#二次函数性质

教你四步画出二次函数草图，三十秒速解函数性质问题，话不多说，直接开干！对二次函数图像和性质的考察，多以选择题和填空题的形式出现。我们都知道，要解决函数问题，必须要画出函数的图像。 实际上，二次函数的图像很简单，只需要考虑以下四点。第一点，我们要关注函数的开口方向， 阿斯函数的开口方向取决于 a 的 正负，当 a 大 于零时，开口向上。当 a 小 于零时，开口向下。第二点，对称轴。 大多数情况下，我们直接用公式求出对称轴。阿斯函数的对称轴为直线 x 等于负的二 a 分 之 b。 但是有些题目中，它会给你给出来两个点，这两个点它的特点是纵坐标相同。比方说， a 点的坐标为 x y， b 点的坐标为 x r y， 这时候对称轴就为直线 x 等于二分之 x， 一 加 x。 这是由于此时此刻 直线刚好经过了 a 点和 b 点的中点。第三点，还要关注函数的顶点坐标， 顶点坐标公式是负的二 a 分 之 b。 四 a c 减 b 方。 实际上，大多数题目中，只要我们求出了对称轴 x 等于负的二 a 分 之 b， 我 们就能够直接得到顶点的横坐标，这是由于顶点始终在对称轴上。 知道了顶点的横坐标是负的 i 分 之 b， 我 们就可以把 x 等于负的 i 分 之 b 带到函数的表达式。 y 等于 e， x 方加 b， x 加 c 种，求出相应的纵坐标， 这个比直接透公式要简单一点。最后一点，还要看一下函数与 y 轴交点的坐标。 嗯，如何去求函数与 y 轴的交点呢？既然是与 y 轴相交， y 轴上点的特点是零几， 这时候我们只需要令 x 等于零，就能够求出函数与 y 轴交点的坐标。把 x 带成零，那么与 y 轴交点的坐标就为零 c。 这也就是我们通常说的二次函数中， c 是 几，与 y 轴交上的那个数就是几，与 y 轴交上的那个点的纵坐标是几， c 就是 几。实际上，只要我们掌握了以上四点，我们就能够做出任意一个二次函数的图像， 进而分析它的性质。我们以 y 等于 x， 方加二， x 减三为例， 要画出他的函数图像，这个函数呢，给我们给出来函数表达式的形式为，一般形式，该函数中 a 等于一， b 等于二， c 等于负三。 嗯，它的开口呢？向上第二对称轴呢，为 x 等于负的二， a 分 之 b 带进去负的二分之二为 x 等于负一 三，顶点坐标为负一。负一几呢？把 x 等于负一带到函数表达式中，负一负四。第四点，与 y 轴的交点，与 y 轴的交点是令 x 等于零，相应的 y 为负三。 这样一来，我们就能够准确地做出这个函数的草图。在平面直角坐标系中， 对称轴为 x 等于负一，顶点坐标为负一，负四， 与 y 轴的交点为零负三。 那这个函数是不是必须长这样呀？ 做出这个函数的草图之后，它的性质就一目了然了。比方说，我们可以看这个函数的最值，很明显，该函数有最小值，即当 x 等于负一时， y 最小，最小是负四，还可以看它的增减性。嗯，图像一定要从左向右看，那当 x 小 于负一时， 从左向右看，图像呈下降趋势，即随着 x 的 增大外在减小， x 增大外减小。当 x 大 于负一时， 图像呈上升趋势， y 随 x 的 增大而增大，增减性就出来了。 值得补充的一点是，为了让图像发挥它的最大作用，除了求出函数图像与 y 轴的交点之外，咱们还可以求函数图像与 x 轴的交点。我们知道， 函数图像与 y 轴的交点是令 x 等于零的，同样的道理，那与 x 轴的交点在 x 轴上，这时候 x 轴上的点的特点是几零 相应的，我们就只需要令 y 等于零，这样我们就能够得到一个一元二次方程， x 方加二， x 减三等于零。 用因式分解法里面的十字相乘法将负三可以分解成正三和负一，所以呢，就会有 x 加三，括号 x 减一等于零， 那方程的两个根就是 x 一 等于负三， x 二等于一，对应到函数图像与 x 轴交点的两个坐标是 负三零一零，标上负三零一零。那有些题目呢，就会这样考问同学们，当 y 大 于等于零时，求 x 的 取值范围，思考一下如何去做。 这时，我们从图像上看不难看出，当 y 大 于等于零时，图像是不应该位于 x 轴的上方， 对吧？上方有两个，上方是不是有两只？ y 大 于等于零，那等于零处是不是也能取得？ 图像位于 x 轴上方时， x 的 范围对应到 x 上去，是不一定在负三的左侧和一的右侧。因此呢， 单纯的看这个草图，我们就能够得到 x 的 范围，此时此刻， x 的 范围为 x 小 于等于负三或 x 大 于等于一， 对吧？同学们有没有体会到二次函数草图的重要性？ 因此呢，请记住，以后要想解决二次函数的题目，第一步应该先画出该二次函数的草图，记得点赞关注哦！

