四川广安近几年中考真题

上个视频呢，我们讲了二零二五年成都市中考数学的最后一道压轴题，那个题目呢？如果你知道怎么把函数进行变化啊，稍微还简单一点，如果你不知道的话，你就需要去构造一个新的函数，然后分类讨论，稍微比较麻烦。 那么今天呢，我们来讲二零二五年广安市中考数学的四道题目。有些题目非常有意思，我们先来看第一道题， 他说如图，圆 o 是 三角形， abc 的 外接圆 bc 呢，是圆 o 的 直径，然后点 e， 在 bc 的 延长线上连接 a e， 角 a b e 等于角 c a e。 第一问，让我们求证 a e 是 圆 o 的 切线， 那关于切线的证明，我其实反复强调有两种情境下的一个证明啊，第一种情境下，也就是你不知道这个切线和这个圆有任何的焦点，就题目中没有告诉你，就是他们没有公共点。那么这时候呢， 你就过圆心做这个切线，他要你证明这个线，他的垂线。 过圆心做垂线之后呢，你证明这个垂线段和这个半径相等，这就可以了，这是第一种。第二种是我们知道这个线和这个圆有公共点啊，也就是切点，那我们只需要连接圆心和这个切点，然后证明垂直就可以了， 是不是？那这个题目呢？很明显，他知道了 abc 是 外接圆，对不对？那么 a 点肯定是在圆上，然后又说 a e， 那 说明 a 也是在那个切线上，那说明我们只需要连接 o e。 好，这时候呢，我们只需要证明什么呢？ o e 垂直 a e， 也就是说我们证明角 o a e 等于九十度，是不是？它是一个思路啊。 好，那怎么证明它等于九度呢？这种题目我们证明过很多次，是不是？那就把它拆开，我的思路是什么呢？ 思路，我把它写一下啊。思路是，你要证明角 o a e 等于九十度，那你就需要把 o a e 给它拆开，拆开成什么呢？角 o a c 加上角 c a e c a e 等于九十度，是不是？那么 o i c， 你 看啊，它这里面可以和很多角相等，你比如说啊，它可以和 o c a 相等，是不是？那我们看一下，我再写一下啊，它等于什么呢？等于角 o c a， 而角 c a e 呢？ c a e。 题目中告诉我们了哎，它和角 a、 b e 相等，是吧？那它等于角 a、 b e， 那 么 a b e 呢？我们又可以写成它等于什么呢？等于角 a b e b a o 是 不是角 b a o 来，那就证明出来了。你看啊，角 b a o 哎，这个角加这个角是不是九十度？因为点 a 在 圆周上，所以角 b a c 等于九十度，对不对？那么因为角 o a c 加上角 b a o 等于九十度，那么进而我们反过来推，对吧？所以能够证明角 o a c o a c 加上角 b a o， 它等于角 a b e a b e 又等于角 c a e 加角 c a e 等于九十度，对吧？说明垂直就证明出来了。所以我们怎么去一步步由题目来反推呢？这个就是思路啊，这就是思路啊。所以第一问比较简单，是不是属于砍瓜切菜是不是？ 好，那么第一问一定要注意啊，这种题目第一问一定是有价值的啊，一定是有价值的。他让你证明垂直，说明这个垂直是很有作用的啊，有作用的。 好，接下来我们看一下啊，第二本，第二本他说我们过 c 点做 cd 啊，垂直 a， e， 然后你看 o， a 是 不是垂直 a， e 啊？那这样子的话， o， a 是 不是平行 cd？ 那 这样子的话，你很明显就能够得到 o， a， e 和 c， d， e 相似，能不能用不知道，但是我先根据这个题目，立马能够得到这么一种情况，是吧？ 然后呢，他说若三角形 abc 的 面积是三角形 adc 面积的三倍， abc， abc 也是个直角三角形，那么 abc 也是个直角三角形， 然后又说了面积比，哎，面积比在初中阶段啊，你的第一思路应该是什么啊？它俩相似，是不是相似，对不对？那我们看一下吧，三角形 abc 和三角形 adc 相不相似啊？ 啊，你看角是对应的，是不是有一个直角是对应的，是不是啊？角 b， a， c 是 不是等于角 a， d， c， b， a， c 等于角 a， d， c 没有问题吧？然后角 c a， d， c a， d， c， a， d 不 就是 c， a， e 吗？ c e 是 不是等于 a b e 啊？ a， b e 也就是 a， b， c 嘛，对吧？等于角 a， b c a， d， c， b a 吧，我写成 c， b， a 吧，因为要对应边，对应边，是不是？那就角 c， b， a， c， b， a 等于角 c， b a d， 角 c， a， d， 这没有问题吧？一个是直角，一个是题目告诉我们的，那这样子的话，我们就能够得到什么呢？