山东初中数学中考几何题

这是第四十四题，这是一道利用三十度特殊角关键三角形的对折贴靠思想构造辅助线答题的例题。因为这道题涉及到多次试探和两层构造，有一定的难度。 这里就先对书上的解法做一个小结。书上给出了这道题的三个解决方案。 第一种是对中心三角形和目标三角形 a、 c、 d 沿 a、 d 边做对折贴，靠 得到三角形 a、 c、 d 的 全等三角形 a、 e、 d。 然后根据这条线段等于这条线段，它们之间的夹角是六十度，这个关联特征 连接这两点，闭合构造得到这样一个等边三角形，因为这个角是七十五度，这个角是六十度，所以这个角是十五度， 这个角是这个直角，减去这个七十五度角，它也是等于十五度。 这个角和这个角所在的这两个三角形当中，这条边是等于这条边等于这条边的， 这条边公共，所以这两个三角形就是全等的，从而得到这条边等于这条边等于这条边，使问题得正。注意，我们在做对折贴靠描述辅助线的时候，应该这样描述 过点 a 作角 d、 a、 e， 并且使 a、 e 等于 a、 c 连接 d、 e， 这样就得到了三角形 a、 c、 d 的 全等三角形 a、 e、 d， 从而实现了三角形 a、 c、 d 的 对折贴扣。 这是书上讲的第一种解法。书上讲的第二种解法是对 a、 c、 d 沿 a、 c 边做对折贴，靠得到这样一个全等三角形， 然后通过闭合构造得到这个等边三角形。因为这一点和这一点是关于 ac 对 称的，所以它们的连线和 ac 是 垂直的，又由于 ac 垂直 bc， 所以这条线段和这条线段是平行的，同时这条线段等于这条线段等于这条线段，所以这条线段和这条线段平行且相等，因此这个四边形 就是平行四边形，从而得到这个线段是等于这个线段的，所以这个线段就等于这个线段。 这个解法当中涉及到了对称图形和平形四边形的几何性质，后面还会讲到，这里仅做一个提示。书上提示的第三个解法是对目标三角形 b、 c、 d 做单靠，得到这样一个全等三角形， 从而使这个角转移到了这里。因为这个角和这个角都是十五度，所以这个角就是六十度。因为这条线段转移到这条线段，它们是相等的，所以可以连接这两点闭合构造得到这样一个等边三角形。 于是这两个三角形当中，这条边等于这条边，这条边、这条边公共，所以它们是全等的，因此这个角和这个角是相等的，都等于十五度。 这个角是这个角转移过来的，那么这个角也是十五度。由于这两个角相等，所以这两个边就相等。 这是书上提示的第三种解法。最后来解答两个问题，第一个问题是三角形 a、 b、 d 是 不是中心三角形？能不能通过它的构造来解析。根据提义，我们知道这个角是四十五度， 这个角是三十度，那么这个角就是十五度。又因为 a、 d 边 等于 a、 c 等于 bc， 所以 三角形 a、 b、 d 当中也有两类关联条件，它和三角形 a、 c、 d 关联条件的种类一样多，所以它也是中心三角形， 能不能通过他的几何构造来解析呢？也是可以的，我们可以根据这条边等于这条边，或者这条边等于这条边、这个边关联条件做单靠构造来解析。如果沿这条边单靠， 可以得到这样一个全等三角形，由于这个角等于这个角是等于十五度的，所以这个角就是六十度，于是可以连接这两点 闭合构造得到这个等边三角形。这两个三角形当中，这条边等于这条边，这条边、这条边公共，所以他们就全等， 因此这个角和这个角相等都是三十度，那么这个角也是三十度，所以这个角就是十五度，和这个角相等，也可以证明这个边等于这个边。 如果对三角形 a、 b、 d 沿这条关联边做单靠，可以得到这个全等三角形， 然后通过闭合构造得到这个等边三角形，再通过这两个三角形的全等得到这个角等于三十度，也就是说这个角是三十度，那么这个角是十五度，和这个角相等， 也可以证明这两条边相等。第二个问题是，三角形 a、 b、 c 是 不是中心三角形，能不能通过它的几何构造来解析？ 根据提议可以知道这个角是直角，这个角和这个角都是四十五度， 这个边等于这个边。这样看来，三角形 a、 b、 c 当中也有两类关联条件， 因此他也是中心三角形。那么怎么通过他的几何构造来解析呢？因为涉及到外部构造，这里就不做讲解，有兴趣的可以参考本书第八十九页的例题自行解答。

初二压轴的几何难题，快给孩子收藏一下吧！角 a， 四十五度，角 c 二十二点五度， b、 c 长是八，求三角形 a、 b、 c 的 面积！很多同学上来直接 从点 b 向 a、 c 做了垂直，然后发现这些垂线段和线段之间的关系很难求解。今天魏老师教大家一个招， 我们看四十五度和二十二点五度本身就自带一个二倍的关系，而且四十五度又是等腰直角三角形的内角，这时候如果咱们构造一个二倍的二十二点五度，就可以得到一个四十度，怎么构造这个二倍呢？直接画很难，我们可以做 b、 c 的 中垂线， 上面交点，咱们叫它 d 点，这个垂足咱们叫 e。 既然是中垂线，所以 b、 e 的 长和 e、 c 的 长就都是 四。做完了中垂线之后，马上连接线段的两个端点，等腰三角形出现， d、 b 和 d、 c 相等，二十二点五度就可以对称到这里， 那么角 a、 b、 b 就 应该是二十二点五度的二倍，也就是四十五度。那么大家会发现，刚才刻意做的垂直，现在已经不经意的出现在这里，角 a、 b、 d 就是 一个直角， 那现在怎么办？一线三垂直模型已经若隐若现了，只要咱们延长线段 c、 b 再从点 a 向它做上一个垂直，哎，三角形 a、 f、 b 和三角形 b、 e、 d 就 全等了。因为 a、 b 跟 b、 d 在 等腰值当中，作为两个直角边相等， 这两个角它是互余的，这俩角也互余，所以这俩角相等。又因为这是直角，这也是一个直角，两个三角形全等，那么 b、 e 的 长就等于 a、 f 的 长，也就是四， 所以三角形 a、 b、 c 的 面积等于二分之一的底乘以高，也就是二分之一的 b c 乘上 af， b、 c 长是八， a、 f 四。最后答案是十六。用一线三垂直模型轻松秒掉这道特殊的题型，你学会了吗？点个关注吧！

正在准备中考的同学和家长们注意了，今天彻底讲透一类必考的压轴题， 动态几何综合题。我直接用一道二零二二年青岛中考的真题把它掰开揉碎，一步不落地讲给你听。视频有点长，但全是干货，看完你就能掌握通法。 这类题是中考常课稳坐压轴题，位置分值在十分以上，是高分的关键。 答题之前呢，先亮出两个核心工具，第一，三角形相似的判定，特别是两角相等。第二，求面积的割补法，拆分不规则图形。这两个是今天的答题利器。 攻克所有的动态题，有一个统一的新法，那就是化动为静，以静治动。 其中有三步操作，第一步呢，就是梳理不变关系，我们要找到旋转后固定的边和角。第二，参数化运动轨迹，我们用时间 t 表示动点的位置。 第三，聚焦瞬间状态，我们把问题锁定在垂直平行的那一刻。新法到手，实战开始。 我们来看题。直角三角形旋转九十度，有两个动点， p 和 q 同时同速出发， 存在三个问题，第一问，当 eq 垂直于 a、 d 时，求时间 t。 第二问，求四边形 p、 c， d， q 的 面积 s。 第三问，问，是否存在 t 使得 p、 q 平行于 c、 d。 第一问呢，第一步，求 a、 c。 在 直角三角形 a、 b、 c 中，由勾股定律得 a、 c 等于四。第二步，我们标注旋转性质， 旋转了九十度之后，对应的 a、 d 就 等于 ab 等于五， a、 e 等于 a， c 等于四角 a、 e、 d 等于九十度，这是不变的股价。 第三步，由于问题中给我们加入了一个条件，那我们就用加入的条件来找模型， 条件是 eq 垂直于 a、 d， 也就是角 a， q、 e 等于九十度。看图中有两个九十度 角 a， q， e 和角 a， e， d， 还有一个公共角 e， q。 我 们立刻锁定相似三角形 a， q、 e， d。 接着我们列方程求解，由相似对应边乘比例得到 a， q 比 a， e 等于 a， e 比 a， d。 代入 a， q 等于 t， a， e 等于四， a， d 等于五，得到方程 t 比四等于四，比五解得 t 等于五分之十六。第一问完成，第二问求不规则四边形面积。 我们直接调用工具割补法，公式就是四边形 p， c、 d， q 的 面积等于三角形 abc 的 面积，加三角形 a、 c、 d 的 面积减三角形 a、 p、 q 的 面积减三角形 b， p、 c 的 面积。 我们要求面积先求高，所以我们做出来辅助线，过 c 作 c， m 垂直于 a， d 于 m， 过 p 作 p， n 垂直于 bc 于 n。 我 们先来求 c、 m。 观察三角形 abc 和三角形 c， a、 m 容易中得它们相似， 因为角 b 等于角 c， a、 m 都是角 b， a、 c 的 余角再加上两个直角，所以三角形 a、 b、 c 相似于三角形 c， a、 m。 由这组相似我们列出来比例， ab 比 c， a 等于 bc 比 am 等于 ac 比 cm。 我 们代入数值得到五比四等于三比 am 等于四比 cm， 解得 am 等于五分之十二 cm 等于五分之十六。再来求 p， n。 我 们观察三角形 b， p、 n 和三角形 b， a、 c 也是相似的，因为公共角是角 b 再加两个直角，所以三角形 b， p、 n 相似于三角形 b， a、 c。 那么由相似得 b， p 比 b， a 等于 p， n 比 a， c 得到 t 比五等于 p， n 比四解得 p， n 等于五分之四 t。 现在我们来计算四个三角形的面积，三角形 abc 的 面积等于二分之一乘以三乘以四等于六。三角形 a、 c、 d 的 面积等于二分之一乘以五，乘以五分之十六，等于八。三角形 a、 p、 q 的 面积等于二分之一，乘以四 t 乘以括号内 五分之四 t 等于五分之六 t。 接着我们代入各补的公式，也就是四边形 p、 c、 d、 q 的 面积等于六加八减二分之一 t 乘以括号内五减 t 减五分之六 t 合并后得到了最终的函数 s 等于二分之一 t， 方减十分之三十七， t 加十四。 第三问，判断平行是否存在标准的流程呢？是先假设，再推导。我们假设存在时间 t 使得 p、 q 平行于 c、 d。 那 么由平行得到同位角相等，角 a、 q、 p 等于角 a、 d、 c。 同时已知角 p、 a、 q 等于九十度，角 c、 m、 d 等于九十度。因此在三角形 ap、 q 和三角形 m、 c、 d 中有两组角相等，所以三角形 ap、 q 相似于三角形 m、 c、 d。 由相似，即 md 等于 ad 减 am 等于五减五分之十二，等于五分之十三。所以 ap 比 mc 等于 a、 q 比 md， 所以 五减 t 比五分之十六，等于 t 比上三分之十五， 所以五减 t 比十六，等于 t 比十三。最终得到 t 等于二十九分之六十五。好了，我们来总结一下。首先我们来对这道题目进行定位，这是高分值压轴题， 我们采用了相似判定和割补法的工具，全程贯穿了化动为静的思想， 你会发现难题的本质都是在考你最基础的模型。最后有一个思考题，第一问中除了用相似，能否用角 e a q 的 余弦来求解， 评论区见哦。如果这条视频帮你理清了思路，请点赞支持，关注我，带你用数学思维破解更多难题！

