重庆中考26题几何对子怎么做

正方形问题，中考特别爱考，一定要重视起来。来看一道重庆中考真题，你可以先看题目思考一下。 我们先从条件出发，这里有 b、 f 为角 a、 b、 e 的 平分线，又有 b、 e 等于 b a， 显然只要我们连接 a、 f 便有三角形 b、 f 于三角形 b、 e、 f 全等。 很多时候，几何题的解析思路少不了几何直观。我们看到图中三角形 a、 f、 c 非常像直角三角形，如果三角形 a、 f、 c 为直角，三角形 o 又是斜边的中点，直接利用斜中半即可解决问题。再结合我们刚才证明的全等，我们只需要证明角 b、 f、 e 等于四十五度， 即可证明角 a、 f、 c 等于九十度。因为题目中角度比较多，线也比较多，所以我们尝试用设微之数的方法来表示角度。 我们设角二等于 x 度，那么角 e、 b、 c 就 等于九十度，减去 x 度。因为 b、 e 等于 b、 a， 所以 b、 e 也等于 b、 c、 e 得角 b、 e、 c 等于四十五度。加 x 度，再利用三角形的内外角关系，就可以求得角 b、 f 一 等于四十五度。 这样我们就可以证明三角形 f、 c 为直角三角形，再利用斜中半即可求得 f 二的长度。你学会了吗？

