数学几何题869

这是一道七年级绝对值的压轴题型，百分之九十的同学都做错了，我们一起来看一下。 a 减 b 的 绝对值等于二， a 减 c 的 绝对值等于五，现在呢，让我们去求 b 减 c 的 绝对值等于几？ 那这道题我们从绝对值的几何意义来去减，我们竖形结合来去求 b 减 c 的 绝对值。 好，那我们要理解一下绝对值它的几何含义表示的是什么？你像 a 减 b 的 绝对值等于二，那实际上它所描述的就是 a 到 b 的 距离是等于二的。 a 减 c 的 绝对值等于五，那他说的就是 a 到 c 的 距离是等于五的。那现在我们要去求 b 减 c， 就是 求 b 到 c 的 距离。所以接下来呢，我们要去计算这个距离，我们可以在竖轴上把它这个距离给它画出来。 a 减 b 的 距离等于二，我们在竖轴上好，先去标一个点， a 我 们可以任意去找一个点，把它当做 a 点， 那 a 到 b 的 距离等于二，那么在竖轴上，现在我们去画 b 这一点，那我们要分几种情况去画 啊？我们是不是要分两种情况， b 它有可能在 a 的 左边，有可能在 a 的 右边。如果说 b 在 a 的 左边好，那 a 到 b 的 距离等于二，表示的就是这一段的距离，它是等于二。好，这是我们 b 一， 那如果 b 在 a 的 右边 好，你看 a 到 b 的 距离等于二，那这段的距离等于二，那同样的， a 减 c 的 绝对值等于五，那就是 a 到 c 的 距离。那现在我们在竖轴上画 c 这一点，我们要分几种情况， 是不是也分两种情况，左边或者是右边？好，那如果说 c 这一点，他在左边， a 到 c 的 距离等于五，那这是第一种情况，我给他标为 c 一 这一点， 那如果它在右边，好，我把它标为 c。 二， a 到 c 的 距离等于五，那它就是这段的距离等于五。 好，那下面我们要去求 b 到 c 的 距离，那么 b 到 c 的 距离，现在我们数形结合，你看它就有几种情况，我们是不是要分四种情况来去讨论了，所以接下来我们来看一下 b 减 c 的 绝对值，你可以理解为 b 与 c 的 距离。 好，我们要分哪几种情况呢？来，首先如果说 b 它是位于 b 一 这一点啊， c 呢？位于 c 一 这一点，那么 b 到 c 一 的距离，大家看一下，应该是等于几的 啊？ b 一 到 c 的 距离，它表示的是不是这一段的距离，那这一段的距离它是不是五减去二等于几啊？五减二等于 三，对吧？好，这是第一种情况，那第二种情况， b 还在 b 一， 但是 c 他 在 c 二这一点，那么现在 b 一 到 c 二的距离应该是多少？ 是不是二加上五，对吧？所以二加上五等于七。好，我们再看第三种。第三种， b 他 不在 b 一， 他在 b 二的位置。 好， c 呢？还是在 c 一 的位置？那 b 二到 c 一 的距离等于几啊？二加上五，我们竖形结合直接去看，非常的直观。 好，那第四种情况， b 他 在 b 二的位置，但是 c 点他在 c 二的位置。好，那现在你看 b 二到 c 二，他的这段距离是不是就是这段？ 好，这段的距离我们是拿五减去二等于三，所以四种情况我们总结一下。 综上所述， b 减 c 的 绝对值，它是不是等于三或者是七？也就是它俩的距离有可能是三，有可能是七，你学会了吗？想要学习更多关于绝对值的内容，点击下方预约，来我直播间。

今天要讲的这道例题几何题考的非常的好，首先他的题型很少见，其次他考察了孩子们的一个空间想象能力。这道题来自于东城区刚刚考完的单选压轴， 我把选项直接去掉了，咱们当一道填空题来做来看这道题目，他说这是一个棱长为一的正方题，然后这个正方题分别是 a、 c、 c、 e、 a e a 一 b c、 d e 以及 a、 b、 c、 d e。 捷德的这个图形当中顶点 b e 所在的多面体的表面积是多少？ 那么首先咱们就要搞清楚到底经过这几次结之后，含有 b、 e 的 那个多面体到底是一个什么样的图形， 这就非常考察孩子们的空间想象能力。那么我们在做这个题的时候呢，就要一步一步的去给他截，看一看被一个平面截完之后剩下了什么图形， 再被一个平面截完之后剩下了什么样的图形，一点一点的去分析。首先我们先用这个平面 a、 e、 a、 c、 c e 去截这个正方体， 那含有 b 一 的部分其实就是前面这个值三棱柱，我们把它给它重新画出来。接着咱们再来用一个平面去截这个值三棱柱， 那用到的这个平面可以是 a、 e、 b c、 d e 这个平面，所以我们在这个图形当中再把它画出来，那肯定要连一下 a、 e、 b。 然后这个时候咱们就要想一下， 那这个平面跟这个 a、 e、 a、 c、 c、 e 的 这个交线到底在哪里？那么很明显的是这两个平面的交线其实就是 a、 e、 c， 所以 咱们要把 a、 e、 c 给它画出来， 那么截完之后的图形其实就是 a、 e、 b、 c、 c、 e、 b、 e 这个图形，接着咱们再用最后的一个平面 c、 e、 b、 a、 d， e 去截这个图形，那么我们再换一种颜色来看一下截出来以后是什么。 首先我们先来连 c、 e、 b， 我 们接着就要看 c、 e、 b， a， d， e 这个平面跟现在这个红色的这个三角形，它到底的交线在哪里？所以找到交线其实就是找焦点，那很明显这个平面 和 a、 e、 b， c、 d， e 这个平面，它们一定有一个交点，就是这个正方体的中心，也就是 a、 e、 c 的 中点。找到了这个中点之后，我们就可以找到对应的交线，连接 c、 e 和它的中点 o， 然后再连接 b 和 o， 找到这个中心 o 之后，我们来看到底最终这个多面体它由哪些点构成？首先它不能有 a， 因为这一部分直接去掉，也不能有 c， 那 最终剩下的这几个点分别就是 a、 e、 c、 e、 b， 还有这个点 o 以及 b、 e， 那 么我们把这个图形再给它画出来，所以大家来看一下最终剩下的这个多边形就是 o、 a， e、 b、 c， e、 b， e 这个图形是一个六面体，那么这个六面体它各个面的图形形状是什么样的？面积该怎么计算？大家来发现 a、 e、 o、 c、 e 以及 a、 e、 o， b， 还有一个是 c、 e、 o、 b 这三个三角形，它们的两条边分别就是 我们这个正方体的体对角线的一半，那么这个体对角线是根号三，所以它的一半就是二分之根号三，这条边是二分之根号三，这个也是二分之根号三 o、 b 还是二分之根号三。而三条底 a、 e、 a、 c、 e、 b 以及 a e、 b 都是它的面对角线，根号二，所以这三个三角形的面积应该相等。我们来计算一下它的高过这个点 o 做 c， e， a， e 的 垂线垂足一定是它的中点，这一段是二分之根号二，这一段是二分。之根号三，那么这个高就是二分之一，所以这三个三角形的面积和就应该是二分之一，乘以根号二，再乘以二分之一， 再乘以三，等于四分之三倍根号二。接着还有三个三角形，分别是 a、 e、 o， c， e、 o， c， e、 b 以及 a e、 o， b。 这三个三角形都是腰长为一的等腰直角三角形，所以它的面积应该是二分之一，再乘以三，所以最终 小面积就是这个数，再加上二分之三。所以对于这道题目来说，其实还是有一些难度的，我们要能够通过自己的想象和画图，把最终这个六面体给他找到，才能算他最终的表面积。

