初二几何题100道培优

初二压轴的几何难题，快给孩子收藏一下吧！角 a， 四十五度，角 c 二十二点五度， b、 c 长是八，求三角形 a、 b、 c 的 面积！很多同学上来直接 从点 b 向 a、 c 做了垂直，然后发现这些垂线段和线段之间的关系很难求解。今天魏老师教大家一个招， 我们看四十五度和二十二点五度本身就自带一个二倍的关系，而且四十五度又是等腰直角三角形的内角，这时候如果咱们构造一个二倍的二十二点五度，就可以得到一个四十度，怎么构造这个二倍呢？直接画很难，我们可以做 b、 c 的 中垂线， 上面交点，咱们叫它 d 点，这个垂足咱们叫 e。 既然是中垂线，所以 b、 e 的 长和 e、 c 的 长就都是 四。做完了中垂线之后，马上连接线段的两个端点，等腰三角形出现， d、 b 和 d、 c 相等，二十二点五度就可以对称到这里， 那么角 a、 b、 b 就 应该是二十二点五度的二倍，也就是四十五度。那么大家会发现，刚才刻意做的垂直，现在已经不经意的出现在这里，角 a、 b、 d 就是 一个直角， 那现在怎么办？一线三垂直模型已经若隐若现了，只要咱们延长线段 c、 b 再从点 a 向它做上一个垂直，哎，三角形 a、 f、 b 和三角形 b、 e、 d 就 全等了。因为 a、 b 跟 b、 d 在 等腰值当中，作为两个直角边相等， 这两个角它是互余的，这俩角也互余，所以这俩角相等。又因为这是直角，这也是一个直角，两个三角形全等，那么 b、 e 的 长就等于 a、 f 的 长，也就是四， 所以三角形 a、 b、 c 的 面积等于二分之一的底乘以高，也就是二分之一的 b c 乘上 af， b、 c 长是八， a、 f 四。最后答案是十六。用一线三垂直模型轻松秒掉这道特殊的题型，你学会了吗？点个关注吧！

一道期末原题，测出你本学期的几何掌握情况，一起来看题。如图，过边长为一的等边三角形， a， b， c 边 ab 上有一点 p 做 p， e 垂直于 a， c 于点 e。 好， 我们得到了这个角等于九十度， q 为延长线上一点，下一个条件 p， a 等于 c， q 条件。上图做一下连接， p， q 交 a， c 边于顶 d 则 d， e 的 长为。这道题它是一道非常综合的题，考察了我们本学期的全等三角形，等边三角形以及等腰三角形的性质。来一起来看一下这道题如何去解 题目当中给我们的有用条件，其实我们就可以整理为是两句话啊，整理为是两句话，这是第一句，这是第二句，第一个就是边长为一的等边三角形，哎，有同学去想了，老师我可以得这个角是六十度，从而你就得到了这是一个含三十度角直角三角形。哎， 那你和求这个定义有什么关系吗？哎，有同学也会这么去想，这个三角形，它是一个直角三角形，之间有什么关系吗？ 如果你要是这样子思考的话，那你肯定是没有思路，想到第二步就不知道怎么做了。那么这道题呢，我们就是去利用特殊角度，我们去构造三角形。那么在这里呢，我们之前也给大家讲过，碰到了特殊角 三十度角的时候，我们首想的是构造直角三角形，因为三十度角所对的直角边是斜边一半，我们可以得到边边的关系。碰到四十五度角的时候，可以构造等腰直角三角形，可以得两条直角边相等，那么碰到六十度角的时候，就是两个方向了，一个方向是 r t 三角形， 另一个方向就是等边三角形。那么这一道题呢，就是很明显了，他题里头已经给我们了一个直角三角形了，所以我们肯定不是去做直角了，那用排除法我们也排除出来了，那这个题他就是去构造一个等边三角形。来一起来看这道题我们要如何去做呢？ 既然是构造等边三角形，那我们来看一下啊，三角形 abc 就是 一个等边，所以我是不是想办法要过点 p 哎，向右去做一个等边呢？我们这个做做等边的这个辅助线，我们可以这样子去描述过点 p 向右做平行线， 也可以描述为在 a c 上截取一点 f 是 af， 等于 ap 连接 pf。 我们也可以做在 a c 上取一点 f， 使角 a p f 等于六十度。无论哪一种描述，它的目的都是为了构造出一个等边三角形。好，等有了等边三角形之后，我们要怎么做呢？第二个条件， p a 等于 c q， 来，我们来画一下啊。条件，上图 p a 和 c q 相等，因为三角形 a p f 是 等边三角形，所以我们就可以得到了。我现在画的这三条绿边都是相等的， 哎，边和边是相等，这个角是六十度，这个角是六十度，哎，发现了这和这是平行的，所以我就可以得了内错角和内错角是相等，再根据一组 对菱角相等，哎，从而我们是不是就可以轻松地我们就可以证出来三角形全等，哎，得到三角形 p f d 全等于三角形 q c d， 它的判定就是 a a s。 凡是得到三角形全等，下一步一定一定是对应边相等或对应角相等。那我们来看啊，得了三角形全等，我们可以得到谁啊？我们是不是就可以得好这个小边 x 和这个小边 x 是 相等的，那和让我们求的 d e 又有什么关系呢？ d e 在 这里呢？上面是不是还有一小段 e f， 我 可以设 e f 为 y， 哎，这个 e f 和谁又有关系呢？解题解到现在，我们来看一下题目里面有个条件，我们没有用什么条件，这呗，漏掉了一个条件对不对？好用一下这个条件吧。啊，这是等边三角形加上 高对不对？三线合一，所以我们得到了上面 a， e 也等于 y。 当我们在做几何题时，你发现你的思路是很顺的，但是做着做着卡住了怎么办？ 看看条件有没有漏。条件，把漏的条件往题里边用一下，那么这道题就解出来了。记住啊，初中数学没有废话，把条件全部的用一遍，那么这个题就能解好了。那么现在呢，我们就得到了 d e 等于 e f 加 f d， 那 么是不是就等于 x 加 y？ 再来看这个边儿， a c， a c 等于的是二 x 加上二 y， 所以 我们就发现了 d e 是 a c 的 一半，已知 a c 的 边长等于一，那么 d e 的 长度就是二分之一，这道题我们就轻松地搞定了。

发上期末必考的知识点，一定有代数最值的几何转化问题呦，你看到这个题目的时候坏了，因为这种题目在你的整个初二考试里边，他绝对是个难题。有的同学如果说我凭着自己的一腔热血，我要通过复杂的计算解决这个问题的话，俩字没戏。 也就为什么这个题目拿到手里之后，百分之九十五以上的孩子根本不知道如何下手，那为什么人家有学霸同学两秒钟甚至两这这这这不到两秒钟就立马能找着思路呢？ 是因为呀，这里边有个小窍门。那么今天贾德老师通过这个小题来给大家讲讲，如果你在初二和初三遇到这种综合问题，求罪之如何去下手。那么你看他首先在这里边有两个根号， 但是除了这两个根号以外，你还会发现一个问题，这个十六可以看作四的平方，那么你去思索，那你就把第一个式子拿出来看，你觉得这里面深层次的考点叫什么？ 这就是你怎么能把一个平面的知识给他发散出去，变成一个三维四维的东西。你去不断的去想， 你在这里边会发现平方加平方是不容易，想到勾股，怎么能有勾股？如果我在这有一个直角三角形，一个直角边是 x， 一个直角边是一个四，那么另外个斜边是不就得根号 x， 王加是六是不？一下感觉这个题目变简单了， 那么同样的，以此类推的话，那么你的下一个这个东西，我也可以构造一个边数五减 x， 一个边是六，那么另外个边就是这个根号， 那么我想要求的是这一段和这一段和的最小值，你要把脑袋赶紧赶紧赶紧的去翻一翻去想，在你的整个初中阶段，从初二开始学到最值的时候，两条线段和的最小值，最容易想的是将军一马， 那么将军印马的考点最关键的一点是什么？三点共线，所以你在这里边啦，当你由你的根号平方加平方，想到了勾股，想到了直角三角形之后呢？那么下一步 关键的一点就是我得把这个图形进行一个拼接，那么你在拼接的时候你会发现 这个边得的是 x， 这个边是五减 x， 拼在一起正好得的是一个五，所以啊，我们都就对它进行一个首尾相连，你看这是一个直角三角形，这是一个直角三角形， 那么我在这里边如果往这做一个垂直的话，那么这是五减 x， 这是五减 x， 这个边得四，这个边也得四， 那你从这里边你就发现了，这得的是个五，这得的是个十，而我要求的是什么？ 大家在这里边会发现两条红色线段和，我要让它最小，那什么时候最小？三点共线的时候，那么共线的时候按照勾股定律， 根号下五的平方加十的平方，那么 e 到这也就是 a 的 最小值就出来了，你看明白了吗？关注我，最会教初中数学的女老师。

