八上数学最后几个大题的解法

说在一个三角形 a、 b、 c 中角， b a、 c 等于九十度，嗯，这块是九十，紧接着 a、 b 这边得六， a、 c 这边等于八。啊，那根据勾股定律，其实这边已经得十了，对吗？啊，但是人 家怕你勾股定律没学过，给你补充了一个， b、 c 得十，所以这一定是八上咱们这个学期的考题了，对吧？啊，那咱就用八上的知识给它解决掉。好吧，一起来看。说，第一点，在这个线上， 然后 b、 d 这边得二，紧接着又告诉我们这块有一个四十五度，最后问我们 a、 e 这个边长 等于几？首先第一个技巧来了，很多同学为什么看见这题只能看见四十五度呢？然后在四十五度上去寻找突破口呢？是因为你没有一个好的做标记的习惯。毕老师教大家一句话，记下去，好吧，这句话就叫做 同一条直线的线段长，我们标短的，比如说 bc 这条线是不是得十啊？我这小段是不是得二？这十我直接标这上吗？不，我标短的，你是二，整个十，短的这段得几，这一段 就得八。那为什么这么样做标记会好呢？大家来看，你得八，我这是不是也得八呀？哦，所以我这个白色的三角形，它是个啥呀？ 他是个等腰三角形。那作为一个等腰三角形， 我们有一种辅助线的方法，就是已知等腰造对称。哎， 我是个等腰三角形，我本身三线合一为什么这么重要啊？因为三线合一这条线就是对称轴啊，所以你这边有一个什么样的三角形，我对称一下，这边我就可以做一个一模一样的全等。 比如说大家，我这白色的是等腰吧？哦，你这边要求 a e， 你 a e 在 哪啊？ a e 是 不是在这个三角形中啊？那我就给你对称过来，搁这边造一个点 f 啊，我让这个 df 这一段跟你这段相等，可以吗？咱们两个相等啊，公共边也相等，那等腰这两个底角是不是还相等啊？所以啊， s a s s a s 这两个三角形是不是瞬间就全等了啊？ 那要求 a e 的 长，其实就是求 b f 的 长啊。所以这道题关键的辅助线咱就做完了。那接下来再应该怎么解决呢？还是做题的习惯？刚刚毕老师教大家了一个好习惯，叫同一条直线线的长标短的吧。 还有第二个，那就是求边先求角，各位说，我们等腰用来干嘛的？倒角了，四十五度还可以用来干嘛？倒角了吧。所以我这道题我可以倒倒角相等啊。那已知角度求角度，咱就求每个未知呢？咱就设阿尔法贝塔。比如说，各位 说你是四十五度，这个三角形还跟他全等对称的，那我这边这个角就得多少， 那当然得四十五喽，是吧，那你俩都得四十五，这个角就得多少，就得九十呗，是这个道理吧。好，接下来大家来看。 说我让这个角是阿尔法，那你这个角是阿尔法，这角是九十，所以我这个角一是不是就等于九十度减阿尔法呀？根据三角形，全等角一跟角二什么关系？相等吧，所以角二它也得四十五度 减二法，不仅他得四十五度减二法，大家再来给我看，我这个大角得还得九十呢，我还没用呢，大角得九十，这是二法，那这边这个角一样得多少啊？ 九十多减二法吧，你是九十减二法，我也是九十减二法，咱俩相等，等角反过来就对等边，所以要求编程先求角度，一旦知道这个角了，大家，你是六，我这就是六，这小段得二，六减二，剩这问号就得四，所以这道题 瞬间解决了。所以大家记住了，不要见着四十五度就特别激动，一定要照等腰直。你要看看这题还有别的条件没？已知等腰的时候，我还可以照对称，毕老师说清楚了吗？当然，这道题如果你这么做，以它为 哎底角造一个等腰直也是可以的，但是你要知道等腰直的本质是什么？是把这条边旋转过来九十度，那你这边旋转过来九十度，这个边是不是就可以带着一个三角形整个转九十啊？所以在这边截一个六， 六跟六相等。哦，那我这个三角形都能转过来。好吧，那这段得二，这段得二，你再通过倒角倒出来，这段得二也是可以的啊，整个是六，减掉这二依然等于四。但更狠的还有一种思路， 各位，这学期你们是不是都学了一个知识，叫依次函数啊？各位，当一个题我们一点辅助线的思路都没有的时候，毕老师一样能让你得满分。这种方法在这门中考中经常用到，就叫做间隙。各位同学 一起来看，说你这得六，这得八，这得十，那我如果做一个高的话，根据等面积法， 十乘以这个 a h 是 不是等于六乘以八啊？所以它就是五分之二十四，这是五分之二十四。整个这个边长我能不能求 固定里或者等面积是不是肯定能求啊？啊，那这个边长等于几呢？算出来，那就应该等于五分之十八，那我再知道这小段的二，也就是说这小段就是五分之八，各位能看懂吗？那这个时候我们怎么办呢？我让他是 x 轴， 我让他是 y 轴，各位能听懂吗？那么我 a 点的坐标就是零，逗号五分之二十四，他已经知道了， 是吧？啊？ c 点坐标呢？你整个得十，这边是五分之八，那这段知不知道啊？知道吧，知道的话 c 点坐标能不能求啊？能求吧，能求的话，那么我红色的这条直线 两点确定一条直线，这条直线解析式是不是就知道了？哦，那你想求这段长，我 a 点知道，我只要知道 e 点坐标，两点坐标是不是距离就能算出来那 e 点是谁？是这条线跟它的焦点吧。 那你想确定第一这条线只需确定这条直线上的几个点，两个点就行吧。哦，第一个点就是地点本身，是不是啊？地点本身负的五十八，逗号零，我们都知道了，那另外一个点在哪啊？各位回答我还有哪个关键的条件没用上啊？ 嘿，是不是这个四十五度没用上啊？啊？你是四十五度，我怎么用？我是不是可以把它这边做一个四十五，相当于把这个家伙怎么样？ 旋转九十度吧。啊，既然你旋转九十度，那我是不是可以把这个三角形直接转九十过来就得了？所以横向五分之二十四，纵向 五分之八，明白了吗？ a 点向右五分之二十四，向下五分之八个单位，所以这个点坐标是不可求，两点再次确定一条直线，两条直线一连力，这个点坐标就来了 啊。所以这个间隙的方法是这类问题的必杀技，所有的辅助线我们都不会，我们也能把它给做出来。但是 各位，显然第一种方法毕老师教大家做辅助线方法怎么样？巧妙巧妙，计算量就小，但是那种方法你得系统的跟老毕学，你才具备这个思维，因为他比较难想。好吧，那么最后一种方法是人人都能想到，但是他的计算量怎么样？极大，所以两种方法各有 巧妙不同。当然这道题还有更多的方法，也欢迎各位同学在底下评论区刷出来你的辅助线方案。

