中职高一数学函数 1，2章思维导图

高一数学最重要的知识，三角函数中等生的分水岭，最重要的学习阶段，上学期末、期初这段时间 是学习三角函数的黄金时期。三角函数抽象推理听懂后必须自己会推导学习三角函数，先入门，后练笔，最后变成你的粮仓。初中的三角函数定义 sin a， p 和 cosine a， p 是 等于 ab 除以 a， cosine alpha 是 等于 o， b 除以 o， a。 我 们假设 o， a 的 长度是一， 那么 cosine alpha 正好是对应 a 点的横坐标 x， 零， an alpha 对 应 a 点的重坐标 y， 零。我们把三角函数放在坐标系里面进行研究， o， a 的 长度为 r， an alpha 就是 y， 零除以 r。 三个帕是等于 x， 零除以 r。 这样我们把三角函数和 a 点的坐标对应起来。初中的时候学习三角函数，角是三十度、四十五度、六十度。我们现在就可以把阿帕推广到任意角， 因为认识角的三角函数，只要用它的点坐标就可以计算出来重 重坐标除以 r 是 等于三阿帕，横坐标除以 r 得 cosine 阿帕。我们随时通过一个点的坐标计算出它的三角函数值。 小学的时候学过三角形的面积 s 等于二分之一，乘以底乘以高。三角形有锐角三角形和钝角三角形以 a， c 高为 b， d， a 角三角形和钝角三角形面积等于二分之一 a， c 乘以 b， d。 初三的时候我们学过三角函数三 a 的 定义， a 是 等于它的对边，除以它的斜边，所以等于 b， d 除以 ab。 三 a 等于 b， d 除以 ab， 所以 我们用 b， d 替换为三， a 乘以 ab。 三角形一般表示角 a 对 应的边为 a， 角 b 对 应的边为 b、 角 c 对 应的边为 c d。 三角形的面积又可以简写为二分之一，三 a 乘以 b、 c。 因为 a， b 是 c， a， c 是 b。 同样我们可以得到三角形的面积等于二分之一三 b 乘以 a c。 二分之一三 c 乘以 a b a 三 b 三 c。 我 们三个面积公式是一个对称的， 我们再来看一下三角形的面积公式。两边同时乘以一个 a， 右边就成一个通用的形式。都有 abc 的 形式，我们把 a 除过来 a 四除过去，看看有什么变化。两边同乘以 a 变成这个形式，不过来 a 除以三， a 变成这个形式， s 除过来就变成这个形式。上面 这一块是 a b， c， 下面是二 s 都是一个定值。同样我们可以得到 b 除以三， b 等于 c 除以三， c 等于 a 除以三 a 都等于 a， b， c 除以 a、 s。 这就是我们最标准的三角形的正弦定力。边比上对应的三角值是一个定值， b 对 应的 三角函数值三 b 等于 a 比上对应的三角函数值三 a 也等于 c 除以对应的三角函数值三 c， 这就是正弦定律。小学一年级的时候，我们经常做这种加法， 两个加数求和，知道和求其中一个加数向量一样。向量。最基础的三角形法则，向量 a 加上向量 b， 以向量 a 的 起点为起点的终点为终点， 轴位相连就得到 c。 向量 a 加上向量 b 怎么求？可以把 b 平移过来，平移到 让 ab 是 首尾相接， a 的 中点和 b 的 起点相接，这样 c 就 可以直接画出来。我们把 b 平移到 a 的 这边，我们也是可以把 a 平移到 b 这边， 我们可以知道这是外面。这一层是一个平行四边形，都是同一个对角线， a 加 b 于 b 加 a， a 加 b 和 b 加位，可以互相调换位置。来看看常见的关系。向量， a 向量， b 求 c 知道和 c， a 求 b， 我 们直接画出来，这就是 b 知道， c 知道， b 求 a， 我 们直接画出来，这就是 a。 我 们要对向量运算非常熟悉。放三角形， 我们常见的速度加速度、力量都可以理解为向量，用向量的三角形发直进行计算， 下面我们讲一下向量计算。直角坐标系里面有 a b 两个点， o 是 坐标原点， o， a 表示为 a， o， b 表示为 b， a 向量就可以写为 x 一 y a b 向量就可以写为 x 二 y 二， 这个和我们坐标系点坐标表示非常像。我们来看看向量的加法与向量的乘积分别是什么。 三角形法则，我们已经知道两个项链的和还是一个项链，两个项链的和坐标表示方法实际就是横坐标加上横坐标，重坐标加上重坐标。项 链的己，它是横坐标乘以横坐标加上重坐标乘以重坐标，这是一个加法加法向量的几何还是一个向量，这两个有一个本质的不同。 计算向量的夹角，这是一个非常非常重要的一个公式，比如这个角 iob cosine iob 是 等于两个向量 乘积除以它的模的乘积。我们来看一下 cosine 二分之二是等于零的，这个角为九十度的时候，九十度的时候 cosine 二分之二等于零，一定有得到， o， a 乘以 o， b 等于零，因为左边等于零，右边是一个分数，分子必定为零。分母是两个长度相乘，肯定不为零。这样呢，两个向量垂直，我们可以得到它的向量积为 零。三 a o b 一定为零，所以反过来也可以证明 向量 a 和 b 是 垂直的。向量垂直和乘积为零，这是一个重要条件，互相推理。我们利用刚刚学习的向量来 推导一个单角公式，这里 o i 向量为 x 一 y o b 相为 x 二 y 乘以 o b 等于 x x 加上 y a y 二，我们令 a o 对 角为阿帕 b o c 这个角为贝塔，阿帕减去贝塔等于角 i o b。 那 我们看一看库塞阿帕减去贝塔是等于什么？库塞阿帕减去贝塔等于库塞角 i o b， 因为这个角是等于这个角的，而可三角 a o b 正好是刚刚学习的向量。定零是等于 o a 乘以 o b 除以 o a b， 因为这是单位圆， o a 等于一， o b 也是等于，所以就等于 o a 乘以 o b， o i 乘以 o b 是 等于它 x 一 x 二加上 y 一 y 二，而我们的 x 一 等于什么呢？实际是 cosine 阿帕， cosine 呢是 cosine beta， y 呢是 cosine 阿帕， y 二呢，是等于 beta， 所以 这个 cosine 阿帕点 beta 就是等于 cosine 阿帕 cosine beta 加上 cosine 阿帕 cosine beta， 我 们刚刚推导出 cosine 阿帕减 beta， 我 们现在来推导一下 cosine 阿帕加 beta。 cosine 阿帕加 beta 可以 写成 cosine 阿帕 减去负倍它，因为这个倍它是任字一个值，它变成一个后倍它，我们就可以写成什么呢？等于 cos 阿帕，这是一个整体 cos 后倍它加上 sign up， sign up 呼贝塔，因为我们学过诱导公式和那个函数的奇偶性， cosine 啊帕是一个偶函数，所以这就是等于 cosine 啊帕， cosine beta 后面因为 cosine x 是 自函数，可以把符号提过来，所以是 sign up s 三倍塔，这样就得到一个新的三角公式，这两个三角公式就是我们三角函数最最基础的两个公式。神奇的推导过程就是我们 推导所有的三角公式，先推那个选和三阿帕减倍塔，然后推导出 cosine 阿帕加倍塔。 我们来复习一下三角诱导公式，我们首先熟悉一下 y 等于三 x 这个函数图像， x 是 零到 pi， 它是大于零的， pi 到二 pi 是 小于零的，大于零小于零，所以我们就看 它是在 x 轴的上方还是 x 轴的下方。那我们现在来学习一下这个 sign up 加减 f 分 之 pi s k 这个诱导公式是怎么 用？首先我们学习一下书本上一个口诀，之变偶不变符号，看向下这个之是什么意思？即使这个 k 到底是奇数还是偶数？ 比如我们说一个具体的一个指，比如 i 加上二分之怕，这里的 k 就是 等于一， k 是 等于一，所以它是一个字，数字变偶不变符号看像样，它是一个字，所以要变成一个口。三 arpa， 我 们再来看看符号看象象， arpa 加上二分之二是等于什么？ arpa 这是 arpa 的 位置加上二分之二到这里的， 所以这个 arpa 加上二分之二还是一个正数，所以这个是前面是一个正号，我们就可以推导出来， 我们来具体的看一下，我们来把这个所有的阿帕当成一个锐角，锐角加上二分之帕，就像一个小青蛙往前跳了一个这些小格子，这些小格子每个格子都是二分之帕，长度都是等宽的， 他每加了二分之帕就往前跳一个，每加二分之帕就往前跳一个，这样我们就看小青蛙跳格子一样。比如这个阿帕向前跳了三步， 它是跳到这个格子里面，我们 x 在 这个位置，对应的这个三角值明显是在 x 轴的下面，所以它是小于零的，所以这个 sin 阿帕加上二分之三 帕，它是小于零的，所以等于是 sin 阿帕小于零，它就是符号，看向下小于零，它就是一个负号。 那个 app 加减去二分之二呢？减去 app， 因为它我们所有的 app 都是当成一个 锐角，锐角减去 app 就是 向左边跳一个，向左边跳一个，我们可以看到这个对应的三角值是小于零的，所以这个 app 减去二分之二是等于负的。 cosine app。 当然我们可以把这个 app 加上 pi， 加上二分之三 pi， 我 们可以通过这个函数图，只要记住这个函数图，我们就可以把诱导公式记下来，没有额外的负担。而对于这个 sine 图像， y 等于 sine x， y 等于 cosine x 几乎是所有人最熟悉最熟悉的基础函数图像。再来看看一个直角三角形 arpa 加 b， 它是一个 九十度，阿帕与贝塔是赋于的，当阿帕按照定义它的对边除以它的斜边时，等于 bc 除以 ab， bc 除以 ab 正好是这个三贝塔的定义式， 三贝塔的定义，所以这只阿帕加贝塔等于九十度的时候有三阿帕等于三贝塔，同样 c 三幺八等于三倍，它这个互余的时候，互余的时候，这两个三角值可以快速推导出来，比如三二分之 pi 减去 pi 等于 cosine pi， 要使 快速计算出来， pi 等于 pi， pi， pi， 它的对称轴是二分之 pi 作用门可以快速推导出来。 pi pi pi pi 左边和这个对应的 pi 阿帕，这两个三角值是相等的，所以我们得到一个这样的三角诱导公式，这两个是，这两个是更快，要更熟悉。前面呢，还可以背背口诀，然后记住 要花这一两秒去推导这种诱导公式，几乎不花时间，要能秒懂。因为我们三角形内角和是一百八十度，三 a 等于三， pi 减 a 等于，因为 pi 减 a 正好是等于三 b 加 c。 我 们经常用到这种变形三 a 变成三 b 加 c 去求出的。我们前面已经推导出来 可三亚帕加上贝塔这个三角公式，同样还知道这个诱导公式，我们来看一下三亚帕加贝塔，三亚帕加贝塔看成一整体，一个整体，所以是等于可三亚帕 加倍减去二分之八，这把它看成一个整体。用上面这个诱导公式可以写成 cosine 加倍， cosine 减去二分之八，减去 sine up， sine 被它减去二分之 part， 那 我们再来看看，因为它是一个偶函数，而且可三被它减去二分之 part， 正好是等于 sine 被它减去二分之 part， 我 们可以写成 sine 二分之 part 减，被它前面提出去一个符号，前面就变成正好了。 这样 sine a 帕，这是 cosine beta， 因为这是一个赋予的。这个公式比诱导公式更简洁，这样我们就推导出来 sine a 帕加 beta 等于 cosine beta 乘以三 beta， 加上 sine a 帕乘以 cosine beta。 同样我们把 bet 变成互 bet， 就 得到出 sin alpha 减 bet 等于 sin alpha， cosine beta 减去 cosine alpha， sine beta。 我 们用前面推导出来的三角公式继续推到二倍角公式。我们令 北塔等于阿帕，这样就是口三二阿帕等于三阿帕平方减去三阿帕平方。因为口三阿帕可以替换为 一减三阿帕平方，这样一个整体就会等于一减二倍三阿帕平方，同样它可以替换为 减去一减可三阿帕平方，这样就等于两倍可三阿帕平方减一。所以可三阿帕的二倍角有多个表示形式，这三个都可以。 那三阿帕，我们同样贝特等于阿帕，这样三二阿帕 就等于。这也是变成阿帕，它也变成阿帕，就变成两倍的三阿帕或三阿帕，这样就得到三 二阿帕的二倍角公式。安听二阿帕可以写成三阿帕除以可三阿帕，用前面的二倍角公式展开就是二倍三阿帕乘以可三阿帕平方减去三阿帕平方。 上下同除以 cos 三个阿帕平方，上面就写成两倍的 tanning 阿帕一减去 tanning 阿帕平方， 这样就得到贪听阿帕的二倍角公式。由前面的二倍角公式，库三阿帕等于二倍，库三阿帕平方减一。可以推导出库三阿帕等于二分之库三阿帕加一开关号，这是符号，要确定一下，这样我们就可以得到一个半角公式， 它是它的二分之一半角公式。半角公式可以写成三二分之二等于正 根号，二分之 cosine 阿帕加一，第二 cosine 阿帕等于一减二倍 cosine 二分之二帕平方，可以推导出 cosine 二分之二等于二分之一减 cosine 阿帕。开根号括号需要确定一下， 这样就得到一个 sine 二分之二的半角公式。我们前面学了向量的余弦定理。 cosine 阿帕，这是阿帕等于 o i 乘以 o b， 除以 o， i 乘以 o b， 所以 o a 乘以 o b 的 这个夹角乘以 o i o b， 那 我们 o i 乘以 o i 得到什么了？就是把 o b 也替换成 o a， 那 就得到 cos 阿帕。 cos o a， 这乘以 o a。 我 们两个项链自己和自己夹角肯定是零度了，因为 cos 零正好是 可三，零是等于一的，所以 o i 的 平方就是等于 o a 的 平方，就是等于它某的平方，向量的平方等于它某的平方。下面我们来推导三角形的余弦定里。三 a 等于什么？ 三角形的标准表示为 a， a 角对 a 边。据前面向量计算， a b 加上 b， c 是等于 a c 的。 我们两边平方看看得到是 ab 加 bc 的 平方，和我们 普通数字的平方一样，就是 a 平方加 b 平方加上 ab， 它也一样，所以左边就变成 ab 的 平方。漂亮的平方加上 bc 的 平方加上二倍 ab 乘以 b c。 我 们前面已经知道 a b 的 平方就是等于 c 的 平方，因为向量的平方就变成一个数数值了。 b c 的 平方等于 a 的 平方，加上二倍的 a， b 乘以 b c。 我 们知道向量是有方向的，比如 a b 是等于负的， b 量是有方向的，所以 a b 调个个正好是变成一个负号，所以这就变成 c 平方加 a 平方减去二倍的 b， a 乘以 b， c， b， a 乘以 b， c 就 得到什么？ 这是一个向量的计算， b， a 乘以 bc 就 等于我们根据前面学的那个向量积 b， a 乘以 bc 是 等于 cosine， b 乘以 ab 乘以 b， c， 这样就得到一个 c 平方加上 a 平方减去二倍可三 b， d 就是 c， d， c 就是 a。 右边的这个 i、 c 平方是等于什么呢？ 正好是 b 平方，这样我们就得到第一个公式，平方是等于 a 平方加 c 平方减去 二 a、 c 可三 b。 我 们根据 b 平方等于 a 平方加 c 平方减去二 a、 c。 可三 b。 还可以变个形式写成可三 b 是 等于 a 平方加 c 平方减去 b 平方除以二 a、 c。 这两个都是余弦定例 常用的形式。同样的方法，我们还可以推导出 a 平方时等于 b 平方加 c 平方除以二 b、 c。 可三 a。 对 平方等于 a 平方加 b 平方减去 a， a、 b 可三 c。 同样的形式，三 a 是 等于 b 平方加 c 平方减去 a、 b、 c 或三 c 等于 a 平方加 b 平方减去 c 平方除以 a、 b。 前面我们已经用初中的方法，用三角形的面积以及 三角函数的定义把正弦定律推导了一下，我们现在再用同样的方法把它推导一遍。 b 乘以 垂直 bc， 一定有这个 a、 d 乘以 bc 等于零的 b 乘以 bc 是 等于 a， d 乘以 b， a 加上 a、 c。 因为这个 b、 c 向量乘法法则可以写成 b， a 加上 a， c 等于 a， d 乘以 b， a 加上 a， d 乘以 b， a， 我 们可以写成 互的 a、 d 乘以 a， b 加上 a， d 乘以 a、 c。 所以 我们可以把这个写到右左边去，这样 b 乘以 a， d 是 等于 a， d 乘以 a c， a， b 乘以 a， d。 我 们用这个量级可以写成 cosine 角 b， a， d 乘以 a， b 乘以 a， d 等于 cosine 角 d， i， c 乘以 a， d 乘以 i c。 因为任意两个，这个 o i 乘以 o c， o， i 乘以 o， c 等于 cosine i o c， 然后乘以 o i 的 长乘以 o， c 的 长，这个母或者也说叫长， 就是相量的长度，相量的纸，相量的膜。我们再来看看这个 a、 d 两边约分界约掉了啊，这个 a， c 呢？ a， c 就是 b 啊，这个 a， b 呢？就是 c。 我 们再来看看可三 b， a、 d 等于什么？可三角 b， a、 d。 因为可三角 b， a、 d 是 等于可三 二分之二减去 b， 因为这个 b、 a、 d 和角 b 是 负余的，这样就等于三 b， 这样我们就可以得到三。乘以 c 是 等于 可三 d， a， c 也是等于三 c 乘以 b， 我 们简单的变个形就是变成 c 除以三 c 等于 b 除以三 b。 同样的方法还可以推导出的 b 除以三 b 等于 a 除以三 a， 这样我们就推导出了个正弦定律。 我们最后再来说一下为什么寒假必须自己要推导，因为这个有利于理解向量计算，必须手动去推导，因为正式开学以后，我们就再也不用去推导了， 必须强行记住。比如说 a 除以三 a 等于 b 除以三 b 等于 c 除以三 c， 因为我们后面都是对这些定式的延伸应用，再也不会去 推倒它。可三 a 等于 b 平方加 c 平方，减去 a 平方除以 abc。 这种可三 a 可三 b， 可三 c 的 展开式是谁死就死，因为我们后面减三角形都是来来回回的应用这些定律。 三阿帕加贝塔，这种展开我们必须非常，然后非常熟练，就是三阿帕可三贝塔，加上可三阿帕三贝塔一定要推导到知己手的血赶不上脑子，脑子一定要比手还要快， 这样的手都赶不上写，那可三阿帕加贝塔呢？肯定不需要再去脑子里面去思考，就是要随时去写出来。可三阿帕等于可三贝塔，减去三阿帕三贝塔，假设我们偶尔会忘记了这种，到底这是正号呢还是负号呢？我们怎么 做？比如把这两个都当成那个六分之八，都当成三十度六分之八，这样就得到 cosine 六十度。 cosine 六十度是等于二分之一的两个 cos 可三三十度，可三三十度是二分之根号，三乘以二分之根号，三减去两个三十度时，减去二分之一，乘以二分之一，正好是等于 四分之三。减去四分之一等于四分之二，正好等于二分之一。如果加的话就是等于四分之三，加四分之一就等于一了，就不对了。我们有时怎么判断正号和负号，就是用一些特殊纸带进去算一算，看一看。

