中职高一数学函数 1，2章思维导图

同学们好，我们继续一起系统的学习高中数学这节课，我们继续一起练习一下字母形角度化简求值的问题，我们一起看一下这道题。 若口三引阿尔法加贝塔等于三分之一，口三引阿尔法减贝塔等于五分之一，是不是我们可以根据两角之合，两角之差展开呀？那所以说，口三引阿尔法，口三引贝塔减去三引阿尔法，三引贝塔 等于三分之一，口三引阿尔法减贝塔就等于口三引阿尔法，口三引贝塔加上三引阿尔法，三引贝塔等于五分之一。连这两个式子的特征啊，你看看他俩是不是一个口三引阿尔法，口三引贝塔减去三引阿尔法乘以三引贝塔呀？而下面的是加， 遇见这样的式子，我们如何处理呢？是不是两个式子相加就能求出来口塞耳法口塞耳贝塔，因为塞耳法塞耳贝塔就抵消掉了，对不对？这个式子我们经常会遇见这样的一个式子啊，比方说 x 加 y 等于某个数，然后 x 减 y 等于某个数，那么两式相加就能求出来 x， 两式相减就能求出来 y 吧。所以我们一式减二式 先加吧，一式加二式就能得到。是不是二倍的口三以内法，口三以内它散的就消掉了啊？就等于通分十五分之五加十五分之三，是不是十五分之八呀？那么二式减一式 是不就能把口三以内消掉？那就变成了二倍的三以内法，口三以内三以内，它 就等于负的十五分之二，对吧？你看让我们求的是什么呢？求的是贪婪的阿尔法乘以贪婪的贝塔，那么你看，我们知道的是散引和口散引的之极，对不对？如何求贪婪呢？是不是两式之比就可以了？假设这是第一四式，那这是第三式吧。 按照顺序来啊。第三式，这是第四式，那是不是四式比三式就可以了？ 你看是不是就是二倍的三乘以阿尔法，三倍，它比上个二倍的口三乘以阿尔法口三倍，它是不是就等于贪婪的阿尔法乘以贪 婪的贝塔呀？所以说就等于多少？你看十五分之八比上哎，不负的十五分之二，对吧？比上个十五分之八，那是不是就是负四分之一啊？所以说结果就是负四分之一。好的，这节课我们就说到这里。

莫斯高一已经学不清白函数了，莫慌，让老夫来帮你捋一捋，哇哈哈哈哈，这个高一函数你要学明白，其实也没有很变态。 旧龙凤，你要打好王者，你首先得知道有哪些英雄吧？每个英雄的技能连招是什么吧，你这样才能够很好的把这个游戏玩好。函数不是一样的道理吗？首先我们得知道函数它有哪些问题，我们来看看啊。第一个问题，函数的三要素， 就是说这个函数的定义的话，它包含了三个重要的要素。第一个呢叫做定语， 也就是我们说的函数 x 的 取范围，那么定域的话，它又会有几种问题呢？一个叫自然定义，一个叫做复合函数定义 这两种类型的问题。然后第二个呢叫值域，那么求值域的方法呢？就比较多了，这也是一个难点，对吧？我们常见有配方法，换元法 啊，这个什么分离常数法、判别式法等等一大堆，包括我们高傲后面要学求导的话，也是为了求这个直域的问题，所以这个直域是个难点，你需要用心去学啊。那第三就是解析式，那么解析式的话， 常见的求结式的一个方法呢？呃，可以用什么呢？换元是吧？整体代换还可以。呃，运用什么呢？方程，组法 等等。这个呢还是相对来说比较 easy， 我 们到时候把这种题型挨个的各个击破就好了。那么第二个的话，把函数的这个三要素搞明白。第二个就是函数的四大性质， 这个函数的四大性质有哪些呢？第一个呢就是单调性， y x 增大还是增，增大而增大还是 y x 的 增大而减小，这是我们需要这个思考的。然后呢，第二个呢，就是呃，常说的基偶性， 还有第三它的一个周期性以及第四对称性 这四个性质啊，我们学习每一种函数的时候都要去考虑它的三要素和四大性质，这样子的整个函数在你的大脑里头就有一个很明显的一个知识框架，然后只要对应的每一个学习，每个函数都往里头去添加就好了。那么再看一下这个函数的一个分类， 我们高一阶段所学到的函数的话，主要就是那么几种，由基本出等函数进行复合而成的，叫出等函数。那么出等函数呢？包含了什么呢？基本出等函数 以及由它复合而成 的初等函数。那么基本初等函数呢？正常来说有五种，只不过是阶阶段，高中呢，给它简化了，只学了四个。那么第一个呢，就是我们所学的 m 函数， m 函数 f x 等于这个 x 的 a 次方。第二个呢，就是我们说的指数函数， f x 呢，等于 a 的 x 方。第三呢，也就是我们说的对数函数，对数函数就是 f x 等于 log a x 啊，以及第四，三角函数。 那么常见的三角函数呢？就，呃，正常来说有六个，但是阶段高中呢，只学三个，也就是我们说的三 x， cos x 以及 tangent x 这三个。当然真正的话，呃，它还有第五个，也就是我们所说的什么呢？反三角函数， 反三角函数。那反三角函数的话，呃，也就是 a 个三 e， 但呢它这个目前是有点超纲了，你只要大概了解就行了，对吧？ a 个三 e x， f x 等于 a 个 cos x 以及 f x 等于 a 个整数 x， 对吧？那么我们了解了，有这些函数的话，目前只高一阶段，你只需掌握这四堆，那么每一堆函数，比如说你在学习密函数的时候，那你就去思考密函数的它的三要素有哪些呢？对吧？ 它的那个四大性质单调如何，积偶如何，周期如何，对称如何以此类推，同样去学习这个指数对数三角，那你的这个思路就非常的清晰，而不至于迷迷糊糊。 这个大纲大家学明白了吗？希望能够帮助大家很好的去理解这个函数的概念啊。

高中的函数体系啊，非常的庞大，而且非常的乱。今天我用一条短的视频给你，把整个高中甚至初中的所有函数给你串成一个理论，就是我的大函数分类体系。 我们高中同学学函数啊，哎呦，特别的乱，什么飘带函数啊，什么对勾函数啊，那个都不对，都是函数的表面。今天我从函数的构造的过程，他的内部的底层逻辑，把函数给你一次性给你讲清楚哈， 让孩子听一听哈，不要再碰到函数题一头雾水了，其实函数特别的条理，好，咱们开始哈。 首先你知道英语的单词可不是死记硬背的，他会有一个词根，加上词缀，能构成不同的词，当然有特殊情况，但是数学的函数非常的规整， 他会有一个基本的素材，就四类。第一类叫密函数。 什么是密函数呢？形容 f x 等于 x 的 a 四方。所以你初中学过的 y 等于 x 的 平方，它就是一个密函数。 y 等于 x， 这个正比例就是一个密函数， y 等于 f 分 之一，这个反比例本质上在高中也是一个密函数。当然， 你说老师这会加个二还是不是啊，这会加个二， x 加一还是不是啊？这它负一还是不是啊？它在原理上就已经不是密函数了，它属于扩展，在后面会讲哈。第二类叫指数函数，是高中我们新学的函数 形，如 f x 等于 a 的 x 就 两类，一个是 a 大 于一，比如说 y 等于个二分之一的，就这么两类 叫指数函数。