北京中考一道题12种图

来上课了，我们来看这么一道例题，若 x 四次方加 x， 三次方加 x， 平方加 x 加一等于零，让我们求 x 的 二零二五四方的值， 给定一个这么高次幂，肯定我们不能直接进行计算，那么我们有两个方向，一个是如果求出 x， 它等于一，或者是负一，或者是零等这种数，那么直接把 x 代入就可以进行求解，或者是 x 的 几次方 等于一负一零也是可以的。再看一下二零二五和这个 n 次方有什么关系？接下来我们来看一下条件。 这个高速方程求 x 是 非常复杂的，我们不妨把它进行一个变形，把这个一移到右边去，也就是 x 的 四次方加上 x 的 三次方，加上 x 的 平方，加上 x， 它等于负一。 对于这种给定低次密，让我们求高次密的形式，我们一般的方法是进行生密，生密的方法就是给定一个低次密的最高次，我们把它放在一边，把其余的都挪到另一边去，所以我们就把这一堆都给它挪到右边，也就是 x 的 四次方，它是等于 负的， x 的 三次方加上 x 的 平方，加上 x 加一。接下来呢，我们就对它进行一个生密，两边给它同乘一个 x， 就 得到了 x 的 五次方， 它等于负的。把 x 乘进去就是 x 的 四次方，加上 x 的 三次方加上 x 的 平方加上 x。 观察一下，这个正好是它，所以 x 的 五次方就等于负的，这个是负一，也就等于一。那么看一下所求的这个 x 的 二零二五次方， 二零二五和这个五有啥关系呢？它等于 x 五次方的四百零五次方， x 五次方等于一，所以就一的四百零五次方就等于一， 所以最终 x 的 二零二五次方就等于一。好，这道题就给大家分享到这下课。

这是十一学校考过的一道原题，像北京四中人潮分都考过类似的变形题。为什么大家都喜欢考这个题呢？他非常契合北京中考几中的命题趋势，在一道题目中不考偏难怪。就考察那些基础模型、基础知识的综合运用，看看你是不是能在一道题中把它们融会贯通。因此，对于这些基础知识和底层逻辑 掌握的非常好的同学，做起来会非常的顺畅，没有任何的卡点。但是如果但凡有一个模型，或者有一个关键的思路，你就没有办法突破。接下来请同学们 自己读完本题，做完第一、第二小问最好第三小问也进行一定的思考。我们重点来讲，从第二小问开始。在这个过程中，我还会讲解两个在我们北京解冻中常用的考试技巧。现在开始，第二小问说，如果角 b、 a、 c 是 ar 度，在这个位置标一个 ar， 求角 d、 a、 h 的 度数啊，我们不妨在这标一个叉号，通过这个位置我们可以看到啊，想求这个 x， 其实求这个 y， 这个度数也是类似的， 它们俩是互余的，我求出 x， 求出 y， 都可以得出本题。这是我们第一步要去思考的，第二步要去思考的就是题目中给的这个 alpha 和等腰这个条件是高度关联的，也就是 这两个角，我们不妨在这个位置给它标成 beta， 是 可以求出来的。我们可以通过等腰三角形快速求出这个 beta 啊，它是度数， beta 等于一百八十度减去 alpha， 再除以二 等于九十度，减去二分之阿尔法。第三个呢？就变成了，我怎么能由由这个阿尔法或者这个贝塔去求出 x 或者 y？ 这个时候可能会有少部分同学卡住，我们的分析的方法应该是这样，题目中还有什么已知条件是我们没有用的上的呢？这是一种重要的思考方法。如果我们从这个角度会发现，我们在题干中标注的蓝色的这两个条件已经被我们使用上了，这个 和这个还差，我们用横框标的这个条件，它没有被使用上，这个时候我们就去盯着横框标的那两个条件，我们再结合已知和求证，这个时候 就看你能不能看出这个八字型了。因此这道题考察的是已知条件的一种分析，以及八字型这么一个基础图形。如果这个时候你还看不出，那只能说明你对八字型太不熟悉了。看出八字型这个前提下，我们就可以快速的得到 beta 是 等于什么 这个 y 这个度数的，所以我们就可以把它写出来， y 等于 beta 等于九十度，减去二分之二，那进而我们就可以求出 x 等于九十度，减 y 等于二分之 r。 因此本题结束。好，第二小问搞定，进入第三小问。第三小问说探求三条线的关系， b、 d、 c、 d 和 d、 h。 为了大家能够看得更清楚啊，我们把这个图稍作清理，更清晰一点。这个时候有三条线怎么处理比较好呢？把它们用小写的字母标注在图形中， b、 d、 c、 d 分别标小 a、 小 b， 还有 d、 h 标小 c。 标注完毕之后就很考验同学们了。三线常见的关系有哪两大类呢？第一大类是 a 加 b 等于 c 型，第二大类是 a 方加 b 方 等于 c 方形，这两大类啊，分别具有什么？四个字啊？分别具有四个字，前面这个字叫截长补短，后面这个字叫勾股定律，这就是总结，这就是我们北京中考最喜欢考的这种基础的东西。截长补短和勾股定律大家应该都是比较熟悉的， 我在这个地方呢，先不展开啊，后面我们会专门讲到这样的一个专题，我们重点回到这个题上，这个题呢，我们更倾向于什么？接长不短啊？接长不短，还有很多其他还有一些其他的类型，这是两大类啊，我们结合本题来看呢，他其实啊，给了一个重要的提示， 就是上一小问，上一小问他出现的这个角是二分之阿法，那就意味着什么呢？意味着我们在这个地方始终存在一个二倍角关系，只要这个角是阿法， 这个角就一定是二分之 r， 就 这么一个二倍角关系。二倍角关系常见的处理方法是什么？我们要把那个二分之一 r 给它变成 r， 这是一个很重要的思考方式， 否则这个二倍角的关系怎么用呢？或者我们把这个 r 给它，中间也给它解开，给它变成二分之一 r， 那 么你应该选择到底是把大的给它解开，还是把小的给它翻倍呢？这个时候啊，以基本的 数学感受，或者说我们的逻辑推理来看，应该是把小的翻倍，否则他为什么特意的给了你一个二分之一算法呢？ 对不对？好，这是第一个啊，就算你从这个角度你无法得出结论，还有另外一个角度是什么呢？就是等幺三角形，在我们的初二上学期是非常重要的，它是一个重要模型的基础，叫做手拉手模型。 什么是手拉手模型呢？