大家好，我是陪娃学数学的老爸，今天再来分享一道七年级上学期数学平面几何动角问题。 这道题中涉及的分段讨论区间会更复杂一点，已知条件是一个直角和一个六十度角。第一小问是，若 o c 平分角 a o d， 求角 b o c 的 度数，由平分条件可以得到另一个六十度角， 那么所求角用直角减去六十度就可以得到，等于三十度。第二小问是，若角 boc 等于十四分之一的角 a o d， 求角 a o d 的 度数。 我们可以依据图形关系写出角 a o d 的 表达式，即等于角 a o b。 加角 c o d， 再减去重叠部分的角 b o c 右有条件可得等于十四倍的角 boc g 九十加六十等于十五倍的角 boc， 算出角 boc 等于十度，那么角 aod 就是 十度的十四倍，等于一百四十度。 第三小问先给出了一个定义，当一条线与另外两条线夹角的度数是两倍的关系时，就称这条线是另外两条线的和谐线。 在途中， o p 从 o b 位置逆时针旋转， o q 从 o a 位置顺时针旋转，速度分别为十二度和九度每秒。 问，什么时候 o p 为两条射线 o a 和 o q 的 和谐线，时间范围是十五秒以内。 我们可以先看一下十五秒时 o p 是 旋转了一百八十度，即转到 o b 的 反向延长线位置。在旋转过程中，要是角 po q 和角 po a 是 二比一或一比二的关系， 我们分析下需要分段讨论的区间范围。之前分享过的题目中，涉及到的两个角都分别有一条边是固定不变的，只有另一条边在旋转。 但这道题中，角 poq 的 两条边都是在旋转，只有角 poa 的 oa 边是固定不变的。 那么首先确定 p o 在 o a 上方和下方时，是针对角 p o a 分 段讨论的两个区间。对于角 p o q， 两条边先是相向旋转，角度逐渐减小，直到 p o 和 q o 相遇，之后，角 p o， q 的 度数变成逐渐增大， 增大的趋势一直保持到角 poq 等于一百八十度。在这之后，角 poq 又变成逐渐减小。 所以 po 和 qo 重叠或者在同一条直线上，是针对角 poq 分 段讨论的区间分界点。我们按顺序对各个区间逐一进行计算。 区间一是 p o 在 a o 上方，且没有与 q o 相遇涉及到的两个角。如图，角 po a 可以 写成九十度减角 po b。 角 po b 就是 p o 旋转过的度数，即十二 t。 角 po q 就 等于角 po a 减去角 q o a， 角 q o， a 则是 q o 旋转过的度数，即九 t。 此区间中，角 p o， a 大 于角 p o q， 即等于两倍的角 p o， q， 算出对应的时间点为三秒钟。 下一个区间 po 仍然在 a o 上方，但是已经越过了 q o 对 应的角。如下，角 po a 的 关系是从上一区间角 po q 则等于角 po a 减去角 po a 等于二十，一 t 减九十。 在此区间中，两个角的比例关系有两种，首先是角 p o， a 等于两倍的角 p o， q， 算出 t 等于五。 接下来是两倍的角 p o， a 等于角 p o， q， 算出 t 等于六， 也就是此区间得到两个时间点。再来看一下下一个区间，既 p o 旋转到 a o 下方，但是还没有到达与 q o 在 同一条直线的位置 对应的角如下，可以写出，角 p o， a 等于角 p o， b 减去九十度。 g 十二， t 减九十。角 p o， q 等于角 q o a 加角 p o， a 等于二十一， t 减九十。因为角 p o， a 是 从零度开始增加，所以是属于小的一个角 g， 角 p o， q 等于两倍的角 p o， a 算出 t 等于三十，这个值超出了 t 小 于十五的范围，所以需要舍去， 实际上是当前的区间中不存在满足条件的时间点。我们可以看一下此区间结束的位置。 gpo 和 qo 在 同一条直线上，角 poq 等于一百八十度， gpo 和 qo 共同旋转过的角度，再减去重叠的九十度，等于一百八十度， 得到对应的时间点是七分之九十，这个值小于十五， p o 旋转过的度数也没有达到一百八十度。那么在这个区间的范围中， p o 从 a o 位置旋转到 p 撇 q 位置， 角 p o， a 的 度数是从零度逐渐增大，即使达到最大角， p 撇 o， a 也是小于九十度的，既没有达到 p 撇 o q 撇的一半，所以始终不存在满足条件的点， 也就是在这个区间中是无解的。那么再看一下下一个区间，也就是 p o 越过了上一个区间的临界位置， 到达了 q o 所在直线的右侧位置，对应的角如下，角 p o， a 仍然是十二， t 减九十。角 p o， q 则需要写成三百六十度，减去角 q o， a 减去角 p o， a 等于四百五十，减二十一 t。 此时角 p o， q 等于两倍的角 p o， a 算除 t 等于十四，这个区间再往后就会超过 t 小 于十五的限制范围，所以就不需要再继续讨论了。至此，我们讨论的四个区间一共有四个 t 值。 这道题中因为有一个角的两条边都在旋转，所以在确定分段讨论区间时会麻烦一些， 需要分析两条边重叠和在同一条直线上的情况。以上就是对这道题的分享，希望对大家有所帮助。

各位同学大家好，来我们今天呢带大家来看一道新鲜出炉的北京东城的这个高三期末的最后一道选择题。 这道题目呢，其实最近有很多同学来问我说感觉这道题目呢，没有办法去这个找到切入点，其实呢这道题目也真的是一个非常好的可以体验出来立体几何的空间想象思维的这样的一道题。 但是呢，我想跟大家去强调的一个事情就是这道题目其实你如果没有空间空间想象能力，你就一步一步的去通过这样的一些洁面，把它的这个最后的结果切出来，我觉得也是可以的 好吧，也就是说你在最开始的时候，不要一次性的就想把这三个平面所能截得的这样的一个图形，就一下子把它显示显现出来，这个事情本身来讲其实就比较困难，但是我觉得大家不要着急，你一步一步的去切，可能切完之后呢，会让你感觉到，哎，他的这个逻辑还是非常清楚的 好。所以呢我们来看一看这道题，首先呢他告诉你这应该是个棱长为一的正方体，对吧？然后并且呢哎有第一个平面叫 a， c， c， e， a e 这样的一个平面，把它切成了，由这三个平面切成若干个多面体。然后呢问你顶点是 b e 所在的这个多面体的表面积是多少？ 那这个时候的话，大家首先可以看到一个事情，就是我的第一个平面，对吧？他应该是这样的一个平面， 是这样的一个平面。那我觉得大家在最开始的时候，其实你就可以把这样的一个平面切完之后的一个图形呢？你把它表示出来，或者你把它单独画出，画出来，我觉得可能对于你的这个判断有一个更加直观的一个判断，比如说你看你一开始的话，其实就应该是这样的一个图形，哎， sorry， 我 拿白色的笔画吧， 这样的一个图形，也就是说半个正方形，对吧？然后呢， 当然我这个因为没有工具啊，所以画的稍微有点丑陋，大家可以凑合的看一看，然后呢，它画出来是这个样子， 是吧？画出来这样，所以你其实可以标注一下，也就是说这是 a， 这是 b， 这是 c， 然后这应该是 a 一， b 一 和 c， 哎，这是第一部分切出来的， 切完之后呢，我们再去看一看第二部分，他说的什么呢？由平面， b， c， d， e， a， e， 哎，也就是说这样的一个斜边，那这样的一个斜边的话，大家去就应该可以想到，哎，我在这里面切的话，他应该是往这个方向切，对吧？ 这个方向切，那这边能往哪个方向切呢？它其实应该是往这个这边也有一个顶点，然后往这个方向切，那你切完之后的话，你就可以来看一看它的交线应该是什么，其实我们就应该可以让你真正的交线呢，就应该是这个 ac， 对吧？ a， e， c 这样的一个角形，所以也就是说你切出来的这个图形呢，你其实可以再简单的画一下啊，应该是可以看得出来的，比如说在这里面的话，就应该是一个上面的三角形，对吧？ 呃，我这个画的稍微有点长啊，这样吧，这样那个三角形，然后接下来的话，其实我们就可以，哎，你大概的还要把把这个图形大概的还原一下，那其实就应该是往这个方向走，对不对？ 往这个方向走，然后呢？呃，你是往上切的，所以说呢，其实你这个位置应该还是会有的， 这个位置还是会有的，对吧？然后但是呢，你下面那一部分其实就应该没了，所以说呢，你在这里的话，其实可以画一个这边的虚线，可以画一个这边的虚线，如果说你觉得这个东西不是特别好看的话，你可以把下面切到的这部分呢，你用虚线把它来表示出来，对吧？ 所以切完之后呢，这个图形其实就应该长成这个样子啊，当然这边的话你也可以连个虚线，这样的话其实还是原来的那个图形，但你这样的话是不是应该可以更加清楚的知道，你切完之后的一个结果应该长成这个样子，也就是说这是一个 b 一， 这是一个 a 一， 然后这是一个 b， 这是一个 c， 对 吧？ 是不是？这是第二刀切完之后，沿着这样的一个斜着的平面，然后切完之后的一个结果，然后呢接下来的话我们再来看一看，那第三刀切在了哪里呢？ 第三刀的话应该是 abcd， 也就是说从前面的这个底边到后面上面的这个底边，那这样的话，你其实切完之后呢，它应该是这个样子，那我们可以拿一个蓝色的笔，是不是换一个浅绿色的吧？ 哎，这应该是 c， 然后我们换一个浅绿色的笔，大家会发现你其实是不是应该往这切，对吧？然后这个位置呢？其实你也一个一个道理，你应该是往这个位置切， 切到这的话，大家想想看你这边会交于什么呢？你会交于什么呢？对吧？你在这里面的话，其实就应该是一个 bc 这样的一个对角线， 可以吗？然后呢你后面的话其实留下来的应该是什么东西？其实这你要能知道现在这边只剩一个角了，所以你在切的时候其实跟这个角也没什么太大的关系，对吧？但是呢你会发现在他这个平面跟这边应该会有一个这样的结痕，也就是说他的节点呢应该会在这个位置， 可以吧？节点应该会在这个位置。好，那所以说呢，我们再来简单的把它画一下，它画完之后应该是长这个样子， 对不对？然后这个是往下，然后这边呢应该是往这往这来了一条，这边的话其实就应该是往这个位置，相当于是来了一个锥体，来了一个这样的三连锥，但是呢你应该可以知道它其实这是一个原来正方体的体对角线。 a、 e、 c 呢，也应该是个体对绕线，所以说呢它在里面的话，其实应该会交于它体对绕线的那个位置，也就是说应该是这个位置， 可以吧？相当于这边是个 o， 当然我这个因为工具有限啊，所以画的不是特别的精准，然后这边呢也应该会有个 a， 然后这边有一个 b， 这边会有个 c， 然后这边会有个 b， 应该变成这样的一个图形， 说白了呢，你其实就应该可以看得出来，这个图形的话，他其实应该是一个叫叫做你可以旋转一百二十度之后对称的这样一个图形，因为呢相当于是你这三个顶点的和这个体心的连线，然后呢再和第四个这个 b 一 这个顶点的连线， 所以你会发现这个的面积其实表面就就是多少呢？你应该可以知道这是一，这是一，这也是一，对吧？然后呢这应该是个根号，然后呢你会发现 o c e， o a e 和 o b o b 的 话，其实它应该这个长度都是一个什么，都是一个体对绕线的一半，也就应该是二分之二三， 是吧？所以你形成的这个三角形的面积呢，其实就应该这样的一个三角形的面积，就是这是一个二分之根号三，斜边是一个，呃，就是这个短边等腰的腰应该是一个二分之根号三，然后呢这个斜边长其实应该是根号二， 所以如果说你在这边再做一个高的话，这是二分之根号二的话，其实这应该就是一个一一比根号二，比根号三的这样的一个东西，所以这应该就二分之一，所以这样的一个三角形的面积呢，其实也就应该等于二分之一，乘以二分之一乘以根号，所以也就应该等于四分之根号， 可以吧？那到最后的话，其实我们会发现你的这个结完之后的多面体的表面积呢，其实就应该是什么，它是三个叫做面的一半，也就是二分之一， 然后再加上什么呢？再加上三个，其实你会发现 o a b， o c e b 和 o a c e c， 其实这三个三角形应该是全等的三角形，三个都是叫做腰围二分之根号三，底边是根号二的这样的一个三角形，对吧？所以说呢，三倍的四分之根号， 所以那这样得到的结果就应该是二分之三，再加上一个四分之三倍的根号，得到的应该这样的结果，所以到最后答案应该选什么？是不是应该选四 d， 对 吧？是应该选四 d 吧？ 因此呢，我们其实要能知道，像这样的一个图形的话，如果说你在一开始的时候，没有办法可以把它很好的表达出来的情况下，其实呢，你可以一步一步的看看他每一次结面结出来的一个结果到底是什么，这样的话可以更好的帮助你去判断这道题目， 从而呢，你就算没有特别强的这种空间想象能力，你也能根据他的一步一步的逻辑把他给推导出来。所以大家在未来考试的时候，尤其是他已经处在了亚洲题的位置，所以就意味着他一定没那么好做，但是呢，我相信各位同学其实可以冷静的去面对，然后呢把他给探索出来。

