天津南开八年级上册数学几何压轴题

每天一道必考题，期末多考二十分。今天我们一起来学习八年级上册期末考试比较喜欢考察的一类题型最值问题。如图，在锐角三角形 a、 b、 c 中， a、 c 等于六，有直角，边分六。三角形 a、 b、 c 的 面积为十角， b、 a、 c 的 角平分线交 b、 c 于点， d、 m、 n 分 别在 ab 和 ab 上运动，它是两个动点， 要求线段 b、 m 加 f m 的 最小值。其实类似于这种两条线段的和最小，也就说它们的线路是一比一的关系。常常来说可以借鉴咱们将军一把的做法，也就是找对称或者做对称。 那在几何图形中，我们一定要优先运用现有的条件去找现成的对称。你比如这里面 a、 d 是 角， b、 a、 c 的 角平分线，那么很明显 直线 a、 d 和直线 a、 c 它们是关于 a、 d 对 峙的。那这时候我发现 n 点在 a、 g， 也也叫 n 点在直线 a、 d 上运动，和 n 点在直线 a、 c 上运动是没有任何区别。也就说 a、 c 上找到一个 n 点和 m 是 相等的。咱比如说点在这了， 当只是说是 n 片，那这时候就把 b、 m 加法就转换成了 b m 加 m n 片，然后 m 是 在 a、 d 上运动， n 片是在 a、 c 上运动，那很明显这有一个定点和一条定值线，那是不是 点到直线的距离是最短？所以这时候我们过 b 点做 a、 c 的 垂线，比如说这时候交于 n 点，那我这个 b、 n 的 长度是不是就是他们做的最小值？那这时候在计算过程中，我发现 a、 c 是 六，我们算的这个 b、 n 可以 理解为这个三角形 abc ac 边上的高， 那它这个面积又等于十五，那是不是说明底乘以高除以二，是不应该等于十五？ 所以这把我们解决的边长度就是五，那说明这两条线段合的最小值就是五，这就期末考试里边非常需要考察的最值问题，希望同学们想想，就是对称如何去做，一定要充分利用线段的图形去解决问题，还有什么问题的话可以在评论区给我留言。

初中阶段几何一定是比代数要难的，难就难在辅助线。来，我们看一下这道题啊，如图，已知三角形 a、 b、 c 当中 a、 b 等于 a、 c， 哎，上来有个等腰，对吧？就像这种条件，我一般建议大家在图中要去把它标出来啊。点儿等于点儿。 e 是 c、 b 延长线上的一点，并且角 a、 d、 b 等于六十度。 a、 d、 b 这个角它等于一个六十度。 e 是 a、 d 上的一点，并且 d、 e 等于 d、 b。 我 们在这是不是有一个圈圈？等于个圈圈，你有一个什么结论呢？ 我们这个小三角形瞬间就是一个什么三角形，是不是个等边三角形？它本来已经等腰了，再加一个六十度，它怎么着也等边了，对吧？ 好，题目现在要求正。我们的 a、 e 啊，就是这一段长度，它等于 b e 加 b c， 其实这个 b、 e， 你 明白它也是个圈圈吗？因为我刚刚是不是在这得到了这是一个等边三角形，对吧？ 那也就是说，我们在这要证明这个 a、 e， 它等于我们的这个 b、 c， 你 就别去加 b、 e 了，因为它们俩是不是加不到一块，他妈不在一条线上，它其实是加上我们的 d、 b， 对 吧？我可以把这个 b、 e 换到 d、 b 这来啊。 那我们的 b c 加 b d 是 不是就是等于我们的 c、 d 了？你可能第一反应就是，哦，我们要证明 c、 d 等于 a、 e 啊。那怎么来证明这个呢？有没有发现没有，含有 c、 d 和 a、 e 的 三角形长得很像，对吧？所以可能不是很好处理，那就得从我们的本质上来入手了。本质上，现在题目要求证这样的一个式子， 你想到了什么呢？是不是截长补短？当出现两个线段相加等于第三个线段，或者是两个线段相减等于第三个线段的时候， 我们都可以尝试一下这个截长补短。呃，那我在 b c 的 基础上，它往左边去补一个东西，跟 a e 不好建立联系，那我就往右边补一段，它是不是就和 a e 比较好建立联系了？而且我补完之后，其实大家应该能感受到在这会出现一个什么东西呢？ 会出现一个大的等边三角形啊。所以辅助线描述的方法有很多，我干脆就在这直接构造一个大的等边。好吧 啊，让我们的这个 d f 等于 d a 就 行了啊。延长 d c 至 f， 使得 d f 等于 d a， 则这个大三角形是一个等边三角形啊。第一个结论，三角形 a d f 为 等边三角形。好的，如果我们这个 a d f 是 等边三角形了，你有没有发现我们的 a e， 它是等于我们的 b f 的， 对吧？ a e 等于 b f， 为什么呢？因为 d a 等于 d f， d e 等于 d b， 所以 你剩下来的那一段是不是等于剩下来那一段，于是我们的 a e 啊，它就等于我们的 b f 了。 然后我可以把 b f 拆成两部分，一部分是我们的 b c， 还有一部分是不是我们的 c f。 题目现在要求证 a e 等于 b c 加 b e， 有 没有发现 b c 已经出来，那下边我就是要证明这个 c f 它是不是等于我们的 b e 就 行了， 对吧？我要证明 cf 等于 b e， 有 没有什么新的想法呢？其实真不是证明 cf 等于 b e， 我 们现在证明 cf 等于谁？是不等于 b、 d 的， 对吧？等于 b、 d， 把它转换到这儿来啊，把这个 b、 e 再转换到 b、 d 这来，思路就出来了。而我要证明 cf 等于 b、 d， 什么想法？你是不是就是证明左边那个三角形和右边这个三角形全等，对吧？我就是要证明三角形 a、 d、 b 啊，它全等于我们的三角形 a、 d、 b 的 话应该是 afc 啊， afc。 但是在这呢，可能有同学会出现一个问题啊，什么问题呢？来我们看一下这两个三角形里边，首先是不是有个点等于点，第二个他们有一个 叉叉等于叉叉，因为我这是一个等边三角形，对吧？其实他们还有一个六十度啊，这有个六十度，这六十度还是因为等边？那你发现什么了？ 我们能直接正出这两个三角形全等吗？如果是这三个条件的话，正不了，这是 s、 s、 a 对 吧？你两个边一个角，但这个角不是这两个边的夹角，意味着我们在这用这两个边的夹角意味着还有没有什么别的呢？ 请注意啊，其实我们在这还有一个角一啊，他应该是等于这个角二的，你明白为什么了吗？那是因为角三 是不是等于角四的，对吧？里边有个等腰啊，角三等于角四了，他们的补角就相等，所以角一等于角二。呦，那这次我是两个角，再来一个边，怎么着？他也全等了，是不是应该是我们的 a、 a、 s， 对 吧？ 我两个角加这两个里边的任何一个边都行啊。得出这两个三角形全等，那我们的 b、 d 是 不是就等于我们的 c f， 那 b e 也就等于 c f 了，那我们这个要正的就正完， 把这个题的思路给大家捋了一下啊。呃，简单的来说明一下，就是我们在这啊，你要去想一想，截长补短，然后还要进行转换，我在这是直接构造等边，这是第一个啊，你要想到辅助线，第二个在正全等的时候，可能大家的第一直接反应是个 s s a， 你 需要再去找 你看看你有没有什么条件用的不够彻底。比如说这个等幺三幺，它俩底角相等，那它的两个外角就相等，同学们听明白了吗？这道题我们就讲到这里。

今天咱们来系统回顾一下八年级数学重点几何压轴题中的手拉手模型，你可能在几何证明题里经常看见这些的身影，边长相等、旋转等腰三角形或等边三角形。比如这道题 已知 a、 b 等于 d b、 c、 b 等于 e， b， 角一等于角二，求证这两个三角形全等。大家可以先暂停思考一下这道题该从哪里入手。 其实这道题的解析思路就是我们今天要讲的手拉手模型，也可以说是边、角边全等判定定律，两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等也可以写作 i、 c、 s， 其中 i 表示边，代表着两条边的夹角 i、 c、 s。 判定的关键是夹角必须是两条已知相等，边之间的角不能找错。而且很多时候题目不会直接给出这个夹角相等，这就需要咱们根据已知条件去转化间接信息 出隐藏的相等角。这也是手拉手模型里的高频考点哦。要是想趁热打铁检验学习成果，推荐大家去洋葱学员专项突破板块刷刷题，听说现在上主页搜索你好，还能领取限时会员优惠哦！相信聪明的你已经占了证明原理，现在咱们回头解决开头的这道题， a、 b 等于 d b、 c、 b 等于 e、 b 就 像等长的两只手，且有着相等的角。要想按照 a、 c、 s 判定方法证明三角形全等，需要先证明两条边的夹角相等，也就是要证明角 a、 b、 c 等于角 d、 b、 e。 题目里只直接给了角一等于角二，怎么得到目标夹角呢？观察图形就能发现，角一和角二都包含一个公共角， d、 b、 c 就 能推出角。一加角 d、 b、 c 等于角二加角 d、 b、 c， 也就是叫 a、 b、 c 等于角 d、 b、 e。 这样一来，就能用 i、 c、 s 来判定这两个三角形全等。该说不说，手拉手模型里的隐藏角都有类似的找角思路匆匆，已经把常见的隐藏角转化情况都整理好了。技术，这张图，再难的题也能轻松搞定！ 发明这个手拉手模型的真是个天才，掌握了这套方法，几何压轴题还不是小菜一碟，快去找几道真题练练吧！

