人教版八年级下画函数图像课

各位同学，大家好，很开心和大家相聚在知江会教育广场名师金课栏目。我是来自温州市第二十三中学的潘向万老师。 在上一节课，我们学习了函数的概念，学会了在一些具体问题中求函数的解析式，并且求自变量取的范围以及函数的值。 但是函数解析式过于简练，很难直观的了解函数的特点。为了更直观更深入的去了解函数，今天我们一起来学习函数的图像这节内容吧。 首先我们来看这么一个具体的函数，它的图像该怎么画？ 我们以 y 等于 x 加零点五为例，对于每一个确定的 x 的 值，都有唯一确定的 y 的 值与之对应，所以我们说 y 是 x 的 一个函数， 那么我们知道函数的图像是由点构成，而点又可以在平面直角坐标系中进行描写，所以确定一组 x 和 y 的 值作为横纵坐标，表示在坐标系中，这样子我们就可以得到函数的一个图像的一个点， 所以我们先进行列表，我们假设先取一组 x 跟 y 的 值，当 x 等于一的时候，我们很快能够求出 y 等于一点五，在直角坐标系中表示出一一点五，这样子一个点， 显然一个点远远不够，我们需要找到更多的点才能去描写出函数的图像。我们再取一个点，当 x 等于二时， y 等于二点五，同样也得到了一个点， 这两个点之间是不是还有存在更多的点呢？我们发现，如果我们在一和二中间 x 取一点五，哎，同样可以找到另外一个点 二，那么加一点五二也可以把它画上去，只要我们 x 取的这个值越多，那么这个点就秒出来就会越多，比如我们再增加一个一点三，哎，一点八，当 x 和 y 取更多的值的时候， 所组成的点在图像上表示出来就会越多。当自变量取变范围内的所有的值的时候，得到的函数值所组成这么一个点就是函数的一个图像， 我们取很多个点，我们把它描出来，哎，我们去观察这些点的位置，请大家观察，如果水的点的数量越来越多，我们会发现这一点他有一个特点，他都好像围绕在一条线分布， 哎，我们就可以大致可以推荡得到这么一个猜想，这个函数的图像会是这么一条直线。 那么一般的对于一个函数，如果把自变量与函数值的函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内有这些点组成的图形就是这个函数的图像。 那么请同学们观察这个函数的图像，你能够得到哪些结论呢？ 对了，通过我们刚才的画图，我们可以发现这个函数的图像它是一条直线，我们可以得到这么一个猜想。 第二个，我们还会发现这个函数它 y 会随着 x 的 增大而会增大。从图像上来看，从左往右看，这个图像呈一切呈现出上升的一种趋势。 第二点，你会判断点六六点五在这个函数的图像上吗？ 我们只要把 x 等于六带入到这个函数解析式中区，我们会得到 y 的 值恰好等于六点五，和点的纵坐标相等，所以我们就可以说点六六点五在这个函数图像上， 我们来判断一个点是否在函数图像上，我们只需要将这个点的横坐标代入解析式，判断函数值和点的动坐标是否相等即可。 有了前面的函数图像的画图经验，接下来我们再来画这么一个函数的图像，同样我们是列表秒点，找到第一个点，当 x 等于 y 的 值会等于六，秒出第一个点， 再找一个点， x 等于二， y 会等于三，那这两个点之间该怎么连线呢？根据我们刚才的经验，我们还可以去找出更多这两个点中间的一些点， 当 x 取一点五的时候，我们会发现 y 的 值等于四，当 x 取一点二的时候， y 的 值等于五。 哎，我们去粗略的去感受到这四个点的位置和我们刚才的这个 y 等于 x 加零点五这个函数的这个图像的这个位置有所不同，这四个点他的位置我们观察到他并不是在一条直线上， 那他到底是怎么一种情况呢？随着取更多的点，我们就会发现这些点的位置的组成，他是真的是不在一条直线上，而是在一条弯曲的线上。 那么因为这个自变量 x 的 取值范围是大于零小于六，所以零肯定不能取 六的话取不到。那么如果我们这里为了避开这个六这个点，我们用一个空心的圆来表示这个位置，所以当 x 等于六的时候， y 等于一，这个点用空心把它圈出来，表示这个点取不到。 好了，这样子我们就可以去观察这么多点构成的情况，它的图像会是一条曲线，而并非直线 这样子，我们通过刚才这个两个题目的画图，我们会总结出用描点法画图的一个基本的一个步骤。 我们用描点法画函数图像的一般步骤分为这么三步，第一步，首先是列表， 在 x 的 自变量的取值范围之内，取相应的函数值。第二步，秒点，将自变量 x 和函数值外两个组成的横中坐标在平面直角坐标系中秒出相对应的点， 点的越多，图像就越完整，越精确。第三，连线，我们将这些点用一条光滑的线把它连接起来，就得到了我们所要的函数的图像。 