西城初二几何答案

每日题日复一日，必有精进。大家好，那今天继续看一下几何综合的题目，那么这道题是二六年，就是今年西城初二上期末的第二十四题。 那首先来看一下题目条件，那么 a b c 里面 a c b 等于 b c， 然后角 a c b 等于九十度，就是个等腰直角三角形，然后射线 a、 d 与边 b c 交于点 d。 第一位要求补全图形，我们把补全的图形放在了这个原图的右边，那么角 b a、 d 是 等于 r 发的， 点 e 与点 b 关于直线 a、 d 对 称线段 b e 与射线 a d 交于点 h， 点 f 是 在线段 a h 上， 而且 bef 等于四十五度，那么也就是这个 bef 也是一个等腰直角三角形。首先是补全图形，要求一下 abf 这个角的度数，那么 这里面如果我们用一下 abf 和 aef 全等，就可以很容易发现这个 abf 是 一百三十五度，然后这个角 abf 就是 四十五减二八。 那接下来来看一下它的第二个连接， a e m 是 a e 的 终点，连接 c m 和 fm。 要探求线段 c m 和 fm 的 数量关系和位置关系，并证明结论。 那这个既然有数量和位置关系，位置关系一般也就是平行或者垂直，那他这个位置肯定就是垂直，数量关系一般是一倍或者是二倍或者是相等之类的，那这个位置肯定就是相等，那就是 c m 等于 fmcm 垂直于 m。 接着要证明一下这个结论，其实我们要证明这个 c m 等于 m f 和 c m 垂直于 m f， 它就是要证明它是一个等，这个 c m、 f 是 一个等腰直角三角形， 那么证明方法有两种，一种呢是直接证它是一个等腰直角三角形，另外一种呢，我们就分别证一下 c、 m 垂直于 m、 f， 把它当成两个证明来证。 那么这里面我们去重新梳理它的条件，就会发现里面的等腰直角三角形非常的多，还有对称点还有中点，所以条件的个数非常的多， 那条件个数非常多的情况下，就比较希望可以借用一下一些模型之类的内容，能够把大部分条件放在一块，因为条件多的时候，我们就很难进行分析。 那么如果 c、 m、 f 是 一个等腰值，因为我们所有的模型里面手拉手呢，能够一口气用到的条件是非常明显的，比大部分的模型要多一点呢，这里面有非常多的等腰值，所以我们会想要去凑一下手拉手， 然后 a、 b， c 和 f、 b， e 都是等腰直角三角形，但是它们两个共的顶点是底角的部分，那可以正一个旋转相似，但是相似我们初二也没有学。 所以呢，如果我们把它的结论就是 c、 m、 f 是 一个直角三角形，把它当成条件来理解的话，就会发现我们去构建的手拉手，就是把 m、 f， m 延长一下，构建一个等腰直角三角形，这样的构建出来手拉手 之后呢，只要证明拉手三角形全等，就可以反过来证明我们拉的这个三角形是一个等腰直角三角形， 那我们现在来补全一下它的图啊，那如果是 abc 和这个 cif， 它们进行一下手拉手， 我们把这两个等腰直角三角形的补全，然后再把拉手线给它拉上，那么就应该要正的是 a c i 这个三角形和 fbc 这个三角形全等。 那么构建完之后还会发现，如果我们是想要构建的是等腰直角三角形的话，这个 f m 应该是等于 m i 的， 而 m 是 一个中点，那我们就可以用到一个倍长中线， 也就是说 f m 等于 mi， 再连接 ci， 那 么这个 a m i 这个三角形和 emf 这个三角形应该是相等的，那我们要证明的是 a c i 这个三角形和呃 和这个 f c b 这个三角形，它应该是全等的啊，那么我们得到这个全等的话，能够得到 a i， 它应该是要等于这个 e f 的， 而 b e f 又是一个等腰直角三角形，那这个 b f 它就应该等于 ai， 那 么我们就得到了它里面的第一个边的条件，就是 ai 是 等于 b f， 那 么还有一个条件是比较明显的，就是 a c 等于 bc， 这是两个边相等，那我们要证的全等，这个剩下的条件就非常明确了，因为我们应该是拿不太到这个 c i 等于 cf 的， 因为 c i 等于 cf 的， 我们就直接可能能证明他这个等效值了， 所以我们大概率剩下的这个条件就是 iac 等于角 fbc， 那 么呃，我们就可以用 r 发来导一下角，分别导一下 iac 和 fbc， 他 分别用 r 发，应该怎么表示？如果要是相等，那他们就是相等的， 那我们接着导一下角，那根据我们第一问得出来的结论，这个 abf 等于四十五减 r 发， abc 是 四十五，那么这个角 dbc 它就等于 r 发， 然后我们这个 a b f 和 e f 它们应该是对称的，所以这个 e a f 也是 r 发，那么角 c a m 就是 四十五减二 r 发，那我们现在还需要再求一下 i a c 那 么主要就是要用 i a m 减去角 c a m， 那 么 i a m 我 们刚才背长中线的时候， a m 它应该是要等于 m e f 的， 而这个 m e f 的 话，实际上就是 a e f， 它就等于的是角 abf， 因为 a e f 和 abf 它也是全等的。那么如果我们知道 a e f 也等于四十五减 r 发的时候就非常容易求出角 c a i 应该等于 r 发，那么就可以证明这个 a c i 和 b c f 是 全等的，那么 c i 就 等于 c f 呃，角 i c a 就 等于角 f c b， 那 么角 i c f 和角 a c b 就 也都等于九十度。记得点赞关注哦！

西城区初二期末的新定义压轴题，有不少同学和这个家长呢，也想让我讲一讲啊，那今天呢，抽空呢给大家来说一下 实事求是的讲呢，西城区的这道题目，其实啊，如果你把握住了新定义的解析核心啊，并不算特别的困难，那么这道题目呢，我们也会给大家呈现一下，就是先不要去看这些问题是什么啊， 先看清楚，这是一个非常经典的点类性定义，叫什么 l 杠 r 法可极点，所以只要涉及到点类性定义，你就要问自己一个问题，哎，这些所有的点在哪啊？ 当然，我们到了初三阶段，我们涉及到点类型定义，我们都会跟大家讲，一般来说，点呢，都是在圆圆环，巴拉巴拉等等，但是在初二呢，咱们没有学过圆，对吧，所以我们涉及到的点类型定义呢，一般来讲呢，点呢，都在一些直线形 啊，都在一些直线形所形成的区域或者边界上，哎，有人说，老师，啥叫直线形呢，听都没听过呢啊，那这这当然，我们在这稍微说一下，直线形呢啊，主要就是什么三角形啊，是吧，什么四边形啊啊等等等等。 好，所以这道题目，同学们只要清楚它是个点类性定义，所以我们做出所有的点在哪里啊，找到所有的点在哪里，而且我们猜也要猜得到，它应该在什么三角形啊，什么边界内部，什么四边形，边界内部等等等等啊， 好，那么这个题目呢，我们就可以相对轻松的解决了，正所谓啊，新定义给我出难题，哎，我说， ok， 小 问题啊，来快速的过一下， 他说在坐标系当中呢，对于一个直线 l， 给定了 a b 跟点 c 啊。首先把 c 点关于直线 l 对 称过去，产生了 c 撇点， 那么在线段 a b 上存在 m n 时的 c 撇 m 等于 c 撇 n 啊，并且角 m c 撇 n 等于 r 法。哎呀，也就是说三角形 m c 撇 n 是 个什么三角形？是个等腰三角形，对吧？假定这个就叫 c 撇啊，这个叫 m， 这个就叫 n， 那 么这个角呢？叫 r 法角 好，所以呢，我们就把点 c 称之为 l 杠 alpha 可极点。当然大家也都知道这里的 alpha 呢，结合后面的问题啊，要么就是九十度，对吧？要么就是六十度。 所以我们在解下面所有的问题之前，既然是一个点类型定义，我们前面就说了，你首先要解决的就是这些所有的点在哪？所以我来问同学们一个问题，请问，如果我随意给定你一个线段 a， b， 随意给定你线段 ab， 请问你可以做出这条线段的 l 杠九十度可极点吗？ 当然有人说，老师，这个 l 杠九十度可极点，我 l 是 什么？我不知道啊，好，没关系。那好，如果你直接找这个可极点 c， 你 觉得不好找，那么请问你能不能找出 c 撇呀？ 对吧？因为 c 跟 c 撇是关于直线 l 对 称的，如果你能够找出 c 撇，那么你就一定能够找到点 c。 是 不是因为 c 跟 c 撇关于 l 对 称，所以事实上你要找九十度可极点，实际上是要先找 c 撇。 c 撇是个什么东西？ 好，同学们在想，我们刚刚就讲了什么 c 撇满足什么要求啊？满足我们刚刚画的一个简单的示意图，即 c 撇与 m n 要构成一个等腰直角三角形， 对吧？构成一个等腰直角三角形，当然， m n 在 哪啊？ m n 是 在线段 a b 上面的。那有人说，老师， m n 位置也不知道啊，那你说 m n 在 这儿行不行？行， 好，那么大家想一下看看，也就是说，嗯， c 撇肯定不能在 ab 上，是吧？你要 c 撇在 ab 上，那它不能构成这个三角形了，所以 c 撇应该在 ab 的 外边。那么同学们想一下，看看， m n 在 ab 上，请问 c 撇最最最最最最最极限的情形应该在哪里？ 就是你要找，因为 c 撇不可能离它特别远吧。有人说，老师， c 撇有没有可能离 ab 特别远？ 绝无可能。为啥？因为你要构成等腰直角三角形，你会发现， c 撇到 ab 的 距离等于二分之一个 ab 的 长，就等于二分之一个 m 的 长，对吧？ m n 是 在 ab 上面的，所以 c 撇离 ab 的 最远距离就应该等于二分之一个 ab 的 长。 我再陈述一遍啊，因为，呃，它是个等腰直角，所以 c 撇到 m n 的 距离等于二分之一个 m n 的 长， 那么也就意味着 c 撇到 ab 的 距离极限极限就是二分之一个 ab 的 长，并且此时如果它是满足要求的 c 撇，那么 c 撇的位置是确定的，它只能在哪呢？就是以 ab， 呃，只能画出以 ab 为斜边的这样的一个等腰直角三角形啊。当然，我就画的稍微有点不太标准啊。那么因此，你就一定能够找出这样的一个极限的两个点 极点 c 撇它极限，极限应该在哪里呢？极限，极限就应该在以 ab 为斜边构成的等腰直角三角形的直角顶点，这个是极限情形啊。 当然问同学们，除了这两个点，为什么只有这两个点？因为这个点到它的距离等于二分之一 a b， 这个时候 m 点跟 n 点就是极限情形，与 a b 重合，对吧？