孩子做几何题的时候，几何的辅助线不会加，不知道加在哪里，是因为没有学过模型平行线的证明题。孩子知道要加辅助线，但是往哪加，加几条，加在哪，全凭感觉。辅助线并不是灵感，而是套路。 总结一个猪蹄模型、铅笔模型，每条模型辅助线天法是固定的，先模仿再沿用。从凭感觉到套模型几何，就拥有了解题的工具箱，从几个经典的例题，带着孩子一定要练一下。

绝对值的运算，孩子是不是经常出错，又容易漏解？像 x 减二的绝对值等于三的这种题目，孩子是不是总是丢分，拿不到满分？其实并不是，孩子不会是思维有盲区， 因为他只是把绝对值当做计算的符号，关键是要弄懂 a 减 b 绝对值代表数轴上的真正含义，它是代表了两点之间的距离， 问到哪个点到二的距离是三，他瞬间就懂了。吃透一个概念的几何意义，就能够理解并且解决一整类题目。这个距离的观点孩子学校老师强调过吗？其实一定要让孩子把基础的这种概念弄会了。

最近有家长私信我说咱济南市初一期末的重难点有什么？今天呢，在这给大家捋一下， 初一期末考试想要拿到高分，这些题你必须都得会。当然，今天呢，我们主要在这捋一下框架，具体呢，还是靠你们自己了啊。首先呢，第一张几何图形正方题的展开图， 不用记有多少种，只需要记他有哪几种不可能出现的结构。第二部分，如何在正方展开图中找对面，找重合点，如何画三式图，如何求一个几何体的表面积？如果他有凹槽，该怎么处理？ 第二章，有理数，这是我们这学期的重中之重啊！首先，第一部分，基本概念大家千万不能忽略，比如说什么是有理数，什么是无理数，什么是非正数，什么是非负数，以及谁的绝对值为它本身，谁的绝对值为自己的相反数。 第二部分，计算考试想要拿到高分，那计算一个都不能错啊，你错一个，那就亏大了啊！第三个，数轴，数轴的三要素是什么？如何在数轴上表示数的大小，以及如果一个点在数上动起来该怎么处理，也就是 大家比较害怕的动点问题。当然动点问题呢，在期末考试中考的概率已经相对来说较小一点啊，但基本的处理方法大家还是要会。第四部分，绝对值，这呢也是一个重头戏，那具体都会考察什么呢？比如说绝对值的双解性，非负性怎么考察？ 非负性最直接的 a 加三的绝对值加上 b 减二，绝对值如果等于零，哎，那 a 和 b 各自是几呢？大家自己思考啊。第二部分，绝对值的化解， 化简指的就是我现在把绝对值外面这层衣服给他扒掉，把绝对值符号去掉，那怎么来去这个绝对值符号，你得先判断正负对不对， ok， 好。 当然除了常规的化简之外，还有一个比较特殊类型的化简， a 分 之 a 的 绝对值，这个呢，会不会 好？第三部分，绝对值的几何意义，它的几何意义代表的是距离，那你比如说像这个，你能不能用绝对值的几何意义来处理呢？ 这个绝对值方程能不能用它的几何意义来理解？以及， 哎，我问这个式子的最小值，当 x 满足什么条件，它取得最小等等啊，类似这样的问题，它的几何意义有各种各样的处理，包括在数轴的动点那个地方，在涉及到求距离的时候，我们是不是经常也会用到绝对值， 所以把知识点要联系起来啊，结合起来。好，这是绝对值。这部分。接下来下一张整式。 首先整式里面还是涉及到预算啊，和刚才一样，预算一个都不能错哦，错一个你就亏大了。第二个，整式与几何的结合，这个呢，一般来说在选择和填空的压轴题难度稍大，但是它有个核心的思想就是设元， 你要在其中去设未知数来进行推导。第三个，规律探究，这是第三张考的相对比较多的一个内容。 那具体来说，竖列有几个？竖列大家要了解等差竖列、等比竖列这两个竖列如何求它们的第 n 项，以及如何求它们的前 n 项和二级等差竖列如何求它的第 n 项？ 周期问题如何处理竖表，哎，比如说三角竖列换方。 第四章，线与角首先，线与角的基本计算，那这其中有个很重要的思想啊，一旦出现线和角之间的关系的时候，大家要想着去射源啊，射源思想。第二部分，角度转换 度，分秒之间如何互相转化？可能会做一个填空题来考察。第三个，中面角，给一个具体的时刻举例子，比如说一点二十分，那他的时针和分针的夹角是多少度？这个怎么算呢？有没有固定的方法呢？大家一定要回去自己把它捋明白啊，如果说有不明白的，当然可以私信来问我。 第四个，角度旋转，那这呢就是我们这学期的一个压轴题，甚至可以说是必考题了， 难度比较大。但是呢，如果对于这种题型你一直来说都是做的不太好的话，建议大家最近这段时间不用深究这个题型啊，因为呢，我们要把时间放到其他性价比更高的题型上，对于这个题型来说，其实到了初二初三到，包括到中考，他是不进行考察的 好。第五部分，一元一次方程，首先如何解？方程仍然涉及了计算错一个怎么办？亏大了啊。第二个，含餐方程哎，比如说一个方程含餐，它告诉你这个方程的解，你该如何处理。 第三部分也是我们期末考试必考题型啊，应用题、经济问题、行程问题、工程问题、方案选择问题，尤其方案选择问题，很多同学这个读题一塌糊涂啊，一定要仔细读题。 下一部分是我们七下的第一章，整式的乘除，那首先里面的基本预算法则，同底数密乘，同底数密相除等等啊，这些东西呢，大家必须非常熟悉，以及多项式乘，多项式到底如何处理，这是最基本的运算，那运算能不能错， 不能对吧？错一个你就亏大了啊。第二部分乘法公式，主要是两个乘法公式，一个是完全平方公式，一个是平方差公式。那你要知道它基本内容以及如何预算以及它的应用， 那这个地方它的应用主要涉及到什么呢？比如说它的减变预算，一百零二乘以九十八，类似于这种能不能快速算呀？ 哎，这里面还有一个很重要内容，就是 a 加 b， a 减 b， a 乘 b， a 方加 b 方，这四个量的互相转化该怎么处理？必须要会，以及 a 加 a 分 之一， a 减 a 分 之一， a 方加上 a 方分之一，这三个量之间如何互相转化？ 好，那以上的知识点就是我们期末考试的重点以及部分难点，这些题呢大家必须都要会啊，如果有问题的话可以私信来找我。 ok， 那 今天我们说到这，明天呢，我们给大家介绍一下初二期末考试的重点有什么。