同学们要注意的点是像一些取不到的点，我们可以用一个空心的位置把它给描出来。 我们这样子既要用微观的视角来观察点的位置，同时我们又要用大局的眼光来看函数的全貌，这样子我们来画图像就会显得更加的完整。 会读函数的图像十分重要，从中获取有用的信息，得出正确的结论。下面我们一起来看一个实际问题。 解答这个问题之前，我们要学会先读懂这个图像的信息。 我们来观察左边这幅图像，它是从家到食堂，再从食堂到图书馆，再从图书馆返回家中。这么一个过程 在右边的函数图像中体现出来。我们首先要观察这个函数图像，要了解它的横纵坐标分别代表什么意思，横坐标代表时间，纵坐标代表是与离家的距离外。那么通过这个图像中，我们发现第一段 时间在增加，距离在增加，那说明他就是从家到食堂的过程。当八分钟的时候， y 的 值保持不变，说明他在食堂待了一段时间，再之后又从食堂去了图书馆， 在图书馆又待了一长时间，最后从图书馆返回家中。我们已经清楚了这个图像的意义之后，接下来我们就可以开始回答这些问题了。第一题，食堂离小明家多远？我们发现零点六千米， 从家到食堂用了多少时间？八分钟，小明吃早餐用了多少时间？两者之差十七分钟。 食堂离图书馆有多远？食堂离图书馆是这两个零点八减去零点六的差零点二千米。小明从食堂到图书馆用了多少时间？ 这里相差三分钟，小明读报用了多少时间？通过观察这里的时间差三十分钟，图书馆离小明家有多远？ 零点八千米，小明从图书馆回家的平均速度是多少？平均速度是等于路程除以时间 零点八除以他的时间十，那就等于零点零八千米每分钟好了。关于这个问题，同学们你还能提出哪些问题呢？ 比如从家到食堂的速度和从食堂到图书馆的速度哪个更快？你能比较吗？等等。同学们要学会对于一个问题提出更多自己的一些问题的想法。 函数是刻画现实世界的一个重要工具。我们再来看一个实际问题， 我们来解答这几个问题。首先我们来看第一题，我们将平面直角坐标系中的点描出来，观察这点的位置。 我们首先取第一个点，当 t 等于零的时候， y 等于三，一的手三点三，二的手三点六，三的手三点九，四的手四点二，五的手四点五， 我们会发现这一点的位置他都会呈现在一条线上，因此我们可以回答他，这一点的位置是在一条直线上， 那么我们可以观察这个水位的变化，发现每经过一小时，他的水位的高度会增加零点三米，这就是我们观察到的一个水位的一个匀速的上升的这么一个过程。第二题，水位高度 y 是 否为时间 t 的 函数呢？ 由于水位在最近五个小时之内持续上涨，对于时间 t 的 每一个确定的 t 的 值，水位高度 y 都会有唯一的值与它相对应，所以我们可以说 y 是 t 的 一个函数， 开始的时候水位是三米，以后每小时上升零点三米， 所以我们把这个函数给它表示出来，应该就是在原有三的基础上增加了零点三， 那么随着时间的变化，那么就是零点三 t， 所以 y 应该会等于零点三 t 加上三，这个时间 t 的 范围是大于等于零，小于等于五，那么它的图像就是这么一条线段。 第三小题，据估计这种上涨规律还将持续两小时，预测过两小时后水位的高度会是多少米呢？我们将这段线段根据它的规律继续进行延展，那么变成这么一条射线， 我们可以去预测两小时之后，也就是时间 t 等于七的时候，它的高度会是多少。我们在途中找到七的这个位置， 当 x 等于七的时候，它对应的函数值 y 大 约会等于五点多啊，我们也可以去这个水位高度应该是五点多米，同样的，我们也可以去代入到这个函数解析式中去 代入的函数解析式，当 t 等于七的时候，那么 y 的 值会等于五点一，这个结果和我们函数图像上所做出的结果非常的吻合， 这是一个现实问题的一个预测，在利用我们函数的这个图像和规律去预测将来的发生的一些事情， 他在我们向台风的路径的预测，经济规律的一些变化，还有像水位等等这些问题的这种预测中，给我们的决策带来一些非常重要的一些参考和依据。 好了，通过我们前面这几个题目的学习，我们可以发现函数它的图像以及函数的解析式。函数还可以用表格的形式来表示，那么这么几种函数的表示形式，它分别有什么优缺点呢？ 第一种函数解析法，我们可以知道它会比较简练，便于求值，给定一个自变量 x 的 值就能快速精准的求出函数值外的值会等于多少。 图像法它的优点是在于直观，便于去观察这个图像的趋势。 而列表法它的优点是能够快速精准的读取某个对应的时刻的函数值， 对于特定值的读取非常方便，但是它们也各有一些缺点，解析式过于简练，不能够直观的看出它的图像的趋势，而图像法 能够观察他的趋势，但是不能够精准的去求出他的函数值。列表法只能对于特定的值能够进行读取，不能够很简变求出这个函数的表达式，也不能够去观察到他的这种变化的趋势。 