度，每秒时间呢，可以设为 t， 所以 它的旋转角就应该是四 t。 那 接下来我们来看看这个角度能不能求，如果能求的话，这个时间 t 不 就出来了吗？怎么来求这个角呢？这里是一个平角吧， 也就是一百八十度，所以假设我们能够把这个角度算出来，用一百八十度减去它，是不是就得到了这个木条 a 的 旋转角啊？哎，这是一个思路，我们可以把这个角记作角三，那这个角三怎么求呢？好，我们来看这个已知条件，角一等于一百二十度， 所以这个角是不是也是一百二十度啊？因为他俩是对顶角，对顶角相等，我们又知道角二等于五十度， 这里又是一个直角，所以角二和这个小角是互余的吧。我们把这个小角记为角四，于是就得到了这个角二，加上角四，它是等于九十度的。那我们又知道角二是等于五十度，所以就能得到角四等于四十度， 角四等于四十度。刚才又说这个大角它是等于角一等于一百二十度的，所以也就得到了这个角三，它就应该等于一百二十度，减去四十度，那就等于八十度，角三等于八十度，那我们刚才这个旋转角不就等于一百度吗？ 哎，所以这样我们就得到了原来这个旋转角四 t， 它是等于一百八十度，减去八十度等于一百度， 算出这个 t 呢，它就是二十五秒，所以当 t 旋转二十五秒的时候，就能够满足这个木条小 a 和小 b 垂直吧。 那么继续看还有没有其他情况呀？当然有啊，同学们看，当这个木条 a 在 这一种状态下，它继续旋转，转转转一百八十度，是不是又能跟这个木条小 b 垂直啊？为了方便同学们的理解，我们可以把这个木条转呢看成一条 射线的转动，我用这个颜色来表示，那这是第一种情况，那第二种情况下呢？哎，这根木条他转到了这个位置，同学们看， 在这种状态下，这个木条 a 依然和这个木条 b 是 垂直的吧。所以这道题和我们刚才那个第一题呢，是非常像的啊。我们把 这个叫做第一种情况，那第二种情况呢，就是这个小木条他在转动一百八十度，那他的旋转角依然可以用四 t 来表示啊，也就是四 t 等于一百八十度， 算出这个 t 他 是等于四十五秒，我们把这里叫做 t 撇， t 撇等于四十五秒， 也就是说，在原来的基础上，他继续转动四十五秒，又能得到 ab 两个木条垂直。所以第二种情况下，这个时间 t 他 就等于二十五，加上四十五也就等于七十秒。 所以这道题呢，也是有两个答案， t 等于二十五秒和 t 等于七十秒，都能够满足木条 ab 垂直。 这两道题做完，是不是感觉貌似动脚问题也不是很难吧？别高兴太早，要是真这么简单，人家就不是大 boss 了。接下来咱们加点难度，再引入一个知识点，角平分线 还是看前面的问题，他说在射线 o d 始终平分角 b o c， 然后让我们求角 b o d 的 大小，这时候又该如何处理呢？我们一起来分析。显然还是需要分两种情况。第一种情况，当 o b 旋转的角度大于等于零度，小于等于一百八十度时， 因为角 b、 o c 等于十 t， 根据角平分线的性质，角 b o d 等于二分之一倍的角 b o c， 即二分之一乘以十 t， 最终等于五 t。 第二种情况，当 ob 旋转的角度大于等于一百八十度，小于等于三百六十度时， 因为角 b、 o、 c 等于三百六十度减十 t。 根据角平分线的性质，角 b、 o、 d 等于二分之一倍的角 b、 o、 c 即二分之一，乘以括号，三百六十度减十 t， 最终等于一百八十度减五 t。 我 们再看两道包含角平分线的动角问题，难度比前两题大了不少，千万别分心。点 o 是 射箭 o b 上的一点 点， p 是 射线 o a 上的一点角 b、 o、 c 等于一百度，所以这个角就是一百度。射线 op 绕点 o 以每秒十度的速度逆时针旋转一周，这个射线 op 是 绕着 o 点逆时针旋转的啊，速度呢，是十度每秒 o d。 平分角 b o p 旋转时间即为 t 秒。啥意思呢？我们来简单说明一下。比如说，当这个 o p 转到这个位置，那 o d 作为这个角 b、 o p 的 平分线差不多就在这个位置。 先来看第一个小问题，当 o p 恰好为射线 o c 的 反向延长线时，求时间 t 等于多少？那我们知道 o c 在 这里，它的反向延长线 就是这条线，那 o p 转到这个位置的情况下，让我们求这个时间 t。 这个第一小段还是比较简单的啊。 o p 的 转动速度我们已经知道了，它是十度每秒， 旋转的时间即为 t 秒，旋转的角度就是十 t。 那 当它转到 o c 的 反向延长线上时，显然这个角和这个角是相等的吧。此时这个十 t 呢，它就是一百度 t， 解出来也就是十秒，所以这个第一空就是十秒。再来看第二个问题，若角 cop 等于角 p o d 的 时候，让我们求时间 t， 那 么这个第二问呢，是需要进行分类讨论的啊。我们先简单的分析一下这个 op 的 运动状态，同学们看 op 的 位置它是不停的在变化的吧，所以这个角 cop 呢，它的角度也是在变化， 比如说当 o p 它就转到这个位置的情况下，那么角 cop 就是 这个角，那这个角度呢，它就可以写成这个八十度加上十 t 吧，那此时角 p o d， 它就是这个角，也是可以用含 t 的 表达式写出来的。但是请大家注意了， 随着这个 o p 不 断的旋转旋转，当它转到这个位置，再往后的话，这个 cop 它就变成了这个角了吧，我们刚才用八十度加上十 t 的 这个表达式就不成立了啊，所以接下来这个位置就是我们分类讨论的临界点， 那我们知道这个角是一百度，刚才第一问我们已经知道了， o p 转到这个位置的时候呢，是需要十秒的吧，所以第一种分类的情况也就确定了，当这个 t 大 于零， 小于等于十秒，在这种情况下，我们来看一下是否能找到满足这个条件的时间 t。 为了方便大家的理解，我们重新画一个图啊，同学们看，那此时角 cop 就是 这个角度，角 p o d 呢，就是这个角度。哎，显然这两个角看起来是有可能相等的吧。那接下来呢，我们就用含 t 的 表达式，分别把这俩角都写出来，角 c o p， 显然它是可以写成角 a o c 加上角 a o p 的 吧，也就等于八十度加上十 t， 对 吧？刚才我们说这个 o p 的 速度是十度每秒的运动时间 t， 所以 这个角度就可以写成十 t 啊。 这样的话，我们就把角 cop 给它写出来了。再看角 p o d， 角 p o d， 在 这里 我们又知道 o d 是 这个角的角平分线，所以这个角 p o d， 它是等于二分之一倍的角 p o b， 那 p o b 又可以写成这个一百八十度减去角 a o p 吧，这样的话，这个角 p o d 也就能写出来了啊。角 p o d， 它是等于 二分之一倍的角 p o b， 那 角 p o b 又可以写成一百八十度减去角 a o p， 也就是一百八十度减去 十 t。 那 整理一下这俩等式，就能得到这个角 p o d， 它是等于九十度减去五 t， 这样我们就把这个角 p o d 也用很小 t 的 表达式写出来了。那最后因为这俩角相等，也就能够得到 八十度加上十 t 等于九十度减去五 t， 那 解出来这个 t 呢？等于 三分之二秒。好，那这个三分之二呢？确实在零到十秒这个范围内。接下来的情况呢？前面我们已经讲了，当这个 o p 转到这个位置的情况下，继续往后转， 这个角 cop 的 表达式就需要变化了吧，那大概这个 o p 转到这个位置 o d 呢？大概在这个位置， 那此时角 cop 和角 p o d 也可能出现相等的情况吧。这里必须要提醒一下这个中间态，同学们一定要自己动手去画一下，这个是我们解决分类讨论非常重要的一个能力，一定要学会自己动手画图， 同学们看，在这种情况下，这个角 cop 和这个角 p o d 是 不是也有可能出现相等的情况下啊？那这个就是第二种情况啊。当 t 大于十秒，小于等于三十六秒，此时角 cop 又该怎么表示呢？这个角 cop， 它是可以写成角 boc 减去角 bop 吧，那这个角 bop 呢？又可以写成这个大角减去一百八十度， 对不对？因为我们这个 o p， 它是从这个位置出发，一直旋转到了这个位置啊。 ok， 那 这样我们就可以先写一下角 p o b， 它是等于十 t 减去一百八十度，看，十 t 就是 这个角度，那减去这个平角一百八十度，是不是就是角 p o b 的 度数啊？角 c o p 呢？又可以写成角 b o c 减去这个角 p o b， 那这样我们就得到了角 cop， 它是等于角 cop 减去角 pob， 整理一下这个表达式就得到了。这个角 cop， 它是等于二百八十度减去实体， 这个 cop 的 表达式已经有了。那再来看这个角 p o d， 那 p o d 就 简单了，因为 o d 始终平分角 p o b， 所以 p o d 就 等于这个角的二分之一啊。 角 p o d， 它是等于二分之一倍的角 p o b， 整理一下，也就是五 t 减去九十度， 这样角 p o d 的 表达式也有了。那最终因为这俩角相等，所以二百八十度减去十 t， 就 等于五 t 减去九十度， 解出来这个小 t 呢，它是等于三分之七十四秒。最终这道题的答案呢，就是 t 等于三分之二和 t 等于三分之七十四秒。这两种情况下，哎，都是符合要求的啊， 这道题我们就给他说清楚了，同学们一定要记得自己在做题的时候，一定要动手去画一下这个中间态，那有同学说，这个 o p 在 这个位置的时候，或者说在这个位置的时候可不可以啊？哎，你要自己动手去画一下， 除了这两种情况下，在其他位置的时候，都没办法能找到满足条件的这两个角。 第四题，他说 o 点是直线， ab 上的一点角 c o d 是 直角，所以这里是一个九十度的角， o e 平分钝角 b， o c 是 这个钝角的角，平分线 角 a o c 等于三十度角 c o d 绕着 o 点以每秒五度逆时针旋转， t 秒 t 的 范围呢，是在零到三十六度。同学们看这道题和我们前面讲的那个题型呢，稍有不同， 他讲的是这个直角绕着这个 o 点开始逆时针旋转吧，我们前面讲的都是射线绕着某一点旋转。问，在旋转的过程当中，角 a、 o c 和角 d、 o e 之间的数量关系，这个角 和这个角之间的数量关系。那有了前三题的铺垫，我相信大多数同学在做这道题的时候，应该会有一个大概的思路，要想探究这两个角之间的数量关系，肯定是要用含 t 的 表达式 把这两个角都给他表示出来，因为这个角度他都是在变化的啊。那么具体应该怎么表示呢？下面我们一起来分析一下。首先题干当中给到的是这个角绕着 o 点，然后每秒五度逆时针旋转， 那显然角度旋转这个过程是比较抽象的吧，我们要把它变成我们熟悉的形式， 所以对于这个条件，我们可以把它转化成 o c 和 o d 这两条射线的旋转，所以射线 o c 旋转的速度 v c， 它就是五度每秒，射线 o d 旋转的速度也是五度每秒，那方向呢？都是逆时针啊， 这是第一个细节，同学们需要注意的。再来看第二个细节，他说这个旋转的时间 t 是 在零到三十六度吧，这个条件又有什么用呢？ 同学们看 oc 的 速度是每秒五度，所以旋转三十六秒。那么显然这个 oc 呢，它的最大旋转角度就是 一百八十度，相当于告诉我们射线 o c 转到这个位置以后就停止，那同理，射线 o d 最大的旋转角度也是一百八十度。 那接下来我们就来看看具体的在旋转的过程当中，这个角 a o c 和角 d o e 大 概是如何变化的啊？那这里又需要同学们去模拟一下这两条射线运动的中间状态。 比如说我们看射线 o c， 假如它运动到这个位置，那 o d 始终跟它垂直，所以 o d 大 概在这里，这个角还是九十度，那 o e 呢？同学们看 o e 是 角 b o c 的 角平分线， 并且这个角 b o c， 它始终是一个钝角吧，所以 o e 大 致应该在这个位置，这个细节非常关键。同学们看角 c o e 大 致应该在这个位置。这个细节非常关键。同学们看角 c o e 大 致应该在这个位置。这个细节非常关键。同学们看角 c o e， 所以它的角度一定是小于九十度的，那 o d 是 和 o c 垂直的，所以 o e 大 概就在这个位置啊，在 o d 的 左边，那此时角 a o c， 它就应该是这个角，它的旋转角度呢， 可以用五 t 来表示吧，旋转的速度是五度，每秒时间 t， 所以 旋转的角度就是五 t， 那角 d o e 呢？就是这个角，这个角度呢，也是可以用含 t 的 表达式来写的吧。同学们看，我们可以写成九十度减去这个角 c o e， 因为这个 c o e 是 等于 c o b 的 一半，那 c o b 是 可以写成一百八十度减去角 a o c 吧。那通过刚才的分析，我们知道这俩角都是可以用含 t 的 表达式来写的吧，这样我们就完成了第一阶段的分析。那接下来同学们继续看， 当这个 o c 继续旋转，一直到它转到 o a 的 这个位置，再往后转的话， 比如说 o c 转到了这个位置，现在角 a o c 就是 这个角度了吧，那这个角度它就不再是这个三十度减去五 t， 而是五 t 减去三十度了吧。也就是说这个 o a 就是 oc 在 旋转过程当中的临界状态，只要突破 oc 的 位置，再往后这个角 a o c 的 表达式就要发生变化了。我们再来看一下 o d， 那 o d 呢？它就跑到这个位置， 那此时角 b o c 就 变成了这个角，所以 o e 的 位置大概在这里，显然这个角 d o e 的 表达形式也发生了变化吧。 那经过刚才的这个分析呢，我们基本上就已经找到了接下来分类讨论的标准。同学们看，当 o c 从这个位置转到这个位置转动了，是三十度，他的速度呢，是每秒五度，所以他转到这个位置需要的是六秒。 所以这道题的第一种情况就应该是当时间 t 大 于零，小于等于六秒的时候，此时角 a、 o c， 它是等于三十度减去 五 t。 同学们看角 a、 o c 是 不是等于这个三十度减去它的旋转角度啊？那这样我们就有了角 a、 o c 的 表达式。再看角 d、 o e， 我 把这里面多余的两条线段先给它擦掉啊。同学们看， 此时角 d、 o e 应该是这个角，那这个角呢？前面我们说了，可以写成这个直角减去角 c、 o e 吧。具体我们来写一下啊。 角 d o e， 它是等于九十度减去角 c o e。 我 们又知道 o e， 它是角 c o b 的 角平分线， 所以角 c o e， 它是等于二分之一倍的角 c o b。 也就等于二分之一倍的一百八十度减去角 aoc。 角 c o b， 它可以写成这个一百八十度减去角 a、 o c。 化简一下，它就变成了九十度减去二分之一倍的角 a o c。 那 角 a o c 又等于三十度减五 t， 所以 它就等于七十五度加二分之五倍的小 t， 对吧？因为角 a、 o c 是 等于三十度减五 t， 那 二分之一倍的角 a、 o c 就是 十五度减去二分之五 t， 那 九十度减去这个角，整理一下，它就变成了七十五度加二分之五 t。 有 了角 c、 o e 的 表达式，那这样我们就能得到这个角 d o e， 它就等于十五度减去 二分之五倍的小 t。 现在同学们再来观察，角 a、 o c 是 等于三十度减五 t， 角 d o e 是 等于十五度减二分之五 t。 显然在这种情况下，我们就得到了角 a o c， 它是等于两倍的角 d o e。 那 接下来我们再来看第二种情况，那第二种情况呢？就应该是当 t 大 于六秒，小于三十六秒的情况啊。我们先把这个草图先画出来，同学们看， 此时角 a o c 就是 这个角度，那这个角呢？我们就可以用这个大角减去三十度吧。那这个大角其实就是射线 o c 的 旋转角，也就是五 t， 所以 角 a o c， 它就是五 t， 减去三十度。再看角 d o e， d o e 就是 这个角。 