挑战一期视频让你期末数学开挂！哪怕明天就考试，老张也能让你爆炸式提分无痛速通出！二、期末的八个必考源题下，多看一分 钟多长四五分必考点五全等三角形八分期末通常会考微大题，只要掌握了终点精髓就很简单了。看题，三角形中 a、 d、 d 是 中线，有 d 垂直于 e、 f。 要判断 b 加 c f 与 e、 f 的 大小关系，再看下图，这三条线肉眼可见没联系啊！还记得这里有中线，首选肯定是备长中线大法。延长 a d 至点 g， 使 b g 等于 a d， 再连接 b g， 那 就相当于把 a、 c 转到了 b 至处，很明显没什么用。但除了 a、 d， 这里还有两条过中点 d 的 线段， d e 和 d f、 e。 试试倍长，它们俩先倍长 d f 延长 f d 至点 g， 使 d g 等于 d f， 再连接 d g， 因为 b、 d 等于 d c、 e g 等于 e、 f。 还有一组对顶角相等 s a、 s 就 能证明三角形 d、 f、 c 全等于三角形 b、 g、 d。 要记住，只要运用倍长中线，一定能得到全等。这时 c、 f 就 转移到了 b g， 而 b g 和 b e 又在一个三角形里再连接 e g。 在 三角形 b e g 中， b e 加 e g 大 于 e g， 剩下就是 e f 了。如果 e f 等于 g， 就 得到 b e 加 c f 大 于 e f。 因为三角形 e、 d、 g 全等于三角形 e、 d、 f 有 公共边 d e、 d f 等于 d g。 还有已知的 d、 e 垂直于 d、 f， 两个直角相等 s a、 s 就 能得到了。于是 e、 f 顺利等于 e g， 最后就得到了 b e 加 c f 大 于 e f。 这是具体的解析过程。 b 考点六因式分解八分因式分解的方法有很多，这里呈现的是一个整体思想，老张带大家直接看具体的题 题目。这是一个含五项的式子，观察下 a 的 平方加二 a， b 加 b 的 平方减二 a 减二 b， 前三项都是二次项，后两项是一次项，单看这个二次项是完全平方。公式把它们做成一组，分解出括号 a 加 b 的 平方，剩下的减二 a 减二 b 提个二出来，里边再变号，接着再把括号 a 加 b 提出来，就大功告成了 b。 考点七分 式化减级应用八分作为期末高分值的必考点，难度不高，千万不能丢分，靠压轴题追分也不现实。给出一个式子， 说它为整数时，这里的整数 a 都是多少？这里我们要用个大招转化，将没见过的问题转化为见过的问题。如果这个分式的分子是整数，就很好解了，那就试试看能不能把分子转化为整数。那怎么干掉分子的三 a 呢？当然是约分了，分母是 a 加三，想要约分，就要在分子上也凑出 a 加三，因为分子是 三， a 就 要成三倍，在后面加个九，变成三倍的 a 加三，加上九就还要减九，才不会改变式子。再拆开前面变成三 面，整理下是 a 加三分之二，要让这个式子是整数，只要 a 加三分之二是整数就好。 a 加三等于正负一或正负二，所以 a 等于负一、负二、负 四负五。解决这类题的关键就是把分式拆成了整式，加分子为整式的分式。但如果式子更复杂呢？具体动画讲解可以看分式的拆分 b。 考点八，几何综合十二分，它常考模型、对值问题、重点问题。 今天老张就用一道复杂的综合题带大家找到解题秘诀。如图，在等边三角形 a、 b、 c 中，那第一反应一定是三边相等，三个角相等，点 d、 点 e 分 别在两边上，且 b、 d 等于 a、 e、 a、 d 与 c、 e 相交于点 f。 第一问证明 a、 d 等于 c、 e， 这是两个交叉线段，且分别在三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 e、 c 中 看着像全等。而一旦全等，对应边 a、 d 自然等于 c、 e。 怎么正全等呢？已经有了 b、 d 等于 a、 e。 而等边三角形三边相等， a、 b 等于 a、 c 三个角相等，角 b 等于角 c、 a、 e 等于六十度 s、 a、 s 它俩就全等， a、 d 等于 c、 e 就 正出来了。第二问要求角 d、 f、 c 度数肯定要从已知的度数推，而已知的只有三个内角是六十度。第一问已经正出了全等，只要把角 d、 f、 c 转化为全等里的角就可以了。首先这个角是三角形 a、 f、 c 的 外角，用哪种更容易算呢？肯定是外角，因为角 d、 f、 c 等于角一加角二，而三角形 a、 b、 d 全等于三角形 c、 a、 e。 所以 角一等于角三，于是角 d、 f、 c 等于角一加角二就转化成角 d、 f、 c 等于角二加角三，刚好就是角 b、 a、 c 等于六十度。更难更压轴的题，比如这道，想要全部吃透的话，可以看等边三角形综合应用。好啦，今天就讲到这里，想要轻松满分的同学，我们下期看压轴题板块。

各位同学大家好，我们这周继续给大家分享八中初二上周周考必卷的第二十三题，也是必卷填空题的倒数第二个题目。好，这个几何计算非常考察我们孩子们几何的一个基本功， 什么基本功？看见怎样的题目条件，我可以去做怎样的尝试，或者说我可以去尝试构建怎样的辅助线。 好，还有一点，几何计算也好，还说几何证明题目也好，还说几何大体也好，往往你解决不了的那个条件，或者说你处理不了的那个条件，往往就是你破题的一个关键。好吧，那这个填空题其实说要是想得到答案，或者说同学们想去猜测答案，其实是我觉得是比较容易的。 好，但是这个答案究竟为什么是这样的，怎么来的？它的构建其实是十分巧妙的。好，那我们现在就来看一下。好，如图，在 r t 三角形 abc 呢，它是等于九十度的， e 呢？在 b c 上， f 呢？也在 b c 上点 e， 在 a b 上。好，并且告诉了你来角 e， d， b， 它是等于角 a， d， c 的。 好嘞，看到题目给了你一组等角，那你就要去想两个问题， 什么哪两个问题呢？就是他给你这个角，这组等角用来干嘛的，对吧？那就有两种可能，一种可能，对吧，用来挣钱的。第二种可能呢？用来倒角，好吧， 来，然后第二条线， a e， f， 就 这个角不对，是 a f e 这个角，它是等于二倍 f a c 的 这个角。好，那我这里有二倍关系，我就假设这里是阿尔法，这里是二倍阿尔法。 好，那这里呢，就是我刚才说的非常考察孩子们的一个几何基本功。好了，你看见这里有二倍角，那你就要去尝试，那我怎么办呢？要么我去把那个 f a c 给它加倍去构造二倍，那么要么呢，我就去把这个 a f e 给它减半，也去给它构造 alpha， 那 是这个就是两种尝试好，那这里很明显呢，我的第一想法就是，干嘛呢？