这是第四十三题，前面几道例题都是关键三角形沿平分角做对折贴靠构造辅助线。答题的 这道题是根据关键三角形当中的直角做对折贴靠来构造辅助线的。这道题当中，根据已知条件很容易确定三角形 a、 p、 e 是 中心三角形， 因为其中这个角是六十度，是已知的，这个角是直角，所以这个角是三十度，就是说它的三个内角都是已知的。 另外它还有 pa 等于 c、 q 这个关联条件，它拥有的关联条件是最多的，因为其中这个角是直角，所以可以对它做对折贴靠。在描述这个对折贴靠的时候， 我们可以说在 d 一 上面取点 f， 使 ef 等于 e a， 再连接 p f， 这样因为 ef 等于 e， a 这条边公共这个角等于这个角，所以它们就是全等的，就实现了三角形 a、 b、 e 的 对折贴靠。 我们也可以这样描述过， p 做 b c 的 平行线，与 a、 c 交于点 f， 因为 p、 f 是 平行于 b、 c 的， 所以这个角就是六十度。因为这个角是三十度，所以这个角也是三十度。这样这个角等于这个角， 这个角和这个角都是直角，这条边公共这两个三角形为 p、 e 的 对折贴靠。 这是这道题要做的第一个说明。三角形 a、 p、 e 对 折贴好之后，该怎么进一步观察呢？ 我们要围绕这条关联线段来观察 a、 p、 e 这样对折贴好之后，这条关联线段转移到这里来了。 也就是说 p、 f 是 等于 pa 的。 又因为 pa 等于 c q， 所以 我们观察 p、 f 所在的这个三角形，就可以发现它和这个三角形是全等的， 因为这个角是等一百二十度，是等于这个角的，这个角和这个角是对顶角，是相等的。根据 a a s 的 判定定律，就知道这两个三角形相等。 他们全等之后，就可以知道 c d 是 等于 f d 的， 而 e f 和 a e 是 相等的， 那么 d e 当中 d f 等于 d c e f 等于 a e， 所以 d e 就是 a c 的 一半，因此它的长就是二分之一。 这是三角形 a p e 对 折贴靠之后的解决过程。如果对目标三角形 p e， d 做对折贴靠，也是可以解题的。 我们可以过点 e 延长 e a 至点 g 连接 p g， 因为这个角等于这个角等于这个角，这个角等一百二十度， 和这个角相等，这条边又等于这条边，所以这两个三角形是全等的，从而可以得到 a g 等于 c d， 因此 g d 等于 a c。 又因为 d e 是 g d 的 一半，所以也可以得到 d e 等于二分之一。

百分之九十的学霸都不知道反比例函数中的这条结论。平行结论，我们来看看。反比例函数上面任取两个点 a、 点 b 分 别过点 a 去往外轴 x 轴上做垂直，过点 b 往外轴 x 轴上做垂直。我们得到四个交点， d、 e 还有 g、 h。 平行结论指的就是 ab， 它会平行于 d， e 平行于 g、 h。 同样的，如果 a、 b 这两个点在双曲线的两支上面，它也同样会满足 d、 e 平行于 a， b 平行于 h， g。 为什么会有这个结论呢？我们来快速证明一下。 a、 b 为什么平行于 d、 e。 我 把 a、 o 连接起来， s 三角形 a， d、 o 根据我们之前学的 k 的 几何， e， a， d、 o 的 面积会等于二分之一 k 的 绝对值，我把 b、 o 也连接起来，那么 s 三角形 b、 o， e 也会等于二分之一 k 的 绝对值。那我们再观察一下三角形 a、 d、 e 和 a、 d、 o 是 什么样的关系呢？ 等底同高，所以它们的面积也是相等的，因为它们也是等底同高的， 所以我们就能得到 s 三角形 a， d、 e 等于 s 三角形 b、 d、 e。 那 这两个三角形它们又是等底的，所以它们的高会相等。也就是说， a 点到 d、 e 之间的间距和 一点到 d、 e 之间的间距是相等的，我们平行线间的距离才会处处相等，所以我们就能证明 a、 b 是 平行于 d、 e 的。 至于其他几条线之间的平行关系，我们也都可以用相同的方法来证明，大家可以自己尝试一下。学校数学没吃饱来找饭饭开小灶，记得关注哦！

这是第四十五题，这道题也是通过三十度角、特殊角、关键三角形的对折贴靠构造来解题的。书上给出了具体的解法，因为涉及到两层构造和双构造，有一定的难度， 这里先对书上的解法做一个小结。通过已知条件不难看出，三角形 b、 c、 d 是 目标三角形，同时也是中心三角形， 其中这个角是三十度，这条边是等于 a、 d 的。 因为这个关键三角形当中存在三十度的特殊角，所以对它沿这条边做对折贴靠得到这个全等三角形， 这个顶点是一，这是第一层构造，这样构造之后，这个角转移到了这里来了，那么这个角就是六十度，同时这条边转移到了这里， 因为它是等于它的夹角为六十度，所以可以连接这两点闭合构造得到这个等边三角形，同时这条边转移到了这里， 因为这条边是等于 a、 d 的， 所以这条线段也是等于 a、 d 的， 于是连接这两点就得到了一个等腰三角形。 这里构造等边三角形和这里构造。等腰三角形是本期的第二层构造，是同时进行的，所以称为双构造。这样构造之后， 在这两个三角形当中，因为 a、 b 是 等于 a、 c 的， 这条边和这条边也是相等的， 这条边公共，所以这两个三角形是全等，于是这个角和这个角就是相等的，因为这个角是六十度，他们共同组成的是一个周角， 所以这个角和这个角的和就是三百度，那么这个角就是一百五十度。 在这个角所在的这个四边形当中，这个边等于这个边等于这个线段。根据本书第十八面的结论，可以直接得到这个角是六十度， 因为三角形 a、 c、 d 当中这两个边是相等的，所以它就是等边三角形。这是这道题解题过程的简要介绍，下面来回答三个问题。 第一个问题是三角形 a、 c、 d 是 不是中心三角形？根据提议可以知道，三角形 a、 c、 d 当中 这个边是等于这个边的，这个边是等于 ab 的。 那么三角形 a、 c、 d 当中也有两组关联条件，和三角形 b、 c、 d 的 关联条件是一样多的， 因此三角形 a、 c、 d 也是中心三角形，那能不能通过它的切口构造来解析呢？ 首先需要说明的是，三角形 a、 c、 d 当中 a、 d 等于 c、 d 这个关联条件是它自身的内关联条件，不能通过这个关联条件来对三角形 a、 c、 d 做贴靠构造。 ac 等于 ab 这个关联条件是 y 关联条件可以用来对三角形 a、 c、 d 做贴靠构造，但是经过构造试探并不能增加关联，无法实现。解析， 所以本题三角形 a、 c、 d 虽然是中心三角形，也是目标三角形，但是通过它的贴靠构造无法实现。解析，这是第一个问题。第二个问题是为什么三角形 b、 c、 d 可以 对折贴靠， 因为三角形 b、 c、 d 当中存在三十度的特殊角，对它做对折贴靠之后，就可以得到一个六十度角， 这个角是六十度，同时他把这条边转移到了这里，就可以闭合构造得到这个等边三角形。由于等边三角形具有很强的关联转换能力，可以进一步拓展关联，为解析打开突破口。 前面讲到的第四十四题，也是通过三十度特殊角的关键三角形的对折贴靠和闭合构造得到等边三角形来实现解析的。因此，对三十度角的关键三角形做对折贴靠是一个很重要的解析思路。 刚才讲的三角形 b、 c、 d 是 沿 b、 d 边做对折贴靠的，那它能不能沿 b、 c 边这样做对折贴靠呢？我们可以试试看这个三角形，这样对折贴靠之后可以得到这样一个全等三角形， 这样构造之后，虽然也可以得到这个六十角，也可以闭合构造得到这个等边三角形， 但是因为这条关联边被转移到了这里来了，这条线段和关联线段 a、 d 完全分离，它们失去了位置关联， 使得图形当中的关联条件更加分散，是不能实现解析的。所以三角形 b、 c、 d 这样贴靠是无效构造。

五分钟带你解锁构造辅助圆的第二个隐藏条件。昨天呢，咱们讲了共顶点等线段的时候构造辅助圆。今天呢，咱们讲的是定长定角的时候，比方说有这么一条线段， a、 b 在 a、 b 外啊，有这么一个点， c 他和 ab 所形成的夹角呢，这个角是固定的，无论这个动点怎么动，这个角 a、 c、 d 是 固定的。这时候啊，我们就可以考虑辅助圆的构造。对呀，因为在圆中定弦所对应的圆周角，它是固定的，无论这个十一点， c 点怎么运动 它呢，只要这个角不变，它肯定是在以 ab 为弦所对应的这个这么一个圆上。当然，如果它没有说 c 是 在 ab 线上的上方，我们还有一种可能是在它的下方也有这么一个，它也可能运动到下面来， 这时啊，就是定长定角构造辅助圆了。咱们来看这道题，说在直角三角形 a、 b、 c 中， b、 c 等于八，这条边等于八， a、 c 等于十二， d 呢，是在 b、 c 边上运动的一个动点，然后做 c、 e 垂直于的垂直于 d。 让我们求呢， b、 e 的 最小值。 既然是研究 b、 e 的 最小值， b 点呢，是一个定点，那当然我就是要研究的就是啊， e 点的运动轨迹啊，我们来看 e 点这个地方是个直角， 因为啊， d 点在 b、 c 边上运动的时候， e 点啊，也是随着 a、 d 的 运变运动而不停地在变化的。但是呢，因为 c、 e 是 垂直于 a、 d 的， 所以啊，这个地方是一个定角，是一个直角， 那以 c、 d 为直径，以角 c、 e、 d 为定角做做的辅助圆啊，是一种常见的错误， 也是一个经典错误了，因为什么呀？因为 c d 啊，它是一个动态的线段，它这虽然是个定角，但它不是定长，所以呢，我们就要找这个定角对应的是哪个定长的线段呢？对，就是 a c 了，这条边它对的角是在这， 这个就是数学老师啊给我们故意设置的一个坑啊，你看，他可以在这标了个直角，在这标了个直角，但是呢，他没有在这边标，所以啊，很多同学啊，就直接以 c d 为直径做了椭圆， 这是一个典型的错误，所以呢，我们在这里啊，我们以 a c 为直径做一个辅助圆啊，现在我们就画出了一个以 a c 为直径的一个辅助圆，然后 e 点呢，肯定是在这上面运动，在这个圆上运动的， 那我们看看什么时候 b e 是 取到最小值呢？对，又到了一箭穿心的时候了， 在圆里面求最值的时候，大部分时候都是用到一箭穿心。看这个时候，这个地方是 o 点， o 点呢？是 a c 的 中点，那这边是六，这边也是六， 那 b o 是 不是这个直角三角形 o c b 的 斜边，这是六，这是八，那这个 b o 就 等于十了， 那 b e 这个地方是它的最小值， b e 等于什么呢？是不是就等于 b o 减去这个直径？直径是直径是谁啊？直径就是六， 所以此时 b e 的 最小值，这一段就等于四。大家看，其实啊，这种动态对值的问题啊，只要你发现了，有定长定角的时候，构造椭圆是你的最佳选择。 大家如果还有什么其他几何难题的话，可以在评论区告诉我，记得关注再走哦！

