勾股定理公式书

今天，今天我给大家讲一个有关于勾股定律的一个公式，就是在勾股定律中，我们有最短的一条，下面那条边还有直边，还有弦，对不对？也就是俗称我们的斜边， 你们觉得能够用最短的这一条边去求出另外两条边吗？ 第一印象就是我们普遍的第一印象就是说是求不出来，因为课本上没有写，以及你在网上搜是搜不到的。我先声明一下，这个是我当时在初中的时候在那个数学小读本上看到的，并不是我 我去创的啊，很离谱啊，我创造不出来是从那个数学小读本上，然后这个公式是从那个华罗庚先生那个小故事里面有人去串门写出来的。 然后现在步入正题吧，比如说我们所熟知的有两组数，也是老师经常让我们背的数，一个是六八十，对不对？ 但是你看有，这就有个区别了，三是什么？三是基数对不对？六呢？偶数，很简单的一个数字。然后其次我，我简单的写一下， 好了，我贴一下镜头来，你看，这是三， 如果我们只知道一个三的话，是正常来说是没法去求另外两条边的，但是呢，在我们的公式里面，他明确又选了 a 方加 b 方等于 c 方，对不对？ 万物皆有纪律可循嘛。然后简单一下啊，你看三，这是基数，一定是基数的前提下，三的平方加上一，再出一个二，等于十几，等一个五，毋庸置疑啊。 然后此时三的平方减去一，再乘一个二，那他等于个几是不是等于个四？那此时三角形是不就是个三四五的三角形？那再举一个，简单一点吧，就七吧， 七经常也背嘛。先拿小一点的数字去举，你们可以后面用大一点的数可以去弄， 此时七是这条边最短的这条边，然后七的平方加上一。一定要清楚的，就是加一的话，我们去求的是那条斜边减一，求的是这条直边，然后加一，再出一个二， 然后那他等于个几，是不是等于二十五？然后这里省略一下，就是省略减一，因为其他地方是不变的，然后此时是不是等于个二十四？ 七的平方，加二十四的平方是等于二十五的平方的，你们可以去算一下。然后再其次，这边 你看现在的话就是以偶数为底了，刚才是以基数为底，那如果我们用偶数的底这样去算的话，他是算不出来的，所以现在他需要简单的变更一下。好了，你们觉得会是什么样的？还是平方吗？ 现在就不需要平方了，现在的话我们可以是先除一个二，你看除一个二等于多少？除一个三，对不对？然后怎么去凑十呢？再个平方再加一个一，你看是不是就等于个十了？ 此时求他的短边一样的，就就求这条直边减一，那九减一是不是就等于个八？那他是不是也刚好构成了一个六八十的一个直角三角形？ 再举一个简单的例子吧，比如说我们所熟知的十二吧，十二的话你可能背的话就不好背了，对不对？那十二再除一个二， 然后再加一，是不是就等于一个三十七，然后十二， 嗯，出一个二对，然后再减去一，此时是不是个三十五？我们可以简单的算一下，十二的平方是一百四十四，然后三十五的平方是 我刚才算过一条，刚才录过一次，但是没记起来。三十五的平方是一百二十一，一幺二二五，然后三十七的平方呢是幺三六九，他俩质和刚好等于三十七的平方。 你看再次声明一下啊，一定要知知道的就是这个公式，基数的公式一定是以底边的平方，以底边的平方，然后去加一是求斜边， 减一求的是直角边，就是基数为底的情况下是先除以二，然后再平方 加一就是斜边，减一就是直边。然后此公式只适用于在直角三角形，并且是明知道他是以这条最短的边为基础的情况下，才能去求另外两条边。 我们所说的勾股定律嘛，你看一定要有个基础，你只有知道了勾，你才能够去求另外两条边嘛，有时候命名也很有趣。好了就。

勾股定律证明公式， a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方。这是一个直角三角形，它有两条直角边 a 和 b， 以及一条斜边 c。 我 们用求面积的方法演示 构建一个边长为 a 加 b 的 大正方形，围成中间的空白正方形，此时中间空白正方形的边就是直角三角形，斜边 c 大面积就是 c 的 平方。然后我们进行面积变换，注意看移动变换的过程，保持大正方形不变，移动四个三角形的位置。此时动画演示三角形移动重组，移动后 空白部分变成了两个正方形，此时空白面积等于 a 的 平方加 b 的 平方。最 中结论，因为大正方形总面积不变，四个三角形的面积也没有变，所以前后两次的剩余空白面积是相等的，得正 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方。