我就去把这个 a f e 二 alpha 嘛，我去给它 减半，所以说呢，我这里辅助线我就可以去尝试，我去做这个 a f e 的 角平面线，假设交这个 a e 呢与点 g， 好， 那做了角平面线之后呢，那我这里就可以得到什么样的结论呢？所以说这里这个角呢就是阿尔法好，下面这个角呢还是阿尔法 好了，你看 af g 是 阿尔法， f a c 是 阿尔法，那这是一组内错角，内错角相等呢，两直线就是平行的，那我就可以知道这里 f g 是 垂直于 a e 的， 那 f g 垂直于 a e， 而 a f g 等于 e， f g 都等于 r 法，那所以我就可以知道这两个角，这个角 a e f 和这里的 e a f 是 相等的，那根据等角对等边，那我就可以知道这里的 e f 和 a f 就 相等的。 好，那这就是根据这个题目条件，我可以去考虑的辅助线的情况，对吧？或者说做法好，然后由这个辅助线我就可以得到这样的一些结论好，到底这个辅助线能不能这样去用，有没有用？我先尝试到这里，先放到这里，好吧，往后面看，然后他说了角 d a f， 他 是等于六十度的，这个角是六十度， 好，那这里有六十度，那同学们脑子里面就一定要闪过一个念头，那能不能去构造等边呢？或者说我去构造一个三角形，然后证明他是一个等边。 同学们看到这些条件一定要有这样的一个意思，这个几何的思路不是说凭空就想象出来的，而是根据题干条件，一步一步去分析，一步一步去尝试之类的，好不好？这就是我们去做几何题目的一个思路好，然后告诉我们， a、 f 它是等于四的 好， a d 是 等于三的好，要我们去求 e、 d 的 长度。好，这里很多同学呢，拿这个题目没有思路，但是我刚才说了，这个题目要得答案其实应该还是比较容易的，因为就两个数，然后要看要算这个 e d， 那 很明显，那三和四要么一加，要么一减， 是吧？那很明显加，不可能吗？那就只可能是减吧，那减的话，那这个答案就一吗？好，这答案就猜出来了。好，其实说你要去和这个答案是比较容易的，对吧？好，那这个答案呢？最后确实是一。好，那这个一怎么来的？好，那我们接着往后面看。 好，那这里呢，处理的，该处理的条件我们都处理了，对吧？那唯有一个条件我们是处理不了的，哪条件呢？这一组等角是处理不了的。好，那我们说了这组等角，那给你呢，就两种可能，第一个去证券的 好，来挣全等的话，你看把这两个角放到题目中一个三角形中去，你会发现这两三角形根本不全等呀， 连这个东西，连这两三角形的大小都不一样。好，那这里很明显直接挣全等可能挣不到，那就需要去通过倒角，然后呢去挣到某两个三角形，就说明要干嘛？就说明要去构造。那怎么构造呢？那就回到我们这里的六十度了， 我们说到想到六十度，你要想到我是否可以直接去构造一个等边，或者说我去构造一个三角形，然后去证明他是等边。好，那这是哪种情况呢？好了，这你看就从我们的问题出发，他要去求异地来，求异地的话，我的第一个想法就是放到一个特殊的三角形中去嘛。 好了，你看，把 e d 放到题目一个三角形中去，你会发现没有特殊的呀，你算不出来呀。好，那直接算，它算不出来，那我就可拿，我就间接的也把 e d 放到某一个特殊的三角形中去。但是呢，这里 肯定不是 e d 作为边了吗？它一定一定是 e d 作为边的一部分，或者说把一条线段的一部分。好，那这里你看，刚才我们不说了吗？这一个叉角我就去干嘛去构造。好，那怎么构造嘞？ 那我不是要去算 e d 吗？那我就去把干嘛把 e d 给它，可以给它延长出来。 好，延长出来，延长出来怎么办呢？你看延长出来之后，那这不就是一组对顶角了吗？好， 那这个不也就差角吗？好了，你看这两个差角都相等了，而且这两个差角有一组公共边 df， 那 我要去 构造全等的话，我就只需要一组边就可以了呀。那所以说，你看，那就是看这两个叉角的另一边，这个 a d f 的 另一边，那不就 ad 吗？所以说，那我就去延长 e d， 在 这个延长下面去截取一段这个 dh dh， 它就等于我们的这个 ad， dh 等于我们的 ad。 好，好，然后呢，我再去把这里的来，再去把这里的 h、 f 连起来。好，连起来之后，那你这里马上不就有一组全等三角形出现了吗？就是这里的三角形来，三角形 a、 d、 f， 它就全等于我们的三角形 d、 f 用什么大的圈的呢？ a， d 等于 d、 h， 你 截的嘛？然后 a， d， f 等于 f， d h 好， 然后还有一组公共边 d、 f， 所以 说用边角边我们就可以挣到这一组三角圈的。 好，那它俩全等之后，我就可以知道来对应边相等，这里的 a、 f， 它就等于我们这里的 h、 f， 它就是等于。然后 h f 等于谁呢？又是等于 e、 f 的， 它就是等于四的。好，然后对应角相等角 h 来把它写下来，那写不了了， 角 h 就 等于这里的角 d， a、 f， 它就等于六十度。好了，你这里你会发现 e、 h、 f， 它就是有一个角是六十度的等腰，那我们就可以知道这个三角形 e、 h、 f， 它是一个等边三角形。 好，它是等边三角形之后，那这里我不就可以知道这里的它不就等于我们的 e、 f， 它不就等于四了吗？ 而 d h 等于 a， d 等于三，那这里我们要算 e、 d 不 就是这里的减去这里的 d、 h 不 就等于三，减等于四，减三等于一吗？好，那这个题目这就出来了。 好吧，好，那说说这个题目呢？其实你说你要去把答案猜出来，其实还是比较容易的，但是你要把这个思路去想出来，其实还是非常考察孩子们的一个基本功的。好吧，那我这里呢，把这个辅助线给大家补充完整，好吧，来这里去做角 a f e 的 角平分线， 角 a e 于 g。 好， 然后呢再延长 e d 至 h， 使得 d h 等于 a d， 然后再连接我们这里的 f。 好， 那做完之后，我们刚才就给大家证明了，我们就可以正到这里，什么正到这里的 e f 等于 a f， 它就是等于四的。 好，这个刚才怎么挣？这个 e f 等于 f， 刚才我给大家讲了，所以说这里我过程就不再给大家赘述了。好吧，好，这就是这一个二十三题，点赞加关注，金刚校考不迷路！

我这里给大家准备了人教版八年级上学期期末考试的压轴题，里面有选择题、填空题，还有大题，认认真真去做，每一道题都会做。那你一定是班上的前三名。我会把答案放在粉丝群， 不会做的题也在粉丝群里面问，我会给大家解答。