本视频耗时四十九年半，制作共计九千九百分钟，带你一口气学完高中数学。由于时长太长，高一高二高三分九十七，发布本视频，先带你学完高中必修。一、函数的单调性与最值。内容很精很细很全面，从最简单的单调函数的定义问题， 到最复杂的参数横成立问题开始。接下来长期白班之前，我希望你在此时此刻种下那个梦中的大学，考完之后，带着你的录取通知书和成绩回来告诉我，学长也考上了。好了，接下来 我们来学习一下第二章的第二节，函数的单调性与最值。本节呢，主要分为以下三个部分，第一部分，落实主干知识。 第二部分，探索核心题型。第三部分，课时精练。首先我们来看一下落实主干知识。在开始我们新的课程之前呢，我们教我们的知识点来进行一个梳理。一、 函数的单调性单调函数的定义根据函数的单调性呢，我们将函数分为增函数和减函数。那我们来看一下什么是增函数，什么是减函数。一般的设函数 f x 的 定义域为 d， 区间 i 包含于 d。 如果任意的 x 一 x 二属于 i， 当 x 一 小于 x 二时，都有 f x 一 小于 f x 二，那么就称函数 f x 在区间挨上单调递增。特别的，当函数 f x 在 它的定义上单调递增时，我们就称它是增函数。这个呢，是我们增函数的相关定义。接下来我们来看一下减函数的定义。 当 x 一 小于 x 二时，都有 f 的 x 一 大于 f 的 x 二，那么就称函数 f x 在区间挨上单调递减。特别呢，当函数 f x 在 它的定义上单调递减时，我们就称它是减函数。接下来我们来看一下增函数和减函数的图像描述。我们来看一下图像， 从左向右看，图像是上升的，那么这个呢？它是增函数。再来看一下减函数的图像，从左向右看，图像是下降的，那么这个呢， 我们称之为减函数。接下来我们来看一下单调区间的定义。如果函数 y 等于 f x 在 区间挨上单调递增 或单调递减，那么就说函数 y 等于 f x， 在 这一区间具有严格的单调性，区间 i 叫做 y 等于 f x 的 单调区间。接下来 我们来看一下函数的最值。首先我们来看一下前提，一般的设函数 y 等于 f x 的 定义为 d， 如果存在实数 m， 满足，对于任意的 x 属于 d， 都有 f x 啦，小于等于 m， 存在 x， 零属于 d， 使得 f 的 x 零等于 m， 则 m 啦。是函数 y 等于 f x 的 最大值。 对于任意的 x 属于 d， 都有 f x 等于等于 m。 存在 x 零属于 d， 使得 f 的 x 零等于 m， 则 m 是 函数 y 等于 f x 的 最小值。 接下来我们来看一下我们常用的结论。一、对于任意的 x 一 x 二属于 i， 且 x 一 不等于 x， 二有 x 一 减 x 二分之 f x 一 减去 f x 二大于零 小于零或 x 一 减 x 二乘上 f x 一 减去 f x 二大于零小于零，它俩等价于 f x。 在 区间 i 上单调递增或递减。二、在公共定义域内， 增函数加上增函数了，它俩也是增函数。减函数加上减函数，它俩等于减函数。 这个呢，在我们今后的一个考题过程当中呢，他俩会经常出现，所以说我们这个结论呢，务必要掌握。三、函数 y 等于 f x， f x 大 于零或 f x 小 于零，在公共定域内，与 y 等于负的 f x， y 等于 f x 分 之一的单调性相反。这个结论说明了，如果 y 等于 f x 呢，是单调递增的，那么 y 等于 负的 f x 呢，它呢是单调递减的。 y 等于 f x 分 之一呢，也是单调递减的。这个在我们后续做题的一个过程当中呢，也是单调递减的，这个在我们后续做题的一个过程当中呢，也是单调递减的，这个在我们后续做题的一定要记清楚。 四、复合函数的单调性，这个呢，我们只需要记住四个字，同增异减。接下来我们来看一下自主中断。 一、若函数 f x 满足 f 负三小于 f 二，则 f x 在 负三到二少单调递增，那么这个呢，很明显是错的。比如说我们的二次函数， 比如说我们当 x 等于负三的时候，它的函数值栏等于零，当 x 等于二时，它的函数值栏等于一， 那么这个时候它呢有一个对称轴，在对称轴上，它呢取得最小值，所以说在负三到二上呢，它呢不是单调递增的，所以第一个呢是错的。二、若函数 f x 在 负二到三上单调递增，则函数 f x 的 单调区间为负二到三，那么这个呢，也是错的。比如说 f x 呢，等于 x， 它的定义呢是 r， 而且在 r 上是单调递增的，它在区间负二到三上呢，也是单调递增的，但是它的单调递增区间呢为 r， 所以 说第二个呢是错的。 三、若函数 f x 在 区间 a b 上连续，则 f x 在 区间 a b 上一定有最值，这个呢，它是正确的。四、函数 y 等于 x 分 之一的单调递减区间是负无穷到零， 定向零到正无穷，那么这个呢，是错的。虽然说他呢，在负无穷到零下是单调递减的，他在零到正无穷上也是单调递减的，但是他呢，不能这么说，他呢，可以说， 函数 y 等于 x 分 之一，在区间负无穷到零和零到正无穷上单调递减，所以说它俩是错的。二、下列函数中，在其定义上是减函数的式。首先我们来看一下 a， y 等于负二， x 加上一，它的定义呢是 x 属于 r， 而且它呢是一个依次函数，它的比例系数呢是负二，负二呢是小于零的， 所以说这个函数呢，是减函数， a 呢，是正确的。 b， y 等于 x 的 平方加上一，这个呢，是一个二次函数，它的定义呢是 x 属于二，但是它呢是一个开口向上的，它呢有单调递减的一部分， 它呢也有单调递增的一部分，所以说 b 呢，它不是 c， y 等于根号下 x， 那么这个呢， x 呢，是要大于等于零，随着 x 的 增大呢， y 呢，也是增大的，所以说这个呢，是增函数， c 呢，不选 d， y 等于二的 x 次方，这个呢，它呢是一个指数函数。指数函数的定义呢？ x 呢，是属于二的，它的底数呢？二呢，是大于一的，所以说它呢是一个单调递增的函数，所以 d 呢，不选这一道题呢，选 a。 三、 函数 y 等于负的 x 加上一分之一在区间一到二上的最大值为。首先我们来看一下它的定义， 要是我们函数有意义呢？我们分母呢，不能为零，所以说 x 加上一呢，不等于零，得到了 x 呢，是不等于负一的。 那我们来看一下， y 等于 x 加上一，在区间一到二上呢，是单调递增的。 而 y 等于 x 加上一分之一呢，在区间一到二上来是单调递减的。但是前面还有一个符号， y 等于负的， x 加上一分之一，在区间一到二上来是单调递增的。 当 x 等于二时，它取得最大值，最大值呢，为负的三分之一。这一道题呢，选 a 是 函数， f， x 是 定义在零到正无穷上的减函数，则满足 f 的 二， x 减一大于 f 三分之一的 x 的 取值范围是因为它呢，是零到正无穷上的减函数。 所以说二 x 减一啦，要大于等于零。二 x 减一啦，要小于三分之一。解不等式组啦，可以得到 x 啦，是大于等于二分之一小于三分之二的。 所以说 x 的 取值范围啦，是二分之一到三分之二，二分之一能取到，而三分之二取 不到。接下来我们来看一下第二部分，探求核心题型。题型一，确定函数的单调性命题点一，函数单调性的判断 a 下列函数在零到正无穷上单调递增的是 a， y 等于 x 减去 x 分 之一，那么这个呢，是由两个函数组成的，它的一个定义呢？ y 等于 x 的 定义呢，是 x 属于二， 而 y 等于负的。 x 分 之一的定义呢，是 x 不 等于零。那么来看， y 等于 x， 它呢在零到正无穷上是单调递增的，而 y 等于负的 x 分 之一， 它呢在零到正无穷上也是单调递增的。根据之前我们所学习到的一个方法总结，我们知道两个函数 在公共定域内，如果都是单调递增的，那么两个函数的和也是单调递增的，所以说 a 呢，是单调递增的，要选 b， y 等于 x 的 平方减去二 x 的 绝对值。这个呢，我们可以画一个图，它的一个零点呢，是 x 等于二，而它的一个对称轴呢，是 x 等于一。 所以说它呢，在零到正无穷上，它呢，不是单调递增的，也不是单调递减的。所以 b 呢，不选 c， y 等于二， x 加上二倍的 cos x。 那 么这个呢，我们可以求一个倒，那么 y 的 一片呢，等于二减去二倍的 cos， x 等于二倍的一减 cos 的 x。 我们知道萨以 x 呢，是大于等于负一，小于等于一的，所以说一减萨以 x 呢，是大于等于零的， 所以说二倍的一减萨以 x 呢，是大于等于零的。那么函数的导数呢，是大于等于零的，所以说函数呢，是单调递增的。 c 呢，要选 y 等于那个 x 加上一。我们知道针对于数函数呢，如果它的底数呢，是大于一的，那么它呢，在定义上是单调递增的，所以 d 呢，是单调递增的。这一道题呢，选 a c d 命题点二，利用定义证明函数的单调性。例二是讨论函数 f x 等于 x 减一分之 a x， a 不 等于零在负一到一上的单调性。看到这种题型呢，我们首先应该想到一个知识点，就是分离常数法。 f x 呢，等于 a 倍的 x 减一分之 x 等于 a 倍的 x 减一分之， x 减一加上一等于 a 倍的一加上 x 减一分之一，它的定义呢是， x 呢，不等于一。 接下来我们令 x 一 大于负一小于 x 二小于一， f x 一 减去 f x 二啦，等于 a 倍的一，加上 x 一 减一分之一， 减去 a 倍的一，加上 x 二减一分一等于 x 一 减一乘上 x 二减一分之 a 倍的 x 二减去 x 一。 因为我们的 x 一 x 二都是小于一的，所以说 x 一 减一了，是小于零的， x 二减一了，也是小于零的。 两个小于零的数相乘，它呢是大于零的。而我们的 x 二呢，是大于 x 一 的。所以说 x 二减去 x 一 呢，是大于零的。那么当 a 呢，小于零时， f x 一 减去 f x 二呢，是大于零的。此时函数 f x 呢，是单调递增的。当 a 大 于零时， f x 一 减去 f x 二，它呢是小于零的。 此时函数 f x 在 负一到一上来是单调递减的。接下来我们来看一下确定函数单调性的四种方法，一、 定义法二导数法三，图像法四、性质法。接下来我们来看一下跟踪训练。一一 函数 g x 等于 x 乘上 x 减一的绝对值，加上一的单调递减区间式，那么这个呢，有绝对值，我们首先呢，要脱掉绝对值，当 x 减一大于等于零时， 即 x 大 于等于一时，我们呢把绝对值直接脱掉。 g x 呢，等于 x 的 平方减 x 加上一。而 g x 呢，是一个二次函数，它的一个对称轴呢，是 x 等于二分之一， 它的一个单调递减区间呢，是负无穷到二分之一。而我们 x 呢，要大于等于 一。所以说这个呢，取不到，我们要把它舍掉。当 x 减一小于等于零时，得到 x 呢，是小于等于一的，那么这个时候 g x 呢，是等于负 x 的 平方加上 x 加上一， 它呢是一个开口向下的一个二次函数，它的一个对称轴呢，是 x 等于二分之一，它的一个单调递减区间呢，是二分之一到正无穷。而我们的 x 呢， 是要小于等于一，所以说它的一个单调递减区间呢，是二分之一到一。 这道题来选 b 二函数 f x 等于那个以二分之一为底的二， x 的 平方减三， x 减二的单调递增区间为， 那么这个呢，它俩是一个复合函数，复合函数呢，它俩有一个四字口诀叫同增异减。那么根据我们这个口诀我们来看， 它的一个外函数呢，是 f x 等于 log， 以二分之一为底的 x， 底数呢，是二分之一，是小于一的。 所以说它呢，在定义上，它呢是单调递减的。而我们内函数呢，是 f x 等于二， x 的 平方减三， x 减二， 他那是一个开口方向向上的一个二次函数，他的对称轴呢，是 x 等于四分之三。根据我们复合函数的判别条件，同增异减，那么 他那问的呢，是单调递增区间，所以说我们要我们二次函数单调递减的这一部分， 而我们函数 f x 等于二， x 的 平方减三， x 减二，它的单调递减区间呢，是负无穷到四分之三。但是我们原函数呢，是一个对数函数， 对数函数他来要有意义，我们的真数来一定要大于零，那么二 x 的 平方减三， x 减二呢，要大于零，我们进行因式分解，那么二 x 加一，乘上 x 减二大于零，得到 x 小 于负的二分之一 或者 x 呢，大于二，而我们函数单调递增区间呢，是负无穷到四分之三去交集得到 x 呢，是小于负的二分之一的。所以说 f x 的 单调递增区间呢，是 负无穷到负的二分之一，负的二分之一呢，取不到。接下来我们来看一下题型二，函数单调性的应用。命题点一，比较函数值的大小。第三，定义在 r 上的偶函数 f x 满足对任意的 x 一 x 二属于负无穷到零， x 一 不等于 x 二有 x 一 减 x 二分之 f x 一 减 f x 二小于零。那么这个就说明 函数 f x 呢，在负无穷到零上呢？它呢是一个减函数，而函数在 r 上呢，是偶函数，那么一定有 f x 呢，等于 f 的 负 x， 且在零到正无穷上呢，它呢是单调递增的。那么我们来看一下 他给出的几个值，一个呢是 f 的 负二，一个呢是 f 的 三，一个呢是 f 的 四。那我们知道 f 三呢，是等于 f 负三的， f 四呢，是等于 f 的 负四的，它呢在负无穷到零上是单调递减的，那么一定有 f 四呢，是最大的。接下来呢是 f 三， 接下来呢是 f 负二。所以这道题呢，选 a。 命题点二，求函数的最值。例四，函数 f x 等于 x 减 x 分 之二加一在一到四上的值域为，那我们看一下 函数 f x 在 区间一到四上的一个单调性。那我们来看一下 f x 等于 x， 它呢在区间一到四上来是单调递增的。而我们函数 f x 等于负的 x 分 之二，它呢在区间一到四上来也是单调递增的。所以说我们的函数 f x 等于 x， 减去 x 分 之二，加上一呢，在区间一到四上来是单调递增的。当 x 等于一时，它来取得最小值。当 x 等于四时，它来取得最大值。 f 一 呢，等于零，而 f 四呢，它呢等于二分之九，所以说它的一个值域呢，为零到二分之九。这道题呢，选 c， 接下来我们来看一下相关结论。 求函数值域最值的常用方法。第一种配方法，这个方法呢，主要用于和一元二次函数有关。函数求值域的问题，记住一个点，配方法，它呢 适用于一元二次函数就可以。第二个，单调性法，这个呢，说的是利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域，这个呢，是与我们所有的函数第三，数形结合法， 这个呢，如果我们的函数可以非常方便的画出图形，那我们可以根据我们的图形和我们所给的定义来判别他的一个最值。问题第四， 换原法，引进一个或几个新的量来代替原来的量，实行这种的变量代换， 那么这个呢，比如说带根式的呀，那么这种情况下我们可以进行一个变量代换。第五，分离常数法，那么这个呢，是我们考试当中经常会遇到的一个考题，所以说这个呢，我们务必要掌握。我们来看一下 分子分母同次的方式，采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数 和一个分式和的形式，那么这个我们要灵活的运用。接下来我们来看一下立体 下列函数中，值域正确的是 a， 当 x 属于零到三时，函数 y 等于 x 的 平方减二， x 加三呢，值域为二到六，那么这个呢，我们首先看一下二次函数的一个对称轴，它的对称轴呢，是 x 等于一， 所以说当 x 等于一时，它能取得最小值，最小值来等于二，当 x 等于三时，函数值来等于六，所以说它的值域为二到六是正确的。二能取到六了，取不到 a 是 正确的。 b 函数 y 等于 x 减三分之二， x 加上一。那我们看到这个形式，首先我们想到的呢，是分离常数法，那么 y 呢，是等于 x 减三分之二倍的， x 减三加上七 等于二，加上 x 减三分之七，因为它的一个定义呢，是 x 减三不等于零，即 x 呢，不等于三， 所以说 y 呢，它呢是不等于二的，所以说它的值域为二是错的。 c 函数 y 等于二， x 减去 根号下 x 减一的值域为八分之十五，到正无穷。我们来看一下这个函数当中呢，它呢有一个根式，所以说这个呢，我们可以用换元法，可以令 根号下 x 减一呢，等于 t， 那 么这个时候 t 呢，是大于等于零的。由根号下 x 减一等于 t 得到 x 呢，是等于 t 的 平方加上一， 那么这个时候 y 呢，可以选成二倍的 t 的 平方加上一，减去 t 等于二， t 的 平方减 t 加上二，这个呢，是关于 t 的 一个二次函数， t 呢，是大于等于零的，而 y 等于二， t 的 平方减 t 加上二的对称轴呢，是 t 等于四分之一时，它呢取得最小值， 最小值栏为八分之十五，所以说 c 栏是正确的。 d 函数 y 等于根号下 x 加一，加上根号下 x 减一的值域为根号二到正无穷。要是我们函数栏有意义， 那么一定有 x 加上一呢，大于等于零， x 减一呢，大于等于零得到 x 呢，要大于等于一。所以说函数的定义域呢，为 x 大 于等于一， 而我们函数 y 等于根号下 x 加一，再定义 x 大 于等于一，上来是单调递增的， 而我们函数 y 等于根号下 x 减一，再定义 x 大 于等于一，下来是单调递增的。在公共定义区间之内，两个函数呢，都是单调递增的，它们两个加起来也是单调递增的。 当 x 等于一时，它的取得最小值，最小值呢，为根号二，所以说 d 呢，是正确的。接下来我们来看一下命题点三，减函数不等式。例如，函数 y 等于 f， x 是 定义在负二到二上的减函数，且 f a 加一小于 f 二 a， 则实数 a 的 取值范围是它的一个定义区间呢，为 负二到二，那么一定有 a 加一啦，大于等于负二小于等于二二 a 啦，大于等于负二小于等于二，而且它呢是一个减函数，所以说 a 加一啦，要大于二， a 减不等式组 可以得到 a 啦，是大于三分之一小于等于一的。所以说 a 的 取值范围啦，是三分之一到一， 三分之一啦取不到，而一啦能取到。命题点四，求参数的取值范围。第六，这是一道分段函数，当 x 小 于一时， f x 等于三， a 减一倍的 x 加上四 a， 当 x 大 于等于一时， f x 等于 x， 平方减 a， x 加上六，满足对任意的 x 一 x 二属于二。当 x 一 不等于 x 二时，都有 x 一 减 x 二分之 f， x 一 减 f x 二大于零成立，则实数 a 的 取值范围是由我们这个条件我们可以得到 f x， 在 我们的 定义域上，它呢是单调递增的，所以说我们的三 a 减一呢，一定要大于零， 而我们二次函数的对称轴呢，一定要小于等于一。因为分段函数的定义域呢，是以一为分界点的，所以说二分之 a 呢，要小于等于一。而且当我们 x 等于一的时候，我们二次函数的一个最小值 一定要大于我们一次函数的最大值则有三， a 减一加上四， a 呢，要小于一 解， a 加上六解不等式阻拦，可以得到 a 栏是大于三分之一，小于等于一的这道题来选 c。 接下来我们来看一下相关的方法。总结，一、比较函数值的大小时， 先转换到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决。二、求减函数不等式时，由条件拖去 f， 转化为自变量间的大小关系， 应注意函数的定义域。三、利用单调性求参数的取值范围，根据其单调性直接构建参数满足的方程不等式，或先得到其图像的升降， 再结合图像求解。对于分段函数要注意斜减点的取值。接下来我们来看一下跟踪训练二、这道题呢，它呢是一个分段函数，当 x 大 于等于零时， f x 等于 n， x 加一，当 x 小 于零时， f x 等于负二， x 平方，则不等式。 f x 加二小于 f， x 平方加二 x 的 解集式。 首先我们来看一下 f x 等于 n， x 加上一，它俩在零到正无穷上单调递增的。当 x 等于零时，它俩是等于零的，而 f x 等于负二 x 平方，它俩在负无穷到零上是单调递增的，当 x 等于零时，它俩是等于零的。所以说 f x 在 定义上它俩是单调递增的。那么 f x 加二小于 f x 平方加上二 x 呢，它可以等价为 x 的 平方加上二 x 大 于 x 加上二，即 x 的 平方加上 x 减二呢，大于零解不等式呢，可以得到 x 呢，大于一 或者 x 呢，小于负二。所以说这道题呢，选 c 二，若函数 f x 等于 x 减一分之， x 加 a 减三， 在 a 到正无穷上单调递增，则实数 a 的 取值范围为。我们看到这种形式呢，我们首先想到的呢是分离常数， 那么 f x 呢，等于 x 减一分之， x 减一，加上 a 减二，等于一加上 x 减一分之 a 减二。要使我们函数呢有意义。那么 x 减一呢，不等于零得到。它的定义呢，是 负无穷到一并上一到正无穷，它呢要求在 a 到正无穷上单调递增的，那么 a 呢，一定要大于等于一。接下来再来看 我们 f x 等于 x 减一分之一呢，它呢是单调递减的。那么要是它为单调递增的，那么一定有 a 减二呢，是小于零的 减不等式足可以得到 a 呢，是大于等于一小于二的。所以说 a 的 取值范围呢，为一到二，一能取到，而二呢取不到。接下来 我们来看一项课时精练一下列函数中，在区间零到一上单调递增的是 a 关等于负 x 的 平方加一，这个呢，是典型的一个二次函数，它的开口方向呢，是向下的对称轴呢，是 x 等于零，也就是 y 轴。而在零到正无穷上呢，它呢是单调递减的，在负无穷到零上是单调递增的， 所以说在零到一上来是单调递减的。 a 呢，是错的，比 y 等于根号 x， 我 们知道，要是它呢，有意义呢，需要 x 大 于等于零， 而我们这个函数呢，是 y 随 x 的 增大而增大，它呢，是一个单调递增的函数， 所以说在零到一上呢，是单调递增的，必然是正确的。 c y 等于 x 分 之一。我们知道， y 等于 x 呢，它呢是单调递增的，而 y 等于 x 分 之一呢，和 y 等于 x 呢，它的一个单调性呢，是相反的。所以说 y 等于 x 分 之一呢，是单调递减的。 c 呢，是错的。 d y 等于三减 x， 这个呢，是典型的一次函数， 它的比例系数呢，是负一。我们知道，当依次函数的系数为负的时候，它俩是减函数，所以说在零到一上，它俩是单调递减的，必然是错的。这一道题呢，选 b。 二函数 f x 等于负， x 减二的绝对值的单调递减区间为，这个函数呢，它俩是带绝对值的， 第一步呢，我们要把它的绝对值去掉。当 x 减二大于等于零时，那么 x 呢，大于等于二， f x 等于负的 x 加上二，它呢，在定义上呢，是单调递减的，而 我们的 x 呢，需要大于等于二，所以说他的单调递减区间呢，为二到正无穷。这道题呢，选 b。 我 们答案做出来之后，还有一种情况呢，需要验证一下， 就是当 x 减二，他呢小于等于零时，这个时候 x 呢，是小于等于二的。 f x 呢，等 等于 x 减二，这个呢，它呢是依次函数，它呢是单调递增的。所以说这个呢，不符合提议，要舍掉。第三，已知 f x 是 偶函数， f x 在 一到三上单调递增，则 f 一 f 负二 f 负三的大小关系为，因为它呢是偶函数，偶函数呢，它呢有 f x 等于 f 负的 x， 所以 说 f 负二呢，是等于 f 二的。 f 负三呢，是等于 f 三的，它呢在 一到三上呢，是单调递增的。所以说 f 三呢，是大于 f 二大于 f 一 的。又因为 f 负二呢，是等于 f 二。 f 负三呢，是等于 f 三。所以说 f 负三呢，是大于 f 负二大于 f 一 的。