这是我们函数的三种不同表示的方法的这么一种优缺点，在我们今后函数表示方法选择的时候，我们要采取合适的方法来进行表达。 好了，这节课我们最后来总结一下学习的内容。这节我们函数的图像，我们总共学习了画函数图像的一般步骤， 我们知道了用列表描点连线的方式去画函数的图像， 当然要注意函数的图像的自变量的取值范围能够取到多少。 第二，我们还就会判断了一个点是否在函数的图像上。我们的做法是将自变量 x 值代入到函数解析式，求得的函数值与点的纵坐标进行相对应，是看它是否相等， 从而判断出点是否在函数图像上。第三，函数的图像是刻画生活的一个重要的一个数学模型，那么在这些图像中获取有用的信息显得非常的重要， 能够去根据图像得到我们想要的一些重要的一些结论。最后用函数图像进行预测，对于将来生活中的实际问题做出一些重要的决策，提供一些重要的依据。 好了，这节课我们就上到这里，同学们再见。

也要通过精准的计算来算出 x 的 特殊的某一个值对应的是哪个函数值。 同学们来想，那么既然我们已经算出了 x 与 s， 它是不是能表示出一对点坐标呢？是，是的，那么如何在我们的平面直角坐标系中画出点坐标？同学们想象一下，我们可以将 x 看成横坐标，横坐标，把 s 看成纵坐标，那么就能形成，第一对点， 零零点，第二对点，零点五，零点五，零点五点，非常不错。第三对点一点，第四对点一点五，二点五点。那同学们说哪个好话？ 整点，整点，整数点，好画是不是？所以我们同学选点的时候也都可以选其好画的点，准确的点来画，所以我们选择 描点时，可以选横坐标 x， 纵坐标 s 中整数的点，零零点一，一点二，四点三，九点四，十六点。同学们想象一下，这个图的 这个图的点，下一步我们要把它连在一起，它会是直线的还是曲线？曲线啊？曲线的，我们感知一下，如果我们真的把它连成直的话，是不是就会有两个点被熔掉了？那么因此我们沿着这几个点有序的 把它们用光滑的曲线连接起来， 这样得到的函数图像就是我们今天今天所学的函数图像了。好，我们的每一个自变量都对应横坐标 x， 每一个纵坐标都是对应函数值，它们俩一一对应形成的图像就被称之为函数图像。 那同学们来看，这个时候 x 由于大于正的图像就被称之为函数图像。那我们怎么办？ 空心，你哪里学过这个？这个地方竖向上，竖轴上。孙博文说一说我们那时候怎么做的？空心。空心代表是没有这个点，就是大于或小于，然后要是大于等于或小于等于就有十七点。嗯，非常好，请坐。好，那。

我们要找有序数，对，对不对？对，也就是说要找值。 当自变量等于零的时候，告诉我函数值等于零，继续说一四 六点二五，那么是不是这些值我就全部取完了呢？不是，其实我取的这些值虽然是有代表性，但是是不是没有可取的值了呢？不是还有很多值，所以这里我们要用什么样？四月六号 表示？那么这里特别特别注意的是，我们取值的时候是要根据自变量的取值范围，根据自变量的取值范围取有代表性的值， 根据取值范围哈，这边量的取值范围取有代表性的值。好，我们有序数，对，有了，是不是接下来应该怎么样？两点，哎，在平面直角坐标系当中进行两点。好，告诉我 这些点有序数，对，一一念给我听，零零零，告诉我才找得到。是不是一二四二幺五六幺五 啊？我要把点描出来了。之后应该怎么做了呢？连线，对了，接下来应该是连线。连线的时候要注意什么呀？平滑的曲线把它连接起来，那么是不是做到这里我就 完成任务了呢？不是，还不是，刚才说了，这是实际问题对不对？对，存在自变量有取失范围，这里就一个很敏感的一个问题，是什么呢？自变量 x 能不能取零这个值？不能，不能取零这个值，所以我要干什么呀？ 空心啊，我要把它挖掉，是不是？对这个值不存在的话，那我就用什么点表示啊？空心点表示 原本的实心点，我现在把它换成空心点。好，他们是不是也完成任务了呢？没有哎，其实这个时候你要对你的图形命名， 对你的图形进行命名。好，那么这样的一个图像就叫做函数图像， 那么这是我们今天学的一个新的知识，函数图像。那么你们会画函数图像了吗？会，我们来看一下啊，画函数图像有多少个步骤？三个，三个。那么。