hello， 大家好，我是五颗星的涵涵老师。那我们来看二四年四十四中大题的一个压轴啊，八上的卷子。 那我们先读读题啊，这个是一个非常经典的全等的知识点，叫截长补短法，是初中呢几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题转化化难为易的一种策略。比如如图一，在三角形 a、 b、 c 中，我们知道 a、 d 垂直于 b c 与点 d 啊。若 c、 d 等于 db 加 ab， 求角 b 等于二倍的角 c。 这是曾经在我们课上啊，做过的一道经典题，他也有提示，他说我们可以采用截长补短法解决该问题。如图二，在辅助线的做法。辅助线的做法是在 c d 上取得 d e， 截取 d e 等于 d b 连接 a e， 从而证明我们的结论。那显然我们知道啊，如果我们这样操作的话，这个 a、 d 就 垂 a、 d 就 垂直平分了 b e， 对 吧？所以 a、 b 是 等于 a e 的， 那这个角 b 呢？就转化为了角 a e b， 那 这个角 a、 e、 b 又是三角形 a、 e、 c 的 一个外角，它等于不相邻的两个内角和。所以接下来的任务，我们就是想办法去证明 a e 等于 ec， a e 等于 e c。 怎么证呢？就结合他给的这个已知条件，我们去倒边就可以了。那把思路理清楚了以后，我们一块来看一看过程。像这种题呢，他只给了我们一个提示，在我们自己写过程的时候呢，需要把辅助线再重新梳理一遍。好似图二，在 d c 上 截取 d e 等于 d b 连接 a e， 再抄一遍辅助线的做法啊，连接 a e。 刚我们说因为 a、 d 垂直于 b e， 且我们知道 d、 e 等于 db， 它就垂直平分呗，对吧？所以 a、 d 呢，是 b、 e 的 一个垂直平分线， 它垂直平分线呢？因此我们就知道了， a、 b 是 等于 a、 e 的， a、 b 等于 a、 e， 所以 在三角形 a、 b、 e 中，我们就可以得到这个角 b 等于角 a e b， 角 b 等于角 a、 e、 b 啊，然后我们接着再分析啊，结合我们的这个已知条件，好，因为 c、 d 等于 d， b 加 a b。 刚我没有捣，先捣一捣啊。 c、 d 等于 d， b 加 a b， 那 c、 d 还等于什么呢？根据图上的线段的和差关系， c、 d 还等于 d e 加 ec。 其中我们的 d、 b 看题目条件啊， d、 b 等于 d e 啊，我们自己做的 d、 b 等于 d e， 所以呢，我们知道这个 a、 b 是 等于 ec 的， 那 ab 还等于 ae， 所以呢，这个 ae 是 等于 ec 的， 那就说明了，我们这个三角形 aec 也是一个等腰三角形，也就说明这个角 eac 等于角 c， 对 吧？好，然后我们用外角就可以处理了啊，在三角形 aec 中， 这个角 aeb 等于角 eac， 再加角 c， 也就是二倍的角 c， 好拐弯的话画虚线。所以呢，我们就能知道这个角 b 就 等于二倍的角 c， 这就是截长的方法，那补短呢，就是在短的上面呢，我们补上一段，使得他们相加等于更长最长的 啊。其实呢，这个题已经给了辅助线了，你也不需要啊，再用别的方法，因为他说，根据以上的解题思路，你要读题。 好，接着我们来看第二个啊，他说如图三已知，你看，这是如图三了这两道题了。那当然，上一问的结论不能再在这这一论里，这一问里面去应用了，我们需要重新分析等腰直角三角形 a、 b、 c 中角 b 等于九十度。 a、 d 是 角平分线啊，是角 b， a、 c 的 一个角平分线，交 b、 c 于点 d 啊，让我们证明 a、 c 等于 ab 加 b d。 模仿上面截长补短的思路，我们需要在长上呢，截取，对吧？那我们在截取的时候呢，我们可以啊，在 a、 c 上取一点 e 啊，是连接 d e， 取点 e， 使得 a e 等于 ab 连接 d e， 这样我们通过证全等可以知道这两个三角形。呃，我们通过找找条件可以证得，这样三角形全等全等完了以后， b、 d 就 等于 d e 啊， b、 d 就 等于 d e， b， d 就是 d e 了。然后又知道什么呢？这个是全等吗？角 b 就 应该等于角 a、 e、 d 等于九十度，对吧？那这是九十度，还知道整个是个等腰直角三角形，所以下面这个三角形 c、 d、 e 也是个等腰直角三角形。 所以这个 d、 e 呢，还等于谁呢？还等于 c e 好， ab 等于谁呀？根据全等，我们知道 ab 等于 a、 e， 所以 我们就证明了 a e 加 ec 不 就是 ac 吗？啊，这是其中一种方法，我们用截长补短这个题也没说啊，用什么方法，还有什么方法呢？除了截长补短以外， 这是我们本学期很重要的一个知识啊。看到角平分线了，点在线怎么着？垂两边，所以做垂直呢，也应该是你能想到的一种方法。法一，我们是截长补短， 法二，我们可以选择做垂直，好似图三啊，我们可以过 过点 d 做 d h 垂直于 a c 啊，交 a c 于点 h， 交 a， c 于点 h， 那 么我们知道因为 a、 d 平分了角 b， a、 c 呃，然后且我们还知道角 b 等于九十度， 所以呢，我们很快就可以得到 b、 d 是 等于 d h 的 角平分线上的点到角两边的距离相等，是吧？啊，以及还可以得到什么呢？这个角 b， a、 d 等于角 h a、 d。 那 你看，这两个三角形里面，同样的可以证明全等，因为直角等于直角，角等于角，还有一个共边，所以我们可以证。啊，这两个三角形全等，主要是为了得到 ab 等于 a、 h。 啊，在三角形 abd 全等五行和三角形 a、 h、 d 中， 好，我们知道角 b， a、 d 等于角 h， a、 d 还知道角 b。 啊，等于角 d h， a 还有 ad 等于 ad， 所以 三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 h、 d。 理由是 a、 a、 s。 好，这样我们就可以得到了 a、 h 是 等于 ab 的 啊，或者你说 ab 等于 a、 h 也是一样。接下来我们是不是和刚才一样的，你需要证明这个三角形 d、 h、 c， d， h、 c 是 一个。 呃，是一个。这个等腰直角三角形啊，那就得说明这个角是九十度啊，那先说明我们这个角 a、 h、 d 啊，等于角 b 等于九十度， 好，所以呢，这个角 d、 h、 c 就 应该等于一百八十度，减去角 a、 h、 d， d、 h、 c 对， 就应该等于九十度，好，因为三角形 a、 b、 c 为 等腰直角三角形， 所以我们就可以得到这个角 c 等于四十五度，好，所以这个三角形 dhc 呢，也为等腰直角三角形， 好，所以我们知道这个 dh 呢，就等于 c h。 