好，各位同学，咱们今天继续来讲解一线三垂直的全等模型。那么什么叫一线三垂直呢？也就是说在一条直线上有三个直角，那这三个直角有两个直角，分别先垂直于该直线， 然后这两条直角边又形成了一个新的直角，那像这种模型，我们就称之为一线三全等，那么一线三全等必然会出现这两个三角形全等， 哎，我们可以来证明一下啊。我们来根据题，如图，已知直线 l 上有一点 o， 且 c o 垂直于 d o 好， 第一个直角出现了，好，过点 c 向直线 l 做垂线过点 c 做垂线好，垂足为 a， 过点 d 做垂线，垂足为 b。 好， 依然构成了我们所谓的一线三垂直的这样一个模型。说，请添加一个已知条件，使得啊，这两个三角形全等，那我们先来分析分析这两个三角形现在都具备什么条件啊？来，我们把它标上角一跟角二。好，我们来证明一下啊，因为角一 加上谁啊？角 c， 在 这个三角形 a、 c、 o 当中，角一加角 c 是 不是等于九十度？哎，同时我们的角一加上角二，我们的角一加角二是不是也等于九十度？所以说根据这两个条件，我们不难推出，角一应该等于啊，角 c 应该等于角二。 好，我们再来看，在三角形 d o b 当中， d o b 当中，我们的角 d， 哎，加上角二是不是也等于九十度？所以说根据这两个式子我们也难，我们也很很容易推导出来，角一是不是也等于角 d？ 哎，在这两个三角形里边，我们已经推导出来了一组角 c 等于角二，角一等于角 d 了，也就是说符合了我们全等模型里边的两个 a 了。 哎，我们回忆一下我们的五个判定依据，能符合 a a 的 只能配一个。什么配一个 s 啊，配一个 s， 那 这个 s 有 两种配法，我们可以组成 a a s 的 这样一种证明过程。 a a s， 我 们只需要配什么就行了啊？ a a s 有 a 了啊，有两个角呢，那我们只需要配一个啊， a c 等于 b o 就 可以了，对不对？那我们还可以配成什么 a s a， 那 我们也可以推导出来什么 c o 啊，等于 d o 是 不是也可以啊？ c o 等于 o d， 哎，这两个条件都可以促成这个三角形是全等三角形，那所以说让你添加一个条件，那我们就可以添加什么 a c 等于谁 b o， 哎，或者或者填什么 c o 等于 o d， 那这样呢，我们就可以根据我们的判定依据 a s 或者 a s a 来判定出这两个三角形是全等三角形。总结一下，若再给出一组什么相等，哎，你看我们现在给的是一组什么相等，只要能凑出来一组边相等是不就可以了？因为题干中依然出现了什么两个角了， 所以说我们一旦发现这种一线三垂直的这种模型，它必出全等。这个在我们证明过程当中，或者做填空题或者做选择题的时候，无需证明，只要看到这种模型，立刻就能根据勾股定律或者根据我们的一线三垂直模型来迅速求出对应边相等，对应边是几好，我们来做几道题来验证一下。 好，各位同学，如图，这个模型是一线三全等里边最经典的模型之二，那这两个三角形大家看一看，是不是在这条直线的两侧？换句话说，我们的这条直线 l 是不是横穿了我们的这个直角，哎，我们把这个直角分成了角一跟角二，对不对？像这种比较经典的一直线横穿双垂直， 横穿这个直角又形成了双垂直的，这种也符合我们的一线三垂直性质，他也必然出全等。好，我们来试一试。如图说两个三角形是否全等，我们来证明一下啊，因为什么？角一哎，加角二，他很明显是多少度？哎？角 d 啊，没写上啊， 因为角一加角二等于九十度，哎，我们的角 d 加角二是不是也等于九十度，对不对？在一个直角三角形内对不对？这个哎，所以我们就能推导出来什么了，都有角二，是不是角一就等于角 d 了， 对吧？这叫同角倒啊，同于倒角，同于倒角什么意思呢？它们互为于角，一跟二互为于角，那二跟 d 互为于角，那一跟 d 就 相等啊。这个是非常经典的一个结论，就是与角互倒角，它们是相等的啊，角一等于角 d， 那 所以说我们再根据同理证明出来， 在另一个三角形里，是不是啊？我们的啊，角二是不是也等于角 c， 对 吧？啊？因为角 c 加角一也等于九十度嘛，是不是角一加角二等于九十度，所以说角二是不是也等于角 c， 我 们同理证明就行了，老师就不在这写了啊。所以说，我们就能推导出来是不是两个角相等啊？角一等于角 d， 角二等于角 c， 对 吧？且， 哎，他说如果条件不变啊，根据前面的条件不变，那不变有一个什么条件呢？ a c 等于啊， b o， 对吧？哎， a c 等于 b o 这两个变相等，那所以说这是不是也能根据 a a s 来证明了？哎，所以三角形 c a o 就 全等于三角形 obd， 我 们所运用的判定依据就是 a a s， 哎，这个呢，是非常经典的一个模型，我们来这个总结一下啊，它的名字叫做线穿直角。哎，我们这条 l 刚才已经标注了啊，这条 l 是 线穿直角双垂直啊，出现了两个直角双垂直，若有边等可怎么样？哎，依然出现全等， 所以说遇到这种题型，我一看，一线三垂直啊，就必出什么必出全等，所以说在做这个填空选择的时候，非常非常的快，一定好好利用这个性质，叫一线三，一线三垂直，必出全等。好，我们来拿题目来验，正 好我们来看例五这道题，例五这道题也是典型的一线三垂直，对不对？好，我们来看一看题目，在三角形 a b c 当中， b， a， c 是 九十度啊， b a c 九十度，然后 ab 又等于 ac， ab 又等于 ac， 若直线 m 呢？过 a 点， 过 a 点啊，经过 a 点，然后呢？ b d 垂直于 m， 好， 这有一个垂角直角啊， c e 垂直于 m， 这又有一个直角，是不是？三个直角？ 是不是符合我们的一线 m 三垂直角， d 角 a 角 e 三个垂直，所以说它就符合了谁啊？这两个三角形一定是什么关系？全等关系对不对？还给了一个 ab 等于 ac， 因为我们说了，一线三全等一定会出现两个什么相同的倒角，对不对？互于倒角嘛，然后又给了一组边，它只需要有一组边相等，它是必然全等的啊。所以说我们来看一看边边的之间的关系啊。所以说 a、 b 跟 a、 c 固然是对应边，那 b、 d 跟谁是对应边？ 我们发现 b、 d 跟谁？ a， e 是 对应边，对不对？好，那我们来看看这道题求的是谁啊？求的是 d， e， 那 d， e 是 不是由 d a 哎， d， a 加上 a、 e 组成？那我们只需要找到各个边是多少就行了，是吧？好，我们来看一看 b、 d 是 多少啊？ b、 d 是 四， 那 b、 d 所对的边边是 a， e 呢？ a， e 也就是四对吧？ c， e 是 六， c， e 所对的边是谁？哎， c、 e 所对的边很明显就是 d， a， d， a 也是六， 那求 d 是 不是很简单了，是不是就是六加四，所以说答案选 c 啊，是，哎，这就是很经典的叫一线三垂直， b 出全等，我们再用这个相对应的对应边相等，迅速就能得到答案。所以说这道题其实在考试的时候遇到这种题，题目从审题到出答案，其实时间不超过一分钟，在一分钟之内能够解决的这道题你就赢了。好，我们来看下一题。 好，同学们一看到这个模型图形啊，就很很容易就能想到我们刚才所讲的内容，是吧？就是一线，什么三垂直，一线三垂直， b 出全等。我想问一下，哪两个三角形全等？ 是不是 a， b， e 和 d， e， c 啊？是不是这两个三角形全等，对吧？好，先了解到这来，我们来看一看题目啊。题目，哎，这道题呢，好像是一个应用题啊， 大数 a， b 与大数 c、 d 相距十三啊，相距十三，那就其实告诉我们 bc 等于十三米，对吧？然后小华从点 b 啊，从点 b 沿 bc 方向啊往这走，走到 c 那 经过达到 e 点的时候，他抬头仰望两棵大树，啊，发现什么？发现俩夹角正好是九十度啊，这就是看 a 的 角度和看 d 的 角度，这两个角度正好是九十度啊，然后且告诉你， e a 等于 e d， e a 等于 e d， 哇，那这就全给了，对吧？我们说了，一线三垂直里边 b 出角角相等，再给一条边相等， b 出全等，那这个条件都给完了，好，完全符合我们的一线三垂直模型。那我们来继续往下看啊， 已知大数的高为五米啊，大数的高 a、 b 是 五米哇，这条件也基本上给完了，是吧？那 a、 b 是 五米，那我们就知道谁是五米了。对， a、 b 跟谁是对应边， a， b 跟 ec 是 对应边，那 ec 就是 五米，是不是啊？他说 bc 整个全长是十三米，那 b、 e 就是 多少，那就是八米嘛， 对吧？哎，我们看问题，问的是小华行走至点 e 需要的时间是多少啊？总路程从 b 点到 e 点是八米， 那求时间呢，就是用路程除以速度了，速度也给了每秒是一米，那就除以一嘛，对不对？那就得到时间是八秒啊，多简单，是不是？他每秒走一米，八米是不用八秒。哎，这道题选答案 b 是 不也很简单？所以说，拿到这种题啊，一分钟之内是 b 出答案的同学们一定要牢记，一线三垂直， b 出全等。好，我们看下一题。 好，同学们，我们来看例六，例六，这个图形又是一个图形，多次出现了垂直，是不是啊？我们来看一看。第一个条件给了， a， c， b 是 九十度，一个垂直了啊，又告诉 be 垂直于 c e 啊， be 垂直于 c， e 又一个垂直， a， d 垂直于 c， e 又一个垂直， 好，这是不是就符合我们的一线三垂直了？一线三垂直只需要再给一个什么条件？听懂给没有？哎，很明显也给了，是不是？ ac 怎么样等于 bc？ 好， 一线三全等，一线三垂直， b 处全等。哪两个三角形全等？对，根据我们的对应边嘛，哎，是不是我们的 bce， 哎，全等于我们的三角形 dca 是 不是？好， 那我们现在只需要找清楚对应边是谁就行了，对吧？继续看题， ad 给了二十五，那 ad 跟谁是对应边？ 朋友们， a d 跟谁是对应边？是不是 a， d 跟 ec 是 对应边啊？哎，它都是二十五。 d e 跟谁是对应边？看一下 d e 啊， d e 跟谁是对应边？ d e 没有对应边，但是 d e 告诉我们是十七，哎，这条边是十七， d e 是 十七。好，现在要求 b e， 那 b e 跟谁是对应边？同学们，哎，我发现 b e 是 不是等于 d c 啊，对吧？那 d c 跟这个 d e 是 不是在同一条边上组成了多少？组成了二十五？那不就是二十五减十七吗？对不对啊？哎，二十五减十七是不就能求出 d c 等于八了？ b c 等于八，那 d c 又跟 b e 对 应，是不是也等于八？那所以说这道题快速求出来啊， b e 是 等于八，还是根据一线三垂直 b 出全等，找出对应边相等？哎，你就能推找出来边与边之间的关系是多少，所以说这种题目绝对不会超过一分钟。好，我们再看下一题。 好，各位同学，我们来看最后一道题，在三角形 a、 b、 c 当中，上去先给给你了一个 a， b， a c， a， c 给了一条边了，又给了一个 b， a c b a c 九十度。 哇塞，这个是不是就符合我们上次的结论？其中的一条就是一条直线穿过什么？穿过一个直角，是不是？一条直线穿过一个直角，那必然出什么，也必然出全等嘛，一线三垂直嘛，对不对？哎，一线三垂直是不是？那我们很容易就推导出来三角形 a， b、 d 和三角形谁对同学们都知道了啊， a、 e， c 这两个三角形是全等关，是全等关系，对吧？好，那看一下 d、 e 给的条件， d， e 等于四啊， c， e 等于二 啊， c， e 跟谁是对应边？ c， e 跟 ad 是 对应边吗？对不对？那 c、 e 等于四，那 c 那 个 ad 是 不是也？ c， e 等于二，那 ad 是 不是也等于二，对吧？他求的是谁，求的是 b、 d， 那 我们看一下 b、 d 跟谁是对应边？哎， b、 d 是 不是等于 a、 e 啊？ 对吧？ a、 e 是 由 a、 d 和 d e 组成的，那不就是二加四的问题吗？哎，所以说最终 b、 e 等于多少？ 等于六，是不是？所以说这种题型，我们只要搞清楚一线三垂直，找清楚哪两个三角形是等全等关系，迅速就能找到对应边，找到对应边，这道题就迎刃而解了。所以说，一线三垂直啊，线穿直角，一定有倒角，与角互为倒角相等，这些定律一定要牢记好，同学们，再见！

