初一寒假作业立体模型有哪些

中国地形立体模型制作过程首先备好材料包，如图所示，材料包橱窗有同款。第一步，搭建基底，取出白色超轻黏土， 揉捏后沿着底板的线条轮廓压实，慢慢压，不要着急，可以盖住线条，但不能盖住太多， 把整个地形覆盖住即可。 全部覆盖后再慢慢修整边界， 待修整完毕开始塑造地形。 这是天山山脉，做山体的凸起部分， 这是阿尔泰山脉， 这是内蒙古高原， 这是长白山脉。 下面开始做青藏高原，这个位置比较高，可以多用些黏土。 注意塔里木盆地、柴达木盆地、四川盆地地势比较低，可以按压出盆地的造型。 接下来是长白山和太行山， 对照地理书，把不太协调的细节位置同步调整， 最后覆盖海南岛和台湾岛。 第二步，覆盖石膏粉和石英砂。 先倒入适量石膏粉和石英砂， 再加入手工白胶， 最后加入水搅拌均匀。 把石膏粉、石英砂混合物均匀地涂抹于表面，速度要快，石膏的凝固时间非常短。石膏粉的作用是填充表面，白胶的作用是防止粘土开裂， 石英砂可以使表面有立体感。 第三步是涂色，盆地用绿色。 第三阶梯地势最低，主体用绿色。第二阶梯主体用黄色。 第一阶梯主体用红棕色， 青藏高原用深蓝色。 贴上南海珠岛，不满意的部分可以再精修一下。

这个模型太难了，学到平行线这里我们有十三大拐点模型，其中百分之八十的同学搞不懂对应的这个英族的三大模型，那这个视频我就要用一个方法带你搞定鹰嘴型家族对应这类模型的结论。 那有关于平行线这十三大拐点模型啊，老师也给大家做了一个系统的总结，如果咱们孩子在做题的时候还没有方法，一定啊，家长要带着孩子分题型，落实总结，把举一反三的思维学习模型的本质学透了，我们才能越学越轻松。 下面咱们就来一起看一看这个鹰嘴型，你看是不是像一个老鹰的嘴啊？哎，同样的鹰嘴型，有的还长成这样，昂首挺胸，有鹰还有什么样的呢？哦，还有我们这样的鹰，哎，我们管它叫做 回头抠脚鹰，无论这个鹰长成什么样啊，它其实推导的本质都是一样的。鹰嘴型的结论就是，嘴这个地方，它的度数就等于嘴的这条边与平行线这两个夹角当中， 脚大的那个夹角减去脚小的这个夹角，看没看见。那怎么判断我们大夹角小夹角呢？你可以直接用平移的方法移一条线， 把这条线移过去哦，这个角是大的，这个角是小的，所以嘴等于大减小，直接可以把鹰嘴模型的结论给它包含进去。那有同学就问了，那你对应这个结论怎么推导的呢？我下面啊，就带大家从本质上推导一下。 像这种题目，咱们解析的通法就几个字儿，叫做过拐点。怎么样做平行。哎，我们找到拐点做平行线，利用平行线的性质来进行倒角过点 e， 我 们做 e f 平行于 ab， 那由于他俩平行，他俩平行，所以这三不都平行吗？由平行线的性质，两线平行，内错角相等，所以这个角他和哪个角相等，是不是和这个角就是相等的呀？对不对？ 同样啊，我们有两线平行，是不是还有内错角相等，那对应这个角就和谁相等，是不是就和这个角是相等的呀？对不对？ 所以我们现在啊，就找到了一对相等的角，两对相等的角，而让我求的那个鹰嘴嘴巴位置的这个角，是不是正好等于一蓝减一红啊？不就是这个大甲角减去一个小甲角吗？直接就推到证明出来了。 所以以后的鹰嘴，无论是低头鹰还是抬头鹰，还是抠脚鹰，咱们直接找到嘴，找到大夹角，小夹角，用嘴等于大减小，就可以直接秒杀出答案了。