啊，所以我们知道这个 d、 h 等于 c h， d h 等于 c h， 我 们主要是导什么呀？这个 b、 d 等于 d h， 然后再导 d h 等于 c h， 对 吧？所以在刚刚全等，这我们插一句话，我们补上啊， d h 等于 b， d 好， 所以呢，我们这里的 c h 就 应该等于 b、 d 好，因为 a c 等于 a h 加上 c h， 所以 这个 a、 c 就 应该等于 a h。 什么 a h 是 ab， c h 呢？ c h 是 b、 d 好， 证明完毕了。所以在这里主要的思路是什么啊？我们可以来理一理，第一个就是我们挣了一个全等，这是我们重点的第一步啊，无论你是怎么挣啊，你，包括你是一开始截长补短去挣，还是做垂直去挣， 都行，都可以证出来这是一个全等三角形，从而得到 a、 b 等于 a h 啊，包括 b， d 等于 d h， 包括直角等于直角，进而又证了第二个，这个小三角形是个等腰直角三角形。捣了一下边 啊，结合题目中的一些，呃，这个包括节题目中的这个三角形， a、 b、 c 是 等腰直角三角形，找到蓝色的三角形，是个等腰直角三角形，对吧？又捣一捣边，就证明完毕喽。 好，那我们接着来啊，看这个，如图四，在四边形 a、 b、 c、 d 中，已知角 b、 a、 d 等于五十度啊，已知角 b、 a、 d 等于五十度， 角 d 等于一百一十度，这个角 a、 c、 d 等于四十五度。这个题上直接写答案是吧，那就快了啊，角 b、 c、 b c， a 等于八十五度，这个是高，说明这还有一个垂直 啊， a、 d 等于十二， e， b 等于三，求 a、 e 的 长像这种题目呢，我们可以啊，先来猜测一下对吧啊，大概呢，你可以找一找，有什么关系 啊，我们有同学可以看出来，是不是 a e 好 像是等于 a d 再加上 e b。 好， 那我怎么去证呢？哎，我不妨呢，在 a b 上取一点，在 a b 上 取一点 f， 使得这个 e f。 啊，或者我们取哪头都行啊，在 ab 上取一点 f， 使得 a f 等于 ad， 连接 c， f 好， 连接 c f， 这样的话，我们可以看看啊，有什么条件？ a d 等于 af 算一个条件， ac 等于 ac 算一个条件。那捣这个内角和一百八十度。一百一十度，四十五度至一百五十五度了，那这个角就二十五度，这个角也是二十五度，是不还有一个角相等， 所以其实我们是可以容易证得的，这个三角形 a d， c 全等于三角形 afc， 理由是 s a s 是 吧？ s a s， 那 这样我就能知道这个 af 是 等于 ad 的， 等于十二， 那这是第一个全等，那第二个全等呢？很明显啊，我们能感知到，我接下来是不是得正这两个三角形全等啊，那有什么已知条件可以用呢？你看这四十五度，这个角呢，也是四十五度，那这边这个角是多少度啊？ 四十度是吧？啊，那这个角多少度呢？这个角是六十五度。 哎，这这个角多少度啊？不对不对啊，是四十五度加上二十五度外角等于不相邻的两个内角和，这是七十度，然后在整个四边形里面，内角和是 四边形，内角和是三百六十度，那用三百这个角 b， 我 们也可以算出来，用三百六十度减去一百一十度，减去五十度，减去八十五度。好，这个最后算出来应该等于， 呃，三百六十度，减去一百一十度，减去五十度，减去八十五度，还得再减去一个四十五度，这是多少度啊？这俩合一起是一个一百三， 一百八啊，这应该也是个七十度。好，这个有个七十度，七十度等于七十度，直角等于直角哈，还有一个共边，所以我们这个也是很容易证得的。第二个三角形 c e f 全等于三角形 c e b。 好， 理由也是 a a s 啊， a a s。 好，那我们就可以得到了，这个 e f 就 应该等于 be 啊，等于三，所以呢，我们要这个 a e 就 出来了呀，等于 a f 加上 e f 等于十二，加三等于十五。 好的，直接写啊，直接填空就可以了，具体的证明就不再写了。好，那我们今天的这个大题压轴题也到此结束了啊，本套卷子整体难度并不是很大啊，尤其是最后一个，截长补短，其实在去年真题里面出现的不多，今年考不考呢也说不好，大家坐好， 十足的准备好，那我们今天就到这里喽啊，更多资料领取呢，大家可以进粉丝群或者评论区扣六六六，拜拜，记得点赞关注哦！

一次函数与几何综合的压轴大题，一定是咱们成都八年级期末必考的压轴难点。 这类的题题型很多我们已经讲过了，它与等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、四十五度角的问题，全等三角形的存在性问题，还有面积问题的切推法。 今天我们就来看一个依次函数与任意角度的存在性问题，我们一起来看题。如图，依次函数 y 等于负二， x 加四与依次函数 y 等于 k， x 减三分之二交于 x 轴上的同一点 a， 这这两个解析式，这个解析式是已知的，而这个解析式里面的 k 需要我们来求一下。根据我们已知的这个解析式，我们就可以求出它与 x 轴 y 轴交点的坐标，我们把它分别算出来， a 点就是二斗零， b 点就是零斗四。好， 因为这个我们有含有未知参数 k 的 这个一次函数也经过点 a， 所以 我们是不是可以把点 a 带回去，就可以求出我们一次函数的解析式，把它带回来就可以得到 k 等于 三分之一，也就是 a c 的 解析式，就是三分之一 x 减三分之二。好，我们继续往后面看题说，若点 p 是 直线 a、 c 上的一个动点，直线 a、 c 在 这 p 值上面的一个动点。若角 a， b， p 等于角 b a、 o， 让我们求 p 的 坐标角度存在性问题。我们先来观察一下这两个角，第一个角 a、 b、 p 是 含有咱们不确定的这个点 p 的 位置的，所以这个角我们在图上找不到，而角 b、 a、 o 是 一个固定的角，我们先来图上找一下 b、 a、 o 就是 这个角大小一样，那我们想一下可以把它画在哪里？因为 ab 已经在这了， 所以要和这个角相等，是不是他左边右边可以各画一个？好，我们先把这两种情况给他画出来。好，这样画出来左边右边应该各一种情况，我们的左边这个情况画的不是很标准，因为他这个太长了。