蒲和平基础中值定理三十七题

然后第三章微分中值定律及导数的应用，那么它的内容一个就是微分中值定律，那这个地方呢，有罗尔，有拉格朗日，有克西，有泰勒。那么大家注意对这些定律的复习， 不管是基础阶段还是强化阶段，那么主要就是这个定律的条件，这个定律的结论，这个定律的本质是什么？那么这个定律怎么用？ 关于定力的证明，给就在冲刺，就在最后，你只要听吴老师给你划一个范围，把那几个定力证明搞会就行了。 好，那么这下呢，就是导数的应用，为一分钟的定力给我们把函数和导数联系起来了， 那么这个时候为我们用导数来研究函数对的一个基础，那导数可以这么来研究函数什么呢啊？单调性，可以用来研究函数的极值，最值，可以研究曲线的凹向、拐点，渐近线。 那么大家注意，这些中直定理往往牵涉到的是证明题，所以有关中直定理的证明题不是我们基础阶段要突破的，所以我们在基础阶段主要是知道这几个定理条件，结论啊，简单的应用， 那么复习的重点应该在哪里？应该在这就是函数的单调性，极值，最值，曲线、凹向、拐点、渐近线，这应该是我们复习的重点，这些基本方法我们在基础阶段就能够掌握，也应该掌握， 而这个地方的考题呢，考来考去通常就是这样五类题， 那么大家注意，作为基础阶段的话，这是我们复习的重点，就是关于函数的极值，最值，曲线的凹向拐点，还有什么曲线的渐近线，这都是方法性的东西 啊，那么大家注意这个地方就属于较难或者难题啊，方程根的问题，不等式的问题，证明题，那么这地方应该是属于了解， 就这个地方，这两个地方是要掌握，这个地方就是了解了解方程根的一些基本方法，正面不等式的基本方法，中指点力，知道一些基本方法就够了，这不是我们基础阶段要突破的。好，这就是微分中指点力及其应用。

好，各位，新课已经讲完了，我们现在呢，进入了一个复习阶段啊，这节课呢，我带大家回顾一下元当中的定例，以及偷偷藏起来的定例长什么样啊？先看一下大家比较熟悉的这么几个啊， 第一个叫垂径定力啊，这个非常简单，他说的是 垂直于弦的直径所在的直线啊。第一个呢，平分这个弦，第二个要平分这个弦所对的弧啊。第二个 切线长这里啊，难度也不大，说的是过圆位一点 p 做这个圆，它的切线呢，一共是能做两个 p m 和平啊，这时候呢，这个 p m 和这个 p n 它是相等的。正法也很简单啊，把这个连起来， 把这个连起来，再把这个连起来，垂线垂线，这样的话就会出现这个三角形和这个三成全等，那么得到的结论就是 pm 等于 pm。 第三个，这个就是我们解体的一个大杀器啊，在同圆或等圆中啊，在同圆或等圆中啊，存在 等乎等弦等角，要注意这个角啊，这个角呢，是圆心角， 还同时包括了圆周角啊， 还有等距，所谓的这个距，它指的是西安新距啊，给大家画一图， 这是圆 o。 好， 现在我们看一下这个 o a b 和 o c d， 假设我现在的已知条件呢，叫做互 a b 和互 c d 相等 啊，叫做因位相等。那么你得到的结论就是， 弦长 ab 和弦长 cd 是 相等的，这是第一个，第二个，这个圆心角和这个圆心角是相等的啊，如果画圆周角的话啊，你再往上画就行了， 这叫等忽等弦等角。那么什么叫等距呢？弦心距啊，就是圆心到弦的距离， 这个长和这个长相等啊，忽弦角距任意一个作为条件出现的时候，其他的通通都是结论啊，这是你们最熟悉的三个定律， 但是很明显，现在在做题过程当中呢，你们就觉得啊，这就这三个定力呢？他不够用了，不够用。那好，我们把隐藏的其他定力给大家扣出来啊。好，第四个 叫做香蕉弦， 在圆里边呢，有两个弦， cd 和 ab 呢，交于点 p， 它就会出现一个什么叫做 pa 乘以 p b 等于 p c 乘以 p d 啊，这叫相距弦定力弦，这里边你要注意啊，包括 直径，因为直径哈是圆里边最长的一个弦， 那么他怎么证明呢？现在出现了这种乘积形式，很明显是通过相似得来的，你就随便构造一组相似就可以了。你比方说我连接 a c， 我 再连接 b d， 那 现在出现的你看这和这个是不是对零角，而这个和这个它所对的，那么是不是就得到这个和这个相似啊？对，相似了以后呢，就会出这个结论啊？好，第五个 叫做弦切角定力哈， 这个定力说的是什么呢？弦切角等于同弧所对的圆周角 啊，好，看一下它的样子， 这是一个弦啊，比方说我过这个点做了一个切线，然后我再随便画出一个圆周角来， 标上字母 啊，现在出现的情况呢，就是这个角和这个角相等啊，啥叫弦切角？弦切线所加的这个角就叫弦切角啊，那怎么证明这个和这个相等呢？你看一二线出现了切线，是不是我们必须得把那个垂线找出来？ 好，现在我连接了圆心和切点之后，现在是不是就会出现一个直角啊？我把这个稍微延长一下啊， 然后再把它连起来这个地方，比方说它是一个点 e， 那 现在你看到的是这个角 a 对 的弧是 b、 c， 是 不是这个角 e 对 的弧也是 b、 c 啊？所以这个角 a 是 不是一定会等于角 e 啊？对 啊，然后现在呢，你看， 我现在出现了一个直径，他对的圆周角是不是一个直角，也就是说这个 e、 b、 c， 他 就是一个直角啊，那么我就会出现这个角 e 加上这个角 e、 c、 b 等于九十度啊。同时由于这个切线的存在，我还能看到这个角 e、 c、 b 加上角 b、 c、 d， 那么现在我们进行等量代换， e、 c、 b 加角 e e c b 加角 b、 c、 d 都等于九十度，所以 这两个是不是相等的啊？而现在我角 a 和角 e 是 不是又相等，所以说我就瞬间带出来了，以后带出来这个角 a 是 不是角 b、 c、 d 啊？对， 这个就是先拆掉定力啊。好，第六个，第六个呢，叫 切割线定力啊，这个切割线定力还是给大家画一条圆 p a、 b、 c， 这个定律是怎么写的呢？它叫做 pc 的 平方等于 pa 乘以 pb 啊。 啊，现在呢？切割线定律它说的是 pc 是 切线， pa 是 和弦啊。嗯，那么现在有了这个弦切角定力以后呢？这个题的正法就非常非常简单啊，在这这个角它是一个弦切角， 而这个角是一个圆珠角，那么这个圆珠角所对的弧是 a、 c 吧？是不是就可以用到这上这个弦切角定力了，所以这个角和这个角相等，然后呢，再来一个， 这个是不是一个共轴，对吧？所以啊，它就会出现这个三角形 p a， c 相似于三角形 p c， d 啊，然后呢，你再把它铺开， p a 比上 p c， 就 等于 p c 比上 p b 啊，这样就出现了 p c 方等于 p a 乘以 p b 啊，这就是切割线定律啊，再看第七个，第七个呢，叫割线定律 啊，割线定律，这个也比较容易啊，他说的是过圆为一点， p 引圆的两条割线， p a， b， p c， d 啊，这时候呢，有一个结论叫做 p a 乘 p b 等于 p c 乘 p d 啊，这个的正反很多啊， 第一种乘法呢，你可以在这个地方呢填一条切线，用切割线定理呢，证明这个 pe 的 平方等于 pe 乘 pb， 同时 pe 的 平方等于 pc 乘以 pd 啊，然后等价代换就行了。还有呢，就是用相似来算啊，一般说你可以把这个连起来啊，你再把这个连起来， 那根据我们所学的，圆的内角四边形，它的外角等于它的内对角啊，再加上这个角，它是一个公共角，那就会得到 三角形 p c， a 相似于三角形 p b， d 啊，这样的话，再用比例把它展开，就出答案啊。 