每天一道压轴题，期末多少？二十分？今天我要讲的压轴题目是一元一次方程问题中的几何问题。好，我们来看这道压轴真题， 如图，长方形剪掉阴影部分，将剩余的部分沿虚线折叠制作底面为正方形的长方体，则长方体的表面积为多少？ 好，我们先来看一下这幅图，再结合一下上面的信息，我们发现他告诉我们说这叫大长方形，他的这长是十四，宽十八，然后呢，他减去图中这些这三块阴影部分， 再沿着这些虚线部分去折叠，注意这他是什么底面为正方形，那我来观察一下，说明说底面是不是应该是这两个？来看一下他这里让我们求长方形的表面积为多少。 那首先要求表面积，我们是不是得先求出这长方体它的长宽高分别是多少？那要怎么求呢？这里我们来看一下有没有突破口。 我们知道他说底面为正方形，那我们不妨就设就叫正方形的边长为 x， 因为我们这里若设边长为 x， 那 我们就可以知道这一段，这一段，这一段， 这四段的长度是不是都一样，也就是可以得到四 x， 那 旁边这长度是不是也得出来了？所以这里我们可以写一下 好设为 x 的 话。接下来我们该说了，这四段的长度是相等的，所以说就可以列得四 x 等于八，那可以解得 x 的 值为二，那我们这里调一下。好，接下来我们来看一下， 那我们这里已经得到了底面正方形的边长为 x， 那 这里就说明说我们已经得到了长方体，它的长和宽，那它的高等于多少呢？ 好，我们来观察一下，它的高是不是应该是这个小长方形的长，那这小长方形的长是怎么得到的呢？就是等于用这十四减去这两个正方形的边长，也就是说他的这个高 等于十四，减去二 x， 那 把 x 等于二带入进去等于多少？就等于十，所以我们可以得到这小长方形的长，它应该等于十。 好，那现在我们就可以来计算一下表面积的，那表面积其实可以由中间的这四个小长方形组成，这大长方形再加上旁边的这两个小正方形， 那一个小正方形，它是不是面积为二乘二？那两个就是我们再乘以一个二，再加上中间 的这个大长方形，那中间这个大长方形，它的框对应一下是不是等于八？它的长对应一下是不是等于十，对吧？所以就是再加上十乘八，那我们算一下就等于八，加上八十等于八十八。 本道题目答案就是八十八，那我们这道题就成功解决了。怎么样这一类一元一次方程问题中的经典的压轴题，几何问题，你学会了吗？

大家好，我是陪娃学数学的老爸，今天来分享一道七年级初一上学期数学和光线反射相关的平面几何题目。这道题先是介绍了法线与镜面垂直入射角和反射角相等的规则。 第一小问，利用入射角和反射角相等，也可以得到入射光线与反射光线和镜面的夹角也相等， 可以直接得到角 bo f 等于六十五度，当角 a o b 等于八十度时，反射角就等于八十度。除以二，那么角 bo f 等于九十度，减反射角得到五十度。 第二小问中的三个小题都是涉及到两个镜面的两次反射。先看第一小题，问角 p o q 为多少度时，光线 am 和 nb 平行， 也就是这两条线平行时，角 p o q 等于多少度。我们可以在图中把已知的角度关系标出， 由光线反射得到两组相等的角，由平行关系得到一对互补的同胖内角。 要求的角也标出，可以看出所求角就是一百八十度，减去绿色角和橙色角、绿色角和橙色角各自的两倍，又分别和紫色角和红色角互补， 列出具体的关系。将最后两道等式相加，就可以得到两倍绿色角加两倍橙色角等于一百八十度， 即绿色角与橙色角相加为九十度，得到角 p o q 也是九十度。图三对应的第二小题是问角 p o q 与角 m e n 之间的关系， 也可以先标出已知的相等角以及要求的两个角。也可以看出，角 p o q 的 补角就是绿色角加橙色角。 三角形 m e n 中，除角 m e n 外的两个角，也是与两倍的绿色角和橙色角相加有一百八十度的关系。 先用绿色角加橙色角表示出角 p o q， 再表示出三角形 m e n 中除角 m e n 外的两个角之合，即一百八十度减两倍绿色角，加上一百八十度减两倍橙色角 等于三百六十度减两倍的绿色角和橙色角之和，再代入一百八十度减角 p o q， 得出等于两倍角 p o q， 得出的关系式就为角 m e n 加上两倍角 p o q 等于一百八十度。 图四对应的第三小题入射的角度又有所不同，得到两条线的焦点在镜面左侧。还是问角 p o q 与角 m e n 的 关系？ 我们先画出相等的角，还有一个与绿色角相等的对顶角，以及另外一组对顶角所求的角，可以简写成角一和角 o。 角一和角 o 可以 利用不同的三角形内角和的关系表示出。比如先利用两个小的三角形 e m b 和 o m b， 可以写出角一等于一百八十度减绿色角减紫色角。角 o 等于一百八十度减橙色角减紫色角。那么我们只要再找到绿色角和橙色角的关系，就可以看出角一和角 o 的 关系。 可以看到两倍橙色角的补角，即角 b n m 就是 紫色角和绿色角的差值， 即橙色角，可以用紫色角和绿色角表示出。带入到角 o 的 算式中，就可以得到角 o 等于九十度，减去绿色角的一半，减去橙色角的一半， 于是得到角一等于两倍角 o。 那 么用另外的两个三角形 emn 和 omn 表示角一和角 o 也是可以的， 可以写出角 e 等于一百八十度减两倍绿色角减蓝色角，角 o 等于一百八十度减绿色角减蓝色角和橙色角之合成色角又可以表示成一百八十度减蓝色角的差，再除以二， 于是可以最终写出角 o 等于九十度减绿色角减蓝色角的一半。同样也可以得出角 e 等于两倍角 o 的 关系。 总体来说，这道题的难度不是太大，但是光线反射涉及的角比较多，需要我们先利用反射规则找到相等的角， 再利用其他条件，比如平行线、三角形、内角等找到相关角的对应关系。以上就是对这道题的分享，希望对大家有所帮助。