得到三角形 abc 和三角形 d， a， c， abc， d， a， c 是 相似的啊，相似的，相似的话，我们立马把那个对应边成比例来写出来，那就说 a， b 比上 a， d 等于 a， c 比上 c， d 等于 b， c 比上 a， c。 我 为什么要严格的要求大家一定要写对应边乘比例？因为这样子的话，你能够立刻把这个对应边的关系给它写出来，你如果写的很乱，你就写不出来了啊，那这样子的话，我们看一下啊，那么 ab 我 们不知道， ad 也不知道是不是 啊？那么这个长度，这个这个比例关系，我们是知道的，对不对？你看它的比例关系应该是什么？应该是等于根号下 s 三角形 a， b， c 比上 s 三角形 a d， c， 对 不对？因为相似三角形，它的相似比的平方啊，等于面积的之比，是不是？那这样子的话就能够算出来它的比值等于根号三， 那么这样子你看啊，我就能够推导出什么呢？你看啊，这样子的话， bc 是 不是等于根号三倍的 ac 啊？ 那么 ac 是 不是有等于根号三倍的 cd 啊？那这样子的话，它是不是推导出来 bc 就 等于三倍的 cd 啊？ bc 和 cd 的 关系 是不是？那有没有用呢？哎，有用，我们刚刚不是说了三角形 o a， e 和 o d， e 相似的，是不是？那就是说你 cd 肯定对应的 o a 嘛，然后你 bc 和 cd 的 关系又知道了，那么 bc 是 不是等于两倍的 o a， b c 等于两倍的 o a， 那 这样子的话，你看啊，那他 b c 等于两倍的 o a 就是 等于两倍的 o a， 对 吧？那这样子的话，我们 o a 除以 c d， 那么 o a 除以 c d 是 不是等于三比上二，对吧？那它就是对应边乘比例呗， o a 就 对应着 o e 是 不是？ c d 又对应着 c e 是不是？好，那你看，这里面 o e 我 不知道， c e 我 不知道，但是我知道什么？我知道 o e 等于 c e 加上 oc， 是 吧？那我先把 c e 算出来，那么 o e 的 话就等于 c e 加上 oc。 oc 场， oc 场又等于 o a 场 啊？ o a 场好， o a 场是不是？那么 c e 场就等于 c e 场，那这样子的话，它就等于一加上 o a。 不知道 除以 c e， c e 告诉我们是十二是不是？那这样子的话，我们算一下呗。那 o a 等于多少？ o a 等于，这个应该就是把它移过去，就二分之三减一等于二分之一，二分之一乘以十二等于六。 o a 等于六啊，那么 a 一 乘等于多少？ a 一 乘应该等于根号下六的平方加上 o e 的 平啊，不是减去啊，写错了， o e 的 平方， o e 的 平方就是六，加上十二十八的平方， 减去 o a 的 平方，六的平方，是不是？那我们算简单算一下啊，那它其实就是这个是六的几倍，六的一倍，两倍，总共是三倍，这是六的三乘以六，这个是一乘以六，那这个应该就是， 嗯，二倍根号二乘以六，对不对？所以答案就应该是十二倍的根号二， 有没有问题？没有问题，这题目很简单啊，属于砍瓜切菜啊，我只是把这个整个流程给你写出来。非常简单啊，难度系数哎，一颗星哈，比较简单啊。好，这是第一题，第二题。 第二题呢？他说在三角形 a、 b， c 中，按照以下步骤作图，尺规作图，是今年常考的一类题型，应该说每年都会考，而且他考的形式多样啊，越来越多样。 他说以点 a 为圆心，然后 ac 的 长为半径画弧啊，交 bc 于 d 点，那这样子的话，我们连接 ad， 那 很明显是要连接吧？连接 ad 的 话，我们能够立刻得到什么呢？ ad 等于 ac 等于半径长嘛，是不是？那么 ad 等于 ac， 说明它是个等腰三角形啊。 然后呢，它分别以 c、 d 为圆心大于二分之一， c、 d 的 长为半径，画弧交于 f 点，那说明什么？说明我们连接 d、 f， 嗯，连接 c、 f， 好， 那它俩也是相等的啊。然后呢，又说明 a、 d、 a、 c、 d、 f 等于 c、 f， 然后你看啊，那这说明很明显 a、 f 等于 a、 f 嘛，对吧？这个题目已经把这么明显的条件告诉我们了，根据什么呢？ 根据 s、 s、 s 能说明三角形 a、 d、 f 全等于三角形 a、 c、 f， 对 吧？ a、 d、 f 和 a、 c、 f 是 全等的，那么全等的话，意味着什么？意味着这个角等于这个角， 对吧？那么这两个角相等的话，又因为 a、 d、 c 是 个等腰三角形，说明这是垂直的，那么 e 也是中点， e 是 c、 d 的 中点，对吧？好，这是题目已知告诉我们的条件，我们推导出的一些结论。