第三类叫对数函数，形容 f x 等于 log， 以 a 为 dx。 也只有两类，比如说 y 等于个 log， 以二为 dx， 这个二大于一的这个 a， 还有大零小异形如 y 等于 log， 以二分之一为 dx。 第四类，三角函数 就三类，正弦与弦正切分别是 f x 等一个 f x 是 吧？等于 cos x f x， 还有 f x 等于 tangent x， 这就像英语的词根，这就是我们函数的根，函数的根基。我们把这一些啊统称作一类，叫什么呢？叫基本 初等函数，就这么四类。然后后面就很奇妙了，就很规整了，我们就以这些为词根，开始构建了所有的函数。 你在高考的考场上见到的每一个函数，都是按照这两种方式来构造的。 第一种方式我们称作啊复合的构造方式。什么是复合呢？它的大的类型是 f 里边套一个 g x， 一 重复合，当然还可以两重三重哈，咱以重来为例，什么意思呢？比如说 g x 如果等于个二 x 加一， f x 等于个三 x， 那 么 f g x 等于谁呢？根据对应法则，哎呦，你给我一个 x， 我 就取一个正弦。现在我给你一个 g x， 我 不也取正弦吗？就是 sin g x 呗， g x 不 就它吗？ sin 二 x 加一。 高一同学明白了吧？你所学那个正弦型函数只是个表面的名字，他的本质是一个复合函数。复合函数求单调区间，有他固有的方法叫同增异减。 以后你就不用套那个正弦型函数的模型了，他其实就是一个标准的复合函数。 好到咱们最高端的一类函数了，是咱们高中最大的最高位的函数，也是倒数的主力战场，咱们称作嫁接函数。 这个名字呀，其实无所谓哈，我只是让你知道我怎么分类的，基本出等你都会复合是替换里面的 x。 嫁接干什么呢？它是把基本出等作加 减乘除的运算。比如说我给你写一个 f x 等于 x 加二分之一。老师，我认识啊，这不对勾吗？以后不要这么想了哈，对勾只是一个 表面的名字，它本质的大类，它的属性属于嫁接，为啥要找到它的本质啊？因为本质能够告诉你这类题该怎么处理，表面只是告诉你一个套路，题目一遍你就不会了。好，再看一个 f x 等于 x 减二分之一。哎呀，老师，飘带函数，你看你又走坑了， 你只记飘带函数，你没有记住这个函数的本质，记住本质你就会分析了。好，我再写一个 f x 等于 x 乘以三 x， 再写一个 f x 等于 x 除以零 x， 它们就是把基本初等做了加 减乘除。你看这个是两个密函数做的加两个密函数做的减一个密函数，一个正弦做的乘一个密函数，一个对数函数，然后我们做的商，这类我们称作嫁接函数。 有人问老师，不对，你把导函数给忘了，导函数根本就不是一个函数，那你说那是啥呀？导函数主要用来处理这一类嫁接函数， 它是一个工具，因为嫁接函数是最高位的函数，你处理不了啊，你不会画图啊，怎么把图画出来啊？降维啊， 用什么降维啊？降维是目的，手段是什么呢？手段是导数，所以导数，导函数，它不是一个函数，它是一个手段，能明白了吧？ 你说老师，为啥你把函数分成这三类，有什么意义啊？哎，那你可就，哎，这是好问题啊， 这个大函数分类体系是我在学校曾经发过的论文，就是希望孩子们能明白一个道理，哎，你打怪吗？你打游戏吗？ 打游戏是不是你要使用不同的武器啊？碰到一个小怪，啪，踹他一脚，碰到个大怪，你就使用核武器了吧，函数是一模一样的呀，你得先知道这个函数它属于哪一类，他有什么特点，然后你再用 恰当的方法去处理它，这就叫函数的定位理论。所以你就明白了哈，今天咱们讲的大函数分类体系是给你一个定位， 定位之后你就知道什么函数该怎么处理了，这叫函数的降维。好，我们总结一下大函数分类体系， 函数的根是基本出等，它是我们构造其他函数的基本的素材，包括逆止、对三角。然后我们整个高中函数的大厦就开始用两种方式开始垒起来了， 一个方式叫复合形入 f 里面 g、 x， 另外一个是嫁接的方式，对应的基本出等的加减乘除， 高中函数就这一些，所以这一课你可以把你碰到的任何函数都向这里面套了，套完之后 我会告诉你，基本出等我们该怎么处理，复合该怎么处理，嫁接该怎么处理，这一刻你不就全都理顺了吗？还用再做那么多题吗？这就叫数学的底层逻辑。 通过教材的学习顺序，把教材的钢框架本质给他挖出来，然后用这个去套所有的题， 这就是数学的底层逻辑。我是吕树，关注我，数学不迷路，咱们下一期更精彩！

数学阅读怎么学？

一的题目，我们一起来看一下高一的三角函数啊，这部分有诱导公式，诱导公式呢，是我们在高一为三角函数打基础的一个非常重要的内容，一定要学好它啊。好啊，我们来一起来看一下这道题。 第一个呢是 sine， 二分之派加 x， 好， 这个。第二个呢是 cosine， 二分之三派减 x， 呃，我们说诱导公式啊，再看这个分母，分母这块啊，有 cosine 和 sine 这里边这个角啊，都是派派加一个角，或者是派减一个角。 那我们在学诱导公式的时候，一定要啊，记住一句话啊，既变偶不变，符号看象限。这个既变偶不变呢，是指什么意思呢？当我们这个三角函数的名称 sin 遇到这个二分之派的基数倍，二分之派的基数倍，比如说啊，二分之三派， 二分之四，二分之五派，对不对？还有这个负二分之派，负二分之五派，呃，负二分之七派，这种只要是二分之派的基数倍，我们就要把 sine 变成 cosine， 哈，就是像这个 sine 啊，老师写在这儿啊， sine 二分之派加 x， 你 用这个笔写啊，它就等于 先变名，对不对？哎，先变成 cosine， 然后呢 cosine x， 然后再看符号，看见符号看象限呀，要看一下角的中间落在第几象限， 我们看一下原函数的正负，就是结果的正负。首先这个 x 呢，我们就给它当成一个小小的锐角， x， 啊， 啊，不管是 x 还是阿洛法，我们都给它当成一个小的锐角，那小锐角的话，是不是就是一个正角？ 正角，我们角的定义说，使边放在 x 轴正半轴固定不动角的中边在坐标原点逆时针转，对不对？哎，逆时针旋转一个角度，就是这个阿洛法角，也就是 x 角，对不对？哎，好， 也就是说这个 x 啊，你不管它多大，你它只要你看到它是一个字母，你就可以把它当成一个小的锐角，那 sin 二分之派加上 l 法的话，是不是？咱们就看一下角的中边落在第几象限吧。 二分之派是先转到这正角是逆时针转，然后加上一个 x， 就 继续旋转一个小小的锐角，那么它这样的话，中间是不是落在了第二项线呢？那么我们一定要记住，看的是原函数的正负就是结果的正负，你 sin 在 这个第一项线是正，第二项线是正，这两个项线符号是负的，对不对？