啊，我们看到知识点三，平行线中的基本模型，第一个题型啊，平行线中的第一个模型，翻折模型啊， 那么就是一个，呃，长方形，把它折叠以后，只要是折叠啊，你们一定要注意对应的角度，它肯定是相等的，对应的边它肯定也是相等的啊， 那么这是我们第一次遇到这种折叠问题，比如说第一题，第一题把这个长方形的纸条向上折叠以后， 形成了这样一个图形，告诉我们说 c e f d 啊， c e f d， 折叠过后，这个角是等于六十度的，让我们求 e f c e e f c e， 让我们求这个角的度数。 同学们，看到角一角二，因为你是折叠过去的，所以你角一肯定是等于角二的，是吧，折叠的对应的相等，然后呢，这构成了一个平角，我们就知道角一加角二就等于一百八十度减六十度啊，一百二十度， 然后角一和角二又相等，所以呢，取一半就是六十度的，答案选 c。 那么这位老师特别要强调的啊，就是这种长方形的折叠问题，一定要注意啊，这里呢，有一个角三，看到没有，角一是等于角二的，也等于角三的，为什么呀？这种长方形的话，你的 ab 和 cd 是 平行的，两直线平行内错角相等，你看这角一等于角三， 然后又是折叠问题，角一等于角二，所以角一，角二角三都是相等的啊，只是说这个题我们没有遇到啊，考的比较基础，但是以后看到这种折叠问题，一定要注意啊，有三个角相等， 好特别的，我们看到第二题，这种折叠的问题呢，我相信会难倒很多同学啊，记住 第二题有很多同学做不出来的主要原因是他把他折叠过后啊，你看这，这里折叠过后，你看这里还有虚线，看到没有？然后你看图一到图二，他这个虚线他没有了， 然后到图第三个又没有了，所以遇到这种问题的话，你都不知道折叠之后哪个角与哪个角相等，那么方法是什么呢？我们可以把它补充完整啊，反比我们看， 你看这第一个图形是这样子的，把它反折过来，再反折过来，他告诉我们图三中的大 h f d h f 等于五十四度，告诉了我们这个角，让我们求最开始的 d f 等于多少。 好，同学们看这，那么怎么办呢？我们先把它还原啊，用虚线还原，你们就可以看出来，你看这折叠过后它是这样子的， 所以说折叠过后啊，你的第一 f 是 这个角啊，这个我们设为 r 法，那这个角呢？也是 r 法，那下面的这个角呢？也是 r 法， 因为两直线平行内错角相等啊，刚才老师特别强调了，是不是？那么继续我的 f g d f g d 这个角呢，就等于二倍的 r 法， 等于二倍的 r 法啊，因为这个是 r 法，这个是 r 法。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，然后继续再次翻折啊，继续再次翻折，你看这我不知道是怎么回事，我就把它补全，看到没有，你就把图给我把它补全 啊，大概组成一个样子，组成这个样子是不是？那我们去看他们的关系是什么呢？相当于说这里是一个阿尔法，对吧？然后呢，你这个下面刚才是二倍的阿尔法，你反折上去以后，这个角也是二倍的阿尔法， 那么所以 d h f 这个角，它就是三倍的阿尔法。因为三角形的一个外角，在 h g f 的 外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以我们的 d h f 就 等于三倍的阿尔法。 题目说它等于五十四度，是吧？所以我们就算出 r f 等于十八度啊，算出来这个 d e f 啊，最开始它是等于十八度的。记住啊，像这种题型你们看不清楚就把图形用虚线补充完整啊，在考试的时候。

平行线，这里啊一共有十三大拐点模型，一共有三大名家族，今天老师就要用一个视频带大家搞定平行线，这里的猪蹄家族的拓展模型叫做猪蹄多蹄形。 那有关于平行线啊，我们主要利用平行线的性质来进行倒角，这种复杂图形很多同学倒不清楚，倒不明白。那有关于平行线性质判定这里有关的拐点模型，我其实给大家做了一个系统的总结， 如果我们的孩子现在几何思维没建立起来，一定啊要分题型来进行学习，从本质掌握解析的思维，这样才能够举一反三。下面啊，咱们就来一起看看这个模型怎么样去推导这几个角之间的关系。 由于两线平行，想要研究这几个角之间的关系，那我们还是沿用平行线模型解析的通法叫做什么？ 过拐点，做平行，通过在这个拐点的地方做出平行线，利用平行线的性质进行倒角，进而得到这几个角之间的关系，对不对？来，我们坐上平行线，你会发现这两个小角是相等的， 这两个小角是相等的，小点点和小点点是相等的，这样你会发现，哎， 朝左开口的这些角都有啥呀？小叉再加上小圈，再加上五角星，再加上一个小点点， 那朝右开口的角是啥呢？也是小叉小圈，然后再加什么五角星，再加小点点，发没发现，所以我们就找到了对应的这几个角之间的关系是什么？一句话叫做左凸角之盒等于右凸角之盒， 无论对应这是四个角，五个角还是 n 个角，只要你找到了这个本质，那所有有关于猪蹄形模型的拓展锯齿形，你都可以轻松地写出对应的结论了。

看我们今天给素描教室新放了一个好玩的东西，三张纸安排上了一个正方体， 看着像不像立体的？这个是咱寒假班会新来一批学素描的小豆豆，他们之前没有基础，那素描本身相对来说会更枯燥一些，全部都是线条去堆积的， 给他们做一个正方体的小装置，你看这个就很神奇，从各个角度去看，它都是立体的，是我们的一个素描入门的一个正方体。 其实画画很简单，好多家长朋友觉得寒假的时候就该让娃去玩啊，让娃回老家过年去。 但是今年的寒假比较长，这个寒假呢，我们可以让孩子去学习一下素描，尤其是四年级以上的小朋友，因为素描他和我们数学里面的几何是能相对应上的， 我经常给孩子教的时候，我就会问他数学成绩，按我发现的规律啊，一般来说画画画的好小朋友数学都不会差，数学好的小朋友学画画就特别快，这些是咱近期 好多零基础的小朋友。寒暑假学习和我们学期内学习有啥区别？学期内我们可能一周一次两次，连续性不强，可能刚进入状态，在经历四五天的一个空档期，手肯定会生。 那我们寒假暑假的话，连续性很强，我们是上五休二，连续五天进行一个学习，想一想我们会达到一个什么样的进步。那我们经常会听到一句话，一天不练，自己知道，两天不练舞台知道，三天不练观众知道。所以说艺术类的学习是一个长久持久的过程。 那我们寒假的时候，我们老师也坚守在第一线，想要学画画的孩子随时来找我们啊，我们二十六号就正式开我们的寒假班了。

初一下学期一开学，数学第一章就是几何知识，家长寒假一定要给孩子准备这本初中几何，等开学你就知道它有多轻松。初中三年所有的重点模型都在这了，燕尾模型、猪蹄模型、手拉手模型、将军印马模型等等，每个模型的结论是什么， 怎么推导出来的，辅助线怎么画，他都详细的罗列了出来。做题时套用模型技巧就能秒出答案，还有对应的例题梳理思路没搞懂，也有视频讲解，学完就用练习题及时巩固。吃透这些模型，轻松搞定初中三年几何题。

