鲁教版五四制六年级数学新定义

大家好，欢迎大家来到鲁教版五四至六下数学的同步精品课堂，我是咱们的课程主讲老师逍遥子。 今天呢，咱们一起来学习第六章一元一次方程的第一节认识方程。那么关于本节课呢，有如下三个学习目标。 咱们首先来看第一个，掌握方程和一元一次方程的概念，然后会判断一个方程是不是一元一次方程。 第二个，理解方程的解和解方程的概念，会检验一个数值是不是方程的解。第一和第二是咱们本节课的重点，也是咱们考试当中的常考题型。 那么第三个学习目标是会列简单的方程解决实际问题，这也是咱们本节课的一个难点。以后呢，随着咱们课程学习的深入，还会专门学习一元一次方程的实际应用，哎，对第三个学习目标进行更进一步的研究。 下面呢，咱们首先来探讨方程和一元一次方程的概念，那么什么是方程呢？哎，大家请看 含有未知数的表示量相等的等式成为方程。那么这句话读起来确实有点绕嘴，理解起来也有一点费劲，是吧？那么老师给同学们做了简化， 如何简化呢？那么大家来看，其实它可以减数为含有未知数的等式成为方程，那么这样读起来是不是就比较顺嘴，理解起来也比较容易了。这样来看， 关于方程，它就有两个限定条件，第一个是含有未知数，第二个是它这个式子必须是等式，哎，所以说是含有未知数的等式称为方程，这样来说就比较容易理解，对不对？那么咱们一起来看几个例子， 第一个，二 x 加一等于三 x 减一。那么首先这是一个等式，没有什么可说的，对吧？ 然后呢，含有未知数 x， 对 不对？第二个也是同样的道理，首先它是一个等式，而且呢，含有未知数 x， 第三个也是， 它是个等式，而且含有未知数 x， 所以 它满足方程的两个限定条件。什么限定条件呢？含有未知数的等式成为方程，所以下面这三个例子都是 方程，都是方程，那么在方程的基础上，咱们就可以引出一元一次方程的概念。那么什么是一元一次方程呢？首先它必须是一个方程，对吧？然后，哎，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式， 未知数的指数都是一，哎，这样的方程叫做一元一次方程。哎，其实这个定义也是蛮啰嗦的，但是虽然啰嗦，但是这个一元一次方程当中的三个限定条件缺一不可。 在这咱们一起来看一下，哪三个限定条件呢？那第一个自然是只含有一个未知数，那言外之意不能含有两个以上，对吧？那么第二个限定条件是，方程中的代数式必须都是整式。 在六上的时候，咱们学过整式的概念是吧？它包括单项式和多项式，那么言外之意就是 未知数这个字母不能出现在分母上，哎，未知数不能出现在分母上，这是第二个条件的言外之意。那么第三个条件呢？哎，未知数的指数都是一，哎，只有同时满足这三个条件的方程，咱们才能称之为一元一次方程。 在这咱们一起来看两个例子，第一个，二 x 加一等于三， x 减一，那么大家来看， 首先它是一个方程，这个没有任何疑问，对吧？含有未知数 x 的 等式，所以它是一个方程，那么这个方程是否满足一元一次方程的三个限定条件呢？哎，第一个，只含有一个未知数，这个没有问题，只含有一个未知数 x， 对 不对？ 第二个方程中的代数式都是整式，是否满足呢？哎，左侧的代数式是二， x 加一，它是一个多项式，满足，对吧？多项式是整式的一种， 那么右侧的代数式是什么？三 x 减一，它也是多项式，是不是啊？所以这两个代数式同时满足，都是整式的条件，是吧？那么第三个条件，未知数的指数都是一，三 x 当中的这个 x 的 指数也是一，所以对于这个方程来讲，它同时满足了一元一次方程的三个限定条件，所以它就是一个一元一次方程。那再来看一个最简单的例子， x 等于五，哎，有的同学说了，妈呀，这个不太简单了吗？ 它虽然简单，但是它仍然是一个一元一次方程，如何来看呢？哎，只含有一个未知数 x， 而且方程中的代数式，左侧的代数式是 x， 它是一个单项式，对不对？ 然后右侧的 i 是 一个数字五，那它也是一个单项式，对不对？单独的一个数字或者字母都是单项式，而单项式自然是整式的一种， 所以啊，对于等号左右两侧的这两个代数式，它都是整式，满足条件二，而未知数的指数呢？哎，只含有这一个未知数 x 的 指数是一， 所以它同时满足这三个条件，那通过刚才方程的概念和一元一次方程概念的，哎，理解。咱们一起来做一道小的练习，来加深一下同学们对这两个概念的哎，理解。好吧， 下列各式是方程的有，那咱们一个一个来看。第一个，二， x 方减五等于四，那明显这是一个 含有什么？含有未知数 x 的 等式，所以它是方程，没有问题，对吧？第二个是含有未知数 m 的 等式，所以它也是方程。 第三个是含有未知数 x 的 等式，所以它也是方程。第四个是含有未知数 x 和 y 的 等式，所以它也是方程。哎！第四个有一点特殊，有的同学会问了，这不是含有两个未知数吗？ 那对于方程的定义，咱又没有约定它含有几个未知数，对不对？咱们只是约定含有未知数的等式成为方程，它并没有约定含几个未知数 x 和 y， 但他仍然是方程，是不是含有未知数 x 和 y 的 等式也是方程？好，再来看第五个， x 加三大于零，那么首先他就不满足等式这个条件，对吧？因为等式必须是等号，而这出现了大于号，其实他是不等式，对不对？