哎，所以 以 sin 二分之派加上 l 法的话，它就角的中边落在了第二象限， sin 在 第二象限，符号是正的，那么我们这个结果一定是一个正值，对吧？哎，口就是变成 cosine x 了，好，我给好好写一下啊，就是 cosine x 了，前面符号正的就可以省略不写了， 哎，就是这么简单哈。一个呢，你要先确定名称， sine 遇到二分之派的基数倍，我们要变成 cosine。 如果前面是 cosine 的 话， cosine 遇到二分之派的基数倍，我们要把它变成 sine， 最后的名称要变成 sine。 如果啊，嗯，你就先确定名称，然后再确定符号，二分之派加 alf， 它这个角的中边应该落在第几象限，是不是？哎，二分之派是九十度，然后再加上一个小小的锐角，那么角的中边在第二象限 第二项线的话，三要看原函数，原函数就指原来的这个，而不是说你结果的那个。扣三啊，好啊，原函数在第二项线是正的，那么结果就是正的。好，如果你听懂的话呢，你就可以 自己先练习一下。这个会不会啊？ cosine 二分之三派减去 x， 好， 首先呢， cosine 遇到二分之三派，二分之三派是不是二分之派的三倍？三倍的话是基数倍吗？基数倍我们是不是要变名称啊？ 哎，扣 sin 哈，要变成 sin x， 第一步先确定是 sin x， 下一步我们再来看一下，二分之三派减 x， 它角的中间落在第几象限， 好，这样啊，这个呢，是二分之派，对不对？哎，二分之派，二分之二派，然后二分之三派，哎，你那个二分之三派，哈，就转到这了呗， 一口气转到了这，然后你减 x 减 x， 是 不是负角？负角的话就要顺时针转，就从这块再往回转一点， 所以角的中间是不是落在了第三象限？然后第三象限我们要看原函数， cosine 在 第三象限的正负， cosine 呢？是，这两个象限是正，这两个象限是负，对不对？哎，三角函数在各个象限的符号，我们稍微简单复习一下哈。三 x， 嗯，散 x 是 不是这个一二正，一二是正，三四是负的，然后 cosine x 呢，是一四正就是 cosine 是 x 正，它就是正的，然后这个，呃，二三是负的，好，弹性的 x， 弹性的 x 是 一三正，二四负。先把这个一定要啊，记清楚啊。好 啊，那这个记好了呢，咱们继续说刚才这个问题啊，说这个角的中间呢，二分之三派减 x， 它是落在了 一二第三象限，对不对？哎，本来是二分之派落到这个 y 轴的负半轴上了，但是你减 x 就 往回转了一点，所以呢，角的中间落在了第三象限，而 cosine 在 第三象限，它又是负的，所以结果呢，就是负的了，就这么确定的啊， 好，那同理啊，我们再来看一下下啊，弹镜头，我们稍等再看啊，先看 cosine 减 x 这个 好， pi 呢，我们顾名思义，非常简单， pi 是 不是二分之 pi 的 两倍啊，两倍的话我们就不用变名了，所以你遇到 pi 二 pi 啊，啊，什么三派啊，这种是不是都是二分之派的偶数呗，所以我们就不用变名，你开始的时候是 cosine， 结果一定是 cosine， 开始是 sine， 结果也一定是 sine 啊，就是这么简单。好，所以呢， cosine 派解 x 肯定是 cosine x， 然后再看一下 cosine 派解 x， 角的中间落在了哪一项线？ 先转，这是九十度，对吧？二分之派，然后转到这是派减 x， 是 不是往回转，就转到了 这个象限？第二象限角的中间落在了第二象限，原函数的正负口塞在第二象限的正负就是结果的正负啊，就这个话，一定可以给它转换成文字记到笔记本上哈。嗯， 好啊，那么角的它角的中间落在了第二象限，原函数在第二象限呢，它是 cosine， 是 负的，所以结果啊，就是负的了啊。好，所以这块写完了，咱们就是负的 cosine x。 好， 我可以在这块标一下啊，它是负的 cosine x， 然后刚才这个第一个啊，咱们写完给擦了。 sin 二分之派是不是要遇到二分之派，变名儿就是 cosine x， 二分之派加 x 是 在第二项线中间，然后第二项线的 sine 值呢，又是正的，所以结果就是正的口 sine x， 而这一项呢，是要变成 sine 的 哎， sine x， 但是二分之三派减 x 角的中间落在了第三项线， cosine 在 第三项线是负的，所以结果呢，就是负的。好 啊，然后现在呢，这个 pi 减 x 啊，你自己都应该会了，是不是？哎，啊，肯定得变呃，不用变名是吧？嗯，它肯定呢，就是 sin x， 但是呢， pi 加 x 角的中间落在了第几象限呢？是不是 一二 pi， 然后再加 x 角的中间落在了这一个象限，然后这个象限呢， sin 值是不是负的，所以结果就是负的 sin x 就是 这样的啊，好， 那么我们就还有一个嵌进它，嵌进它，其实我们也非常简单啊，派减 x 就是 如果假如你要是遇到嵌进它二分之派减 x 和加 x 的 话，你可以给它写成 sine 括号，二分之派减 x 比上 cosine 二分之派减 x 就 可以了啊，因为我们教材上没有写 tanthan 二分之派的这个诱导公式，所以你就把它转化成 sin 比 cosine， sin 和 cosine 我 们都会算呢啊，然后这个 tanthan 派减 x 呢，它肯定是不用变名的，对不对？哎，嗯， 教材上都说了啊，这块呢， pi 呢，是二分之 pi 的 偶数倍，我们不用变名称。结果先确定是弹进 x， 再确定一下 pi 减 x 在 第几项线 啊？这个是二分之 pi pi， 然后减 x 往回转角的中间落在了第二项线，那么第二项线弹进的是不是负的呀？弹进的是正正负负吗？好 啊，所以第二项线这个是负的，那么结果呢，就是负的弹进它 x， 哎，好，所以这块呢，就是负的弹进它，哎， x， 好， 那我们现在就可以把这个题整理一下，化解一下啊。呃，你看这有个 cosine 和 cosine 是 不是约掉了 啊？然后这块呢，负三也和这个负三也也约掉了，但是这块别忘了，是不是还有个负一啊？好，这块有个负一负一，然后这块还有负弹进它，那符号就约掉了，是不就剩弹进它 x 了，所以最后结果啊，就是弹进它 x， 好， 所以第一个问我们就完成了啊， 这一道题啊，相当于两道题，第一部分呢是诱导公式，如果你听懂的话呢，诱导公式就彻底学会了啊。还是那句话，咱们稍微总结一下啊，不用着急，往下继续练习啊。基变偶不变，符号看象限， 基呢，是指二分之派的基数倍的时候，我们要变名称 sin 遇到二分之派的基数倍，我们要变成 cosine x。 