好，第八个，第八个叫什么？他叫正弦定理啊， 正弦定理呢，在初中用的不是很多啊，在高中用的比较多一些，但是他的证明就是从我们初中学段开始的，也很容易啊， 在这给你一个三角形 a， b， c 啊，其中这个 a 所对的边，这个长度呢，是 a， c 的 对的，这个边的长度是小 b 啊， b 所对的长度 是啊，小小 b， c 对 的是 c 啊，然后呢，这个正弦定律它说的是啥？这个 a 除以三 a 等于 b 除以三 b， 哎，等于 c 除以三 c， 它都等于一个什么？一个定值两个 r， 其中这个 r 呢？它指的就是 半径啊，那么这两个啊，很明显它有直径啊。我们现在既然是动了三 a、 三 b、 三 c 了，那么我就得想办法去把这个 abc 这个角数往直角三角形去放，对吧？好，那我现在去构建一个直角三角形啊， 如果这个是圆形 o 的 话，你比方说我现在正一个正，第一个吧， 这个 a 除以三 a， 它等于二 r， 其他的正好都一样啊，它是怎么正的呢？现在先找到啊，把这个 a 转到一个直角三角形里边去，是这样转的，把 b o 连起来， 哎，这个比方说它是个 a 一， 然后再把这个连起来， 那现在是不是又出现了直径所对的圆周角，这个角是不是一个直角啊？这样的话，这个角我就把它放到一个直角算上去了啊？放下来以后，你看 b c 的 长度是 a， 然后这个 a 一 b 是 不是等于二啊？对吧？ a 一 b 是 二啊。 那么根据三角函数的定义，你这个算 a 啊，这个角它的正弦是不是等于这个 b？ c 除以这个 a 一 b， 也就是 a 除以两个 r 吧。所以啊，这时候就出现了一个 a 除以三 a 等于二啊，这个除以这个等于它，这个除以这个等于它啊，它做法是一样的，就是把它们引到一个直角三角形里边就可以了，这是第八个，叫直线定律。好，再看最后一个啊，最后一个叫 陀罗密定力啊，它是和圆的内接四边形相关的一个定力，它长这个样啊， 陀罗密定力呢，它说的是若 a、 b、 c、 d 四点共圆， 那么这个四边形对角线的乘积， 它就等于这个四边形两组对边的乘积之合，也就说 a、 c 乘以 b、 d 就 等于 a、 d 乘以 bc， 再加上 ab 乘以 cd 啊， 那么这个东西是怎么证出来的啊？我给大家走一下证法，你要注意啊，就是托勒密定律呢，他在选择填空题里边，你是可以直接用的啊，他的用途还非常大，但是一旦遇到了证明题，你不能直接用，除非你先把这个定律先证一次啊，他的证法其实也不难啊， 我们先看，是这样做的啊，我在这个位置 找一个点 e 啊，然后我让这个角和这个角相等， 在 b、 d 上取点 e 啊，十角 b a、 e 等于角 得 a、 c 啊，好，它俩相等，它俩相等了以后，那现在你再看啊，我这个角和这个角所对的弧都是弧 a、 d 了，对吧？所以这个角和这个角是不是也相等啊？ 叫做因为角 a、 b、 d 等于角 a、 c、 d 啊，两组角相等了，所以就会出现三角形 a、 b、 e， 它就会相似于 a、 c、 d 啊，所以你看啊，给铺开啊， a、 b 比上 a、 c 就 等于 b、 e 比上 c、 d 啊， 然后乘开，所以 ab 乘以 cd 啊， ab 乘 cd， 这里边这个就出现了啊，它就等于 ac 乘 b、 e 啊，那么我如何去处理 a、 d 乘 bc 的 问题呢？这个它的做法啊，和刚才这个做法是完全一样的，也是通过三角形相似来的。那么它是通过哪两组三角形相似呢？ 它是通过这个 a 得 e 和这个 a、 c、 b 这两个三角形相似的来的。那么它的正法是什么样子的啊？你看啊，现在 我们已经看到了，这个的 a c 等于 b a e 啊，这是我刚才取的这个，所以说啊，你这个角的 a c 加上角 c a e， 它是不是就等于角 b a e 加上角 c a e 啊，对吧？这和这个相等，都加上这个，就会出现这个和这个相等啊。这时候呢，我们写一下啊，得 ac 加上 c a e 就是 得 a e 好 b a e 加上 c a e 就是 b a c 啊，现在这个得 a e 和 c a b 相等了，相等了以后呢，还缺一组，缺的很明显，是不是这个最好看的这个，因为它俩对的弧是不是都是 ab 啊？ 又因为啊，角 a 得 e 等于角 a c b， 所以 三角形得 a e 啊， 它就相似于三角形 c a b 好，写出来这组相似以后，我们再开始展一下啊，所以 得 a 比上 c 就 等于 a e 比上 ab， 得 e 比上 c 比啊，得 e 比 c 比， 这样啊，这样才出现了 a d 乘 bc 啊，然后交叉相乘叉开，所以呢，这个 a d 乘以 bc 啊，就等于 a c 乘以得一啊。哎，刚才的时候呢，我们由一组相似得到了这么一个结论，现在呢，又由另外一组相似得到了这么一个结论，那么再往下操作怎么办呢？等式加减法啊，等式相加，这个是一，这个是二啊， 看，一加二啊，得，这边是 ab 乘 cd 加上 a d 乘 bc 啊，这就已经出现了啊，这个定理的等号右边那部分，它等于这边是 a c 乘 b e， 这个是 a c 乘 d e 啊，很明显， a c 可以 提出来 是 b e 加上 e， 那 这边 b e 加 d e 是 不是等于 b d 啊？所以啊，最终的结果 a c 乘以 b d 啊，这样的话这个就挣完了啊，学会了吗？

接下来我们来聊一聊平行四边形的判定啊，那到底我们研究判定研究的什么呢？首先我们已经知道了平行四边形的定义，对吧？那么定义什么呢？定义就是两组对边平行，只要两组队员平行，它就一定是一个平行四边形， 那么你会发现我说这个定义它本身就是四边形平行四边形的一条判定定律，因为我一定可以通过两组对边平行证明一个四边形是平行四边形。那么接下来我要探索其他的判定定律，那么我探索其他的判定定律，其实就是要问问自己 还有哪些条件，还有哪些条件我可以推出两组对边平行，只要这些条件能够推出两组对边平行，那么它就是一个平四，那么这些条件就可以直接正作为平行四边性的判定定理。 再说一遍，什么叫探索平行四边性的判定定理？我就是要去想一想，除了两组平行以外，我还能不能通过其他的条件 推出两组平行，只要能够通过这些条件推出平行，就可以得到平四，从而我也不用每次都推平行了，我就可以直接把这些条件作为平行四边形的判定定理，这就是探索判定定理的 过程。那么到底有哪些条件，我自然还是要从边角对角线的角度去考虑吗？我是不是还是要从边角对角线的角度去考虑？首先第一考虑边 边，我已经说了两组平行可以正，两组平行， 我就可以判定这个四边形是平行四边形。好，那我们来想想，除了两组平行，那自然我可以想到两组相等，两组对边相等行不行？那问题就是两组对边相等能不能推出它的定义？两组平行能还是不能？这肯定可以嘛，通过什么来？那我连个 ac 是 不是好了？那我是不是连个 ac？ 既然两组相等，那就是圈和圈相等，勾和勾相等，这个时候我只要再连一个 a c 就 可以秒得什么？边边边是不是正全等了？秒得边边边全等。这两个一旦全等，我是不是可以得到阿尔法等于阿尔法， 贝塔等于贝塔。