武忠祥27考研基础篇严选题

那我们说这就是经典错误，标准的零分啊，但是改建的时候你就发现像这种答案同学很多很多， 所以呢，我们就希望大家不要犯这种低级的错误啊，就是送分都送不到手里来，那就太遗憾了，为什么错？你搞清楚他以后才不会犯这样的错啊，为什么错了呢？那我问你，这个 y 对 x 一 节，你要得到二节， 那这个左边要对谁求一次？对 x 求一次，但是你右边呢？ 这到这右边对谁求？对 t 求，你说你一个等式，一边对 x， 一 边对另外一个变量求，这还能是等式吗？当然不能保证是等式啊，等式求导数，要是求还是等式，要两边对同一个变量求导数。 那问题来了，我们要得这个左边只能对 x， 那 右边也只能对 x 啊，那右边对 x 怎么求呢？啊？这个思想要知道，就是你两边都要对 x， 但是右边直接表现为 t 的 函数， 那么所以呢，这个对 x 求倒要看作复合，那首先是右端对 t 是 二，但是还要乘上一个谁啊？ t 对 x， 这才是两边对 x 啊。你右端对 x， 那 就等于右端先对 t， 再乘 t 对 x， 这才是等式。所以这个地方呢，刚才的解法就是丢掉了这个， 但是 t 对 x 导数怎么求呢？我们可知道 x 是 t 的 函数，那我们知道，根据函数和反函数导数的关系， t 对 x 导数就等于 x 对 t 的 导数的倒数啊， 那么所以这个等于谁？上面是二，底下呢？ x 对 t， 我 们刚才求过，那这就是二 e t 加一， 所以这个时候注意，你要求 y 对 x 的 二阶，再 t 等于零的值， 那就是这个里边把 t 等于零带进去，那 t 等于零，在上面是二，底下的是三，所以正确的答案应该是三分之二，而不是这个地方的二。 那所以我们总结一下啊，这种题的一种经典的错误，一定要回避啊，就是刚才这个地方，这就是经典错误，正确的呢，跟错误的就差一个，谁啊？ d t d x， 因为两边是对 x 求，所以这个错误一定不能犯。 那么另外呢，一节导数大家注意是带公式，那有同学说，二节导数不是也有公式，为什么不带呢？你回去试一下这个二节导数，你要带公式做也能做，但是要比较麻烦。而我们用的是什么思想呢？ 一节导数带公式，二节导数就是一节导数两边求导这个思想，但是一定要注意，两边对谁求对 x 求， 而左边呢，是表现为 t 的 函数，那怎么对 x 求？那就等于右端对 t， 再乘上 t 对 x， 就 这个地方呢？这个不能少啊，这个地方切记要注意，算是一阶代公式，右二阶是两边同时对 x 求。 在这个时候一定要注意，右端是 t 的 函数，右端对 x 求，就等于右端对 t， 还要乘一个 t 对 x， 就 后面这个 t 对 x， 这个倒数，这个东西不能丢。那如果不出现这种错误，那像这种题，分数一定能够拿到手，但对数一数二，同学，这是常考的。

我们数学复习可以分为五个阶段来复习，这就是吴老师想给大家一个全程规划。那么这个二期的基础阶段啊，注意，二六年七月之前就最晚，那个时候应该接触基础阶段复习，当然有同学动手早，整个这个时间段可以往前面移。那么基础阶段呢，就是第一遍复习，主导思想是全面复习，打好基础。 那复习什么？注意，数学实际上复习主要就是复习三级，因为我们命题的人在命题的时候，他出题的时候就是考你三级，你看什么书，做什么题。那么大家注意，那第一遍复习呢？那可以用我们大学的教材，那做大学教材上的例题和章墨烯题节，后面的题就不用做了， 这是对大学如果学过高等数学，但是有的同学说，老师我大学就没学过数学，或者我学了很少，那就叫零基础。 那么零基础的写作业，你关注一下对吴老师给零基础的同学专门录的视频课，教材就是统计七百，所以你如果是零基础，你得先看吴老师的高数零基础的课，然后再来接这笔的课程。 那么这个按照大学的教材复习完了以后，就接吴老师的高等数学基础篇，这是时间比较充裕的同学先按大学教材复习，然后再来看。而吴老师的高数基础篇，如果有同学觉得时间比较紧，那也可以这样子啊，就是这个大学教材呢，放在手头，直接拿吴老师高等数学基础篇来复习， 那么这个时候在复习过程当中，如果有哪些地方不清楚，可以翻一下大学教材相关的部分，这样子也可以啊，那么然后呢？做题就做什么，那就这个内容，看基础篇，做题就做基础篇的严选题。 当然有同学说，我接触的时间比较多，我除了看你基础篇，做你这个严选题，我还有时间，我想再做的题目，我应该做什么题呢？ 那吴老师建议你可以做我们金宝时代出的数学那一年专题的基础篇，就是八七到零八年这个早期的数学卷子，那么这个呢？我们把它叫基础篇， 那这个时候呢，也可以再做谁啊？数学基础过关六百六十题。那我想很多同学都听说过这样的书，就叫数学基础过关六百六十题。 大家注意，这个六百六十题是专门为选择填空题而编的一个练习册，那么大家注意我们目前的卷子的选择填空题多少分？八十分超过了一半，所以呢，这个也是我们基础就在很好的一个练习册，它主要是帮我们来训练这种选择题和填空题，这就是我们基础阶段应该看的书，我们应该做的题。 好，那么这个时候呢，就进入到第二阶段啊，就是二六年的七月到九月二十号强化阶段，那么这一阶段是把书由薄读厚，而强化阶段正好相反，要由厚读薄， 那这样才能抓住重点。那么你要由厚读薄，那就是说归纳总结内容还有谁啊？常考的题型和方法，做了这样的归纳总结，你才能把书由厚读薄呀。那大家肯定会说，老师怎么做归纳总结呢？如果这个归纳总结让我们同学自己做，那当然难度很大，花的时间很多，还不一定有好的效果， 那同学怎么办？一定是借助于老师的归纳总结，当然是两种途径，一个就是老师的书，一个就是老师的课。 比如说这个强化阶段啊，吴老师专门为强化阶段编的就是高等数学辅导讲义，这就是那个高数基础篇的姊妹篇，注意这个是专门为强化阶段， 吴老师高等数学讲课就用这个，那么做题呢？他后面有严选题。那么大家注意，吴老师这个书在编的时候就这样编的，每一张一上来先给大家总结这一张常考的一些知识点，包括这段一些概念、性质、定律、公式， 然后完了以后再来总结这一张常考的题型，常用的方法。就这个书在编的时候，就在大家给大家归纳内容，归纳总结主要内容，归纳常见的题型和常用的方法，包括一些技巧。 那你可以在老师归纳总结这个框架下，然后用你喜欢的方式和语言，把它变成你自己的归纳总结，这是一个非常好的一个方法。 那么有同学也问他说，强化阶段要不要看参考书啊？可以看看什么？比如说吴老师和李咏乐教授编的数学复习全书提高篇啊，这是强化阶段可以看的啊。那么有同学说，那我强化阶段我还想再做题做什么？那除了这个高数讲义上的严选择题，包括基础题的没做完的六六零， 那么这个时候还有什么？就数学，我们专门为强化阶段编的数学强化通关三百三十题，那吴老师认为你强化阶段如果能够把这三本书上的内容题目把它吃透，那强化阶段要求就达到了， 这是我们复习的第二阶段。那么第三个阶段呢？那这个第二阶段的要求就不一样了，第一个阶段是叫了解，会用，那第二阶段就不是了解，就是理解啊，注意这个不一样的啊，理解是得概念，你要理解这个概念的来龙去脉，这概念的数学意义，这概念的作用得定力， 那要知道这个定力的条件阶段，还要知道这个定力的数学意义是什么，它的作用是什么，如何用这个定力，这叫理解。对于方法要掌握，掌握和会用，那就是完全不同的要求啊。掌握是指的你不但会用这个方法，而且会根据题目灵活使用这个方法，这叫掌握。 那所以这个强化阶段要求显然比基础阶段高多了，这是第二阶段强化阶段。那么第三个阶段呢，就是九月二十到十月十五号，就是一种专题的一些训练，就专项提高， 比如说这个里边重难点突破专题训练，那么一个呢，就是重难点突破，就在强化复习的这个基础上，重点难点要拿来要专门突破。那吴老师呢，专门编了高数福高等数学十七堂课，实际上呢，十七堂课里面每一个每一次课 就讲一个高等数学常考的一个重难点，就一堂课就是一个重难点。所以十七堂课实际上就是把我们考研卷子为高等数学部分，常考个十七个重难点，给大家再做一个专项的提升。 那么另外一个方面呢，就是从题型方面的提升，因为我们上了考场，我们的题就两大类题，第一题和第二题选择填空，那我们叫做选填题。 然后呢，从第三大题开始，那大题就叫解答题，那像这种计算题、正面题、应用题都叫解答题。所以我们是从题型的两个角度再做专题的训练。因为大家知道同样一个题，初上选择填空题，他往往他有他一些特殊的方法和技巧。如果你按照常规题的做法去做， 第一你可能慢了，第二题目就觉得很难，但是有时候找到一些灵活的方法，你就发现题目很简单，速度非常快，准确率也非常高。所以这个阶段呢，那就是重难点突破。然后呢，这个专项题目题型的提升。 然后第四个阶段就是真题实战，那么这个就是十月十五到十一月十五这一个月专门是做真题， 那么正题呢？主要是正题是占，查漏补缺。那么大家注意这个地方呢，实际上是两个阶段啊，这个近十五年，但这个地方应该就到二零二六啊，那这个呢，是我们后期的一个重点，这个呢，应该是金座啊，就近十五年，应该是金座。 那么前面这个呢，应该是选做啊，选做，就这十五年，不太要做，至少应该做两遍啊，精做。那么前面这个呢，你可以选做啊，你这时候把他一份卷拿来看啊，有些题我就非常熟悉，我都见过，我不用做，我就看一下这套卷子里面有没有我现在还不太熟悉的，或者没见过的。完全有可能啊， 因为有些题型在过去很早的时候考过的，近十几年，二十年都没考，那同学就没复习到，突然在新的一年里面出来了，所以呢就是过去的这个呢，应该是选作，那么大家注意，这两个牛皮袋里边装的是套卷，应该拿这个做，但是这两本书呢，又给大家把这些题做了分类汇总总结， 对这个分类规划总结对我们是很有帮助的，就是你如果专题刷完以后，你想想你哪方面有问题啊？是违反中制定呢？还是导数定义呢？你都在这个地方会找到对应的那样一个专题的规划总结啊，那么这样子就是这两个结合起来做专题，那么这样才能把专题刷透，才能取得一个非常好的一个效果， 这就是第四个阶段征题实战。那么接下来呢，那就是最后一阶段冲刺阶段啊，就十一月十五号到十二月的二十号考试之前，那么在这呢，大家注意，主要是全真模考查漏不缺， 那复习资料呢？一个就是冲刺讲义啊，吴老师每年在这个十一月到十二月都会讲冲刺班的课程，有个冲刺讲义，那么这个冲刺讲义实际上就到最后对每一张的主要内容，常考题型，常用的方法，再做一个最后的规范和树立。 那么当然这个立体的选择主要是考虑到两点，一个是典型性，一个是可能性。那么再一个呢，就是数学决胜冲刺六套卷啊，那么还有什么呢啊？这个六套卷啊，我们还有什么最后三套卷啊？金马时代出的最后三套卷，那看你是冲击名校 啊，还是我只需要这个过线就可以了，不同的基础，不同要求的同学可以做不同的三套卷，所以最后冲刺阶段呢，一个是对内容、题型、方法的系统规划总结，那么最后呢，也可以用这种冲刺模拟卷，然后主要是起到一个全真模考查漏补缺的作用。 那么到达最后呢？这个时候就要达到一个什么要求呢？就是到达一个融会贯通。所以吴老师认为数学复习可以分为这样五个阶段，细水长流，循序渐进，一定能够取得一个好的效果。