就是两个等腰三角形在一起，可以构造出全等啊，时间关系我没有办法细讲啊，我就简单的举一举例子，比如说这个 c a b 是 一个等腰三角形， c a 等于 c b， c d 呢，等于 c e， 这个时候他就可以形成旋转感的全能。那么这样的手拉手模型我们要怎么去掌握呢？我们要知道他在选择题中或者是压轴题的小题中，一般是怎么去考的，就考察一些倒角啊，倒边的问题。在填空题中呢，经常考察一些二级结论，这呢有六个重要的二级结论。我把头像放小啊，你可以 截图，也可以要到完整的电子版的资料，然后在大题中。哎，这是我们今天要重点去讲的，他其实经常会考察我们去构造手拉手模型，他并不是说我给了你完整的手拉手模型。好了，你去正宗的吧，不太会的，在我们的几宗加入题中，他是要去构造的，而 我们今天要讲的刚好符合第二种常见的构造形式，他给了垂直，我们通过倍长的方式，能够把一个直角三角形 给它构造成等腰三角形，这个等腰三角形和题目中已存的等腰三角形就形成了，手拉手就可以出现全能了。所以呢，不管是从题目中的上一小问的引导，还是从手拉手模型的常见构造方法，我们都可以得出，在 h b 上再截取一小段 h e 连线构造出等腰三角形，它的辅助线描述是在 h b 上截 h e 等于 h d， 就 说又出现了一个小 c， 此时我们的两个等腰三角形 abc 和等腰三角形 a、 d、 e 就形成了手拉手模型，这个手拉手就可以进一步的去寻找全等和哪个三角形全等呢？哎，和这个紫色的这个三角形全等，他们会有一些些的交叉，所以需要我们对于图形的这个感知能力啊，要逐渐的积累，只要我们找到了这个全等，对于大家来说证明全等都是比较容易的。异正三角形 a、 e b 全等于 c b 的， 也就是说小 b 呢，就跑这来了，小 b， 我 那个小 a 标的位置出现了一些问题，小 a 就是 整个 b d 啊，那这是小 a， 所以 这样一来，小 a 也就是 b d 就 等于 c d 加上二倍的 d h 啊。这个题的证明过程就结束了，希望大家通过这道题能更熟悉的是手拉手模型的构造。

你能不能知道你错哪了？我错，就是找对称轴是找错了，找对称轴找错了，我看一下啊。呃，对称轴确实错了 啊。对称轴首先确实错了，你写成了负一了，是不是？对，你看一下，你写成负一了，实际上是一对吧， 实际上是顶点应该负一四。嗯，那如果你按照你新的这个对称轴，你能不能把这个 y 的 取值范围解出来看一看？ y 应该是大于负四，小于等于四， 大于负四小于等于四，对，这就对了，这就对了。实际上是不是它就是我们的最值四图里面的，哎，它这个是开口 开口向下的，对吧？哎，嗯，这个对称轴是 x 等于一啊， x 等于一， 哎， x 等于一之后，它说的是在三到负三，是不是很显然，负三要离这个对称轴要远一些，三离这个对称轴是不是要近一些？因此它的这个是不是我们的那个最值四图当中的这种， 这种勾是不是？哎？嗯，它的最大值和最小值分别在负三和一处取得。 看，在负三和一处取得，只是四是可以被取到的，负四是不可以被取到的，所以这是一个取等的问题。最后这个 y 就 应该是小于等于四，大于负四，答案是变成这个 对，嗯，好， ok， 我 看一下你怎么写成了这个对称轴是负一呢？ 你为什么是负一啊？你这圈一下就直接圈出来了。嗯，哦，不是，应该当时把那个就是 y 等于负四和正四给看成一样的，哈哈，你把正四和负四看成函数值一样的，是吗？ 嗯，啊，行，这个好啊，这个应该是，应该是这个，这个二和这个二是函数值一样的，是吧？ 哎，对，就这轴应该是负一加三除以二应该是这个，应该是这个。好，行，这是你错的第一个小题。 嗯，要注意他背后考察的是最直四图。嗯，那么我要给你强调一个问题啊，刚才有一个正好跟一个家长沟通一个学生的问题， 我发现很多就是水平还是很不错的学生啊，比如说一百分能考八十多甚至接近九十啊，在这个水平甚至有可能都能考到九十多啊，一个西城的一个一个学生，然后呢？呃，聊完之后呢？ 总结下来那也是一个女生啊。还有一个问题啊，这也是所有的，就是就是想往九十以上，九十五往上冲的学生要特别注意的一个问题。最最最重要的一个问题就是什么呢？就是可能你你的努力程度是够的 啊，你的执行力也是够的啊，就比如说是，是不是执行力也很好对不对？做作业非常认真，学习也非常刻苦，这些都没有问题，对于你们来讲 都没有问题，但有问题的地方在哪呢？有问题的地方在于，呃，尤其是可能啊，咱们不是从性别上区别大家这个学习的数学上这个情况，而是确实是总体上体现出来有一些相对努力程度比较高的女孩欠缺的点 是不会看到题目回扣知识点不会去做总结归纳，然后呢，没有把我们的这个知识体系 给学到手，这是主要问题啊，就是意思就是说你做的每一道题啊都要干嘛呢？都要回归到啊知识知识体系和解法体系上来。 解法体系和知识体系都是固定的题，都是千变万化的，所以关键就是说白了就是能不能 有意识去干嘛呢？是不是以不变应万变？这是好多就是往上冲的学生冲不上去。一个很根本性的问题，一个很根本性的问题 啊，就是你说哪个知识点都学了，哪一个方法也都学了，但是呢，真正到了考试的时候呢，施展不出来，施展不出来。嗯， 所以你看我每次讲题的时候呢，都会给你去回扣到，我们其实真正考的是什么？就像这种题，很多同学做这种题的时候呢，他其实就不乐意去回扣了，他觉得这题挺简单的，实际上这个题背后考的是什么，你脑子里永远要知道什么呢？我们往小了说， 你平时要有什么样的一些啊习惯？就比如说考点意识，就是我看到这道题，我就知道他考的是我的知识体系当中哪个知识点考的我的解法体系当中哪个解法？你要有非常强烈的考点意识。 考点意识背后其实是什么呢？就是你有命题意识，你是在跟命题人是在同一个层次上看问题的，你不是被命题人牵着鼻子走的，这是非常重要的。所以你要有考点意识， 要有考点意识。只有你不断地增强这个考点意识啊，那么你会发现他会反向巩固你的知识和接法， 然后让你觉得好像我不是在应付每一道作业，不是在应付每一道题，不是在疲于奔命，而是在时刻去看穿每一道题，它其实它的猫腻在哪里？ 