因为如果你 c 撇点继续往外跑，那完蛋了，那这个时候 m n 的 长比 a b 还来的长呢， 这肯定不满足要求，所以 c 撇点可以往 ab 的 方向靠拢。同学们想一下，假如 c 撇点在这，能满足吗？嗯，当然可以满足，对不对？ 好，所以同学们简单试一下会发现，哎，好像这样构成的一个其实应该叫正方形了，对吧？就两个等腰直角组成的图形，这个正方形的内部及边界上面的点好像都是 c 撇点可以存在的地方，但是 注意一下， ab 不 可以，线段 ab 除外 啊，线段 ab 除外，因为如果 c 撇点跑到 ab 上，它就没法构成三角形 c 撇 m n 了。 好，那么因此我们得到了第一个重要的结论，就是我们想要找九十度可及点 c 其实并不太好找，但是我们好找的是 c 撇， c 撇在哪呢？ c 撇在 ab 为斜边的 两个等腰 r t 三角形 的边界及内部，当然括号 ab， 这个线段除外，是吧？你的不能在这个线段上。 好了，你知道了 c 撇点在哪，那么问同学们，请问你说 c 点好不好找？那太好找了，对吧？当然， c 撇点又是有点 c 关于什么线对称过来的，所以这也是新兵一的另外一个经典考法，就是他既怎么怎么怎么样，他又怎么怎么样？ 当然，你说你，呃，九十度刻极点找到了，我现在在问同学们，请问你，你现在自己会画六十度刻极点吗？随便给你画一个 a b， 那 么它六十度刻极点怎么画呀？啊？六十度刻极点我不会找哎，但是呢，我可以先找出 c 撇点所在的位置。 c 撇点在哪里呢啊？ c 撇点就应该在以 ab 为边形成的两个等边三角。哎呦，两个等边三角形的边界及内部是吧？两个等边三角形的边界及内部。当然了，不包含 ab。 好，所以你会发现这个什么六十度刻极点啊，这上面就是就是 c 撇点啊，在形成的什么等边三角形 形成了两个等边三角形的边界及内部，然后呢？ a b 除外？ 行，好了，写到这儿，我们这道题目就解完了啊，有人说，老师你这个写的些许的草率了。呃，怎么就解完了呢？我说了，你都把所有的什么，呃，虽然没有找出啊什么可极点，但是对应的 c p 点你找到了，对吧？ c p 点有了吗？那你 c 点就有了。 好，我们再重复一下啊，九十度刻极点在哪里？ ab 为斜边画，上面画等腰直角，下面画等腰直角，当然 ab 除外。呃，六十度刻极点在哪里啊？往上画一个等边，往下画个等边， ab 除外。结束完事搞定啊。小问题来， 现在看第一题跟第二题，第一题我虽然没有给大家图啊，等一下，我们具体来看， a b 已知一条水平线段， c 一， c 二 c 三，哪个是九十度刻极点？那不是手拿把掐吗？来看一看 啊，同学们，看一下， ab 已知所有的九十度的可斜点在哪里？以 ab 为斜边画个正方形，画个等腰直角，下面也画一个等腰直角，好，然后呢，这个内部及边界所有的点是 c 撇点能存在的位置，对吧？ 好，然后大家会发现， c 一 c 二 c 三已知的啊，那么 c 一 点对称过来，关于 l 就是 y 轴对称过来， c c 一 撇，那 c 二对称过来， c 二撇都是在内部边界，并且不在 a b 上，所以 c 一 撇， c 二撇满足，那也就是 c 一 c 二就是可及点，对吧？九十度可及点， c 三撇不满足， 所以 c 三撇就不是可级点位啊， c 三就不是可级点位，对不对？所以你会发现，我的天呐，这题目只要把 ab 为斜边，画两个等号直角，然后呢，看一下 c 一 c 二 c 三的对称点在不在内部及边界就完事了。所以第一题啊，显然 c 一 c 二是可以满足要求的， 就这么简单啊，好，第二个问题呢？有人说，哇塞，老师，第二个问题， d 点 e 点，呃，直线 l 是 经过负一零做垂直于 x 轴，就做了一条竖直线， f 点 g 点，那么 d e 上面存在着 f g 的 l 杠九，呃，九十度可极点，那好，这个问题是不是一样的呀？我们是不是核心需要找出 f g 所对应的 c 撇点， 对吧？然后把 c 撇点看一下，呃，因为这个 c 点在哪里呢？ c 点是要在 d e 上面的，就是九十度可极点，要在 d e 上， 对不对？好，也就是说，九十度可极点， c 撇点，我们通过 f g 可以 作图做出 c 撇点，而 c 撇点又是什么呢？又是 d e 关于直线的对称点， 对吧？行了，那有人说，老师还有个问题， f g 这个图形我不会画，哎呀，太简单了，横坐标零四，就说明 f 点到 g 点是往右移了四个单位， m 到 m 加四往上移了四个单位，所以 f 点在这， g 点在这，是吧？太特殊了啊，特殊到令人发指了啊！ 好，现在我给大家呢，直接图形演示一把啊，是不是特简单，随便标个点， f 点 g， 我 说了啊，就是往右移四个点位，往上移四个点位，所以 f g 其实就是这样的一条与水平线夹角为四十五度角的这样的一个呃，斜边，呃，这个线段 好，那么请问 f g 的 所有的九十度可极点对应的 c 撇点啊？ c 撇点在哪？ c 撇点就是在这个呃， f g 往上做一个等腰直角，往下做一个等腰直角，当然其实就是什么你，你做一下，刚好非常特殊啊，就是正方形 f n g m 边界及内部 f g 除外啊， f g 除外？好，也就是说所有的 c 撇点可以在哪呢？可以在黄色区域 f g 除外的黄色区域， 而 c 撇点又要在哪呢？ c 撇点是 d e， 关于这条线的对称点，我们把它称之为 d 撇一撇点，对吧？好，我们重复一下， c 撇点既要在这黄色区域 f g 除外的黄色区域 c 撇点，又要在 d 撇一撇， 所以你要保证 d e 上有九十度可极点，只要保证黄色区域与 d 撇 e 撇有交点，有共同的部分就行了，对吧？有共同的部分就可以了，那么这样一来就一定满足要求， 所以同学们同样的道理。定向分析，从上往下挪，就是 m 特别大的时候整个正方形在上面吗？不满足，往下挪，挪挪挪。第一零件是什么？ 就是刚好就是对应的点 n， 注意哦，因为这个横向 fn 长度就是四，对吧？我们刚刚讲了，往右移四，往上移四，所以第一零件就是 n 点跟 d 点重，跟 d 撇点重合，当然 d 撇点的坐标嘛，就是六都好移， 对吧？六都好负一，所以 m f 点的坐标零 m， m 的 第一个零界值就是负一啊。第一个零界值负一好，接下来往下黄色区域的边界跟它有没有交点？有交点有交点，有交点，有交点，有交点。注意，这个特殊情形不能取 啊，因为这个 d 撇 e 撇，同学们看一下，其实横向差四，中向也差四， 对吧？啊，横向差四，纵相也差四啊。就是，呃，这一段的长是四，这段长也是四啊，你刚好就跟它怎么样啊，重叠起来了， 所以这个时候因为一撇点的坐标就很容易看了嘛，是吧，就零负五啊，因为一点的坐标嘛，是负二负五，所以一撇点就零负五。关于 x 等于一对称嘛，好，那么这个时候 m 的 取值呢？刚好负五不能取啊，刚刚第一零件是负一，所以小于等于负一的时候可以取， m 等于负五不可取。再往下也行也行也行也行。然后就是什么 m 点跟 e 撇点重合，当然 m 点是跟比 f 点怎么样啊？多了四，对吧。所以 m 点的纵坐标应该是零逗号 m 加四，零逗号 m 加四等于负五， 呃，就是 m 加四等于负五， m 等于负九，对吧？ m 等于负九，所以同学们就知道了，从上往下来看，要保证黄色区域与 d 撇 e 撇有交点就行了 啊。那么，呃，第一零件就是负一啊，然后呢？不等于负五，然后呢？取到负九， ok， 所以 这个问题也就轻松解决了。又发现，我天呐，口算就可以出答案了是吧？ 所以 m 的 取值范围应该是小于等于负一大于等于负九，并且 m 是 不可以等于负五的。 好了好，最后这个问题同样的看起来老复杂了啊，说， s t， r 是 个等边， s 告诉你了， t 告诉你了， r 也告诉你了。那么直线 l 呢？经过 t 零垂直于 x 轴还是竖直线？ p 点 q 点？看好了，纵坐标相同 啊，都是负根号三，嗯，你要注意一下， r 的 纵坐标是根号三哦，呵，是吧？是根号三哦，那么并且 p q 呢？横坐标是 n 到 n 加八，也就是说 q 点， 嗯， p q 是 一条水平线对吧？在 y 等于负根号三这条水平线上，并且 q 点在 p 点右边八个单位，对吧？ p 往右移八个单位。好，当看好了这句话，这句话他说，当负一小于等于 t 小 于等于零的时候，对于 t 的 每一个值， t 去负二分之一，对吧？怎么怎么样啊？ t 去负四分之三，他也怎么怎么样啊？ t 去负三分之二，他也怎么怎么样。好，他说， str 这个三角形的所有的点都是六十度刻级点。 好，同样的问题，六十度可极点，我们是在什么 s 三角形啊？三角形 str 上面的，但是呢，我们首先应该要找的是什么 c 撇点，对吧？那么我们问同学们，请问所有的 c 撇点在哪啊？所有的 c 撇点在哪啊？ 好，首先 c 撇点可以由 p q 形成的两个等边三角形形成的区域确定 好，同时这个 c 撇点还可以由 str 关于呃这个什么数值直线确定，只要保证两个部分怎么样啊？ 有交点啊，不能叫有交点了，只要保证 str 关于直线所有的对称的图形，在整个 p q 所形成的所有 c 撇点的内部啊，这话说起来呢，稍微有点绕啊， 好，我们简单的给大家解释一下，就是对于最后一个问题，把逻辑想清楚了。同学们知道等边三角形 str， 那么如果这个上面存在着，他说这个上面的所有的点都是六十度刻极点，那么我们知道它关于一条竖直线对称，即它它能够产生的 c 撇点就是 str 所有产生的点应该是在对称的， 就是 c 撇点应该是在对称的这个图形上面的，对吧？ 但是呢，他不是只对称了一个，因为 l 是 不确定的， l 是 在负一到零之间的这样的数值线，所以大家就想象一下看看，那无无非就是极限情形，先考虑一下由 str 所产生的 c 撇点在哪？ 对不对？那么极限就是如果他取到负一的时候，哎，这个时候呢，你能画出一个等边，而他取到零的时候，又能画出一个什么等边？所以同学们其实都知道， 就是在这一片区域当中，就是在这一片区域当中，其实它当然本身应该是一个等腰梯形啊，但无所谓啊，我们只是告诉大家第一个 c p a 点必须在哪里，它是由 str 关于 l 对 称过来的。 那么第一极限情形嘛，就是 l 如果就这条线就是经过负一零就是我们能产生一个它，当然经过零的时候呢，它又能产生一个，对吧？ 好，那么这样一来，在这之间的部分就相当于把这个等边三角形 st 撇 r 撇左，呃，平移，对不对？