这一道题呢，选第 已知函数 f x 等于 x 减一分之二 x， 则 f x 在 区间二到六上的最大值为。遇到这种题呢，首先我们想到的呢是分离常数， f x 呢，等于 x 减一分之二倍的 x 减一，加上二等于二，加上 x 减一分之二。 接下来我们来看 f x 等于 x 减一呢，它呢是单调递增的。而 f x 等于 x 减一分之二呢，它呢是单调递减的。所以说 f x 在 区间二到六上呢，是单调递减的， 它呢在二时取得最大值。那么 f 二呢，是等于四，所以说它的最大值呢为四。这一道题呢，选 c 五已知函数 f x 等于 x 加 n x 减一，则不等式 f x 小 于零的解集为。这个函数呢，我们可以看成由两个函数组成。第一个函数呢，是 f x 等于 n x， 它的定义呢，是 x 大 于零，而 f x 等于 n x， 在 定义上呢，它呢是单调递增的。而第二个函数呢，是 f x 等于 x 减一，它呢是一次函数，而且在定义上呢，是单调递增的。所以说两个函数加起来之后，它呢在公共定义上，它呢是单调递增的。当 x 等于一时， f x 等于 n， x 呢，是等于零的，而 f x 等于 x 减一呢，也是等于零的。因为 f x 呢，是单调递增的，所以说这时呢，需要 x 呢，小于一， 又因为 x 呢，是要大于零的，所以说 f x 小 于零的解集呢，为零到一。 这一道题来选 c。 第六、已知函数 y 等于 f x 的 定义域为 r。 对 任意的 x 一 x 二，且 x 一 不等于 x 二，都有 x 一 减 x 二分之 f x 一 减 f x 二大于负一。则下列说法正确的是，这时我们可以令 x 一 大于 x 二，那么 x 一 一减去 x 二呢，是大于零的。此时我们将 x 一 减 x 二乘到不等式的右边，这时有 f x 一 减去 f x 二 大于负的 x 一 加上 x 二。我们将 f x 一 和 x 一 挪到不等式的一边，将 f x 二和 x 二挪到不等式的另一边。此时有 f x 一 加上 x 一 大于 f x 二加上 x 二。这时我们令 g x 等于 f x 加上 x， 所以 g 的 x 一 呢，是大于 g 的 x 二，又因为 x 一 呢，是大于 x 二的，所以说 g x 呢，是增函数，而 g x 呢，等于 f x 加 x， 所以 说 f x 加 x 呢，是增函数。这一道题呢，选 a。 第七、下列说法中正确的是，若对任意的 x 一 x 二属于 i， 当 x 一 小于 x 二时， x 一 减 x 二分之， f x 一 减 f x 二大于零， 则 y 等于 f x 在 i 上单调递增。由函数的单调性的定义可知，这个是正确的。所以说 a 啦，是正确的。 b 函数 y 等于 x 的 平方，在二上是增函数。那么这个呢，是典型的二次函数，它的开口方向呢？是向上的，它呢？在 对称轴的左边，它呢是减函数。在对称轴的右边，它呢是增函数，所以 b 呢，是错的。 c 函数 y 等于负 x 分 之一，在定义上是增函数。 这个呢，它是一个反比例函数。由反比例函数的单调性可知， y 等于负 x 分 之一，在负无穷到零上和零到正无穷上是单调递增的， 但不能说在定义域上是单调递增的，所以 c 呢，是错的。 d 函数 y 等于 x 分 之一的单调递减区间是 负无穷到零和零到正无穷。那么这个说法呢，它是正确的。一八已知函数 f x 等于 x， 平方减二 a， x 加 a 在 区间负无穷到一上有最小值，则函数 g， x 等于 x 分 之 f， x 在 区间一到正无穷上，一定，因为 f x 呢，它呢是一个二次函数，它的对称轴呢，是 x 等于 a， 他 说在负无穷到一上有最小值，那么它的对称轴一定小于一， 所以说 a 呢，是小于一的。这时 g x 呢，等于 x 分 之 f， x 等于 x 加上 x 分 之 a， 减去二 a， 而 x 加上 x 分 之 a 呢，它呢是一个典型的对勾函数， 它俩在 x 等于根号 a 时取得最小值。又因为 a 啦是小于一的，所以说 x 等于根号 a 啦，它俩一定是小于一的。针对于对勾函数，它俩在 根号 a 到正无穷上，它俩是单调递增的，而 e 啦是大于根号 a 的， 所以说在一到正无穷上，它呢一定是单调递增。 b 呢，是正确的，又因为区间 e 呢，能取到，所以说当 x 等于一时， g， x 呢，取得最小值，所以说它呢有最小值。 c 呢，也是正确的。 这道题呢，选 b c。 第九函数 f x 等于根号下负 x 平方加二， x 加三的单调递增区间为。 那我们知道这个呢，是一个复合函数，复合函数呢，一定要记住它的口诀，同增异减，而 f x 等于根号 x， 它呢是单调递增的。 而内函数 f x 等于负 x 的 平方加上二， x 加上三，它俩是一个典型的二次函数开口方向，它俩是向下的，它俩在 x 等于一时取得最大值，在一到正无穷上，它俩是单调递减的。但是要是我们函数 f x 有 意义， 一定有负 x 的 平方加上二， x 加上三呢，要大于等于零减不等式呢，可以得到， x 呢，是大于等于负一小于等于三的，这时要求他的单调递增区间根据复合函数的同增异减。 那么这时呢，我们要求出二次函数的单调递增区间，它呢是负无穷到我们的一，而我们它的定义曲值范围呢，是负一到三之间，所以说它的单调递增区间呢，为负一到一， 负一呢和一呢，都能取到。一时已知函数 f x 等于二 x 次方，减去二的负 x 次方 则不等式。 f 三 x 减一小于 f 一 减 x 的 解集为。首先我们来看一下函数 f x 呢，等于二 x 次方，减去二 x 次方分之一，这个呢，是由两个函数组成， 它呢是一个指数函数。指数函数，它的定义呢，是属于二的，而值域呢，是零到正无穷。所以说 f x 等于二的 x 次方，在定义上呢，它呢是单调递增的， 而 f x 等于负的二 x 次方分之一呢，它呢也是单调递增的。 所以说 f x 呢，它呢是一个单调递增的函数，这是要求 f 三 x 减一小于 f 一 减 x 的 解集， 只需要求得三 x 减一小于一减 x 的 解集即可。减不等式可得 x 小 于二分之一呢，取不到。第十一、已知命题 p， 若 f x 小 于 f 四，对任意的 x 属于零到四都成立，则 f x 在 零到四上单调递增， 能说明命题 p 为假命题的一个函数式，那么这个时候我们只需要举一个反例即可。那么比如说 f x 等于负 x， 这时 x 呢，是大于零小于四的，而当 x 等于四时， f x 等于一，那么这个时候 f x 小 于 f 四，对于任意的 x 属于零到四呢，都成立，但是 f x 在 零到四上呢，它呢是一个 单调递减的，所以这个呢，就是符合我们提议的一个函数。十二、已知函数 f x 等于 a 为底的 x 平方减三，在零到一上单调递减， 则实数 a 的 取值范围是。这个函数呢，它俩是一个复合函数，而我们的 y 函数呢，是 f x 等于 log 以 a 为底的 x， 那 么当我们的 a 大 于零小于一时，它俩是一个单调递减的，而这时我们 内函数呢，是 f x 等于 x 平方减 a， x 加三等于 x， 减去二分之 a， 括号的平方， 加上三，减去四分之 a 的 平方，因为 a 呢，是大于零小于一的，所以说我们的值来是大于零横成立的。而内函数 x 的 平方减 a， x 加三，它的对称轴呢，是 x 等于二分之 a， 又因为 a 呢，是大于零小于一的，所以说它呢在零到一上不单调，所以说这个呢，我们要舍掉。当 a 大 于一时，那么 f x 等于 log 以 a 为底的 x， 它呢是单调递增的。这时我们的内函数 f x 等于 x 的 平方减去 a， x 加三， 它呢要在零到一上来单调递减，而它的对称轴呢，是 x 等于二分之 a， 所以 说二分之 a 呢，要大于等于一， 而当 x 等于一时，它栏一定要大于零，所以说一减去 a 加上三栏要大于零，这时 a 栏是小于四的，而二分之 a 栏要大于等于一，这时 a 栏要大于等。 所以说 a 的 取法呢，是二到四，二能取到四呢，取不到。第十三、给定函数 f x 等于二分之一的 x， 次方 g x 等于负 x 的 平方加四， x 加一， x 属于二。一。 在同一直角坐标系中，画出函数 f x 和 g x 的 图像。首先我们来看 f x， 当 x 等于零时， f x 呢，是等于一的。当 x 等于一时， f x 呢，是等于二分之一的。当 x 等于负一时， f x 呢是等于二的。当 x 等于二十， f， x 呢，是等于四分之一的，而 x 等于负二， f x 呢，是等于四的。 x 等于三十， f， x 呢，是等于八分之一的，而 x 等于负三十， f x 呢， 是等于八的。好，接下来我们用光滑的曲线把它连起来即可。接下来来看 g x， g x 呢，它呢是一个二次函数，它的开口方向呢是向下的，它的对称轴呢是 x 等于二。当 x 等于二时， g x 函数值呢是等于五。这时我们再令 g x 等于零，得到负 x 的 平方，加上四 加上一呢，是等于零的。得到 x 呢，是等于二加减根号五。由此我们大致的画出函数的一个图像，二 对于任意的 x 属于二。用 m x 表示 f x， g x 中的最大者即为 m x 等于 max f x g x 是判断 mx 在 区间负无穷到 a 上的单调性。这个我们根据我们第一问所画的图，我们来看一下。 x， 它呢在负无穷到零上， 它呢是单调递减的。而在零到二上，它呢是单调递增的。所以说，当我们的 a 呢是小于等于零时， m x 在 负无穷到 a 上，它俩是单调递减的。当我们的 a 呢是大小于二时，这时 m x 在 负无穷到零上，它俩是单调递减的。而在零到 a 上呢，它俩是单调递增的。当我们的 a 呢是大于二时， 这时 m x 在 负无穷到零上，它俩是单调递减的。而在零到二上， 它俩是单调递增的，而在二到 a 上，它俩是单调递减的。这个时候，我们一定要紧扣我们的这个图，紧扣我们题目中 所设的一些问题去看。六十四、已知 f x 等于二的 x 次方加一分之二的 x 次方减一， x 属于 r， 判断 f x 的 单调性， 并用定义证明。那么看到这种题型，我们首先想到的是分离常数，那么 f x 呢？等于 二的 x 次方加一分之二的 x 次方加一，再减二等于一，减去二的 x 次方加一分之二，它呢是一个单调递增的函数。 接下来我们来用定义法证明函数 f x 的 定义呢，是 x 属于二，这时我们取 x 二大于 x 一， f x 一 减去 f x 二呢，等于一。减去二的 x 一 次方。加上一分之二减去一减去二的 x 二次方。加一分之二等于二的 x 一 一次方。加上一乘上二的 x 二次方。加上一分之二倍的二的 x 一 次方，减去二的 x 二次方，因为二的 x 次方，它呢是单调递增的，又因为 x 是 小于 x 二的，所以说 f x 一 减去 f x 二的， 所以说它俩是一个增函数二减。关于 t 的 不等式， f t 的 平方减三，加上 f 二， t 小 于零。已知 f x 呢，是等于二的 x 次方，加上一分之 二的 x 次方减一。那么我们来看一下 f 负 x， 它俩等于二的负 x 次方，加上一分之 二的负 x 次方减一，等于一，加上二的 x 次方，分之一减去二的 x 次方等于负的 f x。 这时我们要求 f t 的 平方减三，加上 f 二， t 小 于零， 那么即求 f 的 平方减三小于负的 f 的 二 t。 又因为 f x 等于 负的 f x， 那 么 f t 的 平方减三小于负的 f 二 t 可以 转化为 f t 的 平方减三小于 f 二 t。 我 们知道 f x 啊，它呢是单调递增的，所以说 这个呢，可以等价转化为 t 的 平方减三小于二 t， 即 t 的 平方减二， t 减三小于零，减不等于 t 呢，是大于负三小于一的。第十五、已知函数 y 等于 f x 的 图像。关于 y 轴对称 减，对于 y 等于 f x， x 属于二，当 x 一 x 二属于负无穷到零时，减 x 一 不等于 x 二分之 f x 一 减， f x 二小于零 横乘以，这个说明了函数它呢在负无穷到零上是单调递减的。若 f 二 a x 小 于 f 二 x 平方加一对任意的 x 属于 r 横乘以，则 实数 a 的 取值范围可以。是。因为我们的函数图像呢，是关于 y 轴对称的， 所以说 y 等于 f x， 它俩是一个偶函数，它俩是一个偶函数，只需要二 x 的 平方加上一大于二 a x 的 绝对值即可。这时当 x 等于零时，它俩是横成立的。 当 x 不 等于零时，不等式的两边呢，同时，除以 x 的 绝对值，则有二 a 的 绝对值小于二倍的 x 的 绝对值加上 x 绝对值分之一， x 的 绝对值，它呢是大于零横成立的。所以说这个呢，它是大于等于二倍的根号下二 x 的 绝 乘上 x 绝对值分之一，它俩是等于二倍的根号二。当且仅当二倍的 x 的 绝对值等于 x 绝对值分之一时，等号成立， 这时 x 啊等于二分之根号二。这时我们再来看二 a 的 绝对值是小于二倍的 x 的 绝对值加上 x 绝对值分之一， 又因为二倍的 x 的 绝对值加上 x 绝对值分之一的最小值来为的根号二，所以说只需要二 a 的 绝对值小于二倍的根号二即可。这时 a 的 绝对值呢，是小于根号二，则 a 呢是大于负的根号二，小于根号二。接下来我们来看一下选项， a 负的根号二到负一，这个呢，它呢是我们负的根号二到根号二的一个子集。所以说 a 呢，是正确的。 b 负的二分之一到一，它呢也是我们负的根号二到二的一个子集。 d 呢，也是正确的。 c 零到根号二，它呢也是我们负根号二到根号二的一个子集。 c 呢，也是正确的。 d 根号二到正无穷，它呢不是负根号二到根号二的子集， 所以 d 呢，是错的。第十六这道题呢，它是一个分段函数，当 x 大 于等于零时， f x 等于 a， x 减去 x 平方，当 x 小 于零时， f x 等于负二 x。 若对任意的 x 一 x 二属于 r， 且 x 一 不等于 x 二都有 x 二减去 x 一 缝之 f x 二减去 f， x 一 小于零，则实数 a 的 取值范围为。 因为它俩是小于零，所以说函数在定义域上，它俩是单调递减的。而当 x 大 于零时，它俩是一个典型的二次函数，它的对称轴呢，是 x 等于二分之 a。 而当 x 大 于等于零时， 它俩是一个开口方向向下的一个二次函数，它的对称轴呢，是 x 等于二分之 a。 而当 x 小 于零时，它俩是 f x 等于负二。 x 是 一个一次函数，它俩是单调递减的，这时要保证它俩在第一遇上是单调递减的，只需要我们二次函数的对称轴小于零即可。此时 a 呢，是小于等于零的。所以说 a 的 取值范围呢，是负无穷到零，零呢能取到。若 f x 在 负一到 t 上的值域为零到四，则实数 t 的 取值范围为。这时当 a 大 于零时， 二次函数它的对称轴呢，是 x 等于二分之 a。 所以 说，当 x 等于二分之 a 时，它呢取得最大值四，这是由 f 的 二分之 a 呢，是等于二分之 a 的 平方。减去 四分之 a 的 平方，等于四分之 a 的 平方等于四，这时 a 呢，是等于正负四。因为 a 呢，只能等于四，又因为 f 负一呢，是等于二，而 f 零等于 f 四，它呢是等于零的。所以说 t 的 取值范围呢，一定要在对称轴的右侧，所以说 t 呢，一 一定要大于二，小于等于四。当 a 小 于等于零时，函数 f x 在 负一到 t 上呢，它呢是单调递减的， 他呢在负一时取得最大值，这时 f 负一呢是等于二，他呢不满足我们的要求，这时 t 的 取值范围呢是二到四，二取不到，而四呢能取到。好了，本次的课呢，就讲解到这里，谢谢大家。

好，我们今天来看一道全国二卷的高考题目，他说 f x 考三，二 x 加 f 零等于二分之一。第一位让我们求 f， 我 们只需要把 f 零带入， 所以我们可以得到 f 等于三分之派。第二问，他说 g x 等于 f x 加 f x 减六分之派。那我们首先要先写出来 g x 的 表达式，前面的东西我们写一下，它是 cosine 二 x 加三分之派后面的部分，因为它输入的整个东西是 x 减六分之派，所以我们需要加一个括号，然后把它们两个化解好。到这一步以后，我们观察一下，前面是考三二 x 加三分之派，后面是考三二 x， 那 我们 前面利用两角合把它打开，然后合并。好，我们写到这一步，继续要注意一下，我们要使用辅助角公式，最好是要把前面的系数化成一个小于一的东西， 所以先把根号三提出去，那么它就变成了根号三倍的二 x 加 find， 其中这个 find 三也 find 是 二分之根号三，考 find 也是负二分之一。 tangent 的 find 是 负根号三， 那么我们就可以确定这个 find 其实应该是第二象限角，那么它是第二象限角的话，就应该是三分之二 pi， 所以 得到 g x 是 根号三倍的 sin 二 x 加三分之二派。当然到这个辅助角公式的时候，我们想要化成 cos 也是一样的，所以我们可以直接写出来 g x 的 值域肯定是负根号三到根号三的，那么它的单调区间，我们求一个单调递增区间，那就是二 x 加三分之二派 大于等于负二分之派加二 k 派，然后除以二， 所以我们的单调递增区间为负的十二分之七派加 k 派，到负的十二分之派加 k 派。那么我们只需要再往后去顺一个减区间，减区间为负的十二分之派加 k 派，到十二分之五派加 k 派。

零基础速通三角函数本节课我们直击高一上重点内容，正形形函数的图像和性质。温馨提示，本节课过于基础，学霸可以直接划走主播今天只带想提分但基础差的同学， 只要你想学，什么时候都不晚。三角函数图像的话，我们要记住两个比较常见的图像，第一个叫做正弦型函数图像，就是 y 等于三 x， 第二个其实就是余弦的函数图像，就是 y 等于负三 x， 对 吧？ ok， 好， 这两个东西应该怎么去画呢？其实这个图啊，如果我画给大家看，大家会觉得，哎呀，这两个图其实很简单。 我们先来看一下正弦型正弦函数 y 等于三 x， 它是怎么画的？它是从零开始，先往上，再往下，再往上，它大概画出来应该是长这样子的。 cosine 的 话是从最高点开始，先往下，再往上，再往下。那这两个函数图像我们首先要注意什么？第一个，它的定义域， 这两个函数图像它定义域很明显，我的 x 无论取什么值好像都可以，对吧？ ok， 它的 x 应该都是属于 r 的。 那问题就是值域呢？它们俩的值域应该是什么？你会发现， sine 的 最高点跟 sine 的 最低点其实分别是一和负一， 图上也是一样，它的最高点和最低点分别应该是负一和一，所以我们知道它的值域写下来， y 应该是属于负一到一，这俩图像其实是很粗糙的。而其实我们在画图像的时候，均总建议各位，你们必须把零点与它的对称轴把它给标上， 因为这有助于我们去解后面的一些重要的式子，比如说，你看这个点明显是不是就是零？最高的这个点很明显，是不是二分之拍，这个点是不是就是拍这个点，我们可以发现是不是就是二分之三拍？还有这个点应该是等于二拍， 这些你们起码把它给标上吧，那口算也是一样的。哦，你看这个我们很明显是零啊，没问题，对吧？这个点应该是二分之派，那最低点这个点呢？应该是派好，这个呢，应该是二分之三派，最高点我们就可以看到这是二派，对吧？ ok， 起码要画成这个样子， 是把一些关键的把它给标上，对，把它们给列出来之后，首先我们研究几个方向，第一个，它的周期，你可以看到它们是不是都是零到二拍，所以我们就可以看到它们的周期 t 是 不是应该都等于二拍？这个大家没毛病吧。 第二个，我们再来看一下它的一个对称轴，注意啊，这样子的对称轴在哪？这样子的对称轴是不是恰好就是我们的二分之派，以及二分之三派，是不是都可以，甚至是下一个都可以？对于我们的三 x 来说，它的对称轴是每隔半个周期，它的对称轴是不是出现一个对，在这里 x 应该是等于二分之派，再加上 k 派。 ok， 往道理我们来看一下口算，口算的对称轴在哪？你看一开始是不是在零， 接下来是派，接下来是二派，所以我们就可以发现它的对称轴 x 应该是等于 k 派吧。 ok， 注意，这个时候 k 应该是属于 z 的， 把它给调上去。好，这是我们的对称轴，那除此之外还有我们的是不是对称中心？对称中心在哪？其实刚好会反过来，对于整一个 sin x 来说，对称中心是恰好是零点， 还有二派，接下来是三派，这是不是它的对称中心？我们写对称中心，我们要把它的横坐标写上，所以我们写 k 派是不就可以了？那它中坐标就是零，所以这个应该是 k 派零。 那 cosine 呢？你可以看到它的对称中心恰好是二分之派，二分之三派，那下一个应该是二分之五派， 二分之七派等等等等，那么这个时候它对称中心应该是二分之派，再加上 k 派，可以吧？那么它中坐标逗号是零。 那最后我们再来看一下它的单调递增跟单调递减，那我们来看一下这个是它单调递增区间在哪里？一般来说，我们写递增的话，你可以看到在一个周期内，右侧把它给补完，你会发现这个应该是负的二分之派吧。最基本上如果我要写它单调递增区间呢？ 肯定是从负二分之派开始到二分之派这一部分是不是恰好就是它的单调递增区间？它是负二分之派吧？对，单调递增区间应该怎么写？应该是 负二分之派到二分之派，这个区间是递增的，但是注意后面要加上二，可以派，因为加上它的周期吗？ 那我们来看一下 cosine 的 图像什么时候递增，你会发现它是不是在那个叫做派到二派？应该是递增啊？如果你觉得哎呀派到二派这边比较难写啊，你可以把它给延长连我们的右边，这应该是负派到零，我就可以写成负 派到零，当然记住后面要加上二 k 派，对吧？好，这是我们单调递增区间。单调递减区间在哪？第一个二分之派到二分之三派，第二个他单调递减区间应该是零到派吧， 所以我们可以这样写，他单调递减区间应该就是二分之派到二分之三派，那只不过后面要加上二 k 派，对吧？ ok， 第二个也是一样，如果我们要去写他单调递减区间应该是多少？意思是 零到派吧，所以应该是零到派，后面要加上二 k 派。看这里的话，所有的 k 都是属于 e c 的 啊。好，这就是我们关于整一个 sin 图像跟投 sin 图像它的一些相关的信息啊，对不对？那我们来做一下题吧。大家先来看一下第一个它的定义域，值域周期，对称轴，对称中心跟单调递增区间。 好的，那我们把图给画出来，那在这里的话，我建议各位画完图之后，那你们就负责把一些关键的信息点把它给标上去，这是零，这是拍，这是二分之三拍， 这是二拍，对吧？ ok， 那 我们首先来看一下它的定义域 x 是 不是属于二，没毛病吧？它的值域 y 应该是属于负一到一这个区间上，这也可以， 那如果我们去看它的周期，它的周期是在哪到哪，是不是从零到二派，那我们就可以知道它的周期 t 应该等于二派，其实都很简单。那对称轴，那我就看着题目来写喽。对称轴应该是在哪？是不是在负二分之派？二分之派和二分之三派，这些都是对称轴，你可以看到 它们是不是之间相差了派而已？每一个之间相差了派，所以它的对称轴 x 应该是等于二分之派啊，当然写上 k 是 属于 e z 的。 好，第四个，它对称中心。 对称中心在哪？你看是不是在这个点，零点派，还有我们的二派，这些是不是都是它对称中心？怎么去写？记住，应该是 k 派，逗号零要写上对称中心，你要整个点把它给写上，那么这个时候 k 应该是属于一 z 删掉递增区间在哪？看图呗。 二分之派到二分之派这个区间是递增，所以二分之派加上二 k 派到我们的二分之派加上二 k 派，这个区间上我们可以看到应该是递增的。好，这就很简单。关于图像，大家画出来了吗？ 学会了的话，大家来看一下这道题，打出你的答案。顺便麻烦大家帮我去抖音精选 app， 点右下角的推荐大拇指按钮，让我的作品被更多人看见。苦练十年，不如名师指点！每周我都会在抖音粉丝群分享独家的大招资料，需要的话大家可以进群领取。