下面看一个同学问的题目啊，这个三角形 a、 b、 c 和 a、 d、 e 都是等边三角形，其中呢，大等边三角形边长是六， ab 是 六，然后 a、 d 的 长度是三，小等边三角形边长是三。第一种情况就是按照这个图 e 的 方式放置，求线段 c、 e 的 长度， 图 e 的 方式呢？这个长度是六，这个长度也是六。 a、 d、 e、 d 点恰好落在 a、 d 恰好落在 a、 c 这个边上，这样就是中点了， 然后连接 c、 e 这个地方看着很像一个九十度角，对吧？那我们来正它一下，因为这个角是六十度，这个角也是六十度， 因为等边三角形的这个边呢，是三，这个边长度也是三，所以这个小的是个等腰，这个这个角六十度是外角，所以他的两个角呢，就是相加等于六十，并且他俩还相等，是吧？因为这个边等于这个边等于三，等于三吗？ 这样就得到这个角三十度，这个角就三十度，这样这个角就九十度，就挣出来了。那六的方减去三的方就能算出它来，答案应该是三倍的根号三，第一小问，第二小问， 第二小问呢？把三角形 a、 d、 e 旋转了一下啊，正是成为了手拉手的问题，对吧？这是一般情况下的手拉手，证明 b、 f、 c 等于角， a、 f、 b、 b、 f、 c 等于角， a、 f、 b 这两个角相等。 好，我们先来证一下这个全等，因为手拉手的全等嘛，是吧？公共顶点在这，这两个都是大手， 然后这两个是小手啊，所以呢，嗯，大手拉小手，三角形全等，也就是说应该是 e、 a、 c 这个三角形全等于三角形 f、 a、 b 啊，因为这个边等于这个边一一对边相等， 嗯，这个边又等于这个边又一对，边上的这个角六十，这个角六十，中间的这个角是阿尔法公共的部分，所以六十加阿尔法就等于六十加阿尔法，所以这个角就等于这个角啊，所以 s a s 就 能挣出两个三角形全等来。三角形全等之后呢，对应角相等，这个角和这个角是相等的， 然后这个是对零角，所以这个角的度数应该等于这个角度数就是这个呢，这是一个我们常说的叫蝴蝶形， 嗯，我们以后呢，到了初三就会知道这个三两个三角形是相似的，有对顶角相等，而这两个小角呢，是三角形全等的对应角，所以马上得到这个角就和这个角相等，所以这个角度数是六十度。这个呢，也会成为手拉手的一个常见的结论， 因为这条边是那个手拉手全等三角形当中小手大手之外的另外一条第三边，同理这条边也是， 所以这样我们就得到了就是这个手拉手全等的三角形。那个第三边所成的角度，总是会通过一个蝴蝶形等于两个大手的角等于大两个大手的夹角。 如果是等边三角形构成的手拉手，这个角度就是六十度，还有等腰效三角形构成的手拉手，是吧？那这两个这个角度就是九十度，就第三边，它不但相等，它且互相垂直啊，有这样一个结论。 好了，这样我们就正数这个角是六十度，下面呢，他让我们正这个角和这个角相等，那这个角是六十，那这个角显然就是一百二，你想要正这两个角相等，那就得说明这个角也是六十度，也就说明 a、 f 恰好是角平分线。 嗯，证明角平分线呢，我们常见的方法就是啊，角平分线性质的逆定啊，这个点 a 落在上面啊，落在这条线上，这条线上有一个点到角的两边，如果距离相等，那它就是角平分线。 所以下面我做一下这个负弦， 所以就是证这个 a m 如果等于 a n， 那 这个这里这个就角平线了。 这个这个 a m 和 a n 呢，实际上是很好证的，对吧？为什么呢？因为 a m， 我 们发现实际上是手拉手全等的那个三角形，它的高， c、 e 上的高， 那既然能和那个手拉手的全等三角形能联系在一块，那下面就好挣了。同理，这个是第二个那个手拉手的全等的三角形，它这个 b、 d 边上的高， 两个三角形全等，所以面积相等，这两个边又相等，底边相等，面相等，高就相等，所以它两个相等。 再说了，这两个本来就是对应线段，是吧？三角形全等，对应边相等吗？所以这两个就相等，从而正出来是角平行线，那这个一百二十度的角平行线，这个角就是六十，这样我们就正出来 啊。这个也是常见的结论之一，就是你那个第三边所成的角啊，这个顶点，如果连接他们这两个三角形的公共顶点 a 的 话，这个一定是角平行线啊。方法就这样来正 好了，这是前两位，下面我们看一下第三位第三位图一的位置，嗯，如果，嗯，将三角形 a、 d、 e 旋转， 就这个三角形转起来旋转之后呢，当 b、 d、 e 恰好在同一条直线的时候，直接写出 c e 的 长度 啊，也就是 b d e。 嗯，嗯，应该是，这个点是点 d， 这个点是点 e。 嗯，我们先把图画一下啊， b、 d、 e 共线啊，这个学生呢？画了一下，但是字母标错了，应该是这个是点 d， 嗯，这个是点 e 啊，它要求 c、 e 的 长度啊，手拉手的全等依然存在，所以 c、 e 的 长度呢，应该等于这个 b、 d 的 长度。 嗯，手拉手就是这个三角形和这个三角形的全等。嗯，所以你只需要求 b、 d 就 可以了。这时候呢，这条线是共线的啊，这个角六十度，这个角一百二。嗯，那我们下面求一下这个长度啊。 你要想求长度呢，我们现在的方法就是利用购物定义来求，是吧？嗯，这个是共线的，所以我直接从点 a 向 d e 做垂线，构造出直角三角形来。 假设这个点是 m 吧，那这个长度是三，那这样一做垂线，这个角三十度，那这个边就是二分之三。勾股定律就能算这个边长度，所以它的长度应该是二分之三倍的根号三。 嗯，知道了这个边的长度，那勾顶点就可以来求 b m 的 长度，是吧？在这个直角三角形中，斜边是六，这条直角边长度是二分之三跟三 啊，勾股就行了，六的方减去二分之三跟三的方，然后再开方，算出这个总长来啊，总长度呢，要想求这一块，就再减去二分之三即可 啊。这是第一种情况，在旋转的时候，往往会有两种情况，因为他要绕着转一周，所以，嗯，还有可能什么呢？还有可能转到这边，比如说，嗯， 大概就是这么个样子，哎，也有可能是共线的，对吧。哎，这个图我已经画好了啊，在这边画好了，所以就是当这个三角形呢，转到了嗯，这个位置的时候，从这转到这啊，这时候 b、 d、 e 又共线了， 那这时候再来求 c、 e 啊，手拉手的全等仍然是存在的，公共顶点，在这，小手大手，小手大手，所以 c、 e 的 长度呢，就等于 b、 d， 所以 只需要求 b、 d 的 长度就可以 啊。方法呢，和第一种情况几乎是一模一样的，直接过小对边三角形顶点啊，构造直角三角形，做垂线就可以啊， 哎，做垂线，哎，这个点还是设成 m 啊。因为这个边的长度是六啊，这个边长度是三， 这个是二分之三，所以它的长度就是二分之三零三， 购物典礼用他的方减他的方，算出这个长度来，因为要求的是 c、 e， 也就是 b、 d 的 长度啊，所以再加上这块长度就可即可啊。所以图形一呢，就是算出这个长度来，之后呢，减去二分之三， 而图形二就是算这个长度来之后加二分之三。好了，这个题目这样我们就讲到这里啊，这个长度呢，最后的长度呢？答案你可以自己算一下，把你的答案打在评论区，看看解的到底对不对。