好，我们继续往下看，那下来就说明是这两个角 都和我们的 b、 a、 o 是 相等的，大家通过观察一定要发现有一种情况比较特殊，哪一种比较特殊？是不是我们的 p e 这种情况它就会比较特殊一点，因为我会发现这两个角它们就是内错角的关系，于是我就可以得到 p bp 一 和 x 九是平行的， 也就是我们就可以直接得到。第一种情况， bp 一 是平行于 x 九。好， 这种情况下，平行 x 轴的直线上，每一个点的纵坐标它都是相同的，我们 b 点的纵坐标是零度四，所以 p 的 纵坐标是不是一定也是四？ 而且我又知道 p 一 就在我们的直线 a c 上，是不是把纵坐标带进去就可以把解析式给它求出来了？所以我另这个 y 等于四带进去，我们可以求出来 x 等于多少呢？哎，咱们可以解出来 x 就 等于十四，所以他这个 p 一 的坐标是不是就直接得出来了？ 直接就是十四斗四？好，这个比较简单的情况，把它搞定了，我们就来看一下另外一个点 p 二该怎么求？这老师来分享两种方法，一种几何法，一种呃，代数法。 我们先说一下几何法怎么做？几何法怎么？当我们看到这三个角相等的时候，尤其是这两个角，我们就会发现有一个等腰三角形出现了，我把 x 往这边延长一下， 这比如说标一个 m 点，我会发现 abm， 它是一个等腰三角形，哪两个边相等呢？等角对等边，所以说它的 mb 和 ma 他 们就是相等的关系。哎，所以在这我就可以尝试去把 m 点的坐标给它求出来。可以把 m 点的坐标求出来，我们来看一下具体该怎么算。因为 ob 的 长度是四，我们是知道的， oc 的 长度， o a 的 长度是二，这我们也清楚， 我现在想求 m 点的坐标，是不是求出 o m 的 长度就可以得出 m 点的坐标了。所以如果我给 o m 的 长度是一个小 m， 是 一个小 m， 那 这个 b m 的 长度是不是也应该是小 m 加上二这个长度了？ 好，当我这几个数测出来之后，这学期咱们用勾股定力已经做了很多遍了，在一个直角三角形里面，三边我们已经表示出来了，可以直接列勾股定力来算，我们把它试着列一下，在直角三角形 b， m， o 中，我们可以列出来 m 的 平方，加四的平方等于 m 加二的平方，这样我们直接把 m 给它算出来，那么算出来小 m 的 值等于三，那 m 点的坐标是不是负三斗零？好， m 点的坐标一得出 b 点也知道，根据 b 和 m， 我 们就可以把 bm 的 解析式写出来了。 bm 的 解析式一个负三斗零，一个零斗四，直接写就是 y 等于三分之四， x 加四， 我们想求的是 p 二点的坐标。用咱们最常用的连力解析式求焦点啊 p 二，它一方面在 a c 上面，另一方面也在这个 b m 上面，连力 a c 和 b m， 我 们可以直接得出这个 p 二就好， 那么算出来就是负的三分之十四到负的九分之二十，这样这个题目的两个点咱们就把它求完整了。不过老师刚才说第二种方法，我还可以再介绍另一种方法来做。 那我把刚才的这个擦一下，我们直接来讲一下第二个方法。第二个方法我们用的也很多，既然我们已经知道刚才我们的 b p 一 这条直线和 b p 二是关于 b a 对 称的直线，那我们应该就有办法求出对称直线的解析式， 而求解析式一定还是两个点坐标。我们先把刚才的图擦一下，我们要求点坐标一定还是连立解析式，但是求这个 b p 二解析式的时候，除了 b 点，我们就需要还要再找一个点， 但是我们已经学过了如何求对应点的坐标，我们在这条直线上随便找一个点的坐标，把它对称过去，并且把这个对称点的坐标求出来，我是不是就可以在 b p 二上得到一个点坐标？比如说在这纵坐标都是四，我随便来一个点，比如我设一个二都四， 那这个点要求它关于 b a 对 称到这边的一个点，这个点我给他设一个 t， 怎么求坐标呢？首先根据对称的原理，我们知道根据轴对称的性质， h t 和 b a 肯定是垂直的关系， 而且中间这个焦点有 q 点，它应该还是 t h 的 中点。所以在这我们第一步可以干什么？我们第一步可以去 求出 th 的 解函数，因为 th 垂直于 b a， 所以 th 的 斜率和 b a 的 斜率乘积就是负一， b a 的 斜率是负二，所以它的斜率就只能是正的二分之一。好 斜率知道了 h 点的坐标，也知道我们是不是可以求出 t h 的 解析式了。好， y 等于二分之一， x 加多少，我们把 h 点给它带进来算一下，就是二分之一， x 加三就解出来了 t h 的 解析式有了之后，我们根据 t h 和 ab 的 解析式连立，应该就可以得出我们的中间这个点 q 的 坐标，我们把 q 的 坐标给它算一下，求出来 q 的 坐标是五分之二到五分之十六。 中点有了之后，我们是不是可以利用中点公式？因为我知道 t 和 h 相加除以二就可以得到 q 点，所以我把 q 点乘以二，再减去 h 点就可以得出 t 的 坐标，所以求出来 t 的 坐标呢？是负的五分之六到五分之十二。 这样的话，有了 b 点和 t 点，我们也可以求出 bt 的 解析式。我们求出 bt 的 解析式，发现和咱们刚才是不是求的是一样的？那最后一个步骤我们就不说了，就是去连累它。 在这个题目里面，显然是咱们的几何法更简单一些，但是如何求一个点？关于某一条直线对称点的坐标，这个方法我们也要掌握，他在我们的呃，求将军马最值问题、 角度方向问题全等存在性问题都会用到。好，大家可以看一下今天这个题目有没有学会。