至于不等式，到七年级咱们才会学，对不对？ 哎，在这咱们就知道，反正他不是等式，那不是等式，他自然就不是方程，所以五不是方程。那么六呢？哎，很明显，他是含有 x 的 这个未知数的等式，对不对？含有未知数 x 的 等式，所以他也是方程。第七个， x 分 之二减七等于四，也是含有未知数 x 的 等式，所以也是方程。哎！再来看第八个，六， x 加十二， 哎，你找啊找啊，是不是没有找到等号啊？哎，那他没有等号，他自然不是等四，是不是？那他不是等四，自然不是方程， 那他是什么呢？根据六上咱们学过的概念，他是一个，哎，代数式，是不是？他是代数式当中的哪一种呢？是代数式当中的整四，对不对？是整四当中的哪一种呢？哎，多项式，对不对？他只是一个多项式，他并不是等四，对不对？ 哎，所以啊，他不是等式，自然不是方程，那是方程的有什么哎？一二三四六七，哎，一二三四六七，对吧？那么下面是一元依次方程的有哎，他的第二位， 那自然是在方程当中挑选出来哪些是一元依次方程，对吧？那么咱们首先来看第一个， 对不对？那第一个，虽然他是方程，对吧？那他满不满足一元一次方程的三个限定条件呢？一是只含有一个未知数，那这个满足。第二个都是整式，哎，那么等式的 左侧哎和右侧呢？都是整式，哎，这个条件也满足，但是最后一个条件，未知数的指数都是一，这个指数是二，所以明显不满足，所以他不是一元一次方程，哎。再来看第二个， 它是否满足一元一次方程的三个限定条件呢？啊？只含有一个未知数 m， 对 吧？哎，未知数的指数都是一，哎，确实是一，是不是 还有什么哎？方程中的代数式都是整式，那是不是整式啊？负 m 加八是整式，没问题，左侧是整式，右侧是一个常数，一也是整式，所以二是一个一元一次方程，那么三 x 等于，那就相当于刚才咱们讲过的 x 等五是一样的例子，所以它也是一元一次方程，对吧？ 那么对于四来讲，他肯定不满足什么，哎，只含有一个未知数，这个限定条件对不对？他这出现了两个未知数，所以他不是一元一次方程，因为他不满足只含一个未知数这个限定条件，所以四不是。 然后再来看六和七，那么到了六这同学们，哎，一开始看的，哎，好像 这个未知数的指数怎么出现了两次，对不对？咱对于一元一次方程来讲，咱们有个限定条件，未知数的指数都是一。但是，哎，对于一元一次方程的判断，咱们要进行化简，看化简之后的结果是什么样？那咱们一起来把它化简一下好不好？ 那么去掉括号之后，就是二 x 方减二 x 方加二 x 等于一，那么不难发现，二 x 方和负二 x 方就抵消掉了。最后化简完之后是二 x 等于一， 那么二 x 等于一，这个方程是不是一元一次方程呢？首先这含一个未知数 x 第二个方程中的代数式都是整式，二 x 是 整式，一也是整式，对不对？第三个限定条件，未知数的指数都是一，那明显这个都是一，所以满足一元一次方程的三个限定条件，所以 这个方程呢，是一元一次方程。在这需要提醒同学们的是啊，遇到这种看似复杂的方程，一定要进行化简，化简后再来判断他是否为一元一次方程，所以第六个仍然是一元一次方程， 那第七个是方程，但他是不是一元一次方程呢？哎，第七个不满足哪个限定条件？不满足第二个限定条件，对不对？ 第二个限定条件说的是什么？方程中的代数式都是整式，明显左侧的这个代数式 x 分 之二减七，哎，他不是整式，对吧？为什么？因为未知数出现在了分母上。但凡未知数出现在分母上，同学们都知道他就不是整式，他不是整式，自然不是一元一次方程，对吧？ 哎，这样咱们就能判断出来，是一元一次方程的有二三六，对吧？二三六， 好的同学们，那通过这道小的题型呢？相信同学们经过练习以后，对方程和一元一次方程的概念有了更深的理解和认识，对吧？ 接下来咱们就来一起归纳总结一下。判断一个方程，哎，是一元一次方程。那么化简之后呢，他必须满足三个条件，刚才老师也提到了化简，是吧？ 在这咱们进行更深一步的解释。哪三个条件呢？那自然是一元一次方程的三个限定条件。第一个是含有一个未知数，对不对？那含有一个未知数，其实它有两层含义， 第一个含义是，那只能含有一个未知数，比如你含有了 x， 那 就不能有 y， 也不能有 z， 对 不对啊？哎，只含有一个未知数。 另外一层意思是，那含有这个位置数，那这个位置数前面的系数自然不能等于零。如果这个系数等于零了，那整个这一项也就不存在了，哎，所以他有两层意思，第一层意思是 只含有一个位置数，哎，不能出现两个两个以上的位置数。第二个，哎，他的含义是这个位置数他前面的系数不能等于零，如果他等于零了，这个位置数就不存在了，对不对？哎，所以这是第一层含义， 哎，那么第二个未知数的指数都是一，那这个不用做过多的解释，非常简单，是吧？未知数的指数都是一， 因为它只含有一个未知数，那么未知数的指数都是一，那关于四值当中，你只能出现 x 的 一次方，这样的象，不能出现其他的象，是吧？说的是化简后啊，说的是化简后啊。 那么第三个限制条件，哎，刚才咱们也说过，方程中的代数式都是整数，哎，你等号左侧的必须是 整式，等号右侧的也必须是整式，哎，也就是方程中的所有代数式都必须是整式，哎，这个非常重要，这个非常重要，哎！判断一元一次方程的三个条件，这是咱们考试当中的一个重点题型。