各位同学大家晚上好，我们今天继续来讲解呃，角平分线模型的第二个模型叫做内外角平分线模型，昨天讲的是双外，今天讲的是一内一外，明天要讲啊，或者是下周一要讲的是双外啊。今天咱们先说一内一外的， 那像一内一外的这种模型，它的结论是什么？我们先看它的造型是什么啊？所谓一内一外内，就是像 b、 d 这条线哎，它平分了这个三角形的外角。谁呀？ a c e a， c e 的 一个角平分线 c、 d， 是 吧？它平分了这个 a、 c、 e， 得到两个相似的两个等角 a、 t， 像这种造型，它就叫做一内一外，称之为内外角平分线模型，它的结论是什么？就是两个顶角之间的关系，两个顶角间的关系就是什么呢？如果说是角 a 的 话，那就角 a 是 两个角 d， 那如果说角 d 的 话呢？角 d 就是 角 a 的 一半啊。我们可以这样去理解，你甭管是从角 a 的 角度出发也好，还是从角 d 的 出发角度出发也好，你都得去理解啊。那接下来我们来说一下为什么会有这个结论，他是怎么证明的？我把证明过程给大家写一下 好，为什么会出现这样他们之间的这个顶角间的关系呢？我们来证明一下啊。证明一下，我们可以用什么呢？用三角形的外角定力来证明是吧？那我们来看一看三角形的外角，哎，也就是这个角是它的外角，对吧？那我们来看一下角 a 加上两个阿尔法，哎，是不是等于两个贝特， 对吧？因为这个是三角形 a、 b、 c 的 一个外角，哎，所以说等于它不相邻的两个内角，对不对？好，第二个式子，角 d， 角 d 等于什么呢？我们可以用内角和公式来表示，对吧？角 d 在 三角形哪啊？ b d， c 里边，所以说角 d 等于什么？哎？角 d， 角 d 加上角阿尔法是不等于被他， 是吧？好，我们来给它标上一式，给它标上二式，哎，两个式子进行啊，用一式减去。我们想把二式也变成两个啊，那个 alpha 的 两倍和 beta 两倍，对吧？可以把二式先乘以二，哎，这样我们就能得到什么 一减对，就能，就直接能得到角 d 等于二分之一的角 a。 哎，很简单，我们可以根据这个等式之间的性质，是吧？等式之间的性质去替换我们中间的。我们想把 a、 d 在 一个式子里边，表包那个出现吗？那么就要把两个式子给它连立起来，嗯，就能得到这样一个公式，角 d 等于二分之一的角 a， 或者角 a 等于什么？ 二倍的角 d。 记住好，来看例四的第一小题。第一小题说了他是一个角平分线，也告诉我们了他完全符合我们的内外角平分线模型，对吧？那他的结论就是角 a 一 等于什么？两倍的角 a 二， 或者你写角 a 二等于二分之一的角 a 一 就行了。也就说谁是大角，他是大角，他是小角，是吧？那大角告诉你是六十八了，那小角是多少小？小角就是六十八的一半呗，对吧？用六十八除以二就行了，三十四度按三十四度就搞定了。 那他让你试说明理由，我们的理由就可以根据我刚才所说的这个，利用什么一个啊，外角定律啊，外角定律去列出来两个，什么两个关于 a 一 和 a 二的关系式啊，我们进行合并就能说明了，很简单，其实也是归结于我们的结论啊。结论好，我们来看第二小题。 好，第二小题说如图二，在条件，在一题的条件下啊，一题已经说了，他是一个什么模型，一个内外角平分线模型，而且告诉我们角一是六十八度，对吧？哎，他问你能不能写出 a 三的度数，那同学们看，这，其实我们图一是这样的一个模型，哎， 对吧？我们根据图一算出来图二是多少度？三十四度，那么来看，现在这个图是不是在 a 二的基础上， 哎，拓展到了 a 三，那不还是一个双外角平分线模型吗？对吧？那此时此刻的这个大角是谁了？大角就 a 二了吗？小角就谁，小角就是 a 三了，那就是三十四的一半呗， 那就十七度吗？对不对？所以说 a 三的度数就是十七度啊，很简单，以此类推，你再往下也会算，再往下也会算，往左你也得会算，乘以二，往右你也得会算，除以二，对不对？哎，以此类推。好，我们来看下一题。 好，我们来看四点一，四点一呢？他，是啊，像一个皇冠似的，对吧？那我们可以看一下上面三个顶角，角 e 角， a 角，第三个顶角啊，左边两个，右边两个，中间那个角 a， 他 其实就是一个什么，他就是一个过渡，哎，我们先往右边说吧， 跟角 d 组成的这个啊，双外角平分线模型，那角 a 冲的责任是什么？大角，对不对？那所以说角 a 应该等于谁？等于二倍的角 d？ 好， 那再往左边来看，跟角 e 串上以后，哎，这个 e 角跟 a 角，它俩一结合，形成这样一个外角模型的时候， 那我们来看看角 a 等于什么，哎，角 a 还是那个大角，对吧？谁是那个小角了？角 e 对 不对？所以说角 a 等于二倍的角 e， 那 么这么一看呢，三者之间的关系不就出来了吗？对不对？是不是角 d？ 哎，跟角 e 他 俩是什么？是相等的关系吧，对不对？他俩相等，那跟角 a 什么关系？都是角 a 的 一半啊，所以说等于二分之一的角 a， 哎，三者之间的关系一目了然，你只要搞清楚谁是那个大角就可以了。哎，这道题不难发现，哎， a 是 那个大角，两边呢，都是在它的基础上，哎，进行了一个什么外角平分线，所以说，搞清楚谁是大角，谁是小角，大角是小角的几倍，哎，两倍。好，我们来看下题。好，同学们，我们来看这道题，如图， b p 和 c p 是 两个平分线，一个是内角平分线，一个是外角平分线，对吧？那可以把这个角分成两个相同的角，这样也是二十度，那这样呢？同样也是五十度，他现在要求的是角 a 跟角 p 的 怎么样？他俩的和， 我知道他俩是二位关系，但是他俩要想求和，那得知道具体的啊，这个数值，我要知道 a 是 多少了，那 p 自然就知道多少了，那和也就知道了。同样，我要知道角 p 是 多少呢？角 a 也知道，那我们来看一下。那我们先求以前求角 a 为例吧。 看这个角是由两个五十度组成，那这个角是多少度？是不是八十？因为他俩互补嘛， 是不是这一个八十，这是多少？四十，四十加八十，一百二，一百二。那角 a 肯定就是六十度，角， a 是 六十度，那角 p 就是 三十度，对不对？那一目了然， a 加 p 等于多少度？九十度，那我们能不能先求角 p 呢？同样也是可以的，是不是？我们来看一看怎么求角 p 啊？ 求角屁也很简单。首先这个角是我们说的二十度，对不对？那这个角呢？刚才算出来是多少度？是八十度，那他俩的和是多少度？是不是一百三十度？那他们那角屁自然就出来三十度了， 对不对？很简单的一道题，其实我们要找，只要搞清楚啊，求出一个就知道另一个。哎，我们知道内外角平分线模型，他的这个结论是什么啊？就是啊，内角平分线是外角平分线啊，所引出来的这个角，他们俩是两倍关系，谁是大角谁是小角，一定要记清楚好不好？好，今天的课就到这，我们下期同一时间，再见！

好的，各位同学，我们今天继续来讲解几何模型中的双外角平分线模型，我们讲过双内和内外，今天讲双外，那三者之间呢，是很相似的，那么今天呢，咱们来看一看双外角平分线是什么样的。首先我们来看这个图形啊， a， e、 f、 b， d 和 c、 d 分 别是两个外角的角平分线，把这个两个外角分成了两个阿尔法和两个 beta。 那 我们来回忆一下啊，回忆一下我们的 a 字模型 啊， a 字模型还记不记得是两外角之和等于一百八十度，加上顶角对不对？也就是角一加角二等于一百八十度加角 a， 好， 我们这个图形呢，我们用 a 字模型和三角形内角和两个模型来证明这个结论。首先我们来用 a 字模型证明，那角一在这个图形里边就是两个阿尔法， 二倍的阿尔法，那角二呢，就是两个贝特，哎，两个阿尔法加两个贝特等于多少？等于一百八十度，加上顶角角 a， 好， 那我们来看在这个三角形 b、 c、 d 当中， 哎， b， c、 d 当中又存在一个阿尔法加贝特等于加角 d 啊，加上角 d 等于一百八十度。 好，我们给了两个式子，标上一式和二式，我们把二式呢乘以二，乘以二以后，我们就能得到两倍的阿尔法和两倍的贝特了。二阿尔法加上二贝特，再加上两倍的角 d， 哎，就等于三百六十度，好，我们给他标上， 那么我们用三式啊，减一式，我们看一看，二阿尔法减二阿尔法两个，二阿尔法抵消掉，两个二贝塔抵消掉。左边呢？三百六减一个一百八，还剩一个一百八， 哎，还有一个减角 a， 好， 那二倍的角 d 等于一百八十度减角 a， 那 角 d 就 等于多少呢？哎，同时除以二角 d 就 等于九十度，减去二分之一的角 a。 好， 我们通过第一个啊，第一个一式是用的 a 字模型， 哎，二式我们用的是三角形的内角和用这两个公式呢，我们就可以推导出来。双外角平分线的模型是什么呢？就是角 d 等于二分之一九十度，加上二分之一角 a 啊，我们也可以记底角，底角等于九十度啊，九十度减二分之一的角 a 啊，一定要记清楚，底角等于九十度，减二分之一的角 a， 好， 我们来记住这个结论，以后我们来做几道题练习一下。 好，我们来看。例五，如图，在三角形 a、 b、 c 当中，角 b 等于四十八度，然后又告诉你们， 咱们这个 a、 e 和 c、 e 呢，是两个角平分线啊，交于一点，阿尔法阿尔法贝塔，贝塔，这，这个完全就符合我们的双外角平分线模型。我们 双外角平分线模型是什么呢？是底角角 e 啊，等于九十度，减去二分之一的顶角，此时的顶角呢，是角 b， 对 不对？那我们只需要把角 b 给代入就行了，所以说角 e 就 等于九十度，减去二分之一乘以四十八度。 哎，所以说角 e 等于多少度？九十减去二十四等于六十六度，哎，所以说这道题答案选 b。 哎，我们牢记我们的这个模型公式就行了。好，我们来看下一题， 好，我们来看这道题，这道题给了很多角二分之一的关系啊，我们一定要把它捋顺了啊，其中在三角形 a、 b、 c 当中，角 m， b， c 啊，等于二啊，也就 b m 呢，是角平分线。第二个 角 mcb 啊， mcb 等于二分之一的 ecb， 那 就是这两个角是相等的。哎，角三等于角四，然后下边一个条件呢？ nbc， nbc 告诉我们这个角角五角六是相等的，哎，这个条件呢？哎，告诉我们角七跟角八是相等的。 好，那么就是两组这个角平分线模型，一组是什么呢？一组是内角平分线模型，对吧？哎，内角平分线模型， 哎，我们来回忆一下，我们的内角平分线模型是什么？角 n 等于九十度加上二分之一的角 a， 对 吧？哎，第二个呢，是什么呢？一个外角平分线模型， 咱们刚学的对不对？那角 m 等于什么呢？等于九十度减去二分之一的角 a。 好， 我们把 amn 都表示出来以后，题目上求的是角 m 加角 n 等于多少，对不对？那我们两个式子合并一下，那角 m 加角 n， 哎，九十度加九十度等于一百八十度，两个二分之一抵消掉， 所以说最终结果 m n 的 和就是一百八十度。那么这道题利用的是我们的双内角平分线模型和双外角平分线模型，两个模型特别的相似，一个是九十度加二分之一角 a， 一个是九十度减二分之一角 a， 一定要记清楚，不要记混淆。好，我们来看下一题， 好，练习。五点二呢，是一道选择题，在三角形 abc 当中，角 a 告诉我们是六十度，然后 fbc， abc 是 三分之一的 啊， d， b， c， o， 那 就是这个是阿尔法，那这个应该是几阿尔法？两二倍的阿尔法对不对啊？他是他的三分之一的角，这个可不是角平分线模型了啊，我们要先先考考虑清楚，那再看这边啊， fbc， fcb 那 一样的，这边是两倍的角贝特。好， 那这样的一个图形怎么做呢？哎，我们还是要利用什么？利用我们的 a 字模型来先代入啊，我们的 a 字模型大家还记得吧？啊？ a 字模型长什么样啊？ a 字模型两外角之合， 对不对？哎，角一加角二等于一百八十度加角 a， 这是我们的 a 字模型对不对？那此时的角一是谁？角一就是三倍的阿尔法 角 b 啊，角二是谁？角倍？角二就是三倍的 beta， 哎，加起来等于一百八十度，加上角 a， 角 a 是 六十度。 哎，那我们提出来一个三倍的，那就是三倍的阿尔法加 beta 等于二百四十度，那阿尔法加 beta 就 等于多少度？哎，八十度。好，那我们再看阿尔法 beta， 它们同时在哪个角里？哎，在哪个三角形里？ 哎，是不是在 b、 c、 f 当中？是不是？那 b、 c、 f 当中是不是角？阿尔法加上 beta 再加上角 f 是 不是等于一百八十度， 对不对？哎，加上角 f 等于一百八十度。好，那我们刚才求出来了，阿尔法加 beta 等于八十度，那所以说我们的角 f 等于多少度啊？哎，是不是等于一百度啊？所以说正确答案选 a。 哎，所以说我们在做几何模型的时候，要切记，要把这些模型给记准确，他们之间是可以互相去用的，哎，只要你够熟练，这些几何问题一目了然。好，今天的课就到这，我们明天再见。