昨天下午接了一个单，做这个气孔结构及开闭原理，这做成了一份，这不给他发，这我自个留一份，谁需要的话就可以直接发货或者是再做也可以啊，然后这个是做成的给他发过去。 嗯，接下来给大伙看一下都做制作的步骤啊，剩下都是以图片的形式了。 昨天啊，在咸鱼接到一个活，然后做两个，一个是做叶片这个结构型，一个是做气孔这个啊，你看到时候给我生成这两个就是不太对劲，你知道吧？不太好。然后呢，我就让他给我就是生成生成给我生成好老些， 当时呢都不行事。然后我就把这个给他，问抖音呢，问小红书，然后给我出了一个图片，就这个图片啊，把这图片都给豆包了，然后让他给我生成这个黏土形式的 啊，看着没改成黏土模型原比例，哎，构成这样式的，哎，我就有这个想法。然后接着我就开始捏这模型了，先捏中间那个部分，然后把细胞核啊和液泡都放进去， 哎，气孔这个保卫细胞也放进去，然后把边都给包装上，包装好开始摆。哎呀，摆盘是摆，参照现成的资料给他包装成品，有需要的可以私信我啊。

老妈，初一寒假的时候，你怎么不给我用这本书呀？我用了之后才知道，初中几何无非就考这六十八个模型，学会了这些呢，初中三年都不用愁。你看这个像不像燕尾？这个像不像铅笔头？这个是不是又像猪蹄呢？每个模型结论是什么，怎么画辅助线，怎么证明都写的很清楚。 有了这本书之后呢，做几何题就可以像查字典一样简单。先在书里找到几何题所属的模型，然后靠用模型对应的解析公式题就做出来了， 模型不会也不用担心，有专业老师的视频讲解思路。你看这些经典例题，都带详细的解析，还有细题来加深巩固。这么好的工具书，从初一开始，每个初中同学都应该有一本。

平行线这里啊一共有十三大拐点模型，今天老师就用一个视频带大家把常见的拐点模型的结论梳理一遍。那有关于平行线这十三大拐点模型，老师也给大家做了一个系统的总结，如果相关的结论推导过程和解析的本质你还不清楚， 建议家长们帮孩子打印出来，逐个模型，逐个题型的来进行练习，这样才能从本质学透方法，越学越轻松。 下面呢，咱们就来一起看一看这几个常见的模型吧！第一个认识吗？这是什么铅笔模型？铅笔模型的结论是啥？哦，这三个角之合是三百六十度，如何证明？过拐点做平行之后，这有一对同旁内角一百八，这有一对同旁内角一百八，两对三百六。 继续来看第二个，第二个呢，属于铅笔模型的变形，属于铅笔眉角形，秃头铅笔还是一样。过拐点做平行之后，有三对同旁内角一百八，所以对应他的度数也就是五百四十度了。来，继续啊，我们往下看 铅笔模型，再往下变形，变到 n 个角，那是多少呢？看这这有三个角的，和是一百八乘二， 哎，这是四个角的，和是一百八乘三。那你说 n 个角的和是啥呢？哦，不就是一百八十度再乘 n 减一吗？对不对？ 这三个是我们常见的铅笔家族。继续咱们再来看猪蹄家族，猪蹄家族的结论是什么啊？由于过拐点做平行后，这两个角相等，这两个小角相等，所以会发现猪蹄家族的结论就是，在这个猪蹄当中， 提尖尖的核等于提丫丫，小叉加小圈，等于小叉加小圈，我们由角 b 加上角 d 等于角 e， 同样啊，铅笔模型再来拓展，拓展成这样的锯齿形，和 n 个角有关的结论，那我们对应的解题的本质是不变的， 过拐点做平行之后倒角，我们就能够得到通用的结论，在这里，朝左的角度加核，等于朝右的角度加核， 在这里，左凸角之盒等于右凸角之盒，也可以叫指尖之盒，等于指缝之盒，容易记吧，所以这些方法都是你会一个就能变全身的。 最后这两个是什么？就是我们三大家族当中的鹰嘴家族，鹰嘴家族的结论是什么？嘴等于哎嘴的这两条线和平行线这两个夹角当中的大夹角减小小夹角，所以 d 这个啊，图当中我们就有角 e 等于角哎，角 d 减去角臂。再来看这个，那这不也是吗？这是嘴，嘴等于什么呢？看嘴的一边与平行线的夹角，嘴的另外一边与平行线的夹角，这两个夹角当中大的减去小的 啊，那我们平移一下线段，你会发现哦，这肯定是那个小的，这是那个大的，所以我们就有角 e 就 等于角 b 再减去角 d， 所以 根本就不需要死记硬背，掌握我们解析的精髓和本质，像这类模型咱们都可以轻松的来应用。