那这个角呢？我们可以看成两部分，可以写成这个九十度，加上角 coe 吧。这里我们写一下角 d o e， 它就等于九十度， 加上角 c o e c o e 是 这个角。因为 o e 是 角 b o c 的 角平分线，所以角 c o e， 它是等于二分之一倍的角 c o b。 那 c o b 又可以写成 一百八十度，减去这个角 aoc， 所以 它就是二分之一倍的括号。一百八十度减去角 aoc， aoc 的 表达式我们已经写出来了，只要把它带进去啊， c o e 的 表达式就有了，那 c o e 的 表达式有了角 d o e 也就能写了。整理一下这个角 d o e， 它就等于一百九十五度，减去 二分之五倍的小 t， 我 们再来对比一下这两个角。角 a o c 是 五 t 减三十度，角 d o e 是 一百九十五度，减二分之五 t。 对 比一下这两个表达式的形式， 我们就能得到角 a o c 加上二倍的角 d o e， 它是等于三百六十度的啊。 同学们看，我们把它扩大两倍，它就变成了三百九十度，减去五 t， 它俩一相加是不是就等于三百六十度啊？那第二种情况下，这俩角的数量关系呢？就应该是角 a、 o c 加上二倍的角 d、 o e 等于三百六十度。 这道题我们就说清楚了啊，同学们注意消化一下我们刚才对于整个细节的分析啊，因为这道题当中的 o d、 o c、 o e 都是在变化的， 那解析的核心呢，就是要找到这个 o c 旋转过程当中的临界状态。因为临界状态一旦确定，那么我们就可以用含 t 的 表达式，把这里的动角 a、 o c 和动角 d、 o e 的 形式都给它写出来。 通过前面四道题的训练，我相信大多数同学对于动角问题的处理方法一定有一些思路了。接下来继续提高难度，把前面引入的角平分线换成角的等分线， 比如还是前面的问题。不过在射线 o b 旋转的过程中，射线 o d 变成了角 b、 o c 的 四等分线，这时候角 b、 o d 的 大小又等于多少了呢？ 首先同学们要明确， o d 是 角 b、 o c 的 四等分线，其实对应的有两种情况，一种是 o d 更靠近 o b 边，另一种是 o d 更靠近 o c 边。 再结合， o b 旋转的角度大于一百八十度和小于一百八十度，也需要分两种情况。所以我们分析角 b、 o d 的 大小时，就需要分四种情况来讨论。首先，当 o b 的 旋转角度时，就需要分四种情况来讨论。首先，当 o b、 o d 的 大小时，就需要分四种情况来讨论。首先，当 o b、 o c 等于十 t， 如果此时 o d 是 更加靠近 o b 边的四个分线，则角 b、 o d 比上角 c、 o d 等于一比三，所以角 b、 o d 等于四分之一倍的角 b、 o c 也就等于二点五 t。 而如果 o d 更加靠近 o c 边，则角 b、 o d 比上角 c、 o d 等于三比一， 所以角 b、 o d 等于四分之三倍的角 b、 o c 也就等于七点五 t。 其次，如果 o b 旋转角度在一百八十度到三百六十度之间，角 b、 o c 等于三百六十度减十 t， 那 么当 o d 更靠近 o b 时，角 b、 o d 就 等于四分之一倍的角 b、 o c 也就等于九十度，减去二点五 t。 相反， o d 更加靠近 o c 时，角 b、 o d 就 等于四分之三倍的角 b、 o c 也就等于九十度，减去七点五 t。 ok， 这就是含有角的等分线的动角问题。很显然，一旦引入等分线，需要我们考虑的情况就会明显增加，难度也就一起提升了，大家一定要注意做好分类讨论。最后，再来看一道涉及等分线的例题， 这道题一共有三个小问，我们分别来看一下。先看这个第一问，他说，如图，角 aob 等于四十度，若角 aoc 等于三分之一倍的角 boc， 求角 boc 的 度数。面对这样的问题，同学们一定要自己动手去画一下。那这里呢？实际上是有两种情况， 第一种情况就是 o c 在 角 a、 o b 的 内部，这种情况下，角 a、 o c 有 可能是角 b、 o c 的 三分之一吧，那么我们把它设为 x， 那 角 b、 o c 的 大小呢？就是三 x， 相当于这个 o c 就是 角 a、 o b 的 四等分线。那简单的计算一下， x 加上三 x 是 不是等于四十度啊？ 所以算出 x 就 等于十度，所以在这种情况下，角 boc， 它就是三十度。那第二种情况呢？哎， o c 还可以去角 aob 的 外面，那也有可能存在角 aoc 等于三分之一倍的角 boc 吧，这个角 它是这个角的三分之一，所以我们把它设为 x， 所以 这个角 aob， 它就应该是二 x。 那 么在第二种情况下呢，我们就得到了二 x 等于四十度，所以 x 是 等于二十度，角 boc 它就等于六十度。所以这个第一小问呢，有两个答案， 三十度，六十度，都是符合要求的。下面我们再来看一下第二小问呢，有两个答案，三十度，六十度都是符合要求的。下面我们再来看一下第二小问呢。图形看起来比刚才要复杂一点啊，但是难度并没有大多少。 他说角 a o c 等于二十度，这个角是二十度， o m 是 角 a o b 内部的一条直线 o m。 在 这里 o n 是 角 m o c 的 四等分线， 且三倍的角 c o n 等于角 n o m。 哎，这个条线非常重要，我们来看一下什么意思，他说 o n 这条射线呢，是角 m o c 的 四等分线，并且 三倍的角 c o n 等于角 n o m。 根据前面我们对于角的等分线的理解，这里我们把角 c o n 设为 x， 那 角 n o m， 它就是三 x。 求四倍的角 a o n 加上角 c o m 的 大小。好，我们来看一下，角 a o n 呢，是这个角，那这个角，显然它是可以写成 a o c 减去角 c o n 吧。 角 a o n， 它是等于角 a o c 减去角 c o n， 也就是二十度。减去 x。 我 们再来看一下这个角 c o m。 那 角 c o m 指的是这个大角，那这个角它不就是这个角，加上这个角，也就是四 x 吧。所以这个角 c o m， 它就等于角 c o n 加上角 m o n 等于四 x。 现在我们把这个角 a o n 还有角 c o m 都用含有 x 的 表达式写出来了吧，所以这样我们就得到了四倍的角 a o n 加上角 c o m， 它就是 八十度，减去四 x， 再加四 x， 结果就等于八十度。所以这个第二问，只要同学们理解了四段分线，然后设 x， 把这两个要求的角都给他表示出来，那最终就能算出这两个角的和，哎，他就是一个定值啊，八十度。 接下来我们再来看这道题的第三问，这个第三问还是比较复杂的，因为接下来在解决这个问题的过程当中，我们需要分多种情况进行讨论。他说角 a o c 等于二十度，这个角是二十度。这里说明一下，角 a o b 始终是等于四十度啊。这个是前面题干当中给到的条件， 射线 o m 绕着 o 点，从 ob 开始，以五度每秒的速度逆时针旋转一周，直到 ob 结束。什么意思呢？有一条射线 o m， 它是从 ob 的 位置 逆时针旋转，哎，旋转一周，速度是每秒五度。在旋转的过程当中，射运动的时间为 t o n 是 角 m o c 的 四等分线，且三倍的角 c o n 等于角 n o m。 我 们来理解一下这句话，比如说假设 o m 转到了这个位置， 那角 m o c 就是 这个角，他说 o n 是 角 m o c 的 四等分线，并且三倍的角 c o n 等于角 n o m， 那 o n 大 致就在这个位置，这里就是角 c o n， 这个就是角 n o m。 根据前面我们对于这个角的等分线的理解， o n 这条边肯定是更靠近 o c 的， 对吧？当 t 在 某个时间范围内， 四倍的角 a o n 加上角 b o m 会是一个定值，让我们写出这个定值，并且指出对应的时间 t 的 范围。通过前面几道题的讲解，我相信大多数同学在做这道题的时候，应该会有一个大方向了。要想求出这两个角的和是不是一个定值， 那首先我们需要想办法把这个角 a o n 和角 b o m 都用含 t 的 表达式给它写出来吧。要想写出这两个角的表达式，那我们就得仔细的去分析一下 当这个射线 o m 在 运动的过程当中，这个角 a o n 和角 b o m 的 位置，下面我们一起来分析一下。角 b o m 指的是这个角 o m 的 速度是每秒五度， 经过时间 t， 它的旋转角就应该是五 t 角 a o n 是 这个角，怎么表示这个角呢？ o a， 它是一条固定的射线，所以这个角的大小它是由这个射线 o n 决定的吧。 那我们知道，在这个 o m 旋转的过程当中，这个射线 o n 的 位置也会发生变化，因为它始终要保证是这个角 c o m 的 四等分线。 比如说当 o n 在 这个位置的情况下，那这个角呢？我们就可以写成角 a o c。 减去角 c o n， 那 c o n 它又是四分之一倍的角 c o m c o m 又可以用这个六十度减去这个五 t， 所以这个角 a o n 它一定是可以用含 t 的 表达式写出来的吧。但是同学们继续看，随着这个 o m 不 断的旋转，直到这个射线 o m 它旋转的位置突破这一条射线，比如说 c m 转到了这个位置， 同学们看，那现在角 b o m 就是 这个角，这个角依然可以用五 t 来表示吧，但是这个 o n 的 位置就已经发生变化了。 同学们看， m o c 就 变成了这个角，那 o n 作为它的四等分线，还得要保证三倍的角 c o n 等于角 n o m， 那 o n 大 致就跑到了这个位置。在这种情况下，角 a o n 是 不是就变成了这个角了呀？此时这个角的表达式就已经发生了变化吧，它就应该变成这个角加上这个角了。所以我们会发现， 当 o m 旋转的角度大于六十度以后，角 b o m 的 表达式没有发生变化，但是角 a o n 的 表达式已经发生了变化啊。这样的话，我们第一种分类情况其实就已经出来了。那为了后面方便同学们的理解，我们可以把这个 o m 旋转的角度 用字母阿尔法来表示。那第一种情况就应该是，当这个阿尔法角在零到六十度之间， 这个 o m 的 速度是五度每秒，对应的旋转时间就应该是零到十二秒。那接下来我们就来看一下 t 在 这个时间段内，角 a o n 和角 b o m 的 表达式怎么写。 我把这个图重新画一下，看起来有点乱，同学们看，我们可以先把这个角 b o m 写出来，因为它是比较好写的，它的速度是五度每秒，那时间 t 内它转动的角度就是五 t， 角 b o m 就 等于五 t。 再看角 a o n， 那 这个角呢？我们可以写成角 a o c。 减去角 c o n， 那 角 a o c， 我 们是知道的，它是等于二十度。角 c o n 呢，它是等于四分之一倍的角 c o m 吧。角 c o n 等于四分之一倍的角 c o m， 那 角 c o m， 我 们又知道，可以写成六十度，减去五 t， 也就等于四分之一倍的括号，六十度减去五 t。 整理一下这个表达式，我们就能得到，角 a o n， 它是等于五度，加上四分之五 t。 角 b o m 的 表达式有了，角 a o n 的 表达式也有了，所以就能得到 四倍的角 a o n。 加上角 b o m， 它是等于二十度加十 t。 显然在零到十二秒这个范围内，这个四倍的角 a o m 加 角 b o m， 它的值不是一个定值吧。那下面我们再来看第二种情况。这个第二种情况下呢，我们要讨论的就是，当 o m 旋转的角度在六十到一百八十度之间， 那为什么是在六十度到一百八十度之间呢？刚才我们已经说过，当 o m。 旋转的角度突破这个六十度以后，角 a o n 的 表达式就会发生变化吧。当射线 o m。 旋转的角度突破了这个一百八十度，比如说 o m 转到了这个位置， 那么此时角 b o m， 它就是这个角嘞。那这个角的表达式，它就不再是刚才的五 t 了吧。 所以接下来我们讨论的第二种情况呢，这个旋转角阿尔法，它只能在六十到一百八十度以内， 因为在这个时间段内，角 b o m 以及角 a o n， 它们的表达式都是统一的啊。那那个时间 t 呢？我们来算一下，就应该是 大于十二秒，小于等于三十六秒。此时角 b o m， 它的表达式依然是五 t， 因为 om 旋转的速度是五度每秒，那时间 t 内它转动的角度就应该是五 t。 角 a o n 呢， 它就是这个角，那这个角呢？它就可以写成角 a o c 加上角 n o c a o c， a o c 还是二十度。 角 a o b 还是四十度。角 a o n， 它就等于角 a o c 加上角 c o n， 这个角依然是二十度。那么角 c o n， 我 们说它始终是等于四分之一倍的角 m o c， 那 现在这个角 m o c， 它就变成了这个角 b o m 减去这个六十度了吧，所以它就等于 四分之一，括号五 t 减去六十度。连立这两个等式，我们就能得出要求的。这个角 a o n， 它的表达式 就等于五度，加上四分之五 t b o m 的 表达式有了，角 a o n 的 表达式也有了。所以 四倍的角 a o n 加上角 b o m， 它就等于十 t 加二十度。所以当 t 在 十二到三十六这个时间段内，四倍的角 a o n 加上角 b o m， 它们的和依然不是一个定值半。 那这样我们把第二种情况也就说清楚了。接下来我们再来看第三种情况。第三种情况下，这个旋转角阿尔法，他就在一百八十度到二百四十度之间，也就是说 o m 在 这个角度内旋转。 下面我们来重点解释一下二百四十度这个临界值又是怎么得到的？那其实逻辑跟前面是一模一样的。刚才我们讲过，当射线 o m 转到了这个一百八十度的下面，也就是说它的旋转角度超过了一百八十度，那么角 b o m 就 变成了这个角吧。这个角的表达式呢， 和刚才一百八十度以内的是不一样的了。比如说我们要求的这个角 b o m， 在 这个状态下，它就可以写成 这个周角三百六十度，减去它的旋转角五 t， 而且随着这个 o m 不 停地往后旋转，直到和 o b 重合，这个角度的表达式 都不会发生变化。那么为什么还要分二百四十度这个区间再讨论呢？哎，原因就是角 c o m 的 表达式发生了变化。这个就是这道题最难的一个部分， 我们在考虑分类讨论的时候，是需要同时去思考这两个角度的形式是否都统一。接下来角 b o m 的 表达式虽然统一，但是这个角 c o m 它是会发生变化的呀。同学们看， 当 o m 旋转的位置只要突破了这个二百四十度，比如说 o m 转到这里来了，那么角 c o m， 它就变成了这个角，那显然它的表达是又要发生变化了。 角 c o m 的 表达式发生了变化，那么角 c o n 的 表达式就发生了变化。角 c o n 的 表达式发生了变化，那么角 a o n 的 表达式是不是就发生了变化呀？ 所以这就解释了为什么第三种情况下，我们讨论的 om 旋转的范围呢？它是在一百八十度到二百四十度之间，只有在这个区间内同时满足角 b o m 和角 c o m 的 表达式都是统一的。 此时角 b o m， 也就是这个角，它是可以写成这个三百六十度，减去它的旋转角吧？那这个旋转角始终等于五 t 吧，所以角 b o m 就 等于三百六十度减去五 t， 角 a o n， 它就等于角 a o c 加上角 c o n， 对 吧？这个角等于这个角度，加上它，角 a o c 依然是二十度。那角 c o n 呢？ 同学们看，它始终等于四分之一倍的角 c o m， 角 c o n， 它是等于四分之一倍的角 c o m， c o m。 这个角度呢，我们可以用这个五 t 减去六十度吧，等于四分之一，括号五 t 减去六十度。 