我们这个专题专门讲初二数学，解答压轴题。那么这一期的内容是，坐标系中几何模型有五种。先看第一种，三垂直模型， 已知 a 点和 b 点的坐标。第一问，若三角形 a、 b、 c 的 面积是等于十六， d 点坐标和横纵坐标相同。第一问，三角形 a、 o、 c 的 面积，那很明显，三角形 a、 o、 c 面积是三角形 a、 b、 c 面积的一半，所以就是八。 第二问，求 d 点的坐标，我们观察到 d 点和正坐标相同，那么我们要想办法把代数与几何进行一个结合。因此我过点 d 往两条坐标轴做垂线， 刚才已经求出来了， o、 a 长度是四， o、 c、 o、 c 的 长度我们也可以求出来， o、 c 是 等于十六乘二，再除以除以这个八 等于四， o、 c 长度是四，所以这里有一个等腰直角三角形，对吧？那么很明显，这两个小的三角形，它是会全等的，所以我这里 这条边和这条边相等，也和这条边相等。因此我 d 点的横中坐标的绝对值都等于二，结合它在第三象限，所以它坐标是负二、负二。 这样我们的第一小题就搞定了。第二题啊，第二问， 点， p 在 y 轴负半轴上连接 p、 d、 b d、 p d 和 b、 d 等长， 叫我们求 p 点的坐标。我们由上一问得到一个启发，是可以借助全等来求坐标，所以我们要想办法去找到或者是去构造全等。 那么现有的图形我们观察来看，暂时没有全整的，所以要想办法进行一个构造。我过点 d 做 x 轴的垂线， 把这条沿出来， 然后过点 p 做这条蓝色线的垂线， 那么我们就大胆地去证明这两个三角形会全等，那我们的目标就很明确了。 三角形记这个点为 n 点，记这个点为 m 点，想办法证明三角形 b、 d、 n， 看看条件够不够有垂直，然后有这条斜边， 还有刚才我们的点 d 点 d， 是 不是求出来是负二负二，所以这一条和这条相等，斜边相等，再结合一个直角，所以它们会全等。判定方法是 h l。 好， 这是我们的第一步，占完之后，那就好做了。所以我的 这个 o p， o p 的 长度它等于什么？ o p 的 长度就等于 n d， 再加上 d m， n d 是 等于二， dm 是 等于 dm 是 等于 nb， nb 是 六， 等于八。再结合点 p 是 在 y 轴的负半轴，因此点 p 的 坐标就是零负八。 那第一问就搞定了。第二问，如图， c， a 等于 c， 等于 a b。 第四项线有一个点 q， 并且这里有个六十度，叫 c q a， 六十度 证明这三条边长度之间的关系。那么我把这些边标一下，一条是 c q， 一 条是 b q， 一条是 a q 这三条边我们可以通过一个搬家把它搬到一块去。那么首先我们可以明确到三角形 a、 b、 c， 它是一个什么三角形啊？它是一个等边三角形，因为我的 c、 o 会垂直平分 a、 b， 那 么垂直平分线上的点到两端点的距离相等，所以 c a 等于 c b， 再结合 a， b 等于 a c， 因此三角形 a、 b、 c， 它是一个等边三角形。 等边三角形到这里又有一个六十度。我们想到什么模型啊？我们是不是会想到手拉手模型， 也就是我接下来要继续再构造出一个等腰，或者是等边去构造出全等，所以我的辅助线可以这么做， 我去截一条和 c q 等长的线段， a q 上取一个点 e， 使得 q e， 它会等于 c q， 这样做的目的是什么？这样的目，目的就是待会就能够构造出手拉手的模型。 这个点是 e 点，那么就很明显，这里它是会有全等三角形。三角形 a c e， 它会全等于三角形 b c q， 判定方法是 s a s， 简单讲一下，大手等于大手，对吧？ a c 等于 b c e 等于 c q， 啊，这部同学们要简单写一下，这是个点等边啊，这个小小的三角形 c q e 是 等边，所以这两条边相等，以及这个角， 这个角一和角二也相等啊。因为角一加角三六十度，角三加角二是六十度，所以角一等于角 二， 那么证明出它全等。全等完，我们就可以进行一个搬家了，怎么搬？所以 我们的 a e， 它就会等于 b q， a e 等于 b q， 那 么 c q 加 b q 等于 c q 加 a e， 我 们看看 c q 加 a e， 那 么 a e 是 不是会等于这个 b q， 啊？这里啊，这里写多了，修改一下， 这里，这样写比较方便。 c q 加 b q 就 等于 c q， 我 们转到这里这里来， c q 用 q e 去等，它代化 b q 就 等于 a e， 对 吧？那么 q e 加 a e 是 不是刚好就等于 a q， 这样我们就完成了证明。 ok， 这道题就讲好了。

好，大家好，有朋友后台留言说，这段时间怎么怎么没有录解析视频呢？今天有时间给大家录两道几何的培优题，不是很难，但是非常好。初二几何的先看第一道题，如图，三角形 a、 b、 c 与三角形 a、 c、 d 均为直角三角形， 这角 a、 c、 d 等于角， c、 a、 d 等于九十度，所以 a、 d 平行于 bc 的 a、 d 等于二倍， bc 等于六。很明显， a、 d 等于六， bc 就 等于三，然后 a、 b 比 bc 等于五，比三， bc 为三， a、 b 就 等于五， 且 e 是 b、 d 的 终点。来这个最关键， e 是 b、 d 的 终点，出现终点这个关键信息。问 a、 e 的 长度， 其实这道基础好的同学跟蹬一翻，一蹬就蹬出来了， a 一 等于二分之五，那怎么来的呢？首先，如果一道几何题里面遇到终点两个字，其实我们会积累一系列的辅助线技巧，比如第一，构造三角形的中位线。 第二，最常规的辅助线背长中线构造全等。第三，如果在直角三角形当中，我们会说会想到斜边上的中线等于斜边一半。 如果在平面直角坐标系当中出现中中点，我们会想到中点坐标公式，这就是知识的积累。选择哪一款？根据这道题来，那这道题很明显是被长中线，因为这个六吗？这个三被长中线，但做辅助线要特别注意了，做辅助线表达方式， 你不要说延长 a 一 到 f 是 a 一 等于 e、 f， 那 再连接 cf， 如果这样说的话，你还能证明 bcf 三点共线对不对？所以这个俯垂怎么说可以避免这个反射过程呢？就是延长 a、 e、 b、 c 相交于 f， 这样更科学一点。那很明显这两个三角形就怎么样的，依旧全等的，很容易证明三角形 a、 e、 d 是 全等于三角形 f、 e、 b 的。 来，我们来找这三个条件。第一，这个 a、 d 平行 b f， a、 d 平行 b、 f， 就 推出这个角一角一等于角 f， 然后这个角二，角二等于 角，三，省一点时间，角三还有个什么？还有个 b 等于 b， 因为终点嘛， b 等于 b， 所以 两个三角形全等交角边全等之后，推出 a 一 的确等于什么的 e、 f。 好， 下面该怎么办？那这个角也直角对不对？ a 等于 e、 f， 大家注意看，两个三全等之后，那么得到 b， f 就等于 a， d 就 等于六，因为 bc 等于三，所以得到 c， f 等于六，减三也等于三。好，这个为三，这个为三，这是直角，这是中点，所以很容易得到 a、 c， 不 用证明全等了。垂直平分 b、 f， 那 就推出 a， f 就 等于 a， b 就 等于五。垂直平分线上点到线段两端点的距离相等。又因为一是 f 中点，所以得到 a 一 等于二分之一， a， f 就 等于二分之五，所以答案是二分之五。这这道题的思路。