再想想我们有没有更简单的方法来画正比例函数的图像？刚才我看到有人说五个点，仨， 几个，一个点，一个点怎么画直线，想想应该要用几个点，几个？三个？三个点，你说应该取哪些点来？谁说的？三个范博来说说。一个正数一个 好，一个正数，一个负数一个零。好，可以，没问题。那还能不能比他再简单一点？两点为什么可以选两个点？谁来谁来。来，说一说。 大点声说两点，确定两点，确定一条直线，那因此我只需要取几个点就可以了。两个点就行了。那这两个点我怎么选取？可以怎么取？随便任意取都行。但是通常情况下我们怎么取会更简单一点啊？ 选取哪一个点会更简单一点？零选取哪个点？因为这些图像都经过哪一个点圆点，所以我们是不是可以只要过哪个点是最简单的圆点，对吧？因为零零这个点你还需不需要换？ 不用，只需要一瞄坐标原点就行了。那么再任意的选第二个点，那就随便选了。是不是只需要过这两个点画直线，它就是什么函数的图像？正比例函数的图像。那我们也把这种方法叫什么方法来画函数图像呢？ 两点法，你记在你的表格的下面啊。两点法最简单的，先过零零点，那接下来另外一个点你就可以任意去取，但是任意去取的时候，通常情况下我们怎么取？ 选什么样的点？你是想选那种带小数的呀？还是整的呀？还是分数的呀？选什么整数的点？那整数的点最简单的。其实带哪一个 x 值进去就最简单， a 一 好，当 x 得一的时候，相对应的函数值是谁呀？ y y 应该得几了？ k x y 应该等于 k， 对 吧？ 好，把它写在你的表格下面啊。 那么后面大家在画函数图像的时候就可以用几个点来画了呢？两个点来。

各位同学大家好，欢迎来到人教版初中数学八年级下册微课学习。 在前面的正比例函数学习中，我们已经知道从函数的概念、图像及性质等三个方面来研究。上一节课学习了一次函数的概念，同学们，你们觉得咱们接下去应该研究一次函数的什么？ 怎样开展研究非常好？类比正比例函数的学习路径，应该研究一次函数的图像和性质， 那正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图像是一条直线，那么一次函数的图像也会是一条直线吗？ 接下来我们一起尝试用描点法做出 y 等于二 x 减三与 y 等于二 x 的 图像，并比较两个函数的相同点与不同点。 根据描点法的一般步骤列表描点连线。 那么为了对比，我们也在同一个坐标系当中画出正比例函数 y 等于二 x 的 图像。 比较上面两个函数的图像，回答下列问题。 这两个函数的图像形状都是一条直线，并且倾斜程度相同。 函数 y 等于二 x 的 图像经过圆点。函数 y 等于二 x 减三的图像与 y 轴交于点零负三，也就是它可以看作由直线 y 等于二 x 向下平，以三个单位长度得到。 继续回归到解析式，我们可以发现，从结构也就是解析式看，两个函数之间的区别仅仅是多了个负三。 从数量也就是函数值看，对于相同的自变量取值，它们所对的函数值相差负三。 若把它写成坐标形式，就会发现它们的关系式是当横坐标相同时，对应的重坐标相差负三，也就是 a b 到 a b 减三。 我们知道，当点的横坐标发生变化时，点可以通过左右平移得到。当点的纵坐标发生变化时，点可以通过上下平移得到。因此不难发现， 从 ab 到 ab 减三是向下平移三个单位， 通过描点法也能进行验证。由此我们可以得出直线 y 等于二 x 向下平，以三个单位长度就得到 y 等于二 x 减三的图像。 因此，函数 y 等于二 x 减三的图像是一条直线，并且倾斜程度与 y 等于二 x 相同。 同样，我们也可以画出 y 等于二 x 加三的图像，它可以看成直线 y 等于二、 x 向上平移三个单位长度得到。 从上述具体的一次函数，请同学们思考一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像是什么形状？它与直线 y 等于 k， x 有 什么关系？ 我们可以发现，一次函数 y 等于 k， x 加 b， 那直线 y 等于 k， x 向上或向下平移 b 的 绝对值个单位长度就可以得到 y 等于 k， x 加 b 的 图像。 b 大 于零时向上平移， b 小 于零时向下平移。 同学们非常棒，从特殊归纳出了一般的情形。那怎样画一次函数的图像更为简编呢？ 有同学说两点即可。是的，那其实对于一次函数 y 等于 k， x 加 b 来说，必定与 x 轴和 y 轴形成交点。所以一般采用一次函数图像与坐标轴的交点， 令 x 等于零，则可以得到 y 等于 b， 图像与 y 轴交于零， b 令 y 等于零，则得 x 等于负 k 分 之 b， 图像与 x 轴交于负 k 分 之 b 零。 当然，也可以找到其他的两个点。下面请同学们在同一个坐标系中画出这一些函数的图像。 我们可以先列表，取自变量 x 为零一， 求出函数值 y， 然后画出各个函数的图像，如图， 同学们，你们画对了吗？接下去，请同学们结合你所画的图像观察思考 k 的 正负对函数图像有什么影响。 很棒！观察前面一次函数的图像，我们可以发现这样一个规律， 当 k 大 于零时，直线 y 等于 k， x 加 b 从左向右上升。当 k 小 于零时，直线 y 等于 k， x 加 b 从左向右下降。 