青岛中考数学近几年真题

好，下面呢，我们看一下一个二五年的青岛市的中考题哈，第十五题啊，我们先一起看一下题目哈， 如图，在正方形 abcd 中啊，然后呢， e 和 f 啊， e 和 f 啊，分别是呢， cd 和 ad 的 终点，然后呢，连接 bf 延长交 a， e 啊啊，交 a e 于 g 啊，然后呢，交 cd 的 延长线于 m h 呢，是 b， e 的 终点啊，是 b e 的 终点，然后连接 g， h 啊， c h 和 c g 啊，下面呢，有四个结论啊，分别是啊， c， h 啊，然后平行于 a， a， e 啊， 然后呢，还有一个角 m 等于三十度，然后呢，三角形 c， g， h 等于二十分之三 s 啊，就是正方形 abcd 啊，面积啊，最后一个是 a g 乘以 m， f 啊，等于 c， d 乘以 a， f 啊，那这个题呢，是需要判断这四个选项啊，哪一个正确啊？这样的一个题目啊，这种题呢，还是比较复杂的啊，像这个题呢啊，一眼看不出来哈，那需要进行一个计算啊， 好，那么我们就啊，一点一点来哈。嗯，好，我们先先看哈，先看，因为这个，因为 a， b， c， d 是 正方形是吧， a， b， c， d 是 正方形， a， b， c， d 是 正方形，然后呢， f 是 终点， 所以呢，有 d f 平行却等于二分之一 bc， 对 吧，很容易得出这个结论是吧，然后我们就可以得出什么呢？三角形 m， f， d 相似于三角形 m， b， c 啊， m， b， c， 这个就不详细证了哈，因为根据这个平行线段的定义，很容易证明哈啊，那么我们就可以得到什么呀，这个 m d 是 m c 的 终点是吧， d 是 m c 的 终点，也就是说 m d 等于 dc， 那么我们先看哈第二个选项哈，他说角 m 等于三十度哈，那我们假设呢，角 m 呢，就是三十度啊， 那么是三十度的话啊，这是三十度，那么这是我们看三角形 a m c b， 哈， r t， 三角形 m c b， 这个是三十度，那么三十度水的边等于斜边的一半，也就是说这个 m b 等于二倍的 bc， 是 吧？然后我们知道 m c 也等于二倍的 bc， 对 不对？ e m c 等于二倍的 bc， 矛盾，为什么矛盾？因为直角三角形斜边和直角边相等了，对吧？所以说，那么我们假设的这个是不是就不成立啊？是吧？ 所以角 m 不 等于三十度，对吧？所以说这个第二个选项是什么呀？所以说二是错的，是吧？ 二是错的，对不对？好，那么我们继续看哈，他说啊， 我们，我们取做一个辅助线哈，做一个辅助线，取 ab 的 中点 啊，假设是 n， 哈，然后呢，我们连接 c n， 然后呢，连接 c n， 交这个 b e 于呢？ h 点，我们跟 h 点呢区分开哈，因为我们不确定这两个点是否重合哈，那么我们做了这样一个尝试之后，能得出什么结论呢？ 那么，所以 an 等于 nb， 是 吧？ 而且也等于 e c， 对 吧？所以说这个四边形啊，四边形 e c n， a 和四边形 e c n， b， n， 它都是平行四边形，对吧？ 这个很容易，是吧？很容易证明，是吧？因为呢， e c 和 ab 是 平行的，是吧？那么无论是 an 和 nb 都等于 e c 平行线斜档，所以说它是一个平行四边形，是吧？那我们可以把这个 e n 也给它连上，是吧？ e n 呢？也给它连上， 你给它连上，那么这个既然是平行四边形的话，那么就是啊，这个 c、 h 撇 等于这个 h 撇 n， 对 吧？有这个结论哈，因为平四边形的对角线互相平分，对吧啊？同理啊， e、 h， e， h 撇也等于这个 h 撇 b， 是 吧？那么我们知道 h 是 b e 的 中点，是吧？所以呢，所以是 h 与 h 撇是重合的，也就是说它俩是一个点，对不对？ 那么是一个点，我们就可以得到什么呀？ c， h 和 a e 是 平行的，对吧？是平行的，所以说，一是对的，对吧？ 一是对的。好，我们继续往下做啊，下一个问题，我们看第三个题哈，第三个， 第三个是三角形 c、 g、 h 和这个矩形的面积的问题哈，那这个面积怎么求呢？我们这里可以假设一下哈，我们假设呢啊， 假设正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为一， 其实为了计算的方便哈，没有别的意思，只是计算的方便，你可以不等一，你可以设成是 a 啊，结果是一样的啊，我们那么 s 正方形的面积， 正方形 a、 b、 c、 d， 那 它的面积就是一了，对吧？那么我们就求一下 c、 g、 h 的 面积就可以了啊。通过上面的证明，我们知道这个啊， a、 e 平行于 c、 n， 是 吧？ 那么 s 三角形 c、 g、 h 的 面积呢？啊，其实就是 ch 乘以这两个平行线的高，是吧？等于 ch 乘以这个 我们假设，再假设一下哈， 假设 a、 e 和 n c 距离为这个为 q 吧，好吗？那么它就等于 q， 对 吧？二分之一 c、 h 乘以 q， 是 吧？面积等于底边乘以高，是吧？ 那么它就等于假设我过 e 点啊，过 e 做这个 e、 k 垂直于 c、 h 啊，我们做一下， 假设这个垂足是 k， 是 吧？ 那么我们要求的这个面积，其实 s 三角形 c、 g、 h 的 面积，它就等于 s 三角形 e、 h、 c 的 面积，为什么？因为它俩有一个共同的高，是吧？ 都是这个 q， 对 不对？