这是二次函数所有图像的性质，你还记得多少？哎，开口向上， a 为正，开口向下， a 为负。开口越大， a 越小。开口越小， a 越大。 ab 异号轴在右， ab 同号轴在左， 左加右减 b 来变上加下减 c 出现，请问你还记得吗？

今天我们学习的是二次函数性质图像变换。好，来吧，同学们，咱们今天开始二次函数三十天十五列里的第十一列。啊，来看一下二次函数它的图像的变换。好，那先明确一点，就是咱二次函数它可以进行哪些变换？ 首先最简单的平移，它肯定可以吧，那我们来平移一下，比如说这是一条二次函数，然后我现在把它向右平移，再向下平移来，向右再向下，是不就能得到这条二次函数？好，那这个是平移是不是最好想的？那还有啥？还有啥？ 是不还可以进行轴对称呀？我是不是可以让一条二次函数来这样一条二次函数，它关于这样一条竖线去对称来对称，会得到啥？ 是不对称，他就到这来了。哎，这是对称之后的。好，那关于竖线对称可以，横线是不是也可以？哎，那关于横线对称，来，上面来一个二次函数，然后我说他关于这条横线对称会得到啥？ 是不会得到下面这个。哎，这样二次函数。再来看新得到的二次函数和我原本的二次函数是不是轴对称？他的对称轴也是同一根。哎，这一根。 好，那在想咱们二次函数应该是不可能关于一条斜线对称吧？那你比如说你画一下，这有一个二次函数，它关于一条斜线对称，那这个图是长这个样子来，这个东西它首先不是个二次函数， 然后呢？它甚至可能不是一个函数，所以呢，咱们不会去研究这个关于斜线对称的情况。好，那我们不看它，那除了这个关于横竖线的轴对称之外，还有啥？ 是不是还有可能会有个中心对称？哎，那中心对称来中心对称又该怎么画？首先你来一个圆函数，哎，这是圆函数，那我如果要让你这个函数关于这个点 m 去中心对称一下，那你来想中心对称它会改变我的这个二次函数开口的大小吗？ 是不是不会？那你在想开口的方向呢？把它绕着点 m 转一百八十度，是不是感觉这个开口应该是反过来了，哎，反过来了，那再看我怎样确定它的位置呢？ 是不是这个时候就要借助一下这个顶点了？哎，你可以借助这个顶点去找一下它中心对称之后的地方，比如说顶点，如果给他命个名点 p， 哎，那我如何找关于 m 中心对称后的那个呢？是不是连接这个 pm， 然后再给他倍长出去？哎，这是个圈，你给他倍长个圈，现在是不是就找到了一个点？ p， 关于这个点 m 中心对称后的点？好，那再看这个是不是就是我新的二次函数的顶点？ 好心，顶点找到了，那二次函数怎么画？首先是不是开口是跟你相反的，但是开口大小一样，这又是顶点，那是不就长这样？哎，对称轴也找出来了。这就是如何确定我中心对称之后的那个二次函数的方法，就是通过顶点。 好，那咱们来分析一下啊，如果你遇到了这种二次函数变换这一类的题，你觉得应该会从哪里入手呢？那你来一个个看啊，来平移，你会去让二次函数上的每一个点都去平移，然后找到它吗？是不是也不太会？哎，平移谁就够了？ 说平移这个顶点其实就够了，来向右平移，再向下平移是不可以理解为我的顶点向右平移，再向下平移，得到这个顶点，哎，然后平移不改变我的开口的方向，以及他的开口的大小，所以我直接以这为顶点，原来的大小画一个就可以了。 那你看平移是不是也一样啊？就是对称是不是也一样？我可以理解是我的这个顶点，关于这个竖线给他找到了对称后的顶点，然后呢？开口完全一致，画一个就 ok 了。然后竖线啊，关于横线对称是不是一样 来这是顶点对称后找到新顶点，然后开口相反，哎，开口相反，但是大小一样，你去画一个新的就出现了。好，那这个就是如何去找我们开口，我们去变换之后的那个二次函数。好，那你看我们一直都在关注啥， 是不是就在关注这个顶点？哎，我们去变换，其实就是一直要关注你顶点的变换，其实这个变换就是顶点在变换，所以关注这个 hk， 哎，关注这个 hk。 好， 那再看我们在变换的过程中，有一个东西可能会变，也可能不会变的。是啥？ 是不是发现这个开口有时候比如说平移，还有关于竖线对称，他们的开口大小也不变，方向也不变， 但是这两种情况是不是发现 a 大 小确实是没变，但方向变了，哎，也就是说这个 a 是 不是要研究一下了？哎，这个 a 要研究一下，首先明确一点，就是它的绝对值是不会变的，哎，也就说它开口的大小是不会变的。那什么是可能会变的？是不是开口方向？ 哎，这个开口的方向是可能会变的，也就是说你要注意啥？是不是注意一下这个 a 的 正负？ 哎，注意一下 a 的 正负。如果是关于一个横线对称， a 是 不是会变为相反数？