由此，我们可以总结出一次函数的图像性质，当 k 大 于零时， y， x 的 增大而减小。 那我们继续思考 kb 的 正负对函数图像有什么影响。 我们不难发现，从 kb 的 值可以看出一次函数的图像位置。 当 k 大 于零时， b 大 于零时，图像过一、二、三象限。 当 k 大 于零， b 小 于零时，图像过一、三、四象限。当 k 小 于零， b 大 于零时，图像过一、二、四象限。 当 k 小 于零， b 小 于零时，图像过二、三、四象限。 好，我们一起归纳一次函数图像性质。当 k 大 于零时，直线 y 等于 k， x 加 b 由左到右逐渐上升， y 随 x 的 增大而增大。 b 大 于零时，直线经过第一、二、三象限。 b 小 于零时，直线经过第一、三、四象限。 当 k 小 于零时，直线 y 等于 k， x 加 b 由左到右逐渐下降， y 随 x 的 增大而减小。 b 大 于零时，直线经过第一、二、四象限。当 b 小 于零时，直线经过第二、三、四象限。 为了更深刻地理解一次函数的图像及性质，请同学们快速完成 一、函数 y 等于三， x 减四图像经过第一、三、四象限 二、一次函数 y 等于负， x 减五的图像不经过第一象限 三、一次函数 y 等于 m 减三， x 加 m 加一的图像经过第一、二次象限，求正整数 m。 那 这里我们可以结合函数图像画出草图。 经过第一、二次象限可以得出， k 小 于零， b 大 于零，也就是 m 减三小于零， m 加一大于零，转化成关于 m 的 一个不等式组， 由此我们可以求出正整数 m 等于一或二、四。根据一次函数的图像说出解析式， y 等于 k， x 加 b 中 k、 b 的 取值范围。 从图像直接可以观察得出， k 大 于零， b 小 于零。再看第五、第六、 五，若一次函数 y 等于 m 减五， x 减三的函数值 y 随 x 的 增大而增大，则 m 的 取值范围为。 根据图像的增减性可以得出 m 减五大于零，所以 m 大 于五、 六， p 一、 p 二是一次函数 y 等于负零点五， x 加三。图像上的两点。下列判断中正确的是。 那根据一次函数图像的增减性， k 等于负零点五， y 随 x 的 增大而减小，所以很容易选出正确的是 d， 非常棒！同学们能够用数形结合解决一次函数有关问题，这其实也是学习函数知识常用的方法，下面再尝试解决这道问题。 已知直线 y 等于一减三， k， x 加二， k 减一， k 为和值时，直线与 y 轴交点的纵坐标是负二 k 为和值时，直线经过第二、三、四象限， 第一小题只限于 y 轴交点的纵坐标是负二，也就是当 x 等于零时， y 等于负二，所以可以得出二 k 减一等于负，二 k 等于负二分之一。 第二个图像经过二三、四象限结合函数图像，可以得出一减三 k 小 于零，二 k 减一小于零，求出 k 大 于三分之一，小于二分之一。 不错，此题的关键需要我们有整体意识，抓住一次函数图像的性质，也是将一次函数问题转化成方程或者是不等式问题。 同学们，我们一起来回顾今天学习的内容吧！今天主要学习一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像以及性质。 这一节课主要思想方法是塑形结合、类比转化等思想。今天的课到此结束，谢谢大家！同学们再见！

本期视频我们来讲解期末压轴的绝对值函数问题。分析条件依次，函数 y 等于 k， x 加 k 与函数 y 等于负的绝对 x。 图像恰好有两个交点，让我们去求解 k 的 范围，那么第一个 y 等于 k， x 加 k， 我 们知道，如果对一个一函数 y 等于 k， x 加上 b 里面的参数 k 跟 b 用同一个字母表示，说明它一定会经过一个定点，换句话说，经过的这个定点与参数无关，所以对它提因素 k， 那 就是 x 加一，所以让 k 消失是不是可以了？那么过了这个顶点， x 加一等于零， x 等于负一， y 等于零啊，经过这样一个顶点， 第二个 y 等于负的绝对值 k， 它们俩的图像有两个交点怎么办？四个字叫做竖形结合。那我当然要把 y 等于负的绝对值 x 这个图像画出来，那么它是由 y 等于 x 一 步步变过来的，对不对？那我们就先画 y 等于 x 呗。好， y 等于 x 这个图像，当然它是一三上线的角平分线。好，接下来给大家套了一个绝对值，那么给 x 套的值本质上其实就是对 外套了个绝对值，那就说明原本 y 负的部分被翻到正的上面去了。那我们画出来应该是什么？ a， 它应该是一个成功的 v 字形，对不对？好， 最后一个，那么在这个 v 字我们的前面干嘛再添一个符号，所以这个时候，哎，圆满这个图像全都得翻到下方去，所以我们得到了一个是什么东西？