朋友们好，我是老李，这里是老李的初中数学课堂理数说题，你现在看到的是与老李的原创作品初中数学一盘棋配套的视频课程。视频课程目前已经升级到了九百多集， 与视频课程对应的课间一共有十二个，大家可以截屏了解一下。建议大家听课前下载好对应的课间，对照课间听老师讲课。现在我们一起学习初中数学一盘棋第十二个作品开窍之见的第十五题， 对角互补以及定边对定角的沙影圆模型。 结合角平分、线分对边成比例的模型以及子母型的共边相似，破解一道几何难题。结合图形，我们看题目， 四边形 abcd、 中角 abcd 等于九十度，角 abcd 也等于九十度，也就是说四边形 abcd 是 一个对角互补的四边形 a、 b 等于 b 三等于二分之五倍的根号。二、 c、 d 的 长度为三角 a、 e 三等于一百三十五度，让我们求 a、 e 的 长度。 老规矩，请大家按下视频课程的暂停键，自己先审题找思路，审题的过程当中遇到问题记下来，带着问题和老师一起来学习探讨。 现在我们擦掉黑板，一起来看一下解题的思路是如何被我们找到的，辅助线是如何做出来的。 首先很明显，四边形 a、 b、 c、 d 是 一个四点共圆的四边形，因为对角互补， 角 a、 b、 c 等于角， a、 d 三等于九十度，那么 a、 d、 b、 d 三点和 d、 d 都在以 a 三为直径的圆上面。然后继续发散思维， i、 b 等于 b、 c 等于二分之五倍的根号。二、三角形 i、 b、 c 是 一个等腰直角三角形，很容易计算出 i、 c 的 长度为五，然后 c、 d 的 长度为三。 三角形 id 三就是一个三、四五的直角三角形，也就是说 cd 的 长度为三， i 三的长度为五，所以 id 的 长度为四。 发散思维倒边倒角看一下，角 b、 i 三等于角， b、 i 三等于四十五度。四点共圆，同弧所对的圆周角当然相等，所以角 b、 d 三等于角 b、 i 三、 b 也等于四十五度。 同理，角 a、 d、 b 等于角 a、 c、 b 也等于四十五度。 然后让每一个已知条件充分的发挥它的作用。回头看，这里的角 i、 e 三等于一百三十五度，并且 i 三的长度等于五， a 三的长度等于五角 a 三一百三十五度。定边定角的影约模型。对于圆周角是一百三十五度的影约模型，我们很容易下到。 以 b 点为圆心，以 b、 i 或者 b 三为半径的圆一定过这里的一点。这是因为我们在 i 三的另一侧做一个四十五度的角， 比如说角 i、 m 三等于四十五度的话，那么 m 点和 i、 d、 e、 d 三、 d 四、 d 一定共圆，因为对角互补，并且这个月的月型就在以 i 三为底边，以九十度为顶角的 这个等腰三角形的顶点处。圆形就是这里的 b 点，也就是说以 b 点为圆形，以 b、 i 或者 b 三的长度为半径的圆， 一定会过这里的 m 点和这里的 e 点，也就是说 b 三 b e、 b i 和 b m 相等。下面按照刚才的分析，我们把这两个所谓的音乐给他构造出来 看一下。首先 a 点、 b 点、三点和 d 点这四个点都在以 i 三为直径的圆上面，然后 e 点、 i 点、 m 点和 c 点都在以 b 点为圆心，以 b i 或者 b 三为半径的圆上面。 