好，同学们好，我是泰州二附天明学长，我们来看一下这个七年级期末考试的压轴题，不是一道常规的动角动点问题，而是规律探讨性问题。好，我们来看一下 题目，给我们画了一个四面体、六面体、八面体，还有十二面体，然后列了一个表格，在表格里面，我们需要探讨它的顶点数、面数、棱数啊之间的关系。好， 第一问是比较简单的，我们来看一下四面体，顶点数是四个，难看出来，一二三四面数是四个，一个、两个、三个、四个棱数。我们数一下 一二三四五六六条棱。好多面。面体，它的顶点数是一二三四五六七八八个， 他的面数是前后左右上下六个，棱数是一二三四、五六七八九十十一、十二十二条。所以这个第一个地方啊，第二个，好， 我们看一下八面体，他的顶点数是一个、两个、三个、四个、五个、六个。八面体的顶点数是六个，面数是 一二三四五六七八八个。能数是一个、两个、三个、四个、五个、六个、七个、八个、九个、十个、十一、十二十二条。好，正，十二面题啊，他已经给我们写好了。好， 根据数据观察，我们可以发现 v、 e、 f 之间的数量关系是点数加上面数 减去棱数等于二，这个是比较容易看出来的。好，现在这个男同学啊，给我们的一个引导已经结束了，接下来到女同学的引导，我是这样推到棱数的啊，女同学发力了，八面体有八个面，每个面都是三角形，共有二十四条边， 每个相邻面之间共用一条边，所以棱数有十二条。什么意思呢？我来看个图，比如说，好，他刚说这八面体，我们看八面体，面体的每一条边是不是左右 各有一个三角形啊？每一条边是不是被用了两次？对，所以如果说面体啊，个面每个面都是三角形的话，其实按道理是八乘三，到底是二十四条边，但实际上每条边他重复利用了两次，所以说得除以二。好，那我们来看一下啊个， 我们把女同学说的这个话，让他呈现一定的规律性。好，比如说，这里是啊， f 面体，我们利用题干给的这些字母啊，负面体，每个面都是 三角形，那个其实是待定的，对吧？我们就假设每个面都是 m 边形，好吧，每个面都是 m 边形，那我们总共有多少条能呢？它用的是字母 e， 表示横竖 啊总能数，总共的能数为 e， 那 我们可以得到一个公式，叫做 f 乘 m 除以二等于 e。 对， 好，这是我们通过女同学得到的一个汇总总结得到的一个公式。好，因为我们已经作答完毕。来看第二问，如果一个玻璃厂生产的 玻璃饰品是一个简单多面体，它的外表面是由三角形构成的，并且顶点数面数和顶点数的比值是五比三。问，这个饰品是几面体？好，那这里我们就既然说比值数五比三吧，我们不妨假设面数 为五 x 点数，哎，三 x， 对 吧？好，那面数和顶点数出来了，我们来回到题目里面看一下，哦，面数、顶点数、能数之间是不是有个关系？所以我们的能数啊，可以表达出来， 能数，能数的话是五 x 加三 x， 那 就是八 x， 八 x 减二。好，因此我们的能数通过第一问的公式我们就可以写出来。好，这个是通过男孩提供的这个规律，我们算了一遍能数，我们女孩子是不是也算了一遍能数啊，对不对？也给我们提供了一个公式，好， 负面体啊，那就是我们的这个五 x， 对 吧？每个面有每个面是 m 边形，而我们这个提杆也告诉我每个面是不都是三角形，所以第二个等式就出来了。呃，五 x， 每个面是三角形，对吧？乘三除以二，因为每条边是不是利用了两次除以二等于八 x 减二，所以我们 x 算下来等于 四，因此我们这个面数应该是一个五乘四等于二十，是一个二十面体。好，这个是第二问。好，第三问， 我们来看一下啊，老铁们。第三问，如果一个简单多面体的各个面都是相同的正多面体，且各个顶点处的结构完全相同，这样的多面体我们称为正多面体，又称为柏拉图立体。好，这样的柏拉图立体共有多少种呢？ 好，做到这种题目啊，可能开天眼，对不对？我们要回到题干里面去，认真的把条件再捋一捋，好，根据你的意思， 多面体的各个面都是相同的正多面体啊，观察下图，好， ok， 四面体，大家各个面都可以是 正三边形，对吧？六面体，大家各个面啊，可以是正方形，对吧？四边形。八面体，各个面也都可以是正三角形，也等边三角形。十二面体，每个面可以是正五边形，好， 这是第一句话的理解，第二句话，各个顶点处的结构完全相同，那我们要看一下什么叫做各个顶点处的结构好比如说看四面体，四面体它顶点处结构有什么特征呢？我们发现 每一个顶点周围是不是都是三条南，对不对？并且每一个顶点周围是不是都是三个角，三个角度，对吧？这个顶点也是三条南，三个角度， 我们的八面体每一个顶点处四条南。哦，四个角度， 正十二面体，每一个顶点处是三条，能三个角度？好，我们心里面有数了啊，所谓的每个顶点处的结构相同，它就是指的每个顶点处的棱数相同，每个顶点处的啊个 角度啊度是相同的。好，这个这样的多面体叫做柏拉图立体，有多少种呢？呃，其实我们发现啊，一个案其实已经给我们是不是提供了四种啊？对不对？这四种是完全有可能是符合我们的柏拉图立体的，但是答案一定是四吗？啊？答案不是，对不对？我们要对这个进行一定的规律性的探究。对，我们发现这个 正多边形，随着每一个顶点处的棱数的增加，以及他的这个多 边形角度的增加，他这个顶点处是不是变得越来越圆滑，对不对？越来越平缓了，那我们要思考一下，他会不会无限的平缓下去，也就是说这个面 有没有可能最终变成一个平面呢？我们发现是不可以的，因为我们要构成一个正多面体，那要形成一个正多面体，这个地方一定是凸出来的，他绝对不可能是一个平面，如果是一个平面的话，是没有办法构成我们的正多变体。所以我们发现整点处的角度 他其实是有一个范围的，应该是小于三百六十度，对吧？不可能达到三百六，达到三百六的话就不就变成一个平面吗？对，好， 这是我们对第三题的一个第二个条件的一个理解。好，那我们接下来啊地方我们要重新起一页啊，所有的条件都罗列一下。好，我们画个表格啊，看的更清楚一点。总，总，啊，好，这里我们把条件重新罗列一下啊，看起来会更加清楚一点。 变数是 v， 变数 f 值 e， 我 们要强调一下，这个能数是总能数 啊，能数是总能数是 e。 据我们第三问说的，如果一个简单多面体的各个面都是相同的正多边形，那这里我并不知道他的每个面是什么样的一个正多边形，所以我们就设每个面每个面是 n m 边形。同时他的第二句话说，各个顶点处的结构相同，我们发现各个顶点处的棱数都是相同的，所以我们就假设每个顶点处的棱数为 n 条。好，我们刚才分析了咱们这个顶点处形成的角度，他是有一个范围的，最多最多 要不能达到啊？最多最多是三百六十度，并且达不到三百六，所以我们要写一个不等式啊，个，嗯， m 边形，他每个角度是 m 减二，对吧？每个角度是 m 减二，乘一百八除以 m， 而每个顶点处是不是有 n 条呢？也就是 n 个角度，那就是乘以 n， 应该是小于三百六的。好，这是我们得到的第一个等式。同时我们观察发现，这个 正 m 边形 m， 他 肯定是大于等于三的，每个顶点的能数他也肯定是大于等于三的，否则他没有办法构成我们的这个立体图形啊。好，那刚才的第一问的条件，我们要写一下，这个顶点数，还有 面数以及我们的棱数之间是有一个等量关系的。同时我们第啊第二个小女孩，她提供的这是一个等量关系，二个小女孩提供的是面数，然后每一个面是多少边形，这个面是多少边形？然后算了一下棱数，好，也就是我们的 f 面数乘以每个面是多少边形，对，每条边是不是算了两次啊？除以二等于我们的 总能数，好，这个就是我们目前得到的几何有的公式。好，同时我们发现啊个顶点数和能数之间其实也是有一定的联系的。我们再说我们正四面体 每一条能，他是不是对应了两个顶点，对不对？换句话而言，你每一个顶点放三条能，发散出来的几条能是不是都算了两次啊？对不对？ 我们来看啊，到图里面再看一眼，比如说我们的这四面体，每个顶点是不是发散出三条能，对不对？但是每条能是不是对应的两个顶点啊？同时比如说我们看 左下方这个点，他是不是也发散出三条能，而这条能是不是重复算了两次？同样的，对于我们的六面体，从这个顶点出发发散出三条能，从这个点出发也是发散出三条能，我们会发现每一条能其实是算了两次的，因此我们 得到的第二个隐含的公式，点数乘以每个顶点处的能数，对吧？乘以每个顶点处的能数除以二 等于我们的总能数是指第三个公式。好，以上就是我们目前根据题干的条件啊，我们总结出来的三个公式。好，我们接下来对这个不等式进行处理，百八和一百八消掉，那就是 m 减二。 嗯，两倍的 n 小 于两倍的 m， 我 们可以把 m 乘过去啊， m 是 大于等于三的一个正数。好，因为 m 大 于等于三，所以 m 减二，是不是大于等于一，它也是个正数，那我们就可以根据不等式的性质，我们可以把它除过来就是。 