那整理一下这两个等式，就能得到角 a o n， 它是等于五度，加上四分之五 t。 角 b o m 的 表达式有了，角 a o n 的 表达式有了，所以在这个范围内， 四倍的角 a o n 加上角 b o m， 它们就等于四括号五度加上四分之五 t， 再加上三百六十度， 减去五 t， 哎，整理一下，发现刚好等于三百八十度。当阿尔法角的旋转角度在一百八十度到二百四十度之间，此时这个时间 t 就 应该是大于三十六秒，小于等于四十八。 在这个时间段内，我们讲这两个角的和它就是一个定值了，对不对？ ok， 再接再厉，我们再来看第四种情况。这个第四种情况呢？这个旋转角阿尔法，它是在二百四十度和三百四十度之间，也就是说射线 o m， 它在这个范围内旋转。 这个三百四十度的临界点又是怎么来的呢？前面我们说，当射线 o m 旋转的位置突破这个二百四十度以后，角 c o m 的 表达式就发生了变化吧，它就会写成角 c o b 加上角 b o m， 再往后，比如说当它转到这个位置， 那么角 c o m 的 表达式还是和刚才是一样的吧。那么为什么还要框定一个三百四十度的临界点呢？这又是一个非常容易出错的点，原因就是当射线 o m 在 这个范围内旋转和在这个范围内旋转， 射线 o n 的 位置会发生变化， o n 的 位置发生变化，角 a o n 的 表达式不就发生变化了吗？比如说，当这个 o m， 它恰好转到了三百四十度这个位置， 这里原来是六十度，那这个角度它是三百四，所以它就是二十度，这个角是八十度。我们又说 o n 始终是角 c o m 的 四等分线，那此时这个 o n 它就会和这个 o a 重合，哎， 对不对？好，这个角等于它的四分之一射箭 o n 和 o a 是 不是重合啊？所以 o m 再往上转的话，那 o n 就 会跑到这个位置。所以这就引出了下面我们需要讨论的第五种情况， 当旋转角 r 大 于三百四十度，小于等于三百六十度。第四和第五种情况主要考虑的就是射线 o n 和 o a 的 位置状态，这里对应的时间 t 的 范围呢， 它就是大于四十八秒，小于等于六十八秒。那这里对应的时间 t 呢，就是大于六十八秒，小于等于 七十二秒。那么接下来同学们需要做的就是分别在这两种情况下，把角 b o m 的 表达式和角 a o n 的 表达式分别给它写出来。比如说在第四种情况下，那角 b o m 的 表达式 和前面是一样的吧，它始终等于三百六十度减五 t， 那 角 a o n 呢？它就可以写成角 c o n 减去角 a o c。 那 再往后整个的处理方法和前面我们讲的三种情况是一模一样的， 所以接下来计算的过程就交给你们了啊，如果同学们听懂了的话，我相信这个第四和第五种情况你们肯定能够搞定啊。那最终计算的结果，第四种情况下呢，这俩角的和不是一个定值，但是在第五种情况下，求出来这两个角的和是一个定值，等于二十度。 那到这里，我们就把这道题的五种情况给同学们全都说清楚。那希望这道题呢，同学们自己一定要花时间好好的去消化一下啊，最好听完以后呢，自己把这道题完整的再做一遍，看看你能不能做到清晰明了的把五种情况都分别写出来。 以上就是本节课的所有内容，复盘一下。在处理动角问题的时候，核心思路就是做好分类讨论，而分类讨论的关键就在于处理好射线旋转是否超过一百八十度这一个分界点。 当然，如果题目中出现了等分线，那等分线的位置也是需要注意的。这节课就讲到这里，咱们下节课再见！拜拜！

好亲爱的家长同学们，大家好，我是花老师，又见面了啊。今天呢，跟大家分享的一道是说冻脚问题，那冻脚问题呢，一般出现在初一啊，上学期的期末考试压轴题，这个概率还是比较高的啊，除了冻点问题之外，这冻脚问题，这个可以说也是个难点啊。 来看这道题，如图，直线 m n e f 相交于点 o， 角 m o e 等于六十度。 我们把屏幕前使劲点，角 m o e 等于六十度，这个角它是六十度， o a 平分角 m o e。 哎，有个平分角我可以知道，角 a o m 和角 a o e 我 就知道了，都应该等于三十度，我给它标出来三十度， 但是还有一条线，直角三角形 a o b， 它应该是直角这个地方。 第一问，当边 o b 落在射线 o n 上的时候， o b 落在 o n 上，大家看现在的位置，这个 o b 和 o n 它是在一个角度的， 当它落在 o n 上，就是它顺时针旋转的时候， o b 和 o n 重合。问，这时候旋转的角度度数是多少？实际上就叫你求什么。题目里边这个角 b o n， 它的度数是多少 啊？我们刚才已经分析题目了，里边一些特殊的角，重要的角已经标出来了，要求角 b o n。 我 只需要拿这个平角去减去，我已知角角 a o m 三十度，角 a o b 是 个直角九十度，所以我拿一百八十度减去三十度，减去这个九十度，就等于六十度低温就做出来了。 第一问的第二小问，求角 a o b 被直线 e f 平分的时候，旋转角的度数。有重要条件是 a o b 绕点 o 顺时针旋转一周的过程 顺时针旋转，首先搞清楚，顺时针和逆时针不能反了啊，那你直接写出这样的一个结果是多少啊？它要转多少度？ e、 f 注意的是 e、 f 这里面它是不动的，那 e、 f 不 动，只动三角形 a、 o、 b。 这个问题就比较简单，我们来看一下这里面的角的特殊角的一些度数啊。首先这个 e、 f 和 m、 n 它们成六十度角，而且三角形 a、 o、 b 是 顺时针旋转的， 要想 e、 f 平分角 a、 o、 b 的， 因为这里标注了三十度角的呢？这旁边是六十度角， 如果顺时针旋转啊，大家可以想一想，他什么时候啊？最容易发现的一种情况是什么？我把三角形 a、 o、 b， 我 沿着逆时针，我稍微转一下，其实就平分了，对吧？这是三十度，我是不是向左转十五度， 就是让三十度角变成四十五度角，让六十度角变成四十五度角，是不是就符合题了？这就是我们这个图里面画的啊，这种情况让它等于四十五度， 那他也是四十五度了，之前是三十度，现在变成四十五度，我只需要逆时针转十五度，但是他问的什么顺时针去转啊？这个地方顺时针旋转 可想一下，逆时针旋转十五度，那对应的顺时针旋转想转到这个角度的话，应该是，是不是拿三百六十度减去十五度 啊？这是第一种情况，我直接拿三百六十度减去十五度，三百四十五度， 这是其中的一种情况。好，另外一种情况大家可以想，可以想象一下，我已经把图标出来了，当这个三角形 a、 o、 b 转的时候， 转到哪个角？转到 m n 这条直线下边下方的时候啊，这时候角 a、 o b 是 不也有可能被直线 e、 f 啊？平分，那平分之后，这个直角就会分成两个四十五度角， 那怎么去求这个转的角度呢？我们说要根据某一条边或者是某一条线啊来作为精准看到旋转的角度。很明显这里面呢， o a、 o b 我 实际上都可以用，对吧？ o a 开始的就在这个位置啊，现在转到这来了，我大家把图画一下啊， o a 开始的时候 应该是这个位置，我把这个标个 a 撇，这个标个 b 撇，因为我只需要看 o a 到 o a 撇这个角度是多少 就可以了。那这个角度是多少呢？我们结合最开始这个图形来看看。之前 o a 在 这个角度，大家可以看到角 a、 o n 是 多少度，是不是等于一百八十度，减去这个三十度 等于一百五十度，然后再往外转，转多少？实际上再多转这样一个小的角度，就转到 o a 撇，就是我想要的啊，平分的这样一种情况，那转到这个地方的时候，这个角是多少？我如果能求出来是不是就很好办了？那怎么求呢？ 角 n、 o f 这个角是多少度？ n、 o f 它是不是等于角 e、 o f 它们点是对顶角，所以这个角 n、 o f 应该是等于六十度。 角 a o f 又是平分出来等于四十五度，那么我要求的角 a、 o n 就 出来了，就等于十五度。也就说这个 o a， 它先转了一百五十度之后，然后再转十五度，就可以到了 o a 撇的位置， 这个就是它旋转的角度。我们写一下第二种情况，角 a、 o、 n 等于一百八十度，减去三十度等于一百五十度 啊，一百五十度呢？再加上角 a、 o、 n 啊， a 撇 o n， 对方 a 撇 o 啊，最后得一百六十度。那如果第二位我们觉得还好的话，是因为什么？ e、 f 是 不变的，然后只旋转三角形 a、 o、 b。 这个情况对我们来说可能没那么难，那么第二位 就可能，我可以用四个字形容啊，丧心病狂，你看是不是？如果三角形 a、 o、 b 和直线 e、 f 分 别以每秒四度十二度的速度到点 o 旋转，也就是说三角形 a、 o、 b 在 转， e、 f 也在转，这个有点像什么？有点像我们前面学的动点问题。一个数轴上几个点同时在运动，这个情况就复杂了。 设运动时间是 t， 当直线 e、 f 平分角 b、 o、 n 的 时候，求 t 的 值， e、 f 怎么平分角 b、 o、 n。 有 同学可能题目意思还没读明白， 来我们把里边重要的信息来标注一下。三角形 a、 o、 b， 它是以每秒四度的速度顺时针旋转，同样的 e、 f， 它也是顺时针旋转，它的速度是每秒十二度。 那你当直线 e、 f 平分角 b、 o、 n 的 时候，求 t 的 值，那什么时候平分呢？我们来看一下它们的速度不一样， e、 f 明显速度快一些，快很多啊。 那这个运动过程中会出现什么情况？那现在看这个 e、 f， 我 可以认为它处在什么？这个三角形 a、 o、 b， 这个 o、 b 这条边的左边，在 当它运动过程中，在旋转的过程中，它是不是会有一个时刻会跑到 o、 b 的 右边，也就是跑到角 b、 o n 之间去，这时候就存在平分的可能，对吧？我先做出这样一个判断啊， 那 o b 和 o e 它什么时候到 o n 呢？这个信息就很关键了。来，我们先算一下， 我们看 o b 什么时候到 o n， 我 们知道角 b、 o n 是 多少度，因为你求出来了六十度，直接拿六十度去除，以它对应的速度，每秒是四度，所以是十五秒。 而 e f 所在直线啊，它要跟 m 重合的时候，也就是说 o e 这条直线啊，要跟 o n 重合，那么对应的时间多少？应该是，是不是一百多少度？是不是一百二十度去除以对应的速度啊？一百二十度去除以每秒十二度， 十秒。哎，得到这个信息，哎，我们是很开心的，对吧？ o e 是 比 o b 要先到达 o n， 也就说这个 o e 在 某一时刻，它应该是正好介于 o n 和 o b 之间，正好平分，这个角比 o n 好， 这个信息得上很关键啊。第一问，我们基本上就知道怎么去做了，这个角和这个角相等，它应该都等于这个大角的 一半啊。角平分线得到对应的数量关系，我可以由这个数量关系去列方程去解析。来，先看一下这里面哪些角用到哪些角呢？我可以把角 b、 o e 表示出来吗？ 好像不好表示，对吧？我可以表表示角 b o n， 不， 这个应该能表示。我能不能表示角 e、 o n 呢？也可以表示，也就是我要把角 e、 o n 都写这啊。角 e、 o n 表示出来， 角 b、 o n 表示出来，它们之间存在什么样的数量关系？应该角 e、 o n 应该等于二分之一的角 b o n。 有 这样的数量关系之后，方程列出来，这个题就能做出来。来看怎么表示角 e o n？ 看这个角多少度，应该是拿一百八十度减去这个六十度，应该是一百二十度，它现在呢？转到 o e 撇了，转到这个位置， 我实际上只需要它转动的角度是多少，我拿总的角度开始这个角度减去它转动的角度，是不是就剩的这个角一撇 o n 的 角度？那先写一下 第一种情况呢？角一撇 o n 应该是等于原始的角 e o n 减去 e o e 撇， 这里边角 e o n 刚才说了是一百二十度，那角 e o e 撇呢？是不是就是 o e 所在的直线？它转动的角度，它的速度是每秒十二度，对应的时间是 t， 直接一百二十度减去十二 t， 就 把这个小的角表示出来了。好，另外再表示什么？角 b o n， 角 b o n。 这里边还是把它这个 b 标成 o b 撇吧，因为它动了啊。角 b 撇 o n， 它的度数能不能表示出来？ 我拿角 b o n 去减去这个角转动之后的这个角啊。 b o b 撇 b 撇 o n， 应该是等于角 b o n 减去角 b o b 撇，角 b o n 刚才说是六十度，那 b o b 撇速度乘时间四 t。 好，写到这儿之后再看下。接下来就简单了，我只需要根据它们的等量关系把方程列出来就可以了。一百二十度减去十二 t 等于二分之一，六十度减四 t。 好， 我们计算一下啊，这边是三十减二 t， 过来一看，十 t 等于九十啊， t 等于九。 这是第一种情况好看。第二种情况，有些人说是不是就这一种情况啊？还有一种情况啊，看隐藏在哪？我这个地方是 o e 去平分角 b o n， 那 么有没有可能是 o f 平分角 b o n 呢？ 思考一下，哎，同学发现了，是可以了，图形画出来了啊，为什么会出现这样的情况？我们看 o e， 这个速度要快一些， 它只要超过 o b 之后，它就会一直在 o b 的 前面，所以 o e 要平分角 b o n。 实际上只有这样一种情况，它不会再平分它了。那接下来当 o e 转到一定角度时，转到大家看我画的这样的角度啊， 当 o f 处在角 a、 o b 之间的时候，那么它有没有可能平分角 b o n 呢？这种情况是存在的。同样的，我们来一起也要表示一下这些角啊，你既然 o f 是 平分角 b o n 的， 哎，这三个角我们看哪些能够表示出来？ b o f， 很 明显这个是不好表示的，角 f o n， 我 可以表示出来，对吧？角 b o n， 我 也可以表示出来，那么是不是相当于第一种情况，我也能找到这样的等量关系，应该是角 n o f， 它可以等于二分之一的角 b o n。 好， 为了跟前面的做区分，我给它标什么？标一下它的图标啊。 f， 我 可以画两撇 b 呢，我也画两撇， 就是角 n o f， 两撇应该等于二分之一的角 b 撇 b 两撇 o n， 这个角应该等于整个大小的一半。来，我们看一下角 n o f 撇怎么表示？换颜色的笔 也是我要求这个角的度数，这个角实际上它是 o e e f。 这条直线转到这个地方， 那这个地方怎么表示？有点有点难啊？因为它是转的度数还是比较大的，它本来这个 o e 在 这个位置，然后它转的相当，相当于转了快一周的时候，这个 o f 是 不是又又跑到这个角度这个位置来了？那么到底转多少度呢？ 我们借助这个图形来一起分享这个图形啊。它开始这个位置，它要转是大概是转到这个位置， 这是它转过的角度，它的速度有时间也有，我直接给它表示出来，应该是十二乘 t， 是 不是它的速度是十二，时间是 t， 那 么十二对应的 t 秒内，它转的角度应该是这个，但是我要角是哪个角？ n o f 两撇 这个角，那么我就可以把它转动的角度我再剪掉这一部分。大家看一下，我转到这一部分，我要求的是下边这个角，我只需要拿总的转转的角度剪去这边一部分，那这个部分是多少呢？我们看一下图能不能表示出来， 也就是这个角是多少，这个是一百八十度，这个多少度，这个应该是一百二十度，对吧？总共应该是三百度，所以我只要拿十二 t 减去三百， 是不是就把角 n o f 撇表示出来了啊？同样的，我要表示的是 n o b 撇， 这就比较好表示了。因为什么 o b 从哪转的？ o b 是 从这个角度开始转的，转到现在这个位置，所以它的速度有时间有四度 t 再减去多少度，是不是减去个六十度就可以了？ 好，把找出来之后，我们再根据等量关系啊，这个方程不对了，应该十二 t 减三百度 等于二分之一的四， t 减六十。好，快速的算一下，这边是二， t 减三十 十， t 等于二百七十， t 等于二十七。 这道题有两种情况啊，一个是等于九，一个等于二十七。最后我们总结一下，当 t 等于九或者二十七的时候，会出现 e f 平分角 b o n。 好， 这道题我讲完了，大家可以啊认真的思考一下，因为这个题综合性还是比较强的，基本上是亚洲题啊。亚洲题都差不多是这样的一种情况， 就是两个图形都在动，一条直线在动，一条，一个三角形也在动。好，大家看懂了没有？好，今天的知识分享就到这啊。