呃，来看一下二四年山东淄博的这道题啊，好，现在的话，他说有个抛物线 y 等于 x 平方加 b， x 加三，然后呢和 x 轴分别交于点 a， 还有我们点 b。 现在的话呢，说 x 一 x 二是我们方程 x 平方减二 x 减三的两个根。然后的话呢，第一小问，他问我们这个函数表达式是什么？ 那么你看，因为我们原来这个抛物线，注意啊，这个地方是加三，你现在这里是减三，那你调一下嘛，负 x 平方加上二 x 加三是不是也应该等于零？所以这个时候其实我们这个抛物线它是谁啊？ 是不是就是 y 等于负 x 平方，然后加上一个二 x 再加上一个三， 对吧？好。然后的话呢，是后面第二小问，他说现在我们一直有一个直线 l， 他的话呢是 y 点三 x 加九和我们 x 九， y 九啊，分别交于点 d， 还有我们的这个点 e， 然后的话呢，我们先来看第一个，他说如果我们直线 bc 和这个 l 呢，交于点 f， 然后他想问，在我们第三象限里面啊，注意到象限，搞清楚啊，是否存在一个点 p， 使得我们的角 p b f 等于角 d f b， 如果存在的话呢，求出我们的坐标啊，如果说不存在的话呢，去说明一下理由。那么这个时候的话呢，我们先把这些该求的点先去给人家求一下吧，比方说像我们点 e 的 话呢，它其实坐标直接可以读出来是不就是零九， 然后我们点 d 的 话呢，就是三 x 加九等于零嘛，对吧？所以 x 求出来等于负三，所以它其实是负三零。 好。然后的话呢，我们来看一下点 a 和我们的点 b， 那 么你这个方程的根，其实你刚刚应该是配方配一下是 x 减三， x 加一，对吧？等于零，所以的话呢，点 a 的 坐标其实应该是一个负一零，然后点 b 坐标呢，就是一个三零。 好，那么这个时候的话呢，我们去看一下题目里面他的这个要求啊，说在我们第三项线呢，有个点 p 使得这个角啊，我们就把这个角去描一下啊， 谁呢？就是我们的 d f b 好， 是这个角，它的话呢，要等于我们这个 p b f 啊，我们大致先画一个角吧，比方说点 p 在 这儿对 p b f 是 这个角。 好，那么这个时候的话呢，我们来思考一下，那你要在这边求它这个角相等，你肯定是要去转换的，对不对？ 那么我们这边既然跟点 f 它是有关系的，所以我们先去把 f 去求一求吧。那么在这里的话呢，直线 bc 啊，我们点 c 坐标是不是是个零三来着？所以直线 bc 特别好写啊，我这边过程就不写了，你老是写过程啊，你本来的话应该 y 等于 k， x 加 b， 但是你想啊， o b 和 o c 都是等的都是三，它其实这条函数，或者说其实这个角 o b c 是 四十五度吧，所以这个函数 bc 啊，直线 bc， 它什么 y 等于负 x 加三嘛，对吧？四十五度角的那个斜率不都是等于负一嘛？ 好，然后的话呢，我们是不是让它去和 y 等于三 x 加九点一下，所以负 x 加三，它等于三， x 加九。一项之后的话呢，是一个四 x 等于 负六，所以 x 求出来等于负二分之三，那么我们点 f 的 坐标就应该是负的二分之三，纵坐标带进去之后，应该是加上一个 二分之六，二分之九，对吧？ 好，这个就是我们点 f 的 坐标。好，那么如果说你对于我刚才提到那个四十五度有点印象之后，其实你想一想我们这个角度啊，因为注意了，这是个比较，就他就是个普通的锐角，也没有什么。嗯，好多去研究的。那么这个时候我们其实可以干嘛呢？ 我们来思考一下啊，我们现在的话呢，过点 f， 比方说我们去做一条高，我们来想一想啊，我们现在 h f b 是 不是也是四十五度？好，我拿红笔给你标啊。好， 这个角呢，是等于这个角，这是题目里给我的。然后呢，这边四十五度和四十五度的，那意味着什么？ 是不是意味着其实我的 d f h， 它是等于我这个 h p， 呃， h b p 的， 我说 o b p 吧， 那么这个好处在于什么？它可是在一个直角三角形里面，那么你是不是可以用一些三角函数， 对吧？我们来看一下，对于这个直角三角形而言，那么 d h 的 长，它是等于多少？点 d 的 横坐标是负三啊，点 h 的 横坐标不就是点 f 的 横坐标吗？负二分之三，所以 d h 长，它其实是等于一个负的啊，不是负的二分之三， 对吧？好，然后的话呢，它的这个长度 f h 是 不是等于二分之九？所以这个时候你看啊，我们 tangent 的 角 d f h， 它等于多少？ 是不是二分之三？比上一个二分之九，是不是我们的这个三分之一，那意味着什么？意味着我的角 obp， 它是不是也得等于三分之一， 对吧？它的弹性的值，那这个时候你看 o b 长可是三啊，我们比方说这个焦点记成一个点 k 好 了，就是我们 b p 啊，和 y 轴的焦点， 那么是不是 ok 比上我的 o b 也要等于三分之一，那说明 ok 等于多少一点 k 的 坐标是不是零负一？那接下来就出来了，我们把直线 b p 去干嘛？ 写一下嘛，点 b 有 的，点 k 有 的，函数解析式有的，然后最后你再和抛物线连立一下，解方程组是不是就好了？所以这个时候我们来看一下我们的直线，这个 b k 好， 它的话呢，你设的时候就直接设 y 等于 k， x 减一就好了， 对吧？然后接下来你把点 b 代入，所以这个时候是三 x 减一等于一个零，那么 x 三 k 减一等于零，所以 k 等于三分之一，所以这个抛物线它，呃，不是抛物线，呃，这个直线 bc， 它其实应该是等于三分之一 x 减一， 然后你和那个抛物线 y 等于负 x 平方加二， x 加三连立一下，所以这个时候是负 x 平方加上二， x 加三，它要等于三分之一 x 减去个一好，所以它呢是负 x 平方，相当于减去一啊，加上一个， 嗯，三分之五 x， 然后加上个四等于零，我们左两边同乘一个，嗯，负三好了，对应的变成了三 x 平方减去一个五， x 减去十二等于零， 那这个可能，嗯，十字相乘不太好凑，那你就求分公式吧。那么这个时候的话呢，判别式就是 b 方，那就二十五，然后减去三次，十二乘一个负十二，加上一个十二乘十二，一，十二乘十二，一百四十四啊， 所以的话呢，是等于一个一百六十九，对，那一百六十九是十三的平方啊，然后的话呢，所以我们在这边呃，二一分之，那就二乘三，然后呢是五加减根号一百六十九，加减十三。所以你看啊，如果说是加十三的时候， 那么就是一个六分之十八，那算出来等于三，然后如果说是六分之五减去个十三啊，那么是负的六分之， 这个地方八化减一下负的三分之四。那么注意了，我们点 p， 它应该说是在第三象限的，所以 x 等于三，这个是不要的，那我们要 x 等于负四分之三，哦，负三分之四，然后你带进去把 y 啊带在这个里面吧，好算一点啊，所以是 负三分之四乘三分之一，再减那个一，所以负的三分啊，负的九分之四，那相当于减去个九分之九嘛，对吧？所以是负的九分之十三，所以最后的话呢，我们点 p 的 坐标，横坐标负三分之四，纵坐标的话呢，负的九分之十三。 好，然后的话呢，我们来看一下第三小问啊， 第三小问的话呢，他说啊，我们现在呢过抛物线上一个点 m， 然后做 b c 的 平行线，然后呢和我们抛物线交于另外一个交点是点 n， 我 们先随便画一个示意一下， 就一个是点 m， 一个是点 n， 然后的话呢，他又说啊，我们在这里直线 mb 和 c n 呢，交于点 q， 然后他就想问我，如果说把我的这个呃 q d 和 q e 连起来，我这个地方换一个颜色啊， 那么他想问我 q d 加 q e， 它的一个最小值是等于多少？那么这个时候，首先第一点啊，你应该不管前面怎么说，你应该看到这里的时候，你要反应过来，它是个非常典型的将军印码问题，为什么点 q 和点 e 是 固定的 啊？你上来不能说直接将军印码，因为这道题做过了，就是这个地方的话，他肯定跟点 q 的 轨迹有关，对吗？所以他这个地方还是我们反复强调一个点啊， 在我们中考的时候，你一个点的轨迹他只会有两个情况，他要么这个点的轨迹是直线，要么这个点的轨迹是圆，因为你没有学过其他东西，你做不了， 知道吗？好，所以这个时候呢，我们就要应该要去干嘛呢？判断一下这个点 q 的 轨迹是什么？所以我们先不管这个点 d 和点 e 啊，什么 q d q e 的 事情，不管他好，那么怎么去找轨迹呢？原则是这样子的，还是啊，因为这个视频我也不知道你们是第几个听呢？所以的话呢， 搞清楚一点，我们要么是个直线，对不对？要么是个圆，那你想想，你只要画至少几个点，你画三个点，就是你随便去画图，找出三个点 q 出来， 然后呢，你都三个点了，你还能看不出它是条直线还是条曲线，对吧？如果它是个曲线，它肯定是圆了，对吧？那它是条直线，就是个直线了， 所以这个时候的话呢，我们来看啊，好，我们一个个去画，比方说我刚才是不是 m n 在 这个位置的时候，我画出来点就在这，好，我们就记成个 q 一， 那么你这个时候拿铅笔画，不然你的那个点特别特别多， 嗯，给它稍微点一下啊，就这个点是我们的 q 一， 好，然后我先把 m n 去擦掉啊。嗯耶， 好，然后你随便，当然你挑位置挑一其他位置啊，比方说我这个地方，对吧？再做个平行出来，然后呢啊， b n 啊，我的 c n 一 连好，这个点的话呢，是我的一个 q 二 好，然后的话呢，你再去随便找一个点好了，比方说，嗯，我们找个这吧，找个下面点的吧，先把抛物线先延长出去一点点， 当然我这个因为可能平行画是画的不太像，你们自己的时候拿尺子尽量拿那个两把尺子去推啊，我这都是估着看的，所以可能画出来还是有点那个 好，然后第三个点在这儿，那么你都画到这里了，对吧？我分别是 q q 一， q 二、 q 三，其实你应该很清楚的，所以我点 q 它的痕迹啊，其实应该是一条直线，就是条直线， 我们后面的核心就是干嘛呢？你要找一下它这条直线，它到底这个地方横坐标是等于多少，就它应该是直线 y 等于。呃，不说错了，直线 x 等于什么？什么什么？对，就 x 等于一个常数，你要把这个常数去找出来，所以 我们先不着急往后坐，我们先小结一下，首先第一点是什么啊？你看到这道题，那你应该知道他反正问你什么什么最小值了。点 d 和点 e 是 固定的，我肯定要跟 q 有 关，那么 q 它肯定是在动的， 那么他的轨迹到底是个圆还是个直线？只有这两个情况啊，不可能有其他情况的。好，然后这个时候的话你就干嘛啊？你根据他这个题目里面啊的这个作图的方法，你去啊，画三至少要画三个点， 为什么呢？因为你如果说是一个圆，对，你如果单画两个点，那你怎么连他都是条直线，你要至少画三个点，是不是才能看出他到底是条直线还是个曲线？如果说是个曲线，那么肯定就是轨迹是圆了， 对不对？好，那么现在的话呢，我们判断出来他是条直线了，所以回到我刚刚就是，对吧？嘴说的快的时候，我说这是个将军马，问题，你只要能找出他这个直线是什么，那么你随便点地或点一座他对称点，然后连一连是不就可以了，对吧？好，那么这个时候又有个小问题 是什么呢？毕竟他是中考啊，那么我个人建议呢，是这样子的，而且还有一点啊，这道题他其实说实话是 x 等于几没那么好求的。而且还有一点啊，这道题他其实说实话这个计算量还挺大的， 那么我个人建议干嘛呢？那你可以这样子，或者说这个就有点投机取巧了，说实话，但是那没办法，你中考需要分数的嘛？你干嘛呢？ 你先找一个非常特殊的点，那么随便你啊，我这边找的特殊点是我自己觉得一个比较特殊的点，就是什么呢？我们可不可以在这里啊？我们找这个点 n 让他和我的 c 啊，是在同一高度上，然后呢，我们去做那个 m 就 平行啊， 好，那么这个时候我们做一件什么事情呢？我刚刚已经判断出来它直线了嘛，那我现在去求两个比较特殊的点，然后我算一下这个 q 它到底横坐标最后是多少， 然后你后面在，对吧？正规写过程的时候，你好歹自己心里有个数，因为如果说一旦计算量比较大的时候，你就 哐哐哐哐算，然后你在那个答题卡上去写，然后你最后发现你写的是错的，那你就没地方写了，怎么办？ 所以话呢，你自己稍微先算一个，那么怎么算呢？比方说我们就找一个这个点 n 啊，比较特殊，和 c 在 同一条水平的这个线上就和 x 角平行，那么点 c 坐标不是零三吗？对吧？所以呢，你看我们点 n， 它的坐标就应该什么 纵坐标也是三，然后我们这个抛物线它的对称轴啊，我们稍微去求一下负的二分之 b 嘛，所以就是负的负二分之二，所以其实就是一，所以我们这个点的坐标就应该是二三嘛， 对吧？好，那么这个时候的话呢，我们点 m 就 可以求出来了，为什么点 m 能求得出来呢？因为 m n， 它是和 bc 平行的， 我们这个时候来看啊，我们直线 m n， 如果说你去设函数解析式，它是不是 y 等于负 x 加 b， 为什么你 bc 它的那个 k 不是 等于负一吗？如果说两条直线平行，它们的 k 是 等的，然后接下来你把 x 等于二， y 等于三带进去，这个时候的话呢，相当于，呃，我们在这个地方 是，呃，三等于负 x 等于负二，对吧？加上一个 b， 所以 的话，那 b 求出来其实等于多少呢？ b 求出来等于五，好， 所以它是 y 等于负 x 加上一个五，那么这个时候的话呢？我们再去干嘛？呃，和我们的那个抛物线去连立一下，我们把点 m 就 给它找出来。 y 等于负， x 平方加上二， x 加上一个三，所以的话呢，是负 x 平方加上二， x 加三，它要等于负， x 加上一个五，好，移项之后是负 x 平方加上一个三， x 再减去个二等于零，所以是 x 平方减三， x 加二等于零， 这是不是 x 减一括号， x 减二括号等于零，对吧？那么问题是我们在这个地方啊，我们现在的话呢， x 等于二的时候，其实就是点 n， 所以 点 m， 它是不是应该反而是 x 等于一的那个答案，对吧？那么 m 它的横坐标就是一，那纵坐标嘛，负一加上一个五，所以等于多少四？ 那么接下来的话呢？啊，我就说一下了啊，然后你自己去算啊，我，我因为我要讲那个要写那个正规过程的方法，就是就这个是你自己算，然后后面就干嘛呢？后面就这个样子啊，你把直线 m b 去写一下，直线 c n 去求一下，对吧？就是 y 等于 x 加 b 啊，然后的话呢，你把它们两个连立一下，那点 q 的 焦点是这个焦点坐标，你是不是求出来了？那么它的横坐标是不是就是我这个 x 等于什么？什么，对吧？好，然后的话呢，那正规啊，这个过程这道题它本来应该怎么写啊？那么我们来看一下 耶， 好，这个地方稍微先跟你连一下啊，然后这个我先擦掉，这个地方是点 m， 这个地方是点 n， 这个地方是我们点 q， 好， 那么这个时候的话呢，我们还是一样的，我们在这边写一下我们的过程，首先对于我们直线 m n 而言， 那么它的话呢，首先第一啊，它肯定是 y 等于负 x 加 b， 对 不对？因为它要和我直线 b c 平行，那么这个时候的话呢，我们来看一下我们直线 m n 怎么写呢？我们在这边啊，哦，这，哦是说错，不是直线 m n 直线 b m， 那 么这个时候的话呢，我们设它是 y 等于 k e x 加上一个 m， 可以吧？或者我们写成 b 一 也可以啊，随便你知道，无所谓了。那么这个时候因为他要过点 b， 点 b 不是 三零吗？我们把三零带进去，好，带进去之后的话呢，就是零等于 k 一 x 加上一个 m， 对 吧？那就 k 一 乘三， 所以的话呢，说明我们 m 它应该等于多少？是不是等于负三 k 一， 好，那我这边的话呢，因为，呃，如果说过程不停的往下写，看不清啊，就是你这个页面就这么大一点，所以我直接在上面改，所以我们这个直线 b m 的 这个函数解析式里，这个小 m 我 们可以换掉，给它换成什么呢？负三 k 一， 这个没问题哈，好，那么同理，我们把我们的直线 c n 也去写一下，那么直线 c n 它好写啊， 直线 c n 呢，我们设它的函数解析式 y 等于 k 二 x， 它因为过点 c 嘛，是不是直接加三，对吧？所以的话呢，这个就是它的解析式啊， y 等于 k 二 x 加上一个三， 好，然后的话呢，我们现在点 m 和点 n， 是 不是这个直线 m n 和我抛物线的一个交点，所以的话呢，我们去在这里啊，联立一下，我 y 等于负 x 加 b 啊，和一个 y 等于负 x 平方加上二 x 加上一个三，所以这个时候我在下面拍个草稿，它们俩是不是要相等， 所以的话呢，我们移项之后，负 x 平方加上一个三， x 加三减 b 等于零，对啊，所以是 x 平方减去三， x 加 b 减三等于零。那么说明什么？我们点 m 和点 n 啊？比方说我点 m 就 记作 x 一 y 一， 然后点 n 的 话呢，记作 x 二 y 二， 我们现在连立的话，是不是就是求的这个 m n 来着，对吧？你这个不就是 m n 的 焦点吗？那么意味着什么？我们 x 一 加 x 二，根据我们根据系数的关系啊，微拉定律是不是负的 a 分 之 b 来着，所以是负的啊，一分之负三，所以它们两个加起来其实等于三。 好，然后的话呢，接下来我们再去干嘛呢？啊？你这样子的话呢，还没结束，对吧？你要带的话呢，你根本不知道他们俩关系是什么，那这个时候我们再去干嘛？再来找一找我们现在这个点 m， 对 吧？它是在直线 b m 上的， 然后呢，它又在我抛物线上面，那么接下来我们把这个点 m 往我这个我稍微写一下啊，往我这个 y 等于 k 一 x 减三， k 一 和我 y 等于负 x 平方加二 x 加三里面去带。 好，那么我们把 x 一 带进去啊，那么就是 k 一 x 一 减三， k 一， 它的话呢，等于负的 x 一 的平方 加上一个二， x 一 再加上一个三，对，好，我们移项一下 x 一 的平方，然后的话呢，加上一个 k 减二，括号 x 一， 然后呢再加上一个，呃，我们写成减吧， 减去三倍的括号 k 一 加一，括号等于零，这是不一样出来结果，那么你有没有看出来这里其实是个十字相乘的这样的因式分解， 对吧？就是 x 一 减三嘛，然后的话呢，另外一个是 x 一 加上一个，这个啊，这根 k 一 漏写了啊， k 一 加上一等于零，那么你看它们俩乘起来是不？它，然后它们俩加起来是不是正好就是 k 一 减二， 所以的话呢，说明要么是 x 一 等于三，要么是 x 一 等于它，那 x 一 肯定不可能等于三嘛，为什么你点 b 才刚刚是三呢，对吧？你这个点 m 在 这里的话呢啊，我们要的是右边这个情况，所以的话呢，说明我们这里 这个 k 一 就本来 x 一 加上 k 一 加一，它要等于零，所以 k 一 的话呢，是不是等于一个负一减去 x 一？ 好，我们写到这里来，我们有用的条件啊， k 一 等于负一减 x 一。 好，然后我这边草稿我就先擦了啊， 好，那么同理也是一样的，我们直线 c n 是 不是和我这个抛物线也可以连立一下，对吧？所以的话呢，啊，我这边还写一下吧， y 等于 k 二， x 加三， 然后呢， y 等于负， x 平方加二， x 加三，我们现在把点 n 带进去啊，那么就是 x 二啊，所以 k 二 x 二加三等于负， x 二的平方加二， x 二加上一个三 一项之后是 x 二的平方，然后呢，加上一个 k 二减二，括号 x 二 等于零，那么你 x 二提一个嘛，提出来就是 x 二加上 k 二减二，括号等于零，所以话，说明它是不是要等于零，那么 k 二就等于多少啊？就它它等于零，之后 k 二是不是就等于二减去个 x 二？ 好，然后接下来我们就可以去继续求了啊，所以的话呢，就是我刚刚说的你这个横呲啊呲，算算算算算，你中间还是特别容易算错的，反正我第一遍算的时候也算是错的， 然后但是因为我是先求了一遍，那个就是我刚刚讲说，我先是自己假定了说这个 m n 的 情况，然后我算到中间一半，我发现我自己算不对，然后我又从头倒回去算， 要是你考试的时候，其实你如果真的已经算到最后你再从头倒回去算，你大概率是来不及的啊，所以你自己就做题的时候还是要有点那种顺序上的， 嗯，反正就你自己考虑啊，好，然后的话呢，我们接下来看一下，我们要去找什么呢？我们不是要找这个点 q 吗？那点 q 它怎么来的？它是不是 c n 和我 b m 它的一个焦点？ 所以话呢，接下来我应该要把这两个抛啊，不是抛下这两个一次函数是不是连累，对吧？所以 k 一 x 减三， k 一， 它要等于这个 k 二， x 加上一个三， 这个求的就是我们点 q 了啊，好，所以的话呢，我们在这边是不是 k 一 减 k 二，括号 x 等于三加上三倍的 k 一， 所以 x 等于什么？是不是三加上三倍的 k 一， 除掉一个 k 一 减 k 二， 好，那么我们刚才其实已经知道了，就是这个 x， 它最后求出来肯定是个定值，我们就是要找这个定值等于多少，那么你看这里的这些式子啊，都是你用来最后化解这个代数式用的， 好，那么我们一点点的去化，那么这个时候的话呢，首先我们分子上你先提一个三出来吧，你提一个三出来之后， 是不是就变成了一加上一个 k 一， 对吗？那么这个时候的话呢，那你看我们 k 一 是等于它，那么 k 一 加上一是不是正好等于负 x 一， 所以话你把它去换掉，所以三乘上个负的 x 一 呢，就负三 x 一。 好。然后的话呢，我们的这个分母上 k 一 和 k 二都去换成我们这个 x 二好， k 一 的话呢，它就是负一减 x 一， 然后负 k 二啊， k 二本来是等于它，那负 k 二是什么？是不相当于加上一个 x 二减去一个二， 对吧？好，然后我想要还写这，呃，我们稍微去化简一下这负三 x 一， 然后这里的话呢，是负三加 x 二减 x 一， 我稍微换一下顺序啊， 那为什么我要这么换顺序呢？因为你看这个式子，我们 x 一 它是不是等于三减去个 x 二， 对吧？那负三加 x 二是不是正好它相反数，所以它是谁？它不是负 x 一 嘛？所以分母上负 x 一 再减 x 一 是负的 两倍的 x 一， 这里负三 x 一。 所以最后你化简出来了，其实点 q 无论怎么动啊，它的这个横坐标都是等于二分之三，所以我们最后就这么算，算算，算到最后发现了，好，我其实点 q 呢，它在这个直线上动，它在哪条直线上动呢？ 啊？我们就抽象出来了，因为我最后不需要这个抛物线了 啊，我们点 q 的 话呢，它是在我们这个直线 x 等于二分之三上在动， 那么你点 d 的 坐标不是一个负三零来着吗？然后我们点 e 的 坐标是一个零九来着，对吧？那你后面应该很清楚了，我们随便吧。比方说你过做点 e 的 一个对称点好了啊，我们记成一撇，那么一撇的话就应该是 三九。对，就是关于二分之三的对称。好，然后的话呢，你把它一连，那么这个时候它是不是就是我们这个最小值？ 对啊，所以的话呢啊，这边勾股定力用一下，这个长度是九，然后呢这边长度是一个六，所以是根号下六的平方加上九的平方。嗯，三十六加八十一等于根号下一百一十七。一百一十七可以写成什么？ 九乘上一个十三吧，幺二七。对，那你把九开出来啊，所以最后答案等于三倍，根号十三，这个就是我们的最小值。对，计算量还是有一点的。