然后呢，他说我们 呃，画射线 a、 f 啊，好，交 bc 于 e 点，然后呢，若角 c 等于两倍的角 b， 角 c 等于两倍角 b， 那 么它是等腰三角形，那么角 c 肯定等于两倍的这个角，对吧？也就说角 a、 d、 c， 它其实等于两倍的角 b， 对 吧？好的，角 a、 d、 c 是 不是等于角 b 加上这个这个角啊， 对吧？比如说这是角阿尔法的话，它其实等于角 b 加上角阿尔法，没有问题吧？那这样其实我们能推出什么呢？角 b 等于角阿尔法，那它俩相等的话，说明什么？说明 a、 d 等于 b、 d 是 不是？那等于多少？题目中告诉我们了啊？等于十三， 好，然后呢， bc 长是二十三， bc 长二十三，那么 b、 d 长呢？是十三，说明 c、 d 长 c、 d 长就等于 bc 长，哎，减去 bc 长 就等于二十三，哎，减去 bc 长是十三，就等于十，所以 bc 长是十， 他让我们求 a 一 场，对吧？那么 a 一 场等于多少呢？ a 一 场，我在直角三角形里面，是不是 a、 d 的 平方减去 d、 e 的 平方， 那么 a、 d 的 平方是不是等于十三啊？那 a、 d 的 a、 d 长度等于十三， a、 d 的 平方等于十三，平方减去 d、 e 呢？ d、 c 长是十，那么 d、 e 长呢？所以 d、 e 就 等于二分之一倍的 cd 就 等于五， 所以就是减去五的平方。那这个是一组非常经典的勾股数，五十二之三，是不是？所以它应该就等于十二。 所以这题目呢，等于十二也比较简单。所以广安市今年的题目都不难啊！都不难，但是呢，有一个题目非常精彩，非常有意思，待会我会跟你们讲。所以这两道题 都不难，但是呢，他在整个试卷里面，他的位置是偏厚的，所以呢，他还是说整套试卷都不是，都不是特别难，并不是说这个题目就不难，后面一定有难题啊。好，我们再来看第三个 第三道题啊，这个题目很精彩，很有意思啊，待会给你们讲一下啊！他说已知三角形的面积是 e 啊，题干就是这个。然后第一问，如图一，若 d、 e 分 别是 bc 和 ac 的 中点， ad 呢？和 be 相交于 f 点，则四边形 c、 d、 e、 f， 它的面积是多少？ 这题目如果你没上过初中，你上的是小学啊，这题目你可能做起来比较快啊。我告诉你初中的解法是什么，初中的解法肯定是相似三角形。因为 a、 b、 d， 因为 d 是 终点吗？ e 是 终点吗？所以我如果连接 d、 e， 我 如果连接 d、 e 的 话啊，这里面会把这个三角形 d、 c、 e、 f 啊， d， c、 e、 f 给它划分成两个三角形。哪两个三角形啊？比如说这个三角形是 s、 e， 这个三角形是 s、 r， 那么 s 一 它比较简单，因为 c、 d 是 c b 的 一半， c、 e 是 c a 的 一半，所以 s 一 的面积是 s， 三角形 abc 面积的四分之一，是吧？所以它等于四分之一乘以 s， 三角形 abc， 它等于多少？它等于四分之一，是吧？那关键是求 s 二，求 s 二， s 二怎么求呢？ s 二你看啊，呃，你看啊， 他两个是不是就是 d， e 和 ab 是 不是平行的？是不是平行的话，那么根据平行线分线段成比例是不是？所以三角形 d、 e、 f 和三角形 abf 是 不是相似的？ 这两三根相似应该能得到吧？好，相似的话，那么 d、 e 比上 ab， 你 看 d， e 比上 ab， 它是不是应该等于 ef？ 比上 b， f 是 不等于 d， f 比上 af？ 这里面其实有一个结论很重要啊，那 d、 e 比上 ab 呢？是不是等于一比二？ 哎，这里面有个结论。结论？什么结论呢？就是在三角形里面，你现在 d、 e 不是 中点吗？ 那么这个 f 点是什么星啊？叫重星，是不是那么重星平分中线，这个 a、 d 不是 中线吗？平分中线，它的关系是多少呢？是一比上二，一比二，也就是说你看这里面的呃， f、 d 和 fa， 它比例是不是一比二，所以这个结论非常重要，这结论非常重要，这是第一个我们要知道的一个结论啊。那么第二个呢？其实还有个结论是什么呢？叫中线定律，我给你们写一下吧，中线定律？ 他说的是什么呢？说的是 ab 的 平方加上 ac 的 平方，等于两倍的 a、 d 的 平方加上 b、 d 的 平方啊，这个叫中线定律啊。这个东西呢，你不需要， 你最好能记住，如果记不住就拉倒啊，就拉倒，到你们高中时候会经常用到，用余弦定律就能够证明啊，其实你现在也可以证明啊，只要做垂线就可以了。好，这是第一个。那我们再来看啊，这个 s 二怎么求呢？那么 s 二它的面积是不是应该也等于 应该也等于四分之一倍的 s？ 三角形 a、 b、 f 对 不对？