几何锥子问题一定是我们新初二期末考试的必考压轴板块，通常出现在我们的最后一道 填空压轴题当中，正确率不到百分之五。来，同学们，今天徐老师带你用一道题彻底通透压字模型，求锥子的核心方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样说的，他说三角形 a、 b、 c 呢，是一个等边三角形， 然后呢，告诉 ab 边等于三， dc 边等于二，哎，当 b、 d 这个边有最大值的时候，求三角形正三角形 abc 的 面积应该等于多少？ 徐老师已经把初二考试中所涉及到的所有最值类压轴题型进行归类总结，再结合往年考试真题，优中选优，整理成了初二最值必考十大题型，练完考试轻松拿下最值专题。需要的家长我发您一份。 好，来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题的辅助线的构成。好吧，来，同学们，这道题呢，主要考察了我们初中几何辅助线当中一个非常重要的模型叫做压制模型。那什么叫做压制模型呢？来，我们先来简单学习一下， 只要看到这种形式，朋友们，哎，一点发三线，从一个公共顶点向三个方向呢发射三条线段，对吧，叫做一点发三线。那么这种模型呢，它很像我们汉字里面的压制，所以呢，我们称之为叫做压制模型，那么我们把这个公共的焦点呢，称之为叫做 压线。哎，我们，所以呢，我们的压制模型呢，一定是有压点和压线 共同构成的，那么压字模型如何去考察呢？哎，对于我们三条压线，我们考试当中呢，会告诉你其中两条，比如说这两条已知好，求第三边的具体值，或者第三边的范围的时候呢，这个时候呢，一定是考察我们压字模型，那压字模型如何去构造辅助线呢？ 只要看到一点发三线哈，记住了哈，一定是可以利用旋转去解决我们的辅助线的，好吧，来，下面呢，我们来看一下这道题来，他说如图，三角形 abc 为正，三角形啊，三个边是相等的。好，接下来 a， d 等于三， 对吧？ c， d 等于二，哎，当 b， d 最大的时候，哎，求什么？三角形 abc 的 面积应该等于多少？那什么哎，这道题呢，很明显就是我们的压字模型，你看，哎，一点 发三线，对吧？而且这两个压线是已知的，求第三个边的范围，对吧？典型的压制模型，那么我们一定是可以利用旋转去构造，那如何旋转呢？这是我们的关键所在，那么旋转的目的好，我们是要去构造一个什么叫做旋转型的 全等啊，所以来，如果要构造全等，那一定要有什么？要有相等的边重合， 哎，相等的边，对吧，因为你旋转过去以后呢，要有边重合，你才能够到旋转型的全等，对吧？那我们来找找哈，题目当中到底应该旋转哪个三角形？ 那么题目告诉我们三个边都是相等的，所以呢，我们应该去找这三个边所在的三角形，比如说 a， c， 我 们在 a， c， d 当中看到没有，所以呢，我可以旋转 a， d， c， 哎，让 a， c 和 ab 重合，没问题吧？ 好，再来，呃，再看我们的 b， c 呢？ b， c， d 和，哎，在 b， c， d 当中，所以呢，我也可以旋转 b， c、 d， 对 吧？让 b c 和 c a 重合也可以，对吧？好，再来。还有一个边，这个是 ab 边，那么 ab 边呢？在我们的 abd 当中，所以呢，我也可以旋转它，那么这三个三角形 都在三条相等的边当中，这个这三个三角形我们都可以旋转，这道题呢，至少是三个方法，好吧，好，来，我们先来随便找一个去旋转，比如说，哎，我先找这个小的去转转三角形 a、 c、 d， 那 么去，哎，思考一下，怎么转呢？往哪个方向转？转多少度呢？这个时候哈，你们看， ac 和 ab 这两个边是相等的，所以你旋转过去以后呢，你需要让 ac 和 ab 是 不是重合，对吧？所以呢，我应该什么把 ca 绕着 a 点顺时针转，因为你要让 ac 和 ab 重合嘛，转多少度呢？这两个边的夹角多少度又转多少度？转六十度，对吧？好，我们的方向和大小 就已经给它明确了哈。好，那我们来转一转，那么这个时候呢，我们的 a、 c 转到 a b 转六十度，那同样，哎，我的 a、 d 边呢，也绕着 a 点顺时针转六十度，那这就是我们的气点啊，气点 a、 d 转到 a t， 对 吧？好，再连接我们的 b、 t。 哎，同学们，看，没有我们的旋转型，全等这个三角形就跟它全有全等的，对吧？哎，好，来，我们写下，我们就可以得到来，这个是三角形 a、 d， c 全等三角形 a、 t、 b。 好， 它是全等的，那全等以后看，我们就有相等的边，对吧？ a、 d 为几？ a d 为三好， c、 d 为二，那这个边呢，也是为二， 对应边是相等的。好，哎，我写啊，那么这个时候你看，我们就可以倒边了，接下来求什么呢？求的是 b、 d 边啊，我们第三条压线，那么你看，求这个边，那么这个时候你看旋转以后，这个角是六十度， 哎，这两个边又相等，那么这个时候呢，我只要连接 c、 d， 我 们就可以了，可以构造一个什么 等边太阳形，对吧？哎，两个腰相等，再加六十度，是不是等边那么来？所以这个时候你可以总结一下我们的压制模型，其实就是反向去构造一个手拉手，为什么手拉手呢？这有一个 大等边，这有一个小等边，绕着 a 点旋转，你看，没有，他的本质其实就是手拉手构造出来，这两个是全等的，懂了吧？ ok， 好 好来，所以这个手呢？哎，我们这个边也穿了，对吧？这边就为 就为三好，要求 b、 d 的 最大值出来了， b、 d 在 我们 t、 b、 d 当中，哎，我们通过旋转把这三条压线旋转到了同一个三角形当中， t、 b、 d 刚好三点压线吗？啊，那么这个时候你看，哎，我们知道两个边，一个为二，一个为三，求第三边什么时候最大呢？哎，当我们的 b 点、 c 点、 d 点三点共线，利用我们的三边关系嘛，所以呢，当我们的 b 气 d， 对 吧？哎，三点 共线，我们的什么？哎？ b、 d， 哎，有最大值对吧？等于几呢？不就等于我们的二再加三应该等于五吗？对吧？好，但是题目没有求最大值，它求最大的时候，三角形的面积应该为多少啊？求这个面积，那这个怎么求呢？ 那么这个时候你看哈，哎，我们要去找角度，那么你看 b、 t、 d 三点共线，那所以什么呀？我们可以得到这个角，我们 一定为几为一百八，三点共线嘛，对吧？好，所以，哎，我们的什么哎，这个角 a t b 再加上角 a t d， 哎，应该等于几？等于一百八十度共线嘛，那你看这个角，明显知道的六十度等边，那，所以角 a t b 就 应该等于一百二十度，对吧？你看 这个手，这个角为一百二啊，这两个边又是已知的，那么一百二是特殊角吧，那我的 ab 边是不是又出来了？哎，所以呢，我们可以总结下，当我们的 b d 最大有三点公线，三点公线就有一百八，有一百八，那么这个角就出来了，为一百二，那么所以当它最大这个角一定是为一百二， 一百二的时候来，那 ab 就 可以算出来啊。怎么算呢？什么来，我们来看一下哈，非常好算啊，非常好算啊，就是解三角形的嘛，我们把这个三角形什么单独给它什么列出来，你看 ab 是 不是这样的， ab 是 这样的，好，那么我们最后呢？哎，我们的啊， b t 边大概是这样的，一个为二啊，一个为几，一个为三。 哎，把这三角形单独提出来啊，单独提出来，你看这个时候，哎，这个为 b， 这个为 a， 这个为七，这个角为几为一百二啊，好，这个为二，这个又为三，那么我们要求 ab 边，那就延长出来，哎，再什么，做一个垂线 解三角形吗？他们是不是这样的，你看这个为 s， 这个为一百二，这个就为六十度，正好三六九啊，一比根号，三比二。好，我求 ab 的 平方就可以了，对吧？哎，因为我们知道正三角形的面积，大家知道吗？哎，正三角形的面积，它等于什么呢？这个为 a， 这个为 a， 这个为 a， 它的面积得到等于四分之根号三倍边长的平方， 我这个不推倒哈，非常好推倒啊，你记住这个公式啊，四分之根号三倍边长的平方，你只要把这个平方求出来了，乘以四分之根号三，是不是就是我们面积，对吧？好，来，那非常好求哎，已经出来了，这个为 b， s 为根号三，这个边为几？这个边为四啊，为四。好，所以我的 ab 平方就等于它的平方三，再加上 四的平方十六，对吧？哎，等于到等于十，十九啊，十九来，所以 s 三角形 abc 就 等于四分之根号三倍， ab 的 平方就到四分之十九倍根号三， 听懂了吗？好，这是我们第一个方法啊，我转的 a、 d、 c， 当然告诉你们哈，我们还可以转其他的啊，我再转一个哈，再转一个，比如说，我还可以转一个转我们的 a、 b、 d 也可以转呀，啊，也可以转来，怎么转呢？那么这个时候，你看我转 a、 b、 d， 我 需要让 ab 和 ac 重合，那你就说把 ab 绕着 a 点， 逆时针转六十度，对吧？你要看哪两个边重合，你就知道怎么转了哈，转六十度。那么同样，那我就把 a、 d 这个呢 也往这边转六十度啊，转六十度。来看下啊，转六十度。好，我这个时候 连接它。哎，我的 a、 b 转到 a、 c， a、 d 转到了我们的 a、 a、 t， 是 不是也是一样的？那么相当于这个三角形转到这个地方啊，转过来好，逆时针转六十度，好，转了以后呢，一样的，也有边相等，这个为三， 这个为三，这个为六十度，对吧？连接 d、 t， 我 们也有等边串了，这个边也是为三啊，也是为三。好，这个 c、 d 呢？等二题目告诉我们的。好，一样的，我要求 b、 d 最大，那么这个时候呢？哎，因为三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 t 后的 b、 d 边就已经转移到了，哎， t、 c 对吧？那求 b、 d 最大，那就是 t、 c 的 最大，那很好，求一样的，你看这个时候呢，我们三条压线转到了同一个三角形 c、 d、 c 当中，这个为三，这个为二，那所以当我们的 c， 哎， c、 d、 t 三点 贡献有什么？有最大值对吧？好，我就嗯，不算了哈，那这个时候面积怎么求呢？那也是一样的三点贡献，那所以看角 c、 d、 t 就 等于一百一百八十度 啊，一百八十度，那么这个时候怎么去求边长呢？你看这个为六十度，知道了，好， c、 d 系三点共线，这个为五，那这个角这个时候为啊，为一百八啊，因为八，那这个角是又出来了啊，所以角 a、 d、 c 等于几呢？正好这是个周角，周角等于三百六，三百六， 减去六十，再减去一百八，看到没有，刚好还是等于一百二，这个角也等于一百二，你看这个边为三，这个边为二，这个顶角也是为一百二，所以 a、 c 边同样可以减。函数算出来跟前面是什么是一模一样的啊，我就不算了，好吧，所以这样，同学们，不管你怎么转都可以， 只要你找到我们的等长线段共端点的边啊，去转，把我们三条压线转到同一个三角形当中，利用三边的关系就可以找到我们最大值，从而去倒角，哎，求出我们的边长的平方， 对吧？好，这道典型的压字模型求最值！你听懂了吗？来关注学老师数学满分，不迷路！