我们小学的几何题啊，再难再复杂，到了我们初中阶段，那就随便秒杀，三秒钟可以出结果。 那么小学阶段我非常的建议各位家长不要在几何上花太多的功夫，今天给大家讲一道网络上非常流行的一道几何题啊，但是呢，我给他三种解法，分别是小学生对应的解法， 初中用代数方法来解，以及用初中的几何方法来解，大家都做一个对比啊，好，这个题目是这样子的，这是一个直角三角形啊，在这个直角三角形这里，我们取一段为三，给他做一个长方形啊，这下面这个阴影部分是一个长方形， 这个长方形刚好上面是三，然后离右端点，这里是八，就给了这两段，除其他以外什么条件都没有了。 这个时候我们要求大家去求一下这个阴影的面积，它的面积 s 等于多少呢？我们从小学的角度来讲的话，很难，为什么很难呢？你看这个长方形的面积， 长也不知道，宽也不知道，那么长和宽都不知道，如果你告诉我整个大直角三角形的这两条直角边，那也行啊，咱们一剪就可以得到了，是吧？可惜他也没有， 所以我们就一筹莫展啊。那么如果用我们已知的这些条件，是没有办法求得的，这个时候我们要利用一个什么呢？利用一个对角线的常识，就是一个长方形啊， 他的对角线一拉以后，这两部分面积是相等的，因为都等于整个面积的一半，所以这道题目我们应该怎么办呢？我们要先把它补成一个长方形， 这个是我们的对角线，这是个直角嘛，因为是直角三角形，所以补成另外一半以后，这个也是直角，所以这就形成一个长方形。长方形以后下面这个就等于上面这个。好，这是第一步，第二步咱们把这条线给他延伸上去，然后把这条线给他也延伸出来。 那么你就发现在左上角也有一个长方形，这个长方形呢，也有一条对角线。你就说刚才这个大的对角线其实分成了两部分，这部分是左上角这个长方形的对角线，下半部分是右下角的对角线，那就意味着什么？意味着假如我们这条面这部分面积叫一号的话， 这个上面就是二号的话，那说明一号面积是相等的对角线吗？如果我们这是三号的话，说明我们的 三号面积和我们的四号面积是相等的对角线，那么这个又是我们的整个的对角线，所以这里一三。比如说这个部分叫五号面积，这个对面的这个叫六号面积的话， 那么一加三加五就是我们下半部分，这个部分加起来应该等于上半部分的二加四加六。为什么呢？大家都是对角线的上下部分，二加四加六部分， 所以这两个应该是相等的关系，大家看到了吗？好，而且我们知道一跟二是等的，一跟二划掉， 三跟四是等的，三和四划掉，那最后你会发现五跟六也是等的好了。所以当你求五的面积时候，就是求六六的面积，可是六的面积咱们能知道吗？可以知道的，为什么可以知道？ 大家一看就知道了这个部分呢？六的这个部分呢，你看它的这条边是多少，刚好就是我们这里八给推上去的，那么它的宽是多少呢？ 就是我们这里的三给推过来的，所以这个面积就是我们这里的八乘以三，它跟它面积相等，但是长得不一样大哈，你看得出来它们长得不一样大，但是它们的面积是一样大的，所以 x 乘以 y 就 等于这里的三乘以八。那么小学阶段，我非常的建议各位家长 不要在几何上花太多的功夫，因为这些东西我们现在在小学学的武器有限， 我们呢没有高阶的知识，所以我们只能在那个小池塘里面打转转，大家明白这个道理吗？到了我们初中阶段，我们学习了更高阶的知识和武器之后，那就是随便秒杀三秒钟可以出结果。 那么我先给大家讲初衷代数的方法，代数代数，我们就要设 x y 了，对不对啊？那我们把这里设为 x 呀，这条边呢，这就是 x， 那 这条边呢，长方形叫 y， 所以 它的面积是什么呢？就是 x 乘以 y， 两条边相乘，那么这个该怎么求呢？那么我们发现一个大的三角形， 减去两个小三角形，就等于这样的一块面积，对吧？好，那我们就想列出一个等式来，这个等式是这样的，大的三角形面积怎么表达呢？用二分之一个这条边乘以这条边，一个是三，一个是 y， 所以 就是什么呢？ 三加 y， 这条边呢是八加 x。 好 了，二分之一个底乘以 x， 二分之一个三乘以 x， 这个部分再减掉这个三角形多少呢？二分之一个八乘以 y， 大 的减两个小的之后就等于它，这个就是我们的面积 x y， 所以 你会发现可以列出来这么一个等式，我们可以对它进行代数式的化简。大家知道你把它展开，这个就是一个二分之一个三乘以 x 三 x， 再加上一个八乘以 y 这个东西，然后再减去一个二分之一个，这后面就是三 x 加八 y 好 了，那么左边等式的左边就是 x y， 这个时候我们对它画点，你会发现三 x 减三 x 没了，因为大家都是二分之一哈八 y 减八 y 没了， 所以最后就剩下一个什么二十四加 x y， 你 如果把这个二乘过来的话，就是两倍的 x y 就 等于二十四加 x y 好 了，我们把这两个刚好都是 x 一 合并就可以得到一个 x， y 就 等于二十四， 这个二十四其实就是我们这里的三乘以八得到的，那 x y 就是 我们的面积，所以我们面积就可以算出来了，这个就是二十四。 大家看明白，这是我们的代数方法啊，那么这个代数方法我们并没有把具体的 x 和 y 都解出来是多少，因为我们也没有办法求出 x y 多少，因为它们其实是不确定的，但是有一个东西是确定的， x 和 y 的 乘积是确定的，所以这道题只能让我们求这个长方形的周长啊，或者是其他，也就说和是不确定的。好，这是我们的代数方法，大家看啊， 这整个是通过一系列的社会之数然后进行化解得到的，那么所利用的等式是大三角减两个小三角等于长方形这么一个等式， 那么我们就来讲初中的几何方法，几何方法是怎么来做的呢？大家看啊，几何方法为什么是初中几何而不是小学几何呢？因为这里面涉及到一个初中才讲的知识，叫做相似， 什么叫相似？这样的两个三角形就是相似的关系，因为你看啊，由于这两个是平行的，所以咱们这两个角是相等的，那么这两个又都是直角， 这个顶上这两个也是相等的，也就说这两个三角形，三个角是分别相等，三个角分别相等，在我们初中几何里面就知道了，这是两个相似三角形，两个相似的三角形， 他们的边之间是成比例的，也就说这里的三和这里的这个长度，也就是三比上这个 y， 这段是 y， 两个的竖着的边，就等于两个横着的边的比，也就是这里的 x 比上这里的八。那么通过这样一个比例，我们就可以得到比例有一个基本的性质，对角线相乘应该相等，所以三乘以八，就等于这里的 x 乘以 y， 所以三八二十四， x 乘以 y 就 等于二十四，而 x 乘以 y 就是 我们要求的它的面积的表达式，所以它比我们的代数方法还要简单。 初中的几何方法，一下子一个比例，一个相似，就得到我们的答案了，对吧？好，这就是我们的初中几何，所以我们小学的这个方法也印证了这个结果，也是三乘以八等于二十四， 大家听明白了吗？那么通过这道例题，这道题的一题三解，我想给大家表明一个什么样的观点呢？说明我们在小学阶段你再用功，你花再多的功夫在这个上面， 咱们到了初中以后啊，可以不费吹灰之力就可以解决的。就是因为我们这个池子太小了，但凡有稍微难一点的题目，他都是超纲题，他都是到了咱们初中以后简简单单的题。 所以这个时候呢，你花太多精力在上面，有点浪费孩子的精力和时间。你不如把这个时候把我们的很多基本功啊，比如说计算的 基本的习惯啊，比如说我们的很多数学思维啊，你不不如在这个上面去花点功夫，你甚至去多把语文和英语的基础打牢，我觉得都好过在小学阶段在他的几何上面去死磕，因为这些东西到了将来以后一文不值。

这节课我们看一下几何图形初步的参考点。第一个参考点，从不同方向看立体图形 来看这道题，如图所示的立体图形，从上面看到的图形是什么？这是一个由五个正方体组成的立体图形，我们先看一下，从上面看我们能看到哪些正方体。为了方便，我们先给五个正方体编一个号， 因为是从上面看，二号在一号的下面，所以二号是看不到的。然后一号、三号和四号是在同一行不同的列，按着从左到右的顺序就是四号、三号、一号。 然后再看五号，五号是在第二行，他和四号是同一列，所以他的位置应该是在这里对比一下四个选项，应该选择 c。 第二个参考点，立体图形的展开图，这个就需要我们知道常见的立体图形他们的一些特点，常见的一些立体图形的特点，我列到下面，大家可以再熟悉一下。来看这道题，根据下列多面体的平面展开图，填写多面体的名称。 第一个图，这个平面展开图有六个长方形、六个长方形或六个正方形。我们第一个要想到的就是长方体和正方体，它们都是由六个面组成，每一个面都是长方形和正方形，都是正方形就是正方体。有长方形，那就是长方形，所以第一个图是长方形。 第二个图有两个三角形，所以它是一个三棱柱。 第三个图形，它是由四个三角形组成的，我们常见的图形里边只有棱锥的侧面都是三角形，所以它是一个三棱锥。 再来看一个题，如图是一个正方体表面展开图，则原正方体中与权字所在面相对的面的字是什么？若从前面看正方体是文字，则后面看是什么字？还记得相对面的口诀吗？相间最端是对面， 在这个图形中有一个与权字形成最端的一个字，所以权字所在面相对面的字是是。第二问，说从前面看是文字，从后面看是什么字？也就是说要找这个字的相对面的字 成和文是同一行，中间相隔一个正方形，所以从后面看是成字。第三个常考点线段长度的计算直接看题，如图， c 为线段， a、 b 上一点点 d 为 bc 的 中点， 且 ab 等于十厘米， bc 等于四厘米。第一问，图中有几条线段？像这种一共有 n 个点，能连成几条线段的问题，有一个通用的公式，二分之 n 乘 n 减一， 图中一共有四个点，我们把 n 等于四代进，这个公式等于二分之四乘三等于六，所以图中共有六条线段。 第二问， a、 d 的 长是多少厘米？点 d 为 bc 的 中点， bc 又等于四厘米， 所以这一段等于这一段等于 bc 的 二分之一，也就是两厘米。 a、 d 的 长等于 a、 b 减去 b、 d， a、 b 是 十厘米， b、 d 是 两厘米，所以 a、 d 就 等于十减二，等于八厘米。 第四个，乘高点角度的度量和计算，如图，点 b 在 点 o 的 北偏东六十度方向上，北偏东，也就是这个角是六十度角。 b、 o、 c 等于一百一十度 角。 b、 o、 c， 那 这个角是六十度，所以这个角就是五十度，这个角就是四十度，则点 c 在 点 o 的 什么方向上？ a 选项，西偏北六十度方向上西偏北六十度，这很显然不对，这是四十度。 d 选项北偏西四十度，方向上北偏西四十度，但是这个角是五十度，所以他也不对。 c 选项北偏西五十度，方向上从北往西偏五十度，这个是正确的。 d 选项西偏北五十度，方向上从西偏北，应该是四十度，他这写的是五十度，所以也不对。 再来看一个题，如图，将一张长方形纸片 a、 b、 c、 d 沿对角线 b、 d 折叠后，点 c 落在点 e 处，沿 b、 d 折叠，折前角等于折后角，所以这个角等于这个角，这个角等于这个角。连接 b、 e 交 a、 d 于 f， 再将三角形 d、 e、 f 沿 d、 f 折叠后，点 e 落在点 g 处，这个三角形沿着 d、 f 折叠，那折前角等于折后角，所以这个角跟这个角相等。 若 d、 g 刚好平分角 a、 db、 d、 g 是 这个角的角平分线，所以这个角等于这个角。那么角 a、 d、 b 的 度数是多少？ 我们假设角 f、 d、 g 等于 x 度，因为 d、 g 是 角 a、 d、 b 的 平分线，所以这个角也是 x 度， 而这个角又是这个角的折后角，所以这个角也等于 x 度。角 b、 d、 e 是 这个角的折后角，所以这个角就等于三 x 度。 角 adc 是 一个直角，所以 x 加 x 加三， x 等于九十。解这个方程，就可以求出 x 等于十八角 adb 等于二 x， x 等于十八，所以二 x 就 等于三十六，所以角 adb 的 度数就是三十六度。 第五个常考点是余角和补角。这块的基础知识是互余的两个角相加等于九十度，互补的两个角相加等于一百八十度。来看这道题点 o 是 直线 ab 上任意点，射线 o、 d 和射线 o e 平分角 a o c 和角 b o c。 第一小题， 与角 b o、 d 互补的角有角 b o， d 是 这个角，它加这个角等于一百八十度，所以角 a、 o、 d 是 它的补角 o d 是 角 a o c 的 角平分线，所以这个角等于这个角，所以这个角也是角 b、 o、 d 的 补角。第二问， 当角 b o e 等于阿尔法度时，角 d o e 等于多少角 d o e 是 这个角 o d 和 o e 都是角平分线，所以这个角等于这个角，这个角等于这个角，那这个角加这个角是不是就等于这个角加这个角， 所以角 d o、 e 也等于二分之一角 a、 o b 等于九十度。这节课就到这里了，下节课再见。