有了这两个引圆，我们继续发射思维改条件，这个时候我们锁定最新出现的条件， i e 啊 b e 和 b c 相等， b， e 和 b c 都是圆 b 的 半径，所以相等等边对等角，所以角 b e， c 等于角 b c、 e。 然后我们看一下角 b、 c、 e 减去这里的这个角四十五度，等于角 i 三 e。 然后角 b e 三角 b e 三角形 c、 e、 d 的 外角，所以角 b、 e 三减去这个角四十五度，等于这里的这个角角 d 三 e。 看一下，两个相等的角都减去四十五度，既等于角 i c、 e 又等于角 d c、 e。 就是 说 c e 是 角 i、 c、 d 的 角平分线， 这个时候注意三角形 s i、 d 的 三边四，已知的 s i 等于五 d 三等于三， id 的 长度等于四，所以很容易想到延长这里的三 e 和 id 相交于 f 点。 那么根据角平分线一个重要的性质定律， i 三比上一个 d 三等于 f， 比上一个 f d。 当然，如果是一个解答题的话，这是需要证明的，需要我们证明 i 三比上一个 d， 三等于 f， 比上一个 f d。 前面的课程中有详细的讲解，那么这里的证明留给大家 小结一下前面的分析。首先得到的第一个采风点 a 点 b 点三点和 d 点四点共圆， 并且三角形 i、 c、 d 是 一个三边一字的三四五直角三角形。 然后第二个采风点 i 点 e 点三点和 m 点四点共圆，得到了以 b 点为圆心，以 b i 或者 b 三的长度为半径的圆 b。 然后第三个采风点发现三 e 是 角 i 三 d 的 角平分线，那么根据角平分线的性质定例， i 三比上一个 d， 三等于 f， 比上一个 a d。 注意 i 三的长度为五 d 三的长度为三，五比上一个三等于 f， 比上一个 f d 也就等于 f 比上一个四减 f， 因为 f 的 差度为四，这样很容易求出 f 的 差度为二分之五，也就是二点五。 这个时候我们锁定题目的结论，我们要求的是 i e 的 差度。看一下要求 i e 的 长度，我们求出了 i f 的 长度和 id 的 长度。老规矩，回头看，让每一个已知条件充分的发挥它的作用。看一下 i e 三，一百三十五度， 所以，所以角 i e、 f 等于四十五度，等于这里的角 i d、 e。 再说一遍，角 i e、 f 等于角 i d、 e。 那 么你想到了什么了呢？ 想到了以角 d i e 为公共角，以 i d 为公共的顶点， 以 i e 为共边的共边字母形的相似三角形。看一下这两个三角形，三角形 i f、 e 和三角形 i e、 d 就是 一段字母型的相似的三角形。 相似以后，对应边乘比例，然后等比画等级就可以得到 i e 的 平方等于 f， 乘上一个 id， i e 的 平方等于 f。 二点五乘上一个 id 四等于十， i e 的 平方等于十，所以 i e 等于根号十。看一下最后一个裁缝的字母形的 相似，共边相似得平方，计算出 i e 的 长度为根号十 题目的最后一个裁缝点。这样以条件为线索，以结论为导向，一步一步抽丝剥解，我们找到了解题的思路， 为了方便大家课后的反思和复盘，我们给出了完整的思维导图，解题的课架。好了，这节课就到这，下课再见！