然后底面底边的 c、 h 也是相等，是吧？那么也就是说我们把三角形 e、 h、 c 的 面积给求出来就好了，是吧？ 那么三角形 e、 a、 c 的 面积好不好求呢？应该说比较好求哈，比较好求，为什么呢？我们把这个三角形呢，用一个特殊的颜色画出来， 这个是这个矩形 e、 n、 b、 c 的 一个对角线，是吧？对角线，那么 e、 c 它的面积等于什么呀？ s、 s 三角形 e、 h、 c， 它等于什么呀？它等于二分之一的 ec 乘以多少乘以，这个其实就是这个这个矩形的一半，是吧？等于等于这个高， 那么这个高显然等于矩形的变成了一半，是吧？ ec 实际上也是等于二分之一的，对吧？所以说它等于多少？它等于八分之一， 好了，那么因为这个正方形的面积是一，然后 s 三角形 e、 h、 c 的 面积是一，是吧？也就是说 s 三角形 c、 g、 h 等于八分之一， 等于八分之一 s 正方形 abcd， 对 吧？有这个结论出来吧，所以说是什么呀？我们得到三是错的啊，因为他给了这样一个结论，是吧？所以说三是错的。 好，那么就剩最后一个了哈，就剩最后一个了，最后这个式的哈，它是一个乘积的形式，我们知道哈，这种里面乘积不是我们熟悉的一个表达方式哈，那么这个乘式呢？其实肯定是一一个 这个相似三角形的一个对应边的比值，是不是？我们把这个结果给它变换一下哈？ a g 乘以 m f 等于 c d 乘以 af， 我 们给它变化一下，是吧？那么就是 a g 由它得， 那么 a g 除以是吧？除以什么呢？除以 c d 等于这个 a f 比上 m f 是 吧？ 其实就是要赠它，是吧？因为 c d 等于买谁啊？ c d 等于 m d 是 吧？所以说赠它呢？就是要赠什么呀？赠 a g 比上 m d 等于这个 a f m f 啊，这回就清晰了哈，其实要证的是什么？就是 a f g 这个三角形和 和 m d f 这个三角形，这两个三角形是相似的，是吧？是相似的。 那么这两个三角形是相似的吗？如果要是的话呢，这个结论就成立了，是不是？那么是否相似呢？因为这两个三角形已经有一个对角相等了，是吧？那么如果另外再证明一个角相等就可以了，是吧？就可以了。那么 我们是否能证明呢？那这个是直角了，我们知道哈，那么这个可可以是直角吗？是吧？其实是可以的。为什么呢？因为我们可以证明三角形 b a、 f 全等于三角形 a d， e， 这个很容易证明，对吧？很容易证明。那么它全等之后就是角 b f a 等于谁啊？等于角 d e a 是 吧？又有以角 d e a 加上 角 d a e 是 吧？所以就有什么呀？角 afg b f a 加上角 d a e， 也就是说这两个角相加了九十度。哎，所以说我们就得出什么结论啊？角 f g a 等于九十度，是吧？ 那么因为有他这个等于九十度。所以说要证明这两个三角形相似这件事确实是如此，那么既然是这样的话呢，那么这个结论就成立了，是吧？这个过程呢，我简写了一下哈，所以说，总之这个是呢，是正确的 好，那么中上手术二错一对三错四对四，正确，是吧？所以说对的有谁啊？有一和四啊，一和四。 那么这个题有一定的小难度哈，虽然不是压轴题呢，但是也有一定的复杂性，我们稍微总结一下哈。 首先呢，这里面正方形哈，然后呢，有两个中点啊， f 是 吧？ f， e， 这样的话，就会隐藏了很多的 条件，已知条件哈，所以说像第二个结论和第一个结论就很容易证明哈，关键是第三个结论哈，第三个结论的话呢，我们是利用什么呀？两个平行线之间的一个距离相等，所以说呢，我们把这个三角形 g， c， h 的 面积呢，转化成 e， c， h 的 面积， 这样的话， e， c， h 的 面积比较好求，是吧？另外呢，这里一个假设，我们假设边长为一啊，使这个证明的过程呢，就简单了，因为这是一个填空题是吧？也不需要这个一个详细的完整过程，你只要能证出来就可以了，是吧？那最后一个呢，实际上是某种程度是做证明相似啊， 证明相似是一个变化的哈，变化的哎，掌握了以上几点呢，这几这道题呢，就没有那么复杂了哈。好，那么这道题呢，我们就讲解到这里哈，讲解到这里。

这题算出来是这鸟样，你们是信他还是信我？是秦始皇。挑战三十分钟，做一道中考压轴题，今天抽到山东青岛。 哎呦，重点问题看上去挺简单的，兄弟们，看我盘不盘他就完事了。 第一个问，平行时求 t 的 值，简单的一匹吗？ 完毕来，康康。第二问， 让我们写出三角形 p q h 的 面积和 t 之间的关系式思路也是秒出。用这个大三角形面积减掉这三个小三角形面积不就完事了？ 计算量有点大，但还是要坚持， 这是认真的吗？忍耐一下，兄弟们， ok 了，还好还好，不难算，有种再给点强度。第三问，什么时候直角三角形存在？ 那得分情况，看了这个角是无论如何也成不了九十度的，那么就分两种情况，要么这个角是九十度，要么这个角是九十度。先看第一种情况吧，当角 p、 h q 为九十度时， 一线三直角可以用这两个三角形相似来解决。 时间可能不够了兄弟们， 这十字像乘法好像也不行啊，我去，他在耍你啊皇上！ 对于这个答案我很是不安，虽然时间已经到了，但我还是要解完它。康康最后要用多少时间？ 第二种情况，也是一线三等角，可以用这两个三角形相似解决。 确定要算下去吗？不要放弃兄弟们。 可我感觉怎么越算越离谱，这他妈什么鬼， 就问你们离不离谱！兄弟们，这答案你给我我都不敢抄， ok 啊，算出来是这俩家伙！好的，现在跟着我颤抖着双手来核对答案。青岛 第一个问，三点二。咦，哦，对了嘛，吓老子一跳！来看，第二问 很完美，可是第三问感觉帮了我靠，第一种情况完全算错了，第二种情况使哪里去了？ 妈妈哥这里都是对的，写上去被我吃掉了，加上前两问一共花了一个小时零二分钟，还把第三问算错。这第一名谁爱要谁要哈哈哈哈。