那不结束了吗？阿尔法等于阿尔法是不是可以得到这组平行？贝塔等于贝塔是不是可以到这组平行？ 而由两组平行之，是不是就可以判定平四？所以我由两组相等可以得到两组平行？两组平行本身就可以推平四，所以两组相等也可以推平四，所以两组相等就是判定定律，就是这个逻辑。好， 那我们说了边可以两组平行，可以两组相等，那么边还可以用什么条件呢？我用两组边平行，两组边相等，我还用什么条件？一组平行写相，哎，那我们想想，一组哎，都排列组合一下嘛。两组都用了一组，他又平行又相等，行不行？ 那显然也行，还是什么一组平行写相等，我还是连 ac， 那 么我假设，哎，已知 a d 平行且等于 bc， 哎，能不能推出两组平行的？肯定可以嘛，首先 a d 和 bc 已经平行了，然后平行就可以得角相等，角相等来，呃，这是一组角，然后呢？一组边再来一组公共边。看原本 a d 和 bc 相等， 角平行得等角，再来一组公共边是不是又得这两个三角形全等？这两个三角形全等以后，是不是又得贝塔等于贝塔， 对吧？ beta 等于 beta， 那 么这是不是又两组平行了，对不对？所以由平行写相等，也可以推得两组平行，也可以推得它是一个平四，还是正一个全等结束。那么到这呢？两组平行，两组相等，一组平行写相等，所有边可能性的组合我们是不是都说完了， 对吧？所以呢，光边平行四边形的判定定律就有三条，但这三条你不需要去死记硬背，你要理解哥的探索过程，你自己把它探索一遍，你就记住了。那么接下来啊，接下来我们来说一说角的问题。 角，我们来想一想，如果两组对角相等，角，我们说平四的性质是两组对角相等，那如果我告诉你两组对角相等，能不能得他是一个平四，这肯定可以吗？怎么可能不可以呢？来看一下 阿尔法阿尔法相等，贝塔贝塔相等，那你会发现两个阿尔法加两个贝塔四边形内角和二阿尔法加二贝塔是不是等于三百六？ 那么阿尔法加贝塔就是多少？是不是就是一百八？阿尔法加一百八来这个阿尔法加这个贝塔一百八，说明 a d 平行于 bc， 再看这个阿尔法加这个贝塔一百八，说明 ab 平行于 c d。 看由两组对角分别相等，是不是可以推出两组平行？ 你都推出两组平行了，是不是可以推出它是一个平四？所以两组对角相等一定可以让它回到一个平四。边有了，角有了，那我下来是不是研究对角线？哎，你看，研究四面形，永远说边角对角线，那我研究它的对角线， 那我由对角线相互平分，能不能证明它是一个平四呢？肯定可以嘛。对角线相互平分，那是不是有圈等于圈，叉等于叉，再结合一个对顶角相等，就说明什么？圈等于圈，叉等于叉，再结合一个对顶角相等，说明这两个三角形就怎么样？ 这两个三角形是不是就全等了？这两个三角形全等就可以得到什么？是不是就可以得到角一等于角二和 a、 d 等于 bc， 对 吧？好，首先 a、 d 等于 bc 了， 在角一等于角二，是不是可以推出 a、 d 平行于 bc？ 好， 那你会发现我是不是推出了什么？我由圈等于圈，叉等于叉，推出了全等，推出了一组对边平行且相等，而一组对边平行且相等。刚已经说了可以正平四，所以对角线互相 平分，可以推出一组对边平行且相等，一组对边平行且相等，它就是平四。 来吧，兄弟们，到这边角对角线的所有判定定律结束。那么接下来前边呢，我们是给出了大家五条判定定律的什么证明的原理，接下来我们还是给大家写一写这个 具体的证明的过程，好吧，具体的证明的过程，比如说我要证明对角线互相平分的四边形是平行四边形。那怎么办？ 我第一步还是先干什么啊？我要让你证明这个判定定律，咱第一步还是要先干什么？哎，一定是先画个图嘛，对不对？先画个图，有对角线的平行四边形先画出来，然后写已知四边形 a、 b、 c、 d 两条对角线， a、 c、 b、 d 相交于点 o， 且告诉你相互平分， o， a 等于 o c， o、 b 等于 o d。 求证，四边形 abcd 是 平行四边形。好，那么按照我们刚才证明的思路，第一步是什么？先证全，等证完全等，就可以得相等，得等角，然后再得平行结束。好吧，我们想清楚原理以后，我们就开始来证明，因为 o、 a 等于 o c， o b 等于 o d， 这里还有一个对顶角，角 a、 o、 d 等于角 b、 o、 c。 好， 把条件摆清楚。所以注意不用再问我那个大括号的事了，就是那个要写一个大括号那几段式的那种写法。那老黄利了，新版本的教材都把那个删了。好吧，不用，不用再问我了，好吧，如果你学校老师一定要让你写，你听你学校老师的 好不好？咱们不纠结这个啊，来，三角形 o、 a、 d 全等于三角形 o、 c、 b 好， 全等以后我就可以得到什么，我就可以得到 a、 d 等于 bc， 角一等于角二， 而又因为角一等于角二，你看，这是第一步正，完全等以后我就可以继续写了。角一等于角二，可以进一步推出 a、 d 平行于 bc， 这是什么？这是一组对边平行且相等，所以四边形 a、 b、 c、 d 是 平四。这样我们就证明出来了，只要是对角线相互平分，他就是平行四边形，判定定力得正好了。那么其余的判定定力呢？大家可以自己动手下来哎，去证明证明。好吧，来，咱们继续 这个题，这个题大家看一下怎么正？你要证明这个四边形是平行四边形，你会用什么判定定力来正啊？看一下这个，他告诉我们 ab 是 等于 b 的， 由 ab 等于 b， 那 我肯定可以得到这个，这个角是 r 法，这个角是 r， 他 会告诉我们什么 a， e 是 角分线， a， e 是 角分线，那这个是 r 法，这个也是 r 法。好，这两个角相等，我是不是就得到第一组平行了？ 一组平行是不是有了？那这个时候我就想证另外一组平行了，他会告诉我们这个贝塔和这个贝塔相等，那不是很简单了？来，注意，因为这一组边平行会得到贝塔，加两个 r 法是一百八， 对吧？因为这组边平行，贝塔加他一百八，哎，那贝塔加他一百八，那么这个角和这个角他是不是也互补，这也是贝塔吗？这也互补， 那么这两个互补是不是第二组平行就出来了？所以两组平行结束，对吧？两组同方内角得平行结束，好吧，接下来我们来写一下证明过程，注意，你分析的时候可以把相同的角都写成阿尔法，都写成贝塔， 但是你在证明的时候，你能不能这么干？能不能写 alpha 等于 alpha， 不 能这么干，证明的时候你就得把它们标成不同的角去写等于了，对吧？我就把这些角度标一下，这是一，这是二啊，这是三，这是这角 b 和角 d 不 用标了，好吧？来证明，我们就一组一组 m 先证第一组平行来，因为 ab 等于角三， 因为 a e 平分角 b a d， 所以 角一等于角二，所以角一等于角三，所以 a d 平行于 bc， 这是第一组平行，对吧？接下来我要说第二组平行了，第二组平行是怎么说的呢？因为第一组平行，我可以得到这两个角互补， 而这两个角又相等，所以可以得到这两个角互补。所以下来这组平行， a、 d 平行于 bc 了，所以角 b 加角 b、 a、 d 等于一百八十度。 又因为角 b 等于角 d， 所以 角 d 加角 b， a、 d 等于一百八十度。哎，我就得到了这两个角相加等于一百八，这两个角相加等于一百八，就得到这组也平行了，所以， 所以 ab 平行于 cd。 