二七考研数学高数基础到底跟谁？当然是高数大神武忠祥了，看见了吗？二五二六二七都在我手里，当年学姐一句高数基础跟武忠祥绝对没毛病，我直接拿下武忠祥高数全系列。 众所周知，吴老师妥妥的学院派，讲课逻辑清晰，功底扎实，主打一个细节到位，毫无废话。他真的给我一种高中资深老教师的感觉，就是你上他的课，他不会给你整乱七八糟的，你就直接闭眼跟。尤 其是对于二期考研，现在正是打基础的阶段，我当时就是大一大二的时候，高数和现在双双挂科，数学基础特别差，然后当时咨询的学姐就毫不犹豫的选择红开， 果然没有辜负我的期望，全程跟下来一点负担都没有。而且吴老真的很注重基础细节，从他那句经典的错误，标准的零分，你就能知道他多么的注重基础，基础不对，其他后面都白费。 二期考研基础阶段你就跟武忠祥的高速基础篇，全程下来绝对收获满满，再配上严选题和六六零，六六零在考研数学界也是相当权威了，你就做吧，效率直接拉满。反正我全程跟下来，还是很喜欢吴老师的讲课方式和方法的，二期考研你们可以去试一试。

各位二十七考研的同学大家好呀，最近翻看今年新出的资料，发现吴忠小老师的高等数学基础篇和林永乐老师的现行代数基础篇做了一个很实用的调整。以前大家用这两本书最大的麻烦是听完课找不到合适的题练手， 要么题量不够，要么得去刷那种几千题的大厚本，很费时间。今年二十七版这两本书都随书附带了一本严选题，主播看了一下题目分层次筛选，难题简单题都有，都是配合章节核心知识点的。 听完一章课，顺手把这个册子做完。对于基础阶段的练习来说，难度刚刚好。在这个基础上，如果有余力，可以搭配六六零题。 很多人对他的印象是难，但其实新版对题目做了星级标注，题目难度一目了然，他主要强在对概念的考察，能检验你是不是真的听懂了。总的来说，这次习记做 的是一个比较好的选择。

那我们说这就是经典的错误，标准的零分啊。比如说我们来看这个题，那么这个拿到以后，大家知道塞以 n 取向无穷，塞以 n 等于这个取向零，但前面呢，这是个无穷，比上无穷， 那这个怎么做呢？你注意前面呢，这个地方上面是 n 加一次方，底下是 n 次方，上面呢比下面高了一次方， 那么所有的上面呢？如果拿一个 n 出来的话，那么上面跟下面就一样了，那这个时候拿出来 n 跟他写到一起， 为什么要写到一起？但这个呢？是不是又可以写成塞隐 n 分 之一除 n 分 之一，哎，这个不是就可以用基本极限了吗？那么前面剩下谁啊？剩下 n 的 n 次方，底下呢就是谁啊？就是 n 加一的 n 次方 啊，那这样一写的话，那我这个后面这个极限等于一，前面这个呢？哎，这个上面等于多少，底下等于多少，这个极限呢？也等于一，所以我立马就得到这个极限就等于一啊。做完啦， 那我们说这就是经典的错误，标准的临文啊，那为什么是经典错误呢？这个肯定是对着这用基本极限啊，那这个呢，是经典的错误， 那为什么错了？实际上大家注意，这个等于谁啊？这个就等于上面是一，就分子们同除他，那下面就变成谁，下面就变一加 n 分 之一的谁啊？ n 次方，大家注意，这是不就是那个 e 的 那个标志形式，所以这个极限应该是 e 分 之一， 而不是这个，这就是错误，经典的错误，所以呢，这个呢，极限是一分之一。那么所以你看这个标准的答案应该这样，先拿一个 n 出来跟它凑基本极限，那么后面这个呢，放在同除 n 的 n 次方， 那么大家注意，这是个基本极限，就是赛赢比 x， 这个也是个基本极限，那么所以呢，最后正确的答案就是一分之一，那你看这个极限过程当中呢，它就用到了我们两个最常用的基本极限， 但是这个地方呢，我们想强调的是，就举这个例子，不仅仅是会讲基本极限求极限，还想强调这个经典的错误啊，这个极限等于一，是个经典错误啊，正确的应该是一分之一， 但是在这地方呢，要注意，就是说这个，我们为了以后不犯这样的错误呢，哎，实际上呢，就是因为这样一个原因啊，大家注意看， 如果这是 n 的 p 错方，这呢是 n 加一的 p 错方，上下方面一样， p 是 个常数，那我们说这个极限等于一，这是正确的，就是导致我们犯这个错误的圆圈是谁啊？就是这个结论，那这个为什么又是对的，而我们这个为什么是错呢？ 实际上大家注意这个呢啊，你看人间实际上是谁？人间可以写成 p 错方，哪边上面是 n， 底下是谁？ n 加一， 人间是一的屁次方，里面底下去下一上面是屁，一的屁次方还是一啊？这个极限当然是一，而我们这个呢，那你注意这个你要写成那个形式的话，它是谁？它是 n 加一分之 n 的 n 次方， 那么这个底下也是去掉一，但是上面呢，它是去掉无穷，它是个一的无穷大次方，一的无穷大次方叫不定势，不定势那就是它的极限有没有？如果有等于几，它是不确定的。 所以这个呢？和这个的本质的区别就在于你上面是个 n， 人家上面是常数一的 p 次方肯定是一，但是一的无穷大次方那就未必等于一， 就区别就是在这啊。所以就是说你把这两个的区别搞清楚，那以后我们就不会犯这样的错误啊。