好，我们现在对这个不等式进行处理。左右两边一百八约掉，哎，八和一百八约掉，那就是 m 减二。除以 m 乘 n 小 于二，因为我们的 m 是 大于等于三的， 所以 m 减二。是 m 大 于等于三，那左边这个整体它就是一个正数，根据不等式的性质，不等式的左右两边同时除以一个正数，法布等号是不变的，所以我们的 n 就 小于两倍的 m 除以 m 减二。好，那么 m 他是有一个最小值的啊，等于三，同时我们的 m 就 出现了他的一个最大的一个范围，对吧？小的范围我们也有了，那现在我们要来探求一下这个最大的范围。好，这个时候我们把这个柿子拎出来来单独讨论一下。就是 二， m 除以 m 减二，我们要看一下这个式子的范围。好，其实这个式子的形式我们本学期也遇到过了啊，这个方程的整数解，那么其实是遇到过这种形式的，我们可以把这个分母的 m 减二当做一个整体分子给它配一下，那就是两倍的括号， m 减二 加四，要等变换啊。除以 m 减二，那就是等于两二，加上四除以 m 减二，因为 m 是 不是大于等于三？所以 m 减二是不是大于等于一？ m 减二是不是在分母上？对，分母越大，整个分数越小？所以当 m 等于三的时候，我们这个式子是不是取得一个最大值？对，好，当 m 等于三的时候，这个原式取得一个最大值等于 六啊，等于六，所以我们的 n 的 范围就已经求出来了。 mean 是 大于等于三小于六的。好， 这时候我们就可以进行分类讨论了啊，接下来采用枚举法。接下来采用枚举法对 m n 进行讨论。好，我们把这擦掉。我们刚才的式子是 m 大 于等于三，小于 m 减二，二 m 啊，就是 n 大 于等于三小于六。好，第一种情况，当 n 等于三的时候，当 n 等于三的时候，我们来看一看 m 这个时候是什么范围呢？当 n 等于三的时候，带进去，那就是 三小于二， m 除以 m 减二，也就是三倍的 m 减二 小于二， m 化简一下，那就是 m 小 于六。好， m 小 于六，同时 m 是 不是又大于等于三啊？所以我们这个时候的 m 有 几种情况呢？ 当 n 等三的时候， m 等于三、四、五三种情况，那它分别对应的是正几边形呢？我们要来求一下啊。下来有一个非常重要的一个地方，就是啊，我们要求面数。好，现在我们已经有了什么呢？已经有了 每个顶点的棱数，对不对？它每个面是正多少边形，我们已经有了这两个数值已经有了。好，接下来解方程，我们发现这个式子是不是有共同的点意啊？两个式子是不是有共同的点？意求总能数，对不对？哎，我们把这两个式子能不能考虑把它合并一下， 那就是 f， m 除以二等于 v 乘 n 除以二。好，接下来我们就开始解方程了，我们看一下我们现在拥有的这三个等式，它稍微处理一下，化解一下，我们发现 大家是不是都有 e 啊？对，大家是不是都有 e 啊？说这个 e 能不能当做是一个参数中间过渡的一个桥梁呢？好，我们这里把 f 处理一下， f 应该等于两倍的 e 除以 m， 个 v 也等于两倍的 e 除以 n， 那 我们是不是可以把这两个式子的值带到第一个式子里面去，那就是 两倍的 e 除以 n， 加上两倍的 e 除以 m 减去 e 是 不是等于二？好，我们把这个两倍的 e 除掉，那就是 n 分 之一，加上 m 分 之一，减去二分之一，是不是等于一除以 e 啊？对，哎，就得到了我们一个终极的一个公式， e 是 能数每个顶点的，能数 m 呢？是正的， 每个面的正多边形，对吧？ e 是 不是我们总能数啊？非常好，我们刚好是不是也是需要这个，对吧？好，现在我们把这个 e 和 m 的 值带入到这个式子里面去，我们把 e 求一下。好， 一个式子 n 等于三， m 等于三，那带进去就是三分之一，加上三分之一，减去二分之一等于一分之一。好，我们算一下，三分之二减掉二分之一，那就是 六分之四，减掉六分之三，那我们就是六分之一，所以说 e 就 等于六。好，这个是 第一个 e 对 应的是什么呀？ e 对 应的是我们的总能数吧？对，而我们要看一下，它是一个正多面体啊，是要看它的面数，面数的公式在哪呢？哦？ e 是 不是有了？ m 是 不是有了？我们要求的时候，面数是不是在这？所以我们是不是可以把这个值是不是带到这个里面去就 ok 了？对，好，那我们的面数是多少呢？ f 乘以三除以二等于六，对吧？所以我们这个时候的 f 是 不是等于四啊？四面体，这种情况是四面体。 好，同样的道理来看一下，当 n 等于三， m 等于四的时候，它算下来是几面体呢？好，我们这个地方空间有限，我们 把公式处理一下，我们把公式写到这个左边来。啊。好，刚才已经算出了第一种情况了， n 等于三， m 等于三，我们求下来， f 是 等于 这个四。好，我们来看一下，当 n 等于三， m 等于四的时候，好，到这个公式里面去，那就是三分之一加四分之一，对吧？三分之一加四分之一，那就是 十二分之七，对吧？十二分之七减掉二分之一，那就是十二分之七。减掉十二分之六等于十二分之一，所以我们的点 e 算下来是不是等于十二，对吧？点 e 等于十二，带到这个市里面去， m 是 不是等于四？那这个地方四除以二是不是二？所以 f 是 不是等于六？好，这个时候我们对应的就是 六面体，同样的， n 等于三， m 等于五，我们来算一下，那就是三分之一加五分之一，那就是十五。十五分之八，十五分之八 减掉二分之一，那就是三十分之十六。减掉三十分之十五，那就是三十分之一，对吧？三十分之一，那易算来就三十，对吧？易算来是三十，这是 m 等于五，带进去二分之五，那就六十除以五，那就是十二。这个时候我们对应的 f 是十二边形好，这是当 n 等于三的时候，二大类情况。当 n 等于四的时候， n 等于四的时候，我们带到原来的这个不等式里面去，那就是四小于 m 减二除以二， m 化简一下，那就是四。 m 减八小于二 m， 所以 说我们的 m 是 小于四，大于等于三啊。这种情况的话，由于我们 m 是 整数，所以 m 只有一个胆， m 等于三，那 n 等于四， n 等于三，我们来看一下， n 等于四， m 等于三。带到这个式子里面去，那就是十二分之七，十二分之七 减二分之一，十二分之六，那就十二分之一，所以说我们点 e 算下来就等于十二，点 e 等于十二，带到这个式子里面去，那就是十二。然后 m 是 三，好，那就是十二。乘以二分之三，那就是二。十四除以三等于八，所以我们 f 算下来是不是等于八，这种情况好， 这个情况就是 f 为八面体好。第三大类情况， n 等于五的时候， a 等于五的时候，我们带到原来的不等式里面，那就是五小于二， m 除以 m 减二， m 减二，那就是五。 m 减十，那就三 m 小 于十， m 小 于三分之十， m 小 于三分之十，大概就是三点三吧，等于三还是有答案的，所以这个时候 m 还是取整数等于三， m 介于三到三点三之间，那只能取三了。好，我们带到这个式子里面去啊，它其实带到这个式子里面去，五分之一加上三分之一、十五分之八，十五分之八， 减掉二分之一，那就是三十分之十六，减到三十分之十五等于三十分之一，所以说我们点一算下来就是三十，点一等于三十的话， m 是 不是等于三？带到这个式面去，那就是三十乘 二分之三，那就是十五。有时候 m 等于三，三六十，六十除以三 啊，是除以三啊，没问题。好，我们重算一遍啊，这个这个时候的 e 是 三十，对吧？三十乘以二除以三，那就等于二十，所以说我们这个时候 f 是 正二式面体。好， 那总共有多少个答案呢？一个、两个、三个、四个、五个啊，这道题一共是有五个柏拉图立体题啊，好，这道题目实际上是考察的我们的高中的一个立体几何知识啊和立体几何欧拉欧拉的立体几何有那么一点有点难度啊，是有难度的， 需要我们对这个图形的特征进行观察和理解啊，这是我们第一个表格得到的公式，对不对？这个是我们根据 第二个女孩子说带到了一个公式，这个是我们根据第三问的问法啊，点处的结构啊，观察发现的一个公式。 通过这三个公式啊，其实这个公式我们其实也可以不用推出来，因为本质上他就是在解方程，本质上就在解方程，你把相关的数据带进去，其实这个公式啊，是否推出来也不是很重要啊，到了一个公式，这个是我们根据第三问的问法啊，顶点处的结构啊，我们观察发现的一个公式 啊，通过这三个公式啊，其实这个第四个，这个公式我们其实也可以不用推出来，因为本质上他就是在解方程， 本质上就在解方程，你把相关的数据带进去。其实这个公式啊，是否推出来也不是很重要啊，带带到原来的这三个式子里面去，其实也是可以解的啊。但实际上这个第四个公式啊，就我们高中的立体几何的一个标准的一个推论公式啊。

