初一最后一道压轴题解锁密码的怎么做

看看这个密码，你能破解吗？这是去年期末的填空压轴题，考频特别高的，找规律，咱们一起来破解。先观察一下，这前面呢，一二三四五六看起来挺好哎，后边不是七八九了，变成了九二五和四六八。那这样看，密码会和这圈里的数字有关系。 在这个找规律开始之前啊，他就像你小时候玩的捉迷藏，你得去试呀。啊，很少能一眼看出来，那咱试的手段就是咱学过的加减乘除和这乘方呗。那看看这里的一二三和这边六个数有啥关系？那这个数比较长，显然我们要拆开来看。那我们先从加法试一试， 这里一二三吗？两个相加，二加一正好是三，那你凑到了一个，去后边验证一下，这边四加五正好是九，哎，九加二正好十一， 说明对了，那这前两个数就试出来了。九加二吗？这里是四加六，也就是十。那继续看中间的，那这样看，好像是两个，两个一组哎，我们接着看中间的，也是零三，那还是二加一的话，这边二十四了， 显然不是加法了，因为他和四五六的关系变化比较大。那变得大呢？我们试试乘法，这边一乘二，显然不是，一乘三可以，那后边呢？哎，四乘六也行，二十四吗？再验证一下，五九四十五，所以后边两位数就出来了。四八 三十二，那最后两个不容易试。在实际生活中，你可以发动群众，找一百个同学，从一试到九十九，那密码就出来了，但是现在呢，只能靠咱自己了。这里零八呢，他和这个二三的关系变化比较大，不是乘法就是乘方来试一试， 比如说二的三次方，哎，正好是八，但是这边呢？那五的六次方傻眼了，不是五十，包括后边二的五次方也不是二十八，那乘方不好凑，再试试乘法呗。那你想这个八呢？要么分成一乘八或者二乘四呗。 那如果凑这个一乘八，这有一了，这个八怎么用二和三凑出来？刚才试了乘方，这边不行，那用三的平方九吗？减一，这边也不行，六的五次方超了， 那这边一乘八行不通，试试二乘四呗。这二乘四，那二我们有一个，这四呢？三和一，哎，一看是加法吗？三加一，那带着这个规律试一下，用左下角的乘这边两个的和吗？那你看用五哎去乘四加六，那就十呗，哎，正好五十， 那再试试最后一个，用这个二去乘五加九是十四，正好二十八，这就出来了，所以最后两个就是六乘 四加八，那六乘十二就是七十二，所以最终密码一零三二七二被我们搞定。那像这种找数字关系的规律，可以大胆的去试。那就到这，每天进步一点点，咱们下期见。

压轴题密码操作步骤首先，我们打开这套压轴题密码王者之路视频课的塑封，里面应有一本主书和一本答案册。 翻开这本主书，我们就可以看到本书每道题旁边都有一个二维码，扫码就可以观看临时录制的本题精讲。本书前十页的视频都设为免费试看，使用微信扫码就能直接扫码观看，无需下载和注册。 想观看后续的课程内容需要按风二的步骤进行操作。第一，刮开封面的激活码，注意激活码仅可使用一次，用后作废。第二，扫描风二或书中的任意二维码。第三，点击屏幕下方的立即订阅。第四，将激活码输入 到优惠券码一栏后点击使用。第五，点击并阅读用户须知，填写学员信息，仅供课程学习使用后点击保存。 最后确认合计金额为零元后，点击提交订单即可完成激活。观看本书全部视频，大家快去激活使用吧！

好，我们继续来看期末压轴第五十五题，这道题目是个找规律的题，找规律的题目啊，说实话，那得看你自己发挥了，那有时候你看不到就是看不到，对吧？啊，那只能尽量的去多观察了，我们看一下这里面什么规律啊？ 这个一二三零三零三零八四五零。 好，这里的规律啊，应该是这个数加这个数等于前两位，那我们看是不是四加五等于九，二加九等于十一，对吧？好，那也说明这个地方的前两位应该是四加六，应该是一个幺零， 再看看零三零三是一乘三，对吧？如果你第一个看不出来，你看第二个嘛， 二十四是四乘六，这个四十五是五乘九，对吧？好，那说明这个地方的两位数应该是四乘八，应该是三十二。好，最后一个没有前面那么好找啊， 我们就可以看一看八，那八有同学想到什么二的三次方，但你可以试一下后面并不对，对不对？ 那你看看什么规律呢？这有一个五十，这有二十八啊，你看到这个二十八，你想想五加九是不等于十四 二乘以十四是不等于二十八啊？你发现这个数啊，等于这两个数相加之后再乘以这个数，这好像就对了吧，所以说最后两位应该是四加八，十二十二乘以六等于七十二，所以这个密码啊，最后应该是幺零三二七二， 这个呢，就要看你的观察力，你的一些树感了，是吧？想参加我们 t u 训练营的家长可以在评论区留言哦。