然后关于点中心对称是不也会变为相反数？哎，所以要关注一下它的开口方向，看一看正负有没有变。好。那这个是我们要分析的，那我们来举一个具体的例子啊，来举一个非常具体的例子， 就比如说一个抛物线，它是 y， 等于一个三倍的 x 减六的平方再加八。如果我把这个抛物线呢？我说向右平移了三个单位，又向下平移了两个单位，来求一下新的这个抛物线。 好，那你首先我们是不是要想我去平移它？可以理解为我在平移啥？顶点，是不平移顶点，那你找一下原来这个抛物线它顶点是啥？ 原来这个抛物线顶点是不是六逗八？哎，六逗八来六逗号八，向右平移三个，是不是这个就变成了啥？九，哎，就变成九了。横格不要变九来，向下再平移两个，它就变成啥了 六。所以新的抛物线是不是就变成了顶点为九逗号六的一个抛物线？好，再看平移不改变啥， 不改变他的 a 吧。所以平移之后，他是不是就是 y 等于三倍的 x 减九的平方再加六，这就是平移之后的新抛物线？ 哎，所以我们去研究二次函数的变换，就是要看一下你的顶点到底该如何变换，然后再看一下 a 是 否会变。 ok， 那 就是这么个流程，咱们来看题来，这个题现在告诉我说有一个原来的抛物线 l 一， 然后他的顶点为 a， 然后又有一个抛物线 l 二和我的 l 一， 是关于一个 b 负一，逗号零，这个点是中心对称的，然后对称后呢？又说，哎，原来的这个抛物线的这个顶点 a 呢？它又在我的抛物线 l 二上，然后让我求 m 的 值。好，那你看中心对称可以理解，为啥？ 是不是把我的顶点中心对称一下？所以咱第一件事是分析什么东西？是不是分析原来这个抛物线它的顶点，哎，那我们得把它的顶点是不是表示出来？好，那就先从已知的这个 l e 入手，把它的顶点表示出来。怎么顶？怎么表示顶点？是不是给他配个方？好，那我们来， y 等于 m， x 平方减二， m x 加五，是不可以把 m 提出来， x 平方减二， x 再加五，哎，那这就是 m 倍的 x 平方减二， x 再加一，再去减 m 再加五， 这就是 m 倍的 x 减一的平方加五减 m， 现在是不是可以分析它的顶点了？来，顶点是不是一逗号五减 m， 哎，这是原来这个 l 一 的顶点， 这是 l 一 的顶点。那再看你是如何得到我 l 二的中心对称，哎，那关于谁中心对称？是关于这个点 b 负一等号零， 负一等号零，然后来求一下我这个 l 二的顶点是啥？来求一下我 l 二的顶点是啥？ 来看，如果一个点他是一个中心对称的那个中心那个对称的点，那你来看，哎，比如说这是我 l 一 的顶点，比如说是个 a， 这是我的点 b。 来，我如何找到 a 片？ 是不是连接之后造个倍长，哎，找到 a 片，也就是说我这个中心对称的点 b 是 啥呀？是不是你两个顶点的一个中点？ 是不是你两个顶点那个中点？好，那我现在是不是可以用中点坐标公式来反推一下你的这个对称之后的点，哎，可以反推，所以直接带中点坐标公式，我就可以推出 l 二的顶点了， 哎，去退出 l 二的顶点来， l 的 顶点推出来就是一个负三逗号 m 减五，哎，负三逗号 m 减五。来，咱们来验证一下，是不是啊？来，负三加上一，负二除一个二，负一没问题，再验证一下来， m 减五，加五，减 m 零除二零没有问题。好，现在 l 二顶点出来了， 来，因为我是中心对称，是不是我的那个前面的这个 m， 我 的二次项的系数是需要取一个相反数的，哎，然后其他的变不变呢？不变，所以我们来直接列一下我 l 二的这个解析式，应该是 y 等于一个负的 m 括号 x 加三的平方，再加 m 减五，来，这个你来核对一下，首先是不是开口相反， 然后呢，顶点是负三，逗号五减 m 啊， m 减五没有问题。然后再看，他又说我的这个顶点 a， 我 的这个 a 点，也就是说这个点，哎，这个点他说在我的这个 l 二上怎么办？ 带入是不就可以了？哎，你就给他往里带嘛，来，他既然在这上面，你就往里带来五减 m 等于负 m 括号一， 再加三的平方，再加 m 减五，是不解，这样一个方程就可以了，哎，这个方程还很好解，是关于 m 的 一元一次方程，解出来这个 m 就 等于负的七分之五。搞定好，来，同学们一起来看一下，梳理一下这个题咱们的思路是啥？首先在分析什么东西？ 首先是不就分析一下圆顶点，哎，分析一下圆顶点，圆顶点出来了之后怎么办？是不是通过变换？通过这个变换你要找什么呀？找到陷顶点， 通过变换找到陷顶点。然后这个题第三步是啥？就是发现，哎，有一个点在我的抛物线上，怎么办呢？ 点在线上你就代入就行了，哎，代入就行了。好，那通过这个题，咱们是不是总结了一下我们如何去解决这种变换类的二次函数？变换类的题，主要关注啥？ 哎，主要关注这个顶点，关注顶点，圆顶点线，顶点。如果都分析完毕了之后，就看一下开口的方向有没有改变，是不是新的抛物线，你就可以写出它的一个抛物线的解析式了。