好，同学们，我们今天来继续学习一个新的模型，叫做双内角平分线模型，这个角平分线模型啊，分为双内角和内外角，包括还有一个是双外角模型啊，今天呢，咱们先来学习第一个叫双内角模型。双内角平分线模型，它的概概念和理论是什么呢？它的结论啊，首先是角 d 等于九十度，加上二分之一的角角 d 是 什么角？角 d 就 像在肚子里边一样，我们称之为负角 啊，负中的负啊，负角，那么负角等于九十度，加上二分之一的顶角，你可以这样去记，对吧？那我们来看一看，他是怎么证明的呢？这个结论是从何而来的，我们来证明一下啊。我们可以根据三角形的内角和，对吧，那么来看一看啊，三角形的内角角 c 加上角 a， 角 a 是 什么？我们看图中已经告诉你角 a 是 两个什么 r 法， 哎，加上两个二法，那再加上什么？两个贝塔是不是等于一啊？一百八十度，对吧？好，我们来看第二个三角形，就是下面这个小三角形 a、 d、 b， 三角形 a、 d、 b， 那 它是由谁组成的呢？那是由角 d， 哎，加上谁一个二法，再加上一个贝塔，等于一百八十度， 对吧？我们根据三角形内角和我们可以得到这两个式子，哎，那我把这两个式子给它标上序号，我们看看这两个式子之间有什么关系啊？我们肯定是想让他们俩使 c 跟 d 出现在同一个算式里边，那我们就把两个那个式子就给它结合一下，对吧？我们把二式 二式乘以二，对吧？就能得到二二二倍它了啊，再把再用一式减去它，我们来看一看能得到什么啊？先看二式乘以二以后是二倍的角 d 啊，二倍的角 d 加上两个二法，再加上两个贝特，等于三百六十度，对吧？那我们再用一式来减它呢，就是角 c 减去二倍的角 d， 哎，两个二法跟两个贝特全部消掉完，等于一百八十度减三百六，一百八十度减三百六，等于负的一百八。按到，其实我们也可以用二式减一十都行啊，没关系，我们来看一下，那角 d 等于什啊？负的二角 d 等于什么呢？就等于负的一百八十度减去角 c， 对吧？等式两边同时除以负二，那角 d 就 等于负一百八，除以负二等于正九十，哎，减减角 c 除以负二，等于加上二分之一的角 c， 哎，所以说我们就能推导出来这样一个结论了， 角 d 等于九十度，加上二分之一的角 c， 角 c 是 顶角，角 d 是 负角。好，我们来把结论记下了，我们来做做题，来练习练习。 好，我们来看例三，例三这道题啊，首先呢，我们来观察它是由两个什么哎，两个内角的平分线组成的，对不对？那肯定符合什么双内角平分线模型，哎，我把这中间这个负角给它起名角一。好吧，那么想想我们的这个双内角平分线的结论是什么？ 是不是角一等于九十度，加上二分之一的角 a， 哎，这道题的角 a 也是我们模型的 a， 那 就没有问题。 好，我们来看一看题目中给的已知条件啊， boc 等于一百二十五，那也就是我们的角一是一百二十五度，对吧？那我们可以把角一代入啊，直接来求一下我们的角 a 等于多少就行了。哎，这个题不难解出角 a 等于多少， 等式两边可以先减去九十，对吧？减去九十等于三十五，哎，三十五度，然后三十五度是一半。 哎，那我们看这道题求的是什么啊？求的是 b o a 啊， b o b a o 啊，求的是角 a 的 一半，是不是？哎，求求求，角二角二是不是角 a 的 一半？是不是因为 a o 是 什么呀？角平分线吗？对吧？ a o o a 是 角平分线，所以说我们的这个角就是七十度的一半等于多少？三十五度，答案选 b， 七十的一半等于三十五度。好，其实这道题也是根据我们的什么呀，双内角平分线的结论是什么？就是负角等于九十度，加上二分之一的顶角。好， 好，我们来看练习三点一啊。这道题呢，其实已经告诉我们了，这个 b、 d 跟 c、 e 呢，都是两条角平分线啊，也是在三角形的内部，所以说它符合双内角平分线模型。哎，双内角平分线的模型概念就是负角。哎，这道题 我们就给他起名角三了啊，负角等于九十度，加上二分之一的角 a， 对 吧？好，我们把结论先写出来，我们来看一看我们这道题都给了什么已知条件。哇塞，这道题已经告诉我们角 a 是 五十二度了，对吧？那我们就可以把五十二度给代入啊，先求出角三来，对不对？角三就等于二九十度，加上 啊，二分之一乘以五十二，哎，五十二度的一半是多少呢？就是二十六度，二十六度加九十度等于一百一十六度，好，角三是一百一十六度，他求角一角二的和啊，那角一角二角三，他们三个是不是在同一个三角形内啊？那角一角二的和是不就等于 等于什么？同学们，是不是一百八十度减一百一十六，对吧？减一减二的和就等于一百八十六减角三，对不对？所以说不难算出来，这道题应该等于六十四度，哎，答案是六十四度，好，同学们觉得应该是没有问题吧。好，我们看下一题。 好看，练习三点二，练习三点二，同样也告诉我们，角 b、 角 c 的 平分线交于一点，那还是内角平分线，肯定是双内角平分线模型啊，双内平分 好。所以说我们搞清楚它是什么模型了，就先要把结论搞出来，是不是结论是什么呢？负角啊，角一角一就等于九十度，加上二分之一的角 a， 哎，然后我们再去看看题目中所给的已知条件啊，题目中给的已知条件是角 abc， 也就是这个大角是四十度 啊。啊，又告诉我们角 a 是 六十度啊。这道题只要其实只要告诉我们角 a 是 六十度，那我们肯定能先求出角一，对吧？那我们可以利用先利用这个条件啊，角 a 等于六十度，我们来算一算，把角 a 等于六十度代入啊，九十加上二分之一乘以六十，那不难算出角一就等于一百二十度， 对不对？他问的是谁，问的是 b f d 啊？ b f d 啊，问的是这个角角二，那角二等于什么？角二跟角一是什么关系？互补，对吧？那所以说角一是一百一百二呢？角二不就等于一百八十度减一百二十度吗？是不是等于六十度啊？哎，是不是很简单？那这道题为啥要给了一个 四十度呢？这个条件是不是有点过剩了？那我们看看根据这个四十度我们能不能求啊？首先他告诉你角 a 是 六十，这个角大角 b 啊，大角 b 又是四十，那大角 c 是 多少？大角 c 不 难算出吧？大角 c 又是多少度？哎，八十度， 那他俩又是角平分线，那这个就是二十，这个也是二十，对不对？那这边呢？是不俩四十？ 哎，俩四十，那一个二十，一个四十，那角一也不难算出来，是不是？角一在三角形 fbc 当中是不是？ 那他也不能算出一百八十度减六十，一百二十度也能算出来，这个是一百二十度，对吧？那还那知道角一等于一百二了，角二顾名思义肯定等于六十度，是不是？所以说你用哪个都行，问题是这道题的条件还过剩，那我们一定要记住这个口诀叫做什么？负角等于 九十度，加上二分之一的顶角，你也可以直接记结论，角 d 等于九十度加二分之一角 a， 但是你得知道角 d 是 哪个角，角 a 是 哪个角好不好？同学们一定要记住，这些模型要熟练掌握。好吧，好，再见。

当一次函数遇到角平分线，该如何处理呢？大家好，我是张老师，我们今天呢真题代练八年级上册期末样卷的压轴题第十五题， 如图所示，在平面直角坐标系中，直线 y 等于负三分之四， x 加八与 x 轴 y 轴分别交于 ab 两点 角， b， a、 o 的 平分线与 y 相交于点 m， 让我们求的是 am 的 长度，那么其实大家想一想，那么这类问题啊，我们是不是类似于 折叠问题啊？折叠问题，那么如果说类似折叠问题，我们是不是依然可以去啊，找用三步法来解决这样的问题， 好，那么这个地方呢，因为 am 是 角平分线，我们此时此刻呢，我们可以过 m 点往 ab 做垂线交点为 c， 垂直为 c。 好， 那么这个时候呢，我们根据它的一次函数的解析式， y 等于负三分之四， x 加八，我们能够分别算出 a 点坐标应该是六度零， 那么 b 点坐标是零到八， 零到八，那么这样的话，我们自然根据我们的割股定律，我们能够算出 a、 b 的 长度呢，它应该等于十， 根据各股定律六八十。好，那么这个时候接着了，接下来该怎么做呢？因为角平分线，角平分线的问题呢，他跟我们的折叠问题是相类似的啊，朋友们可以这么去啊，这个思考，那么这个时候呢，我们可以设啊，我们可以设 o m 就 为 x， 实则为 x， 那 么 o m 和谁对应呢？ o m 和 mc 对 应啊，就是折叠问题，第一步呢，是找对应边和对应点的关系，那么这个边呢，也是 x， mc 也是 x。 好，那么这样一来的话，我们可以得到 mb， 我 们表示出 mb， 那 么 mb 呢？它应该等于八减 x。 好， 那么我们也可以表示出 bc， bc 呢？应该是这个地方是六，对吧？这地方是六，那么这个地方一共是十， ab 是 十，那十减六， bc 应该就等于四，好，那么接下来我们在 r 七三角形 b， c， m 中，我们根据割股定律列方程， 列方程。好，根据割股定律来列方程，我们就可以去列出啊，这个 mc 的 平方就是 x 的 平方，加上 bc 的 平方就是四个平方，等于 mb 的 平方啊， mb 的 方就是八减 x 的 平方， 好，我们减一下 x 平方，加上十六，就等于六十四减十六， x 加上 x 方，同样的道理，把 x 平方削掉，那应该得到十六， x 等于四十八， x 等于三，算出来 x 等于三，好，那么算出 x 等于三，我们去计算这个 a m 的 长度，我们就更简单了，对吧？同学们啊，欢迎同学们把我们的答案写打在评论区啊，那么 a m 的 答案呢？ 它应该就等于根号下，对吧？再用一次个股利率应该是六的平方加上三的平方，应该等于三十六加九，四十五啊，三六加九，四十五，四十五的话应该是三倍根号股， 三倍根号股。 好，各位同学，我们这个视频呢，就讲到这里，好，我们下一期视频再见。