那么我们来看这个题啊，对吧？他说让我 f s 求零点一老数，对吧？魔术呢？高岛问题就是这三个方法到底哪一个？看它是有哪条件嘛， 比如说啊，你这里零点一老数可能是泰展开法吧。对，因为模拟题的第九题也讲过这个方法嘛，对不对？这不是定义出来展开，继续展开 对比系数嘛，得个答案嘛，对不对？那我这也展开了吧，你也展开到 a s s 方，但你看这 low 展开的吧，你这里面他缺二啊，不缺零啊，啊，不缺一啊，对不对？我这不涨价了吗？ s 减去二分之 s 方加三百零三十方，减四百零四十方嘛，对不对？他不需要一怎么办？不是加一怎么办呢？我真把这个二提出来变成这样子， s log 二加上一个一加上二， s 可以 不打开， 这不就行了吗，对吧？你看这个东西求导啊，就没了呀，求导导就没了呀。对， n 大 一嘛，所以它也不用管了，看它展开呗，对不对？我们对 log 展开嘛，这边一个 啊 s， 这是一啊，二分之 s 减去一个二分之一的二分之 s 的 一个平方，一加上去呗。 对，加上三分之一的二分之 s 的 三次方，加多少呢啊？加二分之 s 的 a 减一次方吧， 那系数多少呢？系数上面是负一的啊，加下系数吧，应该是 n 减一分之一，对吧，负多少次方呢？ n 次方吧，对不对？ 看一下基数的话它是正的，对吧？偶数的话对它是负的，是不是等于 n 减一呗， 没错吗？展开你可以带指定看一下嘛，是不是？然后我们再啊对比系数呗。啊，这个是 n 减二了，对吧？ n 减一再减一嘛，那不是 n 嘛，就就对了吗？嗯？ 然后这个系数吧，对吧？这样系数相等吗？就是啊， n 减一分之一的负一的 n 次方，对吧？这是二的 n 减一分之 s n 次方，对，再一个啊， n 减乘分之等于多少零嘛？那推出来了，我们的 因为老数等于多少呢？这个 n 减一，对吧？二的 n 减一次方分之负一的 n 次方， n 结成呗， 对吧？就这里到底是负一多少次方？你可以带直径看一下，就带 n 取二的时候，对吧？就一次方吗？正的吗？懂不？ 那么我们来看这个题啊，他告诉我 f s， 对 吧？他要求 s 点 s 逆导数，这高导问题就三个方法嘛，对吧？他每放都有自己的适用条，适用条件啊， 比如找规律法，用常见的公式求逆导数规律，你要知道了啊， 对吧？这都怎么怎么来个一推推出来的，一个推出来的吗？对吧？你说这个题，这分母一看就是逆时针分解吧，对吧？就那个 s 减二， s 减一分之一吗？不对。一个 s 减二分之一减去一个 s 减一分之一吗？对不对？ 你看他邻居老处相当于他邻居老减他邻居老呗，对不对？这可以套这个公式吧？这可以套这个公式吧，对吧？ 我们导一个看一下啊，这个是 s 减二分之一，求一次导呢，对不对？一个负一乘一个 s 减二平方分之一啊，对不对？求两次导呢，是不是在一个 负一乘，一个负二乘，一个 s 减二三方分之一啊，对不对？那不是 s 减二三分之一的三角岛呢？负一负二乘，一个负三乘一个 s 减二的四角分之一呗，应该是对好这个规律吧， 对吧？你负一的三的方提出来，对吧？三阶乘对他两个嘛，这就是正好四的方。因为你这里面求导的话， a 加求导是几啊？ 他是一吧，对的， a 的 一的 s 方嘛，对吧？不过他也一样嘛，因为求导之后，你要他对里面求的导嘛，对不对？这不出来了吗？所以你 a 减二的分之一的 n 倒就这一个，什么 a 减二的 a 加一分之负一的 a 次方 a 结成呗，对不对？那你 a 减一的跟你讲一个道理啊， 对吧？就是 s 减一的 a 加一次方，分之负一的 a 次方乘以结成嘛，然后它想减，不就等于你要结论了嘛，对不对？ 大家好，我们来看这个题啊，它高 f i 长三 s 平方求 f i n 倒数，对吧？咱们这里有这些方法啊，对不对？那你看它这个题是属于找规律法的，为啥呢？因为我们讲这个可以记一下， 对不对？但是你看你这都是三异，一次一次求一到你平方，咋办呢？那我们二百五十乘以一减去二百三异方， 我们推出我们三一的方，不对，一个一减可三二 s 比上一个二呗，对不对？那你 f s 就 对一个二分之一减去一个二分之一的可三二 s 喽， 你这个球早就没了呀，看他他球倒了呗，对不对？你，你可以把套入公式的吧，对吧你？当然这球公式也早会推出来了，比如你看 y 等于三 s， 举个例子，球倒了等于可三 s 吧， 你不能，你要跟你是有关系的，你写这个，这样吧，三 a 加二 pad 会，这球一倒了一样的，可三 a 加二 pad 在基础上它的一个三幺的再加上派，再加上派不乘以二吗？对不对？过去不这样吗？每倒再加个二分之派吗？对不对？它这里是 a 的 s， 是 不是多乘 a， 对 吧？这样负二求倒吗？ 所以这题不就出来了吗？嗯，你 f s 的， 你老数啊，等一个发文提出来它套公式，对吧？这是二的 a 四方可参与的二 s 加上二分之 a 牌， 对不对？那这不是变成负二的 n 减一四方了吗？ 我们来看这个题啊，它说 f l 可倒，跟你说 f 零， f l 一 零都等于一，求极限，对吧？首先你看又加上 log in 了，它里面缺少于 e 吗？显然缺少 e 了吧？ 对，因为它可导 b 连续，所以这个极限肯定是等于函数值的，它去上一了，对，就等于一个 limit， 还是去上零的时候， f s 减一分之 f 三 s 减一吧，对吧？ 我能错倒定义了吧？这里移下来可不可以啊？我，你看你一就写了 f 零呗，就写 f 零，对吧？这写 f 零可以不 啊？我能不能变成三 s 减零就是三 s 呗。这我乘除个乘一个可以吧？ 这再出一个乘一个可以吧？那这样不等下余量了吗？对不对？这不是一吗？这边是一吗？那么等于一吗？对吧？这错倒另一个斜， 嗯，通不好。我们来这道题啊，他说已知 f 零等于一，跟那个极限等于一，他证明 f x 在 零处可导，并且导出值，对吧？ 那你肯定要知道你要求啥呀，对不对？你可导不是证明导任意存在吗？导任意不是个极限吗？对吧？那不是这样的吗？ f 到零等于零点零的时候， f s 减 f 零除以一的话，那么等于一个零点零的时候， f s 减一除以 s 吧，对吧？那如果你这个极限存在，证明是可导了， 这是题，是不是要以这个极限求另外极限呀？对呗，那我是不是想办法从这里面凑出这个结果？咋凑呢？ 你看这两个式子有什么共同点嘛？都有 f s， 对 吧？肯定要有凑出它的，那我们通过这个式子把它凑出来呗， 对吧？一，等于一个连每个 s 到零的时候，这是啊，烙印的一减二 s， 对 吧？你看这个是不是等于个二倍的 fsb 呀？你这也是 fsb， 但是我再减二的话，不是得出结果了吗？ 对，那我这可以加上一个二 s f s， 我 那么减去一个二 s 除以个 s 方再加二 s 呀。对，你这个不正好要了结果吗？ 啊？还有很多人可能会问了，可能会这样做错了题啊，就是说，哎，那我不能把这个负二 s 给它叠压成一个，叠压成负二 s 吗？这里 这不等价的，因为你这一部分他与他是不是成熟关系，懂吗？那就不能局部等价， 就是加减里面不能等价，懂吗？所以这样做等价就错了。所以你看，你通过凑呗，减一个加一个，对吧？那这不是引号结果吗？不就等于一个二倍的 omega x 零的时候啊， f s 减一除以 s， 对 吧？加上一个这个极限呗。 零点零的时候啊，二 s 加上一个 lon， 一 减二 s 比上 s 方， 那这不是那个二倍的零点零的时候， f s 减一除以 s， 对 吧？那这里我是不可以啊， 对吧？泰勒呗。对，我加上六百圈里的时候啊，二 s 加上负二 s 减去一个二分之一的负二 s 的 方出一个 s 方，这不就约掉了？这不等一个二分之一乘以四的方就是减二呗，对不对 啊？ f s 减一除以四再减二嘛，所以它是等于二分之三的吧，所以就等于一个二分之三嘛，对吧？当这个题啊，你也可以啊，直接从这里就泰展开啊。泰展开也可以啊， 到刚说你不能等价，那我泰勒可以吧，整二节不就够了嘛，对不？那么写呗，这不是一等于一个零点二零的时候， 对吧？这是啊，负二 s 减去一个二分二分之一的负二 s 方，对吧？加上一个二 s， f s 除以一个 s 方，对不对？你这样的话，你看你这也出现你要的结果了呀， 不是等于一个二倍的内，每个 h 二零的时候，它减它除以 s， 它不是减二吗？一样的 啊，通过啊，天象减相，图尊想要这个结构是吧？你要拿你这个式子极限跟原式极限做对比，怎么得到你要的极限？

没有什么基础要怎么配合？没基础就叫零基础啊。那么零基础同学注意啊，吴老师专门为零基础的同学录了视频课，那么教材用的是同济大学高等数学七班。那吴老师这个零基础的视频课呢？是在中，然后每一次课做哪几道题 都都有布置，并且那些题目还有这个我们可爱因子的讲解。所以呢，先是看零基础，那个零基础完了以后就可以接我们这边正常的基础班，强化班就是基础篇，高等学府的讲义可以这样复习下去，就多一个零基础阶段这个课程和复习。

刚开始跟吴老师高数基础阶段这样学就好了很多，二十期考研同学陆陆续续跟着吴老师基础课，但是不知道应该怎么学？伍忠祥老师的基础阶段超强使用攻略来啦， 帮你基础阶段顺利通关！首先就是上什么课？吴老师高等数学基础班约五十小时，包含数一二三全部的高等数学内容。数一学完全部十二个章节，数二学前面九个章节，数三 学前面十个章节。课程配套教材呢，就是我们的红开高等数学基础篇，让我们一起开门红课程学习建议由于吴老师每次课程时长在两小时左右，全程都是干货内容， 建议大家按照预习、听课、刷题、复盘四个步骤来进行。第一步，预习吴老师一般每次课程讲八到十页，因此同学们在听课之前先看一遍这几页中的基本定义、基本概念，不懂的地方圈以下，防止上课走神。 另外需要提前做一下书本上的例题，只有做题才会逼你主动去思考。第二步，听课听课过程中我会重点记三个内容，并且都直接记在高等数学基础篇的书本上。讲课过程中帮助自己理解定义的内容， 讲题过程中和自己思路不一样的步骤，讲概念过程中拓展的公式和知识。对着这些笔记再去看高等数学基础篇， 真的会顺畅很多，因为我把自己二刷有可能遇到的问题都备注在旁边。第三步，刷题课后一定要通过刷题来巩固上课所学内容。基础阶段推荐以下练习题， 高等数学基础篇例题这本书上的例题都很经典，每一道题都值得大家二刷。另外就是学完一个章节就去完成。对应的例题都很经典，每题限时就标记为难点题， 做完立即对照答案解析，重点关注自己的思路与标准解法的差异，并在错题本上记录错误原因和正确思路。 在完成严选题的基础上，还可以进一步练习章节末推荐的六百六十题优选题目，稳扎稳打，逐步提升你的解析能力。第四步，复盘整理常用的公式把常用公式的整理到一起，是方便自己经常翻阅和查看。 把常用公式都罗列在一张纸上，经常翻一翻。总结例题中的结论，总结这些结论，方便自己后续做题直接使用，同时也会积累一些新的做题技巧，提高几题速度。 但要切记，在课后复习做笔记的过程中，千万不要抄概念，不要抄定义，这两件事情无意义。那就这些，大家只要备考方法对，节奏稳，坚持练，再难的知识点也能吃透， 再复杂的题目你也可以解。二期考研的你，现在开始一点都不晚，扎实走好每一步，上岸一定稳稳哒！