接下来我们来看到第二十二题，随着中小学每天一节体育课活动的开展， 充分激发了同学们的运动热情，某商场体育用品需求量微增啊，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共一百个，其中篮球个数不少于足球个数。各位，这句话非常关键啊，篮球的个数要不少于足球的个数，并且 付款总额不得超过一万一千两百元，但是前面还有个共一百个啊，这个条件已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表设该商场采购 x 个篮球。注意啊， 有 x 个篮球。其实当我们看到这个条件的时候，就要想到，篮球买了 x 个，我一共买一百个球，说明足球就要买多少个呢，哎，足球就要买一百减 x 个，这个我们可以在旁边给它标注一下，一百减 x 个 足球。好，现在我们再看这个表格，他说厂家对于篮球的批发价呢，是一百四十五元，足球厂家的批发价是一百元，商场的零售价是一百二十元。 那这里一共有三个问题，我们来看第一个，求该商场采购费用 y 与 x 的 函数关系式，并写出自变量 x 的 去值范围 来。各位，这道题大家要注意了，我们所说的这个采购费用是什么？是我们商场去厂家购买这批篮球和足球，他的批发价要注意啊，是去厂家购买的，所以我们一定要按照 批发价去计算啊。那么第一问啊，根据题目给的条件吧，我们的采购费用 y 大 概等于什么？有两部分组成，一部分是篮球，一部分是足球。篮球要买 x 个，每一个批发价是一百二十元，所以篮球一共需要一百二十 x， 对足球而言，我一共需要买一百减 x 个，那每个足球一百元，所以就是要一百乘上一百减 x， 那 最终我们可以算出来，这个 y 应该是等于二十 x， 再加上一万。 当然写到这里还没有结束，题目要我们写出四比两 x 的 垂直范围，那这里呢？我们可以在草稿纸上练一练啊，他要满足什么条件呢？首先篮球的个数要不少于足球的个数，也就是 x 要大于等于 一百减 x。 其次，他说了我们采购的这个费用啊，不得超过一万一千两百元，也就是二十 x 加上一万， 这是我们的费用吧，他要小于等于一万一千两百，而这个最终我们可以得到 x 的 范围是多少呢？他是大于等于五十，小于等于六十。当然题目他没有让我们去求，只让我们写，对吧？所以我们直接在 这个解析式后面写一个 x 大 于等于五十，小于等于六十即可，我们把这个过程给它擦掉啊， 这是我们的第一小问，那接下来我们来看到第二小问，他说该商场把这一百个球全部以零售价售出球，商场能获得的最大利润。那第二问，我们在做的时候呢？那就是首先可以去设一下这个利润，因为题目有没有说利润怎么表示吧，所以首先设 商场能获得的利润为 w 元。大家注意了，我们的利润怎么求？还记得吗？应该是拿商品的单价啊，拿售价减去批发价，也是进价之后乘上它的总数量，要注意啊，一旦是要数量要乘数量的，所以我们的 w 这个等于，首先对篮球而言，零售价一百四十五元，进价是一百二十元，减掉，那每一个篮球我们就能赚这么多钱，也就是二十五元，那一共要买多少个篮球呢？买 x 个， 所以乘 x 再加上足球的话呢，它的售价是一百二，进价是一百，所以每一个我们能赚二十元，那我们一共能卖多少个呢？一共能卖一百，减 x 个。就把这个解析式给它算一下，最终算出来的 w 应该是等于五 x 再加上两千。当然大家要注意了，它的前提条件是五十小于等于 x 小 于等于六十就有范围的。那现在题目要求的是最大利润，那我的 w 要最大吧，那看它是五 x 加两千， 那就意味着我的 x 越大， w 就 越大，因为它是一个上升的一个图像啊。那我们写的过程的话，就是因为这个函数中的 k 等于五，它大于零，所以 w 随 x 的 增大而增大。所以呢，当 x 等于六十时， w 最大啊，我们用 max 来表示，它就等于两千，加上五乘六十 等于两千三百元， w 等于两千三， ok， 这是我们的第二问。然后接下来 李三文，他说受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时呢，发现篮球的批发价格上调了三 m 元每个，同时足球的批发价 下调了二 m 元每个该体育用品商场决定不调整商场的零售价，发现将一百个球全部卖出，获得的最低利润是两千一百五十元球 m 的 值。 那这里要注意了，由于这个篮球的和足球的批发价发生了变化，所以我们真正发生变化的应该是图章中的左边这一行啊。原本篮球是一百二十元每个，那现在上调了三 m 元，所以他还要加上三 m， 那 对足球而言，他是下调了二 m， 所以 是一百减二 m。 所以 第三问当中啊，我们同样的应该还是要求利润吧。那我们的 w 这个时候我们可以用 w 一 撇来表示， 它就等于什么呢？由原本的一百四十五，这个时候就不再是减去一百二了，应该是减去一百二十加 m， 也就是一百二十减三 m 啊，原本是加三 m 吧，减三 m， 然后再乘上它的数量 x， 最后再加上 一百二十，减去一百，再加上二 m 啊，求括号嘛，然后再乘上一百减 x， ok， 这里呢，我就不带大家去算了啊，最终算出来这个 w 一 撇应该等于什么？应该是等于五减去五 m 倍的 x， 再加上两千啊，加上两千，再加上两百 m， 要算出来这样一个结果，当然 x 还是在五十到六十之间的啊，这个是不会变的好。接下来他说将这一百个球全部卖出之后呢，获得的最低利润是两万一千五百元，让我们来求这个 m 的 值， m 的 值。那这里呢，无非就三种情况，因为我们的 w 的 这个利润 w 一 撇和 x 之间的关系，到底是随着它越来越大还是越来越小，其实就取决于前面的五减五 m 嘛。那五减五到底是正还是负？其实它会有三种情况，那第一种情况， 当五减五 m 大 于零，即 m 小 于一时，这个时候大家注意了， m 小 于一的时候，它是一个上升的图像，上升的图像的话，我们要求它的最低利润，也就是把 x 等于五十带进去算，要注意啊，要越低越好嘛。所以 当 x 等于五十时， w 一 撇最低等于两千一百五十啊，这个我们可以先带进去算，我们先不带两千一百五啊，这个五十的时候带进去呢，就是二百五十，减去二百五十 m 加上两千， 再加上两百 m， 这个结果呢，就等于两千两百五十，减去一个五十 m， 它要等于两千一百五十啊，等于两千一百五，所以 m 算出来是多少呢？这个算出来等于二，但要注意，我们的 m 是 要小于一的吧，所以这个结果要舍掉啊，要舍掉。那第二种情况就是当五减五， m 等于零， 即 m 等于一十。那大家想一想，当 m 都等于一了，这个 x 都没有了吧。那其实你会发现， w 的 取值跟 x 有 没有关系？它没有任何关系的啊，这个不管是五十到六十之间取哪一个，它都是一样的。那此时我们来算一算， w 一 撇就应该等于两千， 再加上两百等于两千两百，两千两百，它不等于两千一百五十呀，所以这个答案也得舍掉。 那只有最后一种情况了，那最后一种情况就是当五减五， m 小 于零，即 m 大 于一时，哎，这个时候五减 m， 由于它是小于零的，它下降吧，那下降就意味着 w 会随着 x 的 增大而减小，那现在我们要求它的最小值，也就是当 x 取最大值的时候，所以当 x 等于六十十， w 一 撇也最小，这个呢，就等于我们可以单去算啊，也就是三百减去三百 m， 加两千加上两百 m， 也就等于两千三百减去一百 m， 它的结果等于两千一百五十，那两千三减去一百 m 等于两千一百五，算出来 m 等于一点五， 那一点五行不行呢？是可以的，因为它的前提就是 m 要大于一嘛，所以这个结果是 ok 的。 那最后就要写综上所述，不要忘了啊，分类讨论题目一定要写综上所述， m 等于一点五， 或者写二分之三也行啊。那像这样一道题，他其实考察的呢，就是大家对这种啊函数当中啊，涉及到这个经济利润问题啊，当中他的一些这个关系。那大家在做的时候呢，就要去首先看清楚表格，然后呢看清楚题干给的条件。 那特别是前两问比较简单嘛，主要是最后一问。大家在写这个函数关系式的时候，那一定要注意到，由于我前面这个一次函数前面系数 k 他 是不确定的，那在不确定的情况下，我们就需要对它进行分类讨论，有可能是大于零，有可能是等于零，有可能是要 小于零，然后呢，把这个不符合条件的情况全部给它舍掉即可。 ok， 这是二十二题。