勾股定理， a 方加 b 方等于 c 方，哎，记数学公式只能够死记硬背吗？这也太难了。 当然不是了，在我们寄数学工资的时候，千万不要死记硬背，而是要去推倒和理解他。那勾股定理的 a 方加 b 方等于 c 方，到底是怎么得来的？早在一千八百多年 前，也就是三国时期，有一位著名的数学家叫做赵爽，他著名了勾股定理，那他的方法的名字叫做勾股人帮扶。那具体该怎么证明呢？我讲给你听。我们先画一个勾三股四选五的 直角三角形，那这里是勾，这里是鼓，这里是弦。赵爽的办法就是再补上三个一样的三个三角形，才能变成一个全新的图案。 那我们再画出直角三角形的直角标记。好， 有一个三角形，如果他的一个角是直角，也就是九十度，所以呢，剩下两个角他们的和也一定就是九十度，那这个三角形的这个角加上这个三角形的这个角，也一定是九十度。 头里，这里这里这里也是都一样的，那我们再来看一下这个大图案是什么？他的四个角都是直角，那我们再看一下他的边长， 这个是这个三角形的弦，那这个也就这个三角形的弦，这个也就是这个三角形的弦，所以这里也是弦。哎， 这个形状它的边长都一样，而且它四个角还都是直角，哎，符合正方形定义，所以呢， 大图形就是大正方形。那这个小图啊，到底是什么呢？我们来看一下，看，它上面 是直角，所以他下面也一定是直角。论，以此类推，这里这里这里都是直角，那我们再看一下他的边长， 那他的边长是这个三角形中 b 的一小段，那具体来说呢，就是用 b 减去一个未知的一段，就等于他的边长，那其实这一段就是这个三角形的 a， 所以呢，我们就可以知道这一段就是 b 减 a， 那我们继续推的话，我们就会发现这四个边都是 b 减去 a， 所以呢，我们就可以知道中间这个小图案一定就是个正方形。 那郑爽的办法呢，就是求一个小正方形的面积，加上四个三角形的面积，就等于一个大正方形的面积。写成算式就是。 好，我们现在把它再扩展一下，那三角形的面积怎么求啊？ d 乘以高除以二，所以呢，就是四乘以底是 a， 高是 b， 所以就是二分之一的 b 乘以 a 减略就是 ab， 再加上小正方形的面积。正方形的面积咋求边长乘以边长？我们知道他所有边长都是 b 减 a， 所以呢，就是 b 减 a 的平方，就等于大正方形的面积， 还是正方形的面积。公式看，因为他的所有边长都是 c， 所以呢，就是 c 方，那再把它整体都扩展一下，这是一个完全平方公式 哎，一个加二 a， b， 一个减二 a， b 加减抵消，哎，就变，再把 a 的二 a 的二次方提到前面去，就变成了 a 方加 b 方 等于 c 方。哎，这不就是勾股定理的公式吗？当我们在记数学公式的时候，千万不要死记硬背，而是要去理解和推倒他。其实啊，勾股定理的证明方法你有四 百多种，其实我讲的这个方法是其中最简单最有趣的一种，那聪明的小朋友还能想到剩下这种方法吗？在评论区留言呦，你学会了吗？我是七岁的运博老师，带你重新开上数学，记得点赞收藏呦！

大家好，我是小东老师，今天我们讲解的是勾股定律，这可是几何界的超级明星定律，学完今天这期保你秒变解题高手！首先来看勾股定律是啥，在直角三角形里，有两条短边叫直角边，还有一条最长的边叫斜边。 勾股定律告诉我们，两条直角边的平方加起来等于斜边的平方，用字母表示就是 a 的 平方加 b 的 平方等于 c 的 平方。记住，这个公式非常重要，它是解析的核心武器。好，接下来是重头戏，常用勾股数登场，背下这些数字组合做题，速度直接起飞！ 第一组经典勾股数三四五三的平方加四的平方等于九，加十六等于二十五，刚好是五的平方，所以三四五是一组勾股数。第二组勾股数 五十二十三，验证一下五的平方加十二的平方等于二十五，加一百四，十四等于一百六十九，正好是十三的平方。 第三组勾股数八十五十七，同样可以验证八的平方加十五的平方等于十七的平方。现在来说说勾股逆定力，这个也超级有用，如果一个三角形的三边满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方，那他一定是直角三角形， 这就是逆定律的威力，可以用来判定直角三角形。比如已知三边是五十二十三，验证一下勾股关系，如果满足就是直角三角形。来来来，实战演练，已知直角三角形两条直角边分别是三和四， 求斜边长度。首先套用公式， c 的 平方等于 a 平方加 b 平方。代入数值， c 的 平方等于三的平方等于二十五等于五。答案就是斜边等于五， 就这么简单。最后来个总结大招，背下这个口诀，你就无敌了！勾方股方等于弦方，也就是 a 方加 b 方等于 c 方。常用勾股数要记牢，三四五五十二十三八十五十七， 逆定律也别忘了满足勾股关系就是直角三角形，记住了吗？以后看到直角三角形的题，先想勾股定律秒杀一切边长问题。好了，今天的干货就到这里，觉得有用的话， 动动你发财的小手，点个赞，加个关注，你的支持是我更新的动力，咱们下期再见了，拜拜！