所以所形成的所有的区域刚好是这样的一个等腰梯形。好，这是第一个啊，就是由呃，我们的这个 str 所产生的 c 撇在哪？ 当然他说这个上面的所有的点都是六十度可极点，而我们的六十度可极点呢？还可以由，刚刚我们讲的叫什么？呃，这个线段叫什么啊？ p q 还可以由 p q 形成的这样的等边图形，对吧？就是 c 撇点，还可以，在这样的图形当中，要保证这上面的所有的点都是六十度可极点，就是保证所有的 c 撇都要在这个所形成的区域当中， 能理解吗？就是由 st 撇 r 撇所形成的图形必须在这两个大的等边图形当中 即可。是不是，那不就保证由 str 所产的所有的 c 撇都是在我们两个大的等边图形当中，等边三角形当中，那么所有的 c 撇点都满足要求，那么不就说明 str 上面的所有的点都是六十度刻极点了吗？ 好，你把这个问题想清楚了，剩下来的也很简单。好，同样的，我们用具体图形给大家来演示一下。 好，第一步我们刚刚已经给大家解释过了啊，就是首先呢， str 是 固定的，那么这一条线呢？ 他是在负一到零之间移动的，我们给同学们直观的演示一下啊，就是极限，极限这条线经过负一零做一个垂线，那么此时 str 的 对称图形，同学们能看得出来吧，就是这个等边三角形，这个同学们可以自己做图啊， 当然，如果你移到了这个点 o 的 时候呢，你会发现这个对称图形呢，就移动了最右侧，对吧？所以由 str 所形成的图形呢，实际上就是这样的一个 啊，等腰梯形啊。当然你不管他等不等腰了，反正你就知道将等边三角形平移过来就行了。所以所有的 c 撇点应该是就是 str 所产生的所有的 c 撇点应该是在这个黄色区域的边界及内部的所有的。 好，现在他不说 s t r 上面任意一个 t 值所产生的这个 s s s t r 上面的所有的点都是六十度刻极点，即保证黄色区域是在 p q 所形成的这个两个大等边的内部及边界， 对吧？因为随便给定一个点 p， 就 会产生一个点 q 长度是八啊，这个长度总共是八，好，那么 p q 所形成的所有的六十度可极点对应的 c 撇点在哪呢？就应该在这两个等边，除了中间的 p q 之外， 现在你要保证 s t r 上所有的点都是，就是保证黄色区域在两个大等边的内部及边界，对不对？ 好，当然，同样的定向分析，你要是 n 特别大，那肯定不能完全在内部嘛，好，那么因此，移动，移动，移动，这种情况是吗？不是啊，不是，注意了，为什么不是啊？ 虽然这个时候点 k 就是 在 p n 上面，但是同学们要注意，我要保证所有的点都是六十度，可极点要保证黄色区域完全在两个大等边的内部及边界。所以第一零件，因为这个，呃， p q n 也是等边啊，第一零件呢，刚好就是 p o n 共线的时候，当然这种零件形很好找，因为都是等边三角形，一个大等边，一个小等边是吧？ 好，那么当然这一段距离是多少呢？根号三，就是 o 点到 p q 的 距离是根号三啊， o 点到 p q 的 距离是根号三，所以这段呢，是一，注意 o 点往左移一个单位，此时 p 点的横坐标 n 就 应该是负 e 啊， n 就 取负 e， 所以 第一零件 n 取负 e， 然后 移动的时候，整个是不是都在大等边的内部啊？好，继续移动，噔噔噔，噔噔噔，好到这种临界情形对吧？当然 k 点的坐标是几啊？是四逗号零，这个能理解了吧，就是你刚刚做出来的最右侧的这个点就是四逗号零， 因为两个等边嘛，这个是二，这个也是二，就四符号零往下做垂线段。好，这段根号三，所以这段呢是一，也就是说 q 点的横坐标此时对应到五，当然 q 点的横坐标是 n 加八，就是 n 加八，此时等于五，所以 n 呢，等于负三啊，那么因此当 n 呢，在负一到负三之间的时候，我们就可以确保整个黄色区域是在大等边的内部及边界的， 那名词 n 的 取值范围就是负三到负一，当然你如果移过它之后呢，黄色区域就有部分不满足了，对吧？好，所以其实这个计算吧，倒并不是特别的难算啊，那么最终 n 的 取值范围应该在负三到负一之间 啊，负三到负一之间。好，所以其实这道题目呢，我们给同学们分析完了之后呢，大家直观的体会一下啊， 这是一个点类性定义，但是我们怎么给大家讲的？并不是说一上来我们就噼里啪嚓开始讲题，而是问点在哪里， 你能不能自己作图做出来。好，如果你能做出呃，所有的 c 撇点啊，那么 c 撇点既满足由它构成的什么等腰、直角、等边，又满足它是对称的，所以只要保证有焦点，那么在最后一问当中，所有的点都要是， 那么我们就找出 str 所能产生的所有的 c 撇点，确保这个等腰梯形完全在大等边三角形的内部及边界即可，是吧。好，所以剩下来的呢，结合图形看一下就行了啊。 好，所以这道题目呢，我想呢，还是一个比较典型的考法，掌握分析方法。我觉得至少呢，前两问应该来说难度不算特别大，那么在最后这一问当中呢，就是稍微有一点点的复杂啊，但是解析的核心逻辑呢，其实跟中考的考法是非常像的啊。好，那么这道题我们就给同学们解析到这里啊。

本期视频我们来讲解期末压轴当中的旋转全等模型问题。分析一条线，如图，在三角形 a、 b、 c 当中，角 abc， 好， 这个角是四十五度，过点 c 做了 c， d 垂直 ab， 好， 那么由此我们可以分析出三角形 b、 d、 c， 为什么呢？哦，是等腰直角，并且还是等腰 过点 b 做了 b m 垂直 a、 c， 这又是一个九十度啊。这时候继续分析一下，你会发现在这两个直角三角形当中， bc 是 作为公共的斜边而存在的，这时候我们可以联想到什么 o 斜边上的中线等于斜边的 半，但是他没有给我们做 b、 c 的 中点，那么我们看后面会不会要用到呢？来连接 md 之后，过点 d 又做了 d， n 垂直 md， 好， 这个角是九十度，那么这个角是九十度又有什么用呢？好，我们知道同角的与角是相等的。好，来，这个小角加中间等于九十度，这个小角加中间也等于九十度哦， 所以他给我们这个条件就是为了让我们知道这两个小角是相等的对不对？再加上我们刚刚的 b、 d 等于 c， d、 a， 在 这两个小三角形当中，我们已经有了一组角等一组 边的对不对？那如果再来一个等量关系的话，我是不是可以证明这两个小三角形是全等了 对不对？那请问这关系我们能不能找到呢？来，这两个小角如果能证明出来相等，那就好了。哎，知不知道知道的为什么我们有八字形，你看 这里的八字形告诉我们什么哦，九十度，九十度对零角对零角，所以剩下来两个小角它只能是相等的，所以到这里注意，我们还没有看问题哦，我已经能够推出什么条件了哎，三角形 b， d， n 全等于三角形，谁 d c m， 那 么全等就可以给我们带来什么？ o 就 可以给我们带来 d， n 等于 d， m， 再加上你告诉我什么角 n， d， m 是 等于九十度的，所以我能够推出什么？哎呦，三角形 d m n， 他 也是什么三角形啊？也是直角，并且还是等腰吧，所以就是等腰直角三角形。所以图中的哎，我们看到了两个等腰直角，所以我瞬间能够想到的就是 手拉手旋转圈的对不对？手拉手旋转圈的模型，我们知道他的结论有哪些啊？ 好，第一个当然是全的，第二个，哎，我们的第三条线相交所成的锐角等于顶角，钝角北平分。好，想到这些结论之后，我们继续来看问题， 如果点 e 是 c， d 的 中点，那么就告诉我们这两条边是相等的。好，暂时我们还不清楚这个有什么用。接下来我们看问题。第一个 来， a， c 等于 b， 哎呦， a， c 等于 b， 我 们来看看 a， c 和 b 在 哪里？ o， a， c 在 这里， b 呢？在这里。如果这两个边相等的话，我们是不是可以证明这两个三角形是全等呢？我们来看看这两个三角形全等条件够不够哦。第一个，九十度，九十度有了，第二个，这两个角等， ok， 没有问题，那接下来还缺缺什么哦？边嘛？谁 d， b 等于 d， c 对 不对？等腰直角三角形嘛，所以选那条街够了吧，对不对？九十度，这里一个角再加上夹着边，所以是 a s a 搞定吧，所以我们得到，哎，要证明出三角形哦，我们的 e、 d， b 全等于三角形，谁就可以了， a， d， c， 而它的三个条件我们全都可以证明出来，对吧？第一个九十度角， e， d， b 等于角谁？ a， d， c， 第二个边，哎，给我们的 d， b 等于 d， c， 好， 最后一组角角 d， b， e 等于角 d， c， a， 好， 所以我们用的是 a， s， a 搞定， 所以第一个结论完全正确。好，接下来我们看第二个结论，对不对呢？来， dm 等于 dm， 我 们看看 dm 和 dm 在 哪里？哦， dm 在 这， dm 在 这。咦， 这不就是我们刚刚已经推理出来的这两个三角形全等吗？是不是？所以 dm 等于 dm 直接搞定？好，接下来我们看最后一个，那么第三个 三角形， d， e、 n 等于三倍的三角形 e、 m 四，好，到此我们发现 终点还没有用过，那就说明这个终点一定是为了服务什么呢？一定是为了服务我们的面积的。而终点对于面积我们能想到什么？ 哎，当然是面积相等好，换句话说， e 点是 dc 中点，你要我搞定的是 emc， 我 们看 emc 在 这对不对？既然 e 是 dc 中点，那么我们 emc 的 面积就等于 谁的面积。哎呦， d， e、 m 的 面积，那么我们给它都用 s 来表示。好，那现在我要证明什么哦？ d， e、 n， 那 就是左边这个三角形是 e、 m、 c 的 三倍，那就是证明这个是这个的三倍。好，接下来怎么办呀？哦，我们前面有这么多的全等铺垫，接下来好疑问，终点怎么办？ a 直接等腰直角这样形做垂线，三线合一对不对？那我立马能得到的是什么？哎呦，这两个三角形它也是全等的对不对？所以我也可以用 s 来表示，而我们知道 等腰直角，三角形，三角形三角合一，这两个是不是也是小的等腰直角，并且也是完全一模一样的，对不对？所以它的左边就是什么二、 s， 好， 现在你告诉我，哎，果然 d n e 它是三个 s， 而我们的 e、 m c 是 一个 s， 刚好就是几倍，哎，三倍关系对不对？所以我们的一二三全都正确， ok， 好， 那么本期视频就到这里，大家拜拜。