平线，这里啊，一共有三大类，十三种相应的拐点模型，是我们整个初一的一个重难点。那有关平线，这里其中最典型的一类就是铅笔家族对应的模型了， 因为它还会拓展到 n 个角，相应的结论去考大家。今天我就一个视频，带大家讲清楚所有铅笔家族这些模型的结论。 那有关于平行线啊，这十三大拐点模型，老师都给大家总结出来了，都是历年的真题，如果我们的孩子现在做这种复杂图形的辨析，倒角计算还没有思路的时候，咱们一定要带孩子分题型，掌握方法，把本质的思维学透，这样咱们才能举一反三。 下面啊，咱们就来一起看看这里啊，最原始的铅笔模型是什么？看长得像个铅笔头，两线平行，我们通过一个关键的解析要素叫做什么？过拐点，做平行，做出平行线，它就是倒角的桥梁，形成两对。什么呀？同旁内角， 那我们对应整个这个铅笔结论是啥来，两个同旁内角对不对？一百八十度乘以二，三百六十度，所以我们就有第一个结论，角 a 一 加上角 a 二加上角 a 三，等于三百六十度，这是第一个。 继续啊，我们来看第二个，第二个在这里铅笔头磨平了，我们也叫做秃头铅笔模型，那它的结论是什么呢？ 我们仍然啊过拐点做平行，这里拆分出三对同旁内角，三对一百八，所以对应他的角 a 一 加上角 a 二加上角 a 三加上角 a 四，就等于一百八十度，再乘三，哎，也就是五百四十度了。 继续啊，我们把这里三个角，四个角拓展到 n 个角，那我们这里 a 一 加到 a， n 又等于多少呢？看啊，在这里三个角三个点对应三个角之盒是一百八十度乘二， 这里四个角对应度数之盒是一百八十度乘几呢？ 对了，乘的就是 n 减一，所以在 n 个结 n 个角对应的结论这里，我们直接就可以得出它们的角度和是 n 减一乘一百八。那有关铅笔模型家族的结论咱们就总结完了，你现在学会了吗？