家人们，这节我们来复习一下二次函数的图像与性质。第二节一、 二次函数 y 等于 a 倍的 x 平方加 b， x 加 c 的 图像的对称轴是直线， x 等于负的二分之 b， 仅仅的坐标是负的二分之 b 以及 c 分 之 c， c 减 p， 平方很重要，大家这个一题一定要记下来。 好，我们来看题型一，写出下列二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标。 那开口方向上节我们也学过，它跟 a 有 关，对吧？所以它的开口方向是啊，向上的对称轴，这已经说了， x 等于负的二， a 分 之 b， 那 x 就 等于负的二， a 二二得四分之 b， b 的 话是负四，所以负负约掉就等于一， 那顶点坐标就是一，然后呢？四 a 分 之四， a， c 减 b 平方四， a 分 之四， a， c 减 b 平方四， a 二四得八分之 四， a， c 减 b 平方 b 四四十六就等于多少一，然后负八，负八，再减去一个十六，负的二十四，负的二十四除以一个八，就等于 负三。好，我们来看第二小问，它的开口方向，一样的向上三嘛？大于零，还有向上对准折， x 等于负的二， a 分 之 b， 一 样负的二 a 六分之 b 负六，所以等于一。顶点坐标一四 a 分 之 三四十二四 a c 十二乘二减 b， 平方减六六三十六，所以最终等于什么？一、 二十四减三十六，负的十二，负的十二除以十二，等于负一。 好，我们接下来来看第二题。将二次函数 y 等于 x 平方减二， x 加一的图像向上平移两个单位，向上平移两个单位，再向左平移三个单位 长度得到抛物线。 y 等于 x 平方加 b， x 加 c， 求 bc 的 值，并求出这条抛物线的开股方向，对称轴和顶点坐标。好，我们解 这个式子我们能够转换成什么？对，我们能够用配方法转换成一个完全平方式， y 等于 x 平方减二， x 加一就等于 y 减一的完全平方， 对吧？他说了向上平两个单位好，向上平两个单位，那我们先向上平移两个单位，那就是 加个二，对吧？然后再向左平移三个单位，向左平移三个单位，这是 x 要怎么样？ x 要加个三， 这是 y 要加个二，这是 x 要加个三，那我们把它组合起来，也就是 y 等于 x， 要加个三，那就是 x 加二的完全平方， y 要加个二，再加个二。 所以最终他说求 bc 的 值，并求出这条抛线的开口方向，对称轴和顶点坐标。开口方向比较简单了，开口方向就是向上， 然后对称轴是 x 等于负二，然后顶点坐标是负二，二，他问 bc 的 值，那我们把它乘进去，就是 x 平方加 四， x 加二得四，加二是加六，然后 a， b、 c 一 一对应，它问 b， c 的 值， b 就 等于四， c 就 等于六。 好，这题我们就算出来了。这题主要的考点是什么？主要的考点就是把这个 y 等于 a， b 的 x 平方加 b， s 加 c 的 形式转换成一个什么？转换成一个完全平方式的形式，然后再进行计算， 我们用的是什么配方法？那这里我们用的是什么法？公式法，直接带进去一算就可以了，这里我们用配方法。好，我们再来看第三题。 当火箭被数值向上发射时，它的高度 h 与时间 t 的 关系可以用公式， h 等于负的五， t 平方加一百五十， t 加十，表示经过多长时间，火箭到达它的最高点。最高点的高度是多少？ 那他的最高点求的是什么？这道题啊，求的是他的顶点坐标，对不对？那他最高点肯定是顶点嘛？抛线的最高点肯定是他的顶点， 那我们求出他的顶点坐标，就知道他用了多长时间，以及他的最高高度是多少，对不对？所以解 h 等于负五， t 平方加一百五十， t 加十，问它的顶点坐标，那我们就求它经过多长时间呢？ t 就 等于负的 二， a 分 之 b， 所以 t 就 等于二五一十负十，负负约掉一百五十除以十就等于十五秒。 那么这个时候 h 就 等于什么？四， a 分 之 四倍的 a， c 减个 b 平方， b 平方就等于一百五十平方，对吧？这里分母是负四五二十，分子是负 两百，减去一百五十平方二百二十五，再加上两个零。 好，我们继续化减化，减下来之后，负二十，两百除以二十就是十，负二十约掉加上一个零，零约掉最后两千二百五十除以二就是 一千一百二十五，加上前面的十，最终就等于一千一百三十五。什么米是它的最高高度？ 好，这节我们就复习到这里。我们这节最重要，复习了什么？复习了公式法跟配方法。好，这节我们就复习到这里，谢谢大家！再见！