同学们，期末在己，稳住心神，接下来三分钟带你高强度梳理高一上学期数学核心考点，请集中注意力。首先抓住四大板块股价。第一，集合与逻辑， 核心是集合的，并交补运算以及判断充分条件、必要条件，关键工具是数轴。第二，不等式，主攻一元二次不等式解法。核心步骤，先画正再求根后画图，根据开口方向确定解集区间。特别注意，含参数时要对参数进行分类讨论。第三，函数，这是半壁江山，占分可能接近百分之五十， 必须死死抓住函数三个核心要素，定义域、解析式、单调性。所有函数问题优先考虑定义域。第四，指数与对数熟记运算公式，重点对比指数、函数和对数函数的图像与性质，底数大于一和底数小于一，单调性完全不同。

今天的话呢，我们先看一下函数与基本不等式，说一下我们这个知识呢是围绕期末复习的，所以今天呢，我们以一道题啊，给大家复习的时候，我尽可能去把这道题拆解一下，看这道题是有哪些 考点或者知识点组合的，我们把大家要必须掌握扎实，一页到底的这些基础模块先过一下，过完再去看这个综合题，好吧，就这样，反正他用到啥我都单独带大家过一下，可能会拆的比较细一些，讲完之后呢，这个方式看对大家会不会帮助更大一些，如果说 这个调整有啥问题，也你们给我给出反反馈啊。好了来看着，那么接下来咱们复习的内容呢，他是跟函数的计算 或者函数的性质，再结合上啥基本不等式，所以说他至少会有两个考点，我们一个一个来看。首先看第一道题，我好像曾经讲过，那也不重要，反正他是出的一个比较好的题，告诉我们 f x 就 等于这么个，或 说在这个区间上，它的最大值和最小值之和为 a 加 b， 然后 a 大 于零， b 大 于零，让我们求 a 分 之一加 b 分 之三的最小值来就考两个知识点啊。第一个叫做基本不等式中的乘一法， 有些时候我们也是说一次是和负一次是相乘嘛，对吧？然后另外一个就是看到一个函数的最大加最小， 考的呢一定是积加长啊。那先不讲这道题，把它的两个知识点快速的回顾一下，所以你要一眼到底的第一个知识点就是 已知这样的一个式子，求它的最小值，就是我们基本不等式中最常见的一种搭配，对吧？那咋求它们的最小值呢？我们说乘一法，两个乘一下就可以求它们的最值， 那我们先操作一下已知它求它的最小值，因为这个式子等于一，你给他乘个这个式子等于啥也没乘，但是这个式子在乘的过程中很精彩， 这两个啊，同一个变量相关的，一次的和负一次的就是倒数，就是负一次的一乘是个常数，同一个字母相关的一乘也是个常数，这两个常数乘完之后不影响就等于多少十三，再加上啊，相异的两个相乘，比如说这两相乘得 n 分 之九 m， 然后这两个相乘是 m 分 之四 n 嘛，所以它本身不能直接求最值。但是两个一乘产生的这个结果，你看相同的相乘 变量，相乘是常数，不同的产生的这两个式子，你发现它们的乘积刚好是什么定值，所以接下来就可以直接用基本不等式， 他俩相加大于等于二倍，根号下他俩相乘，相乘变量全部约完，三十六加十三，所以这个式子算一下很简单，大于等于二十五。所以说你首先在整个高中任何时候，这两个式子同时出现的时候，或者说 求其中一个的时候，你就要去想一下，我能不能得到另外一个式子为定值。求一个的时候能不能想到另外一个式子是定值。这是一个你需要一眼到底的逻辑，或者双变量求最值的时候，经常会遇到的一个基本不等式中最最最基本的一种搭配。 换句话说，咱们高一的小伙伴，你接下来再学向量，再学解三角形，往后用到基本不等式的时候，经常也会遇到它。所以说今天以这道题为例，告诉大家这个知识，不管怎么样，你要非常熟练。好了，接下来看第二个。 第二个的话就是咱们以这道题为例，我们说告诉我们一个函数，说他最大值为 m， 最小值为 n， 但凡求最大加最小的和啊，你一眼就能看，你就会去想 这个函数是不是什么函数？只要在函数中提到了不管多么复杂，长相多么抽象的一个函数，说了他的最大值，说了他最小值，提到了他们的和，就一定考的是什么？就一定考的是一个基函数加长数。 那我们说奇函数加长数的本质是这个函数具有什么性？对，它是一个中心对称，对吧？因为奇函数本身是关于零零中心对称的嘛，你加个长数，说白了就是这个函数一定是关于零 c 中心对称的。 那么关于零 c 中心对称，那自变量互为相反数，假如这里对应的是谁啊？负 x， 假如这里对应的是 x， 当自变量关于零对称的时候，它们两个点也就是关于这个点对称的。所以 f x 加 f 负 x， 函数值也就是纵坐标相加，一定等于对称中心纵坐标的二倍，这是它的基本性质，对吧？那么同样道理，因为它中心对称， 那么假如在 x 处取得什么最小值， 所以它最大加最小也是二 c， 为啥呢？因为最大和最小是万千对称中两个最特殊的对称。所以说这个函数呢，经常考，但经常考的话，你未必一眼看到的是什么积加长， 但是你从题目中一定会看到的两个特点，一个是当你看到 f 负的加 f 正的，要 让你去求解，或者说有已知，当你看到提到了最大和最小，完了之后还要去求他们的和，你就要去判断 这个函数是不是积加长。所以说未来你在考试的时候，对这个知识点有没有一眼到底的本质是你有没有看到最大加最小，看到最大加最小，有没有朝这个方向去考虑啊？好了， 刚才我说了，在很多函数中，这个常数并不是一眼能看出来的，所以求常数的方法， c 等于什么？对， c 就是 f 零啊，因为零 c 嘛，横坐标是零，纵坐标是 f 零，所以说经常算 c 的 时候，还可以用二倍的 f 零。 然后接下来我们回到回，回到这道题来口，算一下这个答案是几？这道题这个答案是几好，这叫做胆子大一点啊，一看最大加最小，一定是积加长，我一眼看不出它积积函数是不是积加长，我就直接算 f 零 零带进去，一比一等于一，说明 c 等于一，所以 m 加 n 大， m 加小 m 等于二，这叫做只要你内心有那份笃定啊，你就可以写出这个答案。但是这是不是显得也太也太瓜了，对吧？或者说也太操心了，万一它百分之一了呢？ 所以在这种情况下还是去验一下啊，咋验呢？第一个就是通过对这个式子的变形，你让它变成一个奇函数加长数，这是第一个，这样的话你就能够确定更笃定一点。 第二个的话，你实在变不了的话，那么对这种函数，你直接把 f 负 x 和 f x 都表示出来一加，判断一下它是不是等于定值就 ok 了啊，这是真正要去处理的两个方式， 这个叫做啊，反正我吃定你了，我赌你就是，我赌你百分之九十九，那你就可以直接写答案好了。那么这个题咋变形呢？因为它是一个公式，上边都有逆函数部分，我们可以做个分离常数啊， 三 x 完全平方展开，是 x 平方加一加二， x 比上一个谁啊？ x 方加一，一分离，这个比这个是一，剩下的再比上它，所以这个函数可以写成 三 x 加二， x 比上它再加一。然后你只要看前边这个分子是一个什么啊？基函数分母是一个什么啊？偶函数吗？ 所以这个题的话，你要去确认也很简单，基比偶还是基函数加长数，没毛病，这就百分之百了。那接下来我们就以这道题题还没做，首先看到这道题，如果我们能够一眼到底，就 会看到这道题其实就考了两个。首先告诉了一个比较抽象一点的函数，其到了他的最大加最小之合，我脑海中就冒出了一个念头，他是在考基加长， 那么既然知道了 a 加 b 是 一个定值，又要求他他在考什么？他在考基本不等式。所以说你把这些背景知识，基本知识学到足够熟练的话， 遇到这些题就能够一眼到底。然后你要去做的这件事情的话，就是专注于接下来算 a 加 b 等于多少，算基本不等式，这样不管你的效率和准确率才会高啊。好了，接下来我们就看一下这个 a 加 b 啊，换句话说，它也等于二 c， 这个 c 咋求我们说 c 三种方式，你老老实实的把 f x 写成一个奇函数，加这个常数，那 c 就 出来了。第二个啊， f 零等于这个常数，这个常数也就出来了。 然后第三个啊，就是最该老老实实的方式， f x 加 f 负 x， 用最通用的方式去得到它们的和，是不是二 c 啊？ 看一下这道题用哪个啊？三是吧，没问题，非常好啊，这道题，你发现你要对这个式子变形啊，不容易啊，要把它变成积加长，不容易不容易啊，不要你方法这么多啊，不要强迫自己，那你就先把它 pass 掉，然后接下来你想带零啊，你也把自己劝一劝。为啥呢？ 这道题出的非常好，零带进去没有意义，虽然它是一个积加长，但是呢，它在零的时候没有意义，所以第二个也行不通，这是这个题出的优秀的地方，这也是为啥啊，我要把它拿出来。所以说任何一个知识在学的时候， 本质和它所有方式都要学全面，你说巧了，你就会算 f 零，那这道题你是不是就干瞪眼了？ 所以接下来这是它最底层最通用的方式。那其他两个技巧型的行不通？行不通，咱就老老实实的把 f x 和 f 负 x 表示出来，化解一下就行了。来， f x 带进去，还是这个解析式， f 负 x 带进去，加就变成了什么减负 x 符号移到这，这是一负二 x， 然后接下来这两个式子分五是一样的，对吧？我就写在这不变 x 分子，两个对数相减，就等于两个真数相处，它就是 e 二 x 加一，比上 e 负二 x 加一。 那这个式子以前给大家说的比较多，只要你在写的时候呀，出现了这种指数的分式，并且分子或者分母中只要有 e 的 或者 a 的 负多少次方，接下来咋变形呢？ 上下同乘个正的就行了，所以分母不变。我给分子的这个真数的上下同除以一个 e 的 二 x 次方来看，分子啊，分子的话就是 e 二 x 加一不变，再乘以 e 二 x， 下边同乘个 e 二 x， 它变一，它变一，加 e 的 二 x 次方，这俩就约掉了，上面变成捞引 e 的 二 x 次方，那它是多少呢？它是二 x 除以二 x 等于二。所以这套题的常数等于多少？常数一定等于一，换句话说，它俩相加一定等于多少？它俩相加一定等于二。所以我们知道了， f x 加 f 负 x 等于二，那么最大加最小 一定等于二。第一个关于 g 加长的所有方法， g 加长整清楚， 已知他，求他。哎呦，这要再不行是吧，没话说了。乘的是一啊，所以把这里画成二分之 a 加二分之 b 等于一啊，要保证式子横不变，乘完之后是它，这里是二，不用管这两相加大于等于二倍，根号下它两相乘， b 和 b 约掉， 他和他约掉四分之三，对吧？也就是根三，所以整个式子就大于等于二加根号三。别忘验一下，他俩相等的时候，我们验一下，就是 a 等于根三减一， b 等于三减根三啊，俩都是大于零的取得到。 所以呢，整个式子的最小值就是二加根号三结束了。所以通过这道题，我们以它为载起，带大家复习一下。首先你对基本不等式中一次负一次，或者说叫做乘一啊，这个方法有没有非常熟练的掌握啊，细节有没有熟练的掌握？第二个， 你对于函数中出现了一些长相比较抽象，你看随便给个 g 加长的长相都比较抽象，比较复杂，但是它的标志是出现了最大和最小，或者 f 负的和 f 正的，还要说它两个和，那它绝对在考 g 加长， 积加长的本质是找到那个长数，那你一定要掰着手指头想清楚找到这个长数的方法有哪些，千万不要就记一个最好处理的 f 零， 然后你会发现你的局限性会导致你确实得不到分啊，所以学一个知识学扎实。好吧，好了，那第一道题所涉及的考点咱们就复习完了，接下来在这个基础上呢，再来看两道跟基本不等式有关，要么跟 啊函数的性质有关的两道题来这道题啊，在刚才的这个不等式的基础上看一下，对于用 乘一法还行不行，算一下值吧。对，第一个是定义法，把它写成 g， 函数加常数，常数就出来了。第二个，如果在零的位置有意义， f 零就是 c。 第三个 f 负 x 加 f x， 整个式子去化解 他们的和化解完是个定值，这个定值就等于什么等于二 c 啊。好了，那这道题也是一个非常简单的，就是咱们就是其实还是在刚才一次和负一次，对吧？只是不是说每次这边是 a 加 b， 然后这边是几 a 分 之几加上几 b 分 之几，对吧？啊，有些时候呢，他就是一个一次加一个负一次，另外的只要两个式子中啊，实现了 就这种乘乘一的时候，就是你看这两个他啊，一个一次，一个负一次，或者一个是整式，一个是分式，对吧？关于 b 的， 一个是整式，一个是分式，能不能成啊？不管是 怎么样的一种搭配，只要变量之间一个是整式，一个是分式，一个整式是一个分式，能不能成还得看一个东西，看什么能不能成？看相关同一个字母的两个式子相成是不是定值。 就比如说 a 乘 a 分 之四，是不是定值？是，那 b 减一分之四乘 b 是 不是不是乘完之后是 b 减一分之四 b， 对 吧？当它不是定值的时候，不敢贸然去乘。所以当你看到了变量之间的搭配方式是一个是整式，一个是它的分式，一个是整式，一个是它的分式，都可以去 一的妙用，或者说用乘一法去解决。但是能不能直接乘就是同一个变量啊？你看这俩是一个整体，它俩相乘是不是一个定值，对吧？ 然后这是关于 a 的， 它俩相乘是不是一个定值？当它们各自相乘是定值的时候，你就可以大胆的乘起来了。那当这个奇很明显不能不能的时候，就要去凑， 那这里是 b 减一，这里是 b， 那 分母不好处理，这个整式只要去减去一，加上一就行了。所以这道题在出现它之后， 虽然说看着能成，但实质上又差那么一点点，凑一下就行了，把它凑成 b 减一，再加上一，所以接下来你给这这个整体去乘它就行了。所以要求它就是求这个式子，求这个式子呢？你给这个式子乘了个一，等于啥也没乘， 球也就结束了啊。所以说这是这种乘一的方式中的细节，复习到了，就一起给大家再过一下。然后乘完之后呢？这个一不变啊，你看这俩相乘是四，这俩整体相乘是四，四加四是八， 然后接下来这俩相乘是 a 乘 b 减一分之十六，这俩相乘是 a 乘 b 减一，他俩相加乘积也为定值，所以大于等于一不变，八不变加二倍。根号下他们相乘是多少？八加八十六，再加一 十七，对吧？整个式子就大于等于十七。最后检验一下，他俩相等的时候带回原式， a 等于二分之一， b 等于九的时候，可以取得到啊，可以取得到，所以这个就是顺顺带手，刚好再给大家复习一下乘一的情形， 不要把它掌握死了啊。就是这个知识的掌握，你还是要去配凑到他们能直接乘，不要看到就直接去乘。当 单独一个变量相关的两个相乘不是整数的时候，你乘完之后一定处理不了。好吧，好了，接下来再看下一个。那么这道题啊，来看一下，讲这道题我最终选了它，我觉得这个函数可能 你说在高考中还会出现不啊，我觉得一个比较老套的一个方式了，但是我觉得这个函数看到之后，你去处理它的，理解它，定义域，证明它的单调性，包括我们去证明它既有性的方式啊，这个方法还是挺好的，你比如说前段时间那个叫什么 七八联考的时候又考到了，就是相当于它里边用到的一个方式，对吧？叫做什么分子油理化啊， 分子有理化，我们正常的哎，我们一起来看一下它啊。首先我们说对这个棋看到之后，作为我们高一的小伙伴，对这个函数，这个符合函数呢，也要比较熟，这个符合函数三个方面的性质，你要清楚， 第一个它的定义域是 r， 第二个它一定是基函数，第三个它的单调呢？单调性跟这个底数会有关系，对吧？跟这里是加是减也会有关系，然后接下来最重要的是你要每一个会去证明。 那么接下来呢，就以它为例，它的定义域为什么是 r， 它为什么是 g 函数？怎么去判断它单调性给大家过一下，我只是觉得这是整个这个式子里边价值比较高的。首先看一下它的定义域为什么是 r， 这个就比较简单了啊，其实就是 因为根号下九 x 方，加一呢，这个式子是恒大于根号下九 x 方，那么根号下九 x 方等于啥呢？就等于绝对值三 x， 那 么绝对值三 x， 不 管它等于三 x 也好，等于负三 x 也好，就说明根号下九 x 方加一一定是大于三 x 的， 也一定是大于负三 x 的。 所以不管这里是加三 x 也好，减三 x 也好，它一定是恒大于零的，所以看到它之后，要知道它的定义域是 r。 第二，关于它的奇偶性，那么奇偶性就是写出它的 f 负 x， f 负 x 就 等于啊，就这里以十为底的啊，咱们就就就就写它的 f 负 x 呢，就等于 log 负 x 平方还是九 x 方，减三 x 就 变成加三 x， 那么正常你写成这个样子之后啊，你没见过，你很难去判断它。然后这里有一个我们很多小伙伴不太熟练或者不太擅长的变形，叫做分子油理化，因为整个你看啊，它的真数是九 x 方，加一 加上三 x。 我 们说任何一个式子呢，它其实都可以看作一个分式，分母就是一。那么我们现在分子上有根式，我们想要让它有理化的话，就要把分子上的根式给它去掉，那要去掉的话就是上下同乘以一个什么根号下减去三 x， 所以 做一个分子有理化，整个式子分母啊，就变成了根号下九 x 方，加一减三 x， 上边两个一乘的话等于它的平方，减它的平方就是九 x 方，加一减九 x 方就等于多少，就等于一，所以它分子有理化就变成了它， 然后它的倒数我们就相当于分子的什么负一次方，所以把符号提到前边，它就是负的 log。 根号下九 x 方，加一减三 x， 所以 f 负 x 等于负的 f x， 所以 这是它判断基有性的变形形式，这个变形 很有用啊，很有用，我们有些时候处理更式的一个很好的方式，或者含有更式的函数，在处理的时候，有些时候判断的单调性啊啥的会用到分子油理化。接下来我们说一下它的单调性啊，说一下它的单调性。 这个单调性的话，我们说当一个函数你知道了它的奇偶性，判断单调性的时候咋判断？或者说判断单调性的时候我们一般会， 哎，对，看半边就行啊，知道奇偶性判断单调性，我们一般半边半边看就行了。那么当然一般喜欢看零到，什么零到正无穷大的，那么看零到正无穷大的时候，首先这个函数是一个符合函数，它的外函数呢，就相当于是 log t， 内函数呢，相当于是 t 等于个根号下九 x 方加一减三 x， 那么这个外函数因为提取任何值，它都是谁呀？单增的，你只要看内函数，但这个内函数你直接看也很难看，加的话很好看，直接看出来是增的，减的时候呢，你看不出来也是一样， 分子有理化，这个式子就变成九 x 方加一加三 x 分 之多少一。 然后接下来我们说 x 啊 x， 我 们看零到正无穷大上，它俩首先都是正的，而且它俩都是增的， 这两个和也是增的，那么一个正正的函数，它整个是增的，那它的倒数肯定是什么减的，所以外函数增，内函数减，整个函数，那就是什么减的，对我们来说它就是个减函数。所以这道题我觉得就是选择它的时候比较重要的。 不是不是说我们对这个函数啊，要真的把它彻底背下来，你要应该要知道的就是它的定义域，它的基友性，它的单调性的特性，那具体是什么，你会要去 判断它的方式，你要理解清楚，因为不管是处理它定义域为 r 的 这个方式，还是证明它是基函数，还有去判断它单调性，特别在这个操作过程中，对于这个内函数，这个 啊根式做分子有理化这个过程，我觉得他很有意义啊，对未来你们处理根式会有比较大的帮助。好了，当这道题你有了这个背景知识，那要解决它非常简单了，我们说这或是一个基函数，这个或是个一，我又看到了基加长， 看到基加长之后，他的对称中心是多少啊？零一啊，那么我就知道了，这个函数他是谁啊？关于零一中心对称的 再多一点，我刚才还判断了它的单调性是什么，单调递减的，这就是它大致图像。然后我已知 f 二 a 加上 f b 减四等于二。本来你可能看到这个条件，也不知道他在说什么，难道要往解析式里边带吗？ 当你知道了它关于零一中心对称，说明这两个货什么关系，它俩肯定互为相反数，它俩互为相反数，那不就是二 a 加上 b 减四等于零吗？那就是直接告诉我们二 a 加 b 等于四，然后接下来要求这个式子会了没？ 结束了。你看这里奇个 b 啊，二 a 加四不就等于四吗？然后说 a 分 之四， b 加上四， b 分 之 a 的 最小值是多少？大于等于二倍，根号下它俩相乘结束了等于二。验一下， a 等于九分之十六， b 等于九分之四的时候取得了最值。 所以到现在为止，复习到这些呢，主要围绕积加长，然后在结合积加长的情况下，他告诉你条件的方式。那么第一道题主要是看到了最大加最小， 你要想到一定是积加长，然后告诉你求常数的三种方式，总有一个能帮你求出来。这道题的话，是一眼要能看出这个函数的性质， 这个函数在咱们高一阶段，你最好还是要像我刚才给你们科普的一样，定域就性，单调性啊，要掌握扎实，不但知道是什么，最重要的就是每一个都能正，都能推， 对吧？然后在这个基础上，当你再看到这个话就直接一目了然，一个基本不等式直接搞定，所以非常的简单啊。