像这题，你说啊，我们就拿这道最简单的题来给你示范一下啊，我看到这道题的时候，我只要看到这个题的长相， 我只要看到这个题的长相，我一定能想到这个题它应该是属于它，就提醒了我它是一个什么题型， 对不对？这种题型肯定是考函数值相等的那个找那个点，有了题型，那你必然就有了解法， 他们是一起的，还有最后的背后的这个知识，他们都是一起的，就是你的脑子里干嘛呢？就是你不能是像那个你只看到的是一个一个知识点，或者一个一个珠子， 但你不能把这个串珠成线，对吧？你不能把它串成一个项链啊，你不能把它看成一个整体啊，这是不行的。所以看到这种题的时候呢，你要有意识的去回归，当然你这个题可能错并不在此，但是你做题的时候要有这个意识 啊。好，所以呢，我看到这道题的时候呢，我会想，首先这道题啊，第一种可能就是直接去让我找函数值相等的啊，当然你是函数值相等那地方看错了啊，正常来说是不会看错的啊，所以你还要再去深挖一下，你为什么看当时看错了？ 你有没有一种潜意识里就是认为他俩就是相等的，那更可怕，比你简单的把它归因为说我看错了， 其实我一直很质疑，我觉得你只要长着两两只非常正常的眼睛，负四和四，你怎么会看错呢？你肯定是想错了，你就想想你哪想错了，这是最重要的，明白了没有？ 嗯，人一定会在这个地方可能犯了一个想错的问题，而不是看错的。看是不会看错的，关键是说啊，我要看看，我为什么要把负四和四看成了一个 对称的点啊？为什么会看成一个对称的点啊？好， ok， 那 么这是从长相上来说，考的一定是先找相等的函数值，然后呢回头去看 x， 看完 x 直接去算它的对称轴，算完对称轴，然后呢，在这样一个取值范围里， 哎，负三到三的这样一个取值范围里，那我就可以发动我的最值四图了，看它是什么形状，找它的最大值，最小值，然后呢，一定要去，这个时候是一个观念，就是你一定要去把它回扣到， 回扣到我们的最值四图上去，把最大值和最小值明确出来。因为有很多学生他直接把负三和三的这个函数值抄下来，负三的是负四啊，三的对应的是二，所以很多同学就说，老师他的函数值是 y 大 于负四小于二， 错了对不对？因为它的最大值并不在 x 等于三的时候取得，它的最大值是包括了它的这个拐点处，也就它的顶点处。所以像这类问题，你怎么样完全避错呢？就是我每次的我的解析流程里都是附带了整个完整的 啊，我学到的这个知识，我看到最值四图，我就要用最值四图，我用最值四图的时候，我就要去想，我要去辨别它是哪一种形状，咱们上次讲了四种形状到底是哪种形状，每一种形状对应的最大值，最小值，把它用草稿纸在草图上把它给 标出来，把它给标出来，这是规范的解析流程啊，你只有这样，你只有这样才能百分之百的避错， 否则你一定是今天在这错一下，明天又换个地错。可能这同一种类型啊，你每次错的地还不一样，那可能就不好找毛病呢。所以一定要规范。就比如说这道题， 这道题有没有发现你在这个答题区域里，我不知道你在草稿纸上有没有画，其实你并没有把这个图画出来， 对不对？你并没有把这个图画出来，你没有把这个东西直观化，哎，没有把它直观化去理解，哎，好了，我就说这么多。当然这个题你回头找找。为什么你看错了，这个福四和四一定要深深入去思考思考，回想回想。

大家好，今天呢，咱们来讲一道反演变换的题目，说是一道题，其实是四道题，并且这道题的话，作为最后一道大题，文字性内容太多了。首先你看一下啊，他介绍了一下什么反演变换，其实核心就是图中他这个 o p 和 o p 片长度的乘积等于半径的平方。 呃，点 q 虽然在运动啊，但是 o q 的 长度永远等于半径的，所以他会得出来这样一个结论，这个就是反演变换，那么其中他又补充了一下， o 点就叫做反演中心，然后啊，那个 r 的 平方，这个值呢，就叫做反演密等等等等。 嗯，什么作用？通常是将圆和直线互相转换这样的问题，那么你就要想了，接下来他的一二三四这四道题都是跟直线圆有关的题目。好，我们先来看第一道， 嗯，第一道题的话，跟这个圆好像没什么关系啊，咱们看一下，非常简单的一问，让你求证三角形相似，这也太简单了吧， abc， abc， 看一下啊， 这个角 a b e 等于角 a c b。 这题目中告诉你的啊，那那，那接下来这个角也还是个公共角，那不就结束了吗？对吧，因为角 a b， e 等于角 a、 c b， 再加上公共的角 b a， e 等于角 c a b， 好 了，结束了，两组内角相等，所以三角形相似，所以说三角形 a、 b、 c 相似于三角形 a、 e b， 这不就正完了，括号一结束了，我们来看这个括号二啊，这个括号二的话说的是求证 ab 方等于它。其实除了左边之外，你还应该看到右边的， 右边的谁呢？右边的咱们看好了啊，右边的三角形 a e 啊，这我就直接写了 a e f 相似于三角形 a d c。 为啥？ 首先，角一是个公共角吧，其次，直角等于直角吧。既然两组内角分别相等，所以两个三角形相似啊，这是这么得出来的。 那么得完这个相似之后，不妨我们就来得一得这个相似比，那就是说都跟 a 点有关吗？你看，都有点 a， 所以 肯定是写跟点 a 有 关的相似。比 a e 比上 a d 等于 af， 比上谁比上 ac， 那 我们转换一下，其实也就是 a d 和谁的成绩呢？和 af 的 成绩是等于 这个 a e 乘 a c 的 够了吗？嗨，不够，不够的话，那你补充呗。其实有了第一个相似之后的话，咱们也应该写什么？也应该写跟点 a 有 关的相似。你，呃，相似比，你看 ab 比上 a e 等于 a c 比上 ab， 所以 说，那不就是 ab 方等于 a c 乘 a e 了吗？你看圈一圈二吧， a e， a c 都等于它吧。啊，那根据圈一圈二不就得出来了吗？所以根据圈一圈二我们就得出来了 ab 方，它就是等于 a d 乘 af 的， 是不是？哎，那就简单了，如果 ab 是 个定值的话，这不就是一个反向变换吗？ 好，这个第二问也做完了，我们来看框二啊，第二题。这个第二题的话怎么说呢？ 第二题需要做辅助线，但是他给的也很明显。