好的同学们， 那么关于一元一次方程，刚才咱们见识了好多各式各样的一元一次方程，那么各种一元一次方程在化简以后呢，他一般会出现两种形式，哪两种呢？ 第一种是他的最简单的形式，哎，也就是最简洁的形式是 a， x 等于 b 这种形式，老师举个例子，比如二 x 等于四，哎，这种形式 ab 呢，都是常数，其中要求 a 不 等于零，对不对？这刚才咱们说过，他前面的系数不能等于零，是不是啊？含有一个未知数，有两层含义，第二层含义就是他前面的系数不能是零，那这一项都成零了，对吧？哎，这是 要求 a 不 等于零，哎，刚才咱们说到第二第二层的含义，然后呢？还有化简以后有一种标准形式，什么标准形式呢？ a x 加 b 等于零，哎，再举个例子，比如三 x 加六等于零，哎，这种标准形式， 所以对一元一次方程来讲，你经过各种化简之后，最终都会化为这两种形式。都会化为这两种形式， 第一种呢是最简的形式，第二种是标准形式。那么随着咱们学习的深入，后期咱们会学到 如何来解一个一元一次方程。在解一元一次方程的过程当中，咱们最终都要化成这两种形式之一，对吧？其实最终最终最重要的是要化成 a、 x 等 b 这种形式，所以在这咱们只是来做一个简单的介绍，哎， 一元一次方程化简以后有这两种形式，至于如何化简，化简以后如何解方程，咱们以后再讲。 好的同学们，下面咱们来练习一道关于一元一次方程定义的题目，哎，是非常重要的一个题型，考试当中的必考题型什么样的呢？咱们一起来看。若关于 x 的 方程，哎，这样一个方程，它是一元一次方程，让你来求字母 m 的 值， 那他是一元一次方程，他必须都满足三个条件，对吧？哎，那么首先咱们来看他这里面出现了二次项，出现了二次项，咱们知道对一个一元一次方程来讲，咱要求他未知数的指数都是一， 那既然要求未知数的指数都是一了，那么这一项二次项就必须为零，那要想二次项为零，那么二次项前面的系数 m 方减四必须等于零，对吧？哎，这个是怎么来的呢？这个是根据一元一次方程的 哎定义来的，是吧？他限制条件有一个，哎，位置数的指数都是一，哎，这个已经是一了，没有问题。而这个呢，出现了二次，这个指数出现了二， 那所以这一项呢，必须为零，这一项要想为零，那么二次项前面的系数 m 方减四必须等于零，那咱们不难解得， m 就 等于正二或者负二，是吧？哎，这是第一个限定条件，咱们就得到了 m 等于正负二。 那么第二个咱们刚才讲到过，这一项变成零了以后，那就剩余了负的 m 加二倍的 x 加八等于零，那这时候只含有一个未知数。只含有一个未知数不假，但它的第二层含义还必须要求只含有这个未知数，它前面的系数 m 加二， 或者说是你负的 m 加二，这个系数怎么着？不能等于零，对不对？同学们，他不能等于零，一旦他等于零了，那这一项也就不存在了，哎，那也就不存在 x 了，对不对？哎，所以这个根据， 哎，只含有一个未知数，他隐藏的一层含义，这个只含有了这一个未知数，他前面的系数不为零。所以负的 括号里 m 加二不等零，那么咱们就解出来 m 不 等于负二。那同学们来看，第一个条件，咱们要求 m 等于正二或者负二，那第二个条件，咱们又要求 m 不 等于负二，那把一和二综合起来，咱们只能得到什么？ m 等于二， m 等于二，所以最终的结果咱们求到了参数， m 的 值等于二等于二。哎，具体的解体步骤，同学们可以参考可见，可以参考可见啊，其实非常简单， 这个解体的过程和步骤完全来自于一元一次方程的定义当中的三个限定条件，这三个限定条件啊，你用起来没有先后顺序啊，你说谁是第一个限定条件，谁是第三个限定条件，都没有问题，都没有问题， 你只是知道他必须同时满足这三个限定条件就可以了。好的，同学们，那这道题咱们就练到这， 接下来咱们一起来看第二个学习目标，也就是关于方程的解和解方程的概念，其实呢，这个概念非常简单，那咱们一起来看，什么是方程的解呢？哎，咱们一起来看啊，是方程左右两边的值 相等的未知数的值，叫做方程的解，哎，那通俗起来讲，它比较简单，咱们给它简化一下，其实就是是方程左右两边相等的未知数的值，对吧？咱们举个最简单例子， x 加三，哎，等于二， x 减二，哎，这是一个方程，对吧？那么什么是方程的解呢？哎，你能找到这么一个 x 的 值， 它呢，是方程的左侧和右侧相等，那么这时候这个 x 的 值就叫做这个方程的解，是吧？是方程左右两边，哎，相等的未知数的值，哎，你看主要部分就可以了。如果读起来绕嘴的话，是方程左右两边 相等的未知数的值，叫做方程的解。哎，这加了个值，读起来有点别嘴，是吧？所以你可以省略掉啊，你理解就可以了，严格的定义还是按课本上的来，但是你理解起来，你可以这么理解，使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，对不对？ 那么方程的解，他自然是一个结果，对吧？哎，是一个结果，你能求出来这个 x 是 多少，那这个 x 就 叫做方程的解，对吧？那什么是解方程呢？ 那么求方程解的过程称之为解方程，就是说你想把这个方程当中的 x 解出来，到底等于几？那你需要一个求方程解的过程，那么这个过程呢？称之为解方程， 那么这个过程之后会得到一个结果，那这个结果呢？就叫做方程的解，对不对？