八十五分的题目对你来说没有什么难度？大家好，我是大表老师啊，八年级下册期末复 习以命速通大概能占到期末考试八十五分的内容，而且这个可能就是中文给什么中文圣子用的最后救命的药，就是没有压轴题，但是别的占八十五分的题目我们都会直接创，而且都是简单的给你定位啊。 首先我们按照单元来看，第一个就是实数，实数里边考什么呢？第一个考概念，概念包括五理数的概念， 以及平方根算式，平方根立方根的概念。复习第二个考范围内的填空题，咱们就是根号七到根号十七之间的一个数字，还有划点和计算，这两个很重要。 来看屏幕里面发现的都是真皮的题目啊。来概念，概念，概念，来计算，来范围范围，来计算，计算，计算计算，把这东西练了没有问题吧？第一个模块稳，拿分， ok。 第二个，勾股定力，勾股定力实际上考期末考的已经很少了，期中考的多，来考什么？第一个判断，第二个社会之数。判断是什么呢？判断哪些条件可以构成直角？我们这里边都是数据版的勾股定，那其实也可能考出角度版的， ok 吧， 来数据版的来判断，然后紧接着设未知数，这种题目我给你做烂了，这个长度是八，看这个长度是十， ok， 这个是 x， 这个是 x 减二，勾股定律有未知数并不可怕，勾股定律到这，好的来，然后紧接着坐标系，坐标系考什么呢？第一， 给了你两个点，说他的坐标，然后你先去找坐标系，再去确定位置。第二个变换，关于 s 轴、 y 轴对称或者平移的变换结果是什么？很简单。第三个特殊图形什么意思？在坐标系放了一个正方形， 你要考虑三垂直，放了一个等边三角形，你要考虑中垂线好不好来第四个作图，坐标系一定会有对称或者平移的作图，第五个在里边算面积，横平竖直怎么去表达底和高，然后看一下这个定位的更简单啊。定位的 来给个绿图，一定是定位的，对称的来正方形，特殊图形的三垂直没有问题吧？ ok， 来特殊图形的等边造型，做个中垂线，一定出结果。 再看这个是做图的以及判断形状，其实还是用了一点勾股定底的东西做图的，判断形状，然后还有一个面积，这就是坐标就会考的所有内容，难度极其的小， 当你定位好，你就在视频中找这些东西就好了，一定会有，然后紧接着二人一次来搞清楚一下啊，二人一次考什么呢？第一个计算一定会有小题大题都会有。第二个回代，第三个应用题来 带往里边带没有问题吧？回带往里边带没有问题吧？来计算计算，然后紧接着都是应用题， ok 吗？都是应用题，二元一次方程组，你要搞清楚，它一定会有两个等量，你看这个里面放前面三 位数比一位数放前面的大二十七没有问题吧？和为三十九是不是一共是两个等量？ 怎么样来下一个再说，哎，绳子含于四点五尺，第一个怎么样来，木头含于一尺，第二个怎么样？一定要找两个怎么样？然后紧接着这些题目的第二个先不看，待会说完函数之后我再告诉你来，首先第一个基本都 都是二元一次方程组，注意啊，这些都是必得分，来函数里面除了一次函数的压轴题之外啊，来考他们。第一个考 kb 的 判断。什么意思？给了你一个解析式，或者给你一个图，让你判断 kb， 或者给了你一个大概的范围，让你判断哪个图符合条件 好不好。来第二个，求解析式，这个很重要， y 等于 k 加 b 点， d 是 很重要。第三个焦点，这个阶段应该是焦点，焦点是两个解析式连力的方程组， 所以给了焦点，给了方程组的解，给了方程组的解，又给了焦点，以及他有可能出现问你这个焦点是谁和谁的解，你要求两个解析式都有可能 来做图，就给了你列表法，让你做图来。最后就是简单形成问题。这还有一个应用题，就是我们刚才在二元一次方程组中遇到的这种问题，这种问题呢，一定是把最终的结果 w 表达成一个式子， 然后紧接着我再根据 k 的 正负去判断增减性就好了。然后，所以呢，你看啊，来判断， 来判断，来求解析式，来焦点，对吧？来焦点，来焦点，然后紧接着这个求解析式列表，然后作图就有问题了。然后还有简单的形成问题啊，形成问题的应用题。注意， 因为小题第八题极有可能会考一个行程问题，那种题目其实难度还蛮大的，如果自己搞不定三分钟搞不定直接跳，不要影响心情，因为这种题挺难的，压轴题之一。 好的，来第六个数据分析，数据分析第一个考概念，什么概念？如果你知道什么是中位数，平均数， ok 吧？中位数、方差这些概念是什么？知不知道？第二个意义， 比如说人家给了你一组数据，问下列哪个组的数据更稳定啊？肯定是在问方差。来下一个分析类答题，这个题目其实也很简单啊，就是来看一下，首先第一个，这个是只是个算数加小数啊，对吧？来下一个，下一个说法，正确的是问你这几个概念 下来就是所谓的这个，这个还是一样的，就是既产量高又稳定，产量高说明我应该要平均数比较大，稳定说明我需要方差比较小，这都是意义的逃法好不好？ 然后紧接着也是一样的意义的逃法。然后接下来这个东西就是你去数数据就好了，必须知道哪个数据还是刚才概念的一个问题，说大数据还是概念的一个问题。 然后紧接着就先证明题，证明题，第一个概念大概率会带着命题去考，下列是真命题，其实就说法正确的是好不好。来平行线的考一定要考的很多，因为这一节这一 单元其实叫平行线的证明。然后简单的角度计算以及上学期的大题，就是这么说吧，这学期的这些几何大题比上学期要简单很多。 看一下命题类的来，你看平行线类的来，你看平行线类的来，你看简单角度，角度计算类的，又是跟平行有关角度计算， ok， 把最后这两个大题说成，让大家放在上个学期你 都不惜的练它，好吧，所以八十五分的题目对你来说没有什么难度，一命速空。加油，祝你们期末考个好成绩！