这是第四十一题，也是一道通过对折贴靠解析的例题。围绕这道题，提示三点 d 是 怎么确定本题的中心三角形。 题目告知了 d 是 bc 的 中点， d 是 中点，说明 b、 d 等于 c、 d、 a 平分角 b、 a、 c 说明这个角是等于这个角的， a 垂直于 c。 一 这个角是直角， ab 等于十， ac 等于六。在标记 ab 和 ac 的 时候，应该用同一种符号来表示，因为这两个条件都是对长度的负值条件。 ab 等于十， ac 等于十六， 这两个数值之间是有关联的，他们依据的都是相同的数量标准，比如说十是一的十倍，十六是一的十六倍，正因为他们之间的数值有关联，所以就用同一种符号来表示。 接下来就可以通过这些标记确定中心三角形。可以看到三角形 a、 e、 c 当中拥有的关联条件是最多的，因为它的这个角等于这个角， 这个角是直角，是已知的，这个边也是已知的，它的关联条件是最多的，所以就是本题的中心三角形。这是第一点提示这道题要提示的第二点是怎么描述对折贴靠。 因为中心三角形 a、 e、 c 当中存在平分角，也有直角，所以可以对它做这样的对折贴靠构造辅助线，我们要围绕在这个贴靠位置构造与这个中心三角形全等的三角形来描述辅助线。 构造这个全等三角形的时候，我们要利用这个角等于这个角，以及这个角是直角这些关联条件来添加辅助线。对于这个辅助线的添加过程有三种表述方式，第一种是延长 a、 b 与 c 的 延长线交于点 f， 这样描述辅助线之后，这个三角形和这个三角形当中，这个角是等于这个角的， 这个角是直角，和这个角也是相等的，这条边公共，所以这个三角形就和这个三角形全等，从而实现了这样的对折贴靠。在这道题里面，这种表述方式是最简单的。 第二种辅助线描述方式是延长 c 一 至点 f， 使 ef 等于 e c， 再连接 af， 这样描述之后，可以得到三角形 aef 和 a、 e、 c 全等，但是需要证明 af 和 ab 共线，因为 af 是 连接 af 两点得到的， ab 和 af 是 否共线并不确定，还需要通过它们的角度相等来证明它们共线。第三种描述方式是延长 ab 至 f， 使 af 等于 ac， 再连接 f 一， 这样也保证了三角形 aef 和 aec 全等，但是也要证明 f 一 和 c 一 共线， 因为 f 一 是连线得到的，需要通过这两个角是直角来证明他们贡献。以上三种辅助线描述方式当中，第一种是最简变的，在贴靠构造的时候，我们要选择最简变的辅助线描述方式，避免贡献的证明， 这是本题需要提示的第二点。最后提示一下本题涉及到的三角形中位线的知识。三角形 a、 e、 c 对 折贴靠得到这个全等三角形之后， a、 c 转移到了 a f， 所以 a f 就是 十六，因为 ab 是 十， b f 就是 六。在这个三角形当中， 第一是这条边的中点，因为这条线段等于这条线段，所以一 是这条线段的中点。因为第一的两个端点分别是这两条边的中点，所以它就是这个三角形的中位线，根据中位线的几何性质就可以知道它是等于对应的底边的一半，这个底边是六， 所以这个中位线就是三，这是三角形中位线知识的运用，在这里做个特别说明。