呃，同学们好，今天我们一起来学习二次函数 y 等于 a x 平方加 k 的 图像性质。 呃，首先呢，我们在同一平面直角坐标系中，我们画出 y 等于二 x 加一，还有 y 等于二 x 平方减一的图像。 呃，第一步呢，我们还是列表找出。呃，自变量 x 的 值以及对应的函数 y 值。 第二步，我们把这些点呢在平面直角坐标系中找到。第三步，将这些点顺次用光滑的曲线进行连接。好，那现在我们来观察一下这两个 r 函数图像，它有什么相同点？什么不同点？ 呃，首先我们来看一下它们俩的开口方向， y 等于二 x 加一呢，开口呢是向上， y 等于二 x 减一呢，开口也是向上，因为 a 是 大于零的对称轴，两 r 函数对称轴呢，那都是 y 轴零点坐标。 y 等于 r， x 加一，它的顶点坐标是，从图像上观察是零一，而 y 等于 r， x 减一，它的顶点坐标呢是零负一。 好相同的地方，刚才我们也说了，首先呢是开口方向，还有开口的大小是一样的。呃，对称轴也是一样的， 不同的地方，也就是它们的顶点坐标不一样。好思考，那 y 等于二 x 平方加一，与 y 等于二 x 平方减一与抛线 y 等于二 x 平方有什么样的关系？ 首先我们把 y 等于二 x 平方，如果把它是向上， 把它向上平移一个单位，那就得到了 y 等于二 x 平方加一。把抛物线 y 等于二 x 平方呢，向下平移一个单位，就得到了 y 等于二 x 平方减一。 当然了， y 等于二 x 平方减一呢，图像也可以由 y 等于二 x 平方加一，我们把它向下平移两个单位也可以， 所以我们得到了 y 等于 a x 平方加 k 与 y 等于 a x 平方，它们之间的关系 啊， y 等于 x 平方加 k 的 图像呢，相当于把抛物线 y 等于 a x 平方向上或向下平移了 k 个绝对值个单位啊啊，如果 k 大 于零，那就是向上平移，如果 k 小 于零，那就向下平移。 在同一平面直角坐标系中，我们画一下， y 等于负二分之一 x， y 等于负二分之一， x 平方加二，还有 y 等于负二分之一 x 平方减二的图像。 同样，我们现在找出开口方向，对称轴还有顶点坐标啊，并指出这两个函数函数之间怎么样通过平移变换得到。好，现在我们来画一下这三个函数好， 呃，首先，这三个二函数开口呢，都是向下的对不对？对称轴呢，也都是 y 轴顶点坐标，那第一个顶点是零零， y 等于负二分之一， x 平方加二，它的顶点坐标呢，是零二， y 等于负二分之一， x 平方减二，它的顶点坐标是零负二。 好，通过以上的例子，那我们现在来判断一下 y 等于 a， x 平方加 k 的 图像。其实呢，我们之前刚讲了 y 等于 a x 平方的图像啊，这两个图像呢，有共同的特点。好，首先，如果 a 大 于零的时候，那我们看一下，图像呢，是开口呢，是向上的， a 大 于零， k 大 于零， 也就是说与 y 的 正半轴有交点，那 k 小 于零的时候，与 y 的 负半轴有交点。如果 a 小 于零的时候啊，常说 y 等于 x 平方加 k， 它的图像是开口向下的，当 k 大 于零的时候，交于 y 的 正半轴， k 小 于零交 y 的 负半轴。简单来说， a 决定了开口方向以及开口的大小，而后面那个常设 k 决定了与 y 轴的交点， k 大 于零交正半轴， k 小 于零交负半轴好。 对称轴 y 等于 a， x 平方加 k， 它的对称轴呢，那都是 y 轴，也就是 x 等于零。 顶点坐标啊，顶点坐标，我们只要看后面一个，因为它与 y 轴呢，是交点呢，是零 k， 所以 说顶点坐标呢，也就是零。 k 好。 函数的增减性，我们先来看一下这个， a 大 于零的时候， a 大 于零的时候，在对称轴左边， y 随 x 的 增大而在减小， 对应轴右边， y 随 x 的 增大也增大。简单来说，就是当 x 小 于零的时候， y 随 x 增大也减小。当 x 大 于零的时候， y 随 x 增大而增大。那 a 小 于零，我们来看一下，在对准左边 x 小 于零时， y 随 x 的 增大而增大， x 大 于零的时候， y 随 x 的 增大而在减小。好，紧接着我们来看一下最值， 呃， y 等于 x 平方加 k 呢？嗯，如果 a 大 于零的时候，它有一个最低点，那也就是 最小值啊，最低点最小，最小，最小值呢，也就是 k， 当 a a 大 于零的时候，有个最小值， a 小 于零的时候呢？