长方形面积为九十九，求正方形面积。这个题的已知条件是长方形面积还有长和宽的一部分为五和三。看到长方形的面积，我们正常的思路是不是用长方形面积减去空白部分面积，对吧？我们试试看哈，做辅助线，延长正方形的两条边， 可这样也只能算出来这个小长方形的面积，其余两个空白长方形面积也还是没法算，对不对？那怎么办呢？ 大家注意，我们经常听人说数形结合，但大多数都是用图形来解决代数问题，这道题我们得反着来试试，用方程解决几何问题，看看行不行。我们设正方形的边长为 x， 那 长方形的长就是 x 加五，宽就是 x 加三。 那我们用长方形的面积公式是不是就可以得到一个方程， x 加五乘以 x 加三等于九十九。 我们接着往下算， t 的 平方减一的平方等于九十九， t 的 平方等于一百， t 等于正负十。因为正方形边长不能为负数，所以 x 加四等于十，所以 x 等于六。那正方形面积就是六乘以六等于三十六。

大家好，我是陈老师，来我们来看一下这道题的一个思路啊，已知条件一二三三个，让你求证角一等于角二来看，要求证角一等于角二，其实有两种方法，第一种，两个三角形全等，角一角二如果作为对应角的话，他们是不是就相等了？ 第二个，他有可能让你考的是什么呀？角平分线的判定，只要求证出 a o 是 角 b、 a c 的 角平分线，那么角一和角二自然就相等了，对吧？那至于是考哪一个，我们要根据已知条件来入手啊。 第一个，两个已知条件，两个垂直，检查图上的垂直符号，然后第三个，已知条件 o b 等于 o c， 把相等的线段用同样的符号标出来。 那么现在来看，我们图上一共就三个已知条件，两个垂直，一组相等，那肯定是从已知条件入手，根据这三个已知条件，然后从图上又能看出一组对顶角相等，对不对？ 所以呢，直接可以得出左右这两个三角形怎么了？全等判定方法是直角 对顶角，还有等号，这个边两个角没有把边夹中间，所以他的判定方法是角角边这两个三角形全等，那三角形全等不是我们要求证的东西，所以三角形全等他只是我们的什么呀？ 解题的一步，他的目的是用三角形全等的性质找他的对应边和对应角， 那我既然要求角一等于角二，跟角一角二有关的边是哪一个？这两个三角形全等，那就是 o d 等于 o e。 为什么要找这组边相等呢？因为 o d 垂直于这个边， o e 垂直于这个边， o d 和 o e 是 两条垂线段， 对不对？那么这个题明显考的就是角平分线的判定。角平分线的判定是怎么说的呢？ 在这个角的内部有一个点，这个点如果到角两边的距离就是两条垂线段啊，到角两边的距离相等的话，我们就说这个点在角的角平分线上，那么连接角的顶点和这个点，它就是这个大角的角平分线。 所以这个题的思路先正，这两个三角形全等，由全等三角形的性质得出， o d 等于 o e， 然后用角平分线的判定，这块当然就有扣分点了。角平分线的判定一定要说明点到角两边的距离相等，那点到角两边的距离是通过两个垂线段提现的，所以这两个垂直必须要写 点到角两边的距离，这个距离怎么了？相等了，所以这个点就在角的角平分线上， 对不对？那点 o 在 角的角平分线上，那么 oa 就是 角 bac 的 角平分线，所以角一等于角二，这少了一步啊，所以 oa 平分角 bac。

平行线叠加双角分线问题，百分之九十的孩子看一眼就想放弃，今天薇薇老师带你抽丝包剪，彻底掌握这类问题的本质方法。薇薇老师已经把线段角、相交线与平行线的核心考点、考勤分析、目标导航、 思维导图、经典例题和练习，以及详细解答过程，整理成了线段角、相交线与平行线。经典必刷题型，看完这个视频再拿去给孩子练习，练完考试直接拿满分。需要的家长我发您一份，一起来看。若 a b 平行 c、 d 两直线平行 角 b e g。 等于四十度，这是四十度的角 e p 平分角 b e g e p 平分这个四十度的角，那么这两个小角呢，都应该是二十度。 题目有说 e g 平分角 b e 扣 e g 是 这个角 b e q 的 角平分线，那么这个角 g e q 就 应该是四十度。 继续读题， f p 平分角 g f d f p 平分角 g f d 那 么这两个相等的小角呢？我们可以把它们都标记为 r f d。 又继续平分角 g f q f d 平分角 g f q， 那 么这个角 d f q 呢？就应该是二倍的角 r。 题目让我们去求角 q 加上二倍角 p 等于多少？ 这道题呢，它有四条角平分线，图形比较复杂，不太容易识别出模型。那我们就可以采用最朴素的方法，就是过拐点去做平行线。 问题当中所涉及到的角呢？有角抠和角 p， 所以 我们可以过 p 点和抠点这两个拐点去做平行线。哎，我们分别过 p 点和抠点这两个拐点去做平行线。 根据平行公理的推论呢，这四条水平的直线都是互相平行的，那我们就需要把角 p 和角抠这两个角给它表示出来。 先来看角 p， 它是由两部分构成的，所以呢，在 a b 和 p n 这一组平行线之间，出现了一个 z 字形的内错角，我们就可以把这个二十度给它内错下来。 同样的道理，在 p n 和 cd 这一组平行线之间，也有一组 z 字形的内错角，我们可以把这个 r 法给它内错上去，所以角 p 呢，就等于 r 法加上二十度。 接下来我们来观察角勾，很明显角勾应该是这个大角减去这一个小角，对吧？所以我们先来看这一个小角， 哎，那么在 cd 和 qm 这一组平行线之间，我们可以把这一个二倍的 r 法呢给它内错下去，这个小角呢，也就是二倍的 r 法。再来看这个大角，那么我们就要看在 a b 和 qm 这一组平行线之间，哎，我们可以把这一个角 b e m 这个角 b e m 是 八十度给它内错下去，也就是这个大角呢，就是八十度，所以角扣就应该是八十度减去二倍的 r 法，角扣等于八十度减二倍的 r 法。而问题要求的是角扣加上二倍角 p， 那 么角扣加上二倍角 p 给它等量代换进来，角扣是八十度减二倍的 r 法， 角 p 呢是阿尔法加上二十度的和来去看去括号，八十度减二倍的阿尔法加上二倍的阿尔法，再加上四十度，所以最后的结果呢，也就等于一百二十度。那这道题的最终答案就是一百二十度。 最后我们来总结一下，当我们遇到平行线间的拐点问题，他的方法就是过拐点去做平行线，主打一切。同学们，你学会了吗？关注微微老师，学习如此简单！

中考几何模型精讲，今天讲婆罗摩极多，他的专属破解方法就是备强中线，从构造辅助线到梳理逻辑，一条视频给你讲透学会，再也不怕这类压轴题，建议点赞、关注、收藏，反复观看。 今天我们来看一下婆罗摩极多模型，那么这个模型呢，它有两种形式，第一种呢是给中点正角度， 第二种呢，他有的时候是给角度 正中点。今天我们先来搞定第一种，到底什么叫婆罗摩羯多呢？首先我们要先学会辨认每个模型， 第一个他必须是两个等腰三角形，第二个而且顶角互补，第三个共顶角顶点。 那我们来看一下这道题，它有两个等腰三角形，一个是 a b c， a b 等于 a c， 而且一个是 a d e， a d 等于 a e， 而且呢两个顶角，一个是一百二十度，一个是六十度。 点 f 为 c e 的 中点，所以很明显它这道题给了中点连接 fa 并延长 fa 交 b 得与点 g。 那 老师来延长一下， 第一个证明 b 得是等于二倍的 af， 第二个证明角 bga 是 等于一百二十度。 第三个三角形 a、 c、 e 的 面积与三角形 b、 a、 d 的 面积是相等的。而这三大结论就是咱们婆罗摩多的最重要的结论， 还是那句话，所有的几何题做辅助线最重要。那么首先这道题给的有力的引导条件是什么呢？ 同样的出现了终点，而在以往的视频当中呢，老师给大家分析过，出现终点最少想到四方面，而这道题呢，它属于一个普通三角形的一边终点。那所以说这道题我们的辅助线做法是倍长中线，也就是延长 a f。 那 么接下来呢？连接 c h 和 e h 都可以，大家课下可以做一个言头，那我们老师选一下，连接一下 c h。 好，那写下步骤，我们的第一步一定是倍长中线，也就是延长我们的中线 a f 至谁呢？到点 h 使 f h 是 等于 a f 的。 那这步倍长中线 目的什么呢？所有的倍长中线法，目的就是得到一个平行八字形全等，也就是三角形 a f e 全等于三角形 h f c。 那 这个证明非常简单，就是 s a s， 因为原有 f c 等于 f e， 后来做了个 a f 等于 f h， 对 顶角用相等，所以边角边就全等。而所有的平八全等， 最重要的结论就是为了得到对边平行且相等。这个直观重要啊，也就是 a e， 它平行且等于咱们的 c h， 因为我们要把这个得到的条件用到下一步的证明当中。那接下来我们要做什么呢？证明全等， 哪来的全等呢？那首先我们第一个得到的结论有 a e 等于 c h， 本身我们的 a e 就 等于 a d， 那 所以 c h 就 等于 a d， 而原题当中 ab 是 等于 ac 的。 那所以说我猜测这两个三角形应该是全等的， 那也就是它已经有两组对应边相等了，只要我能挣出来两个夹角对应相等，那么这两个三角形就一定是全等的。那老师先写一下前两个条件，也就是 ab， 它是等于 a c 的， 而且 a d 是 等于 c h 的。 而这步推导用到了咱们圈一当中的 a e 等于 c h， 而原题当中的 a e 又等于 a d， 就 推导出来了，那么将来中间的这个角该如何推导呢？那不要忘了，我们上一个结论当中，除了相等还有一个平行， 那所以说这个平行当然就是用来倒角的，那也就是我们的 a、 e 是 平行 c、 h 的， 那所以说我为了得到两个红色角相等的话，由于平行我就可以找相关条件，那么这个红色角就跟我们的这个角是 同旁内角互补的，那所以说老师在这写一下，也就是因为 a、 e 是 平行 c、 h 的， 那所以说角 e a、 c 加上角 a、 c、 h 就 一定等于一百八十度。 而又由于我们整个周角是三百六十度，他这两个顶角和是一百八，所以说我们还有一个结论，就是角 b a 的 加上角 e、 a、 c， 它也等于一百八，那所以由这两个条件我们可以共同得到 a、 c、 h， 它就等于角 b、 a 的 刚好是咱们要正的这两个角 a、 c、 h， 也就是这个我们一定是用圈一当中的平行证出来的，那么这三个条件满足了之后，我们就可以证明出三角形 b、 a、 d 全等于三角形 a、 c、 h， 那 全等了之后，大家就有对应边相等，对应角相等，那也就是就可以得到咱们的 b 的是等于 a、 h 的， 而我们的 a、 h 又等于二倍的 af， 那 所以说第一个结论得正，也就是 b 的是等于二倍的 af 的。 那我们再来看一下第二个， 那第二个题呢？是有关于角度的证明，那所以说我们要想证明角，当然是由全等的对应角相等圈推倒，那我们来标注一下角， 那首先这两个三是全等了之后，这个圈角等于这个圈角，那由于这个角 b、 a、 c 等于一百二十度， 所以说这个圈加这个叉也等于六十度，那么我们就可以得到这个角也等于 一百二十度，也就是它就是由图中的圈加叉等于一百二十度推导出来的，所以说这个也得正。我们再来看一下第三个问，第三个问他说 a、 c、 e 面积等于 b、 a、 d 的 面积。第三个问就更简单了，因为我们刚才证明过， 三角形 b、 a、 d， 它全等于三角形 a、 c、 h， 那 所以说这俩面积当然也是相等的。 而我们的 ac、 h， 它又是由两个三角形合成的，也就是三角形 a、 c、 f 加上三角形 f、 c、 h， 又因我们的 f、 c、 h 与我们的 a、 f、 e 又是全等的，所以说再替换 s， 三角形 a、 c、 f 加上 f、 c、 h 变成 a、 f、 e， 而这两个三角形 a、 c、 f、 e 正好合并成了咱们的三角形 a、 c、 e， 那所以说整个的我们的三角形 b、 a、 d 等于 a、 c、 h， a、 c、 h 又等于 a、 c、 e， 所以 连锁反应得正。那所以说我们的婆罗摩基多模型呢，由于它也有重大信息，也就是我们的中点问题， 那所以说出现中点问题，我们肯定首选方法是背成中线，然后再进一步正一个全等即可。以上呢，就是婆罗摩基多的三大结论。