中考数学二十五号题位还不会做，二十五号题位是二次函数。嗯，中考的话考两个方向，第一个方向是二次函数的应用，就实际应用题，第二个方向是二次函数和几何。 二次函数和应用的话，第他首先是考察的是顶点式，那我们在设方程的时候肯定是要找顶点，然后直接设顶点式，带点求解析式。 然后二次函数和几何的话有两个方面，一个就是二次函数和三角形，一个是二次函数和平形四边形。那二次函数和三角形的话，一般会考到二次函数和全等三角形，二次函数和相似三角形，二次函数和三角形的面积关系， 然后二次函数和四边形的话，大概率是平行四边形，然后完了会到菱形和正方形。其实二次函数和平行四边形的话，基本上考的是两点两点的钟点公式， 然后二次函数和矩形。二次函数和矩形其实考察的时候会把二次函数和矩形转换成二次函数和直角三角形。 那二次函数和直角三角形的话，应该考察的是二次函数和直角三角形。我们可以一线三等角去正相似， 那二次函数和正方形就是二次函数和等腰直角三角形，二次函数和等腰直角三角形的话考的是啥？考的是二次函数和等腰直角三角形。直角的那个一线三等角的全等。

谁能解一下这个最值问题？太难了！ g、 a 为对角线 b、 d 上的两个洞点，且 g、 e 的 长度为二倍根号二。求三角形 c、 g、 e 周长的最小值，你可以先暂停思考一下。 求三角形 c、 g、 e 周长的最小值，也就是求 c g 加 g， e 加 c、 e 三条线段合的最小值。显然这里 g、 e 为定长，所以只要求 c、 g 加 c、 e 的 最小值即可。一般求线段合的最小值，我们要将同侧的线段转换成 e 侧。 根据正方形的对称性，我们直接连接 a、 g 就 可以得到 a， g 等于 g、 c， 此时只用求 a， g 加 c e 和的最小值即可。但是这里 a、 g 和 c， e 并没有首尾相连， 这里就需要用到平移大法，只需要做 a、 h 与 g、 e 平行且相等，我们就可以得到平行四边形 a、 g、 e、 h。 根据平行四边形的性质对边相等， a、 g 就 转移到了 h、 e 的 位置，此时只用求 h、 e 加 e、 c 合得最小值即可。显然，当 h、 e、 c 三点共线时取得最小值。下面我们要求 h、 c 的 长度，显然要将 h、 c 放到三角形里面来求。 通过直观发现，三角形 h、 a、 c 很 像直角三角形，因为正方形对角线互相垂直，所以这里角 d、 o、 c 等于九十度。又因为这里的 g、 e 和 a、 h 是 平行的，所以角 c、 h 也等于九十度。 这样我们就证明了三角形 c、 i、 h 为直角三角形。那么 a、 h 和 g a 的 长度相等都等于二倍根号二， a、 c 的 长度应该等于六倍根号二。此时我们就可以根据勾股定律求出 h、 c 的 长度，从而求出三角形 c、 g 周长的最小值。

我们来看这个题，在三角形 a、 b、 c 当中，角 a、 c、 b 是 等于多少度？ 九十五是不是？嗯，然后告诉我们 a、 e 是 什么角的内些。那么十八角角平行分成几份？我们因为角一和角几啊？好，那么角一是不是等于角二？ 然后你告诉我 c、 d 是 哪个高，那么这里是不是垂直的？哦？好， a、 c、 d 相交 在这里，现在他要求证什么？求证角 c、 f、 e 和我们的 c、 e、 f 二相对于。拿到这个题目之后，我们应该来看一下，其实应该入手是从哪里入手？从角平分线以及它垂直来考虑是不是？好，那我们观察 在几个三角形当中和，在几个三角形当中， 这个角加上这个角等于几？哦，九十，因为这个角这个角加这个角等于几哦，九十，是不是？九十？哦，同样的道理，再指个三就行了。哦，这个角加这个角等于几？哦，九十，九十，是不是？然后后面的角一个角是多少啊？三 相对是不是？所以，所以这个九和这个九就代表对相对，这个九和这个九，你是什么？九？对，定标对定九，有次他指这个九和这个九，他就相对相对。好，哥哥写了，好，自己动手。