你要想求解这个方程，你需要一个过程来计算这个 x 具体等于什么，对吧？ 你在这个计算的过程当中，这个求解的过程当中就称之为解方程。哎，等你计算完了，得到一个 x 等于什么的一个结果，那么这个结果呢？就叫做方程的解，所以解方程是过程，方程的解是 结果，哎，理解起来这样就比较容易一点，是不是？同学们，哎，这就是所谓的方程的解和解方程的概念以及他们的区别。 古代的时候，一般咱们称未知数为元，哎，如果说是只含有一个未知数的方程，咱们就称之为一元方程，哎， 未知数呢？称之为元，那只含有一个未知数，那就是称之为一元，哎，那只含有一个未知数的方程，所以咱们称之为一元方程。哎。比如咱们刚才讲到的一元一次方程，哎，表明了它只含一个未知数，而且它未知数的指数啊，都是一，哎， 那么一元方程的解有时候也称之为根，哎，大家对这个概念有所了解就可以了，有所了解就可以了，哎，这是一个古代的数学常识，好吧，古代的位置数称之为圆，大家对这个概念要有所了解，那么一个位置数就称之为一元方程，哎，一个位置数的方程就称之为一元方程。 好的，那咱们一起来练道小的题型，来看看如何来检验一个数是不是方程的解。哎，例如， 检验 x 等于是不是方程， x 加二等于二， x 加一的解，那如何来检验呢？哎，那其实根据刚才方程解的定义，是方程左右两边相等的位置数的值，是不是？那么咱们只需要把 x 等一代入方程就可以了，对不对？ 把 x 等一带入方程，咱们就可以得到左边是几啊，哎，一加二等于三，是不是？那右边是几啊？把 x 等一带入这个方程，那二乘一加一对不对？只需要把 x 换成一就可以了，因为 x 等于一，对不对？ 换成一之后，咱们能算出来左边等于三，右边呢，也等于三，那这是不是就满足方程解的定义了，是不是啊？是方程左右两边相等的位置数的值叫做方程的解，所以 x 等于就是这个方程的解，因为它满足了方程解的定义，使方程左右两边相等，是不是啊？ 过程呢？哎，请看本书。把 x 等一带入方程，左边等于一，加二等于三，右边等于二乘一加一等于三，所以左边等右边。哎，所以 x 等于是方程， x 加二等二， x 加一的解。哎，这种题呢， 一般就是一道很简单的选择题的形式来出现啊，如果考的话，那咱们一起来归纳总结一下如何检验一个数是不是方程的解。 其实刚才咱们讲解的过程当中，咱们已经把这个方法总结完了，对不对？其实就是分别将这个数带入方程的两边并计算对不对？哎，若结果相等，也就是左右两侧的结果相等，这指数是方程的解。哎，这就是判断一个数，或者检验一个数是不是方程解的方法。 好，接下来咱们再来探讨今天的学习目标。哎，根据实际问题列方程，咱们一起来看一下。 根据下列问题设未知数并列出方程，不必求解啊，只让你列方程，不用求解方程。首先来看第一个， 用一根长二十四米的铁丝围成一个正方形，那么正方形的边长是多少厘米？ 那对于这种根据实际问题列方程的题目，咱们一般遵循以下三个步骤，那第一个步骤是什么呢？那一般是要寻找等量关系。哎，第一个步骤一般是找 等量关系，那咱们看一下，在这个题目当中能找到什么样的等量关系呢？ 那肯定要从正方形的周长出发，为什么？因为他告诉你了，用一根长为二十四米的铁丝围成一个正方形，那相当于，哎，这个正方形的周长已经知道了，对不对？ 那正方形的周长等于什么？哎，等于四倍的边长，是不是四乘以 边长？哎，所以咱们在这个题目当中，咱们就能寻找到这么一个简单的等量关系。那第二步咱们干什么呢？哎，设未知数， 那怎么样设未知数呢？一般题目中怎么问，咱们就怎么设，比如他问正方形的边长是多少，那咱们就设正方形的边长为 x 厘米。 哎，那第三步自然是根据第一步当中寻找的等量关系列方程。那等量关系是什么？四倍的边长？第三步是列方程， 那如何列呢？根据等量关系来列方程对不对？等量关系是什么？四倍的边长，边长是谁？边长是 x， 等于周长，周长是谁，哎，周长是二十四，哎，所以通过这三步走，咱们就完成了根据实际问题列方程的一个步骤， 第一步，找等量关系，第二步，设未知数，第三步，列方程。 好的，给大家五秒钟的时间看一看这个步骤啊，哎，题目非常简单，但是咱们要习惯于这种 解体的方法，或者说列方程的步骤，寻找等量关系，设未知数，然后列方程，列方程。那列方程是如何列的呢？自然是根据等量关系来列的，对不对啊？ 好的，下面来看第二个。一台计算机已使用一千七百小时，大家要知道， s 代表的是小时啊，预计每月再使用一百五十小时，哎，在这之前呢，已经使用了一千七百小时，以后呢，每月再使用一百五十小时， 经过多少月，这台计算机的使用时间达到规定的检修时间两千四百五十小时，他的意思是当这台计算机的使用时间达到两千四百五十小时的时候，要送去检修，要送去检修，对吧？那么同样 第一步咱们是寻找等量关系，那在这有个什么样的等量关系呢？那么大家来看他们已用时间，他们的已用时间，哎，已经用掉的时间， 哎，这是已经用掉的加将来继续要用的时间，是不是啊？哎，他预计每月再用一百五十小时，用几个月不知道是吧？反正肯定还有继续要用的时间，对吧？ 那用到多少呢？用到直到送到检修时间为止，对不对啊？所以咱们就寻找到这么一个等量关系， 哎，已经用掉的时间，加上将来要用的时间，一直用到等于什么？