来道易错题，已知三角形 abc 的 三边长分别为小 a、 小 b、 小 c。 任意的一个三角形，如果给了你顶点大写字母，那么它对应的边的长就是它的小写字母。 这个一定要知道基本的常识。而且 a 比 b 加上 b 加 c 减 a， 我就告诉了你这么一个等式，然后问你，则三角形 abc 一定是啥三角形？要判断三角形的形状，那我肯定只能从这个式子下手啦。看到这个式子，我只能先把左边给它通分啦。 a 括弧 b 加 c 啊，等于 b 加 c 减 a 分 之 b 加 c， 哎，突然发现这是一个整体的分子，那这边等式呢？也有一个分子是 b 加 c， 那 我这两个能不能直接约掉呢？ a， 你 的等式的基本性质二是啥？等式的两边同时乘或除以同一个不为零的数，那么等式仍然成立，那我只要确定 b 加 c 不 等于零就好了。 b 加上 c， 这两条边的之和大于第三边，那肯定是不为零哦，所以我可以直接约掉，直接约掉它就剩下一了，这边剩下 a 了。 然后我再继续使用交叉相乘积相等的原理，其实就是等式的两边同时乘以分母的最小公倍数，我把分母给去掉， 然后呢，得到 a 括弧 b 加 c 减 a 等于 b c， 哎，这样一扯就好啦。然后呢，你一看这个式子，我还看不出来三面之间的关系呀，怎么办呢？那我只能给它展开，然后再找找向左喽。等于 b c， 那 等于 b c， 我 能不能把 b c 给挪过来？ 哎，减去 b c 等于零，我为啥想这样做？因为我这边有四项，我看看我能不能用我学过的分组的方法去把这边给因式分解，这样 我不就能观察出来两两之间的关系了吗？边儿的。所以你看这个，这个要这两个要结合，提一个 a 的 话，那剩 b 加 c， 但这两个却没有公因数了，所以我不能这么结合。 那怎么办呢？我把这个和这个结合行不行？或者这个和这个结合行不行？哎，都可以啊，你试一下，如果他俩结合，他俩结合会成为啥？这俩一结合，我提一个 a， 是 不是剩下 b 减 a， 这俩一结合啊？那是加上提一个 c， 是 不是 a 减 b， 然后呢？等于零，这个时候你发现我 a b 减 a 和 a 减 b 正好互为相反数，那我可不可以给它变一下符号？ 哎，这变成减，我这不是变成它的相反数等于零。这个时候你发现 b 减 a， 就 又是一个共因式啦。那我再给它提出来，剩下 a 减 c 等于零。这个你是不是很熟悉啦？ b 减 a 乘以 a 减 b， 两个数相乘要等于零，要么这个数等于零，要么这个数等于零。一定注意，这是或的关系，那么就可以得到 a 等于 b， 或者 a 等于 c。 呦， 那这不就是腰长为 a 哎，另外一条边等于 a 的 等腰三角形吗？或的关系哦。 哎，所以它三角形 a， b， c 一定是答案 b， 那 有没有可能是 a 等边三角形的？ 有可能，当我 a 等于 b， 以 b 又等于 c 的 时候，我这不就成了等边三角形传递性过来，如果这不是或是按的是且的关系，那么它就是等边三角形了。可问题是，人家说一定是啥，这个只能是说可能， 可不一定哦，因为你推出来的结论里面没有一定性。一定性的只有这个 啊。再看底边长为 a 的 等腰三角形，那肯定是腰为 a 呀。底边为 a， 那 是 b 和 c 相的，我也没有直接得出来， 只是有可能，但不一定好。 d 等腰直角三角形等腰肯定是，但直角也是不一定的，我没有推出来。这三边的 关系是 a 方加 b 方等于 c 方也没推出来， b 方加 c 方等于 a 方也没推出来。 a 方加 c 方等于 b 方，没有这三个关系，那我就推不出来它是直角啊。这是勾股定律，逆定律的 应用，就是对直角三角形的判定。定律没有推出来，那只能说有可能，但不一定。人家要的是一定小分。关注我吧。