它等于四分之一倍的三角形 a、 b、 f， 对 吧？那 a、 b、 f 怎么求呢？ a、 b、 f 怎么求呢？你看啊，我们刚刚是不是算出来 b f、 b f 是 e f 的 多少两倍？ b f 是 e、 f 的 两倍，对不对？所以你看 s 那 型 a、 b、 f， 它是不是等于？ 它是不是等于三角形 a、 f、 e 的 两倍？它面积也是两倍，因为同底嘛。啊，不是因为等高嘛，同底嘛， 等高等高底不一样，它底是两倍，等高，所以它面积也是两倍。所以三角形 a、 b、 f， 你 看啊，三角形 a、 b、 f， 它的面积是不是等于三分之二倍的 a、 b、 e 啊？ a、 b、 e 有 没有问题？没有问题。那么 a、 b、 e 的 话，是不是等于二分之一倍的三角形 abc， 对 吧？它又等于四分之一乘以三分之二，乘以二分之一倍的 s 三角形 abc 是不是？那 abc 是 不等于一啊？所以这样这个题目就可以化解了啊，那这个题目就是变成一没有了，就是十二分之一， 对吧？好，那么两个加呢？ s 一 加上 s 二呢？就等于四分之一，加上十二分之一 等于多少？十二分之三加一四四除以十二三分之一。所以这个题目呢，第一问就是三分之一，但这个题目方法有很多， 这个是初中的方法哎，用相似的也行，但如果你上了小学，这题目就很简单，很简单，我给你们写一下啊， 如果你们上过小学，在小学里面做的话，可能会更简单啊，可能会更简单。我刚刚是连接 d e 是 不是？ d e 是 不是？好，那我现在我连接 cf， 连接 cf 之后，这个题目就简单喽。你看啊， 这题目很多啊，除了我现在讲的方法之外，还有一个方法待会再稍微提一下啊。那么连 c、 f 的 话，我还是把它分成两个三角形吧。那就就是 s 一 s 二 好，分成两个三角形，那么分成两个三角形的话，你看啊，呃， e 是 中点对不对？ e 是 中点对不对？ e 是 a， c 中点，所以这个面积是也是 s 二， 理解吧。好，那么这样，这样子的话，同理，这个面积是不是 s 一 对不对？好，你看啊，那这样子的话， 那这样子的话，你看啊。三角形，三角形 b， e， c， 它是不是等于 二分之一？ b， e， c 等于整个三角形面积的一半等于二分之一，它等于什么呢？它等于两倍的 s 一， 加上 s 二等于二分之一，是不是好？三角形 a， d， c， 它是不是等于 两倍的 s 二加上 s 一 等于二分之一，然后怎么办？然后这是一式，这是二式，一式加二式，两个一加就变成什么？三倍的 s 一 加上 s 二等于什么？一 s 一 加 s 二等于多少？三分零 用不得。用到相似三角形用不到。用不到相似三角形啊，用不到相似三角形，是不是很简单很简单啊？好，我们再来看一个题目，再来看一个啊，再看什么呢？再看一个方法。 叫什么方法呢？你们初你们小学竞赛阶段有没有学过一个东西叫燕尾模型？燕尾模型有没有学过简单提一下啊？ 简单提一下，你比如说，嗯，燕尾模型意思是什么呢？也就是说 三角形 s， 三角形 a、 f、 c， 它的面积比上 s， 三角形 b、 f、 c， 它的面积应该等于什么呢？我们把这个延长。呃，我重新画一下啊。 比如说这是 h 点，它等于什么呢？ a、 f、 c 的 面积比上 b、 f、 c， 它的面积应该等于什么呢？等于 a、 h 的 面积， a、 h 的 长度比上 b、 h 的 长度 啊，这叫燕尾模型。那怎么正呢？比较比较简单啊，你看 afc 和 bfc 啊，它俩就它俩的面积，这比其实就是高，这比对吧？也就是说过 a 点做 hc， 它的高和做 b 点 到 h、 c， 它的高高之比，那么高之比的话，其实就相当于下面两个三角形的面积之比，对不对？那么它俩，它俩，它俩的面积的话，是不是就 它俩面积之比对不对？因为你可以把它都看成看成 h、 f、 h、 f 为底，然后相同的高嘛？它俩面积之比 是不是？那他俩面积之比的话，你也可以做 f， 做 ab 的 一个高，对吧？那这样子的话就相当于，呃，相当于你用两个底在一个等高去比。 我这样讲，不知道你能不能理解啊？一个是用同底去算，一个是用等高去算啊，那么它就是 a h 比上 b h， 那 这样子的话，其实 a f c 和 b f c 它俩的面积是不是相等的？等于一吗？ 等于一吗？那么它俩面积相等的话，那这个这个面积和这个面积是相等的，这个面积和这个面积是相等的，对不对？那同样道理啊，同样道理。 呃，这个面积和这个面积相等的，那同样道理。那么这一块和这一块还有这一块 是不是都一样大？也就是说这个阴影部分面积实际上是整个面积的三分之一，所以就口算就能算出来啊，口算就能算出来，就是你不需要再去。