大家好，我是陈哥，跟着陈哥走，数学满分有，对于初二的期末考试同学来说，这种依次函数的几何这种问题会感觉到非常的难啊，很多同学啊，抓耳挠腮不知道该怎么做，这种题真的非常难吗？陈哥今天来帮大家来秒杀他。 好，各位，我们来看一下这一道题目。好，这一道题呢，它是告诉你三个点啊，这也是一次函数几个题中很常规的啊，告诉你这些点，负六多少零，零多少八，还有九多少零。好，那根据大家的这个线段程度，可以知道 a o 是 六， ob 是 八，那 ab 就是 十。 好，他说了一个非常关键点，说了 am 是 平分角 bc， 让你求点 n 坐标。好，所以这个题呢，记住啊，遇到这种类型题都是有两种方法好，第一种方法叫几何法， 几何法好，几何法利用的就是我们前面讲这个角平分线哎，有什么样的性质， 大家想想看。角平分线哎，我们前面遇到这几个题的时候，角平分线题都在想，他是不是有一些常规的辅助线，所以 am 是 角平分线，那他辅助线应该是往两边去做垂直，所以这个题有了一个 mo 是 不是垂直了？哎，那我要做的事情就是往 m 往这个地方去做个垂直， 叫 m h， 哎，垂直 ab。 好， 那 m h 垂直 ab 以后呢？那我现在要做的事，你就算一下，这边用勾股定律算一下，我会知道 a o 是 六，那 a h 也是六啊，因为它们俩相等嘛，那这边的 b h 就是 四。 好，然后我可以去用勾去设字母，就是设什么呢？设 o m 是 x， 那 h m 也是 x， 那 b m 呢？就是八减 x 啊，所以你最后你在 b h m 里面用勾股定律算一下就可以了。 好，所以最后在 r t 三角形 b h m 中，我们会有角四方加上 x 方，等于八减 x 方。 好，然后你自己算一下，我直接给大家报单了啊，算出来 x 应该等于三啊，因为你猜一下三四五嘛，所以 m 点坐标是零逗号三，那 a 点坐标是负六的零， m 点坐标零逗号三。那我可以算一下， l a m l a m 就是 直接报了啊， l a m 算出来是 y 等于二分之一， x 加三啊，再算一下， l b c l b c 是 y 等于负九分之八， x 再加八，最后把它们连接方程，最后解出 n 点坐标， n 点坐标就是，呃， x 等于五分之十八啊， y 应该等于五分之二十四。好，所以这个题呢，现在这个方法叫几何方法。 几何方法的特点就是非常简单，计算也很简单，但是你需要去找这种几何之间的这种辅助线，或者是这种几何之间的联系。所以像这个题，如果你没想到 m a 垂直，那这个题目就做不出来了。 好，当然呢，成哥选的这个题呢，不算特别难，很多同学能做出来，但你对一些啊，比如说这个题是最后到达题的。呃，这个第三问的某一种情况，那很多同学可能就惧怕了啊，所以就不太会做了。所以呢，这种题你是会做的啊，其实想想看，几何的这种辅助线应该怎么弄好？还有一种方法叫 函数方法。好，我们在初二下学期，你们可能会学到叫解析几何。 好，因为现在新教材改革了，所以不知道有的学校会不会讲啊，就如果学校没有讲的话，可能在初三才会学，就是构造函数去解决这种可能是这种几何题，所以这个题为例。那如果说各位同学，哎，你就想老师我这个 角平分线，我没想到这个辅助线，那这个题我该怎么做啊？告诉你两个字，死算。怎么死算呢？其实我只要还是要把 an 的 这个函数算出来，这个题是不是就结束了？好，那 an 这个函数怎么算呢？就是我有一个 a 点，那还我还需要一个点， 那需要的这个点怎么算？那就是你需要用那个结，这个需要用到它上面一些条件了。那 am 角平分线你想想看， b 点是零度号八， ab 是 不是十？哎，角平分线我是不是能想到等腰三角形，所以我可以发现我如果这边做个等腰，这样做个等腰， 哎，也就是 b 点的对称点叫 b 撇点，他们的 ab 撇和 ab 是 相等的， ab 等于 ab 撇长度是不是也是十啊？所以我可以知道 b 撇点坐标应该是 四的毫米。好，大家想想看，那这条蓝色的线和这条我要算的这个红色的线 a n 什么关系呢？哎，这是不是应该垂直的关系啊？哎，所以我可以算出什么呢？算出 b b 撇的这个 b b 撇的终点 啊，我可以算出 b b 的 终点啊， b b 的 终点其实在这个红色线上，然后用终点公式算一下， ok， 两种方式啊，来 b b 的 终点叫 q 吧， q 点是二分之一的横坐标啊，零加四和二分之一重坐标八加零，所以 q 点坐标算出来应该是二逗号四， 哎，所以你把负六逗号零和二逗号四连立一下，你还还是可以得到这个函数呢。是 y 等于二分之 x 加三啊。这个还有一种方法是什么呢？就是用我们讲的一个小球 k 公式啊，我可以把 k b b 撇的这个 k 算出来。 好， b b 的 k 算出来应该是他的两个重，这个纵坐标点啊，就是四零和零八纵坐标点应该八减零除以，对的横坐标点应该是零减四， 所以算出来应该等于负二。所以 b b 撇的 k 是 负二，那红色线跟它是什么关系？垂直，大家知道，两函数如果垂直，他们的 k 相乘等于负。哎，负一，所以 k 红色的线叫 k a n 和 kb 撇相乘应该等于负一。所以得到 k a n 的 这个函数应该是 y 等于二分之一啊，就 k a n 这个是二分之一 x 二分之一，所以这函数可以是 y 等于二分之一 x 再加 b 啊，你要做的事情就是二分之 x 加 b， 这个是 a n 啊， a n 的 函数啊，你要做的事情，把这个负六的话，你往里面一带就行了。最后还是能算出这个东西。 好，各位同学们，这个解，这个解析解的话能听懂吗？所以这种题，其实我就是在死算啊，我就是在死算。 好，所以这个呢，其实没有没有用到什么辅助线，其实想一下 b 的 对称点啊，所以这个呢，我觉得你看 b 撇点这个，其实画不画其实无所谓。 好，所以这个方法呢，解析几何的方法呢？各位同学可以再好好想一想。好，大家自己课后呢？哎，再去揣摩揣摩，再去回顾回顾。好， ok， 我是 陈哥，那我们下一个章节再见！拜拜。

来，接下来我们来看我们的第二题，说如图，四边形 a、 b、 c、 d 中角， b 等于角， d 等于九十度，对角互补，那 a、 b 等于二，然后 a、 d 等于我们的 d、 c， 而且还是直角，等腰直角翻折，将 abc 翻折，将 b 对 应到 d 点时，那么 b 片 c 交于 a、 d 与 e， 若 c、 b 片恰好是 a、 c、 d 的 角平分线，我们现在要求就是这俩角是角平分线， 那么求 c、 e 的 长度， c、 e 的 长度。那么对于 c、 e 来说，哎，我一眼就看出来 c、 e 是 这个三角形的一条斜边， 是不是啊？那如果要求的话，是否可以把它放到这个三角形中，根据勾勾股令力来求啊？这是一个思路。 那还有第二个思路，就是如果没办法直接求，我们可以通过找到跟 c、 e 相关的边，比如说相等的边去求，对吧？好了，那来看一下这个题，他说 将这个三角形 abc 翻折，那么意味着 abc 和 ab 片 c 片他俩应该是全等的，对吧？这有一个垂直九十度， 哎，那你看，这显然有一个一线三垂直的模型，那你看，这既然是角分线，并且这还是一个垂线，那显然我们可以延长我的 a、 b 片至 m， 对 吧？ c、 d 和 m 这里有一个交点，对吧？那显然这就是一线三锥这模型吗？因为角分线垂线吗？对不对？所以我们就可以得出来， ab 片长度等于 b、 m 片的 b、 m 的 长度，对吧？当然记着我们做的是延长 ab 片至 m， 对 吧？使得 c、 d 和 m 是 相交的，这就会有一个等腰直角三角形，然后呢，会出现一心三垂三垂直，那么 ab 等于二，意味着 ab 片等于二，那 b 片 m 也是二。 好了，那再来看，那这里也是一个直角，那这里边就可以证明出，呃，这个角你看 m a d 应该等于角。角，这个什么角？这个 dce 元音，你看角 m a d 加上角 a m c 等于九十度，对不对？那角 e， c， d 对不对？加上角这个 a m c 也是九十度，所以我们就得出来这个红色的角和这个角是不是相等的，是不是？然后呢？ 一个角相等了，这里还有一条边，我们换个颜色啊。 紫色吧，这里还有一条边，这里还有一条边，然后还有直角，还有直角，那就说明这俩三角形应该是全等的，对吧？那就是三角形 a d m 全等于三角形， 这个 c， d， e 啊，那关于我们的这个依据就是 a a s， 对 吧？那全能以后呢？ 关于我们的这个 c e 的 长度，不就是 am 的 长度吗？对不对啊？ am 等于 c e， 那 你看我们的 am 在 这等于二加二，对吧？所以等于四啊，这个题完了啊。

几何锥式问题一定是我们新初二期末的核心高频热门考点，这类题呢，通常出现在我们的最后一道填空压轴题当中，正确率 不到百分之五。来，同学们，今天徐老师带你用一道题，两个方法彻底通透，瓜豆求锥式的核心方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样说的， 他说 a、 b、 c 和 a、 d、 e 呢，两个三角形均为等腰直角三角形，然后呢，告诉 ab 等 ac 等于二，那 o 点呢，又是 a、 c 边上的一个定点对吧？哎，中点嘛，它就是一个定点。然后呢， d 点是一个 动点，连接 a， d， 以 a、 d 为直角边去构造等腰值 a、 d， e， 哎，形成我们第二个动点就是我们的 e 点。好，题目呢，最后求的就是这个定点 o 点和这个动点 e 点这两个点之间的最小值，哎，应该等于多少？ 徐老师已经把初二考试中所涉及到的所有最值类压轴题型进行汇总总结，再结合往年考试专题，优中选优，整理成了初二最值必考十大题型，练完考试轻松拿下最值专题。需要的家长我发您一份。 好，来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题。好，首先呢，题目告诉我们， abc 和 a、 d， e 呢，这两个三角形都是为等腰直角三角形，然后呢， d 点是一个动点，在 d、 c 边上运动，对吧，它是动点。好，来，那我们来分析下这个动点是如何动的， 它以 a、 d 为边去构造一个等腰值 a、 d、 e， 那 相当于我们把这个动点绕着这个定点 a 点呢，逆时针旋转九十度，哎，把 a、 d 旋转到 a、 e， 从而呢得到我们第二个动点 e 点，对吧？