这是一道天花板级别的期末考试压轴真题，今天薇薇老师带你用建模思想轻松搞定，一起来看！给出一个代数式 m， 让我们去求 m 的 整数部分， 薇薇老师已经把人教版期末卷、北师版期末卷、华师版期末卷、浙教版期末卷、书科版期末卷、乡教版期末卷、互课版期末卷等全国各地名校期末真题优中选优，为大家整理了期末模拟经典必刷试卷。 看完这个视频再拿去给孩子练习，练完考试直接拿满分。需要的家长我发您一份。这里的 m 呢，它是由一堆四指相加构成的，并且这些四指具有相同的结构，那这就需要我们从特殊的形态中抽象出一般规律来， 我们来进一步观察。第一个是指一乘二分之一方加二方，第二个是指二乘三分之二方加三方，直到最后一个是指二零二四乘二零二五分之二零二四方加二零二五方。那么第 n 个是指我们就可以用含 n 的 代数式把它表示为 n 乘以 n 加一分之 n 方，加上 n 加一的和的平方，这样我们就完成了建模。接下来当然是对这个四指进行化简。首先我们来对它进行拆分，把它拆分为 n 乘以 n 加一分之 n 平方， 再加上 n 乘以 n 加一分之 n 加一的和的平方。化简后也就变形为了 n 加一分之 n， 再加上 n 分 之 n 加一， 这里的 n 分 之 n 加一呢？我们又可以对它进一步进行拆分，把它拆分为 n 分 之 n， 再加上 n 分 之一，然后加上前面的部分，也就是加上 n 加一分之 n， n 分 之 n 化简为一，也就等于一加 n 分 之一，再加上 n 加一分之 n， 我们来观察这里的 n 加一分之 n， 很 显然它的分子比分母要小，所以它是一个增分式。遇到这样的增分式呢，我们就可以采用分离参数法，什么意思呢？我们来举个例子，比如说，对于三分之二这个增分数，我们可以把它表示为一减三分之一， 那么我们把这里的三给他换成 a， 这里的二呢？给他换成 a 减一，这样我们就可以把它拆分为 a 分 之 a 减去 a 分 之一，也就等于一减 a 分 之一。所以我们来总结一下，对于一个 增分数，我们可以把它表示为一个整数，减去另一个增分数。那对于任意一个增分式，我们就可以把它表示为一个整式，减去另一个增分式。因此对于 n 加一分之 n 这一个增分式，我们也可以把它表示为这样的结构。所以 n 加一分之 n， 我 们让分母 n 加一不变分子呢， 把它写作 n 加一，和分母相同的结构。为了让这个等号的左右两边保持平衡，所以我们再给它减个一，然后把它拆分为 n 加一分之 n 加一，再减去 n 加一分之一，也就等于一减去 n 加一分之一。所以呢，我们就把这一个增分式给它表示成了一个整数，减去另一个增分式，把它等量替换进来， 一和一相加等于二，所以就变成了二加上 n 分 之一，减去 n 加一分之一，这样我们就找到了每一个四字的变化规律。 所以回到我们的 m 当中，那我们的 m 就 可以变行为。首先是第一个四字，我们可以把它表示为二，加上一减二分之一。那第二个四字，我们就可以把它表示为二，加上 二分之一，减三分之一。一直到最后一个四字，我们可以把它表示为二，加上 二零二四分之一，再减去二零二五分之一。然后我们把所有的二给它合并在一起，一共是二零二四个，也就是四零四八。 括号里边的部分呢，我们可以发现，括号里边一正一负中间的全部都抵消了，只剩下首项的一和尾项的负的二零二五分之一。 因此呢，这道题的最后结果也就等于四零四八又二零二五分之二零二四。那么 m 的 整数部分当然就是四零四八。 ok， 同学们，你们学会了吗？关注微微老师，学习如此简单！

哈喽，大家好，今天同学们跟老师一起来研究一个七上的同学最头疼的一道题，也就是竖轴上的动点问题，这在七上阶段呢，是一个压轴题，那如果在七上的时候，你把这道题突破了，那说明你已经战胜了中，那么同学们跟老师一起来看一下这道例题， 那么这类题型呢，它属于竖轴上的形成问题，那其实这个问题也是为咱们将来的函数做铺垫，因为直角坐标系呢，其实就是两个竖轴垂直放置就变成了函数，所以这个问题非常关键。 要学会这一类问题呢，我们首先要知道这个问题有它的三要素，也就是每一个动点的起始位置，还有它的运动方向，以及它的运动距离。那么我们来看一下这道题，那已知 m 和 n 在 数轴上， m 对 应的点是负三，那我们在数轴上标注一下 m 所对应的点， 那点 n 在 m 的 右边，且距离点 m 四个单位长度，那么同学们可以算一下负三，右边四个单位长度就是负三加四，也就是得一，所以说点 n 的 位置就在 一的位置。接下来我们继续读题，那点 p 和 q 是 数轴上的两个动点，所以说对于这道题而言，我们的重中之重其实就是如何表达 p 和 q 运动完之后的数值。那么继续读题， 如果 p 和 q 分 别从 m 和 n 出发，也就是 p 从 m 出发， q 从 n 出发，均沿竖轴向左运动，那么点 p 每秒走两个单位长度，这是点 p 的 速度。 先出发了五秒，所以这个条件非常关键。