cosine 遇到二分之 pi 的 基数倍，我们要变 sine x， 那 当然了，偶数倍我们就不用变名，原来是 sine， 结果就是 sine， 原来是 cosine， 结果就是 cosine， 对 不对？好，然后呢， 符号看象限呢，是指的这个角，这个括号里头啊，二分之 pi 加 x， 这个整体角的中间落在了第几象限，原函数的正负就是结果的正负 啊，一定要看的是原函数，你这个二分之派加 x， 它角的中间确实落在了第二象限，但是我们一定要看的是塞 啊，塞在第二象限的正负，而不是看你这个结果口塞在第二象限的正负是不是两个符号是不一样的，就会导致你错误啊。好，一定要把这个这两句话记住啊，角的中间落在第几象限，原函数的正负就是结果的正负。 好，可以转化成文字记到笔记本上啊，好了，这是第一个问，化解完了之后啊，就等等于弹进它 x， 然后呢，这个第二个问啊，他说 fr 法等于三，是不是就是弹进它 r 法等于三呢？ f x 嘛，就是弹进它 x， 那 fr 法是不是就是弹进它 r 法 等于三？好，已知探近它，求，这个，这是一个典型的问题，对不对？好，你看啊，老师再给你加一个问 啊，已知探近它等于三，然后我们再求一下 sin 尔法乘 cosine 尔法的值，然后呢，这个算是第二个问吧，啊， 在求这个对不对？好，我们在这块哈，它有一个什么知识点呢？就是散引方加口散方等于一啊，有两个公式，平方和散引方加口散方等于一，还有一个是 弹进的 r 法等于散引 r 法比上 cosine r 法，这两个对吧？哎，好，然后这个你比如说哈，你现在呀，就是这个 平方和等于一，这个是不是永远都成立啊？然后弹性它而法等于三，这个是不是相当于告诉你说 sin 而法比上 cosine 而法等于三，而且 cosine 方加 cosine 方， 它等于一，那这两个方程是不是永远都成立，对不对？平方和等于永远都成立，然后弹性等于三，是它告诉我们，那么我们硬要解方程的话，应该也会解吧， 你看着是觉得好像不会，但是呢，老师给你写哈，假如 sin 就是 x 口， sin 就是 y 的 话，是不是相当于二元这个方程组啊， x 比 y 等于三， x 方加 y 方等于一， 你这个会解吧，是吧， x 是 不是等于三 y 带到下面这个方程里，你能够解出 x 等于正负什么什么 y 等于正负什么什么？这是不是？这算是一种方法吧，哎，就最基础的解方程的方法啊。好， 这个可以记一下哈，法一哈已知弹进它，然后让你求散和扣散各等于几，你都能求出来，但是这个题呢，我们是不知道 r 法角的范围，你解除散 r 法等于正负两个值和扣散 r 法等于正负两个值啊，你是没有办法舍去的 啊，我们是舍不掉的啊。然后呢？现，现在呢，我们换一种方法讲啊，就是不需要解除 sine 法等于几， cosine 法等于几也能求出最后的结果 好不是。这第一个问哈，让我们去，我先，老师先把这个擦，让我们求塞尔法乘扣塞尔法等于什么吗？好，那老师呢？直接构造出弹进他啊，怎么构造呢？在这个底下，老师除一个一，你说除一的话是不是相当于跟原来相等还是塞乘扣塞呀？好， 那么它就等于什么呢？是不是等于 sine 尔法乘 cosine 尔法，老师把一呀给它写成平方和， 就是 sine 方加上 cosine 方。好，这是相乘，然后呢，这块写了一个相加。呃，相乘和相加呢？ 这个有个什么关系？我要想凑出它近它的话，是不是要分子分母同时除以 口散音啊，对不对？哎，分子分母同时乘以口散音的，你光除一个还不够是不是？哎，你除一个的话哈和这个口散约掉了，这还剩一个散。所以我分子分母啊，同时乘以口散音平方分之一 啊，这个也是同时乘以口算平方分之一啊。好，你看这样的话啊，上面这一串你是不是应该乘在这个？ 乘在这个上面，对不对？哎，你不能乘这分母上，是吧？哎，所以你这个 cosine 和底下这个 cosine 平方啊，约掉了一个，然后还剩一个 sine 和一个分母的位置有一个 cosine， 是 吧？哎，所以它就上面剩一个弹进的耳法，底下呢， 它乘它散方，乘 cosine 方分之一，是不是弹进特方啊，然后再加上 cosine 方，再乘 cosine 方分之一，是不是就等于一了？ 加一。好，你看这样，这个弹进它等于三，是不是往这里一带就能算出来了？上面是三比上底下是三的平方，加一嘛，就可以了哈。嗯， 好啊，这个问题啊，一定要整明白啊。我们接着刚才说啊，这个 是弹由上一个问哈，我们知道这个弹进它 r 法啊，它是等于三的。第一个问哈，啊，和第一个问化解完了，是弹进它 x， 然后他说 f r 法等于三，然后老师，刚才呢，上一个小视频中给我们录了，说在这块再添加一个问， 这个问呢，是说弹性的 r 法等于三，问你 sin r 法乘 cosine r 法怎么办，对吧？哎，我们是要底下除一个一，然后一呢，相当于没变，把一呀给它写成平方和 写成 cosine 方加上 cosine 方，这样对不对？哎，然后再分子分母啊，再给它乘一个什么呢？乘一个 cosine 的 平方的倒数，对不对？我们叫除一，再乘口，再同时乘以 cosine 平方的倒数， 你同时乘以这个倒数呢，就没变，对不对？哎，就约掉了嘛，是不是？好，然后得了这两个呢？ cosine 乘 cosine 乘在这上面，那就变成了， 就 cosine 约掉了一个，还剩一个，对不对？好，然后这块它俩乘，它俩乘的话，就是弹进它平方，然后再加一嘛， 哎，再加一，然后上面就是弹进他，对吧？哎，然后三比上三的平方加一是不是就算出来了？哎，这个方法刚才详细介绍了哈，我们再在这稍微总结一下 这个哈，和刚才他给的这个问题呢，他俩的区别在哪呢？是不是一个有分母，一个没有分母？老师给的这个没有分母，然后题中给的这个有分母，那有分母呢？我们就不用再除一了，是不是？好 啊，那没有分母呢，我们就除一，然后为什么我们这个要去同时乘一个 cosine 的 平方分之一，而不是乘 cosine 分 之一呢？可能有同学有这个疑问啊，你同时乘 cosine 分 之一啊， 这个 cosine 是 不是你？就因为你这是 cosine 乘 cosine 是 两项都一相乘，你就乘一个 cosine 吧，你剩一个 cosine， 你 是不是凑不出弹进它呀？ 哎，所以你需要乘 cosine 平方分之一，这样的话， cosine 约掉一个，然后还剩一个，是不是？ cosine 比 cosine 是 不是就弹进它了？哎，然后得了它俩一乘的话呢，就是弹进它平方，哎，然后 cosine 这一乘是不就是一啊？所以这个呢，我们必须都得乘 cosine 平方的倒数，那是为啥？