几何锥式问题一定是我们新初二期末的核心高频热门考点，这类题呢，通常出现在我们的最后一道填空压轴题当中，正确率 不到百分之五。来，同学们，今天徐老师带你用一道题，两个方法彻底通透，瓜豆求锥式的核心方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样说的， 他说 a、 b、 c 和 a、 d、 e 呢，两个三角形均为等腰直角三角形，然后呢，告诉 ab 等 ac 等于二，那 o 点呢，又是 a、 c 边上的一个定点对吧？哎，中点嘛，它就是一个定点。然后呢， d 点是一个 动点，连接 a， d， 以 a、 d 为直角边去构造等腰值 a、 d， e， 哎，形成我们第二个动点就是我们的 e 点。好，题目呢，最后求的就是这个定点 o 点和这个动点 e 点这两个点之间的最小值，哎，应该等于多少？ 徐老师已经把初二考试中所涉及到的所有最值类压轴题型进行汇总总结，再结合往年考试专题，优中选优，整理成了初二最值必考十大题型，练完考试轻松拿下最值专题。需要的家长我发您一份。 好，来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题。好，首先呢，题目告诉我们， abc 和 a、 d， e 呢，这两个三角形都是为等腰直角三角形，然后呢， d 点是一个动点，在 d、 c 边上运动，对吧，它是动点。好，来，那我们来分析下这个动点是如何动的， 它以 a、 d 为边去构造一个等腰值 a、 d、 e， 那 相当于我们把这个动点绕着这个定点 a 点呢，逆时针旋转九十度，哎，把 a、 d 旋转到 a、 e， 从而呢得到我们第二个动点 e 点，对吧？它也是动点好题目呢，最后求的是 a c 的 中点 o 点，那么 o 点就应该是一个 定点啊，求这个定点到这个动点 o e 的 最小值应该等于多少？哎，这类题呢，就是我们初二阶段考的最多的叫做几何最值问题，我们只要看到求定点到动点的 最小值，哎，我们的思想呢，就应该立马想到去找我们这个动点的轨迹啊。轨迹呢，我们初中阶段只会考两种，一个是轨迹为圆啊，一个是轨迹为 直线，所以同学们接下来我们的关键就要去分析这个 e 点，这个动点的轨迹到底为直线还是为圆，对吧？那么我们说哈，这个 e 点是因为 d 点绕着 a 点的旋转而得到的，所以呢，我们把这个地点称之为叫做 主动点啊，一点呢，称之为叫做从动点，从动点是因为主动点的运动而运动的，所以他的轨迹一定跟主动点的轨迹是不是有关系？来，我们来分析下第一点哈，第一点他在直线 b c 边上运动，就相当于直线上的每一个点，对吧？我都要绕着 a 点进行旋转来，我们利用整体思想就相当于整条直线整体的绕着定点 a 点去旋转。来，大家思考一下啊， 直线绕着一个点旋转，那么相当于什么呀？我们只改变了这个直线的位置关系，没有改变形状，对吧？比如说我们把这个直线绕着 a 点旋转到了这个直线 啊，没问题吧？好，所以呢，我们的主动点和冲动点的轨迹呢，应该是保持一致的，他的轨迹也应该是直线，所以接下来我们去找找一点的轨迹，应该如何去寻找呢？哎，我们知道一点轨迹为直线，这个我们已经分析出来了，那么说两个点确定一条 直线，那么这个时候呢，我们只知道一个点，对吧？只知道一个 e 点，那我还需要这个 e 点，那么怎么去找呢？来什么？哎，接下来呢，我们去找主动点的特殊点， 哎，找我们的特殊点啊，来特殊点看 e 点，哎， d 点在 b c 边上运动，那么它的特殊点无非就两个，一个是我们的出发点 b 点，一个是我们最终的点 c 点，对吧？这个一头一尾的两个点，对吧？这两个点呢，是我们最特殊的点，那我随便找一个啊，比如说 d 点 最开始和 b 点重合的时候，哎， d 一 在这个地方，那么来，哎，把 d 点绕着 a 点旋转九十度，相当于就把 a d 旋转到了 a c， 那 么这个时候我们的重动点 e 点呢，就正好和 c 点是 重合的，对吧？那这两个重动点都在我们的轨迹直线上，所以呢，我们只需要把这两个点连接，哎，它就是我们的 轨迹直线，没问题吧，是吧？好，我们找到 a e 点呢，正好在这个 l 上运动，那就好求了。接下来我们要求的是这个定点到 e 点的最小，那么 e 点轨迹又为直线，就变成一个定点到一条直线的最小值，那应该是 垂线段最短，对吧？好，所以呢，我们应该是过 o 点这个定点向定直线，哎，给他做一个垂线啊，垂足点就是我们的 e 点的最小值，那么所以我们的 o e 最小的是就等于 o 一 二啊，求这个边就可以了，那这个边怎么求呢？哎，接下来就是解三角形的，很明显这个边在这个三角形当中，正好他又有个九十度，哎，我只需要再去找一个特殊角就可以求了啊，那么大家可以猜测一下大的，先猜测一下这个特殊角 应该是多少度，我们先猜测一下，很明显应该是什么四十五度，对吧？好，怎么去挣的呢？非常好挣哈，来，用我们的手拉手全等，这里面有没有手拉手呢？大家去找找。肯定有手拉手哈，只要我们的瓜豆里面，哎，都有手拉手哈，来，首先这里有一个 等腰值，对吧？好，这里呢，也有一个等腰值，两个等腰值绕着 a 点去旋转，你看没有哎，所以呢，两个等腰值一定会产生什么？一组全等，那么这个三角形跟这个三角形就一定是全等。好，来，我们写下三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e， 那 这个时候这个角告诉我们等腰值四十五度，所以呢，它也是为 四十五又出来了吗？所以这个三角形正好是一个小的等腰值，对吧？哎，然后呢， a c 又知道等于二，那么这个是以半，这就为一，因为我们的 o c 等于些等于一，所以我们的 o e 二，哎，就等于一，除以根号二等于二分之 更好。二，哎，一比一比更好。二吧，哎，我们最小值又出来了，好，这是我们的第一个方法好，哎，叫做用我们的刮豆去做，哎，种瓜得瓜，种豆得豆，哎，意思就说主动点和从动点的轨迹是一样的啊，保持一致，这是第一个方法，我们用刮豆。好，第二个方法来更简单一些，用我们的叫做 逆刮豆，哎，什么叫做逆刮豆呢？来，我们来分析一下，好，哎，我们的正刮豆就是去找轨迹，但是很多同学呢， 哎，他找不到轨迹，这是个难点，那么我们就逆刮斗，逆刮斗就不用找轨迹，怎么去找呢？那么来，我要去求 o e 的 最好值啊，目前在这个位置不好求，因为我要去找 e 点的轨迹，对吧？那如果找不到轨迹怎么办呢？来，我们用逆刮斗，我们把这个边进行一个 转移。什么啊？ o e 转移，怎么转移呢？哎，用我们的全等去进行一个转移， 哎，全等可以转移我们的对应边和对应角，对吧？来，那这首 o e 很 明显它在我们的 a o e 当中，对吧？那我要去转移 o e， 我 可以把这个三角形进行一个旋转，怎么旋转呢？你看，这个时候正好我们 这有一个什么，这有一个 a e 和 a d 是 相等的，所以旋转以后这两个边可以重合，所以呢，我就把这个把 a o e 这个三角形 来绕着 a 点顺时针转，多少度？转我们的九十度啊，转九十度，对吧？好，那么这时候我的 a e 就 转到我们的 a d 啊，转到 a d， 好， 接下来。哎，那么我的 a o 变呢？也转 九十度，哎，转到这来，转到这来，好，这是我们的中点，相当于是我们的细点，对吧？好，在连接 p d 啊，连接 p， 你 看，没有，这个三角形就整体旋转过来了，哈，来，我们写一下啊，哎， p 点是我们 a b 的 中点啊，这首三角形 a o e 全等于三角形 a p d， 对 吧？那对应边 o e 就 等于 p d， 哎，求它的最小， 那就是求它的最小，对吧？好，来，那么这个时候你看，因为 e 点是一个动点，那么绕着定点旋转， d 点呢，也是一个动点。好， o 点呢，是一个 定点，那么绕着 a 点旋转，所以呢， p 点呢，也是一个定点，它是 a b 的 中点，对吧？好，你看，变成还是一个定点到一个动点的最小值，但是呢，这个时候动点的轨迹我们是已经知道的，正好在 b c 边上动，你看到没有？哎，就变成一个定点， p 到 b c 的 最小值，所以呢，我直接过 p 点做一个垂线，啊，这是 d 一，好嘞，所以呢，哎， p d 的 最小值就等于 p d 一， 非常好算。哎，这时候这个角四十五度，哎，我们都不用倒角了，它正好是一个等腰值。好，斜边为一，因为 b p 等于一，所以我们的它又出来了，所以我们的 p d 一 就等于几，就等于一，除以根号二 二分之根号，答案是一样的，对吧？哎，一个是我们的正瓜豆，我们要去找一点轨迹，一个是逆瓜豆，他们两个是方向是反着来的，一个是什么逆时针转，一个是顺时针往回转，对吧？好，这两个方法你都听懂了吗？来关注徐老师，数学满分，不迷路！

初二数学的成败核心就是三个图形。这是李学长翻了全国各地的初二期末考试的试卷，翻遍了所有的压轴题，大概几百套卷子，核心给大家总结出来的三个图形，因为这仨图形全国必考，而且难度极大，绝大多数同学的卡点，最后被拉分的地方都在这三个图形。 如果你把这个视频听懂了，听透了，然后把里面的问题都解决掉，你家孩子一定是一个几何辅助线的高手，也是一个几何压轴线的高手。接下来我揭晓一下谜底啊。那三个图形分别是等腰直角三角形、等边三角形和正方形。那为什么是这三图形呢？第一，这三个图形都是极特殊的图形， 意味着什么呢？他们的性质最多，他们的辅助线的可能最多，他们的难度复杂度是最高的，所以跑到的概率最大，难度最大，得分率最低。 接下来我就给你们讲一讲，这三个特殊图形到底该怎么抓。核心三步走，家长们一定要把这个视频带着孩子多看几遍。先说第一步的事，因为这些图形都是特殊图形，所以他们会有一些极其特殊的性质，这些性质你要让你家孩子极其通透才行。比如说等别三角形， 假设它的边长是 a， 你 家孩子能不能直接脱口而出？等边三角形的高是多少？面积是多少？这个东西应该就是熟练到能背下来，自己能证明才可以。比如说等腰这样，三角形也好，等边三角形，正方形也好，它里面就会有一些隐含条件，你家孩子至少要应该先想到 你，比如说正方形，它就隐含了对角线的焦点，它就是个终点，而且平分对角，而且互相垂直，这些东西就是极特殊的性质， 你家孩子应该非常的通透，非常的熟练，在一起如果你用都用不手，你考试的时候你都不是熟练的问题，你就想不起来用，一定会出问题啊。接下来我们说这三个图形，大家要掌握到第二点，这些特殊图形意味着他会有很多的几何模型， 比如说等腰直角、三角形和正方形，等腰直角就是正方形的一半，所以他的模型很多东西都是够用的，比如说半角模型、三垂直模型， 那你家孩子这些模型他知不知道他会不会处理？他熟练不熟练，这个就决定了你家孩子做压轴题的效果，会做的熟练的孩子，这个题直接就搞定，不会做的孩子，这一个环节就卡他半个小时。所有这些图形都涉及到几何模型，这些几何模型要会要熟练，要在大题里面能够快速的拿结果。 第三个点啊，开篇就提到了，我说我翻遍了全国的几百套卷子，我发现压轴题一定考这个东西，我们在给孩子们讲大专题的时候也在强调你这部分如果考压轴题，他能考啥呀？ 你比如说等腰直角，手拉手一定考，但是手拉手他只是一个中间的，再往下做，你要求边关系，求角关系的时候，孩子就不会了，百分之九十五以上的孩子正完全等没问题， 倒角就不会倒了。这块家长和孩子要不要来听一听，你那个思维跟别人到底差在哪？所以压轴棋的训练，你是不是要把它提升到日手上？你是不是要重点去强调它？你 接下来来旋转的辅助线思想，这仨图形全部都要用到在这里面，倒互与倒互补，再加对角相等啊等等，这样的一些特殊的辅助线倒角的方法一定是重中之重。我们前两天讲期末中职班 涉及到的一个题，又有旋转，又有轴对称，又有二倍角，那直接就把所有孩子都打蒙了。但是呢，我们给孩子梳理了一遍，你会发现这个题的指向性非常的明显，就只有华山一条道，那你说差别在哪？你是不是就是不会分析这个事？如果你是，我现在说这个问题没有别的路可选， 你就是要去攻克他，要不然这道题十二分，你顶多得两分，你告诉我十分的差距你怎么解决？你就是解决不了。整个初二就这仨图形，你这仨图形吃透了你初二就是高手啊，你几何不也就是高手啊？ 一个视频给你们讲透了初二最核心的几何的这个难点，我希望你们家长反复多看几遍这个视频听懂了，按照我说的做了 几何就不会有太大的问题。当然这些东西呢，我们只是讲了方向，具体的方法，具体落实到孩子做题上，孩子还是得干活，不干活不行，活不会干。大家可以在评论区留言，大专题我们教了十四年，年年平均分一百四十分以上，年年带出中考状元，其实方法就在那，希望对大家有帮助。