那二七百的高等数学基础篇这个新书已经出来了，那么另外呢，今年变化比较大的是吴老师专门为高等数学基础篇配了研试卷，那么下面呢，就新书的一些变化啊，和我们这个使用，给大家一些建议。 作为吴老师的高等数学基础篇，那这个内容呢，进行了全面的升级，主要体现在以下三个方面。那么第一个方面呢，就这个增加了基础的研试卷， 对于这个题目呢，一共大概有三百三十道题，而这三百三十道题里边，注意差不多有百分之八十的题目，都是吴老师结合基础篇的这个内容，精心编制的一些新题目。而差不多有百分之二十的题目，吴老师是在往届的考研专题里边精心挑选的一些非常典型的一些练习题， 那么增加这个严选题呢，这个目的主要是这样的，那就是我们看了内容，那么做了例题，那么真正要把这个内容掌握好，肯定要做练习题。 但是过去呢，吴老师的高等数学基础篇没有配备相应的练习题，那么很多同学呢，就得在别的地方去找题目来做，但是别的地方找的题目呢，往往跟吴老师高数基础篇这个内容不太配套，那比如说那题目里边有时候用到的一些方法，或者用到的一些知识点，或者用到的一些这个技巧，在基础篇里边还没讲到， 那么这样的话，同学们就花很多时间做，那题做不了，那么这样子复习的效率就比较低。所以呢，今年吴老师专门这个给基础篇编了这个严选题，那么这三百三十道严选题，完全是跟吴老师高数基础编的内容完全相配套的， 所以学完每一张的内容，做每一张相应的这个严选题，这样子的话可以提高我们复习的效率，也给我们同学的复习提供了很大的方便，这是今年的一个变化。 那么第二个变化呢，就是这个例题全部增补了答案和解析。大家知道吴老师的高等数学基础篇，过去有一部分例题呢，这个在讲义上面呢是空的啊，没有详细的这个解析的过程。那么今年呢，把这些呢全部补齐了，也就说吴老师高中辅导讲义上面所有的例题 都有详细的这个解答，那么这个呢，主要是为了便于同学学习，那么实际上呢，也就降低了大家学习的难度啊。过去很多例题没有详细解答，那么很多东西自己做呢，又做不对啊？做了以后对不对，好不好？没有一个东西去可以对照。所以今年呢，就是所有的例题都有详细的解答，那么这样子主要是便于我们同学使用这样的教材。 那么第三个呢，就是更新了部分内容和立体，就是结合这几年考研视题视变他的变化的趋势，我们更新了部分的内容啊，比如说过去很多年都不考，但是近几年拿来考的这些内容，我们就做了一些增补， 比如说这个电竞放在物理当中的一些应用啊，什么引力问题，那过去在我们考卷里面几十年都不考，但是近两年考了，所以我们就是根据近几年考研试卷的变化趋势，然后增加了相应的一些内容，也更新了部分的立体。那这就是今年高等数学基础篇，那么它这个变化的三大主要部分。

点不可倒的事，就这四个函数，谁在零点不可倒，那么大家注意，他们都带有绝对值，要看他在零点可倒不可倒，那一般都应该使用定义啊，那么在这呢，我们几个方法都用一下啊，要么是选择题，我们用直接法、排除法， 首先我们用直接法，那位同学说，那直接法，你怎么看出哪一个一定是在零点不可倒呢？但是这个有一个分析过程啊，就是我们一开始呢，一般应该从第一个往后面看，但实际上呢，这个地方大家注意啊，我们说这个， 那有同学说，你怎么知道这个呢？你看按照这个倒数的定义，它在零点 a 倒数的定义式就是 x 去向零， 然后呢， f 减 f 零， f 是 谁？ f 是 cosine， 根号 x 绝对值减 f 零 f 零是 cosine， cosine 等于一呀，然后除以谁 x， 那 么这个时候我们要熟悉这个键呢，就是 x 趋向零的时候，我们知道一减 cosine， x 等于加于谁？二分之一， x 平方， 那么所以这个分子应该等于谁？他是减一，他就等价于这个负的二分之一，谁根号 x 绝对值的平方，这下除以 x， 那 这个应该等于谁？负的二分之一？ x 趋向于零，下面是 x， 上面是谁？根号 x 绝对值平方，就是 x 绝对值。实际上我们知道这个极限应该是不存在的，为什么？因为它这个极限应该 x 如果趋向零，从大于零里边去，里边是正一，那这就是 far 分 之一， 这实际上就是右倒数，如果 x 呢，从小于零的边去向零，那这个是负一，最后就是二分之一，那这说明这个函数在零点左右倒数，从再大点不相等，当然零点不可倒。好。

二期考研数学基础卷该选择哪些题型？上一期我们聊过了，卷老师是红开还是蓝开，那么这一期我们来给大家详细讲一下基础卷的题型有这么多，该怎么去选择。那么首先先说一个结论，我个人是比较推荐基础卷，你跟张宇强化卷的时候跟武忠祥，因为呢，基础卷张宇老师讲得多，强化卷呢？武忠祥老师讲得多， 所以在基础卷呢，三十讲在一千点 a 是 跟那张宇老师的一轮推进的那个内容之后，你再去一轮，结束之后再去选择是跟六六零啊，还是一千八，懂了吗？然后跟着吴忠祥老师就是高出基础篇加基础研选题，解决三基基本概念，基本理念和基本方法之后再选择其他题型。然后对于有一些同学基础比较薄弱，我个人，特别是些三九六的同学，对吧？或者速龙的你们。 然后呢，有这种新向同学，你可又准备考数学？那你就试一下周阳新老师，他的是基础讲一，他加上八百题，他八百题当中有个基础五百题 也适合你们。当然还有一个同学，他连基础班的课都听不懂，然后目前有一些博主会说一些啊，需不需要听这个零基础的课？说句实话，我已经拿了三到四年的结果了，我跟大家说一些很公道的话，如果你连基础班的课都听不懂，你就不要去硬听课了，所有绝对的话 都是取决于这个每一个人的认知，我不敢说我的认知是是很超前，但是我跟你说，如果说你知识点漏洞比较多，你听都听不懂，你就不要去硬啃你，就算你硬着啃，啃完之后你也解决不了。就是学习有三个境界，一个是懂了，一个是会了，一个是熟了。如果你懂了，都很难做到，你怎么去推动会了怎么去推动熟了呢？你连就不说做题了，你听都听不懂， 懂了吗？然后呢？你们这类同学，像你们专就是有文科生跨考数学的，或者是专升本，或者是很在职考研同学记住一定要去补一些大学的高速基础教材的那个课本的预课内容，然后尽量去练一下三大计算。你们的目的 不是为了做这种无用功，是为了让你争取在三月份之前能顺畅的听懂基础班的课程。去年我就带了一个同学在工地上面工作两三年的，他不知道连诱导公司都不知道是什么同学，让他慢慢补谁哪个老师的基础班的课听不懂，慢慢补零基础课一定是当务之急，不要去盲从。 任何博主说的话，包括我现在说的话，都取决于我自己的认知，但我确确实实拿了三到四年的结果了。好吧，那对于一月份，我要给你们提了一个要求，就是一月份作为基础阶段的那个关键启动期，我希望你们是打好基础，然后尽量去了解这个考研他会考什么东西，对所有老师基础讲义中的核心知识点形成一个清晰的框架 知道吧？能复述一些定义定义公式就可以了，能尽量的去独立的完成配套习底级的全部题目。然后最后我再讲一下就是会做的题目，你要得到一个结论，不就是他的定位下他是什么知识点是清楚的，不会做的题目你也要达到一个。就是我是哪个地方不会做，我是题型不会了解呢？还是知识点不会通过复盘搞懂这些解析思路。然后呢， 不会的题目尽量圈好，标注错误，方便下一次来做。你不要觉得你做一轮你就结束，一个同学跟我说下次讲一千写完，刚刚我结束了，你真的结束吗？你正确率有多少呢？如果说你第一轮只有百分之五十到百分之六十，那你记住，你一定要尝试的去做第二轮。所有同学不要觉得我只刷一轮就行了，学习是循序渐进的，你要刷至少基础阶段至少刷两轮，除非你一轮的时候洗涤剂正确率有七八十， 你可以只刷错题，对于绝大部分同学来说都是五十到六十，正确率六十左右。那你记住，你要第二刷的时候，先刷题，再刷奖励，通过刷题找到问题，然后再回归你的基础奖励。比如说你刷了一千题， a 组， 把你的题目全部再刷一遍，然后呢，特别简单的可以不写。然后呢，把他问带着问题去回归你的奖励，去加深你的理解，纠正你的认知偏差，能理解吗？不要觉得你一开始的理解是正确，就是政治上面有一句话叫否定之否定。 好吧，你只有发现问题，然后呢去纠正，这才是你进步的一个过程。那二六考研的学长学姐，如果你们觉得有道理，也可以把你们的一些经验发在评论区里面。二七考研的同学认真推荐啊，你们是我的第一批粉丝，学长一定要带你们认真上岸，超过其他考研博主的同学拜拜！