这个其实啊，这个 n m 的 平方等于 np 乘 n q 主要是用在什么里头的一个结论，主要是反，嗯，主要是共边共角形的相似，或者说字母型的相似的这样一个结论。二级结论怎么得呢？ 看图啊， p q 虽然都在动，但人家有一个限制条件，也就是 n m 的 平方是等于 np 乘 n q 的，是吧？ 嗯，然后呢？ m n 都是定点，然后 l 呢，也是一条定直线， 点 p 就 在 l 这条直线上运动，所以咱们猜他这个点 q， 你 大胆猜想吗？嗯，猜想，他的轨迹就是圆嘛，要不然他一开始提干，为什么要提醒？方向变换主要用在直线和圆的转化中，是吧？那好，现在第一问，他说， 请你说明一下，当点 p 在 l 上运动的时候，点 k 的 运动轨迹是一段弧呢？也就圆的一部分，还是说是直线线段呢？那猜，那猜，咱们也猜 b， 我 就直接告诉你是 b 了，不过原因咱们得说明一下啊。来，第一个 怎么说？看好了啊。首先 m n 的 平方等于它， 那它在这样一个上面，那这样吧，它后边有特别重要的一个条件，点 n 到直线 l 的 距离是 h， h 是 个定值， 那你肯定是要把它写出来的呀，把这个线段做出来的呀。所以我们首先需要把这个距离 h 写出来，做 n h 垂直于 h 点，行了吧？然后顺便再做一下，这个 n q 是 垂直于 q g 的。 好，做完了。 做完之后我觉得也不用多说吧，你看这个地方哈，看这个地方是不是又有一组共边共角形的。那你看， 首先我问你，为什么 n q g 是 直角啊？因为是因为你做的就是直角啊，对不对？好，我就直接写了啊，角一等于角一公共角，直角等于直角，两组内角相等，所以说三角形 n g q 相似于三角形。呃， n ph， 然后点 n 的 相似比咱们写出来，是吧？然后再转换成，那我写吧，不就是 n g 比上 n p 等于 n q 比上 n h 吗？先转换成成绩关系。哎，成绩关系是谁？就是 n p 乘 n q 等于 n g 乘 nh。 来吧，这个标成圈，那圈一在哪啊？圈一就在这个地方，这是已知条件，所以我们根据圈一和圈二传递性可以推出来，其实 mn 的 平方 就等于什么？就等于 n g 乘 n h， 其实到这就已经结束了。为啥？因为 m n 是 个定值，它的长度等于小 a。 因为 n h 也是个定值，它的长度是 h n g 吧。所以我们就得出来， n g 等于一个定值啊，它等于定值 a 的 平方，再再除这个定值。哦，你要说明一下啊，它是一个定值，或者说它最后的得数是一个常数的。既然 n g 是 个常数，这还是个直角，剩下的还用多说吗？哎呀， 所以说嘛，点 q 的 轨迹是什么？所以说点 q 是 在以 n g 为直径的圆周上运动，点当然是圆的一部分，因为点 p 可能只向右运动嘛，对不对？圆上运动。那好了，所以说它的轨迹是弧啊，选 b 不 就行了吗？这是第一个， 那么第二个现在来看， a 等于他。哎，那既然给了数字了，那咱就直接说啊， n g 它是等于 a 的 平方，比上 h 的 刚刚得出来吗？也就是十的平方。呃，一百再除十二点五，算一下是多少等于八，对不对？直径等于八，那半径不就是等于四吗？ 那么好，他给了一个四点五，其实还有另外一个隐藏着四点五。谁啊？图中的 g h， 它是等于 n h， 减去谁减去八呀？减去这个 n g 啊，十二减八，你说是多？呃，十二点五减八，你说是多少？那不就是四点五吗？它也是等于四点五的。那 m 点 到 l 的 距离是四点五，所以我肯定是要做一下 m c 垂直于直线， l 于点 c 的。 然后顺便呢，我再连一下 mg， 因为你这两条线段一样高嘛，都是垂线段。 gh 等于 四点五， m c 等于四点五，那就很容易推出来这样一个矩形的。谁是矩形啊？图中的 m c h g 是 矩形是吧？那好，现在呢？咱们算一个东西 算什么？你注意，肯定是最终要转换一下的。根据相似三角形的相似比，咱们把这个 pmpn， 因为 p 点在变化，所以 pmpn 都在变，如果分子分母都在变的话，你想得它的最大值或者最小值并不方便。我们转换相似比，转换成只有一个变化的线段就好了。 那行吧，现在请你告诉我跟哪个相似有关啊？来吧，看好了，换一个颜色看啊。 首先根据 m n 的 平方等于它，是不是可以得出啊？咱们写成这个 n m， 再比上 n p 等于多少？等于 n q 比上 n m， 并且中间这是个公共角啊，角 m n q 是 等于谁的？是等于角 p n m 的。 既然两组边对应成比例，且中间夹角相等，所以说这个三角形 m n q 相似于三角形。 呃， p n m 是 不是那就转化就可以了呀？所以现在我们就可以成功的把这个 pm 比上 pm， 你 看 pm 在 哪？ p m 在 这， p n 在 这，所以它显示等于 m q 比上 m n 嘛。所以为什么让你对应好定点设计现在有用了， m q 比上 m n， m n 不 用多说，它是等于常数十的 m q， 所以 你求的就是 m q 的 最大值吧？ m q 最大值是多少傻子都知道，我们此时只需要延长 m q 根原交于右上角这个 q 一， 此时 m q 一 就是最大的，对不对？但是怎么求？你需要求一下 mo， 其实也还好啊， 看看这个直角三角形，看了啊，我们要粗一点， m n 等于十吧，哦，然后直径等于八吧啊，六八十，这不，勾股定律，咱们可以算出来， m g 等于十的平方减八的平方，那不就六的平方，它等于六，哦，天呐，原来它等于六，那算完这个六有什么帮助呢？啊，现在有帮助了，请你告诉我此时 m o 的 距离等于多少？那当然等于根号下六的平方再加上四的平方了，那等于二倍根号十三，对不对？因为半径等于四嘛。 那好，所以说图中最大的 m q， 也就是图中 m q 一 的长度等于多少？等于二倍根号十三再加上半径四啊， 行了吗？所以请你把这个二倍根号十三 m q 最大值等于二倍根号十三代入，那再除个十，不就是五分之根号十三再加二吗？这就是这道题它的答案了，最大值就是五分之根号十三加上二， 那么接下来这个括号三就更难了，你发现啊，括号一第一道题不需要辅助线，第二道题需要一些辅助线了，但是提示很明显，第三题什么提示都没有。