它也是动点好题目呢，最后求的是 a c 的 中点 o 点，那么 o 点就应该是一个 定点啊，求这个定点到这个动点 o e 的 最小值应该等于多少？哎，这类题呢，就是我们初二阶段考的最多的叫做几何最值问题，我们只要看到求定点到动点的 最小值，哎，我们的思想呢，就应该立马想到去找我们这个动点的轨迹啊。轨迹呢，我们初中阶段只会考两种，一个是轨迹为圆啊，一个是轨迹为 直线，所以同学们接下来我们的关键就要去分析这个 e 点，这个动点的轨迹到底为直线还是为圆，对吧？那么我们说哈，这个 e 点是因为 d 点绕着 a 点的旋转而得到的，所以呢，我们把这个地点称之为叫做 主动点啊，一点呢，称之为叫做从动点，从动点是因为主动点的运动而运动的，所以他的轨迹一定跟主动点的轨迹是不是有关系？来，我们来分析下第一点哈，第一点他在直线 b c 边上运动，就相当于直线上的每一个点，对吧？我都要绕着 a 点进行旋转来，我们利用整体思想就相当于整条直线整体的绕着定点 a 点去旋转。来，大家思考一下啊， 直线绕着一个点旋转，那么相当于什么呀？我们只改变了这个直线的位置关系，没有改变形状，对吧？比如说我们把这个直线绕着 a 点旋转到了这个直线 啊，没问题吧？好，所以呢，我们的主动点和冲动点的轨迹呢，应该是保持一致的，他的轨迹也应该是直线，所以接下来我们去找找一点的轨迹，应该如何去寻找呢？哎，我们知道一点轨迹为直线，这个我们已经分析出来了，那么说两个点确定一条 直线，那么这个时候呢，我们只知道一个点，对吧？只知道一个 e 点，那我还需要这个 e 点，那么怎么去找呢？来什么？哎，接下来呢，我们去找主动点的特殊点， 哎，找我们的特殊点啊，来特殊点看 e 点，哎， d 点在 b c 边上运动，那么它的特殊点无非就两个，一个是我们的出发点 b 点，一个是我们最终的点 c 点，对吧？这个一头一尾的两个点，对吧？这两个点呢，是我们最特殊的点，那我随便找一个啊，比如说 d 点 最开始和 b 点重合的时候，哎， d 一 在这个地方，那么来，哎，把 d 点绕着 a 点旋转九十度，相当于就把 a d 旋转到了 a c， 那 么这个时候我们的重动点 e 点呢，就正好和 c 点是 重合的，对吧？那这两个重动点都在我们的轨迹直线上，所以呢，我们只需要把这两个点连接，哎，它就是我们的 轨迹直线，没问题吧，是吧？好，我们找到 a e 点呢，正好在这个 l 上运动，那就好求了。接下来我们要求的是这个定点到 e 点的最小，那么 e 点轨迹又为直线，就变成一个定点到一条直线的最小值，那应该是 垂线段最短，对吧？好，所以呢，我们应该是过 o 点这个定点向定直线，哎，给他做一个垂线啊，垂足点就是我们的 e 点的最小值，那么所以我们的 o e 最小的是就等于 o 一 二啊，求这个边就可以了，那这个边怎么求呢？哎，接下来就是解三角形的，很明显这个边在这个三角形当中，正好他又有个九十度，哎，我只需要再去找一个特殊角就可以求了啊，那么大家可以猜测一下大的，先猜测一下这个特殊角 应该是多少度，我们先猜测一下，很明显应该是什么四十五度，对吧？好，怎么去挣的呢？非常好挣哈，来，用我们的手拉手全等，这里面有没有手拉手呢？大家去找找。肯定有手拉手哈，只要我们的瓜豆里面，哎，都有手拉手哈，来，首先这里有一个 等腰值，对吧？好，这里呢，也有一个等腰值，两个等腰值绕着 a 点去旋转，你看没有哎，所以呢，两个等腰值一定会产生什么？一组全等，那么这个三角形跟这个三角形就一定是全等。好，来，我们写下三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e， 那 这个时候这个角告诉我们等腰值四十五度，所以呢，它也是为 四十五又出来了吗？所以这个三角形正好是一个小的等腰值，对吧？哎，然后呢， a c 又知道等于二，那么这个是以半，这就为一，因为我们的 o c 等于些等于一，所以我们的 o e 二，哎，就等于一，除以根号二等于二分之 更好。二，哎，一比一比更好。二吧，哎，我们最小值又出来了，好，这是我们的第一个方法好，哎，叫做用我们的刮豆去做，哎，种瓜得瓜，种豆得豆，哎，意思就说主动点和从动点的轨迹是一样的啊，保持一致，这是第一个方法，我们用刮豆。好，第二个方法来更简单一些，用我们的叫做 逆刮豆，哎，什么叫做逆刮豆呢？来，我们来分析一下，好，哎，我们的正刮豆就是去找轨迹，但是很多同学呢， 哎，他找不到轨迹，这是个难点，那么我们就逆刮斗，逆刮斗就不用找轨迹，怎么去找呢？那么来，我要去求 o e 的 最好值啊，目前在这个位置不好求，因为我要去找 e 点的轨迹，对吧？那如果找不到轨迹怎么办呢？来，我们用逆刮斗，我们把这个边进行一个 转移。什么啊？ o e 转移，怎么转移呢？哎，用我们的全等去进行一个转移， 哎，全等可以转移我们的对应边和对应角，对吧？来，那这首 o e 很 明显它在我们的 a o e 当中，对吧？那我要去转移 o e， 我 可以把这个三角形进行一个旋转，怎么旋转呢？你看，这个时候正好我们 这有一个什么，这有一个 a e 和 a d 是 相等的，所以旋转以后这两个边可以重合，所以呢，我就把这个把 a o e 这个三角形 来绕着 a 点顺时针转，多少度？转我们的九十度啊，转九十度，对吧？好，那么这时候我的 a e 就 转到我们的 a d 啊，转到 a d， 好， 接下来。哎，那么我的 a o 变呢？也转 九十度，哎，转到这来，转到这来，好，这是我们的中点，相当于是我们的细点，对吧？好，在连接 p d 啊，连接 p， 你 看，没有，这个三角形就整体旋转过来了，哈，来，我们写一下啊，哎， p 点是我们 a b 的 中点啊，这首三角形 a o e 全等于三角形 a p d， 对 吧？那对应边 o e 就 等于 p d， 哎，求它的最小， 那就是求它的最小，对吧？好，来，那么这个时候你看，因为 e 点是一个动点，那么绕着定点旋转， d 点呢，也是一个动点。好， o 点呢，是一个 定点，那么绕着 a 点旋转，所以呢， p 点呢，也是一个定点，它是 a b 的 中点，对吧？好，你看，变成还是一个定点到一个动点的最小值，但是呢，这个时候动点的轨迹我们是已经知道的，正好在 b c 边上动，你看到没有？哎，就变成一个定点， p 到 b c 的 最小值，所以呢，我直接过 p 点做一个垂线，啊，这是 d 一，好嘞，所以呢，哎， p d 的 最小值就等于 p d 一， 非常好算。哎，这时候这个角四十五度，哎，我们都不用倒角了，它正好是一个等腰值。好，斜边为一，因为 b p 等于一，所以我们的它又出来了，所以我们的 p d 一 就等于几，就等于一，除以根号二 二分之根号，答案是一样的，对吧？哎，一个是我们的正瓜豆，我们要去找一点轨迹，一个是逆瓜豆，他们两个是方向是反着来的，一个是什么逆时针转，一个是顺时针往回转，对吧？好，这两个方法你都听懂了吗？来关注徐老师，数学满分，不迷路！

几何锥子问题一定是我们新初二期末考试的必考压轴板块，通常出现在我们的最后一道 填空压轴题当中，正确率不到百分之五。来，同学们，今天徐老师带你用一道题彻底通透压字模型，求锥子的核心方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样说的，他说三角形 a、 b、 c 呢，是一个等边三角形， 然后呢，告诉 ab 边等于三， dc 边等于二，哎，当 b、 d 这个边有最大值的时候，求三角形正三角形 abc 的 面积应该等于多少？ 徐老师已经把初二考试中所涉及到的所有最值类压轴题型进行归类总结，再结合往年考试真题，优中选优，整理成了初二最值必考十大题型，练完考试轻松拿下最值专题。需要的家长我发您一份。 好，来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题的辅助线的构成。好吧，来，同学们，这道题呢，主要考察了我们初中几何辅助线当中一个非常重要的模型叫做压制模型。那什么叫做压制模型呢？来，我们先来简单学习一下， 只要看到这种形式，朋友们，哎，一点发三线，从一个公共顶点向三个方向呢发射三条线段，对吧，叫做一点发三线。那么这种模型呢，它很像我们汉字里面的压制，所以呢，我们称之为叫做压制模型，那么我们把这个公共的焦点呢，称之为叫做 压线。哎，我们，所以呢，我们的压制模型呢，一定是有压点和压线 共同构成的，那么压字模型如何去考察呢？哎，对于我们三条压线，我们考试当中呢，会告诉你其中两条，比如说这两条已知好，求第三边的具体值，或者第三边的范围的时候呢，这个时候呢，一定是考察我们压字模型，那压字模型如何去构造辅助线呢？ 只要看到一点发三线哈，记住了哈，一定是可以利用旋转去解决我们的辅助线的，好吧，来，下面呢，我们来看一下这道题来，他说如图，三角形 abc 为正，三角形啊，三个边是相等的。好，接下来 a， d 等于三， 对吧？ c， d 等于二，哎，当 b， d 最大的时候，哎，求什么？三角形 abc 的 面积应该等于多少？那什么哎，这道题呢，很明显就是我们的压字模型，你看，哎，一点 发三线，对吧？而且这两个压线是已知的，求第三个边的范围，对吧？典型的压制模型，那么我们一定是可以利用旋转去构造，那如何旋转呢？这是我们的关键所在，那么旋转的目的好，我们是要去构造一个什么叫做旋转型的 全等啊，所以来，如果要构造全等，那一定要有什么？要有相等的边重合， 哎，相等的边，对吧，因为你旋转过去以后呢，要有边重合，你才能够到旋转型的全等，对吧？那我们来找找哈，题目当中到底应该旋转哪个三角形？ 那么题目告诉我们三个边都是相等的，所以呢，我们应该去找这三个边所在的三角形，比如说 a， c， 我 们在 a， c， d 当中看到没有，所以呢，我可以旋转 a， d， c， 哎，让 a， c 和 ab 重合，没问题吧？ 好，再来，呃，再看我们的 b， c 呢？ b， c， d 和，哎，在 b， c， d 当中，所以呢，我也可以旋转 b， c、 d， 对 吧？让 b c 和 c a 重合也可以，对吧？好，再来。还有一个边，这个是 ab 边，那么 ab 边呢？