上个视频呢，我们讲了二零二五年淄博是中考数学的最后一道压轴题，那个题目呢，还算是比较精彩，也比较难用到了很多以前我们讲过的模型，比如说正方形里的十字架模型，再比如说一线三垂直的模型， 很难综合在一起就很难啊。那么今天呢，我们来讲二零二五年山东省中考数学的两道题目， 因为山东省啊，他有的是是自主命题啊，你比如说青岛、济南、烟台、威海这些地方，那么有些地方呢，是属于啊，统一命题，那么这套试卷呢，就是属于统一命题的那套试卷，我们来看一下啊， 他说告诉我们一个二次函数， y 等于 x 乘以 x 减 a 加上 x 减 a 乘以 x 减 b 加上 x 乘以 x 减 b， 告诉我们 ab 是 两个不相等的实数。第一个，当 a 等于零， b 等于三的时候呢，让我们求这个函数图像的对称轴， 那我们肯定是不能把 a 等于零， b 等于三带进去，是不是啊？那这样子的话，就没办法对我们后面两道题起什么大作用，它其实肯定是要先化简啊。那我们把这个 y 给它化简一下， y 等于 x 平方，减去 a， x 是 吧？加上 x 平方，减去 a， 加上 b 倍的 x 加上 a， b 加上 x 平方，减 b， x 化简一下，那这里面有三个 x 平方 是吧？再减去两倍的 a， 加上 b 倍的 x， 再加上 a， b， 是 不是好， 呃，那这样子的话，我们把这个 a 等于零， b 等于三放进去呗。啊，那这样子的话，呃，当 a 等于零， b 等于三十，哎， y 呢，就等于多少三 x 平方， 嗯，减去六 x， 是 不是？那对称轴呢？那对称轴 就是 x 等于负二， a 分 之 b 就是 负六分之，负六等于一，是不是？那第一题比较简单啊，到这啊，砍瓜切菜，我相信你们每个人都会做啊。第一个啊，第二个， 他说当 b 等于二 a 的 时候呢？如果告诉我们，这个二次函数在零到一是 y 随着 x 的 增大而减小，三到四是 y 随着 x 的 增大而增大啊，让我们求 a 的 值范围， 那这个其实是在告诉我们什么，让我们求什么？其实是让我们求对称轴。我给你们简单分析一下，你看把图像画一下啊，这是零到一，然后这是三到四，是吧？ 你看我举个例子啊，你比如说图像是这样画的， 这是对称轴 啊，那你觉得这个图像它满不满足？这里面说的零到一 y 随着 x 增大而减小啊？三到四， y 随着 x 增大而增大，满不满足？满足。为什么？因为对称轴在一三之内嘛，你如果比如说我，对称轴在这个位置 满不满足？还满足？因为对称轴正好经过呃，一零这一点，那么如果往左移动呢， 他就不满足了。首先三四这个区间他肯定还是满足的，但是零一这个区间就不满足了，是不是？零一这个区间他有增大有减小， 那么这个时候呢，你就会发现啊，那就不满条条件了。那么在三四这个范围之内呢？那也不满足。那么在三四这个范围之内，呃，零一肯定是满足的啊，增大减小，但是三四就不满足了，三四有增大有减小， 所以就完全不一样，然后我再往右移动呢，就更错了，对吧？因为三四它一点减小了，那再往左边呢啊，它也错了，因为零一是增大而增大， 对吧？所以你只要确保你的对称轴在一三之间啊，这个图像就可以满足他的要求啊，不管是有没有跟 x 轴有交点都可以。那这样子话，我们就把对称轴给大家算一下呗。 啊，把它删了啊。推乘轴就是 x 等于负二， a 分 之 b。 嗯，但是这里面不能写负二 a 分 之 b 了啊，因为 ab 它是在这里面有指定的特殊的啊，关系就不能这样写了啊。就是，应该是三分之 a 加上 b， 是吧？三分之 a 加 b， 那 么 b 等于二， a b 等于二， a 的 话，那么给它化解一下吧， b 等于二， a 把二 a 带进去就三 a 三 a 除以三就等于 a。 哦，那，那这样子的话就太简单了，是吧？ a 小 于等于三大于等于一的时候，满足题， 是不是我要不要判断这个对准这个抛物线或者是二次函数跟 x 轴有交点啊？不用判断它，只要满足对准轴就可以了，是不是？这第二题，嗯，太简单了啊。 第三题，如果告诉我们三个点啊， a 点坐标 a， y 一， b 点坐标是二分之 a 加 b， y 二， c 点坐标是 b， y 三都在这个函数图像上啊。问，我们是否存在常数 m， 使得 y 一 加上 m， y 二加上 y 三等于零，如果存在，求出 m， 如果不存在，说明理由， 那我们肯定是先把这个 y 一 y 二 y 三的表达式给它算出来，是吧？那么 y 一 呢，就等于把这个 a 啊给它带进去，那就是 a 带去的话，就是三， a 方减去二， a 方减二， b 加上 ab， 那 就是 a 方再减去 ab， 对 吧？画几下就是这个啊，那么 y 二呢？ 那我对 y 二吧， y 二就是二分之 a 加 b， 二分之 a 加 b， 那 左边这个就是四分之三倍的 a 加上 b 的 平方，对吧？再减去，呃，减去 a 加 b 平方， 是吧？再加上 ab， 那 这个呢？就化简一下呗，就是 负四分之一倍的 a 加上 b 的 平方加上 a b， 这个能不能去化解？