函数有个最高点，也就是当 x 等于零的时候， y 有 一个最大值，最大值呢，也就是 k 好，下面我们来看一下具体的例题。第一个将抛物线 y 等于 i， x 平方向下平移三个单位得到的函数解释，那就是 y 等于 i， x 平方减三。 好，所以说我们选择的是 c 选项，在这里呢，教同学们一句口诀，那就是上下平移，上下平移改变长缩，向 上加下减 下一题， y 等于三分之一， x 平方加三，与 y 等于三分之一， x 平方减二，它的图像不同之处，我们来简单画一下大致的二次函数图像， 那 y 等于二分三分之一， x 平方加三呢？它是由 y 等于负三分之一， x 平方向上平移了三个单位 啊，那这个 y 等于负的三分之一， x 平方加三大的图像我们画好了啊， y 等于负三分之一， x 平方减二呢，它的图像是由 y 等于负三分之一， x 平方向下平两个得到， 所以我们通过图像的观察，它们俩共同的特点呢？首先是对称，轴是一样的，开口方向是一样的，形状是一样的，那只有顶点坐标不一样，所以不同之处是 顶点坐标选择 c 选项。 好，下一题 啊，已知抛物线 y 等于负 x 平方加一，有下列结论啊，其中正确的是啊，注意，我说的是正确的，是因为 a 呢，是负一开口呢，所以是向下。第一个不对，抛物线对准轴是 y 轴，那这个是对的啊， 顶点坐标啊，因为常设为一，所以与 y 轴呢，交于零一啊，顶点坐标是零一啊，这个对的。 抛物线 y 等于负 x 平方加一，由抛物线 y 等于负 x 平方向上平一个单位所得，那这个第四个也是对的。 第五个抛物线与 x 轴交于负一，零，还有一零，那我们知道在 x 轴上呢，那 y 是 等于零的，那现在我只需要把 y 等于零带入进去。好，负 x 平方加一等于零， 那 x 平方呢？是等于一 x 等于正负一，所以说与 x 轴交于负一零，正一零啊，这个是没问题的， 这道题总共有四个是对的，选择 b 选项。下一题，双图像的问题。双图像的问题呢，我们一般是看取值就可以了啊。已知 a 是 不为零的常数 函数， y 等于 a， x 与 y 等于负 ax 平方加 a 在 同一平面直角坐标系的图像大致是什么啊？ 首先我们来看一次函数，那对于一次函数来说，这个 a 呢，是小于零的，因为它经过的是 r 四相切。对于 r 次函数来说，那负 a， 我 们来看一下它的函数，这个 开口向上，所以说负 a 大 于零， a 小 于零，那取值是一致的。 紧接着我们来看一下与 y 轴交于正半轴，所以这个 a 呢，是大于零的。首先我们来看这三个 a 的 取值呢，不一致，所以说 a 排出，那 b 一 次函数经过一三上线，所以说 a 大 于零。二次函数 开口向上，所以 x 平方前面的系数负 a 呢，也是大于零。负 a 大 于零， a 小 于零，所以说 a 的 取值不一致，那 b 错。我们来看 c 选项， c， 一 次函数经过一三象限， a 是 大于零的，二次函数开口向下，那负 a 呢，也就是小于零， a 大 于零也是没有问题的。 好，后面一个 a， 后面一个 a， 决定的是与 y 轴交正半轴还是负半轴，那很明显，这个 r 函数与 y 轴交于正半轴，所以说 a 大 于零。三个 a 的 取值都一致，所以我们选择的是 c 选项。 下一道题，我们来看一下抛物线， y 等于 a， x 平方加 c， 它的顶点坐标是零负三，也就是说 c 呢，也就等于负三， 因为后面一个常数决定了与 y 轴的交点，且抛物线与 y 等于 r， x 平方，形状相同， 开口方向相反，形状相同，也就是说 a 的 绝对值肯定等于 r， 对 不对？因为 a 就 决定了 r 函数的开口的大小 好，开口方向相反，所以说 a 呢，那也就是等于负二，那就是 y 等于负二倍， x 平方减去三 下一道题，二次函数有最大值，并且经过零负五，那么 m 等于多少？ 首先我们来看一下，假设如果开口是向上的话，那二次函数是不是有最小值啊？因为有最低点，既然它有最大值，所以开口只能向下， 开口向下好，开口向下，并且图像经过零负五啊，与 y 轴交于零负五，那就说明了后面的长数 m 平方 减九呢，也就等于负五，那 m 的 平方呢，也就等于四，所以 m 呢，等于正负二。但是刚才我们已经说了，呃， r 函数开口向下，开口向下呢，说明 r 次向系数 它一定是小于零的。阿奇安系数小于零，所以 m 一定是小于负一的。 m 小 于负一， m 等于正负二，那我们只保留啊，保留一个结果，那复合题呢，只能是负二。 下一道题，我们来看一下 a 点， b 点 c 点，在抛物线上比较 y 一 y 二 y 三的大小，因为 c 呢，没有告诉我们对不对？