呃，再去什么写东西啊，口算就能够算出来。 好，这个叫燕尾模型。那这个东西呢？嗯，它是小学数学竞赛里面的一个知识点，你可以知道也可以不知道，感兴趣的话，感兴趣的话可以去搜一下啊，燕尾模型，这个比较简单啊，所以我就不再说了， 只提一下啊。好，我们再来看这道题目。第二问。第二问呢？他说是这样啊，他说 m n 分 别是边 b c 和 a c 上距离 c 点最近的六等分点。他说， 他说什么呢？他说，呃， am 与 b n 相交于 g 点，则四边形 cm g n cm g n， 它的面积是什么？ 这题目呢，其实也可以用同样的方法啊。什么方法呢？你可以连接 m n， 那 就是各种各样的相似算式，但是我不建议这样做。我建议什么呢？我建议连接 c n， 连接 c g。 好， 你连接 c g 的 话，我同样把它分成 s 一 和 s 二，上面， 上面呢是 s 一，下面呢是 s 二， 然后怎么办呢？然后还是按照我们刚刚那个思路来说啊？你看，你看， s 一， 你看 s， 三角形 bnc， bnc， 它肯定是六分之一的面积，对吧？因为底是六分之一嘛，那么高等高，对吧？所以它就是等于六分之一， 对不对？它等于六。那么这它其实等于什么呢？它等于 s 一， 加上 s 二，再加上 s。 三角形 b g m， b g m， 那 这个三角形的面积是不是 s 二面积的六倍啊？五倍，五倍， s 二面积的五倍。你看，等于 s， 三角形 b g m， 而 b g m 这个面积，它因为和三角形 s 二是等高的，那么它的底是 m c 的 六。哦，五倍，五倍，所以它应该是五倍的， 它应该是五倍的 s 二，有没有问题？没有问题。那么同样道理， s 三角形，这是 bnc， 是 不是？那三角形 a m c 呢？ a m c 也等于六分之一，对不对？它等于什么呢？它等于 s 一， 加上 s 二，再加上 s。 三角形 a g n， a g n， 那 么 a g n， 它的面积是多少？同样的，它是不是三角形 g n c 面积的 五倍？五倍，因为是同底，因为是等高等高，那个底是它的五倍嘛？所以它应该是五倍的 s 二和五倍的 s 一。 那这样子的话，我们化简一下呗，是吧？那就是 s 一 加上七倍的 s 二，就是 s 一 加上七倍的 s 二，等于多少？等于六分之一。然后呢？哎， 六倍的 s 二，写错了啊， s 一 加上六倍的 s 二 等于六分之一，然后 s 二加上六倍的 s 一 等于多少？六分之一哦，一是和二是怎么办？两个一加，两个一加的话，那就是变成了七倍的 s 一 加上 s 二等于六分之一乘以二三分之一，是不是？那这样就算出来了， s 一 加上 s 二等于多少？二十一分之一，二十一分之一。所以这个题目答案就是二十一分之一。 方法有很多啊，不只是我刚刚这个方法，其实我前面他二等分点，那所有的方法在这个六等分点里面都可以用，都可以用，所以这题目呢，难不难？其实很有技巧性，我告我告诉你们啊，这个题目其实是以前呃，日本当地的 一个小学生的竞赛题啊，然后呢？不过他那个数据不是一，我记得没错，应该是十还是几？我忘了，应该是十，那其他都一样，也是六的问题。 然后呢，好像美国当年也出过一道小学生的计算题，也是一道竞赛题，也是一个类似于这样的题目。一模一样啊，一模一样，但他用的那个是燕尾模型比较多一点，这个题目燕尾模型也可以做，完全可以做，没有任何问题，没有任何问题。好， 那我们再来看最后一道题啊，我们已经讲了一百道题了啊，好，我们再来看一下啊， 题目呢，是这样子，他说如图，二次函数 y 等于三分之一， x 平方加 b， x 加 c 的 图像。啊，是这样子的，然后呢，他交呃， x 轴， ab 交 y 轴于 c 点，告诉我们 b 点坐标是九零， c 点坐标是零负三， 那这样子，这个二次函数我们就可以算出来了，因为它有两个未知数，有两个方程是零负三，那我们把大家算一下吧。 好，第一个把九零带进去，九平方八十一除以三二七二七，再加上九 b 加上 c 等于零，把零负三带进去，那就是零零， c 等于负三，是吧？ 好，那这样子的话，我们就能够算出来， c 等于负三， b 呢？ c 等于负三，那这个就是二十四，那么 b 呢？就等于 负九分之二十四，那就是负三分之八。好，那这样子我们方程就变成了 y 等于三分之一倍的 x 平方，减三分之八，减三。 好，那我们把它整理一下吧，那就等于三分之一倍的，这就是 x 平方减八，就是 x 减四的平方， 那就是加上三分之十六，减三分之十六，减三分之九十六，加九二十五，就减去三分之二十五， 是不是？好，那这个函数图像呢？我先把它标一下，那这个东西呢？