可以去化解啊，我们应该比较熟练了，是不是？ 呃，把这个负四分之一提出来，就是负四分之一里面，这里面就是减去四 a b， 是 不是？ a 平方加 b 平方加二， a b 减四 a b 就是 a 平方加 b 平方减二 a b， 那 其它其实就是 a 减 b 的 平方， 对不对？对吧？好啊，这是 y 二，那么 y 三呢？ y 三的话，它其实和这个 a 一 就是 c 点，和 a 和 a 点其实是差不多的啊，只是把这个 y 一 和 y 三给它替换一下，那我们看一下，那就是把这个 x 换成 b， 对 吧？三， b 平方减去二 b 平方，那就是 b 平方，对吧？再减去二 ab 加上 ab， 那 就是减去 ab， 是吧？好，那我们看一下啊，那么 y 一 加上 y 三，这个式子其实让我们求什么 y 一 加上 y 三，哎，等于负 m 倍的 y 二， 好，我们看一下， y 一 加 y 三，就是 a 平方加上 b 平方减二 ab， 好， 它等于负 m 倍的负四分之一啊，乘以 啊，负 m， 再乘以 a 减 b 的 平方，这个是不是 a 减 b 平方啊？ a 减 b 的 平方，对吧？ 这题比较简单，所以我们快速过一下啊，是吧？那题目中告诉我们， ab 是 两个不相等的实数，所以这个就约掉了啊，就没有了，所以就是，呃，算出来 m 应该等于多少 m， k 等于多少 m？ k 等于四，是不是？是吧？ 所以你看这题目是不是不是那么的难啊？不是那么的难啊？好，这是第一个，我们看第二个啊。第二个呢？稍微有点复杂，看一下啊，它说有个四边形 a， b， c、 d， 然后呢，告诉我们， b， a、 d 啊，等于角， abc 等于角， b， d、 c 等于九十度，又告诉我们的， a、 d 呢，等于二啊， a， a、 b 呢，等于四。 好，那么这样子的话，你看啊，这个三角形 a、 b、 d 和三角形 d、 b、 c 是 不是相似的啊？这一看就一看就看出来了，是吧？三角形 a、 b、 d 相似三角形 d， b， c， a， b， d， c， b， a， b， d 应该 d， c， b， d， c、 b 是 吧？对应边的相似啊。 然后呢，你就会发现啊， a、 d 比上 a、 b 是 吧，它应该等于什么呢？等于 b， d， a， d， a， d， d、 b 比上 a， b 比 d， c 是 吧？ a、 d 比上 b， a、 b 等于二分之一，对不对？那么 d、 c 呢？ d、 c 就 等于两倍的 d、 b， 那 么 d、 b 是 不是很好算啊？ d、 b 就是 啊， a、 d 和 ab， 我 把它提出一个二出来，那就是一比二，比上 d、 b 长，应该是比上 一比二，比根号五，那就是二倍根号，所以最后答案就是四倍根号。所以呢， d、 c 长就是四倍根号啊，四倍根号啊，这是第一个。第二个 来写一下吧， d、 c 长是四倍根号五，这是二倍根号五。 第二个，呃，他说，呃，老师呢，指导同学们对图一这个纸片啊进行折叠研究，然后呢，在 c、 d 上取点 e 点啊 c、 d 上取点 e 点连接 b、 e， 然后将这个四边形 a、 b、 e、 d 啊，然后沿着这个 a、 b、 a、 b、 e、 d 沿着 b、 e 给它翻折一下啊，翻到这个四边形 a 撇、 b、 e、 d 撇啊，然后呢？ a 撇、 d 撇分别是 a、 d 的 对应点。第一个他说如，他说如果啊，贾同学啊，这个 d 点呢，正好是落在 bc 上，那正好在 bc 上，反正这个角是九十度呗，那么这个角九十度呗，对吧？你折叠了吗？ 啊，让我们判断，把这个 a 撇、 d 撇延长和 c、 d 呢，相交于 f 点。第一个让我们判断四边形 d、 b、 a 撇 f， 它的形状 形状。这个难不难？这个不难啊，你看啊，你看，你，因为你是折叠的嘛，所以什么？所以角 a、 b、 e， 角 a、 b、 e， 它其实等于角 a 撇 b， e， a 撇 b， e 是 没有问题。好，这角 a、 b、 e 加这个角加角 e 啊，它加上角 e， 那 是不是应该等于角 a 撇 b、 e 加上角 e， 对吧？而角一和角二是相等的，因为你翻折过来的嘛，翻折过来的嘛，所以角一等于角二，所以它又等于啊，把这个角一又替换成了角二，是吧？加上角二，而角 a、 b、 e 加角一等于多少度？ a、 b、 e 加角一是不等于九十度？ 题目告诉我们的嘛，角 abc 都九十度嘛，那么这个角是不是也九十度？ a 撇 b e， a 撇 b、 e 加角二是不是也九十度？ 说明这个角等于九十度。那你看啊，在这个四边形，在四边形 b、 a 撇 f、 d 里面已经有三个内角是九十度了，那你说这个角多少度？九十度嘛，是吧？ 好，它等于九十度的话，你看啊，它等于九十度的话，那有没有边长相等啊？ 很明显没有，对吧？因为 d、 b 肯定要大于 a 撇 b 的 啊，一个是，一个是直角三角形的斜边，一个是直角边，所以不可能相等啊，所以它就一定是个矩形啊，什么形状啊？一定是矩形，对吧？ 就行。好，我们再来看，以他说这个 a 撇啊，正好落在 b c 上， a 撇正好落在 b c 上，那反，反正这个角是九十度呗，这个角九十度，对吧？我们看一下啊，让我们求第一的场， 求第一的场，那这个题目呢，也简单，你看啊，我的第一反应是什么呢？这题目如果是我来做的话，应该是秒减， 答案马上出来，为什么？