七下平行线，这个章节太重要了，它是我们整个初中几何的基础，那有关于平行线这里啊，它一共有十三大常见的拐点模型，今天依依老师就带着大家用一个通用的思想搞定这类复杂的平行线拐点模型。 那有关于平行线，这里啊，老师也给易错的这个平行线性质判定的真题，给大家总结出来了，一共三十道，如果啊，对于平行线这一块的题目，你还经常出错，没有模型思维，几何思维，家长们一定要打印出来，带着孩子逐个题型的来进行练习。 下面咱们就来看一下这道题，非常经典啊，这里说 a、 b 平行于 d 一， 这个角呢是八十五度，这个角一百四十度，让你去求 b、 c、 d 中间这个小角角的度数，那该怎么求呢？其实这类题目答题的通法就一个，叫做 过拐点做平行。什么是拐点？看哎，折一下，折一下，折一下，这些点就是拐点，而由于这个拐点，这个拐点上面已经有一条平行线了，所以我们过拐点做平行，就过底下的 c 点做平行了。 你看做完平行线，利用平行线的性质，我们就有两线平行，内错角相等，这是八十五度，那对应这个角就也是 八十五度了，对不对？哎，那我们由于这条线是平行于 ab 的， ab 又是平行于 d、 e 的， 由平行，公底的推论是不知道这两线也平行啊， 那它俩平行，我们知道两线平行同旁，内角互补，所以上面那个角是一百四十度，这个角咱们就可以求出来，它的度数就是一百八十度，再减一百四十度，也就等于四十度了， 那整个大角是八十五度，下面这个角是四十度，那中间这个小红角咱不就求出来了吗？也就是八十五度，再减四十度，也就是四十五度了，那这道题的正确答案就做出来了。