就是 y 等于三分之一倍的 x 减四的平方，减 这个三分之二十五。好，这第一问，第二问，第二问。他说如果 p 是 抛物线上的一个动点， p 在 运动连接 p c， 当角 p c b 等于角 o b c 的 时候，这个角等于这个角，那太简单了是不是？这两个角相等的话，那说明什么？说明 p c 平行 ab， 是 不是，对吧？那说明 p c 平行 ab， 那么 ab 是 x 轴嘛？那说明 pc 也平行 x 轴，那说明什么啊？说明 y p 就 等于 y c， 而且 x p 加上 x c 除以二等于坐标轴， 是不是？那太简单了，那我就口算，你也算出来了，那 c 点的作用坐标是多少？ c 点作用标是负三啊，所以 y p 等于负三，那么这个坐标轴呢？是这个嘛？坐标轴是 x 等于四，对不对？那就是 四乘以二，再减去 c 点坐标，那么 x p 就 等于八，减零就等于八，所以 p 点坐标口算就算出来了，是不是？ p 点坐标就是八负三，你看是不是很简单？八负三啊， pcb， pcb 这两个是内错角嘛？啊，比较简单，题目已经告诉你了。好，这是第二本，那么看第三本， 第三问，第三问，他说我们将抛物线沿着 c a 的 方向平移二倍，根号十这个单位， 那这样子的话，我们先看一下 c a 这个方向，那么 c a 长度是多少？算一下呗。 c a 长度就等于啊， o a 长度， o a 长度就是 a 点的横坐标的绝对值。 a 的 横坐标是多少 啊？还不知道，是吧？那么去看一下啊，那么它对称轴是等于多少？对称轴是 x 等于四，对吧？我们口算一下，对称轴 x 等于四， b 点坐标是多少？ b 点坐标告诉我们了，是九，那就是四乘以二减九，是吧？那就是八减九负一，所以 a 点坐标， a 点坐标是多少？ 负一零，是不是啊？口算就算出来了啊。所以 c a 长度就等于 o a 的 平方，就是一的平方，加上 o c 的 平方， o c 的 平方就是三的平方，它负三平方，也就是九，是吧？等于刚好十。哦，他说便宜两倍，刚好十，那说明什么？ 那说明就是平移向上平移两倍的 o c， 向左平移两倍的 o a， 这个长度是不是？好，那你看啊，这平移那就简简单了嘛，对吧？那向上平移两倍的 o c 就 向上平移几个单位，平移六个单位， 那，那平移一步，哎，第一步，那就是 y 一 呗，等于三分之一倍的 x 减四的平方 向上平移六个单位，那就是加六，对吧？减去三分之二十五，加上三分之十八，咱们十八是六吗？那就是减三分之七。 这第一个，那么还有呢？它向左平移，就向上平移六个单位六，再向左平移多少？向左平移 o a， o a 是 是负一，那向左平移二，对吧？向左平移二，那左加右减， 那么 y 二就等于多少呢？就等于三分之一倍的加嘛？ x 减四加二，对吧？那就是 x 减二的平方减三分之七，所以这个就是最终的，最终的那个抛物线啊，最终那个抛物线，那这个抛物线我们得画一下。为什么？因为它， 他说这个点 e 在 新抛物线上点 f， 是 原抛物线对称轴上的一点。那我们先把 f 给大家大概定位一下啊，对称轴是 x 等于四嘛？那这个等于四是吧？ 好，这个长度 x 等于四，然后他说要你肯定要确定这个， 肯定要确定这个，这个函数图像，对吧？然后呢，你大概你大概要确定一个， 嗯，这个 e 的 一个范围，那这样子的话，我们先给他画一下呗，因为这个 y 二这个函数就是新的抛物线，他对这种是多少？这种是二，你现在这种是四，那就说我在左边再画一半，差不多了，是不是一半？ 好，这是新的对称轴啊，那么再减去三分之七，那 c 点坐标是多少？是 零负三，负三肯定比三分之七要负三肯定小于负三分之七，说明 c 点在下面，下面一点点说明呢？说明这个新的抛物线，它应该是在顶点啊，在 c 点的上方，是吧？ 在 c 点上方，那就应该差不多是这样，差不多是， 哎呀，不好看，换一个。 差不多是 这样，是不是差不多是这样啊，差不多是这样的话，我们把它给这些辅助线，把它删了啊，哎，不对，这个不能删，这个删了，这个删了， 方便我们好理解吗？是吧？好，那这个呢？就是新的这个呢？就是 y 二，它等于三分之一倍的 x 减二的平方减去三分之七。好，你再来看啊， 然后他说 b c、 e f 为顶点，它是个平行四边形，那有一个问题就知道了，你 b c、 e f， 它没说，按照顺序来吧，也就说你比如说 b c 话 b c 这个长度，你不知道它是顶点啊，你不知道它是四边形的边还是 对角线，是不是？这个要注意啊，这个要注意。你就说你不知道它是边还是对角线，这个需要注意，就是容易出错啊，你比如说我举个例子，假如说 f 点在这个位置，我也不知道 f 点在什么，在什么位置啊？