点 q 每秒走三个单位长度，这是点 q 的 运动速度。 当 p 和 q 两点相距两个单位长度时，问你点 p 和 q 对 应的数各是多少？那么接下来呢？我们开始在数轴上去表示 p 和 q 运动之后的具体数值。那首先刚才老师说了它有三要素，首先 p 和 q 的 起始位置，也就是它们的起点分别是什么呢？ 那从读题的时候，我们读出来， p 是 从点 m 出发，那 m 点代表的是负三这个点。同理，我们在数轴上也标注一下，这是点 p 的 初始位置， 那点 q 它是从点 n 出发，点 n 代表一这个数，所以说它代表一。我们在数字上标注一下，这是点 q 的 起始位置，那么加了。我们再看他们的运动方向，那题中有强调均由竖轴向左运动，那我们知道在运动这一块，只要是一个点向右运动，我们就加，如果向左运动就减，那所以他们的方向都是向左，那么就都是减， 减多少呢？我们来看一下他们的距离，那么行驶距离当然跟小学一样，他就是速度乘以他所行驶的时间，那么对于点 p 来说，他的速度为二， 而他的运动时间，我假设点 p 的 运动时间为 p， 所以 他的行驶距离就是二 p， 那 我们再看一下 q， 他说点 p 先出发，五秒之后点 q 才开始出发。所以说针对于点 p 而言，我们的点 q 其实运动时间是少于点 p 五秒，那所以说点 q 的 运动时间是 p 减 五，那点 q 的 速度其中也强调的是三个单位，所以说时间乘以速度三，这是点 q 的 行驶距离。那刚才咱们说了，三要素表达完毕之后，点 p 运动完之后，具体表达什么呢？表达成负三减， 距离是二 t， 而点 q 呢，是从一开始它是减三倍的 t 减 五，那就是 p 和 q 分 别表成这两个代数式。那我们为了分析呢，我们在竖轴上也分别画一下点 p 和点 q 的 行驶路径，那首先 p 和 q 都是从它的起点，其实位置都向左运动， 而且他们各自的行驶距离咱们已经表达完毕，点 t 行驶了二 t 个距离，而点 q 行驶了三倍的 t 减五个距离， 那所以说点 t 行驶完之后代表负三减二 t 点 q 行驶完之后，代表一减三倍的 t 减 五。那么这道题他问的是当 p 和 q 两点相距两个单位长度时，我们 p 和 q 具体对应的数是什么？这道题其实就是我们小学所学的一个行程问题中的追击问题。那么 p 的 速度相相对而言小，他在前行驶， q 的 速度相对而言大，他从后追 p， 那追击问题他会有追上的时候，而且也有超过他的时候。那所以说对于这 p 和 q 两个点来说，谁在左，谁在右，谁是大数，谁是小数，对于这道题来说，他是无法确定的。所以说这道题如果按小学的思维来说，我们要进行分类讨论。但是在初中我们学了一个新的方法， 也就是数字上的两个数， p 和 q 的 距离如何表达？这个在我们以往的视频当中，已经对绝对值的几何意义这一块做了研究。那所以说 p、 q 两点在数字上所表示的距离应该是 p 和 q 相减绝绝对值。 那么像这类追击问题呢，我们就不用去分类讨论了，我们就不用去担心到底 q 是 否追上了 p， 还是 q 超过了 p， 那谁左谁右，我们就不用再行讨论了。因为只要是在这个数轴上找到了 p 所表示的数，找到了 q 所表示的数，那么他俩做了减法之后，取个绝对值，其实就代表了 p 和 q 两点之间的距离。那所以说我们来进行一个列式，点 t 代表的数是负三减二 t， 而点 q 代表的数是一减三倍的括号， t 减五，那这块用减号连接，由于这有个小括号，所以我用中括号进行连接，那里面就是一减三倍的 t 减五， 那把它俩做完减法之后，取个绝对值，那就变成了它俩之间的距离。那题中强调了 p 和 q 两点的距离是二，所以就让它等于 那这就是初中上形成问题，如何表示两个点之间距离的方法？也就是用两个点所表示的数做减法之后取绝对值，这就代表他俩之间的距离。那么接下来呢，我们只需要对这个绝对值方程进行求解即可，那我们整理一下， 那么整理到这呢？我们都知道绝对值方程，一个人的绝对值等于二，那么这里面的数是有两种情况的，有可能得正二，也有可能得负二，所以我们进行分类讨论。第一种情况， t 减十九可能等于正二，那这个时候 t 就 等于二加十九，也就是二十一。 第二种情况， t 减十九可能等于负二，那这个时候 t 就 等于负二加十九，也就等于十七。那么减完之后，我们发现这两个时间一个相对于小一点，一个相对于大一点，那么其实它也对应了咱们小学的方法， 也就是在追上之前相差两个单位和追上之后相差了两个单位，那这个题就出答案了。那所以说之后我们再做这种关于数轴上的行程问题，我们只要记住每一个点的表示方法，其实就根据它的三要素，它的起点、起始位置、代表的数 以及它们的运动方向，如果向右运动，那么就是减去它的行驶距离， 那么最终表达完之后就是他们行驶之后所表示的数值。那如果想表示某两个点之间的距离，该如何表示呢？其实就是咱们的绝对值的几何意义， 也就是这两个数相减之后确绝对值。但是如果有一些题比较简单，他知道两个点之间谁大谁小，我们只需要用大减小，不需要加绝对值，而我不知道两个点谁大谁小的时候我们才加绝对值。