来，我们看这个题啊，在在三角形角 b， a、 c 是 九十度啊，九十度， ab 等于 ac 啊，这两个边相等，将线段 ac 绕着点 a 逆时针旋转到 ad， 比如说 ac 和 ad 什么关系啊？哎，旋转过去，线段长度是不变的，是吧？然后这三个边是不是都相等？旋转角为阿尔法，这个角是阿尔法， 对吧？呃，垂直啊。 c e 垂直于 b， d 连接 a e。 第一个，当阿尔法等于五十六度的时候啊，让你求 a c、 e， 求这个角，它是五十六度，这是个直角，请问角 d， a、 b 是 多少角 d， a、 b 是 不是就是五十六加上个九十啊， 等于一百四十六吧。 a、 d 和 a、 c 相等， a、 d 和 a、 b 相等，说明这两个角是不是相等。这两个角，比如说角一和角二， 角一是不等于角二，那就等于多少，哎，那角和吗？就一百八十度，减去一百四十六度，然后再出一个二吧，等于减十七度吧，看着啊，求这个角 a、 c 一 啊，在这个几何里边，你看这是什么形？ 对了，这是不是一个八字型啊？直角，直角对零角，所以说这个角就等于这个角，这个它就是十七度吧。在几何里边，如果让你去求一个狭长的角啊，首先脑海中想到的是什么？哎，就是八字型 啊，八字倒角，八字型， ok， 第一个是七度啊。第二，当阿尔法大于零度小于九十度，让你求证 c e 等于 d e， c e 等于 d e， 哎，让你求两个边相等，是不是让你求这两个角相等？哎，求这两个角相等，你看这个角的呀，是不是在这个大的角 a、 d， c 和这个角 a、 c、 d 里边 啊？这两个角是不相等，因为等边嘛？等边对等角，我只要找到这两个小角相等是不就可以了？好嘞，因为 a c 是 不是等于 a d， 所以 角 a d c， 角 a， d， c 等于角 a， c， d 吧。这个角，比如说这角一，哎，角一和角二相等是吧？ 哎，角二呢？哎，角二和这个角三相等是吧？啊，因为 a， d 等于 ab， 所以 角一是不等于角二 啊？由一知，由一可知，然后角二是不是等于角三，所以这个角一就等于 角三了吧。角一点，角三的话，那么角 a， d， c 这个大角减去这个角一减角一，是不就等于旁边这个 a， c， d 减去个角三，也就是角谁啊？ e， d， c 和 e c， d， 想到了吧？哎，角 e， d， c 等于角，哎， e， c， d 吧，那不就是 c， e 等于 d 了吧？ 哎，好，我们看下第三位，当三角形 a， b， e 啊， a， b， e， 这个三角形等于三倍的三角形， a， c， e 这个三角形和这三角形它三倍， b， e 是 十二，只要你求 a， e 的 长度，那如何去求这样呢？啊，这个三角形是，它 是他的三分之一，看他的三倍，但是这两个三角形是不是没在一起？没在一起，我就想到我经常说的一句话叫什么，哎，同底不等高，是不是同高不等底，这样怎么弄的？哎，你把这个三角形要把它放在这个大的三角形内部，去找找有没有相同的底或者相同的高这一块手，哎，怎么找呢？哎，这个辅助线过 a， e， 过 e， 点 做 a， e 的 垂线，哎，往这做个垂线好，做完垂线，你比如说这个角，这个点是 f， 我 写一下啊，三啊，过点点 a 做 a， e 的 垂线， af 交于 be 于点 f， 是 吧？那这是个垂直吧？啊，所以说这个角 e、 a、 f 就 等于九十度啊，我只要证明这个 a、 c、 e 和这个 abf 就 等于九十度啊，我只要证明这个 a、 c、 e 和这个 abf， 这两个三角形全等是怎么找？ 你看，这有九十度，这有九度。我们说过，在倒角过程中，我们首先经常会常用的是什么思想？是不是互余思想？比如说这个角是阿尔法，这个角是贝塔 啊，这个角是个伽马，嗯，角阿尔法加角贝塔是不是九十多？哎，角贝塔加角伽马是不是也是九十多？所以这个阿尔法是不是等于这个伽马，对吧？还有呢？哎， a、 c 是 不是和 ab 相等啊？ a、 c 和 ab 相等，还有由二可知，这两个角是不是相等啊？角一，角二吧，对吧？ 好，那我们就可以写全等五，好吧，哎，在三角形 a、 c、 e 和三角形 a、 b、 f 中，呃，角一等于角二，角一等于角二，然后 a、 c 等于 ab， 角阿尔法等于角杆嘛，所以这两个三角形全等了吧？ a s a 吧，全等以后，这个 a、 e 是 不是就等于这个 af 了？这是一个直角三角形，这是什么三角形？哎，等腰，它是不是就是一个等腰直角三角形，对吧？等腰，直角三角形，这个时候它的面积三角形，你看，让你说三角形 a、 c、 e， 三角形 a、 c、 e 的 面积是不是就等于三角形 abf 的 面积了？ 好，这时候进来了啊，这个小三角形跑到这个大三角形里面去了，我们找一找他们有没有什么相同的一点，你看三角形 a、 b、 e 的 面积是不是二分之一？乘底乘高，底是谁？是底？他告诉你的， b e 是 十二，我们拿他当底，他有高吗？是不是没有高？没有高我们做个高吧。哎，做个辅助线，过 a a 点做什么啊？ 做个比如说 q 吧。啊，做 a q 啊，过点 a q， 做 a q， 垂直于 b e， 交于 b e 于点 q， 是 吧？这个三角形 a b e 的 面积是不是就是二分之一？乘上个。呃， b e， 再乘上个 a q 啊， 是吧？他说他等于三倍的 a c e， 那 就等于三倍的 abf 吧。三倍的 abf， 那 就是三，乘上个二分之一乘底乘高，他的底是不是就 bf 啊？哎，这是 d， 这是个度角三角形，它高是不是也是 a q 啊？哎，是不是同高了？也就是乘 bf 等于再乘个 a q， 观察一下，这是二分之一， 这有二分之一，这有 a q， 这里也有 a q。 削完以后是不是 b e 就 等于三倍的 b f 啊？好，我往上写啊。啊，所以这个 b e 是 不是等于三倍的 啊？等于三倍的 b f， 那 b f 是 几？哎， b f 是 不是就是三分之一？乘上十二就等于四啊，是吧？ b f 是 四， e f 呢？所以这个 e f 是 不是就等于十？呃，十二减四就等于八了吧。哎， 那 e f 是 八？让你求 a e， 别忘了我刚才说什么 a e 是 不是等于 a f？ 我 们全等出来了。这个三角形，这个三角形 a e q 是 什么？三角形？哎，等腰直角三角形。等腰直角三角形的话，我们说三边比是几？一比一比根号二吧， 对吧？斜边，你知道之一可以求二吧，你知道一个边就可以求出另另外两个边，那 e q e f 是 八，所以这个 a e， 那 不就等于八除以根二吗？是吧？那就等于四倍的根二。 ok， 这个题学会了没有？