今天我将要为大家讲解周密算经中关于勾股定理的证明。 我们将从最著名的勾三股四显武的特例入手，依据三国时期赵爽的邪途对其进行证明，一步步探索其背后深邃的数学思想，并最终推导出勾股定理的一般形式。 希望通过这次分享，能让大家对中国古代数学的辉煌成就有更直观的认识。在正式开始证明之前，让我们先了解一些背景知识。 周毕算经是我国现存最早的数学和天文学著作，大约成书于西汉时期，约公元前一世纪， 他首次明确记载了勾股定律的特例，勾三股四弦五。而我们今天将要重点讲解的证明方法，是由三国时期数学家赵爽为周壁算经作注时所创的赵爽弦图。 这个弦图是中国古代数学中数形结合思想的完美体现。在开始之前，我们先介绍一个基本概念，什么是勾股弦？ 在一个直角三角形中，古人将较短的直角边较勾，较长的直角边较股，连接他们的斜边较弦。而勾股定理简单说就是勾的平方，加股的平方等于弦的平方。 接下来，咱们就用两千多年前赵爽的智慧一步步证明这一定律。赵爽要解决的问题是，当一个直角三角形的勾长为四，那其弦 c 的 长度为多少呢？ 于是，聪明的赵爽用四个勾为三股为四的直角三角形，拼成一个边长为弦 c 的 大正方形，也就是这张赵爽弦图。 在这张图中，边长为 c 的 大正方形里，刚好包含四个完全一样的直角三角形，勾等于三股等于四和一个小小的正方形。 这个小正方形的边长是股减勾，也就是一。接下来我们来计算红色大正方形的面积。 我们用两种不同的方法来计算面积。第一种方法直接计算，因为它是一个边长为 c 的 正方形，所以面积就是边长的平方，即 c 的 平方。 第二种方法，我们把大正方形拆解开来看，它是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的。 四个三角形的面积总和是四，乘以二分之一，乘以三，乘以四，等于二十四。中间小正方形的面积是一的，平方等于一， 那么大正方形的面积就等于二十四，加一即二十五。两种方法算出来的面积相等，从而得出一个等式 c 的 平方等于二十五，开方得 c 等于五。 也就是说，一个直角三角形的两条直角边是三和四，则它的斜边长度为五。 我们接下来将这个思路推广到任意的直角三角形。对于任意勾长为 a， 股为 b 的 直角三角形，其弦长 c 等于多少呢？同样的，我们用四个这样的全等直角三角形拼出一个照爽弦图， 它的构造逻辑和刚才完全一样。同样的，所构成的大正方形的边长为三角形的弦长 c， 此时中间的小正方形边长就变成了股的长度，减勾的长度，即 b 与 a 的 差。 接下来计算大正方形的面积，第一种方法是直接计算大正方形的面积 s 等于 c 的 平方。第二种方法是拆分计算四个直角三角形的总面积等于四，乘以二分之一，再乘以 a 和 b， 也就是二 a、 b 中间小正方形的面积等于 b 减 a 的 平方，展开后是 a 的 平方减二 a， b 加 b 的 平方。将两部分面积加起来，得到大正方形的面积，为 a 的 平方加 b 的 平方， 最后根据面积守恒，大正方形的面积 c 的 平方就等于 a 的 平方加 b 的 平方。 这就是著名的勾股定律的一般化形式，它表明在任何一个直角三角形中，斜边的平方都等于两条直角边的平方和。 最后我们来总结一下照爽贤图证明勾股定律的方法，其核心在于面积法，它将几何图形的面积关系转化为代数方程，完美的体现了中国古代数学中数形结合的伟大思想，整个过程简洁而又严谨。 勾股定律在西方被称为毕达格拉斯定律，但这个古希腊数学家是否真实存在还是个疑问。就算承认毕达格拉斯真实存在，那赵爽的这个一般性证明也早了整整五百多年， 这是我们中华民族的骄傲。更重要的是，这种从特殊到一般的推理过程，体现了中国古代数学所蕴涵的系统性和逻辑性思维，对后世数学的发展产生了深远的影响。 从古代的土地丈量到现代的建筑工程、航天科技，勾股定律的应用无处不在，它的魅力至今依然闪耀。 视频制作不易，请点赞、关注加收藏与以支持，您的支持会让我更有动力！

初二家长注意了，初二数学就是孩子成绩两级分化的分水岭，尤其是勾股定力这张，他可是初中几何的地基，学不透的话，后面平行四边形几何综合题直接跟不上。有规划的家长早就在寒假前给孩子备好了天心家的教材，帮专门啃透这类难点。 就说勾股定律这块，它不用孩子死记公式，而是用方格图带孩子亲手推导定律，分步骤，拆解直角边和斜边的数量关系，还配了验证实操，连古代勾股弦的由来讲的明明白白，基础弱的娃也能顺着逻辑学懂。 更贴心的是随书带答案，帮每道题的解析思路都拆得清清楚楚，孩子看解析就能自己搞定错题难题，家长再也不用熬夜帮娃讲题。初二数学稳扎稳打，后面几何学习才不会掉队，赶紧给孩子安排上。