朋友们好，我是老李，这里是老李的初中数学课堂理数说题，现在我们一起学习初中数学一盘棋第十二个作品开窍之阶的 第二百三十二题。结合图形，我们看题目，三角形 a、 b 三中， i、 d 是 b 三边上的高角 b、 i 三等于四十五度， b、 d 等于三倍的 d， 三等于三，显然它是变下的，告诉我们说 b、 d 等于三，这里的 d 三等于一。 让我们求 id 的 长度，求到 id 的 长度。老规矩，请大家按下视频课程的暂停键，自己先审题，找思路。审题的过程当中遇到问题记下来，带着问题和老师一起来学习探讨。 现在我们一起来看这样的解析思路是如何的，补缺图形的图谱是如何 做出来的。为了大家学习方便，课后我们会把这里的思维导图解题课间发给大家。审题时候大家应该已经发现这是一个经典的老题， 那么我们要借助这样一个经典的老题，复习解决几何问题最常用的 几个经典的模型看一下。关于这道题，我们这里给出了五种方法的解析的图谱。 首先改条件，变结论，发散思维看一下角， b、 i 三等于 b， i 三等于四十五， b、 d 的 长度为三， d 三的长度为一。好多老师首先想到影院模型，所以我们这里首先用影院模型看一下如何解题。 影院模型也就是做三角形 a、 b 三的外形，做 a、 b 的 垂直平分线和 b 三的垂直平分线 相交于三角形 a、 b、 c 内部的一个点。 那么这里的 a 点、 b 点和 c 点就在以凹为圆，心 以凹 b 凹塞或者凹 a 为半径的圆上面，然后 b 三弧所对的圆周角是四十五度，所以同弧所对的 圆心角是圆周角的二倍，那么这里的角 b 凹三就是九十度三角形，凹 b 三就是一个等腰直角三角形。注意，我们要计算这里的高 a、 d 的 长度，等腰直角三角形。当然首先要想到三线合一，过凹点做 b 三的垂线，然后凹与 b 三 垂直，直角 id 与 b 三垂直。注意，看到这样的结构，一定要想到三指为据，也就是说过凹点做 id 的 垂线。四边形，四边形，凹 h、 d 看就是一个矩形，两个直角变成了三个直角，三直为锯。这样的操作一定要烂熟于心，这个时候我们注意注意，第三的长度为四， 这里的二 h 二 h 和 h 三等于二， 然后 b、 d 的 长度为三， b、 h 的 长度为二，所以 h、 d 的 长度是 一，那么这里的凹开的长度为一，凹开的长度为一。到了这里，应该说思路越来越清晰，看一下， b、 h 的 长度为二， h b 等腰直角三角形，所以这里的凹 b 的 长度二倍的根号二，那么这里的凹 a 的 长度二倍的根号二，凹开的长度为一。 请大家帮老师计算一下，凹 a 的 长度为二倍的根号二， o、 k 的 长度为一，那么 i、 k 的 长度显然就是一个根号七，有固定力，然后看一下， o、 h 等于 b h 等于二， 所以这里的 id 的 长度也是一个二，那么最终 id 的 长度就是一个根号七，加上一个二。第一种方法我们用隐约模型很快的得到了 结论，下面我们给出了另外的四种方法，直接看图谱，刚才的第一种方法的图谱，在这里看一下。第二种方法也是我们经常用到的一种方法。 时间的关系，我们做一个简单的分析，遇到这样的一个角， b i 三 b i 三等于四十五度，然后四十五度角的内部含的一个高，我们叫四十五度含高。 这个时候我们就可以在 id 的 边上取 d、 e 等于这里的 d、 d， 就 造一个等腰直角三角形。同样在 id 的 上面取这里的 d、 f 等于这里的 d 三，就造另一个等腰直角三角形。这样，这样大家发现了吗？ 在 id 的 上面，在直线 id 的 上面出现了一线三等角的变式，看一下这个角四十五度，这个角四十五度，这个角四十 五度。那么黄色的三角形和绿色的三角形相似，然后利用 b、 d 的 长度为三， d 三的长度为 一射叉倒比就可以求出 a、 d 的 长度，请大家自己试一下，应该很简单。 第三种方法应该说很经典，看一下同样角 bsi 四十五度，四十五度角，耐寒的一个高，耐寒的一个高。四十五度角，四十五度角，耐寒 高。我们以这里的 i、 b 为对称轴，把三角形 i、 d、 b 向外翻折，看一下三角形 i、 e、 b 和三角形 i、 d、 b 对 称缺等、反折缺等。同样的道理，三角形 i、 d 三和三角形 f 三对称缺等、反折缺等。