这是第四次题，是书上的一道例题，书上已经给出了这道题的具体解法。这里先做一个解题总结。首先根据提议确定三角形 a、 c、 d 和三角形 a、 b、 d 是 中心三角形 a、 b、 d 还是目标三角形。 根据三角形 a、 b、 d 这个角等于这个角的关联条件，对它沿这个角做对折贴靠 构造得到一个全等三角形，然后通过这个等腰三角形的角度转换得到这个角和这个角的关系，从而求出这个角， 这是三角形 a、 b、 d 做对折贴靠的解法。三角形 a、 c、 d 做对折贴靠的情况下，可以得到这样的全等三角形， 然后通过这个等腰三角形的角度转换得到这两个角度的关系，一样也可以求得这个角。 围绕这道题的解法，下面做三点提示。第一点要提示的是关联条件的标记问题。这道题在标记这个条件的时候，对其中的 a、 c、 a、 b 和 b、 d 这三条线段，它们都属于同一个类型的关联条件，应该用同一种符号标记， 比如 a、 c 用这个符号标记，那么 ab 和 b、 d 也用同样的符号。我们在统计关联条件的时候，应该将这三条关联线段作为同一类型的关联条件进行统计，这样三角形 a、 c、 d 当中就有这两组关联条件。 三角形 a、 b、 d 当中也只有两组关联条件，因为这个边和这个边是同一类型的关联条件，不能重复计算。这是本题要特别提示的第一个问题。 要提示的第二个问题是怎么表述对折贴靠。在解析的时候，我们不能直接说对三角形 a、 b、 d 做对折贴靠，或者说对三角形 a、 c、 d 做对折贴靠。这种对折贴靠只是我们的一个解析思想，是要在贴靠位置构造全等三角形来实现的。 比如对三角形 a、 b、 d 的 对折贴靠，我们要在这个贴靠位置构造一个全等三角形来实现它的对折贴靠。因为三角形 a、 b、 d 是 沿这一个关联角做对折贴靠，所以我们只需要在这条角线上取一条线段， 使这条线段等于 a、 b， 再把这两个点连接起来，就得到了一个和三角形 a、 b、 d 全等的三角形。因为这条线段和 a、 b 相等，这个角和这个角相等，这个边公共， 所以它们就是全等的。对于三角形 a、 c、 d 的 对折贴靠，同样是要在这个位置构造全等三角形来实现它的对折贴靠。因为它是连这个关联角做对折贴靠， 所以在这条角线上面做这条线段和 a、 c 相等连接这两点，就可以得到三角形 a、 c、 d 的 全等三角形，从而实现了三角形 a、 c、 d 的 对折贴靠。 这是这道题当中关于对折贴靠的语言表述。最后讲一下对折贴靠与双靠、单靠的关系，以及对折贴靠的适用场景。对于这样一个三角形，如果要对它沿这条边做单靠构造，有三种可能的构造方式。 比如它可以沿这条边的中垂线做轴对称构造得到这样的三角形。 它也可以沿这条边的中点做单向旋转构造，得到这样的图形。 它还可以沿这条边直接做轴对称构造，得到这样的图形。 这三种构造形式都是这个三角形的单靠构造，这三种构造当中，只有这一种构造方式才是我们所说的对折构造。 可见，三角形仅沿自己的一条边进行的对折贴靠是这个三角形单靠构造的一种形式。如果这个三角形沿这条边同时沿这个固定角 做对折贴靠，那么这种贴靠就不是单靠，而是双靠了。由此可见，对折贴靠是一种特别的单靠或者双靠构造形式。那为什么要将这种形式做单独分类呢？ 这是因为这种构造形式在解决初中几何题的时候非常常见，应用非常广泛。 对于存在平分角、三十度角、四十五度角或者九十度角的关键三角形，都可以对它进行对折贴靠试探，一般情况下都可以实现解析。 比如这道题，关键三角形 a、 b、 d 和 a、 c、 d 当中都存在平分角，分别对它们做对折贴靠，都实现了解题。接下来要讲的几道例题也都是通过对折贴靠实现了解题。就这道题来说， 有些同学习惯于将它归类为某个模型，实际上很多种模型都可以通过对折贴靠这一个通用的构造思想来解释。