看起来图形很简单，就是一个正方形，我们唯一能够推出来的啊，大部分同学是什么？ 就是点 e， 它是在以 a d 为直径的这样一个圆周上，所以你肯定是需要把这个圆画出来的，比如说圆心是 o， 为什么？因为圆周角定里的逆定律啊，因为这个角 a、 e、 d 是 直角，所以点 e 在 以 a、 d 为直径的圆上。这个相信我不用多说了吧。 那么接下来肯定是要转换一下 b e 来吧，无需多言，根据刚才括号一和括号二推论，我们只需要 它强烈提示你，我们只需要延长 b e 至 b f 点，当你延长完了之后，哎，有一个弦切角定理啊。哦，切。呃，你看啊，弦切角定理，谁是弦切角？ 图中这个角一不就是弦切角吗？对吧？弦切角， b、 a 是 切线，然后 a、 e 是 弦，他所夹的角，所夹的弧所对的圆珠角等于这个弦切角啊。所以角一等于角二， 然后角三还是个公共角吧。角三等于角三，那不就是得出来这个三角形 b、 a、 e 相似于三角形 b f、 a， 那有了这一组相似之后，但是你毕竟你发现它是以点 e 跟点 e 有 关系啊，而且后边还有个还有个什么 bce， 它主要是得给人 bce 扯上关系。好说看了啊， 我们写成相似比吗？那不就是 b a 比上 b f 等于 b e 比上 b a 吗？那你要注意一个问题，其实 b a 因为正方形嘛， 咱不妨假设正方形的边长等于二，你 b a 等于二，其实 b c 也等于二，咱们直接把 b a 转换成 b c 不 就可以了吗？ b c 比上 b f 等于 b e 比上 b c。 哎，而且你看了啊， b c 比上 b f 等于 b e 比上 b， 而且这个角四还是个公共角啊。又因为角四等于角四，所以说三角形 b、 e、 c 是 吧？相似于三角形 b、 c、 f， 那 就写比值不就行了？现在终于转换成功了， c e， b e 原来都是变化的啊，你看我们转换之后变成了什么？ c e 在 这， b e 在 这。哦， b e 比上 c e， 那 不就等于 bc 比上 cf 吗？ bc 比上 cf， bc 不 用你说，这就是正方形的边长啊，我们假设边长是二吗？那么接下来求 cf 的 范围就可以了。那 cf 的 范围太好求了呀， 来吧，接下来换一个颜色，咱们求一下 cf 的 范围。好求了呀，来吧，接下来换一个颜色，咱们求一下 cf 的 范围。太好求了呀，来吧，接下来换一个颜色， ad 的 中点点 o。 然后呢，我们其实只需要延长 co， 它这个 f 二就是 cf 的 最大值，它这个 f 一 呢，就是 cf 的 最小值呗。所以首先我们算一下 co， co 的 话等于根号加二的平方，加一的平方等于根号五， 所以，所以没问题了吧。所以 cf 的 最小值就是根号五减半径一，最大值就是根号五加半径一， 行了吧。那么最终我们要求的什么？要求的二比上 c f 的 最值，它不就是在二比上根号五加一，分母越大，整个分子反而越小啊。二比上根号五减一之间吗？我们分母有理化一下，所以就是二分之根号五减一， 然后到多少二分之根号五加一，这就是这道题答案了。最终的比值在二分之根号五减一和二分之根号五加一之间。原来如此啊，是不是转换成了圆的问题啊？ 那么接下来最后一问，第四问，第四问就比较明显了，只要第三问会了，第四问简直就是送分，前提是你得会第三问，他怎么说呢，也是转换这个 d e 和 a e， 如果不转换的话，你看 刚才动点在圆上吧，现在动点在线上啊，在 bc 这条直线，这条射线上，它是变化的，这个 b， e， d e 也是变化的，两个都在变，分，分母都在变。如果不转化的话，肯定很难，几乎做不出来，但如果要转化就比较简单了。现在看好了啊， 我们这样吧，首先既然是圆 c， d v 直径，那此时我们第一个直角 d g， c 是 不是有了？ 第二个直角不用多说，这正方形得出来的两个直角，再加上中间公共的角，一等于角一，两组内角相等，所以我们很容易推出来三角形 d c、 g 是 相似于三角形 d e， c 的。 嗯， d e c。 那 么写完这个之后，最重要的啊，那是什么？肯定是相似比，所以就是 d c 比上 d e 等于 d j 比上 d c。 你 要注意，咱们是正方形啊，咱们一开始呢，咱们也假设这个正方形 等于多少？它的边长都等于二吗？这样方便计算。那 dc 我 们是不是都可以转换成什么？都可以转换成 d a 啊？所以 d a 比上 d e 就 等于 d j 比上 d a， 你 说是不是啊？而且 d a 是 个定值，其实就是方向变换啊，就是一个公边公角形， 它这样一个相似的二结论换了一种说法，就是那个繁衍变换了。那么现在请你看好了，我画一下啊。呃， d a 在 这吧，然后呢？ d a 有 了，然后 d e， 哦， d e 在 这吧。好，还有谁？还有就是 d g 有 了， d a 也有了，所以你接下来看一看，两组边对应成对称，中间这个角是不是公共角，你写上啊？又因为角 a d g 等于角 e d a， 所以 说三角形 a d g 相似于三角形 e d a， 既然相似的话，相似比咱们已经转换成功了。你看 d e 比上 a e， d e 在 哪？ d e 在 这， a 在 哪？ a 在 这。所以它等于什么？等于 a d 再比上 a g 啊。所以你要求的是什么？求的是 a d 比上 a g 的 最小值。那 a d 边长是等于二的呀，咱们假设的，所以你只需要求 a g 的 最大值吧。 那 a g 最大值显然是好求的，不用多说了吧。跟刚才一样，我们只需要延长哦，圆心点 o 延长一下，延长 a o 跟这个圆交于 g 一， 此时 a g 就是 小于等于 a g 一 的。 咱们可以分成两部分，一个是 a o， 一个是半径。 a o 的 话，用购物定里是根号五，半径是一，根号五加一， 对吧。所以说最终这个二比上 ag， 那 分母越大，整个分式反而越小嘛。二比根号五加一，最终答案就是二分之根号五减一就是它的最小值了。所以括号三只要会，其实括号四并不难的。那么讲这道题的目的呢？就是希望大家最终能够把 这样一个法眼变换，跟什么跟子母型的相似，其实还有阿史元给联系到一块，行了吧。分享课堂知识，感受数学之美！我是杨范老师，下节课再见！