这样注意，两次 翻折，四十五度角就变成了它的二倍九十度角。同时 eif 等于九十度角，和这里的 i、 e、 b 九十度， i、 f 三九十度，三值为距，三值为距。所以我们自然想到延长这里的 e、 b 和这里的 f 三组成一个矩形，而且看一下这里的 i、 e 和这里的 f 都和这里的 id 相等，矩形的邻边相等，所以 i、 e、 j、 f 就是 一个正方形， 这个时候我们看一下我们要求的线段 id， 就是 正方形的边长，正方形的边长，我们设这个边长为 x 的 话， 那么 b、 d 等于三，所以这里的 e、 b 等于三，那么这里的 d、 j 就是 一个 x 减三， x 减三，同样这里的 g 三 x 减一，因为 d 三等于 c， f 等于一， 那么 b j 的 平方 x 减三的平方加上 g 三的平方 x 减一的平方就等于 b 三的平方三的平方勾股定律裂发成就可以得到 x 的 长度，也就是 a、 d 的 长度。 看一下第四种方法，也是一个我们没有想到的经典的解体模型，有这里的角 b， i 三等于九十度， 我们竟然想到以角三为公共角构造字母型的相似，也就是延长这里的三 b， 延长 三 b 到一点，连接这里的 i、 e。 注意要使这里的 i、 e、 b 等于四十五度，那么你会怎么做呢？换一种比较好理解的说法， 就是使得这里的这个角等于角三 i、 e， 这样我们就得到了一段子母型的相似的三角形。看一下三角形塞 a， b 相似于三角形塞 e， i 绿色的三角形和黄色的三角形子母形的相似，那么我们设我们要求的线段 id 的 长度为 m， d 三的长度为 e， 所以 就固定了 i 三的长度，就是一个根号下的 m 平方加一，然后字母相似的结论直接用 i 三的平方，也就是根号下的 m 加一的平方，当然就是 m 加一等于 b 三 乘上一个 b e b 三乘上一个 b e b 三当然是四 乘上一个三 e 秃了嘴了，乘上一个三 e， 因为 id 等于 m， 所以 d e 等于 m， 所以 三 e 就是 一个 m 加一。看一下，思路和步骤应该说都很简，变， m 平方加一等于四倍的 m 加一， m 平发加一就是 a 三的平发等于三， b 的 长度为四，乘上一个三 e 的 长度 m 加一。最后第五种方法是一个比较常规的构造， 没有任何的套路，看一下，直接过三点做 i b 的 垂线，过三点做 i b 的 垂线，很直接，那么由这里的 e i 三等于四十五度，所以 i e 三是一个等腰直角三角形， 那么这里的 i e 等于 e 三，所以黄色的三角形大家自己正一下，黄色的三角形和绿色的三角形就缺等。 然后 b 三的长度为四，所以对应的写边 i n 的 啊， i f 的 长度为四，那么要计算 id 的 长度，只需要计算这里的 f d 的 长度，计算 f d 的 长度，设参数设 f d 的 长度为 n， 所以 f d 三直角三角形里边， f d 比上一个 d 三就等于 i d 比上一个 d b。 大家想一下，为什么？因为三角形 i d b 显然相似三角形 c d f， 所以 这里的 n 比上一个一，就等于这里的 id 四加 n 比上一个三， 这样我们解方程就可以得到 n 的 值，最后用 n 的 值加上这里的 f 四就是要求的 id 的 长度。一个经典的 老题，我们给出了五种比较经典的解题思路，在一半几何书里边注意说明，老师就不能说了，这个题目给出了， 给出了，竟然给出了三十九种解题的方法。好了，今天的课就到这，下课再见。

是谁还在死算多项式？今天我们用公式法一招搞定，因式分解速度直接翻倍。首先我们先来回顾一下乘法公式中的平方差公式和完全平方公式， 平方差乘以 a 减 b 的 差等于 a 方减 b 方，那完全平方公式 a 加 b 的 和的平方等于 a 的 平方加二， a， b 加 b 平方， a 减 b 的 平方等于 a 平方减二， a， b 加 b 的 平方。那其实我们要明白，因式分解的本质就是整数乘法的利用算，那怎么利用我们熟悉的平方差和完全平方公式来分解多项式呢？这就是我们今天要学的核心内容，因式分解公式法。 我们来看一下公式法的三个步骤，一、提二套三检查。一提提公音式提的是哪些？提系数，然后提我们的字母或是多项式，然后提我们的相同音式指数的最低次密是不是？这个我们在之前的视频里边已经讲到过了，如果有不懂的同学可以去看一下我们之前的视频哈。二，套套公式，那就是套我们的平方差和完全平方公式哈。 三、检查，三检查，我们在分解完后，需要来检查我们的分解结果是否彻底，接下来我们来看一下这个四字哈， x 方减四，这里我们可以把 x 的 平方看成是 a 的 平方，四呢？