好，上节课我们认识了勾股定律，我们来回顾一下，也就是 c 方等于 a 方加 b 方， 直角三角形的斜边的平方等于两条直角边平方的和，那这节课我们来验证勾股定律， 上节课我们利用方格纸探求出了过五定律的公式，那我们这节课用别的方式，第一个方法叫做必达格拉斯正法，那么这里有一个由一个小正方形和四个 直角三角形构成的大正方形，那么大正方形的边长是 a 加 b， 小 正方形的边长是 c， 那么大正方形的面积就是 a 加 b 的 平方，就等于 a 方加 b 方加二 a b， 这是完全平方公式。 又因为大正方形的面积也等于四个小三角形的面积，加上一个小正方形的面积，那么就等于四乘二分之一 a b 加 c 方加二 a b， 那么这两个式子啊，我们发现是啊，相等都是大正方形的面积，所以啊， a 方加 b 方加二 a， b 等于 c 方加二 a b， 所以 a 方加 b 方等于 c 方。第二个方法叫做照爽显图，那么同样的一个大正方形等于一个小正方形和四个直角三角形， 那么和上一个方法不同的是，这里知道的是小三角形的三条边长，那么三角形的斜边长等于大正方形的边长，小正方形的边长等于 三角形的长直角边减去短直角边，也就是 b 减 a， 那 我们来证明，因为大正方形的面积等于 c 方， 小正方形的面积等于 b 减 a 的 平方，所以大正方形的面积等于四个三角形的面积加上小正方形的面积，那么就可以写成 c 方等于四乘二分之一。 ab 加 b 减 a 的 平方，就等于 b 方减二 a， b 加 a 方，那么就等于 b 方加 a 方，所以这里还是 c 方等于 a 方加 b 方。 第三个方法是美国的一个总统政法，如图，图中的三个三角形都是直角三角形， 那么其中小三角形的直角边是 a 和 b， 斜边是 c， 那 么这条斜边又构成了一个新的直角三角形。那么我们用梯形的面积公式，上底加下底乘高除以二，也就等于二分之一。 上底加下底高是 a 加 b， 那 么去括号等于二分之一， a 方加二分之一， b 方加 a。 b 梯形的面积还可以用三个三角形的面积和来表示， 也就是等于二分之一 ab 加二分之一， ab 加二分之一 c 方，那么就等于 ab 加二分之一 c 方。上下两个式子是相等，把 ab 去掉，剩下的就是 a 方加 b 方等于 c 方。 那我们再来看，如果一个三角形是钝角三角形或者是锐角三角形，那么这三条边长是否满足勾股定律？我们用这两个图形来验证一下。 那么 a 这个正方形，我们可以画成四个小三角形，加上一个小正方形，那么它的面积就等于四加四乘二分之一乘一乘三， 那么就等于十，那么 b 的 面积明显等于九 c， 我 们可以把它分成 一个小正方形和四个三角形，那么 c 的 面积就等于小正方形。面积一加上四个三角形，面积等于三乘四，那么计算得到的是 二十五，那么我们发现两个小正方形的面积相加等于十九，要小于大正方形的面积， 也就是 a 方加 b 方小于 c 方，那么第二个图形我们同样给它拆分成四个小三角形和一个小正方形，那么小正方形的面积等于四加四乘二分之一乘一乘三等于十， 另一个小正方形的面积等于九，那么大正方形的面积等于一加四乘二分之一乘二乘三等于十三。那我们发现两个小正方形面积相加等于十九，要大于 大正方形的面积，也就是 a 方加 b 方大于 c 方。所以我们得出结论，钝角三角形和锐角三角形不符合勾股定律。那我们再来看一个门框的尺寸，如图所示， 那么一块长四米，宽二点四米的长方形波木板能否从门框中通过？ 那么来想一下木板从门框通过的方式。第一个是横着通过， 曲线表示的是木板，那么我们发现木板的宽度二点四米要大于门框的宽度一点五米，所以横着无法通过。那我们再来看竖着通过。 木板的宽度二点四米要大于门框的高度两米，所以竖着也无法通过。那么还剩下一种方法是斜着通过， 那么也就是对角线是可斜着通过的最大长度，如果 a、 c 大 于二点四米，那么就可以斜着通过。所以啊，我们就应该运用勾股定律。 在直角三角形 a、 b、 c 中，根据勾股定律， a、 c 的 平方等于 ab 的 平方，加 bc 的 平方又等于一点五的平方，加上二的平方等于二点五的平方， 所以 a、 c 等于二点五 米。所以啊，木板可以从门框内通过。 我们来看，第一，在一次军事演习中，红方侦查员王叔叔在距离一条灯西向公路四百米处侦查，发现一辆蓝方汽车在这条公路上积石， 他用红外测距仪测得汽车与他相距四百米，过了十秒测得汽车与他相距五百米，那么我们来帮助网速数数计算蓝方汽车这十秒的平均速度。 那么根据提议，我们可以画出这样的一张图，其中 a 表示的是网速数所在的位置，点 c 点 b 表示两个时刻蓝方汽车的位置。 由于王叔叔距离公路四百米，蓝方汽车出驶的位置和王叔叔也是相距四百米，所以角 c 是 直角。那么由勾股定律我们可以得到 ab 平方等于 bc 的 平方，加上 ac 的 平方， 也就是五百的平方等于 bc 的 平方加上四百平方，那么我们计算得到 bc 等于三百。 后来蓝方汽车十秒行驶了三百米，那么它一秒行驶的距离三百除以十等于三十米，所以蓝方汽车这十秒的平均速度为三十米每秒。 我们来看练习题第一题如图，学校教学楼前有一块长四米，宽三米的长方形草坪， 有极少数人为了避开拐角走捷径，那么也就是从 a 直接走到 b， 我 们来求这条径路的长度。 那么在直角三角形 a、 b、 c 中，根据勾股定律，我们得到三的平方加四的平方等于二十五，所以 a、 b 就 等于五米，那么这条径路的长就是五米。 第二问，他们仅仅少走了几步，假设两步是一米，那么也就是求 a、 c 加 b， c 的 长度和 a、 b 的 长度相比较，那么就等于三加四减五，这是 距离再乘上部数等于四步。 我们来看第一题，如图，为了测得弧两岸 a 点和 b 点之间的距离，一个观测者在 c 点设桩十角， a、 b、 c 等于九十度，并测得 a、 c 长为二十米， bc 长为十六米，那么问 a 点和 b 点之间的距离？ 这道题我们运用勾股定律， a、 b 等于根号下二十的平方，减去十六的平方，那么计算得到的是四百减二百五十六等于根号下一百四十四， 那么就等于十二。第二题，两只小鼹鼠在地下同一处打洞，我们把圆点叫做 a 点，一只朝下挖， 每分钟挖八厘米，另一只往左挖，每分钟挖六厘米，那么十分钟之后 分别挖到了 b 点和 c 点，那么我们可以根据题意得到， a、 b 的 长度是八十厘米， a、 c 的 长度是六十厘米，那么让我们求 bc 的 长度， 用勾股定律得到六十的平方，加上八十的平方开方等于一百。 第三题，如图，小明在荡秋千时发现，当秋千 ab 在 静止位置时，下端 b 距离地面零点五米。 当秋千荡到 ac 位置时，下端 c 距离静止时的水平距离 cd 为四米， 距离地面二点五米。那么问求浅 ab 的 长是多少米？那么这个题我们可以设 ab 的 长是 x 米， ac 就 等于 ab x 米。我们运用勾股定律， ac 的 长度的平方等于 ad 的 平方，加上 cd 的 平方， 那么在这里 a、 d 的 长度就等于 ab 的 长度，加上这一小块长度，再减去从 d 到地面的距离， 那么也就是秋前的长度加上零点五，再减去一个二点五，那么就等于 x 减二， 所以这个式子我们可以写成 x 平方等于 x 减二的平方，加上四的平方， 我们去括号得到 x 方减四， x 加四加四平方，那么我们移项得到四， x 等于二十， x 等于五，所以这里 ab 的 长度啊，就等于五米。 第四题，我们根据图形的以拼补可以简单直观的推理验证数学规律和公式，那么这种方法称之为无字证明，它比严谨的数学证明更为优雅和调理。 下面是用三块全等的直角三角形以拼补所形成的无字证明图形，那么这个图可以用来证明我们学过的勾股定律。 若已知直角三角形两直角边长分别是 a、 b， 斜边长是 c， 那 么图一图二的面积相等。 我们来看图一的面积 s 一 等于三个小三角形的面积二分之一， a、 b 乘三，两个正方形的面积分别是 a 方和 b 方，那么图二的面积 是三个小三角形的面积加上一个正方形的面积 c 方，那么因为图一和图二的面积相等， 所以这两个式子是相等。我们化简得到的是 a 方加 b 方等于 c 方。

哈喽，同学们，今天我们一起来看一道三角形相似全等相关的一个问题。如图一，点 b 和点 c 分 别在射线 a、 m、 a、 n 上，且角 a、 n， 它是一个钝角，现在以线段 a、 b 和 a、 c 为底边。注意啊，是以底边向这个角 a、 n 的 外侧做了等腰三角形，分别是三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e。 它说了 a、 b 和 a、 c 是 底边，所以我们得到 c、 e 等 a、 e， a、 d 等于 b、 d。 第一问，如图二所示，它连接了 c、 d 和 b、 e， 现在它们交于点 p， 连接了 a、 p。 如果说角 a、 d、 b 这个角哎，它等于角 a、 e、 c 等于六十度，说明我们刚才构造的这两个等腰三角形，现在都变成了等边三角形。求证 c、 d 等于 b、 e。 求证，刚才它连起来的这两条线要相等，那么此时我们怎么去做呢？我们来看哈，由于我们刚才说角 a、 d、 b 等于角 a、 e、 c 等于六十度，且三角形 a、 b、 d。 三角形 a、 c、 e 都是等腰三角形，所以说，此时呢，三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 e 都是等边三角形，那么此时就有了 c、 e 等于 a， e 等于 a、 c、 a、 d 等于 b、 d 等于 ab。 我 们发现啊，此时把这两个边 a、 c 和 a、 e 放在不同的两个三角形 a、 c、 d 和 a、 e、 b 当中，它已经有两条边相等了，对不对？此时已经有构造全等三角形的两个条件，就是两条相邻的边已经相等。那么如果说此时有一个角在相等，哎，它就可以证明两三角形全等了，进而就能够证明得到 c、 d 等于我们的 b、 e。 我 们来看，在这个三角形 a、 c、 d 当中有这个角 c、 a、 d， 它等于角 c， a， a， e。 加上角 e， a， d。 发现角 c， a、 e。 等于六十度，对吧？因为等边三角形嘛，等于六十度，加上角 e， a、 d。 那 么同样的，在另外一个三角形 a、 e、 b 里面交 e， a、 b， 它也等于角 d， a、 b。 加上角 e， a， a， d。 等于六十度，加上角 e， a、 d。 所以 我们得到了角 c， a， d。 等于角 e， a、 b。 再结合又有 a， c。 等 于 a， e。 然后我们的 ab 等于 a， d。 此时有边角边 s， a、 s 就 可以正得三角形 a、 c、 d。 全等于三角形 a、 e、 b。 所以 说全等三角形 a、 e、 b。 所以 说全等三角形 e、 b。