好 了，来看一下，这是第一组平行，这是这道题的第一层结构，证明第一组平行，这是第二个同方内角互补，证明第二组平行，这两组都平行了，所以四边形 a、 b、 c、 d 是 平四。看，就是你写证明过程的时候，一定要头脑非常清晰，分为几段，干几件事，每一件事得到什么结果， 所以马哥不断强调什么，一思路，二结构，三逻辑语言，对吧？每一个都要到位。好吧，证明如图啊，如图啊，要写如图的这个这两个字。要的啊， 这道题，首先人家给了已经有一个什么，已经有那个 o、 a 等于 o、 b 了，我又要证明 a、 f、 b、 e 是 平四，那我肯定要想着正这两个叉相等，正他是一个对角线相互平分。一般来说，那些判定定理啊，就是有啥条件你就往哪去凑，对吧？你有一组平分，你要想到另外一组也平分， 对吧？好，怎么去证明？看条件怎么证明。告诉我 a、 c 是 平行于 b、 d 的， 又告诉我们这两个勾相等，哎，那不就结束了吗？这平行就可以有一个八字全等吗？这个阿尔法等于这个阿尔法 对顶角相等，这就会有一个八字全等，所以这个证明的第一步，哎，是证明一个八字全等，就是证明一个 d， 证明一个正。三角形 oac 全等于三角形 obd。 好吧，这个全等很明显。角相等，因为平行内错角相等。对顶角相等，勾等于勾角边角正全等。由这个角边角正全等，我就可以得到什么呢？我就可以得到这个 o d 是 等于 o c 的 来，这是第一步，这是证明的第一层。那接下来我们证明的第二层是什么呢？又因为 e f 是 终点， 因为 e f 是 终点，我可以得什么？哎，我可以得这两段相等，这两段相等。而前面又证明了 o d 等于 o c 了，那就可以得到 o e 等于 o f 了， 对吧？这是中点。 o d 等于 o c， 就 可以得到 o e 等于 f， o e 等于 o f， 又什么？又？ o a 等于 o c， 这就是这道题的第三层了，对不对？接下来最后说明，对角线相互平分，所以四边形 abcd 是 平四。 第一层全等得 o d 等于 o c， 终点得 o e 等于 f， 结合 o a 等于 o c， 对 角线相互平分得平四， 这就是证明思路啊。我就不写那个具体的证明过程了，所以其实很多时候想清楚结构是非常非常重要的，接下来你就补细节，把它写出来就好了。 afbe 啊， afbe 写错写错了啊， afbe 啊。 下一个证明，这个 m f n e 是 平四，哎，这道题是既要用到平四的性质，又要用到平四的判定了。这道题咱用哪条判定定律来？正平行且相等非常好。这道题，首先，人家告诉我们这两条线段相等吗？ 这两条线段相等，那光相等没有用，对吧？这两个圈相等没有用，我还可以由原本的平四得到这两个，或不仅相等，它还平行。 那你可以想到什么？原本大四边形是平四，所以这两个圈他不仅相等，他还平行，那你可以想到什么？平行且相等。以后看到平行且相等，你是不是要想到这或是一个平四啊， 对不对？这或是一个平四，我就可以得到什么 e、 d 和 b、 f， 他 也平行且相等，再来，这又是中点，这两段平行且相等，那你说他是不是平四，他肯定是平四， 这就是整个的思路。好，第一，你还是要想清楚，先由大平四得什么平行，对不对？好，证明， 因为四边形 abcd 是 平四， 所以 ab 平行 d、 f 好， 这是第一步。第一步，由平四得一个平行。哎，又因为这个，人家说了 b e 等于 d f， 你 看这有平行，有相等了，所以四边形 b， e、 d、 f 是 平四。好，这是第二层，我得到平四了，这是 d， 用了一个性质，对吧？这是平行四边形的性质。用了一个性质， 然后呢？由性质得到了这两个条件以后，再来一个判定。好吧，这是判定，判定完以后，由判定再用性质。由这个四边形是平四，我再用性质，所以这个 e、 d 平行且等于 b、 f， 这是 e、 d 平行且等于 df， 对 吧？由它到它又是用一次性质。对边平行且相等的性质，对吧？好， e、 d 平行且等于。看 e、 d 平行且等于 b、 f， 又因为 m、 n 分 别是 e、 d、 b、 f 中点。 哎，又因为他们是终点，那我就得到了这道题的关键性结论。关键性结论就是，所以 em 平行且等于 fn 看，因为是终点嘛，终点就说明这这这是全场的一半嘛，所以他们的一半也平行且相等。哎，所以直接平行且相等得平四。四边形 emfn 是平四来又用了一次什么？最后一步又来了一次，判定对不对？看第一步， 由平四得平行结合题目已知，相等得平四，由平四再得平行且相等。结合终点得到我们要的平行且相等，平行且相等判定平四。哎，这道题没有什么如图啊，这图是题目给的，没有啥如图了。如果你要标一个，这是角一，这是角二，你得告诉他如图这道题有啥好如图的。你要做了辅助线，你得说如图， 你要标了，你给图上贴心的东西，你得说，如图这道题有啥好如图的，这道题他不知道如图。来，再明确一下，我们今天搞定了哪些东西？第一，类比三角形，明确了四边形的研究对象，搞定对吧？我们通过证明，我们把各种性质与判定都证明了，所以 千万不要试图去死记硬背，一定要了解刚才我们整个的这个什么探索过程，自己能够把所有的性质和判定按照边角对角线去进行归纳整理，证明总结， 一定你要自己能够搭出结构，你要知道性质看什么边角对角线，判定看什么边角对角线。自己要能够把所有的性质和判定根据平四的定义推导出来，这是这节课听完以后你对自己的要求。 好吧，因为这个推导的归纳整理的过程，会让你发展你的这个研究新事物的能力。好吧，好，再接下来一定要养成标的习惯，会用四边形的各种性质。最后在以上证明过程当中发展几何证明的能力。我们再说一下 几何证明，你要想写好，第一你肯定思路得过关，你得知道这道题你能想得下来。第二，你要有非常好的结构化思维的意识，知道你几段，每段干什么。第三才是细节逻辑语言，数学的逻辑语言，好吧，这三点你每一点都得去注意。

大家好，我是数学贵老师。嗯，这个视频我们来说一下初三数学期末考试前应该怎么复习，复习重点是什么？这个视频我们只讲重中之重，最关键的东西。 呃，首先我们来看一下核心原则，就是我们在复习的时候呢，一定要保证的是基础题型全覆盖，基础题不能有遗漏，知识点比较多，但是我们必须得保证不能有遗漏，基础题要拿满分。第二个就是核心模块专题突破 一些重难点的呢，我们哪不落重点去练去？呃，即使会的同学，我们也可以再增强一下熟练度。第三个就是易错点，高频复盘， 哪常考哪容易错，我们再把它复习复习。同时呢，我们在做题的时候也是要保中档题的正确率，压轴题我们去分层攻坚， 我给大家具体看一下三个复习方向啊。首先第一个基础梳理，牢记六大模块，公式定律与解析方法， 规避核心易错点。那么这个六大模块我们来说一下，就是六个单元，一二次方程，反比例函数、二次函数原相似三角形三角函数，这个是大部分学校我们都会考到的， 同时也是重点去复习知识点及对应题型。这个基础在书里的时候给同学们一个建议，不用说非得去要去拿哪些辅导书的题，或者说哪卷子上的题来复习，我们就看课本，或者说我们的同步练习册 啊，直接看课本就够了，就对应到课本上的知识点，课本上的例题，把这个吃透它，那么基础分是没问题的。 