二十期考研数学不知道从何开始？假如你准备跟吴老师的话，可以来看一下这个视频。关于考研数学什么时候开始，小编建议再晚也不能晚于二月份了。高数不同于其他学科，基础打牢真的很重要。首先是书本选择，选择吴老师的话， 高数基础篇肯定必不可少了。高数基础篇不区分数学一二三，书本中会注明哪些是数学一要求的，哪些是数学二要求的，哪些是数学三要求的，根据自己所考去进行学习。 这套题课后一定要通过刷题来巩固上课所学内容。基础阶段可以使用以下练习题，高等数学基础篇例题都很经典，每一道题都值得同学们。二、刷高数基础篇严选题， 学完一个章节的知识点之后，就去做本章对应的严命题学练同步金榜时代会有配套习题的课程讲解， 六六零重点题六六零总体的难度较大，但是每一道题目都值得大家反复体会，所以基础阶段推荐可以只做重点题目，做题顺序、知识点常考题型与典型例题。严命题六百六十题搭配课程，吴老师高等数学基础课或书课包或代学营， 三个选择总有一款适合你。首先是吴老师高等数学基础课，吴老师亲自授课，逐步带你吃透概念原理及清晰的知识网络构建。另外，基础课程如果感觉听起来很费力，可以先去去小破站听，吴老师高等数学零基础课，基础扎牢，考试更稳。 二是书本自带的书课包，买书即可获得课程金榜时代名师全新录制书本，扫码即可观看！这个比较适合基础较好、规划能力较强的同学。三是代学版课程，适合基础较差、规划能力较弱的同学。 章节计划为你制定，主讲老师代课答疑，严小题带领讲解，全方位为你服务。然后关于时间规划，假如你从寒假开始学习考研数学， 建议每天花两小时听课啃教材，这一过程定义关键词标出来，对着例题琢磨怎么用。另外花零点五小时整理错题， 重点是当天学的，一定要当天复盘。睡前建议花十分钟默写定力和公式，再快速过一遍例题关键步骤章节结束后，就可以留一天时间做严小题和六点零细题。最后就是高数基础结束。参考标准，每个同学进度不同， 具体基础阶段结束可以参加以下标准，高数基础收尾两大参考标志，同学听完高等数学课程，做完对应配套练习题， 标志着高等数学基础阶段基本结束。同学二，刷完高等数学错题，能说出高等数学每个章节大概知识点模块，标志着高等数学基础阶段彻底结束。以上就是二十期考研基础阶段高数基础篇的使用指南，大家有什么意见或者不清楚的也可以打在评论区啊！

证明很简单，就用我们基本极限凑一就可以证明，但是注意这个结论，做一的无穷大侧方的极限非常方便， 为了大家用起来更方便，我们把它归类成三部曲啊。那么哪三部曲呢？就第一步拿到这个一的无穷大侧方。第一步呢，我们就要写标准型，所谓标准型就写成一加二法的北塔，那为什么要写这个标准型呢？ 因为既然是一的无穷大次方，阿尔法肯定趋向零，贝塔趋向无穷符合这个条件。因为这个时候算这个极限的关键是算这两相乘，所以写这个标准型目的就是找阿尔法，找贝塔。因为算这个极限的关键是算这个呀， 所以写标准型就是找阿尔法，找贝塔。找到以后我算这两相乘的极限，这个一算题就做完了。原式极限就等于一的 a 次方， 所以我们把用这个节呢求一的函数方程极限，我们把它归结为三部曲，第一步写标准型，第二步算阿尔法特贝塔极限，第三步写答案。 他给我们 e 的 无穷大次方出现带来方便。但是也有同学可能想了，哎，老师，我大学学过一个呢，凑 e， 我 们刚才也用过这个凑 e， 但是凑 e 只能做一些比较简单的。哎，我们大学还学过改写成 e 或者取对数用洛贝塔呀，当然可以，但是他没有我们这个三步曲简单， 所以以后做一的无穷大词方。那么希望大家试着用这个方法做他比我们大学学的那个凑易或者改写用诺贝尔来的更为方便。好，这就是关于利用基本极限求极限这地方写常用结论和基本的思想方法。