今天我们继续讲天星教育的一遍过高中数学必修第一册人教 a 版， 这个是第四章啊。今天我们讲专项训练二，我们前面讲过一个专项训练一是指数函数的符合函数，大家回头翻翻那个视频，把那中间的几个题型搞会啊，那个题型跟这一节要讲的专项训练二，对数函数的符合 符合函数，这些题型一定要掌握，期末考试肯定会出这种题型。嗯，好了，我们来看第一，第一个题过专项好，专项二就是对数函数的符合 好，看第一个给谁复合？给二次函数复合啊，他说这个函数下面正确的是 f 零等于一，对不对直接带进去嘛。 f 零就等于 log 二的上面是零加二， 是不是就等于一样？所以对的 a 等于零，它是增函数，对不对？ a 幺等于零， f x 就 等于 log 二的啥？三三 x 加二，你看这个函数是 是一个增函数，对吧？所以 log 二的 t， 你 看 t 等于三 x 再加二是增的， log y 等于 log 二的 t 也是增的，所以同增一减，所以这是对的。 b 选项是对的， c 选项说 a 大 于零时，这个函数为轴对称图形，对不对？这是对的。为啥？因为这个 t 啊， t 等于 a x 平方，再加上三 x 再加上二，它是啥？它是一个对称轴吗？对吧？ 开口向上了一个轴对称图形，所以这是对的， c 也是对的。那 d 对 不对？他的值域啊？你看，又遇到这个题了吧？在前面讲过这个题值域啊，他说 a 的 取值范围是啥？好，第一个，你看 a 的 取值范围是啥？我们简单就算了啊姐， a 要是等于零的时候， 你看，尤其是遇到这个题的时候，这个端点你都检验一下就行了。 a 要是等于零的时候，人家这个函数变成几，变成 f x 等于 log， 二的啥？三 x 再加二，你看这三 x 加二是不是能把所有的 大于零的正正数全部取变？所以 a 等于零就错的啊，所以这个 d 是 错的 啊。但是我们要选一下，这个八分之九是怎么来的啊？八分之九是怎么来的？就是这个函数要取遍所有的大于零的数，就是意味着这个 t 等于 ax 平方， 是吧？加三 x 加二，首先得保证 a 大 于零，为什么你开口向上呀， 他才能有可能取遍所有的正数，对不对？你要开口向下，他怎么可能取遍所有的正数啊？首先 a， 我 要保证 a 是 大于零的。 第二点，我要保证啥？就这个函数的值域就是 t 的 值域啊。 t 的 值域是啥？开口向上，那最小值啊， t 的 最小值是几 啊？我用这种方法解啊， t 的 最小值是几？是不是四 a 分 之四 a c 四 a 分 之四 a， c 就是 八 a， 对 吧？ 减去 b 方九不是最小值吗？二次函数最小值二次函数的最小值是不是要包含零到正无穷啊？你看最小值啊，你看画个图你就知道了，零到正无穷， 这个最小值就谁啊？最小值说明这函数大于等于它，对不对？看就这样，这个位置是最小值， t 最小值，是不是这个东西要小，这是个零 啊，所以这个东西是不是要小于等于零啊？要包含它对不对？要包含它小于等于零，所以 a 就 小于等于八分之九， 八分之九是这样来的啊，所以这个值域的问题大家一定要会啊，大家一定要会。这个题错就错在他没有写这个零，如果写上零度，对的， 要必须研究。对了啊，所以这个题说完了啊，这个题直域的问题大家一定要会啊，前面我们讲过这个题，讲过这个直域的问题。好，下一个。 你看他这种解析啊，他解析是用，他是用这个这个这个横乘立正方法来解啊，这也可以，但是我解那个方法是个通法，如果这个题人家不是用不上的，你要用我的方法去解了啊，他是个子集。好，下一个 说。这个在上面恒有意义。啥叫恒有意义？就是它的真数大于零，在上面横乘立，就这样， k x 平方减去二 x 再加六，要大于零， 在二到三上啥横乘立？ 那我们把这个 t 给 k 给分离出来， k 就 大于谁啊？因为是二到三上吗？ x 平方是可以除了啊，大于负的 x 平方分之六，然后再加上 x 分 之二，所以 a 分解出来以后，我们另一个数有另一个啥数？所以这个 x 分 之一不好理解，所以说令谁啊？令 t 等于 x 分 之一， 是不是？那就是谁啊，这个就变成啥了， k 要大于解角负六 t 的 平方，然后再加个 t， t 是 啥范围啊？ t 有 三分之一到二分之一， 三分之一到二分之一，对不对？在上面横乘立，横乘立，那我们另一个这个函数，我们把这个函数当成啥？ h t 行吧， 等于负六 t 的 平方，再加上二 t 以后就它要横乘立，那是不是 k 要大于等于它的最大值，对吧？即 满足 k 小 于 h t 的 最大值。这个函数是开口向下的函数 对称轴是几？对称轴 t 等于二， a 分 负二， a 分 之 b 就是 二六一十二等于六分之一。 好，它三分之一在哪呢？三分之一，二分之一在这，所以这个最大值是几？ 最大值 m a x 的 最大值就是 h 三分之一， 对不对？ h 三分之一等于几？把它带进去啊？等于负六乘以九分之一，再加上二乘以三分之一就等于零，所以 k 就 大于零 啊，所以它求实数系数范围。故最后答一句啊， k 的 取值范围。我们去答这种简答题的时候，要规范的话，最终一定是这样啊，要规范就是啥为答一下叫零到正无穷都写成区间的形式啊。 这个答最终的结论也要写，不写会扣你分啊。好了，下一问，他说啥？是否存在实数？ k 是 得 f x 在 上面单调，且最大值为它。 嗯，是否存在？好，那我们看是不是存在啊。如果要是函数在上面单调递增，首先 f x 在 区间上，二三上有一啊，我们根据一啊，你首先得有一嘛，对不对？所以 f x 要有一。 f x 在 谁啊？在二到三上有一，哎，有一我们就知道，所以你的 k 值应该大于零， 所以它前提是 k 大 于零了啊。那这个函数我们怎么样？我们不知道它是啥，你看这个函数本身啊，我们不知道它这个 a 呀，是大于一还是小于一的， 对不对？ a 是 大于还是小于了？然后我把这个函数写出来， f x 等于 log， a 的 k， x 平方减去二 x 再加六，对不对？ k 不知道。大于小于？如果不知道，那我就来讨论 a 要大于一的时候，他说在上面递增， a 要大于一，这个函数是啥样的函数？我们 k 大 于零了啊， k 永远是这样的一个函数啊， k 的 函数 k 永远是函数，如果 a 大 于一，那这个函数就变成啥函数了，就这样，函数就 log， 这个函数变成这样的一个函数，所以这个叫啥？这边是个增的， 这边是个减的，对不对啊？所以说我们要知道在上面递增啊，函数啊，他要保证在二三上面递增， 二三上面递增。那你说这个对称轴啊，这对称轴啊，你看啊，对称轴，对称轴是 x， x 等于负二 n b 就是 开分之一，好，要在二三上面递增。二三，你说在哪呀？二三是不是应该在这？你看要递增是不是开分之一？要小于等于二，对不对？ 所以开分之一啊，要小于等于二，所以开就怎么样了？大于等于二分之一， 对不对？这个时候你的最大值是几？是不是在三处取得啊？ f x 最大值， 嗯， 我写了，跑哪了？ f x 最大值在哪取得？在三处取得， 等于几？ log a 的 结九 k， 然后再减去六，再加上六就等于几，就等于二，对不对？所以 k 就 等于九分之 a 方， 对不对？这个时候你 a 呀，你 a 不 就大于 a， 此时你看啊， a 大 于等于二分之三倍，根号二 啊，是满足的啊。符合题第二种情况， a 要是大于零小于一， a 大 于小于一，这个函数，这个叫啥？这个真数，这个函数还是开口向上看，开口向上哎，但是我们说这个对数函数已经变下了，对不对？所以说它在这边咋了？ 这边都是减，这边减，所以在这边是增，在这边是减，既然在这边是增，那就咋了？你假如说在上面单调递增，那二三在哪呢？二三就应该在这 这对称轴了。开分之一在这，开分之一咋了？开分之一是不是应该大于等于这个谁啊？三啊，所以开分之一啊。 大于等于三，所以开就应该小于等于三分之一， 但是它要大于零，对不对？因为要保证这个函数永远是开口向上，对不对？因为啥在这个？这个，呃，单调递增嘛。好好，那这个开的范围有了，那这时候啥最大值在哪取得啊？ f x 最大值 在哪取得？是不是在二的取得啊？嗯，不是在二递增，还是在三的取得？ f 三，我们看前面算过了等于几？等 log a 的 九 k 再写一下啊。这个 a 写的有点丑， a 的 九 k， 它就等于二，对不对？ 所以啥？ k 九等于九分之 a 方，我说 k， a 是 啥反， a 是 零到一嘛，对不对？ a 是 零到一啊，所以满足题啊，所以这时候 a 呀，是零到一， 这不 a 的 零到一啊，即 a a 大 于零小一，是满足了，所以，哎，他这个题是啥？他说啊，是否存在那存在中上 啊？ a 大 于等于二分之三倍，根号二或者 零小于 a 小 于一手存在 k 等于几？ a 方除以九，然后啥 满满足题啊？那反过来呀， a 要是大于一， 小于三分之二就不存在， 嗯，就行了啊，不存在开。所以说我们说，哎，这个题，这个题就是说他底数不一样，我们要讨论啊，底数要不一样，要讨论，通过讨论我们才能得到。这个啥啊？这是跟二次函数的一个复合。这个题还是稍微 有点小难度啊。有点小难度，大家回去把这个题做做，尤其是第二问。嗯，好，下面。 另外啊，另外一种类型啊，这个大家可以看看前面的可以暂停一下，可以看一下前前面的解析也行啊。也，这个我写上去了，他看不出来了。他第一问，第一问比较简单啊，主要是看第二问。 画图一样能帮助我们更快速来解这个题，所以能画图了，我们尽量去画图啊，尤其是符合函数。好，第二问是啥？你看这种符合 log， 这是不是也是二次符合啊？刚才是把真数符合二次函数，现在是把二，是把对数符合到这个 符合到这里面。说这个函数啊，说这个图像与 x 轴有两个交点，对不对？好，我们把这个函数啊分解一下啊。令梯 log 二的 x， 你 的 y 就 等于几？ t 方减去二 t 这个 s 平方可以写到这啊，二 t 减三，所以就等于几？ t 减三，然后啥？ t 加一 对不对？他说有两个焦点，你看这个根是几？这个根 t 等于三，对不对？ t 等于三，然后 t 等于负一，那不就是绕个二的 x 等于三，那 x 等于几？是不是有俩根啊？那是不是能算出来 x 对不对？ x 等于就烙个二， x 等于负一， x 等于二，二分之一吧啊，这个烙个 x 等于几？ x 就 等于烙个二三， 所以人家说，哎，这个函数有两个交点对不对？对，有两个根吗？说它的最小值，那你看这个最小值，看这个最小值啊，看 这个最小值。对称轴是几？对称轴是一，是不是？ 对称轴是一，能不能取到啊？对称轴是一， t 等于一的时候， y 就 等于一，减去二，减去三，等于负四，对不对？对的， 函数最小值，说他的最大值是四，对不对？不对？为什么呢？因为这个函数啊，你看这个函数对数，这个，这个叫啥函数啊？这个叫二次函数。是这样的， 他又符合了一个对数。函数是增函数，说明人家在这边是增，在这边是减啊，所以说这整体的函数是减，增，就所以说那最大值是减，是无穷大，没有最大值，没有最大值啊，没有最大值，所以这是错的 啊。说这个图像，关于直线 x 等于二对称，对不对啊？关于 x 等于二对称，对不对？其实这个图像啊，如果这个题啊，我们去去否决他了就说，哎，我觉得他不对，那我现在咋办？我就试俩数都行了， 是俩数，你比如说是个啥数？关于 x 等于二，关于 x 等于二。我是一个一，对不对？是一个三嘛？它俩不相等就不对，对吧？ 是不是？比如说我是俩数啊，角 f 一 等于几，这是零，这是零，是负三啊，它等不等 f 三啊？不等于 f 三， 对不对？显然不等，它是一个数，所以这就是错的。我们推翻一个结论，可以用一个，用一个啥来推翻，有个特殊值，但是你证明不了它啊，证明不了它好。第四题，这题不难啊，就选 a、 b 就 行了。 嗯，它这个没有显示出来好。这些题如果对任意的这个东西横成力呀，见到这个题不要去担心，你给它一转化，一转化你就发现这个不难啊。所以说说 f x 的 横成力，那就是谁啊？把它带进去吧，就是 log， 我 看啊， log， log 二的 x 减二，然后乘以一个 g， log 二的 x 减一，对吧？把那个，把这个，把这个， 把这个变成 log 二的 x 减 log 二就变成一了啊。所以把它拆开，然后小于二分之 m 乘以 log 二的 x， 对 不对？他说，哎，我换一个 t 嘛， t 等于 log 二的 x 啊。所以 x 十一是二到十六，那 t 就是 一到四。 既然 t 是 一到四，那这个函数就变啥了，就可以这样了。那就是 t 减二，乘以一个 t 减一，对不对？小于二分之 m 的 t， 你看，我就可以把 t 除除过去了啊。所以说叫啥啊？所以叫 t 加上 t 分 之二，再减去三，是不是小于二分之 m， 对 不对？我另一个新函数 h t 等于 t， 再加上 t 二减三，所以你的你的二分 m， 所以 你的二分之 m 是 不是应该大于 h t 的 啥最大值？ 那你算 h t 的 最大值都行了啊。 h t 最大值， h t 最大值 h t 是 啥样嘞？看对勾函数减三，你不用管它，你最后都减三都行了。 这是根号啊，他说的 t 四一到四在哪个范围呢？ t 四一到四在哪个范围？一到四看一到四 在这个范围。所以啊，所以这个函数最大值在哪取得？就是在端点取得在一这，或者说在四这取得。那我们看看一跟四谁大啊？来，我算算 h 一 等于几？ h 一 等于一，加上二减三就等于零。 h 四等于几？ h 四等于几？ h 四等于四，再加上减四分之二，再减三就等于几？二分之三，显然这是最大的吧，对不对？所以它最大嘛。所以就是 二分之 m 要大于对二分之三， 所以 m 就 大于三。你看这个题看着快吓人。所以说其实没有任何问题啊。所以答案是啥？三到周求 就完了就完了啊。这个题北师大附中啊。北师大附中还是比较有名的。名校啊。是名校啊，人大附中是排第一啊。北师大附中排后。排好，第五个说这个函数让你解不等式。 下个题第五题 好，遇到平方的东西先处理来分解因式吗？ 分解音式叫 f x 括住的平方再加。懒得去令了啊。 减四大于等于零啊。分解成 f x 加 加上三对不对？加上不是加上三加上四， 然后 f x 减去一大于等于零，所以大两边对不对？叫 f x 大 于等于一，或者 f x 小 于等于四。 小于等于负四，那就是谁啊。 log 二的 x 大 于等于一，一个它化成一个桶底叫二二，化桶底叫二二，所以 x 大 于等于二 啊。第二个叫 log 二的 x 小 于等于负四。负四也画个通底等于几？ log 二的二的负四 对吧。这不负四吗？它等于几？去掉底就推出来啥？ x 小 于等于 二的负四就十六分之一，但是它 x 应该又大于零嘞，所以答案是解，答案就是他不叫你解这个不等式吗？啊？解集不等式，解集圆 解不等式，一般我们都写成集合的形式，叫啥？ x x 大 于等于二或者零小于 x 小 于等于十六分之一， 这个不难啊。好，这个就解完了。所以说直接遇到这个平方了，我们分解一下因式，最后解俩就行了啊，下一个。嗯，第二小题还是啊，所以这个方程在区间上有解。 那就是啥啊，有且你是不是要转化成 m 等于谁？ log 二的 x 的 平方 再加上三的 log 二的 x 在 x 属于谁啊？一到二上有解，一到二上有解呀。 嗯，再另一个题，另题，另题好写啊，等于 log 二的 x x 一 到二，所以提出一些，是不是零到一啊？ 啊？ t 四零到一，那你这个函数都变成啥了？ m 就 变成几了， t 方再加上三 t 啊， t 是 属于零到一，对不对？那看这个函数是啥函数啊？开口向上， 开口向上的函数好，对称轴是几？对称轴 t 等于负二分之三，你那个零到一在哪呢？零到一，零到一在这。 好了，他说他在上面有解，那你要零到一在这，那你说这个就这个 t 啊，我另一个 t 啊，叫 h t 零 h t 就 等于 t 方再加上三 t 啊， t 是 零到二，你说这个范围是几？这个范围或者说这个东西的最小值是几？是不是在零出去的啊？ 对， h 的 最小值是几啊？ h t 在 零到一啊，在零到一，我们把它算出来，这个 h 零 h 零就是零。 h 一 是几 就等于一。加三就等于四，所以说相当于这个函数啊。这个函数啊，我重新画一个，就一到四啊，把这也画出来。你看啊，等一的时候它等于这 等于四，等于零的时候等等于这等于四的时候，它等于正，所以这个二次函数它其实就这样的。 现在 y 等于 m 是 咋回事？ y 等于 m 不 就是这个，不就表示 y 等于 m 跟 y 等于这个梯方加三 t， 它中间有交点，你看 m 是 这 对不对？那你说有解是啥？是不是 y 等于 m 与它有交点的 m 范围是解。 m 范围不就是零到四吗？所以， 所以 m 大 于等于零，小于等于四。嗯，故 m 的 取值范围 减零到四， 你看画图都行啊。所以二次函数的复合其实不难啊。好，下一个类型啊，这个二次函数会复合啊，现在他相当于给谁下一个啊？ 跟谁复合啊？跟个一次一比一型的，这个一次函数的复合。好，这一次函数的复合，我们知道一个啥东西啊， 我们下面去讲啊，科学考说这个函数，则下来结论，正确，定域是它。那很简单嘛，算一下嘛， 就 x 减三除以 x 再加一大于零，然后转化成整式不等式， x 减三乘以 x 再加一大于零，大两边对不对？一个是啥，一个是负一，一个是三， 对吧？大两边，所以 a 是 正确了，对不对？好，第二个说是偶函数，这个对不对？ 说是偶函数了，显然不对。为啥你看定义都不对称，看见没？这是错的，定义不对称，绝对谈不上偶函数啊。第三，关于一零点对称，哎，这个对不对？ 关于一零对称，你怎么知道它关于一零对称嘞？那我就造一个函数啊，我造一个函数，如果验证出来，它就是啊。关于一零对称，嗯？ 叫啥啊？照一个啥函数叫 f。 凡是关于谁对称，你都是照抽象函数照，一个 f 的 一减 x， 再加上一个 f 的 一加 x， 你 看这俩 加起来除以二就是一，如果它算出来，它就等于零，它就关于一零对称，所以这算出来就是等于零，它就关于一零对称， 他就管一零对称了啊。啊，所以说，我们说，哎，这个题凡是抽象函数算出来就行了，所以他在三到正无穷上单调递增，对不对啊？我们说单调递增的话，我们看这个函数 x 减三，说是 x 加一，先看这个函数的增，看这个函数增减。我们说这个函数增减，咋看的啊？所以用个行列式对不对？一逗号负三，一逗号一行列式咋算的啊？这样算 就等于一乘以一减去一乘以负三，是不大于零啊，它等于几？这不等于正了，它大于零，对不对？所以这就是增的。所以 t x 是 个增函数，看见没？那你 y 等于 log 三 t 啊， 也是个增的，所以他说在上面增对不对？对的，所以 d 是 对的，对吧？判断增就对了啊，所以这个题就出来了啊，下一个题。 嗯，下个题有点小意思啊，你看啊，这个，这个，这上面这个方法，大家也可以也可以学一学啊，学一学啊。但是我刚才判断那个增减性，那个方法非常简单，用一个行列式来判断非常简单啊。 好，上海这个题，若不等式小于二，它，它问你这个实数 a 的 取之范围是几啊？ 你看这个函数，首先你觉得这是个啥函数，我要给它写成这样了，它就这样了啊， y 就 等于几啊？我把它写成除法， 叫 log a 的 啥？一加 x 除以一减 x， 看没？这个定域是啥呀？定域 负一到一，咋算呢？负一 到一不就是，哎，我写到上面啊，一加上 x 除以一减 x 大 于零，不就是一加上 x 乘以一减 x 大 于零吗？然后改成啥小，中间就出来了，所以定域是这 啊，定域是这，并且这个函数啊，你要知道它的图像是最好啊。但是我们说这个函数，他说 f x 绝对值小于二，它的图像是啥样子的啊？ 好，所以我们说这个函数，并且这个函数咱们也讲过啊，这函数还是个奇函数啊，还是个奇函数。我们把它函数研究一下啊，这函数第一个静域是它，并且是个奇函数。 嗯？奇函数在什么啊？ a 要是大于一的时候，这是个增的啊？咱前面算过这个函数，对吧？这是个增的。 a 大 于一，它是个增的。 a 大 于一，这个函数是增的， 这是递增的啊，在这个负一到等于在负一到一增的。那 a 要是大于零小于一呢？ 它是减的啊，它是减的。所以首先我们通过这个函数把这个函数搞清了啊，这函数大家要记住啊，要记住，这种函数它是增，它是减的 啊，所以他说他问你这个值，你看咋算了啊？咋算他是挣，他是减，那他的解集是他，这啥意思啊？那不就是二分之一时候， x 等于二分之一的时候，那个值应该是啥小于二吗？ 啊？因为它这个函数，它的函数其实是这样的啊，这个图像其实是这样的，你看多简单， 就 a 大 于一的时候，负一到一，我们就说一整 a 大 于一是这样，那啥它干啥？它加个绝对值，就相当于翻上来，看见没？我把它滤下， 翻上来是这，翻完以后就是这，跟个二次函数有点相似。好，这个二是在哪？二是在这，所以说他说啥 来，二在二，在这，所以说他说啥？解集是这，那不就解集是这了？相当于二分之一。负二分之一到二分之一， 对不对？那就 f 二分之一等于几？ f 二分之一的时候，人家就等于二嘛，对不对？所以说，哎，我们算一个值， f 二分之一 啊，等于几啊？就等于 log a 的 一加二分之一是二分之三，再减去 log， a 的 一减二分之一就是二分之一，它等于几？它等等于 log a 的 减三， 它就等于二，所以 a 就 等于根号三，对不对啊？ a 的 值，那反过来来，如果 s 大 于零小于一来，那这函数就是减的， 减的就是把这个图反过来啊，我不画这个图了啊。就是啥， f 的 负二分之一等于二，就是 f 的 负二分之一等于二，那 f 负二分之一等于几， 就 log 二分之一减去 log 啊这是。哎呀，有个底， a 的 二分之三就是 log， a 的 三分之一等于二，所以 a 就 等于三分之根号三 a。 所以 这个题啊，这个题也是比较有意思了啊。这道题，首先你要知道这个函数图像最好了啊，这个，这道图像我们现在原来不知道，现在知道就行了啊，就这种图像啊，就跟跟一个跟一个三次函数一样啊，有点类似三次函数 啊，累三次函数，但它有渐近线啊，它有两条渐近线，一个负一到一啊，所以这个题我们都讲完了，你看这个题啊， 这大值啊，根号三或者三个根号三啊，这里面出来了几，这几个题啊，其实都不错，并且它每个题 他中间啊，都是模型题，大家要把这个题真的去做，会研究透啊，变成自己来这种知识跟能力，所以说考场再遇到这类型的题就非常的快啊，所以说，哎，我们这个课架， 这个，这个，这个是得到这个天星教育的授权的啊，包括这个一系列讲座，天星的所有的这种课程都是天星教育提供这个课教授权啊，天星教育他做这个，出这个题啊，出这个图啊，一边过这个书啊，其实是还有很有特色的啊，他过基础 就航使我们的基础能力方使我们的概念，然后过能力就在这个机场稍微去发挥一下，所以这个第一个难度系数稍微小一点，这个难度系数稍微大一点啊，过综合，包括我们过一错、过疑难。像这个题啊，其实就是我们常考的题 就得分题，还有专项这个题，尤其是这些左边这些东西，就要求大家把这个基础能力夯实，右边东西啊提高一下，然后把这个模型记住，所以说我们每一张都能把这样用这种 方法来梳理自己的知识，所以学完一课，你这一课基本上它掌握就非常好了。好了啊，今天我们就讲到这里。