所以说这道题呢，我们不能直接去把 自变量代入来比较函数值的大小，那我们往往是通过观察图像，因为开口是向上的。之前我们说过， 开口向上，离对称轴越近的点，函数值是不是越小呀？反之，离对称轴越远的点，函数值是不是越大呀？那现在我们只需要观察负三，负一还有根号，哪一个点离对称轴是较远的？ 很明显，对应轴是零，负三力对应轴三个单位，负一力对应轴一个单位，那根号二力对应轴呢？是根号二个单位。很明显，三是大于根号二大于一的。所以说， a 点对应的函数值就是最大的 y 一， 其次是 y 三啊，那最小的呢，就是 y 二 啊。下一题， a 小 于负一， a 减一， y 一 a y 二一加一， y 三都在函数 y 等于 a x 平方加二的图像上，则 y 一 y 二 y 三的大小关系。 呃，因为 a 呢，是小于负一，所以说 r 函数呢，开口呢，一定是向下的 啊。呃，并且这三个点都是在对称轴左边啊。那怎么判断的呢？因为 a 小 于负一嘛，那 a 减一肯定是小于零的，对不对？那 a 小 于负一， a 肯定小于零， a 小 于负一，那 a 加一也是小于零呢？所以说这三个点呢，都在对称轴左边。呃，在对称轴左边， y 随着 x 的 增大也增大啊， 也就是质变量越大，它所对应的函数值呢，也就越大。因为 a 加一呢，它是大于 a 大 于 a 减一，所以说 a 加一对应的函数值 y 三呢，也就是大于 a， 对 应的函数值是 y 二啊，大于 y 一。 好，下一题，呃，抛线上有 a b 两点， y e 呢，小于 y r， 下列结论正确的。是啊，也是比较函数值的大小。呃，首先，这个 r 函数呢， a 大 于零，开口是向上， 题目上说了， y e 小 于 y， r 比较 x， 以 x 的 大小。那这此此时会有多种情况。第一种情况，如果说，嗯， a b 两点呢，都在对应的左边 啊，都在对你左边， y 一 小于 y 二在对你左边， y 随 x 的 增大而减小，那肯定是 x 一 要大于 x 二 啊， x 一 大于 x 二，那第二种情况，呃，如果 ab 呢，都在对应轴的右边，在对应轴的右边的时候，那 y 随 x 的 增大而增大，是不是？也就是说自变量越大，所对应的函数值越大， y 一 小于 y 二，所以说 x 一 呢，小于 x 啊，还有第三种情况，第三种情况啊，一个在对应轴左边，一个在对应轴右边， 那 y 一 小于 y 二啊，根据 y 一 小于 y 二，那我只能知道 y 二呢，离对称轴更远， y 一 离对称轴更近，但是自变量 x 的 值呢，我们是无法判断的，所以说，那只能选择 d 选项啊，这个是无法比较。 第七题，已知 r 函数 y 等于负二， x 平方加三，当自变量在负二到三的时候，求 y 的 取值范围，那这个呢，我们不能直接去代入负二和代入三 啊，因为 r 函数呢，它是有两段的，是不是？那我先需要把大字的 r 函数图像我们简单画一下，开口向下与 y 轴呢，交于零三。 好，呃，我们来先来找一下最大值，因为开口向下呢，所以说它的最大值呢，也就是顶点坐标最大值是 等于三，那我们看最小值，开口向下，离对应轴越近的时候，函数值越大，离对应轴越远，函数值越小，那相当于 这个对称轴来说，法力对称轴，也就是 x 等于零两个单位，而三力对称轴呢，是三个单位。所以说，当 x 等于三的时候， y 取得最小值 啊， x 等于三，代入进去啊，三的平方九负十八加三负十五，所以说此时 y 的 取值呢，介于负十五 到三之间啊，注意啊，不能等于负十五啊，不能等于负十五，因为 x 不 等于三嘛，对不对？然后呢，可以等于三啊，当 x 等于零的时候， y 就 等于三。 下一道题已知抛物线解析式，呃， y 等于 a， x 平方加 b， 经过负二，负三和一六，求抛物线解析。那这道题非常简单啊，也就是说我们把 x 等于负二带入 呃，结式中，三带入结式中啊，带 y， x 带入这个负二， 那也就是负三等于四， a 加 b。 好， 第一次代入，那第二次，当 x 等于一的时候， y 等于六，那就六等于 a 加 b， 构成一个关于 ab 的 二元次方程组。解得 a 等于负三， b 等于九。 好，所以说 y 就 等于负三， x 平方加上九 啊。下面题目我们来看一下啊。如图，在平面直角坐标系中， a 点的坐标呢，是四七，在抛物线， y 等于 a， x 平方减一。上啊，过 a 点做 x 轴的垂线交抛物线于另外一点 b 啊，点 c， d 呢？在 a b 上，过 c 点， d 点做 x 轴的垂线交抛物线于 e 点 f 点。 