你看，我们刚刚说了，角 a、 b、 e， 它是不是等于角 a 撇 b、 e 的， 对吧？现在告诉我们，这两个角的和等于多少度啊？等于九度，说明角 a、 b、 e 等于多少度，等于四十五度， 有没有问题？没有问题。然后你看啊，啊， a、 d 比上 a、 b 等于多少啊？等于一比上二，如果这是 c 塔九的话，这是 b 塔九的话， 有没有想起来我们以前讲过的啊，它的正切值，它是不是等于贪听的？ c 塔 tan tan tan 等于二分之一，两角之和等于四十五度，说明立刻能够知道 tan tan tan 等于多少度啊，等于三分之一 啊，那这样子的话，这个 d、 e 啊，是不是等于三分之一倍的 b d 啊，对吧？ b、 d 长应该等于二倍根号五，那就是三分之二倍根号五呗， 所以第一场等于三分之二倍根号五。但是呢，你在中考题里面这种写法，如果是选择题或题没有问题，大题目不能这么写， 大题目不能这么写，大题目这么写的话，你就错了啊，就错了啊，因为你这个东西啊，它属于我们私下里讲的哎，面授的一些东西，一些技巧，但是真正的考考题里面是不能这样写的啊，那你该怎么写呢？ 你就要想办法啊，第一个你就证明，你如果有能耐，哎，你就把这个贪心思想等于三分之一给它证明出来。我也不是没讲过，我讲过很多次，其实讲过很多次，但是呢，你如果想不到怎么证明，那你就要另辟蹊径啊。另辟蹊径，那你怎么办呢？你就想办法来，就不能这样做了啊， 那肯定要用到相似，因为这里面的相似量其实很多，肯定要用到相似。我后来我研究了一下，我大概提了，提出一个相似的一个技巧，是什么呢？嗯，就是我们把这个 ad 延长， 因为再把这个，把这个延长，把它删了， 我们必须把这个 d、 e 啊，放到一个三角形里面啊，根据相似比来算，才会比较好算一点。比如说这个是 f 点， 那你会发现，我如果延长 b、 f 啊，再连接啊，再延长 a、 d 交于点 f 点，这时候你会发现这个角是四十五度， 对吧？这个角是四十五度，这个是对顶角，那说明三角形啊，三角形 dfe 啊，它是相似于 cbe 的， dfe 和 cbe 是 相似的， 对不对？没有问题吧？好，没有问题，然后你看啊，这里面有没有一些角，是有没有一些边，我们是知道的。 首先 bc 长我们能不能算出来？能，为什么？你看啊，这个是一比二比根号五，所以这个 bc 长实际上是 a、 d 长的 根号五倍， a、 d 长刚好五倍，所以它就是二倍。根号五乘以根号还等于十，所以 bc 长等于十， bc 长等于十啊。然后呢，你看啊，这个 a 撇 b， a 撇 b 长等于多少长？等于 a， b 等于四，等于四。我如果把这个 a、 d 撇延长，哎，我如果把它延长，或者要这样， 你会发现这个角呢，也是九十度，也是九十度，是一样的，一样的啊。 所以呢，你看啊，这个 d f 长度啊， d f 的 长度， 它其实就是等于呃 a 一 撇 b 减去 a d， 它其实就等于四，再减去二，等于二，所以 d f 长度实际上等于二， 没问题吧？那你看啊，这两个三角形相似的话， d f 长度等于二，说明对应边的比例是二，对吧？那说明什么？那说明 d e 比上 c e 啊， d e 比 c e 是 不是等于一比上二？ 哎，不是，一，不是。一比二。一比五等于等于什么？等于呃， d f 长比上 cb 长等于二，比上十，哎，等于一比上五， 说明 d c 长啊，说明 d e 加上 e， d e 占整个的整个的长度是六分之一啊，所以呢，说明 d e 等于六分之一倍的 d c。 而我们刚刚算出来第四场是四倍根号五，所以它就应该是三分之二倍根号五，你看，是不是跟我们刚刚算的结果是一模一样的，对不对？ 对吧？我们刚刚算结果是什么？是这个是 beta 啊， tnt 的 比特等于 d e 比上 b， d 等于三分之一，那么 d e 算出来等于三分之二倍根号，是吧？秒出答案啊，秒出答案，但是呢，你如果不知道，那你只能按照这种方法来做啊。 好，这是第二问。哦，对了，我刚刚讲让你们记住，结论是什么结论啊？就是这个结论，就是这个结论。就是 啊，这个是阿尔法啊，就是阿尔法加上 beta 等于四十五度， tanning 的 alpha 等于二分之一，那么 tanning 的 beta 就 等于三分之一。这一定要记住，因为今年在很多很多地方都考到这个考点了啊，考到这个考点了。 好，这是第二问。好，我们再来看第三问，第三问，它说的是什么？呃，连接第一撇 啊，连接 d d 一 撇就是第三问。他。其实跟第二问第四，第第二个图和第三个图都不一样啊，就第四个图了。他说连接 d d 一 撇， d d 一 撇，交 b e 于 p 点 好。嗯，然后呢？他说连接 cp 啊，连接 cp， d d 一 撇， 嗯，连接 cp， 然后当 e 点呢？在 c d 上运动的时候，那么 p 点肯定也运动， e 点运动了， p 点肯定也要运动，有没有问题？没有问题啊，他问我们，他问我们， 他问不成呢？他问我们这个线段 cp 有 没有最小值，有没有最小值？那这个题目呢？很明显就是让我们求 p 的 运动轨迹吧。 求 p 的 运动轨迹。那怎么求呢？这个题目其实我没想讲过在哪个，应该还是连云港市 还是哪个地方的中考题里面其实讲过跟它类似的啊，类似的 p 的 运动轨迹怎么看啊？我为什么要把滴滴一撇给它连起来？滴滴一撇，连起来之后立刻有一个直角，这直角 有没有问题？