是因为这个 cosine 乘 cosine， 它俩乘到一起是二次的，它最高次是二次，对不对？哎，好， 哎，这个如果听懂的话，我们再看这个啊，上面这个呢，它有分母了，我就不需要再除一了。那这个分子分母我同时乘什么呢？其实你应该也能看出来啊， 我们这个题，分子分母是不是只需要同时除一个 cosine 法？就是分子分母同时乘一个 cosine 法的倒数即可呀？哎，因为， 嗯，你看啊，第一个位置是一个散嘛，然后这个位置你说老师，这是两个口散，但是两个口散你去乘这个口散分之一，口散是不是也约掉了，就剩一个二了吧。哎，好，然后它这块一乘呢，是不就是二弹进它， 哎，这块就是二弹进它，这块一乘是不就是负一了？哎，就这么简单哈，所以你不要看它这有二，有二的话，咱说的是三角函数的最高次密，是指脑袋上的，而不是前面细数哈。好， 那他俩一乘是弹进的 r 法，然后他俩一乘呢是二加二比上这块一乘呢是二弹进的 r 法，然后再减一呗。 好，然后弹进它等于三，那三加二比上二，三得六，六减一等于五分之五等于一呗。 哎，这样他就求完了啊。好，呃，和刚才那道题啊，我们就是放在一起对比一下，好好做一下总结。那如果这道题听懂的话呢，我们对于这一块的知识啊，就已经学的非常好了哈，一个是诱导公式，一个是这个求值问题， 一直到高三，我们这个也是非常一个重要的问题，现在高一一定要整明白。好了啊，这是高一啊，高一的三角函数类题目啊， 诱导公式好。

说一个学好高中数学的秘诀，高中数学其实很简单，他最难的章节就是函数，如果你把函数这些知识点学透了，高中数学真的没什么难度。高中数学是真的难， 如果你能让孩子每天吃透一个函数解析模板，他的数学学习会更轻松。准备这本高中函数题型全解 同步高中三年要掌握的知识点，比如高中必须了解的八类函数，每章节先有思维导图，梳理考点， 每个考点先由前提知识讲解、图像引入分析，跟着思路和步骤一步步学会解析方法，然后再进行练习，遇到难题不会做没关系，都有详细的答案解析，每天十五分钟， 让孩子每天掌握一两个函数公式方法，数学也就不用愁了。家有高中生的，赶紧给孩子背一本吧！

高一函数 从 f x 加一到 f x， f x 加一等于二倍的 x 加一减一，那么 f x 呢？等于什么呢？ 理解这一步对于掌握函数非常重要，我们把括号中的 x 加一 作为 输入， f x 加一的 本质呢是 f 输入等于二倍的 输入减一，我们把括号中的 x 加一 作为输入，那么 x 加一， f x 加一的处理规则或者它的本质，那么就是 f 输入等于二倍的输入减一。如果我们把 x 加一作为输入呢？ f x 加一就等于二倍的 x 加一，这个输入减一，我们把 x 作为输入呢？ f x 零二倍的 x， 这个输入减一， 就是把 输入换成 x， 或者呢，把 x 加一 换成 x， 把输入换成 x， 把 x 加一换成 x， 这一步你有什么想法？欢迎在评论区留言，让我们交流互动，一起迈过高一函数这道坎！

妈妈，不是我笨，而是没人告诉我，高二下学期就要开始做整个高中阶段的知识梳理， 每天背一个核心考点，胜过高三补一年的课。聪明的家长早就给孩子准备了这一套高中核心考点大盘点。高中三年所有抓分必考的 知识点，它全都整理好了，每一张还有思维导图，帮助你构建知识体系。每个考点都有考频标注，你像数学集合的基本预算五年考了三十三次，等差数列五年考了三十六次，重难点一目了然，复习起来就更有针对性。还有常考的公式定律、二级结论也都用图文和表格整理的清清楚楚，直接拿来就能用。 遇到不会的还有视频讲解，手把手带你吃透每个知识点，每科还送一本默写小纸条，每天十分钟，及时查缺补漏，彻底吃透核心考点。高中九科全都有，而且全国通用！趁现在活动七五折，赶紧点进直播间准备一套吧！高二最后六十天一定不能碰的几个禁忌，趁早知道，多考两百分！假如你从四月一号开始努力 教你用最野的路子，一轮复习一定要背背下来！英语文章四十首，古诗词默写，还有阅读理解，答题公式， 反反复复就考这些。三、数学不等式题型整理好了，一定要全部吃透，搭配二十四个常用定律，吃透考试不用愁。四、物理就被一百个易错点和九十四个核心考点，三年精华都在这里了。高二清明节过后，很多学校就开始高考的一轮复习了，那一轮复习这几个月，只要你能做好一件事，明年高考金榜题名 一飞冲天，尤其是基础差一点的孩子，怎么学才能成为黑马？就这一个秘诀，科科冲进班级前几，那就是从现在开始，每天记一个核心考点，学一个解析大招，等到下次考试， 你就知道他的进步有多大了。就用这套一本的核心考点大盘点！他把高中三年所有的核心考点都给你整理好了，紧贴学校一轮复习进度，帮孩子梳理考点。更关键的是，每个考点后边都跟着二级结论和易错警示， 分分钟带孩子吃透重难点。高考要考的六科全都有，现在还送各科默写小纸条，家里孩子明年高考的，抓紧准备起来吧！ 选科选物化生现在四百多分，高考还能提到六百五十分以上吗？这是很多人的问题。我这里啊有个物化生斜修版，提分方法一周就够了。物理模型题，就看这八个必考的受力分析图，每天画一个， 化学每天记一个，常考的实验装置工艺流程题目直接套用模板。生物的八十五个高频考点就是必考点。以上内容啊，全部整理！在这套高考核心考点大盘点里，高中物化生拿高分最快的捷招绝对不是补课，不是刷题， 而是直接背考点，这是很多学霸的秘密啊！所以从现在开始啊，每天放学坚持去背一个核心考点，等到下个月的期末考试，直接冲班级前 三！这就是这本高中核心考点大盘点！看过这本书的他都知道，高中物化生再难也就考这三百六十九个核心考点，生物一百二十个，物理一百一十六个都在这本书里了。 以下物理我们期中考过，加速度、匀变速、直线运动、重力、弹力、摩擦力等等这些啊我们常丢分的内容。这里面非常简单明了，先用思维导图去梳理必考点，再用表格漫画去辅助记忆那课本上的 一大章节的内容。这个上面啊，两张纸搞定，就连哪里一错点都给你做了详细的标注，看不懂呢，随时随地都能扫码看老师的视频精讲，这样备考啊， 省时又高效。另外呢，他还总结了物理的十三个万能解析模型，考试直接套就能笑着出考场，高考九八五二幺幺随你选。 今天和火箭班的班主任交流，一句话点醒梦中人。他说，孩子到了高二下学期，别的事你都可以放一放，但是有一件事你一定要给他坚持下来，那就是去做整个高中阶段的知识梳理。如 如果等到了高三再去做，时间紧张，手忙脚乱，压力大，但是千万不要直接用课本去复习啊。语数英十六本教材不仅找不到重点，还浪费了宝贵的学习时间。 聪明的家长早就准备好一本的高中核心考点大盘点了。他把高中三年所有的常考点都用思维导图的形式给你整理好了，不用报班，也不用翻课本，轻松又高效。你比如语文常考的古诗文、识须词、阅读理解，一张图就给你梳理的清清楚楚， 大大节省孩子复习时间。关键每个考点的考察频次也都给你做了标注。数学集合的基本运算五年考了三十三次，等差数列五年考了三十六次， 这些重点考点就算你看了课本也总结不出来。过完知识点，再用赠送的默写小纸条，每天读一读，练一练，把基础打好。到了高考就简单多了。高中的知识梳理一定要趁早做，反复做，用好这套书，孩子省力，家长省心。准备起来。