来看这道题目，这是一道什么几何综合亚洲题目。好吧，好了，那么说了这个问题呢，他首先提供给了我们一个东西，叫做问题提出。哎，提出了，提出来这一个问题。然后呢，说在三角形 a、 b、 c 当中呢，说给我们说 a、 d 是 它的角平分线，看到了吗？ a， d 是 角平分线， a， d 是 角平分线。对于这图形来说，我们说某数学兴趣小组进行了一个如下探讨，说如果我过 d 点向两边呢？说做什么呢？做 d， e 垂直于 ab， 做 d， f 垂直于 ac。 做完这个动作之后呢，他说，哎， 你会发现在这个地方， s 三角形 a、 b， d 和 s 三角形 a， c， d， a， b， d， 左侧的这个三角形，对吧？ a， c， d 呢？右侧的这个三角形，对不对？那么他说我这两个三角形的面积呢，一定是 ab 比 ac， 为什么呢？ 为什么呢？这个很简单啊，因为你左右两侧嘛，对不对？我们说面积嘛，面积跟谁有关系？面积跟底乘高有关系，那这里呢， ab 乘以 d， e， a， c 乘以 d， f， 是 不是？所以我们可以把这个式子给它还原出去，对吧？ x 三角形 a、 b， d 和 x 三角形 a、 c， d 呢？我可以写成什么？我可以分别在这个地方写成二分之一的二分之一的 ab 乘以 d， e， a， b 乘以 d， e， 是 吧？然后呢，后面呢，可以写成二分之一的什么？ a， c 乘以 d， f， 那 么你就会发现，这两个比例关系里面呢，二分之一抵消了，对吧？然后呢， d， f， d， e 是 角平分线，上一点到角两边的距离相等，所以也抵消了。最后剩了一个谁 a， b， a， c 了，是吧？ 这个地方给我们给到了 a、 b、 a、 c 理所应当的，对不对？所以这个东西呢，它是通过一个什么我们叫做等面积法去建立的一个关系，对吧？然后呢，它给我们又提出来了一个问题，说 a、 b 比上 a、 c 呢？和 b、 d 比上 c、 d 有 什么关系？ 这个时候要注意啊，这个地方 b、 d 在 这里，这是我们的 b、 d， 对 吧？然后呢，这个地方有一个 c、 d、 b、 d 和 c、 d 之比， 你换一个视角，你会发现这两个不，不也是什么？不也是我们的三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d 的 一个边吗？那我以这两个边做底，我的高在哪里呢？我的高是不是过 a 点？过这个 a 点自上而下去做一条垂线，这个地方他是不是就是我的高，对吧？ 那他既然是我的高的话，那这个时候我还可以再进行第二次的表示，对吧？我可以再进行第二次的表示，没有问题吧？是不是， 对吧？那么这个时候呢，你会发现，比如说我在这个地方可以干嘛呢？同样的 a、 b、 d、 a、 c、 d， 我 们说 s 三角形 a、 b、 d， 对 吧？比上 s 三角形 a、 c、 d， 对 吧？等于什么呢？等于二分之一的 b、 d 乘以这个 h 这一条高，对吧？那就是二分之一的什么？ 二分之一的 b、 d 乘以这个 h， 对 吧？然后呢，再比上一个二分之一的什么 c、 d 乘以这个 h 好了，然后呢？然后注意看 h、 h 抵消了二分之一，二分之一抵消了，然后呢，是不是这个面积关系还是 b、 d 比上 c、 d 呢？那也就是说你这个地方给了我一个面积关系，是 ab 等于比上 ac， 我 还可以在这个面积关系后面再续一个，续一个。 b、 d 比上 c、 d， 对 吧？ b、 d 比上 c、 d， 得了呗，问题解决了吗？问题解决了，是吧？这个地方他问我的这个东西有什么数量关系？相等 相等结束。第一问，来看一下需要我们去干嘛？说，若 ab 等于 ac 的 时候，看 ab 等于 ac 的 时候，他们俩相不相等，他俩不等的时候，我都证明相等了，他必须得相等呀，是不是？所以说呢，这个问题已经不不能造成对我们的障碍了，是吧？ 然后呢，看一下第二问，第二问，我们刚才已经证明完毕了吧？证明完毕了，那么再看一下第三问，第三问给我们。图三在这里说，如图点 e 呢？是 ab 上面一点，对吧？连接第 e 说，若 b、 d 等于三， b、 e 等于 c， d 等于二， a、 e 等于二倍的 c、 d。 求三角形。 b、 e、 d 呢？是等腰三角形来一，一点一点来啊，一点一点来。首先呢，角平分线还是角平分线？这是实打实的，是吧？若 b、 d 等于三， b、 d 在 哪里？这是 b、 d 等于三。 然后呢， b、 e 等于 cd， b e 等于二， cd 等于二。说 a、 e 等于二倍的 cd， a、 e 等于二倍的 cd， 想表达什么呢？看一下主题干，主题干好像没有什么直接性的条件，他只告诉了我这个地方呢， a、 d 是 角平分线， 只告诉了我这么一个事实，对吧？ a、 e 等于二倍的 cd 三角形， b、 e、 d 要求等腰三角形呢？要求等腰三角形， 怎么办呢？那正常情况下，我们说看到小平分线的时候，你自然而然的这个在这个地方采取相应的动作呢？这个地方给我 a、 e、 a、 e 说 a、 e 等于二倍到 c、 d， 那 c、 d 等于二，这个地方是不等于四，对吧？等于四，这个地方等于四，还有什么信息吗？没了， 这里有个四，这里有个五，没了，没有其他额外的信息了。说三角形， b、 e、 d 呢？要是等于三角形呢？忽然之间就让我们去证明这么个信息，所以你要去看啊，如果说你不知道这个题目怎么做的时候呢，一定要去慎重的，慎重的去分析他的条件，看看有什么能够帮到我们的吗？有什么能够帮到我们的？ b、 d、 c、 d 有 了 ab 有 ab 有 了 ac， 哎，你注意看，我们刚才这个等式关系是不还搁这摆着呢？这是我们在这个题目里边的主信息啊，是不是这个主这个信息呢？能告诉什么？你像这个题目里边有角平分线了，我们说 ab 等于几？ ab 等于二十四加等于六，是吧？ 六，六比上什么 ac， ac 我 不知道，我给上 ac， 对 吧？然后呢？ b、 d 比上 c、 d， b、 d 等于几？ b、 d 等于三， cd 等于二。好了， 确定了吗？ a、 c 等于几？三比二等于六比几？六比四，所以呢，这个地方是四，那这个地方是四的话，我们说角，角，角一等于角二，这两个角相等，完事呢？两边还相等，中间还有一条公共边，两三角形全等了没有？全等了，一全等的话，这个地方的二是不走到这来了，所以他要，他要写什么 三角形， b、 e、 d 呢？是不是，是不是等于幺三角形呢？是的，没有一点问题是，好吧，所以这个第二问呢？第三问呢？也搞定了啊，限阶段呢？我们就看一下我们最后一问，第四问，第四问呢，它表达的是一个这样的一个图形啊，三角形 a， b， c 是 一个， 嗯， a， c， b， a， c， d。 然后呢 e、 d。 我 们把这个图呢往下划一下啊，往下划一下，咱们看一下这个信息到底在这个地方想要表达什么？ 首先呢给我们给了一个什么？给我们给了一个顶角，是六十度的角，顶角是一个什么？六十度的三角形，那我们可以在这个地方看，先去画一个任意画一个状态的顶角为六十度的等于幺四，不是等于幺三角形，就是三角形这么个三角形。然后呢给我说了这个地方呢有一什么， 呃，给我说了这个地方呢，有一信息说 c、 e 呢是 abc 的 角平分线， c， e 是 abc 的 角平分线。然后呢 我们看一下这个是 c， e 在 这边，是吧？那从这个地方呢引出去，从这个 c 点呢引出去一个角平分线，是吧？然后呢这个地方他说我也引出去一个角平分线了，是吧？ 好了，就这么个信息啊，就这么个信息。然后呢咱们可以看到他的信息里边呢，还有个 b、 d， e， a， c。 来，先把 b， d， e， a， c。 好 了，这么多信息，完事这再读它的条件啊，再读它的条件，角 abc 等于六十度，这个角，这个角给我们给出来六十度， 这个角六十度想表达什么？下面有两个角平分线，我们能读出来这个地方是多少，我给他给一个 o 点啊，我给这给一个 o 点，给这给一个 o 点。之后呢，注意看角 b， 角 b 等于六十度，能得到什么？角 b 等于六十度，我们能得到下面的角 b a、 c 和角 b c a 合为一百二角，角 b a c 加上角 b c a 等于一百二十度， 这个一百二十度能接着干嘛呢？记住他各自取了一个什么一半，对吧？我这两个角是不各自的一半，那这两个角如果说是角一和角二的话，我是不是可以理解这两个角的和呢？就是多少？就是六十度。所以呢，我在这个地方再取角一加上角二等于六十度， 他是六十度。上面这个地方角 aoc 是 多少度？角 aoc 是 一百二，这个地方是不也是六十， 对不对？这个地方是不是也是六十？好了，明白了吗？这个动作一定要补清楚啊，补清楚之后咱们再干其他的事情的时候呢，你自己心里边是明确的。并且啊，你注意看这个地方，我们说了 c 一 是角平分线，角 abc 呢是六十度。好了， 这种情况呢，往下去做做什么呢？在已知的角平分线的基础之上，往下去做什么？往下去做截取，将 c e 呢？将 c d 这个边呢给他截取下来。截取到什么？截取到 f 这个位置，这样一来的话，我们说这个地方会造成什么关系呢？ 这样一来的话，我们说这个地方就会造成说，哎，我的三角形，这个三角形和这个三角形是全等的，这个三角形和这个三角形是全等的，这两个三角形，这两组三角形呢，都是全等的。然后咱们转身过来呢，再看一下什么？再看一下这个地方的问题，问题是什么呢？ e o 比上 c o 呢是几？ e o 比上 c o 是 三比五， e o 比上 c o 是 三比五， 能干嘛？作为这样一个比例，我们能够直接性的得到什么？这是 e o 比上 c o， e o 比上 c o， 我 们是不是可以得到 a e 比上什么 ac 啊？对不对？所以在这个地方，从这直接从上面的条件里面得到这里 a e 比上什么 ac 等于多少？ a e 比上 ac 呢？就是三比五了，那也就是说我们可以理解啊，这个地方 a e 呢，比上 ac， 它是三 x， 下面就是五 x， 而三 x 呢，可以挪到 a f 这，这是三 x， 那 这个地方就是二 x， 对 吧？行了，那么 a o 比上 c o 呢？ 你看 a o 比上 c o， a o 比上 c o 是 几比几呢？这个地方是三 x 二 x， 对 吧？三 x 二 x 的 话，那我说了，你的三 x 二 x， a o 比上 c o， 是 不是这个地方也是角平分线呀？ 对不对？这个地方也有一条角平分线，所以 af 比上 c f 呢，就等于 a o 比上 a o 比上 c o， 所以 这个题目呢，最后的结果是二比三， 问题解决了吗？解决了。所以你倒过来去看这样一整道题目，整个的一个路径的话，他其实是非常复杂的， 但是呢，他这个复杂性呢，体现在他跟其他的很多的知识点呢，是属于一个结合性的，而且呢是属于一个层层递进，你要不断的消化这个原题干里面的知识点，从中呢去对应到这个地方，给到相关的什么反馈，用到你的题目当中，当你卡住的时候呢，你要转身去回看人家，就这个题目而言，他在干什么呢？ 知道吧？这是我们这个地方的核心，而不是说单纯的把这个题目给他卡住了，你卡住，你要习回忆形成一个习惯，就是我卡住的时候呢，有两个方向是我必须要考虑到的，第一个方向就是这个题目的原题干。 第二个方向呢，就是我在做这道题目的时候，这个题目大的一个考点，考点是什么？比如说这个图角平分线模型，对吧？那么这个题目本身呢，他的核心是什么？就是他前面说的这个比例关系， 我们最开始证明的这个比例关系，看到了吗？就做的是这个事情，你得先呼应到这来你才能够知道。哎，这个题目呢，一共有这么两方面的切入点呢，你不会你也得会了，好吧，好了，这个题目呢，咱们就说到这里啊，咱们。