在四边形 a， b， c， d 中，九 a， d， b 等于九 a， c， b 延长 a， d， b， c 交于点 e 求证。第一问，九， a、 c、 e 相似的新图形 b， d， e， 它们两个相似， 那首先这两个相似三角要正的三相似三角形中有一个共同角角印，也就是说还需要再来一个角，就能证明相似了，因为再来两个角就是一个相似的判定方法嘛。 那这时候咱们想想啊，他说他俩相等，而他看到两个角，不管他有没有告诉你的度数，还是得想到余角和补角，而此时他没有给我画出来任何的九十度，所以咱们想不到余角，只能想补角， 他的补角是这个角，居然这补角是让我们绕相似三角形的两个角，那不就转完了吗？ 第二问， e 乘以 c， d 等于 a， b 乘以 d， e， 它们这种相长形式一般都是两个三相似三角形，它们的对应边成比例， 根据这个，然后再交上相长，给你变个形，让你看不出来。这样我们在相似中遇到这种题，肯定是要转化成相似的， 肯定要转换成 b。 第二个， b， e 和 c、 d， 那 它们交叉相乘的话， b 咱们上来看看这几个边吧。 b， e， c， d， a， b 还有 d， e， 就是 这个三角形和这个三角形相似， 这样的话相当于就是要正三角形 a， b， e， c， d， e， 它们两个相似，首先它还是有公共角角 e 等于角 e， 而由第一问它的相似得出来， 相相似最重要的一个点就是相似比是相等的，而这时候呢，这道题我们要证明的是它和它，那咱们可以发现 a， e， b， e 还有 c， e 和 d， e 它们三个，它们这四个是两两个三角形都有的边，那所以咱们就可以利用它们四个相似比 e。

假期提升计划之第三天，来告诉我，是不是一遇到这类带系数的 pa 加 k pb 最小值的问题，总是傻傻分不清楚， 什么时候用葫芦龟，什么时候用阿士圆，做一次错一次，今天我用三分钟带你彻底搞明白它们的区别。首先来看第一个 pa 加 pb， 此时 k 等于 e， p 在 直线还运动，这是非常典型的将军已满的问题。我们只需要做定点 a 或 b 关于直线 m 的 多线点 b 撇，同时利用两点之间线段最短连接 a b 撇， 当前仅当 a p b 撇三点共线式取最小值。 接下来看第二，此时 k 等于二分之一，不等于一动点 p 在 直线上运动，这就是典型的弧不规的问题。 我们需要在 bc 下方以 b 为顶点构造一个角，使这个角的正弦值恰好等于二分之一。也就是我们只需要在 bc 下方做一个三十度的角， 同时过点 p 做 b d 的 垂线。根据三十度角所对直角边等于斜边的一半，此时我们可以得到 p e 等于二分之一。 p b 问题，即转化为 p a 加 p e 的 最小值。当解，仅当 a、 p e 三点共线时取得最小值 计算的时候，我们只需要在红色三角形 a b e 中利用特殊三角函数值可求的 a e 长为三倍。根号赛 来看第三种情况，此时 k 等于二分之一，不等于一，但是点 p 在 圆弧上运动，那么它就不是琥珀规问题，而是 r 是 圆问题。 根据题目告诉数据，我们需要在 c b 上取一点 d， 使得 c d 等于一。接下来连接 p d， 根据两边对应成比例且夹角相得，我们可证出两个四点形相似且相似。比为一比二，也就是 p d 比 b， p 为一比二，那么 p d 就是 二分之一。 p b 问题即转化为 p a 加 p d 的 最小值，当前仅当 a、 p d 三点共线时取最小值，这个最小值就是线段 a、 d 的 长度，我们只需要在三角形 a、 c、 d 中利用固定进行求结即可。 笔上就是这三类模型的区别，需要注意的是，在解决这三类问题的时候，我们需要用到的竖斜思想为画折为直两个原理，垂线段最短，两点之间线段最短。 不论模型如何变化，我们一定要注意思维的发散性、拓展性，同时还要深入思考，将所学知识灵活运用，举一反三，搞定收工， so easy！

几何题不会做，今天教你把线做三角形，遇中线背长中线全等线，谁加谁等于谁，截长补短换掉短一条线上三等角，你缺少哪个补哪个？ 头对头，手拉手线连一下，全等有脚含半角可旋转，旋转过后全等线。