我们来看一下三角函数的图像如何画， 我们首先来看一下如何用五点作图法来画出正弦或者余弦的图像。 第一，用五点法做出下列函数的图像。第小题， y 等于 c， x 减一， s 属于零到二派，那么五点法实际上也就是我们需要画一个什么呀？ 对 s 来说，在这里面呢，就分别取零、二分之派派二分之三派和二派 单位四等零对应的 c s 值分别是零一零、负一零，因为对外值来说，还需要再减去一所说外值分别是负一零、负一、负二和负一。然后我们画出来它的简图，就简单看一下就行了。 s 等零的时候， y 是 等于负一， 二分之派的时候对应的是零派的时候对应的是负一，二分之三 派对应的是负二派，对应的又是负一，然后呢，用光滑的曲线将它连起来。 在这面需要注意的是，我画的是一个草图，也就画的可能不太准确，但是呢，作为考试的时候，一般情况画到这种形状基本上也够用了。第二条题，同样的， 在这面需要注意的是，用五点的时候，咱们正常情况五点画出的是一个周期的函数，而第二函数它很明显的是一个两个周期的函数。 然后我们用五点的时候，也是先画出它一个周期的图像，然后再将它进行平移就行了。我们取零到二派的范围， 那么对应的 x 值取的也是零，二分之派派二分之三派和二派余弦对应的值分别是 一零、负一零和一，然后将这个 cos 值分别带到这里面，那对应的 y 的 值一带入的时候就是三分之二，零带入的是一，负一带入的时候是三分之四、一和三分之二。 在这里面呢，我们需要将 负派到零、负二分之负、二派到零的留出来。我们画的紧凑一些， 就是二分之派派二分之三派和二派， 负二派、负二分之三派，负派和负二分之派对应的 s 指分别是零不是三分之二， 一不对零零的时候三分之二，一的那个二分之派对应的是一，二派派对应的是三分之四。 然后一对二分之三派对应的是一，二派对应的是三分之二。所以画出来图像呢， 然后我们再把它平移到左边， 所以最终它负二分、负二派到二派的图像大致就是如图所示。

欢迎来到周志伟的高中数学课堂，今天我们学习高一必修一第五章三角函数第二节三角函数的概念我们开始本节的知识精讲。 我们从两个维度去讲三角函数的概念。首先我们用单位圆来定义三角函数，单位圆就是半径为单位一的圆。 我们假设有个从始边逆时针旋转到中边得到的角 r 法，它的中边与单元的交点是 p， p 点的坐标是 x y， 那 我们就令 p 点的纵坐标 y 等于三引 r 法， 那 sin alpha 就 叫角 alpha 的 正弦。令 p 点的红坐标 x 等于 cosine alpha， 那 cosine alpha 就 叫 alpha 的 余弦。 令 y 和 x 的 比值等于判定的阿尔法，那判定的阿尔法就叫做角阿尔法的正切。那同学们要注意，我们这里的 x y 都是带有正负号的坐标的数字，不是指这个点 p 到 x 轴或者到 y 轴的长度， 那这一点非常重要，它能帮助我们解决三角函数这一章的很多问题。那第二个维度是我们用中边上任意点 m 来定义三角函数的概念，这个点 m 默认不是圆点，因为 m 点如果是圆点的话，那角就不存在了，那三角函数也就不存在了。我们假设 m 点的坐标是 x 零 y 零。 假设中边 o m 与单位的交点是 p， 那 p 点坐标是 x y， 那 我们过 p 点和 m 点分别做 x 轴的垂线。 假设垂足分别是 q 和 n， 那 我们知道 p q 是 平行于 mn 的， 所以三角形 o p q 是 相似于三角形 o m n 的， 所以 p q 比上 p o 就 等于 m n 比上 m o， 那 此时它们四个都是三角形的边长，所以 p q 就 等于绝对值 y， 而 p o 就是 单位圆的半径。一等于 m， n 就是 y 零的绝对值， 而 m o 就是 m 点和 o 点两点之间的距离，它就等于根号 x 零平方加上 y 零的平方， 那 p 点和 m 点是在同一个象限的，所以 y 和 y 零是同号的，所以我们可以同时把绝对值直接去掉，我们就得到了 y 等于 y 零比上 根号 x 零的平方加上 y 零的平方，那 y 又是单元上点 p 的 纵坐标，它是等于 sine alpha 的， 那因此我们就得到了 sine alpha 等于 y 零比上根号 x 零平方加 y 零平方， 那如果根号 x 零平方加上 y 零平方，它等于一的话，也就是说 o m 等于一，那 m 点和 p 点就重合了，那就回到了单位圆的情况。同理，我们可以得到 cosine alpha 等于 x 等于 x 零比上根号 x 零平方加上 y 零的平方。 弹性的阿尔法等于 y 比上 x 等于 y 零比上 x 零。这就说明，对于任意一个角阿尔法，我们可以用角阿尔法中边任意一个点 m 的 坐标数字求出它的三角函数值。 而且，即使 m 点的位置发生变化，只要 m 点在角阿尔法的中边上，三角函数值就不会改变， 因为他们最终都化成了和中边与单位交点 p 和 p 点的红坐标纵坐标相关的值。换句话说，就是只要中边位置确定了，那三角函数值就确定了。 那总结一下，我们把 y 等于三平方称作正弦函数，它就等于 y 零比上 o， p 的 长度等于 y 零比上根号 x 零平方加 y 零平方。 我们已经默认 p 点不是圆点，所以根号 x 零平方加 y 零平方是不可能等于零的， 而 y 零的取值是没有限制的，所以 sine alpha 的 定义域就是 r， 那 它的值域呢？ x 零的平方加上 y 零的平方肯定是大于等于 y 零的平方的， 那么根号 x 零平方加上 y 零的平方肯定大于等于根号 y 零的平方，那根号 y 零的平方就等于绝对值 y 零。 那第一种情况，当 y 零大于等于零的时候，根号 x 零的平方加上 y 零的平方就大于等于 y 零， 那么 y 零比上根号 x 零的平方加上 y 零的平方就要小于等于一， 此时两个非负数相除，肯定是大于等于零的。那第二种情况，如果 y 零小于零的话， 那么根号 x 零平方加上 y 零的平方就大于等于负的 y 零， 那么 y 零比上根号 x 零平方加上 y 零平方就要大于等于负一， 而且是小与零的。所以三 y 法的直域就是负一到一的 b 区间， 那 y 等于 cosine alpha， 我 们叫余弦函数，它是等于 x 零比上 o p 的 长度等于 x 零比上根号 x 零平方加 y 零平方， 那同理，我们能知道，它的定义域也是 r， 它的值域也是 b 区间，负一到一， y 等于 tanthan alpha， 我 们叫正切函数，它等于 y 零比上 x 零，那 x 零在分母，所以它是不能等于零的。 x 零不等于零，也就是角 alpha 的 中边不能在 y 轴上，所以 tanthan alpha， 它的定义域就是角 alpha， 不 能等于 alpha 之 pi 加 k pi， k 属于 z， 那 除了 x 零不能等于零之外，那 x 零 y 零其他值都是可以取到的，所以 tanning alpha 的 值域就是全体实数。 三角函数的自变量是角 alpha 在 第一节我们讲过，我们通过弧度制实现了角度和实数的一一对应关系。 乘法变量也就是正弦值，余弦值、正切值也是实数，所以三角函数也是数值和数值之间的对应关系。 如果我们过第一项线的点 p 做 x， 轴的垂线，垂足是 q， 那我们就会发现，我们现在用角的中边上的点所定义的三角函数概念，和我们初中学过的直角三角形中三角函数的概念具有相通之处。比如说在直角三角形 p q 中 三 y 法就等于对边比斜边，那对边就是 p q 的 长度就是绝对值 y 零， 那斜边就是 p o 的 长度，那在第一象限 y 零是大于零的，所以此时就等于 y 零比上绝对值 p o， 那 cosine alpha 就 等于零边比斜边，在这里就等于 x 零比上绝对值 p o， 那特定的 alpha 就 等于对边比零边，在这里就等于 y 零比上 x 零。 所以当 alpha 是 锐角的时候，直角三角形中三角函数的计算公式和这里是一样的。但是我们现在用角中边上的点来定义三角函数，我们就跳出了三角函数的概念，从锐角拓展到了任意角。 我们看题目已知角 theta 的 中边经过点 p 一 负二，求 sine theta 乘以 cosine theta， 那 我们看一下点 p 在 哪里，点 p 就是 在这里。 我们假设原点是 o， 那 sine theta 就 等于 y 比上根号 x 平方加 y 平方就等于负二比上 根号一的平方加上负二括号平方就等于负五分之二，被根号五， 那 cosine theta 就 等于 x 比上根号 x 平方加 y 平方等于一。比上根号一的平方加上 负二，括号平方等于五分之。根号五， 那 sine theta 乘以 cosine theta 就 等于负五分之二，被根号五乘以五分之，根号五等于负五分之二。 好，这道题就是定义的运用来我们顺便求一下 tanne theta 吧。 tan theta 等于 y 比上 x 等于负二，比上一等于负二。那知道了三角函数的概念之后，我们来看它在各个象限的符号，我们画单位圆，任意角 alpha 的 中边与单位圆的交点 是 p， p 点坐标是 x 零 y 零，那由三角函数的单位圆定义，我们就知道三 y 法就等于 y 零， 那第一、第二项线重坐标都是大于零的，所以在第一、第二项线，正弦函数的函数值是大于零的， 那在第三、第四项线 y 零都是小于零的，所以第三、第四项线正弦函数的函数值是小于零的。 那余弦函数呢？我们画单位元，任意角 alpha 的 中边与单位元的交点是 p， 我 们假设 p 点坐标是 x 零 y 零，那 cosine alpha 就 等于 x 零， 那在第一项线和第四项线 x 零都是大于零的，所以第一、第四项线余弦函数值大于零。 而在第二和第三项线 x， 零都是小于零的。所以在第二和第三项线，余弦函数值小于零， 那正切函数值 tanthan alpha 等于 y 零比上 x 零，那在第一和第三项线 y 零和 x 零同号，所以 y 零比上 x 零是正的。 所以说第一项线和第三项线正切函数值是正的，而在第二项线和第四项线， x 零和 y 零是异号的，所以 y 零比上， x 零是负的，所以第二项线和第四项线正切函数值就是负的。 教辅资料里面给大家的口诀我不建议大家去背，我希望大家从基础概念角度去理解三角函数各项线符号的本质和原理。一开始做题的时候，不熟悉就多看一看，多想一想，慢一点没关系，等做熟了，就熟能生巧了。 接下来我们看三角函数在坐标轴的符号，还是从三角函数单位元定义去看。对于 sine 来说，如果角的中边在 x 轴上， 那么 y 零就等于零，那此时 sine alpha 就 等于零。 如果角的中边在 y 轴非负半轴，那三 y 幺八就等于 y 零等于一。 如果角的中边在 y 轴非正半轴，那此时三 y 幺八就等于负一。因为此时纵坐标等于负一。 那对于 cosine 啊法，如果角的中边在 y 轴上，那么 x 零是等于零的，那此时 cosine 啊法就等于零。 如果角的中边在 x 轴非负半轴上，那么 cosine 啊法就等于 x 零等于一。 如果角的中边在 x 轴非正半轴上，那 cosine alpha 就 等于 x 零等于负一。那对于 tanine 的 alpha， 因为 x 零不可能等于零，所以角 alpha 的 中边不可能在 y 轴上， 那如果角 alpha 的 中边在 x 轴上，那此时 y 零是等于零的，那 tanine alpha 就 等于零。 我们看例题判断符号，第一个 sine alpha 乘以 cos sine alpha alpha 属于第二象限。我们先画个图， 那 sine alpha， sine alpha 等于 y 零。我们要看纵坐标，那第二象限，纵坐标是大于零的，所以 sine alpha 大 于零， 那 cosine alpha， cosine alpha 等于 x 零。所以我们要看红坐标。第二象限，红坐标是小于零的，所以 cosine alpha 小 于零，所以 sine alpha 乘以 cosine alpha 就是 小于零的。 那第二小题三以一乘以 cosine， 二乘以 tan 的 四。我们来画图，看一下中边在哪里。好，那这里是零，这里是二分之 pi 约等于一点五七， 那这里是 pi， 约等于三点一四，那这里是二分之三， pi 约等于四点七。一。 那一弧度大概在这个位置两弧度大概在这个位置，那四弧度大概在这个位置， 那 sign 一。 我们要看一弧度中边上的点的纵坐标，那一弧度在第一象限，纵坐标大于零，所以 sign 一 大于零，那 call sign up。 我们要看两弧度中边上的点的横坐标，两弧度在第二项线， 横坐标小于零，所以 cosine r 小 于零，那 tanne 的 四。 我们要看四弧度中边上的点 x 零和 y 零是同号还是异号，那四弧度在第三项线那 x 零和 y 零同号，所以 tanne 的 四大于零， 那 sine 一 乘以 cosine， 二乘以 tan 的 四就是小于零的。好。等同学们题目做多了，做熟了三角函数，在各个象限的正负性牢记于心之后，这种题目就可以直接写出答案了。 接下来我们看诱导公式一，诱导公式有很多个，它们的作用都是把一些很复杂的角转化成简单的角，把大角化成小角，方便求值。 我们刚刚讲三角函数概念的时候，我们说过，只要中边确定了一个角的三角函数值就确定了，那换句话说，就是中边相同的角同一，三角函数值相等， 比如说 sine alpha 加上 arc pi， 它等于三引阿尔法，那 cosine alpha 加上 arc pi， 它等于 cosine alpha， 那 tending 的 alpha 加上 arc pi， 它等于 tending 的 alpha， 那 前提是 tending alpha 有 意义，那 k 是 属于 z 的。 同学们要注意，这里讲的是同一三角函数值相等， 我们不能说 sine alpha 加上二 k pi 等于 cosine alpha。 不 能这样说啊，三角函数的名字不能变。我们看这题第一题， sine 负的一零五零度， 那它就等于 sine 负一零八零度加上三十度， 等于 sine 负三百六十度乘以三加上三十度，那由此我们知道负一零五零度和三十度，它们俩中边是一样的，那它就等于 sine 三十度等于二分之一。 那第二小题， turning 的 四分之九 pi 等于 turning 的 二 pi 加上四分之 pi， 那 我们知道四分之九 pi 和四分之 pi 是 中边相同的角，因此 turning 的 四分之九 pi 就 等于 turning 的 四分之 pi 等于一。 那接下来我们看同一个角，它的不同三角函数之间有什么关系，那第一种关系叫 sine alpha 平方加上 cosine alpha 平方等于一。我们这里在 sine 和 alpha 之间写一个平方，它和 sign alpha 括号平方，它们俩是等价的，但是我们不能写成 sign alpha 的 平方，因为这样写的话，就是先算 alpha 的 平方，再求正弦函数的值。 我们来证明一下这个关系。我们用三角函数的任意点定义，那 sine alpha 的 平方就是括号 y 零比上根号 x 零平方加上 y 零平方，括号 平方加上 cosine 法平方，就是括号 x 零比上根号 x 零平方加上 y 零的平方，括号平方， 那就等于 y 零的平方。比上 x 零平方加上 y 零平方加上 x 零平方加上 y 零平方 等于 y 零平方加上 x 零平方比上 x 零平方加上 y 零平方，等于一。好证明完成。 那第二个关系叫 sine alpha 比上 cosine alpha 等于 tan 的 alpha。 我 们也来证明一下， sine alpha 是 y 零 比上根号 x 零的平方加上 y 零的平方。比上 cosine alpha 就是 x 零比上根号 x 零平方加上 y 零的平方， 那就等于 y 零比上 x 零就等于 time 的 算法好证明完成。同学们要注意，我们这里讲的是同一个角， 它的正弦与弦正切之间的关系一定要是同一个角， 然后由这两个关系，如果我们知道了同一个角的正弦余弦正切其中任何一个值，我们就能求出另外两个值了，就是之一求二。 那这两个式子有些变形我们也需要掌握。比如说三压法平方就等于一减 cos 三压法平方， cos 三压法平方就等于一减三压法平方，那开平方， 那三亚法就等于正负。根号一减 cos 亚法平方， cos 亚法等于正负根号一减三亚法的平方，那三亚法和 cos 亚法的正负是需要根据阿法所处象限来判断的。 那还有就是括号，三亚法加 cos 亚法，它的平方，它等于三亚平方加二倍三亚法乘以 cos 亚法加 cos 亚法的平方，那三亚平方加 cos 亚法平方又等于一的，所以它就等于一加上二倍三亚法乘以 cos 亚法， 那同样的括号三压法减 cos 压法，它的平方就等于三压平方减二倍三压法乘以 cos 压法加 cos 压法的平方等于一减二倍三压法乘以 cos 压法，这就是完整平方式。 那由 tanning 拿法等于三亚法除以 cosine 拿法，我们能得到三亚法。等于 tanning 拿法乘以 cosine 拿法。 cosine 拿法等于三亚法除以 tanine 拿法。那接下来给大家讲一个拓展，就是 cosine 减 cosine 法和 cosine 法加 cosine 法，它们的符号判断。 我们在平面直角坐标系中画单位圆，然后画 y 等于 x 这条线，假设它与单位圆在第一项线的交点是点 p， p 点的坐标是 x 零， y 零， 那 o p 这个中边所的锐角就是 alpha， alpha 就 等于四分之 pi， 那 由三角函数的单位元定义。我们知道，对于 p 点来说， sine alpha 就 等于 y 零， cosine alpha 就 等于 x 零， 而 p 点是在 y 等于 x 上的，所以 y 零等于 x 零，所以三衍法等于 cosine 法。所以此时三衍法减 cosine 法等于零。 那假设现在单位上有个点 p 一， 它是在二分之 pi 到四分之 pi 之间的，那我们很容易知道，对于 p 一 来说，它的纵坐标是大于横坐标的， 也就是 sine alpha 是 大于 cosine alpha 的， 也就是 sine alpha 减 cosine alpha 大 于零。