大家好，我们本节课讲的这一道题运用了两个知识点啊，我们先把两个知识点给你们讲解一下。第一个，第一个在相似里面，面积比，是不是相似比的平方呀？对吧？面积比 是相似比的平方， 来，我们去看，为什么说面积比是相似比的平方呢？我们来举一个很简单的例子，在两个直角三角形中啊， 在两个直角三角形中，它们两个它们两个分别都是等腰直， 等腰直角三角形，那么这两个三角形是不是一定是相似的呀？对吧？那么现在我们去，现在老师去告诉我们，这个三角形，它的它的直角边是一，它的直角边是三， 那么我们来看，那么我知道直角变了，我知道他是，我知道他是直角等腰三角形，两个都是直角等腰三角形，那么这两个三角形是不是一定是相似三角形啊？对吧？ 那么他们两个的面积比是多少呢？我们来看第一个三角形的面积，第一个三角形的面积是不是底乘高啊？对不对？他是等腰直角三角形，也就是说我的一条，我的一个，我的一个腰是一，我的另一个腰是不是也是一啊？所以说他的面积是不是就是二分之一去乘 一乘一啊？那么是等于多少呢？是不等于二分之一，对吧？那么我们来看这个在大的这个三角形中， 大的这个三角形中，他的边是不是边长，边长是不是三啊？那么另一条边长的话是不是也是三啊？ 所以说他的面积是不是就是二分之一去乘三，去乘三是不等于二分之九啊？对不对？也就是说他们两个的比值是多少呢？是不就是二分之一去比上二分之九，也就是说，也就是说是一比九，对不对啊？ 它的相似比是不是就是边长之比是一比三啊？对不对？一比三是不是边长之比，一比九是不是面积之比啊？所以说面积之比是不是相似比的平方啊？对吧？举，这是老师给你们举了一个简单的例子，方便我们去理解这一句话。然后第二个， 第二个知识点的话，是等高模型和等底模型，我们来看，我们来看，在同样一个三角形中， 我们来看这个三角形 a、 b、 c、 d， 我 们来看三角形 a、 b、 c 和 a、 c、 d 它们两个的话，如果说我这个 a、 b、 c 以这个 b、 c 为底的话，高是不是可以有点 a 向 b、 c 做的垂线啊，对不对？ 同样的，我这个三角形 a、 c、 d 以 c、 d 为底的话，那么它的高是不是依然是由 a 向这个 c、 d 做的垂线啊？是不是依然是由点 a 向这个点做的垂线 a、 n 啊？对不对啊？ 那么我们现在来看，三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 c、 d 面积关系是什么呢？我们来看，那么三角形 a、 b、 c 它的面积是不是二分之一 b、 c 去乘上 a、 n 啊，对吧？第二个的话，它的面积是不是依然是二分之一 c、 d 去乘上 a、 n 啊？ 对吧？那么这是不是它的面积比的话，是不是就是二分之一乘 b、 c 乘 a、 n 啊？ 去比上二分之一 c、 d 去乘以 a、 n 啊，对吧？那么二分之一和二分之一是不是可以约掉 a、 n 和 a、 n 是 不是约掉？那么只剩了谁呢？是不是只剩了 b、 c 去比上了 c、 d 啊？对吧？ 所以说像是这样的，像是这样的，等高模型啊，等高模型，因为他们用的是不是同样的一个高 a、 n 啊？他们的高是相等的，两个三角形高是相等的，那么他们两个三角形的面积比，两个三角形的面积比是不是就是他们的 底边之比啊？对不对？这是我的第二个模型。那么现在我们来看一下这个题，他说在梯形 a、 b、 c、 d 中 a、 b、 c、 d 中 a、 d 平行于 b、 c， 并且 a、 c 与 b、 d 交于点 o， 然后三角形 a、 o、 a、 o d， a、 o、 d 和这一个 c、 o、 b 的 比值是一比九。我们来看这个三角形 a、 o、 d 和这个 c、 o、 b， 它们已知 a、 d 和这个 b、 c 是 平行的。所以说， 所以说我这个三角形 a、 o、 d 和这个 c、 o、 b 是 不是一定是相似的呀？对不对？ 是不是一个角相等，两个角相等，三个角相等，是不是角角啊？用角角是不就可以证出来我这两个三角形是相似的呀，对吧？ 那他告诉我们说面积比是一比九，那我现在是不是就可以知道我这两个三角形的边长之比是多少呢？是不是一比三呀？对不对？因为我们刚才讲讲到了面积比是相似比的平方面面积比是一比九，那么相似比是不是一比三？也就是说我现在知道 o、 d 和 o、 b 的 比值是不是一比三啊？它是不是与它是一比三？那我们来看它让我们算的是谁呢？它让我们算的是三角形 d、 o、 c， 我 们来看 d、 o、 c 与这个三角形 b、 o、 c。 哎，我们来看这个三角形的话，这两个三角形的话，是不是和老师刚才讲的等高模型是一样的呀？我由这个 c 点我们来看，如果说我由这个 c 点向这个 b、 d 做一条垂线， 是它的垂足为 n， 那 么我们来看第一个三角形，它的面积是什么呢？它的面积是不就是二分之一 c n 去乘上它的底边 o b 啊？是不是 o b 啊？是不是以 o b 为底？那么第二个三角形的话，它的长，它的面积是不是二分之一 o d 去乘上 c n 啊？对不对？ 现在他是这两个三角形是不是就是老师刚才所讲的等高模型啊？是吧？所以说他们两个的面积比是不是就等于底边之比啊？底边之比我们刚刚是不是算出来了就是一比三啊？ 所以说他们两个的话是不是比值就是一比三呀？对吧？好，我们大家再来回顾一下这道题。