七年级下册数学平行线模型、几何证明是重难点，家长孩子要重视起来。下册开始，孩子学习的几何模型越来越多，比如铅笔头模型、猪蹄模型、八字模型、 蝴蝶模型等等。推荐家长现在就给孩子安排上这本初中数学几何模型大全，他整理好了初中三年常考的七十一个几何模型， 每个模型都罗列好了常考图式、条件、结论和巧记口诀，证明过程也一清二楚，看不懂的还可以扫码听老师讲解，并且结合视力教孩子掌握模型，还有模型演练，让孩子有学有练，巩固加深所学知识。一本初中三年都能用，把它吃透了，几何题型轻松应对。

初中生这个寒假几何要不要学？尤其是八年级家长，这个寒假呢，一定要学几何，因为我们八下的重点就是几何，我们在这个寒假里面要把几何的模型， 几何的辅助线，解题思路和解题方法都给他学会。我们整个初中有六十九个几何模型，有七十三条辅助线，这些方法咱们的孩子在课堂上面是没有办法得到一个详细讲解的，因为咱们老师的课堂时间有限，也没有办法把这些方法都交给咱们的孩子， 那么咱们的孩子学会了几何模型，几何辅助线，在几何题型上面就会游刃有余。接下来怎么选择教辅资料就是一个比较头疼的问题了，爱美思 外围作业帮学，而思这么多教辅资料，我们应该选哪一个呢？接下来呢，给大家聊一聊我的选择思路。首先这些资料都是带视频讲解的，那么我在选择的时候，我更加关注的是第一，教辅品牌，它对考勤和学前的了解。 第二，他是怎么教的，让咱们的孩子易学易懂。第三，这里面的立体的含金量和代表性。第四，老师的教课方式和方法，能不能让咱们的孩子易学易懂。接下来呢，我带你们看一下子，这是市面上面比较火爆的我们的爱美思系列，大家可以看一下他的排版 模型的学习到咱们的实战演练。接下来呢，再给大家推荐我比较认可的学而思，我们打开先看第一个模型，大家可以看一下他的排版是什么样子的。 咱们拿到资料以后，我们的封面有一个第一步，第二步，第三步我们去下载，不用每一次去扫码看视频，他的视频呢就在我们的 app 里面。那么第一个叫提子模型，首先第一步就是提炼要点，给咱们孩子一个公式速记，让咱们的孩子快速的了解我们这个模型的重点， 以及这节课的学习的要点。接下来再通过图形拆解，加深孩子对模型的理解，再通过我们的模型证明模型拓展，添加辅助线，让孩子学会做题，最后再通过经典题型来剖析，让咱们的孩子学会灵活运用。最后再通过我们的中考真题，让咱们的孩子强化训练。 学而思的师资都是清北师资，讲解模式就像我这样子露脸的一个讲解。第二个，学而思做教培接近三十年了，他知道咱们的孩子痛点在哪里，知道该怎么教，如何帮孩子教会学而思，更了解考情和学情，了解我们的经典题型，了解我们的命题特点，了解我们的高频考点， 所以我更倾向于学而思的几何模型，这里面有六十九个几何模型和七十三条辅助线，有讲有学有练，推荐给大家。视频下方呢，有链接，这道资料呢，适合初一、初二、初三。

初中几何考来考去就是这六十八个模型，把它们搞定！数学其实一点也不难，中考常考必考的几何模型，这本书已经给你准备好了，初中生的寒假一定不要在手机和电视前浪费了，一定要每天晚上把初中几何的模型知识点吃透。 小学看计算，初中看几何，别人卡几何题半小时没思路，你用模型三分钟秒出答案！中考几何多拿二十分，差的就是这套提分工具。你不要小瞧初中的几何题，要知道初中一百二十分的试卷， 五十分的压轴题才是拉开距离的关键。所以这就是为什么每一届我的学生，我都会要求他们一定要从初一开始就做一个动作，每天拿出二十分钟去练习一个初中几何模型。 初中三年就是这六十八个模型学而四的初中几何模型，三分钟了解几何题，学练测速记，用模型三分钟解一道中考几何大题。像这样高效的解题方法， 只是这本书中的冰山一角，这里面包含了从初一到初三的几何知识，所有解题模型都包含在内。你看三角形分这模型， a 字模型、将军印码模型、对码点模型讲解都十分透彻，家长赶快给孩子安排起来吧！

初一下学期一开学，数学第一章就是几何知识，家长寒假一定要给孩子准备这本初中几何模型，等开学你就知道它有多轻松。这本书总结了初中几何常考的六十八个模型，燕尾模型、手拉手模型、八字相似模型、 阿史圆模型等等，每个模型的结论证明过程，这本书都给你讲的明明白白。靠用模型公式三步就可以解开一道大题，其他同学还在分析条件，你已经靠结论秒出答案了。 学完还有辨识练习，检验学习成果，由易到难，循序渐进，无论考场上题型怎么变，都能轻松应对。没看明白的可以扫码看视频解析，再搭配一本练习册和答案解析，考前翻一翻，答题时心不慌，初中三年都可以用，抓紧带回去学起来吧！

平行线，这里一共有十三大类管理模型，其中啊，我们的铅笔家族真的是我们学习的重头戏，今天我将用一个视频带着大家搞定铅笔模型，这里的变形叫做秃头铅笔型，咱们来一起看一下啊，我们原始的铅笔模型讲的是什么？ 哎，长成了一个铅笔样子，这两线平行，这三个角，角一加上角二加角三，对应的和是多少度？对了，是三百六十度，因为我们通过过拐点做一条平行线，两个同旁内角就可以得到结论。 但是如果铅笔尖磨平了变成这样，那对应的结论还成立吗？咱们再来研究一下啊。那我们想研究角一、加角二，加角三加角四的和是多少还是一样？把铅笔内部拆分出几个筒旁内角出来，过拐点做平行就可以了。 看，这是一对同旁内角，这是一对同旁内角，这又是一对同旁内角，这里面有三对同旁内角，所以对应的度数不就是一百八十度乘三吗？也就是等于五百四十度。 所以有关于铅笔模型，咱们解析的招数就是过拐点做平行，拆分同旁内角，再来进行倒角计算。那有关于铅笔模型秃头铅笔，你现在记住结论了吗？