如果单位圆上有个点 p r， 它是在第二象限的， 那 p r 的 纵坐标是正的， p r 的 横坐标是负的，所以 y 肯定大于 x， 所以 sine alpha 大 于 cosine alpha。 所以 sine alpha 减 cosine alpha 大 于零。那如果单位沿上有个点 p 四，它是在第四象限， 那第四象限的点纵坐标是负的，横坐标是正的， 也就是说， y 肯定小于 x 的， 也就是 sine alpha 小 于 cosine alpha， 所以 sine alpha 减 cosine alpha 小 于零。 那其他情况我就不一一缕举了。总结下就是在这个图中，黄色区域内， 就是 y and x 左边这一块区域， sine alpha 减 cos sine alpha 是 大于零的， 而在 y and x 这条线的右边区域， sine alpha 减 cosine alpha 是 小于零的。那同理，我们可以得到，在 y 等于负 x 这条线左边的区域， cosine alpha 加上 cosine alpha 是 小于零的。 在这条线右边的区域， cosine alpha 加上 cosine alpha 是 大于零的。 好，同学们，这个结论不用背，但是分析方法一定要掌握，就是利用三角函数的单位元定义法比较坐标大小。 所以我在本节最开始的时候跟大家说过，三角函数的单位元定义法非常重要，这你就体现出来了。 好，我们看例题已知，三幺法乘以 cosine 法等于八分之一， alpha 是 属于四分之 pi 到二分之 pi 之间的。求 cosine 法减 cosine 法。好，这道题很明显，我们要先求 cosine alpha 减 cosine alpha， 括号的平方 就等于一减二倍， sine alpha 乘以 cosine alpha 等于一减二乘以八分之一等于四分之三， 那接下来我们就要开平方，所以我们要判断 cosine alpha 减 cosine alpha 的 正负。 我们来看一下角 alpha， 角 alpha 是 在四分之 pi 到二分之 pi 之间的，在这个区域，那假设这是角 alpha 的 中边， 假设这个中边与单位的交点是 p 点，那对于 p 点来说， x 零是小于 sine alpha 的。 在考试中， x 零小于 y 零，这一步不用写啊，直接写 alpha 大 于四分之 pi 小 于二分之 pi， 所以 cos 加法小于三加法，这样就可以了， 那 cos 加法减三加法是小于零的，所以 cos 加法减三加法就等于负的二分之根号三。 好！下一题已知 sine x 等于负三分之一，求 cosine x， tan x， sine x 等于负三分之一， 那 x 可能在第三项线，也可能在第四项线，因为第三项线、第四项线的纵坐标都是小于零的。 由 sine x 等于负三分之一，我们知道 cosine x， 它的平方就等于一减， sin x 的 平方等于一减负三分之一，括号的平方等于九分之八。 那第一种情况，如果 x 在 第三象限，那此时 cosine x 是 小于零的，那 cosine x 就 等于负的三分之二倍根号二。 那 tending x 就 等于 sine x 比上 cosine x 等于负三分之一，比上负三分之二倍更换二等于四分之更换二。 那第二种情况，如果 x 在 第四象限，那此时 cosine x 是 大于零的，那 cosine x 就 等于三分之二倍根号二。 那 tanine x 就 等于 cosine x 是 负三分之一， 比上 cos 是 三分之二倍根号二，就等于负的四分之根号二。好！这种题目一定要记得先判断 x 的 象限，然后再分类讨论。 好，本节课的内容就到此结束了，我们下节课再见！

同学们好，欢迎来到周志伟的高中数学课堂，今天我们学习高一必修一第五章三角函数第四节和第六节，我们把这两节放在一起讲，因为这两节都是讲三角函数图像问题，我们开始第四节的知识点讲。 首先我们来看正弦函数的图像，我们还是在单位圆里面看中边从 x 轴非负半轴开始逆时针旋转， 当他转了一个圆周之后，中边就开始重复出现了，那因此我们先研究中边转一个圆周，也就是角度从零到二 pi 的情况。如果中边与矢边重合，那就是中边没有旋转，那此时角度就是零。也就是说自变量 x 此时是零，那此时函数值 sine x 也是零。因为此时中边与单位边交点的纵坐标是零，那如果中边逆时针旋转到六分之 pi 这个位置， 那此时函数是 y， 就是 sine， 六分之 pi 等于二分之一，此时角的中边与单位边交点的纵坐标就是二分之一， 那如果中边逆时针旋转到二分之 pi 这个角的位置，那此时函数值 sign 二分之 pi 就 等于一。此时角的中边与单位边交点的纵坐标就达到了最大值。 那如果中边继续逆时针旋转，旋转到二分之三 pi 这个位置，那此时对应的函数值就是负一，此时角的中边与单元焦点的纵坐标达到了最小值。 我们之前学过，对于零到二 pi 之间的任意一个角，它的中边与单元的交点都是唯一确定的，焦点的纵坐标就是正弦值，也是唯一确定的， 那我们就以角的弧度作为红坐标，以正弦值作为纵坐标，在平面直角坐标系中画图，那此时我们得到的就是正弦函数在零到二 pi 这个区间的图像。 在这个图像中，我们尤其要关注五个点，当 x 等于零的时候， y 等于零，就是三 x 等于零。 当 x 等于二分之 pi 的 时候，三 x 等于一。当 x 等于 pi 的 时候，三 x 等于零。 当 x 等于二分之三 pi 的 时候，三 x 等于负一，当 x 等于二 pi 的 时候，三 x 等于零。 也就是三个是正弦函数与 x 轴的交点，还有两个，一个是最高点，一个是最低点，就是零到二 pi 这个区间的最大值点和最小值点。 那在零到 pi 区间，三 x 图像像一个山峰，而在 pi 到二 pi 区间，三 x 图像像一个山谷，那有这五个点以及山峰山谷这样的图像趋势，我们就可以大致的画出三 x 图像。 这种作图方法我们叫五点画图法，那中边旋转到二 pi 之后，再继续逆时针旋转的话，那中边就开始重复出现了， 那由公式一，我们知道 sine x 加个 pi 等于 sine x 以 k 等于一为例， 如果 x 小 于等于二 pi 大 于等于零的话，那 x 加上二 pi 就 小于等于四 pi 大 于等于二 pi， 那对于零到二 pi 之间的任意的 x 再加上二 pi 之后，函数值是相等的，那我们就把三 x 在 零到二 pi 之间的图像复制一份，放到二 pi 到四 pi 这个区间内， 那我们就得到了二 pi 到四 pi 之间的正弦函数图像。比如说 x 等于二分之 pi 的 时候， 它和 x 等于二分之 pi 加二 pi， 就是 这里二分之 pi 加二 pi， 它们两个点的函数值是相等的，就是相当于平移，那 k 是 任意整数，那因此零到二 pi 之间，图像就不断地重复出现，那这样形成的波浪的图形，我们就叫做正弦曲线。 那由求导公式我们知道， sine x 加二分之 pi 等于 cosine x， 那由 sine x 到 sine x 加二分之 pi， 就是 把三 x 图像向左平移，二分之 pi 二分之 pi 左加右减，那我们把这样得到的图像就是图中的蓝色曲线，称作鱼弦曲线，鱼弦曲线就是鱼弦函数的图像。 对于余弦曲线，在零到二 pi 之间，我们要关注的五个点是， x 等于零的时候， cos 等于一， x 等于二分之 pi 的 时候， cos 等于零。 x 等于 pi 的 时候， cos 等于负。一 x 等于二分之三 pi 的 时候， cos 等于零。 x 等于二， pi 的 时候， cos 等于一。 那接下来我们看正弦函数和余弦函数的性质，第一个性质叫周期性，先看下周期性的定义，一般的设函数 f x 定义域为 d， 如果存在一个非零的常数 t， 第一个关键词，非零的常数 满足对于每一个 x 属于 d 都有 x 加 t 属于 d。 第二关键词，每一个 若 f x 加 t 等于 f x， 这是第三个关键点，那么称函数 f x 为周期函数，非零常数 t 称为 f x 的 周期，那此刻我们就要再写诱导公式一了， sin x 加二 k pi 等于 sin x， 那 由周期性的定义我们知道，在二 k pi 不 等于零的时候，这个二 k pi 就是 正弦函数的周期。 二 k 牌，那余弦函数也是一样的，那 k 不 能等于零，当然 k 也是整数， 那 k 不 等于零的话， k 可以 是一，那周期就是二排， k 等于二，那周期就是四排， k 等于负，一周期就是负二排。这些都是三 x 和 cos x 它们的周期，所以周期可能不止一个， 但是其中最小的那个正数就叫最小正周期，那三 x 和 cos x 的 最小正周期就是二 pi 就是 k 等于一的时候， 那最小正周期反映在图像中就是两个重复出现的片段，重复点的最小间隔，或者说最短隔多长距离重复点就出现了那正弦上数的图像。零到二 pi 这个片段是一直在重复出现的，那重复点之间的最小的间隔就是二拍， 所以三 x 最小正周期就是二拍。那三角函数的周期性就体现了我们之前从中端旋转角度去看待问题时候所说的周而复始旋转复现的这种思想， 就是零到二 pi 之间的角加上周期二 k pi 之后，函数值又相等了。 那还有一点，虽然我们在探讨正弦曲线和余弦曲线的时候，我们是把零到二 pi 这一段出使区间图像不断地复制，不断地延伸， 但是我们也可以选择负派到派这一段图像来进行复制和延伸。我们也可以选择负二分之派到二分之三派 这一段图像进行复制和延伸。也就是说只要是任意的二派长度的区间都可以，因为二派长度是最小重复片段的长度， 然后再加上周期，就是让图像复制延伸，都能得到正弦曲线和余弦曲线。 我们看例题，第一个画出 y 等于绝对值 cosine 图像，并指出它的周期同样要注意，一般不加说明，我们说的周期就是指最小正周期。 那第一题，我们先画 y 等于 cosine x 图像， 这是 y 等于 cosine x 的 图像，那由 y 等于 cosine x 到 y 等于绝对值 cosine x， 我 们怎么画？ 我们就是把 cosine x 图像函数值为负的部分，让它关于 x 轴对称，把它函数值变成正的。 好，那就这样，那现在我们要看他的最小正周期，那最小正周期就是重复片段中重复点的最小距离吧。哎，我们看 这个就是一个重复片段，此时只有一个山峰，没有山谷了。那重复点的最小距离， 哎，就是 pi， 这个是我们从图像中看出来的。那我们再来验证一下绝对值 cosine x 加 pi 等于绝对值负 cosine x 等于绝对值 cosine x， 所以绝对值 cosine x， 它的最小正周期就是 pi。 好， 第二个问题， f x 等于二，是周期函数吗？ f x 等于二，它就是一条直线， f x 等于二，那 f x 加上任意一个 t 都等于二，就是等于 f x， 那 t 是 可以不等于零的，所以 f x 等于二，它是周期函数，任意一个非零时数都是它的周期，但是它没有最小正周期，因为我不知道最小的正时数是哪一个。 引入了周期性的概念之后，我们来正式总结正弦函数、余弦函数的性质。第一个是周期性，正弦函数，余弦函数最小正周期 t 等于二 pi 奇偶悴 sine f x 等于负三 x， 所以 三 x 是 奇函数，而 cosine 负 x 是 等于 cosine x 的， 所以 cosine x 是 偶函数。 那单调性，在讨论三 x 单调性的时候，我不看零到二 pi 这个区间，为什么呢？同学们，看图，如果我讨论零到二 pi 这个区间，为什么呢？同学们，看图，如果我讨论零到二 pi 这个区间， 那三 x 在 零到二派上的单调递增区间是零到二分之派以及 二分之三派到二派，那这就是两段区间了，不方便书写和运算。 那如果我看负二分之 pi 到二分之三 pi 这个区间呢？那区间长度也是二 pi， 那 三 x 的 单调递增区间，此时就是 负二分之 pi 到二分之 pi 单调递减区间就是二分之 pi 到二分之三 pi， 然后都加上周期二和 pi， 这样就比较方便运算 那 cosine x 的 单调性。我们就看零到二 pi 这个区间，在零到 pi 这个区间上， cosine x 是 单调递减的，在 pi 的 二 pi 这个区间上， cosine x 是 单调递增的， 然后再加上周期啊，那三 x cos x 的 定义域都是 r， 值域是负一到一。这个之前在讲三角函数概念的时候已经讲过了， 大家注意，由周期性可以知道，三 x cosine x 定域中有无数个点，它们的函数值都是最大值，那在三 x 中，这些点就是二分之 pi 加二 k pi， 那 在 cosine x 中，这些点就是二 k pi， 那三 x 和 cosinex 定律中有无数个点可以取到最小值负一， 在三 x 中，这些点就是负二分之 pi 加二 k pi， 那 在 cosinex 中，这些点就是 pi 加二 k pi。 再来看对称性，由图我们可以看出，对于 cosinex 来说， 二分之 pi 是 它的对称轴，那二分之 pi 向左移动 pi 或者向右移动 pi 以及 pi 的 整数倍都是三 x 的 对称轴， 也就是最高点，最低点所在的那个竖线。那三 x 和 x 轴的每个焦点都是它的对称中心，也就是 kpi 零。 那对于 cos 来说，那 kpi 所在的竖线就是它的对称轴， 也就是 cosine x 的 最高点，最低点所在竖线。那 cosine x 图像和 x 轴的每一个焦点是它的对称中心。 所以 cosine x， cosine x 它们对称轴，对称中心都有无数个。 以上这些性质啊，都不用专门去记，画画图看一看就知道了。那我们再来看 tiny x 的 图像和性质。我们用电脑画出 tiny x 的 精确的图像，正切函数的图像就叫正切曲线， 那由 tiny x 加 pi 等于 tiny x， 我 们就知道正切函数的周期是 pi， 也就是说，我可以把 tiny x 在 负二分之 pi 到二分之 pi 这一段图像不断地复制延伸，就得到了正切曲线。而且相邻两段图像之间的最小距离是 pi， 那 tiny 的 负 x 等于负 tiny x， 所以 tiny x 是 积函数。 那 tan x 定义域 x 是 不等于二分之 pi 加 k pi 的。 那每一条二分之 pi 加 k pi 这样的直线，就是我们这里图中的蓝色的线， 都叫 tan x 的 渐近线，渐近线就是逐渐靠近但不会有焦点的线， 那 tan x 的 值域是 r。 再看单调性，在每一个负二分之 pi 加 k pi 到二分之 pi 加 k pi 之间， tan x 都是单调递增的。 注意啊， tannex 是 间断的，我们不能说 tannex 在 整个定域上单调递增，我们只能说在每一个区间上单调递增。再来看 tannex 的 对乘中心。 首先呢，每一段 tannex 和 x 轴的交点就是 k pi， 零都是它的对乘中心。 那其次呢，一段图像与另一段图像之间的分隔线就是渐近线，它与 x 轴的交点，那这里的 a、 b、 c、 d 就是 二分之二 k 加一 pi， 零也是对称中心，那综合一下，就是对称中心，是二分之 kpi 零。 接下来我们看个例题，求函数 f x 等于根号二倍 cosine x 减一，它的定义域 f x 是 个二次根式，所以被开方数要大于等于零，所以二倍 cosine x 减一，要大于等于零， 所以 cos x 要大于等于二分之一。那接下来我们画 cos x 在 二 pi 长度内的图像，此时啊，我不选择零到二 pi 这个区间，我选择负二分之 pi 到二分之三 pi， 那 cos x 要大于等于二分之一 y 等于二分之一， 那 cosine x 大 于等于二分之一，就是 cosine x。 图像要在这条直线的上方，那直线 y 等于二分之一。和 cosine x 的 焦点 红坐标分别是三分之 pi 和负三分之 pi， 那 cosine x 要大于等于三分之 pi 大于等于负三分之 pi。 然后我们再加上周期，加上二 k pi， 加上二 k pi 是 属于 z 的。 好解。这种题目啊，就是先看在任意一个二 pi 区间内的解，然后再加上周期进行拓展。 那在二 pi 长度的区间的选择上，我们要尽量让方程的解集中在一起，这样比较方便计算，尽量不要分成两段。那我这里选择负二分之 pi 到二分之三 pi， 我 就是让方程的解是一段。 好，第四节的内容就讲这么多，我们先休息一下，然后我们再讲第六节 a、 b sine omega x 加 pi， 它的图像。

好，同学们，那么从今天开始呢，我们一起来学习复杂函数怎么样去求它的值域，那么一起来看这样一道题。那首先告诉你了函数 f x， 它的表达式已经给了 sine 加 cosine 比上它俩的乘积， 那么现在又告诉了 f x， 它在零到二分之派上问它在这个区间上，它的最小值是多少？那首先我们先要想一下，怎么样去求一个函数的最值，对吧？在我们现在这个阶段，有哪些思路能够帮助我求最值呢？ 那首先第一个思路，只要我能知道函数它的单调性，那举个例子，比如说一个函数，它是先增后减的，那么好，它的最大值一定在这里，那如果说一个函数是先减后增的，那么它的最小值呢？一定出现在这个位置，没问题吧？好，这是一个思路。那么第二种思路呢？是还原它的图像， 如果说我能知道一个函数，它的图像，哎，长这个样子，那么从图中呢，我就可以得到一个最为直观的反馈了，最大在这里，最小呢？是不是在这里啊？ ok， 那 么我们回头来看一下这道题， f x， 它的图像也好，单调性也好， 哪一个好找呢？是不是你发现好像都不太好找，对吧？那么这类函数呢，就被我们称为复杂函数，因为如果说你直接从性质上分析的话，好像哪条路都走不通，那么解决它是什么思路呢？通过换元对吧？把它换成我们所熟悉所认识的函数就可以了， 那么怎么来换呢？这里就涉及到三角函数里面一个比较冷门的知识点了，和差积换元这块的话呢，是正弦和余弦的，和这块的话呢，是正弦和余弦的乘积， 那么同样呢，还有正弦和余弦的差，他们三个可以说是一对，对吧？只要我能知道其中的一个，那么剩下两个呢，我都可以通过换元把它表示出来，那这个是怎么操作的呢？首先它叫和差积换元，好，那么 他的性质呢？我知一知全，对吧？只要知道其中一个，那么剩下两个都可以知道，那么这个依据是啥呢？也就是我们三角函数里面一个最为重要的性质了，三 x 平方加上 cosine x 平方，等于一 对吧，所以说你看到这个式子在结合上面的换元，你大概就能猜出来。哦，原来我们是想通过完全平方哎，去使用这个一来去替换他，那比如说我现在知道了他俩的和，我想通过和来表示积，怎么来表示呢？ 我是不是只需要给他做一个完全平方呀？那么这里平方出来自然会出现 sine alpha 的 平方，加上 cosine alpha 的 平方，再加上二倍的它俩相乘，没问题吧？那么前面这段呢，就可以被我们改写成一，哎，这么一来，它俩是不是就会出现一个代换关系啊？ 好，那么现在呢，如果说我知道他俩的差，我想通过差来表示 g， 是 不是一样的道理啊，对吧？也是进行一个完全平方，那么左边就会变成 sine 的 平方，加上 cosine 的 平方，再减去二倍的，它俩相乘 啊，那么前面这段呢，又可以被我们写成一了，没问题吧？两者之间又发生了一个互相可以替换的关系了， 好，那么走到这一步之后呢，我们是不是该回归刚那道题了？但是回归之前呢，我们先来想一下刚刚那道题，它好像问的是何比基加 cosine， 比上 cosine 乘 cosine， 那么现在就会面临一个选择，我到底是通过和来表示鸡，还是说通过鸡来表示和呢？对吧？他俩出现在这样一个式子里面，我既可以通过和来表示他，我也可以反过来通过他来表示他两种选择，那么我们来想一下，到底应该选谁来表示谁呢？ 那如果说想不明白的话呢，我们其实可以简单试一下，我就可以设它是 t 没问题吧？它如果是 t 的 话呢？那么这个基我们需要的基是不是梯方就等于一加二倍的它俩的基啊？那么基就可以被我们表示成 梯方减一再除以二，它是唯一且确定的，没有任何问题，对吧？这种换元方式你感觉换下来非常的顺， 但如果说咱们换一边的话呢，我如果说射他，哎，射他是谁？射他是 m， 好， 那么一加二 m 就 等于谁呢？就等于我们需要的和的平方， 好，我现在需要用七来表示和了，那么和表示出来问题来了，和等于谁呢？和等于正负根号下二 m 加一，虽然说也能表示吧，但是你发现这里他不是唯一确定的，对吧？他又可正又可负，那么这里就会带来问题， 所以对我们来说呢，如果说我可以通过和和差来表示基，那肯定是最好的结果，因为表示出来这个东西呢，它是唯一且确定的。 ok， 那 么再回到咱们刚那道题里面， 知道这个换元方式之后啊，我们也要注意，对吧？很多时候呢，这个二位的 sin 乘 cosine， 它会写成啥啊？它会通过一个二倍角公式写成 sin 二而法， ok 吧，它也有这样的表达方式，那么我们如果说遇到和与这个或者说差与这个，也要及时反应过来哦，这里也是一个和差积的画圆， ok， 那 么回到刚那道题，现在既然已经确定了通过和来表示积，那么我就果断设它为和再推一遍，怎么表示呢？左右两边同时给一个完全平方 t 方呢？