第二个就是专题突破，比如像我们的函数综合元与相似综合解，这样三角形 方程与二次函数联动就是他一道题考的呢，可能不止一个知识点，考的是好几个知识点。这种题呢，比较综合题目，我们可以抽时间每天去练三到四道啊，如果说时间比较紧张，你说一天练两道行不行？也是可以的。 同时我们要去总结一下解析模板。举个例子啊，比如我们解啊，解那个相似里边的啊，相似里边的一线三等角， 或者说我们的手拉手模型，这是考试常考的这个一线三等角给同学们要求，像咱们课上同学都知道就三十秒，我必须把这个证明写出来啊。再比如说像这个解掉三角形背靠背模型啊，像做的时候呢，自己要有意识的去回忆，去复习。 第三个就是冲刺复盘到最后的时候呢。嗯，考前一周左右吧，限时二刷真题卷优化时间分配，就是我看哪些时间我必须得留出来去做哪些题。嗯，你比如像十二题、十六题，像最后一题的最后一问，最后两问， 呃，基础比较薄的同学，咱们就可以放一放，咱们的时间就放在前边的中档大题，基础在大题上边，同时也是需要去复盘一下高频易错点，掌握应用技巧。嗯，好，这是咱们这个视频分享的内容。

今天的题目是南京师范大学二零二六考研最难的问题。本题注意，和红书不同，二街岛不一定可以做积分，我们只能走微分学方法，做题的时候要注意配合凹凸性几何意义进行分析，从而快读得到解答。 北大纯树薄厚陪伴你前年学习考研数学大学生数学竞赛题目，让我们去找到可 c 和 e 塔，使得 f 两撇可 c 的 绝对值大于二， f 两撇 e 塔绝对值小于二。那我们来反证法，若 f 两撇 x 很 小于等于二，既然你给了一个导数的介了，那么我们自然地会去考虑。 g x 定义为 f x 加 x 平方， h x 定义为 f x 减 x 平方。于是我们就有 g 两撇 x 等于 f 两撇 x 加二。那根据我们的上面的不等式，我们知道 g 两撇大于等于零， 而 h 两撇等于 f 两撇减二，由上面的不等式，它小于等于零。那二阶导数的符号定下来了，是不是就是我们的凹凸性了？看到凹凸性就要联想几何意义，所以我们知道，既两撇 下凸， h 两撇上凸，那我们代入出支条件，我们看到既零 等于 g 撇零等于零，并且你既把负一带进去，它也等于零。你看这里有两个点等于零呐啊， g 两撇是下凸的，只能长这样或者这样 或者这样，对吧？所以它出现一个零，这一个点导数为零，切线的平着。所以是不是只能是这种情况啊？这种情况啊，所以我们知道 显然有几何意义。或者直接分析单调性， g 再负一到零， 单调递减，现在在两个端点都为零，于是我们知道 g 等于零，对任何一个 x 属于负，一到零都成立， 那现在我们就知道，故 g x 等于负， f x 等于负 x 平方， 对任何 x 属于负，一到零都成立，那同样的，我们算一下， h 零等于 h， 一 撇零等于零， 它也等于 h， 一 也是零。同样的， h 是 上凸函数，所以就这种情况，这种情况和这种情况在零处导数为零，你分析单调性就知道，故 h 在 零一递减，现在以 h 在 两个端点为零，于是我们得到 h x 很 等于零，对 x 属于零倒引， 那现在我们就知道 f x 在 零到一上等于 x 平方，那现在就有 bug 了，你在右边，你是 x 平方，在左边是负 x 平方，那也就是长这样子嘛。 啊，我们发现它在零处啊，你看 f 两撇零，从右边看是二，从左边看是负二，矛盾啊。故 f 在 x 等于零，不二结合到， 这就是一个矛盾。 因此我们得到了故存在一个可 c 属于开启键，负一到一，使得 f 两撇可 c 大 于二。而当然 e t 的 存在性是类似证明，大家可以自己去算一下，我们就完成了证明。

高一假期必须掌握的重点，整个寒暑假，从我的角度是不讲难题的。寒暑假我们零基础，同学们把最基本的概念，最基本的方法，最基本的公式定义给它掌握好就 ok 了，你能保证你开学肯定能跟得上，做基础题没有问题就 ok 了，不用管难题。 站在这个寒假的角度，从高一下往前展望，我们上学期如果没学好的话，可以先放一放， 因为上学期的内容在高一下哪些地方有用呢？不等式这个地方有均值不等式或者基本不等式那个东西呢？整个高中数学任何地方他都可能有用， 相信同学们最基本的那个均值能做出来。没有人在这个地方有问题。函数会有大量同学没学好不要紧，你能看增减，你能看最值就够了，不会有上学那种函数题了。函数你即使没学好也 不用管，只对密。下学期没有。我们下学期函数叫三角函数，所以第四章不用管。统计概率。下学期，抱歉，没有啊，不管哪有用呢？上学期我们有平面向量，下学期有平面向量，这两个是一个东西，平面向量如果上学期没修好，你下学期这个地方一定会有问题。 下个学期数量级的这个地方啊，会需要同学们对于上学限量的什么限性运算呐，坐标啊，数乘啊，就这些东西掌握的很牢固才可以。一定是上学期基础打牢了，下学期题你才能做。但凡上学这个地方没学好的，你在寒假必须给他补上来。 所以各位家长哈，跟你家孩子去好好探讨一下，你看上个学期的问题在哪？平面向量以外的问题可以先放一放，甚至于放到一轮，一轮是最后一次细致的学习你的这些内容，他的基础知识，他的典型方法的机会了。 高二暑假，如果高一下的立体几何没学好，必须在高二的暑假把立体几何好好给他补上。高二上的考试立体几何这个部分，乃至高三的这个部分跟高一下考试考的题是一样的，整个高一下哈解三角形没学好，你也必须给他弄上来。解三角形是整个我们高中几何的一个最基础的 一个东西。所以如果站在高一下，高二上的这个暑假，整个高二上你没学好就没学好了。 不管了，你一轮再回来看，因为整个下学期的内容跟高二上就没有关系，圆锥曲线啊，立几何啊，你过了就过了。如果排列组合学的有问题的话，得去稍微的剪一剪，因为他要学明白这个概率会有问题，有的题你做不了。

这是一道函数极限的计算题，这个分子部分就是同类型函数相减的形式，是一种题型。 这里介绍一个非常有用的定语，拉格朗日中值定语。设函数 f x 满足，一在 b 区间 a 到 b 上连续。二在开区间 a 到 b 内可导，则至少存在一点可赛，属于 a 到 b， 使得函数在 b 点和 a 点的函数值之差，等于函数在可在处的导数乘以 b 减 a 也可以写成这样的等价形式，写成这样就具有更明显的几何意义。假设曲线 y 等于 f， x 是 一条光滑连续的曲线，那么在弧 a 到 b 上至少存在一点 c， 这个 c 的 坐标就是可在 f 可在， 使得该点的切线斜率等于斜 a b 的 斜率，斜 a b 的 斜率就是右边这部分，然后点 c 的 切线斜率就是左边这个可赛 f 角可赛，这是这个中士定语的几何意义。 然后回到原题，是函数 f t 等于 t， 比根号 t 等于 x 趋于零的时候，三 e x 也趋于零，因此 x 和三 e x 都在零附近。为了验证拉格朗日公式定律的使用条件，我们选择区间负零点五到零点五， 因为 x 小 于零时，三 e x 大 于 x， 而 x 大 于零时，三 e x 小 于 x。 而在极限条件下，不论是区间三 e x 到 x， 还是区间 x 到三 e x， 都是负零点五到零点五的子区间。 然后容易验证函数 f t 在 b 区间负零点五到零点五。上元穴在这个 k 区间内核导满足条件， 然后先计算函数在原处附近导数的极限值，就是这个求导，然后直接代入就行。结果就是一 则原极限就等于 f x 减去 f 三 e， x 比乘 x 的 三次方，就等于可在数的导数值乘以 x 减三 e， x 比乘 x 的 三次方。 因为这个导数值已经算过了，所以最终就是 x 减三 x 比上 x 三次方。这个就很简单了，分子直接等价于六分之一。 x 三次方第一期视频中也提到过了，然后得到最终答案是六分之一。然后这也可算是介于三 x 和 x 之间的，具体的谁大谁小，要看 x 大 运还是 x 小 运。然后这个写法过程，如果追求更严谨的过程，你可以先保留这个 f 撇和 z， 然后再使用加 b 准则或者数学分析中一般叫迫延性对其进行处理。 lacan 的 中置定语对于这种形式的部分往往具有奇效，在暂时没有好方法的时候都可以作为突破口进行尝试，比如这些式子你都可以使用。