对了，是一个到的 v 字形。 好，那么到了 v 字形，它的函数解析式我们全都知道，一个是 y 等于正的 x， 一个的 y 等于负的 x， 对 不对？好，现在我的 y 等于 k， x 加 k 经过的一个定点叫做负一零，那么过这个点画图像跟它有两个交点，好，接下来看 平行没有？接下来一个一个一个。好，你会发现即将要有两个焦点了。什么意思啊？这时候平行的时候，临界值 只有这一个焦点，对不对？但是我再往这边偏一点点，一个两个焦点。好，所以第一个临界线我们找到了，就是跟 y 等于 负 x 平行的时候，那这个 k 等于什么？ k 就 等于负一，好，这是一个对不对？那我再往上偏一点点，好，一个两个。那什么时候又到一个了呢？哎，你会发现直到转到这的时候是不是只有一个？所以 这是第二个临界线，这个临界线 k 是 等于零的，所以我们的运动范围啊， k 就 应该在这个范围内，当然 上下一个是负一，一个是零，取到取不到，取不到，所以最终我们的结果 k 就是 大于负一小于零。 ok， 好， 那么本期视频就到这里，大家拜拜。

一个拼的，哎，你看啊，我把这个图形我如果补，补完了之后，这个正方形我是容易求出的面积，为什么？ 他边怎么了？你看他这边产生了什么特点？现在我上边这个条边跟 x 轴什么关系？平行的，我右边这个 做外周平行的，这样有一个什么好处？便于我确定什么线段的长度？而杰克刚才小飞所说的一个之所以认为他不规则，就是因为这个三角形的底。三角形的高是与 s 轴外周垂直平行的吗？不是， 对吧？所以实际上刚才小飞所讲表达的意思我能理解，只要是你任何一个一般的三角形，我要想求它的面积，我应该把它转化成一个底或者高， 要和 x 轴或者 y 轴平行的线段，才能便于我去计算这个方程的面积，是不是这个意思， 对吗？好，那说完这点之后，看来咱们用的个补法都没问题，但是我们想从校飞刚才说的这个问题当中，我们也得到了一点启发。 刚才校飞说到的，哎，如果我知道这个点，比如这个点是点 d， 我 如果知道这个点的坐标了，我能不能求出这个平面？能，怎么求呢？ 这回按照刚才那个想法，我把高或者底变成与 x、 y 平行的线段，那这里边可以把谁当做底？把它当做底，是这样吗？好， 实际上是不是也就是我们这个图，对吗？那我如果要把 d、 b 当做底，我分别计算出一号三角形和二号三角形这两个三角形面积，把它加在一起是不是可以？那一号三角形当中的高好不好找？高是多少？二， 二到三角形的高二也是二，对吗？我想要做垂直线，是不是相当于是这个 c 点的纵坐标？ 是这样吗？好，那现在核心的关键的要素我就需要知道 d b 的 长度。在初一的时候我们实际上是解决不了这个问题的。 你想想是不是初一的时候我们遇到的问题是什么？给你一个网格，然后告诉你点的坐标，我们才能去计算线段的 距离。啊。现在的长度。那现在我们学了全等之后，哎，我们可以进入全等。那我想给你增加点难度，我们刚学过一次函数，你能不能从一次函数的角度再对这个问题进行思考？

都是正方形的，学案上也是正方形，对不对？然后呢？然后因为这几个线都经过这个正方形的对角线，就是他正方形的对角线，这是个啥？ 因为按照这个原理，可是对角线平衡这平衡，这个角，平衡，平衡这个角，所以，嗯，对角线平衡之后，这个角就有九四十五度， 这个角就等于多少度了？四十五度。然后呢？底下角也也是，嗯，也是正方形平分之后就等于四十五度啊，那比如说他是四十五度，这个角也是多少？四十五度。这时候我们就知道， 嗯，对错角相等两直线，他解释对不对啊？对，非常好，请坐。哎，一定要善于思考，善于观察。那么这是一种方法，还有没有别的方法呢？ 好，谁呢？你来说一下。我觉得可以用我们以前学过的证明平行四边形的方法啊。证明平行四边形的方法是怎么样子的？我们先选用两条，两条直线 啊，先选用两条，你说我选的是上面的这条直线，当就是 y 等于负 x， 它这个经过原点的那个点啊，是零零啊。经过原点 y 等于负 x 加三为选一个点是零三啊，和 y 角的交点是三，然后他们中间相差的是三个单位长度， 这中间是三个单元。嗯，我又觉得当 x 等于负一的时候，能找到吗？大家好好，当然等于负一的时候，然后这个正比例函数，它那个焦点就是负一一，嗯，然后那个 y 等于负 x 加三的那个焦点就是 负四四，然后啊，负一负一，负一四，然后他们中间的那个也是相差了三个单位，也是相差了三个单位长，然后因为本身他就是那条 y 轴与他们 s 等于负二的那条线是互相平行的，然后就可以 利用一组对称平行且相等的方法证明他是一个平行四边形，所以这两条线就互相平行非常好。那么大家在做题的时候，你看就要像这两个同学一样，不光要知道看出来他是啥，心里要想一下为什么对不对？能不能用我学过的知识去做一个解释。 这两个同学用了两种办法，至少我们看这个图非常清晰，大家看这两个点之间是几个单位长度？三个，三个，三个是不是都是三个单位长度？是，既然都是三个单位长度，所以我就可以看它们线是怎么样 平行。那么这时候呢，我们就又得到一个结论， e 次函数 y 等于 k x 加 b 的。