没有问题啊，连起来之后，这立马这个立马就是直角啊，连它去是直角之后，你就会发现啊， p d p b 等于九十度，就不管你 e 怎么运动， p 怎么运动，这个角 d p b 就 一定是九十度， b d 是 个固定值， b d 长是多少等于多少？刚刚这是四码，这是二码至二倍根号五。 一个固定长啊，一个直角。那你说这个撇弄过去是什么？是个圆吧？圆心在什么地方？圆心在这个地方，对吧？所以它就是个圆， 圆心在 b d 的 中点上，在这。哎呀，我这个画的还真好啊，正好看到没有。圆心在这，圆心在这， 圆心在 b 一 的中点上。这时候呢，你会发现啊，你要求的 p 的 呃，最小值，那你就是把它连起来呗。 哎，不对，这是圆， 是吧？我把它连起来呗。连起来之后你会发现啊， p 点在这个地方的时候， p 点在这个地方的时候， c p 有 最小值， c p 有 最小值，那么这个半径圆 o， 它的半径等于多少？半径就等于二分之一倍的 b d， b d 等于二倍，根号五，那除以二呢？就等于根号五， 等于根号五啊，也就说 o p 长等于根号五，那我们要求的是 pc 长，对吧？那我们就应该什么？我们首先应该把这个 co 长给它算出来啊。 co 长给它算出来， co 长给它算出来。那现在问题就变成了，怎么求 co 呢？ 那也简单啊，对不对？这就是减三角形，没那么难啊，过 o 点做这个 bc 的 垂线 啊，是吧？好，那你会发现，比如说交于 h 点，交于交于 h 点，那你发现什么呢？你发现这个 o h， 呃，它的长度应该是 ab 的 一半，因为 o 点是 d b 的 中点嘛，那么 o h 肯定是 ab 的 一半，肯定是等于二， o h 等于二，是吧？ o h 等于二的话，那么 b h 是 不是 a d 的 一半啊？ b h 是 不是 a d 的 一半等于一啊， 对不对？好，那这样子的话， h c 呢？ h c 是 不是等于 bc 减去 bc 减去 bh 啊？ b c 长是十，我们刚算了，是不是十减去 b h 呢？ b h 是 一等于九， 所以 h c 长度等于九， o h 长度是二，那么 o c 长度呢，就等于根号下九的平方加上 o h 平方，二的平方等于八十一，加上四八十五，八十五就是 五五乘十七，那就是八十五。根号八十五， 是吧？根号八十五， o c 长，根号八十五，那么 o p， 那 么 c p 长呢？ c p 长呢？ c p 长就等于 o c 长减去 o p 长等于根号八十五，减去 o p 长， o p 等于根号五。哎，所以这个 c p 的 最小值就等于根号八十五减根号。 这题目难不难呢？这题目不算特别的难啊，不算特别的难，但是呢，你如果做的熟练了，能够很快说出来，如果不太熟练，那你可能这个 p 点坐标你找不到啊，那这个题目就难了啊，题目就难了， 好啊，今天呢，我们讲了两道山东省统一考试的啊，这套试卷里的最难的两套题，我觉得最有价值的两套题 啊，都不算特别的难，有，但是这个第二问，这是压轴题啊，这个压轴题里面有个结论，我是希望你们记住的啊，我再写一遍啊，如果阿尔法加上贝塔等于四十五度，嗯， tanning 的 阿尔法等于二分之一，那么 tanning 的 贝塔 啊等于三分之一。这个结论一定要记住啊，你在中考题里面，后面大题目你可能不能直接写，但是你在选择题啊，填空题啊，里面可以直接写，能够帮你节省很多的分啊，很多的时间，能够帮你拿到很那个更多的分。 好吧，那我们就先讲到这啊，如果同学们觉得还不错的话，可以分享给你的朋友，如果家长觉得还不错的话，可以分享给你的孩子。那我们下个视频，再见。拜拜。

好，下面呢，我们继续讲解一道中考题哈，是二五年的青岛市的中考题哈，我们看一下二十二题哈，二十二题， 我们先一起读一下题目哈啊，在平行四边形 a， b， c， d 中啊， e 是 ab 的 终点啊，这是终点， 然后呢， f 是 e d 的 延长线上的一点，连接 a f， b f 过 b 啊，过 b 做 b g 啊， b g 平行于 af 交这个 f e 延长线于 g 啊，连接 a g， 然后呢？求证。三角形 a， e， f 啊，全等于三角形 b e g 啊， b e g。 那 么这个证明啊，第一个问哈，不是太难哈， 第一个问啊，因为呢， b g 和 a f 是 平行的是吧，所以这角都是相等的，对吧？这角都是相等的， 然后呢，又有什么呢？又有对顶角相等是吧？然后呢，还有两个边形的，所以说很容易证明这两个三角形是全等的，是吧？好，那么我们就证明一下哈， 因为 a f 平行于 b g 啊，所以有什么？有角哈，有角 a f a e 等于角 e， b g 是 吧？然后再就直接可以挣前等了哈，在三角形 a， e f 和 三角形 b e， g 中啊，有什么呀？有这个角 f a， e 等于角 e， b， g 啊，然后还有什么？ a， e 等于 e b， 因为 e 是 中点对吧？然后还有什么呀？角 a， e， f 等于角 g e b 对 顶角是吧？所以呢，三角形 a， e， i f 全等于三角形 b， e， g。 我 们用的是什么呀？角边角 是吧？角，边角。那么第一个问就挣完了，然后呢？第二个问哈，他说，从啊，已知啊，然后有一个横线，从两下面两个条件中选择一个啊，然后填入啊，下面两个条件分别是这两个，然后呢，判断啊， 这个四边形 a、 g、 b、 f 的 形状，是吧？ a g、 b、 f 形状。第二个问好， 第二个问呢，我们先预证明一下哈，就是说在第一个结论的基础之上，其实我们还可以，因为啊，因为有什么呀？因为三角形 a、 e、 f 全等于三角形 b， e、 g， 我们就能得到什么 f， e 等于 e， e g， 对 吧？然后呢，因为 f e 和 e g 也是说 e 是 f g 的 终点， e 又是 ab 的 终点，所以说 a g， b， f 是 什么呀？四平行四边形， 对吧？这个很重要，是吧？因为是平行四边形了，我们继续做第二题的话呢，就有条件了，是吧？我们假设啊，选一， 我们我们都选一下啊，我们先选一，是吧？一是什么呢？ e f 等于二分之一 c d， e， f 啊，等于二分之一 c、 d， 那 说明什么呢？ 因为这个 a、 b， c、 d， 它是平行四边形啊，是吧？所以说 e、 f 就 等于二分之一 ab， 对 吧？也就是说 e f 等于 a e， 那么这个啊，这个平行四边形的对角线就是相等的，是吧？所以就是有什么 ab 等于 f、 g， 那 么对于一个平行四边形来讲啊，如果它的对角线是相等的，那么我们可以得出什么结论啊？ a、 g、 b、 f 是， 是矩形，对吧？因为它是属于什么对角线相等的平行四边形，是吧？那么它就是矩形。好，那么如果我们选二呢？ 选二啊，那么就是 ef 垂直于 c、 d， 那 么 ef 就垂直于 ab， 为什么呢？因为 abcd 是 平行四边形啊， cd 和 ab 是 平行的，是吧？那么对于一个矩形来说，它的对角线互相垂直，那他们是一个什么句？什么形状呢？它就是一个菱形，是吧？所以这很简单哈。所以说，哎， gdf 这个当然了哈，你可以把这个呃， 稍微补充一点啊，就可以了。总之这个题呢，没有那么难哈。没有那么难啊，虽然是二十二题啊，但是不是太难。好，那么这道题呢，我们就讲解到这里。

青岛西海新区期末刚出成绩，如果这次期末考试孩子数理化考的还不错的话，想要参加自招，那我建议你一定要提前做一下自招的题目，感受一下难度。那我为大家准备了西海新区往年的自招真题，还有高度仿真的模拟题，需要的家长可以留下西海自招五个字我送给你。

一七年，第一问证的是全等全等。第二问，正，当两个边满足什么条件？他是一个正方形啊，他围绕的是正方形展开出题。好，这是一，这是一七年出题。继续。一八年 第一问，证线段相等，但其实我们同学做题做多了，我们知道你证线段相等，仍然是借助什么去证线段相等， 全等吧，两个边所在的两个三角形全等去得到对应边相等。哈，也就是其实他第一问，你看出题是一样的，都正全等， 对吧？哈，好，继续啊。那第二问跟一七年不太一样，他给了你的条件，让你判断他的形状。一七年是问你满足什么条件，他是正方形，正好翻过来问了，但是第一问都是让你正全等，听明白了吧？好，继续哈， 好，一九年第一问来，政权等，二零年第一问来，政权等，你看它基本上这个题型慢慢就稳定了政权等。然后第二问 说，当 ab 和 ac 满足什么条件，它是一个矩形啊，又跟我们前面学的是一样了，前面讲的那个一七年是一样的，问你边满足的条件，它是正，它是矩形，对吧？好，那二零年的这个第二问 说，当什么 b 得平分角 abc 的 时候，他是什么特殊四边形？你看一九年和二零年这个第二问，是不是又反过来去问了，对吧？一九年是问你条件，让你正举行，二零年是问你给啊，是给你条件，然后让你正，他是特殊四边形，正好反过来和一七年一八年是一样的，一正一反。 好吧，好，欢迎新进直播间的家长哈。学数学治好了我的恋爱呢？ 好，继续。二一年二一年的二十一题啊，来，第一问，政权等，跟刚刚是一样的。来第二问啊，还是当平分。你看，当平分好像在刚刚的哪一年说到了？ 在刚刚的二零年说到了，正好紧接着二一年，二一年他又出了当平分。他是什么？特殊四边形？他，其实他的问法是一样的哈。好，继续二二年 第一问，来政权等第二问，从二二年开始，他的出题方向或者说他的一个出题形式就开始有变化了。嗯，让你选条件，然后证明特殊四边形。选一和二，给了两个条件。好，从二二年开始，这个方向有一点变化了哈，出题形式变化了哈， 继续二十三年。二十三年第一问，仍然是雷打不动政权等。好，第二问啊，给条件正特殊四边形。好，二十四年第一问，第一问不一样了，是让你正平四边形，让你正平四边形，但是你去猜一下， 你去猜一下，他虽然让你正平四边形，但是我们还是借助什么形式去证明？我们还是借助什么形式去证明？还是借助全等的形式？还是借助全等的形式哈，也就是他的只是他的一个问法变了，问法变了啊。

选择填空笑嘻嘻啊。计算大题我觉得数学题主要他就是计算量大，然后题题很简单，就是我坐到洞前就剩五十分钟，但最后五十分钟全在酸痛点。