老父亲陪学高中数理化，你怎么看？回国高中数理化，今天分享高一上数学第三章函数的概念与性质的小结。 这一章的小节我重点跟大家分享三方面的内容。第一点就是讲到呢，抽象的层次显然提高，不同的函数可以进行加、减、乘、除等计算。前面我们提过提到过，就是函数的学习，对这个抽象的 这种思思维方式啊，孩子们一定要适应，要习惯，这是抽象层次的提高是学习函数的一个必经之路。后面 现在学的函数呢，还可以，都能跟实际的应用问题来对应上，到后面可能完全就是离他十万八千里，完全是纯抽象的逻辑呢， 这是第一点。第二点就是在研究这些基本性质时，一般是先从几何直观的图像入手，然后运用自然语言描述函数的图像特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征。 这个过程呢，也是孩子们必须得适应和习惯，要从这个抽象的，要从这个直观的图像图像中总结出他的对应的规律，最后抽象成这种函数表达式。 在最后就是完全是基于脱离了具体的图像，具体的问题来完全基于函数表达式来学习，来掌握他的这些性质和一些特征。 第三方面呢，就是把这一张的基础知识进行一个简单的总结。第一个呢就是函数的三个构成要素，定义与 对应关系和直域。第二个呢是表示方法，函数的表示方法有图像法、解析法和列表法，根据实际的问题呢，可以选择合适的表示方法。 第三三，第三块的知识就是函数的性质，包括单调性、最值、最大值、最小值、极有限等等，这一部分内容我们就不重复了。好，我们这一部分重点看一下后面的几个题型，代表性的题型， 嗯，我们先看第四题。已知函数在这个一个 二次函数在五到二十的一个封闭区间上具有单调性，求这个实数 k 的 取之范围。这题不难，但是需要孩子们对这个图像解决问题的基于函数图像解决问题的方法能够熟练的掌握。 我们知道 x 函数，在这个 y x 函数在 a 值大于零的情况下面，它的开口是向上的，那么在以对称轴为界，它的左边是单调单调减，然后它的右侧是单调增，那么 要求这个函数在五到二十的这个封闭期间里面就有单调性，他既可以是单调增，也可以单调减，所以只需要对称轴在这个区间之外就可以。所以这题的不难，但是孩子们需要能够灵活的理解和运用 这个图像的方法。好，我们再看第六题。我公司生产的某种电子仪器的固定成本为两万元，每生产一台仪器需要增加投入一百元。那么后面的这个问题呢，是要 求这个利润和这个月产量 x 函数以及月产量为核值时， 公司获得利润最大最大是多少。那这种情况下面只需要把这个函数的表达式写出来，这些问题就自然就都出来了，那么这又是一个明显的，又是一个分段函数。那在在这种情况下面，其实 最有效最快的方法就是用图像法，先把它的两两段的函数的图像画出来，然后再根据这个题目的提问，看问题是 落在哪个分段里面去，再来去相应用相应的函数表达式来来解答，就会非常的方便。好，这是第六题， 再我们再看看第八题，是一个证明题，那这个证明题呢？呃，若两问是类似的， 我们就先我们就以第一问为例子来讲解，若 f x 等于 a x 加 b， 则 f 二分之 x 一 加 x 二 等于二分之的 f x 一 加 f x 二。那这一题呢，是函数的基于纯粹的基于含抽象的函数表达式，典型的题目，现在呢，刚开始学，所以比较简单，孩子们呢，需要急于需要习惯这种解法。那么在这个题目里面， 呃这类的题目呢，通常有两种解法，就是这种函数呃，它的呃 质变量有可能会经过一系列的一些呃运算转换。那这种情况下面有两种方法，一种呢，是把这个二分之 x 一 加 x 二带到 ax 加 b 里面来，然后通过这种拼凑法，把 f x 的 函数值把它啊拼凑成，嗯， f x 一 和 f x 二相应的这种，例如 a x 一 加 b 和 a x 二加 b， 哎，把它们按按照一定的比例能够拼凑出来，然后再整个去替换它， 那这是一种方法，这种方法呢，在后面的函数的学习中呢，会经常用到，它实际上有有一定的这个运气的存在，你会我正好发现呢，它的规律很容易就拼凑成了 啊这一题，这一题呢，可以不用这种方法，有更简单的方法，这题就是第二个方法，就把两侧同时 啊，把 x 加 b 带进去，然后两侧同时计算化解，最后呢只需要比较两侧的这个得到的这个表达式是相同的就可以。 所以这一题呢，有两种方法，但是这种比较在这一题里面看似比较笨笨拙的拼凑法，实际上孩子们也需要能掌握。第二问呢，类似就不不重复说了，这是第八题，你再看第九题， 第九题呢，呃，也是有两两种方法。第一呢，已知基含，我们看一下第一问，已知基函数 f x f x 在 封闭的 a b 上，区间上单调递减，那么它在负 b 到负 a 的 封闭区间上单调 递增还是递减？那么这种题目的两种解法，第一呢就是记忆法，记忆法就是证明是有一个规律，就是积函数在对称区间里面，它的单调性是相同的， 那偶函数的这个对，在这个对称曲线里面，它的单调线是相反的，这是要要要，需要能够，如果能记下来当然是最好，那当然这个必须得记下来。 呃，另外一种方法呢，就是如果没有记住情况下，或者题目不能，题目出的比较复杂，因为这 大大家刚刚开始学，所以这个题目出的比较简单，实际的在考试上或者后面的练习中不会有这么简单的题。那这种情况怎么解决？就不能通过记忆来简单的判断，那就因为他在某一个区间里面的单是单调的，所以可以 用取两点的方式，你说两个端点或者说中间两点都可以，因为他是单调的，所以说单调递减的，所以说是可以把这两个点 就可以确定他的这个大致的位置。然后呢，把这两个点给予用，它是奇函数吗？给予圆点的对称点画出来，这样的话就可以判断，根据这两个对称点的这个单调性，可以把他的这个关系， 把它的这个单调性是可以确定出来的。那这种解法呢，是适合于呃复杂的呃题目的复杂的那种函数函数题的，所以两种方法呢，大家可能孩子都需要掌握。 