就等于三 x 平方加上 cosine x 平方，再加上二倍的我们需要的乘积， 没问题吧？那么前面这段呢，就可以被我们统一替换为一，那么我们需要的这个 sin 乘 cosine 就 被表示成了二分之 t 方减一，那么把这些新元通通带回到原式中呢，就变成了我要求它的最小值， 那么我要求它的最小值，我还要知道啥呀？是不是我还需要知道这个 t 的 范围啊，对吧？因为咱们换元是一个一系列的操作，不能说你把这个新元带进去了，但这个新元到底是个啥，你不管它， 所以说在这里呢，我们还要去计算一下 t 的 范围，那么 t 既然等于 sine x 加 cosine x， 它的范围怎么算呢？辅助角公式对吧？我在这里可以提取一个根号二，那么括号里面就会变成二分之根号二倍的 sine x 加上二分之根号二倍的 cosine x， 那 么括号里面合并一下，就得到了 sine x 加上四分之 pi， 没问题吧？先把它写成这个样子， 那么好，既然它的区间是在零到二分之派，也就说呢，中间这一坨，我如果设它是 m m 的 范围是不可以确定下来是在四分之派到四分之三派。好，那么画一下这个三 e m 的 图像吧，对吧？三 e m 长啥样呢？是不是长这个样子？ 好，那么既然 m 的 范围是在四分之派到四分之三派，这里是四分之派，这里呢是四分之三派，也就说呢，我们能取到哪一段呢？我们能取到这两段中间所夹的这一段，没问题吧？那么你要求它的范围，它的 t 的 范围是不是最大可以取到这个点最小呢？也就是四分之三派或者四分之派所对应的这个端点，所以说呢，我让中间这个 m， 让它是四分之派，可以取到最小值 m 的 范围，二分之根号二，对吧？因为三以四分之派是二分之根号二， 那么如果说取到二分之派呢，他所对应的是最大值，所以说呢，最大值为一，当然这里要注意了，是一个前开后闭，因为四分之派和四分之三派我通通都取不到，对吧？但是这个二分之派呢，我是可以取到的。 ok， 那 么三 em 的 范围有了，再把它带回这个式子里面， t 的 范围是不是就出来了？ t 的 范围是在一到根号二，前开后闭。 好，那这块的话，主要是一些计算以及细节上的问题，那么我希望大家在计算中能保证一个，就是不要出这种小的错误。 好，那么 t 的 范围有了，我们来看一下这个式子怎么样去求它的最值呢？我们说啊，去认识一个分式，对吧？往往通过两方面去看，一，一是看他是不是单向式，对吧？单向式的话，有单向式，尽量想着去同除，那么如果说他没有单向式的话，我再去看一下他到底是不是一个其次式。 那如果是奇次矢的话呢？又有一些关于奇次矢的处理思路，那我就发现，哎，由于分子这里是个单项式，那么好，你要求它的最值怎么办？ 同除，对吧？我分子分母同除一个 t， 我 让它的所有未知数全部都放在分母上，那么也就说呢，我要求它的最小值，也就相当于我要求这个分母的最大值，是不就完事了？哎，所以说，为什么要同除啊？同除就是为了让他未知数的位置更加集中， 那全都放在分母上，我只需要去看分母的最大值就可以了。好，那分母最大值怎么看呢？ 哎，这个函数对吧？ t 减去 t 分 之一，一个递增的函数，减去一个递减的函数，那么这个分母呢？它整体的单调单调性是不是有了呀？它整体单调性一定是一个 递增的，对吧？我要找它的最大值，那么肯定是把谁带进去啊？是把根号二带进去啊。 所以说呢， t 减去 t 分 之一，它的最大值也就等于根号二。减去二分之根号二，那么最大值为二分之根号二， 没问题吧？那么二比上二分之根号二等于多少呢？是不是就等于二倍的根号二？所以说整体这个 y， 它的最小值二倍根号二结束了。

百分之九十的同学容易做错这类题型，原因在于没有掌握做题的技巧。那咱们今天就分享一下做这类题型的技巧。第一个是判断函数的奇偶性， 第二步呢，就是可以用特殊指法。 咱们先看题目，函数在这里，所以呢，因为 f 负 x 是 等于负四， x 除以 x 平方加一，那很明显是等于负的 f x， 所以呢，这个 f x 是 一个奇函数，奇函数图像关于原点对称，把 c d 就 排除了。那接下来 a 跟 b 到底选哪个呢？用特殊指法 f e， 因为 f e 是 等于负四， 把四除以一加一等于二大于零，所以呢，这道题就选 a， 把 b 也排出来。关注我，了解更多的高中数学。

来，这次我们来看一下这道题，已知 f x 等于 logo 三， a 减二 x 分 之三加二 x， 其中 a 是 大于零，且这个函数为奇函数。 第一问，求 a 的 值及 f x 定义 a 的 值。呃，首先，我们要知道，奇函数的定义是 f x 负 f x 等于 f 负 x， 那我们就可以得到带入负的 logo 三， a 减二 x 分 之三加二 x 等于 logo 三的 三减二 x 分 之 a 加二 x。 这边呢，是可以转化为 logo 三的 a 减二 x 除以一个三加二 x 等于 logo 三的。你字写好点吗？三减二 x， a 加二 x， 所以我们就可以得到这两个数是相同的。嗯， a 减二 x 分 之。呃，除以三加二 x 是 等于三减二 x 分 之除以 a 加二 x， 所以 可以得到 a 是 等于三，所以这是因为， 哎， f x 就 等于 logo 三的三加二 x 除一个三减二 x， 嗯，我们来来求定义。首先，我们要知道这个是大于零的，嗯，三减二 x 除一个，三加二 x 大 于零。嗯，还有一个非常重要的就是它的分母不能等于考试时候 y 一， 你没把这个写上，那就要扣分了。嗯，呃，所以呢，我们就可以得出来三加二 x， 三减二 x 是 大于零了，我们可以在这画一个图， 就是负二分之三。我们还有一个必须要明确一点的，就是他开开头到底是朝上还是朝下的，但是从这里可以看出来，他的二次二二次项那个系数的二次项系数为负数，所以他是靠开口朝下的。 所以呢，它大于零的区间位置就是 x 大 小于二分之三大于负二分之三。其次， x 是 不能等于 二分之三的，这里已经包含了，所以它的定义就是 x 在 负二分之三到二分之三之间。嗯，再来看第二个 f 二 x 减三，加上 f 三 x 减二是大于等于零的，我们把它转换一下，移向一下， 因为它是个奇函数，所以呢， 嗯，是这样的。对，首先我们，我们要练一个方程，它们俩必须是在它的定义内值 定义于内之间了。所以呢， f 减三是小于二分之三，大于负二分之三的二减三， x 是 小于二分之三，大于负二分之三。其次也是最重要的一点，它 logo 三 a 三是大于一的数，所以呢，它的图像是为三大于一。你这呢？这样子的，啊啊啊，它图像是为这样子的，所以它是个递增函数，所以二 x 减三大于等于二减三 x。 最后就可以得出 x 是 在一到六分之七之间。对，嗯，办明白。

接下来我们讲必修一第五章三角函数第六节 a， b， c in omega， x 加 five 的 图像，就是对三 x 图像进行图像变换。 首先我们看 a 对 a， b， c in omega， x 加 five 它的图像的影响。我们假设 a 大 于零， 我们用电脑画出精确的函数图像，先看上面这个红色的表示三 x， 蓝色的图像表示三倍的三 x。 我 们取一个特殊点来看，我们取 x 等于二分之 pi， 那三 x 就 等于 sine 二分之 pi 就 等于一，那三倍三 x 就 等于三倍， sine 二分之 pi 就 等于三， 那同一个 x 对 应的 y 值变大了，所以 a 大 于一的时候，就是把这个三 x 图像上下拉伸， x 是 不变的。再看下面这个图，我们还是取 x 等于二分之 pi， 那 sine x 就 等于 sine 二分之 pi 等于一，那零点三倍 sine x 就 等于零点三倍， sine 二分之 pi 等于零点三，那就是同一个 x 对 应的 y 值变成了原来的零点三倍。 所以 a 小 于 e 的 时候，就是把三 x 图像上下压缩。那我们从图像中可以看出来，这种上下的拉伸和压缩不会影响函数的周期， 周期还是二派，也不会影响单调区间，只会影响最大值和最小值。就是说 x 值不变， y 值变成了原来的 a 倍。 那 omega 对 这个图像有什么影响呢？我们先默认 omega 大 于零，我们看上面的三 x 和 sign x， 我 们取同一个 y 等于一， 那对于三 x， 当 x 等于二分之 pi 的 时候， sin 二分之 pi 等于一。但是对于 sin 二 x， 当 x 等于四分之 pi 的 时候， 那 sin 二 x 就 等于 sin 二，乘以四分之 pi 等于一，这就是说啊，取得相同的 y 值， sign 二 x， 它的红坐标的值是 sign x 红坐标值的一半，那就是 omega 大 于的时候，函数图像左右压缩， 那左右压缩会导致函数的周期发生变化。对于 sign x 来说， 零到二 pi 区间，山峰出现一次，山谷出现一次。但是现在对于 sine x 来说，在零到二 pi 区间内， 山峰出现了两次，山谷也出现了两次，图像已经开始重复出现了。那有图可知，此时的 sine x 最小正周期就是 pi， 那此时的周期可以这么计算，就是 t 除以欧米伽，那就等于 r， pi 除以 r 等于 pi， 也就是说， omega 大 于一，图像被压缩，重复出现的周期就是原来的 omega 分 之一，重复出现的周期变短了，那由图可以看出来，单调区间也被压缩了。 我们再看下面的这个， sine x 和 sine 二分之 x， 取同一个 y 等于一，对于 sine x 来说，当 x 等于二分之 pi 的 时候， sine 二分之 pi 等于一。但是对于 sine 二分之 x， 当 x 取 pi 的 时候， 那 sine 二分之 x 等于 sine 二分之 pi 等于一。这就说明啊，此时取相同的 y 值， sine 二分之 x， 它的红坐标的值是 sine x 红坐标值的两倍， 那就是 omega 等于二分之一的时候， y 值不变， x 值拉伸成原来的两倍， 那此时函数的周期就是 t 除以 omega 等于二， pi 除以 二分之一等于四， pi， 也就是 omega 小 与一。图像被左右拉伸了，重复出现的间隔变长了， 那函数单调区间也被拉伸了。那总结一下，这种左右的压缩和拉伸不会影响 y 的 最大值和最小值，但是会影响函数的周期，会影响单调区间。我们再来看 phi 对 图像的影响。 我们先对比上面的三 x 和三 x 加一，那三 x 加一就是把三 x 向左平移一个单位， 左加右减，函数的最值不会受到影响，函数的周期不会受到影响，但是函数的单调区间会发生变化，单调区间也相应地向左平移了。 再看下面的三 x 和三引 x 减一，三 x 减一就是把三 x 图像整体向右平移一个单位， 函数的最值不会受到影响，函数的周期不会受到影响，但函数单调区间也相应地被向右平移了，那 five 就是 对 x 的 左加右减。 同学们一定要注意，左加右减是针对 x 而言的，这一点特别重要。 知道了 a、 omega、 five 三个元素对函数图像的影响之后，我们再来看一下三角函数的图像变换。三角函数图像变换其实就两种，一种叫平移，一种叫伸缩。那伸缩又包括上下伸缩和左右伸缩。 如果我们先进行平移后进行伸缩，那从 sign x 到 sign x 加 five， 就是 对 x 的 左加右减， 然后我们再伸缩。我们先左右伸缩就是先看 omega， omega 大 于一就是左右压缩， omega 小 于一就是左右拉伸， 那左右伸缩之后，同一个纵坐标，它对应的红坐标变成了原来的 omega 分 之一。 那接下来我们再上下伸缩， a 大 于一就是上下拉伸， a 小 于一就是上下压缩，那上下伸缩之后，同一个红坐标，它对应的纵坐标就变成了原来的 a 倍。 看下面这个实际例子，由三 x 到三 x 加一，就是把三 x 图像向左平移一个单位。 由 sine x 加一到 sine r， x 加一，就是左右压缩，就是同一个 y 对 应的 x 变成了原来的二分之一。 那由 sine x 加一到三倍 sine x 加一，就是上下拉伸，同一个横坐标对应的纵坐标变成了原来的三倍。 但是如果先进行伸缩，后进行平移呢？那由 sine x 到 sine omega x 就是 左右伸缩，那就是同一个纵坐标对应的红坐标变成了原来的 omega 分 之一。 那由 sin omega， x 到 a 倍 sin omega， x 就是 上下伸缩，那同一个红坐标对应的纵坐标变成了原来的 a 倍。 那由 a 倍 sin omega x 到 a 倍 sin omega x 加 five。 同学们需要注意了，此时是左右平移，平移的大小是 five， 除以 omega， 因为这个 a b sign omega x 加 five， 它是等于 a b sign omega 括号 x 加上 five 比上 omega。 好，我们说左右平移是对 x 进行平移啊，这里 x 后面加上的是 five 比上 omega， 所以 我们就要平移 five 比上 omega， 这个是个易错点，同学们一定要掌握。 那看下面这个例子，还是刚刚那个例子，我们调整了图像变化的顺序，我们第一步由三 x 到三 x， 就是 把三 x 图像左右压缩，那同一个 y 值对应的 x 值变成了原来的一半。 那由 sine x 到三倍 sine x 就是 上下拉伸，就是同一个 x 对 应的 y 值变成了原来的三倍。 那由三倍 sine x 到三倍 sine x 加一，这里的 x 加一是等于二倍。括号 x 加二分之一， 所以要把三倍 sine 二 x 向左平移二分之一个单位。同学们看向左平移二分之一个单位， 我们刚刚先平移后压缩的时候，我们是先平移一个单位，再压缩一半， 所以实际上还是只平移了二分之一个单位。而现在我们先压缩最后一步平移，那我们只需要平移二分之一就行了，那最终的结果都是一样的。好，这样用图像解释是不是很直观？ 那此时我们用五点画图法的话，我们就是把 omega x 加 five 看成一个整体，再念这个整体等于三 x 五个特殊点的红坐标零二分之 pi pi， 二分之三 pi 二 pi， 然后解出 x 作为红坐标，那纵坐标还是三个零，以及最大值 a， 最小值负 a， 然后我们瞄点连线，画出一个最小重复片段的图像，然后再利用周期性进行拓展。 我们来总结一下 a 被 siing omega x 加 five， a 被 cosine omega x 加 five， a 被 tanning 的 omega x 加 five。 它们的性质。首先它们的最小正周期都是原来周期除以绝对值 omega， 那 对 tanning x 来说就是 pi 除以绝对值 omega omega 带个绝对值是保证最小正周期都是正的值。再看奇偶性，先看 sign， 当后面的 five 等于 kpi 的 时候， 那 abby sine omega x 加 five 用诱导公式化简之后，它要么等于 abby sine omega x， 要么等于负的 abby sine omega x， 反正都是跟 sine omega x 相关的，所以它是奇函数 啊。如果 f i 等于 k pi 加二分之 pi， 那 除了 k pi 之外多了一个二分之 pi， 那 在化简之后，三角函数名称需要改变，最后会化简成一个正负 a b cosine omega x， 那 就是偶函数。 那同理，对于 cosine， 当后面的 phi 是 k pi 的 时候，那 a 被 cosine omega x 加 phi 化简之后，就是等于 正负， a 被 cosine omega x， 反正都是跟 cosine omega x 相关的，所以它是偶函数。而如果 phi 等于 k pi 加二分之 pi， 那 除了 k pi 之外多了一个二分之 pi， 那化简之后，三角函数名称就要改变，最后会变成一个正负 a b sin omega x， 那 就是奇函数。 那对于 tangent x 来说，不管 five 等于 k pi 还是 five 等于 k pi 加二分之 pi， a b tangent omega x 加 pi 都是奇函数， 不可能是偶函数。再看单调性， a 大 于零， omega 大 于零的时候，我们将 omega x 加 five 看成一个整体，再利用 sine x， cosine x， tannein x 的 单调性进行求解， 那在 a 小 与零， omega 小 与零的时候，我们要注意此时单调区间会发生变化，那通常我们的处理方法是利用诱导公式把 a 小 与零， omega 小 与零转化成 a 大 于零， omega 大 于零这种情况进行求其， 那 a b sin omega x 加 five a b cosine omega x 加 five tan 的 定义域都是 r， 值域都是负绝对值 a 到绝对值 a。 而 a b tan 的 omega x 加 five， 它的定义域是 omega x 加 five， 这个整体不能等于二分之 pi 加 k pi， 它的值域是 r。 那对称性问题就是将 omega x 加 five 看作一个整体，然后利用 sine x， cosine x， tan x 的 对称性进行求解， 那总的思想就是将 omega x 加 five 看作一个整体，根据图像进行求解。 同学们尤其要注意这个单调性，这里的 a 小 于零， omega 小 于零的时候，我们一定要转化成 a 大 于零， omega 大 于零这种情况进行求结。 为什么？因为只有 a 大 于零， omega 大 于零，那 a 被 sine omega x 加 f i 和 a 被 sine x 才有相同的单调性，这是原理和本质。 好，接下来我们看例题。已知函数 f x 等于根号二倍 sin x 加四分之 pi 加 pi， 它是奇函数，则 pi 的 值可能是， 那我们就要将这个四分之 pi 加 pi 看作一个整体，这个整体只能等于 k pi， 因为只有这个整体等于 k pi， 那 f x 化简之后才有可能会等于正负根号二倍 sign x 此时才是奇函数。那如果这个整体是 k pi 加二分之 pi， 那 f x 化简之后就会变成 cosine 相关的了，就是偶函数了。那如果这个整体等于其他的，比如说等于三分之 pi， 那 f x 就是 非机非偶函数了。 好，那我们看四个选项， a 选项 pi 是 零，那这个四分之 pi 加 pi， 此时就等于四分之 pi， 那 此时 f x 是 非奇非偶函数， 那 b five 等于负四分之 pi， 那 此时四分之 pi 加 five 就 等于零，那此时 f x 就 等于根号二倍三 x， 它是奇函数。 那 c 选项 five 等于四分之 pi， 那 四分之 pi 加 five 就是 二分之 pi， 那 此时 f x 就是 根号二被 sine x 加二分之 pi， 那 它就等于根号二。被 cosine x， 那 它就是偶函数了。那如果 five 等于 pi 的 话， 那 f x 此时是等于根号二倍 sine x 加四分之 pi， 再加 pi 等于负根号二倍 sine x 加四分之 pi， 那 此时是非奇非偶函数。所以这道题答案选 b。 好，下一题求下列函数的单调递减区间。第一小题， f x 等于 sine， 括号 r x 减四分之 pi， 那 第一小题我们是将这个 r x 减四分之 pi 看成一个整体，然后我们来看一下 sine x 的 单调性。 我们选择零到二 pi 这个区间，那在 x 大 于等于二分之 pi 小 于等于二分之三 pi 的 时候，三 x 是 单调递减的。 也就是说，此时这个整体 r x 减四分之 pi 是 要小于等于二分之三 pi 大 于等于二分之 pi 的。 再加上一个周期， r k pi 加上 r k pi， 所以 r x 就 小于等于四分之七 pi 加 r k pi 大 于等于四分之三 pi 加 r k pi， 那 x 就 小于等于八分之七 pi 加 k pi 大 于等于八分之三 pi 加 k pi， 那 k 是 属于 z 的。 好。第二小题第二小题 cosine 里面是负二 x 加六分之 pi， 此时同学们要注意了，我们要把它转化成 a 大 于零， omega 大 于零这种情况进行求结， 因为只有 a 大 于零， omega 大 于零，这个时候 a 被 sine 加 five 和 a 被三 x 才有相同的单调性。 好，我们来看那 cosine 负二 x 加六分之 pi 有 个导公式，我知道它等于 cosine 二 x 减六分之 pi， 那 我再将二 x 减六分之 pi 看做一个整体，那我来看 cosine x 的 图像， 我们还是选择零到二 pi 这个区间，那在零到 pi 上， cos 是 单调递减的， 所以二 x 减六分之 pi 要小于等于 pi 加二 k pi 大 于等于二 k pi， 那我们就能解出来， x 小 于等于十二分之七 pi 加 k pi 大 于等于十二分之一 pi 加 k pi， k 是 属于 z 的。 再次提醒同学们，只有 a 大 于零， omega 大 于零的时候， a 被 sign omega x 加 five 才和 sign x 有 相同的单调性。 好，这一点特别重要。好，本节课内容就到此结束了，我们下节课再见。