哈喽，大家好，我是张老师啊，今天是咱们期末训练第六天内容，今天呢主要涉及到就是我们关于这个相似以及黄金分割这块内容。像第一题啊，主要考的就是黄金分割，那在这边的话，你一定要知道一个数就是二分之根五减一 啊，也就说如果说现在给了你一个 a b， 然后告诉我们说 p 是 他的一个黄金分割点，那这个 a p 他的一个占比就是二分之根五减一，那相应的短这段啊，你也可以给他记一下，他是二分之三减根五。 ok， 那 第一题这边呢，相当于是告诉 a b 的 长度 p 是 黄金分割点，并且 a p 大 于 b p 小， 要求 b p 就是 求这个角短一遍，对不对？所以说你用十乘以短的边占比就可以了， 那给他算一下，其实就是十五减五倍的根号五，也就是选四号 d。 然后接着再来看第二题。第二题这个题呢，主要涉及到就是我们这个相似比啊，现在告诉我们说 a e 比上 b f 是 一个一比二， 然后让我们求 a h 比上 h c 这边很明显能看出来想要求它的话啊，比上一个 a c 利用的是这个八字对不对？哎，你要知道这一段它的一个占比才可以，怎么来办呢？注意它是在菱形里面，菱形里面比较特殊的就是对角线相互垂直，所以说会想到把 b d 一 连，这是一个直角， 然后又告诉我说 e f 和 a c 垂直，这也是垂直的，其实能告诉我什么？哎，这两条边是平行的，因为菱形对边又平行， 所以说你会得到 e d b f 这个四边形是一个平行四边形，有了这个条件之后，你就知道 e、 d， 它其实就等于 b f 既然 b f 占两份，那它相应的也占两份，对不对？那其实我的 a d 等于 bc， 也就是一个三份，所以说你会知道啊，三角形 a、 e、 h 相似于三角形，这边是 c f h， 也就是 a h 比上 c h， 应该等于一个 a h 比上 c h， 也就是 a e 比上 fc， ae 占一份 f c， 总共是五份，一比五。但是这不是我最终的最终我要求的是 a h 比上 a c， 那 a c 是 由一份和下面的五份组成，所以说它应该是一个一比六啊。很多同学在 a d 里面选了 d 选项啊，一定要看清题，所以说这个题选择好 b。 然后第三题，像我们给我们这种数量关系的，我们可以直接设数，把它化简一下，其实就是三， x 等于五 y 对 不对？也就是 x 比 y 应该等于一个五比三，我们就可以设 x 等于三啊， x 等于五， y 等于三，那我这个式子其实就变成了五减三，比上一个三对不对？哎，给它算一下，就是三分之二选择 a 选项。这个题还是比较简单的啊，在我们期末里面就是一个分题。然后接着再来看 小明，为了测量凉亭的高度 a b， 然后他在这边摆了一个镜子，然后呢？这边啊，他在镜子中刚刚好能看到。凉亭 这边考察了一个物理知识，就是我们在看的时候，其实是光线对不对？入射角等于反射角，也就意味着这两个角是相等的，那相应的这两个角也是相等的。 那我们就知道了，三角形 a、 c、 g 和我的三角形 f， e g 其实是相似的，对不对？也就得到了这个 e f 比上 ab 啊，这个是 ac， 就 应该等于这边 g， e 比上 c g， 对 吧？那相应的高度都是给我的，比如说题目中告诉 c g 是 一个十五 啊， c g 是 一个十五，那这边十五分之 g， e 是 一个三。然后还有告诉我说，小明的身高也就是 e f， 这里面是一个一点六， 比上 ac， 那 相应的 ac 的 长度我其实是可以求出来，就等于一个八米，对吧？但是你注意，你要求的是 ab， 还要加上 bc 这一段是多少？零点五，所以说总共 ab 应该等于一个八点五米。 选择 a 选项啊，这个题还是比较简单的，就是你要知道这个光线他是如何传播的就可以。然后接着第五题，第五题，其实啊，他在这边算是比较简单的，告诉我说 ab 是 一个二， bc 是 一个三，求 cd 的 长度 乍一看好像得用到相似，但是其实它没有用到，只用到了我们这边。勾股定律，那既然知道 a b b c， 这又有直角令勾股定律， a c 是 不是根号下三方减二方呀，对不对？那就是九减四，根号五 有了它之后，有了它之后，我们利用等面积法 a d 就 可以求出来了， a d 乘以 b c 应该等于 a， b 乘以 a c， 对 不对？那相应的 a、 d 就 应该是二乘根号五再除以三，也就是三分之二倍的根号。 有了这个这个求出来之后，想要求 c、 d 就 更简单了，对不对？哎？ c d 它就应该等于根号下 根号五的平方五减去三分之二，被根号五的平方，对不对？那就是九分之四乘五二十，哎，给他算出来应该是九分之二十五 k， 根号 三分之五。把 a 选出来啊，这边就是把边转换一下就可以了。第六题主要考察我们一个反 a 的 相似，那反 a 的 话，我们知道啊，他想要证明全这个相似的话，就是一个公共角加上一组角相等就可以了。 那现在我们已经知道了啊，小正的就是 a， b， c 和 a c， d， a， c， d 和这个大对不对？那这边两个小角是相等的，并且有一个公共角角 a， 对 不对？哎，那直接写就可以了，因为角 a、 b、 c 等于角 a、 c d， 角 a 等于角 a， 所以 三角形 a、 b、 c 相似于三角形 a、 c、 d。 啊，这个很简单，也不需要像我们全等一样，在哪个三角形里面的条件一列对不对？你只要出现两个角相等，那么他们两个就是 相似的。然后再来看第二问，第二问告诉我们说， ad 是 一个二， ab 是 一个五，求 ac 的 长度。那在小的里面啊，这个 ad 对 应到我们大的，应该是 ac， 对 不对？那就是因为三角形 abc 相似于三角形 abc， 所以 它对应边乘比例，那它就等于谁呢？在小的里面的 ac 对 应到大的，就应该是 ab， 对 不对？那 ac 的 平方就是 ab 乘 ab， ab 等于个五， a、 d 等于个二，所以 a、 c 方等于个十，因为 a、 c 要大于零，所以 a、 c 就 应该等于根号式就结束了啊。最后一题还是比较简单的。