一次函数做直线，二次函数画个 u， 三次函数滑滑梯、反比函数、双曲线根号函数、半把伞，绝对值函数是个 v。

我们今天怎么画一次函数的图像呢？比如说我们要做出这个 y 等于二， x 加一，他的图像，呃，我们怎么做呢啊？我们要做一次函数的图像，我们用的是秒点法，秒点法的话有三个步骤，第一个步骤，列表格，第二个步骤，秒点，就是要把点找出来。第三个步骤呢？连线， 那比如说像这一道题，我们要做这个函数的图像。首先第一步列表格啊，直线嘛，两点确定一条直线，那我们只要起两个点就行了， 那这两个点的起值你可以是任意的，直线上的点是有无数多个，那你只要任意起两点就行了，那我们一般来说是比较容易计算的，比较容易找的。比如说当 x 等于零的时候， y 等于一， 当 x 等于一的时候，带进去， y 是不等于三啊？我们就可以找两个点，那么这个表格列出来以后，第二步叫描 点，那这两个点哈，一个是 x 七零的时候啊，这个是 x， y 呢？就是等于一，这是一个点，一个是 x 等于一的时候， y 是等于三。第二个点啊，两个点，那所以我们要把这两个点找出来，那么这个点在哪里呢？ x 等于零， y 等于一，那么这边是一。哈， 那所以我们可以知道这个点就在这个地方，一三呢，就是 x 起一， y 等于三，一二三。好，那么是这个 啊，那么第二个点在这个地方，那么这两个点找到了，然后我们用光滑的曲线连起来，那么这条直线就是依次函数的图像。 所以我们要做一次函数的图像的话，我们就用描点法，在这个直线上任意起两点啊，这两点你随便可以起，但是我们一般的原则就是要起比较好计算的，还有这个点比较好找的啊，那么第二描点，把点找出来，第三连线。

同学们大家好，今天我们一起进行一次函数的数学活动。 首先我们来看一下活动目标，一、能根据两个变量的部分对应值建立一次函数模型， 这是数学建模的思想方法。二、会用一次函数模型描述和研究时间问题的运动规律， 对未来的情况作出估计。三、经历根据两个变量的部分对应数据建立函数模型的过程， 体会建立函数模型过程中的规范思想，塑形结合思想，逐步培养理论联系实际学以自用的能力。 下面我们来看活动。一 是世界人口与年份的变化情况。一、根据下表的数据，在直角坐标系中画出世界人口增长的曲线图。大家仔细阅读这张表， 第一行年份 x 分 别是一九六零，一九七四，一九八七，一九九九二零一零， 他们对应第二年的人口数外是三十亿、四十亿、五十亿、六十亿、六十九亿。同学们，你们还记得我们是如何画函数的图像的吗？ 我们是否也能用相同的方法画这个函数的图像？ 画函数图像，首先第一步是列表，那么我们已经给出了这张表格，年份代表横坐标 x， 人口数 y， 那 么这里就得到了五个点。然后第二步就是描点， 第三步是连线， 那我们来描下点， 大家看到这里横坐标代表年份，重坐标代表的是人口数。 当 x 等于一九六零，对应重坐标 y 三十，所以首先得到第一个点。 接下来是第二个点，横坐标一九七四，对应重坐标四十， 第三个点，横坐标一九八七，对应重坐标五十，然后依次得到第四个点，第五个点，然后我们把这五个点连起来， 如果把人口增长曲线看作一个一次函数，那大家想想看，你能写出它的解析式吗？ 也请大家回想一下，求一次函数解析式的步骤， 这里请大家仔细思考一下，回忆一下。 首先第一步设函数的解析式，设年分为 x， 人口数是 y， 则有 y 等于 k， x 加 b， 然后选择两个合适的点， 如图的表格是有五个点，那这里啊是选择的 横坐标 x 等于一九六零和横坐标 x 等于二零一零，对应的两个点纵坐标分别是三十和六十九。 那么请同学们把这两个点的坐标分别带入 y 等于 k， x 加 b。 这里大家自己先写一下， 带进去以后大家就知道了，是得到了一个方程组， 分别是一九六零， k 加 b 等于三十二零一零， k 加 b 等于六十组。那接下来同学们的任务就是解这个方程组， 这是含 k 和 b 的 二元一次方程组，大家动手来解这个方程组， 我想通过大家的仔细观察可以看到解这个方程组用解法就可以了。 二式解一式就可以把 b 给解掉，然后直接求出 k， 然后把 k 再带进去。那大家算算看， k 等于多少， b 又等于多少呢？ 