嗯，朋友们好，我们来看这个题啊，它以 f n 满入这个等式，它求它表示啊，这是个高中题吧，对，它的变量不统一，那求它表示对不对？ 那咱们就是可以构造一个方程出来，比如怎么构造呢？你这样说，把这个 s 全部改成一减 s， 可以 吧？是二倍的 f 一 减 s 加上一个 f 一 减去一减 s， 对 吧？等于一减 s 平方， 那这不得了，是二倍 f e 减 s 加上 f s， 对 吧？等一个 e 减 s 平方吗？你就把这两个拿一起看，把这看未知数，可不可以？ 这不是方程吗？解它吗？对吧？比如这个是一式，这是二式，我们是不是只要啊把这个给消了，就得到我们 f b r 式嘞？ 那我们用我的二式减式去，一式乘以二，你乘二的话，对，那变成二四二呢？它变成什么样了？ 变成一个啊，负三 f s， 对 吧？对，一个一减 s 的 平方，减二平方呗，那你就除以负三不行了吗？ 对吧？那么出来来化验一下， ok 了，这种题就是高中题啊，它变量不统一的时候，怎么让它接入 f b r 式？ 同学们，好，我们来看这个题啊，它是个求极限的题啊，对吧？这里你看一一般是又得了个新的新的求极限技巧，就这根号相减嘛，对吧？放就是根号差，可以由理化啊，就是根号框框点根号三角形，它就变成一个啊，就是同乘这个呗，它相加吗？ 它是有理化，这个还挺重要的，这是以这个求极限技巧，这不是你哐哐减三角形，去根号哐哐加根号三角形呗，对不对？ 你看这题根号上有理化吧，这不等于一个啊，另外一个 n 圈无穷十，对吧？你看它变成这两个里面相减了，那就是 n 加一减 n 呗，不是一嘛，对吧？比较什么呢？它相加呗， 那这样便是乘一个根号 n 加一吧，然后这是一个无穷比无穷，对吧？当它抓大头，它不最大的吗？对或你可以这样做，同除以最高，最高限，它最高限吧？ 对，我们同除以根号 a 变成这样了， e 加上 n 分 之一，开根号根号 e 加上 n 分 之一加一啊，这样，你看 它不是一吗？它不是一吗？它不是一吗？就等于二分之一吗？那不求出来了吗？这是也是一个求函数极限技巧啊。 朋友们好，讲这个题之前我们先讲一个结论呢，我们先从这个题开始入手啊，对吧？它给我，这是什么结论呢？你看这题，它写方法是用加减角去做的，加减角，你就说你给它放大放小，对不对？你两边极限 它是一样的，结果是一样的，对不对？那中间这结果就这个结果呗，所以我们可以这题一段放松吧。 怎么放呢？你这三个数不是二 a 加三 a 加四 a 吗？你要放放大全变最大，可不可以小等一个三乘以四点一四方。放小呢？全变最小了呗，三乘以二点一四方， 然后你看他两个开 n 分 之一次方呗，他这个变成一个三的 n 分 之一乘以个四，这变成一个三的 n 乘以二，让你在 n 圈无穷十。对，他是二，他是四，这样显示不行的。没有夹住呀，对吧？你准备是二分之四，你没有夹住怎么办呢？ 那我们找原因呗，对不对？你看我们这里，我们，我们是把最大的最大线给他丢了呀， 你，你把不能把最大象扔掉，扔掉的话你肯定夹不住了呀，是不是最近我这能这么写啊，叫四的意思吗？他不肯定成立了吗？对不对？再开什么意思吗？他变成四了呀，所以他就不等于几啊， 是不是等于四呀？那是不是得了一个结论，就是长这样的，就说 limit n 圈无穷十，对吧， a 一 的 n 次方加 a 二的 n 次方加了一个 a n 的 n 次方， a m 的 n 次方吧， k 根号 n 次方。那什么，这里面最大值吧？有 a 一 a 二一到 am 的 最大值呗，对不对？那怎么会给你出题呢？ 比如给你个恋恋感情用时，对吧？一的一次方，就一加上一个 s， 一 次方加二分之 s 二次方开一次方，对吧？那怎么怎么去求它呢？ 它是不是等于这个 e n 是 吧，等于一个，这样呗， e n 加 s n 加二分之 s 平方 n 吧，这不是个分段函数吗？就说 e s 二平方谁最大吗？选谁呗，对呗， 那如果我把这个题呢？啊，一改成二了怎么办？它就可以变成一个 e n 一 次方加 e 的 一次方，结果还是这个呀，还是不变的呀，对不对？ 好，我们来看这个题啊，这不这么做吗？对吧，它写什么？ limit n 圈无穷到十， e n 加 e n 加负一的 n， 对， 加二的意思吧，看根号的意思吧，等于几呢？等于二吧，二不最大吗？那不就二呗。 对，你要把这个结论记得，对吧？运用是这么运用的，推倒可以从这个开始推放，全部放最大或放小，就是保一个最大的就行了 啊，朋友们，好，我们来看这个第四题啊，它这个题是一个啊， n 项和的数列极限问题啊， 数列极限 啊，这种题有两个方法，一个就是啊，假逼准则， 另外就是定义分，定义啊，定义定义，我们的后面数学题上定义分，又在讲定积分的定义， 对吧？加减乘其实很好理解，就说你把这个竖列给他放大呀，放小呀，对不对？然后求完极限之后，他这个结果是 a， 他 结果是 a， 中间是 a 呗，对不对？那那怎么考虑到时候哪个方法呢？那为什么是定为零？为什么加减乘除呢？ 对吧？用哪一个什么标志吗？你看他这种题特点是这样的，就是很多线相加，他有不变的，然后是加一个变化的分之一这种类型的， 就说如果你的变化的它最大，相跟不变相比，若是次量级，对不对？不变的，若是次量级的关系， 那我就考虑使用加分子，懂不？那如果同量级呢？就考虑使用啊，定为零一， 那可能就不懂了，什么叫次量级，什么叫同量级呢？你比如说他想删除，对吧？删除如果是等于零的话，那非零长数的话，不同量级吗？对不对？那我怎么放呢？ 你要记得这个放缩的时候，你只能去放这个变化的东西，你看是不是他一直在变， 对不对？你看这样在一起，在一起的时候他是个老大哥，他是小弟啊，他们都小弟吧，对不对？那你就弄小弟啊，不弄这个老大哥啊，他是个主体啊，对吧？你要说你放缩的时候，你比如我把这全扔掉可喂， 对吧？变成一个 n 平方分之，第一项是一，第二是二，第三项是个三，一到 n 呗，对不对？那平把全部扔掉不就变大了吗？这不对，一个 n 平方分之二分之 a 乘以加一吧， 对吧？再 n 圈五选十，它去二分之一了。那放小呢？怎么放呢？你要，你要把分数变大再变小。对，把分数全变最大了，变这个 n 平方加 n 分 之一加二，一加了一个 n 吧。对，它就是变成一个等于一个二分之 n 乘一个 n 加一除以个 n 平方加 n， 也是趋向于二分之一的吧。 那他极限不就等于一个二分之一了吗？对吧？你看，我现在强调的是你放错的时候，你放谁就放这些。小弟，你分子不能放啊，你分子也是主体啊。对，就是他们的存不存在都整是没有任何影响呀，他就叫次量级。 同学们好，我们来看这个题，这题也是一样的。对，我们快放到这个第四题的一个解法。对，我们考虑什么？什么方法 是不考虑使用？你咋不选择呀？因为对吧，这老大哥， n 平方后面都是小弟呗，对不对？那小弟存在对整的事没有任何影响吗？可以忽略不计吗？可以扔掉呗，对不对？那就小点一个全扔掉， 就是 n 分 之一乘以 n 分 之一加 n 分 之一加下去，对吧？那这不等于一嘛？放小了前面最大的项呗，它不是最大的嘛，对吧？这不根号 n 平方加 n 分 之一加一加一，一加二个 一呗。那不， n 个相加 n 除以根号 n 平方加 n。 那 不取上一嘛？抓头不取上一嘛，不等于一嘛？ 同学们好，这个题啊，我教大家记一下。怎么记下这个泰坦公式啊？你，比如你，给你三点来，是不是？你这样吧， s 减去三减成三字方，对不对？加五减成五次方，一加下去吧，减切成七字方。对， 那包括这个阿克萨尼怎么记呢，对吧？ tan 怎么记呢？对不对？阿克萨尼怎么记呢？ 那我怎么记的？我这样记。你看，首先它俩是反射关系吧，对吧？一个不是，一个不是，这样吗？ 这个零点斜率是一吧，对吧？你求导的时候不是可三 s 零点也不是可三零等于一吗？ 所以它是 s， 是 切线，你看它以切线为基础，它是对减向下反，不是减吗？那 r 三 e 不是 对称过去了吗？和外沿对称吗？那不是 s 加三二三的方， 对吧？算阶乘啊，那它内也是一样的，它内是，是这样的，你看， 这不是 y 点 s 吗？它是向上的吧？对，那它是 s 加三分之二三的方，那它呢？它是 s 减三十三的方， 对，一个向上一个向下嘛，但是呢，它后面还有啊，它后面还有加五分之 s 五次方，减七分二七的方，等等啊。 哇，这两个后面是没有这种规律的，后面也有，但是没有规律，我们就不记他。对，这几个是有规律的，这样，你看，一个是减，一个加 一向上翻，一向下翻，对，这一样的向上向下嘛，那这个题对我们可以考虑使用啊。路标法则是不是？当然我是，我是不是也可以使用啊？他展开做呀？对，首先你分母是不是三节了？分解成三节形了， 对吧？同占呗，这不是 s 加六分之三的方？ 对啊，不是，写错了，这是贪利啊。加，减去一个三分之三的方，那这个时候减去 s 减六分之三的方，除以 a 三的方，对吧？负三分之一加六分之一等于一个六分之一呗，对吧？公式也这么可以这么记啊。 同学们，好，我们来看这个题啊，这题是已知极限求参数的题，对吧？那首先这个极限是个密值函数，我们讲过吧，密函数可以去指数数吧， 对，变成一个啊， e 的 limit g x n f s 呗。对，我们在这个选择题的第五题讲过这个技巧了啊，先翻一下，那这题你看，首先是变一个 八的一个 e 的 limit n 圈无穷， a 圈无穷时，三分之 s 乘以个 lo in a 减 a 分 之 a 加二 a 吧，对吧？那我是不是讲过这样 lo in， 想什么？ 想框框吧，在框框减一，在框框圈上一的时候，对不对？那这里你看，你在 a 圈无穷时，它里面是不是圈上一呢？ 抓大头呀，最大的，这无穷无穷，那不取上一吗？那不等于一个一的另一个 a 圈无穷时，三分之 s 乘一个 a 减 a 分 之 a 加二 a 减一吧，那减一标也是上面是去减 s 加 a 吗？ 对呗，那变成一个 e 的 另一个 h 二五乘以十三倍的，还减 a 分 之，这约的约三 a s 呗。对，就抓大头呀，三 s 三 a s 就 e s 方 一 n 等于八，按理 a 不 等于一个，对吧？小于八吧，等于小于二的三次方等于三倍小于二吧。对，这不还是算极限吗？说白了， 同学们，好，我们来看这个题啊，这个题你看跟这个 d 级里没有啥区别吧，对不对？第一步我们想要取整数，那我可能用这个公式，对吧？我们套呗， 这边一个 e 的 limit x 零的时候啊，可三 s 减一分之 s 等于 long， 二减去一个 s 分 之 long 加 s， 然后你看该等价，等价嘛，就等价乘一个负二百零一平方呗，对不对？那变成一个 e 的 limit x 幺零的时候，对吧？负二百零一平方分之 s， 那 这里绕行吗？你看 x 幺零的时候 他缺少一，那他不也缺少一吗？二减一不缺少一吗？点一框减一吗，对吧？那么写呗，这不是一个一减去 s 分 之浪一加 s 吗？ 那这里能约的约吗？约了个 s 变 e 四方了是吧？那这里可以去啊，给它通分一下，变成一个 e 的 另一个 h 二零的时候， 对吧？这是 s 分 之什么负二提出去呗，对吧？ s 分 之一乘以 s 分 之零一加 s 啊。 s 减零加 s 吗？ 对，这是等下乘以一个二分之一平方的吧，这不也常见等下文小吗？是不 因为你 loft 加 s 不 泰坦尼这样的吗？不是 s 减二十平方，对吧？加三分之三十方了，那它减它就等于这个第一项吗？是不是？ 等下问小，是泰坦尼第一项吗？它泰坦尼不是第一项不是它吗？那咱们不就出来了吗？就是 e 的 负二乘以 limit i 圈到零的时候，二百平方比上一个 i 平方就约了约等于一的负一次方嘛，对吧？还是那些技巧嘛？第一个密选下取对数，对吧？第二键 log 想等一下看里面是不是圈到一了。那就接着算就行了 啊。同学们好，我们来一下这个题啊，这题其实刚开始学入手还挺麻烦的。对，可能有些比较快的很多方法，但我们刚开始肯定是想不到那些方法，等我们下去老老实实算吧，把鸡红打打扎实了。 对，那这几天券无穷时我们很难入手吧？对，这有个技巧，是说我券无穷，对吧？跟券二零可以来回替换的，对吧？那这样去取个倒数呗，对不对？到时候可以令这个，而且你 t 分 之一， 因为你券二零有可能底下文小呀，我有可能底下文小嘛，这不这一个另外一个，对吧？ t 券二零的时候， t 的， 这不， t 的 五分之八 分之，它们就是 t 的 t 平幺分之一加上二开根号的五次方减去一个，对吧？ t 分 之一加上一的 五分之一，是吧，对不对？那这可以通分一下吧，变成一个另外一个 t 圈零的时候， 这是 t 的 啊，平方分之一加二， t 平方开五分之一次方。对，减去一个 t 平方分之一加上 t 平方的啊，五分之一次方除以一个 t 的 五分之八，是不是这样的？ 那然后你看，你这里就变成一个 t 乘以的时候，一加上二， t 平方的 五分之一减去一个一加 t 平方的五分之一，这不是 t 的 五分之二吗？再除以 t 五分之八，那不属于 t 平方了吗？对， 那这里看，你看它是不是圈成到圈上零了？圈上零我会使，等下我们小的呀，对吧？你比如你看这里套的公式吧，一加 s 的 二十八，对不对？加二分之二法，二法减一 s 平方呗，套嘛，就是这东西嘛。另一个另一个 t 圈二零的时候，对吧？一加上这是五分之一的二， t 平方，够了吧，这么平方级别的呀，对不对？或减去一个什么 一加上五分之一的七平方，出一个七平方，对，那这不就一约了，五分之二减去五分之一有五分之一了吗？就， 对吧。所以你一开始学的时候，你也把这个方法积累一下，都倒了换，但我们圈上零圈无穷来回替换是不是？你当然可以对它泰坦开作，这，这是进阶版本的一开始，你想不到呀，是吧，要把基础打牢了，你才会从你那其他的一些高级的方法。 朋友们，好，我们来看这个题啊，这题跟上题差不多吧。对，我是不是讲过， 对吧？你圈无穷不好算怎么办？我就到时候让圈上零呗，对不对？那所以我们可以这么入手呗。我令这个啊， s 等于 t 分 之一变成一个 另类个 t 圈上零的时候，这不是 t 三万分之一加上一个 t 平方分之一的根号，三分之一的 e 的 值方减去 t 分 之一的 e 的 值方吧， 然后变成再通一下吧。这个 limit， t 圈上零的时候，这前面是变成一个 t 分 之一加上 t 的。 对，三分之一次方减去 t 的 分之一 t 吧。那变成一个减一的 t 次方呗。 那这样，你看你零比零行了吧，你可以做不了法子做，但可能不简单呗，别太乐吧。 对，就对，他俩同时太展开长一截就行了呀。分母一截的呀，对吧？就是一加上三分之 t， 因为是一样的减去一加上 t 除以个 t 的 话，这不是三分之 t 减去 t 负三分之二的结果， 对吧？这是个很好的一个方法。 同学们，好，我们来看这个题啊，他这题是也是一个极限，求另外一个极限，对吧？这种题考验特别爱考， 对不对？那你肯定要知道涨停跟你有关系了。跟他没有关系嘛，是不是？那我还是可以从它入手吧。看到底求啥呗。就跟一个列面圈连的时候，分母是什么？这是一加 s 的 alpha 四方减一点着 alpha s 就 等价嘛。 那这不等一个二分之一平方吗？分之 f s 就 等于一个二倍的列面圈连的时候 f s 平方吧。 那他们需要求这个，这个等于几吗？现在目比目的求它，那看看能从它得到它的结果吗？对不对？ 那首先这里分母可以等价呀，这个三等于一个。另外需要零的时候，这不是分母，不是变成一个 e s 零二减一吗？但是 s 零二呢？ 零一加上 s n f s 呗。 你看你这里，我们说这样乱想什么？看有没有圈上一的导，如果圈上一的大家框上减一，对吧。那这那则这里的分母圈上零吧， 分子间肯定也圈上零的呀。对，如果分子间不圈上零，那这个非零的数除以零的话就是无穷了，它不会等于三了，是吧？所以它肯定是圈上零了，那不等价了吗？ 分之 s f s 呗，对不对？它这个 lo 二分之一六百零的时候 f i 比 a 平方，那这样除以，我要结果了呀，它等于多少？三倍 lo 二二乘以三倍的 lo 二等于一个六倍 lo 二， 对吧？像这种题，他说给你个函数求下是几 n 结无穷小数 n 等于几，那咱目的是把它它等价几结就行了呀，对不对？那怎么求下一个等价无穷小呢？ 就说你对它俩同态展开，转到某项下不掉为止，它属于 a 减 b 型的，去求啊，等下无效。那展呗。对， e s 等于什么？一加 s 加二分之一平方加三十三的方加下去呗， 对不对？一二 a 平方，把它带去嘛，再给它换二 a 平方，加上二分之二 s 平方，对吧？不够我们再写，好吧，二 s 平方的平方，对不对？那可三 s 写成一个一减二分之二平方，加四十方。 那你可三 e 的 s 平方呢？是不是一减去二分之 s 平方的平方，没错吧？ 那怎么还写了呗？同展开，展开第一项，你看他俩约掉了一，约掉了看平方呢？他没有平方呀，对不对？我们讲了泰展开第一项是加五小，这不他第一项吗？那这不就是等于加乘以个二的平方呗， 那不是二等于二吗？二阶了吧，懂不？对吧？为为什么太阳底下等下文小呢？我们举个例子啊，比如我们三 s 对 吧？减它是吧？等下成六万三的方，为啥呢？它的原理是这样的，低阶加高阶， 对吧？在文小的时候，它等下于低阶的 是不是无穷小？这也讲过这个知识点了。喂，那你看，你三个写成一个 s 减六幺三的方，加五减六幺五四方， 那你再减三 s 呢？他写了一个六分之三的方，减五乘以五次方，很多项嘛，对不对？那他们都是他的高音五小，然后加成六分之三的方嘛。所以你看他猜想的第一项就减五小呗。这也是同理啊， 第一项不是他二阶嘛，对不对？因为这后面没有二阶呀，消不掉呀。