大家好，我是北京小王老师。今天呢，咱们看一下北京市朝阳区九年级期末考试的一道卷中题目。据说呀，第一问的话，他就有许多学生错了，咱们看一下到底为什么错呢？ 来看题，如图，在二 t 三角形 o、 a、 b 中角 o a、 b 等于九十度，哎，说明它是直角三角形， a、 b、 o 是 三十度，哎，这是三十度。你看，所以三角形 o、 a、 b， 它是一个三十度、六十度、九十度的一个直角三角形。 那三十度、六十度直角三角形有什么性质呢？它的边长比为一比二比更好猜， 它的边长比为一个。所以说，咱们知道其中一条线段的长度，另外两条线段长度咱们就能求出来了。 c 为 o 比边的中点，说明 o c 就 等于个 c b。 圆 o 经过点 c 与 b d 相切于点 d， a 相切于点 d， 根据切线的性质，无连接半径， 这儿肯定是垂直的。第一问，证明 a、 b 与圆 o 相切，哎，那 o a 不是 半径吗？ o a 不是 半径，又因为这儿垂直，所以垂直于半径，这不就相切吗？哎，恰恰不对，这道题人家告诉你 o a 是 半径的吗？ 好像是没有吧。所以说，咱们不能这么想。所以说，咱们接下来咱们要证明 o a 是 半径，那怎么去证明呢？题干说了， c 为 o b 变的中点， o c 等于 c， b 是 不是也等于二分之一个 o b 呢？ 对不对？哎，在这个三十度、六十度、九十度的三角形当中，那 o、 a 也是不是等于二分之一个 o b？ 根据这两条信息，咱们是不是可以推出来， o a 等于 o c， 因为 o、 c 是 半径，所以 o a 也是半径， a 又因为这儿垂直，所以它与圆 o 相切，这样咱们第一问才能做出来，对吧？千万不能想当然的说 o、 a 是 半径，人家提案中没有告诉你。 第二问，若 ab 等于二，哎，因为 ab 与圆物相切，对吧？ bd 也与圆物圆物相切，所以 b、 a 和 b、 d 它都是切线，所以咱们可以想到什么结论？是不是切线长定力啊？切线长定力， 切时长定义是什么呀？是不是过圆外一点做圆 o 的 切线可以做两条，且切线相成相等，就可以得出来 b、 a 是 等于 b、 d 的， 那 b、 a 等于 b、 d， 说明三角形 a、 b、 d 它是一个等腰三角形，是一个等腰三角形， 那等腰三角形你看，就因为角 a、 b、 o、 a、 b、 o 等于三十度， 那 o， 那 o、 b、 d 是 不是也是等于三十度的呀？因为切线长定力，咱们可以得出推论来。怎么推论呢？ 是不是三角形 o、 a、 b 和三角形 o、 b、 d 它是全等的，咱们是可以证明出来它是全等的，所以角 o、 b、 d 也等于三十度， 是不是就可以推出来三角形 a、 b、 d 是 一个等边三角形？为什么？因为这儿是六十度了，这边三十，那边三十，所以总共是六十度，那咱们可以推出来它是一个等边三角形， 那等边三角形的话，那 a、 d 不 就是也等于二了吗？明白了吗？

这是一道非常考验同学们逻辑推导能力以及基本功的题目，这道题目你看给的已知条件非常简单， 就是说越是简单的题干，简单的题目往往考的你知识点非常多。你看我们这里啊，他告诉你边长告诉你垂直告诉你六十度，那我们觉得你这个三个里边哪个是突破口？你首先找个突破口，对吧？ 我第一个看到了六十度，因为这个六十度跟等边六十度有点大气，对不对啊？所以说我说这个六十度，那我这个六十度以后，那我们基本上想象的是个啥？哎，这个这也是六十度，这也是六十度，那六十度又等于外角等于这个，所以马上一捣鼓， 这个角等于这个角，对吗？这个比较基本功啊，同学们说不会，那不会说明什么？你不熟练啊。那我们就到这个角等于这个角，那这两个角相等以后，又有两种思路，一种是这样，我把它切过来，那这个三角形跟这个三角有全等，还有一种把它延长，这个跟这个全等，那用哪种方法好呢？ 那我们这边过来的话，你看一下啊，这边过来的话，这条等于这条处理起来蛮难处理的，所以我第一个想到的，先这样尝试一下，那我们来这样这样尝试好以后，既然全等，那肯定全等以后肯定要 边相等啊，或者角相等，那我们在这里边相等的话，我们先不做考虑，看看角相等，角相等，那当然这个角等于这个角，这两个角相等以后，这个跟他互补，那所以这两个互补好了，马上引申出来一个共圆问题， 共圆在初三阶段刚刚学，是一个非常强大的一个功能，共圆推出来以后怎么样？等弦对，等角，对吗？好了，那既然他共圆，那所以对面的也互余，那这个六十度，所以这个就是一百二十度，一百二十度，因为这个是直角，所以角五三十度出来了啊， 对吧？角五三十度出来了，那自然然这个对的，这个边角六也等于三十度，对不对？这个很正常的一种思维，对吧？好，这个三十度以后，那说明在整个那这这六十度啦，那所以这个就直角三角形，那在等，在直角三角形中有三十度的角，那就是 f c 等于二分之一的 dc， 因为 dc 等于 af， 对 𠲎 也等于二分之一的 af， 所以 我们 fc 就是 三分之根号起勒，对吗？那当然啦， df 等于多少？ df 是 它的根号三倍啊，那三分之根号二十一，对吗？ 好，有了这个 d f 跟 a f 以后，那我们 a d 自然的求出来， a d 平方等于来看一下，就是 d f 的 平方加上 f c 的 平方，哎，加上 f 的 平方，对吗？哎， d f 平方再加上 f f 平方，那 d f 平方是九分之二十一， f 是 三分之二，那九分之四乘以七等于九分之四十九，对吗？所以 a d， 哎，他给你凑好的，对吧？等于三分之七， 好， a d 等于三分之七以后，那我们要求的是 d， 那 那呢？用两个勾股就出来了，对吧？这是 x， 那 这里就是三分之七减 x， 对 啊，哎，在这里呢， c d 平方， c d 就是 三分之二，根号七括号的平方减 x 平方等于 a c 的 平方，再减去那三分之七减 x 括号的平方勾股出来了，那 x 解出来等于三分之一， 所以第一就等于三分之一，整个这道题目就这么轻松解决了。那我们看看同学们，在你看完这道题目，你有可能刚开始不会做，那跟我这么讲了一遍，你会做的对吗？接下来 不是完成的这道题目让你能够吸收的东西，你应该花一个小时慢慢去琢磨，慢慢去深刻的理会。我是怎么一步一步一步一步 去从这一步想到那一步，那一步想到那一步，我从中我这里边讲的整个过程中我稍微讲了一下，但是有可能适合你的，你还要自己去琢磨，老师临进门修行在靠自己，同学们好好把握。