平行线间的相关模型有很多，主要分为这三大类，铅笔家族、猪蹄家族、鹰嘴家族。同学们千万不要死记硬背，今天薇薇老师带你一次性彻底讲明白他们的本质方法，那就是过拐点做已知直线的平行线，这类问题全部可以了解， 我们一起来看。薇薇老师已经把线段角、相交线与平行线的核心考点，考勤分析、目标导航、思维导图、经典例题和练习以及详细解答过程整理成了线段角、相交线与平行线经 典必刷题型。看完这个视频再拿去给孩子练习，练完考试直接拿满分，需要的家长我发您一份。 当我们过拐点做平行线后，根据平行公里的推论，这些水平的直线它们都是互相平行的。那我们先来看铅笔家族， 它的特点呢，就是在平行线之间出现了同方向的拐点，因此呢，它会形成 u 字形的同旁内角。在第一幅图当中，有上下两个 u 字形，因此呢，它就有上下两组同旁内角， 而每一组同旁内角的和应该是一百八十度，所以这里就有两个一百八十度。那我们把这三个角角 b 一、 b 二、 b 三给它加起来就应该等于一百八十度乘以二，也就是三百六十度。 接下来我们来看第二幅图，这里出现了三个 u 字形，那么就有三组同旁内角，所以呢，它们的角度之合就应该是三个一百八十度。 因此这四个角的和角 b 一、 b 二、 b 三、 b 四加起来就应该等于一百八十度乘以三，等于五百四十度。所以我们来总结一下，三个角的和等于一百八十度乘以二， 四个角的和等于一百八十度乘以三，那么 n 个角的和就应该是一百八十度乘以 n 减一的差，所以我们把这 n 个角给它加，加到角 b， n 就应该等于一百八十度乘以 n 减一的叉，这就是我们的铅笔家族。接下来我们来看猪蹄家族，猪蹄家族的特点呢，就是在平行线之间出现了不同方向的拐点，所以它会形成 z 字形的内错角。我们先来看第一幅图，它有上下两组 z 字形， 那第一组 z 字形，这一组相等的内错角，我们给他标记为 r 法，右边一个 r 法，左边一个 r 法。第二组内错角，我们给他标记为贝塔，左边一个贝塔，右边一个贝塔。所以中间这个角角 e 呢，他就等于 r 法加贝塔，也就等于角 b 加角 e， 所以角 e 等于角 b 加角 d。 接下来我们来看第二幅图，哎，拐点变多了，那么 z 字形也就变多了。每一组 z 字形呢，都会提供一个左右相等的一组角，所以第一组 z 字形， 哎，我们把它记为一号角，右边一个一号角，左边一个一号角。第二组 z 字形，我们把它记为二号角，左边一个二号角，右边一个二号角。第三组 z 字形，我们给它标记为三号角，右边一个三号角， 左边一个三号角。最后一组我们给它标记为四号角，左边一个四号角， 右边一个四号角。接下来我们来观察一下顶点朝左边的角，它一共有四个小角，那就是一二三四四个角，顶点朝右边的角呢，它也有四个小角，一二三四， 所以我们可以把顶点朝左边的这四个小角加起来，就应该和顶点朝右边的这四个小角的和它们应该是相等的，因此我们就有顶点朝左边的角，角一一加上角一二，等于顶点朝右边的角角 b， 加角 f， 再加角 d。 所以 结论就出来了啊， 角一一加上角一二，等于角 b， 加角 f， 再加角 d， 我 们把它推广到 n 个角。同样的道理，顶点朝左边的角之和，就应该等于顶点朝右边的角之和。所以猪蹄模型的结论，那就有左角和 等于右角和，这就是猪蹄家族的一个特点。接下来我们来看鹰嘴家族， 它的特点呢，就是这个拐点在这一组平行线的外侧，那我们同样的方法，仍然是过拐点去做平行线，所以呢，它会在平行线间形成 z 字形的内错角。我们先来看第一幅图， 哎，我们可以通过这个 z 字形，把角三给它爬楼梯转移上去，给它内错上去。 根据第二组 z 字形，我们可以把这个角一呢给它内错上去，因此角一里边就有角二和角三两个角，那这三个角的关系也就是角一等于角二加角三。 来到第二幅图，同样的道理，这里边出现了两组 z 字形，我们可以把这个角二给它爬楼梯内错上去， 哎，然后这个角三呢，也给他内错上去，所以这个角三里边就有角一和角二两个角，因此这三个角的关系，角三等于角一加角二， 哎，到现在为止呢，平行线间的这三大家族模型我们都给同学们讲完了，总结一句话，那就是过拐点做已知直线的平行线，主打一切，你学会了吗？关注微微老师，学习如此简单！

期末冲刺的第十一天了，那今天呢，也是恰逢我们跨越二零二五到二零二六年的重要的一个跨年夜，那今天晚上呢，我们将带领大家来拆解一道我们的压轴题里面的比较难的动角题目， 那这道题呢，也是我们去年即墨区的一个压轴题，今天晚上我们看一看如何用简单的思想，简单的做题思路，我们来解决掉。它 说这个时针 o n 是 每秒转二十四度，时针 o b 每秒转六度，时间为 t。 跟所有的动点和动角题目一样，我们知道了它的速度，知道它的时间，是不是就可以把它的路程表示出来，对不对？那它的路程就应该是二十四 t， 它就是六 t， 那 好，我们来图上来看， 他说括号一，若时针 o a 和 o b 同时从 om 开始顺时针旋转，也就是都是从这开始旋转，对不对？那这个箭头我可以表示 o a， 那 它移动的路程是不是就是二十四 t？ 那 好，我再来一个箭头，它也从这开始转，它移动的路程就是六 t 啊，对吧？那他说当 t 等于二的时候， n 等于多少？那 n 是 什么呢？是角 a o b， 也就是 o a 和 o b 形成的这个夹角，那 o a 移动到这， o b 移动到这的话，那这个角 a o b 是 不是指的就是这里呀？对不对？那这个假角我们又可以看作什么呢？是不是就看作他俩的路程差呀，对不对？大家把这个圆可以想象成一个什么，哎，是不是可以想象成一个环形跑道，对不对？他俩是不是就差的就是这一段呀？ 那对于这一段来说，其实就是他们俩的路程差，那我们就可以理解为路程的问题的话，先跑的这个 o a， 那 二十四减去慢跑的这个速度，再乘上他们的时间，那再乘上二，是不就应该等于他们的路程差呀？ 那就应该等于三十六，对不对？哎，所以第一问我们就解决了，那好，我们再来看这个圈。二，说当时针 o a 从 o m 旋转到 o n 的 这个过程当中，哎，也就是在这个旋转一百八十度的这个过程当中， t 等于多少时？时针 o b 与 o a 互相垂直，我们再把它转化成路程的思想，相互垂直指的是什么呢？是不是这个角为九十度，对不对？那也就是如果我们转化成路程的话，路程差多少啊？哎，路程差九十， 那刚才他们的速度和时间我们都有了，那就应该让什么速度差，乘上时间是不是等于差的这九十啊？对不对？那速度差还是二十四减六啊？哎，乘上时间，现在是时间变为 t 的， 对吧？让他等于九十，那我们应该解的 t 等于多少？哎，解的 t 等于五，那好，我们再来看这个括号。二， 他说时针 o a 从 o m 开始顺时针旋转，时针 o b 从 o n 开始逆时针旋转，哎，刚才他们两个都是同向出发，现在这变成什么了？哎，如果转化成我们路程当中的就是相向运动，对不对？ 哎，这是 o a， 这是哎 o b 啊，那同样的他们的移动的路程我们还是要标出来，哎，一个是二十四 t， 一个是六 t， 他说在 o a 与 o b 第二次重合之前，求 t 为和值时， n 等于六十，那刚才我们已经转化过一次了，这个 n 代表的就是它俩的夹角，对不对？ 那在实际上我们如果看成行程的话，指的就是什么呀？是不是路程呀？对不对？那就是告诉我们说 t 为和值时，它俩的路程差为六十， 这就是一个环形跑道上的相遇问题，那我们可以想象到什么，哎？在他们第一次相遇之前，是不是可以有一个为六十？那同样的还有一个什么？他俩相遇之后是不是同样的还有一个六十？那在接下来 第一次相遇结束之后，这个重合我们就看作是相遇，对不对？那第二次相遇之前是不是还可以构成一个六十啊？那所以说是不是会有这么三种情况呀？那好，我们来写一下啊，也就是第一种情况是第一次相遇之前 n 等于六十，那我们就可以看第一次他俩的路程的总和应该是要跑多少呀？哎，是不是整体这半圆是多少？一百八，对不对？一百八，一百八跑没跑完呀？哎。没跑完还剩下六十，对不对？那也就是二十四，再加上六 速度和乘上时间，应该等于他俩跑的路程和，对不对？那一百八没跑完呀？还剩下多少？还剩下六十，哎，这是不是第一次他们的这个 n 等于六十的情况，那我们解的 t 应该等于四，那好，那么第二种情况， 那也就什么他们把这半圆跑完了之后，是不是又多跑了六十？那也就是速度和乘上时间 t 应该等于一百八，跑完了，哎，又多跑了六十，那解，这个时候我们解的 t 应该是等于八，那我们再来看第三种情况，也就什么， 哎，是不是第一次相遇之后，再到第二次相遇之前了？第二次相遇之前 n 等于六十。那根据我们之前在课上所学的环形跑道的相遇问题，当他们第一次相遇之后，想要再下一次相遇的时候，他们应该跑多少呀？ 是不是他俩的路程和要跑完这一圈才是下一次相遇啊？对不对？所以说第二次相遇的时候，他们是不是应该跑了一百八，再加上完整的一圈了，对不对？再加上一个三百六，那这三百六跑没跑完，肯定没跑完，对不对？因为他们是相遇之前还差了六十，所以是 速度和乘上时间，这个时候是一百八，跑完了，再加上三百六，这就是第二次相遇了，但是还没有相遇，我们应该减掉他相遇之前的这六十，那这就是第二次相遇之前 n 等于六十的情况。那么解一下，我们就解的 t 等于十六， 所以说这个括号二的圈一是我们就解决完了，哎，所以说 t 应该等于多少啊？ t 可以 为四秒、八秒或者哎，十六秒啊。那我们再来看这个圈二，他说 o a 与 o b 第一次重合后，第四次重合前直线 m n 要平分这个角 a o b。 好， 我们先来看一下啊，他说第一次重合后，第四次重合之前，那我们想一下，第一次重合的时候是什么时间呀？ 那第一次相遇的时候，应该是他俩的路程和为路程和为一百八的时候，对不对？那我们可以先把这个重合的这几个时间节点 求出来啊。那第一次的话，那时间应该怎么求？那就应该是速度和乘上时间 t， 他 就应该等于跑完的这一百八，对不对？那我们解一下， t 应该等于六， 这是第一次，那么第二次，第二次他们重合的话，按照刚才我们所说就是什么？在一百八的基础上，他们，他们是不是得多加一圈才会相遇啊？对不对？那所以就是二十四加上六 t 应该等于一百八，是不是再加上三百六，这就是他们第二次重合， 那解的 t 应该是等于十八，第三次重合，那就干什么？哎，再加一圈是不是？那就是一百八，再加上个三百六，乘上个二，那解的 t 就 应该等于三十，那第四次 也就是二十四加上六乘以 t 应该跑几个三百六了，哎，应该跑三个三百六了，对不对？那解的 t 就 应该等于 三十，那这是他几次相遇的时间节点啊？那我们一个一个的来看，他说第一次相遇之后，那第一次相遇的时候 t 等于六，对不对？那这个时候，哎，大概是在这么个位置上，他们俩相遇了， 那接下来 o b 是 不是要继续逆时针旋转？哎， o b 可能位置在这了，那对于 o a 来说，它是不是从这个相遇的节点结束之后？哎，它是不是应该往下旋转？ 那 m n 要去平分这个角 a o b， 所以 必须要 o a 旋转到什么地步？哎，是不是旋转到这个 o n 的 下方来，对不对？那这个时候可以形成一个 平分，那在这里平分的话，相当于什么？哎，是不是这个角 b o n 应该等于这个角 n o a 啊，对不对？哎，这下面这是 o a， 那 对于上面这个角 b o n 来说，这是什么？我们如果把它转化成路程的思想，这一块就是什么？这是不是 o b 应该走过的路程？哎？它走过的路程是不是六 t 啊？对不对？嗯，这块就是六 t， 那么对于 n o a 来说，这个角就应该是多少，是不是 o a 走过一百八之后走超了的这一块路程啊？对不对？所以那我们应该用它走过的路程是不是减去一百八，就是它超了的这一块啊？那两个角相等，那我们就转换成了这是两块路程相等， 所以说第一种情况就是他们第一次相遇之后，第二次相遇之前，那 t 的 取之范围是应该是大于六，小于这个十八的，对不对？那这个时候我们要让六 t 应该等于二十四 t 减这个一百八， 那解得这个 t 就 应该是 i 等于十，这是第一次他们被这个直线 m n 平分，对不对？那好，我们接下来看这个第二次，那第二次接下来 o b 是 不是继续往上旋转了，对不对？那第二次相遇的时候， t 除以十八秒，那大概相遇的位置是不是应该是在 i 这个节点之上？ 这个 o a 是 不是又转上来了，对不对？那好，从这次相遇之后，是不是 o a 又要继续往顺时针旋转了，对不对？那他只有当他转到 o m 的 下方的时候，才有可能和 o b 之间形成一个 被平分的夹角，对不对？那好，那这个时候就可能处在的大概位置，哎，所以说可能是在他转到这个位置的时候，他们再次产生一个 相等的一个角，那在这个时候我们是不是再次梳理明白，这个角 b o m 和这个角 a o m 各自代表的路程是什么，对不对？那你来看这个 o b 对 于 o b 这条射线来说，这是它什么？这是不是它在这一百八十度当中还没有运动过的路程？ 角 b o n 是 他运动过的路程，也就是六 t， 那 左边的这个角 b o m 就 应该是多少，是不是一百八减六 t 啊？对不对？那对于角 a o m 来说，这一块是什么呢？当他从最开始运动，从 o m 开始运动， 他现在是不是已经，哎？已经转完了一圈之后，然后又干什么？这是不是他的第二圈啊？对不对？那他第二圈转完没有？是不是还没转完？所以说这一块就是他两圈还没走完的那一块路程，那这一块就应该是 三百六乘上二，再减去他已经走过的，他已经走过的就是二十四 t， 那 我们是不是让这两块路程相等就可以？那这个时候 t 的 取值范围应该是 大于十八，小于这个三十的，那这个时候我们让一百八减六 t 应该等于三百六乘上二，减去这个二十四 t， 那解的 t 应该等于多少？哎， t 应该等于三十，那 t 等于三十的时候是什么呀？哎，是不是他们第三次相遇啊？这是相遇的时候，那这个值能不能取得到？哎，取不到。 当他们相遇的三十秒的时候，那 o b 是 不是正好跑了一百八了？所以说第三次相遇的时候，哎， o b 和 o a 是 不是都到这里了，对不对？所以说在这里相遇了， 那接下来我们再来看，就是他第三次相遇之后，第四次相遇之前，还有没有可能再被这个 m n 所平分，那这里就是 o b 是 不是应该继续往下运动了，对不对？然后 o a 是 不是往上顺时针运动？那他们的起始点都是哪里？起始点是不是都是 o m？ 那 大家想一下，这两个夹角有可能相等吗？ 是不是没有可能？因为什么？因为他们俩现在变成了同一起时位置，同一起时位置，但是他俩的速度不一样呀，一个是二十四呀，一个是六呀，对不对？时间又是一样的，所以说他俩跑过的路程不可能再次相等，对不对？ 所以说这两个夹角没有可能再相等了，所以说我们还有没有其他的情况要讨论啊？哎，没有，所以最后综上，那么 t 只能取多少啊？哎， t 取十秒。 那这道，那这那这道东角题呢？到这里我们就结束了，那同学们可以看一下，其实在这个过程当中，我们反复在运用到的是什么？哎？是不是全部都转化成了形成的问题啊？ 大家想一想，如果这道题我给你的是一个单纯的行程问题，一个环形跑道上的追击和相遇问题，我相信大家肯定都可以解得出来，因为行程问题我们已经都非常熟练了，实际上我们还是要把握动点和动脚的本质，它们都可以转化成行程的问题，大家就会觉得，哦，好像他也没有这么难。 