我 f 点在 b c 下面， f 点在 b c 下面，我请问 b c 它是边还是对角线？ bc 如果是边的话，那么 e 在 什么地方，那么 bc 是 边，那么 bf 和 cf 肯定是对角线，是不是？ bc 是 边吗？ bc 是 边，那么 bf 和 cf 至少有一个，至少有一个是对角线， 是不是？我这样讲啊，应该对的啊， bc 是 边的话，如果 cf 再是边 啊，那么 bf 一定是对对角线，是不是？那这样子的话，这个 e 点应该在右下侧，那这样子的话， e 点它不可能在这个对称轴，在这个 y 等于三分之一， x 减二的平方减三分之七，这个新的抛物线上，那说明什么？那说明这种情况的话， bc 一定不是边， 一定是对角线， b， c 是 对角线，那么 e、 f 肯定也是对角线， e、 f 肯定是对角线， b c 是 对角线，是不是？那就这样子呗。那就连一下， 连一下，那大概是这种情况， 我这个画的肯定是不标准的啊，这大概是一点，大概是一点，大概是这种情况，对不对？那么 比如说我把它对角线连一下，那么 e f 就是 对角线，比如说交于 h 点，交于 h 点，那我不知道 f 点的纵坐标是不是？那我设呗，我设 设 f 的 坐标是什么呢？横坐标我知道，是圆坐标的对称轴，那么就是四，那么纵坐标我不知道，我设它为 t， 可以 吧？设它为 t 的 话，你看啊， bc， 那 么 h 点坐标我们是能算出来的，你看啊， h 点坐标是 bc 的 中点，对不对？ b 点坐标知道了， c 点坐标是不是已经已经知道了 啊？ b 点坐标是多少？是九零， c 点坐标是零负三，那 h 点坐标是多少？是二分之九负二分之三， 是不是？好，那么 e f 呢？啊？我 f 点的横坐标是不是知道了？ f 点横坐标知道了，那说明 e 点的横坐标是不是也知道了？ e 点的横坐标， e 点的横坐标它是不是？呃，二分之九乘以二减去 f 点， 是不是？那就是九，减去四等于五等于五，说明它就是五，那么五的话，求纵坐标呗，对吧？那纵坐标呢？就是 那五就带带带进去呗，对吧？五带到这里面来不就可以了吗？因为 f 点是动点吗？这个 t 是 可以任意变换的，你不要被 t 给局限住了。所以把五到这里面，那就说三分之一乘以， 呃，一，再减去三分之二十五就是负，三分之一减二十四，负负八，是不是那一点？这边就是负八，五负八啊，这是可能的啊。这第一种情况， 那么有没有其他情况呢？有吗？我现在 e 点，我现在 f 点是在是在下面 啊？我 f 点在 b c 的 下面，对不对？五负八，五负八行不行？ 嘿，不对啊，我算错了，这个不是五负吧，因为这个新新的不是五负吧？啊？新的，哎呀，我掉到这这里面算了，五 五的话，就是三分之一乘以五减二三三的平方九，再减去三分之七，对吧？就是三分之二，哎，五三分之二 啊，五三分之二，这才对啊。因为我刚刚看了一下这个 g 点啊，它应该是正的啊，总的它应该是正的，五的带带进去就是五减二三九九除以三三三减三分之七，三分之七，三分之二。对的啊，所以一点坐标是一个是三分之七，呃，五，三分之五，三分之二， 这是第一种情况，那么第二种情况是什么呢？第二种情况，也就是说我 f 点，它在 bc 的 上方， f 点在 b c 的 上法，如果 f 点在 b c 的 上法，我请问 b c 应该是边还是对角线？ b c 应该是边还是对角线？ 如果 b c 是 对角线的话，那么 c f 和 b f 至少有一个是对角线。 如果 bc， 如果 bc 是 对角线的话， bc 是 对角线的话，那么 c f 它有可能是边，如果是 c f 的 边的话，那么 e 点应该在下方， 应该在 bc 的 下方，所以这种情况是不可能的，就是 bc 就是 cf， 它有可能是。呃，对角线。如果，如果 cf 是 对角线， bc 又是对角线的话， 那也不可能，那也不可能。 bc 是 对角线的话， bc 对 角线。你看啊，一个平行四边形， 如果是对角线的话，那么另外两个点应该关于对角线在两边是不是？如果 bc 是 对角线，那么 e 点应该是在 bc 下面，是不是 说明说明一点？说明一点它不可能在 b c 下面的啊？因为一点它不可能在 b c 下面嘛。一点不可能在 b c 下面。 那这样子我还得确认一下啊，还得确认一下。一点可不可能在被子下面啊？有可能再确认一下啊，你要确认一下的啊。呃， b、 c 的 方程是多少？ 算算 k 吧。 k 等于零减三，除以九减零等于三分之一，那么 y 呢？就等于 y 减九，三分之 y 减零， y 减零等于三分之一， b 的 x 减九等于三分之一 x 减三，是吧？