他们两个的和等于检修时间的时候，要送去检修。那么第二步自然是设未知数呢，咱刚才说过，题目当中问什么咱们就设什么，他问的是什么？ 经过多少月，这台计算机的使用时间达到规定的检修时间，那就设经过 x 个月， 哎，老师就不写了，那经过 x 个月，这台计算机的使用时间达到了检修时间。那么第三步啊，根据等量关系列方程，那如何列列呢？那等量关系在那放着呢？非常简单对不对？ 已用时间，已用时间是多少？一千七百小时对不对？已经用了一千七百小时，将来要用多长时间呢？将来每月要用一百五十小时，那用多少个月？设了 x 月，所以将来要用一百五乘 x 对 不对？ 那用到多少时候为止呢？用到它只达到检修时间两千四百五十小时为止，哎，所以经过这三步 寻找等量关系，设未知数，根据等量关系列方程，咱们就解决了这道关于列方程的，哎，实际问题，列方程的实际问题。给大家十秒钟的时间来看这道题的板书。 好的，同学们，那咱们一起来思考一下，那怎样将一个实际问题转化为方程问题，那么你列方程的依据又是什么呢？那么通过这两个例题，咱们一起总结一下 好不好？那么要想把一个实际问题转化为方程问题，那么最关键的第一步是要什么？哎，对这个实际问题进行分析，分析的时候要抓住关键的句子，寻找出等量关系，对不对？哎， 抓住关键的句子，寻找出等量关系，然后进行设未知数，列方程，哎，这就是如何将实际问题转化为方程问题，对不对？ 那么在这个过程当中呢，咱们一般分为三步骤，刚才老师讲题目的过程当中，已经给大家总结过，咱们再一起看一下。 那么第一步自然是审清题意，弄清已知和未知，在题目当中，什么条件是已知的，什么条件是未知的，然后呢，找出其中的等量关系，这是第一步，也就是找等量关系。第二步呢，设未知数，对吧？一般要求什么， 咱们就设什么，其实题目当中让你求什么，咱们就设什么就可以了，就设什么是 x。 第三步自然是用含未知数的等式表示等量关系，那这句话其实就是废话，其实就是列方程对不对？哎，根据等量关系列方程，这就是列方程的依据。列方程的依据是什么？ 哎，等量关系，根据等量关系列方程，这就是刚才咱们讲到的那个问题啊，如何将实际问题转化为方程问题，那么你列方程的依据是什么？列方程的依据就是等量关系，等量关系。 好的同学们，咱们一起来看一道具体的练习题，哎，如何列方程解决实际问题啊？好吧， 在一次有十二个队参加的足球循环赛中，哎，咱们一起先来看第一句啊，在一次有十二个队参加的足球循环赛中， 哎，那个循环赛是什么意思？相信喜欢足球的同学们啊，可能大多数都知道这个循环赛的意思，循环赛的意思是每两队之间啊，需比赛一场，也就是说这十二个队伍当中，你随便拿出来一个队伍，他要和其余的十一个队伍都要踢一场，哎， 随便找出一个队伍，他和另外剩余的这十一个队伍都要踢一场，那言外之意，每一个队伍要踢几场比赛啊？每一个队伍要踢十一场比赛，哎，这是第一句话，你要明白的，如果这个你不明白，那下面的就没法往下做了，哎，每个队伍要踢十一场比赛， 一共有十二个队伍，对吧？那每一个队伍要和剩余的十一个队伍都踢一场，这才叫循环赛。哎，所以每个球队要踢十一场比赛，现在规定呢？哎！胜一场记三分，平一场记一分，负一场记零分。 对于这个足球规则，哎，相信很多男同学或者喜欢足球的同学应该大家都比较熟悉啊。那么母队在这次循环赛中啊，胜的场数比负的场数多二，结果呢？积十八分， 问你该队负了几场，哎，也就是说这个球队输了几场，哎，那么现在如果咱们射这个球队负了 x 场，那么大家来看，他负了 x 场，那问你胜了几场？首先， 哎，请看这胜的场数比负的场数多二，那胜的场数比负的场数多二。大家想一想，那么负了 x 场，那么 胜的场数比他多了两场，那自然是 x 加二，后面是有单位场，所以这要加括号，千万不要忘了加括号，哎，所以是胜利了 x 加二场。那接下来又问你平了几场？ 那么刚才咱们讲到啊，这个球队一共踢了几场比赛？一共踢了十一场比赛，是吧？那么负了 x 场是吧？胜了 x 加二场， 那么用十一减掉负的常数，减掉胜利的常数，那剩余的是不是就是平的常数啊？那非常简单，哎，十一减掉负 x， 负 x， 十一减二， x 减二，哎，所以也就是九减二 x， 对 吧？哎，把这个括号去掉以后，哎， 去括号合并同类项，咱们就得到了。是九减二 x， 所以 平了九减二 x， 没有问题吧？同学们，没问题的同学，请在评论区扣一啊，没问题的话，请你扣一。 首先咱们必须得到，哎，胜利了几场？平了几场，然后根据提议列方程，那如何来列呢？自然是要寻找等量关系，那等量关系还有哪一个没用？还有，结果积了十八分，这个没用是不是？这十八分是如何来的呢？ 哎，那么胜利一场记三分，那胜了几场啊？胜了 x 加二场，所以胜利就积了三乘以 x 加二分，那么每平一场怎么着？记一分？平了几场呀？平了九减二 x 场， 是不是？哎，平一场记一分，那乘一也就等于不成一，但就省略不写，对不对？一共得多少分？十八分，是不是啊？ 哎，这是胜利得得分，哎，这是平得得分，他们一共得了十八分。那有的同学问了啊，负为什么不列？哎，负，人家说了，负一场积零分，所以没必要列，对不对？零分没影响，所以最终咱们就得到了这样一个方程。 