三步破折叠类问题大家好，我是你们的张老师，是不是有的同学一碰到几何折叠问题就头皮发麻了？好，别划走，今天张老师教大家三步就能解决折叠的问题。 我们今天跟大家讲的是玄武区的一道八年级上册的期末样卷，我们看第六题，关于一个正方形的折叠问题，结合我们的直角坐标系， 如图，在平面直角坐标系中，正方形 a， b， c， d 边 ab 在 x 轴上点 a 的 坐标呢，为负二角零 点 e。 在 c、 d 的 边上，将三角形 b， c， e 沿着 b、 e 进行折叠，点 c 呢，正好落在点 f 处，若点 f 的 坐标是零六， 则一点的坐标让我们求一点的坐标好，那么因为是折叠问题，所以说我们先搞定啊，先搞定，那么折叠类问题的第一步就是寻找对应边 c， e 和我们的 e f 式对应边，我们的 b c 和 b f 式对应边 好，那么找到对应面以后呢，我们怎么办呢？我们想办法去第二步，表示在这个地方呢，我们不妨去设正方形的 边长为 a， 那 么因为 a 点坐标是负二负零，所以说我们就设点 c 的 坐标为 a 减二逗 a 好， a 减二逗 a 好， 然后呢，我们再去啊，寻找这个， 呃，再去表示啊其他边的长度啊，那么这个时候呢，这边为 a， 那 么这边呢？ b、 f 呢？自然为 a， 因为它们是对应边好，那么因为 f 点的坐标呢，是零逗六， 所以说 o f 的 长度呢，就是六好，那么因为这个 a b 长度是 a 啊，那么 o b 长度就是 a 减二 好，那么我们啊，把我们的对应边关系找到以后呢，我们的第三步呢啊，就是去啊，寻找等量关系列方程，解出 a， 那 么在这个地方，大家一眼能够看出，我们可以根据勾股定律， 在 r t 三角形 o b f 中， o b f 中啊，我们去这个根据勾股定律啊，那么就会由六的平方加上 a 减二，括号的平方等于 a 的 平方，我们减一下三十六，加上 a 的 平方减四， a 加四 等于 a 的 平方，左右两边都有，我们可以把它约掉， 结果剩下四 a 在 左边，右边是四十， a 等于十。 好，那么算出 a 等于十，我们这个地方呢，我们就可以知道啊，边长是十，那么我们就可以知道 c 点坐标就应该是 a 减二，逗啊，不是 a 减二，是十，八逗，十 八到十。好，那么这道题呢，它让我们求的是点 e 的 坐标啊，我们还要去啊，还要去啊， 这个算出点 e 的 坐标，那么算出点 e 的 坐标呢，我们这个地方呢，要算出 c e 的 长度啊， c e 的 长度，如果说我们把这个地方交点标为 h 啊，也就说我们要去表示出 这个 h e 啊，它的长度多少，那么我们只要能算出 h e 的 长度呢，我们自然能够啊，这个得到我们点 e 的 坐标，那么在这个地方呢，我们会大家会发现这个 c g 呢，和我们的 e f 呢，它也是对应相等的啊，对应相等的，那么如果说我设这个地方为 b， 那 么自然 e f 为 b， 那 么 e f 为 b， 那 么我们就可以推出什么呢？我们就可以推出 h e， 那 么 h e， 它应该就是八减 b， h e 八减 b， 那 么我们这个地方呢，我们能知道 f h f h 的 话，应该是十减六等于四，对吧？十减六等于四，这个时候呢，我们再根据勾股定律 在 r t 三角形 e， f、 h 中再用一次根古典理啊，那应该就是四个平方加上 八减 b， 括号的平方应该等于 b 的 平方。好，我们再计算一下，十六加上六，十四减去十六个 b 加上 b 方等于 b 等于 b 方啊，等于 b 方。好，我们把这个左右两边的 b 方可以把它约掉。 结果得到什么呢？十六个 b 应该等于八，十 b 等于五， b 等于五，那么 b 等于五，这个时候我们就可以算出 c 等于五，那么 h e 呢？它就等于等于三， 等于三，所以呢，我们就能推出这个点 e 的 坐标，它应该是三到十。所以说这道题呢，我们就分享到这里啊，我们下一期视频再见。

还在用代数定算距离吗？塑形结合加两点间距离最短，答题速度直接翻倍！学霸都在偷用的神操作，点赞关注，三秒钟教会你好， 我们今天呢，跟大家继续分享二零二五杠二零二六玄武区八年级上册期末的这个压轴题第二十五题， 这是一道非常好的塑形结合的题型，如图，一条河流 b、 d 长度是十二点 b 的 正北方向四千米地方有一个 a 村庄。我们可以标一下， 在点 d 正南方向两千米有一个 e 村庄。他说在 b、 d 上建一座桥 c 啊，那么使得 c 道 a 村和 e 村距离和最小。那么根据以上信息啊，回答下列问题，他说将桥 c 建在何处时，可以使桥 c 到 a 村和到 c 村的距离之河最小。 请在图中画出此点的位置。那么这道题呢，很显然，它告诉我们一个道理，两点之间线段最短。我们就利用这个最基本的几何常识就可以解决这个桥架在什么地方，我们去连接我们的 a、 e， 那 么 a、 e 与我们的 b、 d 的 交点就是我们桥所驾驶的位置啊，就是 c 点处。 那么第一个问呢，他说在图中画出点 c 的 位置啊，我们就这样连接就可以了，那么 c 撇呢，就是我们的 这个巧数加的位置。我们看第二个问啊，他说小明发现是 bc 等于 x， cd 等于十二减 x 啊，是 bc 为 x 啊，我们这个 cd 呢，是十二减 x。 然后呢，他说这个 a c 加 c e 啊，我们也可以用怠速的方式呢去表达啊，就是根号下 x 平方 加上四个平方开根号各五厘米，那么就可以得到什么 a c， 然后 c e 呢？是十二减 x 平方加根二的平方开根号，那么可以得到 c e 的长度，那么根据一中的结论呢？其实根据一中的结论啊，其实我们就能知道啊， a e 是 最短的连，直接连接 a e， a e 是 最短的， 那么这道题呢，其实啊，将一个怠速的这么一个问题啊，转换成了一个几何的问题，几何的问题， 所以说这道题呢，我们就可以直接算出来了啊，直接算出来，那么呃，我们可以把它用割股定律去算一下 ae， 我 们把这个 ab 延长， ab 延长，然后呢我们把它延长过来啊，延长过来， 那么这个时候呢啊，我们把它称为叫这个 b 撇啊， b 撇，其实 ab 撇应该这个时候应该等于多少呢？ ab 撇其实应该等于四加二等于六啊，那么四加二等于六，那么这个 b 呢？其实啊，他说等于十二，那么这个呃两村的这个 b d 两点的距离呢，就是十二， 然后根据个股利率可以算 a e 啊，根据个股利率算 e， 那 么根据个股利率算 e 呢？应该是六的平方啊，等于这个三十六，十二的平方等于一百四十四，一百八，一百八的话，应该等于这个六倍根号六倍根号 六百根号啊，等于根号一百八，六百根号五，那么这是个第二个问啊，其实这个第二个问呢，它其实就告诉我们的这个啊，用要学会用塑形结合的思想来解决这类什么综合题。 好，我们看一下，再结合我们这个第二个问的这种思想， 这个思想就是塑形结合， 然后呢来解决我们的第三个问提出的两个问题啊，两个问题，那么第一个问题呢，我们看从这个 呃怠速式的这个形式呢上来看的话，跟我们第二个问是类似的啊，所以说我们就根据第二个问的这个做题思路呢，就能够把它给做出来啊，我们可以简单的去做一做啊，他说 x 平方加九， 那么这个地方我们设 abc 是 x， 那 么 ab 呢？加九九是三的平方，那证明 ab 的 长度是三，那么这个二十四减 x 啊，这边是 c， d 是 二十四减 x， 那 么证明 b d 的 长度呢是二十四， 那么 d e 加十六啊，加十六呢，证明 d e 呢？它是等于四啊，所以说我们继续啊，延长线啊，然后 换一下，那么这个地方呢，应该也是四，对吧？这地方也是四，那么两点之间，那么这个线段最大，我们连接 a e 就 可以了，对吧？那么这个长度应该是二十四，那它应该是 七的平方，加上二十四的平方，应该等于二十五的平方，那么这道题正好符合个股数啊，所以说这道题的答案呢，最小值呢，就等于二十五啊。好，这是我们的 d 第一个小问，我们看第二个小问啊，那么第二个小问在形式上来讲的话，可能区别于我们的第一个问啊， 那我们肯定要去啊，进行这个变形啊，进行变形，我们可以把这个式子呢，可以把这个形式呢做一个改变，等于什么呢？我们把把二把它放到根号里面去啊，二分到根号里面去，二分到根号里面去的话，就是二 x 括号的平方就是 c x 平方加上十六， 再加上一个根号下十六减二 x， 括号的平方加上二十五。 那么大家看，这样一改完以后啊，我们这个形式呢，跟我们的一号形式就很类似，然后接着呢，我们就可以用我们刚才的思路呢，塑形结合的方式呢去做题。 好，我们怎么做呢？ bc 是 二 x， 那 么这个 b d 呢，就应该是十六减二 x， 那 么也就是说意味着 b d 的 长度是十六，对吧？然后加上十六呢，证明 a b 等于四，对吧？加上二数，证明 d， e 等于五， d e 等于五。然后我们去还是跟我们上一题一样，我们去连接啊，连接这个 做个直角三角形啊，通过这个两点之间线段最短，对吧？来啊，根据勾股定律啊去计算啊，那应该是这边是五啊，这边是十六，那应该是 a e， 就 它的最小值就等于我们 a e 的 值， a e 就 等于根号下 九的平方加上十六的平方， 加上十六的平方 啊，不是十六啊，是六，我看错了啊，应该是六的平方啊，我看错了， 加上六的平方，那它应该等于根号下八十一加三十六等于一百一十七啊，根号下一 百一十七，那么一百一十七的话应该等于，呃，九，九乘以十三，对吧？ 九乘以十三啊，九乘以十三应该是三倍根号十三啊，所以说我们第二个问， a e 就 等于三倍根号十三啊，好，那么我们这个视频呢，就录到这里啊，好，我们下一个视频再见。