所以 b、 c 的 方程是这样， 那么新的方程跟它有没有交点啊？算一下啊，就是它俩跟它有没有交点啊？ 三分之一倍的 x 平方再减去四， x 减三分之四， x 再加上三分之四， 加上三分之四减三分之七，就减一。 减一，它等于三分之一倍的 x 减三。 是不是？那化简一下，也就是三分之一倍的 x 平方把它挪过来就是三分之五减三分之五倍的 x 把它挪过来就是加二。 那么 b 平方减 c， c 就是 九分之二十五减四， a， c 减去三分之八， b 平方减四， a， c 是大于零的，是不是大于零的 b 平方九分之二十五减四， a、 c 四乘以三分之二，三分之八等于九分之二十五，减去 二十四、九分之一，那说明它是能够解出来的啊，说明它有两个解，有两个解，那有两个解的话，这样子我们还得再判断一下，那么那么 bc 长， 那么这个抛物线有可能在下方，有可能在下方，下方的话，那我我们这样子，我们射，如果， 如果 e 点，如果 b、 c 是 对称，是是是那个 是那个对角线，如果 b、 c 是 对角线的话，那么 h 点还是这种情况，你看，那么 b、 c 是 对角线，那么 h 呢？还是这种情况 啊，那说明还算不出来，你看，你看 h 点， h 点跟这种情况是一样的。 b、 c 是 对角线的话， b、 c 是 对角线，那么 e 点它的 横坐标一定是确定的，一定是五，所以这种情况，虽然它抛物线和 bc 有 交点，有交点，但是一点坐标是确确定的，只要 bc 是 对角线，一点坐标都是确定的，这第一个对吧？好，那么再来看一下 bc 是 边的情况， bc 是 边的情况的话，那就是这样，它就是 bc 是 边， 那就是 cf， 或者是，那就是 cf， 或者是 bf 是 对角线，那比如说，那就可能是这样啊，可能是这样， 可能是这样，我这个画的不够准啊，但是作为一个矢意图，我们来解释一下就好了， 比如说这个点是新的，新的 h 算 t 吧？算 t， t 点这个时候 是是那个对角线的一个焦点，那这时候，呃，你看啊， t 的 横坐标是不是就能算出来了？ t 的 横坐标是不是能算出来？也就说是 c f， 它来加除以二，那么就是四，除以二等于二，是不是那么一点的横坐标是不是也知道了， 对吧？一点的横坐标，也就说是四减去 b 的 横坐标， b 的 横坐标是九四减九负五， 是不是？ e 的 横坐标是负，负的话，那再带到这这里面，因为因为 t 的 坐标我们先不用管它也行，不用管它也行，那就把 e 的 横坐标带到这个方程里面，那负五的话， 它俩一加是四，四减去 b 点坐标是九，负，对的啊，负五减二就是负七，平方四十九，三分之四十九减七，四十二，三分之四十二， 那就是十四等于十四，对吧？负五十四 是不是负五吗？负五减二等于负七，负七的平方四十九，四十九，除以三，三分之四十九，减去三分之七，三分之四十二，也就十四呗， 十四。那么这样子的话，你可以把这个 t 点坐标就能算算出来了。 t 点的坐标也就是 e 点， e 和 b， e 和 b， b 的 就零，是吧？你就是十四除以二等于七，是不是？ t 点坐标是七，那么 f 点坐标是能够算出来的啊，这时候的 f 点坐标应该是四，然后十四减去 c 点，十四减 c 是 七，所以呢， 所以这时候的 f 点坐标应该是四十七、四十七。 好，那就是两个点坐标，一个是五三分之二，一个是负十四，都可以，他都是平行四边形， 因为他没有告诉你，他只说 b、 c、 e、 f 为顶点，他没有说这个 b、 c 到底是对角线还是边。所以这个题目呢，稍微有一点点难度，但是计算上很简单啊，计算上很简单，非常简单，就讨论一下这个 b、 c 到底是边还是对角线就可以了。然后需要注意的是，你需要把这个新的 哎，新的抛物线给它写出来。哎，新的抛物线写出来。好，那么今天呢，我们就讲了一下广安市二零二五年中考的试卷，总体上来说不难。这道试卷不难，这个题目很有技巧性。嗯， 很有技巧性，但是也不难啊。但是你们需要知道一个结论啊，就是中线分啊，就那个重，那个重心分中线， 他的比例是一比二啊。这个东西一定要记住，因为等你们上了高中之后，这个结论特别重要啊，特别重要。还包括我们前面刚刚讲那个中线定律啊，就是 ab 平方、 ac 平方、 b d 平方、 ad 平方，这个关系式也需要记住，到高中之后特别容易考到 好。这个呢，也比较简单啊，这个也比较简单，所以总体上来说这套试卷不太难。好，那么如果你觉得不错的话，可以把这个视频分享给你的朋友，如果家长觉得不错的话，可以分享给你的孩子，那我们下个视频再见。拜拜。

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