当四边形为正方形的时候，那现在让我们求出 cd 的 长度。 好，那我们先来看一下怎么做啊。首先呢，我们把 a 点呢带入这个抛物线中啊， x 等于四， y 等于七，那七等于十六， a 减去一，所以解得 a 呢，等于二分之一， 所以抛物线，那就是 y 等于二分之一， x 平方减一。 紧接着，那因为四边形是正方形，那正方形我们肯定能得到 e， f 等于 c， e， 现在我们只需要把 c、 e 的 长度表示一下，把 e、 f 的 长度表示一下。首先我们设一点的坐标，红坐标为 a， 中坐标呢，就是二分之一 a 平方减一 e f。 呃，这个纵坐标一样，红坐标呢，互为相反数，所以 f 点呢？红坐标为负 a， 纵坐标为二分之一 a 平方减一。好， 我们把 c、 e 延长与 x 轴交汇点，假设记为 q 点，好啊， e、 f 的 长度等于 a 减负， a 等于二 a。 紧接着我们表示一下 c、 q 的 长度，因为 a 点的重则表示等于七，所以 c、 q 的 长度等于七，好呃， e、 q 的 长度， e、 q 的 长度其实也就是 e 点到 x 的 距离就等于二分之一， a 平方减一， 那 c、 e 的 长度也就等于 c q 七减去 e q 二分之一， a 平方减一，所以 c、 e 的 长度等于。 呃，这个八减去二分之一 a 平方，好， c， e 的 长度表示出来了，那 ef 的 长度表示出来了。那我们现在呢，可以列一个 这个一二方程，所以说是八，减去二分之一 a 平方，也就是等于 等于这个二 a， 好， 那现在呢，我们把这个方程整理整理，也就是 a 平方， a 平方加上四 a 减去十六，等于零啊，所以觉得 a 一 的值等于负二，减去二倍根号五， a 二等于负二，加上二倍根号五。 因为 c、 d 是 等于二 a， 所以 c、 d 的 长度呢，也就是负四，加上四倍杠五，好。下一题，抛线 y 等于 a， x 平方加 k 与 x 轴交于 ab 两点， a 在 b 的 左边 过 b 点做直线，交抛物线于点 c、 p 点呢，是直线 b 斜上方抛物线的一个动点。呃，连接 p b， p， c、 b 点的坐标是二零， c 点的坐标呢，是负一三，求抛物线解决式啊。首先呢， b 点和 c 点呢，都在抛物线上，我们把 x 等于二， y 等于零，带入一次， x 等于负一， y 等于三，我们代入一次，构建一个关于 a 和 k 的 二元次方程组，解得 a 等于负一， k 等于四，所以 r 函数截式呢，也就是 y 等于负 x 平方加上四。 好，设 p 的 横坐标为 t， 用含有 t 的 式子表示三角形撇 b 的 面积。 那首先呢，我们把这个呃三角形进行分割，从 p 点呢，向 x 轴做一条垂线，与线段 c b 交于点 n 好 呃，因为 p 点的横坐标是为 t 的， 是不是横坐标为 t， 所以 纵坐标，那也就是呃，纵坐标，也就是这个负 t 平方加四。 好，那我们做的这一点，做的垂线这一点啊，这提倡既是 f 点，那 f 点红坐标跟这个 p 的 红坐标是一样的， 所以 f 点的红坐标呢，也是 t 对 不对？ f 点是不是在线段 c b 上，对不对？那 b 点的坐标呢，是二零， c 点的坐标呢？负一 三。所以说呢，我可以呃用两点确定一条直线啊，把这两点呢代入 y 等于 mx 加 n 中，就是 x 等于负一的时候， y 等于三 啊， x 等于负一，那就负 m 加上 n， x 等于二， y 等于零， r m 加 n 等于零，从而解折出 m 等于负一， n 等于二。所以说这条直线截式呢，也就是 y 等于负 x 加二。 好， f 点呢，是在 c b 上红的标为 t， 所以 重的标呢，就是负 t 加上 r， 所以 说 p f 的 长度，那也就是 p 点的重的标减去 f 点的重的标，结果是负 t 平方加上 t 加上 r。 好 啊，现在我表示出三角形的面积，三角形的两个三角形的共同的底呢？我们表示出来了，对不对 啊？第一段高是 c 点到 p f 的 距离，第二段高是 b 点到这个 p f 的 距离，那两段高我分别标为 h 一、 h 二。那我们在求三角形的底，提取出来都是 p f 好高呢，是 h 一 加 h 二， h 一 加 h 二，其实也就是 c 点与 b 点两点横坐标的差值，那就是负一与 r 的 差值就是二分之一乘上一个三乘上来。 呃，乘上一个 p f 的 长度， p f 的 长度呢，就是负 t。 平方加上 t 加上 r。 好， 那经过我们化简呢？结果是负的 r 文 z 三， t 平方加上 r 文 z 三， t 加上三。