大家好，我是数学魏老师，这个视频我来说一下初二数学期末考试前我们应该如何复习，我们的侧重点在哪？ 嗯，首先呢，我们来看一下复习的核心原则啊，就是以基础题保底，中档题提分，压轴题呢，我们尽力去做去为原则，聚焦课本的核心知识点和专题卷的高频考题， 拒绝偏题怪题啊。除非有的同学说，老师我这个数学啊，现在学的已经没有什么问题了，所有的题，学校题也好，咱们那边题也好，都没问题了，那么可以去尝试一些创新的题型，这个偏题快题它不包含创新题啊，它是不一样的。 呃，重点来说一下三个复习方向啊，如果说基础比较不弱的同学，我们在复习的时候，首先还是要去注意一下基础的梳理，那么其他同学对于基础也要重视啊，你比如说像说像这个三角形与全等判定、特殊三角形轴对称性质， 二四根式分式与分式方程，这些就是咱们八上的所有的章节内容，默写他的定力公式，然后把课本例题再做一遍这个方法，这个方向对于基础比较薄的同学是非常有帮助的，就不用做特别多难题，偏题我们就做课本题就能提分。 当然其他同学也是把这个基础练好，练扎实。比如说咱们去回忆中学线的性质是什么，中学线的判定是什么，看看能立马想出来不？ 第二个就是专题突破基础没有问题。以后呢，我们去看我们薄弱的地方，比如有的同学就是，哎，老师我这个辅助线几何地做的时候不会做，我去看一看常见的辅助线做法，比如说我们做的被长中线截长补短啊，像这个半角模型构造，这个旋转权等，对上权等啊。 再有像有同学老师我这个分式方程应用题啊，像咱们可能有个同学就是分式方程应用题，做一个不会，做一个不会，但是真正静下心来去做功课以后也就会做了。 再有就是像这个真题模拟啊，咱们之前呢是一周一套卷，那么后边呢，也可以抽自己的时间，每天一套，或者说是两天一套。像这样真题限时训练，优化时间分配啊，这个就是看他们的一个时间安排了。 呃，也可以做重复的题，用他们的真题卷把答案盖住，把这些再做一遍，看看自己还会不会出错啊。对于错题呢，也是要进行查漏补缺。那么最后两天的时候呢，就不要做新题了，就是翻看错题本和合金笔记，包括一些重点的题型跑法， 这咱们说的三个复习的一个方向啊。那么最后说一下关键的事情。首先第一个呢，这个题目应该是都知道的啊，就像几何题的证明题，书写一定要规范，老师这个因为里边 简单的基础的条件，有的需不需要写，肯定是需要写的，就是你可以去多写，但不能少写，像关键的判定定律必须写明白。 第二个像计算类的题目呢，一定是打草稿计算，尤其像这个二次根式分式计算，避免跳步出现的符号问题和运转错误。好，以上就是我们要说的初二考试的一个复习方向和注意事项。

我信了兄弟们，考研过去这么久了，怎么没看到有感谢考研竞赛夜雨宇哥的？说实在的，我觉得我宇哥真的是实力大于名气的代表了，终极定比那一块给讲的多清楚，看过的人都懂吧？还有就是华子认为最最最让我秀意匪浅的 就系考研莫及业余。老哥的模拟卷总结，大复盘，一系弥补了我做不完这么多模拟卷没法把题目看全的遗憾，二系弥补了我后期没时间复盘的痛点。一个个机械卷分好类，给线面相的模拟卷来个大串甲， 最大的缺点就是需要基本功加戏的人听着才舒服。但是这本来就是最末期准备上考场的课啊，这有啥好说的，我直接给一个憨爆了，不能让夜雨哥被血藏了强推一宿。还有一件事，加纳。

好，今天我们来讲两道相似三角形的比较基础的题啊，有同学发的啊，那既然是基础题，咱们就把基础知识先过一遍啊，就是相似三角形的判定定律啊，其实这个判定定律跟全等三角形基本上一样，对吧？就那几条吧，我们就想想全等三角形怎么判定啊？ 一个是 s s s， 但是呢，全等三角形是三组对应边相等，咱们这个是三组对应边乘比例是吧？那到具体怎么写呢？一会咱们看题就知道了啊，那还有什么呢？还有是不是 s a s 两边加一角是吧？然后全等三角形还有什么呢？还有这个 a a s 还有 a s a 是 吧？ as s 行不行啊？这是不是不行对不对？这是不行的啊！那么在相似三角形里， 不用非得正那个边，只要有两组对应角相等，这两个三角形就是相似的啊，所以这个直接就是 a a 相似就行了啊，不用写这边的这两个啊。还有一个就是特殊情况，就是 h l 直角三角形的那个在相似里面也可以用啊， 这就是这几条判定定律啊。那么我们来看题啊，第一题，第一题呢，它的条件啊，就是说点 d 是 a o 的 中点， f 是 o， c 的 终点， e 是 o， b 的 终点，三个终点啊，就这些条件。然后呢，就让我们证明这个大三角形，也就是外面这个 abc， 它是相似于小三角形的，也就是里面这个 d， e， f 啊，这么有意思， 那么这道题其实还比较简单，首先我们只要看到终点，特别是多个终点啊，你就要想能不能用中微线定律，那还记得中微线定律吗？我们复习一下那个啊，就以这个三角形为例，在一个三角形内，如果 这边这个边这有一个中点，另外这边这个边这也有一个中点，那么这两个中点所连接的线段就叫中位线啊。这个中位线它是跟三角形的第三条边，也就是底下这个 bc 啊，是平行的， 而且相当于是 b、 c 的 二分之一，这个就是中规线定律啊。那么通过中规线定律，我们就能够找到边与边之间的关系了，对吧？比如说这个 e、 f、 e、 f 是 小三角形的点这条边吧， bc 呢，是大三角形的底下的这条边，那 e、 f 跟 bc 是 不是就是对应边啊？而且它们是不是成比例，它们的这个比值是二分之一嘛？对不对啊？就这么一个意思 啊，那能不能看出来啊？ d、 f 也相当于是中位线，是不是？ d、 f 它是 ac 的 二分之一，这边这个 d、 e， 它是不是 ab 的 二分之一的 b c， d f 等于二分之一的 a、 c， 然后 d、 e 等于二分之一的 ab， 呃，它们仨是不是都是对应边，对吧？刚才这个 e、 f 我 说了啊，然后 d、 f 和 d e 它们其实也是对应边嘛， d、 f 也是小三角形的吧？ a、 c 是 大三角形的吧？是，都是对应的，是不是？ d、 e 也是小三角形的？ ab 是 大三角形的？ 嗯，但是我们这么写，得给他改一下啊，改成什么呢？他不是对应边乘比例吗？是不是？那我就这么写， e、 f 比上 bc， 他 就等于什么呢？