好的，同学们，给你十秒钟的时间，再看一下这道题，哎，这道题还是有一定的意思的，是吧？ 哎，首先你要明白足球循环赛它的赛制是什么样的一个赛制啊？然后你还要明白足球的积分规则是什么样的一个规则，对吧？然后还要理清楚这其中的等量关系。 好的同学们，那么经过上述的讲解呢，关于咱们本节课的三个学习目标，咱们就全部讲完了，那接下来咱们做一些例题哎，做完例题之后呢，咱们再来做一些练习，学以自用，好吧，首先来看第一个例题， 若 x 等于一，是关于 x 的 方程，二 x 加 a 等于三的解，则 a 的 值是多少？那这道题考察的是什么？ 方程的解的定义，那么 x 等于是方程的解，那也就是说把 x 等于带入之后，哎，左右两侧相等是不是？那也就是说，把 x 等于带入进去，得到什么？二乘以一加 a， 哎等于三。那咱们化简一下，就是二加 a 等于三，哎，所以咱们就得到了 a 等于，是吧，虽然咱们还没有学解一元一次方程哎，但是根据哎有理数的加减法，咱们也能口算出来 a 等于一，是不是？所以 a 的 值为一。这里面唯一需要注意的是，哎， 方程的解，它的定义是什么？是方程左右两边相等的未知数的值是不是？所以你把 x 等于一带进来之后，方程的左右两边是相等的，也就得到了二加 a 等于三，从而得到 a 等于一。哎，这道题非常简单，没有什么可说的啊。 第二题，根据奇异列出方程，咱们首先来看第一个，二 x 与负三的和是七，嗯，那这个非常简单的直接写就完了，二 x 与负三的和，那就是二 x 加上负三，他们的和是七，哎，所以直接就列出了这是第一个。 再来看第二个，某数的二倍比他的四分之一大七，求这个数，假如咱们设这个数是 x， 假如设这个数是 x， 那 么咱们来看看他如何描述的等量关系。某数的二倍，那就是 x 的 二倍，比什么？ 比他的四分之一大七，他的四分之一是多少？那减掉这个四分之一，自然就等于七，哎，这就是咱们寻找到的等量关系，对吧？ 有可能你在列的时候觉得有点别扭，是吧？等你列完之后，哎，你再来检验一下母数的两倍，哎，这个数呢，咱们设为 x i 的 母数的两倍比它的四分之一，它的四分之一在这，哎，大七，那么减掉它自然就等于七，对吧？ 好，这是第二题。咱们再来看第三题。某商店将进价为一千三百元每台的某品牌彩电按标价的八折销售，那么打折销售，那打八折，那就是原价 是 x 的 话，假如，那么打八折，那就是现在的售价就是零点八， x 打几折就乘以零点八，打九折就乘以零点九，这一点同学们要明白， 每台呢，仍可获得二百二十元的利润。那现在来问你，那么该品牌彩电的标价为多少？那么咱们说过啊，他问什么咱们就设什么。设该品牌彩电的标价为 x， 那 标价为 x， 请问售价是多少？刚才咱们说了， 哎，这个彩电呢，按标价的八折来销售，那标价的八折呢？就是零点八，乘以 x， 对 不对？标价是 x， 那 么售价呢？是标价的八折， 八折就是乘以零点八，所以售价是零点八。 x， 那 进价是多少啊？进价是一千三，那么售价减掉进价等于什么？等于利润，是吧？这就寻找到了等量关系， 所以零点八 x 减掉一千三等于二百二，哎，这就是第三问的答案。第三问的答案是吧？第三问考察了咱们的哎，进价、售价、打折和利润，他们之间的概念，以及等量关系，对不对啊？这个非常简单，是不是？ 哎，售价减掉进价，那就是利润，那么打折销售呢？哎，那么售价就等于标价乘以零点几折，是吧？打八折，那就乘以零点八，是不是啊？你打九折，那就乘以零点九。哎，这个一定要注意啊，打折销售的概念。 好的，咱们再做一些题目，学以自用，来巩固本堂课所学过的所有知识来看。第一道，下列方程中不是一元一次方程的事，那么是一元一次方程，必须满足三个限定条件。首先来看第一个， x 减三等于零，哎，那这个非常简单，只含有一个未知数，未知数的指数都是一，而且方程中的代数式都是整式，哎，所以它是一元一次方程。那么 b 呢？哎，只含有一个未知数，没问题，哎， 方程中的代数式都是整式也没问题。但是，哎，未知数的指数是多少？十二，未知数的指数是二，所以他不是一元一次方程。所以第一题选择 b， 第一题选择 b， 那接下来的 c、 d 啊，咱们就可以不用看了，它自然都是一元一次方程，对吧？ b 不是 b， 不是。 好的，下面来看第二题。 在下列方程中，解是 x 等于二的方程是哪一个？也就说哪个方程的解是 x 等于二。当然，咱们现在还没有学解一元一次方程，等学了之后，咱们可以解，但是没学，但怎么办呢？那只需要把 x 等于二，分别带入这些方程当中，去看哪些 方程是得左右两边，哎，相等成立对不对？咱们挨个试一下。把 x 等于二带入 a 的 话，那么左侧是六，右侧呢？哎，是五，哎，他们左右不相等，所以他不是方程 a 的 解，那么方程 b 呢？ 哎，把二带入左侧是负二加三，那他是一对不对？右侧是多少？右侧是零，那一不等于零，所以左右不相等，他不是方程的解。 同理，带入方程 c， x 等于二，那么二乘以二是四，那四呢？不等于六，右侧是六，所以不是方程 c 的 解，那自然就是方程 d 的 解，咱们一起来验证一下。把 x 等于二带入方程 d， 左侧等于什么？ 二乘以五啊，就是五乘以二减二，哎，他是几啊？是八对不对？右侧等于什么呢？