好了，我们看这些啊，在平行四边形 abc 之中， ab 是 十二， ab 是 十二，是不是 c、 d 也是十二角？ abc 是 六十度，这个角是不是也是六十度？那么角 d 是 不是一百二十度？ b e 平分，哎，看到平分先圈出来哈， b e 平分，那这两个差角相等吧，也就说三十度吧， 看到平分我们想什么呀？做题中看到平分线的点到角两边的距离相等，也就是垂线的相等。第二个什么， 哎，角平分加平行出等腰，对不对？哎，这个别忘记，你看平行四边形，对边平行，这叉角就等于这个叉角吧，这三十度，三十度，是不是这个 ab 就 等 ab 就 等于 ae 吧， 是吧，它是十二，是不是它也是十二啊？因为又告诉我们 ae 等于二倍的 e d， 那 么 e、 d 是 几啊？它的一半吧，六啊，所以说 a、 d 是 十八吧， bc 也是十八， 那么求 c e 这边六。这边是很多同学说啊，老师，我知道这是直角三角形，十二的平方减六平方直接出来，是这样做吗？他告诉你是这样吧，没告诉你直角，没告诉直角，我们就要找直角吧，哎，你过一点哈，往这做个垂直，做完垂直以后， 哎，比如说点一个 f 吧，这是六十度啊，这是九十度，这是多少？哎，这三十度啊，什么模型？哎，是不是三六九模型啊，对吧？ 三六九模型。三边比，是一比，跟三比上二，这是一，这是跟三，这是二，这边是六，那三柱子这边是斜着一半，这就是三了吧，哎， d f d f 是 三， d f 是 三， f c 是 几？ f c 是 九啊，九加三等于十二，是不是？那这个变了，哎，一比跟三比二的话，它是三，那就是三倍的 k 三吧， 是不是三倍 k 三？好，这边是九三倍 k 三。 e c 出来没有？出来啊，是不是找两个直角三角形，通过两次的购物方式就求出来了 啊？这个是直角，这边也是直角，所以说在 r t 三角形哪里 e f c 里边 e f c 中， 呃， e c 的 平方是不是等于九的平方加上个三倍根三和弦的平方九九八十一。三倍根三是根二十七，也就是二十七加起来。对啊，一百零八，所以说根号 e、 c 的 话就等于根号一百零八。同学说，老师，我不知道这怎么求啊？ 你就找一的平方二十六乘以根号一百零八，所以说就六倍的根三嘛。 如图，将直角三角形 abc， abc 干嘛绕着点 c 顺时针啊？顺时针往这走，旋转九十度啊，旋转九十度，这直旋转角得到三角形 a 撇 b 撇 c， 这两三角形嘛，全等，全等。什么边等角等啊？这个边 bc 是 不是等于 b 撇 c， a， c 是 不是等于 a 撇 c 啊？然后连接 a， a 角一是二十度，角一二十度，让你求角 b 求角 b 的 时候，角 b 是 不是和这个角是相等？哎，对应角吧，旋转过来以后，它是全等这个角，角 b 是 不是加这个角？ 哎，中间是求这角，这角怎么求？ ab 和 a 撇 c 干嘛？ ac 和 a 撇 c 是 相等的，这是一个直角，是不是等于直角三角形？这是多少？四十五度嘛？四十五加二十度，是不是六十五度？他六十五，是不是他也六十五？那这个题就出来了啊，这题会没有。

以下五大专题，八上数学期末考一定会考到视频结尾，我给大家整理了这份八上数学期末考的压轴题练习和答案，分了九个版本， 让不同地区的同学练习更有针对性。第一是全等三角形，包含了全等三角形的常考几何形、几何辅助线动点问题等。 第二是轴对称拓展，包含了等腰三角形辅助线的构造、将军印马模型的拓展模型等。 第三是整式的乘除单元，包含了参数问题，整式的拓展公式、运用、乘法公式、巧算、折二、推二的四大类型等。第四是英式分解单元，包含了十字相乘法、配方法、 英式定律等。第五是分式单元，包含了方程的参数问题，方程的实际应用等。那以上五大专题的内容，我都整理到这份八上数学期末压轴练习里，并有详细的配套答案，那有需要的同学可以打印出来练习巩固。 初中的时间比较紧张，练习不用全部都做，可以浏览一遍，把还不过关内容标记出来，然后针对性的去写，去练习巩固就可以了。如果说有不会的内容，可以记住我的八上视频课来学习，题型框架跟核心写题思路系统不漏，冲刺期末考！