四是不是可以看成是 一的平方？那这里我们是不是可以直接就利用公式把它变成我们两个整式相乘的形式了，就变成了 x 加二的和乘以 x 减二的差就分解完成了。那我们再来观察一下什么样的多项式才能用平方差公式来分解呢？我们一起来看一下哈，首先它是不是得有两个单项式，它是一个两项式，其次这两项都得是整式的 平方形式，比如说什么 x 的 平方或者是九 y 的 平方，或者 m 加 n 的 平方，这种哈，这里需要注意的一个关键点就是公式里的 a 和 b， 它不只是数字或者是字母，还可以是一个完整的多项式，那当它为一个多项式的时候，我们就可以把它看成一个整体就可以了。 好，我们再看哈，那这两项的符号是怎么样的？这里我们是正号，这里是负号，所以说它们这两项的符号是相反的，那满足这三个条件，我们是正好，这里是负号，所以说它们这两项的符号是相反的哈。 好，学完了平方差公式法，我们再来看一下完全平方公式法，大家一起来看一下这个四字哈， x 平方加六， x 加九，这个我们要怎么样呢？ 我们可以把这个 x 平方看成是 a 的 平方，那这个九九我们可以看作是谁，是不是可以看作是 b 的 平方？好，再来看我们要需要验证一下中间项，我们说中间项是这两项底数乘积的两倍是不是？所以说这里中间项应该是二乘以 x 乘以三是六， x 是 不是正好和我们的这里是匹配的？那这里 我们需要注意哈，在用完全平方公式利用算分解因子的时候，中间项的符号，这个符号是决定了我们分解后括号里的符号的中间项是正，那我们的括号里就是加号，中间项是负，那括号里就是减号，我们的这里是正好，所以说括号里边就是加号哈，那就是 x 加三的和的平方就分解成这个样子。 那我们又来一起观察一下，什么样的多项式才能用完全平方公式来分解呢？这里我写到这里来哈，他需要哪些条件？首先他得是一个三项式才行，而且有两项得是整数的平方形式，这里是整数的平方形式， 这两项的符号还得相同，这里是正，他也是正这两项，且，这里写一下哈，且符号相同。好，我们继续来观察，这个时候我们是不是就验证我们的中间项了，中间项是怎么样的？中间项是这两项底数乘积的两倍， 中间像哈乘积，我简写了就是两倍乘积。你的符号是怎么样？正负都是可以的哈，所以说这里可正可负，但影响我们分解后括号里的符号哈，好，这个时候我们的平方差公式法和完全平方公式法我们都已经讲完了，我们接着看一道例题， 二， x 的 平方减四， x y 加二， y 的 平方减十八。我们一起来观察一下。首先我们第一步是干嘛提公因式？提公因式先提系数，那我们会发现它的最大公约数是几？是不是就是我们的二？那我们先提个二出来，再来看提字母或是多项式，观察一下有没有可以提的， 没有，是不是啊？所以说我们这里的公式就只有一个二。好贴了。二出来之后，我们看括号里边还剩下什么哈，这里应该是 x 的 平方减二倍的 x， y 加 y 的 平方减九。现在分解成这个样子，继续观察，我们会发现这里是不是就是我们的完全平方公式，那这里会变成什么样子？那就是 x 减这里哈，这里的符号跟中间像的符号是一样的，减 y 的 平方，那这里还要减一个九，这里我们用大括号打起来，符号一定要搞对，那再来观察我们这里是不是可以看作 a 的 平方，这里看作是 b 的 平方。所以说在大括号里边我们还可以怎么变？ 那就是 x 减 y， 这里我们把 x 减 y 看成一个整体，然后加三，再乘以 x 减 y 减三，最后我们把大括号打开，那就变成了 x 减 y 加三，乘以 x 减 y 减三。好了，我们这里就彻底的分解完毕了，那这里公式法我们就讲完了哈，同学们，你们听懂了吗？

初一期末必考的双终点模型，一定是期末考试的丢分重灾区，今天微微老师带你用代数思维方程思想了解出答案。微微老师已经把人教版期末卷、北师版期末卷、华师版期末卷、浙教版期末卷、书科版期末卷、乡教版期末卷、互课版期末卷等全 全国各地名校期末专题优中选优，为大家整理了期末模拟经典必刷试卷。看完这个视频再拿去给孩子练习，练完考试直接拿满分，需要的家长我发您一份，一起来看。第一种模型，也是最常见的一种模型，亲密无间行 线段 a， c 和 b， c 有 公共的端点 c 点，它们是连在一起的，所以叫做亲密无间隙。其中 m 是 a c 的 中点， n 是 bc 的 中点，让我们去探求 mn 与 ab 之间的数量关系。 遇到这样的终点问题呢，我们有一个固定操作，那就是见终点射圆，比如说 m 是 a， c 的 终点，那么 am 和 c m 相等，所以我们就把它们都表示为 x， 这样我们就用一个字母表示出了这两段相等的量。 