所以说通过这道题大家可以再好好体会一下，怎么样把动角和动点转化成已经学过的行程问题，怎么样用简单的方式去解决掉它。 好，我们再来看这个十四题啊，是一个分段计费的问题，说不超过一百件的部分就是二点六的单价，然后超过一百件到三百件的这一部分呢，就是二点二，然后超过三百件的部分呢，就变成二元了， 那好问你买五十件花多少钱？那这就是什么矮不超过一百件的这部分，对不对？所以他单价就是二点六，那这一块就应该是五十乘上二点六，那就应该是矮一百三十元， 那买三百件，买三百件是不是第一部分？第一段是已经完整用完了，对不对？那所以这一百件就应该要用二点六的单价，那超过的这一部分是不是用二点二的单价？那超过了多少？哎，是不是正好超过了两百件啊？所以那二百再乘上二点二，那么算一下也就是七百元， 那买四百件呢？哎，买四百件是不是就前面这两段都用完了，对不对？那刚开始前面这两段都用满了的话，是不是正好花七百元？那也就是在七百的基础上，超过三百的就是不是就只剩下一百件了？那剩下这一百件按照两块钱，哎，再乘上一个二，那就应该等于是不是九百呀？ 所以说这里应该是一个九百元，那这个括号二说买这种商品一共花了五百九十元，让我们求这个商品多少件，那我们先解释一个解释，这个商品为 x 件的话，那我们想要列这个方程，我们是不是得大概看一下 他花的这个钱在一个什么样的范围之内，对不对？那我们来看这个五百九，他应该是小于这个七百，并且大于这个 二百六，对不对？那我们为什么要看这两个值呢？你看这个七百是什么？这个七百是不是正好买够三百的时候的一个临界点，对不对？那再超过七百的话，就要到什么 到下一个计费的一个阶段了，要到这个两元的计费这个阶段，那这二百六呢？二百六是谁？二百六是不是正好一百件的时候要花二百六啊？对不对？那所以五百六是在这两个区间之内，那我们就可以判断出来 x 是 不是应该是小于三百，大于一百的，对不对？ 那判断出来了 x 的 范围之后，我们就可以来列方程了，那所以根据提议，我们就得到了 刚开始前面的这个一百的这个区间，我们是一百乘上这个二点六，我们再加上下一个区间，是不是应该花二点二元了？那二点二元的部分应该是 x 减掉 前面已经计算过的一百件，那他就应该等于五百九十元，那我们解的 x 应该等于二百五十件， 哎，这是这个括号二，那我们再来看这个括号三。括号三，说若小明花了 n 元， n 是 大于二百六的，哎，人家给我们一个取值范围， n 大 于二百六说明了什么？哎，这个件数是不是应该大于一百件啊？对不对？ 那件数又可以用什么表示？哎，又可以用十二分之五 n 来表示，那现在这里我们虽然知道了这个件数是大于一百件的，但是我们知不知道他是到底处在第二段收费上，还是处在第三段上呀？哎，是不是不确定？那我们这里就要分情况讨论了， 那也就是有可能这个键数是处在第二段和第三段，那这个时候对于 n 来说，也就是从价格上来看的话，那就应该是不是应该小于这个七百，大于这个二百六，也就是刚刚上一道题我们讨论的这种情况，那这个时候在这里 数量是不是就处在了一百和三百中间呀？对不对？那我们来列这个方程的话，那就应该是第一段的收费，也就是这二百六十元都花完了，然后再到第二段上了第二段是不是二点二， 二点二减掉第一段花的这一百，那一共的件数是多少呢？他们告诉我们了是十二分之五件，所以减掉 一段的这一百件，那就应该等于总费用，那就应该等于这里是 n， 对 不对？那我们解一下，我们解的 n 是 应该等于四百八的，对不对？ 那好，四百八在不在这个取值范围内？哎，在没问题，那是这是第一种情况，那接下来还有一种情况是什么？是不是他到了第三段的这个收费上来了，那这个时候 n 是 不是应该是大于七百的，对不对？ 那好在这个时候我们去列这个方程，是不是一二段他都用满了，对不对？一二段都用满了，那也就是三百件的时候一共花了多少钱？哎，一共花了七百元，我们前面求过了啊，那在这七百的基础上，是不是再加第三段花的费用，第三段单价就变成二了， 那这个时候件数是多少呢？这个件数十二分之五 n 件，减去前面已经付过钱的这三百件了，对不对？那这个时候等于总费用 n， 我 们解一下， n 应该等于六百，但这个时候符不符合我们的取值范围呀？ 不符合对不对？哎，所以我们舍掉了。所以说综上两种情况的话， n 应该取四百八十元。 好，我们来看这个十三题，这是一道绝对值化简题型，那涉及到绝对值的化简，我们就应该判断绝对值的内部是正还是负，对不对？那好，我们来看第一个， 他说 a 加上 c， 那 a 是 不是处在这里？ c 处在这里，一个是正数，一个是负数，那一号两数相加，我们应该取谁的符号？是不应该？谁的绝对值大，我们就取谁的符号，对不对？那对于数轴上来说，谁的绝对值大 体现在什么地方？哎，是不是距离原点远，它的绝对值就是大的？那在这里很明显， a 的 绝对值是不是大于 c 的 绝对值啊？所以对于 a 加 c 来说，我们应该取 a 的 符号， a 的 符号呢，就是个负数，所以说这一部分它就是一个小于零的。那我们再来看这个 c 减 b， 那 c 减 b， 我 们可以把它看做什么呀？是不是 c 加负 b 啊？对不对？ b 本身是一个负数，那负 b 正的加正的，肯定还是一个大于零的呀？哎，所以它里边就是一个大于零的。 我们再来看这个 b 加 a， 还是涉及到了相加，它们是两个都是负的，那同号两数相加，我们是不是取相同的符号，那都是负的，所以它加起来是不是小于零呀？ 那好，大于零我们就直接去绝对值，符号小于零，我们就要变相反数，所以说 a 加 c， 我 们就变成了负的 a 加 c， 注意，它们是一个整体，打成括号，第二个大于零，直接去变成 c 减 b， 第三个小于零，我们应该变什么？哎，变它的相反数，哎，给它们整体加上一个负号。 好，我们去一下括号，负 a 减 c 加 c 减 b， 那 负负这里是不得正了，那就变成加 b 再加 a， 那 我们来看一下。哎，负 a 正 a 负 c 正 c 负 b 正 b 是 不等于零，所以我们选 b 选项。 那好，接下来我们来看这个十二题，他告诉我说，这三个扇形的圆形角度数之比，哎，又出现了连比，对不对？又出现连比，我们直接给他干什么？哎，设成 x， 这就是二 x， 这就是三 x， 这就是四 x， 那我们在图上对应找一下，哎，这块是二 x， 这一块是三 x， 这一块是四 x， 那 我们就得到了三 x 加上二 x， 再加上四 x， 是 不是等于三百六十度呀？那我们解的 x 就 应该等于四十度。那我们要求这个角 boc， 角 b o c 和这个角 b、 o、 d 之间的关系什么？哎，这是不是角平分线呀？所以这个角 b o c 等于二分之一个角 b o d， 那 角 b o d 是 多少呀？哎，角 b o d 是 我们刚刚列的这个四 x 呀，那也就是乘上四 x， 四 x 就是 四，乘上四十，所以它是不是应该等于八十度呀？ 我们选 c 选项。那好，第十一题，第十一题出现了不含某项，不含某项，我们前面反复提到了多次了，不含某项就让他干什么？哎，就得说明他不存在，他得消失，怎么样？消失啊？哎，乘上零，他就消失了，所以我们只要让他的技术 化为零就可以了。那在这里含 x y 项的是不是只有这一项啊？对不对？那好，系数就是 k 减二，在这里我们让它等于零，那么 k 是 不是取二就可以了？哎，所以 k 取二的时候就不含 x y 项了。 好，今天的讲解就到这里结束了，在这里也祝我们的同学们元旦快乐，希望新的一年大家都能够有所收获。

这个十九题，首先第一问，第一问并不难，你看啊，第一问，他说的是哪三个角关系，这个角和这个角和这个角，对吧？他说这个加这个等于三分之七的这个好，这三个角一画，你没想到什么吗？ 我们今天不是这三个角相加是一个三百六吗？不是铅笔头模型吗？所以说因为这个平行，我们本来有一个角 a e f 加上角 c h f 加上角 e f h 等于三百六， 对吧？好，现在又因为它们是等于三分之七的它，那这个式子是不是可以写成 对三百六十度？好，所以这是不是这个关于 e f h 的 方程 e f h， 所以 算出来是一百零八度？ 好，我们看一下啊，这个有位同学算对的很好啊，我觉得这个题啊，大家就是要记住我们刚刚讲的铅笔头，对吧？那技术它们本身就有这个结论嘛，是不是？不然怎么算呢？好， 来，我们来看第二问，第二问相当于是个证明题了，他说 h m 啊，平分 c h f 啊，说这两个角相等，然后呢，是说明 f h d， 这个角减去二倍的 f m h 等于三十六度 啊，就是说这个角减两倍的这个角等于三十六。首先大家看到这种评分呐，或者说三倍，我说过了，你要学会设未知数，这样一会就表示会更轻松，对不对？那在一个证明之中啊，我们去如何去设未知数呢？我们可以这个 设角 c h m 等于 x， 因为 h m 平分 角 c h f， 所以 角 m h f 等于 c h m 等于 x， 就是 把这两个角都设为 x。 好，设完 x 之后，大家知道接下来的目标是干什么呢？目标是把这个角和这个角能够尽量的用现有的条件去表示出来， 明白吗？表示这是核心。那怎么表示？你看这个是还是很简单的， 因为角这个 c h f 加上角 d h f 等于一百八，所以角 d h f 是 不是等于一百八减？去角 d h f 就 等于一百八减二 x 吧。啊，这个地方不是 d， 这个是 c， 这个是 c 啊， 好，它已经结束了对不对？ e h e h d 啊？ f h d 啊？对啊，就是这个角 f， 第一个角已经已经结束了啊。接下来看第二个角，第二个角是这个角，这个角怎么表示啊？ 如果已经学会了三角形内角和定理的话，那我们可以这样表示，你看 这个是不是一个一百八？三角形内角和，这是前一问算出来得多少度？一百零八吧。 那用一百八减 x 减一百零八，是不是可以把这个角分出来？这是第一个方法对吧？但是你现在没有学过三角形内角和定力，可能证明题还不一定能用，当然用了他也不会说你全错，他只可能严格起来给你扣一点分吧。那现在呢？我们也可以用平行的方式去数。 平行的方式怎么说？如果用平行的方式，你就做平行线啊，你看，呃，这个角是一百八减 x， 因为跟它是平行，那我们再想把这个角表示出来，这个角怎么表示？ 这个角可以用这个铅笔头，因为这个角加上这个角加上这个角三个的意思三百六啊。但其实这么说起来就挺麻烦了是不是？那这样吧，我们就用三角形内角和内， 因为反正你们七下马上就学了啊，那我们就是因为角 m 加上角 m h i m f h 加上角 m h f 等于一百八十度， 所以角 m 是 不是等于一百八十度减去它 啊？注意啊，这个地方我用了三角形内角和顶， 所以 这个原来的式子啊，要求的这个东西 就变成了一百八十度减二 x 减去二倍的七十二减 x， 最后减出来有没有看到？ x 没有了，最后这算出来一个三十六度， 所以就这本出来了，看到没有？好，我们也发现一件事情，就随着你以后几何地理学的越来越多，你的工具越来越多，其实很多过程是可以被优化的，明白不？ 你比如说这个时候，如果就是不让你用，那么你平行写起来可麻烦了，如果能用，你看其实很方便，对吧？啊，想参加我们 t u 训练营的家长可以在评论区留言哦！

这道压轴题，这就是一道动角问题，我们来尝试用一下老师之前讲过的方法，看看能不能快速的做出来。先来看题干，已知角 aob 在 角 aob 的 内部划射线 oc， 可以 得到三个角， 若这三个角中有一个角是另外一个角的二倍，满足一个角是另外一个角的二倍，则称射线 oc 为角 aob 的 幸运线。 好，了解完这个幸运线了，我们来看题干，我只讲最后一问啊，如图二，一只角 aob 等于五十五度，那我们把 ob 这标零度，那这就标五十五度。射线 o m 从 o a 出发，以每秒十五度的速度绕 o 点逆时针旋转， 所以逆时针旋转这个假角应该是十五 t 度，那么 m 它所表示的是不是就应该是五十五度加十五 t 度？ 同时，射线 o n 从 o b 出发，以每秒十一度的速度让 o 点也是逆时针旋转，那这就应该是十一 t 度，非常好表示。若 o m o n o a 看好线啊， o m o n o a 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的幸运线，求出所有可能的值。 我们先来看 o m o n o a， 它能够构成角 m o a， 角 n o a， 角 m o n 是 不就能得到这三个角？他说其中一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的幸运线，那就是一个角是另外一个角的二倍吧。 我们肯定是知道有很多种可能性，那咱就把这些所有的可能性都写出来，只要求出来 t 的 值是零到十二的，说明它就是成立的，对吧？好，我们来写一下第一种情况，角 m o a 等于二倍的角 n o a， 可以 吧，三个角轮着来吧。 第二种情况，角 m o a 等于二倍的角 m o n。 第三种情况，角 n o a 等于二倍的角 m o a。 就是 我选择了第二个角，是这个角的二倍，或者是第三个角的二倍，这你都试一圈啊。第四个角 n o a 等于二倍的角 m o n， 对 吧？这两个我都试完了啊，那我该试角 m o n 了，是不是 第四第五个了啊？角 m o n 等于二倍的角 m o a。 第六个角 m o n 等于二倍的角 n o a。 哎，我们是有顺序写的，所以这是全的。 好，那分别表示角就可以了。角 m o a。 很 明显你是逆时针旋转的嘛，所以 m 肯定在 a 的 这个左侧，那么这个角度 m o a 的 这个角度呢？就是用大减小，对不对？那假角就是十五 t 度等于二倍的角 n o a n o a 的 话，这个咱其实说不好谁大谁小的，对不对？ o n 有 可能逆时针旋转转到了 o a 的 左侧，所以那这个角我表示不了的话，怎么办呀？加绝对值啊，所以就等于五十五度减十一 t 度，绝对值 求出来就可以了。然后咱们再来看第二个啊，叫 m o a 还是十五 t 度等于二倍的角 m o n。 我 们这时候再来观察啊， m 是 五十五度加十五 t o n 呢？是十一 t 度，十一 t 度绝对比十五 t 度要小，这还加了个五十五，所以我想表达的是， o m 肯定在 o n 的 左侧，那么这个角肯定就是用大 大减小就可以了，是不是不用加绝对值啊？那就是五十五度加上十五 t 度减去十一 t 度，哎，列式即可。第第三个 m， 呃， na na 我 们还是确定不了吧，所以那就是五十五度减去十一 t 度等于二倍的 mo a， mo a 是 定的啊，那就是十五 t 度， na 还是确定不了。五十五度减去十一 t 度等于二倍的 mo n， 我 们来看 mo n m o n 的 话没有问题，还是这个是不是？那就来写上吧。五十五度加上十五 t 度减去十一 t 度，哎，好，接着再往下走， m o n 我 能判断啊，肯定 m 在 前，那就是五十五度加上十五 t 度减去十一 t 度等于二倍的 mo a， mo a 我 记得是十五 t 度。 然后再来五十五度加上十五 t 度减去十一 t 度啊，不用加括号，等于 二倍的 na， na 就是 绝对值。五十五度减十一 t 度结束。所以我们的六种情况对不对？六种情况呢？有的是含有绝对值的啊，含有绝对值的，你的答案就会是两种。 那么我们写完之后呢？求出 t 之后，一定要判断 t 要选择零到十二之间的。