听说你数学强的可怕，接下来和大熊老师一块来学习一下这个题目， 看看怎么个事。今天呢，我们给大家讲一下海淀区呃，初二的结合综合题目，这个题目出的还是挺好的，我们一块来看一看如何去做。 首先对于第一个这个题干来说，我们来看，首先这是告诉我们这是一个直角三角形，告诉这个角是直角，来我们给它标上， 然后呢做这个角 b、 a、 c 的 角平分线，然后交点是 d 点，然后过点 a 做什么呀？做 a， e 垂直于什么呀？垂直于 a、 d， 然后交叉的延长线是点 e， 股权图形呢，就呈成这个样子，那这个还是没什么问题啊。 然后第二个让我们证明一下什么呀？证明一下 b， a、 e 加 c， a， e 等于谁啊？等于是一百八十度。等于一百八十度，怎么去用这个事情呢？首先为了写的方便，我们给它写，假如是叫算法，这叫算法，这叫被特， 那么在这个里边的话呢，我们很容易会发现，阿尔法加贝塔是不是应该等于是九十度，对吧？所以在在这个图形里边，同学吧， 对于这个第二本而言啊，我们马上就会知道，这个角 b， a、 e 等于是阿尔法加贝塔，等于是九十度。那现在我们呢，角 b， a、 e， 它等于什么呢？ 它是不等于是两个 r 法加一个贝塔，而我们的角 c， a， e 等于什么呀？等于一个贝塔，所以很显然角 b a、 e 加上角 c a， e 等于是两个 r 法加贝塔，再加贝塔，所以它等于是一百八十度。所以对于这一文来说就是一个倒角就可以了，你只要标一下角，用 r 法贝塔或者角一角二标一下，很快就看出来了，这个题的难点在于第二个， 在第二问，第二问的话呢，首先现在告诉我们说 a b 加二倍的 a c， 等于是 a e， 让你求这个角 abc， 求这个角是多少度， 那么求这个角是多少度呢？在这个里边是不是就求出 r 法，或者求出 v， 它的问题就解决了，对吧？所以说现在的问题啊，或者它的关键点就是如何去使用这个条件。 那你在这个图里边，是不是应该要想办法构造出来二倍的 r， 二倍的 a c， 对 吧？你得想办法构造出来二倍的 a c 啊。那么怎么去构造呢？在这个图里边，我们很显然这是直角，这是直角，这是不是一个非常常规的双垂直的图形，是吧？所以在这个图里边呢，我们我其实很快就标出来这个角度是 r， 这个角度是 r， 然后呢，这个角度是 b， 它那怎么构造出来二倍的 a c 呢？怎么构造二倍的 a c 呢？哎，此时我把 a c 啊，向下延长倍长一下， 就是把 a c 这个长度看，我给它向下倍长一下啊， 大概在这个位置啊， 稍微长一点，是吧？ 也差不多。哎，我们假如说这个点呢，叫 e 点， f 点， 让这两个长度一样，哎，我们现在是不是得到一个二倍的 a c， 那 你向下这么一倍长的话呢？很很显然，这个地方它是不是相当于是一个轴对称的图形，所以呢，就把这条长度给它连起来，这条长度给它连起来， 然后呢，这条长度我也给它连起来了，就先把这个对称的图形给它补全啊，有助于我们去思考 得到这么一个图形，那得到这么一个图形了以后呢？然后我们去看啊，因为它是这么对称下来的，所以说我们会想到这个角度其实也是 r 法， 是吧？其实也是 r 法，哎，然后我们再观察这个图形，我们现在的目标呢，是要有什么呀？有这个 求出来这个二 f， 所以 说你还是要想办法去构造一些全等，就是你肯定要把一些 f 为它，它放到某一个图形里面去计算，利用内角和等等的相关知识去计算。那么在这个时候呢？因为在这个地方是不是有一个两个 f， 在 这个地方是不是也有两个 f？ 而且我们知道的是什么？是 a e， 这个长度等于是它两个 a c 加一个 a d， 对吧？为了序数方便啊，纯粹为了序数方便，管这个长度叫 x， x， 管这个长度叫 y， 那 对称下来，这个长度是不是也是 y， 这样子吧？而我们这个长度是两个 x 加一个 y 啊？那么此时因为这个位置是两个 r 法，这个位置是两个 r 法，因为这个角度的提示啊，角度的提示，我就做了一件什么样的事情呢？哎，我在这个长度上面截了一个， 这个位置上截了一个 h 出来，让这段长度是 x， 也就说这两个长度是一样的。那么截了这个长度出来以后呢，围绕着这个点地方是两个 r， 它是直角三角形，所以说这么 做了一个垂直出来，这个地方假如叫 k， 那 很显然你这么做了一个垂直以后，这个三角形和这个三角形是不是就应该是全等的， 对吧？它就是全等，哎，所以这个地方就是 y， 对吧？哎，那么坐到这以后呢，这是一个 x， 我 们在这个长度和这个长度是不是一样的？它应该是两个 x 加上一个 y， 所以 我在这个地方呢，就又在这又截了一下 这个长度，是不是还让它是 x， 这个点角叫 p 点，然后把它连起来， 哎，那么你这么一连，我们是不是就会发现，这是不是显然这是一 样的，也就说它和这个三角形是全等的，对不对？哎，所以这段长度也是 y， 又因为什么呀？因为这个长度加这个长度加这个长度等于是 a e， 是 吧？是不是等于它？哎，所以这段长度也就是 y， 对吧？而这个长度就是两个 x， 为什么呢？就是因为这个条件的使用， 这个条件的使用做成这样，那做成这样以后呢，我们就去干什么呢？ 哎，就要去继续去观察啊，去观察。哎，在这个里边我们会发现这是两个 x， 这是不是也是两个 x， 这是 y， 这是不是也是两，也是 y， 对 吧？哎，所以在这个地方你会发现它是一个对称的，对不对？哎，所以把这条线再给它连起来，有些这个时候呢，我们就会知道，这个三角形和这个三角形是不是也是全等的？ 哎，那有些孩子会说，这有什么用呢？那你接下来来看啊，哎，有这些以后再去倒角，这个地方是不是两个 r 和他一样啊？对不对？哎，那这个时候呢，他是不是应该是两个 b， 他 为什么呀？哎，因为这个条件在提示我们， 它是两个贝塔了以后，我们知道这是不是和这个地方是全等的，哎，它也就是贝塔，那我们刚才说这是不是也是全等的，哎，它也是贝塔， 哎。此时我们会发现这是几个 beta， 这是五个 beta， 加在一起是三百六，那这个 beta 你 是不是就算出来了？那函数是不是就算出来了？这个角是不是就算出来了，对吧？我们先把这个思路给大家整理一下，这个是我昨天在做的时候，我就这么去做的， 它关键点就这个角在提示我们这个角提示我们你只要在这个地方勾到它俩圈，那么后面的辅助线其实就比较的后边的辅助线就顺理成章了， ok 吧？哎，给大家写一下啊。所以在这个里边应该是 延长 a c 到 f， 使我们的 这个 a、 c 等于是 f、 c， 然后再连这个 b、 f、 d、 f， 还有我们的 e、 f、 e、 f 先连上，然后再结，再结一下，是吧？ 在这个 e、 f 上结 e、 h， 等于是我们的这个 a、 c， 然后 hp 也等于是我们的 a、 c， 然后再连我们的这个 a、 p， 然后做 h k 垂直于 e f， 交 a e 于 k， 这是我们的辅助线。做完这个辅助线了以后，我们就可首先非常明确地知道，三角形 e、 k、 h 全等于三角形 a、 b、 c， 它用的是这个 a、 s、 a， 是 吧？因为这个角和这个角相等，这直角直角，然后这段长度和这段长度相等，同时呢，我们也很容易得到三角形，这个 a、 b、 f 全等于三角形，呃， e、 k、 p 会得到这个三角形 和这个三点全等，哎，他是这个长度和这个长度就都一样了，怎么正都行，这是二 f， 因为你在这个地方，你构造的是什么呀？构造的是他和他长度相等，所以说这个长度和这个长度就都相等了， 对吧？或者说你在这个地方用全等，或者不用全等，直接用中垂线都可以啊，都可以，对吧？这个就很容易证了，很多很多条件都可以，哎，所以此时我们就可以知道，这个 e、 f 等于是 a、 e， 这是因为它俩是全等的， 对称了以后，它俩是全等，等于谁啊？等于是两个 x 加上 y， 然后呢？ 所以我们就可以知道，在这个图里边就可以知道，三角形 a、 p、 f 全等于三角形 a、 p、 k， 这个里边它用的是 s， s， s， 它是纯对称的，是吧？纯对称 s， s， s， 哎，所以 我们的角 a、 f、 p 就 等于角 a、 k、 p， 然后再因为角 a、 f、 p 等于是角，这个 f， a、 k， a， e 等于是贝塔，哎，所以 的同时呢，这个角 f、 p、 k 等于是一百八十度。减去角 k、 p、 e 等于是两个贝塔，所以 它相当于这个是两个贝塔，这个是贝塔，这个是贝塔，这个是贝塔，都算出来，所以我们的五个贝塔等于是三百六十度，哎，所以贝塔等于是七十二度，哎，所以 r 法等于十八度了， 那此时 r 法等于十八度了以后，这个问题是不是就接出来了？哎，所以呢，我们的角 a、 b、 c 等于是九十度，所以这个答案呢，应该是我们的五十四度。