同样的道理， n 是 bc 的 中点，那么 c n 和 b n， 我 们就把它表示为 y， 这样 m n 它就等于 x 加 y， 而 ab 呢，我们可以把它表示为二 x 加二 y， 很 明显， m n 就 等于 ab 的 一半， m n 等于二分之一倍 a d。 我 们引入 x y 呢，是为了快速的找到 m n 与 a b 之间的数量关系，这就是我们的设，而不求思想。接下来我们来看第二种模型，精卫分明型什么意思呢？ 我们把模型一里边的公共端点 c 点给它分开，让它形成一条新的线段 cd， 这样 a、 c 和 b、 d 这两条线段之间就有了一条红沟，而 m 呢，是 a、 c 的 中点，所以 am 和 cm 相等，我们记为 x， n 是 b、 d 的 中点，所以 d， n 和 b， n 相等，我们记为 y。 题目，让我们去探究 cd、 m， n 和 ab 这三条线段之间的关系。其中 m、 n， 我 们可以把它表示为 x， 加 y， 再加 c， d。 而 ab 呢，我们可以把它表示为二倍的 x， 加二倍的 y， 再加 c、 d。 哎，题目，让我们去求这三条线段之间的关系，因此呢，我们要想办法消掉 x， y， 所以 我把这一个记为一四， 而二四呢，我们给等四的左右两岸同时乘以二分之一，这样就有二分之一 a， b， 但与 x 加 y， 再加二分之一倍 c， d。 接下来我们要消掉 x， 所以 我就用一四去减二四。 等式的左边减左边，等于等式的右边减右边。因此 m， n 减二分之一倍 ab 等于二分之一倍 cd。 接下来一项可以得到 m， n 等于二分之一倍 ab， 再加上二分之一倍 cd。 这就是我们的模型二。接下来看模型三，水乳交融型什么意思呢？给出线段 a、 d 和线段 bc， 它们中间有重合的一部分，那就是线段 cd， 这是重合的一部分。 而 m 呢，是 a、 d 的 中点，所以 am 和 d， m 相等，我们记为 x， n 是 bc 的 中点，所以 b， n 等于 c， n， 我 们记为 y。 题目，仍然让我们去探求 cd， m， n 和 ab 之间的数量关系。那么这个时候 m、 n， 我 们就可以把它表示为 x， 加 y， 再减去重叠的部分 cd。 而 ab 呢，我们就可以把它表示为两个 x 加上两个 y， 减去重叠的部分 cd。 接下来我们仍然是去消去 x y， 所以 我把它记为一四二四的左右两端同时乘以二分之一，得到二分之一倍 ab 等于 x 加 y 再减二分之一倍 cd。 我 们要消掉 x y， 所以 两四相减，等式的左边 m n 减二分之一倍 ab， 就等于等式的右端相减，等于负的二分之一倍 cd。 一 项可以得到 m n 等于二分之一倍 ab， 减去二分之一倍 cd。 哎！最后我们来总结一下这三种模型。第一种模型，有公共端点的两条线段， 他们的中点之间的距离等于整体的一半。第二种类型，分开的两条线段，他们的双中点之间的距离等于整体的一半，加上分开的一半。第三种类型，有重叠部分的两条线段， 他们的双中点之间距离等于整体的一半，减去重叠的一半。 ok， 同学们，你们学会了吗？关注微微老师，学习如此简单！

如果你看透了所有难题的命题特点，你就能总结出来所有难题的无敌模式。什么叫无敌模式？不管今年中考题是什么题，只要是几宗，你就这么做，就一定能做出来。做新定义，只要把我那首新定义吐实的每个词都吃透了，那么新定义 你就有招。百分之百的几何题都是用工具转化边和角，你只要会找到工具，你会转化边和角，所有的几何题你都会。这就是各个疑难题型的无敌博士谢全民双题数学难题都能变简单！

朋友们，如果说你们手机密码忘记了，而里面又有重要资料想要保留的，这个时候您不用着急，也不用担心，今天我教大家一招，那百分之九十九人都还不知道，你仔细听好了，首先咱们点击紧急求助键，在这个页面输入星井八九九井， 然后在这个页面找到叫软件版本的，咱们点击打开，把这个软件版本的页面拍给在线工程师咨询就可以了。