平行线间的拐角模型一直是很多同学的噩梦之所在，今天微微老师带领万能四步法轻松搞定拐角问题，一起来看。若 ab 平行 c、 d 给出一组平行线， b、 e 平分角 abg， c、 f 平分角 d， c、 g 三倍的角， e 减去五倍的角计等于一百七十二度，让我们去求角计等于多少度。 薇薇老师已经把线段角、相交线与平行线的核心考点，考勤分析、目标导航、 思维导图、经典例题和练习以及详细解答过程整理成了线段角、相交线与平行线。经典必刷题型，看完这个视频再拿去给孩子练习，练完考试直接拿满分，需要的家长我发您一份。 这是一道比较复杂的平行线间的拐点问题，那我们就可以用拐角四步法来完成。 第一步，设未知数，题目告诉了我们两条角平分线，其中 b、 e 平分角 abg， 那 这两个相等的小角呢？我们就可以用同一个字母 r 法来标记它。 同样的道理， c、 f 平分角 d c、 g， 那 这两个相等的小角呢？我们就可以把它标记为贝塔。这样我们就完成了第一步，引入了 r 法和贝塔这两个未知数。接下来第二步，做平行线。 题目告诉了我们 a、 b 平行 c、 d。 在 这一组平行线之间，连接它们的有两个拐点， e 点和 g 点。 所以呢，当平行线间遇到拐点的时候，我们都有一个固定的操作，那就是过拐点做已知直线的平行线。所以我们需要分别过 e 点和 g 点去做 a、 b 的 平行线。 这样根据平行公里的推论，这四条水平的直线都是互相平行的，接下来我们就来到了第三步，也是最重要的一步，我们需要用我们引入的阿尔法和贝塔这两个位置数表示出角 e 和角 g 这两个拐角。 首先呢，我们来看角 e， 它被这条平行线分成了上下两部分，那上面的这部分呢，我们就往上看，它和上边的阿尔法形成了一个 z 字形的内错角，所以呢，我们可以让这个阿尔法下楼梯，把它内错下来。 下面这一部分呢，我们就往下看，他和这里的贝塔形成了 f 型的同位角，所以我们就可以让这个贝塔上楼梯，把它同位上去。这样角 e 就是 由阿尔法和贝塔两部分构成的，我们就可以把角 e 表示为阿尔法加贝塔。 现在我们来表示角记，很明显，这里的角记呢，它是由这个大角减去这个小角来构成的。我们先来看这个大角， 这个大角呢，我们就往上找，我们会发现它和这里的二倍阿尔法形成了一个 z 字形的内错角，所以呢，我们就可以让二阿尔法下楼梯，这个大角也就等于二倍的阿尔法。 接下来我们再来看这个小角，这个小角呢，它和二倍的角贝塔刚好形成一个 u 字形的同旁内角，所以它和二倍的贝塔的和为一百八十度，那这个小角我们就可以把它表示为一百八十度，减去二倍的贝塔。 因为角 g 呢，它等于大角减小角，所以我们就可以把角 g 表示为二倍的 alpha， 减去 一百八十度。减二比特的差化简后，就等于二倍 alpha 加上二倍比特，再减去一百八十度， 表示出了角 e 和角记。接下来我们就来到了第四步列方程。根据题目中给出来的这个等量关系，三倍的角 e 减去五倍角记等于一百七十二度，我们来给他等量代换三倍的角 e， 那 就是三倍阿尔法加贝塔的和 减去五倍角记，角记就是二倍阿尔法加二倍贝塔再减去一百八十度，这个整体 等于一百七十二度。现在呢，我们可以把阿尔法加贝塔看成是一个整体，化简后这个整体也就等于一百零四度。 最后题目中要求的是角记，角记就等于二倍阿尔法加二倍贝塔减去一百八十度，减 去一百八十度等于二十八度。 所以这道题的最终答案呢，也就是二十八度。哎，到现在为止，同学们，拐角四步法你学会了吗？关注薇薇老师，学习如此简单！

这道题太难了，就这种动脚问题，难倒了咱们百分之九十的同学。其实我们动脚问题解析是有技巧的，我们原模原样利用之前我教大家数轴上动点问题解析的三要素四部曲，就可以轻松求解这类动脚问题。 那有关于动角问题，这里常考的五大题型，我都给大家做了一个系统的总结，历年的真题都在这了，那么我们动角问题这里五个题型，每类题型都是有方法的，你把通用的技巧搞定了，那这种题目真的咱们是个个能拿满分的，并不难啊。 下面呢，老师就带着大家通过这道题，一起把我说的三要素四步法再来一起复习一下。这里告诉你，角 a o b 这个角呢，是一百二十度哦，它一百二十度。 现在说了，射线 o c 从 o a 开始绕点 o 逆时针旋转， o c 是 这么转过来的，速度为每分钟二十度，那 t 时间它就转动这么大的角度呗。 o d 呢，从 o b 开始绕点 o 逆时针旋转，它就这么转呗，速度为每分钟五度，那 t 时间不就转动这么大的角度吗？ 他说了两条射线同时旋转，旋转的时间在这个范围内， t 为和值时，两条射线重合。 那什么叫做两条射线重合呀？它像不像我们之前那个竖轴的动点问题？这是一个竖轴，这是点 p， 往这动二十 t， 这是点 q， 往这动五 t， 像不像竖轴上的一个锥级问题啊？ 他在角，这他不也是一个追集问题吗？把角拍平了就行呗。所以啊，我教大家用竖轴的思想来解决动角问题，特别容易看，在这我建立一个旋转竖轴，那么同样我把竖轴的圆点标出来，这就是正方向， 那对应 oc， 咱们就可以看作一个从圆点出发，向竖轴正方向运动的点了，我们把射线拍平了再去看，所以射线 oc 运动 t 时间之后的位置，我们就可以用零加二十 t 来表示。 同样啊，我们由于 o b 是 一百二十度，这是那个一百二十度的位置，那我们 o d 对 应这条射线，就是从一百二十度这个位置出发，向正方向运动，用加法运动了五 t 个单位长度， 射线运动 t 时间之后到达的位置咱们都表示出来了，接下来我们要研究两条射线重合，那怎么办呢？让它俩直接相等就可以了，所以我们就有二十 t 就 等于一百二十，再加上五 t， 那 在这啊，我们计算一下，就可以求出 t 等于八。第一个问咱们就很容易的解出来了，继续来看第二个，问问你 t 为何时 c、 o d 等于九十度来？ c、 o d 是 什么？ 是不是由动点 c 和动点 d 组成的这个夹角啊？它其实在竖轴上，不就是让你求这两条动点之间的距离 是九十吗？对不对？所以角的动态问题，我们就把它拍平了，看成点的问题，求角等于多少度，就是在求这两点间的距离呀， 所以对应我们已经把射线运动 t 时间之后的位置表示出来了，那对应这个角 c、 o d 就 可以用它俩求距离。怎么求？距离？已知大减小，未知察觉。对， 看看 o c 和 o d 谁在前谁在后啊？来，这是正方向对不对？刚开始的时候 c 在 后， d 在 前， 但是运动一会，由于 c 的 速度快，他是不是就把 d 给追上了，所以他俩的大小关系是不确定的。那我们要求他们俩之间的距离是不得加绝对值啊，是不是用一百二十加上五 t 再减去二十 t 的 绝对值表示啊？ 那不就是我们一百二十再减十五 t 的 绝对值吗？这就是角 c o、 d 的 度数，我们直接令它等于九十，就可以求出 t 的 值。了 解这个绝对值方程会吧，我们直接分类讨论，第一种，一百二十减十五 t 等于九十。 第二种，一百二十减十五 t 等于负的九十，代入求解，再利用对应的时间进行检验就可以了。那接下来的时工作啊教给大家了，请你来算一算时间 t 到底等于多少吧。

家人们注意了啊，这是我们期上啊期末考试的一道考试真题啊，当时啊，全班做对的不超过三个人，核心原因啊，是孩子没有掌握做这种题的什么解题技巧，光学会了猪皮模型，铅笔模型是吧？靴子模型，一系列的模型，结果 真正考试的时候不会用。好，那我们来看一下这道题，如图， a、 b 平行 c， d 脚印等于六十度， 对吧？和角 b 加角 f 加角 c 等于多少？那很多人看到这种，老师，这不是猪蹄模型的变形吗？哦，其实他不是的啊，我们猪蹄模型的话是要干什么 啊？锐角出来，再锐角出来，是不是再锐角出来，然后再平行，是不是？那同学来看一下， 他这儿锐角出来，但是到这儿，哎，是不是卡壳了？他应该还是锐角出来，然后再回去，是不是？然后这儿是不是蹄子被切掉了一个，所以他不是猪蹄模型？ 那我们该如何做呢？其实还是原来的那个技巧，叫做什么？过拐点，做平行线，刘若在之前的视频也说过，只要你大胆的过拐点，做平行线，就可以轻松了解这一类题，是不是啊，我们来看一下，我们来做拐点，过拐点啊，做平行线， 过 f 点， ab 和 cd 是 平行的，我做任意一条线的平行线。 好， 好，这平行线，那我们来看一下，我们就可以得到的是这个角，我记作角一。好，这个角记作什么？角二，那同学来看一下，那这里是不是出现了一个猪蹄形，是不是？好，这是一个猪蹄模型啊，蹄尖尖之合，角一加角二 等于提丫丫等于六十度，是不是啊？当然喽，如果你要照，就是再过一点，做条平行线 啊，过一点呀，做条平行线我们可以再挣一次啊，那角一就等于这里的角一，角二就等于这里角二，角一等于角一，角二等于角二，那角一加角二等于这个角是不是六十度？好？角一加角，这个角加这个角等于六十度。那我们再来看 这个角记作角三，这个角记作什么角四，是不是？那么角三加角四，这是什么？同行内，也就是角三加角四应该等于多少度？一百八十度，是不是？而我们要证的是角 b 加角 f 加角 c， 角 b 就是 什么角一 角 f。 哎，是这里的角二和角三角碎的话，是这里的什么角四，同学们来观察一下，那不就是相当于让左边相加一个角一加角二加角三加角四，应该等于左边加，等于右边加，等于六十加一百八等于多少度？ 二百四十度。我们来看角一就是这里的什么角 b， 角二加角三正好是这里的什么角 f 加角四是这里的什么角 c， 是 不是最后等于多少度？二百 四十度，好，所以最后的答案我们写上二百四十度，好，所以我们只要掌握了过拐点做平行线这个辅助线的意识到，我们就可以秒杀这一系列题型，你学会了吗？关注刘老师，学习路上不迷路！

七上数学动脚问题压轴练做完多拿二十分，含盖动脚的表示与初步探讨、双动射线与综合应用以及题型通法与高阶思维三大模块，从基础知识到高阶思维，稳不练习。有了这份资料，动脚大题稳稳拿分。电子版可下载打印。

我们来看一道初一期末的压轴题，这道题呢，百分之九十九的同学都做不出来，我们一起来看一下这三个绝对值相加，让我们去求最小值等于多少。好，我们说求最小值的问题，我们学过一个方法叫做什么？叫做七点偶断法。 如果是奇数个绝对值相加，我们用奇点法，如果是偶数个绝对值相加，我们用偶断法。但是这道题我们能够直接看出来它到底是奇数个还是偶数个吗？ 我们这样看是看不出来的，因为现在这个绝对值里面，它的未知点是不一样的，它是 x， 它是二 x， 它是三 x， 它们的系数是不一样的。所以当你遇到这种未知点系数不一样的情况，那首先第一步我们要把它们的系数统一化。所以像这道题我们统一系数， 怎么去统一呢？其实就是把系数给它提出来，提系数它其实就跟提公音是一样的，你比如说把它的系数二给它提出来，那就是两倍的 s 减二的绝对值，二二得四， 所以把它的系数三倍提取出来，它是三倍的 s 减三的绝对值。好，那我提完系数之后，这个系数它是什么含义呢？两倍它实际上就是两个，那如果我们把它展开来，实际上它就是 x 减二的绝对值，再加上一个 x 减二的绝对值，它不就是两个吗？那同样的这个三倍的 x 减三的绝对值，它就相当于是有三个 x 减三的绝对值相加。 所以现在我们看总共是有几个？总共是有六个绝对值相加，六个偶数个，我们要用偶断法，偶断法六个的话，我们是不是要找中间段？中间段是哪一段呢？是第三个和第四个这两点之间， 第三个，第四个是不是这两点？那 f 减二的绝对值，它的零点是不是二啊？ f 减三的绝对值，它的零点是不是三？所以现在我们的 x 在 二和三之间，我们是能够取到最小值的。 那二跟三之间，那我们可以带入特殊值啊，因为在这一段当中，任意一点带进去，它都是最小值。那我们可以带谁呢？你带二或者带三是不是更简单？哪一个简单你就可以带入哪一个。比如说我令 x 等于二的时候，那我们给它带入原式，我们可以看一下它的结果等于几好？二减一的绝对值是不是一，然后二乘二减四是不是零？ 二乘三减九的绝对值是不是三？所以这个时候它的最小值就是四，当然你可以再带入一个值去验算一下。那么这道题它的最小值就是等于四，你学会了吗？想要学习更多解题技巧，点击下方预约，来我直播间。

期上期末最坑的压轴题来了，动脚加新定义，去年这道题的正确率不足百分之十，不要着急，今天王老师带大家彻底搞懂这道题。 如图，射线 o c 在 角 a o b 的 内部，图中共有三个角，角 a o b、 角 a o c 和角 b o c。 若其中一个角的度数是另外一个角度数的两倍，则称 o c 是 角 a o b 的 巧分线。 其实这道题呢，不光是动角，也是一道新定义题。先看第一，问一个角的平分线是不是这个角的巧分线？ 来，我们先一起把巧分线的定义搞清楚。首先，这条射线要在角 aob 的 内部。 其次呢，它分成的这三个角 aob、 aoc 和 boc， 其中一个角的度数得是另外一个角度数的二倍。 好，老师用红色这条线代表射线 o c， 如果它刚好是这个角 a o b 的 角平分线的话，那这个时候是不是角 a o b 就 等于二倍的角 a o c 了， 同样也等于二倍的角 b o c 了？所以说，大家说这个角的角平分线是不是这个角的巧分线呀？那当然是了， 那除了这种情况，大家想这个 o c 还可能在哪个位置呀？对，你让 o c， 比如说稍微靠上一点。哎，在这里，这个时候它分的两个小角，一个是角 b o c， 一个是角 a o c。 如果我们让这个角 b o c 是 角 a o c 的 二倍，是不是也可以呀？ 好，那你想 b o c 是 a o c 的 二倍，那这个时候是不是相当于 o c 把这个大角 a o b 分 成了三份儿，下边儿是两份儿，上边儿是一份儿。那你说这个时候 o c 是 什么线呀？ 对，它就是这个大角的三等分线，那它在比较靠近 o b 的 这个方向，是不是也可以呀？ 这个时候 o c 把这个大角 a o b 分 成了两个角。哎，上边这个角大一点， a o c 等于二倍的 b， o c 是 不是也是满足要求的？因为一个角本身它的三等分线就是有两条的。 好，来，我们把角分线的定义现在搞清楚了，其实就是这个角的两种线，一种是角平分线，一种是什么呀？对，三等分线。好，那第一问，我们填的肯定是是了。 好，再来看第二问。现在一个角 m p n， 它的度数我们记为二法， p q 是 角 m p n 的 巧分线，则 m p q 等于多少度，用含阿尔法的代数式来表示。 好，我们根据巧分线的定义，其实这个巧分线就两种情况，一种是这个角的平分线，另一种是这个角的三等分线。 好，如果 p q 是 角， m p n 的 角平分线的时候，大家看这个时候 m p q i， 它是不是就等于整个大角的多少呀？ 对，一半了，那我们表示出来，也就是二分之二法。除了这种情况， p q 还可以是这个大角的三等分线。 那这个时候很明显是不两种情况，一种呢， p q 哎，可以靠近 pm 这一点，也就是它上面的三等分线 p q 呢？也可以靠近 p n 这一点。哦，这是它下面的三等分线， 如果 p q 靠近 pm 的 话。好，那这个角就等于整个大角的多少？对，整个大角是阿尔法，那它是不是就等于三分之阿尔法呀？ 那如果 p q 比较靠近下边的这条线 p n 的 话，整个大角是等于阿尔法的，它是不是就等于三分之二阿尔法了？ 好，这是第二问。我们接着再来看第三问，若 m p n 等于六十度，好，这个角是等于六十度的。 现在射线 p q 绕点 p， 从 p n 的 位置开始，以每秒十度的速度逆时针旋转。 好，它是逆时针旋转。哎，这样子旋转速度呢？是十度每秒， 当 p q 与 p n 乘一百八十度时停止旋转，旋转的时间为 t 秒。除了它转，还有谁转呢？另外一条射线 pm 也在转， a pm 在 这里， 它呢也是逆时针旋转，它的速度是五度每秒，并与 p q 同时停止。请求出 p q 是 角 m p n 巧分线时 t 的 值。好，大家不要着急，来，我们一起来看一看。 什么时候 p q 是 角 m p n 的 巧分线呢？对，结合我们前两问， 它是不是就这三种情况呀？要不然等于整个角的一半，要不然等于整个角的三分之一，或等于整个角的三分之二，那我们给它写出来，也就是角 q p n， 要不然等于二分之一角 m p n。 或者说角 q p n 等于三分之一角 m p n。 或者角 q p n 等于三分之二倍的角 m p n。 就 这三种情况。 好，我们把三种情况捋清楚了，下边是不是只需要把这两个动角表示出来就行了？好，我们用上节课讲到的知识看这个角 q p n 怎么表示。我们把 p n 记成刚开始的零点， 那它的速度是十度每秒，时间是 t， 那 q p n 这个角度是不是就是十 t 了？ 哎，再来看角 m p n， 角 m p n， 大家想，它并不是从 p n 这个零点开始的，它是从哪开始运动的？对，它本身，你看它就是从 p m 这开始运动的， 而 mpn 本身就是六十度，相当于他就是从六十度开始的。好，哎，大家来看，随着他的运动，就相当于在这个六十度的基础上，哎，增加了这一块的角， 而这个角怎么表示呢？非常明显，他的速度是五，时间是 t， 那 是不是就是六十度加上五 t 了？ 好，这是一个非常简单的方程，我们解出来 t 是 等于四的。好，这个会了，我们再看下一种情况是不是就更简单了，左边还是十 t， 右边只需要把二分之一换成多少了。三分之一，好，里边还是六十度加五 t， 这个时候 t 解出来是等于五分之十二的。最后一种情况，十 t 就 等于三分之二倍的六十度加五 t， 好，这个时候解出来 t 是 等于六的。所以最终我们再总结一下，也就是当 t 等于四秒、五分之十二秒或六秒时，这个时候射线 p q 刚好是角 m p n 的 巧分线。 好，同学们，这道题听懂了吗？是不是很简单？你只要把题中的这个意思理解清楚，我们按照他给的这个新定义，巧分线比葫芦画瓢，你把这些角的关系找到， 但是有一点很重要，就是我们一定要会把这个动角给表示出来，然后再把表示的角带入相应的等量关系，一个简单的方程就能解决问题了。 好，同学们，这道题都听明白了吗？更多压轴好题就在七上拔高专题课！