是不是等于二分之一？明白这是怎么变形的吗？从这个这边这个式子变过来的啊，两边同时除以 bc 就 变成这样了啊，那么同理，底下这两行是不是都可以写成 最后是二分之一的这么一个形式，是吧？等于 d f 比上 a， c， 等于 d e 比上 ab， 他 们的比值都是二分之一，那么这我就可以列一个等式，对不对？那么这个就是三组对应边乘比例了 啊，他们的那个比值都相等吗？他们就可以写在一起，是吧？写成一个等式，那这个其实我们用的就是 s、 s， s， 对 不对？ 那么我们就可以写了，三角形 a、 b、 c 是 相似于三角形 d、 e、 f 的 理由就是 s s s 啊，这就是第一问，用到的是中位线定理啊，然后用 s， s， s 正的相似，然后我们看第二问啊，第二问， 嗯，就是说这些点都在格点上啊，然后求证 d e 垂直于 ab 啊，求证 d e 垂直于 ab 垂直于 ab 啊， d e 跟这个 a b 垂直是吧？ d e， 那 说这两条线都不挨着呀，都不挨着怎么垂直啊？那是不是得连一下给它延长吧，是吧？我们把这个 d e 延长一下吧， 延长到这，也就是说这这个红色的应该是垂直的，对吧？红色的应该是垂直的，那我们就看看啊，正垂直之前我们就想，那这个是不是考的是相似三角形啊？是不是？所以你要用相似的思路来想， 我们用相似的思路来想啊，可能有同学就会想，就会想说，哎，我们让这个我们构造的这个三角形和那个这里面的直角三角形相似呀，这个角不就是直角了吗？但是这个我们没法证，条件是不够的，为什么呢？ 角的话啊，也许你可以找公共角，比如说这个三角形这边这个角，然后这个三角形，这不有一公共角吗？但是边的话，这个三角形的边 是不是不太好表示出来，对吧？除了这个 a、 d， 你 可以表示 a、 d， 我 们就数格子，对不对？数出来是几，这条边和这条边你是不是都数不出来？所以我们不要从这个三角形入手啊，我们就从它现有的给你的这两个三角形入手， 先不管那个辅助线啊，那么现有的这两个三角形 a、 c、 b 和三角形 e、 c、 d， 这个是 e 啊，这个点 e、 c、 d 我 们正一下，它俩相似啊，那它俩相似能正吗？ 首先是不是直角都是有的，对吧？这俩直角是给的啊，因为它这不是格格子吗？是吧？然后呢边我们看啊，边的话就可以数格子， a、 c 这条边是三吧，是不是是三？ 呃， c、 e 这条边是二吧？ cd 这条边 是几啊？一二三四是四吧？是四啊。斜边咱就不管了，当然说斜边用勾股定律是不是能求出来，但是没必要啊。哦，这个 c、 b 是 不是忘数了，还有个 c b 呢？ c b 是 一二三四五六，是吧？ c b 是 六啊， c b 是 六。嗯，这，嗯，这么着来个颜色啊，这个黄色的是六啊。好，那么我们想证他俩相似啊，那怎么证呢？ 我们想想我们用的那些条件，是不是直接用这个 s a、 s 就 可以两边加一角，是吧？因为我们看这是不是有一角相等啊？两个直角相等，是吧？而且是不是正好你看小三角形啊，这个边和这个边 加了这个角吧，对不对？大三角形啊，这个边和这个边是不是也加了这个角，这不两边加一角吗？对吧？我们就用 s a， s 啊，那么这个 a 我 们就不写了啊，我们就写 s 啊，那我们就想大三角形啊，这个大三角形，它这个 a、 c 所对的边是谁？ ac 是 不是那个短的直角边，它对应的是不是就是小三角形的短的直角边，也就是 c、 e， 对 吧？那么我就写一下 a， c 比上 c、 e， 我 看一下它这个比例， a、 c 是 三吗？ c、 e 是 二吗？就是一个二分之三啊。然后呢，我再写这个长的直角边，那就是 c、 b， 是 吧？ c、 b 的 对应边是不是 c、 d 啊？就是小三角形的这个长的直角边是四，是吧？ 那就是六比四，那六比四是不是还是等于三比二？那也就是说这两组对应边是不是乘比例的，因为它们的这个比值都是一样的，就可以写在一块，对吧？所以 a、 c 比 c、 e 等于 c， b 比上 c、 d， 然后再加上那个九十度啊，就这两个角上的我就不写了啊，所以这两个三角形就是相似三角形啊，那说那相似了有有什么用呢？相似了的话，我们就看啊，角 d， 蓝色的啊，是不是就等于角 b 啊？ 对吧？角 d 等于角 b 吗？然后呢？角 b 加角 a 是 多少度啊？这个角 b 加这个角 a 是 多少度啊？ 是不是等于九十度？他俩是互余的吗？对不对？在这个大三角形里，对吧？是互余的吗？那么角 d 加角 a 是 不是就也等于九十度？角 d 等于角 b 吗？所以角 d 加角 a 也等于九十度，现在我们看这个三角形， 那能看出来吧？角 d 加角 a 等于九十度，那说明这个角是不是他就是一个九十度， 也就是说 d e 是 垂直于 ab 的， 就这么一个意思，明白了吧？啊啊，有同学可能会问啊，说 d e 跟 ab 都不相交啊， 就原本的来说是吧？ d e 跟 ab 都不相交，那怎么垂直啊？我们说垂直和平行，一般说的都是直线垂直和平行啊，其实就是默认给它延长了啊，就这么一个意思。 那么这道题就是这么做的啊，讲的比较啰嗦，因为这个都是偏基础的题。咱们也讲的基础一点啊。

如何让物化生稳进年级前十？飞天复型选手的复习方法，今天就跟你们掏心窝子说说我是用了哪些方法让物化生全都不拖后腿的，无论基础多差都可以参考。一、化学背会三百个引含条件 选择题就从这里出。再看化学正误判断，怎么考也离不开这些。最后背会方程是稳抓基础，背会基础不丢分。 二、物理背三年公式大全巩固基础。再看一百五十个选择题技巧的，最后背会一百零八个二级结论，吃透高分文了。三、生物背会一百五十七个二级结论，背会做题无压力，再背生物选择题技巧，让考试不再丢分。最后学重点遗传题型，学会考试高分文了。以上资料均有电子版。

大家好，我是心雨老师，一年一度的寒假又如期而至了，那么三十来天的时间是吧，那么这段时间呢，我们既可以预习下新的课程，也可以把以前的课程学的不太好的地方再查缺补漏一下是吧，再巩固提高一下， 这都非常好，所以好好利用一下。这段时间啊，还是挺宝贵的，玩了当然也要玩，对不对？我们既不要呢，光玩，也不要说光学是吧，玩一玩，学一学，是不是 最好呢？多做一些户外的运动啊，是吧，出去踢个球啊，跑个步啊，是吧，一身汗，嗯，洗个澡，然后再静下心来，再 认真集中注意力的去高效的学习是吧？你认真的学一个小时，顶人家磨磨蹭蹭的学三四个小时，是不是？其实最忌讳的就是磨磨蹭蹭的是吧？学习的时候态度不坚决，玩呢又不好好玩是不是？ 其实如果你能够把玩的效率跟学的效率都提高的话，其实啊，你既能玩好，也能学好，一点都不冲突，好吧， 问题的关键是要高效是吧，你玩时候好好玩，你学时好好学，是不是？这样的话，我觉得是比较聪明和机智的啊，自己想一想。 好，这里呢，我就把新版教材初二下学期这个合集课程给大家呢，简单的介绍一下。那么总共我们需要讲十三章的内容，本来每个版本一般是六章的内容对吧？因为想兼顾到各个版本嘛，让大家都有的学。那么寒假我们就需要讲这么十三章的内容， 然后再把这十三章内容简单给大家介绍一下。