今天我们来讲一道经典的几何难题，同学们可以暂停视频，自己先尝试一下。已知圆 o 是 半圆的圆心， c d 垂直， ab ef 垂直， ab eg 垂直， o c 给了这几个条件，就是 c d 这个垂直， ef 也垂直，然后 eg 也垂直。让我们求什么呢？求 c d 这个线段等于 g f 这一个线段，发现 c d 和 g f 没连在一起， 这种情况下，我们是不是想到要正两个三角形全等，进而得到 c d 等于 g f 啊？ 那我们再来观察 c、 d 在 这个三角形 c、 d、 o 中，而且是个直角三角形，而 g、 f 呢，在两个三角形中，但是这两个三角形你发现都是一般的三角形是吧？ 它边未知，角也未知，所以这时候我们应该构造以 g、 f 为直角边的一个直角三角形，然后呢，证明这个直角三角形与 c、 d、 o 全等就可以了。 怎么来构造？可能有，比如说刚才我画的这也是一种方法，或者在下方构造， 当然也可以以 f 点作为直角顶点来构造，也有两种方式。那具体怎么来构造？我们接着再看条件后面，看到这两个直角有什么想法？这两个是直角，你是不是想到 o、 g、 e、 f 这四个点共圆， 你发现这个 o e 恰好是这个共圆以后的圆的直径，这个 o e 又是这个圆 o 的 半径，这时我们画出这个圆圆心为 m 的 话， 那 g、 f 实际上就是这个圆的一个弦。如果我们再过点 f， 过点 f， 再做这个圆的直径 fn 的 话， 我们再连一下 n g， 这时显然我们可以知道这个 ng f 这个角就是一个直角，那这时候这个 ng、 f 这个直角三角形 跟这个 c、 d、 o 这个直角三角形已经有了一个直角相等，而且你发现这个 n、 f 等于 o e 就 等于 o c。 已经满足了两个条件，现在我们只需要再找一条边或者一个角就可以了， 那是找边还是找角呢？显然我们只能找角。这时你看看这个 c、 o、 d， 这个角，它跟谁哪个角相等，是不等于这个 g、 e、 f 这个角因为 o、 g、 e、 f 是 圆内接的四边形， 所以它的一个外角应该是等于它的内对角的，我可以写到这里，就是角 c、 o、 d 等于角 g、 e、 f， 那这个角 g、 e、 f 又等于谁呢？ g、 e、 f 是 不是就等于 g、 n、 f 都是这个弦 g、 f 所对的圆周角，所以这个角 g、 n、 f 也等于角 g、 e、 f， 那 所以这两个条件我们就可以得到。什么就是角 c、 o、 d 就 等于角 g、 n、 f， 那 这时这两个三角形是 再加上角 c、 d、 o 等于角 n、 g、 f 都等于九十度， 再加上 n、 f 等于 o e 等于 o c， 这时我们就可以得到三角形 g、 n、 f 就 全等于三角形 d、 o、 c 就 全等于三角形 d、 o、 c 哎，有了全等，我们显然就可以得到什么 c、 d 就 等于 g、 f， 那 这个证明我们又证明完了，那这时候我们再捋一下我们是怎么一步一步得到的？ 首先我们观察图形，知道 c、 d 和 g、 f 没在一起，我们就想到要通过正全等三角形来证明这两个线段相等。 再观察这两个线段所在的三角形，你发现只有这个 c、 d、 o 这个三角形，它有一些已知条件，第一有一个直角，第二呢有一个 ceo， 它是个半径， 这个半径是有利于找等量的，所以我们这时想到要构造一个以 g f 为直角边的一个直角三角形，使之与这个三角形 c、 d、 o 全等。那怎么来构造？ 我们开始没有直接做，而是再次观察已知条件，我们发现有因为这两个垂直得到的直角， 我们想到这个 o、 g、 e、 f 这四个点共圆，而且这个圆的直径正好是这个圆 o 的 半径， 而我们做出了这个圆之后，顺势就做了过点 f 的 这条直径就是 fn， 我 们再连接一下 n g， 就会得到这个角 g f 是 个直角，这时候你发现这个 g f 就 在这个直角三角形 g f 中， 而且这个 n、 f 就是 等于 o e 就 等于 o c， 这时这两个三角形就有了两个全等的条件，一条边相等，还有一个直角，现在我们只需要再找一个角相等，就可以证明他俩全等。 我们再次利用了圆内接四边形的性质，就是它的一个外角等于它的一个内对角， 再加上圆周角定力，让这个 g、 n、 f 等于角 g、 e、 f， 进而就等于角 c、 o、 d， 这时就有了两个角 相等，再加上 o c 等于 n、 f， 我 们就顺利证明了这两个三角形全等。 最后得到了 c、 d 等于 g f。 这个过程应该是比较顺的，但是对我们图形的敏感性以及常用的辅助线的做法 要比较熟悉才可以。当然这个做法并不是最快的，但是确实是逻辑性是最顺的，欢迎同学们补充更好的做法。

一道初中几何题到底是怎么解出来的？为啥别人能够很轻松想到方法，而自己完全没有头绪？甚至有的同学还津津乐道所谓的瞪眼法笑谈，也没怎么思考，就是瞪着眼睛看题就看出来了。 其实初中几何能够轻松做出来，都是平时多积累的结果。我们来看看这个题，边分析边看看你自己有没有这样的知识储备和做题经验。 题目给的条件就是一个顶角为一百二十度的等腰三角形，内部有一点 e， 点 e 与三角形三个顶点的连线长度已知，求底边被分割的两条线段比。 有的同学觉得给这三条线段长有什么用，完全束手无策。有的同学就觉得这种条件指向性太明显了，不就是要旋转这其中的一个三角形吗？ 是的，只要是三角形或特殊四边形内部一点与图形顶点连线长度已知的，我们都可以尝试旋转这三条连线分割出的某个三角形。 比如这个题，我们可以把三角形 a 绕 a 点逆时针旋转一百二十度，使 a、 b 旋转后与 a、 c 重合，点 e 旋转到点 f 的 位置，则三角形 a、 e、 f 也是一个顶角一百二十度的等腰三角形， 进而求出 e、 f 为五。不过接下来好像就没有什么进一步的思路了，那我们再把问题剖析一下，求两条线段，笔可以直接求长度或设参表示长度，也可以构造特殊三角形，亦或是构造相似。 然后发现这三个思路好像都不太好进行下去，那再回过头来看图，我们想到一般向此类旋转后的图形结构里会隐藏特殊三角形， 那这个图里有没有呢？观察发现，这个角 a、 f、 c， 也就是角 a、 e、 b 像是九十度，能不能验证是否为九十度呢？是可以的，只要证明角 e、 f、 c 是 六十度就可以了。 过 c 座 c、 g 垂直 e、 f 于 g， 在 三角形 e、 f、 c 里，用双勾股即可求出 f、 g 等于四，又因为 f、 c 等于八，所以角 g、 f、 c 等于六十度，所以角 a、 e、 b 等于九十度。那么三角形 a、 b、 c 的 三条边都可以求出来了。 同时三角形 b、 d、 e 是 直角三角形，那我们构造相似就比较好求了。过 c 座 c、 h 垂直 a、 d 的 延长线于 h， 三角形 b、 d、 e 与三角形 c、 d、 h 相似， c、 h 也比较好求，同样用双勾股就可以了。 那我们来总结一下这里面的几个需要积累记忆的思路。第一点，三角形内部点与顶点连线已知，则运用旋转或手拉手模型。第二点，适当的猜想特殊角或线段关系，并尝试证明。 第三点，球线段笔的三个方向射餐球够特殊，三角形够相似。同时双钩股的运用熟练度也很重要。

大家好，这个视频我们来讲一讲八年级里边啊，几何高频考题的第二题，这有一个等腰直角三角形 a、 b、 c， a 呢，是个直角好，然后腰上有一个点， d 是 a、 c 的 中点， 这个时候我过顶点 a 做了一个中线 b、 d 的 垂线，这是垂直的啊，然后我教斜边 b、 c 于点一，好，我连接 d 一 了，这个时候让我们去证明，哎，证明这个角等于这个角， a、 d， b 等于角 c、 d、 e， 那这个题目啊，来，我们先看他给的这些条件怎么去引导我们哈，首先他给了一个 a， b 等于 a、 c， 对 吧？好，然后呢，给了两个垂直，其实很明显的在告诉我们是要得到这个角等于这个角的， 为什么哈？这两个红色的角，它其实都等于这个黑色角的余角，对不对？所以两个红色角相等。 好，那现在的话，我们看一看，哎，我这个绿边跟这个红角在 a、 b、 d 这个三角形里边，对不对？那我这个绿边 c、 a 跟这个红角在 c、 a、 e 里边，但是很明显啊，我的 a、 b、 d 和 c a、 e， 它们俩不全等 哎，但是 a、 b、 d 比较特殊啊， a 这个地方是不是一个直角啊，对不对？如果我也能来一个，哎，这个地方也是个直角，是不是就有全等啊？ 所以这个题目的思路我们就出来了，过点 c 做 a、 c 的 垂线，注意啊，一定是做 a、 c 的 垂线，你别做错了啊，你要做错了，你做成 a、 e 的 垂线就完蛋了，为什么？ a、 c、 f 它并不是一个直角啦，对不对？所以我一定是做 a、 c 的 垂线， 好，然后呢，我们交 a、 e 的 延长线于点 f， 好，来，这个时候，哎，结合我们刚才的分析，我们就搞清楚了，你看啊，这红角等于红角 b、 a 等于 a、 c， 还有 b、 a、 d 这个直角和 a、 c、 f 这个直角，所以我们就可以得到。什么呀？ 所以我们就可以得到 a、 b、 d 和 c、 a、 f 全等。好，我在这简单写一写啊，三角形 a、 b、 d 全等于三角形 c、 a、 f， 这个是角边角得到的，那这个时候我们就顺利地把这个 a、 d， b， a、 d、 b 转到了 c、 f， a， c、 f， a 是 转到这来了，对不对？现在我叫这两个角相等，这好，正了吧，那你想一想，哎，刚才题目中说的这一个中点， 我是不是就可以用上了，对吧？所以我的 c、 d 等于 a， d 就 等于 c、 f 了，哎，然后这个 c、 e 是 个公共边儿，这两个角儿是不是相等了，对吧？我做了一个垂直， 这是个四十五，这是不是也是四十五啊？对了，所以接下来我们的第二个全等，也就是三角形 c、 d、 e， 它就全等于三角形 c、 f、 e， 好， 这个是边角边正的啊， 证完了之后，角 f 就 等于角 c、 d、 e， 那 角 c、 d、 e 就 等于我们的角 a、 d、 b 了。好，所以这个题目啊，注意了，一定是过 c 做 a、 c 的 垂线。好，这个题目我们就讲到这里。