大家好，我是李老师，今天继续来看一下二零二四年期末考试雅礼集团压轴题二十五题 读一下，题目如图一，七年级一班数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺 a、 o b 的 直角顶点 o 放在互相垂直的两条直线 p q、 m n 的 垂足 o 处。我们可以看下图一啊， 并使两条直角边落在直线 p q 和 m n 上，就是图一这个样子。将三角形 a、 o b 绕着点 o 顺时针旋转。 r 法， r 法的角度是零到一百八射线 o c 是 角 b o m 的 角平分线，且 p o c 等于北塔，这是题目给我们的条件。这个题目是一个动角问题， 看一下第一小问，如图二，图二在这里啊，若阿尔法等于十六度， 图二是从图一旋转过来的，并且它是怎么旋转呀？它是绕着点 o 顺时针旋转，那就是这样子吗？对不？你会发现从图一转到图二，这个角度正好是阿尔法， 并且题第一小问题目中告诉我了，阿尔法是十六度，那角 b o p 跟这个角阿尔法是互余的，应该是七十四度， 直接动手写角 a、 o n 这边是一个九十，这边是一个阿尔法，那是一百零六度。第一小问是非常简单的，看一下第二小问，三角 a o c 等于二倍角 a o m， c 在 哪里呢？有同学说，老师我在图二中没有看见 c 射线 o c 是 角 b o m 的 角平分线，那我们可以在这里画一下，方便大家去理解啊。 如果说是在图二中的话呢， o c 应该是在这里， o c 在 这里。 他说角 a、 o c 等于二倍的角 a o m。 求子时贝塔的值，贝塔是谁？角 p o c。 好， 我们来写一下第二小问 解。角已知，把条件先梳理一下， a o c 等于二倍的角 a o m 然后呢， o c 是 角 b o m 的 角平分线 p o c 等于北塔。 这是题目给我们的条件。好，来分析一下。如图二，角 a o c 等于多少度？角 a o m 又等于多少度？ 角 a o m 很 明显应该是等于九十度减去阿尔法。这个地方是阿尔法吗？角 a o c 嘞？ a o c 应该等于九十度减去二分之二法是不？因为 o c 是 角 b o m 的 角平分线，所以这个角应该是二分之二法，这个角也是二分之二法，那这个角又是九十度，那么角 a o c 应该等于九十度，减去角 b o c 是 不？所以角 a o c 等于 九十度减去二分之阿尔法。那么就可以列出一个方程来了， aoc 等于二倍的 aom 九十度减去二分之阿尔法等于一百八十度减二阿尔法。所以我们就能够知道，二分之三倍的阿尔法等于九十度，阿尔法应该是等于六十度的。 有的人老师此时跟 beta 没有关系啊，那我就要把角 poc 用含阿尔法的的式子表示出来呀。角 poc 等于多少？当然角 poc 也是等于九十度减去 pow 减去 c o m 嘛。所以呢，写在下面， beta 是 等于九十度，减去三十度等于六十度。 这是第一种情况，此时 o b， 它还在 po 的 左侧。还有一种情况，画下图，当嗯 bo 在 po 右侧时，把图画在这里，这个是 o b， 嗯，这个是 m， 这个是 n， 这个是 p， 这个是 q。 当 ob 旋转到 po 的 右边，接着把剩下的给它还原上去。 那么呢，这个是 a b o m o c 是 b o m 的 角平分线。这样角 a o c 等于多少？如这个图啊，如图 我们知道角 a o c 加上角 a o m 等于 c o m 是 吧？角 a o c 加上角 a o m 应该等于角 c o m 等于角 b o c。 因为 o c 是 b o m 的 平分线，角平分线，所以 b o c 是 等于 c o m 的 m o c 的。 然后又因为呢， a o c 加是等于两倍的 a o m 的， 所以三倍的角 a o m 呢，应该是等于角 c o m 等于角 b o c 的。 角 c o m 等于多少度？我们现在知道 b o m 是 b o m 是 阿尔法，因为 因为 o b 从零开始旋转到现在这种，现在这个位置是旋转的阿尔法嘛，所以 b o m 是 阿尔法，所以呢，角 c o m 等于角 b o c 也是等于阿尔法。所以三倍的角 a o m 是 等于 二分之二法的啊。这个是 c o m 和 b o c 是 二分之二法，应该是 b o m 的 一半。所以呢，角 a o m 是 等于六分之二法的。角 a o c 呢，应该是等于三分之二法的。 p o c 应该等于多少角 p o c 应该是等于角 p o m 减去角 c o m。 所以呢，角 p o c 应该是等于九十度减去二分之二法。我们现在需要求出 r 法的角度。 角 b o c 应该是等于角 b o a 减去角 c o a， 那应该是等于九十度。 c o a 就是 a o c 嘛，减去三分之二法。所以呢， b o c 又是等于 c o m 的 嘛？等于二分之二法嘛，所以九十度减去三分之二法是等于二分之二法的，在这里的话呢，我可以求出来，二法是等于一百零八度， 所以贝塔呢，应该是等于九十度。减去一百零八度除以二，那就应该等于九十度。减去五十四度，应该等于三十六度。所以贝塔有两种情况，贝塔等于六十度或三十六度。 这是第二小问。第三小问，若将两块直角三角板，其中角 a、 o b 等于三十度， c、 o d 等于四十五度，我们可以看第三个图啊，这个是三十度，这个呢，是四十五度， 摆放在直线 m n 上，如图，三角 o d， c、 o d， c 这个右边的这个绕点 o 以每秒五度的速度五度，每秒逆时针转动，当 o d 第一次与射线 o m 重合时， 三角板 o d、 c 停止转动。根据我们做动角问题的直觉，这个时间要记录一下，是吧？三角形 oba 绕点 o 以每秒十度 顺时针转动，当 oa 第一次与射线 o d 重合时，三角板 oba 立即停止转动。那么当然这个时间也要记录了， 三角板 o d、 c 和三角板 o b、 a 同时转动，转动时间为 t 一 秒。就是如第四个图，它这样子转啊。 第一小问，用含 t 的 代数式表示射线 o a 与 o d 重合，前角 b、 o c 与角 a、 o d 的 度数， 那我们可以看一下 o a 和 o d 什么时候重合， o a 和 o d 最初时的时候距离的是一百五十度吧，因为这里有个三十度嘛，我蓝色画的这个角是一百五十度，这一百五十度它们俩是怎么填满呢？ o a 这样子每走十度，每秒十梯， o d 呢？这样子五度，每秒走五梯，所以它俩加在一起应该是十五梯。十五梯走了多少度呢？正好把中间的这个一百五十度填满了。那这就是相遇问题了，是不好写一下啊。三， 那就是一百八十度，减去三十度除以一个十加五，最后得出是十秒。所以呢， o a 和 o d 相遇的时候是十秒，十秒后， o a 与 o d 相遇， 并且呢，嗯，三角形 o b、 a 停止运动， 第二这个时间就记录完了。还有一个是 o d 与 o m 重合， o d 与 o m 肯定是，就是一百八十度嘛，那就是一百八十除以五，应该是等于三十六。三十六秒后， o d 与 o m 重合，三角形 o d、 c 停止转动，看一下还有什么是会继续走的吗？ o a 和 o d 写了 o d 和 o m， 也就是左边这个轴也写了，还有谁和谁有可能会重合呀？ o b 和 o c， 看一下这两个，第四个图，这两个是不是也有可能重合呀？是不好， 嗯，那就来算一下 o b 和 o c 什么时候重合。 o b 和 o c 应该是一百八十减去四十五，中间相隔的是一百三十五度，然后 o b 呢，是十梯， o c 是 五梯，它们俩共同来把这一百三十五度填满，所以应该是十加五。 在这里的话呢，它应该是等于九，所以就是九秒后呢， o b 与 o c 相遇， 也就是什么意思呢？九秒前 o b 一 直在 o c 的 左侧， 九秒后， o b 在 o c 右侧。因为题目说的是射线 o a 与射线 o d 重合之前嘛，那肯定就是十秒之内，一提 e t 是 小于十的。 那我就要分两种啊。第一种情况就是 o b 在 o c 左侧的时候啊，当 o b 在 o c 左侧时， 也就是 t 是 大于零小于九的九秒的时候，它俩重合了， o b 在 o c 左侧时，那就是图四这个图啊，那我们就可以看一下 b、 o c 和 a、 o d 各自的角度， a、 o d 应该是多少度？本来 a、 o d 是 有一百五十度的，是不一百八减去三十吗？不就是一百五吗？我把这个地方划掉啊， 本来这个这里 a、 o d 应该是有一百五十度的，但是呢，随着时间的推移呢， o a 会往这边走十梯， o d 呢？会往这边走五梯，所以最后它的角度肯定是没有一百五十度的，那应该是多少呢？肯定要把它俩走的给减掉，是吧？所以呢，角 a、 o d 应该是等于一百八十减三十，然后减十梯，减五梯，应该等于一百五十减去十五梯，这是 a、 o d 的 角度， 那角 b、 o c 呢？依旧在这里看一下角 b、 o c 把这个擦掉啊， 角 b、 o c 原本是这个地方是四十五度嘛，原本它应该是一百三十五度，然 然后呢， o b 要往这边走十梯， o c 要往这边走五梯，那它肯定也要减掉啊，所以角 b、 o c 应该是等于一百八十度，减去四十五度，减去十梯，减去五梯，最后应该是等于一百三十五度减十五梯， 是不？这是当 o b 在 o c 左侧的时候。还有一种情况是，当 o b 在 o c 右侧时，那就是 t 是 比九大， 那如果是这样子的话呢，把这个图画出来九秒钟，正当九秒钟的时候， o b 是 与 po 重合的，那超过九秒的话， o b 应该在 po 的 右侧，正好九秒钟的时候， oc 应该是和 p o 重合的，那超过了九秒钟， o c 应该是在 p o 的 左侧，好，来看一下，正好呢，这个角度应该是一个嗯十梯，那 boc 应该是等于 角 b o c 应该是等于嗯，角 b o m 减去角 c o m， 又因为呢，角 c o m 应该是等于四十五，加上啊，等于一百八十度， 减去角 c o n， c o n 呢？等于角 c o n 是 等于 四十五度加上五 t， 所以 角 boc 应该是等于十 t 减去一百八十度减四十 五度加五 t， 这个应该是等于十 t 减去括号一百三十五度减五 t， 这个应该是等于十五 t 减去一百三十五度，这是此时的 boc。 还有一种情况呢，再就是我们的 a o d， a o d 也画一个图吧， 那正好九秒的时候， o a 是 走了九十度，那也就是在 p o 右侧三十度的那个地方，那它应该是在三十度往后，这是 o a， 这个角是大于三十度的 o d o d， 这个角是大于三十度， o d 是 正好九秒钟的时候，是往上走了四十五度的，是不？那他在超过九秒的时候，应该是走了接近五十度，然后 o a 是 走了三十多度，那 o d 是 在这里，在它下面一丢丢，是不？所以角 a o d 应该是等于角 a o n 减去角 d o n， 那 角 a o n 是 等于多少？角 a o n 应该是等于一百八十度减去角 a o m， 那 角 a o m 是 等于多少呢？角 a m 应该是等于三十度加十 t o a 往这边走嘛，本来就有三十度，然后他又走了十 t， 三十度加十 t， 所以 角 a o n 就应该是等于一百五十度减十 t， 然后角 d、 o、 n 等于多少呢？角 d、 o n 等于多少呢？ o d 就是 从 o n 出发走了 t， 每每秒钟走五度，走了 t 秒，那 d、 o n 就是 五 t 啊。写的正确， 这个地方是五 t， 这个地方是三十加十 t， 所以角 a、 o、 d 应该是等于一百五十度减十 t， 再减去第二 n 的 五 t， 应该是等于一百五十度减去十五 t， 所以综合下来的话， a、 o、 d 就是 一百五十度减十五 t， b、 o、 c 的 话呢，是分 ob 和 oc 相遇前和相遇后的，是一百三十五度减十五 t 和十五 t 减一百三十五度。这是第二题。 然后第三题，他说在整个旋转过程中，满足角 a、 o、 d 减角 b、 o、 c 等于五度时，求出相应 t 的 值，那正好在前面的 第一小问当中，我们已经求出来了。呃，零小于 t 小 于九的时候，那么角 a、 o、 d 减去角 b、 o、 c 应该是等于 一百五十度减十五 t 减去一百三十五度加十五 t， 是 吧？那它应该是 写好一点，这里它是等于，嗯，一百五十度减十五题，减去一百三十五度加十五题，所以它应该等于一百五十度减一百三十五度，应该是等于十五度的。 又因为呢，十五度不等于五度，题目说的是五度嘛，对不？所以这个呢，是不符合题，这种情况是要舍掉的。还有一种呢，是 t 大 于等于九， 那么角 a、 o、 d 减去角 b、 o、 c 的 绝对值应该是等于 a、 o、 d 是 一百五十减十五 t， 然后 b、 o、 c 是 继续减十五 t， 加上一百三十五， 那最后算转应该是二百八十五度减三十， t 等于五度，所以最后 t 应该是等于三十分之二百八十五加五，那就是三十分之二百九，也就是三分之二十九，或者说是二百八十五减五，那就是三十分之二百八，也就是三分之二十八。 还有那还有一个就是 t 大 于十的时候啊，是不是还有一个是 t 大 于等于十小于三十六的时候啊？三十六秒钟就停了，所以把这个情况再写一下。 十小于等于 t 小 于三十六，那 t 大 于十的时候，十秒钟的时候，其实三角形 o b， a 已经停止了，此时 三角形 o d， c 还在运动，是不？还在运动？那我们画一下图吧。 