我们来看一下这个题当中，它告诉我们如图，在平面直角坐标系当中， x o y 直线 a、 b e x 角一点 b 以外角一点 a， a、 c 平分角 o a b b c 平分角 o、 b a 那 么得到平分之后，我们会得到什么东西？这个角跟这个角是和圆几度？ 四十四十跟四十五度，这个角跟这个角四十五度。那么反之，在这个三角形 a、 c、 b 当中，这个角可是就是一个三十五度吗？不是，可有问题，没有对的好。这个角几度？四十五跟四十五度好， ok， 四十五度 好。然后再看题目当中，他说延长 bc， 交一点 d 过点 b 做 b， g 垂直于 bc 好， 垂直 g 好， 然后 f、 g 在 三角形 a、 o、 b 外的那个角平分线上，是不是？所以我们可以得到这个角、这个角、这个角、这个角都是多少度？四十五跟四十五度好，那就四十五度 好， ok， 接下来大家再看这个角和这个角是三个角对定角对定角是啥子？相等相等， 那么这个角和这个角相等，这个角和这个角对应相等。有次在三角形 f、 o、 d 和三角形 a、 b、 c 当中，这个角和这个角咋个相等，这个角就相等了。 好，题目当中就告诉我， ac 平分角 o、 a、 b， 所以 这个角、这个角、这个角三角相等都相等，是不是好？然后看到他说，在三角形 f、 b、 g 当中，若有一个角的度数是另外一个角的两倍 好，在这个三角形 f、 g、 b 当中，一个角是另外一个角的两倍。我们要来考虑，假设这个角是四十五度，这个角是四十五度，是不是 好？如果这个是四十五度，这个也就是多少度？四十五度，这个也就多少，那么这个角就是多少度？九十度、九十度。但是大家看一下，在 o、 a、 b 当中，这个角可可能是九十度， 不可能，因为这个角几度了？九十度，所以这个角这两个大角必须要小于几度。九十，那么一个角就要小于几度。四十五、四十五度，所以这个角可可能是四十五度，不可能，不可能。那么这个角跟这个角之和角值是多少度？ 九十、九十度，所以他说一个角是另外一个角呢？两百，那么我们就只能让这个平均分成几百、三百、三百。一个角是多少度？三十。好，那么这个角是三十度，他只能是多少？三十度，因为他必须要小于几度。四十、四十五度，所以他只能是几度。三十、三十。 ok， 这个角是几度？六十， 那么它要求的 b、 a、 c 的 口数都出来了，出来多少度？六十？ b、 a、 c 啊？三十，是不是三十度？搞定好，自己做。

中考几何怪题，难倒百分之八十学生，曲老师带你三十秒通关。我的天呐，他考的很怪，就是你这个辅助线，如果真没做出来，是真做不出来。他说，如图，三角形 a、 b、 c 是 一个边长为六的等边三角形，然后 d 和 e 分 别在 边 bc 上，且角 d、 a、 e 等于三十度，这个角等于三十。然后他又说了一个贪婪的角 e、 a、 c 等于三分之一，这个角的正切值等于三分之一。比如说我们叫阿尔法啊，就是贪婪的阿尔法等于三分之一。求 b、 d， 这跟 b、 d 有 什么关系是吧？这，这 b、 d 离得挺远的。这道题怎么做呢？我们需要 把这个 b、 d 跟这个 r 啊放到一起去，就是你现在其实看不出来他们俩的关系，那怎么才能把他们俩放到一起去去去弄呢？放在一个三角形里，让我想想怎么搞，咋放到一个三角形里啊？你可以求出来 b、 a、 d 的 角和度数， b、 a、 d 角的度数，角的度数多少是三十减 r， 你 就瞎扯，哎，对，也对，就是三十减 r， 但是你 r 你 又不知道多少度，你咋咋办？这道题我刚才说了，就是有一条辅助线，如果你做不出来，这道题就一点思路没有，想挑战的同学可以暂停视频， 你看他辅助线这么做啊，甚至可能我做出来辅助线，你还不知道他为啥这么做，哎，因为这个整个这个三角形 a、 b、 c 是 一个等边啊，我把这个等边三角形啊给他做一个三线合一的线，然后你去观察这个 r、 f 就 可以转化了。你知道吗？这个 r、 f 等于哪个角？ 对，非常好，这个角就是阿尔法，你思考一下，为啥这个角是三十吧，这个角呢？是三十，哎，对了，看懂没？ 哎，我为啥要做这么一条线啊？我做这么一条线，恰好就把这个六度平分了，我又能找到三十度了啊，所以这边三十，这边三十，减去公共角左右，这俩角相等，他就是阿尔法。 那么他如果是 r 说，哎，你看这还特好，我我我这有垂直，我在这个三角形里面，我就可以用它这个正切等于一比三这个性质，接下来咱们再求呗。你知道三角形 a、 b c 的 边长为六，那么 a h 的 长度能不能求？这是三，这是三倍根号三吧。 哎， a h 等于三倍根号三。好， 然后再来这个 b d 就 差一步了，这个 b d 应该等于 b h 减去 d h， b h 知道不知道？哎，知道 b h 是 三啊，对，它考的特巧啊。嗯，考特巧。其实我们是什么？我们是构造了一个直角三角形，那么这个直角三角形呢？既可以把这个阿尔法给我转过来， 也可以。哎，用这个垂直去倒这个边就出来了。难题压轴不用处，曲老师带你有思路。