考研数学斜数登场，今日学习落必达，学求极限的神器兼坑王，只要落不死就往死里落，用对了能秒杀难题，用错了分分钟送你凉凉想拿捏他，听听吴老怎么讲叫落必达法则。 而这个落必达法则呢？它能够适用的类型，那么说不仅仅可以用在零比零和无穷比无穷，这两种是可以直接用， 但是后面呢？零乘无穷大，无穷减，无穷一的无穷大次方，包括无穷大零次方，还有零的零次方也可以用来洛比塔来解决，但是不能直接用，是要转化，就把后五种呢，都可以化成前两种，然后用洛比塔。具体怎么转化呢？ 大家看我们这个框图就讲的很清楚了，你看零比零和无穷比，无穷是可以直接用的，那么零乘无穷大呢？我们刚才说了，你可以把零摆讲或者无穷摆上，它可以化成零比零，或者无穷比无穷 无穷减无穷，像刚才那个风是，它是不是一通风可以化成前两种，所以这个意思就说这两种可以直接变形化成前两种， 然后后面呢？这样三种，一的无穷大次方，无穷大的零次方，零的零次方，大家注意要出现这三种极限，注意求极限的函数， 它一定是谁啊？秘制函数啊，因为这个地方的一也不是真正的一，是极限为零，所以它一定是秘制函数。 但是处理这三种问题呢？你看这一个箭头直接对的零乘乘，当它是有统一方法，就是把它改写成谁啊？ e， 这个可以写成 e 的 g x 乘上谁啊？ lawing f x。 而此时这个问题的关键就是求谁，那就是求这个指数上这个极限，但这个时候你注意这三种类型， 那么最后呢，归结为这个指数上这个极限呢？都是一个零乘无穷大，所以你看直接对着就是说这三种经过这个改写，都归结为零乘无穷大，而零乘无穷大又可以化成前两种，这就解决这三种的一般思想。为什么这三种最后上面这个都是个零乘无穷大？你看比如说这个 一的无穷大次方，这个 g 是 曲线零 f 曲线一凹一是零，所以是零乘无穷大，这个呢？这个 f 无穷凹无穷还是无穷。前面这 这个呢？前面零 log 零是无穷，所以你看对这三种类型，它都是秘制函数，我们把它改写成 e 以后，最后都归结为零乘无穷大，零乘无穷大又可以画上前两种，这就说洛贝塔法则能够直接用的是前两种零比零，无穷比无穷。 但它能够解决的问题是这样，七种类型不定时，而后面五种都是想办法把它化成前两种用洛贝塔，所以这个图就是告诉我们后五种如何把它化成前两种。这就讲了一个一般思想。 好，这是关于适用的类型，但是这个洛贝塔法则在用的时候啊，有两点特别值得注意啊，就是注意两点。第一点， 这我们在题目里面已经讲了，就是要化解啊，不是说所有的零比零，你用洛维达法则都可以做的非常简单，有时候就需要化解，那么这个化解呢？用的手段呢？实际上我们在前面讲一个呢，就是等价无穷小带花啊，这个用到很多，还有一个极限等于非零常数因子极限可以先求出来， 所以当你这个洛比特法则用的时候，你发现比较麻烦的时候，不要忘记一条就是化解啊，怎么化解呢？通过等价代换，那么把分子分母这个函数化的更简单，用洛比特法则更方便的形式，或者有时候呢，就是可以极限等于非零常数，因此极限可以先算出来， 那有时候出现根号的时候，也可以用油理化等等，这是第一点特别注意的啊，就是要跟其他方法结合起来用，你才能用油理化等等，这是要灵活使用，不要死板硬套。 第二点需要注意的条件三。条件三是什么呢？哎，我们来看一下啊，后面的法则，第一条， 那就是分子分母都取向零，当然我们刚才说了，分子母都取向无穷，照样可以用。第二条， 那就是 f 和 g， 在 你求极限的这一点，一个区间领域可导，并且分母导数不等于零，这个一般题目都能满足啊，这个呢，是因为这个条件就是以科学定义所要求条件。 那么这个地方特别需要注意的就是第三个条件啊，他要求这个份子份母分别求了导数，这个极限存在或者等于无穷，才能写下面这个式子，也就是说末背的法则是从右端这个极限的存在 才知道这个等号成立。所以你用诺贝尔法则的时候，你先是把等号写上去了，但是呢，这个等号对不对，你在写的时候是不知道的，只有用了以后右端存在，你才能断定这个等号对左端等于右端，或者你右端取向无穷，那这个等号对左端也就取向无穷， 那如果右端不存在，又不是取向无穷，这个等号就不能画好。那么关于这一点呢，我们举些例子啊，那你比如说 这个 x 趋向于正无穷，那么上面呢？是二的 x， 四方地下是 x 平方，这是个无穷比无穷。 那么无穷比无穷呢？我们可以考虑用洛比塔， x 趋向于正无穷，上面呢就是二的 x 浪以二，下面呢二 x 还是无穷比无穷，那洛比塔法则可以直接用，再用 x 趋向正无穷，那么下面呢？求导数是二，上面呢是二的 x， 四方乘上浪，二的平方， 在这个时候，大家注意下面二上面无穷，所以这是无穷，但是注意，谁想无穷，莫非他法则照样能用，所以这个等于无穷。我就知道这个等号对，这个等号对， 这就是想强调的是第三条里边我们的这种比较多啊，很多情况下都是这个存在，这个举例举的很多，但是如果你用到最后发现右端无穷，这个结论照样能够用，这是第一个例子。 那么下面呢，我们在这个地方就是特别要强调一下，就是我们洛贝塔法则的第三条啊，因为我们平时用的时候，等号先写上去了，这样的等号对不对？你开始是不知道的，只有你知道右用了以后，右端存在或者等于无穷，但是你用了，如果还是零比零，可以继续用，用到最后啊，它最后存在了，倒过来等号都对了。 但是反之，如果你用了 loft 的 法则，有右端的极限，他不存在，又不是取向无穷，像这种，那你就不能用，所以这一点特别需要注意， 这就是在使用 loft 的 法则时候应该注意的两点，第一点要注意化解，就灵活使用 loft 的 法则，就是跟其他方法结合，你才能用的比较简单。第二点那就是最容易出错的，就第三条，这个条件不满足，这个就不能用啊，这一点特别需要注意， 这就是我们今天讲的这个求极限有非常重要的一个方法，洛贝塔法则你就卖了。