一道中考压轴题，难度大，分着高，我们来看已知，五的 a 次方等于七的 b 次方，等于三十五的 c 次方，等于三十五分之一。让我们求这个式子的值等于多少，应该怎样算呢？首先我们观察一下，这是一个连等的式子， 连同的式子相当于前三项，是不是都等于三十五分之一啊？所以我们给它写一下，也就是五的 a 次方，它等于三十五分之一，三十五分之一又可以写成三十五的负一次方，同样 七的 b 次方，它也等于三十五分之一。我们给他写一下，那么它就等于三十五的负一次方。再看三十五的 c 次方，它也等于三十五分之一， 也等于三十五的负一次方。再看底数一样，是不是指数也是一样的，所以这个 c 呢？它等于负一，那么当 c 等于负一的时候，这个 c 分 之一是不是可以求出来了？ 关键是怎样求 a 和 b？ 因为 a 和 b 没有办法求，所以呢，我们可以给它结合到一起求 a 分 之一加 b 分 之一，它有一个特点，通分以后是 ab 分 之 b 加 a， 那 么我们只要找到 ab 和 b a 的 关系就可以了。怎样找呢？从这两个一致条件入手，我们来看， 这个是五的 a 次方，这个是七的 b 次方，底数、指数都不一样，所以我们第一步把这两项指数变成一样，那么这个可以左右两边同时给的 b 次方， 就变成了五的 a 次方，括号的 b 次方，这时候就变成了五的 a， b 次方等于三十五的负 b 次方， 同样，这个我们给它变一下，变成七的 b 次方，括号的 a 次方，那么左右两边同时 a 次方，三十五的负一次方，括号的 a 次方，这时候 左边就变成了七的 a b 次方，右边呢，变成了三十五的负 a 次方。 接下来我们来观察一下指数是不是一样了，它们就可以相乘了。也就是这两个式子左右两边同时相乘，变成五的 ab 次方。乘七的 ab 次方，它等于 三十五的负 b 次方。乘三十五的负 a 次方。接下来指数一样的时候，可以先把底数相乘五七三十五， 它就等于三十五的 ab 次方等于。我们再看这一项，同底中 b 相乘，底数不变， 所以呢，指数相加，负 b 减 a， 接下来我们看底数一样，指数是不是相等呀？也就相当于 ab 等于负 b 减 a。 那 么假如这个式子我左右两面同时除以 ab 的 话，就变成了 ab 除以 ab， 那么它就等于负括号。这个我可以提取个括号，变成 b 加 a， 再除以 ab， 那 么我们看 ab 除以 ab 是 不是等于一了？也就相当于这一 项负括号， b 加 a 再除以 ab， 它就等于一。我们想一下，这个 ab 分 之 b 加 a， 它是不是等于负一啊？ 这样我们就找到了 b 加 a 和 ab 的 关系，也就 b 加 a 除以 ab 等于负一，我们让这一项等于负一，我们看 a 分 之一加 b 分 之一就等于负一了，这个 c 分 之一， c 等于负一，那么这个 c 分 之一也等于负一。所以负一加负一，是不是等于负二呀？你学会了吗？

大家好，今天我们来讲一道中考填空题的压轴题。点 a 在 x 轴的负半轴上，点 c。 在 反比例函数 y 等于 x 分 之 k 的 图像上，要求 k 是 大于零的 a、 c 交 y 轴于点 b， 点 b 是 a、 c 的 中点， 三角形 a、 o、 b 的 面积为二分之三，让我们去计算 k 的 值，我们来分析一下吧。 首先呢，根据点 b 是 a、 c 的 中点，所以可以得到 a、 b 等于 c、 b。 然后给的三角形 a、 o、 b 的 面积是在第二象限，那么我们怎么把第二象限的图形跟第一象限里面点它的解析式里面的 k 关联起来呢？ 这个时候我们可以看一下图上还有没有哪个三角形它的面积跟三角形 a、 o、 b 的 面积是相等的。我们可以构造，我们可以通过过 c 点作 cd 垂直于 y 轴，垂足式 d， 这样就可以得到一个三角形 b、 c、 d。 大家观察一下这个三角形 a、 o、 b 和这个三角形 b、 c、 d， 它们全等吗？ 首先的话，根据我们做的辅助线，可以得到角 b、 d、 c 是 九十度，而角 a、 o、 b 也是九十度的，所以角 a、 o、 b 是 等于角 c、 d、 b 的。 另外这里还有一组对顶角，角 a、 b、 o 和角 c、 b、 d 是 对顶角，所以可以得到这个等式。而前面我们已经说了 c、 b 等于 ab， 因此我们就可以得到三角形 a、 b、 o 全等于三角形 cbd。 根据全等三角形的面积相等，所以我们可以得到三角形 c、 b、 d， 它的面积是等于三角形 a、 b、 o 的， 而三角形 a、 b、 o 面积题目已经给了是等于二分之三。 同时根据这个全等，我们还可以得到另外一个条件，也就是 b、 d 等于 bo。 接下来请大家观察一下另外两个三角形，也就是三角形 b、 c、 d 和三角形 b、 o、 c。 你 觉得这两个三角形它们的面积怎么样？首先来看一下， 我们刚刚从 b、 d 等于 bo， 已经得到这条边跟这条边是相等的了， 也就是说这两个三角形是等底的，而它们又是同一条高等底。同高的两个三角形，它们的面积是相等的，所以我们就可以得到 三角形 b、 o、 c， 它的面积是等于三角形 c、 b、 d 的， 也等于二分之三。 好，把这两个三角形它们的面积加起来，就可以得到三角形 c、 o、 d， 它的面积是等于二分之三，加上二分之三，也就是等于三。 接下来看一下三角形 c、 o、 d， 它在计算面积的时候，我们可以选择 o、 d 为底，那么它的高就是 c、 d， 所以可以表述成二分之一，乘以 o、 d 的 长度，再乘以 c、 d 的 长度。 接下来怎么样把它们跟 k 关联起来呢？我们可以设点 c 的 横坐标为 x 零，把横坐标带入反比例函数里面，就可以得到它的重坐标可以表示成 x 零分之 k， 所以也就是这一段就是 x 零，然后这一段的话就是 x 零分之 k， 因此 c、 d 也是 x 零， d、 o 也是 x 零分之 k， 那 么我们就可以写成二分之一，乘以 x 零分之 k， 再乘以 x 零等于三， 所以 k 就 等于六。