重庆育才二十六届酒上启幕几何大题？

这道二五年的中考填空压轴题，当地考生正确率不足百分之一。很多同学啊，看到这么简单的条件，这么简单的图，心里暗自偷笑，却发现读完题只剩了干瞪眼，没有方法， 不管你在草稿纸上怎么摆弄，都无从下手。其实啊，命题人这个题啊，考察的是几何变化，平移对称综合，求最值，别着急，老师，今天啊，就一道题，带你彻底学懂几何变换，求最值，考场遇到直接秒杀！我们来看题， 这个题呢，给的很巧妙哈，它这里说的是 a c 加 cd 是 五啊，就是这一段加这一段是五，然后呢，又给了这一段加这一段是八，然后现在呢？这两个点实际说白了啊，都是动的对吧，求的是 a e 和 b d 相加这两条中间这两条线什么时候有最小值？我天呐，这个题怎么办呀，来跟大家分享一下啊！实际上，大家在初二学全等的时候，我们在学截长补短，大家就应该能意识到啊，我遇到这样的一个条件， a c c d， 你 看 a c c d 这样相加是五， 你要把这个五给他表示出来，必须要干嘛？给他把这一段是给他展开变到这里地撇，对吧？这样的话， a c 加 cd 是 不就很舒服了？能理解，这其实上就是一种什么呀，轴对称思想哎，把它这个三角形对称过来， ok， 同样的道理上面也是一样的啊，就是你现在要求的是这段加这段，我把它对称下去，是变成了这段，就变成了这里，是不是它加它等于八，对吧，而且这里是九十度，就非常好看， ok， 所以 说呢，首先这个题啊，我们第一步要通过对称的思想， 把这个五和八给他表示一下， ok， 来，我画一下啊，把这个三角形呢，给他对称下去，对称到这个地方， e 一 撇。 ok， 那 所以说现在的我们的 b c 加 c， e 就 变成了 b c 加 c e 撇，当然是八，可以吧？就这样一条线啊，当然是八， ok， 与此同时呢，我要把这个造型给它对称过去，是吧？然后呢，这里是 d 一 撇，那我们来标一下啊，就是说原来的 a c 加 cd 就 变成了 a c 加 cd， 撇，当然是五。 各位，现在我们来看到是这样一个图形，这样一根线是五，这样的一根线是八。与此同时呢，你刚才要求的来，各位，你求的是这根线，我现在已经到这里了，对吧？他加上这根线 是他对称过来了，是，他现在求的是他加他什么时候有最小值，能理解了吗？好，这到了我说的第三步，跟大家分享的点，因为图越复杂，很多孩子在考场是越慌越乱的，对不对？所以说呢，我们需要给他抽丝剥茧来，他是我们的 a d 撇， 好吧，然后这个地方呢，是我们的 b 一 撇， ok， 现在求谁啊？求的是各位啊，它加它的最小值，能理解吧？这里是垂直的。好，这个题怎么做到这一步了？ 接下来干什么事情呢？继续给他通过几何变换来做一个操作呀？因为已知这个是八，这个是五，而且这里有个垂直。大家想到了什么呀？我是不是可以把这个五和八给他放在一个直角三角形中，通过再次平移 的思路来，我把五给他平移下来，连接他，大家告诉我这是个什么图形？ a 一 撇， f 一 撇是个什么图形？平四边形。所以说你要求的这个线段就挪到了这里， 能理解吧？然后本来是这个线段加他的最小值，变成了他加他的最小值，你想想，这里可是五，这里是不是也是五， 对吧？这里是垂直，你平移是不是这里平行也是垂直？ ok？ 然后现在变成了啥？各位抽丝剥茧了哈，变成了，已知他是八，他是五，这两个点是什么的？因为你是这个线段平移下来的，这个点是固定的，求这里的最什么值？最小值怎么办？两点之间线段最短， 对吧？因为这里只告诉你五，说白了，其实这个点它是动的，可以吗？所以说八五来根号，求一下啊，八八六十四加上二十五，这答案是根号八十九，因此这些答案是根号八十九， 可以理解吗？好，再来给大家分享一个邪修的方法啊，这个方法呢，需要你对于一定的数感和几何图形有有一些感知啊，他告诉你，他加他是几是八，对不对？大家想想啊， 相当于你扯了两根绳，一根绿绳，一根黄绳，长度是固定的，对吧？现在呢，大家去琢磨，他求的是 a 点到这个绳的距离最小，且 b 点到这个绳的距离绳子，对吧？这个距离最小。那怎么办呢？有没有种可能性啊？是我让这个 e 点往上走一走， a 点呢？往回走一走，这根线变短，或者 d 点往外走一走， b 点往下走一走，什么意思啊？来给大家感受一下。其实很多不等式最值的题都是这样的，就是说他俩是一根绳子，刚好取整的时候就说 a 点和 d 点重合， c 点在这 总共是五，我把这个点和他拉在一起，蹬在一起，这里是几？是二分之五。能理解，然后一样的方法啊，你把这根绳和这根绳给他蹬在一起。好，这根绳子这里是几呢？总共是八，那这里是不就是四，对吧？就相当于是 b 点和 e 点重合了， 可以吧？然后你再看你求啥？你求的是 a， e 就是 a 点和 e 点一拉，加上什么， b 点和 d 点也一拉，是不？这根线算两次，这里是直角。来求一下，两倍的根号下它的平方是四分之二十五，加上它的平方是十六，十六的话就是四分之六十四。 答案是两倍的根号下这里是几二，呃，这里出来是两倍的四，出来是二，这里是八十九。看到了没？答案也是八十九。好，这个是谐修的方法，但是这个是实实在在的几何变换。各位，这个题一题多解，你学会了吗？评论区告诉我。