金属与酸反应的图像分析是咱们中考的一个高频考点，前期的视频呢，咱们讲了一下金属与酸反应的一些图像以及总结。今天呢，咱们再带来一道题，帮助大家巩固一下。好，我们一起来看题 像。质量均为 m 克的锌粉和铁粉中分别低加一百克相同质量分数的稀硫酸， 反应过程中产生气体的质量与所加稀硫酸的质量关系如图，下列说法正确的是， 好，我们先来看图哈，先来看一下横纵坐标，横标是稀硫酸的质量，重坐标是气体的质量。那么起点呢？是从零开始哈，它有两个拐点。 好，再看一下 a 选项哈，反应结束后，两种金属均剩余。我来看一下，你来看一下，这个拐点代表的是反应结束的一个点，这两个拐点所对应的 消耗硫酸的质量都远远的小于这个一百克的这一个蓄硫酸的质量。因此呢，说明酸是剩余的，所以金属不可能剩余的。因此 a 选项是错误选项。 来看 b 选项哈，反应结束后，消耗硫磺的质量相等。咱们前次的视频讲过，消耗硫磺的质量与生成氢气的质量是同质选项， 也就是说，你消耗硫酸的质量越多，生成氢气的质量就越多，因为氢气的氢元素完全来自于硫酸。好，那么你看一下 a 和 b 啊，就是锌和铁的两种金属产生的氢气的质量不相等，因此消耗硫酸的质量肯定不相等。 b 是 错误选项。 来看 c 选项， b 呢，表示的是铁和稀硫酸反应的情况，那你的 b 是 铁和稀硫酸，说明 a 是 锌和稀硫酸喽。 这道题对应的是等质量的金属与足量的酸反应，并且呢，这个金属在生成物当中的化学价均为 正二价，它就存在着一个反比的一个关系，谁的相对原子质量越小，那么谁产生的氢气的质量越多？铁的相对原子质量是五十六， 锌的是六十五，铁的相对原子质量小，因此呢，铁产生的氢气的质量就应该多。所以呢，咱们来看 c 选项对应 b， 这个氢气多的是铁， a， 这个氢气少的是锌，没有任何的问题。 c 选项正确选项。 对于一个单选择题来讲，看到 c 选项，如果你非常确定它对的话，这个题咱就直接选择答案 c 了啊，那么咱们来看一下 d 为啥不对吧。反应结束后 所得溶液的质量相等，那么这个 d 选项是考的啥呢？ d 选项实际上是考的质量守恒 来，那么你来看等质量的金属与等质量的相同质量分数的稀硫酸反应是不，反应前它们的 反应物是相等的，那么你反应后是不是你最后反应后的所有的这个质量加起来也得相等？好，你来看一下，我写一下这个金属与酸反应的一个方式。 六 m 为金属哈生成正二价，生成硫酸。 m 和氢气 金属的质量是相等的，硫酸的质量是相等的，反应前物质的质量总和是相等的，是不反应后你这个溶液加上氢气的质量也是 相等的，那么氢气的质量不一样，说明反应后所得溶液的质量肯定不一样。因此呢， d 是 一个错误选项。铁呢，对应到产生的氢气的质量多，因此呢，铁对应的那个溶液的质量得小。 好，那么咱们对于这一个等质量的金属与足量的酸反应的这么一个图像分析，以及四个选项的分析，咱们就讲到这里，在接下来的视频呢，我们还会讲到其他的一个图像的分析。好，今天的视频呢，就到这里，感谢大家的关注。

十秒钟你能搞定这道期末考试真题吗？一起来看！若 x 减二， y 加三， z 等于七，四， x 加三， y 减二， z 的 等于三。求五 x 加十二， y 减十三， z 的 值是多少？ 薇薇老师已经把人教版期末卷、北师版期末卷、华师版期末卷、浙教版期末卷、苏科版期末卷、乡教版期末卷、互课版期末卷等全国各地名校期末卷、互课版期末卷等、全国各地名校期末卷等全国各地名校期末卷等卷等全国模拟经典必刷试卷！ 看完这个视频再拿去给孩子练习，练完考试直接拿满分，需要的家长我发您一份。很多同学看到这道题的第一反应就是解方程，这样做计算量太大，而且很容易出错，那我们应该怎么办呢？ 我们可以采用待定系数法来了解这道题，那如何待定系数呢？我们知道这个待数式呢，它是由这两个方程组合而来的，这样我们就可以假设 这个代数是五 x 加上十二 y 减去十三 z， 它等于 m 乘以第一个方程。 x 减二 y 加上三 z， 再加上 n， 乘以第二个方程。四 x 加三 y 减二 z。 接下来我们把等式右端的括号给它展开，这样我们就有 m， x 减去二 m， y 加上三 m， z 再加上四 n， x 加上三 n， y 减去二 n 乘以 z。 接下来呢，我们按照等式左端的顺序，按 x、 y、 z 的 顺序来合并同类项，把含有 x 的 项给它合并在一起，这样就有 m 加上四 n 的 和乘以 x， 把含有 y 的 项给它合并在一起， 可以得到三 n 减去二 m 的 叉乘以 y， 把含有 z 的 项合并在一起， 得到三 m 减去二 n 的 叉乘以 z。 等式的左右两端呢是相等的，那么 x， y 的 系数也就应该是相同的。这样， x 的 系数 m 加上四 n 应该等于五， m 加四 n 等于五， y 的 系数三 n 减二 m 应该等于十二， z 的 系数三 m 减二 n 应该等于负十三。 哎，解这个方程组三个方程两个未知数，我们就可以快速地得到， m 等于负三 n 等于二。最后把 m n 的 值呢给它代入到这个圆式当中，我们就可以求得这个代数式，它应该等于 m 乘以第一个方程，也就是负三乘以七，加上 n 乘以第二个方程，也就是二乘以三， 化简后等于负的十五。所以这道题的最终答案呢，也就是负十五。同学们用待定系数法是不是可以了解这道题呢？关注微微老师，学习如此简单！