今天老毕给大家讲一道题，他是普通学霸和顶级学霸之间的分水岭。说这图首先长得就很奇怪啊， ab 这边长等于一， cd 这边长等于四，然后角 abc 还等于一个二十度，嘿，咱们会的特殊角都是三十、四十五六十，对吧？ 二十度我还不太会好，紧接着这个角等于九十，最奇怪的是让我们求个面积，对吗？哦，那这道题有同学老师见到面积，哎，我这边有一个边长已经知道了，我就让他是底，然后我这么样做一个高，嗨，最后高没算出来，老师卡住了， 彻底死掉了，对吧？那这个时候该怎么办呢？废话少说，今天毕老师教大家顶级学霸的思维， 我们叫什么？叫做构造，大家要注意了啊，咱们这道题之所以不会，是因为条件太少了，还是太多了，是不是条件太少了， 对吗？哦，而且条件都很简单，那么像这种的往往都是咱们，哎，自主招生啊，竞赛类的这种题目，它的难点就在于只有很少的条件，那 突破口就在于什么？就在于我们要反复多次使用这些条件。画家说要充分发挥每一个条件的能量，那怎么充分发挥每个条件能量呢？ 记住构造的几个基本原则，如果你系统跟老毕学，老毕会教大家九大原则，今天我先教你们两个原则尝尝。你会了原则以后做这种题他该有多简单。第一个原则叫做特殊化原则。 啥意思？越特殊条件越多越好用？比如说咱们这个角度，二十度是特殊角吗？ 不是，对吗？哎，我，谁是特殊角啊？我，三十度是特殊的，四十五度是特殊的，六十度是特殊的，这些角比你好用多了，对吗？当然，这些角想发挥能量，它必须装在什么三角形中 啊？直角三角形中，你还别给我来一个普通三角形，你给我来个直角三角形，这种特殊的，它就好用了，大家能听明白吗？哦，这是第一个原则，第二个原则叫做条件 集中原则。换句话说，你做一个辅助线的时候，你尽可量的照顾更多的条件啊。这道题有边有角，那我一会做辅助线，能不能既照顾到边长，又照顾到角度呢？那这种线就是咱们灵魂的辅助线了， 毕老师说清楚了吧？好，那接下来用好这两个原则，这道题的答案就出来了。大家 是不是我这已经有一个直角三角形了，但是你这二十度它不是个特殊角，那这个时候我就要自己造一个特殊角了。哎，那我可以造多少？我可以在这造一个三十度吧， 这角是三十，那我这个边长就是一除以杠三啊，这就是六除以杠三。嗯，一除以杠三，六除以杠三，跟这四有啥关系吗？没啥关系，所以这个条件好不好？不好，对吗？哦，这个不好，那再来，那我接下来我造一个四十五度， 可以了吧？比他大一点啊。那你这是四十五度的话，这是一，这是杠二，这两个是一还行， 但是四十五这边，然后这是高二，接下来怎么弄啊？跟这四有什么关系吗？又没有什么关系，不仅边长没关系，你这个角度多于这个角二十五度是不是也没什么特殊关系？哦，所以这个不太好。那接下来就剩谁了 啊？想把这九十度用上，这一还想用上，那最好就是这块再造一个六十度不就完了吗？你这个大角是六十，你就是二十度，我底下就是四十度，那你是四十度，我这边是三十度啊， 对吧？啊？三十，六十，九十啊，那接下来三十度数对折边等于斜边一半，斜边是几？斜边显然是二。勾定里，这边是刚好三，对吗？那有人说，老师，为什么这个好啊？因为二跟这个四明显是什么关系哎，四是二的 两倍吧。是道理吧。那接下来我就得找四个一半跟他的关系了。四个一半是不是就想找这些终点跟他的关系啊？哦，那这个终点这一段跟他什么关系呢？各位，显然这个条件二跟这个条件四还怎么样？ 有点远，对吗？不符合第二个条件集中原则，我要让这个条件跟怎么样跟你凑到一起去，是这个道理吧。那怎么凑到一起去？各位，我直接给他挪一下位置。你看啊，你是二，我想让二长这边来，那我就造一个 等幺三角形就行了嘛。所以各过这点，直接造一个等幺。我还不知道他是不是终点啊，但他最好是终点哈，所以咱们再怎么样，正一正不就得了嘛。说我这块造了一个二，二跟二相等，咱们是等幺，那等边对，等角，你是四十度，我这个底角还是多少 还是四十度，对吧？哦，这是四十，再来四十，四十八十了。那我大角三角形内和一百八减去八十，还剩一百吧。一百我这边有三十啊，那剩这边是多少？这边是七十度，再来， 你是二十，这是九十啊，剩下这一角七十度吧，对，顶角相等，他也是七十，你看巧了不，你是七十，我还是七十，于是乎这边就得二，一下子条件集中就实现了，那你得二，整个四剩，这边 还是二吧。显然你都等幺了，我就把你顺带连上呗，是不是这个问题就解决了？好，解决完以后求边先求角吧， 你是四十度，你还等腰，那就意味着这两个角相等加和得四十哦，这角的二倍得四十，那一倍就等二十度。各位，这道题结束了，为什么 这是二十度？我这也是二十度吧，这个叫什么？内错角相等吧，所以两直线 平行。哦，平行以后，那我过这点做的高和过这点做的高，咱是一样的呀。换句话说，等级变形，这个黄色三角形面积最终就等于我这个 白色三角形面积。白色三角形是几呢？这是一，这是二九十度，这当然是根号三了，所以一为底，根号三为高，二分之高三就是这一题答案了。 所以大家构造这类思维，为什么称之为顶级学霸的独家秘籍？因为我们能看到这个辅助线是真的有原因的，那也就是真的有方法 可循的。所以到最后九大构造原则，当你都能学全的时候，可以说辅助线问题，你就可以横行天下了。

哈喽，大家好，我是小月老师，今天我们来看一个八年级的对质问题，咱们来看下第三题，他如图所示，在三角形 abc 中， ac 等于 ab 等于八哦，等腰三角形，角 a 等于六十度，等边三角形。好的，那么这边长的话都是八的。那么想求一下 bc 啊，是多长？这个的话我们知道哈，本来是等腰再加一个角等于六十度，那么咱们的 bc 也就是等于八的。好的，我们来看第二，问，他说点 e 在 bc 上， b e 等于五，好的， b e 的 长度是等于五的，一共八，那这块就是三。那么射线 cd 垂直， bc 垂足是点 c， 点 p 是 射线 c d 上的一个动点，点 f 在 线段 ab 上，当 ep 加上 pdf 的 值最小时，求一下 pdf 的 长度。好，咱们来写一下哈，就是 ep 加上 pdf 的 值最小。 好的，那么我们这个 f 的 时候，你会发现它具体说了吗？没有，它是说点 f 是 在线段 a b 上，所以相当于在整个这三个点里边，只有一点是确定的，对不对？ 好的，那么点 p 的 时候在这里，那我怎样去求它两个最短呢？这时候我们还有一个垂直，是不是？所以这种题目的话，我应该怎么办？哎，就延长，哎，因为有垂直，那我们就做一个 e 点的对称点，叫做 e 撇点，此时我会发现把 p e 这条长度就用 pe 撇给代替掉了，那么 pe 撇到这个 f 什么时候最短呢？那我们就会连接一下，那就是说此时就是最短，哎，两点之间线段最短，那么这个点就是我的点 p。 好 的，那么因为我们知道哈，垂直平分线到线段两边的距离是相等的，所以这个 pe 是 等于 pe 撇的， 那么我们来想求一下 b f 的 长度是多少？好的， b f 的 长度，那么这时候是最短，所以说我们做个垂直吧。那做完垂直以后，那我们又得到什么信息呢？ 这个垂直，然后这个角的时候是六十度，所以这个一撇这个位置，也就是 f 一 撇 b 是 等于三十度的，而且做过的对称以后，一撇 b 是 三，相当于整个斜边是十一， 三十度所对的直角边是斜边一半，所以的话这块是二分之十一啊，二分之十一，所以这题的答案就是二分之十一，你学会了吗？关注小老师得高分，记得关注再走哦！