大家别怕绊脚模型了，因为脚虽然是一半，但是我们的人生却是满的。我们来看一下，这是一个正方形当中的绊脚模型，你搞懂了正方形当中的绊脚模型，你等腰直角三角形当中的绊脚模型 也就很清楚。当然绊脚模型，特别是正方形当中的绊脚模型，没有我们想的那么容易去搞懂，它可以涉及到整整的十七个结论了。 对于我们八年级，也就是我们刚刚学过全等这个阶段的绊脚模型呢，我们只需要掌握六个结论。我们先来看第一个， 当然绊脚模型的条件很清楚啊，就是在正方形 a、 b、 c、 d 当中，有一个角算四十五度，它可能会涉及到哪些结论？第一个结论就是 b e 加 d f 等于 ef。 当然在我们八年级刚刚学全懂的这一个阶段呢，我们看到这个结论，其实我们心里面就有数了，我们可能会截长，可能会补短，到了九年级，我们会换个说法叫旋转。现在呢，我就先按八年级的这个思路来叫截长补短，我就来补短吧， 这个 b e 加 df 等于 ef， 那 么意思就说 b e 边和 df 边都是我们所谓的短边， ef 是 长边，那我就把这个 e b 延长出去，延长 e b 至 h， 使这个 d f 等于 b h。 延长 e b 至 h， 使 d f 等于 b h。 那 么这个时候大家就会发现我们的 a、 d 是等于 ab 的， 为什么呢？因为这是正方形的两条边，其次角 d 是 等于角， a、 b、 h 都是九十度，那么我们的辅助线又说了是 d、 f 等于 b h， 那 这三个条件就可以让我们得到三角形 a、 d、 f 全等于三角形 a、 b、 h 这两个三角形全等，那么全等完了，方便表达的情况下呢？我把这标个角一，这个角标个角二，这个角标个角三啊，那么我们就可以得到角一等于角三， 接下来就要利用半角了。由于 b、 a、 d 是 九十度，然后角 e、 a、 f 是 四十五度，那么我们的角一加角二就该是 四十五度，角一加角二等于四十五度，角一又和角三相等，所以角二加角三等于四十五度，角二加角三是谁啊？是角 e h， 那 么 角 e h 和角 e、 f 就 相等，他们都是四十五度了。那么我们再来看一下刚才说的这一组全等全等完了，就应该有 af 等于 a h， 再加着中间有一个 a e 等于 a e 这一组公共边，那么这样我们就把另外一个全等隐隐藏的全等给挖出来了，是谁呢？是三角形 a、 e、 f 全等于三角形 a、 e、 h。 那 么既然这两个全等了，那么所以我们就可以很快就可以得出我们的结论， e、 f 等于 e h。 那 你在图上看一下 e h， 它等于这个 b e 加上 h b b e 保留 h b 等于谁啊？由这个全等 h b 就 等于 d f， 所以 咱们的第一个结论就这样得正了。 ok， 接下来我们来看下一个结论，说 a e 平分角 b e f。 我 这把 e f 连接一下， 这个是怎么得来的呢？因为我们刚才在前面这个地方正了三角形 a、 e、 f 和三角形 a、 e、 h， 它们是全等的，我把它补全， 这两个三角形全等，然后它们的对应角就该相等，所以我们就能够得到 a、 e 平分角 b、 e、 f， 当然我们的 a、 f 也就平分它。为什么我们刚才可以把 e、 b 延长到 h？ 其实我也可以把 f、 d 延长上角换个颜色， 我同理可证， 三角形 a、 f、 g 和三角形 a、 f、 e 是 全等的，那自然这里也就是一条角平分线了。这是我们的第二个结论。再来看 第三个结论，说三角形 a、 b、 e 的 面积加上三角形 a、 d、 f 的 面积等于三角形 a、 e、 f 的 面积，这是怎么来的呢？我还是把刚才的图补充完整。 我们在证那个结论一的时候，就知道三角形 a、 r、 f 是 全等于三角形 a、 b、 h 的， 而且我们还证了三角形 a、 e、 f 和三角形 a、 e、 h 这两个三角形是全等的。 那么也就说，如果我把这个看作是面积是 s 一， 那么这的面积就也是 s 一 了。如果我把这个看作 s 二，那么我们的 a、 e、 h 的 面积，它就也是 s 二了。好，那么你从这个图上就很容易能够看出来，三角形 a、 b、 e 加三角形 a、 b、 h 的 面积，它就刚好是我们的 s 二，也就是是我们三角形 a、 e、 f 的 面积。根据这样一个关系， 很容易就能够得到我们的结论三。 ok， 再来看结论四，结论四，说 a、 i 等于 ab， 这个 a、 i 是 谁让我把它做出来啊？ 如果我过 a 点往 e、 f 作为一条垂线，这个 a、 i 就 该等于正方形的边长，这个是怎么得正的？我们由前面的结论我们知道角 a、 e、 b 和角 a、 e、 f 是 相等的。 然后我们来观察这三角形 a、 e、 b 和三角形 a、 e、 i 这两个三角形啊，有这一组角是相等的，然后有 a e 等于 a e 公共边呐，然后完了过后还有我们的角 b 等于角 a i e， 这都是九十度吗？所以我们就可以得到三角形 a e i， 它是全等于三角形 a e、 b 的。 那么既然这两个三角形全等，那我们的这一个结论四也就得正了。 ok， 再看下一个 结论五，说三角形 c e、 f， 它的周长是这一个边长的二倍。来，我们先来看一下三角形 c、 e、 f， 它的周长是哪几条边啊？它就等于 ef 加上 c e 再加 c f， 我 们前面已经证明过了，结论一段已经证明过了， e f， 它是等于 b e 加 d f 的。 那我就用 b e 加 d f 去替换掉 e f。 来看一下 b e 加 c e， 它就是我们的 b c d f 加 c f， 它就是我们的 c d， 这样一来的话，三角形 c、 e、 f 的 周长就是我们正方形边长的二倍了。记得点赞关注哦！

雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！ hello， 各位同学，我们一起来看一下初二年级上册期末考试二四到二五年最新一年的期末考试的压轴题目，它到底难度怎么样？ 好多同学呢，都跟老师吐槽，哎，说老师自从这个考试呃，改革改变以后的话呢，呃，压轴不再是一次函数了，变成了这种几何问题，我觉得也挺好， 正好呀，咱们的中考压轴也是几何问题了，不再是二次函数了，所以我觉得这种改编还是比较适应中考的，对大家来说呢，是件好事。这个题在做的时候，记住老师给到的诀窍，就能事半功倍， 我们一起来看一下啊。首先大家可以暂停读一下题，在这里老师把一些关键信息来标注一下。诀窍一，大家记住了，就是把相等角用 相同的字母来标注一下，比如这个题目里头啊，角 a、 b、 c 等于九十度， b、 d 是 角平分线，那这里呀，你不用用什么小 a 小 b 来表示了，它就是四十五度 啊。那再往后的话呢，可能就是还有一个角平分线，比如说角 p m n 等于角 c p n。 那 这样一来呢，比如说我把它用两个小 m 这样的字母来表示一下，同学们放心大胆的表示都是可以的啊。 第一问，让我们求的是角 b、 f、 p 的 度数好，求的是它的度数。那么 利用五十度这个条件，我们都能得出哪些信息呢？大家刚开始的时候大胆标一标，比如说角 c 是 四十度，再比如说同位角也是五十度，这二 m 的 话呢，就应该等于一百三十度这个样子啊， 那这样一来的话呢，同学们就明白了，所以我们可以发现 m 就 应该等于六十五度，最终回到求角 f 的 啊，这个角 b f p 的 问题上，在这里啊，方法不一样，老师用到的是一个八字 模型，就这个八字啊，根据，当然这个模型我们也不能直接写到过程当中，也是需要咱们自己来稍微的推导一下啊，你，当然方法很多，同学们，在这里我首先看到这个模型了啊，思路和大家来说一下，那就有了这样一个等式啊，这 m 的 度数加上角 b f p 的 度数，就等于对面的四十五度，加上四十度，其实没啥神奇的，同学们，大家做的慢一些，用什么内角和外角了，往出，稍微推导一下也是 ok 的 啊， 那这个就能很快算出来，角 b f p 的 度数，此时此刻等于二十度。好，紧接着第二小问呢，把具体的度数给我们抹掉了啊，他也是为了防止我们测量嘛，同志们， 然后呢，说用这个阿尔法的代数式来表示 b f p， 其实呢，你说这个题不也是送分题吗？ 你第一题会做，第二题只不过是把具体的五十度换成用阿尔法表示得了啊，那你说这个 m， 这个 m， 这二 m 不 就等于一百八十度减二分之一阿尔法， 好，这个四十五度呀，它是不会变的啊，因为 b d 还是角平分线，角 abc 还是九十度，那只不过这个角 c 此时此刻和阿尔法是互余的，它就应该写成九十度减阿尔法。 那么同学们注意到了，老师继续延续上一道题的八次模型，得到一个结论啊，九十度减二分之一阿尔法，也就是我的这个 m 啊，这个度数 加上角 b f p 就 等于四十五度，加上小括号，九十度减阿尔法，看着式子有点长，实际上我们做起来呢，还是非常容易的。角 b f p 的 度数咱们来看一下，左右两边九十削一个啊，减二分之一阿尔法移到右边变成加了，这样就变成四十五度减二分之一阿尔法。哎，这里还有个小诀窍，同学们，这第一问， 我们是可以把具体的数据带进去，看看咱这个推导的正确不正确呀，你把阿尔法等于二十五度啊，这个五十度带进去，那就可以算出来角 b f p 的 度数确实是二十度啊，这个是没问题的。好，接着往后来看， 来到了第二小问，这个小题就需要大家来画图了。嗯，那很多同学，其实老师感觉很不错的一点是，大家现在啊已经这个怎么说呢，有了条件反射， 见到这种题呢，都觉得，哎，情况可能不止一种，我觉得这个想法挺好的啊。呃，你说老师是不是有点这种杯弓蛇影的感觉呀，有点像受惊之鸟，那我觉得有时候自我防备的感觉是很好的啊，那有没有分类讨论呢？我们就当他有， 假如说你看 p 点在线段 c d 上，呃，然后他又做了角 c p m 的 角平分线， 哎，大家注意来看啊，这个时候就变成这个样子了啊，来，我把这个图呢稍微给它挪一挪。嗯， 你看，这个时候大家会发现有个比较好玩的地方啊，你看这是点屁，这是 m， 然后角平分线，我还是用小 m， 小 m 这么来标记一下， 嗯，其他的呢？这就是 f 了，对吧？啊，他说了交直线 b d 与点 f， 那 这个时候我们观察上去，你会发现啊，这个 b f p， 那 角 b f p 这里应该是个钝角啊，那怎么表示它的度数呢？还是老道老，老道理，老规矩啊，这是阿尔法 啊，这还是四十五度。要想表示这个钝角的话呢，方法也很多，那比如说，在这里，老师推荐外角定律啊，那么这个度数就等于它不相邻的两个内角的和在三角形 dpf 当中。那我们一个一个来解决，首先，角 fdp 角 f d p， 它就等于阿尔法加四十五度，大家看老师标的就明白了，在这里我求 f d p 这个角，哎，又用了一个外角定理啊，它就等于阿尔法加四十五度。直接写出嘛，咱们就不用考虑过程的事儿了。 紧接着呢，这个角 d p f， 它就等于 m 啊，是个对零角。那小 m 呢，毫无疑问，还是九十度减二分之一阿尔法 好。这样一来，把这两个角加起来，阿尔法加四十五度，再加上九十度减二分之一阿尔法，最后的结果就是一百三十五度加二分之一阿尔法 好，这就是其中第一个答案。那说老师还有其他的可能吗？是的啊，是的，为什么老师这么说呢？因为你看看啊，咱们得试一试。同学们，你大概试一试啊，假如说我把 p 点再往右挪一挪啊，我挪的多一些，哎呀， 来，挪得多一些，再画一条角平分线，这时候大家应该会发现有点不太一样，哎，你发现出现什么事了？哎，这个 f 点要跑到外头去了，那我还得找一条线把 d b 延长， 哎，就为了和你的这个交于 f 点，那你看，这个时候 f 啊，又变成了一个小锐角啊，这还是我的小 m， 小 m 啊。那你说，此时此刻，同学们，角 b、 f、 p， 这个角该怎么求呢？哎，就是这个角的度数，我们该怎么去求它呢？也很简单，你看，利用外角定里， 角 a、 d、 f， 或者说角 a、 d， b 啊，就等于我们要求的角 b、 f、 p 加上，哎，这个和这个是对顶角呀，加上一个小 m 啊，利用三角形 d、 p、 f 的 一个外角定里，那这样一来，我们的主角咱们就知道了。首先得求角 a、 d、 f， 角 a， d， f。 在 这个三角形当中，这是 r 法，这是四十五度，根据内角和我们能推出来应该是一百三十五度减 r 法。哎，那么继续，同学们， m 还和刚才的一样是九十度减二分之一 r 法。 所以啊，到这里，角 b、 f、 p 大家就能推出来了，它应该等于一百三十五度减 r 法，再减去一个 m 小 括号啊，记得一定带小括号，减去九十度减二分之一阿尔法。好，最后呢，就等于四十五度减去二分之一阿尔法。这就是这道小题的第二个答案。 哎，如果同学们能够花十分钟的时间听到这里的话呢，相信大家对这道题目肯定也理解了，对我们将来出现考试里面的类似的题型应该也是更有信心了。提前祝大家考试成功！拜了个拜，下期再见，亲爱的同学们，拜拜！