第二问呢，跟第一问是类似的，所以说，所以就我们就不重复说了，这是第九题，那么我们再看看第十一题，第十一题呢，这个 和其他题目的一个区别就是通常是横轴，就 x 轴是变量，自变量，然后 y， y 轴呢，是因是函数值是因变量，但是这题呢，正好是相反的，所以这种情况呢，孩子是需要能够习惯，要能够理解， 后续用函数是抽象的，所以说在肯定会有这样的题，而且会很普遍，所以孩子必须要理解它是第十一题。第十二题呢，就讨论 函数 y 等于 x 减 x 为一的定义域，值域单调性极有限，并画出函数的图像。那么前面我们做过前一章，前一小呃，在三点， 在三点三小节逆函数里面重点讨论过这个 x 加 x 分 之一，我们说可以通过两个函数的图像的叠加，来来来进行分析，但是这一题呢，它是想减 想减，所以就方法就不一样，就是我们在前面那一题的方法就不能够适用，那怎么办呢？我们还是它还是有它的规律好。 首先我们看定定义域，那显然就是实数里面 x 不 等于零就可以了，那么它的值域，它的值域怎么来来求呢？这种情况下面实际上我们先把值域先不管，我们先看一下它的单调性。好，我们来分析一下这个函数 它，我们观察一下，它是两个函数的一个相减， y 等于 x 和 y 等于 x 分 之一，我们来看一下它的这个图像， 其实是类似的，跟跟上一题，好，我们知道 y 等于 x 是 这么一个图像啊， y 等于 x 分 之一是这么一个图像， 那么在这种图像情况下面，用 x 减去 x 分 之一的话，我们 因为 x 不 等于零，所以我们就以呃零为界，当 x 为正数的时候，我们来看一下，在零到这个呃刚刚大于零的这一段， 这个 y 等于 x 是 单调增的，然后这个 y 等于 x 分 之一呢？大家大家知道它是单调减的，那么用一个增加的函数来减掉一个 单调减的函数，那么它最后的结果是什么？它最后结果就是增加，对不对？因为被减数越来越大，减数越来越小，所以说它是在 x 大 于零的时候，它是单调增的。那虽然说在靠近零的时候呢，这个 x 分 之一的值是非常大的， x x 的 值非常小，但是呢随着这个 x 的 增加，那么它的这个 它们的结，它们的差是越来越大的，所以它是单调针的。那么在 这个第三项线情况也是类似，所以说基于这么一个呃一个这个推测推断， 首先单调线这块我们是已经解答出来了，就是在这个它的单调针，它整个的区间里面都是单调针的。 好，那么它的值域呢？我们再来看一下，当 x 等于零，因为不能等于零吗？当刚刚大于零零一点点的时候，这个 x 一 x 分 之一是几乎是无穷大的， 然后呢？ x 值呢？又几乎是无穷小，一个无穷小的值减掉，减去一个无穷大的值，所以说它们几乎是一个无穷小的一个值，所以这个值域的在靠近零这段是无穷小。那么在当 x 无限大的时候， 那么 x 的 值 y 等于 x 的 值无限大， x 分 之一的值无限小啊，这个时候你减着一个无穷大的值， 减掉一个无限小的值，一个无限大的值减掉一个无限小的值，所以它就是一个正无穷大，所以它们的最后的值域就是整个的这个。呃，时数，时数率就是时数域。 好，这是要从负无穷大到正无穷大，这是它的值域。最后看奇偶性，奇偶性的话，就直接通过这个 f 负 x 等于负的 f x 就 可以判断它是奇函数。 最后说要画出函数的图像，这个就比较简单了，代表我们知道它的单调性，知道它的函数分布情况，然后就选择性的画点点一些点出来，先确定一些 点，最后就可以把它连接成连连，连成图像。好，这是第十二题。 第十三题呢，是关于这个图形 图形和函数的这种应用。呃，这一题呢，我们就不具体的说了。呃，这你们还是需要理解，就是说随着这个 x 的 值，呃，这个变量的值的变化过程中，那么到 b 点的时候和在 o b 中间， 和到 b 点以及 b a 中间，以及到 a 之后，它每个阶段它的含义， 它的这个情况和它实际的含义。所以这一题呢，我们就不展开讲，但孩子们需要能试验、适应和理解这样的这种题型。好，这个第三章的小节我们就分享到这里，谢谢大家。

高中数学最难的求函数值域的十六种方法记牢，逆袭班级前三！ 高中数学是真的难，如果你能让孩子每天吃透一个函数解析模板， 他的数学学习会更轻松。准备这本高中函数题型全解同步高中三年要掌握的知识点， 比如高中必须了解的八类函数，每章节先有思维导图，梳理考点，每个考点先由前提知识讲解图像引入分析，跟着思路和步骤一步步学会解析方法，然后再进行练习，遇到难题不会做没关系， 都有详细的答案解析。每天十五分钟，让孩子每天掌握一两个函数公式方法，数学也就不用愁了。家有高中生的赶紧给孩子背一本吧！

不要问孩子要不要，直接给他买一套，暑假给孩子准备这套。早起五分钟思维导图知识大盘点，它包含了高一、高二、高三所有的知识点，同步课本目录，按照高考的难度以及考到的频率，帮孩子整理细划一页纸，就等于书面上的一大章节。搭配思维导图， 将大纲里常考的知识点表格化规划在一起，让孩子快速的掌握考试的精华考点非常的极简易懂，并且教会孩子答题方法和对应的答题技巧，无论是高一高二打基础还是高三总复习都很合适。家有高中生的赶紧准备起来吧！ 我们来听听是什么音乐，去年让全场北京的朋友马上把菜请 twinkle the shall try you come home in the ark。

高一数学公认最难最容易拉开差距的板块，按难度排序给你说清楚，顺便把核心知识点一次性列全，方便你抓重点。整体结论，高一、最难 函数大于立体几何大于不等式与几何逻辑，很多学生从高一上学期后半段开始滑坡就是栽在函数上。一、最难板块，函数 函数的概念与性质知识点，函数定义定义域，值域解析式，求法，单调性、基有性、周期性、对称性、复合函数、抽象函数难点，抽象看不见图像，全靠逻辑。 性质综合题非常绕，是考试压轴常课。二、基本出等函数，指数函数对数函数，逆函数 知识点，图像定寓意直域单调性，只对运算换底公式只对方程不等式。难点，图像变换多，容易记混韩餐讨论非常多。 三、三角函数知识点，弧度至三角函数定义同角，三角函数关系 诱导公式，正弦余弦正切图像与性质，两角合叉，背角公式，三角横等变换难点，公式量大，题型灵活，综合题经常和函数性质不等式结合。二、第二题对难点， 一、立体几何知识点，空间点，线面位置关系，平行垂直判定与性质表面积体积，一面直线线面角二、面角。 难点，纯靠空间想象，不会画图就不会做题，逻辑证明严谨，步骤容易丢分。 二、平面向量知识点，向量线型运算，坐标运算数量积魔长加角 向量与几何三角函数综合难点，思路灵活，很多人想不到用向量转化。三、不等式，基本不等式 知识点，一元二次不等式、分式不等式，绝对值不等式，基本不等式。求最值。难点，求最值。技巧多，一用就错，经常和函数结合出难题。三，相对简单，但基础必牢。 集合与常用逻用语一元二次方程与函数数列四，一句话总结难度排名 一三表，函数指数对数函数。三抽象函数性质综合四立体几何垂直证明与空间角五基本不等式求最值。