那么大家可注意，这是九分的题目，他说已知这个极限存在，则 a 等于什么？那么大家注意， x 趋向于零，这里边呢， x 分 之一，趋向无穷，那这个地方呢？就出现了谁阿克的弹性体的无穷。 那么说见了这种就要分左右，那实际上大家注意，你看这个地方绝对值也是个零点，这个分段函数， 所以基于这两点，那么这个呢，就得分左右啊，既然极限存在，那左极限，右极限都得存在，跟你相等，然后我们来点 a， 所以 我们现在来看啊，那既然你的极限存在，那这个时候左右极限存在，应该相等，现在呢，我们先来看左极限，就是 x 去向零，小于零的一边去向零， 那小与零的一边去向零的时候，那这个呢？这是 a， 这是阿克的弹性体 x 分 之一，那么把这呢写一下，因为 x 从小与零的一边去向 x 是 负的，那这个绝对值实际上应该等于负 x， 这就是一减 x， 这呢是 x 分 之一好， x 从小与零的一边去向零，那这个里边是去向负无穷， 那所以 a 可代替负，就是负二分之派，那所以是负的二分之派 a， 因为前面有个 a。 注意，这个极限呢，这是个一的无穷大次方，因为它乘它是负一，所以这地方呢，应该加一个 e 的 负一次方， 这是它的左极限，由于极限存在，右极限也应该存在，那右极限呢？那引 x 就 像零正啊，那这个时候，这是 a r 贪镜体的 x 分 之一，由于 x 是 正的绝对值，拿掉就是一加 x 的 x 分 之一次方， 然后这个等于谁？因为这个时候这里边是趋向于正无穷，阿根廷的正无穷是正二分之派，所以这就是二分之派 a， 然后呢？后面这个那显然是 e， 所以 加上一个 e， 由于极限存在，那左右极限不但都存在，而且这两个应该是相等的。 那好了，这两个相等，他不是问你 a 等于什么吗？啊？那这个时候我们可以移向，那就是把这个移过来，把这个移过去， 这个移过来，那我们就得到派 a。 啊，这个移过来加，那就等于谁呀？把这个呢？移过去，那么把这个移过去的话，那这实际上就是 e 的 负一侧方减去 e， 然后完了我们立马就可以得到 a， 就 等于谁就等于派分之一，负一减去 e， 因为极限存在，那就左右存在，并且相等，那么这样 a 的 值就定出来 九分就得到了。所以说你想想这个题主要的考点还是在哪里？还是想考你这个阿克托尼无穷啊，他是要分左右来处理。

那么在这呢，我们给大家给大家做一个小结，就泰勒公式，不管皮尔的一项还是拉格朗的一项，他的本质或者他的意义在哪里，就是意义就在于用多项式来逼近谁啊？一个一般函数， 那你说为什么要用多项式来逼近或者代替这个一般函数呢？因为大家知道多项式函数求值简单，求导数简单，求积分简单，这就是为什么用多项式来逼近。 那么另外呢，注意实际上还有一个，你看这个右端呢，它只用到了 f 在 x 零这一点的函数值，各级导数值，但是左边这个 x 它是 x 零这点临近的点， 那实际上这个从这个角度来看，实际上它是用已知点，就是 x 零这一点的信息，我可以表示临近点，那就叫做用已知点的信息表示位置点，这是两个函数的本质，这是个共性， 但是呢，他们也有不同啊，那不同在什么地方呢？除了余项这个形式不一样以外，身上条件也不一样啊， 你注意这个的条件是谁？他是在 x 零那点 n 阶导数存在，那这个呢，是在包含这个 x 这个区间里边 n 阶导数存在，一个是在这个区间里边 n 阶导数存在，所以条件也不一样。 但是我们重点要强调是余项不一样， p l 余项，刚才说它只是一个定性的描述，那么另外呢，注意，由于这个余项是 x 减 x 零，在 x 区间 x 零的时候， 那这个比 x 减 x 零的 n 次方高阶的无穷小，所以呢，那么对于这个呢，他只能在这点临近，用这个多项式来代替它，误差才能比较小，所以呢，余项是个定性的，那我们呢，因为只能在临近用，所以我把它叫局部泰勒公式。 对于这个拉格朗的余像，因为他给出了余像的表达式，他可以做定量分析。另外我们刚才说了，在一定条件下，即使在一个大的范围之内，当 n 取消无穷的时候，这个也可以取消零，所以呢，他可以在一个大范围内用多项式来代替他，所以我们也把它叫整体他的公式。 所以呢， pi 乐一项，这个泰勒公式叫局部泰勒公式。拿给老人一项叫整体泰勒公式。这也反映了两个泰勒公式在使用的时候的区别。 两个泰勒公式不是都是建立函数值和高阶导数的关系啊？什么时候用局部泰勒公式？什么时候用整体泰勒公式呢？那当然简单讲，如果是研究函数的局部形态，就用局部泰勒公式，研究整体形态就用整体泰勒公式。什么是局部形态？ 比如说一个函数在一点的极限啊，这个函数在 x 零，这一点的极限，当然只跟这点零进函数有关。局部形态，所以如果要用它的公式来研究极限，那肯定是用局部态的公式。还有什么呢？跟极限一致之差就是极值， 因为它也是个局部形态，这个时候也是用局部态的公式。什么时候用整体，它的公式呢？跟极值一一字之差，比如说最值、 最大、最小值，大家知道是往往是在一个区间，他就是个整体形态，所以这个时候就要用整体态公式。还有什么呢？态了公式也可以用来证明不等式， 大家想让你证不等式，肯定证一个区间不会证这一点零净，所以他也是个整体形态，所以他就要用整体态的公式， 这就是两个泰勒公式的本质的不同，就是鱼象不同，导致他们在使用的时候又不同。一个是局部泰勒公式，一个是整体泰勒公式，一个主要用来研究局部形态，一个主要用来研究整体形态。 然后注意，我们经常也说四大终极定律，注意我们前面讲的拉格朗日终极定律 啊，实际上是泰勒带有拉格朗日一项泰勒公式的一个特点，大家看，如果在这个拉格朗日一项的泰勒公式里面 n 取零的话， 它就是我们原来的拉格朗日一拉格朗日中的电影，所以拉格朗日中的电影是带有拉格朗日一项泰勒公式的特例， 所以我们经常也说四大终止定律，那么四大终止定律就指的罗尔拉格朗而克西和带有拉格朗而余象的泰勒公式，因为这有个克 c， 所以 这两个泰勒公式里边，我们把带有拉格朗而余象的这个泰勒公式也叫做泰勒终止定律， 所以这就是四大终极定律。而前面的罗尔、拉格纳尔、科西，他们都是建立函数值和一阶导数的关系，而带有拉格纳尔一项的泰勒公式也叫泰勒终极定律， 他是给我们建立高阶导数和函数的关系。总之四大终极定律主要是给我们建立函数值和导数的关系，我们用导数来研究函数，建立一个理论基础。

问题的专家也很清楚，你哪里容易出错，他就在哪里考你。我们在求极限的时候，什么时候要分左右？极限常见的是有三种，那一个呢是分段而入分界点，这个一般我们能想到， 但是还有两个啊，就是这个意义无穷和阿克泰尼点无穷，你看他们也不是分段函数，但是呢就是在那一点的极限左右有别，需要分左右。 那么这个呢，我们很多同学容易犯错，但是命题的专家也很清楚，你哪里容易出错，他就在哪里考你。所以这个点考的很多，不仅仅在求极限里边考你这个容易犯错的点，间断点类型里面也考你这个点。 有一年在出了一个反常积分电扇形，用定义判定里边还在考虑这个点，包括渐近线那个地方也可以考虑这个点，所以这个地方呢，一定得搞清楚，不能出现经典的错。

二期考研数学英语全年复习节奏可以当做你的复习参照系，你肯定用的上数学部分，六月底之前基础阶段尽量结束，高数该理论现在都要结束，自己把握好节奏，规划好任务。七月到九月进入强化阶段，大量的刷题， 刷题的目的是总结规范题型和解题的方法，这个非常重要，这个就是我们强化的目的，听谁的课就买谁的书。强化阶段就是把强化严小题和六六零剩下的难题去做， 这个时候也可以做一些其他老师的习题测的强化部分。强化结束之后，先不要开始真题，用一两周的时间把之前的知识点、错题和难题再复习一下， 理清楚之后，然后再开始真题套卷或者真题分类看个人选择。到了十一月初就开始做模拟卷，十二月份就模考，然后再回过头总结。复习。基 础阶段大家都有一个问题，就是考研数学复习一上来就做六六六这本题测，很多同学都会说有的题目很难这本书，虽然它叫基础过关，六六六六这本题一样。我建议大家是先做高等数学基础篇这本书上的常考题型和经典例题， 不要认为你听课过程中老师把例题讲了，然后就感觉自己会了，然后再做基础篇的严选题，这本书是随高中数学基础篇随赠的，完了之后再做六六零， 这样去做才不会让自己陷入痛苦之中。吴忠霞老师这本高中数学基础篇的教材和李荣老师的复习全书限限代数，如果你的技术很差，跟不上有的老师的节奏，你就选这两本，一个原因就是吴老师讲的他很详细很详细，没有比吴老师讲题拆分步骤更详细的了。吴老师有一个特点就是讲题他会先捋清楚题目的知识点和思路， 然后再去一步一步的拆题解决。而且高等数学这篇，这本书的内容很全，每一个知识点后面都紧跟一个例题，然后每个例题都有两到四种解法，然后解决过程中会标注一些解析的步骤中会给你标清楚这个题用到哪些技巧或者知识点， 完了之后我们才延伸到下一个知识点，这样的思路下对单项消化是非常友好的。那么最后一个英语部分就是我们现在到考研结束背单词不要停， 然后到四月份之前，语法常识句和阅读精分必须要弄完。五月到八月是阅读课加刷题，每天至少保证做一篇，保持阅读刷题的手感。阅读课就像习斌老师、唐池猫、 k 老师都可以，然后自己选一个。 九月中旬左右就可以开始作文，然后作文课可以跟着老师走，作文课课程他不多，我建议大家都去听课，最后总结老师的功能，去自己弄一套模板，然后去用专题多练习专题课，像周思成老师时的都是不错的。九月中旬这个时候我们也可以开始小三班的复习，然后可以选择听一些老师课去做。