很好，我想大家都应该已经求得， k 等于零点七八， b 等于负一四九八点八， 然后把求得的 k 和 b 代入解析式， 那我们就得到 y 等于零点七八， x 减一四九八点八。 当然，如果有的同学你选举的点不是和我们一样的一九六零和二零一零 这两个点的话，那么有可能算出来的解析式啊，和我们给出的这个解析式有不一样。 那么我们接下来来看一下，你能根据求出来的解析式估计二零二零年的市且人口数吗？ 我想大家很容易得出，将 x 等于二零二零代入到解析中， 可以得到 y 等于零点七八乘二零二零减一四九八点八等于七十六点八亿人。 答，估计二零二零年的世界人口数将达到七十六点八亿。 接下来大家想想看，你能归纳出进行此类数学活动的一般步骤吗？ 首先是确定主题，然后收集数据， 接下来根据收集到的数据把它变成坐标，然后画出图像， 接着观察图像，建立一次函数模型，最后实际应用，这些就是进行数学活动的一般步骤。 好，下面是我们的活动啊，我们要研究水龙头漏水量与漏水时间的关系。 一个水龙头漏水，有人认为漏这一点水没有什么大不了的，你也这样认为吗？ 我想我们同学肯定会认为要节约用水，不能让水龙头漏水。 为了估计一个水龙头一个月三十天的漏水量，大家在课前进行了必要的数据收集，现在呢，请各研究小组展示自己的数据。 这里我们思考一个问题，为了估计一个月漏水量，我们能收集该水龙头一个月的漏水量吗？这样做可行吗？ 我想肯定有很多人认为收集水龙头一个月的漏水量，那有点时间太长，而且也太麻烦了，那怎么做比较简单可行呢？ 现在同学们看到的是某小组得到的数据，大家看第一行时间是 t 分 钟， 这里记录了每间隔三分钟得到的漏水量， y 是 毫升， 当时间是第三分钟的时候，对应的漏水量是三十。当时间是第六分钟的时候， 对应的漏水量是六十。当时间是第九分钟的时候，对应的漏水量是八十八，大家依次可以看到一直记录到第三十分钟。 那么有了变量之间的部分对应值，要求其余对应值， 我们需要做什么呢？很好，就是要建立函数模型，那这是什么函数？怎样求函数解析式呢？大家想想看。 根据我们的经验，我想很多同学都能想到啊，要画对应点看看。 所以在这里我们就建立直角坐标时，以横轴表示时间 t， 纵轴表示水量 y， 描出以上实验所得数据为坐标的各点，并观察它们的分布规律。 这里老师想请同学们自己动手建立直角坐标系，自己先描一些点看看观察一下，然后我们再一起来研究。 这里请大家注意横轴，也就是说横坐标代表时间纵轴，纵坐标代表测得的漏水量。 大家在平面直角坐标系中画出相应的点， 当 t 等于三的时候， y 等于三十。当 t 等于六的时候， y 等于六十。当 t 等于九的时候， y 等于八十八。然后我们依次可以描出十个点， 大家看看你画的这十个点的分布，这是老师所显示的十个点， 从图像上看，这个函数应该是什么函数呢？我们发现 这十个点在一条直线附近，可以近似的看成正比例函数，那能求出这个正比例函数的解析式吗？ 我们可以设 y 等于 k， t 我 选其中一个点， t 等于三， y 等于三十。代入 可以很容易得出 k 等于十，所以 y 就 等于十 t， 由此我们可以估计一个月的漏水量。同学们想想，此时 t 等于多少呢？ 因为这里的 t 是 分中，所以 t 等于三十天，然后把三十天化成分中，就是三十乘二十，四乘六十就等于 四三二零零分。带入上述 y 等于十 t， 这个解析是，那么 y 就 等于四三二零零毫升， 一个月就要漏掉四百三十二千克的水。所以同学们可以发现，看起来水龙头一点一点在漏水，但是一个月就能漏掉这么多水。 通过各小组努力解决了问题，我们发现滴水之漏随着时间累积，浪费巨大。 刚才在交流过程中，各小组得到的函数解析式不尽相同，结果也不尽相同，为什么呢？大家想想看。 是的，有的同学会认为，因为我们收集到的数据不同，所以求出来的解析式就不同。 二、有的函数解析式不符合实际情况。三、存在计算错误，包括时间和漏水量单位换算错误。 通过以上两个活动， 我们进行课堂小结。本课我们解决了一类新问题，请大家带着下面问题总结经验。一、这一类新问题有什么特点？ 二、怎样解决这类问题？分了哪些步骤？三、从这类问题的解决过程中，你对运用函数解决问题有哪些体会？ 我们发现解决这一类新问题是运用一次函数这个数学工具来解决的。 那么解决这类问题，我们用到的步骤是收集数据， 然后根据得到的数据描点，就是说画散点图，然后观察点的分布，选择适当的函数，然后求函数解析式， 那么求函数解析的方法就是待定系数法，接下来就得到结论。最后是检验，要看是不是符合实际情况。 我们的课后作业见作业练习，那今天我们这节课就到此结束，谢谢大家，同学们，再见。