哎，右侧也等于八，所以 x 等于二是方程 d 的 解，是方程 d 的 解。选择 d。 好，下面来看第三题。如果三分之一 x 的 二减 n， 次方减一等于零，是关于 x 的 一元一次方程，那么 n 的 值为多少？刚才老师讲过，这种关于一元一次方程定义的题目是必考题型， 所以下面老师来发电子答题卡，同学们来答，哎，老师在电子答题卡上会看到每一位同学的答题时间，哎，以及答题的呃，情况啊，到底是哪些同学正确，哪些同学错误，老师都能看到。好的，老师现在发放电子答题卡，请同学们作答， 请同学们用十秒钟的时间把这道题作答完毕，十秒钟以后，老师将关闭电子答题卡。哈哈哈，同学们，评论区我看到了啊，不要把答案打在评论区哎，请用你的电子答题卡！ 好的，答题结束。老师看一下这道题的正确率啊啊，非常棒啊！同学们，这道题大家的正确率是百分之百！好的，那咱们一起再来看一下这道题啊！说明同学们对一元一次方程定义的理解已经非常熟悉了， 那么这个方程是关于 x 的 一元一次方程，它自然满足一元一次方程的三个限定条件，自含有一个未知数， x 没有问题。 第二个条件，方程中的代数式都是整式，那这个也没有问题，已经满足那第三个条件，未知数的指数都是一，那自然要求这个未知数的指数二减 n 等于一， 二减 n 等于一，这不自然，咱们就能推得 n 等于一，所以 n 的 值等于一等于一，所以选择 b。 好， 下面来看第四题。 母校在举办读书月的活动中，将一些图书分给了六年级一班的学生阅读， 哎，如果每人分三本，则剩余二十本，这是一种情况，如果每人分四本，这还缺二十五本。如果设该校六年级一班有学生 x 人，这下列方程正确的是哪一个？哎，这是一个典型的哎， 盈亏问题是吧？盈亏问题是不是？那这道题呢？非常简单，咱们一起来看一下。只要你能绕过这个弯来，它非常简单，如果你绕不过这里面的弯弯绕，哎，那可能会觉得相当麻烦。 这里面存在着一个等量关系，哪个等量关系呢？就是图书的数量是相等的，无论你是每人分三本还是每人分四本，反正我一共就有这么多图书，所以等量关系就在这图书的数量相等。那咱们首先来看第一种情况， 若每人分三本，则剩余二十本。每人分三本，一共有多少人？一共有 x 个人，所以分了三 x 本， 这时候呢，还剩余二十本图书，所以再把这二十本加上，这是不是就是原来图书的总量啊？那原来一共有多少图书？每人分了三本，那一共是三 x 本，这时候还剩余二十本，所以原来图书的总量是三 x 加二十本。好，再来看第二种， 如果每人分四本，哎，如果每人分四本，那 x 人那是不是一共要分四 x 本？那实际情况是，他没分了四 x 本，为什么？ 因为他还缺二十五本。那把缺的这二十五本减掉，是不是就是实际分的？所以四 x 减二十五是现在实实在在分到同学们手里的图书，也就是原来图书的数量， 那么三 x 加二十是原来图书的数量，四 x 减二十五也是原来图书的数量，那它两个自然相等，所以正确答案选择 b。 哎，这种题呢，对于第一个爱好理解，对于第二个，这里有一点绕，哎，同学们需要理解啊， 每人分四本，那 x 人应该分四 x 本，是不是应该分掉四 x 本？那其实呢，它图书不够 哎，缺二十五本，所以实际分了多少本？四 x 减二十五本，四 x 减二十五本，他打算的是四 x 本，但缺了二十五本，所以实际分了四 x 减二十五本，那实际分的就是原来的图书数量。没有问题的同学，请在评论区扣一，老师要看到你的，哎，互动，老师要看到你的互动啊， 好的，同学们都非常棒，没有问题啊，咱们接下来看第五题，写出一个解为 x 等于三的方程，那非常简单是吧？这种写法不为一，咱们随便写一个就可以了。 x 减三 等于零，是吧？啊？有的同学大聪明小明，他说了，那还不简单，老师，我直接写个什么啊，我直接写个 x 等于三，哎，也没问题，但是人家这个地方毕竟写了 x 等三了，所以你尽量的变化一些是吧？尽量的变化一些啊， 好。第六题， k 括号里的 k 减一， x 的 k 的 绝对值，此方加上二十一等于零，是关于 x 的 一元一次方程，这 k 的 值是多少啊？这又是一个关于一元一次方程定义的题目，那咱们一起来看一下。首先， 在这里面只含有这一个未知数，那自然而然就要求这个未知数的指数， k 的 绝对值等于一，这有个绝对值啊，那么又 k 的 绝对值等于一，咱们就得到了什么，哎， k 等于 正一或者负一，是不是？哎？然后咱们再来看第二个限制条件，他只含一个未知数的情况下，那么这个未知数他前面的系数自然要求不等于零，对吧？咱们讲过，哎，他有第二层隐藏含义，只含有一个未知数，他有第二层隐藏含义，这个未知数前面的系数 k 减一不等于零，也就知道了 k 不 等于一，那么第一个条件，咱们算出来 k 等于正负一。第二个，咱们算出来 k 不 等于一，那么综合一二的情况，咱们只能得到 k 等于负一， k 等于负一，是吧？所以最终的结果是 k 等于负一。好的，来看第七题， 甲乙两班共有学生九十六名，甲班呢，比乙班多两人，设，乙班有 x 名学生，这让你列出一个方程， 那么非常简单，乙班有 x 名学生，那甲班有多少名啊？那甲班比乙班多两名，所以甲班自然有 x 加二名学生，对不对？ 那甲班有 x 加二名，乙班有 x 名，那么用甲班加上乙班的数量，那一共就是加乙两班学生，共有九十六名，非常简单，对吧？ 