这是初二几何的一道小压轴题，这道题难度并不难，不需要什么几何大招，运用常规的一些思路方法就可以实现逐步拆解。我们先来看一看它的一个基本条件， 三角形 a、 b、 c 是 一个等边三角形，满足角 a、 c、 d 等于角 b、 a、 e 这两个小角它是相等的，并且 d、 e 的 长等于二倍的 a、 d， 让我们来求角 d、 c、 e， 它的一个角度是多少？ 那么这里为了方便来进行一个倒角，我们这里标一个角一等于这个角二，这个角一等于角二，外面又是一个等边三角形，那么这样的一个结构就是非常常见的。那么这个地方可以有哪些方法来进行一个使用呢？也就是这里的角一等于这个角二，它可以用来干嘛？ 可以用来利用等边三角形的边相等，以及角一等于角二，可用来进行一个构造全等，你可以直接延长 c、 d 构造全等是可行的， 也可以直接来导角。为了考虑到后面的还有个条件的一个衔接， d 一 的长等于二倍的 a、 d， 我 们这里就选择来导角，这个导角可以导出什么呢？它可以导出角 a、 d、 c， 它等于一百二十度。那怎么来进一个倒角来，这里标一个角，三角一等于角二，角二加角三是六十度，所以就可以推出角一，加角三也是六十度。那么根据三角形的结合，角 a、 d、 c 就是 一个一百二十度， 这个一百二十度又可以进一步的来推出角啊， c、 d、 e 等于六十度。 当然这个地方你直接运用内外角关系也可以，也是可直接可以的，对不对？那么这个六十度可以衔接后边的这个条件就是 d 一 等于二倍的 a d， 因为六十度三十度所对的这角边也有一个一比二，所以这里我们就直接过点一 做 c、 d 的 一个垂线，构造三、六、九的直角三角形，这里做一个垂直标，一个 h 点，所以根据三十度所对的直角边等于斜边的一半，这里就可以推出 啊，那个二倍的 d、 h， 它其实就等于 d e， d e 又等于二倍的这个 a、 d 对 不对？所以这里就可以推出这个 d a， 它是等于这里的 d、 h 的， 对不对？而且它又是又是一个共点共低点说我们直接连接 a、 h 三角形 a， d、 h， 它就是一个一百二十度的 等腰三角形，它就有两个三十度，这里是一个三十，对不对？这里这个地方也是一个三十度，所以就可以直接推出三角形 a、 h、 e， 它应该是一个一百二十度的等腰三角形。 好，它就可以直接来推出这里的 h a， 它也等于 h、 e， 这两个也是一个相等的一个一百二十度等腰三角形，对不对？因为有一个九十度三十度加起来是一百二，这个就比较的明显了，对不对？那么接下的路怎么来进行找呢？怎么样的可以联系到我们要求的是这个 d、 c、 e 这个角度它的一个度数的问题呢？ 我们来看一看刚刚所获得的这个条件， h a， 它是等于 h e 的， 并且它的夹角 h 这个地方它是一个一百二十度， 这个一百二十度，它的对角角 b 这个地方它是一个六十度，所以这个一百二十度，六十度，这个地方就是一个对角互补， 在四边形 a、 b、 e、 h 当中，它就是一个对角互补模型，对角互补，并且这里还有一个边相等 h、 a 等于 h、 e， 这里这里就是一个标准的对角互补模型，我们可以利用旋转来构造一个 全等三角形，对不对？所以这里我们怎么旋转，选旋转哪一个三角形呢？我们这里可以连接这个 b、 h 旋转三角形 h、 a、 b 就 行了，根据对角互补，这里的角 h、 a、 b 就 这个角， 这个角它是等于角 h、 e、 c 的， 这两个角它是相等的，对不对？所以你旋转过来之后，也就是把三角形 h、 a、 b 绕着 h 点逆时针旋转一百二十度，那么这个 ab 就 贡献到这个 e、 c 这个 延长线上去了，对不对？好？直接把它旋转过去，对不对？这里标一个 q 点，对不对？ 好？直接来构造一个旋转全等，也就是构造三角形 h、 a、 b 啊，全等于三角形 h、 e、 q， 对 不对？好？这两个三角形它旋转是明显的是对角互模型，它旋过，它就是一个全等，对不对？所以这个旋转全等可以得到什么样的有利的信息呢？它可以得到这里的 h 啊，也就是得到三角形 b、 h、 q， 它应该是一个一百二十度的啊，等腰， 它可以得到这样的信息，也就是可以推出这里的 h、 b。 这个地方是两个啊，三十度， 对不对？这两个三十度就可以推出 h、 b， 应该是等边三角形的一个 角平分线，根据等边三角形与角平面，它是有对有对称性的。当然这个地方你去政权的也是可以的，我们直接利用这个对称性可以来推出这里的啊。什么呢？就是 h a 等于 h c， 它就可以来推出这里的 h a 是 等于 h c 的， 当然 h a 它又等于 这个 h e， 所以 这三条边都相等， h c 等于 h e， 这两个边相等，由于它又是 h， 这里是垂直的，它就可以推出三角形 c h e， 它是一个等腰 r t 三角形，对不对？ r t 三角形。所以啊，就可以推出角 d c e， 它应该是一个四十五度啊，这个地方就是四十五度。 所以这道题虽然看起来有点复杂，主要是他的那个问题过程要比较多，但是每一步都是非常常规的。 前面的这个角相等，角一等于角，二来推出一个倒角六十度，再来推出一个等腰，对不对？等腰再得到一个 h a e， 也是一个等腰，对不对？这个等腰里面就又有一个对角互补的模型，有一个对角互补，加上一个 h a 等于 h e， 我 们就可以来构造一个旋转全等。 这每一步其实都是非常常规的，并不是特别复杂，只是量过程有点多而已，纵轴性有点强。好的，这个题的方法就是这样，大家可以参考参考。

初二数学期末三角形经典必考！今天我们来看一下这道题目啊。如图，在三角形 a、 b、 c 中延长 c a 至 f， 使得 a、 f 等于 a、 c 这两节线段先长度相等啊，一比一，延长 a、 b 之 d， 使得 b、 d 等于二倍的 ab， 这两节线段呢，是一比二的比例啊，这是一分，这是两分。延长 bc 之 e， 使得 c、 e 等于三 c、 b， 那 bc 这个是一倍长度啊， c、 e 是 三倍长度， 一比三连接 e、 f、 f、 d， d， e 连起来整个大三角形面积三十六，求三角形 a、 b、 c 的 面积。那这个题的特征很明显啊，我们求三角形 a、 b、 c 肯定不是什么底乘高除以二去算的， 什么条件都没有，是不是啊，全是一些比例关系。所以呢，这一步大家肯定很能肯定能想到，我们肯定是想办法去找 s 三角形 d， e、 f 最大的这个 a、 c、 b， 他 们俩之间有没有什么倍数关系的话，我们就能求三角形 abc 了，对不对？ 哎，然后呢，我们先说一下这种题的最基本的一个考点是什么啊？然后呢，这道题到底是怎么把这个考点考出来的？任何一个三角形 abc， 我 们现在呢，在他这个 bc 边上随便找个点 d 连接 ad， 可以 把三角形分成两块，一块是 abd， 一 块是 acd， 那 么这两个三角形的面积比一定等于 bd 和 cd 这两节。呃，线段的长度比，我们写一下啊， sabd， 三角形 acd 一定等于 b， d 比 c、 d 这个题就考这么一个知识点，那为什么这个成立呢？也很好，正过点 a 做垂线， 哎，你会发现呢，这两个三角形的高是同一条线段，高同一个 h， 那 根据底升高除以二的话，那不就是面积比，就是这个底边的比了，是不是？哎？然后我们看看这道题是怎么灵活应用这个知识点的啊？那在这边我们看 a 作为 c f 的 中点， 我们以 e 为顶点，来看一下这个 e f、 c 这个三角形，我们连接 e a， 看能得到哪两个三角形的比例。连接 e a。 好， 那根据我们刚才的这个知识点，是不是这个 e a f 和 e a c 就 应该是 a f 比 a c 一 比一了，这两个三角形的面积就是一比一了啊。那我们再看一下这个方向，你看以 a 为顶点， bce 为底边，这个方向上是不是你看 abc 的 面积和 ace 的 面积比等于这两条边的比例了，等于一比三了啊？就是要灵活应用啊。那这边呢，我们还可以把这个 c d 连一下这种题目呢，我们把整个大三角形，把它大写八块啊，把它多分一点， 分的越细越好，分完之后呢，从小的开始，往大的找关联好，我们现在呢， a c b 既然要求它要最小，我假定它的面积是个 x， 然后就应用这个结论来啊，从各个方向去找。刚刚我们已经说过了，你看 abc 和这个 a c e， 从这个方向上去看， a 为顶点，他们俩为底边，那是不是应该是面积比是一比三，所以 ace 就是 个三 x， 对 吧？然后呢， e f a 和 e a c 这两个又应该是根据这两条边的比例来的，它也应该是个三 x， 是不是？好，那我们看一下 cbd 怎么联系上 cbd 和 cab 是 不是 c 为顶点， ab 和 bd 作为底边，应该是这两个面积比等于一比二，所以这块是个二 x， 对 吧？那这边我们看还有哪些空白的地方啊？这个 afd 是 个空白的，我们看 afd 和谁去联系。哎，这两边是一比一，所以 afd 和这个 acd， 你看 dca 和 dafd 为顶点，这是底边。这两个三角形的面积应该是一比一的，二 x 加三 x， 所以 这块也是三 x。 那 还有一块是 ecd， 对 吧？啊？ ecd 去和谁找关系？去和 cbd 找关系。 d 为顶点，这是底边，所以这两块的比应该是一比三，那这个是六 x。 好，每一块都表示出来，全部加一起等于三十六，就能解出 x 来了，我们看总共多少啊？这是三个三 x， 九 x， 十 x， 嗯，总共十八 x 等于三十六 x 等于二。三角形面积就出来了啊，最后结果应该是二。