好，同学们，咱们今天正式进入到期中复习，那么对于高一下来讲，我们 其中上半个学期考的点其实就是第一个部分是向量。向量的什么概念？数量积夹角啊，然后垂直平行。问题后面两个部分是减三角形，这是一定会考的，然后就是负数， 负数这个地方可能会考到的东西可能会多一个东西，就是负数的三角表示可能会压个轴之类的，然后再往后就是什么立体几何，基本图形，还有 体积和表面积。这个地方有的学校可能学的比较快，可能会考到点线面的一些平行垂直的证明，那么还有的学校可能会考到 必修一的三角函数，就是这个地方三角函数可能不会单独命题，但他很有可能去和解三角形相互结合。我们今天来看一下第一种类型题，也就是平面向量的概念。对于平面向量的概念，这种题通常来讲会考一些多选择题或者单选择题的一些概念。第一题他说 a、 b 向量和 cd 向量共线，那么则 a、 b、 c、 d、 b 在 同一直线上，这个说法明显是错误的，原因是因为我们对于共向量的定义其实是平行，那么 ab 和 cd 两个点 在同一直线没问题啊，这两个也在同一直线，但是 ab 如果平行于 cd 的 话，那么 ab 向量和 cd 向量依然是共线的，所以这个 a 是 错误的。 b 若 a 与 b 贡献， b 与 c 贡献，则 a 与 c 也贡献啊，那这种题目大家做了其实很多遍，就是要考虑一下这个 b 向量到底是不是零向量， b 向量如果是零向量的话，我们知道任意向量都会与零向量贡献，那么 a 与 b 贡献满足， b 与 c 贡献也满足，但是 a 与 c 就 不一定贡献了。 c 若 a 模等于 b 模，则 a 向量等于 b 向量，那这个地方要大家考虑一个问题，就是 a 模等于 b 模，要考虑到底贡献不贡献。其次，以后就算贡献以后还有同向和反向的问题，所以 c 也是错误的。 d 选项 ab 与 cd 是 贡献向量，而且非零，那么他们的假角就是零度和一百八，那没有问题，贡献向量的两个非零向量，零度或者一百八十度。所以第一道题目选择 d 选项。第二题 a 选项说 a 向量的模是一，则 a 向量等于正负一，这个表述肯定是错误的。 b a 等于 b， 则 a 向量平行于 b 向量， 那这个没有任何问题。因为我们两个向量相等的第一个条件就是说他俩得共线，其次他们得同向，其次他们得模长相等。 c 选项 a 向量模等于 b 向量模，且 a 平行于 b， 则 a 等于 b， 那 我们刚刚说过了，这个他少个条件，也就是他到底是不是同向，所以 c 错误。 d， 如果 a 平行于零向量，那么则 a 向量的模是零的，这也是错误的，因为任意向量都会平行于零向量，所以第二题选择 b 选项。第三题我们要找到两个错误的东西， a 选项 ab 与 cd 是 共线啊，那这个地方 a 就 必然错了。我们前面分析过了， b 选项说 m 倍的 a 向量等于零向量，那么则 m 等于零，或者 a 向量等于零向量，那这没有问题，这个 b 没有问题。 c 他 说 ab 与 cd 满足 ab 的 膜大于 cd 的 膜，且 ab 与 cd 同向，那我们知道向量这个最后表示的时候，向量是不能比大小的，所以这个地方明显错误啊，这是一个典型的错误， 向量不能比大小，只有向量的模可以比大小。 d 选项，这是我们的贡献定律， a 与 b 贡献的重要条件就是存在一个唯一的时数拉姆达，使得 a 向量等于拉姆达倍的 b 向量，所以这个 d 选项没有问题。 那么这个题目选择 a。 c 下道题，他说 a 与 b 为两个不共线的非零向量，然后让这个部分与这个部分共线，这个向量和第二个向量共线，那是不是我们观察一下 b 前面的负二，前面的是一， 那就代表后边的整个系数要是前面的负二倍，然后我们只需要代定系数， a 前面的系数是一，这是 k， 那 么 k 就 等于负二分之一就可以，因为一得是 k 的 负二倍。那下一道题， 他说边长为三的等边三角形，等边三角形我们要去求底边中线的 魔长，那么这个魔长我们通过初三啊，初中的这种勾股定底啊，或者三角函数都可以解出来，这个地方我们就不过多赘数，就是二分之三倍，刚好三。

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高一上学期学函数的时候，那很多学校的老师为了赶进度，半个学期就讲完了函数所有的核心模块了，对吧？所以就导致很多孩子连最基本的硬设对应关系他都没听懂。有的学生呢，上课也不好意思问老师，只能硬着头皮往下学，结果就是一步跟不上， 步步跟不上。我有一个粉丝家长跟我说啊，孩子高一数学的期末考试考了七十八分，那函数相关的题呢，就丢了一半的分。 家长当时特别特别着急，立马就给孩子报了一个线下的一对一，一节课四百多块。孩子刷完了两本题库，结果高二的第一次月考数学，还只是考了八十几分，函数大题呢，那就直接空着了，全靠基础提拿分。孩子也跟家长说，一看到函数就头疼，根本就不知道从哪里入手，上课也听不懂，刷题也没有用， 真的是学不会数学了。我相信有很多孩子都是或多或少的遇到了这样的问题，那到底要怎么解决呢？大家也别急啊，你可以来看一看这本高中函数白话书。那这本书呢，他把高中常考的函数部分总结成了五大类，把函数及其三要素， 还有函数的四大重要性质，还有五大类必会函数、三角函数和导数都给同学们整理好了。那所有的考点 全程都是用大白话来做了解析，摒弃了一些特别难懂的专业的词汇，这样呢，就让函数学习不占有门槛了。他还用生活化的视角解读了函数的知识点，每个知识点还配上了一个生活案例， 把函数的概念具象化了，那这波操作呢，真的是帮到了很多同学快速理解，深刻记忆了函数的知识点，同时书里的每一步的解析流程和技巧要点 用大白话做了总结，会帮同学们理清解析逻辑，掌握一些通用的方法，让所有的同学就不用再为看不懂解析而烦恼了。还有一点呢，我必须要强调一下， 书里边呢，还提炼了应试的技巧和易错题型，还有重要题型等等等等，这样呢，就可以帮同学们构建出了一个完整的知识体系啊，少走弯路了。这样呢，就可以让孩子们集中精力去攻克函数薄弱的板块，避免盲目刷题和无效补课。你看， 就这么一本书啊，既能节省时间和金钱，又能提升孩子的学习效率，真的是做到了事半功倍。如果说你家孩子的数学也卡在了函数上，这本书就不要犹豫啊，赶紧把他带回去，用大白话来学函数，我相信下一次考试，你家孩子的数学成绩一定会提升！