在我们的 abd 当中，所以呢，我也可以旋转它，那么这三个三角形 都在三条相等的边当中，这个这三个三角形我们都可以旋转，这道题呢，至少是三个方法，好吧，好，来，我们先来随便找一个去旋转，比如说，哎，我先找这个小的去转转三角形 a、 c、 d， 那 么去，哎，思考一下，怎么转呢？往哪个方向转？转多少度呢？这个时候哈，你们看， ac 和 ab 这两个边是相等的，所以你旋转过去以后呢，你需要让 ac 和 ab 是 不是重合，对吧？所以呢，我应该什么把 ca 绕着 a 点顺时针转，因为你要让 ac 和 ab 重合嘛，转多少度呢？这两个边的夹角多少度又转多少度？转六十度，对吧？好，我们的方向和大小 就已经给它明确了哈。好，那我们来转一转，那么这个时候呢，我们的 a、 c 转到 a b 转六十度，那同样，哎，我的 a、 d 边呢，也绕着 a 点顺时针转六十度，那这就是我们的气点啊，气点 a、 d 转到 a t， 对 吧？好，再连接我们的 b、 t。 哎，同学们，看，没有我们的旋转型，全等这个三角形就跟它全有全等的，对吧？哎，好，来，我们写下，我们就可以得到来，这个是三角形 a、 d， c 全等三角形 a、 t、 b。 好， 它是全等的，那全等以后看，我们就有相等的边，对吧？ a、 d 为几？ a d 为三好， c、 d 为二，那这个边呢，也是为二， 对应边是相等的。好，哎，我写啊，那么这个时候你看，我们就可以倒边了，接下来求什么呢？求的是 b、 d 边啊，我们第三条压线，那么你看，求这个边，那么这个时候你看旋转以后，这个角是六十度， 哎，这两个边又相等，那么这个时候呢，我只要连接 c、 d， 我 们就可以了，可以构造一个什么 等边太阳形，对吧？哎，两个腰相等，再加六十度，是不是等边那么来？所以这个时候你可以总结一下我们的压制模型，其实就是反向去构造一个手拉手，为什么手拉手呢？这有一个 大等边，这有一个小等边，绕着 a 点旋转，你看，没有，他的本质其实就是手拉手构造出来，这两个是全等的，懂了吧？ ok， 好 好来，所以这个手呢？哎，我们这个边也穿了，对吧？这边就为 就为三好，要求 b、 d 的 最大值出来了， b、 d 在 我们 t、 b、 d 当中，哎，我们通过旋转把这三条压线旋转到了同一个三角形当中， t、 b、 d 刚好三点压线吗？啊，那么这个时候你看，哎，我们知道两个边，一个为二，一个为三，求第三边什么时候最大呢？哎，当我们的 b 点、 c 点、 d 点三点共线，利用我们的三边关系嘛，所以呢，当我们的 b 气 d， 对 吧？哎，三点 共线，我们的什么？哎？ b、 d， 哎，有最大值对吧？等于几呢？不就等于我们的二再加三应该等于五吗？对吧？好，但是题目没有求最大值，它求最大的时候，三角形的面积应该为多少啊？求这个面积，那这个怎么求呢？ 那么这个时候你看哈，哎，我们要去找角度，那么你看 b、 t、 d 三点共线，那所以什么呀？我们可以得到这个角，我们 一定为几为一百八，三点共线嘛，对吧？好，所以，哎，我们的什么哎，这个角 a t b 再加上角 a t d， 哎，应该等于几？等于一百八十度共线嘛，那你看这个角，明显知道的六十度等边，那，所以角 a t b 就 应该等于一百二十度，对吧？你看 这个手，这个角为一百二啊，这两个边又是已知的，那么一百二是特殊角吧，那我的 ab 边是不是又出来了？哎，所以呢，我们可以总结下，当我们的 b d 最大有三点公线，三点公线就有一百八，有一百八，那么这个角就出来了，为一百二，那么所以当它最大这个角一定是为一百二， 一百二的时候来，那 ab 就 可以算出来啊。怎么算呢？什么来，我们来看一下哈，非常好算啊，非常好算啊，就是解三角形的嘛，我们把这个三角形什么单独给它什么列出来，你看 ab 是 不是这样的， ab 是 这样的，好，那么我们最后呢？哎，我们的啊， b t 边大概是这样的，一个为二啊，一个为几，一个为三。 哎，把这三角形单独提出来啊，单独提出来，你看这个时候，哎，这个为 b， 这个为 a， 这个为七，这个角为几为一百二啊，好，这个为二，这个又为三，那么我们要求 ab 边，那就延长出来，哎，再什么，做一个垂线 解三角形吗？他们是不是这样的，你看这个为 s， 这个为一百二，这个就为六十度，正好三六九啊，一比根号，三比二。好，我求 ab 的 平方就可以了，对吧？哎，因为我们知道正三角形的面积，大家知道吗？哎，正三角形的面积，它等于什么呢？这个为 a， 这个为 a， 这个为 a， 它的面积得到等于四分之根号三倍边长的平方， 我这个不推倒哈，非常好推倒啊，你记住这个公式啊，四分之根号三倍边长的平方，你只要把这个平方求出来了，乘以四分之根号三，是不是就是我们面积，对吧？好，来，那非常好求哎，已经出来了，这个为 b， s 为根号三，这个边为几？这个边为四啊，为四。好，所以我的 ab 平方就等于它的平方三，再加上 四的平方十六，对吧？哎，等于到等于十，十九啊，十九来，所以 s 三角形 abc 就 等于四分之根号三倍， ab 的 平方就到四分之十九倍根号三， 听懂了吗？好，这是我们第一个方法啊，我转的 a、 d、 c， 当然告诉你们哈，我们还可以转其他的啊，我再转一个哈，再转一个，比如说，我还可以转一个转我们的 a、 b、 d 也可以转呀，啊，也可以转来，怎么转呢？那么这个时候，你看我转 a、 b、 d， 我 需要让 ab 和 ac 重合，那你就说把 ab 绕着 a 点， 逆时针转六十度，对吧？你要看哪两个边重合，你就知道怎么转了哈，转六十度。那么同样，那我就把 a、 d 这个呢 也往这边转六十度啊，转六十度。来看下啊，转六十度。好，我这个时候 连接它。哎，我的 a、 b 转到 a、 c， a、 d 转到了我们的 a、 a、 t， 是 不是也是一样的？那么相当于这个三角形转到这个地方啊，转过来好，逆时针转六十度，好，转了以后呢，一样的，也有边相等，这个为三， 这个为三，这个为六十度，对吧？连接 d、 t， 我 们也有等边串了，这个边也是为三啊，也是为三。好，这个 c、 d 呢？等二题目告诉我们的。好，一样的，我要求 b、 d 最大，那么这个时候呢？哎，因为三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 t 后的 b、 d 边就已经转移到了，哎， t、 c 对吧？那求 b、 d 最大，那就是 t、 c 的 最大，那很好，求一样的，你看这个时候呢，我们三条压线转到了同一个三角形 c、 d、 c 当中，这个为三，这个为二，那所以当我们的 c， 哎， c、 d、 t 三点 贡献有什么？有最大值对吧？好，我就嗯，不算了哈，那这个时候面积怎么求呢？那也是一样的三点贡献，那所以看角 c、 d、 t 就 等于一百一百八十度 啊，一百八十度，那么这个时候怎么去求边长呢？你看这个为六十度，知道了，好， c、 d 系三点共线，这个为五，那这个角这个时候为啊，为一百八啊，因为八，那这个角是又出来了啊，所以角 a、 d、 c 等于几呢？正好这是个周角，周角等于三百六，三百六， 减去六十，再减去一百八，看到没有，刚好还是等于一百二，这个角也等于一百二，你看这个边为三，这个边为二，这个顶角也是为一百二，所以 a、 c 边同样可以减。函数算出来跟前面是什么是一模一样的啊，我就不算了，好吧，所以这样，同学们，不管你怎么转都可以， 只要你找到我们的等长线段共端点的边啊，去转，把我们三条压线转到同一个三角形当中，利用三边的关系就可以找到我们最大值，从而去倒角，哎，求出我们的边长的平方， 对吧？好，这道典型的压字模型求最值！你听懂了吗？来关注学老师数学满分，不迷路！

北京八年级数学中等生，成绩有起伏，核心呢，就是这三个图形掌握的不扎实。很多初中生啊，七年级代数部分学的还是挺扎实的，但自从上了八年级，接触到了几何部分，成绩就掉的很厉害了，那如果一直持续下去没有改善的话，到了九年级就会非常的吃力，但如果这三个图形你家孩子都能够处理的非常好， 他一定成就是很理想，而且很轻松的。我在北京教了十年的初中数学，去年朝阳区的一个孩子呢，就是我带着他把这三种图形掌握的非常的扎实， 八上呢还是七十多，跟了我学了三个多月，八下的成绩直接拉到九十一，而且我觉得这个方法呀，是完全可以复制的，我用数学老师专业视角把这三个图形全盘的深度的梳理下来，我一次性的给大家讲清楚，你家孩子也能够做到，分别是等腰直角三角形、等边三角形和正方形。 那么第一个呢，这个三角图形具有特殊的图形性质，会引起一些特殊的辅助线，比如说等腰直角三角形，它一定有三线合一的这样一个辅助线，那等边三角形呢，它也是三线合一， 正方形一定有连接对角线，这就是因为他们本身的图形的特殊性所带来的特殊的辅助线，这就是第一个。那么第二个呢，这三个图形啊，一定会涉及到很难的几何辅助线思想，比较难的辅助线的思想，其实呢就是初中的几何三大变换，比如说平移呀，旋转呀， 轴对称等这三个东西，比如说旋转的辅助线呢？那么轴对称的辅助线呢？甚至有的时候呀，也会考到孩子们平移的辅助线。所以对于中等生来说，这三个部分至少要掌握三大变化，这就是第一个小要求。 那么第二个小要求呢，就是关于三大变化，光知道思想还是不行的，一定要注意一个事啊，三大变化那个东西叫思想，它不叫做法。 可能是很多家长和孩子都听不明白，说，老师你这句话，思想和做法之间到底有什么样的差别呢？那么北京中考几何最后的两道压轴题，二十七和二十八题，肯定要考平移、旋转、轴对称这三大变化，但很多中等生明明会做，却因为写的不对而丢分， 这可是中考阅卷时最容易扣分的地方。跟大家说的清楚啊，平移、旋转这些叫做解析思路，那么阅卷老师呢，只认规范的写法， 你不能直接写，把这个图形旋转一下，那么这句话说了等于白说，肯定是会被扣分的。你要按照规矩来，比如说以某某点为圆心，某某线段为半径，画弧截出和原来一样长的线段，就像今年海淀期末十九题，还有西城期末的十八题那样， 步骤写的明明白白才能够给分。而且北京中考阅卷呀，它是非常严的辅助线，表述错了直接会被扣二到三分， 后面推理就算对了，这道题也拿不到满分，这样的话多可惜啊是不是？其实这里呢，有一个小小的规律啊，等腰直角三角形大多考旋转九十度，等边三角形常考旋转六十度，而正方形爱考轴对称， 你把这些常考的场景还有规范写法记牢，那么做题时呢，直接用就能够少踩坑，快速突破这个难点。第三个，其实如果是顶尖的老师，还会利用这三个图形，把孩子们的辅助线的能力再拔高一个段位。 如果听过我讲几何辅助线的四个层级的话，你们应该知道辅助线最高的那个能力叫什么，叫构造能力，那么构造能力在这三个图形的当中，其实会反复的被用到， 如果你没有学过，大概率是你的老师水平不行了。比如说，如果你家孩子来听我的线上训练营，你就会发现，在我们讲这三个图形的时候，几何辅助线的构造法会 被反复的给孩子们训练到，比如说构造法，一旦孩子们学会了，那就不光是会做了，那就会用多个方法去做，这个呢，就是顶尖的啊，就是很多的学霸其实都是望尘莫及的事情，对吧？因为一提辅助线就蒙了，然后再来讲讲导角， 很多孩子就更讲不清了，还能够说多个方法，就是如果说你家的孩子掌握了构造法，他不光会做，还能一题多解。所以说如果你家孩子还是做不到的话，不妨来我们的训练营。 那以上这些呢，就是东东老师给大家总结的啊，初中阶段一定要掌握好的三个图形，按照我的要求，做几何的成绩一定能够再提升个十分到二十分，如果觉得自己做不到，可以直接找我来学习。