好，来看第八题，已知关于 x 的 方程。二、 x 加 a 等于五，它的解是二， 它的解是 x 等于二，这 a 的 值，那 x 等于二是这个方程的解，那只需要把 x 等于二带入这个方程，使得左右两侧相等就可以了，对不对？那左侧就是把 x 带入以后，那就是二乘二加 a， 那 右侧是五，自然不变， 哎，这时候就是四加 a 等于五，是吧？那么自然而然，四加 a 等于五，自然而然，咱们就得出 a 等于一， a 等于一，哎！第八题也非常简单， 好的来看第九题，列方程表示下列与域中的相等关系，哎，就是让您来 根据实际问题列方程。咱们首先来看第一个，某地今年九月六日的温差是十摄氏度，温差指的是九月六日当天的最高温度与最低温度的差， 那么他们说了这天的最高温度是 t 摄氏度，最低温度是三分之二 t 摄氏度，那么用最高温度 t 减掉最低温度三分之二 t 就是 当天的温差十，所以咱们就得到了这个方程。好，第二问， 某校七年级学生人数为 n， 其中男生占百分之四十五，女生是一百一十人，那么等量关系就是男生的数量，或者说男生的人数加上女生的人数就等于七年级学生的人数，对不对啊？ 那么七年级学生的人数，那到底是多少呢？是 n， 对 吧？那么男生是多少？男生是百分之四十五 n 对 不对？那女生是多少？女生是一百一十人， 那么这样就是男生加上女生的人数，他一共等于多少人？一共等于 n 人，是吧？一共等于 n 人，因为七年级的学生总人数是 n， 所以 n 等于百分之四十五 n 加上一百一。 好来看第三题，一种商品每件的进价为 a 元啊，每件的进价为 a 元，而每件的售价呢？为进价的一点一倍，那售价是多少？那自然是一点一 a， 对 不对啊？售价就是一点一 a， 现在呢，每件又降价十元，那降价十元呢？就是一点一 a 减十，就是他现在的售价，对不对？一点一 a 减十就是他现在的售价，然后他又告诉你，现在的售价为每件二百一十元，所以一点一 a 减十等于二百一，哎，非常简单，对吧？ 有原来的进价是 a， 哎，那么售价呢？为进价的一点一倍，然后呢，又降价十元，对吧？又降价十元， 他又告诉你，现在的售价是二百一，所以一点一 a 减十就是现在的售价，然后现在的售价是二百一，所以左右两侧相等，咱们就找到了这个等量关系。 好，第四题，咱们来看。在五天中，小华共值数六十克，小明呢，共值数 x 克，其中 x 小 于六十，平均每天小华比小明多值两棵树，让你来列 哎，相等关系，也就是列方程，那么咱们一起来看啊，小华在五天当中值了六十棵树，那他每天值多少颗？每天值五分之六十，对不对？用六十除以五就是小华每天值了几棵树，对不对？ 那小明每天值多少棵树啊？他一共值了 x 棵，在这五天内，所以 x 除以五就是小明每天指数的棵数，六十除以五是小华每天指数的棵数。题目当中告诉了平均每天小华比小明多值两棵树，所以小华减掉 哎，小明的是不是就等于二？哎，小华比小明每天多值两个数，所以咱们就得到了这样一个相等的关系， 也就是说列出了方程，列出了方程，哎。第九题就是用列方程哎表示下列语句当中的相等关系，为今后咱们学习一元一次方程的实际应用打下一个良好的基础。 好的同学们，那到这为止，本节课基本上就把全部内容讲完了。那咱们在一起来总结一下咱们本节课学过的三个学习目标。 首先第一个学习目标是关于方程和一元一次方程的概念。咱们在一起来回顾一下什么是方程，哎，咱们用减速的形式来表示，那就是含有未知数的等式成为方程，对吧？哎，这个理解起来比较容易，含有未知数的等式成为方程， 那在方程的基础上，咱们又一起定义了一元一次方程。那什么是一元一次方程呢？哎，只含有一个未知数， 且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是一。哎，这样的方程叫做一元一次方程，一共三个限制条件，对吧？第一个限制条件是只有一个未知数，老师讲过，他有两层含义，一是不能出现两个和两个以上的未知数。 第二层含义是什么？哎，这个位置数它前面的系数不为零，它要为零了，这个位置数就没了。哎，那第二个方程中的代数式都是整式，它的言外之意式位置数不能出现在分母上，那对于第三个位置数的指数都是一啊，非常简单，没必要多说了，对吧？ 好，那么咱们第二个学习目标是要知道方程的解和解方程的概念。那么什么是方程的解呢？其实就是是方程左右两边相等的位置数的值，对不对？是方程左右两边相等的位置数的值。 那如何来检验一个数是不是方程的左右两边？如果能是方程的左边等于右边，那这个数自然就是方程的解。 那什么是解方程呢？那你要想知道一个方程的解，你必须对这个方程进行求解，那你在求解的过程就称之为解方程。哎，求方程解的过程就称为解方程。哎，是过程， 而方程的解呢？哎，是结果，是结果，刚才咱们已经介绍过，对吧？这个大家一定要哎区分开来啊。 好，那么最后一个学习目标就是列方程，对不对啊？哎，根据实际问题列方程，把实际问题转化为方程。问题分为三步骤，第一步是寻找等量关系，第二步是设未知数，第三步是根据等量关系列出方程。 好的，同学们，这就是咱们本节课的内容，到这就全部结束了，欢迎同学们下次收看，拜拜！