在十秒钟的时候， o b 走了一百度，那也就是在 p o 的 右边， o b 走了一百度，这里只有九十度嘛，那 o b 是 在这里， 然后呢？ o a 走了一百度，那也就也是在 po 的 右侧，在 po 的 右边。呃，四十度的位置， o a 大 概就是在这里，就是 o a。 好， 那再看一下 o d 十秒钟的时候， o d 是 走了五十度的，是不？ o d 原本是在下面走了五十度，那应该是在这里用黄色的部分画吧，这个地方是 o d， o c 也是走了五十度，那就是在 p u 的 左侧了，左侧五度的，这里应该不是这样画啊， o d 在 这样子往这边画一点，然后这是个直角。对， 好，那此时我要想知道，角 b o c， 那 应该是等于 b o m 减去 c o m 是 不？那这个地方大家应该自己就会写了吧。角 b o c 等于角 b o m 减去角 c o m 就是 十 t c o m 就是 一百八减 c o n， c o n 又是四十五加五 t 嘛，所以这个地方算出来应该是十五 t 减去一百三十五度。 那么再来看一下呃，角 a o d， 角 a， o d 应该等于多少呢？ a o d 应该等于 d o n。 角 d， o n 减去角 a o n， 角 d， o n 等于多少？ d， o n 应该是等于五 t 是 不？ o d 走五 t 走到上面去嘛？ a o n 应该是等于 一百八十度减去 a o m， a o m 是 三十加十 t， 那 也等于一百五十度 减去十 t， 那 最后它应该是等于五 t 减去一百五十度加十 t， 最后应该是等于 十五 t 减一百五十，然后它俩的绝对值加在一起去，又是一样的绝对值。角 a o d 减去角 b o c 应该是等于 十五 t 减一百五，减十五 t 加一百三十五，那最后就也是十五度嘛？十五度是不等于五度的， 所以这个是要舍掉的。最后呢，发现 t 就是 等于三分之二十九，或者说是三分之二十八，答案在这里，只有这种条件符合， 有一点多内容，但是我尽量把版书写的是比较工整的，并且把每一种图都给画出来了。主要这个题的难点在于角 b o c， 它是会变化的。还有角 a o d， 我 们时刻要关注我们的 o a o c o d， o b， 它到底在 p o 的 左侧还是右侧，并且互相在对方的左侧还是右侧， 这个凝结值要搞清楚。把这个运动状态的凝结值搞清楚了之后，就要分析这个图到底是在哪一边，图到底是在哪一边之后他其实就不是很难了，因为他的数据还算是比较简单的。好，大家自己动手做一下。

大家好，我是老师，那么老师呢，今天给大家的题目呢，是一个平行线中的性质啊，去考一个压轴题。那么我们平行线性质呢，是我们不管是初一初二还是初三啊，都会考到的，后面的综合题也会考，所以我们一定要学会 如何利用平行线以及性质去答题，那么跟着老师呢，把思路学会，让你轻松得分来。如图已知呢，我们的 a b 呢，是平行于 c d， 记住了， 我们看见平行线，脑子里马上要想他的性质，对吧？他有平行线，一定会考性质。至于考哪一个，我们先分析题目， 他说 o e 平分， b o c 来平分 b o c， 我 说过的平分角是关键，你可以给他标一下对不对？平分了吗？然后呢，我们的 o e 垂直于 off， 这里是一个直角啊，就也标一下吧， 来两个直角。好，再来说，如果说这个 a b o 是 一个阿尔法，给出下列结论，哪些正确？好，那我们来看一下他给的角是谁呢？给的角是一个 a b o r 法。 注意了，像这种的，我们用平行线性质，或者说是以后哈我们的三角形，四边形的，这种给角度是未知数，还要找关系的，大概率是让你用这一个未知数表示出后面所有角度来解题。 怎么表示呢？来做题，试一试。他说给出下来结论，第一个 boe 是 一百八十度减去 r 法，这怎么做呢？其实特简单，来，我们先看题，他说的是谁？ boe， 哎，我刚刚说了，平分的角度你要看一眼，你知道是谁吗？哎，平分的不就是 boe 和 coe 了吗？所以我们可以马上得出啊，这个 boe 是 二分之一倍的 boc， 那我能算出 boc 就 ok 了呀， boc 怎么算呢？哎，你再来看 boc， 在 这我刚刚说了，有平行线必考性质怎么看？考谁我们就看问的谁，现在你看我要求 boc 对 不对？ 而 b o c 和提看条件的阿尔法刚好是一个同旁内角，对吧？所以我们就这样去分析哈，你先看问的谁，你再看条件有谁，去结合它们是什么角，然后用性质去作答，来同旁内角互补， 对吧？哎，所以说，根据 a b o b o c 同旁内角互补，所以 b o c 等于一百八十度减去阿尔法。 好吧，选择题哈，老师，过程就写简单一点了哈，既然这个思路呢，大家一定要把这个思路理清楚，那我们得到 b o c 过后呢，你看，我们的 b o e o e 平分 b o c， 所以 我们的 b o e 就是 二分之一倍的 b o c 等于了二分之一倍的一百八十度减二法， 明白了吗？哎，所以第一个正确，你也可以给它化简一下，为什么呢？因为化简完过后哈，一会要用得上。好，这是第一问， 第二个，他说 o f 平分 b o d。 哎，你说，老师啊，这个 o f 平分 b o d 又怎么算呢？这个题的方法其实有很多，但是我讲一个最好用的方法，什么方法呢？ 记住了啊，记住了，我们在一条直线上可能会存在有两个角，对不对？比如说，这里是一个 a o b， 这里是一个 o c， 好， 然后呢，我告诉你，现在有两个角平分线，一个呢是我们的 o m， 一个呢是我们的 o n， 对 吧？两个角平分线来 o m 和 o n， 那 么我一定能够得出一个结论， 什么结论呢？这里是一个九十度。为什么？这是我们前面给大家讲过的双角平分线，对吧？来， c o m 是 a o c 一 半， c o n 是 b o c 一 半，所以 m o n 就是 a o b 的 一半。这我们前面讲过的，如果你忘了，可以往前面翻一翻视频啊，讲过的双角平分线， 那我们得到过后，也就是说，哎，坑。根据两个角平分线，我能够得出 m o n 是 一个九十度，对吧？那反过来呢？ 反过来，如果我说这里是一个九十度， o m 是 a o c 的 平分线，那么 o n 就 必然是 b o c 的 平分线，所以第二个呢？直接正确， 对不对？那你说，老师啊，假如我考试记不住怎么办呢？如果你确实记不住这个思路哈，我们也是能够去证明的。来看一下怎么证明呢？我刚刚说了，这种题一般是用所有的角度都来阿尔法表示，对吧？把所有角度都用阿尔法表示，那我们要证明他也是评分的话呢？我们可不可以把这两个角度求出来啊？ 对吧？怎么求呢？来，首先我们知道了 e o f 是 一个九十度，对不对？垂直嘛，刚刚这里标了它是垂直，那既然它是一个垂直的，然后我刚刚还求了谁啊？我还求了 b o e 是 多少？ b o e 是 九十度减二分之一的 r r 法，对吧？哎，那我是不是能把 b o f 算出来了？ 你看一下，我知道了， boe 这里是个九十度，那我用九十度减去 boe 就 能算出 bof， 所以 我们的角 bof 可以 用 bo 这个 eof， 哈， 是用 eof 减去了 boe， 对 不对？那么 eof 呢？是一个九十度 boe 呢？刚刚化简了哈，化简了是九十度减去二分之一的阿尔法，所以我们的 bof 呢，就是一个二分之一的阿尔法了， 对吧？哎，表示出来了。然后呢，你看哈，如果要证明 o f 平分 b u d， 你 可以证明这两个角相等，你也可以证明这个角是他的一半，对不对？咋证明呢？ 我们要找这个角嘛，这个角我刚刚说了，有平行线必有什么，有性质，有性质，你就看这个角和谁也相关 阿尔法呗，对吧？所以大家一定要学会这个思路哈，那我们就能得出同啊，这个两直线平行同位角相等啊，是不是？所以，哎，我就得出了，我就得出了 b o d 是 一个阿尔法，对吧？那 b o d 是 阿尔法，你是他的一半，那说明了 of 就 平分了嘛， 对不对啊？那所以说第二个呢，也正确的啊，好，第三问，他说 poe 等于 bof， 那 么我们在刚刚呢，已经算出来了 boe 时， bof 呢，是二分之一的阿尔法，对不对？那我现在只要想办法把这个 poe 算出来就 ok 了呀，好算吗？ 非常简单，拿最简单的思路来说，就是什么我们的 eof 是 九十度 对不对？ boe 是 多少？是我们的九十度减二分之一 r 法。然后呢，我们还知道什么条件，这里还有一个 o p 垂直于 o d， 记住了哈，每个条件都不要漏掉啊，这里还有一个垂直，那你说我能通过哪几个角去找到 poe 呢？ 能想到了吗？你看一下啊，来看一下我们，现在，我们在刚刚呢，证明了同这个两直线平行内错角相等，所以这里呢，是一个阿尔法，对不对？然后呢，这里是一个九十度，那我是不是能够得出这个角是一个九十度减阿尔法了， 对吧？然后呢， boe 又是九十度减二分之一的阿尔法，那我能不能用这个？什么？我们能用 boe 减去 boe 啊？ 那所以啊，我们就可以把 boe 算出来了，你看我们的 boe 是 不可以用 boe 减去 boe， 你 看 b o e 把 b o p 减去，就是 p o e 了，那这是九十度减二分之一阿尔法。减去九十度减阿尔法，大家自己化减哈，化减完过后呢，刚好是二分之一阿尔法，你看看 是不是相同了呀？都是二分之一阿尔法，所以第三个呢，也正确。当然这个方法呢，确实不是特别方便。为什么呢？我有一个更简单的思路，直接秒杀。什么思路啊？我不需要计算。为什么？ 因为题目给的很清楚。来，我们 o e 垂直于 o f， 这里是一个直角，对吧？然后呢，我的 o p 垂直于 o d， 这里也是一个直角， 对不对？我能马上得出什么来？重合角度问题，这个东西在我们八年级全等也会考啊。重合角度问题，如果说有两个角相等，并且重合了一部分，那么未重合的部分呢？也是相等的。为什么？我们可以这样来举例， 来，我给大家标一下，比如我把这个标为一个 x 吧，然后呢，我把这个呢标为一个 y， 好，我把这个呢标为一个 z， 好， 那我们来看一下哈，根据 e o f 是 一个直角，对不对？垂直吗？ e o f 是 直角，所以 x 加 y 就是 一个九十度， 对不对？一样的，我们的 p o d 是 垂直的， p o d 也是直角，所以 z 加 y 也是九十度，那你发现了吗？ 对不对？同角的与角相等，你加他九十，他加他也是九十，所以你俩相等对不对？那就得出了， poe 等于 fod， 对 吧？所以说能够秒杀的哈。那你说老师，不对啊，你说 poe 等于了 fod， 那 fod 也不是 bof 啊， 不是吗？我不刚挣完平分吗？对不对？我刚挣完了平分，所以 d。 哦，这个 f o d 就 和 b o f 相同呗。哎，所以就等于了 b o f。 哈，两种思路我们都能做，两种思路都能做，但重合角度问题呢？你一定要学会。为什么后面也会考？你看见两个角相等， 看见两个角相等，除了重合部分以外的剩余部分也相等。好吧。好，这是我们的第三个。那第四个呢？第四个都不用看了，为什么呢？ 来，他说 p o b 等于二倍的 d o f。 刚刚说了哈，我们这里是平分角，对不对？平分角度。然后呢，我们的 b o f 是 不是等于了 d o f 等于了二分之一的阿尔法， 对吧？ b o f d o f 是 二分之一阿尔法。好，然后呢，我们刚刚是不是还算出来了？谁？我们刚刚还把这个 b o p 啊， b o p 算出来了，是一个九十度减阿尔法没忘记吧？那你看一下，这两个能相等吗？ 或者说他等于二倍的他吗？你看我的 p o b 是 二分九十度减去阿尔法，然后呢，我们的二倍的 d o f， 那 就是二倍的二分之一阿尔法。那就是阿尔法呗。这两个相等吗？ 不一定对不对，除非阿尔法等于四十五度，但这种题是不能出错。对的。你说老师不对啊，阿尔法是四十五度对了呀，他又没说阿尔法是四十五度 对不对。那如果是其他度数呢，那就就错了哈，这种特殊值呢，你不要带进去算哈，他是一个错的。所以说呢，我们正确的呢，有三个选 c， 明白了吗？ 所以平行线的性质题，我们一定要去把它的什么呢条件分析清楚，去找到我该用哪个性质去解的夜。好吧，那么跟着老师每一遍让你轻松得满分。

七年级的动角问题你一定要学好，因为它不仅是我们这学期期末考试的压轴题，在我们的中考中也常会考察一些几何动态问题和函数动态问题。 那么这类题我们学会的不仅是一个题型，而是提升我们解决动态问题分析的能力。好，我们一起来看一下这道题。这道题说角 a o b 等于一百二十度，射线 o m， 从 o a 的 位置 绕点 o， 顺时针以每秒十二度的速度旋转，到达 o b 时停止。那么在这个旋转的过程中，射线 o n， 它始终是我们这个角 a o m 的 平分线。问我们的角两倍的角 b o n 减去角 b o m 是 否为定值？ 这种是否为定值的题，大家一定要注意，你一定要去用我们含未知数的式子，把我们的角度都表示出来，并且把它们相减，你去看它化减的结果是否为定值。那在这个题里面，我们需要表示的是角 b o n 和角 b o m 的 大小。 在整个旋转的过程中，我们 o m， 它的速度是十二度每秒，所以我以这个角度为零度的话，那么以这个射线的位置是一百二十度的话，我们射线 o m 走过的角度应该就是当时间为 t 时，这段为十二 t， 也就是说 角 a o m 的 大小是等于十二 t 的。 那在这个里面我们去看一下角 o n， 这个射线 o n 为我们角 a o m 的 平分线，那所以这两个角 是始终相等的，那么角 a o n 就 应该等于角 m o n， 它们都等于一半的角 a o m， 那 就是六 t。 好，在这里面我们来去看一下 b o n 和我们这个角 b o m 如何表示？这个角 b o n 应该等于我们整个的一百二十度，减掉我们这个 a o n， 所以 这个角 b o n 的 大小非常好表示，那么角 b o n 的 大小就应该等于我们总共的 a o b 一 百二十度，减掉我们 a o n， a o n， 我 们刚才求出来，它等于六 t， 那 就是减一百二十度减六 t。 在这个题里面，他让我们求的是两倍的 b o n 减 b o m 是 否为定值？那在这个里面两倍的角 b o n 就 应该等于什么呢？我们把这个整体乘二，那就是二百四十度减十二 t。 好， 那么两倍的角 b o n， 我 们就表示完了。那么角 b o m 如何表示呢？ 角 b o m 在 这个题里面，应该等于我们总共的一百二十度，减掉我们 a o m 的 度数就等于我们这段角 b o m 的 度数，所以这个角 b o m 就 应该等于我们总共的一百二十度。一百二十度减掉我们的 a o m， a o m 是 等于十二 t， 那 么减掉十二 t。 好， 这里面那么两倍的角 b o n 减掉我们的 b o m， 你 会发现，二百四十减掉我们这个一百二十减十二 t， 那么负十二梯减这个负十二梯，结果为零二百四十减一百二十为一百二十，所以它的定值就是一百二十，那么我们这结果就是二百四十减十二梯，然后减去角 b o m， 一 百二十度减十二梯，这个整体这个结果我们化简之后应该等于一百二十度， 所以我们二倍的角 b o n 减 b o m， 它的结果是否为定值？是，那这个定值是多少？一百二十度？所以我们再去求一些定值类问题的时候，大家要解决的首要问题就是我们这个角度如何表示？ 因为在这个题，在旋转的过程中，我们 o n 始终是角 a o m 的 平分线，并且 o m 是 在 a b 之间旋转，那么不涉及到我们这个角 a o n 或者是那个 b o n 这方向发生突变的时候，那么如果涉及到方向发生突变的时候，大家一定要去记住，我们要进行分类讨论。