发上期末必考的压轴题，一定有全等三角形综合运用问题。这道几何问题啊，是最近很多初二的孩子在后台咨询比较多的一个热点问题，据说这个问题呢，很多孩子无从下手，但实际上 真正在初二到初三这个阶段，你遇到了几何压轴和难题，它往往是好几个知识点的汇总，关键的信息都藏在题目里边， 如何能够看题目读到一个条件，想到一个结论呢？那么今天呢，小李老师就通过这个小题给大家做一个小分析，跟好了老师的思路。你看 他说如图啊，在你的题目中，他发现 a、 b 和你的 a、 c 之间的关系是个垂直的，而且 a、 b 和 a、 c 之间的关系是相等，所以这是一个等腰直角三角形。 同时我在这里边我又发现你的 a、 b、 e 等于 f c b， 所以 我用一个阿尔法和阿尔法来做个标记， 同时我还知道 b、 e 等于的是 c f， 那 么蓝色的边等于蓝色的边，黄色的边等于黄色的边，红色的角等于红色的角。那么当你的 a、 e 加 a、 f 最小的时候，那么求 e、 a、 f 的 度数等于多少？ 你在这个题目你整个读完之后，百分之九十以上的孩子读完了整个题目之后，他其实脑袋里边是没有息息的， 稀里糊涂把题目读完了，感觉条件都知道，但实际上这些条件如何去用，你的脑袋里边是空的。 所以你遇到这类问题了怎么办呢？当你把核心的信息标在你的图上之后，迅速的转动你的大脑，你要去想每个条件引出出来的技巧模型是什么？比如说 一目了然，你在这里边会发现这个边和这个边一样，这个边和这个边一样，加的角又是一样的，如果它位于两个三角形里边的话， s， a， s 就 得全的。你在这里边你会发现这个角不在这儿， 那么你想直接利用 s a， s 是 不可能的，那就隐身出来一个东西，叫做一线一角构全的，你没有没有关系，我可以在这构造一个和它相等，那么我就可以在 c、 b 上截取一段 c， d 和你的 a， c 和你的 ab 相等，也就是三条黄色线段是相等的，那么再加上蓝色的线段相等和角等，那么你在这里边就可以得到 a、 b， e 这个三角形和你的这个 d， c， f 这个三角形 s， a， s 全等。 全等了之后干嘛？全等了之后就会有对应边等。也就是说呀，如果这道难题你能把第一步一线一角结全等想出来， 你们学校百分之九十以上的孩子将被你打败了。因为这一步思路的想出，就预示着这一道题你有百分之八十的概率会把它解出来。那么你在这一部分的问题解完了之后，你会发现，按照全等我们可以得到对应的比尔等 a 到 e 的 距离和 d 到 f 的 距离是一模一样的。那么我在原题中我要求的是 a f 再加一个 a， e 就 转化成了 a， f， 再加一个 f， d， 那这个就是你熟悉的了。我要求两条线段和的最小值，那么你的第一步一定一定是干嘛？我得让 a、 f、 d 这三个点共线， 只有你共线的时候，它的值才是最小的，那么你在共线的时候，你又发现 a 到 c 的 距离等于 d 到 c， 而且这个角还得的是一个四十五度，那不就相当于 最小的时候，它构成了一个等腰三角形，而且顶角是四十五度。那么你分析到了这了之后呢？那么第二个问题就出来了，他为什么 当你取得最小值的时候，你的 e、 a、 f 这个角等于的是多少度？所以你在这里边我要想办法求这个小角等于多少度， 那么剩下的问题纯粹是一个倒角，怎么倒呢？我们在这个题目中刚才说了，你有一个等腰三角形是 a、 b 等于 a、 c 截的又和 c、 d 相等， 如果你的顶角等于的是四十五度的话，那么你的底角就得六十七点五度，那么由三角形的全等，你会发现这个底角也等于的是六十七点五度， 那么如果这个底角等于六十七点五度的话，你还能得到什么呢？因为我们在原题中知道， 等腰三角形每个底角都得六十七点五度，原题中又是一个直角三角形，所以这个小角得二十二点五度， 那么你从整个的六十七点五度里边把这个二十二点五度给它减掉的话，那么这个小角就得的是四十五度。这个题目就 ok 了，你看明白了吗？关注我，最会教初中数学的女老师。

初二下学期有四大难点，其中一个就是这个有关平移的辅助线，那么全校百分之九十五的人都错，但是这类题不用担心，其实就一招就可以搞定，叫做等线段，有距离，辅助线一般用平移， 还有一句话叫等线段共端点，辅助线一般用旋转，那么这类题全是用平移的，那你只需掌握这个方法，这一类题全秒，别人做十到二十分钟，没思路，咱们直接三分钟直接拿下。好，我们看一下这道题，他说已知 a、 b、 c、 d 是 相等的，等于四 啊。 ab 和 cd 这相等的线段有了，等于四角， a 角 c 等于十五度，它告诉我们这小角十五度，这个小角十五度，然后角 d 等于一百零五度。 现在让我们求的是 ad 的 长是多少？求这 ad 怎么去求 ad 的 长呢？这 x。 来来来，从已知去入手去分析这道题，能找到做题的突破口吗？ 只有这比较特殊， ab 等于 cd， 这不叫等相等的线段吗？来相等的线段在这里边， ab 和 cd 有 有公共的端点吗？ 没有，没有公共的端点，我们都叫做有距离。来给大家总结一下模型啊。看，这，首先两条相等的线段有可能是这样的， 这叫等线段共端点，比如 ab 等于 a、 c 等线段共端点，还附带着一些其他的 图形，那么我们一般用旋转等线段共端点，辅助线一般用旋转就有旋转性，全等。那如果出现了这样的呢？看着 ab 和 cd 这两个是相等的， 相等的线段有了，那么啊，他们两个没有公共的端点，这叫有距离。还有一种是这种交叉，有距离也是没有公共端点，也叫交叉，有距离都用什么呢？用平移，把两个相等的线段平移到具有公共的端点。 有什么用呢？来，我们试一下。例如我把这个 c、 d 平移到 a、 b 的 位置，让 c 点和 a 点重合， 你看你，当你平移过来之后能怎么着？把 c、 d 平移到 a、 b 的 位置，平移过来之后能怎么着来？平移过来之后， 哎，发现是不能得到平行四边形啊。一组对边平行且相等。平行四边形还有一个更好的，这是一个什么三角形啊？这是一个等腰三角形， 他和他相等，把他一平移过来，他和他相等，那这是不是就是等腰三角形？ 所以利用他们的性质来做题，即使是交叉的这种啊，也是用平移。我就以举这个题为例了，你看，正好告诉 ab 和 cd 相等，没有公共的端点，我就平移到具有公共的端点。 那这个我平移谁呢？来，我可以把 dc 往上平移，也可以把 ab 进行平移。这道题有多种方法，我们先平移 dc， 把 dc 往上平移。平移到这来，平移到这来。来，把 ad 平移到这来。 abcde 平行到这。好了，把 dc 平移到 a、 e 的 位置以后， a， d， c、 e 是 不是就平行四边形？它的对边数平行且相等的， 所以这是 x， 这是不是就是 x， 能理解吗？我是不是就求 x 就 可以了？好，把，这里面的 dc 注意啊，等于 a、 e， 那 说明是不等于四啊。哎，它也是得四的，这得四，然后 ab， 这是得四，能不能理解？ 好，那下面注意啊，我想求的是 x， 看我们能得到什么。这要是一百零五度，请问这是多少度？这要是一百零五度，同旁内角互补，这是一百零五度，这应该等于多少度啊？是不是七十五度 相加一百八，还有这个是不是一百零五度？没问题吧？来，还有谁啊？这个是不是也是七十五度？ 把，能求出来都求出来，你问题解决了，你看，你，这是七十五，这十五加到一起，这是不是一个九十度啊？这是个九十度，还有这七十五减十五，这是不是个六十度啊？ 是不？六十度？好，六十度，这是四，然后呢？这也是四，注意啊，六十度， 注意啊，这是四，这也是四，这是一个等腰，这是一个等腰三角形，而且又六十度，他就是等边了，所以我想到连上 e b 把它一连，这是一个等边三角形，边长都为四的等边三角形，没问题吧？ 边长为四的等边三角形，那这肯定也是六十度啊，那这个角是不是肯定也是六十度啊？一百零五度减六十来，这个角是多少？四十五， 一百零五度，整个一百零五减去一个上面的六十，那这是不是就四十五？好了，这又是直角，这是四十五，这又是四十五，这是四十五。好，等腰直角三角形，咱就有了等腰直角三角形，所以这是 x， 这是 x， 这是四， 这是 x， 这是 x， 这是四。等腰直角三角形，对不对？好了， x 是 不是就拿下了一一根号二的关系？斜边是直角边的根号，被用四除以根号二就是答案。二倍根号，二 倍根号二，这就拿下，他是二倍根号，他就二倍根号，最后答案也就出来了。听懂了吗？ 非常难的一道题，但是你要知道这个方法和技巧，那迅速找到做题的突破口， 等线段有距离，我用平移，平移到具有公共的端点，既能得到等腰三角形，得到平行四边形，而且这个等腰更特殊，是等边，间接的去解决问题啊。还有只要求线段长度问题， 勾股定律或相似，把它转移过来，你看用勾股定律来解决，这都是方法技巧，在咱们的课程里是都讲过的。好了，所有听懂的在评论区回复一个懂字，然后点赞收藏分享一下。