小球 a q 与 o p 的 数量关系，我们三步搞定。第一步，由对角线的性质得到 p d 等于 p b， 所以 p q 等于 p b 或点 p 做 pm 垂直 q b 这三线合一。第二步，或点 p 做 p e 平行 b b， 再过点一做 e f 平行 p c 则得到一个矩形 p e f o 以等腰直角三角形 e f b。 第三步，有 e b 等于根号二倍的 e f， 也就等于根号二倍的 o p， 容易证明 a q 等于 e b， 所以 a q 以 o p 的 数量关系就确定了。想了解更多技巧吗？关注我，带你正考题分！

一个假期带你拿下期下五大难点预习，今天我们来讲完全平方公式， 命运算与整式乘除，这里面太重要了，它是整个初中计算的基础。那老师啊，也给大家把命运算整式乘除这里面 必刷的计算真题五十道整理了出来，如果咱们孩子啊，学到这里计算还经常容易出错，一定要打印出来。哎，一天十道题，把计算在这个寒假夯实掌握下来。 那今天呢，我们就看看命运算整式乘除这里面比较难的一类题型，有关于乘法公式，这里面完全平方公式配方法的技巧。 那什么是完全平方公式呢？咱们先来复习一下完全平方公式，长成 a 方加减二 ab， 再加上 b 方的形式，因为它可以直接写成完全平方的形式， a 加 b 的 完全平方 啊，它不就是完全平方式吗？那我们现在给你一个式子，说它是完全平方式，问你 m 的 取值，它就是把式子配成完全平方式的形式，让它变成这种形式。那怎么配呀？找它的关键要素啊！首平方，尾平方积的二倍在中央， 所以它就可以变形成三 x， 整体的平方，加上 m x， 再加上四的平方，对不对？好了，接下来咱们继续看，这是首平方，这个是尾平方，中间 m x 是 不是应该是 g 的 二倍，所以是二乘以三 x 再乘以四， 算一下，这里面一共是二十四 x。 那 有同学说了，是不是就选 b 啊？不是的，你注意这里，这个地方，我们完全平方式，无论这里是加二 a b 还是减二 a b， 它是不是都叫完全平方公式？ 所以这里无论是加二十四 x 还是减二二十四 x， 影不影响它是完全平方式的，这个事实 不影响的，所以这里面咱们要选择正确答案 c， 也就是正负二十四作为最终的答案。所以这种题目咱们总结一个做题的口诀，叫做，已知首尾求中央，记得加正负，你记住了吗？ 下面咱们就来一起看看这道题说这个式子是一个完全平方式，问你 m 的 取之可以是什么？复习一下，什么是完全平方式啊？ 啊？我们叫做首平方，尾平方积的二倍在中央，所以我们长成 x 平方加减二 x y 再加 y 方的形式，它就是完全平方式，对不对？好了，那它是完全平方式，我们就要把它配成它的形式，这是我们最终的目标，对不对？ 他怎么配成他的形式啊？看找关键要素呗，首平方有了对吧？那个尾平方 m 是 多少我不知道，但是我有 g 的 二倍啊，有中间项啊，我把八 a b 拆成二倍的首尾可不可以？ 哎，这是首，这是尾，那首和尾分别是什么呢？哦，由于在这里面 八可以拆成二乘四，然后这里有 a 还有 b， 看没看见，我拆完了之后，这就是二，那这里的 a 不 就是这里的 a 方不叫做手吗？那剩下的象不就是尾吗？剩下的象是谁呀？四 b 不 就是那个尾吗？ 所以这个 m 不 就是尾的平方吗？所以 m 咱们就可以求出来了，也就是，嗯， m 等于四 b 整体的平方，哎，求一下，不就是十六 b 方了吗？所以这道题直接锁定正确答案 d 选项。 这道题咱们有八成的同学都出错了，最主要的是不会拆中间项，我把中间项拆成二成首尾的形式，找到二拆出手，那剩下的部分就是尾。 还有一个易错点就是 m 是 啥？它不是尾，它是尾平方，因为首平方尾平方，它才能凑成完全平方式，所以它是十六比方。那这种题你现在学会了吗？ 那其实这类题型咱们是有技巧的，利用老师说的之一推一进行变形，咱们就可以轻松秒出答案了。下面咱们就来一起看看这道题。已知 x 平方减三， x 减一等于零，求它的值。这里面咱们要从完全平方公式的之一推一来说起， x 再加 x 分 之一的完全平方来利用完全平方公式展开，它不就是 x 平方加上 x 平方分之一，再加上二 a b 吗？你会发现 a 和 b 一 乘，它不就剩二了吗？ 所以你会发现，像这种有关于哎，两个数互为倒数的完全平方式，它就由两部分组成， 对不对？而这两部分已知一部分就可以推任外另外的一部分。所以这道题想要求 x 平方加 x 平方分之一的值，你只需要求什么就行了。哎，只需要求它的值就行了，那它的值怎么求啊？来看这个式子， 直接对它进行变形，我要分之一的形式，这里没有，那怎么办？两边同时除以 x， 他除以 x， 他 除以 x， 他 除以 x， 他 除以 x 来，那他不就变成了什么呢？我写在这， x 再减三，再减去 x 分 之一等于零的形式， 整理一下，就是 x 减 x 分 之一等于三的形式。哎，那有同学说了，这里是加法，这里是减法，能求吗？一样啊，因为如果这是减，那这不就变减了吗？ 所以它也是能求的，我们也就是求 x 加减 x 分 之一，任意一个都可以反推它的值， 直到它为三了，也就是它的平方。那它的平方不就是三的平方等于九吗？所以这里不就是九吗？ 所以 x 的 平方加上 x 的 平方分之一，就等于九加二，也就是十一了。正确答案直接选择 c 选项容易吗？

重庆巴蜀中学二十六届九上期末几何大题。