那么这前五章是数，然后式方程 这个代数板块，第六章和第七章呢属于函数的板块，第八章，第九章，第十章，这属于呢几何的板块， 那么其中的话，四边形应该是几乎所有版本教材的最大的一张是吧？重中之重，内容很多，也非常重要。 那么最后的这三张呢，是统计和概率的章节，这两张呢属于统计是吧？最后一张呢是概率。 那么这个第十二张稍微说一下数据的分析，跟原来的版本对比的话，数据的分析这张呢，加了不少知识进去了啊， 比如说那个四分位数相线图，还有什么分组，这些知识之前呢都是高中的知识，那么现在呢，就下放到初中了，所以呢，这块呢，重要性有所提高啊， 难道也不是多难吧，就是这个概念呢，要搞清楚，比之前是要复杂一些的，大家注意一下啊。 好，这就是这么十三章内容，我就简单的给大家介绍一下，希望大家能够愉快的去学习。其实学习这个事本来一点都不痛苦啊，什么是痛苦的呢？就是你不想学，但是你又不得不学，在那磨磨蹭蹭的去学那个才是痛苦的 是吧？本来人天生他是有求知欲的，有好奇心的，你就不想了解了解这个代表人类智慧最高水平的数学，他到底是个什么滋味吗？不想体会一下吗？是不是？所以有时候你要去调整一下心态是吧，不要太过于抱着目的的去学， 抱着一种好奇心，探索的积极的心态去学他是吧？好好学，学的时候你就静下心来是吧， 心无杂念，好好学，然后你其实你花不了多长时间，你就可以把它完全给他学好，学好之后呢，腾出点时间啊，玩去呗， 学又学好了，玩又玩的痛快是吧，生活有滋有味，这多好啊，是吧，那么课程制作的时候，这九个版本教材我都看过， 我看哪个教材里面说的比较好的，我就采用了，然后这个配图比较漂亮的，比较形象的，我就采用了，反正这个课程我就是这么慢慢做出来的，我还是希望能够全面细致，深刻透彻的把初中数学这个事给他说清楚，讲明白，不是那种蜻蜓点水式的这种课程啊， 所以还是需要大家稍微静下心来去学，学习没那么简单，但是呢，也没那么难就是了，是吧，静下心系统性的认真的去学 是吧，肯定能学的好的。好吧，好了，这个事我就说这么多，下面我们再来分别介绍一下各个版本需要学习的一些东西，有些事呢，还是需要给大家说清楚的。 好，我们先看一下人教版，他学呢，二次根式勾股定律是吧？四边形， 然后函数和一次函数以及呢数据的分析。那么其中这个第二十二张和第二十三张， 你就看这个第七张，这两张合成一张了是吧，其他的就没什么好说的嘛，你看这个数据分析是吧， 那加了四分位数加了呢数据的分组，这里面呢，还有一个镶线图，比之前这个版本确实加了不少东西啊，当然各个版本这块内容都加了，也不是说光人家版加，其他版本不加，这个国家肯定是 初中需要学什么东西，它是有一个统一的标准的是吧，所以我就说嘛，各个版本它最后学的内容都是一样的啊， 这就是人脚板是吧，按照这个对应的章节去看就可以了啊。好，然后再看一下北师版，北师版第一章呢，是三角形的证明及应用，没有一个完全跟这张匹配的一个课程， 这个章节你就看我这个第八章轴对称就可以了。轴对称呢，主要里面就讲了等腰三角形，还有这个角平分线基本上是吻合的啊， 然后第二张不等式和不等式组，你就看这个第一张是吧，那么这个第三张图形平移跟旋转呢？没有一个课程跟他完全是对应的啊， 本来我是想做一张就是图形的平移啊，轴对称和旋转就是图形的三大变化吗？一直没有时间单独去做，以后呢再给大家补上吧， 倒是没什么实质性的内容，他就是利用图形的平移啊，轴对称啊，还有弦状了，去处理几何方面的一些疑难问题，比如说去构造全等啊，构造相似啊之类的，可能你要用到这个平移啊，轴对称弦状，是不是就这么回事 啊？第四张是因式分解，第五张分式与分式方程，你就看这个第二张和第三张呗，第六张是平行四边形，那么这个呢，你就看第十张的平行四边形部分， 他后来的这个矩形、菱形、正方形、梯形，你们估计是放在九上去取是吧？ 那么我这个课程里面四边形的话就都包含那些东西了，你也可以先看一看吧，如果不着急呢，你可以以后再看也行吧。是不是这就是北师版，然后速刻版呢？第六章和第七章就是统计与概率，你就看这个第十一章和第十二章吧。 然后四边形就看这张呗，一式分解看这个第二张是吧？分式看这张，二次根式看这张，这个都对应的非常好，我也没什么需要再额外去说明的啊。然后华式版十五张是分式，那你就看这个第三张，分式与分式方程是一样的啊。 第十六张是函数及图像，那就看这个第七张函数和一次函数。但是这里面需要说明一点，是呢，你们这张里面应该学的反比例函数，但我这个课程里面反比例函数是还没有做的，我估计寒假的话可能没有时间去做， 以后再给大家补上啊。然后这个里面的第十七章和第十八章，你就看我这个课程里面的四倍行就行了，他分成两张来讲了，我这里面呢，就是一张，然后数据分析你就看这个第十二张就可以了。好，这就是华式版， 然后这叫版的话，二次根式、一元二次方程数据分析初步， 这都没什么说的，是吧？那么这个平行四边形和这个特殊的平行四边形他拆成两张了，那么这两张你就看我这个第十张就可以了。其他的呢，我也没什么好说的。然后就是香蕉版 第一张四边形，你就看这个第十张是吧？然后图形与坐标你就看平面直角坐标系名称不一样，内容一样的啊。然后依次函数呢，就看这个第七张函数和依次函数， 那么这个数据分析这张呢，你就看这个第十二张。数据分析还有个东西需要看一下， 他是把数据的频数分布也是放在数据分析这张了，然后呢，你就需要看一下第十一张的频数分布直方图这个知识点就可以了。 好，这就是相交版。好，再看下一角版，平面直角坐标系，你就看第六张，那么这个函数和一次函数，你就看这个第七张， 再者就是四边形，就看第十章，是吧？然后数据收集整理描述，你就看这个第十二章，那就这么回事。然后再看下互克板二次根式，一万次方程勾股定律，这没什么好说的。四边形，这没什么好说的。 然后数据的初步分析的话，这也是要看一下第十一张的频数分布值方图，再看一下第十二张数据的分析，他这个二十点一数据的频数分布，你就看看第十一张的 频数分布值方图就可以。好，这就是互可版，其他的也没什么需要说的。然后再看青岛版四边形二次根式， 这没什么说的，他这个函数和这个一次函数呢，分为两张，你就看我这个第七张就可以了，这一张就是讲的第十张和第十一张的内容，然后第十二张图形的平移和旋转还没做啊， 以后再补。第十三张是数据分析，你就看我这个第十二张，但是他这里面最后有一个呢，随机现象的变化趋势，那你就应该看一下第十一张的趋势图，这个知识点就可以了，也没什么难度啊， 这就是青岛版，就这么回事。好了，那么这几个版本我就都给大家介绍完成了，然后大家根据自己情况就尽情的去看，尽情的去学吧，有什么意见和建议呢？ 欢迎大家评论区留言。好吧好，那这个事我就说这么多，下面呢，我们开始正式上课了。

七年级下册数学几何计算题是重点也是难点，盯着孩子，从现在开始每天练习一页几何计算题，新学期他的数学基础就会非常扎实， 就是这套初中数学几何计算一百，你看相交线与平行线、平面直角坐标系数据的收集整理。 七年级所有的几何类型都包含了，每个专题都会先梳理公式定理，然后再跟着例题学习解题方法和技巧，遇到不懂得也都有视频的讲解， 最后再去做基础练习，提升练习，不断打扎实基础。每天搞定一个几何知识点，孩子的数学学习就能轻松上阵，快准备起来吧！