同学们大家好，我是小鹿老师。这节课我给大家讲到，我们现在寒假很多初二的学生现在都在预习平行四边形，就是初二下册的我们第几章这个题你看你是否会做？不会做的同学啊，来直接看黑板说 o 是 正方形， abc 内一点这个 o 就是 这这玩意是一个正方形 四边形 o， h， b， e， 就 这个他说和上方的这个 f、 o、 j， d 也是正方形，然后他告诉我们这个阴影的面积是十，让我们去求 e、 j 这个长度。这个题从哪入手啊？显然从面积是十入手， 但是有同学就说了，这个面积是十，可是底和高我都不知道怎么找，怎么办呀？那你就用补全法呗，你把这个三角形，把它放在一个大的正方形当中，用整个大的正方形去减去周围这个三角，还有加上这个四边形的面积，是不是就是我们这个面积十， 所以你说那可是这个边长都不知道呢？所以你从你们现在开始养成一个思维，就是求什么你就射什么， 你大胆解设，这个题目就出来了，那我们就把边长设为 a， 你 像这个 b、 e， 这你不知道，那你就设为 x， 那 是不是我们现在整个大的这个正方形的面积就是 s， a， b， c， d， 它就等于 a 方，然后你像这这个三角形的面积 s， 三角形 a、 b， e 是不是就等于二分之一乘 x 乘 a， 然后也就是二分之一 a， x， 然后你像三角形上边的这个 a、 d， j 是 不是就等于二分之一乘这个边，这是 x， 对 吧？那这是不是就 a 减 x， 所以 二分之一乘 a 减 x， 再乘 x， 再乘 a， 然后我们可以把它整理一下，就是二分之一 a 方减二分之一 a x。 好，然后那这个整个这下面这个是个矩形，对不对？因为它是一个都是直角的四边形，对吧？三个角是直角的四边形是矩形。 那所以 s 这个 o e、 c、 j 的 面积是不是就等于这也是 a 减 x， 这呢是不是 x？ 所以 这个矩形的面积就是 x 乘 a 减 x， 然后整理一下的话，就是 a x 减 x 方。 好，那接下来我们的这个十是不是就能表示了？也就是用大的 a 方减去二分之一 a x， 然后减去二分之一 a 方加二分之一 a x， 再减 a x 加 x 方是不是等于十？ 然后该整理的整理是不是这两个就变成二分之一 a 方减 a x 加 x 方等于十。好，到这你发现出不来了，那我们来看看他问我们什么？他问的是 e g 的 长度是这个长，我们之前只要是跟小老师听课的同学都知道，求线段长，是不是用勾股？ 所以直接这个 e j 的 这个长是不是就等于根号下 e c 方加 c j 方，那就等于根号下 a 减 x 的 平方加 x 方，然后我们把它整理一下，是不是等于 a 方减二 a x 加二 x 方？ 到这很多学生就说，可是这个我也不知道啊，你别忘记刚才你是不是算了这么一个结果，你这个结果你发现它和你这个问题是不是就是二倍的关系？也就是它是不是能等价于 a 方减二 a x 加二 x 方等于二十？ 你发现它正好和这个问题是一样的，所以就等于根号二十，是不就等于二倍根号五？这道题选完了，同学们看看这个题的思维一定要养成啊！如果你说，哎，这题我正好，我就不会， 那你可以腾到你的错题本和笔记本上，我们寒假预习的时候就把它搞定，这样你们开学之后就能拉开一大波差距了。跟别的学生好，这个题听懂的同学可以给小吴老师点个关注。

初二的同学还在为几何题目头疼吗？这个寒假几何专项突破，让你从几何变化到共点最值问题，手把手教你如何学习，让你的几何题目提升二十分。 初二的寒假究竟该怎么安排？向我们的初二上已经学习了我们的几何的一小部分了， 那么紧接着我们的初二下册仍然是以几何为主，所以这个假期肯定是以几何作为你的重点学习的内容。好， 那我们的几何一定绕不开我们的几何变化，还有我们的动点最值问题，那几何变化里面有哪些呢？像我们的翻折啊，我们的线段和差问题，它是属于我们的轴对称内啊，我们的平移旋转是其他的两种类型。好， 重点在第二个，我们很多孩子是不是遇到我们的动点最值问题就很头疼，那动点最值问题里面对应的五个板块的内容，我们的将军饮马啊，我们的这个 胡不龟刮到它是圆，还有我们的费马点，但是注意，在学习的过程当中，一定要去抓住这个动点轨迹是直线还是圆，因为直线和圆，那么决定呢，你用到的模型是不一样的。好， 那么这个假期把我们的几何板块好好进行一个突破，是会为你下学期我们乃至于初三我们的这个函数板块也好，还是圆的板块也好，打下一个坚实的基础。

同学们好，我们来看一下这道题目，这道题目很好哦，来读一下。题有一个直角三角形， a， b， c 啊， a， b 等于 b， c 是 一个等腰直角三角形， d 是 射线 b、 c 上的一个点，哎，看到了吗？射线，看到这种条件啊，直线射线的给我圈出来。 题目当中只画了在线段内的情况，但他说的是射线，也就是什么。我们接下来可能要分情况讨论，要自己自行画图啊，讨论出另外一种情况了啊，连接了 a、 d， 将 a、 d 绕点 a， 顺时针方向旋转九十度，得到了 a、 e， 所以 这里面呢，其实又是一个等腰直角三角形啊， 好，给到我们一些长度条件，有， b、 c 的 长度是等于五， c、 d 的 长度等于四，也就是这个是一啊，这边是四， 总的加起来是等于五啊，要求 a、 f 的 值啊，要求 a、 f 的 长度，那怎么减呢？那我们看到啊，看到这个等腰直角三角形，看到等腰直角三角形，就会去想到 k 字形的构造啊，会想到 k 字形的构造，那可以怎么构造？ 可以过点 a 画一条铅垂线，画一条水平线啊，过点 a 画一条水平线，再过点 e， 做它的垂直啊，过点 d 也做它的垂直， 那这里要假设有 m、 n 的 两个字母，那因此我就可以得到这两个三角形是全等的啊，这个是比较常考的一种方式了，证明方法我就不证了啊，两个三角形是全等的，那因此 am 的 长度就等于一， em 的 长度也是等于一。 好，那还要求这个 af 是 多少？要求 af 是 多少？这里面给你们两种方法啊。两种方法，第一种方法你可以去间隙 啊，间隙比较直白，可以啊，用点坐标表示出各个点的位置啊，求出函数解析式，再求焦点就可以了啊。再比如说这道题目，如果要间隙的话，我可以以点 b 为坐标，原点向右啊，为正方向建立 x 轴，向上为正方向建立 y 轴， 建立出 y 轴，那因此点 a 坐标啊，就可以知道了，点 a 坐标是零五，点 c 坐标是五零点 d 坐标是一零 啊，那么我们关键的这个点，点击坐标就可以怎么表达呢？点一是在啊，点 a 向左五个单位，向下一个单位的位置，也就是负五四啊，点击坐标就可以得到了。 那因此呢，这个 ec 的 解析式啊， ec 的 解析式就可以得到了啊，可以得到 ec 解析式，解析式得到之后，你就可以求出 f 点坐标，那可以求出 f 点坐标， f 点坐标求出来之后呢， a 点与 f 点的纵坐标之差就是我们的答案啊，这是第一种方法，大家自行去计算 好。第二种办法呢，我们如果纯粹还是从平面图形的角度来解决的话啊，可以怎么办呢？这里面啊，需要再去添加一个辅助线，我可以过点一做 ab 的 垂直啊，过点一做 ab 的 垂直，假设这个垂足为 h 啊， 那这样的话，我原本的这个 k 字形的构造 m， 这个点其实就啊可以不用了啊，可以不需要它了，那我啊，就可以得到这样子的一个三垂直的全等啊，可以得到一个三垂直的全等 n 的， 这个也是可以不需要去构造了， 可以得到这样子的一个三垂直的全等。好，那线段转换的话，那就可以得到 a h 的 长度，也是啊，一 f h 的 长度呢，是等于五， f h 的 长度是等于五，那 h h b 的 长度就是等于四，那 h b 的 长度等于四，那我们要求 af 怎么来呢？ 哎，第二次全等，还有 e、 h， f 这个三角形与 f b， c 这个三角形，你又可以得到一次全等啊，可以到全等，所以因此呢， f 是 b， h 的 中点， f 是 b， h 的 中点，所以 h f 的 长度又是等于二，那 a、 f 的 长度就可以出来了，就是一加二等于三啊，这个是纯平面图形的角度来进行求解，是有一个二次全等 啊，不过呢，我个人还是比较推荐啊这个间隙的方法，因为间隙的方法它啊，计算上面更简化啊，就是纯运算。好。那么这道题目是否第二种情况啊，我们刚才在读题的时候说了，这边是不是射线啊，对吧？是射线，所以我们是需要啊，再重新画图讨论第二种情况的。好，快速来画一下图， 好，一个等腰直角三角形 a， e， c 好， d 是 在射线上，延长线上，而且呢， c， d 的 长度等于四，那我要在差不多的位置标一个 d 啊，这个是四，这边是五好连接，连接的是 a d 连接 a， d， 将 a、 d 向顺时针方向旋转，旋转到了九十度啊，大概在这个位置，这个地方呢，是一个点 e 啊，是一个点 e， 然后再连接 c， e 连接 c， e 与啊，它说是与直线 a、 b 会有交点，所以我要延长 a b 啊，交于点 f， 要求此时的 f， a， f 的 长度，要求此时 a、 f 的 长度。那像这种在延长线上讨论的题目呢啊，大家找方法的时候一定要仔细对比，你在第一种情况下啊，使用的方法，很多时候这个方法它是沿用的啊，方法是相同的。 好，我们来来解一下。那刚才第一种方法，我们用的是 k 字形，那我们现在还是用 k 字形，那在 a 处有一个直角过顶 a， 画一条水平线， 再过点滴，做它的垂直，再过点一做它的垂直。 好，你就可以得到一个大大的一个 k 字形啊，大大的 k 字形。好，第一种方法呢，我们计算的时候是间隙啊，间隙， 点 d 的 坐标呢是九零啊，点 d 坐标是九零，长度上面转换下来，这个长度是九，这个长度是五，那因此这边是这边是五，这边是九，那点 e 就是 在点 a 的 向左五个单位，向下向下九个单位的位置，我们的坐标原点是点 b 啊，坐标系我就不画了， 那点 a 的 坐标呢是零五，所以点 e 的 坐标就是负五负四啊，负五负四好，点 c 的 坐标呢是五零啊，因此你就可以给我算出 l、 c、 e 的 解析式啊，可以算出 l、 c、 e 的 函数的表达式，但与 y 轴的交点 f 点坐标你就可以求出来啊， f 点坐标可以求出来，那 a、 f 的 纵坐标之差就是我们最后的答案啊，这是第一种情况啊，这是，这是第一种解法。好，第二种解法沿用刚才的纯平面图形的解法的话， 那我们可以得到什么呢？首先第一次是一个三垂直的一个啊，全等，我们有二次全等，首先是第一次三垂直，全等，三垂直全等，如果你找不到的话，请你啊对比一下第一个第一道题目，我们是怎么做辅助线的？我们是过点一做了一个 a、 b 的 垂线，得到一个这样的一个三垂直 啊，两个三角形全等。那因此我们现在还是一样过点一做 a、 b 的 垂直。好，假设这一点是 h， 那 就会有会有 a、 b、 h 这个三角形，与哪个与 a、 b、 d 啊？字母是一样的啊？与 a、 b、 d 这个三角形是全等的， 这两个三角形全等啊，这两个三角形变得大大的了哈。然后全等之后，那长度上面转换就可以有 b、 d 是 等于 a h 等于九的，所以 b h 的 长度就可以出来了，是等于四的 啊， b h 的 长度是跟刚才的 b、 h 的 长度是一样的哦，好，然后接着接着。那我们又得到了什么？我们在刚才又得到了二次全等，有一个八字形的一个全等，那现在仍然一样有一个八字形的全等 n， 那因此我就可以得到啊，这个 b、 f 的 长度是 b h 的 长度一半，也就是等于二啊。那么最后 a、 f 的 长度就是五加二，等于七了啊，等于七。所以最后第二个答案是等于七啊，这道题目总共有两个答案。

来道易错题，已知三角形 abc 的 三边长分别为小 a、 小 b、 小 c。 任意的一个三角形，如果给了你顶点大写字母，那么它对应的边的长就是它的小写字母。 这个一定要知道基本的常识。而且 a 比 b 加上 b 加 c 减 a， 我就告诉了你这么一个等式，然后问你，则三角形 abc 一定是啥三角形？要判断三角形的形状，那我肯定只能从这个式子下手啦。看到这个式子，我只能先把左边给它通分啦。 a 括弧 b 加 c 啊，等于 b 加 c 减 a 分 之 b 加 c， 哎，突然发现这是一个整体的分子，那这边等式呢？也有一个分子是 b 加 c， 那 我这两个能不能直接约掉呢？ a， 你 的等式的基本性质二是啥？等式的两边同时乘或除以同一个不为零的数，那么等式仍然成立，那我只要确定 b 加 c 不 等于零就好了。 b 加上 c， 这两条边的之和大于第三边，那肯定是不为零哦，所以我可以直接约掉，直接约掉它就剩下一了，这边剩下 a 了。 然后我再继续使用交叉相乘积相等的原理，其实就是等式的两边同时乘以分母的最小公倍数，我把分母给去掉， 然后呢，得到 a 括弧 b 加 c 减 a 等于 b c， 哎，这样一扯就好啦。然后呢，你一看这个式子，我还看不出来三面之间的关系呀，怎么办呢？那我只能给它展开，然后再找找向左喽。等于 b c， 那 等于 b c， 我 能不能把 b c 给挪过来？ 哎，减去 b c 等于零，我为啥想这样做？因为我这边有四项，我看看我能不能用我学过的分组的方法去把这边给因式分解，这样 我不就能观察出来两两之间的关系了吗？边儿的。所以你看这个，这个要这两个要结合，提一个 a 的 话，那剩 b 加 c， 但这两个却没有公因数了，所以我不能这么结合。 那怎么办呢？我把这个和这个结合行不行？或者这个和这个结合行不行？哎，都可以啊，你试一下，如果他俩结合，他俩结合会成为啥？这俩一结合，我提一个 a， 是 不是剩下 b 减 a， 这俩一结合啊？那是加上提一个 c， 是 不是 a 减 b， 然后呢？等于零，这个时候你发现我 a b 减 a 和 a 减 b 正好互为相反数，那我可不可以给它变一下符号？ 哎，这变成减，我这不是变成它的相反数等于零。这个时候你发现 b 减 a， 就 又是一个共因式啦。那我再给它提出来，剩下 a 减 c 等于零。这个你是不是很熟悉啦？ b 减 a 乘以 a 减 b， 两个数相乘要等于零，要么这个数等于零，要么这个数等于零。一定注意，这是或的关系，那么就可以得到 a 等于 b， 或者 a 等于 c。 呦， 那这不就是腰长为 a 哎，另外一条边等于 a 的 等腰三角形吗？或的关系哦。 哎，所以它三角形 a， b， c 一定是答案 b， 那 有没有可能是 a 等边三角形的？ 有可能，当我 a 等于 b， 以 b 又等于 c 的 时候，我这不就成了等边三角形传递性过来，如果这不是或是按的是且的关系，那么它就是等边三角形了。可问题是，人家说一定是啥，这个只能是说可能， 可不一定哦，因为你推出来的结论里面没有一定性。一定性的只有这个 啊。再看底边长为 a 的 等腰三角形，那肯定是腰为 a 呀。底边为 a， 那 是 b 和 c 相的，我也没有直接得出来， 只是有可能，但不一定好。 d 等腰直角三角形等腰肯定是，但直角也是不一定的，我没有推出来。这三边的 关系是 a 方加 b 方等于 c 方也没推出来， b 方加 c 方等于 a 方也没推出来。 a 方加 c 方等于 b 方，没有这三个关系，那我就推不出来它是直角啊。这是勾股定律，逆定律的 应用，就是对直角三角形的判定。定律没有推出来，那只能说有可能，但不一定。人家要的是一定小分。关注我吧。

这道题是最近初二期末考试填空题当中的一道小压轴题，我们先来看看他的基本条件。三角形 abc 是 一个等腰 r 的 三角形满足 a、 c 等于 b， c 等于三， a、 e 等于 c， f 等于一，我们的问题是来求 b p 的 一个长度。 虽然这个题的结构看起来非常的常规，条件也比较简单，但是对于目前初二的学生来说还是具有一定的小难度的。 目前初二所学的知识几何体系当中只学了一个全等三角形和勾股定律，那这个地方你要通过全等来转化构造勾股来计算 b p 的 长度，还是具有一定的小难度的， 大家不妨先自己暂停来做一做，想一想，看看自己在短深之内能不能想到一些解决思路。当然这个题的做法肯定不止一种，我们今天主要是来探讨这个题的一个技技巧性的一个做法，也就是在短深内能够解决这道题的一个特殊做法。 起来看一看。由于这个题的位数据的位置以及三角形 a、 b、 c 又是一个等腰，而且三角形它具有一定的特殊性，所以这个地方我认为比较简单的一个做法就是去建立一个坐标系，通过建平面坐标系来算坐标，来找到 b p 的 一个长度， 那么这个地方建立坐标系为了后期坐标的方便表示以及计算。这个地方我们要把三角形 a、 b、 c 旋转一定的夹角，也是把它旋转成这样的一个位置，然后以 c 点为坐标，圆心 a、 c 为一个 x 轴啊，这里是一个 x 轴， 然后 bc 为一个 y 轴，这样来建立坐标系，来计算这些坐标就非常的容易，也非常的直观。这里是一个 y 轴，这里 c 的， 这里是一个圆点，所以这个地方根据我们这个条件的数据，我们就可以看得出来，这个 a 的 坐标就是一个三到零 一的坐标，点一的坐标这里是二到零点， f 的 坐标就是零到一点， b 的 坐标就是零到三。然后你要来计算点 p 的 坐标，我们就来把 b、 e 的 解析式给它算出来。这个地方你直接根据我们刚刚的这些坐标啊， 轻松的就可以算出 b 的 减一式，他算出来应该是 y 等于负二分之三， x 加三，然后同样的道理，把 a、 f 的 减一式也给他算出来，他算出来是 y 等于啊 负三分之一 x， 然后加一个一，然后 p 的 坐标就是这两条直线的一个焦点，所以你连立方程组直接就可以求得啊，这个 p 的 坐标，它应该是七分之十二 到七分之三，对不对？然后你再来求 b p 的 距离，就是直接求得 b p 的 距离，它就是一个 七分之六倍根二十三。所以通过建立坐标系的方式，你可以把复杂的几何问题转变成一个代数的问题来处理，就非常的直接， 也非常的简单，大家可以参考这种方法。在今后的一些几何填空压轴题或者解答题当中，你可以选择根据条件来选择，这样的间隙来做，可能有意想不到的效果。好的，这里方法就是这样。

同学们好呀，今天咱们来解决一道经典的几何证明题。在等腰三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c， a、 d 是 b、 c 边上的中线，过点 d 分 别做 a、 b 和 a、 c 的 垂线，垂足为 e 和 f。 怎么证明 d、 e 等于 df 呢？ 很多同学看到这种题可能会觉得无从下手，其实只要抓住等腰三角形的特性就很简单了。首先咱们回忆一下等腰三角形的重要性质，三线合一。 因为 a、 b 等于 a、 c， 所以 三角形 a、 b、 c 是 等腰三角形，而 a、 d 是 b、 c 边上的中线。根据三线合一的性质，这条中线同时也是顶角的角平分线，也就是说， a、 d 平分角 b、 a、 c。 这一步是关键哦，就像找到了打开大门的钥匙。接下来咱们再想想角平分线的性质， 角平分线上的点到角两边的距离相等，现在 a、 d 是 角 b、 a、 c 的 平分线，而点 d 正好在 a、 d 上， d、 e 和 d、 f 又分别是点 d 到 ab 和 ac 的 距离， 这不就直接得出 d、 e 等于 d、 f 了吗？就像咱们知道从角平分线上的点出发到两边的路程肯定是一样的。 所以整个证明思路就是先利用等腰三角形三线合一证出 a、 d 式角平分线，再用角平分线性质证出距离相等。 同学们看是不是很简单啊？你们平时做几何证明题会先从哪里入手呢？评论区一起讨论一下吧！藤藤原创作品！